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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA

Representações espectrais de sistemas complexos:aplicacões à sintese de superfícies brownianas

fracionárias anisotrópicas, filtragem de sinais eidentificação de correlações

Marcos Vinícius Cândido Henriques

Natal, RN

Agosto de 2012

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Marcos Vinícius Cândido Henriques

Representações espectrais de sistemas complexos:aplicacões à sintese de superfícies brownianas

fracionárias anisotrópicas, filtragem de sinais eidentificação de correlações

Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Físicado Departamento de Física Teórica e Experimental da Uni-versidade Federal do Rio Grande do Norte como requisitoparcial para a obtenção do grau de doutor em Física.

Orientador: Prof. Dr. Liacir dos Santos Lucena

Natal, RN

Agosto de 2012

Agradecimentos

Ao meu orientador, prof. Liacir dos Santos Lucena, pelas empolgadas discussões acerca dosmais variados assuntos da física de sistemas complexos.

Aos professores Gilberto Corso, Deilson de Melo Tavares e Roberto Fernandes Silva An-drade, por valiosas contribuições por meio de discussões sobre o trabalho.

A Samira Celeste, minha companheira das horas difíceis e felizes.À minha família pelo constante apoio.Aos amigos Charles Augusto, Caio César, Nivânia, Álvaro Barroca, Samyr Jácome, Mi-

chelli Silva, Francisco Edcarlos, Damilson, Amison e Lucas Machado pelos momentos dedescontração e ajuda.

Aos meus companheiros de trabalho da UFERSA Angicos.À CAPES, ao CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico),

à Rede Cooperativa de Pesquisa em Geofísica de Exploração FINEP/CTPETRO, ao Pro-jeto PRONEX / FAPERN / CNPq sobre Física do Petróleo e ao Projeto sobre CurveletsEdital Universal CNPq/CTPETRO, Brazil. Agradeço também aos autores do CurveLab(www.curvelet.org) por disponibilizarem gratuitamente o código do aplicativo.

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Resumo

Nesta tese, estudamos as aplicações de representações espectrais para a solução de proble-mas em sísmica de reflexões, a síntese de superfícies fractais e a identificação de correlaçõesentre sinais unidimensionais. Aplicamos uma novo método conhecido como Coerência emOndaletas para o estudo da correlação estratigráfica em sinais que representam perfis depoços,como uma tentativa de identificar camadas pertencentes à mesma formação geológica,demonstrando que a representação no espaço das ondaletas, com a introdução do domíniode escala, pode facilitar o processo de comparar padrões em sinais físicos. Introduzimosum novo modelo para a geração de superfícies brownianas fracionárias anisotrópicas baseadana transformada Curvelet, uma nova ferramenta multiescala que pode ser vista como umageneralização da transformada em ondaletas para incluir a componente de direção em es-paços multidimensionais. Testamos nosso modelo com uma versão modificada do Métododa Média Direcional (DAM) para a avaliação de anisotropia de superficíes brownianas fra-cionárias. Também utilizamos o comportamento direcional das curvelets para atacar umproblema importante na sísmica de exploração: a atenuação do ruído de rolamento, presenteno sismograma como resultado de ondas de Rayleigh superficiais. As técnicas empregadassão eficientes, levando a representações esparsas dos sinais e, consequentemente, a boas res-oluções.

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Abstract

In this thesis, we study the application of spectral representations to the solution of problemsin seismic exploration, the synthesis of fractal surfaces and the identification of correlationsbetween one-dimensional signals. We apply a new approach, called Wavelet Coherency, tothe study of stratigraphic correlation in well log signals, as an attempt to identify layersfrom the same geological formation, showing that the representation in wavelet space, withintroduction of scale domain, can facilitate the process of comparing patterns in geophys-ical signals. We have introduced a new model for the generation of anisotropic fractionalbrownian surfaces based on curvelet transform, a new multiscale tool which can be seen asa generalization of the wavelet transform to include the direction component in multidimen-sional spaces. We have tested our model with a modified version of the Directional AverageMethod (DAM) to evaluate the anisotropy of fractional brownian surfaces. We also used thedirectional behavior of the curvelets to attack an important problem in seismic exploration:the atenuation of the ground roll, present in seismograms as a result of surface Rayleighwaves. The techniques employed are effective, leading to sparse representation of the signals,and, consequently, to good resolutions.

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Sumário

Sumário iv

Lista de Figuras vi

1 Introdução 1

2 Movimento Browniano Fracionário 42.1 Movimento Browniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Caminhante Aleatório e Teorema do Limite Central . . . . . . . . . . . . . . 5Propriedades estatísticas do Movimento Browniano . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Movimento Browniano Fracionário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Densidade Espectral de Potência do Movimento Browniano Fracionário . . . . 12Métodos para estimativa do parâmetro H de uma série MBF . . . . . . . . . 15

Método DFA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Método do Periodograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Método do Periodograma em Caixas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Superfície Browniana Fracionária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4 Superfície Browniana Fracionária Anisotrópica . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Ferramentas para análise em posição, número de onda e direção 253.1 Espaço das Freqüências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Transformada em Ondaletas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Transformada Contínua em Ondaletas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Transformada Discreta em Ondaletas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Propriedades estatísticas dos coeficientes de ondaletas de processos auto-similares

com dependência de longo alcance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Determinação do Expoente de Hurst por meio da Variância dos Coefici-

entes de Detalhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Transformada em Ondaletas Bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Análise em Ondaletas de uma Superfície Browniana Fracionária . . . . . . . . 38

3.3 Transformada Curvelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

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Funções-janela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Decomposição curvelet de funções ondulatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Variância dos Coeficientes Curvelet de uma Superfície Browniana Fracionária

Anisotrópica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4 Aplicações à Geofísica 594.1 Tratamento de Dados Sísmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2 Síntese de Superfícies Brownianas Fracionárias Anisotrópicas com Curvelets . . 644.3 Correlação entre perfis de Poços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5 Considerações Finais 81

A Densidade Espectral de Potência 83

B Autocovariância e Autocorrelação 85

C Densidade espectral da função gd = δ(t)− δ(t− d) 86

D “Frames” de um Espaço Vetorial 88

E Demonstração do Teorema de Wiener-Khintchin 89

Referências Bibliográficas 91

Índice Remissivo 96

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Lista de Figuras

2.1 Figura incluída no livro Les Atomes, de Jean Baptiste Perrin, correspondendo atrês trajetórias de partículas coloidais captadas pelo microscópio. . . . . . . . . . 4

2.2 Exemplo de movimento Browniano em 2 dimensões. . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Representação da posição do caminhante aleatório unidimensional em que, para

cada passo, ∆x = ±1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Representação da posição de uma partícula descrevendo um movimento Browni-

ano , em que os deslocamentos possuem uma distribuição Gaussiana. . . . . . . . 72.5 Movimento Browniano, representado no segundo gráfico, obtido com a soma cu-

mulativa de variáveis Gaussianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.6 Gráficos de 5 realizações de movimento Browniano com 512 passos. . . . . . . . . 82.7 Trajetórias de 50 partículas em movimento Browniano partindo do mesmo ponto

~r0 = (0, 0), como um esboço do efeito de difusão para o caso bidimensional. . . . 92.8 Resultado da simulação da difusão como a combinação de 10000 partículas, par-

tindo do mesmo ponto, que seguem caminhos aleatórios de 1000 passos. À direitae abaixo, vemos os histogramas das componentes horizontal e vertical das posiçõesdas partículas, revelando distribuições gaussianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.9 Histograma dos incrementos de um movimento Browniano com variância unitária,comparado com uma gaussiana obtida por meio de um ajuste com o método dosmínimos quadrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.10Movimentos Brownianos fracionários com respectivos expoentes de Hurst. . . . . 132.11Análise DFA de um MBF sintetizado com parâmetro de Hurst H = 0, 3, a partir

da lei de potência expressa por 2.2.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.12Análise DFA de um MBF sintetizado com parâmetro de Hurst H = 0, 7, a partir

da lei de potência expressa por 2.2.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.13 Espectro de potência de um MBF sintético com expoente H 0,2. A partir do

coeficiente angular da reta ajustada com o método dos mínimos quadrados, foipossível estimar o parâmetro H do sinal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

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2.14 Espectro de potência de um MBF sintético com expoente H 0,5. A partir docoeficiente angular da reta ajustada com o método dos mínimos quadrados, foipossível estimar o parâmetro H do sinal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.15 Exemplo de superfície Browniana Fracionária Isotrópica (512 x 512 pontos) comexpoente de Hurst 0,5 (sem correlação para os incrementos), gerada com o métodoespectral, conforme a equação 2.3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.16 Exemplo de superfície Browniana Fracionária Isotrópica (512 x 512 pontos) comexpoente de Hurst 0,1 (anticorrelação dos incrementos), gerada com o métodoespectral, conforme a equação 2.3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.17 Exemplo de superfície Browniana Fracionária Isotrópica (512 x 512 pontos) comexpoente de Hurst 0,9 (correlação positiva dos incrementos), gerada com o métodoespectral, , conforme a equação 2.3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.18 Exemplo de superfície Browniana Fracionária Anisotrópica (1024 x 1024 pontos),gerada com o método espectral, com a respectiva distribuição dos parâmetros Hdada ao lado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.19 Espectro de Potência da Superfície Browniana Fracionária Anisotrópica mostradana figura 2.18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.20 Perfil horizontal do espectro de potência do SBFA sintético da figura 2.18. Pode-se constatar que o parâmetro de Hurst H = 0, 1 usado na direção horizontal nasíntese espectral do SBFA foi aproximadamente recuperado. . . . . . . . . . . . 23

2.21 Perfil vertical do espectro de potência do SBFA sintético da figura 2.18. Pode-seconstatar que o parâmetro de Hurst H = 0, 9 usado na direção vertical na sínteseespectral do SBFA foi aproximadamente recuperado. . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1 Partes real e imaginária da ondaleta de Morlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Exemplo de transformada contínua em ondaletas aplicada a um sinal estocástico.

A ondaleta aplicada é o “chapéu mexicano”. Os tons mais escuros correspondemaos valores negativos, e os tons mais claros correspondem aos valores positivos.Exemplo feito com o auxílio do Wavelab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3 Exemplo de transformada em ondaletas discreta de um sinal estocástico. O pri-meiro gráfico corresponde ao sinal original, o segundo representa os coeficientes deaproximação obtidos após extrair-se os coeficientes de detalhe mostrados abaixo,desde os de escala mais grossa até os de escala mais fina. . . . . . . . . . . . . . 32

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3.4 Exemplo de reconstrução de aproximações e detalhes de um sinal estocástico. Oprimeiro gráfico corresponde ao sinal original, o segundo representa a reconstruçãodo sinal a partir dos coeficientes de aproximação obtidos após extrair-se os trêsníveis coeficientes de detalhe. Os três últimos gráficos mostram o resultado dareconstrução a partir dos três níveis de coeficientes de detalhe, desde os de escalamais grossa até os de escala mais fina. Observe que todos os sinais reconstruídospossuem o mesmo número de pontos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.5 Gráfico de logaritmo de escala de um MBF com expoente H = 0, 2, sintetizadopelo método espectral. A partir do coeficiente angular da reta ajustada, pelométodo dos mínimos quadrados, ao logaritmo das variâncias dos coeficientes deondaletas do sinal para cada escala, foi possível estimar o parâmetro H do sinal. . 36



3.8 Gráfico da função-janela angular V (t), como definida em 3.3.1. . . . . . . . . . 413.9 Gráfico da função-janela radial W (r), como definida em 3.3.2. . . . . . . . . . . 423.10Representação de uma janela φj(r, ω), como definida em 3.3.3. . . . . . . . . . 423.11Representação de curvelets em 3 escalas, no espaço real e das frequências. . . . . 443.12 Ladrilhamento no espaço da frequência para os átomos de posição, frequência e

orientação do espaço das curvelets conforme o número de ângulos desejado. . . . 453.13Um ladrilhamento discreto básico com as 4 primeiras escalas no domínio de Fourier.

Cada uj,l representa uma função-janela na esala 2−j e orientação θj,l. Como ex-emplo, um suporte para a janela u3,10 é marcada com cinza. . . . . . . . . . . . 46

3.14Representação da combinação de ondas planas definida por 3.3.6, usada para ilus-tração de aplicação da transformada curvelet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.15Variância dos coeficientes curvelet da superfície mostrada na figura 3.14 conformea direção para a escala j = 2. Podemos ver uma maior energia presente em 4 dos16 ângulos da escala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48


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3.17 Esquerda: seleções de ângulos dos coeficientes curvelet da superfície mostrada nafigura 3.14 para a escala j = 2. Direita: respectivas reconstruções a partir doscoeficientes selecionados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49


3.19 Imagem de satélite da superfície do mar próxima à costa de Macau/RN, obtidas apartir do serviço Google Maps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51





4.1 Um dado sísmico com traços e amostras por traço. Em (a),vemos o dado originalcomposto de uma sobreposição entre o ruído de rolamento e o dado associdado àsreflexões. Em (b) vemos o sismograma filtrado, sendo compoto principalmente dedados dos refletores. Em (c), a parte reconstruída das componentes extraídas dosinal, sendo composta principalmente por ruído de rolamento. . . . . . . . . . . . 60

4.2 Diagrama ilustrando a exploração sísmica marinha com a configuração de um can-hão de ar, emissor das ondas sísmicas, e 5 hidrofones, responsáveis por registrar asondas refletidas. Licença: Creative Commons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.3 Reconstrução do sismograma evidenciando as componentes representantes do ruídode rolamento, a partir de escalas e orientações específicas no espaço das curvelets.Os coeficientes correspondendo ao ruído de rolamento estão indicados pelos círculospreenchidos enquanto os coeficientes do sinal que carrega a informação geológicarelevante são discriminadas por círculos vazios no diagrama angular. . . . . . . . 63

4.4 Ladrilhamento pseudo-polar usado pela transformada curvelet discreta. Um ex-emplo de conjunto de cunhas no plano de Fourier associados comum mesmo dadoíndice Hm é marcado com cinza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

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4.5 Três exemplos de superfícies brownianas fracionárias isotrópicas obtidas por meiodo método das curvelets. Topo: a distribuição angular do índice Hm usado nasíntese de cada superfície. Meio: a superfície sintetizada correspondente. Abaixo:A densidade espectral correspondente, evidenciando o ladrilhamento pseudo-polarusado pela versao discreta da transformada curvelet. . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.6 Três exemplos de superfícies brownianas fracionárias anisotrópicas obtidas pormeio do método das curvelets. Topo: a distribuição angular do índice Hm us-ado na síntese de cada superfície. Meio: a superfície anisotrópica sintetizada cor-respondente, obedecendo à distribuição angular de Hm. Abaixo: A densidadeespectral correspondente, evidenciando o ladrilhamento pseudo-polar usado pelaversão discreta da transformada curvelet.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.7 Esquema de rotação da imagem que representa a superfície a ser analisada para aextração dos parâmetros de Hurst anisotrópicos. A imagem é rotacionada em θ nadireção horária. O resultado é largo o bastante para conter a informação de todaa imagem rotacionada, do qual extraímos uma subimagem inscrita cujas colunasrepresentam aproximações às linhas ortogonais a θ no dado original. . . . . . . 68

4.8 Análise de anisotropia a partir do método da média direcional (DAM) de 50amostras com 2000×2000 pontos, usando três métodos de estimativa de parâmetrode Hurst. Os erros de cada método com relação ao parâmetro usado na síntese sãomostrados na legenda. (MSE = Erro Médio Quadrático) . . . . . . . . . . . . . 68

4.9 Representação espacial de um perfil de poço. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.10Mapa esquemático das localizações dos poços na Bacia do Jequitinhonha. . . . 724.11Os dois gráficos mostram perfis de tempo de trânsito de ondas sonoras dos poços

I-BAS-68 e I-BAS 121 pertencentes à bacia do Jequitinhonha, mostrados na figura4.10. O terceiro gráfico mostra a correlação cruzada clássica entre as janelas iden-tificadas pelas linhas tracejadas. A janela do segundo gráfico é móvel. Os pontosvermelhos indicam máximos relativos, revelando altas similaridades que podemindicar possíveis continuidades das estruturas geológicas. . . . . . . . . . . . . . 74

4.12 (a) ’Downsampling’ da função distribuição acumulada (FDA) dos índices de cor-relação de 100 MBF (H=0,5) pares de conjuntos de dados, comparado com a FDAteórica de uma distribuição beta com parâmetros α = 7.6229 e β = 16.1941. (b)Histograma do mesmo conjunto de dados, em que a região referente a 5% de nívelde significância é marcada com cinza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.13 Coerência em Ondaletas (WCT) para os perfis DT (tempo trânsito sônico) e GR(raios-gama) do poço I-BAS-68. Os coeficientes mais altos são identificados pelacor avermelhada. Abaixo, o índice de correlação local como definido em 4.3.2. Onível de 5% de significância é identificado pela linha horizontal azul. . . . . . . . 76

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4.14 Coerência em Ondaletas (WCT) para os perfis DT (tempo trânsito sônico) e ILD(resistividade elétrica) do poço I-BAS-68. Os coeficientes mais altos são identifica-dos pela cor avermelhada. Abaixo, o índice de correlação local como definido em4.3.2. O nível de 5% de significância é identificado pela linha horizontal azul. . . 76

4.15 Coerência em Ondaletas (WCT) para os perfis GR (raios-gama) e ILD (resistivi-dade elétrica) do poço I-BAS-68. Os coeficientes mais altos são identificados pelacor avermelhada. Abaixo, o índice de correlação local como definido em 4.3.2. Onível de 5% de significância é identificado pela linha horizontal azul. . . . . . . . 77

4.16 Coerência em Ondaletas para o perfil DT (tempo de trânsito sônico) dos poços I-BAS-68 e I-BAS-121. No primeiro caso, não há deslocamento relativo entre os doisperfis. Fortes correlações próximo à profundidade correspondendo a 1500 metrospodem ser vistas em todas as escalas para o segundo casio, como mostrado pelaslinhas verticas avermelhadas. Este alto grau de correlação foi obtido quando osegundo perfil é deslocado em 100 pontos (15,24 metros) com relação ao primeiroperfil. Abaixo, a correspondente função de correlação local, como definido em4.3.2. O nível de 5% de significância é identificado pela linha horizontal azul. . 78

4.17 Coerência em Ondaletas para os perfis GR (raios-gama) e ILD (resistividade elétrica)dos poços I-BAS-68 e I-BAS-121. Fortes correlações próximo à profundidade cor-respondendo a 1500 metros podem ser vistas em todas as escalas, como mostradopelas linhas verticas avermelhadas. Este alto grau de correlação foi obtido quandoo segundo perfil é deslocado em 100 pontos (15,24 metros) com relação ao primeiroperfil. Abaixo, a correspondente função de correlação local, como definido em 4.3.2.O nível de 5% de significância é identificado pela linha horizontal azul. . . . . . 79

4.18 Coerência em Ondaletas para os perfis DT (tempo de trânsito sônico) dos poçosI-BAS-68 e I-BAS-121. Fortes correlações próximo à profundidade correspondendoa 2000 metros podem ser vistas em todas as escalas, como mostrado pelas linhasverticas avermelhadas. Este alto grau de correlação foi obtido quando o segundoperfil é deslocado em 340 pontos (51,81 metros) com relação ao primeiro perfil.Abaixo, a correspondente função de correlação local, como definido em 4.3.2. Onível de 5% de significância é identificado pela linha horizontal azul. . . . . . . . 80

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Capítulo 1

Introdução

As representações espectrais têm um grande histórico de aplicações aos mais diversos camposda ciência. Isto se deve ao fato de muitos problemas tratados matematicamente se tornaremmais fáceis de lidar no espaço das frequências, em virtude da própria natureza do problema.Nesta tese, aplicaremos novas representações espectrais a sistemas anisotrópicos e como umatécnica para obter correlação entre sinais.

Sistemas com fortes propriedades anisotrópicas são muito frequentes na natureza, masinfelizmente eles oferecem sérias dificuldades no tocante a sua caracterização e descriçãomatemática. Este é o caso dos sistemas complexos em geologia, fenômenos de transporte emciência dos materiais, propagação de ondas em meios desordenados e transferência radioativaem sistemas sem simetria esférica.

Um exemplo com imediata aplicação tecnológica é relacionado à exploração de petróleo.Neste problema, a principal técnica usada está relacionada com o fenômeno de espalhamentode ondas sísmicas em estruturas geológicas com heterogeneidades anisotrópicas em todasas escalas. Para levar em conta as flutuações das quantidades físicas dessas estruturas énecessário descrever suas propriedades de uma forma estatística. Nesses sistemas, os dadosgeológicos são melhor modelados por geometrias fractais como as criadas por Mandelbrot [2].Por exemplo, tem sido reportado por muitos autores que dados de poços demonstram condutade correlação de longo alcance espacial, o que é uma característica de processos fractais comoo movimento browniano fracionário [5, 6, 7, 8]. Também tem sido relatado [9] que correlaçõesde longo alcance em arenitos não-consolidados e meios porosos podem ser entendidos comouma consequência de processos reestruturantes ocorridos durante a evolução geológica. Osurgimento da anisotropia nestes sistemas geológicos pode ser relacionado à influência docampo gravitacional e ao fluxo de materiais macroscópicos. Caracterizando correlações delongo alcance nesses sistemas, tais como meios porosos descritos pelos perfis de porosidade,pode provar ser útil para uma interpretação acurada dos dados geológicos.

Ao analisar rochas em camadas e formação de campos geológicos devido as processos deestratificação, pode-se verificar que propriedades geométricas ou de transporte podem ser

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caracterizadas em termos de seu grau de anisotropia [10, 11, 12]. De fato, a probabilidade deocorrência de um dado gradiente de porosidade (ou permeabilidade) é depende fortementeda orientação das propriedades das rochas. Consequentemente, esses sistemas são caracteri-zados por grandes correlações anisotrópicas. Estudos em outras áreas lidam com fenômenosimilar. Por exemplo, Ponson et al [13] estudaram as propriedades auto-afins de superfíciesanisotrópicas fraturadas. Jennane et al [14] observaram correlação anisotrópica em imagensde microscopia tomográficas de raios-X de ossos.

Desde o trabalho pioneiro de Mandelbrot [2], o modelo de movimento browniano fracio-nário (MBF) vem sendo usado para tratar uma larga variedade de fenômenos naturais comauto-similaridade e correlações de longo alcance. Em particular, o estudo da análise fractalaplicada a superfícies bidimensionais provou ser útil para descrever algumas propriedadesfísicas tais como porosidade e rugosidade. Porém, o modelo MBF padrão é apenas ade-quado para descrever materiais e meios que apresentam simetria isotrópica. Neste contexto,generalizações do MBF para modelos anisotrópicos têm sido propostos nos últimos anos.Kamont [18] estudou superfícies fracionárias anisotrópicas de Wiener. Bonami e Estrade[19] analisaram as propriedades de vários modelos de superfícies anisotrópicas Gaussianas epropuseram um novo procedimento para caracterizar a anisotropia de tais superfícies. Ta-vares e Lucena [20] e Heneghan [21] implementaram modelos baseados em ondaletas parahipersuperfícies anisotrópicas. Biermé e Richard [22] aplicaram a transformada Radon paraestimar a anisotropia de superfícies brownianas fracionárias. Xiao [23] estudou as proprieda-des dos caminhos de tais superfícies anisotrópicas. É desejável generalizar esses conceitos eideias para formas simples e automáticas que permitam representações esparsas de superfíciesanisotrópicas complexas.

Introduziremos um novo método para a geração de superfícies brownianas fracionáriasanisotrópicas (SBFA), baseado na transformada Curvelet. Esta é uma nova transformadamultiescala como forte caráter direcional que provê uma representação ótima de objetosque têm descontinuidades ao longo de bordas [29, 30, 31]. As curvelets são localizadas nãoapenas no domínio espacial (localização) e de número de onda (escala), mas também naorientação angular, o que é um passo adiante comparado à transformada em ondaletas [33].Esta característica direcional é a que usaremos para obter a anisotropia.

Além disso, é possível explorar as propriedades direcionais da transformada Curvelet paraatacar um problema antigo na interpretação de dados sísmicos a partir das anisotropiaspresentes nestes tipos de dados: a atenuação do ruído de rolamento. Os procedimentosconvencionais para se tratar este problema, baseados principalmente na transformada deFourier ou de Radon, podem falhar, retirando parte da informação útil do sismograma.Recentemente, o emprego da transformada em ondaletas, aliada com a escolha de basesadequadas para a decomposição dos sinais sísmicos melhorou esta análise [34][35, 36]. Ummétodo híbrido com a introdução de uma análise de componentes principais, aplicando-se

2

a transformada Karhunen-Loève, revelou ser bastante útil para a detecção e eliminação doruído de rolamento [37].

Levando-se em conta que, no sismograma, este tipo de ruído que surge de ondas de Ray-leigh superficiais leva a componentes direcionais e de número de onda distintas das componen-tes originadas dos refletores, aliado à análise na escala e no espaço, características herdadasda transformada em ondaletas, é possível separar de forma satisfatória o joio do trigo nosdados sísmicos. Pode-se também introduzir um novo conceito para a abordagem de sinais noespaço das curvelets: a energia, definida como a soma do absoluto quadrado dos coeficientes,que dá uma valiosa informação sobre o comportamento do fenômeno em suas diferentes es-calas e direções. Este novo tipo de análise, como será mostrado, possibilita a distinção dasdiferentes componentes do sinal, como no caso de separar as componentes de ondas planasde uma superposição de ondas senoidais com número de onda e direções diferentes: a energiapresente pode ser repartida para cada escala e direção.

Trabalhando apenas com escala e posição por meio das ondaletas temos uma boa ferra-menta para lidar também com o problema das correlações entre perfis de poços. As mesmasgrandezas em poços distintos podem ser comparadas no espaço das ondaletas por meio deuma nova ferramente análoga à correlação cruzada, a transformada em ondaletas cruzada. Avantagem desta nova técnica é que podemos comparar dois sinais em diferentes escalas e emregiões localizadas, uma vez que a comparação é feita no espaço das ondaletas. É possível,assim, encontrar camadas ou zonas geológicas coincidentes em poços distantes entre si, pormeio da análise de padrões que esta nova transformada realiza. Podemos ainda comparargrandezas diferentes em um mesmo poço, relacionando a litografia do local com as diferentescorrelações entre estas grandezas, servindo assim para a detecção de camadas intermediáriasou para um teste de confiança dos instrumentos.

3

Capítulo 2

Movimento Browniano Fracionário

2.1 Movimento Browniano

Uma das primeiras descrições do chamado movimento Browniano foi feita pelo botânico Ro-bert Brown, em 1828, referindo-se ao movimento irregular de grãos de polén flutuando naágua, emprestando seu nome para o termo cunhado para este tipo de movimento. Porém, nãose pensava que o fenômeno estivesse relacionado à natureza atômica da matéria. Os trabalhosteóricos de Einstein em 1905, de Marian Smoluchowski em 1906 e o trabalho experimental deJean Baptiste Perrin em 1913 ligaram a teoria cinética dos fluidos ao movimento Browniano ,comprovando a existência das moléculas – elas sofriam impactos de intensidade e direçãoaleatórios, o que gerava suas trajetórias irregulares. Deu-se então início a uma abordagemestatística para o estudo da matéria, a base para a mecânica estatística de não-equilíbrio.

Figura 2.1: Figura incluída no livro Les Atomes, de Jean Baptiste Perrin, correspondendo atrês trajetórias de partículas coloidais captadas pelo microscópio.

4

Em um movimento Browniano , as trajetórias sucessivas não possuem qualquer correlação;o movimento é totalmente aleatório. Para o caso da partícula imersa em um líquido, apóscada colisão com as moléculas do fluido, todas as direções para o movimento do pequeno corposão igualmente prováveis. Portanto, o movimento Browniano pode ser definido de acordo como formalismo dos processos estocásticos, visto, na forma discreta, como uma série de númerosaleatórios, podendo ser modelado e simplificado por outros processos mais simples, como odo caminhante aleatório.

Figura 2.2: Exemplo de movimento Browniano em 2 dimensões.

Caminhante Aleatório e Teorema do Limite Central

O problema do caminhante aleatório foi primeiramente descrito, para o caso bidimensional,por Karl Pearson na revista Nature em 1905 [1]. Rayleigh estudou o trabalho de Pearson, erelacionou-o a um problema de movimento molecular que ele já havia estudado. Cunhou-seo termo “caminhante bêbabo” para o objeto que descreve tal trajetória aleatória, e, comoconcluiu Pearson a partir das observações de Rayleigh:

O lugar mais provável para encontrar um homem bêbado que é capaz de continuarcaminhando é em algum lugar próximo ao seu ponto de partida!

Desenvolveu-se, então, o teorema do limite central, o qual diz que, para casos como o docaminhante bêbado, em que variáveis aleatórias com distribuição uniforme estão presentes, aprobabilidade das somas cumulativas destas variáveis tende a seguir uma distribuição Gaus-siana . Daí o fato do caminhante bêbado ser encontrado com maior probabilidade próximode onde partiu. Isto pode ser ilustrado por um experimento simples, realizado e publicadopelo matemático francês Abraham de Moivre em 1733. Ao lançarmos uma moeda teremos,devido à grande imprevisibilidade do movimento, as mesmas probabilidades de obtermos acara e a coroa viradas para cima. Denota-se probabilidade 1/2 para cada resultado. Mas,

5

se lançarmos um número considerável n de vezes, e registrando o número de caras ou decoroas obtidos, e repetirmos esse procedimento várias vezes como o mesmo número n delançamentos, chegaremos a uma boa aproximação da distribuição normal para a distribuiçãodo número de caras ou de coroas.

Podemos modelar um caminhante aleatório (ou caminhante bêbado) como uma partículadescrevendo passos aleatórios em intervalos uniformes de tempo ∆t. Consideremos um espaçounidimensional; a posição do caminhante aleatório após n passos, ou seja, após um tempode tn = n∆t, partindo da posição x0 = 0, pode ser escrito como

xn =n∑i=1

∆xi

Considere que o caminhante aleatório descreve deslocamentos de igual magnitude l, paraa esquerda ou para a direita, com igual probabilidade para ambos os lados. Sendo assim,∆xi = ±l. Seja n um número par. Percebamos que, para a partícula chegar à posiçãox = ml, com m par, exatamente após n passos, ela deve descrever 1

2(n+m) passos para adireita e 1

2(n−m) passos para a esquerda. Sendo assim, podemos definir pn(x) como sendoa probabilidade do deslocamento da partícula após o tempo tn (n passos) na forma

pn(x) =n![

12(n−m)

]![12(n+m)

]!

(2.1.1)

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−6

−4

−2

0

2

Passo

Posicao

Figura 2.3: Representação da posição do caminhante aleatório unidimensional em que, paracada passo, ∆x = ±1.

Para um grande número de passos n podemos usar a aproximação de Stirling n! '√2πn(n/e)n, o que nos leva a

pn ∼1√2πn

exp

[−m2

2n

](2.1.2)

6

substituindo m = x/l e n = t/∆t, e definindo a constante D = l2/2∆t, podemos escrevera probabilidade de encontramos a partícula na posição x após o tempo t da seguinte forma:

p(x, t) ∼ 1√4πDt

exp

[−x2

4Dt

](2.1.3)

o que representa uma distribuição Gaussiana em torno da posição x0 = 0 e com variância2Dt. Assim, temos x(t) = 0 e x2(t) = 2Dt. Esta última quantidade nos dá o quadradodo deslocamento médio quadrático de uma partícula em movimento Browniano , o qual podeser medido experimentalmente:

xrms =√

2Dt

A aproximação (2.1.3) é uma solução da equação de difusão

∂p(x, t)

∂t= D

∂2p(x, t)

∂x2

em que D é chamada constante de difusão, e D = l2/2∆t é conhecida como relação deEinstein. A evolução no tempo da função densidade de probabilidade associada com a posiçãode uma partícula descrevendo um movimento Browniano , em pequenas escalas de tempo, ébem descrita pela equação de difusão. Assim, uma boa forma de sintetizar um movimentoBrowniano é fazendo uso de números aleatórios Gaussianos para se gerar os deslocamentoscorrespondentes aos intervalos de tempo unitário, da forma como é expressa em (2.1.2).

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

−4

−2

0

2

4

6

Passo

Posicao

Figura 2.4: Representação da posição de uma partícula descrevendo um movimento Browni-ano , em que os deslocamentos possuem uma distribuição Gaussiana.

Propriedades estatísticas do Movimento Browniano

Um movimento Browniano B(t) é um processo estocástico contínuo no tempo cujos incre-mentos possuem as seguintes características:

• são variáveis aleatórias independentes.

• possuem média nula.

7

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

−2

0

2

Passo

Deslocamento

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

−5

0

5

10

Passo

Posicao

Figura 2.5: Movimento Browniano, representado no segundo gráfico, obtido com a somacumulativa de variáveis Gaussianas.

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

−40

−20

0

20

40

Passo

Posicao

Figura 2.6: Gráficos de 5 realizações de movimento Browniano com 512 passos.

• são normalmente distribuídos.

A variância dos deslocamentos é dada por:

E{[B(t2)−B(t1)]2} = σ2|t2 − t1| (2.1.4)

no qual E{} denota a média. Assim, a variância é proporcional ao tempo decorrido. Estarelação é outra forma de se expressar a distribuição (2.1.3). Por isso, o movimento Brownianoé classificado como um processo Gaussiano.

A auto-similaridade estatística dos incrementos de B(t) significa que, para quaisquer t1,t2 e r > 0:

8

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

Figura 2.7: Trajetórias de 50 partículas em movimento Browniano partindo do mesmo ponto~r0 = (0, 0), como um esboço do efeito de difusão para o caso bidimensional.

B(t1 + t2)−B(t1)d=

1√r

[B(t1 + rt2)−B(t1)]

no qual d= denota que os dois termos possuem a mesma distribuição, ou seja, são estatistica-

mente indistingüíveis. Se tivermos t1 = 0 e B(t1) = 0, então

B(t)d=

1√rB(rt)

9

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

50

100

150

200

250

300

350

400

450

5000 500 1000

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

Histograma Y

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0

200

400

600

800

Histograma X

Figura 2.8: Resultado da simulação da difusão como a combinação de 10000 partículas,partindo do mesmo ponto, que seguem caminhos aleatórios de 1000 passos. À direita e abaixo,vemos os histogramas das componentes horizontal e vertical das posições das partículas,revelando distribuições gaussianas.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 40

50

100

150

200

250

300

350

σ2=1.0095

Figura 2.9: Histograma dos incrementos de um movimento Browniano com variância unitária,comparado com uma gaussiana obtida por meio de um ajuste com o método dos mínimosquadrados.

10

2.2 Movimento Browniano Fracionário

Definiremos movimento Browniano fracionário (MBF) da forma como é proposta por Man-delbrot e Van Ness [2]. Seja H um parâmetro obedecendo a 0 < H < 1, e seja B(t) ummovimento browniano ordinário, Um MBF com expoenteH é uma média móvel de incremen-tos dB(t), em que os incrementos passados de B(t) são escalonados pelo kernel (t−s)H−1/2.Conforme Mandelbrot, podemos escrever um MBF BH(t) da seguinte forma:

BH(t) =1

Γ(H + 1/2)[´ 0−∞

(|t− s|H−1/2 − |s|H−1/2

)dB(s)

+´ t0 |t− s|

H−1/2dB(s)]

em que Γ representa a função gamma Γ(a) =´∞0 xa−1e−xdx e H é chamado parâmetro

de Hurst, (também conhecido como parâmetro de Hölder), e está relacionado com a interde-pendência entre os incrementos do MBF. A variável integradora B é o movimento brownianoordinário. Esta integral segue, assim, um caminho aleatório e deve ser resolvida a partir desua definição do cálculo estocástico [3].

Pode-se fazer uma generalização da definição (2.1.4) para a inclusão de um parâmetro Hda seguinte forma:

E{|BH(t2)−BH(t1)|2} = σ2|t2 − t1|2H , 0 < H < 1 (2.2.1)

Como podemos ver, a variância dos incrementos não precisa ser uma função linear dotempo para os casos em que H 6= 1/2, como acontece no movimento Browniano comum. Noentanto, ainda estamos lidando com um processo Gaussiano.

O movimento Browniano fracionário só ganhou destaque com os trabalhos de Mandelbrot[2] nas décadas de 1960 e 1970, mas sua idéia já havia sido considerada implicitamentepor Kolmogorov em 1940. O movimento Browniano fracionário passou a encontrar, então,inúmeras aplicações nos mais diversos campos da ciência. Começando pelos modelos dedifusão até a descrição de índices da bolsa de valores, da química à sociofísica, passandopelas ciências climáticas, geofísica, econofísica e ciências da computação, o modelo revelouestar presente em muitos fenômenos naturais e sociais.

Como assinala Mandelbrot em [2], pode-se dizer que a característica básica do movimentoBrowniano fracionário é que a “extensão de interdependência” entre seus incrementos é infi-nita, ou seja, mesmo amostragens distantes entre si exibem uma interdependência.

Podemos desenvolver (2.2.1) para

E[BH(t2)BH(t1)] =σ2H2

(|t2|2H + |t1|2H − |t2 − t1|2H

)(2.2.2)

11

com

σ2H = Γ(1− 2H)cos(πH)

πHO MBF também possui propriedade de auto-afinidade. Para qualquer s > 0, pode-se

derivar

E[BH(st2)BH(st1)] = E[sHBH(t2)s

HBH(t1)]

(2.2.3)

Ou seja, BH(st) e sHBH(t) são dois processos Gaussianos com mesma média e mesmacovariância. Logo, podemos afirmar que

BH(t)d=BH(st)

sH

Convenciona-se dizer que os incrementos de BH são estatisticamente auto-similares como parâmetro H . Pode-se generalizar isso para incrementos a partir de qualquer tempo t, nosentido de

BH(t1 + t2)−BH(t1)d=

1

sH[BH(t1 + st2)−BH(t1)]

O MBF é o único processo Gaussiano, auto-similar e com incrementos estacionários co-nhecido.

Existe uma interpretação interessante para o expoente H : para 1/2 < H < 1, os incre-mentos possuem correlação positiva, ou seja, ocorre uma persistência de movimento; para0 < H < 1/2, ocorre o contrário, uma correlação negativa, ou antipersistência, entre osincrementos. O caso H = 1/2 já é conhecido: trata-se do movimento Browniano ordiná-rio, cujos incrementos não têm correlação alguma entre si. A conduta do MBF conforme oexpoente H é ilustrada na figura (2.10).

Densidade Espectral de Potência do Movimento Browniano Fracionário

Um MBF BH não é um processo estacionário. Assim, não é possível, a priori, definir umaespectro de potência para ele. No entanto, podemos, por ora, trabalhar com seus incrementos,mostrando que eles são estacionários.1

Seja

IH,d(t) = BH(t)−BH(t− d)

um incremento de BH . O processo definido por IH,d(t) também é um MBF. Logo, podemosaplicar (2.2.2) para obter:

1Para uma definição da densidade espectral de potência, ver apêndice A.

12

−4

−2

0

2

4

H = 0.1

−5

0

5

H = 0.3

−5

0

5

H = 0.5

−5

0

5

H = 0.7

0 50 100 150 200 250

−20

0

20

H = 0.9

Figura 2.10: Movimentos Brownianos fracionários com respectivos expoentes de Hurst.

E[IH,d(t)IH,d(t− τ)] =σ2

2

(|τ − d|2H + |τ + d|2H − 2|τ |2H

)= CIH,d(τ) (2.2.4)

Ou seja, a autocovariância dos incrementos de BH é função apenas de τ . Então, concluí-mos que IH,d(t) é estacionário, e podemos calcular seu espectro de potência, o qual, pelarelação de Wiener-Khintchin (6), corresponde à transformada de Fourier de CIH,d(τ).

Para uma distribuição f(τ) = |τ |2H , pode-se verificar f(ω) = −λH |ω|−(2H+1), com

λH =√

2πΓ(2H+1)sen(Hπ) > 0, para 0 < H < 1[4]. Assim, derivamos a transformada de

(2.2.4), empregando a propriedade de translação da transformada de Fourier, F [f(t− u)] =

e−iuωf(ω), para os |τ + d|2H , obtendo-se:

CIH,d(ω) =σ2

2

(−λH |ω|−(2H+1)

e−idω − λH |ω|−(2H+1)eidω − 2λH |ω|−(2H+1)

)= −

σ2

2λH |ω|−(2H+1) (

e−idω + eidω − 2)

= −σ2

2λH |ω|−(2H+1)

(2 cos dω − 2)

= σ2λH |ω|−(2H+1)(1− cos dω)

13

usando a relação trigonométrica cos b = cos(b2 + b

2

)= cos2 b

2 − sen2 b2 , temos:

CIH,d(ω) = −σ2λH |ω|−(2H+1)

(1− cos2

dω

2+ sen2

dω

2

)

= σ2λH |ω|−(2H+1)

(sen2

dω

2+ sen2

dω

2

)= 2σ2λH |ω|−(2H+1) sen2 dω2

Se representarmos o incremento por uma convolução na forma:

IH,d(t) = BH(t)−BH(t− d) = BH ∗ gd(t)

no qual gd = δ(t) − δ(t − d), pode-se verificar|gd(ω)|2 =4√

2πsen2

dω

2(ver apêndice C).

Assim, podemos escrever CIH,d(ω) da seguinte forma:

CIH,d(ω) =σ2H

|ω|(2H+1)|gd(ω)|

2

(2.2.5)

para σ2H =

√2π

2σ2λH

Costuma-se definir um espectro de potência “generalizado” para BH . Seja x(t) um pro-cesso estacionário, então a convolução y(t) = x ∗ g(t) também é estacionária e os espectrosde potências de ambos os processos são relacionados por:

Cx(ω) =Cy(ω)

|gd(ω)|2(2.2.6)

A expressão (2.2.5) nos mostra que IH,d(t) = BH ∗ gd(t) é estacionário, diferentementede BH . Com esta expressão, definimos um espectro de potência “generalizado”, da mesmaforma que a equação anterior:

CBH (ω) =CIH,d(ω)

|gd(ω)|2(2.2.7)

⇒ CBH (ω) =σ2H

|ω|2H+1(2.2.8)

O MBF é incluído na classe dos chamados ruídos 1/f , que se referem a processos com umadensidade espectral da forma S(f) ∝ 1/fα. A partir da expressão 2.2.8, podemos ver que épossível estimar o parâmetro H associado a um MBF a partir do estudo do comportamentodo seu espectro de potência:

log CBH (ω) = logσ2H

|ω|2H+1

14

log CBH (ω) = logσ2H

|ω|2H+1

= log σ2H − log |ω|2H+1

= log σ2H − (2H + 1) log |ω|

Sendo assim, se traçarmos o gráfico de log CBH versus log |ω|, podemos fazer um ajustecom uma reta cujo coeficiente angular corresponde a 2H + 1, o que pode ser usado comouma técnica alternativa de estimativa do parâmetro H .

Métodos para estimativa do parâmetro H de uma série MBF

Iremos apresentar os seguintes métodos para estimar o parâmetro de auto-similaridade emsinais com dependência de longo alcance como o movimento Browniano fracionário:

• Método DFA;

• Método do periodograma;

• Método do periodograma em caixas.

os quais serão usados no capítulo 4 como uma etapa do processo de teste da confiabilidadedas superfícies brownianas fracionárias anisotrópicas geradas com o método das curvelets.

Método DFA

Este método é baseado na “Detrended Fluctuation Analysis” [44], e foi criado com o intuitode analisar o caminho formado por uma sequência de nucleotídeos do DNA de uma bactéria. Seja uma série xi de tamanho N pontos. Podemos dividir o procedimento DFA aplicado aesta série em quatro etapas:

1. Primeiramente, construímos uma nova série X também com N pontos correspondendoà soma parcial dos elementos de x:

Xi =i∑

j=1

(xj − 〈x〉)

em que 〈x〉é a média sobre todos os elementos de x.

2. Divide-se a sérieX emN/n blocos de tamanho n [51]. Em cada bloco k, é calculada umatendência local Xfit, que é definida como o resultado de um ajuste com o método dosmínimos quadrados. A partir deste procedimento, calculamos os resíduos da regressãoem cada bloco, subtraindo-se a tendência local dos valores da série X :

Yi = Xi −Xfit(i)

15

3. Calculam-se, então, o erro quadrático médio dos resíduos de cada bloco:

F =

√√√√ 1

N

N∑i=1

[Yi]2

4. Repetimos o procedimento descrito com caixas de diferentes tamanhos n, obtendo umafunção F (n). A partir do gráfico log-log de F (n) versus n, analisamos a conduta deescala das flutuações. Para séries estocásticas xi com correlação de longo alcance, F (n)

se comporta a partir da seguinte lei de potência [52]:

F (n) ∼ nα (2.2.9)

permitindo obter o parâmetro α relacionado às propriedades de correlação do sinal.Pode-se relacionar α ∼ H para séries seguindo um movimento tipo MBF, como éilustrado nas figuras 2.11 e 2.12.

0 2000 4000 6000 8000 10000−10

0

10

20

MBF H = 0.3, metodo de sıntese: wavelet

100

101

102

103

104

100

n

F(n)

α = 0.30245

Figura 2.11: Análise DFA de um MBF sintetizado com parâmetro de Hurst H = 0, 3, apartir da lei de potência expressa por 2.2.9.

16

0 2000 4000 6000 8000 10000−200

−100

0

100

MBF H = 0.7, metodo de sıntese: wavelet

100

101

102

103

104

10−1

100

101

102

n

F(n)

α = 0.70149

Figura 2.12: Análise DFA de um MBF sintetizado com parâmetro de Hurst H = 0, 7, apartir da lei de potência expressa por 2.2.9.

Método do Periodograma

Este método é executado ajustando-se uma reta à densidade espectral do processo estocás-tico, que deve seguir uma lei de potência, como demonstrado anteriormente. Para processosestocásticos estacionários X , a densidade espectral pode ser dada estimada a partir do peri-odograma:

P (ω) =N−1∑

j=−(N−1)

C(j) eijω

em que C é a função de autocovariância de X , dada por

C(j) =1

N

N−|j|−1∑k=0

(Xk − X

) (Xk+|j| − X

)O parâmetro coeficiente angular da reta ajustada ao espectro de potência deve ser apro-

ximadamente igual a −2H − 1, com H sendo o parâmetro de Hurst do MBF analisado. Aestimativa do parâmetro de Hurst a partir deste método é ilustrado nas figuras 2.13 e 2.14.

17

0.5 1 1.5 2 2.5

x 105

−1

0

1

MBF gerado com H=0.2, 218

pontos

101

102

103

104

10−8

10−6

10−4

10−2

100

Espectro de Pot encia

Frequ encia

Amplitude

H estimado: 0.17109

Figura 2.13: Espectro de potência de um MBF sintético com expoente H 0,2. A partirdo coeficiente angular da reta ajustada com o método dos mínimos quadrados, foi possívelestimar o parâmetro H do sinal.

Método do Periodograma em Caixas

Este método constitui uma modificação do método do periodograma. O eixo das frequênciasé divido em caixas igualmente espaçadas na escala logarítmica, com os valores obtidos dosperiodogramas sendo calculados para cada caixa, obtendo-se uma média.

2.3 Superfície Browniana Fracionária

As superfícies brownianas fracionárias (SBF) são uma generalização do movimento brownianofracionário para o caso bidimensional. Possuem propriedades similares de auto-afinidade ecomportamento espectral. Algumas aplicações do modelo incluem[21]:

• modelos de computação gráfica para paisagens naturais [45];

• discriminação de texturas[46, 47];

• imagens de mamografia[48].

Além disso, propriedades como fractalidade e caminhos ótimos foram estudados para super-fícies com comportamento de SBF[49, 50].

18

0.5 1 1.5 2 2.5

x 105

−20

−10

0

10

MBF gerado com H=0.5, 218

pontos

101

102

103

104

10−8

10−6

10−4

10−2

100

Espectro de Pot encia

Frequ encia

Amplitude

H estimado: 0.45897

Figura 2.14: Espectro de potência de um MBF sintético com expoente H 0,5. A partirdo coeficiente angular da reta ajustada com o método dos mínimos quadrados, foi possívelestimar o parâmetro H do sinal.

Uma superfície browniana fracionária bidimensional (SBF) BH(u), u ∈ R2, com índicede Hurst H dentro da faixa de valores de 0 a 1, é definida pela função correlação

E [BH(u)BH(v)] = CH

(|u|2H + |v|2H + |u− v|2H

),∀u,v ∈ R2, (2.3.1)

onde E [·] é o operador expectância e CH é uma constante dependente deH . BH(u) não éum processo estacionário, mas seus incrementos formam um processo gaussiano estacionáriode média nula, com variância dependendo apenas da distância ∆u:

E[|BH(u + ∆u)−BH(u)|2

]∝ ∆uH .

Segue de (2.3.1) que BH é um processo auto-similar:

BH(λu)d= λHBH(u),

onde d= significa igual em distribuição, e λ > 0 é uma constante. Pode ser provado que

BH tem uma densidade espectral média na forma:

S (ξ) ∝ |ξ|−2H−2 (2.3.2)

19

onde ξ = (ξ1, ξ2) são as coordenadas de frequência no domínio de Fourier. Assim, po-demos usar esta propriedade para um método simples de síntese de superfícies brownianasfracionárias; basta gerar uma função bidimensional no espaço de Fourier conforme 2.3.2. Al-gumas superfícies geradas com este método espectral são mostradas nas figuras 2.15, 2.16 e2.17.

Figura 2.15: Exemplo de superfície Browniana Fracionária Isotrópica (512 x 512 pontos) comexpoente de Hurst 0,5 (sem correlação para os incrementos), gerada com o método espectral,conforme a equação 2.3.2.

2.4 Superfície Browniana Fracionária Anisotrópica

Como proposto em [19], superfícies anisotrópicas com incrementos estacionários podem serdefinidos a partir de densidades espectrais dependentes de orientação na forma:

S (ξ) ∝ |ξ|−2Hθ−2

onde o índice Hurst Hθ agora depende da direção de ξ, definida pelo índice θ.Consideramos H um parâmetro relacionado à rugosidade e regularidade da superfície.

Então, no caso de anisotropia, experamos que Hθ esteja relacionado às propriedades de auto-similaridade em uma dada direção. Um processo 1-D obtido pela seleção de qualquer linhareta de um SBF isotrópico BH é um MBF com índice de Hurst H . Porém, contrário aoque se podia esperar, a estimativa do índice de Hurst dependente da orientação H em umasuperfície gaussiana anisotrópica não pode ser realizada simplesmente analisando-se amostras

20

Figura 2.16: Exemplo de superfície Browniana Fracionária Isotrópica (512 x 512 pontos)com expoente de Hurst 0,1 (anticorrelação dos incrementos), gerada com o método espectral,conforme a equação 2.3.2.

Figura 2.17: Exemplo de superfície Browniana Fracionária Isotrópica (512 x 512 pontos) comexpoente de Hurst 0,9 (correlação positiva dos incrementos), gerada com o método espectral,, conforme a equação 2.3.2.

21

de linhas da superfície, como no caso isotrópico, uma vez que a regularidade ao longo de umalinha não parece ser dependente da direção. Para medir a dependência da anisotropia doexpoente de Hurst Hθ, Bonami e Strade [19] desenvolveram um procedimento, o Método daMédia Direcional (DAM), que consiste em computar a média sobre todas as linhas ortogonaisa θ. O processo 1-D resultante, um movimento browniano fracionário (MBF), terá um índicede Hurst igual a Hθ + 1/2 (de fato, isto foi provado para o expoente crítico de Hölder,que por sua vez corresponde ao índice de Hurst em caminhos de MBF [22]). Nós usaremosuma versão modificada deste procedimento mais adiante para testar a acuracidade de nossométodo de síntese baseado em curvelets.

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

Distrib. H(θ) = 0 , 1 + |sen(θ)|

Figura 2.18: Exemplo de superfície Browniana Fracionária Anisotrópica (1024 x 1024 pontos),gerada com o método espectral, com a respectiva distribuição dos parâmetrosH dada ao lado.

22

Figura 2.19: Espectro de Potência da Superfície Browniana Fracionária Anisotrópicamostrada na figura 2.18.

100

101

102

103

10−2

100

102

104

106

108

1010

Espectro de Pot encia - Perfil horizontal

Frequ encia

Amplitude

H estimado: 0.0815

Figure 2.20: Perfil horizontal do espectro de potência do SBFA sintético da figura 2.18.Pode-se constatar que o parâmetro de Hurst H = 0, 1 usado na direção horizontal na sínteseespectral do SBFA foi aproximadamente recuperado.

23

100

101

102

103

10−4

10−2

100

102

104

106

108

1010

Espectro de Pot encia - Perfil vertical

Frequ encia

Amplitude

H estimado: 0.94347

Figure 2.21: Perfil vertical do espectro de potência do SBFA sintético da figura 2.18. Pode-seconstatar que o parâmetro de Hurst H = 0, 9 usado na direção vertical na síntese espectraldo SBFA foi aproximadamente recuperado.

24

Capítulo 3

Ferramentas para análise em posição, número deonda e direção

3.1 Espaço das Freqüências

Fourier demonstrou no trabalho “Théorie analytique de la chaleur ” em 1807 que funções pe-riódicas podem ser representadas como uma série de funções seno e cosseno. As componentesmais presentes nesta combinação de sinusóides forneceriam informações sobre as componentesde frequência mais presentes no sinal. A partir desta ideia simples, o formalismo de Fourierpassou a ser ter inúmeras aplicações nos mais diversos campos da Ciência. Na matemática,por exemplo, é extremamente útil para a solução de equações diferenciais em um conjuntoamplo de problemas. Na Física, está intimamente ligada ao princípio da incerteza da me-cânica quântica. Na Química, é usada em todo tipo de espectroscopia. Na Engenharia, éextensivamente aplicada para o processamento de sinais e imagens.

Usaremos a seguinte definição para a transformada de Fourier:

f(ω) =1√

2π

ˆ ∞−∞

f(t)e−iωtdt (3.1.1)

Em que f(t) representa o sinal a ser analisado. Ao resultado f(ω) da aplicação destatransformada a um sinal chamamos de espectro de frequências, ou simplesmente espectro.Passamos, então, do espaço real para o espaço das frequências. A função f(t) pode serreconstruída a partir do espaço das frequências:

f(t) =1√

2π

ˆ ∞−∞

f(ω)eiωtdt

Esta ferramenta logo mostrou-se insuficiente para a caracterização de séries típicas obtidaspor amostragem de sinais analógicos. Isto aconteceu porque a maioria dos dados representa-tivos de problemas em Física e Engenharia não são estacionários no tempo, isto é, caracte-rísticas como freqüência podem variar, tal como as notas de uma melodia ao longo de toda

25

uma partitura. A transformação de Fourier só fornece informações globais, ou seja, sobretodo o conjunto de dados considerados. Com ela, não podemos, por exemplo, diferenciar aprimeira metade de um sinal da segunda.

Conforme estajamos trabalhando com tempo ou posição, podemos interpretar o parâmetroω como a frequência ou o número de onda, respectivamente. Neste trabalho, estaremostrabalhando principalmente no domínio espacial.

3.2 Transformada em Ondaletas

Em 1910, o matemático húngaro Alfred Haar introduziu, em sua tese, um sistema de decom-posição de funções em uma base de funções descontínuas e localizadas no espaço (ou tempo).O novo conceito não causou grande impressão, sendo visto apenas como uma curiosidadematemática durante um bom tempo.

No começo da década de 1980, o geofísico francês Jean Morlet, lidando com problemasde sísmica, criou funções bem localizadas no tempo e freqüência, que, ao serem dilatadase transladadas, formavam uma base capaz de representar funções de energia finita. Morletbatizou a função localizada com o termo francês ondelette, que significa pequena onda. NoBrasil, elas são batizadas de ondaletas1, termo que será usado neste trabalho, embora o termoda língua inglesa, wavelets, seja mais conhecido, mesmo em nosso país.

A decomposição em escalas e espaço é realizada pela transformada em ondaletas contínua(CWT). Sejam funções f(x) pertencentes ao espaço das funções de quadrado integrável, atransformada em ondaletas contínua de f é definida como:

Wf(s, a) = 〈f, ψs,a〉 =

ˆ ∞−∞

f(x)ψs,a(x)dx

em que

ψs,a(x) =1√sψ

(x− as

)é a função ondaleta com escala s na posição a. A função ψ ∈ L2(R), chamada de ondaleta

mãe, é escolhida de forma que satisfaça as condiçõesˆ ∞−∞

ψ(x)dx = 0

ˆ ∞−∞|ψ(x)|2 dx = 1

as quais asseguram que ψ seja uma função ondulante com suporte compacto e energiafinita. Assim, podemos dilatar (ou contrair) ψ(x) para gerar a forma normalizada, que gerauma família de átomos de espaço-escala ψs,a(x).

1Alguns usam o galicismo “ondaleta”, derivado diretamente de ondelette. Em Portugal, prefere-se o termo “ôndula”.

26

A ondaleta de Morlet é obtida localizando-se uma onda plana por meio de uma funçãoGaussiana, que exerce a função de janela. O resultado é um pacote de ondas, representadopor uma função complexa:

ψ(x) = π−1/4eiω0xe−x2/2

−5 0 5−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Wavelet de Morlet

RealImaginaria

Figura 3.1: Partes real e imaginária da ondaleta de Morlet.

A transformada Wf(s, a) representa a projeção de f(x) na “base de vetores” ψs,a quetem posição a e escala s. Qualquer sinal f de energia finita pode ser decomposta nesta base:

f =∞∑

j=−∞

∞∑k=−∞

〈f, ψj,k〉ψj,k

em que 〈a, b〉 representa o produto interno entre a e b.

Transformada Contínua em Ondaletas

A transformada em ondaletas de f ∈ L2(R) na escala contínua s e p osição a pode serdefinida como um produto escalar:

Wf(s, a) = 〈f, ψs,a〉 (3.2.1)

⇒ Wf(u, a) =

ˆ ∞−∞

f(x)1√sψ∗(x− as

)dx

no qual ψ∗ designa o complexo conjugado de ψ.Esta transformada pode ser escrita ainda como uma convolução:

27

Wf(s, a) = f ∗ ψs(s, a) (3.2.2)

em que ψs(x) é definida no espaço de Fourier por

ψs(ω) =√sψ∗(sω) (3.2.3)

Figura 3.2: Exemplo de transformada contínua em ondaletas aplicada a um sinal estocástico.A ondaleta aplicada é o “chapéu mexicano”. Os tons mais escuros correspondem aos valoresnegativos, e os tons mais claros correspondem aos valores positivos. Exemplo feito com oauxílio do Wavelab.

O sinal f pode ser reconstruído por meio de:

f(x) =1

cψ

ˆ ∞0

ˆ ∞−∞

Wf(s, a)ψs,a(x)dads

s2(3.2.4)

Em que cψ é uma constante que depende da ondaleta usada. Ou seja, temos de conhecer oscoeficientes gerados porWf(s, a) em todas as escalas. Se apenas tivermos informação sobreWf(s, a) nas escalas s < s0, faz-se necessário introduzir uma função-escala, denotada porφ, normalizada (‖φ‖=1), que representa a soma de todas as ondaletas nas escalas maioresque 1: Seu módulo é definido por:∣∣∣φ(ω)

∣∣∣2 =

ˆ ∞1

∣∣∣ψ(sω)∣∣∣2 dss

(3.2.5)

28

A aproximação de um sinal f em uma escala s pode ser escrita como:

Lf(s, a) = 〈f(t), φs,u(t)〉 (3.2.6)

com

φu,a(x) =1√sφ

(x− as

)Lf(s, a) pode ser interpretado como uma operação de um filtro passa-baixo em f . Um

sinal pode ser recuperado combinando-se suas decomposições em ondaletas até uma escalas0, e uma decomposição em função-escala em s0:

f(x) =1

cψ

ˆ s0

0

Wf(s, ·) ∗ ψs(x)ds

s2+

1

cψs0Lf(s0, ·) ∗ φs0(x) (3.2.7)

em que “·” indica a variável sobre a qual a convolução é calculada.

Transformada Discreta em Ondaletas

A transformada contínua em ondaletas supõe, obviamente, um espaço de escalas contínuo.Como mostra a expressão (3.2.7), podemos reconstruir completamente um sinal partindo desua representação no espaço das ondaletas. No entanto, a nossa intuição sugere que deve haveralgum tipo de redundância nesta representação, já que estamos guardando a informação deum sinal unidimensional em uma estrutura de espaço-escala bidimensional, uma “imagem”,como ilustra a figura 3.2. Deve ser possível construir uma base que represente, de formaestável e completa, um sinal, eliminando a redundância. O ramo da matemática que objetivaa construção dessas bases é chamado de teoria dos frames , ou “arcabouços”, um conceitocriado por Duffin e Schaeffer para o estudo de representações eficientes de conjuntos de sinais[39] (ver apêndice D).

Trataremos exclusivamente de sinais discretos para uma melhor explanação das idéiasdesta seção. A construção de uma base para um sinal pode ser vista com um procedimentode “compressão”, e podemos inferir uma característica básica a ser buscada:

“Se o sinal consiste de N valores reais, sua representação na base também deve consistirde N valores reais.”

Sendo assim, devemos procurar uma família discreta de ondaletas para as quais seja precisouma mesma quantidade de coeficientes gerados pelo produto interno, e de valores extraídosdo sinal original. Além disso, precisamos recobrir todo o espaço de tempo-freqüência(ouposição-número de onda) com os átomos (ou caixas de Heisenberg) da família discreta. Umaprimeira tentativa seria discretizar a escala e a posição da ondaleta. No entanto, Mallat [33]demonstra que, para se construir uma representação de ondaletas invariante sob translação,podemos discretizar a escala, mas não o parâmetro de posição. A invariância sob translação

29

é um requisito fundamental para o desenvolvimento de representações de sinais baseados empadrões.

Mallat e Zhong [15] apresentaram uma transformada em ondaletas para a qual a escala éamostrada ao longo de uma seqüência diádica

{2j}j∈Z. Nesta abordagem, para as funções-

escala e ondaletas, devem existir um conjunto de coeficientes uk e vk tal que:

φ(x

2

)=√

2∑k∈Z

ukφ (x− k)

ψ(x

2

)=√

2∑k∈Z

vkψ (x− k) (3.2.8)

Uma função f ∈ L2(R) pode ser expandida da seguinte forma:

f(x) =∞∑

j=−∞

∞∑k=−∞

dj,kψj,k(x)

Ou seja, temos uma combinação linear em todas as escalas e posições de ondaletas modi-ficadas de uma forma diádica:

ψj,k(x) = 2−j2ψ(2−jx− k)

no qual o termo j é responsável pelo escalonamento e k pela translação de ψ. Assim, oscoeficientes dj,k podem ser obtidos com uma simples projeção:

dj,k = 〈f(x), ψj,k(x)〉

A amostragem diádica das escalas permite a simplificação de cálculos numéricos e a im-plementação de um rápido algoritmo para a geração dos coeficientes da transformada. Atransformada em ondaletas diádica rápida é implementada por meio de bancos de filtros. Umbanco de filtros é um conjunto de filtros passa-faixa que decompõe o sinal de entrada emvários componentes, cada um deles carregando uma subfaixa de freqüência (ou número deonda) do sinal original. Este procedimento é conhecido como algoritmo piramidal para atransformada discreta em ondaletas.

Para qualquer j ≥ 0, definimos os coeficientes de aproximação na forma discreta por

aj[n] = 〈f(t), φ2j(x− n)〉 (3.2.9)

com a função de escala

φ2j(x) =1√2jφ( x

2j

)

30

Os φ2j(x − n) formam uma base para um conjunto de sinais a uma dada resolução. Osdados discretos são representados por a0[n], que nada mais são do que amostras de médiaslocais de f(t) com pesos φ(x− n).

Definimos os coeficientes de detalhe por

dj[n] = 〈f(t), ψ2j(x− n)〉 (3.2.10)

que possuirão tão somente a informação necessária sobre a diferença entre duas aproximaçõesdo sinal em escalas sucessivas. Os coeficientes aj[n] e dj[n] podem ser obtidos por meio daseqüência {aj−1[n], k ∈ Z} na resolução mais fina j−1. Podemos construir as funções-escalapor meio de filtros discretos chamados filtros de conjugado espelhado, na forma:

1√2φ(x

2

)=

∞∑n=−∞

h[n]φ(x− n)

com o filtro h definido por

h[n] =

⟨1√2φ(x

2

), φ(x− n)

⟩Ou seja, h[n] é o produto interno da função-escala φ por uma versão dela mesma dilatada

com fator 2−1. Uma família de ondaletas também pode ser gerada usando-se filtros:

1√2ψ(x

2

)=

∞∑n=−∞

g[n]φ(t− n)

com o filtro de conjugado espelhado g definido por

g[n] =

⟨1√2ψ(x

2

), φ(x− n)

⟩Assim, h e g são os filtros por meio dos quais φ e ψ podem ser construídos. Os coeficientes

da transformada em ondaletas diádica rápida são calculados por:

aj+1[n] =∞∑

m=−∞h[m− 2n]aj[m] (3.2.11)

dj+1[n] =∞∑

m=−∞g[m− 2n]aj[m] (3.2.12)

Assim, h age como um filtro passa-baixa e g como um passa-alta. A divisão pela me-tade das informações sobre as frequências (ou números de onda) permite realizar uma sub-amostragem de 2 sem perda de informação, como é feita nas próprias equações; a quantidadede pontos de aj+1 e dj+1 corresponde à metade da quantidade de pontos de aj . Logo, uma

31

Figura 3.3: Exemplo de transformada em ondaletas discreta de um sinal estocástico. Oprimeiro gráfico corresponde ao sinal original, o segundo representa os coeficientes de aproxi-mação obtidos após extrair-se os coeficientes de detalhe mostrados abaixo, desde os de escalamais grossa até os de escala mais fina.

aproximação aj do sinal na escala j é decomposta em uma aproximação menos detalhadaaj+1 e um detalhe dj+1. Basta iterar recursivamente o procedimento descrito por (3.2.11)e (3.2.12) para gerarmos todos os coeficientes até a escala desejada, e chegaremos a umarepresentação do sinal original como uma combinação de uma aproximação a uma escalamenos detalhada aj+n e uma seqüência de detalhes desde a escala j + n até a escala maisfina possível pela discretização.

Obtemos então os detalhes dj dos coeficientes de aproximação aj−1, por meio de convolu-ções discretas envolvendo aproximações do sinal, e não o sinal original. Só precisamos lidarcom o sinal original no cálculo do primeiro coeficiente de aproximação a0, usando o produtointerno:

a0[n] = 〈f(x), φ(x− n)〉

Por isso, este algoritmo possui um custo computacional que cresce apenas linearmentecom o número de pontos do sinal original.

32

A reconstrução do sinal original é realizada por meio de

aj[n] =∞∑

m=−∞h[n− 2m]aj+1[m] +

∞∑m=−∞

g[n− 2m]dj+1[m] (3.2.13)

Pode-se também reconstruir sinais a partir dos próprios detalhes e aproximações, cadaum com o mesmo número de pontos do sinal original, gerando assim uma representaçãoredundante, na qual a soma de todos os detalhes reconstruídos com a aproximação final gerao próprio sinal. O processo para gerar cada detalhe e aproximação é realizado simplesmentesubstituindo-se os coeficientes de detalhe ou de aproximação por vetores nulos, conforme sequeira gerar uma aproximação ou um detalhe no mesmo nível.

Figura 3.4: Exemplo de reconstrução de aproximações e detalhes de um sinal estocástico. Oprimeiro gráfico corresponde ao sinal original, o segundo representa a reconstrução do sinala partir dos coeficientes de aproximação obtidos após extrair-se os três níveis coeficientes dedetalhe. Os três últimos gráficos mostram o resultado da reconstrução a partir dos três níveisde coeficientes de detalhe, desde os de escala mais grossa até os de escala mais fina. Observeque todos os sinais reconstruídos possuem o mesmo número de pontos.

Para se trabalhar com essa transformada discreta, é preciso usar famílias especiais de

33

ondaletas, apropriadas para a construção de filtros discretos como os descritos acima. Amais famosa dessas famílias são as ondaletas de Daubechies, criadas em 1988, que são aspreferidas em bancos de filtros, por possuírem um máximo número de momentos nulos paraum dado suporte. A ondaleta de Haar é um caso especial das ondaletas de Daubechies,com 1 momento nulo, o que permite subtrair polinômios de apenas um coeficiente. Existemondaletas ortogonais de Daubechies até 20 momentos. Para as aplicações de análise discretado último capítulo, utilizaremos essa família tendo em vista o grau de irregularidade dossinais tratados.

Propriedades estatísticas dos coeficientes de ondaletas de processos auto-similarescom dependência de longo alcance

A análise em ondaletas de processos auto-similares com auto-dependência de longo alcance[16], como é o caso do MBF, nos leva a coeficientes de detalhe com as mesmas característicasde auto-similaridade e auto-dependência. Expressamos, rapidamente, nesta seção, as princi-pais propriedades estatísticas destes coeficientes gerados, como exposto em [16], e o porquê,à luz da análise em multiescala, deste fenômeno ocorrer com processos do tipo. A ondaletasusadas para a decomposição devem decair de uma forma suficientemente rápida.

• Se um processo X(t) for estacionário, os coeficientes de detalhe dj,k em uma escalafixa também serão estacionários. Na verdade, basta que os incrementos de X(t) sejamestacionários para que os dj,k também o sejam. Se os incrementos de ordem N foremestacionários, deve-se usar ondaletas com N momentos nulos para se obter coeficientescom esta mesma propriedade.

• Seja X(t) um processo auto-similar com parâmetro de auto-similaridade H . Para umaescala fixa j, pode ser mostrado que dj,k e 2j(H+1/2)d0,k são estatisticamente indistingüí-veis. Ou seja, a auto-similaridade é mantida para os coeficientes.

• Seja agoraX(t) um processo auto-similar com parâmetro de auto-similaridade 0 < H <

1, incrementos estacionários, média nula e variância finita, como é o caso do movimentoBrowniano fracionário. Segue, então, que:

Edj,k = 0 (3.2.14)

E[|dj,k|2

]= 2−j(2H+1)E

[|d0,0|2

](3.2.15)

Aplicando o logaritmo na base 2 aos dois lados de (3.2.15), obtemos:

log2 E[|dj,k|2

]= −j(2H + 1) + log2 E

[|d0,0|2

](3.2.16)

ou seja, os logaritmos das variâncias dos coeficientes de detalhes, em cada escala j,formam uma função linear de j, cuja inclinação é dada por (2H + 1). Isto nos fornece

34

uma ferramenta para a estimativa do parâmetro H baseada em um análise de ondaletas.Pode-se concluir, com isto, que o fenômeno de invariância de escala de processos comoo MBF se reproduz no espaço das ondaletas.

• A auto-covariância dos coeficientes de detalhe gerados de processos auto-similares e comincrementos estacionários decresce rapidamente, se forem usadas ondaletas com um nú-mero N de momentos nulos suficientemente largo:

E [dj,k1, dj,k2] ≤ C |k1 − k2|2(H−N)

no qual a constante C depende apenas de j. Vemos, então, que os coeficientes aindaapresentam uma correlação de pequeno alcance, que pode ser minimizada com a escolhada ondaleta apropriada. Se desejarmos evitar correlações de longo alcance nos coefici-entes dj,k, devemos escolher uma ondaleta com no mínimo 2 momentos nulos. Aliadoà permanência da estacionariedade e da auto-similaridade nos coeficientes, obtemos umespaço no qual as características fractais de processos como o MBF podem ser estudadoscom as facilidades do tratamento em multirresolução.

Determinação do Expoente de Hurst por meio da Variância dos Coeficientes deDetalhe

A expressão (3.2.16) mostra que a variância dos coeficientes de detalhe de processos do tipoMBF segue uma progressão de lei de potência ao longo das escalas

{2j}. Traçando o gráfico

do logaritmo das variâncias dos coeficientes de ondaletas do sinal em cada escala (gráfico delogaritmo de escala):

sj = log2 E[|dj,k|2

]versus a escala j, obteremos uma espécie de “impressão digital” do processo analizado. Seos pontos obtidos se aproximarem de uma reta, a sua inclinação será uma boa forma de sechegar ao valor de H , para o caso de um MBF. Um processo de regressão linear deve, então,fazer parte do algoritmo.

Nas figuras 3.5, 3.6 e 3.7 traçamos o gráfico de sj com uma ondaleta de Daubechies de8 momentos para MBFs sintetizados por meio do algoritmo piramidal de Abry e Sellan [17].Observamos que os pontos gerados se aproximam de uma linha reta, com uma inclinação quecaracteriza um MBF com expoentes H próximos dos gerados.

35

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

−0.05

0

0.05

MBF gerado com H=0.2, metodo espectral

1 2 3 4 5 6 7 8 9−20

−15

−10

−5

0

Escala

log2σ2

Grafico de logaritmo de escala

log2σ2 coef. de ondaletas db8

Fit. H estimado = 0.19247

Figura 3.5: Gráfico de logaritmo de escala de um MBF com expoente H = 0, 2, sintetizadopelo método espectral. A partir do coeficiente angular da reta ajustada, pelo método dosmínimos quadrados, ao logaritmo das variâncias dos coeficientes de ondaletas do sinal paracada escala, foi possível estimar o parâmetro H do sinal.

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

−5

0

5

10

15x 10

−3 MBF gerado com H=0.5, metodo espectral

1 2 3 4 5 6 7 8 9−25

−20

−15

−10

−5

Escala

log2σ2





36

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

2

4

6

x 10−3 MBF gerado com H=0.8, metodo espectral

1 2 3 4 5 6 7 8 9−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

Escala

log2σ2





Transformada em Ondaletas Bidimensional

Definiremos as ondaletas bidimensionais como funções com escalonamento e translação, deforma análoga ao caso unidimensional:

ψij,k(x) = 2jψi(2jx− k)

e as funções de escala bidimensionais:

φj,k(x) = 2jφ(2jx− k)

em que nos quais j e k = (k1, k2) ∈ Z2 são os índices associados com a escala e posição,respectivamente, e ψij,k é a ondaleta associada a uma direção i. Podemos construir ondaletas-mãe e funções de escala bidimensionais capazes de enfatizar as direções horizontal (h), vertical(v) e diagonal (d) por meio de produtos de ondaletas unidimensionais e funções de escala:

φ(x, y) = φ(x)φ(y)

ψh(x, y) = φ(x)ψ(y)

ψv(x, y) = ψ(x)φ(y)

ψd(x, y) = ψ(x)ψ(y)

37

Qualquer função f ∈ L2(R2) pode ser representada da seguinte forma:

f(u) =∑k

cj0,kφj0,k(u) +∑j>j0

∑k

∑i

dij,kψij,k(u)

com i ∈ {h, v, d}, dij,k =⟨f, ψij,k

⟩e cj,k = 〈f, φj,k〉.

A forma discreta desta transformada bidimensional é análoga ao caso unidimensional:pode ser realizada por meio de uma sequência de filtros. Para uma imagem genérica f , apóso primeiro passo da transformada, podemos representar a informação do sinal por meio dassub-matrizes: (

f1 dh1dv1 dd1

)em que f1 permite obter uma aproximação da imagem original após a retirada dos detalhesdh1 , d

v1 e dd1. Após o segundo passo, podemos representar a informação da seguinte forma: f2 dh2

dv2 dd2dh1

dv1 dd1

e assim por diante, até a escala máxima que se deseja.

Análise em Ondaletas de uma Superfície Browniana Fracionária

A decomposição de uma superfície Browniana fracionária (SBF) no espaço das ondaletaspreserva a “energia” do sinal, devido às próprias características da transformada. É possívelmostrar, também, que tal decomposição preserva a auto-similaridade em escalas, tornandopossível avaliar a fractalidade de um SBF por meio desta ferramenta.

Seja uma SBF, BH(u). Os coeficientes da decomposição de BH no espaço da ondaletassão dados por

dij,k =

ˆBH(u)ψij,k (u) du

nos quais j e k = (k1, k2) ∈ Z2 são os índices associados com a escala e posição, respectiva-mente, e ψij,k é a ondaleta na direção i (horizontal, vertical ou diagonal). Estes coeficientespossuem média nula, portanto, podemos representar sua variância por ([21]):

E[∣∣∣dij,k∣∣∣2] = E

[´BH(u)ψij,k (u) du

´BH(v)ψij,k (v) dv

]= E

[˜ψij,k (u) ψij,k (v)BH(u)BH(v) du dv

]=˜ψij,k (u) ψij,k (v)E [BH(u)BH(v)] du dv

38

O valor desta variância não deve depender da direção de ψij,k se ela for horizontal ouvertical, uma vez que o SBF é isotrópico:

E[∣∣dhj,k∣∣2] = E

[∣∣dvj,k∣∣2]Devido às propriedades da transformada 2D, isto não deve valer para o caso dos coeficientes

diagonais.Pela própria definição fo SBF:

E [BH(u)BH(v)] =σ2H2

(|u|2H + |v|2H + |u− v|2H

)temos,

E[∣∣∣dij,k∣∣∣2] =

σ2H2

˜ψij,k (u) ψij,k (v) |u|2H du dv

+σ2H2

˜ψij,k (u) ψij,k (v) |v|2H du dv

+σ2H2

˜ψij,k (u) ψij,k (v) |u− v|2H du dv

=σ2H2

´ψij,k (u) |u|2H du

��

��:0´ψij,k (v) dv

+σ2H2

´ψij,k (v) |v|2H dv

��

��:0´ψij,k (u) du

+σ2H2


=σ2H2


em que o resultado das integrais é nulo devido ao caráter ondulatório das ondaletas.Façamos a substituição de variáveis

p = u− v

q = v

⇒ u = p + v = p + q

⇒ E[∣∣dij,k∣∣2] =

σ2H2

¨ψij,k (p + q) ψij,k (q) |p|2H dp dq

masψij,k(u) = 2jψik(2ju)

39

E[∣∣∣dij,k∣∣∣2] =

σ2H2

˜2jψik

(2jp + 2jq

)2jψik

(2jq)|p|2H dp dq

=σ2H2

22j˜ψik(2jp + 2jq

)ψik(2jq)|p|2H dp dq

seja a mudança de variáveis

u = 2jp v = 2jq

p = 2−ju q = 2−jv

dp = 2−jdu dq = 2−jdv

temos

E[∣∣∣dij,k∣∣∣2] =

σ2H2

2−j(2H+2)˜ψik (u + v) ψik (v) |u|2H du dv

Portanto, podemos representar a variância dos coeficientes na forma que demonstra aautosimilaridade:

E[∣∣dij,k∣∣2] =

σ2H2

2−j(2H+2)Vψik

ondeVψik =

¨ψik (u + v) ψik (v) |u|2H du dv

é uma constante que depende apenas da ondaleta escolhida.

3.3 Transformada Curvelet

A transformada em curvelets é uma análise multiescala recente desenvolvida por Candès eDonoho [29]. Com ela, podemos decompor um sinal com 2 ou mais dimensões em compo-nentes relacionados à escala, posição e orientação dos elementos presentes. Isto é realizadopor meio da seleção, no espaço das frequências, de regiões limitadas com o uso das chama-das funções janela. O suporte dessas funções-janela permite focarmos a análise do sinal nosparâmetros desejados.

Funções-janela

Devemos usar funções-janela que permitam focalizar com relação à escala (número de ondaou frequência), localização e orientação e permitam construir uma base para um espaçodeterminado por estes três parâmetros. Definiremos o par de funções W e V como sendoas “janela radial” e “janela angular”, respectivamente. Elas devem obedecer às condições denormalização: ˆ 1

−1V 2(t)dt = 1

40

Figura 3.8: Gráfico da função-janela angular V (t), como definida em 3.3.1.

ˆ ∞0

W 2(r)dr

r= ln 2

Como exemplo simples, usaremos as janelas escalonadas de Meyer [28]:

V (t) =

1 |t| ≤ 1

3

cos[π2 (3 |t| − 1)

]13 < |t| ≤

23

0 demais casos

(3.3.1)

W (r) =

cos[π2 (5− 6r)

]23 ≤ r ≤ 5

6

1 56 < r ≤ 4

3

cos[π2 (3r − 4)

]43 < r ≤ 5

3

0 demais casos

(3.3.2)

as quais são mostradas nas figuras 3.8e 3.9. Essas duas janelas são suaves, não-negativas ede valor real, com W recebendo argumentos reais positivos. W e V restringem o suporte φja uma “cunha” polar que é simétrica com respeito a zero.

Uma curvelet na escala 2−j é um objeto orientado cujo suporte é um retângulo de largura2−j e comprimento 2−j/2 que obedece a relação de escala parabólica largura ≈ comprimento2

[41]. As curvelets são descrita por um índice triplo j (escala), l (orienta’ção) e k (localizaçãoespacial). As curvelets básica são obtidas por rotação e translação de funções-base específicasφj ∈ L2(R2), chamadas curvelet-mãe, que dependem apenas do índice de escala j e sãodefinidas no domínio de Fourier pela função janela [29]:

φj(r, ω) = 2−3j/4W(2−jr

)V

(2bj/2cω

2π

), (3.3.3)

41

Figura 3.9: Gráfico da função-janela radial W (r), como definida em 3.3.2.

Figura 3.10: Representação de uma janela φj(r, ω), como definida em 3.3.3.

onde usamos as coordenadas polares (r, ω) no domínio de Fourier, e bj/2c é a parte inteirade j/2. Para o caso das definições das janelas angular 3.3.1 e radial 3.3.2, obtém-se:

φj(r, ω) = a3/4

1 3∣∣∣ ω√a∣∣∣ ≤ 1

sen(32π∣∣∣ ω√a∣∣∣) 1

3 <∣∣∣ ω√a∣∣∣ ≤ 2

3

sen (3aπr) 2

3 ≤ ar ≤ 56

1 56 < ar ≤ 4

3

cos(3aπr2

)43 < ar ≤ 5

3

Definamos a janela uj,l = φj

(Rθj,lξ

), onde ξ ∈ R2 contém as coordenadas no domínio

42

de Fourier e Rθj,l é a matriz de rotação por θj,l radianos:

Rθ =

(cos θ senθ−senθ cos θ

)A família de curvelets φj,l,k é definida no espaço de Fourier como:

φj,l,k = uj,lei〈bj,lk ,ξ〉,

na escala 2−j , orientação θj,l, e posição bj,lk = R−1θj,l(2

−jk1, 2−j/2k2), onde k = (k1, k2) ∈ Z2.

As funções no espaço real φj,l,k formam as curvelets.A transformada curvelet de uma função f ∈ L2(R2) é dada pela convolução:

cj,l,k = 〈f, φj,l,k〉 =

ˆR2

f(x)φj,l,k(x)dx. (3.3.4)

Em que os coeficientes cj,l,k são interpretados como a decomposição de f em uma base defunções curvelet φj,l,k [40].

43

Scale 2, spatial viewpoint

50 100150200250

50

100

150

200

250


50 100150200250

50

100

150

200

250


50 100150200250

50

100

150

200

250

Scale 2, frequency viewpoint

50 100150200250

50

100

150

200

250


50 100150200250

50

100

150

200

250


50 100150200250

50

100

150

200

250

Figura 3.11: Representação de curvelets em 3 escalas, no espaço real e das frequências.

A versão discreta desta transformada é realizada pela escolha de um ladrilhamento dis-creto no domínio de Fourier com suporte pseudo-polar para as funções-janela uj,l, que sãomais adaptadas para grades cartesianas [41]. A figura 3.13 mostra um exemplo de tal ladri-lhamento discrete de curvelet, com cada “cunha” sendo referenciada por sua função-janelacorrespondente uj,l. A transformada curvelet discreta consiste, de forma grosseira, em obterprodutos internos no domínio de Fourier, uma vez que, baseado no Teorema de Plancherel,temos cj,l,k = 〈f, φj,l,k〉 =

⟨f , φj,l,k

⟩. Portanto, podemos recuperar o sinal original por

meio da fórmula de reconstrução

f =∑j,l,k

cj,l,kφj,l,k. (3.3.5)

44

−50 0 50

−50

0

50

N = 4

−50 0 50

−50

0

50

N = 8

−50 0 50

−50

0

50

N = 16

Figura 3.12: Ladrilhamento no espaço da frequência para os átomos de posição, frequência eorientação do espaço das curvelets conforme o número de ângulos desejado.

45

u4,12

u4,13

u4,5

u4,20

u4,29

u4,28

u4,4

u4,21

u4,11

u4,14

u4,6

u4,19

u4,30

u4,27

u4,3

u4,22

u4,10

u4,15

u4,7

u4,18

u4,31

u4,26

u4,2

u4,23

u4,9

u4,16

u4,8

u4,17

u4,32

u4,25

u4,1

u4,24

u3,12

u3,13

u3,5

u3,20

u3,29

u3,28

u3,4

u3,21

u3,11

u3,14

u3,6

u3,19

u3,30

u3,27

u3,3

u3,22

u3,10

u3,15

u3,7

u3,18

u3,31

u3,26

u3,2

u3,23

u3,9

u3,16

u3,8

u3,17

u3,32

u3,25

u3,1

u3,24

u2,6

u2,7

u2,3

u2,10

u2,15

u2,14

u2,2

u2,11

u2,5

u2,8

u2,4

u2,9

u2,16

u2,13

u2,1

u2,12

u1,1

Figura 3.13: Um ladrilhamento discreto básico com as 4 primeiras escalas no domínio deFourier. Cada uj,l representa uma função-janela na esala 2−j e orientação θj,l. Como exem-plo, um suporte para a janela u3,10 é marcada com cinza.

Decomposição curvelet de funções ondulatórias

Como demonstração da boa adaptação das curvelet a funções de caráter ondulatório, aplica-remos a transformada curvelet à seguinte função espacial, uma combinação de 3 ondas planassenoidais, em um instante arbitrário:

z = sen(k1 · r) + sen(k2 · r) + sen(k3 · r) (3.3.6)

em que k1 = (7, 5;−7, 5), k2 = (10, 0; 18, 7) e k3 = (10, 0;−18, 7) são os vetores deonda associados a cada frente de onda. k1 está associado a um comprimento de onda maiordo que k2 e k3. A Esta função é mostrada na figura 3.14. Podemos ver pelas figuras 3.15e 3.16 que, para cada escala selecionada, um conjunto de ângulos possui uma variância decoeficientes curvelet bem maior que a dos demais. Para a escala j = 2, temos uma variânciamaior para os ângulos l = {4, 5, 12, 13}, que correspondem a ângulos mais próximos doângulo 45º, pegando a componente sen(k1 · r), de comprimento de onda menor. Para aescala j = 3, temos uma variância maior para os ângulos l = {7, 23}, correspondentesà componente sen(k2 · r), para os ângulos l = {2, 18}, correspondentes à componentesen(k3 · r), de comprimentos de ondas menores. O resultado de algumas reconstruções apartir dos coeficientes selecionados dos conjuntos de ângulos para as escalas j = 2 e j = 3 émostrado nas figuras 3.17 e 3.18, em que podemos ver que é possível separar as componentes

46

correspondentes a cada onda plana do sinal z. Vemos então que as curvelets se adaptam bema funções ondulatórias como as dadas por 3.3.6.

O mesmo procedimento é efetuado com uma imagem de satélite da superfície do marpróxima à costa de Macau/RN, obtidas a partir do serviço Google Maps (figura 3.19). Como auxílio da transformada curvelet, é possível separar as diversas frentes de onda presentesno padrão (figuras 3.20, 3.21, 3.22 e 3.23). É de se esperar que isto possa ser feito, uma vezque as equações de dinâmica de fluidos que governam as ondas de oceano possuem soluçõessimplificadas baseadas em somas de senoidais bidimensionais, como descrito pela componentede altura nas chamadas ondas de Gerstner [42, 43]:

y =N∑i=1

Ai cos(ki · x− ωit+ φi)

em que Ai, ki, ωi e φi fazem parte de um conjunto de amplitudes, números de onda, frequên-cias e fases associadas com cada frente de onda presente, e x é uma posição na superfície.Isto sugere que as curvelets poderiam ser utilizadas para a simulação de ondas oceânicas.

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Figura 3.14: Representação da combinação de ondas planas definida por 3.3.6, usada parailustração de aplicação da transformada curvelet.

47

5 10 15

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

j =2

σ2(cj,l,k)

Indice angular l

1

3

5

7

9

11

13

15

Figura 3.15: Variância dos coeficientes curvelet da superfície mostrada na figura 3.14 con-forme a direção para a escala j = 2. Podemos ver uma maior energia presente em 4 dos 16ângulos da escala.

5 10 15 20 25 30

0.5

1

1.5

2

2.5

j =3

σ2(cj,l,k)

Indice angular l

1

35

7

9

11

13

15

17

1921

23

25

27

29

31


48

21

16

15

14

13

1211 10

9

8

7

6

5

43

Escala = 2

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

21

16

15

14

13

1211 10

9

8

7

6

5

43

Escala = 2

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

21

16

15

14

13

1211 10

9

8

7

6

5

43

Escala = 2

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

21

16

15

14

13

1211 10

9

8

7

6

5

43

Escala = 2

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

Figura 3.17: Esquerda: seleções de ângulos dos coeficientes curvelet da superfície mostradana figura 3.14 para a escala j = 2. Direita: respectivas reconstruções a partir dos coeficientesselecionados. 49

432

132

31

30

29

28

27

2625

2423

2221201918

1716

15

14

13

12

11

109

87

65

Escala = 3

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

432

132

31

30

29

28

27

2625

2423

2221201918

1716

15

14

13

12

11

109

87

65

Escala = 3

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

432

132

31

30

29

28

27

2625

2423

2221201918

1716

15

14

13

12

11

109

87

65

Escala = 3

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

432

132

31

30

29

28

27

2625

2423

2221201918

1716

15

14

13

12

11

109

87

65

Escala = 3

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250


100 200 300 400 500 600

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

Figura 3.19: Imagem de satélite da superfície do mar próxima à costa de Macau/RN, obtidasa partir do serviço Google Maps.

51

5 10 15

100

150

200

250

300

350

j =2

σ2(cj,l,k)

Indice angular l

1

3

5

7

9

11

13

15


5 10 15 20 25 30

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

j =3

σ2(cj,l,k)

Indice angular l

1

35

7

9

11

13

15

17

1921

23

25

27

29

31


52

21

16

15

14

13

1211 10

9

8

7

6

5

43

Escala = 2

200 400 600

100

200

300

400

500

21

16

15

14

13

1211 10

9

8

7

6

5

43

Escala = 2

200 400 600

100

200

300

400

500

21

16

15

14

13

1211 10

9

8

7

6

5

43

Escala = 2

200 400 600

100

200

300

400

500

21

16

15

14

13

1211 10

9

8

7

6

5

43

Escala = 2

200 400 600

100

200

300

400

500


432

132

31

30

29

28

27

26

2524

2322212019

1817

16

15

14

13

12

11

10

98

765

Escala = 3

200 400 600

100

200

300

400

500

432

132

31

30

29

28

27

26

2524

2322212019

1817

16

15

14

13

12

11

10

98

765

Escala = 3

200 400 600

100

200

300

400

500

432

132

31

30

29

28

27

26

2524

2322212019

1817

16

15

14

13

12

11

10

98

765

Escala = 3

200 400 600

100

200

300

400

500

Figura 3.23: Esquerda: seleções de ângulos dos coeficientes curvelet da superfície mostradana figura 3.19 para a escala j = 3. Direita: respectivas reconstruções a partir dos coeficientesselecionados.

54

Variância dos Coeficientes Curvelet de uma Superfície Browniana FracionáriaAnisotrópica

Partindo de um procedimento similar ao usado para demonstrar a dependência da variân-cia com a escala dos coeficientes de ondaletas de uma SBF, tentaremos obter a variânciados coeficientes de curvelet de uma SBFA. Os coeficientes da transformada curvelet de ummovimento browniano fracionário anisotrópico BH(u) ∈ L2(R2) são dados por

cj,l,k =

ˆBH(u)ϕj,l,k (u) du

nos quais j, l e k = (k1, k2) ∈ Z2 são os índices associados com a escala, orientação e posição,respectivamente. Estes coeficientes possuem média nula, portanto, podemos representar suavariância por

E[|cj,l,k|2

]= E

[´BH(u)ϕj,l,k (u) du

´BH(v)ϕj,l,k (v) dv

]= E

[˜ϕj,l,k (u)ϕj,l,k (v)BH(u)BH(v) du dv

]=˜ϕj,l,k (u)ϕj,l,k (v)E [BH(u)BH(v)] du dv

mas, pela própria definição do ASBF:

E [BH(u)BH(v)] =σ2H2

(|u|2H + |v|2H + |u− v|2H

)portanto,

E[|cj,l,k|2

]=

σ2H2

˜ϕj,l,k (u)ϕj,l,k (v) |u|2H du dv

+σ2H2

˜ϕj,l,k (u)ϕj,l,k (v) |v|2H du dv

+σ2H2

˜ϕj,l,k (u)ϕj,l,k (v) |u− v|2H du dv

=σ2H2

´ϕj,l,k (u) |u|2H du

��

��:0´ϕj,l,k (v) dv

+σ2H2

´ϕj,l,k (v) |v|2H dv

��

��:0´ϕj,l,k (u) du

+σ2H2


=σ2H2


em que o resultado das integrais é nulo devido ao caráter ondulatório das curvelets.

55

Façamos a substituição de variáveis

p = u− v

q = v

⇒ u = p + v = p + q

⇒ E[|cj,l,k|2

]=σ2H2

¨ϕj,l,k (p + q)ϕj,l,k (q) |p|2H dp dq

Considerando que nenhuma direção ou posição é privilegiada, já que estamos lidando com umMBF 2D genérico, trabalharemos apenas com a curvelet sem rotação ou translação. Assim,

E[|cj,l,k|2

]=

σ2H2

˜ϕj (p + q)ϕj (q) |p|2H dp dq

=σ2H2

´dqϕj (q)

´ϕj (p + q) |p|2H dp

Aplicando o teorema de Plancherel, passamos a segunda integral para o espaço de Fourier:

E[|cj,l,k|2

]=σ2H2

ˆdqϕj (q)

ˆUj(ξ)e

i〈q,ξ〉|p|2H dξ

em que Uj (ξ) é a janela curvelet. Realizando a transformação:

|p|2H =

(p21 + p2

2)H

= CH1

(ξ21 + ξ22)

E[|cj,l,k|2

]= CH

σ2H2

ˆdqϕj (q)

ˆUj(ξ)e

i〈q,ξ〉 1

(ξ21 + ξ22)dξ

em que CH = 22H+1Γ(H + 1)

Γ(−H)é uma constante que depende apenas do índice H para

a direção, e ξ = (ξ1, ξ2) ∈ Z2 . Passando para as coordenadas polares no espaço dasfrequências:

E[|cj,l,k|2

]= CH

σ2H

2

´dqϕj (q)

×˜r dr dω

1

r2H+22−3j/4W (2−jr)V (2j/2ω)ei〈q,(r cosω,r sinω)〉

Realizando as transformações

m = 2−jr n = 2j/2ω

r = 2jm ω = 2−j/2n

dr = 2jdm dω = 2−j/2dn

56

temos

E[|cj,l,k|2

]= σ2

H

2 CH2−3j/4˜

2jm2jdm 2−j/2dn1

2j(2H+2)m2H+2

×W (m)V (n)ei〈q,(2jm cos(2−j/2n),2jm sin(2−j/2n))〉

E[|cj,l,k|2

]= σ2

H

2 CH2−3j/4´dqϕj (q)

×˜

2jm2jdm 2−j/2dn1

2j(2H+2)m2H+2

×W (m)V (n) exp[i⟨q, (2jm cos

(2−j/2n

), 2jm sin

(2−j/2n

))⟩]

E[|cj,l,k|2

]= σ2

H

2 CH2−3j/42j2j2−j/22−j(2H+2)

×˜mdmdn

W (m)V (n)

m2H+2

×´dqϕj (q) exp

[i⟨q, (2jm cos

(2−j/2n

), 2jm sin

(2−j/2n

))⟩]

Combinando as potências de 2 e aplicando o teorema de Plancherel para a última integral(passando para o espaço de Fourier):

E[|cj,l,k|2

]= σ2

H

2 CH23j/42−j(2H+2)

×˜mdmdn

W (m)V (n)

m2H+2

×´dξ Uj (ξ) δ

(ξ + (2jm cos

(2−j/2n

), 2jm sin

(2−j/2n

)))

em que δ representa a função delta de Dirac.

E[|cj,l,k|2

]= σ2

H

2 CH23j/42−j(2H+2)

×˜mdmdn

W (m)V (n)

m2H+2Uj((2jm cos

(2−j/2n

), 2jm sin

(2−j/2n

)))

onde Uj (x, y) é a janela curvelet no sistema de coordenadas cartesiano. Passaremos paraas coordenadas polares:

x = 2jm cos(2−j/2n

)= r cosω

y = 2jmsen(2−j/2n

)= rsenω

⇒ r =√x2 + y2 = 2jm

⇒ ω = cos−1

(x√

x2 + y2

)= 2−j/2n

usando a definição Uj(r, ω) = 2−3j/4W(2−jr

)V(2j/2ω

)(onde desconsideramos o operador

de arredondamento):

E[|cj,l,k|2

]= σ2

H

2 CH23j/42−j(2H+2)

×˜mdmdn

W (m)V (n)

m2H+22−3j/4W

(2−j2jm

)V(2j/22−j/2n

)57

E[|cj,l,k|2

]= σ2

H

2 CH2−j(2H+2)˜mdmdn

|W (m)V (n)|2

m2H+2

que mostra que a variância dos coeficientes curvelet de uma SBFA é proporcional a 2−j(2H+2),seguindo assim uma lei de potência de acordo com as escalas. Isto será usado no próximocapítulo como base para um método simples de síntese de superfícies brownianas fracionáriasanisotrópicas por meio das curvelets.

58

Capítulo 4

Aplicações à Geofísica

4.1 Tratamento de Dados Sísmicos

A perfuração de poços para a extração de petróleo é um empreendimento de altíssimo custo,e, por isso, é necessário que a decisão da perfuração de um campo seja antecedida por umasérie de estudos cuidadosos sobre a probabilidade da presença de reservatórios de óleo pro-dutivos no subsolo da região. Isto pode ser realizado por sondagem sísmica, de gravimetria,magnetometria ou até por intermédio de alguns poços exploratórios. A prospecção sísmica é omeio mais utilizado, que produz uma maior riqueza de detalhes sobre as formações geológicasde uma região, e que tem provido uma série de problemas a serem combatidos por geólogos,geofísicos e matemáticos há mais de meio século. Ela se baseia no registro e interpretaçãodas ondas símicas refletidas pelas interfaces das camadas geológicas, ondas essas geradas poruma fonte artificial, permitindo inferir as propriedades físicas como densidade ou velocidadede propagação sísmica das camadas, levando a suposições sobre suas composiç. Esta técnicapode ser empregada em meio terrestre ou marinho (ver figura 4.2 para uma ilustração docaso marinho).

No entanto, ao se realizar a sondagem das camadas geológicas por meio de ondas sísmi-cas emitidas por uma fonte artifical, formam-se ondas de superfície (ondas dispersivas deRayleigh) com alta amplitude, baixa frequência e baixa velocidade [32], causadas por umacoplamento entre ondas compressionais e ondas cisalhantes. O ruído originado por essas on-das, chamado de ruído de rolamento, acaba superpondo com a informação geológica providapelas superfícies reflexivas de subsuperfície. A presença dessas componentes de ondas no sis-mograma, com intensidade geralmente maior que a assinatura das camadas de subsuperfície,é indesejável, e portanto, empregam-se métodos na tentativa de atenuá-lo na imagem sísmica.No entanto, esta etapa deve ser feita com cuidado de modo a não alterar significantemente ainformação relevante originada de reflexões primárias das camadas geológicas.

Podemos representar o procedimento de limpeza de ruído do sismograma da seguinteforma:

s = g + r

59

(a)

Th

e o

rig

ina

l d

ataTime (ms)

20

40

60

80

0

50

0

10

00

15

00

20

00

25

00

30

00

35

00

40

00

(b)

Th

e f

ilte

red

da

ta

Dis

tan

ce

fro

m g

eo

ph

on

e

20

40

60

80

(c)

Th

e G

rou

nd

Ro

ll p

att

ern

20

40

60

80

Figura4.1:

Um

dado

sísm

icocom

traços

eam

ostras

portraço.

Em

(a),vemos

oda

dooriginal

compo

stode

umasobrep

osição

entreoruídode

rolamento

eoda

doassocida

doàs

reflexõ

es.Em

(b)vemos

osism

ogramafiltrad

o,send

ocompo

toprincipa

lmente

deda

dosdo

srefletores.

Em

(c),

apa

rtereconstruída

dascompo

nentes

extraída

sdo

sina

l,send

ocompo

staprincipa

lmente

por

ruídode

rolamento.

60

Figura 4.2: Diagrama ilustrando a exploração sísmica marinha com a configuração de umcanhão de ar, emissor das ondas sísmicas, e 5 hidrofones, responsáveis por registrar as ondasrefletidas. Licença: Creative Commons.

em que s representa os dados do sismograma, g é a informação associada aos refletores e ro ruído coerente adicionado pelas ondas de Rayleigh. Esta expressão parte da suposição deque a equação da onda que descreve o problema é linear, ou seja, obedece ao princípio dasuperposição.

Os procedimentos convencionais para se tratar este problema por via do processamentode sinais empregam transformadas de Fourier (filtragem f-k ou filtro passa-faixa), atenuandobaixas frequências, ou transformada de Radon [32]. No entanto, estas técnicas clássicaspodem falhar, deteriorando significantemente as reflexões no sismograma, dependendo danatureza do problema. Uma recente evolução foi dada com o emprego da transformadaem ondaletas, aliada com a escolha de bases adequadas para a decomposição dos sinaissísmicos,[34][35, 36]. Um método híbrido com a introdução de uma análise de componentesprincipais, aplicando-se a transformada Karhunen-Loève, revelou ser bastante útil para adetecção e eliminação do ruído de rolamento [37]. No entanto, em geral, a transformada emondaletas só pode ser aplicada em cada traço do sismograma separadamente.

Na figura 4.1 é mostrado um exemplo de dado sísmico contaminado pelo ruído de rola-mento, obtido do Center for Wave Phenomena da Colorado School of Mines [38], correspon-dendo ao número de registro 25. Esta figura mostra uma seção sísmica de dados terrestres

61

com 90 traços, e 2048 pontos por traço. O eixo horizontal na figura corresponde à distânciade offset entre a fonte e o receptor. O eixo vertical representa o tempo de trânsito de ondasonora (em ms), que é uma medida indireta da profundidade.

Os métodos citados anteriormente baseiam-se na ideia de decomposição do sinal sísmico emcomponentes espectrais, seguido de uma atenuação de componentes indesejáveis associadascom o ruído, partindo da premissa de que ele está concentrado em uma dada banda defrequências.

Aqui, introduziremos a aplicação da curvelets para atenuação eficiente do ruído de rola-mento de uma imagem sísmica. A transformada curvelet possui características direcionaisque otimizam a detecção das frentes de onda no sismograma associadas com as ondas super-ficiais, uma vez que amplia o espaço espectral para incluir as componentes de direção, alémdas de escala e posição.

A metodologia introduzida aqui é ilustrada no sismograma da figura 4.1. Nós visualizamosa técnica de eliminação de ruído na figura 4.3, onde são mostrados os a energia dos coefici-entes angulares (topo) e a imagem reconstruída usando os ângulos selecionados (abaixo). Oobjetivo desta figura é mostrar o padrão de ruído de rolamento em muitas escalas e com da-dos coeficientes angulares. De fato, na figura 4.3 é mostrado o ruído de rolamento em quatroescalas mas com a mesma orientação angular. Figuras (a) a (d) mostram as escalas j = 2

a j = 5 respectivamente. Os coeficientes correspondendo ao ruído de rolamento estão indi-cados pelos círculos preenchidos enquanto os coeficientes do sinal que carrega a informaçãogeológica relevante são discriminadas por círculos vazios no diagrama angular. Vemos nestafigura que neste caso o ruído de rolamento está presente nos setores angulares em torno dadireção horizontal. Além do mais, os coeficientes correspondendo a esta “cunha” horizontalsão grandes comparados ao resto dos coeficientes. O processo de remoção de ruído consisteem apagar este conjunto de coeficientes.

Com o intuito de estudar a relação entre ruído e informação relevante, introduziremos arepresentação da energia Ej do sinal no espaço das curvelets, associada a cada escala j, deforma análoga ao que é feito com as ondaletas:

Ej =∑l,k

|〈f, φj,l,k〉|2 , (4.1.1)

fazendo a soma sobre todos os setores angulares e posições.Na figura 4.3, destacamos a presença do ruído em diferentes escalas mas restritas a pares

simétricos de setores angulares próximos à horizontal. Ao fundo vemos a reconstrução dopadrão no espaço real. No topo vemos a energia dos coeficientes curvelet, com a energia asso-ciada ao ruído de rolamento sendo indicada por círculos preenchidos. Este são os coeficientesa serem removidos. Em concordância com [37], vemos que o ruído de rolamento está maisconfinada a algumas escalas(j = 4, 5).

62

(a)

12

34

5

6 7

8

91

01

11

2

13

14

151

6

Sca

le j =

2

Time (ms)

20

40

60

80

50

0

10

00

15

00

20

00

25

00

30

00

35

00

40

00

(b)

1

35

7

9

11 13

15

17

19

21

23

25

27

293

1

Sca

le j =

3

20

40

60

80

(c)

1

35

7

9

11 13

15

17

19

21

23

25

27

293

1

Sca

le j =

4

20

40

60

80

(d)

1

59

13

17

21 25

29

33

37

41

45

49

53

5761

Sca

le j =

5

20

40

60

80

Figura4.3:

Recon

struçãodo

sism

ogramaevidencian

doas

compo

nentes

representantes

doruídode

rolamento,

apa

rtirde

escalaseorientaçõesespe

cíficas

noespa

çoda

scurvelets.

Oscoeficientescorrespo

ndendo

aoruídode

rolamento

estãoindicado

spe

loscírculos

preenchido

senqu

anto

oscoeficientesdo

sina

lque

carregaainform

ação

geológ

icarelevantesãodiscriminad

aspo

rcírculos

vazios

nodiagramaan

gular.

A tarefa de atenuação de ruído de rolamento é bem realizada pelas curvelets devido aofato da simetria angular do ruído ser diversa da simetria angular da informação geológica. Defato, o ruído de rolamento apresenta padrão retilíneo no sismograma enquanto a informaçãodos refletores são hipérboles abertas. Esta diferença nas simetrias permite a separação daslocalizações angulares dos dois padrões e uma consequente separação dos coeficientes curvelet.

63

4.2 Síntese de Superfícies Brownianas Fracionárias Anisotrópicas comCurvelets

Métodos baseados em ondaletas para a síntese de SBF bidimensionais foram propostos porTavares [20] e Heneghan et al [21]. Eles demonstram que os coeficientes de detalhe dj,k naescala 2−j de um SBF 2-D com índice Hurst H têm distribuição gaussiana com média nulae variância que segue uma lei de potência na escala na forma:

E[|dj,k|2

]= Cψ

H2−j(2H+2), (4.2.1)

onde CψH é uma constante que depende de H e da ψ usada, e k ∈ Z2 é um índice

relacionado à localização espacial. Então, para sintetizar um FBF 2-D, apenas se tem quegerar uma série de coeficientes com distribuição gaussiana e a dada variância em cada escala,e então transformar para o espaço real.

Construímos a SBF anisotrópico com a transformada curvelet da seguinte forma. In-troduzimos uma variável angular dividindo o ângulo 2π do plano em N idênticos setoresangulares que são identificados por uma variável m. Para cada índice angular l e escala 2−j ,j > 1, geramos uma matriz de coeficientes cj,l,k com distribuição gaussiana de média nula evariância

E[|cj,l,k|2

]= Cφ

Hm2−j(2Hm+2), (4.2.2)

onde agora o índice de Hurst, Hm, depende do índice m = 1, 2, ..., N , relacionado àorientação, que por sua vez é independente da escala e pode assumir um dos valores inteirosN . Para cada setor angular existe um e apenas um valor para m. Cφ

Hmé uma constante

dependente de Hm e da curvelet φ. Por razões práticas, consideramos CφHm

= constante,independentemente de m. A relação entre m, os índices curvelet j (escala) e l (orientaçãodependente da escala) é

m = dNl/nje

onde dxe denota o menor inteiro sendo maior ou igual a x, e nj = 8 · 2dj/2e, para j > 1,é o número de ângulos disponíveis na escala 2−j , que é determinado pelos parâmetros datransformada curvelet. Nós temos definido a primeira escala j0 ≡ 1 e, por definição, n1 ≡ 1,isto é, não há direções distintas na escala mais grosseira. Definimos N como sendo o númerode ângulos disponíveis na segunda escala (N ≡ n2), uma vez que este é o máximo númeropossível de setores angulares que podemos dividir o ladrilhamento discreto do espaço dasfrequências ( ver figura 4.4). Em nosso caso usamos N = n2 = 16, então Hm pode assumir16 diferentes valores. Por razões heurísticas, definimos H0 = E [Hm] como sendo o índiceassociado com a primeira escala. Na figura 4.4 é mostrado um conjunto-amostra de “cunhas”no plano de Fourier associados com uma dado índice Hm.

Após gerar os coeficientes, tudo o que temos de fazer é realizar a transformada curveletinversa como expresso por(3.3.5) para obter o campo anisotrópico.

64

−15 −10 −5 0 5 10 15

−15

−10

−5

0

5

10

15

H1

H2

H3

H4

H5

H6

H7

H8

H9

H10

H11

H12

H13

H14

H15

H16

H0

Figura 4.4: Ladrilhamento pseudo-polar usado pela transformada curvelet discreta. Umexemplo de conjunto de cunhas no plano de Fourier associados comum mesmo dado índiceHm é marcado com cinza.

A figura 4.6 mostra três superfícies brownianas fracionárias isotrópicas sintetizadas. (a)apresenta uma superfície isotrópica com índice Hurst 0.1, (b) apresenta uma superfície iso-trópica com índice de Hurst 0.5 e (c) apresenta uma superfície isotrópica com índice de Hurst0.9. A figura 4.6 mostra três simulações de superfícies brownianas anisotrópicas . A distri-buição angular dos índices Hm usados em cada simulação é mostrado no topo. (a) Vemosum caso de mudança abrupta de Hm na distribuição angular, de 0.2 em torno da direçãovertical até 0.9 em torno da direção horizontal. (b) apresenta uma superfície anisotrópica,com índices Hurst variando de 0.1 ao longo da direção leste até 0.9 ao longo da direção norte.Podemos ver neste exemplo que a superfície gerada parece ter anticorrelação ao longo de umeixo (leste) e correlação ao longo do outro (norte). (c) apresenta uma superfície anisotrópica,com índices Hurst variando de 0.1 ao longo de uma direção quase noroeste até 0.9 ao longode uma direção quase nordeste. Ao fundo é mostrado o logaritmo do espectro de potênciailustrando o caráter direcional das superfícies sintetizadas.

Para avaliar a qualidade de nosso procedimento de síntese, devemos medir o índice de Hurstpara cada direção na superfície gerada e comparar com o valorHm usado na construção. Paraisso, aplicamos uma versão modificada do Método da Média Direcional (DAM) proposto em[19]. Como dito anteriormente, este método foi desenvolvido para estimar o índice dependenteda orientaçãoH em superfícies gaussianas anisotrópicas. Consiste em obter um sinal 1-D queseja a média sobre todas as linhas ortogonais a uma dada direção θ. O índice de Hurst destesinal deve ser aproximadamente Hθ+1/2, onde Hθ é o parâmetro desejado para caracterizara superfície. Para obter o sinal 1-D procedemos como segue. A matriz representando o campoé tratada como uma imagem monocromática. Rotacionamos esta imagem em θ na direção

65

0.5

0.9

(a)

12 3

4

5

6

7

8

91011

12

13

14

15

16

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

0

1

2

3

0.5

0.9

(b)

12 3

4

5

6

7

8

91011

12

13

14

15

16

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

0

1

2

3

0.5

0.9

(c)

12 3

4

5

6

7

8

91011

12

13

14

15

16

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

0

1

2

3

Figura 4.5: Três exemplos de superfícies brownianas fracionárias isotrópicas obtidas por meiodo método das curvelets. Topo: a distribuição angular do índiceHm usado na síntese de cadasuperfície. Meio: a superfície sintetizada correspondente. Abaixo: A densidade espectralcorrespondente, evidenciando o ladrilhamento pseudo-polar usado pela versao discreta datransformada curvelet.

horária por meio de um operador de processamento de imagens que inclui uma interpolaçãobicúbica [59], mas outros métodos também podem ser aplicados. O resultado, expresso comouma matriz, é largo o bastante para conter a informação de toda a imagem rotacionada,do qual extraímos uma submatriz inscrita cujas colunas representam aproximações às linhasortogonais a θ no dado original. Este procedimento é ilustrado na figura 4.7. Então podemosobter diretamente o sinal 1-D fazendo a média de cada coluna desta submatriz. Finalmente,estimamos o índice Hurst do sinal usando um método de escolha. Este processo é realizado,em nosso caso, para cada um dos N ângulos usados na síntese por curvelets.

A figura 4.8 mostra a média dos parâmetros de Hurst estimados em 16 direções de 50

66

0.5

0.9

(a)

12 3

4

5

6

7

8

91011

12

13

14

15

16

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

0

1

2

3

0.5

0.9

(b)

12 3

4

5

6

7

8

91011

12

13

14

15

16

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

0

1

2

3

0.5

0.9

(c)

12 3

4

5

6

7

8

91011

12

13

14

15

16

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

0

1

2

3

Figura 4.6: Três exemplos de superfícies brownianas fracionárias anisotrópicas obtidas pormeio do método das curvelets. Topo: a distribuição angular do índice Hm usado na síntesede cada superfície. Meio: a superfície anisotrópica sintetizada correspondente, obedecendo àdistribuição angular de Hm. Abaixo: A densidade espectral correspondente, evidenciando oladrilhamento pseudo-polar usado pela versão discreta da transformada curvelet..

amostras geradas com 2000× 2000 pontos. Três métodos de análise de MBF foram usados.O primeiro, proposto por Peng et al [44], faz uso da Detrended Fluctuation Analysis (DFA)para estimar H . Os outros dois, método do periodograma e método do periodograma emcaixas, usam a observação de que a densidade espectral de um MBF se comporta como(2.3.2). Para detalhes desses dois últimos métodos ver [52]. O método de análise MBF quedá menor erro quadrático médio é o método baseado em DFA, como mostrado na figura.

67

θ

θ

Figura 4.7: Esquema de rotação da imagem que representa a superfície a ser analisadapara a extração dos parâmetros de Hurst anisotrópicos. A imagem é rotacionada em θna direção horária. O resultado é largo o bastante para conter a informação de toda aimagem rotacionada, do qual extraímos uma subimagem inscrita cujas colunas representamaproximações às linhas ortogonais a θ no dado original.

0.5

0.9

1

2 3

4

5

6

7

8

9

1011

12

13

14

15

16

Hurst Synthesis

Box Per., MSE=0.003

Peng, MSE=0.000

Periodogram, MSE=0.002

0.5

0.9

1

2 3

4

5

6

7

8

9

1011

12

13

14

15

16

Hurst Synthesis

Box Per., MSE=0.168

Peng, MSE=0.127


0.5

0.9

1

2 3

4

5

6

7

8

9

1011

12

13

14

15

16

Hurst Synthesis

Box Per., MSE=0.224

Peng, MSE=0.134


Figura 4.8: Análise de anisotropia a partir do método da média direcional (DAM) de 50amostras com 2000×2000 pontos, usando três métodos de estimativa de parâmetro de Hurst.Os erros de cada método com relação ao parâmetro usado na síntese são mostrados na legenda.(MSE = Erro Médio Quadrático)

4.3 Correlação entre perfis de Poços

Para a prospecção de petróleo, no ato da perfuração de poços, é imprescindível o conhe-cimento das formações geológicas do local, para que seja possível estimar-se a extensão dereservatórios de hidrocarbonetos. Uma técnica amplamente usada por equipes de sondagemé a chamada perfilagem de poços, que consiste em se fazer um registro detalhado de mediçõesfísicas realizados por intrumentos inseridos no poço, ou aplicados a amostras retiradas dele.Modernas tecnologias permitem que este procedimento seja realizado durante a própria per-furação do poço, com os equipamentos acoplados à máquina perfuratriz. Com isso, pode-seconstruir um gráfico que represente a evolução de grandezas físicas ao longo da profundidadedo solo. Esta técnica é também usada na prospecção de água e em estudos geotécnicos eambientais.

Algumas grandezas relevantes medidas pelos sensores são porosidade, densidade e permea-

68

Figura 4.9: Representação espacial de um perfil de poço.

bilidade. A comparação dessas medições com outras efetuadas anteriormente em laboratóriopermite ao geofísico inferir as composições mineralógicas das rochas ao redor do poço.

Tem sido observado por diversos pesquisadores que os dados de perfis de poços seguemprocessos estocásticos fractais. Sahimi [53] aponta que, para muitos meios porosos em largaescala, os perfis de porosidade seguem um movimento Browniano fracionário. Se a perfila-gem é realizada no plano horizontal (o que é possível tecnicamente), os dados seguem ummovimento Gaussiano fracionário. Assim, pode-se contar com efeitos de memória de longoalcance nos dados de perfis.

A razão pela qual esses dados exibem esse comportamento ainda não está elucidada. Édifícil a construção de modelos que levem em conta os diferentes processos que possam levarà formação das rochas com as características fractais citadas. A formação de uma rochade reservatório começa, em geral, com a deposição de sedimentos (partículas sólidas queforam transportadas por fluidos) e, logo após, iniciam-se os chamados processos diagenéticos:compactação, solução de grãos minerais, etc..., que alteram drasticamente a geomorfologia dolocal. Como esses processos estariam ligados à formação das distribuições características deprocessos com autocorrelação de longo alcance como o MBF ainda é um estudo a ser feito atéo presente momento. Uma alternativa já foi sugerida por Hansen, Lucena e Luciano [54], osquais propuseram um modelo para a formação de arenitos rochosos com base em uma série de

69

eventos reestruturantes. Como resultado, obtiveram distribuições globais de permeabilidadecom correlações espaciais que sugerem um MBF. O modelo se baseia na reestruturação dearenitos soltos devido a gradientes de pressão interna, e possui uma forte similaridade com omodelo de Bak-Sneppen [55], que tenta reproduzir os saltos na evolução biológica.

Aqui, usaremos a ondaleta de Morlet, consistindo de uma onda plana modulada por umagaussiana [56, 57]:

ψ(x) = π−1/4eiω0xe−x2/2

onde ω0 é um parâmetro adimensional relacionado ao balanço entre localização na posiçãoe número de onda. As ondaletas de Morlet são bem localizadas no domínio das frequências,o que faz delas adequadas para lidar com dados sísmicos.[25].

A transformada em ondaletas cruzada [25] entre duas funções f(x) e g(x), denotadas porXWTf,g(s, a), expressa o produto cos coeficientes em uma dada escala s, na vizinhança dex = a:

XWTf,g(s, a) = Wf(s, a)∗Wg(s, a)

onde ∗ denota complexo conjugado. Desta forma, XWTf,g(s, a) revela uma alta potênciacomum entre f e g, para intervalos de comprimentos de onda(especificados pela escala s)e para um conjunto contínuo de vizinhanças de diferentes tamanhos em torno da posiçãox = a. Uma forma normalizada que enfatiza a correlação local entre os dois sinais é achamada Coerência em Ondaletas (WTC), introduzida por Torrence e Webster [26]:

WTCf,g(s, a) =

∣∣S (s−1XWTf,g(s, a))∣∣2

S(s−1 |Wf(s, a)|2

)S(s−1 |Wg(s, a)|2

) (4.3.1)

em que os fatores s−1 são introduzidos para normalizar a densidade de enrgia, e S repre-senta um operador de suavização adequado para a ondaleta escolhida . Note que o operadorde suavização é aplicado antes do operador módulo quadrado no numerador, enquanto que nodenominador ele é aplicado após o módulo quadrado. Usamos uma combinação de suavizaçãotanto na direção da posição quanto da escala como descrito por [26]

S(W ) = Ss(Sa(W ))

As funções de suavização na posição (Sa) e escala (Ss) podem ser realizadas por operaçõesde convolução. Para Sa, empregamos uma forma normalizada da gaussiana e−a

2/2s2 comofiltro, enquanto Ss pode usar uma função-retângulo de largura δj0, para se adequar aos perfisde posição e escala da ondaleta de Morlet:

(Sa(W )|a = W (s, a) ∗ c1e−a2/2s2

(Ss(W )|s = W (s, a) ∗ c2Π(δj0)

70

onde as constantes c1 e c2 são determinadas numericamente, Π é a função-retângulo, eδj0 = 0.6 é o tamanho da decorrelação de escala da ondaleta de Morlet[25]. Para maisdetalhes deste passo de suavização, ver [26, 27].

A definição (4.3.1) implica que 0 ≤ WTCf,g(s, a) ≤ 1. Em sua versão discreta,WTCf,gnos dá uma matriz em que cada elemento representa o coeficiente correspondendo a umaescala s e posição a. Seria interessante construir uma versão 1-D indicando a correlaçãolocalizada entre dois sinais. Aqui, definiremos o índice de correlação local LCf,g(a) naposição a como uma média escalonada normalizada de WTC(s, a) sobre todas as escalas s:

LCf,g(a) =

´sWTCf,g(s, a) e−s/cds´

s e−s/cds

(4.3.2)

em que o parâmetro empiricamente determinado c controla como as escalas mais gros-seiras contribuem para a correlação local. Com o intuito de testar a confiabilidade desteíndice, realizamos um teste de significância baseado no método de Monte Carlo, como segue:um grande ensemble de pares de conjuntos de dados seguindo movimentos Brownianos fra-cionários (MBF), com um índice de Hurst arbitrário H , é gerado. Escolhemos este modeloporque é bem documentado que dados de perfis de poços seguem distribuições de MBF[5].Um método baseado em ondaletas pode ser usado para a síntese do MBF [58]. Para cadapar de conjuntos de dados f e g, o correspondente LCf,g é obtido. Então, estimamos onível de significância 5% procurando os maiores coeficientes presentes no histograma. Testesnuméricos levam-nos a concluir que o índice H usado para gerar os modelos MBF tem poucainfluência sobre o nível de significância calculado. Então, por conveniência, usamosH = 0, 5,que é associado ao movimento Browniano ordinário sem correlação.

O histograma dos LCf,g obtidos no teste de Monte Carlo se ajusta muito bem com umadistribuição Beta de parâmetros α = 7.6229 e β = 16.1941, dada por:

B(x;α, β) =Γ(α + β)

Γ(α)Γ(β)xα−1(1− x)β−1

em que Γ(·) é a função Gama. A função de distribuição cumulativa da distribuição BetaB(x;α, β) é a função Beta incompleta regularizada Ix(α, β):

Ix(α, β) =Bx(α, β)

B(α, β)

em que

Bx(α, β) =

xˆ

0

tα−1(1− t)β−1dt

é a função Beta incompleta e

B(α, β) =Γ(α + β)

Γ(α)Γ(β)

71

é a função Beta. Portanto, podemos obter o nível de significância z% analiticamente pormeio da inversa de Ix(α, β) (figura 4.12):

x = I−1z (α, β)

Conjuntos de Dados

As grandezas de porosidade, permeabilidade e densidade são inferidas indiretamente a partirde perfis que colhem propriedades elétricas, elásticas ou químicas dos substratos. Algunsregistros importantes são o tempo de trânsito acústico, a resistividade elétrica a emissãode raios-gama, etc A comparação desses perfis com os dados obtidos da prospecção sísmicasão fundamentais para identicação da configuração geológica que leva à exploração de novasreservas de óleo e gás.

Neste estudo, consideraremos perfis de 2 poços localizados em um campo de exploraçãooff-shore localizado próximo à costa da Bahia, na Bacia do Jequtinhonha, perfurados até umaprofundidade máxima de 4500 m. Eles são identificados como I-BAS-68-BA e I-BAS-121-BA.A distância entre estes dois poços é da ordem de 2.5 km, e sua localização é mostrada nafigura 4.10.

Figura 4.10: Mapa esquemático das localizações dos poços na Bacia do Jequitinhonha.

A correlação entre perfis de poços distintos é importante para a identificação de camadasgeológicas, cujas propriedades litológicas podem revelar a presença de reservatórios. A per-furação de um novo poço é custoso e, portanto, um problema na exploração é a minimizaçãoda quantidade de poços a serem perfurados. A correlação dos perfis pode ser uma grandeajuda para a rápida caracterização das estruturas geológicas da subsuperfície na atividadede sondagem de novos reservatórios, diminuindo consideravelmente os custos do projeto. As

72

técnicas tradicionais enfrentam muitas dificuldades para esta tarefa, uma vez que múltiplosfatores do histórico geológico de formação da bacia podem embaralhar os padrões litológicoscolhidos pelos perfis. Uma representação no espaço das ondaletas possibilita a comparaçãoentre os dois sinais com relação a características determinadas pela escala e posição, de formaautomática. A identificação de padrões coincidentes em várias escalas é um indicador certode uma mesma formação geológica ou interface transpassando os dois poços.

Resultados

Com o intuito de realizar uma comparação com os resultados de WTC, mostraremos resul-tados da correlação tradicional entre os perfis dos poços I-BAS-68 e I-BAS 121. Obtemos acorrelação cruzada entre duas janelas de tamanho fixo dos dois sinais. A janela permaneceimóvel no primeiro sinal, enquanto fazemos a janela do segundo sinal percorrer todo o perfil.Os coeficientes de correlação RX,Y para os sinais X e Y são dados por:

RX,Y =E[(Xi − X)(Yi − Y )

]σXσY

em que X é a média de X , e σX seu desvio-padrão. Os sinais X e Y representam asjanelas de cada um dos dois perfis f e g, sendo Y a janela móvel. Selecionamos a grandezatempo de trânsito sônico (DT) para nossa análise. Na figura 4.11, mostramos o resultadoda correlação para uma janela com tamanho de 100 metros. Vemos que encontramos doisduas posições relativas com máximos de coeficientes consideráveis, demonstrando uma certaambiguidade no uso da ferramenta.

a) WCC para diferentes perfis de um mesmo poçoAgora discutiremos os resultados da coerência em ondaletas para diferentes perfis de um

mesmo poço. Esta nova ferramenta apresenta algumas vantagens adequadas para analisara correlação entre grandezas distintas. No espaço das ondaletas, podemos comparar os doissinais em diferentes escalas e posições. A correlação entre os dois perfis deve estar ligada àrelação física entre as duas grandezas medidas e as características litológicas das camadasgeológicas intermediárias. Distintas litologias devem levar a diferentes relações entre as gran-dezas físicas. Isto é o que deve ser invesigado com a coerência em ondaletas. Como exemplo,obtemos a coerência entre as grandezas tempo de trânsito sônico, raios-gama e resistividadeelétrica para o poço I-BAS-68, como mostrado nas figuras 4.13, 4.14 e 4.15. É mostradotambém o resultado do índice de correlação local, como definimos em 4.3.2, junto com o nívelde significância calculado com o método de Monte Carlo. Na figura 4.13 (tempo de trânsito eraios-gama), podemos ver que existe uma boa correspondência entre camadas intermediáriase altos índices de correlação local. O mesmo acontece com as combinações entre tempo detrânsito e resistividade e entre raios-gama e resistividade elétrica, como mostrado nas figuras4.14 e 4.15.Os três exemplos de combinação indicam uma alto nível de correlação DT-ILD

73

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

40

90

140

Depth(m)

DT

(u

s/f

t)

1bas68−DT DELTA−T (ALSO CALLED SLOWNESS OR INTERVAL TRANSIT TIME)

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

40

90

140

Depth(m)

DT

(u

s/f

t)


500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

−1

−0.5

0

0.5

1

Depth(m)

Co

rre

latio

n in

de

x

Figura 4.11: Os dois gráficos mostram perfis de tempo de trânsito de ondas sonoras dospoços I-BAS-68 e I-BAS 121 pertencentes à bacia do Jequitinhonha, mostrados na figura4.10. O terceiro gráfico mostra a correlação cruzada clássica entre as janelas identificadaspelas linhas tracejadas. A janela do segundo gráfico é móvel. Os pontos vermelhos indicammáximos relativos, revelando altas similaridades que podem indicar possíveis continuidadesdas estruturas geológicas.

em todas as escalas, enquantos valores menores são obtidos para a correlação DT-GR e GR-ILD.

b) WCT para as mesmas grandezas em poços distintosAplicamos a coerência em ondaletas para as grandezas DT (tempo trânsito sônico), GR

(raios-gama) e ILD (resistividade elétrica) dos poços I-BAS-68 e I-BAS-121. As duas primei-ras análise mostradas na figura 4.17 correspondem à coerência em ondaletas para o perfil deDT entre os dois poços. No primeiro caso, não há deslocamento relativo entre os perfis. Nãonotamos em nenhuma posição coeficientes com significância suficiente para concluirmos quehá forte correlação. Já para o segundo caso, o deslocamento relativo entre o primeiro perfile o segundo é de 100 pontos (15,24 metros). Podemos notar fortes coeficientes de correlaçãoem dois pontos próximos à profundidade 1500 metros. O índice de correlação local, mostradoabaixo, corrobora o resultado. As regiões correspondentes nos dois poços devem estar associ-adas à mesma estrutura geológica. Na figura 4.17 são mostrados o resultado para a coerênciaem ondaletas dos perfis de GR e ILD dos dois poços, também com um deslocamento relativode 100 pontos. Um forte correlação também é indicada à mesma profundidade. Uma últimaanálise é mostrada na figura 4.18, correspondendo à coerência em ondaletas para o perfil deDT entre os dois poços. O deslocamento relativo entre o primeiro perfil e o segundo é de340 pontos (51,81 metros). Aqui também podem ser vista uma forte correlação próximo àprofundidade 2000 metros, também corroborado pelo índice de correlação local.

74

(a) (b)

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

5% significance level = 0.48366

Empirical

Theoretical

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80

1

2

3

4

5x 10

4

Figura 4.12: (a) ’Downsampling’ da função distribuição acumulada (FDA) dos índices decorrelação de 100 MBF (H=0,5) pares de conjuntos de dados, comparado com a FDA teóricade uma distribuição beta com parâmetros α = 7.6229 e β = 16.1941. (b) Histograma domesmo conjunto de dados, em que a região referente a 5% de nível de significância é marcadacom cinza.

O procedimento para encontrar correlações entre perfis de poços distintos é o seguinte:realizamos um deslocamento contínuo do segundo perfil com relação ao primeiro, deslizandoao longo de toda profundidade de forma a testar todas as possibilidades de comprar duasregiões dos dois poços, prcurando por regiões com correlações simultâneas em uma boa faixade escalas. Esta escolha pode ser facilitada com o uso do índice de correlação local.

75

1300 1400 1500 1600 1700 1800

40

90

140

DT

(us/f

t)


1300 1400 1500 1600 1700 1800

0

50

100

150

GR

(A

PI

units)

1bas68−GR GAMMA RAY

Sca

le

Wavelet Coherence: Shift = 0 points

16

32

64

128

256

512

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Local Correlation Index, c = 20

5% Significance Level

Figura 4.13: Coerência em Ondaletas (WCT) para os perfis DT (tempo trânsito sônico) eGR (raios-gama) do poço I-BAS-68. Os coeficientes mais altos são identificados pela coravermelhada. Abaixo, o índice de correlação local como definido em 4.3.2. O nível de 5% designificância é identificado pela linha horizontal azul.

1300 1400 1500 1600 1700 1800

40

90

140

DT

(us/f

t)


1300 1400 1500 1600 1700 1800

100

101

102

103

ILD

(ohm

.m)

1bas68−ILD INDUCTION DEEP RESISTIVITY

Sca

le


16

32

64

128

256

512

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1



Figura 4.14: Coerência em Ondaletas (WCT) para os perfis DT (tempo trânsito sônico) eILD (resistividade elétrica) do poço I-BAS-68. Os coeficientes mais altos são identificadospela cor avermelhada. Abaixo, o índice de correlação local como definido em 4.3.2. O nívelde 5% de significância é identificado pela linha horizontal azul.

76

1300 1400 1500 1600 1700 1800

0

50

100

150

GR

(A

PI

units)


1300 1400 1500 1600 1700 1800

100

101

102

103

ILD

(ohm

.m)


Sca

le


16

32

64

128

256

512

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1



Figura 4.15: Coerência em Ondaletas (WCT) para os perfis GR (raios-gama) e ILD (resis-tividade elétrica) do poço I-BAS-68. Os coeficientes mais altos são identificados pela coravermelhada. Abaixo, o índice de correlação local como definido em 4.3.2. O nível de 5% designificância é identificado pela linha horizontal azul.

77

(a)

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

40

90

140

DT

(us/ft)


500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

40

90

140

DT

(us/ft)


Sca

le


16

32

64

128

256

512

1024

0.5 1 1.5 2 2.5

x 104

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1



(b)

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

40

90

140

DT

(u

s/f

t)


500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

40

90

140

DT

(u

s/f

t)


Sca

le


16

32

64

128

256

512

1024

0.5 1 1.5 2 2.5

x 104

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1



Figura 4.16: Coerência em Ondaletas para o perfil DT (tempo de trânsito sônico) dos poçosI-BAS-68 e I-BAS-121. No primeiro caso, não há deslocamento relativo entre os dois perfis.Fortes correlações próximo à profundidade correspondendo a 1500 metros podem ser vistas emtodas as escalas para o segundo casio, como mostrado pelas linhas verticas avermelhadas. Estealto grau de correlação foi obtido quando o segundo perfil é deslocado em 100 pontos (15,24metros) com relação ao primeiro perfil. Abaixo, a correspondente função de correlação local,como definido em 4.3.2. O nível de 5% de significância é identificado pela linha horizontalazul.

78

(a)

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

0

50

100

150

GR

(A

PI

units)


500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

0

50

100

150

GR

(A

PI

units)


Sca

le


16

32

64

128

256

512

1024

0.5 1 1.5 2 2.5

x 104

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1



(b)

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

100

101

102

103

ILD

(oh

m.m

)


500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

100

101

102

103

ILD

(oh

m.m

)


Sca

le


16

32

64

128

256

512

1024

0.5 1 1.5 2 2.5

x 104

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1



Figura 4.17: Coerência em Ondaletas para os perfis GR (raios-gama) e ILD (resistividadeelétrica) dos poços I-BAS-68 e I-BAS-121. Fortes correlações próximo à profundidade corre-spondendo a 1500 metros podem ser vistas em todas as escalas, como mostrado pelas linhasverticas avermelhadas. Este alto grau de correlação foi obtido quando o segundo perfil édeslocado em 100 pontos (15,24 metros) com relação ao primeiro perfil. Abaixo, a correspon-dente função de correlação local, como definido em 4.3.2. O nível de 5% de significância éidentificado pela linha horizontal azul.

79

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

40

90

140

DT

(us/ft)


500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

40

90

140

DT

(us/ft)


Sca

le


16

32

64

128

256

512

1024

0.5 1 1.5 2 2.5

x 104

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1



Figura 4.18: Coerência em Ondaletas para os perfis DT (tempo de trânsito sônico) dospoços I-BAS-68 e I-BAS-121. Fortes correlações próximo à profundidade correspondendoa 2000 metros podem ser vistas em todas as escalas, como mostrado pelas linhas verticasavermelhadas. Este alto grau de correlação foi obtido quando o segundo perfil é deslocadoem 340 pontos (51,81 metros) com relação ao primeiro perfil. Abaixo, a correspondente funçãode correlação local, como definido em 4.3.2. O nível de 5% de significância é identificado pelalinha horizontal azul.

80

Capítulo 5

Considerações Finais

O uso de transformadas em espaço e frequência tem se intensificado nas últimas décadas noscampos de processamento de sinais e imagens. Especificamente, a transformada em ondaletasrevelou-se uma valiosa ferramenta para lidar com dados geofísicos, com aplicações na sísmicae na interpretação de perfis de poços. Aqui, aplicamos as ondaletas ao problema da correlaçãoentre perfis de um mesmo poço ou de poços diferentes, com um resultado satisfatório. Coma ferramenta da coerência em ondaletas, foi possível identificar zonas ou camadas geológicascoincidentes em poços distantes entre si, ou interfaces de camadas em um poço específico,por meio da correlação entre duas grandezas. Esta transformada combinada, relativamentemuito nova, possui um grande potencial de uso na análise de sinais unidimensionais como osque estão presentes nos problemas de geofísica.

A transformada em curvelets é um passo além com relação à transformada em ondaletas.Nela, a direção é incluída, além do espaço e frequência, permitindo assim estudar padrões defrentes de onda em uma imagem de acordo com suas componentes direcionais. A introduçãodesta nova análise permitiu simplificar o problema da atenuação do ruído de rolamento emdados sísmicos. A eficiência da técnica na remoção deste ruído foi impressionante, revelandoque tratar um sismograma no espaço das curvelets pode ser extremamente útil para enfrentarmuitos problemas do processamento, inversão e interpretação de dados sísmicos. Esperamosno futuro aplicar esta transformada para tentar criar técnicas alternativas de deconvoluçãoou migração.

Propomos um esquema baseado nas curvelets para a geração de superfícies brownianasanisotrópicas fracionárias com propriedades auto-similares dependentes da direção. Ele podecriar superfícies com uma distribuição angular arbitrária de parâmetros de Hurst, o queconstitui um passo adiante com respeito aos procedimentos baseados em ondaletas, taiscomo o método de Tavares e Lucena [20]. Nosso algoritmo proposto fornece bons resultadosmesmo no caso de uma mudança abrupta do índice de Hurst Hm dependente da orientaçãona distribuição angular.

Esperamos que este último modelo possa ser útil no estudo de sistema nos quais processos

81

estocásticos com dependência de longo alcance surjam, como por exemplo na geoestatística demeios porosos anisotrópicos de larga escala. Também poderia ser utilizado como um modelopara a simulação de ondas oceânicas, uma vez que se adapta bem às soluções conhecidas comoondas de Gerstner para as equações que governam a dinâmica de fluidos. Tudo o que temosa fazer é gerar coeficientes curvelet com distribuição gaussiana de média nula e variânciaobedecendo a (4.2.2), e então realizar a transformada curvelet discreta inversa, o que forneceuma superfície com a distribuição angular de expoentes H que foi introduzida no espaço dascurvelets. O estágio da transformada curvelet inversa de nosso método de síntese pode serrealizado por algoritmos discretos rápidos. As superfícies fractais geradas têm densidadesespectrais seguindo uma lei de potência dependente da orientação, de uma forma que seassemelha ao ladrilhamento discreto básico das curvelets no espaço das frequências.

82

Apêndice A

Densidade Espectral de Potência

A densidade espectral de energia, ou espectro, é geralmente aplicada a sinais físicos, e nosdá uma estimativa de como a energia destes sinais varia com a freqüência. Seja um sinalf(t) ∈ L2, ou seja, de quadrado integrável ou energia finita1, a densidade espectral Φ(ω) éo quadrado do módulo de sua transformada de Fourier f(ω):

Φ(ω) =

∣∣∣f(ω)∣∣∣2

2π(1)

O fator 1/2π pode ser alterado conforme as constantes de normalização escolhidas paraa definição da transformada de Fourier.

O teorema de Parseval permite relacionar a energia total de um sinal com a integral dadensidade espectral:

ˆ ∞−∞|f(t)|2 dt =

ˆ ∞−∞|Φ(ω)| dω (2)

A decomposição de sinais para o domínio da freqüência, através da transformada de Fou-rier, constitui uma árdua tarefa quando se tem de trabalhar com sinais aleatórios como osgerados por processos estocásticos, em virtude da grande irregularidade desses sinais. Nestescasos, porém, pode-se definir uma decomposição em potência do sinal, evitando o inconveni-ente de se lidar com energias não-finitas.

Para um sinal f(t), |f(t)|2pode ser visto como uma espécie de potência instantâneaassociada a ele, como pode ser verificado com (1) e (2), e cujo valor médio é:

limT→∞

1

2T

ˆ T

−T|f(t)|2 dt

Para sinais com energia não-finita, é conveniente definir uma transformada de Fouriertruncada:

1Ver apêndice ??

83

fT (ω) =

ˆ T

−Tf(t)e−iωtdt (3)

Assim, de (2):

1

2T

ˆ T

−T|f(t)|2 dt =

ˆ ∞−∞

∣∣∣fT (ω)∣∣∣2

2T

dω

2π(4)

que relaciona a potência média com o valor médio da densidade espectral da energia. Apro-ximando o intervalo [−T, T ] para o sinal não-truncado, definimos a densidade espectral depotência por

Sf (ω) = limT→∞

1

2TE[∣∣∣fT (ω)

∣∣∣2] (5)

Usualmente, quando trabalhamos com sinais de caráter aleatório, surgem muitas dificulda-des matemáticas de se aplicar diretamente ao sinal a definição (5). Em geral, prefere-se obtero espectro de potência por meio da relação de Wiener-Khintchin, para um sinal aleatório“estacionário no sentido amplo”2, obtida de (5)3:

Sf (ω) =

ˆ 2T

−2TCf (u)e−iωudu (6)

em que Cf (u) é a função de auto-covariância4 do sinal, que pode ser facilmente obtida.Como se vê, Sf (ω) é a transformada de Fourier de Cf (u), e, logo, também é uma forma dese caracterizar correlações no tempo ou no espaço.

2Ver apêndice B para a definição de um processo “estacionário no sentido amplo”3Ver apêndice E para uma demonstração do teorema de Wiener-Khintchin, partindo da equação (5).4Ver apêndice B para uma definição de autocovariância, com base em sua relação com a autocorrelação de um sinal.

84

Apêndice B

Autocovariância e Autocorrelação

A autocovariância de um sinal f(t) com média nula é definida por:

Cf (t, τ) = E [f(t)f(t+ τ)] (1)

Para processos ditos do tipo “estacionários no sentido amplo”1, que possuem a seguintecaracterística:

E [f(t)f(t+ τ)] = E [f(τ)f(0)]

temos Cf (t, τ) = Cf (τ). Ou seja, a autocovariância depende apenas do deslocamento τ .A definição (1) é freqüentemente atribuída à de autocorrelação por muitos autores. Aqui,

definiremos a autocorrelação por:

Rf (τ) =Cf (τ)

σ2

em que σ2 representa a variância de f(t).A função de autocorrelação de 2 pontos aplicada a um sinal f(t) permite medir a inter-

dependência entre flutuações ocorrendo em duas localizações ou instantes difrentes. Faremosalusão a esta característica sempre que empregarmos o conceito de autocovariância nestetrabalho.

1do inglês “wide-sense stationary”

85

Apêndice C

Densidade espectral da função gd = δ(t)− δ(t− d)

Por definição, a transformada Fourier da função Delta de Dirac δ(t) é dada por:

F [δ(t)] (ω) =1√

2π

´∞−∞ δ(t)e

−iωtdt

=1√

2π

Usando a propriedade de translação da transformada de Fourier, F [f(t− u)] (ω) =

e−iuωf(ω), temos:

F [δ(t− d)] (ω) =1√

2πe−idω

Assim, podemos escrever a transformada da função gd = δ(t) − δ(t − d) da seguinteforma:

gd(ω) =1√

2π−

1√

2πe−idω

=1√

2π

(1− e−idω

)=

1√

2π(1− cos dω + isendω)

Estamos interessados na densidade espectral |gd(ω)|2

|gd(ω)|2 =1

2π|1− cos dω + isendω|2

=1√

2π(1− cos dω + isendω) (1− cos dω − isendω)

=1√

2π(2− 2 cos dω)

=2√

2π(1− cos dω)

86

usando a relação trigonométrica cos b = cos(b2 + b

2

)= cos2 b

2 − sen2 b2 , temos:

|gd(ω)|2 =2√

2π

(1− cos2

dω

2+ sen2

dω

2

)

=2√

2π

(sen2

dω

2+ sen2

dω

2

)

=2√

2π

(2sen2

dω

2

)

=4√

2π

(sen2

dω

2

)

87

Apêndice D

“Frames” de um Espaço Vetorial

Um “Frame” de um espaço vetorial V é uma sequência {ek} de elementos de V, para os quaisexistem duas constantes A > 0 e B > 0 de modo que, para qualquer f ∈ V , temos:

A ‖f‖2 ≤∑k

|〈f, ek〉|2 ≤ B ‖f‖2

Ou seja, podemos escolher as constantesA eB, independentemente de f ; elas só dependemdo conjunto {ek}. Assim, um frame define uma representação estável e completa de V, e suaredundância pode ser medida pelos limites do “Frame” A e B se {ek} for normalizado.

Um “Frame” de vetores que são linearmente independentes é chamada de base de Riesz.Se {ek} for linearmente independente e normalizada, então se tem:

A ≤ 1 ≤ B

Assim, um “Frame” é ortonormal se e somente se A = B = 1.Esta definição é usada na sub-seção 3.2 para demonstrar que a transformada em ondaletas

diádica é uma representação completa de L2(R).

88

Apêndice E

Demonstração do Teorema de Wiener-Khintchin

Seja a definição do espectro de potência:


1

2TE[∣∣∣fT (ω)

∣∣∣2]

= limT→∞

1

2TE[fT (ω)f∗T (ω)

]Introduzindo a definição (3) para a transformada de Fourier truncada fT :


1

2TE

[ˆ T

−Tdt1f(t1)e

−iωt1ˆ T

−Tdt2f(t2)e

iωt2

]

= limT→∞

1

2T

ˆ T

−Tdt1

ˆ T

−Tdt2E [f(t1)f(t2)] e

−iω(t1−t2)

Lembrando que E [f(t1)f(t2)] é a autocovariância Cf (t1 − t2) de uma sinal f(t) estaci-onário.


1

2T

ˆ T

−Tdt1

ˆ T

−Tdt2Cf (t1 − t2)e−iω(t1−t2)

Fazendo as mudanças de variável u = t1− t2 e v = t1 + t2 e calculando-se a determinantejacobiana, pode-se reduzir a expressão a uma única integral:


1

2T

ˆ 2T

−2Tdu(2T − |u|)Cf (u)e−iωu

Arranjando esta última expressão de forma a explorar o limite infinito:


ˆ 2T

−2Tdu(1− |u|

2T)Cf (u)e−iωu

Chegamos a:

89

Sf (ω) =

ˆ 2T

−2TCf (u)e−iωudu

Que expressa o resultado do teorema de Wiener-Khintchin.

90

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95

Índice Remissivo

índice de correlação local, 71

auto-similaridade, 34autocorrelação, 85autocovariância, 85, 89

bancos de filtros, 30Brown, Robert, 4

caixa de Heisenberg, 29caminhante aleatório, 5, 6Candès, 40coeficientes de aproximação, 30coeficientes de detalhe, 31coerência em ondaletas, 70

densidade espectral de energia, 83detrended fluctuation analysis, 67difusão, 7Donoho, 40

Einstein, Albert, 4espectro de potência, 13, 84Expoente de Hurst

determinação, 35

filtros de conjugado espelhado, 31Fourier, Joseph, 25fractais, 69frames, 29, 88

gráfico de logaritmo de escala, 35gráficos do logaritmo de escalas, 35

Haar, Alfred, 26Hansen, Alex, 69Heneghan, 64

Kolmogorov, 11

Lucena, Liacir dos S., 69

método da média direcional, 65Mallat, Stéphane, 30Mandelbrot, 2, 11modelo de Bak-Sneppen, 70Morlet, Jean, 26movimento Browniano, 7, 12

propriedades, 7movimento Browniano fracionário, 11, 35,

69, 70densidade espectral, 12

movimento Gaussiano fracionário, 69

ondaleta de Morlet, 27, 70ondaleta mãe, 26ondaletas de Daubechies, 34ondas de Rayleigh, 3, 59

Pearson, Karl, 5Peng, 67perfis de poços

correlação entre, 68

Rayleigh, 5relação de Wiener-Khintchin, 13, 84ruído de rolamento, 59

96

Sahimi, Muhammad, 69Silva, Luciano R. da, 69superfície Browniana fracionária

análise em ondaletas, 3818superfície Browniana fracionária anisotró-

picasíntese com cuvelets, 64variância dos coeficientes curvelet, 55

20

Tavares, Deilson de M., 64teorema de Parseval, 83teorema de Wiener-Khintchin, 89Torrence, 70transformada de Fourier, 61, 83transformada de Fourier truncada, 83, 89transformada em curvelets, 40transformada em ondaletas, 26

algoritmo piramidal, 30contínua, 26, 27diádica rápida, 31discreta, 29bidimensional, 37

transformada em ondaletas cruzada, 70transformada Karhunen-Loève, 61

97

representações espectrais de sistemas complexos ... · à rede cooperativa de pesquisa em...

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