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J. F. Silva Gomes, FEUP - Porto, 2009

CAPÍTULO V

TORÇÃO DE PEÇAS LINEARES

5.1. RESUMO DA TEORIA

5.1.1. Veio Cilíndrico de Secção Circular

Considere-se um veio de secção circular, de material homogéneo e isotrópico, submetido à acção de dois binários de torção (Mt) iguais e de sentidos opostos, aplicados nas duas secções extremas, (a) e (b), e actuando nos respectivos planos, Fig.5.1. O momento torsor em qualquer secção intermédia entre (a) e (b) é constante e igual a Mt.

Utilizando as coordenadas cilíndricas (r,θ,z), oriente-se o eixo dos zz segundo a direcção axial do veio e designem-se por u e v as componentes do deslocamento ur e uθ, segundo as direcções radial e tangencial, respectivamente. A componente do vector deslocamento uz, na direcção axial, é designada por w.

Os binários Mt aplicados produzem uma rotação relativa Φ entre as duas secções extremas, de tal modo que a geratriz AB, inicialmente rectilínea, deforma-se segundo a configuração duma hélice cilíndrica AB'. Por razões de simetria, a deformação do veio processa-se de tal modo que:

(i)-Secções rectas do cilindro permanecem

circulares e planas após a deformação, rodando em torno do respectivo centro.

(ii)-Um raio qualquer traçado sobre uma

secção recta permanece rectilíneo durante a

deformação do veio.

(iii)-O ângulo entre dois quaisquer raios no

plano duma secção recta permanece constante

durante a deformação do veio. Fig.5.1-Torção dum veio de

secção circular

B

B’

Φ

Mt

Mt

dz

φ

φ =θz

C

A

O

z

(a)

(b)

2 Mecânica dos Materiais e Estruturas Lineares. Teoria e Aplicações


Cada secção recta do veio roda em torno do respectivo centro como um disco absolutamente rígido. O ângulo de rotação φ é proporcional à distância z da secção em questão à base fixa 0=z , isto é:

z θφ = (5.1)

onde θ é o ângulo de torção por unidade de comprimento.

Nestas condições, para um determinado ponto P da secção à distância z da base (a), a componente do deslocamento segundo o eixo de simetria do cilindro é nula (w=0). Quanto às componentes u e v (em coordenadas

polares sobre o plano da secção recta) tem-se, de acordo com a Fig.5.2:

zrv

u

0

θ=

= (5.2)

As componentes do estado de deformação em coordenadas cilíndricas obtêm-se agora por derivação, recorrendo às equações deduzidas no parágrafo §3.19, isto é:

θθ

γ

γγεεε

θ

θθθ

rw

rz

vz

rzrzzrr

=∂∂+

∂∂=

=====

1

0 (5.3)

O estado de tensão correspondente obtém-se por aplicação das equações da lei de Hooke:

θγτ

ττσσσ

θθ

θθθ

GrG zz

rzrzzrr

==

===== 0 (5.4)

As tensões de corte τzθ variam, portanto, linearmente com a distância r do ponto que se está a considerar em relação ao centro geométrico da secção, conforme ilustrado no esquema da Fig.5.3. A tensão de corte τzθ pode exprimir-se em função do momento torsor Mt:

z

A

t IGdArGM 2∫ == θθ (5.5)

onde dArIA

z ∫= 2 é o momento de inércia polar da área da secção recta

circular relativamente ao eixo do veio.

Fig.5.2-Rotação da secção recta

O

P’

r

φ = θ z

v =r θ z

P(r,θ,z)

Capítulo V - Torção de Peças Lineares 3


Eliminando agora θ entre as equações (5.4) e (5.5), obtém-se a tensão τzθ em função do momento torsor Mt:

z

tz

I

rM=θτ (5.6)

No caso vertente, o momento de inércia polar Iz é:

2

4RI z

π= (5.7)

onde R é o raio da secção recta do cilindro.

A tensão de corte máxima ocorre nos pontos da periferia do veio, para r=R, isto é:

3

2

R

M

I

RM t

z

tmax π

τ == (5.8)

O valor C=Mt/θ=GIz=GπR4/2 é a chamada rigidez torsional do veio e a

quantidade K=Iz/R=πR3/2 é o módulo de torção da secção.

5.1.2. Veio de Secção Circular Oco

Os resultados obtidos no parágrafo anterior mantêm-se válidos para um veio oco (Fig. 5.4), com excepção para a expressão do momento de inércia polar (Iz), que neste caso toma a forma seguinte:

)1(22

)(4

42

41

42 m

RRRI z −=

−=

ππ (5.9)

onde R1 é o raio do furo, R2 é o raio exterior do cilindro e m = R1/R2. O módulo de torção (K) é, neste caso:

)1(2

432

2

mR

R

IK z −==

π (5.10)

Fig.5.4-Veio circular oco

Mt

Mt

R2

R1

τ

Fig.5.3-Distribuição das tensões

Mt

Mt

O

θτ z



No caso particular dum tubo de parede delgada (espessura e), Fig.5.5, em que e = R2-R1 << R2, tem-se:

eRRRRRRRRR m

31212

21

22

41

42 4))()(( ≅−++=− (5.11)

onde Rm=(R1+R2)/2 é o raio médio da secção. O momento de inércia polar Iz é, aproximadamente:

Ω=≅ 232 ReRI mz π (5.12)

onde eRmπ2=Ω é a área da secção recta do tubo.

As expressões para a tensão de corte e o ângulo de torção por unidade de comprimento são, respectivamente:

Ω≅≅

m

t

z

mt

R

M

I

RMτ (5.13)

mm

t

z

t

GRGR

M

GI

M τθ ≅

Ω≅=

2 (5.14)

5.1.3. Veio Prismático de Secção Arbitrária. Teoria de Saint-Venant

Considere-se agora um veio de secção arbitrária, Fig.5.6, sujeito à acção dum binário torsor Mt . De acordo com a teoria de Saint-Venant, admite-se que cada secção roda sem distorção, em torno do respectivo centro de gravidade, de um ângulo φ que é proporcional à distância à base fixa (z.=.0), isto é, Fig.5.7:

z θφ = (5.15)

Fig.5.6-Veio de secção arbitrária

y

x

z

Mt

O

Fig.5.7-Rotação da secção

y

x

y

v

u

x

θz

P

P’

G

Mt

(C)

(C’)

Fig.5.5-Tubo de parede fina

e

Rm



onde θ representa o ângulo de torção por unidade de comprimento. Admite-se, também um deslocamento axial igual para todas as secções, descrito por uma função contínua w = w(x, y). O campo dos deslocamentos fica então definido pelas três componentes seguintes:

),(

yxww

xzv

yzu

=

=

−=

θ

θ

(5.16)

às quais corresponde o seguinte campo de deformações:

y

wx

y

w

z

vx

wy

x

w

z

u

yz

xz

xyzzyyxx

∂∂

+=∂∂

+∂∂

=

∂∂

+−=∂∂

+∂∂

=

====

0

θγ

θγ

γεεε

(5.17)

Por aplicação das equações da lei de Hooke, resultam as seguintes componentes do estado de tensão:

) (

) (

0

y

wxG

x

wyG

yz

xz

xyzzyyxx

∂∂

+=

∂∂

+−=

====

θτ

θτ

τσσσ

(5.18)

Das três equações de equilíbrio definidas no capítulo I, fica-se aqui reduzido a uma única equação de equilíbrio:

0=∂

∂+

∂∂

yx

yzxzττ

(5.19)

Quanto às equações de compatibilidade, também estas se reduzem a uma equação única, que se pode escrever em termos das tensões:

θττ

Gyx

xzyz 2=∂

∂−

∂

∂ (5.20)

Além disso, o sistema de tensões correspondente à solução das duas equações anteriores deverá satisfazer também as condições fronteira ao longo da superfície lateral (C) do cilindro.



Tendo em consideração o esquema ilustrada na Fig.5.8, a condição de ausência de tensões na superfície lateral do veio é traduzida através da equação:

)(em 0 Cml yzxz =+ττ (5.21)

Para resolver o sistema de equações (5.19)-(5.20), considere-se uma função auxiliar Φ(x,y), contínua, de tal forma que:

x

y

yz

xz

∂Φ∂−=

∂Φ∂=

τ

τ (5.22)

Facilmente se reconhece que as tensões τxz e τyz assim obtidas satisfazem incondicionalmente a equação de equilíbrio (5.19). Substituindo agora as expressões para τxz e τyz na equação de compatibilidade (5.20), obtém-se a seguinte equação na função Φ:

θGyx

22

2

2

2−=

∂Φ∂+

∂Φ∂ (5.23)

O problema da torção duma barra prismática fica assim reduzido à determinação duma única função - a função de Saint-Venant Φ(x,y) - matematicamente definida pela equação (5.23). As condições fronteira a ter em conta na resolução daquela equação deduzem-se directamente a partir da equação (5.21), isto é:

)(em 0 Cmx

ly

=∂Φ∂−

∂Φ∂ (5.24)

Por outro lado, tendo em conta que:

lds

dym

ds

dx =−= e (5.25)

onde s é a coordenada curvilínea ao longo do perímetro do contorno da secção recta do veio, a equação (5.24) pode escrever-se sob a forma:

)(em 0 Cds

d

ds

dy

yds

dx

x=Φ=

∂Φ∂+

∂Φ∂ (5.26)

Fig.5.8-Contorno da secção

y

G

dx

ds

),( mln =r

d y x

(C)



Esta equação traduz que o valor da função Φ se mantém constante ao longo da linha de contorno da secção recta do veio. Por outro lado, uma vez que no cálculo das tensões de torção apenas intervêm as derivadas da função Φ, o valor constante dessa função na periferia do veio pode ser tomado igual a zero, isto é:

)(em 0 C=Φ (5.27)

O valor do momento torsor Mt aplicado ao veio pode ser calculado por uma simples integração sobre a área da secção recta, isto é:

∫∫ Φ=−=AA

xzyzt dxdydxdyyxM 2)( ττ (5.28)

Isto é, o momento torsor Mt é numericamente igual ao dobro do volume do espaço limitado inferiormente pelo plano xy e superiormente pela superfície representada pela função de Saint-Venant Φ(x,y):

VolumeM t x2= (5.29)

5.1.5. A Analogia de Membrana (Teoria de Prandtl)

Considere-se uma membrana elástica de espessura muito fina, sem peso, plana e inicialmente sujeita a uma tracção uniforme, T, no plano (x,y), Fig.5.9(b). Fixando a membrana ao longo dum contorno (C), aplique-se uma sobre-pressão, p, também uniforme, na direcção perpendicular à superfície da membrana.

A membrana deforma-se, assumindo a forma duma superfície curva, Fig.5.9(a), que pode ser descrita por uma função apropriada, z=f(x,y). Admita-se ainda que a pressão p é suficientemente reduzida para que não seja significativamente alterado o valor da tensão inicial T.

Tome-se agora um elemento de membrana rectangular abcd, de dimensões dx.dy, e considere-se o equilíbrio de todas as forças que sobre ele actuam, Fig.5.10. Fig.5.9- Membrana elástica

z

x

a b

p

dx y

O

x Tdx

Tdy

dy (C)

(b)

(a)



Projectando as forças segundo a direcção do eixo dos zz, obtém-se:

0)()(

)()(

=∂∂−

∂∂

∂∂

∂∂+

+∂∂−

∂∂

∂∂+

∂∂+

y

zTdxdy

y

z

yy

zTdx

x

zTdydx

x

z

xx

zTdypdxdy

ou seja:

02

2

2

2=

∂∂+

∂∂+ dxdy

y

zTdxdy

x

zTpdxdy (5.30)

Donde:

T

p

y

z

x

z 2

2

2

2−=

∂∂+

∂∂ (5.31)

A equação (5.31) é formalmente idêntica à equação diferencial (5.23) que define a função de torção de Saint- Venant, Φ. Se a tensão superficial da membrana (T) ou a pressão normal (p) forem ajustadas de tal forma que a relação p/T seja numericamente igual a 2Gθ, então a equação diferencial (5.31) fica exactamente igual à equação (5.23), correspondente à função de torção. Além disso, se a membrana for fixada ao longo dum contorno (C) igual ao da secção recta do veio à torção, aquela reproduzirá fisicamente a forma da função Φ, na medida em que, para qualquer ponto de coordenadas (x,y), se tem Φ = z. Nestas condições, o declive da membrana em cada ponto, dz/dn, é

Fig.5.10-Equilíbrio das forças sobre um elemento de membrana

z

x

y

a

b

c

d

a

b

x

z

Tdx

Tdx

Tdy

Tdy

Tdy

Tdy

x

z

∂∂

dxx

z

xx

z

∂∂

∂∂

+∂∂

pdxdy

pdxdy



numericamente igual à tensão de corte (na direcção perpendicular a nr

), e o volume sob a membrana é igual a metade do momento torsor no veio. Existe portanto uma correspondência directa entre as duas situações, tendo em atenção que, de acordo com a analogia de Prandtl:

VolMn

z

GT

p

t x 2

2

⇔∂∂

⇔

⇔

τ

θ

(5.32)

5.1.5. Veio de Secção Rectangular

Aplicando a analogia de membrana a um veio prismático de secção rectangular (bxt), em que t<<b, Fig. 5.11, podem obter-se facilmente as expressões para a tensão máxima, que ocorre nos pontos médios (A) dos lados maiores e para a rigidez à torção Mt/θ:

3

3btG

MC t ==

θ (5.33)

2

3

bt

M tmax =τ (5.34)

Estas duas fórmulas são válidas apenas no caso de ser b>>t. Para secções rectangulares menos "estreitas", os valores que se obtêm são menos rigorosos, conforme se ilustra no quadro a seguir, comparados com os resultados produzidos por métodos mais elaborados, baseados na teoria de Saint-Venant. Na última linha da tabela são também apresentados os valores indicativos para o cálculo da tensão de corte nos pontos (B) sobre os lados menores do rectângulo.

Fig. 5.11 – Veio de secção rectangular

A

A

B

B

b

t

tMtM

z



Tabela 5.1 - Factores de correcção para as equações (5.33) e (5.34)

b/t ∞ 10.0 5.0 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0

2/btM t

maxτα = 3.00 3.20 3.44 3.74 3.86 5.06 5.33 5.80

3

/

Gbt

M t θχ = 0.33 0.31 0.29 0.26 0.25 0.23 0.20 0.14

2B

/btM t

τβ = 2.23 2.31 2.56 2.82 3.01 3.24 3.70 5.80

Retomando o rectângulo da figura anterior, imagine-se agora que o mesmo é "dobrado" a 90° numa secção intermédia, assumindo a forma de um L, conforme representado na Fig 5.12(a) a seguir. A membrana correspondente não altera significativamente a sua forma, à excepção de

alguns efeitos locais na região da "dobra". O volume sob a membrana, para uma determinada pressão p permanece aproximadamente igual ao da secção rectangular original. Isso significa que as equação (5.33) e (5.34) deduzidas para a secção rectangular também se aplicam a uma secção angular com o mesmo comprimento e largura. Igualmente se poderá concluir que as mesmas equações se aplicam a outras secções abertas, como as representadas na Fig. 5.12(b). O comprimento b do rectângulo equivalente é igual ao perímetro total da linha média da secção considerada.

(a) (b)

b t

t b1

b2

b1+ b2=b

Fig. 5.12 – Perfis equivalentes a secção rectangular



A equação (5.34) para a tensão máxima é que já não é aplicável, devido ao efeito de concentração de tensões nos vértices reentrantes da secção angular, Fig.5.13. Uma solução aproximada, consiste em adoptar um coeficiente de concentração de tensões definido pela equação seguinte:

3

)67.4(

74.1r

tK

eq

maxt ==

ττ

(5.35)

5.1.6. Veio de Secção Tubular de Parede Fina

Existe uma classe importante de estruturas que utilizam elementos tubulares de parede fina ou que podem, em si mesmas, constituir uma peça tubular única sujeita a esforços de torção. É o caso, por exemplo, das vigas em caixão utilizadas em engenharia civil e dos elementos estruturais tubulares utilizados na construção automóvel e na indústria aeronáutica, onde as próprias asas ou fuselagem das aeronaves são peças tubulares de parede fina. A aplicação da analogia de membrana a estruturas deste tipo torna-se particularmente simples e expedita.

(i) – Tubo de Secção Unicelular

Na Fig.5.14 está representada a secção genérica duma peça tubular e a respectiva membrana. Aqui, a parte central da membrana é substituída por uma placa rígida sem peso, mantida na posição horizontal a uma determinada altura h, por forma a ser compatível com a condição de ausência de tensões na superfície interior da peça tubular. Na maior parte

das aplicações, a espessura t da parede tubular é constante. No entanto, por uma questão de generalidade, admite-se aqui que a espessura pode variar ao longo do perímetro L do tubo, conservando-se sempre muito mais pequena do que a dimensão global da secção. Neste caso, pode desprezar-se a variação do declive da membrana ao longo da espessura t e admitir que AC e BD são segmentos rectilíneos, Fig.5.14 - Secção tubular

C

D

A

B

h

t

A

t r

Fig.5.13-Efeito da dobra



portanto de declive constante. Isso equivale a admitir que as tensões de corte se distribuem uniformemente ao longo da espessura da parede da peça tubular sob torção.

Em cada ponto ao longo do perímetro da secção, o declive da membrana é dado pela seguinte expressão:

t

hDeclive = (5.36)

Donde, pela analogia de Prandtl, se pode concluir que a tensão de torção é inversamente proporcional à espessura local da parede.

Para se estabelecer a relação entre a tensão de corte e o momento torsor pode recorrer-se à analogia da membrana, calculando o momento a partir do volume ABCD na Fig.5.15. Assim:

tt

hAhAVol == x (5.37)

onde A é o valor médio da área delimitada pela linha média entre os contornos exterior e interior da secção tubular. Recorrendo à analogia da membrana (5.32), obtém-se:

τ 2 tAM t = (5.38) ou seja:

tA

M t

2=τ (5.39)

Quando a espessura da parede é muito fina, o valor da área A é aproximadamente igual à área A’ delimitada pelo contorno exterior, ou à área A” delimitada pelo contorno interior da secção. Se, na equação anterior, for utilizada uma das áreas A’ ou A”, em vez da área A, o valor τ ’ ou τ ” da tensão assim calculado deverá ser corrigido por um factor multiplicativo λ’τ ou λ”τ, respectivamente:

22''2

'2'

ttLA

A

+−=τλ , ou

2'2""2

"2"

ttLA

A

++=τλ

de tal modo que:

'' τλτ τ= , ou "" τλτ τ=

Considerando agora o equilíbrio vertical da placa central rígida, pode escrever-se:



s dt

hTAp

C∫= (5.40)

onde o integral de linha do segundo membro é avaliado ao longo de todo o perímetro da secção. Utilizando de novo a analogia da membrana, obtém-se:

∫=C

dA

G s 12 τθ (5.41)

ou seja, tendo em conta a expressão para a tensão τ, dada por (5.39):

∫=C

t

t

ds

GA

M

24θ (5.42)

ou ainda:

∫==

C

t

t

ds

GAMC

24 θ

(5.43)

No caso particular da espessura t ser constante ao longo de todo o perímetro L da secção do tubo, pode escrever-se:

L

tGAMC t

24 ==θ

(5.44)

No caso de serem utilizadas as áreas A’ ou A”, em vez da área A, os factores de correcção a utilizar são agora, respectivamente:

( )22

2

2''2'

')4'(4'

ttLAL

AtL

+−

−=θλ , ou

( )22

2

2""2"

")4"(4"

ttLAL

AtL

++

+=θλ

de tal modo que:

θλ '/'CC = , ou θλ"/"CC =

(ii) Tubo de Secção Multicelular

No caso duma secção tubular multicelular, Fig.5.15(b), a analogia de membrana pressupõe a existência de várias placas rígidas sem peso, cada uma delas em posição de equilíbrio na horizontal, a uma determinada altura hi, relativamente à base, Fig.5.15(a). Seguindo um raciocínio



semelhante ao do parágrafo anterior, a equação de equilíbrio vertical da célula de ordem i pode escrever-se:

dst

hTpA

iC

ii ∫

∆= (5.45)

onde Ai é a área da célula ∆hi representa a altura, se se trata duma parede exterior, ou a diferença entre as alturas dessa mesma célula e duma sua vizinha, no caso duma parede de separação entre células adjacentes. No total, obtém-se um conjunto de equações lineares algébricas nas incógnitas hi, em número igual ao número de compartimentos da secção:

dst

hTpA

dst

hTpA

dst

hTpA

nC

nn

C

C

.........................

2

1

22

11

∫

∫

∫

∆=

∆=

∆=

(5.46)

Tal como no caso do tubo de parede fina, a tensão de corte em cada uma das paredes, pode ser calculada em função da correspondente espessura e da variação de altura da membrana, isto é:

t

h∆= τ (5.47)

Ao utilizar esta expressão deve ter-se em atenção que, pela analogia de membrana, θGTp 2/ = .

Por outro lado, o volume total sob a membrana é dado pela expressão:

i

n

i

i hAVol ∑=

=1

(5.48)

Donde, pela analogia de membrana:

i

n

i

it hAM ∑=

=1

2 (5.49)

Fig.5.15-Secção tubular

h1 h2

h3

t

A1 A2 A3

(a)

(b)



5.1.7. Veio Circular de Diâmetro Variável

Considere-se um veio AB de secção circular de área variável, em que o raio R(z) varia ao longo do respectivo eixo, de comprimento L, e sujeito a um ou vários binários de torção aplicados ao longo do respectivo eixo, Fig. 5.16.

Seja Iz o momento polar de inércia polar da secção recta à distância z da base A, e seja Mt o momento de torção nessa mesma secção. Para valores de dR/dz relativamente pequenos, isto é, para veios em que a variação de secção é relativamente suave, a tensão de corte correspondente é dada por uma expressão idêntica à que é utilizada para os veios cilíndricos de secção circular:

z

t

I

zRM )(=τ

Naturalmente que, aqui, o momento de inércia Iz é também uma função da distância z que define a posição da secção em questão:

2

)( )(

4zRzI

π=

Quanto à deformação do veio, considere-se um disco elementar de espessura dz, conforme representado na figura. O ângulo de rotação entre

Fig.5.16-Veio de secção circular com diâmetro variável

z

)(zR

dz

tM

tM

z

L



as duas faces do elemento dz é dado pela expressão já deduzida para o veio cilíndrico:

z

t

GI

dzMd =φ (5.50)

O ângulo de rotação entre duas secções quaisquer, z1 e z2, obtém-se por integração da equação (5.50):

∫=2

1

z

z z

t dzGI

Mφ (5.51)

No caso particular dum veio cilíndrico de secção circular, sujeito a um momento constante Mt, a equação anterior reduz-se à equação (5.5):

z

t

GI

M

L==

φθ

5.1.8. Energia de Deformação em Torção

A energia elástica de deformação num veio de secção circular de diâmetro gradualmente variável, é dado pela expressão seguinte:

dVGI

rMdV

GU

V z

t

V

∫∫∫∫∫∫ ==2

222

22

τ

Pondo dV = Adz (ver Fig.5.16), obtém-se:

dzGI

MdArdz

GI

MU

L

z

t

A

L

z

t ∫∫∫∫ ==0

22

02

2

22 (5.52)

No caso particular dum veio cilíndrico de secção circular a equação anterior reduz-se à forma seguinte:

zGI

LMU

2

2

= (5.53)



5.2. PROBLEMAS RESOLVIDOS

PROBLEMA – 5.2.1.

Um veio em liga de alumínio (G=27GPa) está encastrado nas extremidades A e C em duas paredes fixas, sendo solicitada por um momento de torção Mt=20kNxm, aplicado numa secção intermédia B, conforme indicado na figura.

Calcule o diâmetro que o veio deverá ter, sabendo que a tensão de corte máxima admissível para o material é τadm=60 MPa e que o ângulo de torção por unidade de comprimento não deve exceder 1º/m.

RESOLUÇÃO:

Sejam MA e MC os momentos de reacção nas duas secções extremas A e C, respectivamente. A condição de equilíbrio dos momentos segundo a direcção do eixo do veio exige que seja:

20=+ CA MM (a)

Por outro lado, a condição de continuidade geométrica na secção B implica que sejam iguais os ângulos de rotação para os dois troços AB e CB, isto é:

BCAB φφ =

Ora as rotações unitárias associadas a cada um dos momentos MA e MC são, respectivamente:

zGI

MAAB =θ e

zGI

M CCB =θ

Donde:

zGI

MAAB AB×=φ e

zGI

MCBC BC×=φ

E, portanto:

1200600

kNmM 20B =C

CM

AB

AM



zz GI

M

GI

M CA BCAB ×=×

Ou seja:

CA BCAB MM ×=×

Substituindo os valores para CB e AB , obtém-se:

CA 1200600 MM ×=×

Donde

CA 2 MM ×= (b)

Resolvendo o sistema de equações (1) e (2), obtém-se:

mKNM ×= 33,13A e mKNM ×= 67,6C

O momento torsor máximo ocorre, portanto, ao longo do troço AB, e o seu valor é igual a MA, isto é:

mKNM t ×= 33,13

Agora, impondo agora a condição:

admt

maxd

Mτ

πτ ≤=

3

16

Obtém-se:

36

31060

133301616

××

×=≥

ππτadm

tMd =104,1 mm (c)

Quanto ao ângulo de torção, pode escrever-se:

z

tmax

GI

M=θ

onde:

θ é o ângulo de torção por unidade de comprimento (em radiano);

32/4dI z π= é o momento de inércia da secção em relação ao eixo;

1º =0,0175 rad

Então:

0175,032

4≤

dG

M t

π



Donde:

mmd 130,2 0175,01027

13330324

9=

×××

×≥

π

Comparando com (c), concluí-se que, para satisfazer em simultâneo as duas condições impostas, o diâmetro do veio deverá ser superior a 130,2 mm, isto é:

mmd 130,2 ≥

PROBLEMA – 5.2.2.

Um motor desenvolve uma potência de 200 kW às 250 rpm sobre a secção A de um veio de secção circular, conforme ilustrado na figura. As rodas dentadas em B e C absorvem 90 kW e 110 kW, respectivamente. Calcule o diâmetro que o veio deverá ter, supondo que a tensão admissível do material ao corte é de 50MPa e que o ângulo de torção entre o motor e a roda dentada C está limitado a um valor de 1,5º. Considere que o módulo de rigidez do material do veio é G=80GPa.

Nota: Tenha em atenção que Potência(kW)=Binário(kNxm)xω(rad/s).

RESOLUÇÃO:

O binário entregue pelo motor na extremidade A do veio obtém-se a partir da potência e da velocidade de rotação:

mNP

MBinário t ×=×

×== 44,7639

60/2502

10200)(

3

πω

Este é o momento torsor que actua ao longo do segmento AB:

mNMM tAB ×== 44,7639

A roda dentada B absorve 90kW, isto é 90/200 = 45% da potência total, pelo que o momento que passa para o segmento BC é reduzido na mesma proporção. Assim, obtém-se:

mNM BC ×=−×= 69,4201)45,01(44,7639

Motor

Roda B Roda C A

1800mm 1200mm

Veio diâmetro d Chumaceira



A tensão de corte máxima ocorre, naturalmente, no segmento AB (correspondente ao momento máximo a que o veio está submetido). O seu valor é dado pela expressão habitual:

3

16

d

M tmax

πτ =

A condição de integridade do material impõe que seja:

admt

maxd

Mτ

πτ ≤=

3

16

isto é:

63

105044,763916

×≤×

dπ

donde:

mmmd 92092,01050

44,7639163

6==

××

×≥

π (a)

Quanto à condição relativa à deformação do veio, tem-se que a rotação entre as duas secções extremas é igual à soma das rotações φAB e φBC dos segmentos AB e BC, respectivamente. Para cada um destes segmentos, tem-se:

zGI

MAAB =θ e

zGI

M CCB =θ

Donde:

4AB

AB32

ABdG

M

πφ ×= e

4BC

BC32

BCdG

M

πφ ×=

E, portanto:

( )BCAB4BCABAC BCAB32

MMdG

×+×===π

φφφ

Substituindo os valores para G, BCAB e , BC , AB MM , obtém-se:

4

6

AC1039,2

)(d

rad−×

=φ

Impondo agora a condição:

º5,1AC ≤φ



resulta:

mmmd 97097,0180/5,1

1039,24

6

==π××

≥−

(b)

Comparando (a) e (b) concluí-se que, para satisfazer as duas condições impostas, o diâmetro do veio deverá ser superior a 97 mm, isto é:

mmd 97 ≥

PROBLEMA – 5.2.3.

Um veio de secção circular composta é construído a partir de uma barra de aço (G=80 GPa) com 75 mm de diâmetro, revestida por um tubo de latão (G=40GPa) perfeitamente acoplado.

a)- Determine o diâmetro exterior do tubo, de tal modo que, quando for aplicado um momento torsor ao veio composto, esse momento seja igualmente repartido pelos dois materiais.

b)- Para um momento torsor aplicado de 16 kNm, calcule a tensão de corte máxima em cada um dos materiais e o ângulo de torção do veio num comprimento de 4 metros.

c)- Para o valor do momento torsor considerado em b), calcule a energia elástica de deformação por metro de comprimento do veio.

RESOLUÇÃO:

a)-Cálculo do Diâmetro Exterior do Tubo

Sejam:

M - Momento torsor total aplicado ao veio

M1-Momento absorvido pelo núcleo de aço (1)

M2-Momento absorvido pelo tubo de latão (2)

É obvio que se tem:

M1+M2 = M (a)

Por outro lado, tem-se:

111 IGM θ=

222 IGM θ=

(2)

)1(

d1

d2



Ou seja:

32 1080

419

1d

Mπ

θ ×××=

( )32

104042

429

2dd

M−

×××=π

θ

Da condição de igualdade dos dois momentos M1 e M2, obtém-se:

( )41

42

41 4080 ddd −×=×

Isto é:

316,134

1

2 ==d

d

Substituindo o valor d1=75 mm, obtém-se o diâmetro exterior do tubo de latão:

mmmmd 71,9875316,12 =×=

b)-Tensões de Corte e Ângulo de Torção

O momento torsor absorvido por cada um dos elementos é igual a metade do momento total, isto é:

mKNMMM t ×=== 821

Donde:

( )

( ) ( ) MPaI

RM

MPaI

RM

tlatãomax

taçomax

5,63

32

075,00987,0

0493,01080

6,96

32

075,0

0375,01080

44

3

2

2

4

3

1

1

=−×

××=

×=

=×

××=

×=

πτ

πτ

Quanto ao ângulo de torção, ele é igual para ambos os elementos. Tomando o núcleo de aço, por exemplo, tem-se:

mmradIG

M t /º 1,85 / 03226,0101,31080

108

69

3

11

==×××

×==

−θ

Para um comprimento de 4 metros de veio, tem-se:

7,4º 85,14 4 =×=×=Φ θ



c)-Energia Elástica de Deformação:

No caso da torção, a densidade de energia elástica é dada pela expressão geral seguinte:

22

20 2

1

2

1r

I

M

GGU

z

t

== τ

Ou seja, para o núcleo de aço:

2622

6

3

910 104,41101,3

108

10802

1rrU ×=

×

×

××= −

(Joule/m3)

Donde a energia total no núcleo de aço:

mJouleR

drrrdrUU

RR

/ 1294

108,82108,822416

1

0

36

1

0

011 =×π=×π=π= ∫∫

Em alternativa, poder-se-ia utilizar directamente a fórmula seguinte:

z

t

GI

LMU

2

2

=

isto é:

( )mJouleU /129

101,310802

110869

23

1 =××××

××=

−

Para o tubo de latão:

2622

6

3

920 107,20102,6

108

10402

1rrU ×=

×

×

××= −

(Joule/m3)

e

mJouler

drrrdrUU

R

R

R

R

/ 1294

10130101302

0494,0

0375,0

46

2

1

362

1

022 =

×=×=π= ∫∫

Também aqui, podia escrever-se directamente:

( )mJouleU /129

102,610402

110869

23

2 =××××

××=

−

Finalmente, obtém-se a energia total de deformação:

mJouleUUU / 25821 =+=



PROBLEMA – 5.2.5.

Um veio tubular de secção circular, é construído em aço (G=80GPa) e cobre (G=40GPa), e alumínio (G=30GPa), rigidamente ligados, com as dimensões indicadas na figura ao lado.

a)-Determine o valor da rigidez torsional (Mt/θ ) do veio composto representado na figura ao lado.

b)- Considere as tensões admissíveis para o aço, para o cobre e para o alumínio iguais a 100 e 40 e 35 (MPa), respectivamente.

Determine o valor máximo do momento torsor que o veio é capaz de transmitir.

c)- Discuta a validade e limitações da metodologia que seguiu na resolução das alíneas anteriores, tendo em consideração, entre outros parâmetros, a relação entre as espessuras das paredes dos tubos e o respectivo diâmetro.

RESOLUÇÃO:

a) – Rigidez à Torção do Veio Composto

Usando uma nomenclatura semelhante à que foi utilizada no problema anterior, sejam:

M - Momento torsor total aplicado ao veio

M1-Momento absorvido pelo núcleo de Alum (1)

M2-Momento absorvido pelo tubo de cobre (2)

M3-Momento absorvido pelo tubo de aço (3)

É obvio que, neste caso, se tem:

M1+M2 +M3= M (a)

Por outro lado, tem-se:

111 IGM θ=

222 IGM θ=

333 IGM θ=

Ou seja:

mm80mm90

mm100

Alumínio

deNúcleo

Cobre

Aço

1d

2d

3d

)1(

)2(

)3(



32 1030

419

1d

Mπ

θ ×××=

( )32

104041

429

2dd

M−

×××=π

θ (b)

( )32

108042

439

3dd

M−

×××=π

θ

Adicionando as três equações anteriores membro a membro, obtém-se:

( ) ( )[ ]42

43

41

42

41

9321 804030

32

10ddddd

MMM−+−+

×=

++ πθ

Donde a rigidez à torção do veio composto:

radNmMMMM

C /1088,4 5321 ×=++

==θθ

(c)

b) – Momento Torsor Máximo

Os momentos absorvidos por cada um dos elementos obtém-se a partir das equações (b), tendo também em conta a equação (c). Assim:

Md

C

MM 247,0

32 1030

419

1 =×××=π

( )M

dd

C

MM 199,0

32 1040

41

429

2 =−

×××=π (d)

( )M

dd

C

MM 554,0

32 1080

42

439

3 =−

×××=π

As tensões de corte máximas em cada um dos elementos ocorre nos pontos das superfícies periféricas correspondentes, isto é, para d=d1, d=d2 e d=d3, respectivamente:

( )

( )

( ) 644

2

3

333

644

2

2

222

63

1

111

101008200)09,01,0(

554,016

2

10403690)08,009,0(

199,016

2

1035246008,0

247,016

2

×≤=−×

×==

×≤=−×

×==

×≤=×

×==

MMd

I

dM

MMd

I

dM

MMI

dM

max

max

max

πτ

πτ

πτ



Resolvendo as inequações anteriores, obtém-se o valor do momento máximo para o qual nenhuma das tensões admissíveis dos diferentes materiais será ultrapassada:

mkNM max ×= 8,10

c) – Limitações do Método

As equações utilizadas correspondem à solução exacta do problema da torção de veios cilíndricos ou tubos de secção circular, pelo que o rigor da metodologia adoptada não depende dos valores relativos dos diâmetros e das espessuras dos diversos elementos do veio de secção composta em questão.

PROBLEMA – 5.2.5.

Considere um veio prismático de secção elíptica, conforme representado na figura, com os semi-eixos maior e menor iguais a a e b, respectivamente.

Utilizando a teoria de Saint-Venant para a torção de peças lineares, determine:

a)- A distribuição das tensões na secção.

b)- O campo dos deslocamentos axiais em cada secção

RESOLUÇÃO:

a) – Distribuição das Tensões na Secção

O contorno elíptico da secção é definido pela seguinte equação:

12

2

2

2

=+b

y

a

x (a)

Qualquer função de tensão do tipo:

−+=Φ 1

2

2

2

2

b

y

a

xm

onde m é uma constante arbitrária, satisfaz a condição fronteira (a). Substituindo na equação de compatibilidade (5.23), resulta que a função Φ(x,y) deverá obedecer à condição:

θGba

m 211

222

2 −=

+=Φ∇

B

B

A A O a

b

x

y

Mt



donde resulta:

22

22

ba

baGm

+−=

θ

e, portanto:

−−

+=Φ

2

2

2

2

22

22

1

b

y

a

x

ba

baGθ

O momento torsor Mt obtém-se, de acordo com a equação (5.28):

22

33

2

2

2

2

22

22 )1(

2

ba

baGdxdy

b

y

a

x

ba

baGM

At

+=−−

+= ∫

θπθ

As componentes τxz e τyz obtêm-se por derivação da função Φ, isto é:

322

2 2

2

ab

yM

ba

yaG

y

txz

π

θτ −=

+−=

∂Φ∂

=

ba

xM

ba

xbG

x

tyz 322

2 2

2

π

θτ =

+=

∂Φ∂

−=

A tensão de corte máxima ocorre nos pontos B da secção recta:

2

2

ab

M tmax π

τ =

b) – Campo dos Deslocamentos

O deslocamento axial dos pontos de cada secção pode ser calculado por integração, a partir das equações (5.17), exprimindo as deformações em termos da função de tensão Φ, através das equações (5.18) e (5.22). Assim obtém-se:

22

2

22

2

21

21

ba

xb

xGx

y

w

ba

ya

yGy

x

w

++=

∂Φ∂−=+

∂∂

+−=

∂Φ∂+=−

∂∂

θθ

θθ

Admitindo que o deslocamento axial é nulo nos pontos do eixo do veio, isto é w=0, para x=0 e y=0, o resultado da integração das equações anteriores define o deslocamento axial dos pontos da secção recta:



22

22 )(

ba

xyabw

+

−=

θ

No caso particular duma secção circular (a = b), tem-se que w=0, o que confirma a hipótese de base adoptada na teoria elementar.

PROBLEMA – 5.2.6.

A solução do problema relativo à torção dum veio de secção triangular equilátera (ver figura) pode obter-se a partir da seguinte função de torção de Saint-Venant:

+

−+

−−=Φ hxhyxhyxK3

1

3

23

3

23

a)-Determine a constante K, em termos de G e θ, e mostre que o momento torsor é dado pela expressão:

315

4hG

M t

θ=

a)- Determine a constante K, em termos de G e θ, e mostre que o momento torsor é dado pela expressão:

315

4hG

M t

θ=

b)- Calcule o valor máximo da tensão de corte e identifique o(s) ponto(s) onde ocorre.

c)- Calcule o ângulo de torção por unidade de comprimento.

RESOLUÇÃO:

a)-Função de Saint-Venant e Momento de Torção

A função de Saint-Venant Φ deverá satisfazer, simultaneamente, a equação de compatibilidade:

h

3

h

3/h

3/2h x

y

G



θGyx

22

2

2

2

−=∂

Φ∂+

∂

Φ∂ (a)

e a condição de fronteira:

0=Φ (b)

Ao longo de todo o contorno (C) da secção triangular.

Quanto à condição (b), basta atender às equações dos três lados do triângulo:

03/

03/23

03/23

=+

=−+

=−−

hx

hyx

hyx

Para concluir que a função Φ satisfaz, de facto, a condição fronteira (b).

No que diz respeito à condição de compatibilidade (a), é de notar que, desenvolvendo a expressão proposta para a função Φ , se obtém:

( ) ( )

−−−+−=Φ 22322

27

23

2

1

2

12 hxyx

hyxKh

Calculando agora as derivadas, obtém-se, sucessivamente:

( )

+−=∂

Φ∂

+−=

∂

Φ∂

−−=

∂

Φ∂

−−−=

∂

Φ∂

xh

Khy

xyh

yKhy

xh

Khx

yxh

xKhx

312

32

312

2

32

2

2

2

2

22

(c)

Donde:

Khyx

42

2

2

2

−=∂

Φ∂+

∂

Φ∂

Então, para satisfazer a equação de compatibilidade (a), deverá ser:

θGKh 24 −=−

Donde:

h

GK

2

θ=



E portanto:

( ) ( )

−−−+−=Φ 22322

27

23

2

1

2

1hxyx

hyxGθ

O Momento de Torção Mt é dado pela expressão geral:

∫∫Φ×= dxdyyxM t ),(2

Donde, substituindo, obtém-se:

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

315

32

32

4

3

2

3

9

32

3

3

9

32

3

3

227223

2122

21

227223

2122

21

hG

dyhxyxyxdxG

dxdyhxyxyxGM

h

h

hx

hx

h

ht

θ=

−−−+×θ−=

=−−−+×θ−=

∫ ∫

∫∫+

−

+−

−

(d)

b)-Tensão de corte máxima

As componentes da tensão de corte em cada ponto (x,y) da secção são calculadas a partir das expressões gerais:

yxz ∂

Φ∂=τ e

xyz ∂

Φ∂−=τ

Substituindo pelas expressões em (3), ao longo do eixo dos xx obtém-se, (ver figura ao lado):

03

=

+−=

∂

Φ∂= xy

hyG

yxz θτ

−=

∂

Φ∂−= 2

3

2

2

3x

hx

h

G

xyz

θτ

O valor máximo da tensão de corte ocorre a meio de cada um dos lados do triângulo e vale:

2

hGmáx

θτ =

y

x

maxτ



c)-Ângulo de Torção por Unidade de Comprimento

O ângulo de torção por unidade de comprimento (θ ) pode obter-se, por exemplo, a partir da equação (4) acima, isto é:

4

315

Gh

M t=θ

PROBLEMA – 5.2.7.

Deduza as equações principais para a torção de veios cilíndricos de secção circular, recorrendo à aplicação da teoria da analogia membrana de Prandtl.

RESOLUÇÃO:

No caso dum veio de secção circular, as condições particulares de simetria existente permitem estabelecer, à partida, que a altura z da membrana correspondente depende apenas duma única variável, que é a distância r ao centro da secção. Cortando a membrana por um plano horizontal paralelo à base de fixação, considere-se o equilíbrio vertical da parte superior, sujeita à acção das forças T e p, de acordo com o esquema representado na figura.

22 rprdr

dzT ππ =−

ou seja:

rT

p

dr

dz

2 −= (a)

Esta equação traduz que o declive da membrana é proporcional à distância r ao centro da secção. Consequente-mente, pela analogia da membrana, a distribuição das tensões no problema de torção correspondente segue uma lei semelhante, isto é:

rG θτ =

Este resultado está perfeitamente de acordo com o que foi obtido na introdução teórica, quando o problema da torção dum veio circular foi abordado pela primeira vez.

tMtM

R

z

z

p

T T dr

dz

R r

O



A configuração deformada da membrana obtém-se por integração directa da equação (a), ou seja:

teCT

prdr

T

prz +−=−= ∫ 4

2

2

A constante de integração na equação anterior é facilmente calculada pela condição de que, ao longo da periferia r= R, a cota z deve ser nula, isto é:

04

2

=+− teCT

pR

ou seja:

T

pRC te

4

2=

Donde:

)(4

22 rRT

pz −=

O volume sob a membrana obtém-se também por integração:

4

0

22

0 8)(

22 R

T

prdrrR

T

prdrzVol

RR

∫∫ =−==ππ

π

Pela analogia da membrana, resulta a seguinte expressão para o momento torsor:

θθπ

zt GIGRVolM 2

2 4 ===

ou seja,

zt GI

M =

θ

Estes resultados estão, também, de acordo com as expressões deduzidas no parágrafo §5.2, para a torção de veios de secção circular.

PROBLEMA – 5.2.8.

Deduza as expressões para as tensões e deformação num veio prismático de secção rectangular (bxt), em que t<<b.

A

B

b

t

tM

tM

z

B

A



RESOLUÇÃO:

Uma vez que o comprimento b é muito maior do que a largura t, a forma da membrana deverá ser aproximadamente cilíndrica, com as respectivas geratrizes paralelas à direcção de b, distorcendo apenas nas extremidades, onde assume uma cota nula. Na zona central, a curvatura segundo a direcção y é nula e as forças de pressão p são equilibradas pelas forças de tensão na direcção do eixo dos xx. Nestas condições, a equação de equilíbrio duma porção central da membrana, com as dimensões lx2x escreve-se:

lxpdx

dzlT 2 2 =−

ou seja:

xT

p

dx

dz −=

Donde, por integração:

teCT

xpdxx

T

pz +−=−= ∫ 2

2 (a)

A constante de integração na equação (a) obtém-se impondo a condição de ser z

= 0, ao longo das linhas da periferia 2/tx ±= , isto é:

08

2

=+− teCT

pt

Donde:

T

ptC te

8

2=

e, portanto:

−= 2

2

42 x

t

T

pz

Esta é a equação duma parábola, e o valor máximo do declive ocorre nos pontos da periferia, para 2/tx ±= , isto é:

2 t

T

p

dx

dz

max

=

(b)

z

x y

z x

y

t

l b

2x A

B



Transportando este resultado para o caso da torção dum veio de secção rectangular, pode imediatamente concluir-se que a tensão máxima ocorre ao longo das linhas periféricas, 2/tx ±= , onde tem o valor, τmax=Gθ t.

Por outro lado, o valor do volume sob a membrana é dado, aproximadamente, pelo produto da área da secção (bxt) pela altura h da membrana, isto é:

bt

T

ptVol

42

32 2

=

Também pela analogia da membrana, a rigidez torsional do veio será:

3

3btG

MC t ==

θ (c)

Eliminando Gθ entre as equações (b) e (c) obtém- se, finalmente, o valor da tensão máxima em função do momento torsor aplicado:

2

3

bt

M tmax =τ

PROBLEMA – 5.2.9.

Pretende-se construir um elemento tubular de secção rectangular (200x100 mm

2) em aço (G=80GPa), para transmitir um momento torsor Mt = 20 kNxm.

Determine a espessura t que deverá ter o tubo, para que a tensão de corte não ultrapasse o valor admissível de τadm=50MPa e a rotação do veio seja inferior a 1º por metro.

RESOLUÇÃO:

Condição relativa à limitação da tensão no tubo:

Na figura abaixo está representada a secção recta do tubo e a respectiva membrana. No caso duma secção tubular unicelular, e considerando a área A’

x

z

y

tM

O



limitada pelo contorno exterior, a tensão é, numa primeira aproximação, dada pela expressão seguinte:

' '2'

tA

M t=τ (a)

Neste caso, tem-se:

MPa

mmL

mA

mNM

adm

t

50

6,0)2,01,0(2'

02,01,02,0'

10202

3

=≤

=+×=

=×=

××=

ττ

Substituindo em (a), obtém-se:

' 1022

10201050

2

36

t×××

×≥×

−

Donde:

mmmt 101010450

1020' 2

4

3

==××

×≥ −

Introduzindo o factor de correcção λ’τ relativo à tensão, tem-se:

17,101,0201,06,002,02

02,02

'2'''2

'2'

22=

×+×−×

×=

+−=

ttLA

Aτλ

Donde, a espessura corrigida: mmtt 7,11'' =×= τλ

Isto é, para que seja satisfeita a condição relativa à tensão máxima, o valor da espessura da parede do tubo deverá ser superior a 11,7 mm:

mmt 7,11≥ (*) (b)

(*)-Um cálculo mais rigoroso, que considerasse directamente a área A do contorno médio da espessura da parede, conduziria a um resultado apenas ligeiramente diferente, com t ≥ 12mm.

Condição relativa à limitação da deformação do tubo:

Para um tubo de parede de espessura constante, numa primeira aproximação, pode aplicar-se a seguinte expressão para a Rigidez Torsional da peça:

'

''4 2

L

tGAMC t ==

θ (c)

h

mm100

mm200

At



Onde L’ é o perímetro do contorno exterior da secção e A’ é a área delimitada por esse mesmo contorno. Neste caso particular, tem-se:

mradm

mL

mA

mNMGPaG

adm

t

/ 0,0175 /º 1

6,01,022,02'

102'

1020 ; 8022

3

==

=×+×=

×=

××==−

θ

Substituindo estes valores na equação (c) obtém-se:

mGA

LMt

adm

t 105,36 0175,010410804

1061020

'4

' ' 3-

49

13

2×=

×××××

×××=

×≥

−

−

θ

Introduzindo o factor de correcção λ'θ relativo à deformação, obtém-se:

( )

( )14,1

00536,0200536,06,002,026,0

02,0)00536,046,0(4

'2'''2'

)'4'(4'

22

2

22

2

=×+×−××

××−×=

+−

−=

ttLAL

AtL eθλ

Donde, a espessura corrigida:

mmtt 11,6'' =×= τλ

Isto é, para que seja satisfeita a condição relativa à deformação máxima, o valor da espessura da parede do tubo deverá ser superior a 6,11 mm:

mmt 11,6≥ (*) (d)

(*)-Um cálculo mais rigoroso, que considerasse directamente a área A do contorno médio da espessura da parede, conduziria a um resultado apenas ligeiramente superior, com t ≥ 6,25mm.

Para que sejam satisfeitas ambas as condições (b) e (d), o valor da espessura da parede do tubo deverá então ser superior a 11,7 mm:

mmt 7,11≥ (e)

PROBLEMA – 5.2.10.

Pretende-se transmitir um momento de torção Mt=40kNxm através duma barra tubular em aço (G=80GPa), de comprimento l=2m, constituída por dois tubos de secções quadradas concêntricas de lados iguais a 200mm e 100mm, respectivamente, ambos em chapa de igual espessura (t) e ligados nos topos,



conforme indicado na figura. A ligação na extremidade B deve ser tal que permita uma eventual diferença entre os deslocamentos axiais dos dois elementos.

a)- Determine a espessura (t) da chapa, de modo que em nenhum dos elementos seja ultrapassada a tensão admissível do material τadm=50MPa.

b)- Para o valor da espessura da chapa calculado na alínea anterior, determine o ângulo de torção entre as duas secções extremas do tubo.

c)- Reconsidere a alínea a), supondo agora que o elemento interior é em aço maciço.

RESOLUÇÃO:

a) – Cálculo da espessura da chapa

Designando por (1) e (2) os dois elementos distintos do tubo composto (ver figura), tem-se:

mL

mA

4,01,04'

101,01,0'

1

221

=×=

=×= − e

mL

mA

8,02,04'

1042,02,0'

2

222

=×=

×=×= −

Sejam M1 e M2 os momentos transmitidos por cada um dos elementos (1) e (2), respectivamente. Entre estes dois momentos e o momento global (Mt) transmitido pelo veio existe a relação seguinte:

tMMM =+ 21 (a)

A rigidez à torção para cada um dos elementos obtém-se a partir das expressões habituais:

tMtM)2(

)1(

mm002

mm001

m 2

tMtM

m 2 mm002

mm100



2

222

2

1

211

1

'

''4

'

''4

L

tGAMC

L

tGAMC

==

==

θ

θ (b)

Por outro lado, atendendo a que os dois elementos estão ligados entre si nas secções extremas, o ângulo de torção θ é igual para ambos. Além disso, porque os dois elementos são construídos a partir do mesmo tipo de chapa, o módulo de rigidez G e a espessura t também são iguais para ambos. Sendo assim, eliminando o ângulo θ entre as duas equações anteriores, resulta:

22

2221

11

'

'

'

'

A

ML

A

ML= (c)

Resolvendo agora o sistema de equações (a) e (c), obtém-se:

t

t

MALAL

ALM

MALAL

ALM

212

221

221

2

212

221

212

1

''''

''

''''

''

+=

+=

(d)

Substituindo pelos valores numéricos correspondentes:

mkNM

mkNM

×=×××+××

××=

×=×××+××

×=

−−

−

−−

−

56,351040108,010164,0

10164,0

44,41040108,010164,0

108,0

344

4

2

344

4

1

As tensões em cada um dos elementos são dadas pela expressão geral:

''2'

tA

M=τ

Assim, tem-se:

'

1045,4

'1042

1056,35

''2'

'

1022,2

'102

1044,4

''2'

5

2

3

2

22

5

2

3

1

11

tttA

M

tttA

M

×=

××

×==

×=

×

×==

−

−

τ

τ

A tensão máxima ocorre no elemento (2), pelo que:



65

2 10501045,4

' ×≤×

=t

τ

donde:

mmmt 9,8109,81050

1045,4' 3

6

5

=×=×

×≥ −

Este valor da espessura foi calculado com base na linha de contorno exterior da secção transversal, podendo ser obtida uma aproximação mais rigorosa, multiplicando-o pelo factor de correcção para a tensão no elemento exterior:

095,10089,020089,08,004,02

04,02

'2'''2

'2'

2222

2 =×+×−×

×=

+−=

ttLA

Aτλ

Donde a espessura corrigida:

mmmmtt 75,99,8095,1'' =×=×= τλ

isto é, a espessura da chapa deve ser igual ou superior a t = 9,75mm(*).

(*)-Um cálculo mais elaborado, considerando a área do contorno da linha média da secção conduziria a um resultado praticamente igual, t ≥ 9,8mm.

b) – Ângulo de Torção entre as duas Secções Extremas

Uma vez que é já conhecida a espessura da parede, o cálculo da repartição dos momentos, dado pelas equações (d), pode ser revisto, conduzindo a:

t

t

MALAL

ALM

MALAL

ALM

212

221

221

2

212

221

212

1

+=

+=

ou seja, substituindo pelos valores numéricos:

NmMM

NmMM

t

t

35145)8,9100()8,9200(4)8,9200()8,9100(4

)8,9200()8,9100(4

3855)8,9100()8,9200(4)8,9200()8,9100(4

)8,9100()8,9200(4

44

4

2

44

4

1

=−×−×+−×−×

−×−×=

=−×−×+−×−×

−×−×=

Agora, basta substituir em qualquer uma das expressões:

tGA

LM21

11

4=θ ou

tGA

LM22

22

4=θ

Isto é, tomando a primeira destas equações, por exemplo:



º38,0107,6108,9)108,910(10804

)108,910(43855 334319

31

=×=×××−×××

×−××= −

−−−

−−

radθ

O ângulo de torção entre as duas secções extremas obtém-se multiplicando θ pelo comprimento l do veio, isto é:

º76,038,02AB =×=×= θφ l

c) – Elemento Central em Aço Maciço

Neste caso, tem-se:

2

222

2

411

'

''4

L

tGAMC

GbM

C

==

==

θ

χθ

O valor do coeficiente χ tira-se da tabela apresentada no parágrafo §5.1.5. Para uma secção quadrada, é χ = 0,141, pelo que, da eliminação de θ entre as duas equações anteriores, resulta:

''4

'22

224

1

tA

ML

b

M=

χ (e)

Resolvendo agora o sistema de equações (a) e (e), obtém-se:

t

t

MbLtA

tAM

MbLtA

bLM

42

22

22

2

42

22

42

1

''4

''4

'''4

'

χ

χ

χ

+=

+=

Substituindo pelos valores numéricos correspondentes, obtém-se:

tMtM)2(

mm002

mm001

m 2

)1(



40000128,1' 640

' 640

10128,1'104,6

40000)'2,04(

40000128,1' 640

128,1

1,02,04141,0'2,04

40000)1,02,04141,0(

53

4

2

44

4

1

×+

=×+×

××=

×+

=×××+×

××××=

−− t

t

t

tM

ttM

A tensão máxima no núcleo central é dada pela expressão correspondente a uma secção rectangular (bxh):

21

1bh

Mατ =

Para uma secção quadrada, como no caso vertente, α = 4,80, pelo que:

631 1050

)128,1' 640(1,0

40000128,180,4 ×≤

+×

××=

tτ

Donde:

mmmt 82,300382,0' =≥

E para o elemento tubular:

67

22

22 1050

09024,0' 2,51

1056,2

'2,02)128,1' 640(

40000' 640

2×≤

+×

=××+

×==

ttt

t

tA

Mτ

Donde:

mmt 24,800824,0' =≥

Deve escolher-se o valor maior, pelo que, no caso dum núcleo maciço, a espessura da chapa para o tubo exterior terá de ser igual ou superior a 4,97mm, isto é:

mmt 24,8'≥

Este valor da espessura foi calculado com base na linha de contorno exterior da secção transversal do tubo, podendo ser obtida uma aproximação mais rigorosa, multiplicando-o pelo factor de correcção para a tensão no elemento exterior:

088,100824,0200824,08,004,02

04,02

'2'''2

'2'

2222

2 =×+×−×

×=

+−=

ttLA

Aτλ

Donde a espessura corrigida:

mmmmtt 96,824,8088,1' ' =×=×= τλ

isto é, a espessura da chapa deve ser igual ou superior a t = 8,96mm.




Um veio de secção rectangular composta é construído a partir de uma barra de aço (Ga=80GPa) com as dimensões100mmx20mm de lado, revestida por um tubo de latão (Gl=40GPa), de secção rectangular com uma espessura de parede de 5mm. A montagem é feita de tal modo a permitir um eventual deslizamento axial entre os dois elementos.

a)- Adoptando a aproximação mais simples fazer os cálculos sobre a linha de contorno exterior do tubo de latão, em vez da linha média, calcule o valor máximo do momento torsor que pode ser transmitido pelo veio. Considere (τadm)aço=50MPa e (τadm)latão=20MPa.

b)- Para o valor do momento calculado na alínea a), determine o ângulo de torção por metro de comprimento.

c)- Reconsidere agora as duas alíneas anteriores, fazendo os cálculos sobre a linha média da secção do tubo de latão.

RESOLUÇÃO:

a) – Momento Torsor Máximo

Considere-se a secção composta conforme representada na figura:

A rigidez torsional do núcleo central em aço é dado pela expressão:

31

11 btG

MC χ

θ==

onde M1 é o momento de torção absorvido pelo núcleo central, χ é um coeficiente que depende das dimensões relativas do rectângulo (χ=0.291, para b/t=5, conforme se pode tirar da tabela apresentada no parágrafo §5.1.5.) e θ é o ângulo de torção por unidade de comprimento (igual para os dois elementos). Substituindo, obtém-se:

2411 1086,1 Nm

MC ×==

θ (a)

)2(Latão

)1(Aço mm20

mm100



Para o elemento tubular em latão, tem-se:

L

eAGMC

222

24

==θ

onde A é a área global interior à linha média da secção tubular, e é a espessura do tubo e L é o perímetro da linha média da secção. Tomando, nesta primeira aproximação, a linha do contorno exterior, em vez da linha média, obtém-se:

24329

22 10111,3

)03,011,0(2

105)03,011,0(10404Nm

MC ×=

+×××××××

==−

θ (b)

Eliminando o ângulo θ entre as equações (a) e (b), obtém-se:

598,02

1 =M

M

Por outro lado:

MMM =+ 21

donde:

MM 374,01 = e MM 626,02 =

Quanto à tensões em cada um dos elementos tem-se, respectivamente:

( )

( ) MM

Ae

M

MM

bt

M

max

max

33

22

422

11

10478,9105)03,011,02(2

626,0

2

1022,302,01,0

374,044,3

×=×××××

==

×=×

×==

−τ

ατ

Impondo agora a condição (τ1)max≤50MPa, obtém-se:

mNMM ×≤⇒×≤× 7,1552 10501022,3 64

E impondo a condição equivalente para o elemento tubular:

mNMM ×≤⇒×≤× 1,2110 102010478,9 63

Donde, o valor máximo do momento torsor transmissível pelo conjunto é o seguinte:

mNM max ×= 7,1552

b)- Ângulo de Torção

O ângulo de torção por unidade de comprimento é dado pela expressão habitual:

C

M=θ



Ou seja, para o caso vertente:

mradCC

M

C

M

C

M/1012,3

10971,4

7,1552 24

212

2

1

1 −×=×

=+

===θ

c)- Contorno a meia espessura

Tomando, agora, a aproximação mais correcta de considerar a linha de contorno a meia espessura, a área global da secção tubular é A=0,105x0,025=0,00263m

2 e o perímetro da linha média é L= 0,26m. Substituindo na expressão para a rigidez à torção do tubo de latão, obtém-se:

24329

222

2

1012,2)025,0105,0(2

105)025,0105,0(10404

4

Nm

L

eAGMC

×=+×

××××××=

==

−

θ (c)

Eliminando o ângulo θ entre as equações (a) e (c), obtém-se:

878,02

1 =M

M

Por outro lado:

MMM =+ 21

Donde:

MM 468,01 = e MM 532,02 =

Quanto à tensões em cada um dos elementos tem-se, respectivamente:

( )

( ) MM

Ae

M

MM

bt

M

max

max

43

22

422

11

1003,2105)025,0105,0(2

532,0

2

1002,402,01,0

468,044,3

×=××××

==τ

×=×

×=α=τ

−

Impondo agora a condição (τ1)max≤50MPa, obtém-se:

NmMM 1243 10501002,4 64 ≤⇒×≤×

E impondo a condição equivalente para o elemento tubular:

NmMM 913 10201003,2 64 ≤⇒×≤×



Donde, o valor máximo do momento torsor transmissível pelo conjunto é o seguinte:

NmM max 913=

E o ângulo de torção por unidade de comprimento correspondente é:

mradCC

M

C

M

C

M/1029,2

1098,3

913 24

212

2

1

1 −×=×

=+

===θ


Considere um veio prismático de secção tubular multicelular, conforme indicada na figura. O módulo de rigidez do material é G=80GPa e a tensão admissível é τadm=50MPa

Determine o momento torsor máximo que o veio é capaz de transmitir e o respectivo ângulo de torção por metro de comprimento.

RESOLUÇÃO:

Condição relativa à limitação da tensão no tubo:

Na figura abaixo está representada a secção recta do tubo e a respectiva membrana. Sejam A1 e A2 as áreas de cada uma das células que constituem a secção do tubo.

A equação de equilíbrio para cada uma das células escreve-se, na forma mais geral:

dst

hTpA

iA

ii ∫

∆=

Aplicando a equação anterior às duas células A1 e A2 obtém-se, respectivamente:

20 10 5

10

10

300150

150

150 mm

150 mm 300 mm

A2 A1

h1 h2

20

10

10

5 10



( )

( )

×+

×+

×+

−×=××

×+

−×+

×+

×=×

010,0

2975,0

005,0

14,0

010,0

2975,0

010,0

14,014,02975,0

010,0

14,0

010,0

14,0

010,0

14,0

020,0

14,014,0

22212

121112

hhhhhTp

hhhhhTp

Resolvendo este sistema de equações em ordem às alturas h1 e h2 da membrana em cada uma das células, obtém-se:

××=

××=

−

−

T

ph

T

ph

42

41

1087,4

1039,5

A inclinação máxima (maior declive) da membrana verifica-se para o troço mais delgado da secção, com a espessura de 5 mm, isto é:

×==

∆T

ph

t

h

max

0974,0005,0

2 (a)

Quanto ao valor do volume sob a membrana, tem-se:

××=

××××+

×××=×+×=

−−

−

T

p

T

p

T

phAhAV

54

422211

10086,3 1087,42975,014,0

1039,514,0 (b)

Agora, invocando a analogia de membrana de Prandtl, tem-se:

tMV

t

h

GT

p

⇔

⇔

∆

⇔

2

2

τ

θ

Donde, aplicando às equações (a) e (b) acima, obtém-se:

θθτ

GM

G

t

max

××=

×=−410234,1

1948,0

Substituindo os valores para MPamax 50=τ e GPaG 80= , obtém-se:

mKNM

mrad

t ×=×

××=

×=××

×=

−

−

67,311948,0

105010234,1

/1021,310801948,0

1050

64

39

6

θ




Considere uma peça tubular de parede fina e espessura uniforme ( t ), com uma secção conforme está ilustrado na figura, construída em chapa de aço (G=80

GPa). Tomando como irrelevante as diferenças entre as áreas dos contornos interiores e exteriores de cada célula:

a)- Deduza as expressões para as tensões de corte em cada um dos elementos da secção, em função do momento torsor aplicado e da espessura da chapa.

b)- Calcule o valor mínimo que a espessura da chapa deve ter, para que a peça possa transmitir um momento torsor Mt=40 KNxm, considerando τadm=50

MPa.

c)- Para a situação considerada na alínea b), calcule o ângulo de torção por metro de comprimento.

RESOLUÇÃO:

a)-Tensões nas paredes do tubo

Utilizando o método da analogia de membrana, considere-se o esquema representado na figura:

As equações de equilíbrio da membrana para as duas células que constituem a secção são as seguintes:

∆=

∆=

∫

∫

2

1

22

11

C

C

dst

hTpA

dst

hTpA

Substituindo obtém-se, sucessivamente:

( )[ ]

( )[ ]

×−+×=××

×−+×=××

−

−

25.075.01025.6

25.025.1105.12

1212

2112

hhht

Tp

hhht

Tp

cm25

cm25

cm25 cm25

cm25

cm25

cm25

cm50

221 105,12 cmA ×=

222

10

25,6

cm

A ×=

1h 2h



=+−

=−

tT

phh

tT

phh

0625.025.0

125.025.05.1

21

21

Donde:

×=

×=

−

−

tT

ph

tT

ph

22

21

107.8

1078.9

Agora pode calcular-se o volume sob a membrana:

tT

phAhAVol 2

2211 1076.1 −×=+=

E, de acordo com a analogia de membrana (Mt=2xVol e p/T=2Gθ)):

tGM t 1004.7 2 θ−×= (a)

Quanto à tensão, basta notar que, de acordo com a analogia de membrana, th/∆=τ . Donde:

( )

( )

t

M

t

M

GT

p

t

h

t

M

t

M

GT

p

t

h

tt

tt

47.21004.7

2107.8

2107.8107.8

78.21004.7

21078.9

21078.91078.9

22

2222

22

2211

=×

××=

××=×==

=×

××=

××=×==

−−

−−

−−

−−

θτ

θτ

b)-Espessura da parede

A tensão máxima ocorre nas paredes da célula A2:

admt

maxt

Mττ ≤= 78,2

Substituindo os valores para Mt =40 kNxm e τadm=50MPa:

t

36 1040

78,21050×

×≥×

Donde: mmt 2,2≥



c)-Ângulo de Torção

De acordo com a equação (a) acima, pode escrever-se:

tG

M t

1004,7 2−×=θ

Donde, substituindo os valores para Mt, G e t, obtém-se:

mrad /1023,3102,210801004,7

1040 3392

3−

−− ×=×××××

×=θ


Considere uma peça tubular de parede fina, espessura uniforme t, secção conforme ilustrado na figura, construída em chapa de aço (G=80 GPa).

a)- Deduza as expressões para as tensões de corte em cada um dos elementos da secção.

b)- Calcule o valor mínimo que a espessura da chapa deve ter, para que a peça possa transmitir um momento torsor Mt=40 KNxm, considerando τadm=50 MPa.

RESOLUÇÃO:

a)-Tensões de Corte

Utilizando, igualmente, o método da analogia de membrana, considere-se o esquema representado na figura:

As equações de equilíbrio da membrana para as três células que constituem a secção são as seguintes:

cm25

cm25

cm25

cm50

221 105,12 cmA ×=

222 1025,6 cmA ×=

1h 2h

223 10125,3 cmA ×=

1A

2A3A

3h

cm25

cm25

cm25

cm25



∆=

∆=

∆=

∫

∫

∫

3

2

1

33

22

11

C

C

C

dst

hTpA

dst

hTpA

dst

hTpA

Substituindo obtém-se, sucessivamente:

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

×−+×−+×=××

×−+×−+×=××

×−+×−+×=××

−

−

−

25.025.035.010125.3

25.025.050.01025.6

25.025.00.1105.12

231332

321222

312112

hhhhht

Tp

hhhhht

Tp

hhhhht

Tp

=+−−

=−+−

=−−

tT

phhh

tT

phhh

tT

phhh

03125.085.025.025.0

0625.025.025.0

125.025.025.05.1

321

321

321

Donde:

=

=

=

tT

ph

tT

ph

tT

ph

162,0

136,0

133,0

3

2

1

e o volume sob a membrana:

tT

phAhAhAVol 2

332211 1002,3 −×=++=

De acordo com a analogia de membrana (Mt=2xVol e p/T=2Gθ ):

tGM t 1008,12 2 θ−×= (a)

Quanto à tensão, basta notar que, de acordo com a analogia de membrana, th/∆=τ . Donde:



( )

( )

( )

t

M

t

M

GT

p

t

h

t

M

t

M

GT

p

t

h

t

M

t

M

GT

p

t

h

tt

tt

tt

68.21008,12

2162,0

2162,0162,0

25.21008,12

2136,0

2136,0136,0

20.21008,12

2133,0

2133,0133,0

2

33

2

22

2

11

=×

×=

×===

=×

×=

×===

=×

×=

×===

−

−

−

θτ

θτ

θτ

b)-Cálculo da Espessura da Parede

A tensão máxima ocorre nas paredes da célula A3:

admt

maxt

Mττ ≤= 68,2

Substituindo os valores para Mt =40 kNxm e τadm=50MPa:

t

36 1040

68,21050×

×≥×

Donde:

mmt 1,2≥


Deduza as expressões para a tensão à superfície e para a deformação num veio cónico de secção circular e abertura α, sujeito a um momento torsor Mt.

RESOLUÇÃO:

Para veios cónicos de reduzida abertura (tipicamente, para α < 30º), a tensão de corte é dada por uma expressão idêntica aquela que é usada para os veios cilíndricos, isto é:

O z

r

α

1L

2L

z



3

2

R

M

I

RM t

z

t ==τ (a)

No caso vertente, tem-se:

)2/( αtgzR =

donde, substituindo em (a):

)2/(

233 α

τtgz

M t= (b)

Uma análise mais rigorosa do problema (ver, por exemplo, ref. 5.6 no final do presente capítulo) mostraria que a tensão exacta é dada por uma expressão do tipo seguinte:

)]2/()2/(32[ 2

)2/( )2/(333

4

ααπ

αατ

coscosz

cossenM t

+−= (c)

Os valores dados pela expressão aproximada (b) diferem 6% dos resultados mais rigorosos dados por (c), no caso dum veio cónico de abertura α=30º e de apenas 1,5%, para uma abertura α=15º.

A deformação do veio processa-se de acordo com a equação (5.51) deduzida no parágrafo 5.1.6:

∫=z

L

t dzzGI

M

1)(

φ

Neste caso, o momento de inércia polar I(z) é dado pela expressão seguinte:

ztgR

zI2

)(

2

)(

44 αππ==

Então:

−== ∫ 3

13444

11

)( 3

2

)(

2

1LztgG

Mdz

ztgG

M t

z

L

t

ααπφ

O ângulo de rotação entre as duas secções extremas do veio cónico obtém-se fazendo z = L2, isto é:

−=

31

32

4

11

)( 3

221 LLtgG

M tLL

αφ



5.3. PROBLEMAS PROPOSTOS

5.3.1. Um veio maciço em aço (G=80GPa), de 75mm de diâmetro e 1,2m de comprimento, está encastrado numa das extremidades e sujeito a um binário de torção Mt=5kNxm na outra extremidade, conforme indicado na figura.

Determinae: a)- A tensão de corte máxima no veio b)- A rotação relativa entre as duas secções extremas. Solução: a)τmax= 60,36MPa; b) φ = 1,38º.

5.3.2. Reconsidere o problema anterior, agora para um veio oco, com o mesmo diâmetro exterior, o mesmo comprimento e com um diâmetro interior igual a 25mm. Determine: a)- A tensão de corte na superfície exterior do veio. b)- A tensão de corte na superfície interior do veio. c)- A rotação relativa entre as duas secções extremas. Solução: a)τext= 61,12; b)τext= 20,37 MPa. c) φ = 1,40º.

5.3.3. Um veio ôco em aço (G=80GPa), de 100mm de diâmetro exterior e 60mm de diâmetro interior, está sujeito a um binário de torção de intensidade Mt. Determine: a)- O valor do momento Mt que provoca no veio uma tensão máxima de corte igual a τmax=45MPa. b)- O valor correspondente da tensão de corte na superfície interior. c)- O valor máximo da tensão de corte produzida pelo mesmo momento de

torção num veio maciço de secção circular com a mesma área. Solução: a) Mt=7690Nxm; b) τint=27MPa; c) τmax=76,49MPa.

5.3.5. Um veio maciço de secção circular de 60mm de diâmetro está sujeito a um momento torsor de 2,5kNxm.

Determine: a)- O valor da tensão de corte máxima que ocorre no veio. b)- A parte do momento torsor que é absorvida pelo núcleo central com diâmetro de 30mm. Solução: a)τmax= 58,95MPa; b) 6,25%.

5.3.5. Um veio em aço (G=80GPa), de 75mm de diâmetro exterior, está sujeito a um momento torsor de intensidade Mt. Considerando que a tensão de corte em nenhum ponto do veio deve ultrapassar ao valor limite de τadm=80MPa, determine: a)- O valor máximo do momento Mt a transmitir, supondo que se trata dum veio maciço. b)- O valor máximo do momento Mt a transmitir, supondo que se trata dum veio oco com a área de secção recta que o considerado na alínea a) e em que o diâmetro interno é metade do diâmetro exterior. Solução: a) Mt=6627; b) Mt=9560 (Nxm).

5.3.6. Um veio maciço em aço (G=80GPa), está sujeito à acção de três binários de torção MA= −400Nxm, MB=1200Nxm e MC= −800Nxm, aplicados por intermédio de polias nas secções A, B

60φ

30φ

mkNM t ×= 5

mm75φ z

m2,1



e C, respectivamente, conforme indicado na figura. Os segmentos AB e BC são ambos de secção circular, com os diâmetros e os comprimentos indicados na figura.

Determine: a)- A tensão de corte máxima no segmento AB. b)- A tensão de corte máxima no segmento BC. c)- A rotação relativa entre as duas secções extremas do veio. Solução: a) (τAB) max = 75,45MPa. b) (τBC) max = 63,66MPa. c) φAC = 0,22º.

5.3.7. Considere a montagem ilustrada na figura a seguir, em que dois veios maciços, AB e BC, ambos de secção circular, estão ligados pela secção comum em B. O veio AB é construído em liga alumínio (G=26GPa, τadm=60MPa) e o veio BC é construído em aço (G=80GPa, τadm=100MPa).

Para um diâmetro do veio AB igual a 50mm e desprezando um eventual efeito de concentração de tensões em B, determine: a)- O maior momento torsor Mt que pode ser aplicado em C, sem que seja ultrapassada a tensão admissível no veio de alumínio AB.

b)- O valor do diâmetro d do veio em aço BC, compatível com o valor do momento flector calculado na alínea anterior. c)- A rotação relativa entre as duas secções extremas A e C. Solução: a) Mt=1472Nxm; b) d=43,67mm; c) φAC = 1,73º.

5.3.8. Reconsidere o problema anterior, supondo agora que são conhecidos os diâmetros dos dois veios, 50mm e 30mm, para os veios de alumínio e de aço, respectivamente. Determine: a)- O maior momento torsor Mt que pode ser aplicado em C, sem que seja ultrapassada a tensão admissível em nunhum dos veios. c)- A rotação relativa entre as duas secções extremas A e C. Solução: a) Mt=477Nxm; b) φAC = 1,56º.

5.3.9. Considere o conjunto representado na figura a seguir, constituído por um veio maciço em aço (G=80GPa, τadm=60MPa) com diâmetro de 40mm e comprimento de 350mm e uma manga cilíndrica em tubo de alumínio (G=26GPa, τadm=50MPa), com dâmetro exterior de 75mm, espessura de parede e=6mm e comprimento 200mm. Os dois elementos estão ligados pela secção comum em B e o conjunto é sujeito a um momento torsor aplicado na extremidade A do veio de aço.

Determinar: a)- O valor máximo do momento Mt que pode ser aplicado em A. b)- O ângulo de torção da secção extrema A relativamente à secção de amarração em C. c)- A energia total de deformação armazenada no conjunto. Solução: a) Mt=754Nxm; b) φAC = 0,97º.

mmD 75=mmd 40=

mme 6=

mm200mm350

tM

AB

CtM

mm50φ

z

mm160 mm300

d φ

A B C

z

mm40φmm30φ

m2,1 m8,1

mN ×400 mN ×1200 mN ×800

A B C



c) 6,35Joule.

5.3.10. Ainda relativamente ao problema anterior, analise agora a possibilidade de reduzir a espessura do tubo de alumínio, sem prejudicar a capacidade de resistência do conjunto. Determine: a)- O valor máximo do momento Mt, nessas circunstâncias. b)- O valor que deverá ter a espessura (e) do tubo de alumínio, mantendo-se o seu diâmetro exterior de 75mm. Solução: a) Mt=754Nxm; b) e = 1,84mm.

5.3.11. Um motor eléctrico debita um binário de 3kNxm sobre um veio ABCD, com saídas em B, C e D de 1,5kNxm, 1kNxm e 0,5kNxm, respectivamente, conforme indicado na figura.

Tendo em conta os diâmetros indicados para cada um dos segmentos do veio, e desprezando quaisquer efeitos de concentração de tensões, determine: a)- A tensão de corte máxima no segmento AB. b)- A tensão de corte máxima no segmento BC. c)- A tensão de corte máxima no segmento CD. Solução: a) (τAB)max=70,74MPa; b) (τBC)max=61,12MPa; c) (τCD)max=39,79MPa;

5.3.12. Ainda relativamente ao problema anterior, determine o diâmetro máximo dum furo concêntrico que possa ser aberto nos segmentos BC e CD, para redução de peso, sem que a tensão de corte máxima no conjunto em nenhum ponto seja ultrapassada. Solução: d=30,37mm no segmento BC e d=32,53mm no segmento CD.

5.3.13. Um veio oco de secção circular, com D1 e D2 de diâmetro interior e diâmetro exterior, respectivamente é construído num material com uma determinada tensão admissível ao corte (τadm) e um determinado peso específico (ρ).

a)- Determine a relação Mt/w entre o valor máximo do momento torsor que o veio á capaz de transmitir e o peso por unidade de comprimento w. b)- Designando por (Mt/w)o o valor dessa relação para um veio maciço com o mesmo diâmetro D2, exprima a relação Mt/w para o veio oco em termos de (Mt/w)o e de (D1/ D2). Solução: a)

( ) ( ) 222

21 4// DDDwM admt ρτ += .

b) ( ) ( ) ( )( )221o /1/// DDwMwM tt += .

5.3.15. Como sabe, para veios ocos de parede fina, pode utilizar-se a fórmula aproximada Ω≅ mt DM /2oτ para calcular

o valor da tensão de corte produzida por um momento torsor Mt, onde Ω é a área e Dm o diâmetro médio da secção recta do veio.

Determine a relação τmax/τo, para valores de D1/D2 iguais a 1,00; 0,95; 0,75; 0,50 e 0, respectivamente. Solução: τmax/τo = 1,000; 1,025; 1,120; 1,200 e 1,000.

1D

2D mD

maxτoτ

1D

2D

mkN ×3 mkN ×5,1 mkN ×1 mkN ×5,0

60φ 50φ 40φ

B C DA



5.3.15. Considere um veio composto de um núcleo maciço com 60mm de diâmetro, em aço (G=80GPa) revestido por uma manga em alumínio (26GPa), com 75mm de diâmetro exterior, conforme representado na figura.

Para um momento de torção Mt=5kNxm

aplicado na extremidade direita do veio, determine: a)- A tensão de corte máxima no núcleo de aço. b)- A tensão de corte máxima na manga de alumínio. c)- O ângulo de rotação entre as duas secções extremas. Solução: a) (τmax)aço= 80,28MPa; b) (τmax)Al = 32,62MPa; c) φ = 3,83º.

5.3.16. Ainda relativamente ao veio a que se refere o problema anterior, e considerando as tensões de corte admissí-veis para o aço e para o alumínio valores iguais a 60MPa e 45MPa, respectiva-mente, determine: a)- O maior ângulo de rotação entre as duas secções extremas, compatível com as tensões admissíveis nos dois compo-nentes em aço e em alumínio. b)- O momento máximo que pode ser aplicado ao veio, sem que sejam ultrapassadas as tensões admissíveis nos dois componentes em aço e em alumínio. Solução: a) φmax=2,86º; b) (Mt)max=3737Nxm.

5.3.17. Um veio de secção circular composta com 2m de comprimento é construído a partir de um varão maciço de alumínio (G=27GPa, τadm=40MPa) com 35mm de diâmetro, revestido por um tubo de latão (G=40GPa; τadm=50MPa) perfeitamente acoplado.

a)- Determine a espessura mínima de parede que deverá ter o tubo de latão, de tal modo que o conjunto seja capaz de suportar um momento torsor de 500Nxm. b)- Calcule o ângulo de torção entre as duas secções extremas do veio. c)- Calcule a energia elástica de deformação acumulada no conjunto. Solução: a) e=1,29mm; c) φ = 9,70º; c) U=42,33Joule.

5.3.18. Um veio tubular de secção circular, é composto por um núcleo em aço (G=80GPa; τadm=60MPa) de 30mm de diâmetro e dois tubos coaxiais em latão (G=39GPa; τadm=50MPa), e alumínio (G=27GPa; τadm=40MPa), rigidamente ligados entre si, conforme representado na figura.

Determine: a)- A relação que deve existir entre os três diâmetros d1/d2/d3, por forma que um momento de torção aplicado ao conjunto seja igualmente distribuído pelos três elementos. b)- O valor do momento máximo que pode ser aplicado ao conjunto, sem que em nenhum dos elementos seja ultrapassada a respectiva tensão admissível. c)- O ângulo de torção entre duas secções do veio afastadas de 1,5m. Solução: a) d1/d2/d3=1/1,32/1,18. b) Mt=954,2Nxm. c) φ = 4,30º.

5.3.19. Reanalise o problema anterior, considerando agora a ordem inversa dos materiais, isto é, um núcleo maciço de

301 =d

Aço

deNúcleo

Latão

Alumínio

2d

3d

mkN ×5

75φ z

m2

60φ

açoalumínio



alumínio, um tubo exterior de aço e um tubo intermédio em latão:

Determine: a)- A relação que deve existir entre os três diâmetros d1/d2/d3, por forma que um momento de torção aplicado ao conjunto seja igualmente distribuído pelos três elementos. b)- O valor do momento máximo que pode ser aplicado ao conjunto, sem que em nenhum dos elementos seja ultrapassada a respectiva tensão admissível. c)- O ângulo de torção entre duas secções do veio afastadas de 1,5m. Solução: a) d1/d2/d3=1/1,14/1,047. b) Mt=269,8Nxm. c) φ = 3,60º.

5.3.20. Pretende-se dimensionar um veio maciço em aço (G=80GPa, τadm=60MPa), capaz de transmitir uma potência de 15kW a uma velocidade de 1200rpm. Determine: a)- O diâmetro que deve ter o veio, para que não seja ultrapassada a tensão admissível do material. a)- O ângulo de torção por cada metro de comprimento do veio. Solução: a) D =21,64mm; b) θ =3,97 º/m.

5.3.21. Determine a tensão de corte máxima num veio maciço de 15mm de diâmetro, quando transmite uma poência de 6,0kW à velocidade de: a)- 1500 rpm; b)- 3000 rpm. Solução: a) τmax= 57,64MPa; a) τmax= 28,82MPa.

5.3.22. Um veio de transmissão ôco em aço (G=80GPa), com diâmetro interno de

45mm, diâmetro externo de 60mm, e comprimento de 1,6m, transmite uma potência de 180kW a uma velocidade de 1800 rpm. Determine: a)- A tensão de corte máxima. b)- O ângulo de torção entre as duas secções extremas do veio. Solução: a) τmax= 32,94MPa; b) φ =1,26 º.

5.3.23. Um dos veios de transmissão em aço vazado (G=80GPa, τadm=60MPa) dum navio tem 40m de comprimento, 400mm de diâmetro externo e 200mm de diâmetro interno. Sabendo que a rotação máxima do veio é de 160rpm, determine: a)- Pmax = 11,84MW; b) φ =8,59 º.

5.3.25. Um veio em aço (G=80GPa), com uma secção recta conforme representado na figura (dimensões em mm), é accionado a uma velocidade de 120rpm.

Utilizando um processo óptico adequado, mediu-se um ângulo de torção de 2º entre duas secções afastadas de 3,6m. Determine: a)- O valor da potência que está a ser transmitida pelo veio. a)- O valor da tensão máxima no veio. Solução: a) Pot = 29,53kW; b) τmax= 29,12MPa.

5.3.25. Pretende-se dimensionar um veio maciço em aço (G=80GPa), com 2,5m de comprimento, para transmitir uma potência de 20kW à velocidade de rotação de 1500rpm. Determine o diâmetro mínimo que deverá ter o veio, para que não seja ultrapassada a tensão admissível do material (τadm=60MPa), e que o ângulo de torção entre as duas secções extremas seja inferior a 4º. Solução: D = 27,6mm.

3075

301 =d

Alumínio

deNúcleo

Latão

Aço

2d

3d



5.3.26. Um veio maciço em aço (G=80GPa, τadm=60MPa), com 1,5m de comprimento e 25mm de diâmetro, deve transmitir uma potência de 15kW. Determine a velocidade de rotação mínima a que o veio pode girar, sem que seja ultrapassada a tensão admissível do material, e que o ângulo de torção entre as duas secções extremas não excede 3,5º. Solução: (Vel)min = 1146rpm.

5.3.27. Um veio maciço em aço (G=80GPa, τadm=60MPa), com 2,5m de comprimento e 30mm de diâmetro, gira a uma velocidade de 1800rpm. Determine a potência máxima que o veio pode transmitir, sem que seja ultrapassada a tensão admissível do material, e que o ângulo de torção entre as duas secções extremas não excede 9º. Solução: (Pot)max = 34,695kW.

5.3.28. Um veio cilíndrico de secção tubular em aço (G=80GPa, τadm=60MPa), de 1,5m de comprimento, com diâmetro externo de 38mm e diâmetro interno de 30mm, deve transmitir uma potência de 100kW entre uma turbina e um gerador. Determine a velocidade de rotação mínima a que o veio pode girar, sem que seja ultrapassada a tensão admissível do material, e que o ângulo de torção entre as duas secções extremas não excede 3,5º. Solução: (Vel)min = 2415rpm.

5.3.29. Considere o veio representado na figura, em aço (G=80GPa, τadm=60MPa), construído a partir dum varão maciço de 30mm de diâmetro e dum tubo com um diâmetro exterior de 38mm.

Determine: a)- A potência máxima que o veio é capaz de transmitir, a uma velocidade de

rotação de 1500rpm, sem que seja ultrapassada a tensão admissível do material. b)- O ângulo de torção entre as duas secções extremas, para as condições de funcionamento definidas na alínea a). Solução: a) (Pot)max = 49,967kW. b) φ =3,51 º.

5.3.30. Um veio de latão AC (G=40GPa) está ligado a um veio de alumínio CD (G=26GPa), conforme ilustrado na figura. O conjunto está fixo em A e sujeito à acção de dois momentos de torção em C e D (ver figura). O veio em latão é parcialmente oco, até uma profundidade de 250mm, a partir da secção A.

Determine:

a)- A tensão de corte máxima em cada um dos segmentos do veio. b)- O ângulo de rotação entre as secções extremas A e D. Solução: a) (τmax)latão= 44,07MPa; (τmax)Al = 39,79MPa; c) φ = 1,31º.

5.3.31. Uma barra de secção rectangular em alumínio (G=27GPa, τadm=35MPa), com as dimensões de 45mmx15mm e com o comprimento de 1m, é solicitada em torção, conforme indicado na figura.

Determine: a)- O maior momento torsor Mt que pode ser aplicado à barra, sem que em nenhum

tM

mm15

m1

A mm45 B

mm40φ

160 300

mm04 φ

A B C

160

mm60φ

mkNM ×=1DmkNM ×= 2C

D

mm750 mm750

mm38φmm30φ



ponto seja ultrapassada a tensão admissível do material. b)- O ângulo de rotação entre as duas secções extremas A e B, para o valor do momento calculado na alínea a). Solução: a) Mt =94,75Nxm; b) φ = 5,03º.

5.3.32. Pretende-se dimensionar uma barra em aço (G=200GPa, τadm=50MPa), capaz de transmitir um momento torsor Mt= 300Nxm, num comprimento de 1,5m, considerando as três alternativas possíveis representadas na figura, para a respectiva secção recta.

Para cada uma das alternativas, determine qual deverá ser a dimensão b e o correspondente ângulo de torção entre as secções extremas. Solução: a) b =30,66mm ; φ = 10,05º. b) b =29,42mm ; φ = 4,38º. c) b =25,88mm ; φ = 2,44º.

5.3.33. Para cada uma das barras a que se refere o problema anterior, e tomando b=30mm, determine o valor do momento torsor que produz uma rotação de 2º entre as duas secções extremas. Solução: a) Mt=213Nxm; b) Mt=148Nxm; c) Mt= 444Nxm.

5.3.35. Cada uma das barras a que se refere o problema 5.2.32. deve rodar de um ângulo φ = 3º entre as duas secções extremas, sem que seja ultrapassada a tensão admissível de 50MPa. Tomando b=35mm, determine o menor compri-mento admissível para cada uma das barras. Solução: a) L=1,98m; b) L=1,47m; c) L=2,49m.

5.3.35. Para uma cantoneira LNP 120x80x10 de abas desiguais (ver Apêndice C) em aço, com G=80GPa,

τadm=50MPa e 1,5m de comprimento, determine: a)- O momento torsor máximo que o componente pode suportar. b)- O ângulo de torção correspondente, entre as duas secções extremas. Solução: a) Mt =316,6Nxm; b) φ = 5,38º.

5.3.36. Uma cantoneira LNP 100x10 de abas iguais (ver Apêndice C) em aço, com G=80GPa, τadm=50MPa e 2m de comprimento, está sujeita a um momento torsor de 400Nxm entre as duas secções extremas. Determine: a)- A tensão máxima ao longo do contorno da secção. b)- O ângulo de torção entre as duas secções extremas. Solução: a) τmax =63,16MPa; b) φ = 9,05º.

5.3.37. Uma barra INP200 (ver Apêndice C) em aço, com G=80GPa, τadm=50MPa e 2m de comprimento, está sujeita a um momento torsor de 600Nxm entre as duas secções extremas. Determine: a)- A tensão de corte máxima nas abas do perfil laminado. b)- A tensão de corte máxima na alma do perfil laminado. c)- O ângulo de torção entre as duas secções extremas. Solução: a) (τmax)abas= 60,80MPa; b) (τmax)alma= 40,35MPa; c) φ = 7,72º.

5.3.38. Uma barra IPE300 (ver Apêndice C) em aço, com G=200GPa, τadm=50MPa e 3m de comprimento, está sujeita a um momento torsor de intensidade constante Mt, entre as duas secções extremas. Determine: a)- O momento de torção máximo que a barra pode suportar. c)- O ângulo de torção correspondente entre as duas secções extremas. Solução: a) (Mt)max= 727,8Nxm; b) φ = 10,05º.

5.3.39. Uma peça linear de secção tubular em alumínio (G=27GPa), com a forma de um rectângulo com as dimensões

b b5,1b

b

)(a )(b )(c



indicadas na figura e com um comprimento de 1,6m, é solicitada em torção uniforme Mt=10kNxm entre as duas secções extremas.

Determine: a)- As tensões de corte nas paredes a e b. b)- O ângulo de torção entre as duas secções extremas. Solução: a) τa=40,44MPa; τb=26,96MPa; b) φ = 2,19º.

5.3.40. Uma peça linear de secção tubular em aço (G=80GPa, τadm=50MPa), com a forma e dimensões conforme representado na figura e com um comprimento de 3,6m, é solicitada em torção uniforme Mt entre as duas secções extremas.

Determine: a)- O valor máximo do momento torsor que pode ser aplicado ao tubo, sem que seja ultrapassada a tensão admissível. b)- Para o valor do momento torsor obtido em a), calcule o ângulo de torção entre as duas secções extremas. Solução: a) Mt =11,95kNxm; b) φ = 1,56º.

5.3.41. Uma peça linear de secção tubular em liga de alumínio (G=27GPa), com a forma e dimensões indicadas na figura e

com 2,5m de comprimento, é sujeita a um momento torsor uniforme Mt = 6kNxm entre as duas secções extremas.

Determine: a)- As tensões de corte nas paredes a e b. b)- O ângulo de torção entre as duas secções extremas. Solução: a) τa=47,38MPa; τb=26,61MPa; b) φ = 3,60º.

5.3.42. Uma peça linear de secção tubular, com a forma e dimensões indicadas na figura, é construída a partir de chapa de aço (G=80GPa, τadm=50MPa) de 3mm de espessura. A peça está sujeita a uma solicitação de torção uniforme ao longo dum comprimento de 2,5m.

Determine: a)- O valor máximo do momento torsor que pode ser aplicado à peça, sem que seja ultrapassada a tensão admissível. b)- Para o valor do momento torsor obtido em a), calcule o ângulo de torção entre as duas secções extremas. Solução: a) Mt =2,4kNxm; b) φ = 2,68º.

5.3.43. Uma peça linear de secção tubular multicelular em alumínio (G=27GPa), com a forma e dimensões indicadas na figura e com um comprimento de 1,5m, é solicitada em torção uniforme por um

mm3

mm30

mm30

mm30

mm120

mm120

mm5

mm8

mm100

mm50

a

b

mm200

mm180

mm5

mm5

mm5

mm60

mm80

mm5

mm10mm10

mm180

mm100mm8

mm8

mm12mm12

a

b



momento Mt=7,5kNxm entre as duas secções extremas.

Determine: a)- A tensão de corte máxima e o local onde ocorre. b)- O ângulo de torção entre as duas secções extremas. Solução: a) τmax=31,16MPa, em AB e EF.

b) φ =1,44º.

5.3.45. Para o tubo a que se refere o problema anterior, e tomando como tensão admissível para a liga de alumínio o valor τadm= 40MPa, determine: a)- O valor máximo do momento torsor que a peça é capaz de transmitir. b)- A energia total de deformação armazenada na peça, para o valor do momento torsor calculado na alínea a). Solução: a) Mt =9,626kNxm. b) U = 155,36Joule.

5.3.45. Uma peça linear de secção tubular multicelular em aço (G=80GPa), com a forma e dimensões indicadas (em mm) na figura e com um comprimento de 4m, é solicitada em torção uniforme por um momento Mt=15kNxm entre as duas secções extremas.

Determine: a)- A tensão de corte máxima e o local onde ocorre.

b)- O ângulo de torção entre as duas secções extremas. Solução: a) τmax=33,76MPa, em AH, BC, CD e HG. b) φ =1,0º.

5.3.46. Para a peça tubular a que se refere o problema anterior, e tomando como tensão admissível para o aço um valor τadm= 50MPa, determine: a)- O valor máximo do momento torsor que a peça é capaz de transmitir. b)- A energia total de deformação armazenada na peça, para o valor do momento torsor calculado na alínea a). Solução: a) Mt =22,22kNxm. b) U = 286,51Joule.

5.3.47. Uma peça linear de secção tubular multicelular em aço (G=80GPa), com a forma e dimensões indicadas (em mm) na figura e com um comprimento de 4m, é solicitada em torção uniforme por um momento Mt=12kNxm entre as duas secções extremas.

Determine: a)- A tensão de corte máxima e o local onde ocorre. b)- O ângulo de torção entre as duas secções extremas. Solução: a) τmax=54,82MPa, nos septos interiores. b) φ =1,32º.

5.3.48. Para a peça tubular a que se refere o problema anterior, e tomando como tensão admissível para o aço um valor τadm= 50MPa, determine: a)- O valor máximo do momento torsor que a peça é capaz de transmitir. b)- A energia total de deformação armazenada na peça, para o valor do momento torsor calculado na alínea a). Solução: a) Mt =10,945kNxm. b) U = 114,96Joule.

1212

1212

12

12

12

126 6

100 100 100

80

A B

CD

EF

666

6

12

6

6

100 100 100

100

140

GH

mm180

mm100

mm8

mm12mm12

mm8

mm110

mm6

A B C

DEF



5.3.49. Um veio cónico em alumínio (G=27GPa), com as dimensões indicadas na figura (em mm), está sujeito a um momento torsor Mt= 10kNxm.

Determine: a)- A tensão de corte máxima e secção onde ocorre.

b)- O ângulo de torção entre as secções extremas A e B. Solução: a) τmax=26,08MPa, na secçãoB. b) φ =0,103º.

5.3.50. Relativamente ao veio cónico considerado no problema anterior, determine, por integração, a energia elástica de deformação acumulada no material, e verifique que é igual a metade do produto do momento Mt pelo ângulo de rotação entre as secções A e B. Solução: U = 9,01Joule.

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tM

400

250

125

A B



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