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Materiais de Construção - Reologia

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁSetor de Tecnologia

Departamento de Construção Civil

DISCIPLINAMATERIAIS DE CONSTRUÇÃO

REOLOGIA E AGREGADOS

José Marques FilhoJosé de Almendra Freitas Jr.

Marienne M. M. da Costa2006


5

fundações de barragens, de pontes e de edifícios, para citar apenas os principais materiaisestruturais.

A Mecânica dos Sólidos Deformáveis faz o estudo de uma situação genérica desolicitação de um sólido, partindo dos seguintes estudos básicos :

1.1.1 Análise das Ações: ou seja, de todas as influências que o corpo estudado sofre,oriundas de outros corpos, em geral, ou eventualmente, do fato de que ele seráestudado em um referencial não inercial (como as forças de Coriolis, porexemplo);

1.1.2 Análise das Tensões: que define os esforços que aparecem no interior do sólidoassim como certas relações gerais a que os mesmos devem satisfazer.

1.1.3 Análise das Deformações: estudo puramente geométrico das variações dasdistâncias entre os diversos pontos do sólido;

1.1.4 Reologia: que analisa, para cada material, as relações entre os esforços internose as correspondentes deformações, bem como quais são os esforços internos queum dado material é ou não é capaz de suportar.

As análises 1.1.1, 1.1.2 e 1.1.3 são gerais, valendo para qualquer material. A análise1.1.4 é específica de cada material, embora existam alguns tipos básicos de comportamentomecânico (elasticidade, plasticidade e viscosidade) que permitem, através de sua conjugação,analisar o comportamento reológico de um número muito grande de materiais.

Através dessas análises chega-se, em cada caso, a um sistema de equações que permite adeterminação de diversas grandezas que interessam ao problema geral da Mecânica dos SólidosDeformáveis, que será aqui denominada Análise Estrutural.

A Mecânica das Estruturas é constituída pela Análise estrutural, acima caracterizada, epela Análise da Segurança, que permite introduzir a segurança num projeto estrutural.

A finalidade deste volume é o estudo geral da Análise Estrutural. A Análise daSegurança será considerada posteriormente, constituindo um capítulo separado da Mecânica dasEstruturas.

1.2 Definições

A Reologia é a parte da ciência dos materiais que procura estudar o comportamentofísico dos corpos, entendendo por isto o comportamento estrutural intrínseco da matéria. Esteestudo é caracterizado pelo estudo do material, sem necessidade do conhecimento da forma doscorpos envolvidos.

Em cada sólido estudado pela Engenharia Civil podem ser definidos três campos : ocampo dos deslocamentos, o campo das tensões e o das deformações. Os conceitos nelesenvolvidos são familiares e definem completamente o comportamento sob o ponto de vistamecânico dos corpos.

A Reologia baseia-se principalmente no estudo das deformações, cuja observaçãoempírica é simples.


6

As deformações podem ser classificadas como :

* imediatas : recuperáveisnão-recuperáveis

*não-imediatas

Entende-se por deformações recuperáveis aquelas em que o corpo volta à forma originalapós a retirada dos esforços que geraram a deformação.

1.3 Modelos Reológicos

Os comportamentos anteriormente descritos levam a proposição de três modelosestruturais básicos :

MODELO CARACTERÍSTICA SIMBOLOGIA TIPO DEDEFORMAÇÃO COMENTÁRIO

Elástico σ = E ε σ σ E

Imediata reversível Recupera energiade deformação

Plástico σ ≤ R ⇒ ε = 0σ = R ⇒ ε = livre

σ σ R

Imediatairreversível

Perde energia dedeformação

Viscoso σ = ηεvelocidade de deformação

σ σ η

Não-imediata Deformação se dáao longo do tempo

Com os modelos básicos, que são puramente hipotéticos, podemos através de suacomposição obter modelos conjugados como :

1.3.1 Elasto-plástico :

E R

σ

σ

Figura 1


7

1.3.2 Elasto-viscoso :

E

σ σ

η

Figura 2

Procura-se explicar o comportamento dos materiais usuais através de modelosconjugados. Por exemplo, uma simplificação do aço poderia ser fornecida pelo modelo do item1.3.1 imediatamente anterior.

1.4 Análise das Tensões

O conceito de Tensão :

Considere-se um sólido v, sujeito à esforços externos, em equilíbrio, conforme indica afigura 3 abaixo.

P S∆

V

I

II

P

S’

I

nr

Fr

∆S’

α

Figura 3-a Figura 3-b


8

Sendo P um ponto genérico no interior de V, e α um plano qualquer contendo P, sejam Ie II as duas partes em que V é dividido por S’, interseção de α com V.

Estando V em equilíbrio, as partes I e II também devem estar em equilíbrio. Como, nocaso geral, os esforços externos que agem em I não estão equilibrados, evidencia-se a existênciade esforços transmitidos de II para I, através de S’, que estabeleçam o equilíbrio de I, juntamentecom os esforços externos agentes em I. Tais esforços, pelo fato de aparecerem no interior dosólido, recebem a denominação de esforços internos.

Admite-se aqui a hipótese de que os esforços internos sejam forças distribuídas atravésde S’.

Esta hipótese, extremamente geral, tanto na Mecânica dos Sólidos deformáveis quantona Mecânica dos Fluidos, tem se mostrado inteiramente satisfatória, através de seus resultados.Em alguns poucos casos, que não apresentam interesse para a Mecânica das Estruturas, ela deveser abandonada, sendo substituída pela hipótese de que os esforços internos sejam forças emomentos (binários) distribuídos através de S’, dando origem à Mecânica dos “Contínuos deCosserrat”, que não serão considerados neste trabalho.

Sendo ∆s uma superfície em α e contendo P, conforme mostra a figura 3-b, e sendoFr

∆ a força transmitida de II para I através de ∆s, define-se a grandeza mρr através de :

SF

m ∆∆

=r

rρ (1)

Esta grandeza, para o mesmo sólido e para os mesmos esforços externos, varia com P, αe ∆s. Recebe a denominação de tensão média em P, no plano α e na área ∆s.

Fazendo-se ∆s tender a zero, define-se a grandeza ρr através de :

SF

SmS ∆∆

== →∆→∆

rrr

00 limlim ρρ (2)

Esta grandeza, para o mesmo sólido e para os mesmos esforços externos, varia com P ecom α :

( )αρρ ,Prr= (3)


9

Recebe a denominação de tensão em P no plano α, e caracteriza em P o esforçotransmitido através do plano α.

dz

σy

τxy σy P τyx

τzy τxz τzx dy

dx τyz

σz

Figura 4-a : tensões em um ponto P (tensões nas faces anteriores)

→ k

→ j

→ i


10

σz + δσz dz δz

τyz + δτyz dzτxz + δτxz dz δz δz

τzy + δτzy dy τzx + δτzx dx δy

δx τxy + δτxy dy σy + δσy dy

τyx + δτyx dx δy δy σx + δσx dx δx

δx

Figura 4-b : Tensões em um ponto P (tensões nas faces posteriores)

Para os desenvolvimentos analíticos é mais cômodo caracterizar o plano α pelo versornr normal a α e externo ao sólido que recebe o esforço (no caso, I), como está indicado na figura3-b. Com esta convenção passa-se a escrever :

( )nP rrr ,ρρ = (5)

sendo ρr

a tensão em P associada a nr .

De um modo geral, ρr

não possui a direção de nr assim, é conveniente que seja feita suadecomposição, unívoca, em dois vetores, σ com a direção de nr , e τr pertencente a α, conformemostra a figura 5.

σr

nr

P P ρ

r ρ

r

τr

Figura 5


11

É imediata a relação :

τσρ rrr+= (6)

2.0 REOLOGIA

2.1. Introdução

Ao ser feita a Análise das Tensões, verificou-se que o estado de tensões em um sólido Vfica caracterizado pelo conhecimento das seis componentes de T em cada ponto, em cadainstante, ou seja, das seis componentes de T dadas, cada uma delas, como função de x, y, z e t.Ao mesmo tempo, foram estabelecidas três equações gerais de equilíbrio dinâmico, e apenas três.

.. .. ..Mesmo no caso de equilíbrio, situação em que desaparecem as incógnitas u , v e w

dessas equações gerais, elas são insuficientes para a determinação do estado de tensões de V. Istomostra que, no caso geral, é essencial o estudo das deformações para resolver o problema.Apenas em teorias simplificadas (como a Resistência dos Materiais, por exemplo), e ainda assimem determinadas situações é possível eliminar através de hipóteses simplificadoras (como a deNavier, por exemplo) um número suficiente de incógnitas de modo a ser possível a solução deproblemas exclusivamente através das condições de equilíbrio (como nas estruturas isostáticas daResistência dos Materiais, por exemplo).

Ao ser feita a Análise das Deformações, verificou-se que o estado de deformações em Vfica caracterizado pelo conhecimento das seis componentes de D em cada ponto, em cadainstante, ou seja, das seis componentes de D dadas, cada uma delas, como funções de x, y, z e t.Verificou-se também que os deslocamentos de V ficam caracterizados pelo conhecimento dastrês funções deslocamentos de u, v, e w, cada uma delas como função de x, y, z e t. Ligando asdeformações e os deslocamentos, foram obtidas as seis relações deformações-deslocamentos, eapenas seis.

Desta forma foram consideradas quinze funções incógnitas, cada uma delas função de x,y, z e t (seis tensões, seis deformações e três deslocamentos), ligadas por apenas nove equaçõesdiferenciais de derivadas parciais (as três equações gerais de equilíbrio dinâmico e as seisrelações deformações-deslocamentos), com validade geral, para qualquer sólido. Existe, no casogeral, uma indeterminação.

Essa indeterminação efetivamente não poderia deixar de existir, já que a experiênciamostra que os campos de tensões, deformações e deslocamentos no interior de V dependem domaterial de que o sólido é constituído.


12

Um mesmo sólido sujeito a um mesmo sistema externo estático de ações apresentarespostas diferentes conforme seja de aço ou de concreto. Os deslocamentos no caso do açodeverão ser claramente menores que no caso do concreto e, embora nos dois casos em geral severifique uma variação dos deslocamentos com o tempo, esta é bem menos acentuada no aço queno concreto.

O problema geral somente fica completo com o estabelecimento das EquaçõesConstitutivas dos materiais, que são equações relacionando as tensões, deformações e o tempo.

Chama-se Reologia ao ramo da Física que estuda as relações entre as tensões, asdeformações e o tempo.

Chama-se Macro-reologia à parte da Reologia que procura estabelecer as equaçõesconstitutivas de cada material, sem se preocupar com as origens físico-químicas das mesmas nointerior da matéria. Chama-se Micro-reologia à parte da Reologia que busca as origens físico-químicas das equações constitutivas.

O estudo que será desenvolvido neste curso enquadra-se exclusivamente na Macro-reologia.

A Macro-reologia parte do reconhecimento de três tipos básicos de comportamentoreológico, o elástico, o plástico e o viscoso, correspondendo cada um deles a um modelo decomportamento do material, o modelo elástico, o modelo plástico, e o modelo viscoso.

A seguir, esses diversos tipos básicos de comportamento são combinados de diversasformas, dando origem aos modelos conjugados, que, juntamente com os básicos, permitemdescrever com maior ou menor precisão o comportamento reológico dos materiais reais.

Como em geral o comportamento reológico dos materiais reais é bastante complexo, écomum procurar associar aos mesmos vários modelos reológicos, de modo que cada um delesdescreva satisfatoriamente o comportamento do material real em determinadas circunstâncias.Embora seja possível procurar definir um único modelo para todas as situações possíveis, asimplificação que se obtém com a decomposição é quase sempre compensadora.

2.2 Elasticidade

Elasticidade é o fenômeno do aparecimento de deformações imediatas e reversíveis.

Entendem-se por deformações imediatas aquelas que aparecem simultaneamente com astensões correspondentes e que permanecem constantes ao longo do tempo se as tensõescorrespondentes permanecerem também constantes.

Entendem-se por deformações reversíveis aquelas que se anulam ao se anularem astensões correspondentes, ou seja, aquelas que desaparecem integralmente no descarregamento.

Considere-se inicialmente um ensaio se tração simples e o respectivo diagrama ( σ , ε ).


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σ σ

A A

0 ε 0 ε


Se o diagrama ( σ , ε ) indicar deformações imediatas, se as deformações não variaremcom o tempo quando σ permanecer constante e se o descarregamento se der exatamente pelacurva de carregamento, fica caracterizada a elasticidade do material. Quaisquer dos doisdiagramas indicados na figura 6 são possíveis.

No diagrama da figura 6-a, tem-se proporcionalidade entre σ e ε, podendo-se escrever:

σ = E ε , (7)

com E sendo uma constante característica do material, o módulo de elasticidade. Diz-seque se tem elasticidade linear.

No diagrama da figura 6-b, a relação entre σ e ε não é linear, mas existe uma funçãoque define univocamente σ a partir de ε , de modo que quando ε = 0 obrigatoriamente se tenhaσ = 0 :

σ = σ ( ε ) (8)

Deste modo diz-se que se tem elasticidade não-linear.

A expressão (8) é mais geral do que (7), sendo (7) o caso particular de (8) em que afunção é considerada linear.


14

É importante observar que o fenômeno da elasticidade liga-se ao aparecimento dedeformações imediatas e reversíveis, e não à linearidade nas relações entre tensões edeformações. Embora isso aconteça quase sempre para os materiais estruturais, a linearidade nãoé sinônimo de elasticidade, existindo materiais elásticos não-lineares.

Abaixo observamos as equações constitutivas para a elasticidade tridimensional :

εx = 1 [ σx - ν (σy + σz ) ] E

εy = 1 [ σy - ν (σx + σz ) ] E

εz = 1 [ σz - ν (σy + σx ) ] E

γ xy = 2 ( 1 + ν ) τxy (9) E

γ xz = 2 ( 1 + ν ) τxz E

γ yz = 2 ( 1 + ν ) τyz E

Ou, com a notação :

G = )1(2 ν+

E (10)

Para o estudo dos modelos conjugados, é conveniente o estabelecimento de um modeloreológico que represente a elasticidade, de modo que se possa indicar facilmente como aelasticidade entra na composição do modelo conjugado.

O modelo reológico de elasticidade é uma mola, devendo o mesmo ser entendido comoum modelo físico que colocado dentro de um invólucro, ao ser analisado em um ensaio de traçãosimples, conduzisse às equações constitutivas da elasticidade, neste ensaio.

Conforme será visto, partindo do equacionamento da relação (σ , ε ) nesse ensaio serápossível escrever as equações constitutivas gerais para qualquer modelo conjugado.


15

Figura 7 – Modelo reológico da elasticidade

σ σ

(ε)

Figura 8 – Interpretação física do modelo reológico

2.3 Plasticidade

Plasticidade é o fenômeno do aparecimento de deformações imediatas não reversíveis,ou seja, de deformações imediatas que não desaparecem no descarregamento.

Considere-se inicialmente um ensaio de tração simples e o respectivo diagrama ( σ , ε ).


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σ σ

A A σe

σe

0 ε 0 ε

Figura 9 - a – Perfeitamente plástico Figura 9 -b – Plástico com encruamento

Em geral, existe uma tensão σe , dita tensão de escoamento, tal que enquanto σ < σe

não aparecem deformações plásticas. Ao ser atingida σe , começam a aparecer as deformaçõesplásticas ε.

No caso da figura 9-a, a tensão σ permanece constante, igual a σe , enquanto adeformação plástica cresce. Diz-se que o material apresenta plasticidade perfeita. A descarga faz-se conforme indica a própria figura 9-a, sem reversibilidade da deformação.

No caso da figura 9-b, a tensão σ não permanece constante, crescendo com ε . Diz-seque o material apresenta plasticidade com encruamento, tudo se passando como se σe crescesseao longo do processo de deformação, por exemplo como função de ε. A descarga se fazconforme indica a própria figura 9-b, sem reversibilidade da deformação.

O material considerado na figura 9 é um material que apresenta apenas deformaçõesplásticas, por isso mesmo chamado muitas vezes de material rígido-plástico, porque elepermanece indeformado (rígido) até σ atingir σe , e a partir daí sofre exclusivamentedeformações plásticas. Os materiais reais apresentam em geral deformações elásticas e plásticas,mas esse tipo de comportamento corresponde a um modelo conjugado, o que será visto adiante.

A extensão do equacionamento da plasticidade para caso geral é delicada, sendo feitaapenas parcialmente aqui, ficando para ser completada mais tarde.

O modelo reológico de plasticidade é um sólido pesado que escorrega sobre umasuperfície sob a ação de uma força, conforme indica a figura 10.

σ

Figura 10-a


17

Figura 10-b

σ

σ

Figura 10-c

Enquanto o esforço produzido por σ for menor que a força de atrito (G • tgϕ) não hádeslocamento; quando F superar a força de atrito, há deslocamento livre.

Um tal modelo físico, representado esquematicamente na figura 10-b, em um ensaio detração simples, como o indicado na figura 10-c, teria um comportamento semelhante àqueleindicado na figura 10-a, e por isso ele é utilizado para representar a plasticidade nos modelosconjugados.

Ao serem feitas as generalizações, devem ser levados em conta detalhadamente osefeito já discutidos, decorrentes de (8), e os efeitos do encruamento.

2.4 Viscosidade

A viscosidade é um fenômeno característico dos líquidos.

Um líquido perfeito é um material incapaz de transmitir tensões tangenciais, quer emrepouso, quer em movimento. Por esse motivo, o estado de tensões no interior de um líquidoperfeito é sempre hidrostático.


18

Estudos iniciados por Newton mostraram que os líquidos reais em repouso também nãosão capazes de transmitir tensões tangenciais, mas que em movimento eles o são. Ainda mais,Newton concluiu serem as tensões tangenciais proporcionais à velocidade de deformaçãocorrespondente.

•

= γητ(11)

Isto explica o fato de se ter τ = 0 quando o líquido está em repouso, pois nestas

condições γ = constante e 0=•

γ . Partindo deste conceito, desenvolveu-se a mecânica dos fluidosviscosos.

Para os sólidos, a viscosidade será entendida como o fenômeno do aparecimento dedeformações não-imediatas, ou seja, de deformações que não aparecem simultaneamente com astensões correspondentes, não permanecendo constantes ao longo do tempo mesmo que as tensõescorrespondentes o façam.

Considere-se inicialmente um ensaio de tração simples. Generalizando a expressão (11),admite-se que no instante em que é aplicada a tensão σ, apareça uma velocidade de deformação

dada por •

ε :

•

= εησ (12)

Sendo nula a deformação ε no instante de aplicação de σ, ela continuará nula. No

entanto, em face do aparecimento de uma velocidade de deformação •

ε é dada por (12), com otranscurso do tempo aparecerão deformações ε.

Se, por exemplo, σ permanecer constante e igual a σo , a velocidade de deformação seráconstante, dada por :

ησ

ε 0=•

(13)

De modo que partindo do instante t = 0, onde ε (0) = 0, ter-se-á, integrando a equaçãodiferencial (13) com essa condição inicial :

( ) ttησ

ε 0= (14)


19

Isto mostra que efetivamente, devido à criação de velocidade de deformação por σ, otranscurso do tempo criará deformação.

Os resultados obtidos estão resumidos na figura (11) abaixo.

σ ε

σ 0

t t 0 0


σ σ

Figura 11-c

Figura 11-d


20

2.5 Modelos conjugados

Ao materiais estruturais apresentam, em geral, em maior ou menor grau, e combinadasde uma ou outra forma, deformações elásticas, deformações plásticas e deformações viscosas.

σ

B Cσe

A Dε

εp εe

Figura 12

O aço deve, em um ensaio de tração simples, apresentar deformações imediatasconforme a figura 12, com boa aproximação. Enquanto carregado apenas no trecho retilíneo AB,apresenta apenas deformações elásticas, podendo nestas condições ser bem representado por ummodelo linear.

Se, no entanto, for carregado até um ponto como C, seu descarregamento dar-se-á porCD, aparecendo uma combinação de deformações elásticas εe com deformações plásticas εp.Aqui, a sua descrição já exige a conjugação de um modelo elástico com um modelo plásticoperfeito.

Se a tensão aplicada no aço se mantiver constante por algum tempo, poderão serobservadas deformações não-imediatas (fluência dos aços), de origem viscosa, portanto.

Assim sendo, um modelo reológico que represente o aço doce deve ser formado atravésda conjugação de modelos elásticos, plásticos e viscosos.


21

Da mesma forma, um ensaio de compressão simples em uma peça de concreto apresentadeformações imediatas de acordo com a figura 13, com boa aproximação.

σ C

B

0 D

εp εe

Figura 13

Enquanto carregado no pequeno trecho retilíneo OB, apresenta apenas deformaçõeselásticas, podendo, nestas condições, ser bem representado por um modelo elástico linear.

Se, no entanto, for carregado até um ponto C, seu descarregamento dar-se-á por CD,aparecendo uma combinação de deformações elásticas εe com deformações plásticas εp.

Aqui, a sua descrição já exige a conjugação de um modelo elástico linear, com ummodelo plástico com encruamento, ou, com um modelo plástico perfeito como simplificação, pornão ser acurva BC muito acentuada, como seria no caso de aços encruados.

Se a tensão aplicada no concreto mantiver-se constante por algum tempo, poderão serobservadas deformações não-imediatas (deformação lenta do concreto), de origem viscosa,portanto.

Assim sendo , também um modelo reológico que represente o concreto deve serformado através da conjugação de modelos elásticos, plásticos e viscosos.


22

A obtenção de modelos conjugados é feita pela combinação, em série ou em paralelo,dos modelos fundamentais já vistos, ou de outros modelos conjugados.

Raciocinando sempre em um modelo físico que será submetido a um ensaio de traçãosimples, pode-se combinar em série um modelo elástico com um modelo plástico, como estáindicado na figura 14.

( E ) ( σe )

σ σ

Figura 14

Cada elemento suportará toda a tensão σ, sendo a deformação total ε obtida pela somadas deformações de cada elemento.

No esquema da figura 14, enquanto σ < σe o elemento plástico permaneceráindeformado, sendo portanto a deformação total dada apenas pela deformação da mola. Quandoσ = σe o elemento plástico deformar-se-á livremente, sob tensão constante. Obtém-se odiagrama (σ , ε) da figura 12. Se houver descarregamento enquanto σ < σe toda a deformação érecuperada; se houver quando σ = σe , apenas a deformação da mola é recuperada (εe),permanecendo a deformação plástica εp. Trata-se exatamente do esquema indicado na figura 12.O material com modelo reológico indicado na figura 14 denomina-se elasto-plástico perfeito.

Raciocinando sempre em um modelo físico que será submetido a um ensaio de traçãosimples, pode-se combinar em paralelo um modelo elástico com um modelo viscoso, como estáindicado na figura 14.

( η )

σ σ

( E )

Figura 15


23

Cada elemento suportará uma parcela de σ, sendo a deformação total a mesma para osdois elementos, em cada instante. A parcela de σ que cada elemento suporta é definida pelaigualdade das deformações dos elementos em paralelo, e não pela distribuição de σ em funçãodos braços de alavanca desenhados no modelo.

No instante inicial t = 0, ε = 0. Em um instante genérico t, sendo ε (t) a deformaçãototal, sendo σ1 a tensão no pistão e σ2 a tensão na mola, deve-se ter :

21 σσσ += (15)

( )tE εσ =2 (16)

( )t•

= εησ 1 (17)

E, portanto :

εεησ E+=•

(18)

Que é a equação constitutiva do material, para tração simples. Por exemplo, se σ = σ 0constante, pode-se escrever :

ησ

εη

ε 0=+• E (19)

Cuja solução geral é :

( )E

eAttE

0σε η +=

−

(20)

Impondo ε (0) = 0, obtém-se :

EA 0σ

−= (21)


24

E, portanto :

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

− tE

eE

t ησε 10 (22)

A tensão na mola, no instante t, é dada por :

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

− tE

et ησσ 102 (23)

E a tensão no pistão :

( ) ( )tE

ett ησσσσ−

=−= 0201 (24)

Podem ser obtidos os diagramas que fornecem as deformações e as tensões em funçãodo tempo, conforme mostra a figura 16.

σ ε

σ0 σ0 E

t t

Figura 16-a – Tensão total Figura 16-b – Deformação total


25

σ1 σ2

σ 0

σ 0

t t

Figura 19-c – Tensão no pistão Figura 19-d – Tensão na mola

No instante inicial, como ε (0) = 0 . toda tensão σ0 é transmitida pelo pistão. Como esteadquire velocidade de deformação pelo efeito de σ, com o tempo a deformação cresce, com oque cresce a tensão na mola e decresce a tensão no pistão, e portanto sua velocidade dedeformação. Para t → ∝ , toda tensão σ0 tende a ser transmitida pela mola, tendendo a zero nopistão.

O modelo reológico da figura 15, cujo comportamento na tração simples ficoutotalmente caracterizado pela equação constitutiva (16). Este é o modelo de Terzaghi para solossaturados, utilizado por ele na teoria do adensamento.

O modelo reológico da figura 17 pode ser equacionado de forma semelhante à dosmodelos anteriores.

(η)

σ σ

(E’)

(E”)

Figura 17


26

Mesmo sem equacionar, é fácil perceber que no instante da aplicação de σ = σ0,constante, há uma deformação instantânea dada exclusivamente pela mola (E'), suportando opistão inicialmente toda tensão σ0 transmitida pelo outro elemento (η , E''). Com o tempo, osegundo elemento vai deformando-se e deformação total vai crescendo. Para t → ∞ adeformação total tende a ser a soma das deformações em (E') e (E") produzidas por σ0. Trata-seevidentemente de um modelo reológico em que há deformação imediata seguida de deformaçãolenta, podendo representar em uma primeira aproximação o concreto.

O modelo reológico da figura 18 representa bem um material com deformação lenta etensão de escoamento R.

(η)

σ

(E’) (R)

(E”)

Figura 18

O modelo reológico da figura 19 representa bem um material com deformação lenta, etensão de escoamento R a solicitações rápidas. No entanto, se ele for solicitado por σ0 entre 0,85R e R durante um intervalo de tempo suficientemente longo, ele escoará sob essa tensão algumtempo depois de sua aplicação, sem escoamento imediato. Se for solicitado por σ0 inferior a 0,85R, então não haverá escoamento em nenhum instante. Trata-se, portanto, de um comportamentobastante semelhante ao do concreto, incluindo o efeito Rüsch.

σ


27

(η)

(E’) (R)

(0,85 R)

Figura 19

Conforme se pode observar, existe uma grande variedade de modelos conjugadospossíveis de serem obtidos, descrevendo os mais diversos comportamentos reológicos epodendo, portanto, adaptar-se convenientemente ao comportamento reológico dos materiaisreais, nas diversas situações em que estes podem se encontrar.

A generalização para estados de tensões e deformações quaisquer, para materiaisisotrópicos, geralmente se faz adotando para as componentes antiesféricas de T e D as mesmasrelações obtidas entre σ e ε no ensaio de tração simples, como se poderia ter feito naElasticidade.

Por exemplo, para o material cujo modelo reológico está indicado na figura 15, aequação 18 se generaliza em :

asasas DDT βα +=•

(25)

Com α e β constantes, que podem ser obtidas analisando de forma completa o ensaio detração simples, ou outro mais conveniente.

A generalização ainda não ficou completa, faltando relacionar as componentes esféricasde T e D. Embora possam ser introduzidas quaisquer relações, em geral adota-se a relação :

eses DKT = (26)

Esta relação corresponde a admitir um comportamento elástico ligando as deformaçõesvolumétricas com a componente hidrostática de T. Para isso existe ampla evidênciaexperimental, válida para um grande número de materiais, inclusive os materiais estruturais.

σ

σ


28

As equações obtidas desta forma, como por exemplo (25) e (26), são as equaçõesconstitutivas dos materiais, em sua forma mais geral.

Em certos casos, a generalização não pode ser feita assim tão facilmente, sendo semprenecessário verificar se o comportamento verificado na tração simples decorre das equaçõestensoriais adotadas.

Conforme os elementos fundamentais que compõem o modelo reológico, este recebe adenominação de elasto-plástico, visco-elástico, visco-plástico ou visco-elasto-plástico, existindouma infinidade de modelos possíveis em cada uma destas categorias.

São particularmente importantes neste curso o modelo elástico como modelo básico, omodelo visco-elástico para a descrição das condições de utilização das estruturas, e o modeloelasto-plástico para a descrição das condições de colapso das estruturas.


29

Exemplos de modelos e simulações:

a)Modelo com deformações elásticas imediatas e lentas:

a) Iniciamos aplicando em t0 uma tensão σ1 e mantendo esta tensão até t2:

Inicialmente, em t0 a tensão é toda absorvida pelo braço do ponto B.

Deformação imediata elástica: є1 = σ1/ E1

Lentamente o pistão e a mola E2 vão se deformando e a tensão no intervalo e tempo t0 - t1 vai setransferindo para o braço do ponto C.

Deformação lenta elástica, ocorre entre t0 e t1 : є2 = σ1/ E2

Entre t1 e t2 não ocorrem deformações.


30

b) Aumentamos em t2 a tensão para σ2, mantendo esta tensão até t4:

Inicialmente, em t2 o acréscimo da tensão é toda absorvida pelo braço do ponto B.

Deformação imediata elástica em t2: є3 = (σ2-σ1)/ E1

Lentamente o pistão e a mola E2 novamente vão se deformando e a tensão no intervalo e tempo t2 -t3 vai se transferindo para o braço do ponto C.



c) Em t4 retiramos toda a tensão e mantemos assim até t5:

Ocorre o desaparecimento de toda a deformação imediata elástica є1+ є3.

Inicialmente, em t4 o braço C, como não há tempo para o pistão do braço A deformar, continuasuportando a tensão σB=σ2.

Como a soma das tensões no braços A e B devem totalizar zero (ou a tensão total aplicada), atensão no braço A será -σ2, σA= - σ2.

Lentamente o pistão e a mola E2 novamente vão perdendo as deformações acumuladas (є2+ є4) e atensão no intervalo e tempo t4 - t5 vai reduzindo a zero, simultaneamente nos braços A e B.

Em t5 zeram todas as tensões e deformações.

Materiais de Construção - Agregados

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b) Modelo reológico de Bolzmann para representação do concreto:

Simulação da ruptura pelo acúmulo das deformações lentas:

d) Iniciamos aplicando em t0 uma tensão σ1< R2 e mantendo esta tensão até t2:



Lentamente o pistão e a mola E2 vão se deformando e a tensão no intervalo e tempo t0 - t1 vai setransferindo para o braço do ponto C.



e) Aumentamos em t2 a tensão para σ2> R2 e σ2< R1 mantendo esta tensão até t4:

Inicialmente, em t2 o acréscimo da tensão é toda absorvida pelo braço do ponto B.

Deformação imediata elástica em t2: є3 = (σ2-σ1)/ E1

Materiais de Construção - Agregados

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Lentamente o pistão e a mola E2 novamente vão se deformando e a tensão no intervalo e tempo t2 -t3 vai se transferindo para o braço do ponto C, mas esta não pode ultrapassar o valor de R2.

Deformação elástica lenta, ocorre entre t2 e t3 : є4 = (R2-σ1)/ E2

Então no instante t3, quanto a tensão em C atinge o valor de R2 o corpo R2 começa a escorregar.

No instante t3 com o escorregamento da mola as deformação є5, plástica tende ao infinito, atingindoentão a quantidade de deformação necessária para a ruptura.

є5 → ∞

A ruptura ocorre pelo acúmulo das deformações imediatas e lentas.

є de ruptura = є1 + є2 + є3 + є4 + є5

Simulação da ruptura pelas deformações imediatas:

f) Iniciamos aplicando em t5uma tensão σ3 = R1:



Logo que a tensão σ3 atinge o corpo R1, este começa a escorregar, criando uma deformaçãoplástica є7 que tende para o infinito.

є7 → ∞

Ainda no instante t5 atingimos a quantidade de deformação necessária para levar o material àruptura.

A ruptura ocorre pelo acúmulo das deformações imediatas, elásticas e plásticas.є de ruptura = є6 + є7

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