Relatório experimento 4: Leis de Kirchhoff

Fenômenos eletromagnéticos

Discentes: Bruno César Prado

Cássio Gonçalves Falcão Fernando Henrique Gomes Zucatelli

Thiago Rodrigues Brito

Profº. Marcio Peron Godoy

Santo André

2010

Sumário

1. INTRODUÇÃO..................................................................................................................2

1.1. Lei de Kirchhoff das Tensões (LKT) .........................................................................2 1.2. Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC).......................................................................2 1.3. Mínimos Quadrados ...................................................................................................3

2. OBJETIVOS.......................................................................................................................4 3. PARTE EXPERIMENTAL................................................................................................4

3.1. Materiais .....................................................................................................................4 3.1.1. Erros instrumentais .............................................................................................4

3.2. Métodos ......................................................................................................................5 3.2.1. Lei das correntes.................................................................................................5 3.2.2. Lei das tensões....................................................................................................7

4. RESULTADOS E DISCUSSÃO .......................................................................................9 4.1 Parte 1 – Lei das correntes..........................................................................................9 4.2 Parte 2 – Lei das tensões...........................................................................................11 4.3 Mínimos Quadrados (Ajuste Linear)........................................................................13

5. CONCLUSÃO..................................................................................................................16 6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................17

2

1. INTRODUÇÃO

Um circuito elétrico consiste em vários elementos simples de circuito

interconectados entre si. O circuito geralmente conterá pelo menos uma fonte de

tensão ou de corrente. O arranjo dos elementos resulta em um novo conjunto de

restrições entre as correntes e as tensões. Estas novas restrições e suas equações

correspondentes, somadas às relações tensão-corrente dos elementos individuais,

fornecem a solução do circuito [1].

1.1. Lei de Kirchhoff das Tensões (LKT)

A lei de Kirchhoff para a tensão, ou lei das malhas, afirma que a tensão

aplicada a um circuito fechado é igual à soma das quedas de tensão naquele

circuito. Este fato foi usado no estudo de circuitos em série e foi expresso da

seguinte forma [2]:

Tensão aplicada = soma de quedas de tensão

A 1 2 3V V V V= + + (1)

Onde VA é a tensão aplicada e V1, V2, V3 são as quedas de tensão

Outra forma de se enunciar a LKT é: a soma algébrica das subidas ou

aumentos e das quedas de tensão deve ser igual a zero. Uma fonte de tensão ou

f.e.m. (força eletromotriz) é considerada como um aumento de tensão, uma tensão

através de um resistor consiste numa queda de tensão. Esta forma da lei pode ser

escrita transpondo os termos da direita da equação (1) para o lado esquerdo [2]:

Tensão aplicada – soma das quedas de tensão = 0

A 1 2 3V -( V V V ) 0+ + = (2)

1.2. Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC)

A lei de Kirchhoff para a corrente, ou lei dos nós, afirma que a soma das

correntes que entram numa junção é igual à soma das correntes que saem da

junção. Suponha três correntes saindo e entrando numa junção comum ou num

ponto, como representado na Figura 1. Este ponto comum é também chamado de

nó [2].

3

Figura 1 – Exemplificação de um nó.

A relação das correntes da Figura 1 pode ser escrita como:

Soma das correntes que entram = soma das correntes que saem (3):

3 2 1I I I= + (3)

Se considerarmos as correntes que entram numa junção como positivas (+) e

as que saem da mesma junção como negativas (-), então esta lei afirma que a soma

algébrica de todas as correntes que se encontram numa junção comum é zero [2].

1.3. Mínimos Quadrados

O método dos mínimos quadrados para o ajuste linear de uma coleção de

dados é utilizado para obter os coeficientes linear e angular de uma função

( )f x a bx= + :

[ ]2

1

( )n

i i

i

y f xε=

= −∑ (4)

Coeficiente linear

( )

2

22

i i i i i

i i

x y x y xa

N x x

−=

−

∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑

(5)

Coeficiente angular

( )

22

i i i i

i i

N x y x yb

N x x

−=

−

∑ ∑ ∑∑ ∑

(6)

Os respectivos desvios-padrão dos coeficientes são dados por:

2

2 2a ix

σσ =

∆∑ (7)

2

2b N

σσ =

∆ (8)

4

Onde ∆ é:

( )22

iiN x x∆ = −∑ ∑ (9)

Sendo N o número de amostras feitas

Também se utilizou o erro relativo na verificação dos dados, que é da forma:

.100%; sendo a variável a ser medido o erron

n

X XX

X

− (10)

2. OBJETIVOS

O objetivo deste experimento é verificar experimentalmente as leis de Kirchhoff

para tensão e corrente em circuitos fechados.

3. PARTE EXPERIMENTAL

3.1. Materiais

• 3 Resistores, sendo um de 100 Ω, um de 270 Ω e um de 150 Ω

• 2 Multímetros digitais Marca Minipa ET-2510.

• 1 Multímetro digital Marca Minipa MDM – 8045A

• 1 Protoboard (Matriz de contato).

• 1 Fonte de Tensão Marca Minipa MPL-1303/MPL-3303

• Cabos banana e jacaré.

3.1.1. Erros instrumentais

Dado o uso de diferentes equipamentos, são descritos abaixo os erros de cada

equipamento conforme manual:

Erro multímetro Minipa ET-2510:

Para tensão contínua: 0,5% da tensão medida ± 2 D.

Para corrente (usado apenas em µA DC): 1% da corrente medida ± 2 D.

Sendo D é o último digito significativo (conforme manual).

Erros do multímetro Minipa MDM – 8045A:

5

Corrente DC Faixa (20mA/200mA) – ± (0,35% + 10 D)

Corrente DC Faixa (2A/20A) – ± (0,8% + 10 D)

Tensão DC (200mV/2V/20V) – ± (0,05% + 3 D)

Erro da fonte de tensão Minipa MPL-1303/MPL-3303 em operação em tensão

constante da saída 0 a 30 VDC (continuamente ajustável):

Regulação da linha: ± (0,05% + 5mV)

3.2. Métodos

3.2.1. Lei das correntes

Inicialmente foi montado um circuito composto de três resistores, sendo um

ligado em série com dois ligados em paralelo e três amperímetros, conforme a

Figura 2, através de um planejamento prévio do experimento, calculou-se a corrente

e tensão máxima que podiam ser aplicadas no circuito para não ocorrer danos nos

componentes, os cálculos encontram-se na seção 3.2.1.1 Demonstrações e

planejamento.

Figura 2 – Circuito para verificação da lei das correntes

Fixou-se a corrente máxima no gerador e mediu-se para pequenos valores de

E os valores das correntes em cada resistor. Em seguida foram feitas as mesmas

medidas de corrente, mas dessa vez variando tensão em um intervalo contido

encontrado no planejamento.

Os valores nominais dos resistores usados foram R1 = 100Ω, R2= 270Ω e R3=

150Ω.

3.2.1.1. Demonstrações e planejamento

Iniciando a equacionar o circuito com as principais relações (Equação (11)):

6

( )

1 1 1 2 2 2 3 3 3 2 3

11 11 2 3 1 2 1 2 3 1 1

; ; ;

; ; ;T eq eq eq

V R I V R I V R I V V

I I I I E V V R R R R R R−− −

= = = =

= = + = + = + = + (11)

A partir da equação (11), pode-se relacionar I2 com a corrente I1 e os resistores

da associação:

2 31 2 1 1 1 1

2 3eq T

R RE V V R I R I R I

R R

= + = = ⇒

+ 2R+ 2 1 1I R I=

2R+

31

2 3

32 1

2 3

RI

R R

RI I

R R

+

∴ =+

(12)

De modo análogo para I3: em relação a I1:

2 31 3 1 1 1 1

2 3eq T

R RE V V R I R I R I

R R

= + = = ⇒

+ 3R+ 3 1 1I R I=

2 3R R+ 1

2 3

23 1

2 3

IR R

RI I

R R

+

∴ =+

(13)

Pode-se então definir a razão Ai tal que ela seja o coeficiente angular da reta

do gráfico de Ii em função de I1 (Equação (14)).

2 22 1 1 2 2

2 3 1

1

; 2,3ii

R II I I A A

R R I

IA i

I

= = ⇒ =+

= =

(14)

A partir da equação (14), calcula-se o desvio padrão da Ai em função de Ii e I1

(Equação (15)):

1

1

22

2 2 2

1

21 1

22 2 2

2 22 2

1 1 1 1

( ) .( ) .( )

1;

1.( ) .( )

i i

i

i i i

ii

i iA I I

i

i i i

i

Ii i IA I I A

IA

I

A A

I I

A I A

I I I I

I I

I I I I

σ σ σ

σσσ σ σ σ

=

∂ ∂= +

∂ ∂

∂ ∂= − =

∂ ∂

∴ = − + ⇒ = − +

(15)

Dessa forma pode-se calcular o valor de Ai na forma Ai ± σAi .

Para o planejamento de corrente e tensão máxima do circuito, considerou-se

que cada resistor pode dissipar 0,25W.

7

Assim o valor da corrente em cada um dos resistores depende da potência e

de sua resistência, sendo os valores calculados no bloco de equações (16):

2

11

22

33

0,250,05 50

100

0,250,03 30

270

0,250,04 40

150

PP VI I R I

R

PI A mA

R

PI A mA

R

PI A mA

R

= = ⇒ =

= = = =

= = = =

= = = =

(16)

Usando a equação (14), verificam-se as correntes I2 e I3 estipulando I1 como

Imax:

2 3

270 15050 30 ; 50 18

(270 150) (270 150)I mA mA I mA mA= ≅ = ≅

+ + (17)

Assim percebe-se que as correntes no bloco de equações (17) satisfazem as

correntes de cada resistor calculados no bloco de equações (16).

Ou seja, a relação entre as resistências permite que a corrente máxima seja I1.

Para as tensões máximas em cada resistor (equações (18)), usa-se a corrente

máxima calculada para o circuito, e as resistências que ela percorrerá, assim

calcula-se a tensão sob R1 e sobre o equivalente de R2 e R3 em paralelo:

1 1 1 2 1 2100 50 5 ; 96 50 4,8eq

V R I mA V V R I mA V= = Ω⋅ = = = Ω⋅ = (18)

A tensão máxima aplicável será a da equação (19):

1 2 5 4,8 9,8 10T

V V V V V V V= + = + = ≅ (19)

Lembrando que não foi considerada a resistência interna do microamperímetro

nos cálculos. Como esta resistência é a da ordem de 1KΩ, tem-se uma boa margem

de segurança nos valores calculados.

3.2.2. Lei das tensões

Nesta segunda parte montou-se um circuito, formado com três resistores em

série e seus respectivos voltímetros ligados em paralelo, conforme a Figura 3,

através de um planejamento prévio do experimento, calculou-se a corrente e tensão

máxima que podiam ser aplicadas no circuito para não ocorrer danos nos

8

componentes, os cálculos encontram-se na seção 3.2.2.1 Demonstrações e

planejamento..

Figura 3 – Circuito para verificação da lei das tensões.

Fixou-se a corrente máxima no gerador, para um valor de E pequeno mediu-se

os valores das tensões em cada resistor. Em seguida variaram-se os valores de E

em um intervalo contido no planejamento.

3.2.2.1. Demonstrações e planejamento.

Partindo da lei da malhas na equação (1), inicia-se o equacionamento do

circuito da Figura 3, lembrando todos os resistores são percorridos pela mesma

corrente e a resistência equivalente é a soma de cada resistência, assim chega-se a

relação entre a tensão de um resistor, a fonte e os demais resistores.

1 2 3 1 2 3

1 1 2 2 3 3 1 2 3

1 1 1 1 1 11 2 3

;

; ; ; ;

eq T T

eq

eq

eq

E V V V R I I I I I I

EV R I V R I V R I R R R R I

R

E EV R I V R V R

R R R R

= + + = = = = =

= = = = + + =

∴ = ⇒ = ⇒ =+ +

(20)

A partir da equação (20), pode-se expandir o resultado para o i-ésimo resistor

tal como mostra a equação (21):

1 2 3

; para 1, 2,3Ri i

EV R i

R R R= =

+ + (21)

Tal como feito na seção 3.2.1.1 pode-se então definir a razão BRi tal que ela

seja o coeficiente angular da reta do gráfico de Vi em função de V1 (Equação (22)).

1 2 3

. ; 1,2,3RiRi i Ri Ri

VEV R E B B i

R R R E= = ⇒ = =

+ + (22)

9

A partir da equação (22), calcula-se o desvio padrão da BRi em função de Vi e

V1 (Equação (23)):

222 2 2

2

22 222 2

2 2

( ) .( ) .( )

1;

1.( ) .( )

Ri Ri

Ri

Ri Ri Ri

RiRi

Ri RiB Ri V

Ri

Ri Ri Ri

Ri

VRi Ri RiB Ri V B

VB

E

B B

E V

B V B

E E V E

V V

E E E E

σ σ σ

σσσ σ σ σ

=

∂ ∂ = +

∂ ∂

∂ ∂= − =

∂ ∂

∴ = − + ⇒ = − +

(23)

Dessa forma pode-se calcular o valor de BRi na forma BRi ± σBRi.

No planejamento deste circuito, como a corrente é a mesma para todos os

resistores, deve-se utilizar a menor das correntes, calculadas no circuito de lei de

correntes, para que nenhum resistor queime, os valores individuais de cada resistor

são os mesmo dos encontrados no bloco de equações (16), assim a Imax = 30 mA.

Logo, a tensão máxima sob um resistor será:

0,25

8,33 830 máx

P WV V V V

I mA= = = ⇒ ≅ (24)

Dada a mesma corrente que circula em todo o circuito, as tensões nos

resistores quando aplicada a corrente de 30 mA será:

1 2 3

1 2 3

100 30 3 ; 270 30 8,1 ; 150 30 4,5 ;

15,6T

V mA V V mA V V mA V

V V V V V

= Ω⋅ = = Ω⋅ = = Ω⋅ =

= + + = (25)

Contudo, a tensão máxima aplicada foi de 8V encontrada na equação (24),

porque esqueceu-se de considerar a soma das quedas de tensões de cada resistor

e então utilizou-se a tensão máxima de um resistor, que foi o de 270 Ω.

4. RESULTADOS E DISCUSSÃO

4.1 Parte 1 – Lei das correntes

Na Tabela 1 encontram-se os valores da Parte 1 do experimento com uma

variação pequena da tensão (de 0,1 V) para o circuito. Também há erro relativo de I1

em relação a soma das correntes I2 e I3 (fórmula similar a eq. (10))

10

1 2 3

1

( ).100%

I I I

I

− + (26)

Para a Tabela 1 encontra-se um erro relativo em média de 0,617%, um valor

muito baixo, que representa um ótimo resultado.

Na Tabela 2 encontram-se os valores de uma variação maior da tensão, onde o

intervalo é de 1 V. Pode-se notar também que há um bom resultado quanto ao erro

relativo, que é de 0,238% em relação a corrente I1

As colunas com asterisco foram medidas com o multímetro Minipa MDM –

8045A.

Tabela 1 – Medições para correntes com uma variação pequena.

Egerador (V) I1 (mA)* I2 (μA) I3 (μA) I2+I3 (mA) Erel (%)

0,5 0,237 ± 0,011 130 ± 3 101 ± 3 0,231 ± 0,006 2,532

0,6 0,284 ± 0,011 158 ± 4 132 ± 3 0,290 ± 0,007 2,113

0,7 0,316 ± 0,011 173 ± 4 146 ± 3 0,319 ± 0,007 0,949

0,8 0,358 ± 0,011 196 ± 4 162 ± 4 0,358 ± 0,008 0,000

0,9 0,406 ± 0,011 224 ± 4 187 ± 4 0,411 ± 0,008 1,232

1,0 0,459 ± 0,012 251 ± 5 210 ± 4 0,461 ± 0,009 0,436

1,1 0,516 ± 0,012 282 ± 5 237 ± 4 0,519 ± 0,009 0,581

1,2 0,555 ± 0,012 302 ± 5 254 ± 5 0,556 ± 0,010 0,180

1,3 0,627 ± 0,012 342 ± 5 287 ± 5 0,629 ± 0,010 0,319

1,4 0,663 ± 0,012 362 ± 6 304 ± 5 0,666 ± 0,011 0,452

1,5 0,720 ± 0,013 393 ± 6 330 ± 5 0,723 ± 0,011 0,417

1,6 0,767 ± 0,013 419 ± 6 352 ± 6 0,771 ± 0,012 0,522

1,7 0,832 ± 0,013 454 ± 7 381 ± 6 0,835 ± 0,012 0,361

1,8 0,857 ± 0,013 468 ± 7 392 ± 6 0,860 ± 0,013 0,350

1,9 0,937 ± 0,013 511 ± 7 429 ± 6 0,940 ± 0,013 0,320

2,0 0,988 ± 0,013 539 ± 7 452 ± 7 0,991 ± 0,014 0,304

2,1 1,023 ± 0,014 559 ± 8 468 ± 7 1,027 ± 0,014 0,391

2,2 1,097 ± 0,014 597 ± 8 501 ± 7 1,098 ± 0,015 0,091

2,3 1,110 ± 0,014 606 ± 8 509 ± 7 1,115 ± 0,015 0,450

2,4 1,167 ± 0,014 637 ± 8 534 ± 7 1,171 ± 0,016 0,343

Média 0,617

11

Tabela 2 – Medições para correntes com uma variação maior.

Egerador (V) I1 (mA)* I2 (μA) I3 (μA) I2+I3 (mA) A2 A3 Erel (%)

1 0,46 ± 0,01 251 ± 5 210 ± 4 0,46 ± 0,01 0,54 ± 0,02 0,46 ± 0,04 0,043

2 0,96 ± 0,01 521 ± 7 437 ± 6 0,96 ± 0,01 0,54 ± 0,01 0,46 ± 0,06 0,157

3 1,46 ± 0,02 793 ± 10 666 ± 9 1,46 ± 0,01 0,55 ± 0,01 0,46 ± 0,08 0,275

4 1,97 ± 0,02 1072 ± 13 901 ± 11 1,97 ± 0,02 0,54 ± 0,01 0,46 ± 0,08 0,305

5 2,46 ± 0,02 1338 ± 15 1125 ± 13 2,46 ± 0,02 0,54 ± 0,01 0,46 ± 0,08 0,285

6 2,97 ± 0,02 1618 ± 18 1361 ± 16 2,98 ± 0,02 0,54 ± 0,01 0,46 ± 0,08 0,236

7 3,49 ± 0,02 1900 ± 21 1600 ± 18 3,50 ± 0,03 0,54 ± 0,01 0,46 ± 0,08 0,315

8 4,00 ± 0,02 2174 ± 24 1832 ± 20 4,01 ± 0,03 0,54 ± 0,01 0,46 ± 0,08 0,275

9 4,47 ± 0,03 2429 ± 26 2049 ± 22 4,48 ± 0,03 0,54 ± 0,01 0,46 ± 0,07 0,246

10 5,00 ± 0,03 2716 ± 29 2293 ± 25 5,01 ± 0,04 0,54 ± 0,01 0,46 ± 0,07 0,240

Média 0,54 ± 0,01 0,46 ± 0,07 0,238

4.2 Parte 2 – Lei das tensões

Na Tabela 3 temos os valores para tensão em um intervalo de 0,1 V para a

medição das tensões de queda em cada resistor. Obtemos um erro relativo muito

alto, com um pico de 11,5% e uma média de 6,7%, o que mostra um erro grande.

Verifica-se que uma variação muito pequena na soma das tensões, pode-se

encontrar um erro relativo muito grande. Por exemplo, na tensão de 0,5 V do

gerador obteve-se a somatória das quedas igual a (0,480 ± 0,005) V, mostrando que

uma pequena diferença de 20 mV implica em um erro de 4%. Esta diferença de

tensão é equivalente a ddp de uma bomba de sódio e potássio e menor do que o

impulso de um neurônio que é de - 70 mV [3].

Na Tabela 4 encontramos a medição para um intervalo maior, que foi de 0,5 V

e um erro relativo em média de 2,4% ao que o gerador alimenta o circuito.

12

Tabela 3 – Medições para tensões com uma variação pequena.

Egerador (V) V1 (V)* V2 (V) V3 (V) V1+V2+V3 (V) Erel (%)

0,5 0,092 ± 0,003 0,250 ± 0,003 0,138 ± 0,003 0,480 ± 0,005 4,0

0,6 0,108 ± 0,003 0,293 ± 0,003 0,161 ± 0,003 0,562 ± 0,005 6,3

0,7 0,121 ± 0,003 0,325 ± 0,004 0,179 ± 0,003 0,625 ± 0,006 10,7

0,8 0,137 ± 0,003 0,372 ± 0,004 0,204 ± 0,003 0,713 ± 0,006 10,9

0,9 0,167 ± 0,003 0,438 ± 0,004 0,241 ± 0,003 0,846 ± 0,006 6,0

1,0 0,170 ± 0,003 0,462 ± 0,004 0,253 ± 0,003 0,885 ± 0,006 11,5

1,1 0,202 ± 0,003 0,549 ± 0,005 0,302 ± 0,004 1,053 ± 0,007 4,3

1,2 0,214 ± 0,003 0,577 ± 0,005 0,317 ± 0,004 1,108 ± 0,007 7,7

1,3 0,245 ± 0,003 0,664 ± 0,005 0,365 ± 0,004 1,274 ± 0,007 2,0

1,4 0,254 ± 0,003 0,692 ± 0,005 0,380 ± 0,004 1,326 ± 0,007 5,3

1,5 0,275 ± 0,003 0,743 ± 0,006 0,409 ± 0,004 1,427 ± 0,008 4,9

Média 6,7

Tabela 4 – Medições para tensões com uma variação maior.

Egerador (V) V1 (V)* V2 (V) V3 (V) V1+V2+V3 (V) BR1 BR2 BR3 Erel (%)

0,5 0,095 ± 0,003 0,258 ± 0,003 0,142 ± 0,003 0,495 ± 0,005 0,190 ± 0,007 0,516 ± 0,010 0,284 ± 0,007 1,00

1,0 0,181 ± 0,003 0,492 ± 0,004 0,270 ± 0,003 0,943 ± 0,006 0,181 ± 0,004 0,492 ± 0,007 0,270 ± 0,004 5,70

1,5 0,286 ± 0,003 0,772 ± 0,006 0,424 ± 0,004 1,482 ± 0,008 0,191 ± 0,003 0,515 ± 0,006 0,283 ± 0,004 1,20

2,0 0,369 ± 0,003 1,002 ± 0,007 0,552 ± 0,005 1,923 ± 0,009 0,185 ± 0,002 0,501 ± 0,005 0,276 ± 0,003 3,85

2,5 0,464 ± 0,003 1,259 ± 0,008 0,694 ± 0,005 2,417 ± 0,010 0,186 ± 0,002 0,504 ± 0,005 0,278 ± 0,003 3,32

3,0 0,560 ± 0,003 1,518 ± 0,010 0,837 ± 0,006 2,915 ± 0,012 0,187 ± 0,002 0,506 ± 0,005 0,279 ± 0,003 2,83

3,5 0,658 ± 0,003 1,786 ± 0,011 0,985 ± 0,007 3,429 ± 0,013 0,188 ± 0,002 0,510 ± 0,005 0,281 ± 0,003 2,03

4,0 0,755 ± 0,003 2,038 ± 0,012 1,123 ± 0,008 3,916 ± 0,015 0,189 ± 0,001 0,510 ± 0,004 0,281 ± 0,003 2,10

4,5 0,858 ± 0,003 2,328 ± 0,014 1,283 ± 0,008 4,469 ± 0,016 0,191 ± 0,001 0,517 ± 0,004 0,285 ± 0,003 0,69

5,0 0,948 ± 0,003 2,570 ± 0,015 1,418 ± 0,009 4,936 ± 0,018 0,190 ± 0,001 0,514 ± 0,004 0,284 ± 0,002 1,28

Média 0,188 ± 0,002 0,508 ± 0,005 0,28 ± 0,003 2,40

13

4.3 Mínimos Quadrados (Ajuste Linear)

Na Tabela 5 encontram-se os valores dos somatórios dos coeficientes A2, A3,

BR1, BR2 e BR3. Que correspondem a:

• Para A2 e A3, X (mA) representa o valor de I1 e Y (mA) é I2 e I3,

respectivamente.

• Para BR1, BR2 e BR3 X representa o valor de E (V) – Fonte de tensão - e

Y (V) é V1, V2, e V3, respectivamente.

Na Tabela 6 estão os coeficientes angulares e lineares. Os erros associados a

esses coeficientes foram desprezados por serem irrisórios (sendo na casa de 10-6).

Os coeficientes lineares estão bem próximos do que se deseja, que é próximo de 0.

Encontram-se na Tabela 7 os valores dos coeficientes calculados pelas

equações (14) e (22) e os valores encontrados pelo ajuste linear. Os erros são

satisfatórios, mostrando uma pequena diferença entre tais coeficientes.

Nota-se que na Tabela 7 temos um erro relativo muito grande para A2 e A3

sabendo da validade das leis de Kirchhoff [1], acredita-se que ou o circuito foi

montado incorretamente ou se inverteu a leitura de I2 e I3.

Se forem trocados os ajustes lineares de A3 para A2, poderá observar que os

valores estão bem próximos (terão no máximo 5% de erro), indicando uma das

possíveis trocas, dos resistores ou da leitura.

Nos cálculos dos índices An nominais foi considerada a resistência interna do

microamperímetro (~1,5KΩ), pois se percebeu que sem tal resistência a diferença

entre os ajustes obtidos na Tabela 7 seriam bem diferentes dos encontrados.

14

Tabela 5: Somatório para a o ajuste linear

Somatório

A2 A3 BR1 BR2 BR3

X Y XY X² X Y XY X² X Y XY X² X Y XY X² X Y XY X²

0,237 0,130 0,031 0,056 0,237 0,101 0,024 0,056 0,500 0,1 0,048 0,250 0,500 0,3 0,129 0,250 0,500 0,1 0,071 0,250

0,284 0,158 0,045 0,081 0,284 0,132 0,037 0,081 1,000 0,2 0,181 1,000 1,000 0,5 0,492 1,000 1,000 0,3 0,270 1,000

0,316 0,173 0,055 0,100 0,316 0,146 0,046 0,100 1,500 0,3 0,429 2,250 1,500 0,8 1,158 2,250 1,500 0,4 0,636 2,250

0,358 0,196 0,070 0,128 0,358 0,162 0,058 0,128 2,000 0,4 0,738 4,000 2,000 1,0 2,004 4,000 2,000 0,6 1,104 4,000

0,406 0,224 0,091 0,165 0,406 0,187 0,076 0,165 2,500 0,5 1,160 6,250 2,500 1,3 3,148 6,250 2,500 0,7 1,735 6,250

0,459 0,251 0,115 0,211 0,459 0,210 0,096 0,211 3,000 0,6 1,680 9,000 3,000 1,5 4,554 9,000 3,000 0,8 2,511 9,000

0,516 0,282 0,146 0,266 0,516 0,237 0,122 0,266 3,500 0,7 2,303 12,250 3,500 1,8 6,251 12,250 3,500 1,0 3,448 12,250

0,555 0,302 0,168 0,308 0,555 0,254 0,141 0,308 4,000 0,8 3,020 16,000 4,000 2,0 8,152 16,000 4,000 1,1 4,492 16,000

0,627 0,342 0,214 0,393 0,627 0,287 0,180 0,393 4,500 0,9 3,861 20,250 4,500 2,3 10,476 20,250 4,500 1,3 5,774 20,250

0,663 0,362 0,240 0,440 0,663 0,304 0,202 0,440 5,000 0,9 4,740 25,000 5,000 2,6 12,850 25,000 5,000 1,4 7,090 25,000

0,720 0,393 0,283 0,518 0,720 0,330 0,238 0,518

0,767 0,419 0,321 0,588 0,767 0,352 0,270 0,588

0,832 0,454 0,378 0,692 0,832 0,381 0,317 0,692

0,857 0,468 0,401 0,734 0,857 0,392 0,336 0,734

0,937 0,511 0,479 0,878 0,937 0,429 0,402 0,878

0,988 0,539 0,533 0,976 0,988 0,452 0,447 0,976

1,023 0,559 0,572 1,047 1,023 0,468 0,479 1,047

1,097 0,597 0,655 1,203 1,097 0,501 0,550 1,203

1,110 0,606 0,673 1,232 1,110 0,509 0,565 1,232

1,167 0,637 0,743 1,362 1,167 0,534 0,623 1,362

∑ 13,919 7,603 6,212 11,379 13,919 6,368 5,208 11,379 27,500 5,174 18,160 96,250 27,500 14,023 49,214 96,250 27,500 7,728 27,130 96,250

15

Tabela 6: Coeficientes angulares e lineares encontrados

A2 A3 BR1 BR2 BR3

Coeficiente angular 0,544 0,459 0,191 0,516 0,285

Coeficiente linear 0,002 -0,001 -0,007 -0,018 -0,011

Tabela 7 – Valores encontrados pelo cálculo e pelo ajuste linear.

A2 A3 BR1 BR2 BR3

Nominal 0,482 0,518 0,192 0,519 0,288

Ajuste linear 0,544 0,459 0,191 0,516 0,285

Erro relativo (%) 11,300 12,772 0,738 0,508 1,055

Os gráficos das Figura 4 e Figura 5 foram obtidos com uso da ferramenta

computacional conhecida por Microsoft Excel. A Figura 4 mostra as retas ajustadas

com os pontos obtidos experimentalmente de I2 e I3 em função de. I1. Observa-se

em conjunto com a Tabela 2, que os erros de A2 são muito pequenos para serem

visto na escala do gráfico (Em comparação com os de A3).

Figura 4 – Gráfico das correntes I2 e I3 em função de I1.

A partir do gráfico da Figura 4, verifica-se que o coeficiente angular

correspondente ao A2 é igual a 0,544 e o correspondente ao A3 é igual a 0,459,

ambas as retas possuem coeficiente R2 igual a 1 até o arredondamento de 3 casas

decimais, que significa que os pontos estão extremamente bem ajustadas a função.

Lembrando que o termo independente em ambas as retas é igual a 0,02, que por

sua vez é muito próximo de zero conforme esperado fisicamente.

16

A Figura 5 por sua vez, apresenta as retas ajustadas com os pontos obtidos

experimentalmente de V1, V2 e V3 em função de E.

Figura 5 – Gráfico das tensões V1, V2 e V3 em função de E.

A partir do gráfico da Figura 5, verifica-se que o coeficiente angular

correspondente ao BR1 é igual a 0,191, para BR2 é igual a 0,516 e para BR3 é igual a

0,285 ambas as retas possuem coeficiente R2 igual a 0,9997 até o arredondamento

de 4 casas decimais, que significa que os pontos estão extremamente bem

ajustadas a função. Ressaltando que o termo independente em todas as retas é

próximo de zero (resultado obtido matematicamente) sendo o valor zero esperado

conforme o fenômeno físico.

5. CONCLUSÃO

Pode-se verificar a lei das correntes através das Tabela 1 e Tabela 2 nas quais

a soma das correntes I2 e I3 é igual a corrente I1 (dentro dos erros inerentes ao

processo de medição) conforme esperado pelo enunciado da Lei de Kirchhoff para

as correntes com erros relativos menores que 1%.

Também pode-se verificar a lei das tensões através da Tabela 4, onde a soma

das quedas de tensões nos resistores (dentro dos erros inerentes ao processo de

medição) foi igual à tensão da fonte, com um erro relativo de 2,4%. Todavia na

Tabela 3, como os valores de tensão aplicados foram muitos pequenos, qualquer

pequena diferença implica em grande erro percentual, sendo a média destes 6,7%.

17

Sobre os coeficientes das retas dos gráficos das Figura 4 e Figura 5 o ajuste

obtido pelos gráficos (e mínimos quadrados) conclui-se que eles representam os

coeficientes calculados An e BRn calculados a partir das tabelas e os erros

experimentais.

6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] NAHVID, Mahmood; EDMINISTER, Joseph A. Circuitos elétricos, 4ª edição, 2005,Bookman, São Paulo.

[2] GUSSOW, Milton; Eletricidade Básica, 1985, McGraw-Hill, São Paulo.

[3] BONNETI FILHO, Ronald Z. Transmissão de impulsos nervosos e modo de ação de inseticidas neurotóxicos, Universidade Federal de Lavras. Disponível em: <http://www.den.ufla.br/Professores/Ronald/Disciplinas/Notas%20Aula/impulso nervososo.pdf>. Acesso em 30 de mar. 2010.