relatório de trabalho final de curso - iwat2010.it.pt filelidou com as dificuldades inerentes ao...
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Agradecimentos
Ao Prof. Carlos Fernandes pela possibilidade de podermos trabalhar neste projecto, a orientação que nos foi dada ao longo deste ano e também pelo empenho com que sempre lidou com as dificuldades inerentes ao trabalho. Ao Prof. Jorge Costa pelas preciosas dicas em MatLab, sem as quais o trabalho teria tido um progresso mais lento, pelo interesse que demonstrou na resolução dos problemas que surgiram e também pelo tempo despendido ao longo do trabalho. Ao Sr. Vasco Fred pela construção dos protótipos de pré-avaliação. Ao Eng. Jorge Silva pelo tempo despendido nas medições dos protótipos e pela disponibilidade que sempre demonstrou. Ao Prof. Mário Silveirinha pela análise das medições de permitividade. Às nossas famílias e amigos pelo apoio dado não só na realização deste trabalho mas também ao longo de todo o curso.
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Resumo
O Trabalho Final de Curso apresentado insere-se numa colaboração entre o Instituto de Telecomunicações e a Agência Espacial Europeia, no âmbito do projecto “Integrated Lens Antenna Shaping”. O objectivo deste trabalho é dimensionar uma lente, com propriedades bifocais, a ser integrada numa antena. Pretende-se que a antena seja aplicada em veículos espaciais funcionando na banda dos 500GHz. Devido a dificuldades na construção e limitações no processo de medida a estas frequências, o estudo de uma lente escalada foi realizado na banda dos 62.5GHz. De forma a cumprir as especificações do projecto, a antena deve ser composta por uma lente capaz de reproduzir uma imagem, obtida nesta banda, sobre uma superfície plana recoberta com sensores de RF integrados na mesma (“Imaging Lens”). O projecto impõe ainda que a lente deverá ser de dupla camada e deverá apresentar simetria circular em torno de um eixo. Pretende-se que o diagrama de radiação na zona distante da lente, associado a cada sensor, tenha forma gaussiana. Para cumprir os objectivos do Trabalho Final de Curso desenvolveu-se um programa, baseado nas formulações da Óptica Geométrica, que tem como finalidade projectar lentes de dupla camada. No estudo das características electromagnéticas deste tipo de lentes utilizou-se um programa que recorre à Óptica Geométrica combinada com a Óptica Física. O estudo teórico foi realizado com uma lente de permitividade 10 para a camada interior e 3.16 para a camada exterior. Os melhores resultados obtidos apontam para directividades próximas de 31dBi, larguras de feixe a -3dB em torno de 4º e níveis de lobos secundários inferiores a -20dB. A medida optimizada de gaussicidade efectuada neste estudo, considerando as intensidades do diagrama de radiação até -20dB, foi de 99.8%. Como os resultados teóricos foram motivadores, justificava-se a construção de um protótipo final desta antena para validação do modelo teórico mas, devido a problemas do foro técnico e logístico, o protótipo não foi fabricado a tempo de poder ser incluído neste relatório. A avaliação experimental de protótipos resumiu-se a lentes de pré-avaliação. Palavras-Chave
“Imaging Lens”, Lentes de Dupla Camada, Óptica Geométrica, Óptica Física, Gaussicidade.
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Índice
Agradecimentos ...........................................................................................................................i
Resumo.......................................................................................................................................iii
Palavras-Chave...........................................................................................................................iii
Índice...........................................................................................................................................v
Lista de Figuras .........................................................................................................................vii
Lista de Tabelas .........................................................................................................................xi
Lista de Programas...................................................................................................................xiii
Lista de Siglas ...........................................................................................................................xv
Lista de Símbolos....................................................................................................................xvii
1. Introdução ...........................................................................................................................1
1.1. Contexto do Trabalho ..................................................................................................1 1.2. Plano de Trabalho .......................................................................................................3 1.3. Estrutura do Relatório .................................................................................................3
2. Introdução Teórica ..............................................................................................................5
2.1. Geometria do Problema ..............................................................................................5 2.2. “Imaging Lens” ...........................................................................................................5 2.3. Lentes com Eixos Ópticos...........................................................................................6
2.3.1. Lentes Dieléctricas ..............................................................................................6 2.3.2. Lentes Bifocais....................................................................................................7 2.3.3. Lentes Integradas de Camada Única (“Shaped Dielectric Lens”) ......................7 2.3.4. Lentes Integradas de Dupla Camada...................................................................8
2.4. Óptica Geométrica ......................................................................................................9 2.5. Utilização Híbrida da Óptica Geométrica e Óptica Física ..........................................9
3. Projecto de Lentes .............................................................................................................13
3.1. Projecto de Lentes de Dupla Camada .......................................................................13 3.1.1. Cálculos Iniciais ................................................................................................14 3.1.2. Cálculo do Ponto (x’1, y’1) ................................................................................15 3.1.3. Cálculo do Ponto (x’2, y’2) ................................................................................16 3.1.4. Condições de Paragem......................................................................................19
3.2. Redução do Domínio de Pesquisa de Soluções ........................................................20
4. Simulações e Resultados Experimentais...........................................................................23
4.1. Resultados Obtidos pela Óptica Geométrica ............................................................23 4.1.1. Características Geométricas da Lente ...............................................................23 4.1.2. Análise da Lente................................................................................................24 4.1.3. Sensibilidade Face à Variação da Permitividade ..............................................25
4.2. Resultados Obtidos pela Óptica Geométrica/Óptica Física ......................................27 4.2.1. Diagrama de Radiação ......................................................................................28 4.2.2. Gaussicidade .....................................................................................................29 4.2.3. Sensibilidade Face à Variação da Permitividade ..............................................31 4.2.4. Influência das Reflexões Internas .....................................................................32
4.3. Medidas e Simulações de Pré-Avaliação ..................................................................34
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4.3.1. Medida das Permitividades ...............................................................................35 4.3.2. Medidas de Campo Próximo.............................................................................35 4.3.3. Aproximação aos Resultados Experimentais ....................................................39
5. Conclusões ........................................................................................................................43
Anexo A. Validação de Resultados da Óptica Geométrica ...................................................45
Anexo B. LensCalc................................................................................................................49
B.1. Projecto de Lentes Dieléctricas Integradas de Camada Única..................................49 B.2. Habituação ao LensCalc............................................................................................51
B.2.1. Diagrama Alvo do Tipo sec2(?) ........................................................................51 B.2.2. Lente Hemisférica .............................................................................................53 B.2.3. Gaussiana ..........................................................................................................55
Anexo C. Escolha do Perfil da Lente ....................................................................................57
Anexo D. Gaussicidade de um Feixe Electromagnético .......................................................61
Anexo E. Sensibilidade das Características de Radiação a Variações de Permitividade......63
E.1. Sem Reflexões Internas.............................................................................................63 E.2. Com Reflexões Internas............................................................................................64
Referências................................................................................................................................67
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Lista de Figuras
Figura 1.1 – Esquema de uma “Imaging Lens” (adaptado de [2]). .............................................1 Figura 2.1 – Esquema de uma “Imaging Lens” (adaptada de [1]). .............................................5 Figura 2.2 – Representação da condição de Abbe (extraído de [6]). ..........................................6 Figura 2.3 – Lente dieléctrica composta por face hiperbólica e uma plana (extraído de [5]).....6 Figura 2.4 – Lente dieléctrica composta por duas superfícies simétricas (extraído de [5])........7 Figura 2.5 – Lente Integrada de camada única (adaptado de [4])...............................................8 Figura 2.6 – Lente Dupla Casca (extraído de [4]).......................................................................8 Figura 2.7 – Geometria do cálculo do campo na zona distante (adaptado de [10])..................10 Figura 3.1 – Diagrama de Blocos do programa Perfil. .............................................................13 Figura 3.2 – Esquema do processo de cálculo de programa Perfil. ..........................................14 Figura 3.3 – Diagrama de Blocos referente à fase “Cálculo do Ponto (x’1, y’1)”. ....................15 Figura 3.4 – Esquema da interface lente/ar...............................................................................15 Figura 3.5 – Esquema do cálculo de ß2.....................................................................................16 Figura 3.6 – Diagrama de Blocos referente à fase “Cálculo do Ponto (x’2, y’2)”. ....................17 Figura 3.7 – Esquema do cálculo de ?1. ....................................................................................17 Figura 3.8 – Esquema do cálculo de ß1.....................................................................................18 Figura 3.9 – Esquema do cálculo de (x’2, y’2)...........................................................................19 Figura 3.10 – Diagrama de Blocos referente à fase “Condições de Paragem”. ........................19 Figura 3.11 – Características geométricas da lente obtida em [3]. ...........................................20 Figura 3.12 – Esquema simplificado da lente. a) Cálculo de am; b) Cálculo de aM. .................21 Figura 4.1 – Perfil da lente obtido pelo programa Perfil. .........................................................24 Figura 4.2 – Traçado de raios obtido pelo programa Verifica, foco em (0, a)mm. ..................25 Figura 4.3 – Traçados de raios obtidos pelo programa Verifica. a) Foco em (0, 0); b) Foco
em (-1.32, 0)mm. .............................................................................................................25 Figura 4.4 – Componentes Ef (Vermelho) e E? (Azul) do diagrama de radiação de entrada
do programa ILASH, obtido a partir de um guia circular de raio 1.5mm excitado com modo TE11 com polarização circular. .............................................................................28
Figura 4.5 – Perfil da lente utilizado pelo programa ILASH. Foco em (-1.32, 0)mm. .............28 Figura 4.6 – Diagramas de radiação obtidos pelo programa ILASH. a) Foco em
(-1.32, 0)mm; b) Foco em (-1.32, 0)mm (Azul) e foco em (0, 0) (Vermelho). ..............29 Figura 4.7 – Diagrama de radiação da lente com foco em (-1.32, 0)mm (Azul) e curva
gaussiana, obtida pelo programa Gaussi, que melhor se aproxima (Vermelho). a) Representação em unidades lineares; b) Representação em unidades logarítmicas. ..30
Figura 4.8 – Diagrama de radiação da lente com foco em (0, 0)mm (Azul) e curva gaussiana, obtida pelo programa Gaussi, que melhor se aproxima (Vermelho). a) Representação em unidades lineares; b) Representação em unidades logarítmicas. ..30
Figura 4.9 – Diagramas de radiação obtidos pelo programa ILASH. Foco em (-1.32, 0)mm. a) Com reflexões internas; b) Sem reflexões internas (Azul) e com reflexões internas (Vermelho). .....................................................................................................................32
Figura 4.10 – Diagrama de radiação da lente com foco em (-1.32,0)mm considerando reflexões internas (Azul) e curva gaussiana, obtida pelo programa Gaussi, que melhor se aproxima (Vermelho). a) Representação em unidades lineares; b) Representação em unidades logarítmicas. ..................................................................33
Figura 4.11 – Fotografias dos protótipos de pré-avaliação (Branca εr. = 9; Cinzenta εr = 3). a) Vista de topo; b) Vista de base. ......................................................................35
Figura 4.12 – Fotografia da montagem utilizada na medida do campo próximo (lente de εr = 9). .............................................................................................................................36
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Figura 4.13 – Representação dos campos na zona próxima, resultante da lente de permitividade 9. Ef (f =0º) (Vermelho), Ef (f =90º) (Azul escuro), E?(f =0º) (Lilás) e E?(f =90º) (Azul claro). ...................................................................................................36
Figura 4.14 – Representação da componente Ef do guia (Preto), com |G|=-10dB e arg(G)=0º, e do diagrama obtido para o material de permitividade 9. a) Alinhamento segundo f =0º (Vermelho); b) Alinhamento segundo f =90º (Azul escuro)....................37
Figura 4.15 – Representação da componente E? do guia (Preto), com |G|=-10dB e arg(G)=0º, e do diagrama obtido para o material de permitividade 9. a) Alinhamento segundo f =0º (Lilás); b) Alinhamento segundo f =90º (Azul claro). .............................37
Figura 4.16 – Representação do campo na zona próxima, resultante da lente de permitividade 3. Ef (f=0º) (Vermelho), Ef (f=90º) (Azul escuro), E?(f=0º) (Lilás) e E?(f=90º) (Azul claro). ...................................................................................................38
Figura 4.17 – Representação da componente Ef do guia (Preto), com |G|=-5dB e arg(G)=0º, e do diagrama obtido para o material de permitividade 3. a) Alinhamento segundo f =0º (Vermelho); b) Alinhamento segundo f =90º (Azul escuro). .................................38
Figura 4.18 – Representação da componente E? do guia (Preto), com |G|=-5dB e arg(G)=0º, e do diagrama obtido para o material de permitividade 3. a) Alinhamento segundo f =0º (Lilás); b) Alinhamento segundo f =90º (Azul claro). ...........................................38
Figura 4.19 – Perfil da lente obtido pelo programa Perfil, para a combinação de permitividades 8.78 e 2.73. .............................................................................................39
Figura 4.20 – Diagramas de radiação contabilizando os efeitos da permitividade medida e do diagrama de radiação de entrada: Situação 1 (Azul), Situação 2 (Vermelho). ..........40
Figura 4.21 – Diagramas de radiação do guia utilizados na Situação 1 (Azul) e Situação 2 (Vermelho). a) Componente E?; b) Componente Ef . ......................................................40
Figura 4.22 – Esquema da construção do protótipo da LDC. ...................................................41 Figura A.1 – Interpolação da forma da superfície da lente. ......................................................45 Figura A.2 – Representação da normal à superfície da lente. Interpolação da superfície da
lente (Azul), Normal (Verde) e raio incidente (Vermelho). ...........................................46 Figura A.3 – Traçados de raios em lentes. a) Faces planas paralelas; b) Faces circulares
concêntricas.....................................................................................................................47 Figura A.4 – Traçado de raios para lente obtida em [3] e representada no Capítulo 3.............47 Figura B.1 – Geometria referente a uma lente de camada única (extraído de [10]). ................49 Figura B.2 – Geometria do cálculo do campo na zona distante (adaptado de [10]). ................50 Figura B.3 – Diagrama de radiação alvo sec2(?) (Preto) e simulado (Azul). ...........................51 Figura B.4 – Perfil de lentes para rm = 50 (Vermelho), 60 (Preto) e 75mm (Azul)..................52 Figura B.5 – Diagramas de radiação do tipo sec2(?): a) rm = 50mm (Vermelho);
b) rm = 75mm (Azul) e diagrama alvo (Preto). ...............................................................52 Figura B.6 – Perfil de lentes para o modo TE11 (Preto) e TM01 (Azul). ...................................53 Figura B.7 – Diagrama de radiação alvo sec2(?) (Preto) e simulado (Azul). ...........................53 Figura B.8 – Diagrama de radiação para lente hemisférica de raio 6λ (Azul) com referência
ao diagrama à saída do guia (Preto). ...............................................................................54 Figura B.9 – Diagramas de radiação para diferentes posições da fonte sobre o eixo xx:
x = 0 (Azul). a) x = 1mm (Vermelho); b) x = 10mm (Verde). ........................................54 Figura B.10 – Diagramas de radiação para diferentes posições da fonte sobre o eixo zz:
z = 0 (Azul), 1 (Vermelho) e 3 mm (Verde). ..................................................................55 Figura B.11 – Diagrama de radiação para uma lente de rm = 7λ (Azul) e diagrama alvo do
tipo gaussiana saturada (Preto). ......................................................................................55 Figura B.12 – Diagramas de radiação para er = 4.5 (Vermelho) e 9 (Azul) e diagrama alvo
do tipo gaussiana saturada (Preto). .................................................................................56 Figura B.13 – Perfil de lente para permitividade 4.5 (Vermelho) e 9 (Preto). .........................56
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Figura C.1 – Perfis de lentes obtidos pelo programa Perfil. a) Lente A; b) Lente B................57 Figura C.2 – Perfis de lentes obtidos pelo programa Perfil. a) Lente C; b) Lente D................58 Figura C.3 – Diagramas de Radiação obtidos pelo programa ILASH. a) Lente A;
b) Lente B; c) Lente C; d) Lente D. ................................................................................59 Figura D.1 – Representação de uma curva gaussiana. a) Componente de amplitude para
?0 = 1; b) Componente de fase para ?1 = p/2. .................................................................61
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Lista de Tabelas
Tabela 3.1 – Características da lente estudada em [3]. .............................................................20 Tabela 4.1 – Características da LDC de permitividades 10 e 3.162. ........................................24 Tabela 4.2 – Erro médio, em graus, associado a a para diferentes valores de
permitividades, quando se cons idera o foco na posição óptima. ....................................26 Tabela 4.3 – Desvio padrão, em graus, associado a a para diferentes valores de
permitividades, quando se considera o foco na posição óptima. ....................................26 Tabela 4.4 – Erro médio, em graus, associado a a para diferentes valores de permitividades
quando se considera o foco em (0, a)mm. ......................................................................27 Tabela 4.5 – Desvio padrão, em graus, associado a a para diferentes valores de
permitividades quando se considera o foco em (0, a)mm. .............................................27 Tabela 4.6 – Características do diagrama de radiação para as lentes com o foco em
(-1.32, 0)mm e em (0, 0). ................................................................................................29 Tabela 4.7 – Gaussicidade e parâmetro de controlo de amplitude quando se considera foco
óptimo e foco na origem. ................................................................................................31 Tabela 4.8 – Directividade e NLS para a situação inicial e desvio máximo em relação a
essa situação (por alteração da permitividade), considerando a lente com foco óptimo. ............................................................................................................................31
Tabela 4.9 – Largura de feixe a -3dB e -10dB para a situação inicial e desvio máximo em relação a essa situação (por alteração da permitividade), considerando a lente com foco óptimo. ....................................................................................................................31
Tabela 4.10 – Comparação das características do diagrama de radiação contabilizando as reflexões internas, para a lente com foco óptimo............................................................32
Tabela 4.11 – Comparação dos valores de gaussicidade, medidos até -20dB do diagrama de radiação, quando se considera o foco óptimo sem e com influência das reflexões internas. ...........................................................................................................................33
Tabela 4.12 – Directividade e NLS para a situação inicial e desvio máximo em relação a essa situação (por alteração da permitividade), contabilizando as reflexões internas e foco na posição óptima. ..................................................................................................34
Tabela 4.13 – Largura de feixe a -3dB e -10dB para a situação inicial e desvio máximo em relação a essa situação (por alteração da permitividade), contabilizando as reflexões internas e foco na posição óptima. ..................................................................................34
Tabela 4.14 – Valor de permitividade medido para os materiais encomendados.....................35 Tabela 4.15 – Características da LDC de permitividades 8.78 e 2.73. .....................................39 Tabela 4.16 – Características do diagrama de radiação contabilizando os efeitos da
permitividade medida e do diagrama de radiação...........................................................40 Tabela C.1 – Características geométricas das lentes obtidas pelo programa Perfil..................57 Tabela C.2 – Características do diagrama de radiação para as lentes obtidas com o
programa Perfil. ..............................................................................................................59 Tabela E.1 – Directividade, em dBi, para pequenas variações das permitividades, quando o
foco se encontra na posição óptima e não são consideradas reflexões internas. ............63 Tabela E.2 – Largura de feixe a -3dB, em graus, para pequenas oscilações das
permitividades, quando o foco se encontra na posição óptima e não são consideradas reflexões internas. ...........................................................................................................64
Tabela E.3 – Largura de feixe a -10dB, em graus, para pequenas oscilações das permitividades, quando o foco se encontra na posição óptima e não são consideradas reflexões internas. ...........................................................................................................64
Tabela E.4 – NLS, em dB, para pequenas oscilações das permitividades, quando o foco se encontra na posição óptima e não são consideradas reflexões internas. .........................64
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Tabela E.5 – Directividade, em dBi, para pequenas oscilações das permitividades, quando se considera o foco óptimo e as reflexões internas. ........................................................65
Tabela E.6 – Largura de feixe a -3dB, em graus, para pequenas oscilações das permitividades, quando se considera o foco óptimo e as reflexões internas. .................65
Tabela E.7 – Largura de feixe a -10dB, em graus, para pequenas oscilações das permitividades, quando se considera o foco óptimo e as reflexões internas. .................66
Tabela E.8 – NLS, em dB, para pequenas oscilações das permitividades, quando se considera o foco óptimo e as reflexões internas. ............................................................66
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Lista de Programas
Gaussi – Ferramenta para determinação da gaussicidade de diagramas de radiação (código desenvolvido no âmbito deste trabalho);
ILASH – Código desenvolvido no IT para determinação do diagrama de radiação na zona distante de lentes de dupla camada com simetria axial;
LensCalc – Ferramenta para desenvolvimento e análise teórica de lentes integradas de camada única (código desenvolvido no IT);
MatLab – Programa comercial para desenvolvimento de rotinas e algoritmos; Perfil – Ferramenta para projecto do perfil de lentes bifocais de dupla camada com
simetria axial partindo de um conjunto de características geométricas iniciais (código desenvolvido no âmbito deste trabalho);
Verifica – Ferramenta para traçado de raios em lentes de dupla camada (código desenvolvido no âmbito deste trabalho);
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Lista de Siglas
ALI – Antena com Lente Integrada – “Integrated Lens Antenna”; ESA – Agência Espacial Europeia – “European Space Agency”; IL – “Imaging Lens”; ILASH – “Integrated Lens Antenna Shaping”; IT – Instituto de Telecomunicações; LDC – Lente de Dupla Camada – “Double Shell Lens”; NLS – Nível de Lobos Secundários; OF – Óptica Física; OG – Óptica Geométrica; RF – Radiofrequência; SBR – Método de Disparo e Ressalto de Raios – “Shoot and Bouncing Ray Method”; TE – Transversal Eléctrico; TFC – Trabalho Final de Curso; TM – Transversal Magnético.
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Lista de Símbolos
a – Ordenada do foco; ag – Raio do guia circular; am – Limite inferior do intervalo de valores de a que pode conduzir a lentes de dupla camada; aM – Limite superior do intervalo de valores de a que pode conduzir a lentes de dupla camada; b – Ordenada do ponto de partida em S2; c1, c2, c3 – Coeficientes de segunda, primeira e ordem zero, respectivamente, dos polinómios de interpolação das superfícies da lente de dupla camada; C – Distância eléctrica percorrida por todos os raios emitidos pelo foco; D1, D2 – Projecções, sobre o eixo vertical, das normais a S1 e S2, respectivamente; e – Número de Nepper; E(P) – Campo eléctrico no ponto de observação P; E(P’) – Campo eléctrico produzido pela alimentação sobre a superfície da lente; EGauss(θ), EGauss(r) – Campo eléctrico de um feixe gaussiano na zona distante e próxima, respectivamente; f – Frequência de trabalho ; F – Espessura da camada interior da lente sobre o eixo horizontal; F(r,ϕ), F(θ,ϕ) – Diagrama de radiação na zona próxima e distante, respectivamente, do qual se pretende calcular o índice de gaussicidade; F(θ) – Diagrama de radiação com simetria axial na zona distante do qual se pretende calcular o índice de gaussicidade; G(θ) – Diagrama de radiação alvo; H(P’) – Campo magnético produzido pela alimentação sobre a superfície da lente; H1, H2 – Raios utilizados no estudo simplificado da lente, que passam por (F, 0) e (F+M, 0), respectivamente; I – Ângulo de incidência ; j – Unidade imaginária; k – Constante de propagação; K – Constante de normalização relativa à relação de potências exteriores e interiores da lente; L1, L2, L3 – Caminho percorrido pelo raio emitido no foco inferior nos vários meios; M – Espessura da camada exterior da lente sobre o eixo horizontal; n – Índice de refracção da lente; n1, n2 – Índices de refracção dos materiais da camada interior e exterior da lente, respectivamente; N – Normal à superfície nos pontos de incidência; P – Ponto de observação na zona distante; P’ – Ponto de integração sobre a superfície da lente; r – Módulo do vector que une o ponto a normalizar à origem rn, rn-1, rn+1 – Módulo dos vectores que unem o ponto central, anterior e posterior, respectivamente, utilizado na interpolação das superfícies da lente de dupla camada à origem; r(η) – Superfície da lente; rm – Raio da lente para η igual a 90º; r1 – Distância de cada ponto da superfície de uma lente de camada única (ou da camada interior de uma lente de dupla camada, conforme o caso) ao foco; r2 – Espaço percorrido por um raio na camada exterior de uma lente de dupla camada; R – Vector com a distância da origem ao ponto de observação P; R(z) – Raio de curvatura do campo eléctrico de um feixe gaussiano na zona próxima; R1 – Versor dirigido da origem ao ponto de observação P; S – Superfície a integrar;
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S1, S2 – Superfície interior e exterior, respectivamente, da lente; T – Ângulo de transmissão; T(η) – Relação entre potências transmitida e incidente; u – Vector unitário normal à superfície S; U(η) – Diagrama de radiação do elemento excitador; V1, V2, V3 – Caminho percorrido pelo raio emitido no foco superior nos vários meios; w –Ângulo de incidência normalizado nas superfícies da lente de dupla camada; wn, wn-1, wn+1 – Argumento normalizado dos pontos central, anterior e posterior, respectivamente, utilizados na interpolação das superfícies da lente de dupla camada; w(z) – Largura do campo eléctrico de um feixe gaussiano na zona próxima; X – Abcissa do plano de referência ; Z – Impedância do meio; (x1, y1), (x2, y2) – Pontos conhecidos das superfícies interior e exterior da lente, respectivamente, utilizados no projecto da mesma; (x’1, y’1), (x’2, y’2) – Pontos a determinar nas superfícies interior e exterior da lente, respectivamente, no projecto da mesma; α – Ângulo máximo de varrimento; β – Ângulo que o raio incidente em S2, proveniente do foco inferior e refractado no ponto (x1, y1) da superfície S1, faz com a horizontal; β1, β2 – Ângulo que o raio incidente em S2, proveniente do foco inferior ou superior, respectivamente, e refractado no ponto (x’1, y’1) da superfície S1, faz com a horizontal; γ1, γ2 – Ângulo que as normais a S1 e S2, respectivamente, fazem com a horizontal nos pontos de incidência; δ – Ângulo que o raio incidente em S1, proveniente do foco superior, faz com a horizontal; εco – Vector unitário representativo da polarização do feixe; εr – Permitividade do meio; εr1, εr2 – Permitividade do material da camada interior e exterior da lente, respectivamente; ζ – Ângulo com a horizontal do raio incidente em S1, proveniente do foco inferior; ζn, ζn-1, ζn+1 – Argumento dos pontos central, anterior e posterior, respectivamente, utilizado na interpolação das superfícies da lente de dupla camada; η – Ângulo de iluminação da fonte; ηMax – Ângulo máximo de iluminação da fonte; ηGauss – Coeficiente de gaussicidade; θ – Ângulo de iluminação da antena ; θc– Ângulo de desfasamento entre o máximo de amplitude da gaussiana e o referencial; θMax– Ângulo máximo de iluminação da antena; θ0 – Parâmetro de controlo da gaussicidade sobre a componente de amplitude; θ1 – Parâmetro de controlo da gaussicidade sobre a componente de fase; λ – Comprimento de onda; ρ – Vector dirigido da origem para o ponto de integração P’; ? Feixe, ? Gauss – Características de radiação do feixe sobre o qual se pretende calcular a gaussicidade e da gaussiana sobre a qual se calcula este índice, respectivamente;
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1. Introdução
O Trabalho Final de Curso (TFC) proposto insere-se no projecto “Integrated Lens Antenna Shaping”(ILASH), [1], no âmbito de uma colaboração entre o Instituto de Telecomunicações (IT) e a Agência Espacial Europeia (ESA). Este projecto tem como finalidade a elaboração de ferramentas de software para desenvolvimento e análise de antenas com lentes integradas (ALI), que funcionem em ondas sub-milimétricas. Pretende-se que as lentes a dimensionar sejam compostas por duas camadas para permitir boas eficiências de transmissão e que o diagrama de radiação, na zona distante desta, associado aos sensores apresente uma forma gaussiana. 1.1. Contexto do Trabalho O presente TFC tem como objectivo o dimensionamento de uma lente, a integrar numa antena que funciona na banda de frequências de 500GHz, a ser utilizada em radiómetros em aplicações espaciais. A antena deve permitir formar, no plano de focagem, uma imagem da intensidade de radiação sub-milimétrica proveniente do espaço que a rodeia. Neste contexto, a lente será equivalente ao sistema de lentes de uma câmara fotográfica, permitindo reproduzir a imagem do espaço numa superfície. Numa imagem coerente, a cada ponto corresponde um só ponto do objecto. Este conceito aplicado à antena, e considerando que os objectos se encontram no espaço distante, implica que cada direcção de radiação tem de ser representada num só ponto do plano focal. Assim sendo, a antena deverá ser capaz de diferenciar as várias direcções e focá- las em diferentes pontos (focos). As antenas que são usadas para conseguir este tipo de comportamento designam-se por “Imaging Lenses” (IL), Figura 1.1. Estas antenas devem possuir idealmente características de radiação constantes para as várias direcções, variando apenas a posição do máximo consoante a posição do foco, mantendo as restantes características inalteradas.
Figura 1.1 – Esquema de uma “Imaging Lens” (adaptado de [2]).
Para os comprimentos de onda a que a antena deve responder (ondas sub-milimétricas) as suas dimensões, peso e perdas por dissipação são suficientemente reduzidas o que as torna uma solução interessante. As IL são caracterizadas pelo uso de elementos excitáveis integrados directamente na base da lente, servindo estes de foco para a radiação electromagnética sub-milimétrica proveniente das várias direcções, como ilustrado na Figura 1.1. A utilização de elementos excitáveis integrados permite que estes sejam impressos na base da lente, tornando desnecessário a utilização de uma estrutura que suporte os vários componentes da antena. Esta característica torna também a antena mais resistente a vibrações existentes em aplicações espaciais.
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Os elementos excitáveis integrados na base da lente produzem um padrão de radiação bidireccional (para ambos as faces da antena impressa), como será explicado no Capítulo 2. De forma a minimizar este efeito indesejável e a direccionar a maior parte desta radiação para o interior da lente utilizam-se materiais de permitividade elevada. No entanto, devido às reflexões internas na superfície da lente, a transferência de potência em interfaces com elevado contraste dieléctrico, neste caso da lente para o ar, é reduzida. Para contornar esta limitação propõe-se utilizar neste projecto lentes de múltiplas camadas, havendo deste modo, uma transição gradual de permitividades até ao ar. A escolha do número de camadas depende de um compromisso entre a complexidade e a melhoria que daí advém, tendo sido analisadas neste trabalho lentes de duas camadas (Lentes de Dupla Camada – LDC). A optimização da lente não deve ser feita tendo em conta apenas a eficiência de transmissão, mas também considerando a aproximação dos diagramas de radiação a feixes gaussianos assegurando baixas interferências das restantes direcções sobre a principal e favorecendo o melhor acoplamento da onda incidente de uma dada direcção ao sensor respectivo. A obtenção do perfil da lente é, por isso, um dos aspectos preponderantes a serem explorados neste projecto. A solução encontrada para obter lentes com as características acima enunciadas foi a aplicação de um método semelhante ao desenvolvido por Peebles, [3]. Embora a autora de [3] tenha obtido diagramas de radiação com formas gaussianas, esta incidiu o seu estudo na influência da forma da superfície que contém os focos sobre as características dos diagramas. Outro autor que complementa a informação referente aos efeitos do posicionamento da alimentação é Filipovic [2], que analisa a influência do posicionamento dos focos fora do eixo de simetria sobre as propriedades de radiação da lente. As lentes consideradas neste TFC e que permitem cumprir as várias características anteriores apresentam simetria circular, admite-se também que o diagrama de radiação dos elementos excitáveis possui a mesma simetria, mesmo quando estes se encontram fora do eixo. Ao assumir estes pressupostos, a complexidade do problema é reduzida e a obtenção do perfil da lente simplifica-se, pois a geometria do problema pode ser considera como bidimensional. Como à frequência de trabalho as dimensões das lentes são da ordem dos milímetros, a sua construção e análise torna-se difícil sendo necessário efectua r um escalamento na frequência. Juntando a isto o facto do equipamento disponível no IT, para a efectuar este tipo de medidas, ser para a gama de frequências dos 62.5GHz, justifica que os estudos realizados neste TFC sejam para esta última banda de frequências. Embora já tenham sido apresentados trabalhos referentes a aplicações quer de IL, [2], quer de LDC, [4], não são, até hoje, conhecidas publicações ou estudos em que as propriedades de ambas sejam aplicadas conjuntamente. Assim sendo, este TFC apresenta uma análise inovadora na área do desenvolvimento de IL recorrendo a LDC e possibilita que os resultados nele apresentados possam ser utilizados em futuros estudos.
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1.2. Plano de Trabalho A execução do TFC proposto pode ser dividido em quatro fases. A primeira fase consistiu no estudo teórico do problema e na elaboração de um algoritmo que, baseado na Óptica Geométrica (OG), parte de um conjunto de condições iniciais e devolve as características geométricas de uma lente integrável numa antena. Na fase seguinte sintetizaram-se lentes capazes de cumprir as especificações do projecto, utilizando as ferramentas elaboradas na fase anterior. Na terceira fase realizou-se uma análise pormenorizada, recorrendo à OG e à conjugação da Óptica Geométrica com a Óptica Física (OF), das características de radiação da lente escolhida. Como fase terminal do trabalho, pretendeu-se validar os resultados teóricos, através da construção de protótipos de pré-avaliação e da antena dimensionada na fase anterior. Devido a problemas, que nos foram alheios, na construção dos protótipos de pré-avaliação e nas suas medições, o modelo final da antena não foi elaborado a tempo de se realizarem medidas e de estas serem incluídas neste relatório. 1.3. Estrutura do Relatório No capítulo que se segue apresenta-se as propriedades e características de algumas lentes e dos conceitos teóricos necessários à compreensão deste relatório. No terceiro capítulo expõe-se o método desenvolvido para a obtenção de lentes integradas de dupla camada e apresenta-se, de forma sucinta, o processo que o originou. As características da lente escolhida, as simulações efectuadas sobre esta com o objectivo de verificar se satisfaz os requisitos deste TFC e os resultados das medições de pré-avaliação são apresentadas no quarto capítulo. No último e quinto capítulo expõem-se as conclusões retiradas da elaboração do trabalho e criticam-se os resultados obtidos.
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2. Introdução Teórica
2.1. Geometria do Problema Com este Trabalho Final de Curso (TFC) pretende-se dimensionar uma antena para ser utilizada em aplicações espaciais na banda dos 500GHz, que permita obter uma imagem em banda estreita da radiação que a rodeia. A antena, por imposição do projecto, deve ser constituída por uma lente dieléctrica e como se pretende que esta seja aplicada em veículos espaciais, deverá conter os elementos excitáveis por radiação electromagnética (sensores) integrados na base da lente, Figura 2.1.
Figura 2.1 – Esquema de uma “Imaging Lens” (adaptada de [1]).
O estudo efectuado incide sobre lentes de dupla camada (LDC) com simetria axial, que funcionem como “Imaging Lens” (IL) permitindo, assim, reproduzir a imagem sobre os sensores integrados na base da lente. Neste trabalho, os graus de liberdade são as características geométricas da lente, o valor das permitividades e a posição do foco. 2.2. “Imaging Lens” A principal característica das lentes que se comportam como IL é a capacidade de criarem uma imagem coerente de um objecto (alvo), tal como uma câmara fotográfica. Para atingir este propósito a radiação, dependendo da sua direcção, é concentrada no foco correspondente, como representado na Figura 2.1, em que as direcções simétricas são focadas em pontos simétricos em relação ao eixo da lente. Na criação da imagem é utilizado um grupo de elementos excitáveis dispostos regularmente sobre a base da lente, de forma a poderem concentrar a radiação proveniente das diferentes direcções. O diagrama de radiação destes elementos, quando combinados com a lente, deve ter uma forma semelhante a uma curva gaussiana e, de modo a minimizar a interferência das restantes direcções sobre a que se pretende receber, apresentar um lobo principal tão estreito quanto possível. Embora possam existir IL com formas tridimensionais arbitrárias, neste trabalho apenas foram estudas lentes com simetria axial, de modo a garantir que direcções simétricas são focadas em pontos simétricos.
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2.3. Lentes com Eixos Ópticos Actualmente são usadas lentes com formas relativamente simples como elementos de focagem em antenas de varrimento. Para que estas possam ser integradas numa antena, e deste modo serem utilizadas como IL, têm de possuir duas ou mais superfícies de refracção (como referido em [3]), conter todos os focos sobre uma base plana e satisfazer a condição Abbe [5]. Esta última condição, ilustrada na Figura 2.2, estabelece que se o cruzamento do prolongamento dos raios, inicial e final, for sobre uma circunferência de raio igual à distância focal do sistema óptico, este não apresenta erro de fase de primeira ordem. A distância focal é definida como a separação espacial entre o centro óptico da lente e o plano onde estão colocados os focos (plano focal). Algumas configurações de lentes utilizadas em antenas são expostas nas subsecções seguintes.
Figura 2.2 – Representação da condição de Abbe (extraído de [6]).
2.3.1. Lentes Dieléctricas A principal característica das lentes dieléctricas homogéneas é a utilização de materiais com índice de refracção constante que, em conjunção com a forma das superfícies que a delimitam, alteram a direcção da radiação que as atravessa. O autor de [5] apresenta várias configurações de lentes dieléctricas, que podem ser utilizadas em antenas, como por exemplo, a composta por uma superfície hiperbólica e a outra face plana, Figura 2.3. Esta configuração permite o alinhamento dos raios emitidos pelo foco, colocado sobre o eixo, segundo uma onda plana com direcção de propagação coincidente com a deste eixo. Os resultados expostos em [5] para esta lente, quando se desloca a fonte, são de varrimentos do lobo principal até 20º com uma largura, a -3dB deste, de 2º.
Figura 2.3 – Lente dieléctrica composta por face hiperbólica e uma plana (extraído de [5]).
Outra lente usual é a formada por duas superfícies simétricas, Figura 2.4, que se baseia também na focagem sobre um ponto focal, não apresentando portanto uma grande capacidade de varrimento. Os resultados citados por [5] apontam que, através da deslocação da fonte, se consegue uma capacidade máxima de varrimento do lobo principal de 40º com uma largura, a -3dB deste, de 12º.
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Figura 2.4 – Lente dieléctrica composta por duas superfícies simétricas (extraído de [5]).
2.3.2. Lentes Bifocais Para satisfazer a condição de Abbe, as lentes bifocais utilizam duas superfícies curvas, de forma a obter uma focagem perfeita segundo duas direcções diferentes em focos diferentes. Os principais métodos para a determinação do perfil da lente são a curva algébrica e a treliça. No primeiro método considera-se que as interfaces da lente são curvas algébricas e para que estas sejam completamente determinadas é necessário calcular os coeficientes das equações que as definem. O cálculo destes coeficientes é feito através de um processo de traçado de raios. O método da treliça calcula os pontos pertencentes às superfícies através dum processo iterativo que considera dois focos de uma forma alternada. Esta ideia é aprofundada em [7] e [8], e mais tarde aplicada por [3] no cálculo de uma lente com estas mesmas características. 2.3.3. Lentes Integradas de Camada Única (“Shaped Dielectric Lens”) As lentes apresentadas até agora consideram que os focos se encontram separados da lente pelo ar. O mesmo não acontece com as lentes integradas que, como apresentadas em [9] e representada na Figura 2.5, possibilitam que o foco seja integrado na lente. De notar que o importante nesta figura não é a forma da lente, mas o facto do foco estar no seu interior. A utilização desta configuração no âmbito de projecto “Integrated Lens Antenna Shaping” (ILASH) obriga, por limitações de fabrico, o elemento excitável a ser impresso na base da lente sem a utilização de um plano de terra. A ausência de plano de terra implica, em princípio, a formação de um diagrama de radiação bi-direccional, este efeito pode no entanto ser minimizado através da utilização de dieléctricos com permitividade elevada na lente. O uso destes dieléctricos permite aumentar a transferência de potência da fonte para o meio, minimizando a radiação para fora deste. A profundidade total (distância entre o ponto de maior e menor ordenada z) para uma antena utilizando estas lentes dieléctricas, como consequência da integração do foco, é inferior à necessária para as configurações anteriores. Uma vez escolhida a permitividade, as lentes integradas de camada única possibilitam, através da variável r1 (o seu único grau de liberdade), obter o módulo do diagrama de radiação pretendido. A variável r1 representa a distância de cada ponto da superfície da lente ao foco.
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Figura 2.5 – Lente Integrada de camada única (adaptado de [4]).
2.3.4. Lentes Integradas de Dupla Camada Na configuração anterior, como consequência do uso de materiais de permitividade elevada, obtém-se um contraste dieléctrico elevado na transição da lente para o ar, sendo este responsável pelo aumento das reflexões internas. Com o objectivo de melhorar a transferência de potência através da lente, a referência [4] apresenta as LDC, Figura 2.6. Também nesta figura o que se pretende salientar é o facto de o foco estar integrado na lente e esta ter duas camadas, não a forma dela. Utilizando uma relação próxima da quadrática entre os índices de refracção de meios adjacentes, de forma a manter os contrastes iguais em cada interface, a referência [4] mostra que as perdas por reflexão interna diminuem de 15%, no caso de lentes integradas de camada única, para 7.5% com lentes de dupla camada. A utilização de mais uma superfície adiciona um grau de liberdade (r2), permitindo deste modo controlar mais um parâmetro da lente para além do módulo do diagrama de radiação. A variável r2 representa o espaço percorrido por um raio na camada exterior de uma LDC.
Figura 2.6 – Lente Dupla Casca (extraído de [4]).
Embora os resultados apresentados em [4] tenham sido obtidos para combinações de permitividades mais baixas que as utilizadas neste TFC e no projecto ILASH, a validade destes mantém-se pois derivam da relação entre as permitividades dieléctricas. De forma a reduzir as perdas também seria possível que a camada exterior da lente tivesse uma espessura igual a ? /4, no entanto, esta solução não é indicada para o projecto ILASH pois pretendem-se, em algumas lentes, larguras de banda elevadas.
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2.4. Óptica Geométrica O formalismo da Óptica Geométrica (OG) permite, numa primeira fase, fazer a síntese de lentes, e posteriormente fazer a análise das mesmas recorrendo a uma metodologia híbrida da Óptica Geométrica e Óptica Física (OF). A OF é utilizada no processo de análise de lentes exclusivamente ou, como já foi dito anteriormente, em combinação com a OG. As dimensões usuais da lente, habitualmente muito maiores que o comprimento de onda, possibilitam que, na primeira aproximação à sua forma final, se efectue a síntese do seu perfil usando a formulação da OG. Este formalismo permite, através de um conjunto de equações diferenciais, calcular o perfil de uma lente que satisfaça as especificações, sendo a solução encontrada uma boa aproximação à forma final da lente. Baseando-se na OG e em trabalhos de Lee, [7] e [8], a autora de [3] propõe um conjunto de equações, que utiliza de uma forma iterativa, para calcular o perfil de uma lente bifocal. Este algoritmo é obtido pela conjunção da equação representativa da lei de Snell com a da restrição da distância percorrida por um raio. Utilizando como ponto de partida o raciocínio descrito na referência [3], desenvolveu-se em MatLab o programa Perfil, cuja finalidade é obter o perfil de lentes bifocais desta vez de dupla camada com os focos na base da lente. Este algoritmo parte das especificações geométricas da lente (ordenada do foco, distância da lente ao plano focal e espessura da lente), dos parâmetros dieléctricos desta (permitividade de cada meio) e do ângulo máximo de varrimento para calcular, tal como Peebles através do método da treliça, um conjunto de pontos pertencentes às superfícies da lente. A referência [3] visa o desenvolvimento de lentes em que o meio junto à base é o ar. Para que este raciocínio fosse utilizado no dimensionamento de lentes de dupla camada, foi necessário alterar as equações, incluindo o índice de refracção do meio interior. Uma explicação mais detalhada do programa Perfil é apresentada no Capítulo 3. Como forma de verificação do comportamento da lente resultante da fase anterior desenvolveu-se uma ferramenta de software em MatLab. Este programa, de nome Verifica, recebe como parâmetros o perfil da lente, as características dieléctricas dos dois meios que constituem a mesma e a posição do foco e como resultado apresenta o trajecto dos raios emitidos por esse foco. O raciocínio utilizado para desenvolver este programa é apresentado mais pormenorizadamente no Anexo A. 2.5. Utilização Híbrida da Óptica Geométrica e Óptica Física A OG, utilizada na síntese da lente, não contabiliza alguns efeitos importantes no estudo de lentes dieléctricas, tais como os efeitos da difracção. Para que estes efeitos sejam considerados é necessário efectuar uma análise mais aprofundada do comportamento da lente, desta vez recorrendo também à formulação da Óptica Física (OG/OF). Esta abordagem resulta de uma utilização híbrida da OG e OF, em que os passos iniciais do processo de estudo são efectuados usando o primeiro formalismo e os restantes recorrendo ao outro. O processo pode ser dividido em duas fases. A primeira, que recorre à OG, determina a distribuição do campo na zona distante sobre a face interior de uma interface e calcula, através dos coeficientes de Fresnel, o campo junto à face exterior. Na segunda etapa obtêm-se os campos equivalentes sobre o exterior da interface e, utilizando a OF através da integração (2.1) sobre a superfície de abertura da lente, determina-se o campo na zona distante. Como o cálculo do campo na
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zona distante da lente passa pelo cálculo das correntes superficiais, usando a OG, é necessário que as dimensões da lente continuem a ser muito superiores ao comprimento de onda. Partindo da configuração da lente e dos campos sobre a superfície desta obtidos através da OG é usada a OF, para determinar o diagrama de radiação na zona distante. O campo eléctrico no ponto de observação P, na zona distante, é calculado na equação (2.1) em que S representa a superfície da lente, Figura 2.7.
( ) ( )( ) ( )( ) 11 1' '
2
jkRjk R
S
eE P j Z u H P R u E P R e dS
Rρ
λ
−⋅ = × × + × × ∫ (2.1)
Figura 2.7 – Geometria do cálculo do campo na zona distante (adaptado de [10]).
Nesta equação, as variáveis H(P’) e E(P’) representam os campos produzidos pela fonte sobre a face exterior da lente. O vector R traduz a distância da origem ao ponto de observação P, enquanto os versores R1 e ? representam o sentido da origem para o ponto P e para o ponto de integração P’ na superfície da lente, respectivamente. A variável u representa o vector normal à superfície exterior da lente e a grandeza Z caracteriza a impedância do meio dieléctrico. As previsões teóricas anunciadas em [9], feitas recorrendo a (2.1) para calcular o diagrama de radiação de lentes moldadas, são próximas dos resultados obtidos experimentalmente, permitindo considerar que este formalismo simula correctamente o comportamento da lente. No caso das LDC, a equação (2.1) só é utilizada na face exterior da camada exterior da lente, sendo todos os cálculos anteriores feitos através da OG. O procedimento da OG/OF já foi aplicado em módulos de ferramentas de software, como por exemplo o programa LensCalc, com aplicação e resultados comprovados na área de desenvolvimento de lentes dieléctricas, [9]. Este programa foi utilizado na fase inicial deste TFC como forma de habituação ao formalismo das Ópticas Geométrica e Física. A teoria subjacente ao funcionamento do programa LensCalc, bem como as análises e resultados efectuados, são apresentados de forma sucinta no Anexo B. Na execução deste TFC a ferramenta utilizada para a determinação do diagrama de radiação, na zona distante da LDC, foi o programa ILASH. Esta ferramenta de software é composta por um conjunto de módulos de cálculo, que permitem sintetizar, analisar e optimizar o perfil de lentes desenhadas, embora só tenham sido utilizados os módulos referentes à análise. Estes últimos incluem-se no formalismo da OG/OF descrito no parágrafo anterior e um deles aplica, com algumas restrições, o “Método do Disparo e Ressalto de Raios” (“Shooting and Bouncing Ray Method” – SBR), [11].
z
x
y
u
P
P' x
S R θ
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O método SBR permite contabilizar a radiação numa interface de dimensões electricamente grandes utilizando a OG para determinar a trajectória, amplitude, fase e polarização dos raios emitidos na direcção da interface. Quando estes raios atingem a interface são criados os raios reflectidos e refractados sendo os seus efeitos contabilizados. A implementação actual do programa só cria raios adicionais até uma determinada ordem de incidência, a partir da qual considera que os efeitos são presumivelmente desprezáveis. A alternativa a esta solução seria calcular a intensidade da radiação reflectida e refractada associada a cada raio e só o desprezar quando esta atingisse um valor inferior a um determinado limiar. O programa ILASH, pela implementação que tem do método SBR, está restringido num certo número de condições: as lentes têm de possuir simetria circular em torno de um eixo, o diagrama de radiação da fonte deve igualmente ter simetria circular e o centro de fase deve estar sobre o eixo da lente. Estas limitações simplificam o estudo da lente, porque a geometria desta pode ser vista como bidimensional e os raios ficam restringidos ao plano de simetria, visto que os raios reflectidos e refractados continuam a pertencer ao plano de incidência. Os ângulos de reflexão e refracção de um raio incidente na interface são calculados utilizando a Lei de Snell, e os campos associados a estes raios são obtidos recorrendo aos coeficientes de Fresnel.
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3. Projecto de Lentes
Neste capítulo é descrito o método estudado neste Trabalho Final de Curso (TFC) para o cálculo do perfil de lentes de dupla camada (LDC). A primeira secção apresenta o método utilizado para projectar lentes e a segunda expõe um conjunto de equações, a partir das quais se obtêm as características iniciais de LDC. A solução apresentada em [3], para um problema semelhante ao proposto neste TFC, utiliza o método da treliça para o cálculo das superfícies da lente. Neste método, baseado em trabalhos de Lee [7], recorre-se ao traçado de raios para calcular a posição de um conjunto discreto de pontos pertencentes às superfícies da lente, que depois de interpolados compõem o perfil da mesma. 3.1. Projecto de Lentes de Dupla Camada A implementação directa das equações utilizadas por Peebles, [3], resultou em lentes cujas superfícies mudavam de concavidade de ponto para ponto, e tendiam para pontos de acumulação. Este “mau comportamento” é associado às dificuldades em distinguir, de entre as raízes múltiplas apresentadas pelas equações, a solução correcta. Junta-se a isto o facto de algumas equações utilizadas serem muito semelhantes, ao ponto de se tornarem linearmente dependentes quando as normais são próximas da horizontal. De forma a evitar estas limitações e a generalizar a utilização deste método para as situações em que o meio mais próximo da base tenha um índice de refracção diferente do ar, foi proposto em [1] um outro conjunto de equações lineares baseadas na mesma geometria. O processo utilizado neste trabalho para o projecto de lentes, adaptado de [3], insere-se na Óptica Geométrica (OG) e aplica a Lei de Snell de uma forma iterativa nas várias interfaces da lente, obtendo desta forma pontos pertencentes às superfícies de separação das camadas que compõem a lente. O resultado do processo iterativo é um conjunto discreto de pontos, sendo necessário para o processo de construção e análise da lente conhecer não só estes pontos, mas também o comportamento das duas superfícies entre pontos sucessivos. Para isso, estes são depois interpolados de forma a obter a forma da lente. O programa Perfil, desenvolvido no âmbito deste trabalho, calcula perfis de LDC, através do processo iterativo descrito no diagrama de blocos da Figura 3.1.
Figura 3.1 – Diagrama de Blocos do programa Perfil.
Condições de Paragem?
Cálculo de (x2’, y2’)
Cálculos Iniciais
Cálculo de (x1’, y1’)
Fim
(x1’, y1’)? (x1, y1) (x2’, y2’)? (x2, y2)
N S
Dados de Entrada
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Cada bloco do diagrama da Figura 3.1 refere-se a um conjunto de operações descritas nas subsecções seguintes. Os pontos calculados em cada iteração são utilizados na iteração seguinte como pontos de partida. A geometria do processo de cálculo está representada na Figura 3.2, sendo complementada, quando necessário, com figuras referentes a cada passo.
α
α
−α
(x ,y )' '
(x ,y )'2 '2
Foco(0, a)
Foco(0,-a)
(F, 0)
(F+M, b)
1 1
1S
2S
1V
3V
2V
1L
2L3L
1n 2nAr
y
x
(X, 0)
Figura 3.2 – Esquema do processo de cálculo de programa Perfil.
Os dados de entrada do programa Perfil são a ordenada máxima do foco (a), as espessuras sobre o eixo das duas camadas (F para a camada interior e M para a camada exterior), o ângulo máximo de varrimento (a) e os índices de refracção dos materiais (n1 para a camada interior e n2 para a camada exterior). Apesar de habitualmente se pretender que a permitividade (er = n2) da camada exterior da lente dimensionada seja próxima da raiz quadrada da permitividade da camada interior, esta relação tem de ser introduzida, se desejada, pelo projectista. 3.1.1. Cálculos Iniciais Os resultados deste bloco são calculados de forma semelhante ao descrito no método de Peebles, no qual se incluiu a influência do índice de refracção do meio interior, por se considerar que este é diferente do ar. Os pontos iniciais do processo de cálculo são (F, 0) para a primeira interface e (F+M, b) para a segunda. O ponto (F, 0) é arbitrado e a partir desse pressuposto o valor de b é calculado através de (3.1), garantindo que um raio emitido pelo foco em (0, -a) é refractado nos pontos iniciais e segue com um ângulo a (raio representado a vermelho na Figura 3.2). A constante C representa a distância eléctrica que todos os raios emitidos pelos focos devem percorrer de modo a formar uma onda plana à saída da lente e é calculada através da relação expressa na equação (3.2), arbitrando o valor de X que caracteriza a distância sobre o eixo horizontal a um plano de referência.
1 21 12 2 2 22 2
a bn n
a F M b=
+ +
(3.1)
( )1 122 2 2 2 2
1 2 tan sincos
X F MC n F a n M b X F M bα α
α− − = + + ⋅ + + − − − ⋅ + ⋅ (3.2)
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3.1.2. Cálculo do Ponto (x’1, y’1) O processo de cálculo do ponto (x’1, y’1), cujo diagrama de blocos está representado na Figura 3.3, começa por determinar o valor de ?2, ângulo que a normal à superfície S2 no ponto (x2, y2) faz com o eixo horizontal, de modo a garantir que o raio emitido pelo foco inferior e que passa por este ponto saia com ângulo a. O ângulo ?2 relaciona-se com D2 do método de Peebles, [3], através de (3.3). O cálculo de ?2 é feito através da equação (3.4), baseando-se na trajectória do raio a vermelho da Figura 3.2. A variável ß, Figura 3.4, representa o ângulo do raio, proveniente do ponto (x1, y1) e incidente em (x2, y2), com a horizontal.
Figura 3.3 – Diagrama de Blocos referente à fase “Cálculo do Ponto (x’1, y ’1)”.
22 tan γ=D (3.3)
αβαβ
γcoscossinsin
tan2
22 −
−=
nn
(3.4)
x
(x ,y )
βγ
α
γ
1
2 (x ,y )
1
2S
2 2
n2
2
N
Figura 3.4 – Esquema da interface lente/ar.
Cálculo da normal em (x2, y2), (?2)
Cálculo de (x’1, y’1)
Cálculo do ângulo ß2
Fim
?2 próximo de p/2?
Reflexão Total em S2?
S N
S N
Saída
Entrada
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Nesta fase, o programa analisa se o ângulo ?2 está dentro de um intervalo de proximidade da vertical. Se isto se verificar, então o perfil da lente é quase horizontal e dificilmente conseguirá respeitar a lei de Snell nas iterações seguintes, parando por aqui o processo de cálculo da lente. Caso contrário, o algoritmo prossegue com o cálculo de ß2, através de (3.5), que representa o ângulo que o raio incidente em (x2, y2) tem de formar com a horizontal, para que o ângulo refractado seja –a, Figura 3.5.
( )22 2
2
sinarcsin
nα γ
β γ +
= −
(3.5)
1(x ,y )1
2S
γ
γ2
n2
(x ,y )22
2
x
Nβ
α
2
''
Figura 3.5 – Esquema do cálculo de ß2.
Com este cálculo realizado é necessário verificar se o ângulo de incidência, (?2+ ß2), excede o ângulo limite a partir do qual só se tem reflexão. Se assim for, o cálculo do perfil da lente é terminado, caso contrário, a primeira fase do processo iterativo acaba com o cálculo do ponto (x’1, y’1) através das equações (3.6) a (3.8).
( )23 2 2 tan sin
cosX x
V y X x α αα
− = + − − (3.6)
( ) ( )1
2 2 21 2 2 2 2 2 2 2 2 3sin cosn a y V x V n V V Cβ β − − + − + + = (3.7)
1 2 2 2
1 2 2 2
' sin' cos
x x Vy y V
ββ
= −= +
(3.8)
3.1.3. Cálculo do Ponto (x’2, y’2) A segunda fase do processo iterativo é semelhante à primeira, sendo os cálculos efectuados referentes à normal na superfície S1 e ao ponto (x’2, y’2). O diagrama de blocos desta fase é semelhante ao anterior e está representado na Figura 3.6.
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Figura 3.6 – Diagrama de Blocos referente à fase “Cálculo do Ponto (x’2, y ’2)”.
Nesta fase o cálculo da normal à superfície S1, no ponto (x’1, y’1), é feito recorrendo à equação (3.9). A variável d, representada na Figura 3.7, caracteriza o ângulo que o raio proveniente do ponto (0, a) e incidente em (x’1, y’1) faz com o eixo horizontal.
2 2 11
1 2 2
sin sintan
cos cosn nn n
β δγ
δ β−
=−
(3.9)
δ
β
γ
γ
y
1
1n
(x ,y )
(0,a)
'1 '1
x
S1
2
N
2n
1
Figura 3.7 – Esquema do cálculo de ?1.
A variável ?1, tal como ?2, relaciona-se com D1, da referência [3], segundo uma expressão idêntica a (3.3), trocando o índice 2 por 1. A resolução de (3.9) garante que um raio originado no foco superior atinja o ponto (x2, y2), quando refractado no ponto (x’1, y’1) (representado a azul na Figura 3.2). Também aqui, pelos mesmos motivos, se verifica se a normal em S1 calculada está próxima da vertical, sendo este igualmente um motivo de paragem do processo de cálculo do perfil da lente. Se isto não se verificar, o algoritmo prossegue com o cálculo da variável ß1, através de (3.10), que, como apresentado na Figura 3.8, representa o ângulo que o raio emitido pelo foco em (0, –a), faz com a horizontal quando refractado no ponto (x’1, y’1) da superfície S1.
Cálculo da normal em
(x’1, y’1), (?1)
Cálculo do ângulo ß1 Fim
?1 próximo de p/2?
S N
Saída
Entrada
Cálculo de (x’2, y’2)
Reflexão Total em S1?
S N
18
( )11 1 1
2
arcsin sinnn
β ζ γ γ
= − +
(3.10)
ζ
β
γ
γ
y
(0,-a)
1
1n
(x ,y )''1 1
x
S1
N
2n
1
1
Figura 3.8 – Esquema do cálculo de ß1.
A variável ?, Figura 3.8, representa o ângulo, com a horizontal, do raio emitido pelo foco em (0, –a) e incidente no ponto (x’1, y’1). Visto os índices de refracção puderem ser arbitrários, é necessário verificar se o ângulo de incidência (?– ?1) não ultrapassa o ângulo limite. Tal como na secção anterior, se isto acontecer o cálculo da lente é terminado. Utilizando o resultado anterior e recorrendo à Figura 3.9 é possível escrever o conjunto de equações, (3.11) a (3.14), referentes à restrição de distância eléctrica percorrida. A resolução deste sistema permite calcular a abcissa do ponto (x’2, y’2). A segunda fase do processo iterativo termina com o cálculo da ordenada deste ponto, através da relação trigonométrica apresentada em (3.15).
( )1
2 221 1 1' 'L x y a = + + (3.11)
( ) ( ) ( )1
2 2 2 22 2 1 2 1 2 1 1' ' ' ' ' ' tan 1L x x y y x x β = − + − = − + (3.12)
( ) ( )23 2 2 1 1 1
'' tan ' ' tan ' sin
cosX x
L X x x x yα β αα
− = − − + − + (3.13)
1 1 2 2 3n L n L L C+ + = (3.14)
( )2 1 2 1 1' ' ' ' tany y x x β= + − (3.15)
19
(x ,y )2 2
(0,-a)
'(x ,y )1'1
' '
α
β1
L3
2L
1L (X,0)
1n
n2
α
x
y
Ar
Figura 3.9 – Esquema do cálculo de (x’2, y’2).
3.1.4. Condições de Paragem Com o cálculo dos pontos (x’1, y’1) e (x’2, y’2) terminado, procede-se à verificação de um conjunto de condições que podem levar à finalização do projecto da lente. O diagrama de blocos ilustrativo desta fase está representado na Figura 3.10.
Figura 3.10 – Diagrama de Blocos referente à fase “Condições de Paragem”.
Nesta fase verifica-se se os pontos calculados provocam uma intersecção das duas interfaces, terminando deste modo o cálculo da lente. Se isto não se verificar é necessário, antes de acabar a iteração, verificar se as dimensões máximas da lente foram ultrapassadas. A iteração termina com a passagem por referência dos pontos calculados para a iteração seguinte, de modo a serem utilizados como pontos de partida. A partir deste algoritmo, para os mesmos valores de projecto utilizados em [3], expostos na Tabela 3.1, obteve-se como verificação da implementação um perfil de lente idêntico ao apresentado no mesmo artigo, representado na Figura 3.11.
Intersecção de
Superfícies?
Dimensões máximas da
lente excedidas?
Fim
S N
S N
Entrada
Saída
20
Tabela 3.1 – Características da lente estudada em [3].
n1 1.00 n2 1.59
α [º] 20.00 a [pol] 7.14 F [pol] 18.00 M [pol] 2.60
6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
x [pol]
y [p
ol]
Figura 3.11 – Características geométricas da lente obtida em [3].
3.2. Redução do Domínio de Pesquisa de Soluções Por utilização do método exposto no ponto 3.1 verifica-se que, dependendo das condições iniciais escolhidas, nem sempre se obtêm perfis viáveis para as lentes (ou seja as equações não apresentam soluções para todas as combinações arbitrárias dos parâmetros de entrada que se possam considerar). Assim a única forma de escolher os dados iniciais a utilizar no programa Perfil é através do método tentativa/erro. Torna-se necessário introduzir um critério para facilitar o sucesso na escolha de parâmetros iniciais analisando-se, para isso, de uma forma simplificada o trajecto dos raios que passam em pontos previamente conhecidos da lente, considerando que ambas as superfícies são planas e paralelas. Como resultado desta análise obteve-se um conjunto de equações que, partindo de um dado conjunto de condições iniciais de F, M, α, n1 e n2, calculam os extremos de um intervalo [am; aM] que contém as possíveis soluções para as posições máximas do foco. As equações (3.16) e (3.17) foram obtidas por aplicação da lei de Snell nos esquemas da Figura 3.12. A expressão (3.16) é referente ao raio, emitido pelo foco em (0, –a), que cruza a superfície interior da lente sobre o eixo, representando na Figura 3.12 a) como H1. O raio H2, referente à outra equação e apresentado na Figura 3.12 b), cruza o eixo da lente sobre a interface exterior da lente.
1m
1
1tan sin sina F
nα−
=
(3.16)
21
Ao considerarmos que as duas interfaces são planas e paralelas, o ângulo de refracção na primeira interface é igual ao ângulo de incidência na segunda, permitindo relacionar directamente o ângulo de incidência da primeira com o de refracção da segunda. Se juntarmos a este facto o cruzamento do eixo pelo raio ser feito no ponto (F, 0), então é possível relacionar o ângulo de saída da lente (a) com a espessura da primeira camada (F) e a posição do foco (am). Este raciocínio conduz, através de simplificações algébricas, à equação (3.16).
F M
(0,-a )
x
αn 1n 2
1H
Ar
y
m
F
(0,-a )
1n
M
H2
2n
αx
Ar
y
M
a) b)
Figura 3.12 – Esquema simplificado da lente. a) Cálculo de a m; b) Cálculo de aM.
A dedução que conduz a (3.17) não é tão simples, mas baseia-se no mesmo princípio de relacionar directamente o ângulo de incidência na primeira interface com o de refracção na segunda.
1 1
2 1
1 1tan sin sin tan sin sinMa M F
n nα α− −
= +
(3.17)
A análise de qualquer lente verifica que as normais, nos pontos de cruzamentos do seu eixo, são coincidentes com a horizontal. Este facto permite que a lei de Snell nestas transições seja aplicada sem erro, ficando este associado à aproximação feita na outra transição. A largura do intervalo, e logo o erro associado à aplicação da lei de Snell, será tanto maior, quanto mais acentuada for a curvatura das superfícies. Os testes realizados com estas equações mostram que na generalidade dos casos, pelo menos uma solução viável é encontrada dentro deste intervalo e, embora menos frequentemente, esta está na proximidade do ponto médio do mesmo intervalo.
22
23
4. Simulações e Resultados Experimentais
Este Trabalho Final de Curso (TFC) tem em vista o desenvolvimento de uma lente, integrada numa antena, com a capacidade de captar imagens do espaço e que funcione na banda de frequências dos 500GHz. Devido ao funcionamento nesta frequência, a lente a projectar teria dimensões reduzidas, na ordem dos milímetros por isso, foi realizado um escalamento na frequência, passando a ser utilizada a gama de frequências dos 62.5GHz, ficando a lente com dimensões na ordem dos centímetros. As “Imaging Lens” (IL) a dimensionar são compostas por duas camadas (LDC), tendo a camada interior uma permitividade elevada, para que a maior parte da radiação seja direccionada para a lente. Para minimizar as perdas por reflexão nas interfaces, utilizam-se materiais com uma relação quadrática entre permitividades. Finalmente, o ângulo máximo para o qual a lente consegue receber radiação proveniente do espaço também faz parte das especificações do projecto. Para o dimensionamento e obtenção do perfil da IL utilizou-se o programa Perfil, baseado no raciocínio exposto no Capítulo 3, que tem como parâmetros de entrada as especificações do projecto, conhecidas à priori, e as características geométricas da lente. As especificações referem-se aos índices de refracção das duas camadas da lente e ao ângulo máximo de varrimento. A posição do foco e a espessura de ambas as camadas sobre o eixo da lente estão incluídas nas características geométricas, sendo estas escolhidas e ajustadas consoante as lentes que forem sendo devolvidas pelo programa se adeqúem ao pretendido. Das lentes devolvidas pelo programa Perfil foi necessário escolher uma para prosseguir a análise teórica, para isso realizou-se um estudo aprofundado de cada uma delas. Esse estudo consistiu em encontrar a posição do foco sobre o eixo da lente (foco óptimo), que minimiza o erro associado aos ângulos de varrimento (erros de divergência), e também na análise das características do diagrama de radiação, tais como a directividade, nível de lobos secundários (NLS) e largura de feixe a -3dB e a -10dB. As simulações e resultados obtidos para as melhores lentes devolvidas pelo Perfil encontram-se no Anexo C. Ao longo deste capítulo é efectuada a análise referida para a LDC com melhores características. Expõem-se também outras análises efectuadas tais como a sensibilidade desta a variações das permitividades, gaussicidade e também a influência das reflexões internas nos resultados obtidos. Na última secção são referenciados os materiais adquiridos com o intuito de construir a LDC. Utilizando estes materiais foram construídos protótipos de pré-avaliação com o propósito de medir a permitividade do material que os constituem, tendo sido também realizadas medições do campo próximo para determinar as características do diagrama de radiação da fonte que iluminaria a LDC. Por último, foram efectuadas novas simulações, utilizando os valores de permitividade medidos e as características determinadas do diagrama de radiação, com o intuito de aproximar os resultados teóricos aos resultados esperados experimentalmente. 4.1. Resultados Obtidos pela Óptica Geométrica 4.1.1. Características Geométricas da Lente Nesta subsecção apresenta-se, das lentes expostas no Anexo C, a que reúne as melhores características (Lente C), sendo esta obtida a partir dos parâmetros definidos na Tabela 4.1 e ilustrada pelo perfil representado na Figura 4.1. Nesta figura as curvas a vermelho e a verde
24
correspondem respectivamente às superfícies interior e exterior da lente e os pontos a lilás ao foco positivo e negativo.
Tabela 4.1 – Características da LDC de permitividades 10 e 3.162.
εr1 10.000 εr2 3.162
α [º] 20.000 a [mm] 6.000 F [mm] 40.625 M [mm] 22.000
-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
x [mm]
y [m
m]
Figura 4.1 – Perfil da lente obtido pelo programa Perfil.
O perfil da figura acima resulta da união dos pontos obtidos pelo programa Perfil, que constituem a metade superior da lente, sendo a metade inferior obtida por simetria. É de notar que as superfícies não fecham a lente, o que não constitui um problema pois este perfil é apenas uma primeira aproximação. 4.1.2. Análise da Lente A partir do perfil da lente apresenta-se, recorrendo ao programa Verifica, a trajectória dos raios que saem do foco (0, a), Figura 4.2, obtendo-se assim os ângulos de varrimento. Os raios associados às extremidades da lente não se encontram representados na figura abaixo pois o erro associado a estes é elevado (no mínimo 2º), sendo por isso descartados em todos os ensaios e medições realizadas. Os raios que saem da lente parecem paralelos, mas de facto têm associado um erro de divergência em relação a α que chega a atingir os 1.42º (no pior caso). O facto dos raios não serem paralelos implica, em teoria, um aumento da largura do lobo principal e do NLS, reduzindo deste modo a directividade e consequentemente o ganho da antena. Seria desejável, por isso, que estes erros fossem inferiores a 0.05º, mas como é visto adiante os erros de divergência obtidos não têm influência significativa sobre as características de radiação. Este erro de divergência resulta das aproximações que vão sendo feitas ao longo do cálculo das superfícies da lente e que se acumulam de raio para raio desde o eixo para a extremidade da mesma. Devido à simetria da lente obtêm-se iguais resultados para os raios que partem do foco negativo (0, –a).
25
0 20 40 60 80 100 120-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
x [mm]
y [m
m]
Figura 4.2 – Traçado de raios obtido pelo programa Verifica, foco em (0, a)mm.
Resta verificar o comportamento da lente para outras posições focais com ordenadas dentro do intervalo ] [aa,− . Deslocando-se o foco para a origem dos eixos, observa-se pela Figura 4.3 a) que os raios são divergentes, apresentando um erro máximo, em relação ao esperado (0º), de 1.68º. Segundo Peebles, [3], os raios com ângulos de varrimento entre a e -a vão ser focados em pontos situados sobre uma parábola centrada no eixo da lente e que passa pelos focos (0, a) e (0, -a); esta encontra-se representada na Figura 4.3 b) a lilás. Por tentativa/erro chegou-se ao ponto da parábola sobre o eixo (foco óptimo) que minimiza o erro de divergência, conseguindo-se um erro máximo de 0.05º para um foco de abcissa -1.32mm.
0 20 40 60 80 100 120-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
x [mm]
y [m
m]
0 20 40 60 80 100 120-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
x [mm]
y [m
m]
a) b)
Figura 4.3 – Traçados de raios obtidos pelo programa Verifica. a) Foco em (0, 0); b) Foco em (-1.32, 0)mm.
4.1.3. Sensibilidade Face à Variação da Permitividade No projecto de lentes um dos factores que pode determinar a fiabilidade do mesmo é a permitividade dos materiais que a compõem, pois na prática a constante dieléctrica desses materiais não é exactamente igual à enunciada pelo fabricante, sofrendo uma dispersão em torno desse valor. Logo, quando se realiza o estudo teórico de uma lente, este deve ser completado através da repetição dos vários ensaios para valores de permitividades próximas das do projecto, permitindo, deste modo, a comparação destes com os resultados experimentais. Fez-se então variar as permitividades em ±5, ±2.5 e ±1% do seu valor original,
26
analisando-se o erro de divergência, associado ao ângulo de varrimento, e o desvio padrão para as situações em que o foco se encontra na posição óptima e na origem. É de realçar que o estudo da sensibilidade é efectuado com base nos cinco raios devolvidos pelo programa Verifica. Como esta amostra é demasiado pequena para realizar o estudo pretendido, os resultados obtidos não têm, por isso, significado estatístico mas permitem uma medida do efeito da dispersão e portanto da ordem de grandeza do desvio esperado em relação aos resultados experimentais. Quando se considera o foco óptimo (sobre o eixo de simetria da lente) e a permitividade pretendida, o erro médio de divergência é igual a 0.03º. Este aumenta gradualmente à medida que o valor das permitividades dos dois meios é alterado, atingindo o valor máximo quando ambas as permitividades sofrem uma variação de -5% no mesmo sentido, Tabela 4.2. É de realçar que existem situações em que o erro obtido é mais baixo do que para a situação de dimensionamento, pois para certas combinações de permitividades os erros são cancelados. A situação não é, no entanto, relevante pois o erro médio associado está próximo do valor da situação inicial.
Tabela 4.2 – Erro médio, em graus, associado a a para diferentes valores de permitividades, quando se considera o foco na posição óptima.
er2
er1 -5% -2.5% -1% 0 1% 2.5% 5%
-5% 0.67 0.49 0.37 0.30 0.23 0.11 0.19 -2.5% 0.54 0.35 0.24 0.16 0.09 0.10 0.21 -1% 0.45 0.27 0.16 0.08 0.05 0.11 0.29
0 0.40 0.22 0.11 0.03 0.05 0.16 0.34 1% 0.35 0.16 0.05 0.02 0.10 0.21 0.40
2.5% 0.27 0.08 0.03 0.10 0.17 0.29 0.47 5% 0.18 0.07 0.16 0.23 0.30 0.42 0.60
O desvio padrão associado aos erros de divergência está representado na Tabela 4.3. Pela observação da tabela verifica-se que a variação do desvio padrão é semelhante à do erro médio e apresenta uma ordem de grandeza idêntica a este. Como consequência deste último resultado o erro associado apresenta uma dispersão em torno do valor médio que pode anulá-lo ou duplicá-lo.
Tabela 4.3 – Desvio padrão, em graus, associado a a para diferentes valores de permitividades, quando se considera o foco na posição óptima.
er2 er1 -5% -2.5% -1% 0 1% 2.5% 5%
-5% 0.49 0.32 0.23 0.17 0.13 0.12 0.14 -2.5% 0.41 0.25 0.15 0.09 0.07 0.06 0.29 -1% 0.37 0.20 0.10 0.05 0.03 0.14 0.32
0 0.35 0.17 0.07 0.02 0.06 0.17 0.35 1% 0.32 0.15 0.05 0.02 0.09 0.20 0.37
2.5% 0.28 0.11 0.03 0.07 0.13 0.24 0.41 5% 0.20 0.07 0.09 0.14 0.20 0.30 0.47
27
Quando se considera o foco em (0, a)mm o erro de divergência aumenta gradualmente com o aumento das permitividades, atingindo o máximo quando se consideram os valores mais elevados destas, Tabela 4.4. Para a situação em que não houve variação das permitividades o erro é igual a 0.71º.
Tabela 4.4 – Erro médio, em graus, associado a a para diferentes valores de permitividades quando se considera o foco em (0, a)mm.
er2 er1 -5% -2.5% -1% 0 1% 2.5% 5%
-5% 0.31 0.09 0.14 0.20 0.27 0.39 0.59 -2.5% 0.49 0.38 0.41 0.44 0.50 0.59 0.75 -1% 0.66 0.56 0.57 0.60 0.64 0.73 0.89
0 0.78 0.68 0.68 0.71 0.74 0.82 0.98 1% 0.90 0.79 0.79 0.82 0.85 0.92 1.07
2.5% 1.07 0.96 0.95 0.98 1.01 1.06 1.21 5% 1.36 1.25 1.22 1.25 1.28 1.33 1.44
O desvio padrão, tal como no caso do foco óptimo, apresenta uma variação e uma ordem de grandeza semelhante à observada para o erro médio, Tabela 4.5. As consequências da igual ordem de grandeza do desvio padrão ser igual à do erro médio já foram explicadas anteriormente.
Tabela 4.5 – Desvio padrão, em graus, associado a a para diferentes valores de permitividades quando se considera o foco em (0, a)mm.
er2
er1 -5% -2.5% -1% 0 1% 2.5% 5%
-5% 0.08 0.08 0.08 0.15 0.23 0.32 0.48 -2.5% 0.16 0.25 0.28 0.32 0.34 0.41 0.58 -1% 0.20 0.38 0.42 0.45 0.49 0.52 0.64
0 0.27 0.47 0.52 0.54 0.59 0.62 0.71 1% 0.34 0.56 0.62 0.63 0.67 0.72 0.79
2.5% 0.47 0.69 0.76 0.78 0.81 0.87 0.93 5% 0.68 0.91 1.00 1.01 1.03 1.09 1.17
4.2. Resultados Obtidos pela Óptica Geométrica/Óptica Física Como referido anteriormente também é necessário efectuar uma análise do comportamento da lente ao nível da Óptica Física (OF) utilizando-se, para esse efeito, o programa ILASH. No estudo apresentado nas subsecções seguintes, este programa utiliza como parâmetros de entrada os pontos, que definem as superfícies interior e exterior da lente, devolvidos pelo programa Perfil e o diagrama de radiação que ilumina a camada interior da lente representado na Figura 4.4. É de salientar que devido a limitações da versão actual do programa ILASH apenas se estudaram os casos em que o foco se encontra sobre o eixo da lente. Para se poder proceder ao estudo electromagnético da lente é necessário fechar o volume, prolongando as duas superfícies até à base desta como ilustrado na Figura 4.5. Considerou-se como base da lente a abcissa do foco óptimo, sofrendo a lente um alongamento de 1.32mm.
28
Figura 4.4 – Componentes Ef (Vermelho) e E? (Azul) do diagrama de radiação de entrada do programa
ILASH, obtido a partir de um guia circular de raio 1.5mm excitado com modo TE11 com polarização circular.
Figura 4.5 – Perfil da lente utilizado pelo programa ILASH. Foco em (-1.32, 0)mm.
É de notar que o programa ILASH utiliza uma interpolação polinomial para desenhar as superfícies da lente não permitindo, por isso, a criação de vértices. 4.2.1. Diagrama de Radiação A partir do perfil acima apresentado obteve-se o diagrama de radiação que se encontra representado na Figura 4.6 a). Este diagrama apresenta uma directividade de 32.2dBi, largura de feixe a -3dB igual a 4.5º e a -10dB igual a 7.8º. Quando se desloca o foco para a origem obtém-se um diagrama de radiação muito semelhante ao anterior (foco óptimo), como se pode constatar pela comparação dos dois diagramas, Figura 4.6 b). A única diferença visível é o NLS, sendo este mais baixo para a lente com foco óptimo. As características de ambos os diagramas estão apresentadas na Tabela 4.6, onde se confirma numericamente que a lente com o foco óptimo apresenta melhores resultados.
29
a) b)
Figura 4.6 – Diagramas de radiação obtidos pelo programa ILASH . a) Foco em (-1.32, 0)mm; b) Foco em (-1.32, 0)mm (Azul) e foco em (0, 0) (Vermelho).
Tabela 4.6 – Características do diagrama de radi ação para as lentes com o foco em (-1.32, 0)mm e em (0, 0).
Foco em (-1.32, 0)mm Foco em (0, 0)mm Directividade [dBi] 32.2 31.9
Largura de Feixe a -3dB [º] 4.5 4.5 Largura de Feixe a -10dB [º] 7.8 7.9
NLS [dB] -21.0 -19.8 4.2.2. Gaussicidade O projecto “Integrated Lens Antenna Shaping” (ILASH) pretende que o diagrama de radiação apresente uma forma semelhante a uma gaussiana. Essa semelhança é caracterizada recorrendo ao conceito de gaussicidade (ηGauss), descrito no Anexo D e adaptado às características do diagrama obtido. O campo eléctrico total normalizado de um feixe gaussiano na zona distante é definido pela equação (4.1), onde θ0 está associado à amplitude e θ1 à fase. O parâmetro eco é um vector unitário que representa a polarização do feixe e θ representa o ângulo de radiação com a direcção do máximo. Visto os diagramas de radiação obtidos pelo programa ILASH, no âmbito deste TFC, não fornecerem informação quanto à fase, esta foi considerada constante e nula tendo sido, por isso, θ0 o único parâmetro optimizado. A equação (4.1) fica então reduzida a (4.2), em que eco toma valor um.
( ) [ ] [ ]212
0 θθπθθεθ jcoGauss eeE ±−= (4.1)
( ) [ ]20θθθ −= eEGauss (4.2)
A gaussicidade vem então definida pela equação (4.3) em que F(?) representa o diagrama de radiação na zona distante.
30
( ) [ ]
( ) [ ]
20
20
2
2 2
sin
sin sinGauss
F e d
F d e d
θ θ
θ θ
θ θ θη
θ θ θ θ θ
−
−=
∫∫ ∫
(4.3)
Baseado na equação (4.3) foi desenvolvido o programa Gaussi que tem em vista o cálculo da gaussicidade dos diagramas de radiação. É de referenciar que o cálculo da gaussicidade é realizado tendo em consideração a totalidade do diagrama de radiação. Para o diagrama de radiação da lente analisada com foco óptimo, obteve-se ηGauss de 86.7% com θ0 igual 3.65º, Figura 4.7.
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 800
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
θ [º]
ET/E
0
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80-50
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
θ [º]
ET
[dB
]
a) b)
Figura 4.7 – Diagrama de radiação da lente com foco em (-1.32, 0)mm (Azul) e curva gaussiana, obtida pelo programa Gaussi, que melhor se aproxima (Vermelho). a) Representação em unidades lineares;
b) Representação em unidades logarítmicas.
Para o diagrama de radiação da lente em que o foco está na origem obteve-se ηGauss de 82.3% com θ0 igual 3.77º, Figura 4.8.
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 800
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
θ [º]
ET/
E0
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80-50
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
θ [º]
ET
[dB
]
a) b)
Figura 4.8 – Diagrama de radiação da lente com foco em (0, 0)mm (Azul) e curva gaussiana, obtida pelo programa Gaussi , que melhor se aproxima (Vermelho). a) Representação em unidades lineares;
b) Representação em unidades logarítmicas.
31
Os resultados obtidos para a gaussicidade e para o parâmetro de controlo de amplitude, quando se considera o foco óptimo e foco na origem, vêm resumidos na Tabela 4.7.
Tabela 4.7 – Gaussicidade e parâmetro de controlo de amplitude quando se considera foco óptimo e foco na origem.
Foco em (-1.32, 0)mm Foco em (0, 0)mm ηGauss [%] 86.70 82.30
θ0 [º] 3.65 3.77 4.2.3. Sensibilidade Face à Variação da Permitividade Prosseguiu-se o estudo da OF analisando-se a variação das características do diagrama de radiação quando se altera a permitividade de ±5, ±2.5 e ±1%. Ao fazer variar as permitividades verificou-se que as características do diagrama (directividade, largura de feixe a -3dB e -10dB e NLS) não sofrem alterações significativas. Por isso optou-se por mostrar o valor de cada característica para a situação inicial, em que não houve alteração das permitividades, e para a situação em que ocorre o desvio máximo relativo ao inicia l em que não há melhoria dos resultados. As tabelas que contêm informação detalhada relativa ao estudo da sensibilidade encontram-se no Anexo E. Os resultados relativos à influência da permitividade sobre a directividade e NLS são apresentados na Tabela 4.8. Como se pode observar a directividade não sofre grande alteração, ocorrendo a situação de desvio máximo quando as duas permitividades sofrem uma variação de +5%. O NLS sofre uma alteração maior, sendo igual a -20.2dB quando a permitividade do meio exterior sofre uma variação de +2.5% e a do meio interior +5%, mas visto a amplitude destes ser bastante baixa, aproximadamente -20dB, não influenciam o desempenho da lente.
Tabela 4.8 – Directividade e NLS para a situação inicial e desvio máximo em relação a essa situação (por alteração da permitividade), considerando a lente com foco óptimo.
Sit. Inicial Sit. de desvio máximo Directividade [dBi] 32.2 31.9
NLS [dB] -21.0 -20.2 A largura de feixe a -3dB e a -10dB também é pouco sensível às variações de permitividade como se pode observar na Tabela 4.9. A situação de desvio máximo para a largura de feixe a -3dB ocorre quando a permitividade do meio interior sofre uma variação de -5% e a do meio exterior de 2.5 ou 5%, para a largura de feixe a -10dB ocorre quando ambas as permitividades sofrem uma variação de +5%.
Tabela 4.9 – Largura de feixe a -3dB e -10dB para a situação inicial e desvio máximo em relação a essa situação (por alteração da permitividade), considerando a lente com foco óptimo.
Sit. Inicial Sit. de desvio máximo Largura de Feixe a -3dB [º] 4.5 4.6 Largura de Feixe a -10dB [º] 7.8 8.1
32
4.2.4. Influência das Reflexões Internas Os resultados obtidos até este ponto não têm em conta as reflexões internas nas superfícies da lente, sendo necessário verificar o efeito resultante da contabilização destas. Para isso serão consideradas reflexões internas até à terceira ordem, ordem a partir da qual se deixou de verificar alterações devido à sua influência. Como foi visto na subsecção 4.2.1 obtiveram-se melhores resultados quando se considerou o foco óptimo, por este motivo os estudos seguintes são efectuados apenas para esta situação. A Figura 4.9 a) representa o diagrama de radiação obtido tendo em conta as reflexões internas, quando se considera o foco óptimo, tendo este uma directividade de 30.9dBi, largura de feixe a -3dB igual a 4.4º e a -10dB igual a 7.7º. Quando se comparam os diagramas obtidos, com e sem o efeito das reflexões internas, as diferenças ao nível da directividade e larguras de feixe a -3dB e a -10dB são mínimas, não sendo visíveis a olho nu, Figura 4.9 b). No entanto, devido às reflexões internas, nota-se uma ligeira subida do NLS.
a) b)
Figura 4.9 – Diagramas de radiação obtidos pelo programa ILASH . Foco em (-1.32, 0)mm. a) Com reflexões internas; b) Sem reflexões internas (Azul) e com reflexões internas (Vermelho).
A semelhança visual é verificada numericamente, como se pode observar na Tabela 4.10. Como era esperado nota-se uma diminuição do valor da directividade e um aumento do NLS, que acontece devido à contabilização das reflexões internas.
Tabela 4.10 – Comparação das características do diagrama de radiação contabilizando as reflexões internas, para a lente com foco óptimo.
Sem reflexões internas Com reflexões internas Directividade [dBi] 32.2 30.9
Largura de Feixe a -3dB [º] 4.5 4.4 Largura de Feixe a -10dB [º] 7.8 7.7
NLS [dB] -21.0 -20.3 De seguida procede-se à análise da variação da gaussicidade devido ao efeito das reflexões internas, que resulta numa diminuição para 62.3% com θ0=3.65º, Figura 4.10.
33
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 800
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
θ [º]
ET/E
0
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80-50
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
θ [º]
ET [
dB]
a) b)
Figura 4.10 – Diagrama de radiação da lente com foco em (-1.32,0)mm considerando reflexões internas (Azul) e curva gaussiana, obtida pelo programa Gaussi, que melhor se aproxima (Vermelho).
a) Representação em unidades lineares; b) Representação em unidades logarítmicas.
Este valor fica aquém dos 86.7% obtidos quando não se consideram as reflexões internas, sendo esta diferença atribuída à influência dos lobos secundários. Por isso optou-se por estudar a gaussicidade até -20dB, ou seja, não considerando os lobos secundários. A Tabela 4.11 apresenta um resumo das gaussicidades, quando efectuadas até -20dB do diagrama de radiação, comparando os resultados desprezando a influência das reflexões internas com os mesmos quando esta é contabilizada.
Tabela 4.11 – Comparação dos valores de gaussicidade , medidos até -20dB do diagrama de radiação, quando se considera o foco óptimo sem e com influência das reflexões internas.
Sem reflexões internas Com reflexões internas ηGauss [%] 99.80 99.80
θ0 [º] 3.57 3.52 A análise da tabela acima confirma as observações feitas na Figura 4.9 b) em que se verifica que os diagramas apresentam um comportamento gaussiano idêntico até os -20dB. Também se comprova que os índices de gaussicidade anteriormente obtidos, quando efectuados com todo o diagrama de radiação, estão relacionados com a influência do NLS. Por último analisou-se de que modo as reflexões internas influenciam as características do diagrama de radiação face a diferentes valores de permitividades, para isso, fez-se variar as permitividades de -5, -2.5, -1, 1, 2.5 e 5%. As tabelas com os resultados deste estudo encontram-se no Anexo E. Como anteriormente, a variação registada não foi muito elevada por isso optou-se por apresentar apenas o valor das características para a situação inicial, em que não houve variação das permitividades, e para a situação em que ocorre o desvio máximo relativo ao inicial em que não há melhoria dos resultados. Os resultados correspondentes à influência da variação da permitividade sobre a directividade e NLS são apresentados na Tabela 4.12. Como se pode observar a directividade sofre um desvio máximo elevado, 2.6dB, quando a permitividade do meio interior sofre uma variação de -5% e a do meio exterior de +5%. Embora na maioria dos casos se registem alterações na
34
directividade inferiores a 0.5dB (consultar tabela das directividades em Anexo E), existem combinações de variações de permitividade menos favoráveis devido ao elevado desvio que impõem. O desvio máximo para o NLS é 1.9dB mas, como já foi dito anteriormente, a amplitude destes é bastante baixa, aproximadamente -20dB, não influenciando o valor esperado da potência recebida. É de referenciar que a situação em que ocorre o desvio máximo para o NLS é quando a permitividade do meio interior sofre uma variação de +2.5% e a do meio exterior varia +5%.
Tabela 4.12 – Directividade e NLS para a situação inicial e desvio máximo em relação a essa situação (por alteração da permitividade), contabilizando as reflexões internas e foco na posição óptima.
Sit. Inicial Sit. de desvio máximo Directividade [dBi] 30.9 28.3
NLS [dB] -20.3 -18.4 Como se pode observar pela Tabela 4.13, a contabilização das reflexões internas não afecta significativamente a sensibilidade da largura de feixe a -3dB e a -10dB às variações de permitividade. Para a largura de feixe a -3dB a situação de desvio máximo ocorre quando a permitividade do meio interior sofre uma variação de -1% e a do meio interior de +5%, para a largura de feixe a -10dB a permitividade do meio interior sofre uma variação de -1% enquanto a do meio exterior varia +2.5%.
Tabela 4.13 – Largura de feixe a -3dB e -10dB para a situação inicial e desvio máximo em relação a essa situação (por alteração da permitividade), contabilizando as reflexões internas e foco na posição óptima.
Sit. Inicial Sit. de desvio máximo Largura de Feixe a -3dB [º] 4.4 4.8 Largura de Feixe a -10dB [º] 7.7 8.3
4.3. Medidas e Simulações de Pré-Avaliação Finalizado o estudo teórico da lente proceder-se-ia à construção do protótipo da antena. A primeira fase da parte experimental consistiu na aquisição dos materiais para a fabricação deste protótipo e medida das suas características. Devido às limitações existentes na obtenção de materiais com a permitividade desejada, foram adquiridos materiais com permitividades de 9 e de 3. Inicialmente foram extraídas amostras desses materiais para se efectuarem medidas das respectivas permitividades e confirmar a isotropia do material. Em seguida, utilizando estes materiais foram construídos protótipos de pré-avaliação constituídos por lentes hemisféricas de camada única com o intuito de, através das medições do campo próximo, confirmar o valor das permitividades e obter as características do diagrama de radiação da fonte que iluminaria a camada interior da lente, Figura 4.11. Para terminar esta secção analisou-se o comportamento de uma lente, que constituiria o protótipo, em situações mais próximas do real.
35
a) b)
Figura 4.11 – Fotografias dos protótipos de pré-avaliação (Branca εr. = 9; Cinzenta εr = 3). a) Vista de topo; b) Vista de base.
4.3.1. Medida das Permitividades Nesta fase o Instituto de Telecomunicações (IT) adquiriu à “Emerson & Cuming”, empresa que comercializa produtos de aplicação em sistemas de ondas milimétricas, materiais de permitividade 9 e 3, [12], para constituírem as camadas da lente. Na segunda fase foi determinada a permitividade dos materiais adquiridos, recorrendo à aplicação do método de propagação guiada, [13], em várias amostras, obtendo-se como resultado uma gama de valores de permitividade, escolhendo-se o valor mais fiável, dentro dessa gama, como a permitividade medida do material. As diferentes amostras foram extraídas segundo diferentes direcções dos materiais e permitiram também confirmar que estes eram isotrópicos. Na Tabela 4.14 encontram-se os valores das permitividades medidas.
Tabela 4.14 – Valor de permitividade medido para os materiais encomendados 1.
Permitividade Medida Material de Permitividade 9 8.78-j0.08 Material de Permitividade 3 2.73-j0.00
4.3.2. Medidas de Campo Próximo Com a finalidade de obter as características do diagrama de radiação da fonte que iluminaria a LDC, foram fabricadas lentes hemisféricas de uma só camada, de permitividade 9 e 3. Para este fim realizaram-se as medidas do campo próximo, utilizando como fonte um guia circular de raio 1.5mm no modo TE11 com polarização circular e como sonda um guia rectangular aberto. Os diagramas foram obtidos, pela sonda, através da rotação da antena em torno do centro de fase à saída do guia, como representado na Figura 4.12.
1 Os valores de permitividades medidos apresentavam ordens de grandeza diferentes tendo por isso sido arredondados para a maior delas.
36
Figura 4.12 – Fotografia da montagem utilizada na medida do campo próximo (lente de εr = 9).
Procurou-se ajustar às curvas medidas, o diagrama de radiação teórico de um guia de ondas circular embebido no material de permitividade próxima da lente, e a partir das características deste confirmar, de forma indirecta, as medidas de permitividade da subsecção anterior. Para a lente de permitividade 9 obtiveram-se as componentes do campo segundo ? e f (E? e Ef respectivamente), com f igual a 0º e 90º, considerando o sistema de coordenadas esféricas convencional. Estas componentes encontram-se representadas na Figura 4.13 com diferentes cores. É de notar que nem todas as curvas têm um máximo relativo igual, encontrando-se a curva de Ef para f =0º cerca de 3dB abaixo das outras curvas, este efeito foi atribuído a um problema no polarizador utilizado nas medições. Também se observa que a maior parte das curvas não apresenta o máximo de radiação nos 0º, isto deve-se a erros de alinhamento do sistema de medida.
Figura 4.13 – Representação dos campos na zona próxima, resultante da lente de permitividade 9.
Ef (f =0º) (Vermelho), Ef (f =90º) (Azul escuro), E?(f =0º) (Lilás) e E?(f =90º) (Azul claro).
Os diagramas teóricos do guia que mais se aproximam dos diagramas medidos na zona próxima da lente, Figura 4.14 e Figura 4.15, foram obtidos considerando um factor de reflexão (G) na abertura do guia circular de excitação: |Γ| = -10dB e arg( Γ) = 0º.
37
a) b)
Figura 4.14 – Representação da componente Ef do guia (Preto), com |G|=-10dB e arg(G)=0º, e do diagrama obtido para o material de permitividade 9. a) Alinhamento segundo f =0º (Vermelho); b) Alinhamento
segundo f =90º (Azul escuro).
a) b)
Figura 4.15 – Representação da componente E? do guia (Preto), com |G|=-10dB e arg(G)=0º, e do diagrama obtido para o material de permitividade 9. a) Alinhamento segundo f =0º (Lilás); b) Alinhamento segundo
f =90º (Azul claro).
Realizaram-se as mesmas simulações mas agora para o material de permitividade 3. Na Figura 4.16 encontram-se representados, a diferentes cores, os campos E? e Ef , para f igual a 0º e 90º. Também neste ensaio se observou que nem todas as curvas têm um máximo relativo igual, encontrando-se a curva de Ef para f =0º cerca de 4dB abaixo das outras curvas. Os diagramas medidos na zona próxima da lente foram aproximados pelos obtidos teoricamente, Figura 4.17 e Figura 4.18, em que o guia tem factor de reflexão (G) na abertura do guia circular de excitação: |Γ| = -5dB e arg(Γ) = 0º. Pelo facto de ser possível uma aproximação razoável dos diagramas de radiação medidos pelos diagramas do guia para ambos os materiais confirma-se que as permitividades dos materiais utilizados nas lentes são próximos dos apresentados na subsecção anterior.
38
Figura 4.16 – Representação do campo na zona próxima, resultante da lente de permitividade 3. Ef (f =0º)
(Vermelho), Ef (f =90º) (Azul escuro), E? (f=0 º) (Lilás) e E? (f =90º) (Azul claro).
a) b)
Figura 4.17 – Representação da componente Ef do guia (Preto), com |G|=-5dB e arg(G)=0º, e do diagrama obtido para o material de permitividade 3. a) Alinhamento segundo f =0º (Vermelho); b) Alinhamento
segundo f =90º (Azul escuro).
a) b)
Figura 4.18 – Representação da componente E? do guia (Preto), com |G|=-5dB e arg(G)=0º, e do diagrama obtido para o material de permitividade 3. a) Alinhamento segundo f =0º (Lilás); b) Alinhamento segundo
f =90º (Azul claro).
39
4.3.3. Aproximação aos Resultados Experimentais Partindo da lente que reúne as melhores características para a combinação de permitividades 9, 3 (Lente B exposta no Anexo C) e com o objectivo de obter resultados teóricos mais próximos dos esperados experimentalmente obteve-se um novo perfil, Figura 4.19, tendo em consideração as permitividades obtidas na subsecção anterior e as características expostas da Tabela 4.15. Determinou-se o foco óptimo para esta lente, tendo este abcissa igual a -2.25mm.
-20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
x [mm]
y [m
m]
Figura 4.19 – Perfil da lente obtido pelo programa Perfil, para a combinação de permitividades 8.78 e
2.73.
Tabela 4.15 – Características da LDC de permitividades 8.78 e 2.73.
εr1 8.78 εr2 2.73
α [º] 20.00 a [mm] 7.60 F [mm] 56.00 M [mm] 18.00
Obteve-se, para a lente acima representada, as características de radiação quando se considera o foco óptimo e a influência das reflexões internas (Situação 1). Esta simulação foi de seguida repetida utilizando, como diagrama de radiação de entrada, o diagrama obtido com a lente hemisférica de permitividade próxima de 9, visto o guia estar inserido neste material (Situação 2). Os diagramas de radiação destas simulações encontram-se representados na Figura 4.20 e as suas características resumidas na Tabela 4.16. Através da análise da Figura 4.20 e da tabela abaixo verifica-se que a influência das características do guia sobre os resultados da lente, são no sentido de esta apresentar piores resultados. Este efeito é devido ao facto do raio do guia, utilizado como fonte, ter sido dimensionado para dieléctricos de permitividade 2.53, [9], provocando, ao ser empregue em materiais de constante dieléctrica elevada, um feixe estreito quando comparado com o utilizado nas secções anteriores e na Situação 1, Figura 4.21. O diagrama de radiação do guia
40
na Situação 2, ao ser mais estreito, ilumina menos a lente e consequentemente o diagrama de radiação da lente fica mais largo, quando comparado com o da Situação 1 (Figura 4.20). Como este efeito é atribuído ao raio do guia, e não à concepção da lente, pode ser ultrapassado através da utilização de fontes mais apropriadas.
Figura 4.20 – Diagramas de radiação contabilizando os efeitos da permitividade medida e do diagrama de
radiação de entrada: Situação 1 (Azul), Situação 2 (Vermelho).
Tabela 4.16 – Características do diagrama de radiação contabilizando os efeitos da permitividade medida e do diagrama de radiação.
Situação 1 Situação 2 Directividade [dBi] 31.8 29.0
Largura de Feixe a -3dB [º] 4.1 4.6 Largura de Feixe a -10dB [º] 6.9 12.1
NLS [dB] -23.3 -17.7 ?Gauss [%] 99.5 96.1
?0 [º] 3.12 7.08
a) b)
Figura 4.21 – Diagramas de radiação do guia utilizados na Situação 1 (Azul) e Situação 2 (Vermelho). a) Componente E?; b) Componente Ef .
41
Nesta fase era esperado a continuação do estudo da lente, agora do ponto de vista experimental. Mas, devido a atrasos na entrega dos materiais e a problemas nas medições do campo próximo, que nos foram alheios, não foi possível construir o modelo da lente a tempo dos resultados figurarem neste relatório. O protótipo da lente seria obtido através da colagem dos materiais constituintes das duas camadas da lente, previamente submetidos a uma fresagem para adquirirem a forma desejada, recorrendo a uma cola apropriada, [14], Figura 4.22.
Figura 4.22 – Esquema da construção do protótipo da LDC.
42
43
5. Conclusões
O objectivo deste Trabalho Final de Curso (TFC) é a obtenção de antenas baseadas em lentes dieléctricas de dupla camada (LDC), com capacidade de funcionarem como “Imaging Lens” em aplicações espaciais. O trabalho desenvolve-se no âmbito do projecto “Integrated Lens Antenna Shaping” (ILASH). A antena deve funcionar na banda dos 500GHz e, para cada direcção de observação, apresentar um diagrama de radiação com forma gaussiana. A base da lente contém um conjunto de elementos excitáveis (sensores de RF) onde é focada a radiação recebida das diversas direcções do espaço. A configuração da lente deve ser robusta para permitir a sua integração num veículo espacial. Escreveu-se um conjunto de equações que permite não só obter as lentes apresentadas na referência [3], mas também LDC. Os resultados deste método de projecto foram testados e confirmados com um programa de traçado de raios. De forma a facilitar a escolha das condições iniciais que conduzem a perfis de lentes viáveis, estabeleceram-se relações entre os vários parâmetros de projecto que permitem definir um intervalo aproximado para a posição do foco máximo (a). Para uma lente convenientemente dimensionada verificou-se, usando o formalismo da Óptica Geométrica (OG), que quando o foco se encontra na origem o erro de divergência máximo do feixe de saída é de 1.68º sendo este reduzido em 1.63º com o foco na posição óptima. Quando se analisa o posicionamento do foco recorrendo à Óptica Física (OF), constata-se que a colocação do foco na posição óptima aumenta a directividade apenas em 0.3dB e a gaussicidade do diagrama de radiação em 4.4%, face aos resultados obtidos com o foco na origem (31.9dBi e 82.3%). Como estas variações não são significativas, a utilização do foco na posição óptima fica dependente da complexidade de construção da lente e integração dos focos na mesma. Do estudo com base na OG realizado sobre a lente com o foco óptimo verifica-se que esta apresenta uma elevada sensibilidade a pequenas variações das permitividades dos materiais que a constituem. Os resultados das sensibilidades obtidos pela OF mostraram que os erros de divergência não alteram significativamente as características de radiação. Neste último estudo as variações máximas observadas foram inferiores a 0.3dB para a directividade, 0.9dB para o nível de lobos secundários (NLS) e 0.1º e 0.3º para as larguras de feixe a -3 e -10dB, respectivamente. A contabilização das reflexões internas produz, em geral, resultados menos favoráveis que os anteriores. Estes resultados apresentam uma redução da directividade em 1.3dB, devido ao aumento de 0.7dB do NLS, e consequentemente a diminuição da gaussicidade do diagrama de radiação para 62.3%. Este estudo revelou que ao considerarmos o diagrama de radiação até -20dB, a gaussicidade associada aumentava para próximo dos 100%, comprovando deste modo que o lobo principal dos diagramas obtidos tem forma gaussiana. O estudo da sensibilidade da lente às variações de permitividade, considerando as reflexões internas, demonstrou que os materiais podem continuar a apresentar permitividades dentro do intervalo ±5% do seu valor original, sem que os parâmetros analisados sofram alterações significativas. Conclui-se que, embora os resultados obtidos não apresentem diferenças
44
significativas, o efeito das reflexões internas deve ser contabilizado no estudo teórico, pois deste modo o modelo está mais próximo da realidade. Os materiais que seriam utilizados no protótipo da antena, apresentaram permitividades 8.78-j0.08 e 2.73-j0.00 para a camada interior e exterior, respectivamente. Estes valores foram validados pela medição do campo na zona próxima das lentes hemisféricas construídas com os mesmos materiais. As medidas permitiram também obter a forma do diagrama de radiação da fonte que ilumina a camada interior da LDC e deste modo, efectuar simulações mais próximas da realidade. Os resultados destas simulações permitem concluir que a consideração das características do guia provocam um aumento da largura de feixe a -3dB e -10dB de 0.5º e 5.2º, respectivamente, do NLS em 5.6dB e consequentemente, uma redução de 2.8dB da directividade da antena. A gaussicidade a -20dB apresentou igualmente uma redução de 3.4%. Estas simulações, utilizando o guia com características de radiação mais próximas das utilizadas nas medidas, são importantes por permitirem uma antecipação mais correcta dos resultados experimentais. Os resultados teóricos apontam para directividades de 29dBi, NLS superiores a -20dB e largura de feixe a -3dB de 4.6º. Comparando estes valores com os obtidos com outras antenas de igual área efectiva é notório que estas apresentam piores resultados. Estes resultados podem ser significativamente melhorados aumentando a largura de feixe do diagrama de radiação da fonte que alimenta a lente. Não sendo uma limitação intrínseca da configuração de lentes adoptada, mantém-se o interesse nestas lentes para a aplicação espacia l que se discutiu neste trabalho. O estudo teórico apresentado neste TFC não está completamente fechado devido às limitações da actual versão do programa ILASH disponibilizado, que não permite estudar a colocação da fonte desviada em relação ao eixo da lente. Este estudo deverá ser futuramente completado com a análise do comportamento da lente considerando o foco noutras posições para além das analisadas neste trabalho, recorrendo a futuras versões do programa ILASH. A necessidade de validar o método de projecto deste tipo de lentes torna pertinente a construção e teste de um protótipo, que não foi construído devido a problemas externos ao trabalho, dando seguimento quer a este TFC quer ao projecto ILASH.
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Anexo A. Validação de Resultados da Óptica Geométrica
Com o objectivo de verificar que as lentes, resultantes do programa Perfil, possuem propriedades bifocais, elaborou-se um programa baseado na verificação dos ângulos de varrimento dos raios que saem de cada foco. Este programa, partindo de um foco, cria um conjunto de raios que incidem na lente nos pontos conhecidos da superfície S1. Calcula, de seguida, o ângulo de refracção nessa mesma superfície e, com este resultado, encontra o ponto de incidência na superfície exterior da lente (S2). O último passo do procedimento é calcular o ângulo de saída dos raios de forma idêntica ao feito para superfície S1. Para o cálculo dos ângulos de incidência e de refracção é necessário conhecer a forma da lente na proximidade do ponto em questão. Como a caracterização da lente, obtida pelo programa Perfil, é feita por um conjunto discreto de pontos, é necessário interpolar a forma desta recorrendo a um polinómio de segunda ordem em coordenadas polares, como representado na Figura A.1. A forma do polinómio utilizado está patente em (A.1), em que a variável w representa a normalização da ordenada referente ao ângulo, feita através da expressão (A.2), para o qual se pretende saber o raio (r). A determinação dos coeficientes do polinómio, representados como c1, c2, e c3, é feita recorrendo aos três pontos consecutivos da superfície mais próximos do ponto de incidência, obrigando este a contê-los.
31 32 33 34 35 36 37 38 3917
18
19
20
21
22
23
24
Figura A.1 – Interpolação da forma da superfície da lente.
2
1 2 3r c w c w c= ⋅ + ⋅ + (A.1)
O cálculo dos coeficientes deste polinómio passa por duas etapas, em que a primeira consiste na normalização dos ângulos dos três pontos que se pretende que pertençam ao polinómio. Esta normalização é feita recorrendo à equação (A.2), em que ?n, ?n-1 e ?n+1 representam os ângulos com a horizontal do ponto central, do ponto anterior e do seguinte, respectivamente e ? é o ângulo a normalizar.
1 1
n
n n
wζ ζ
ζ ζ+ −
−=
− (A.2)
Com a normalização dos três pontos feita, é possível calcular o valor dos coeficientes c1 e c2 através das equações (A.3) e (A.4), baseadas em princípios de álgebra. Da aplicação de (A.2) com ? = ?n retira-se que o valor de c3 é dado directamente pelo raio do ponto central considerado, rn.
46
( ) ( )1 1 1 11 2 2
1 1 1 1
n n n n n n
n n n n
r r w r r wc
w w w w+ − − +
+ − − +
− ⋅ − − ⋅=
⋅ − ⋅ (A.3)
( ) ( )2 2
1 1 1 12 2 2
1 1 1 1
n n n n n n
n n n n
r r w r r wc
w w w w+ + − −
+ − − +
− ⋅ − − ⋅=
⋅ − ⋅ (A.4)
Nestas equações, as variáveis rn, rn-1 e rn+1 representam o raio correspondente ao ponto central, anterior e seguinte, respectivamente. Analogamente as variáveis wn, wn-1 e wn+1 referem-se aos ângulos normalizados. Este polinómio permite calcular facilmente, através da equação (A.5), o ângulo que o raio incidente faz com a normal no ponto de incidência, ângulo I ilustrado na Figura A.2. Conhecendo este ângulo, através da Lei de Snell, obtém-se o ângulo de refracção, T. Com este ângulo e partindo do ponto de incidência é possível representar o raio refractado na outra face da superfície S1 e, deste modo, encontrar o ponto de intersecção com a superfície S2.
1 2
1 1
21arctan
n n
c w cI
r ζ ζ+ −
⋅ ⋅ += ⋅ −
(A.5)
Figura A.2 – Representação da normal à superfície da lente. Interpolação da superfície da lente (Azul),
Normal (Verde) e raio incidente (Vermelho).
Para a determinação exacta do ponto de incidência na superfície exterior da lente, encontra-se o ponto da superfície S2, calculado pelo Perfil, mais próximo da recta representativa do raio. Partindo deste ponto, interpola-se a superfície exterior da lente de forma idêntica à anterior, calculando de seguida o ponto exacto de cruzamento do raio com esta superfície. O método de interpolação da superfície S2, e o cálculo do ângulo do raio refractado nesta é idêntico ao de S1. Este método de verificação foi testado em lentes cujo comportamento é conhecido, entre elas, duas superfícies de faces planas paralelas, em que os meios envolventes têm índices de refracção arbitrários e duas superfícies circulares concêntricas, Figura A.3. O erro máximo verificado nestes testes foi 0.05º. Partindo destes resultados considera-se que se pode aplicar este teste a superfícies cujo comportamento não é conhecido, e retirar dai conclusões.
47
0 5 10 15 20 25 30 35 40-20
-15
-10
-5
0
5
10
0 10 20 30 40 50 60-30
-20
-10
0
10
20
30
a) b)
Figura A.3 – Traçados de raios em lentes. a) Faces planas paralelas; b) Faces circulares concêntricas.
O resultado do traçado de raios sobre o perfil da lente obtida na referência [3] com o foco numa das posições de projecto (a = 7.14 polegadas), e que consta da Figura 3.11, está representado na Figura A.4. Embora do ponto de vista visual os raios apresentados na figura abaixo pareçam paralelos, não o são. Os resultados mostram um afastamento máximo relativamente ao pretendido (-a = -20º) de 0.03º.
s
Figura A.4 – Traçado de raios para lente obtida em [3] e representada no Capítulo 3.
48
49
Anexo B. LensCalc
O programa LensCalc é uma ferramenta utilizada na síntese e análise de lentes dieléctricas integradas de camada única de simetria circular. Neste anexo, procede-se à explicação da teoria subjacente ao projecto de lentes, desenvolvendo-se as formulações utilizadas pelo programa em causa. Com a finalidade de aprender a trabalhar com este programa e adquirir sensibilidade aos parâmetros utilizados efectuou-se a análise de lentes. Para este fim pretendeu-se reproduzir os resultados obtidos em [9] e verificar-se o efeito da variação de parâmetros, tais como o raio da lente, posição da fonte e permitividade do meio, como referido em [4]. B.1. Projecto de Lentes Dieléctricas Integradas de Camada Única No projecto de antenas com lentes dieléctricas integradas de camada única, Figura B.1, são utilizadas conjuntamente as formulações da Óptica Geométrica (OG) e da Óptica Física (OF). Como primeira aproximação ao perfil da lente emprega-se a OG, pois assume-se que todas as dimensões da lente são elevadas, quando comparadas com o comprimento de onda. De seguida procede-se à análise da lente obtida utilizando a OF. Como esta entra em consideração com efeitos de difracção, serão feitas correcções ao perfil inicial, para que o diagrama de radiação fique mais semelhante ao diagrama pretendido (diagrama alvo).
Figura B.1 – Geometria referente a uma lente de camada única (extraído de [10]).
Baseando-se na geometria da Figura B.1, [9] apresenta as equações diferenciais (B.1) e (B.2) no formalismo da OG. Estas equações apresentam soluções se na sua resolução forem aplicadas as formulações de Runge-Kuta. Assumindo que o diagrama de radiação do elemento excitador U(?) é conhecido, determina-se a superfície da lente r(?).
( ) ( )( ) θ
ηθηη
ηθ
sinsin
GU
KT
dd
= (B.1)
( ) ( )
( )sin
cosr
rdrd
η θ ηη ε θ η
−=
− − (B.2)
A função G(?) representa o diagrama alvo. A função T(?) traduz a relação entre potências transmitida e incidente. K é uma constante de normalização que é determinada a partir da relação entre as potências totais dentro e fora da lente, segundo (B.3).
50
( ) ( )( )
max
max
0
0
sin
sin
U T dK
G d
η
θ
η η η η
θ θ θ=
∫∫
(B.3)
A função T(?) depende indirectamente da função desconhecida r(?), mas é considerada constante em ? na primeira iteração. O resultado da primeira avaliação é utilizado no cálculo T(?) na iteração que se segue, atingindo-se normalmente a convergência após dois ou três ciclos. Como os efeitos difractivos não são tidos em consideração e a relação entre o comprimento de onda e as dimensões da lente podem não cumprir os requisitos para a aplicação da OG, são esperadas certas discrepâncias entre G(?) e o diagrama obtido, podendo ser necessário efectuar algumas correcções ao perfil da lente para ultrapassar estas limitações. O diagrama de radiação na zona distante da lente é previsto usando a expressão (B.4) que representa a formulação da OF.
( ) ( )( ) ( )( ) 11 1' '
2
jkRjk R
S
eE P j Z u H P R u E P R e
Rρ
λ
−⋅ = × × + × × ∫ (B.4)
O campo eléctrico no ponto de observação P, na zona distante, é calculado na equação (B.4) em que S representa a superfície da lente, Figura B.2. As variáveis H(P’) e E(P’) representam os campos produzidos pela fonte sobre a face exterior da lente. O vector R traduz a distância da origem ao ponto de observação P, enquanto os versores R1 e ? representam o sentido da origem para o ponto P e para o ponto de integração P’ na superfície da lente, respectivamente. O símbolo u representa o vector normal à superfície exterior da lente e a grandeza Z caracteriza a impedância do meio dieléctrico.
Figura B.2 – Geometria do cálculo do campo na zona distante (adaptado de [10]).
Os resultados obtidos através da OF são semelhantes aos medidos, pelo que esta formulação não é apenas utilizada para análise das lentes antes da sua fabricação mas também para efectuar estudos paramétricos, em que se faz variar um dos parâmetros enquanto os outros são mantidos constantes.
z
x
y
u
P
P' x
S R θ
51
B.2. Habituação ao LensCalc No âmbito de habituação ao programa LensCalc, efectuaram-se várias simulações tendo em vista o desenho e análise de lentes dieléctricas de camada única de simetria circular. Os estudos incidiram sobre lentes que produzem diagramas com amplitude desenhada no plano de elevação e com simetria circular. Os exemplos que se seguem são ilustrativos do comportamento da lente quando se pretende reproduzir diagramas de radiação do tipo sec2(?), diagrama da fonte (recorrendo a uma lente hemisférica) e do tipo gaussiano. Estudaram-se também as alterações nos perfis das lentes e nos diagramas respectivos quando se faz variar o raio destas, a posição da fonte e a permitividade do meio que as constituem. Para que esta exposição não se torne exaustiva, apresenta-se apenas uma selecção das simulações realizadas para cada diagrama alvo. Os parâmetros utilizados nas simulações, excepto quando referido o contrário, são: • frequência de trabalho: f = 62.5GHz; • permitividade do meio: er = 2.53; • perdas no meio dieléctrico: 0.012; • raio do guia: ag = 1.5mm (quando excitado com o modo TE11); • ângulo máximo de iluminação da fonte: ?Max= 90º; • ângulo máximo de iluminação da antena: ?Max = 76º. B.2.1. Diagrama Alvo do Tipo sec2(?) Nesta secção pretende-se analisar um diagrama alvo do tipo sec2(?) e estudar a influência da variação do raio da lente sobre o perfil desta e sobre o diagrama obtido. Este estudo é completado considerando também a situação em que o guia é excitado com o modo TM01. Os resultados obtidos para a lente apresentada em [9], de raio rm = r(?=90º) = 67.5 mm, estão representados na Figura B.3. O ângulo de cobertura da lente limita as direcções para as quais o diagrama de radiação obtido deve seguir o diagrama alvo. Esta limitação impõe um decaimento acentuado da amplitude do diagrama de radiação para ângulos superiores a ?Max, como observado na Figura B.3. Pela comparação dos diagramas conclui-se que o padrão de saída é semelhante ao pretendido no intervalo de interesse (? inferior a 76º). O ripple visível nesse intervalo está associado às reflexões internas na lente e a efeitos difractivos no limite desta.
Figura B.3 – Diagrama de radiação alvo sec2(?) (Preto) e simulado (Azul).
52
Para estudar o efeito que o raio da lente produz na forma desta, Figura B.4, e nos diagramas de radiação, Figura B.5, simularam-se várias lentes com diferentes raios.
Figura B.4 – Perfil de lentes para rm = 50 (Vermelho), 60 (Preto) e 75mm (Azul).
Comparando os vários perfis da lente, representados acima, verifica-se uma relação entre a altura máxima da lente e o seu diâmetro de 0.3. Deste modo nota-se que a variação do raio da lente tem um efeito de escalamento nas dimensões da mesma.
a) b)
Figura B.5 – Diagramas de radiação do tipo sec2(?): a) rm = 50mm (Vermelho); b) rm = 75mm (Azul) e diagrama alvo (Preto).
Pela análise dos diagramas, Figura B.5, verifica-se que com o aumento do raio, o diagrama de radiação segue melhor o diagrama alvo, torna o máximo de radiação, próximo de ?Max, mais acentuado e apresenta menos ripple. Esta figura mostra igualmente o aparecimento de lobos de radiação traseiros para raios maiores. A escolha do raio que permite obter maior directividade é feita encontrando um compromisso entre as características anteriores. De seguida repete-se o estudo prévio, mas agora, excitando o guia de raio 2.1 mm com o modo TM01. Apresenta-se na Figura B.6 a comparação entre o perfil obtido para o modo TE11 e TM01.
53
Figura B.6 – Perfil de lentes para o modo TE11 (Preto) e TM01 (Azul).
Os perfis obtidos são distintos na região central tornando-se gradualmente mais semelhantes à medida que ? se vai aproximando de 90º. As diferenças na região central ocorrem pois o diagrama de radiação do modo TM01 apresenta um mínimo na zona central, logo a lente tem de ter características geométricas específicas para reduzir a influência desse mínimo. O diagrama de radiação desta lente apresenta, ainda assim, um mínimo nesta direcção, verificável na Figura B.7. À parte deste mínimo, o diagrama assemelha-se ao diagrama alvo dentro da zona de interesse.
Figura B.7 – Diagrama de radiação alvo sec2(?) (Preto) e simulado (Azul).
B.2.2. Lente Hemisférica De seguida utiliza-se uma lente hemisférica para estudar o efeito da variação da posição da fonte sobre a forma do diagrama de radiação final, para isso considerou-se uma lente hemisférica de raio 18.1 mm (6λ). É visível, na Figura B.8, que o diagrama de radiação obtido segue o diagrama alvo, à parte de ligeiras ondulações na zona de interesse. Este resultado permite verificar que a lente hemisférica se comporta como elemento neutro, apresentando no exterior a forma do diagrama de radiação da fonte. A variação da posição da fonte, sobre o plano da base, altera o ângulo de incidência da radiação na lente fazendo variar o diagrama de saída, apresentando este assimetrias, representadas pelas várias linhas da mesma cor na Figura B.9, que são referentes a planos de
54
radiação ortogonais. Tendo em consideração a simetria de revolução da lente, todas as variações de posição do foco sobre o plano da base são equivalentes a uma variação sobre um dos eixos da base. Por este motivo apresentam-se apenas os resultados para variações sobre os eixos vertical (zz) e horizontal (xx).
Figura B.8 – Diagrama de radiação para lente hemisférica de raio 6λ (Azul) com referência ao diagrama à
saída do guia (Preto).
Analisando a Figura B.9 é visível que, para pequenas variações da posição da fonte sobre o plano da base, Figura B.9 a), o diagrama de radiação não apresenta alterações significativas. Mas quando esta sofre uma variação mais significativa, Figura B.9 b), o máximo de radiação aparece deslocado, passando a lente a radiar com maior intensidade fora da zona central.
a) b)
Figura B.9 – Diagramas de radiação para diferentes posições da fonte sobre o eixo xx: x = 0 (Azul). a) x = 1mm (Vermelho); b) x = 10mm (Verde).
A variação da posição da fonte sobre o eixo vertical, contrariamente ao horizontal, não apresenta assimetrias, Figura B.10, pois esta mantém-se sobre o eixo de simetria da lente. A alteração da posição da fonte no sentido positivo do eixo provoca um aumento da largura do lobo principal, verificável na figura abaixo. Este fenómeno é explicável do ponto de vista da OG pois, ao aproximar-se a fonte da superfície da lente, os raios, que eram radiais com a fonte colocada no centro da lente, tornam-se divergentes reduzindo a directividade do
55
diagrama de radiação. Devido a reflexões internas na lente também são perceptíveis oscilações na região traseira deste.
Figura B.10 – Diagramas de radiação para diferentes posições da fonte sobre o eixo zz: z = 0 (Azul),
1 (Vermelho) e 3 mm (Verde).
B.2.3. Gaussiana Neste ponto procurou reproduzir-se um diagrama de radiação com forma gaussiana, saturada a -40dB, com o objectivo de verificar a influência de diferentes permitividades sobre o diagrama de radiação. Apresenta-se na Figura B.11 o padrão de radiação de uma lente, de rm = 7λ e er = 9, que permite a melhor aproximação ao diagrama alvo.
Figura B.11 – Diagrama de radiação para uma lente de rm = 7λ (Azul) e diagrama alvo do tipo gaussiana
saturada (Preto).
Como pode ser observado na figura acima a lente de raio 21 mm (7λ) modifica o diagrama de radiação da fonte, obtendo-se uma boa aproximação à gaussiana para ? inferiores a 12.5º. Para ângulos superiores, este diagrama afasta-se do esperado e apresenta, a partir de 37.5º, ripple com valores demasiado baixos (inferior a -20 dB) para serem considerados perturbadores. Conclui-se a análise das lentes com a apresentação da influência da permitividade no comportamento da antena. A permitividade interfere na quantidade de reflexões internas e na forma da lente. Valores elevados desta favorecem elevados ângulos de refracção, permitindo que lentes mais pequenas obtenham diagramas de radiação bem delineados. A permitividade
56
elevada também favorece as reflexões internas, reduzindo a eficiência da lente, produz ripple e aumenta os lobos laterais. Contudo, devido aos vários parâmetros inter-relacionados no desenho das lentes, pode acontecer que uma variação pequena da permitividade produza resultados que localmente possam contradizer o esperado. Para verificar as afirmações anteriores estudou-se o comportamento do diagrama de radiação para dois valores de permitividade diferentes. Os diagramas obtidos estão representados na Figura B.12.
Figura B.12 – Diagramas de radiação para er = 4.5 (Vermelho) e 9 (Azul) e diagrama alvo do tipo
gaussiana saturada (Preto).
Como é de esperar o diagrama obtido para a permitividade ma ior apresenta ripple com máximos superiores aos visíveis para er =4.5. Os efeitos referentes às dimensões da lente são observáveis na Figura B.13. Como se observa na figura abaixo, a lente resultante de materiais de permitividade 9 apresenta dimensões inferiores à outra lente representada, o que influência directamente as perdas de radiação sendo, por isso, de esperar que a lente de menor dimensão apresente menos perdas.
Figura B.13 – Perfil de lente para permitividade 4.5 (Vermelho) e 9 (Preto).
57
Anexo C. Escolha do Perfil da Lente
Neste anexo são apresentadas e caracterizadas as melhores lentes que se obtiveram com o programa Perfil, procedendo-se à escolha da lente que reúne os melhores requisitos para dar continuidade ao Trabalho Final de Curso (TFC), através da sua análise. Para isso foi necessário realizar um estudo dentro da Óptica Geométrica (OG), utilizando o programa Verifica, para determinar a posição do foco sobre o eixo da lente (foco óptimo) que minimiza os erros de divergência. Este estudo é completado recorrendo à combinação entre a Óptica Geométrica e a Óptica Física (OG/OF) em que, após terem sido obtidos os diagramas de radiação correspondentes a cada uma das lentes em estudo, se procede à sua análise. Inicialmente obtiveram-se as lentes, a partir dos parâmetros expostos na Tabela C.1, representadas na Figura C.1 e Figura C.2. Nesta tabela encontra-se também a posição do foco óptimo e o erro de divergência associado a esse mesmo foco para cada uma das lentes em estudo. Como se pode observar as lentes obtidas são visualmente semelhantes, o que era esperado pois as características geométricas descritas na tabela também o são. As diferenças que permitem a escolha da lente, do ponto de vista da OG, são a espessura de cada camada, a posição do foco óptimo e o erro máximo de divergência. De seguida procede-se à análise de cada uma das lentes tendo em conta as diferenças atrás enunciadas.
Tabela C.1 – Características geométricas das lentes obtidas pelo programa Perfil.
Lente A Lente B Lente C Lente D εr1 9.000 9.000 10.000 10.000 εr2 3.000 3.000 3.162 3.162
α [º] 20.000 20.000 20.000 20.000 a [mm] 6.250 7.600 6.000 5.800 F [mm] 40.650 56.000 40.625 40.625 M [mm] 21.500 18.000 22.000 22.000
Foco Óptimo [mm] -1.420 -2.250 -1.320 -1.180 Erro Máximo de Divergência [º] 0.051 0.026 0.051 0.084
-20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
x [mm]
y [m
m]
-20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
x [mm]
y [m
m]
a) b)
Figura C.1 – Perfis de lentes obtidos pelo programa Perfil. a) Lente A; b) Lente B.
58
-20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
x [mm]
y [m
m]
-20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
x [mm]
y [m
m]
a) b)
Figura C.2 – Perfis de lentes obtidos pelo programa Perfil. a) Lente C; b) Lente D.
A lente B tem a vantagem de apresentar o menor erro máximo de divergência mas, em contrapartida é a que tem o foco óptimo mais distante da lente. Outra desvantagem desta lente é a sua espessura, pois a camada exterior da lente é demasiado fina comparativamente à camada interior. Esta característica pode dificultar o processo de construção da mesma e além disso, levar ao aparecimento de ondas que se propagam de forma guiada na camada exterior da lente. Ao comparar a Lente A com a C verifica-se que a diferença mais significativa entre ambas é a posição do foco óptimo, sendo mais desfavorável na primeira pois este encontra-se mais distante da lente. A escolha terá então de ser entre a Lente C e D, em que a primeira apresenta menor erro máximo de divergência e a segunda tem o foco óptimo mais próximo dela. A distância do foco óptimo à lente constituirá uma limitação apenas na construção da lente sendo igualmente complicado colocá- lo a -1.18 ou a -1.32mm. Quanto ao erro de divergência interessa que este seja o menor possível para garantir que os raios provenientes sejam direccionados para o foco correcto e também para que o diagrama de radiação da antena, associado a cada foco, tenha um lobo principal o mais estreito possível. Por isso a Lente C é a que apresenta melhores características geométricas. A escolha da lente não está só dependente da OG, mas também das características do diagrama de radiação que se obtém com esta. Pela observação da Figura C.3 notam-se algumas diferenças na largura do lobo principal e no nível de lobos secundários (NLS) dos diagramas obtidos para cada uma das lentes em estudo. Para analisar mais pormenorizadamente os diagramas obteve-se a directividade, a largura de feixe a -3 e -10dB e o NLS, Tabela C.2. A lente que apresenta melhor comportamento é a Lente B, mas devido às suas características geométricas esta não poderá ser escolhida. A escolha recai outra vez entre a Lente C e D. As diferenças entre ambas, ao nível das características de radiação, são de 0.41dB na directividade, 0.17º e 0.33º nas larguras de feixe a -3 e a -10dB, respectivamente, e 1.36dB no NLS, não sendo por isso significativas.
59
a) b)
c) d)
Figura C.3 – Diagramas de Radiação obtidos pelo programa ILASH. a) Lente A; b) Lente B; c) Lente C; d) Lente D.
Tabela C.2 – Características do diagrama de radiação para as lentes obtidas com o programa Perfil.
Lente A Lente B Lente C Lente D Directividade [dBi] 31.76 33.50 32.23 32.64
Largura de Feixe a -3dB [º] 4.58 3.93 4.49 4.32 Largura de Feixe a -10dB [º] 8.09 6.60 7.83 7.50
NLS [dB] -17.77 -21.24 -20.99 -19.63 A lente escolhida para prosseguir o projecto proposto neste TFC foi a Lente C. Embora esta não seja a que apresenta melhores características de radiação, é a que possui melhores características geométricas. Uma análise mais detalhada da Lente C é realizada no Capítulo 4.
60
61
Anexo D. Gaussicidade de um Feixe Electromagnético
O índice de gaussicidade (ηGauss) define numericamente a semelhança entre uma função e uma curva gaussiana. Assim sendo, considerando uma dada função, quanto mais parecida com uma gaussiana ela for, mais próximo da unidade será o parâmetro ηGauss associado. Se tomarmos como referência uma função de Gauss, ao serem escolhidas as características desta que mais a aproximam da função, obtém-se o máximo de ηGauss, para a função dada. O cálculo de ηGauss, no contexto deste TFC, é feito para determinar a semelhança entre um dado diagrama de radiação e a curva gaussiana que mais se aproxima deste. Para se obter o valor de ηGauss máximo e as características da gaussiana associada, é necessário relacioná- los com o diagrama de radiação e posteriormente optimizar essa relação de forma a maximizar este índice. O campo eléctrico normalizado, na zona distante, de um feixe gaussiano, Figura D.1, é expresso segundo a equação (D.1), [15].
-3 -2 -1 0 1 2 30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
θ [rad]
E/E
0
-3 -2 -1 0 1 2 3-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
θ [rad]
E/E
0
a) b)
Figura D.1 – Representação de uma curva gaussiana. a) Componente de amplitude para ?0 = 1; b) Componente de fase para ?1 = p/2.
( ) [ ] [ ]2 20 1j
Gauss coE e eθ θ π θ θθ ε − ±= (D.1)
A variável ?, assumindo simetria em torno de um eixo, representa o ângulo de radiação com a direcção do máximo, os termos ?0 e ?1, representam a abertura da curva em amplitude e em fase, respectivamente. O termo eco é um vector unitário representativo da polarização do feixe. Se considerarmos o campo eléctrico na zona próxima, a equação (D.1) escreve-se da forma apresentada abaixo, [15].
( ) ( ) ( )
2 2
2rr
jkR zw z
Gauss coE r e eε
−− = (D.2)
Nesta equação, r é a distância entre o ponto de medida e o centro de fase do elemento de excitação numa representação planar do campo, os termos w(z) e R(z), tal como ?0 e ?1, representam a abertura da gaussiana em amplitude e em fase, respectivamente. De forma
62
idêntica ao apresentado em (D.1), eco é um vector unitário representativo da polarização do feixe. O índice ηGauss é calculado recorrendo à expressão (D.3), em que o termo ? Feixe refere-se às características do diagrama sobre o qual se pretende determinar a gaussicidade e ? Gauss representa uma curva gaussiana.
2|Gauss Feixe Gaussη = Ψ Ψ (D.3)
A expressão acima, quando a informação referente ao diagrama é para a zona próxima, simplifica-se ficando na forma apresentada na equação (D.4). Se a informação do diagrama for para a zona distante, a expressão (D.3) resume-se a (D.5).
( ) [ ] [ ]
( ) [ ]
2 20 1
20
2
2 2
, sin
, sin sin
jco
Gauss
F e e d d
F d d e d d
θ θ π θ θ
θ θ
ε θ φ θ θ φη
θ φ θ θ φ θ θ φ
− ±
−
=
∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫
(D.4)
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
2
2
2 2
,
,
rr jkR zw z
co
Gauss r w z
F r e e r d r d
F r rdrd e r d r d
ε φ φ
ηφ φ φ
−−
−
=
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
(D.5)
Nestas expressões F(?, F) representa o diagrama de radiação para a zona distante enquanto F(r, F) o caracteriza para a zona próxima. Optimizar estas duas equações em função de ηGauss permite obter o valor máximo da gaussicidade, e as características da curva gaussiana associada. Utilizando esta notação, com o objectivo de obter a gaussicidade máxima dum dado diagrama de radiação, desenvolveu-se um programa em MatLab, de nome Gaussi, que recebe como entrada o diagrama de radiação e como saída apresenta os parâmetros da gaussiana responsável pelo ηGauss máximo e o valor deste índice. Este programa é utilizado posteriormente à determinação, pelo programa ILASH, do diagrama de radiação na zona distante da ALI. Como o programa ILASH, não devolve informação relativamente à fase do diagrama de radiação, o programa Gaussi não permite uma optimização da fase da curva. Esta limitação obriga à utilização de (D.6), uma equação simplificada de (D.1), que não contabiliza a informação relativa à fase.
( ) ( ) 20c
GaussE e θ θ θθ − − = (D.6)
A variável ?c, que representa o ângulo de desfasamento entre o máximo de amplitude da gaussiana e o referencial, possibilita a optimização de ηGauss, também, sobre este parâmetro. Esta optimização é particularmente útil pois permite tratar de forma idêntica qualquer diagrama de radiação, quer o máximo deste esteja, ou não, sobre o eixo. Por uma questão de simplificação da notação, no corpo do relatório, o valor máximo de ηGauss é referido por gaussicidade ou por ηGauss e é apresentado em percentagem.
63
Anexo E. Sensibilidade das Características de Radiação a Variações de Permitividade
O estudo da variação das características de radiação com a alteração das permitividades é de elevada importância pois na prática as permitividades dos materiais não são exactamente iguais às de projecto, podendo através deste estudo comparar-se os resultados obtidos teoricamente com os experimentais. Neste anexo expõem-se as alterações no diagrama de radiação (directividade, largura de feixe a -3dB e a -10dB e do nível de lobos secundários) quando se considera que as permitividades sofrem variações dentro de um intervalo de ±5% do seu valor de projecto. Este estudo é efectuado para duas situações diferentes, a primeira em que não se contabiliza a influência das reflexões internas e a segunda em que estas já são tidas em consideração. Nas secções que se seguem são apresentadas tabelas em que as linhas e colunas das mesmas representam variações da permitividade do meio interior (er1) e do meio exterior (er2), respectivamente. É de salientar que são consideradas alterações da permitividade de 0, ±1, ±2.5 e ±5% do seu valor original. E.1. Sem Reflexões Internas Como se pode observar pela Tabela E.1 a alteração de ambas as permitividades em +5% do seu valor de projecto provoca uma variação máxima de 0.36dB. Este valor corresponde a uma variação de 1.12% face ao valor da directividade na situação original.
Tabela E.1 – Directividade, em dBi, para pequenas variações das permitividades, quando o foco se encontra na posição óptima e não são consideradas reflexões internas.
er2 er1 -5% -2.5% -1% 0 1% 2.5% 5%
-5% 32.19 32.07 32.08 32.13 32.12 32.05 32.02 -2.5% 32.17 32.22 32.21 32.08 32.08 32.0 32.04 -1% 32.19 32.26 32.23 32.22 32.20 32.08 32.06
0 32.22 32.27 32.25 32.23 32.21 32.09 32.05 1% 32.10 32.28 32.26 32.24 32.21 32.16 32.05
2.5% 32.14 32.28 32.25 32.22 32.19 32.13 32.00 5% 32.15 32.14 32.10 32.13 32.08 32.00 31.87
Ao medir-se a largura de feixe a -3dB, Tabela E.2, verifica-se a existência de duas situações de variação máxima. Em ambos os casos, a constante dieléctrica do meio interior sofre uma alteração de -5% e a do meio exterior de +2.5% e +5%. Esta é igual a 0.12º e corresponde a uma variação de 2.7% relativamente à situação de projecto. Para a largura de feixe a -10dB, Tabela E.3, observa-se uma variação máxima de 0.25º para a situação em que ambas as permitividades sofrem uma alteração de +5%. Este valor corresponde a uma variação de 3.1% quando comparada com a largura de feixe na situação inicial. O nível de lobos secundários (NLS), Tabela E.4, apresenta, quando ocorre uma alteração em er1 de +5% e er2 de +2.5%, uma variação máxima de 0.84dB. Esta corresponde a uma variação de 4% sobre o valor do NLS da situação original.
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Tabela E.2 – Largura de feixe a -3dB , em graus, para pequenas oscilações das permitividades, quando o foco se encontra na posição óptima e não são consideradas reflexões internas.
er2 er1 -5% -2.5% -1% 0 1% 2.5% 5%
-5% 4.51 4.51 4.51 4.56 4.57 4.61 4.61 -2.5% 4.52 4.50 4.50 4.52 4.53 4.59 4.59 -1% 4.51 4.48 4.49 4.50 4.51 4.52 4.56
0 4.50 4.47 4.48 4.49 4.50 4.51 4.55 1% 4.47 4.46 4.47 4.48 4.49 4.51 4.48
2.5% 4.45 4.45 4.45 4.46 4.47 4.50 4.48 5% 4.43 4.42 4.42 4.46 4.48 4.51 4.52
Tabela E.3 – Largura de feixe a -10dB, em graus, para pequenas oscilações das permitividades, quando o foco se encontra na posição óptima e não são consideradas reflexões internas.
er2 er1 -5% -2.5% -1% 0 1% 2.5% 5%
-5% 7.85 7.85 7.86 7.98 8.01 8.07 8.07 -2.5% 7.84 7.83 7.85 7.88 7.90 8.04 8.05 -1% 7.85 7.79 7.82 7.85 7.89 7.92 8.02
0 7.82 7.77 7.80 7.83 7.87 7.91 8.02 1% 7.75 7.75 7.79 7.82 7.86 7.93 7.89
2.5% 7.72 7.74 7.78 7.82 7.86 7.94 7.93 5% 7.70 7.68 7.71 7.87 7.93 8.02 8.08
Tabela E.4 – NLS, em dB, para pequenas oscilações das permitividades, quando o foco se encontra na posição óptima e não são consideradas reflexões internas.
er2
er1 -5% -2.5% -1% 0 1% 2.5% 5%
-5% -20.84 -20.87 -21.03 -21.34 -21.36 -21.42 -21.22 -2.5% -21.09 -20.95 -21.06 -21.12 -21.17 -21.36 -20.92 -1% -21.16 -20.92 -20.99 -21.07 -21.13 -21.09 -20.74
0 -21.15 -21.04 -21.01 -20.99 -21.02 -21.02 -20.68 1% -21.03 -21.01 -21.03 -20.96 -20.90 -20.88 -20.46
2.5% -21.15 -20.97 -20.94 -20.92 -20.77 -20.65 -20.24 5% -21.14 -20.71 -20.61 -20.58 -20.50 -20.15 -21.25
Tendo em conta os resultados apresentados nesta secção verifica-se que as características do diagrama de radiação, não tendo em consideração a influência das reflexões internas, são pouco sensíveis às alterações das permitividades que ocorrem dentro do intervalo de ±5%. E.2. Com Reflexões Internas Nesta secção repetiram-se as simulações realizadas na secção anterior mas, desta vez, contabilizando a influência das reflexões internas. Como se pode observar pela Tabela E.5 a alteração das permitividades provoca, na maior parte dos casos, uma variação de directividade inferior a 0.85dB. Apenas para os casos assinalados a azul essa variação é maior, mas visto
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estes serem poucos e sucederem-se quando pelo menos uma das constantes dieléctricas sofre uma alteração mínima de ±2.5% do seu valor de projecto, não são de elevada importância. Excluindo estes últimos, a variação máxima ocorre para uma alteração em er1 de -1% e er2 de +5%, correspondendo a uma variação de 2.8% da directividade em relação à situação inicial. O valor de directividade obtido na situação de projecto é, à excepção de casos pontuais, o máximo da tabela abaixo sendo, por isso, de afirmar que esta não apresenta melhorias com as alterações de permitividade.
Tabela E.5 – Directividade, em dBi, para pe quenas oscilações das permitividades, quando se considera o foco óptimo e as reflexões internas.
er2 er1 -5% -2.5% -1% 0 1% 2.5% 5%
-5% 30.98 30.75 30.71 30.41 30.85 30.91 28.68 -2.5% 30.75 31.03 30.86 30.79 30.80 29.67 30.75 -1% 30.89 30.74 30.78 30.68 30.59 29.75 30.04
0 30.61 30.74 30.89 30.89 30.66 30.51 29.84 1% 30.46 30.66 30.51 30.71 30.66 30.45 30.49
2.5% 30.66 30.54 30.15 30.58 30.83 30.79 30.77 5% 28.26 30.61 30.44 30.45 30.57 30.39 30.34
Ao medir-se a largura de feixe a -3dB, Tabela E.6, verifica-se que a variação máxima é de 0.33º e ocorre para uma alteração das permitividades de -1% do meio interior e de +5% do meio exterior. Esta situação compreende uma variação de 7.5% relativamente à situação original. De notar que a largura de feixe a -3dB não apresenta, em geral, melhores resultados que o obtido na situação de projecto.
Tabela E.6 – Largura de feixe a -3dB, em graus, para pequenas oscilações das permitividades, quando se considera o foco óptimo e as reflexões internas.
er2 er1 -5% -2.5% -1% 0 1% 2.5% 5%
-5% 4.42 4.39 4.47 4.59 4.54 4.45 4.63 -2.5% 4.51 4.45 4.44 4.44 4.50 4.41 4.56 -1% 4.42 4.50 4.56 4.58 4.59 4.74 4.75
0 4.42 4.46 4.42 4.42 4.46 4.48 4.60 1% 4.61 4.56 4.51 4.48 4.51 4.51 4.43
2.5% 4.40 4.39 4.48 4.52 4.48 4.52 4.46 5% 4.43 4.38 4.38 4.40 4.44 4.60 4.57
A largura de feixe a -10dB, Tabela E.7, apresenta, para uma alteração das constantes dieléctricas do meio interior de -1% e do meio exterior de +2.5%, uma variação máxima de 0.64º que corresponde a uma variação 8.3% face à situação de projecto. De notar que também neste caso são poucas as situações que conduzem a feixes mais estreitos e quando isto acontece a diferença é pouco significativa. Para o NLS, Tabela E.8, verifica-se que, para uma alteração em er1 de -1% e para er2 igual ao valor de projecto, a variação máxima é de 2.48dB correspondendo este valor a uma variação de 12.2% sobre o obtido na situação inicial. Observa-se que o NLS é bastante sensível às
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variações de permitividade mas devido a estes terem uma amplitude reduzida, aproximadamente -20dB, o desempenho da lente não deve ser afectado.
Tabela E.7 – Largura de feixe a -10dB, em graus, para pequenas oscilações das permitividades, quando se considera o foco óptimo e as reflexões internas.
er2 er1 -5% -2.5% -1% 0 1% 2.5% 5%
-5% 7.66 7.57 7.79 8.00 7.98 7.82 8.12 -2.5% 7.87 7.70 7.67 7.68 7.79 7.72 7.99 -1% 7.64 7.85 8.02 8.08 8.10 8.34 8.27
0 7.61 7.76 7.68 7.70 7.79 7.82 8.13 1% 8.07 8.03 7.92 7.82 7.92 7.94 7.81
2.5% 7.58 7.56 7.84 7.96 7.90 8.01 7.88 5% 7.81 7.57 7.65 7.71 7.81 8.16 8.24
Tabela E.8 – NLS, em dB, para pequenas oscilações das permitividades, quando se considera o foco óptimo e as reflexões internas.
er2 er1 -5% -2.5% -1% 0 1% 2.5% 5%
-5% -19.97 -20.33 -21.95 -21.15 -21.88 -21.42 -20.66 -2.5% -20.98 -20.38 -20.40 -19.75 -20.49 -22.24 -20.80 -1% -19.51 -21.24 -22.34 -22.82 -22.23 -22.75 -19.65
0 -19.73 -20.79 -20.33 -20.34 -19.93 -18.67 -19.71 1% -22.81 -22.15 -21.32 -21.35 -21.49 -21.25 -21.15
2.5% -18.98 -19.36 -22.78 -22.01 -21.32 -21.41 -18.43 5% -21.29 -19.66 -19.72 -18.95 -19.82 -21.25 -21.82
A influência da variação das permitividades sobre as características de radiação quando se contabilizam as reflexões internas é bastante reduzida. Pode-se então concluir que, a partir destes resultados e se as permitividades dos materiais variarem dentro de um intervalo de ±5% do seu valor de projecto, os resultados teóricos obtidos para as características de radiação são válidos e podem servir como termo de comparação para os resultados experimentais.
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Referências
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