Clculo FINANCEIRO Rendas

Clculo FINANCEIRO RendasTrabalho realizado para o estudo das rendas na matemtica financeira.

Indice

ContedoContedo3Introduo4Conceito de Renda5Definio6Estudo das rendas7De termos normais (ou postcipados) e constantes9De termos antecipados e constantes10Rendas temporrias, certas, diferidas e inteiras, de termos normais (ou postcipados) e constantes11Rendas, perptuas, certas, imediatas ou diferidas e inteiras12Imediatas, de termos normais ( ou postcipados) e constantes12Imediatas, de termosantecipados e constantes12Diferidas, de termos antecipados e constantes13Rendas certas, temporrias, imediatas, de termos normais14Rendas certas,temporrias, imediatas, de termos antecipados14Rendas certas, temporrias, diferidas, de termos normais e de termos antecipados15Rendas certas, perptuas, imediatas ou diferidas, de termosnormais e de termos antecipados16Importante17

Introduo

Uma das operaes financeiras mais comuns estudada na Cadeira de Calculo Financeiro so as rendas.Com este trabalho pretendemos desmistificar um dostemas, que inicialmente sugerem maior dificuldade, desta unidade curricular e alcanar o objetivo que nos foi colocado.Para conseguir o nosso objetivo tentaremos dar o mximo de exemplos prticos, situaes simples que nos acontecem no dia-a-dia que permitiro uma mais fcil compreenso.No decorrer deste trabalho sero, ainda, resolvidos alguns exerccios.

Conceito de Renda

Uma renda, em clculo financeiro, um conjunto finito ou infinito de valores comvencimento de periodicidade certa, ou seja, valores que so pagos ou recebidos com intervalos de tempo constantes.

Exemplo:O pagamento de um emprstimo para habitao faz-se habitualmente atravs de pagamentos com periodicidade constante, em geral num determinado dia de cada ms. Pode ser considerado uma renda em termos de clculo financeiro.

Os recebimentos dos juros de um depsito em regime de juros simples, se o intervalo do seu vencimento for constante, tambm considerado uma renda.

Muitas das operaes financeiras envolvem a utilizao de rendas, nomeadamente para o pagamento ou amortizao de emprstimos ou investimentos. Os clculos do valor de cada prestao (que em clculo financeiro se designa portermo), da taxa de juro associada ou do nmero de prestaes necessrias, so baseados nos princpios apresentados nos pontos sobre capitalizao e atualizao.

DefinioRenda a sucesso de capitais que se vencem peridicamente sendo o intervalo de tempo entre perodos constante.Termo darenda,Capital(C) cada um dos capitais da sucesso. C1, C2, C3.CnPerodo (p)da renda o intervalo de tempo constante que separa os vencimentos consecutivos.Momentos relevantes da vida de uma renda:Momento zero o momento em que se convenciona aconstituio da renda, podendo esta comear a produzir-se imediatamente, renda imediata, ou no, renda diferida.Momento wMomento de incio do primeiro perodo da renda.Prazo de diferimento (o;w)decorre desde a constituio da renda at que comea a produzir-se.Momento w + n, fim do ltimo perodo da renda quando esta tem n termos e diferida de w perodos.Renda de termos constantesC1=C2=C3=C4=CnRenda de termos variveisC1 ; C2 ; C3 ; C4 Cn ,Designao dos termosRenda anual - anuidadesRenda semestral - semestralidadesRenda mensal - mensalidades

Estudo das rendas

No estudo das rendas interessa-nos conhecer o seu valornum de dois momentos de referncia:Valor atual, ou seja, o valor da renda reportado ao momento zero, que coincide com o incio do primeiro perodo da renda, se esta imediata ou a um momento anterior, se a renda diferida

Valor acumulado, ou seja, o montante capitalizado por uma renda no fim do seu ltimo perodo como a determinao daquelesvalores vai depender da classificao da renda e da natureza dos seus termos, torna-se necessrio desenvolver e determinar os respetivos algoritmos caso a caso.

Quando o perodo da renda sempre o mesmo, dizemos que ela peridica; caso contrrio, no-peridica.Nas rendas peridicas, se o perodo o ms, o trimestre ou o ano, temos, respetivamente, renda mensal, trimestral ou anual, e assim por diante.Se todos os termos da renda so iguais, ela denominada constante; caso contrrio, varivel.

Quanto data do vencimento do primeiro termo, uma renda certa pode serimediata,antecipadaoudiferida.a)Imediata: Ocorre quando o vencimento do primeiro termo se d no fim do primeiro perodo a contar da data zero, isto , na data daassinatura do contrato. Antecipada: Ocorre quando o vencimento do primeiro termo se d na data zero.Exemplo: Compra de um bem a prazo, em prestaes mensais, pagando a primeira prestao um ms aps a assinatura do contrato.b)Antecipada: Ocorre quando ovencimento do primeiro termo se d na data zero.Exemplo: Depsito mensal de uma mesma quantia em caderneta de poupana, durante um prazo determinado.c)Diferida: Ocorre quando o vencimento do primeiro termo se d no fim de um determinado nmero de perodos, a contar da data zero.Exemplo: Compra de um bem a prazo, em prestaes mensais, pagando a primeira prestao no fim de um determinado nmero de meses.

Rendas temporrias, certas, imediatas e inteiras:De termos normais (ou postcipados) e constantesTrata-se da renda mais simples e que, como tal, ir servir de referencial para todas as restantes.Clculo do valor atual:an; expresso que simboliza o valor atual de uma renda, temporria, certa, imediata e inteira, de n termos normais e unitrios. Para quaisquer outros termos constantes que no unitrios, ter de ser multiplicada por essa constante. Para calcular o valor atual da renda basta somar o valor de todos os termos, depois de atualizados para o momento zero (zero= atual, por conveno), taxa de juro estipulada, ou seja:

Clculo do valor acumulado:sn; expresso que simboliza o valor acumulado de uma renda, temporria, certa, imediata e inteira, de n termos normais e unitrios. Para quaisquer outros termos constantes que no unitrios,ter de ser multiplicada por essa constante. Para calcular o valor acumulado da renda, teremos de somar os valores capitalizados ou acumulados de todos os termos para o momento n, ou seja o fim do perodo do ltimo termo da renda, taxa de juro convencionada, pelo que teremos:

Comparando as duas expresses, facilmente se conclui que existe uma relao direta entre as mesmas, que se traduz:

Ou seja, o valor atual capitalizado para o fim do ltimo perodo igual ao valor acumulado pelos termos darenda. E, a inversa tambm verdadeira.

De termos antecipados e constantesAo contrrio da modalidade anterior, os termos da renda vencem-se no incio de cada perodo e no no fim, o que corresponde a antecipar um perodo no vencimento de todos os termos da renda.Como consequncia, o valor atual de cada um e de todos os termos aumenta, pois, atualizado menos um perodo.Representa-se por:Do mesmo modo, o valor acumulado pelo somatrio dos termos da renda no fim do ltimo perodo, tambm aumenta deigual modo, uma vez que cada termo da renda ir acumular mais um perodo de juros; sofre ou beneficia de um perodo adicional de capitalizao.Representa-se por:Do mesmo modo que nas rendas de termos normais, tambm nas rendas de termos antecipados se verifica a relao entre o valor atual e o valor acumulado:

E inversamente

Rendas temporrias, certas, diferidas e inteiras, de termos normais (ou postcipados) e constantesPor definio, uma renda diferida quando o incio do seu primeiro perodo posterior ao momento atual, ou, como dizemos por simplificao, ao momento zero.O nmero de perodos que decorre desde o momento atual (zero) at ao incio do perodo do primeiro termo designado como o prazo de diferimento-tDeste modo, para calcular o valor atual de uma renda diferida de t perodos, torna-se necessrio atualizar todos os termos de mais t perodos do que uma renda imediata.

O valor atual de uma renda diferida de t perodos e de termos normais, representa-se pela expresso:

O valoracumulado no final do ltimo perodo da renda, ou seja, no final do perodo do ultimo termo da renda, isto ,n+t, ser exatamente igual ao valor acumulado por uma renda imediata e de termos normais no final do perodo n, pelo que o algoritmo de clculo exatamente o mesmo.De termos antecipados e constantesAplica-se, por analogia, o que descrito para a renda imediata e de termos antecipados.Assim, o valor atual de uma renda diferida de t perodos e de termos antecipados, representasse pela expresso: Instituto Superior de Engenharia do Porto

Tal como na modalidade anterior, o valor acumulado no final do ultimo perodo da renda, ou seja, no final do perodo n+t, ser igual ao que resultaria de uma renda imediata de termos antecipados no final do perodon, pelo que o clculo se efetua do mesmo modo.

Rendas, perptuas, certas, imediatas ou diferidas e inteirasPor oposio a rendas temporrias, em que o nmero de termos n finito, ou seja, uma constante dada, temos as rendas perptuas, em que onumero de termos n tende para infinito.Naturalmente que, se o nmero de termos tende para infinitamente grande, no possvel referenciar no tempo o fim do ltimo perodo da renda, e logo, carece de significado o valor acumulado da renda, o mesmo dizerque possvel determinar esse valor.Inversamente, reveste-se de particular interesse e acuidade o conhecimento do valor atual dessas rendas, para os mais diversos efeitos.Tal como para as rendas temporrias, poderemos ter rendas perptuas imediatas oudiferidas e, em ambos os casos, podero ser de termos normais ou postcipados ou de termos antecipados.Daqui decorre que, para determinar o valor atual de uma qualquer renda perptua, se pode tomar os algoritmos de determinao do valor atual da correspondente renda temporria, fazendo tender a varivel n para infinito.Vamos de seguida, deduzir alguns destes algoritmos

Imediatas, de termos normais (ou postcipados) e constantesA partir da formulao para a renda temporria vir::

e comoTende parazero ; onde:

Este , pois, o valor atual de uma renda perptua, certa, imediata e inteira, de termos normais e constantes e de valor unitrio.A partir deste algoritmo deduzem-se todos os outrosImediatas, de termos antecipados e constantesVir:

Diferidas, de termos normais (ou postcipados) e constantes teremos:

Diferidas, de termos antecipados e constantesComo na modalidade anterior:

Analisamos at aqui as rendas, certas e inteiras, de termos constantes, quer sejam temporrias, quer sejamperptuas e para ambas, tanto imediatas como diferidas e ainda, quer sejam de termos normais ou de termos antecipados.Vamos de seguida abordar as formas de clculo do valor atual e do valor acumulado das rendas fracionadas.Rendas certas, temporrias ou perptuas, imediatas ou diferidas e fracionadasComo vimos na definio, estamos perante rendas fracionadas quando o perodo da renda e o perodo da taxa de juro no coincidem.Por via de regra, nas rendas fracionadas, o perodo da taxa de juro comporta dois ou mais perodos da renda. Vamos, genericamente, considerar que o perodo da renda corresponde a 1/m do perodo da taxa.Assim, uma renda que se vence durante n perodos da taxa vai ter mxn termos, a saber:m- o numero de vezes que o perodo da taxa contm o perodo da renda, ou o numero de termos da renda que se vencem durante um perodo da taxa.

n- o numero de perodos da taxa durante os quais se vence a renda

mxn- ser o numero de termos da renda

Rendas certas, temporrias, imediatas, de termos normaisTal como para as rendas inteiras, interessa, fundamentalmente, determinar o valor atual (reportado ao momento atual) e o valor acumulado (reportado ao fim do ultimo perodo da renda).Por conveno representam-se: (rendas unitrias)Valor atual:

Onde i a taxa equivalente relativa ao perodo da renda : i = (1+i) 1Podemos assim dizer que, o valor atual de uma renda fracionada resulta do produto do valor atual de uma renda inteira pelo quociente entre a taxa de juro peridica e a taxa equivalente a esta relativa ao perodo da renda.

Valor acumulado:Rendas certas, temporrias, imediatas, de termos antecipadosSe em vez de normais, os termos forem antecipados, haver menos um perodo da renda de atualizao, para o valor atual e mais um de capitalizao para o final do ultimo perodo da renda, pelo que, e tal como nas rendas inteiras, vir:Valor atual:Valor acumulado:

Rendas certas, temporrias, diferidas, de termos normais e de termos antecipadosAplica-se o algoritmo deduzidoacima, quer para as rendas de termos normais, quer para as rendas de termos antecipados, com a particularidade de que os perodos diferidos (t) correspondem a perodos da renda e no da taxa de juro.

a) Valor atual de uma renda diferida de t perodos, determos normais:b) Valor atual de uma renda diferida de t perodos, de termos antecipados

Tal com vimos para as rendas inteiras, a determinao dos valores acumulados processa-se exatamente nos mesmos termos que os das rendas imediatas, uma vez que sereportam sempre ao fim do perodo do ultimo termo da renda.

Rendas certas, perptuas, imediatas ou diferidas, de termos normais e de termos antecipadosTal como para as rendas inteiras, tambm para as rendas fracionadas a determinao do valor acumulado no possvel nas rendas perptuas.Quanto determinao do valor atual, procede-se como nas rendas inteiras adaptando os algoritmos anteriormente deduzidos a cada combinao de renda/termos.

Assim teremos:a) Rendas imediatas, de termos normais. Vir:

b) Rendas imediatas, de termos antecipados.

c) Rendas diferidas, de termos normais.

d) Rendas diferidas, de termos antecipados

Importante

O conceito de renda fracionada assume grande importncia dado que, regra geral, os perodos da renda e dataxa de juro no so coincidentes.Acontece que, mesmo sendo importante o seu conhecimento e tratamento como tal, sempre possvel converter uma renda fracionada numa renda inteira, mediante o recurso equivalncia de taxas de juro, ou seja, a substituio da taxa de juro dada, pela sua equivalente correspondente ao perodo da renda.Por via de regra, o perodo da renda que cabe duas ou mais vezes no perodo da taxa (m), e nestas situaes a taxa equivalente vem dada por:

Significa esta transformaoque, a renda passa a ser inteira, com n . m termos, em vez n perodos, comportando cada um m termos.Como facilmente se poder demonstrar, teremos (para uma renda temporria e de termos normais):

Valor atual:

Valor acumulado:

O mesmo para o valoratual e valor acumulado e para todas as rendas e termos

Exerccios Resolvidos

Capital atual e acumulado

t1500 1500 1500 1500 1500

n 0 1 2 3 4 5 10Admitindo que a renda acima, com uma taxa anual de 12,5%, determine os seus valores nos momentos seguintes:Momento 0:

Momento 5:

Momento 10:

Momento 1: