PARÁBOLAS – AS CURVAS PRECIOSAS

Professora – PDE

MIRTES TAMY GOMES MACHADO

Orientador

DR. ULYSSES SODRÉ

OBJETO DE APRENDIZAGEM COLABORATIVA - OAC

IES: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE LONDRINA – UEL

ÁREA CURRICULAR: MATEMÁTICA

2009

SUMÁRIO

1 PROBLEMATIZAÇÃO DO CONTEÚDO..................................................................4

2 INVESTIGAÇÃO DISCIPLINAR2.1 UMA AMPLA ABORDAGEM DAS PARÁBOLAS...................................................5

2.2 SUGESTÃO DE PESQUISA..................................................................................7 3 PERSPECTIVA INTERDISCIPLINAR: PRESENÇA DAS PARÁBOLAS EM OUTRAS ÁREAS DO CONHECIMENTO.................................................................7

4 CONTEXTUALIZAÇÃO: PARÁBOLAS NO COTIDIANO........................................9

5 SÍTIOS5.1 SOFTWARE GEOGEBRA....................................................................................10

5.2 AS CÔNICAS E SUAS APLICAÇÕES.................................................................10

5.3 MATEMÁTICA ESSENCIAL: FUNDAMENTAL....................................................10

5.4 PONTE AKASHI-KAIKYO....................................................................................11

6 SONS E VÍDEOS....................................................................................................11

7 PROPOSTA DE ATIVIDADES7.1 CONSTRUÇÃO DE UM REFLETOR DE RAIOS LUMINOSOS..........................12

7.1.1 Introdução..........................................................................................................12

7.1.2 Refletor de raios luminosos...............................................................................13

7.1.3 Objetivos............................................................................................................13

7.1.4 Materiais necessários........................................................................................13

7.1.5 Desenvolvimento metodológico........................................................................14

7.1.6 Avaliação...........................................................................................................15

7.1.7 Construção da Parábola pelo método da dobradura........................................15

7.2 USO DO SOFTWARE GRATUITO GEOGEBRA NA CONSTRUÇÃO DE

PARÁBOLAS........................................................................................................16

7.2.1 Introdução..........................................................................................................16

7.2.2 Objetivos............................................................................................................16

7.2.3 Fundamentação Teórica....................................................................................17

7.2.4 Materiais necessários........................................................................................18

7.2.5 Encaminhamento Metodológico........................................................................18

7.2.6 Realizando a atividade proposta.......................................................................18

7.2.7 Avaliação...........................................................................................................19

7.3 CONFECÇÃO DE UM CONE COM SUAS SECÇÕES........................................19

7.3.1 Objetivos............................................................................................................19

7.3.2 Fundamentação Teórica....................................................................................20

7.3.3 Materiais necessários........................................................................................20

7.3.4 Encaminhamento Metodológico........................................................................21

7.3.5 Avaliação...........................................................................................................21

8 IMAGENS................................................................................................................22

9 SUGESTÃO DE LEITURA9.1 PROJETO, CONSTRUÇÃO E LEVANTAMENTO DE DESEMPENHO

DE UM CONCENTRADOR SOLAR CILÍNDRO PARABÓLICO COM

MECANISMO AUTOMÁTICO DE RASTREAMENTO.........................................22

9.2 A RAINHA DAS CIÊNCIAS: UM PASSEIO HISTÓRICO PELO

MARAVILHOSO MUNDO DA MATEMÁTICA......................................................23

9.3 PORQUE AS ANTENAS SÃO PARABÓLICAS...................................................24

10 NOTÍCIAS: TECNOLOGIA AJUDA MÉDICOS A SALVAR VIDAS NA FLORESTA.....................................................................................................24

11 DESTAQUES: PONTE HERCÍLIO LUZ: PONTE DO DESENVOLVIMENTO DE FLORIANÓPOLIS......................................................25 12 PARANÁ...............................................................................................................26

REFERÊNCIAS..........................................................................................................27

1 PROBLEMATIZAÇÃO DO CONTEÚDO

Chamada para a Problematização: As Parábolas estão sendo realmente

valorizadas quando abordadas em sala de aula?

O estudo das parábolas vem ocorrendo nas escolas, geralmente, de forma

superficial, ou seja, apenas como uma representação gráfica da função quadrática.

Desta forma, estuda-se apenas as equações algébricas que resultam em parábolas

com concavidades voltadas para cima ou para baixo, não se aprofundando no

comportamento desta curva, que seria através da análise de suas equações e suas

representações geométricas, onde seria possível observar as parábolas com

concavidades voltadas para a direita ou para a esquerda em relação ao eixo x, no

plano cartesiano XY.

Outros conteúdos que envolvem as parábolas costumam ficar esquecidos,

como por exemplo: a definição geométrica da parábola, onde se afirma que é

suficiente uma reta (diretriz) e um ponto fixo fora dela (foco), ambos em um mesmo

plano, para que se possa através de um procedimento geométrico, determinar esse

tipo de curva; e, as secções cônicas, onde uma destas secções, feita por um plano

paralelo a uma de suas geratrizes, resulta em parábola.

O aprofundamento dos conteúdos que abordam as parábolas ocorre quando

se estuda a Geometria analítica, onde é possível aliar a álgebra à geometria. Este

tema, infelizmente, está se ausentando do Plano de Trabalho Docente de muitos

professores, consequentemente são deixadas de lado, as aplicações das curvas ou

superfícies parabólicas que muito colaboraram no avanço da ciência e da tecnologia

em benefício da humanidade.

O conhecimento da aplicação das propriedades das parábolas é de suma

importância para a formação do estudante, pois, é um dos momentos em que ele

poderá interpretar fenômenos matemáticos relacionando-os com outras áreas do

conhecimento, já que a Física e a Engenharia utilizam as parábolas em objetos que

estão presentes em nosso cotidiano e muitos não percebem por não possuírem o

conhecimento científico.

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Um pouco da história

A Geometria analítica foi criada por volta de 1628 pelo francês René Descartes (1596-1650), um dos maiores matemático do século XVII. Nessa época, Descartes deixou a França e foi para a Holanda, onde viveu 20 anos; nesse país escreveu a obra La géométrie, por meio da qual seus contemporâneos tiveram conhecimento da Geometria analítica, também conhecida como geometria cartesiana (FACCINI, 2001, p. 452). Na primeira metade do século XVII, o conhecimento geométrico recebeu nova abordagem com a Geometria analítica que trouxe uma dinâmica diferente à Matemática. A Europa vivia uma fase de transição política e econômica e o modo de produção capitalista, emergente, requeria das ciências novos conhecimentos. Buscavam conhecimentos mais avançados no campo da astronomia e da mecânica. Era preciso que a Matemática resolvesse cálculos como, por exemplo, de distância entre pontos, coordenadas de ponto que divide um segmento conforme uma razão dada, determinação de pontos de intersecção de curvas, discussão de curvas, etc. (ALEKSANDROV, 1976 apud DCEBM, 2008, p. 55). Através da Geometria analítica a solução destes problemas era possível.

Este Objeto de Aprendizagem Colaborativa – OAC, visa auxiliar o professor

no desenvolvimento dos conteúdos que envolvem as parábolas, facilitando a

compreensão do aluno e despertando o seu interesse pelo tema em questão.

Apresenta sugestões de leituras de algumas obras para aprofundamento teórico da

Geometria Analítica e alguns objetos que mostram a aplicação das propriedades das

parábolas em seu funcionamento (fornos solares, pontes pênseis, antenas

parabólicas, faróis de carro). Este trabalho traz também, algumas atividades práticas

envolvendo a definição de parábola, que podem ser desenvolvidas em sala de aula,

e a utilização do software livre GeoGebra para construir parábolas.

2 INVESTIGAÇÃO DISCIPLINAR

2.1 UMA AMPLA ABORDAGEM DAS PARÁBOLAS

Os conteúdos matemáticos não podem ser abordados de forma fragmentada,

já que um conteúdo está relacionado com o outro. Ao realizar o estudo das funções,

por exemplo, temos uma relação da álgebra com a Geometria analítica. Segundo

Caraça (2005), se uma função for definida por uma expressão analítica – a imagem

geométrica da função é a tradução, no campo geométrico, daquela lei analítica que

a expressão analítica implica.

Ao realizar o estudo das parábolas, não podemos nos limitar à representação

geométrica da função quadrática representada por f(x)=ax2+bx+c, sendo os

coeficientes a, b e c números reais e a≠0, pois, isso leva o aluno a pensar que

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existem apenas as parábolas com a concavidade voltada para cima ou para baixo

em relação ao eixo x no plano cartesiano XY. Ao estender este estudo às parábolas

que se originam da representação geométrica de suas equações reduzidas, o aluno

poderá observar as parábolas com concavidades voltadas para a direita e para a

esquerda em relação ao eixo x, passando a ter uma ampla visão deste assunto.

É importante que, ao realizar o estudo das parábolas dentro da Geometria

analítica, se faça a abordagem dos temas que as envolvem, ou seja, a distância

entre dois pontos, distância de um ponto a uma reta, equação da reta, concluindo

com a equação reduzida da parábola. Durante este estudo, o aluno poderá observar

a aplicação de outros conteúdos que estudou em séries anteriores como, por

exemplo: Números, Álgebras, Grandezas e Medidas; verificando assim que os

conteúdos matemáticos estão sempre articulados e não podem ser estudados

isoladamente. O desenvolvimento desta parte da Geometria analítica pode ser

encontrado em muitos livros do Ensino Médio, tal como é abordado na obra

“Matemática” (PAIVA, 1999).

A parábola também pode ser trabalhada a partir de atividades práticas,

partindo de sua definição geométrica que diz: “Seja um ponto F (foco) e uma reta d

(diretriz) de um plano, o ponto F não pertence à reta d, o conjunto dos pontos desse

plano equidistantes de d e F, denomina-se Parábola” (PAIVA, 1999, p. 378).

Algumas atividades práticas que podem ser desenvolvidas se encontram disponíveis

neste OAC na seção Sugestões de Atividades.

Quanto às aplicações das propriedades das parábolas, deve-se salientar que

ao girar a parábola ao redor de seu eixo de simetria, resulta uma figura denominada

parabolóide de revolução. Essa figura apresenta uma característica muito

importante quando usamos material espelhado em sua superfície, pois esta, ao

receber os raios luminosos paralelos ao seu eixo de simetria, irá refletir todos esses

raios na direção do seu foco, que é o mesmo da parábola que a originou. Neste foco

há uma grande concentração de energia (calor, luz e eletromagnetismo), onde os

objetos que as utilizam são posicionados. Este princípio é utilizado pelos fornos

solares, usinas solares e antenas parabólicas. Já os faróis de carros e holofotes,

instalam suas lâmpadas no foco do parabolóide que emitirá raios luminosos à sua

superfície espelhada de onde sairá um feixe de raios paralelos, obtendo assim, uma

grande iluminação na direção desejada.

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Trabalhando as demonstrações das fórmulas e dos teoremas que envolvem

as parábolas, e também a sua definição geométrica, para em seguida apresentar

algumas das suas aplicações no cotidiano, não se corre o risco da disciplina e do

conteúdo perderem seu caráter científico. Ramos (2004) citado pelas Diretrizes

Curriculares da Educação Básica de Matemática (2008), afirma que a teoria

científica oferece condições para a apropriação dos aspectos que vão além

daqueles observados pela aparência da realidade.

2.2 SUGESTÃO DE PESQUISA

Sabe-se que: A parábola é uma curva obtida através da intersecção da

superfície de um cone com um plano paralelo a uma de suas geratrizes. Tomando

por base esta afirmação, sugere-se ao professor que investigue o Teorema: “A

secção do cone com o plano paralelo a uma de suas geratrizes é uma parábola” e a

“Construção espacial de Dandelin”, que podem auxiliá-lo na explanação dos

conteúdos que abordam as parábolas.

3 PERSPECTIVA INTERDISCIPLINAR: PRESENÇA DAS PARÁBOLAS EM OUTRAS ÁREAS DO CONHECIMENTO

Os conteúdos matemáticos devem ser apresentados aos alunos de modo

contextualizado, procurando relacioná-los com outras áreas do conhecimento.

A interdisciplinaridade é uma questão epistemológica e está na abordagem teórica e conceitual dada ao conteúdo em estudo, concretizando-se na articulação das disciplinas cujos conceitos, teorias e práticas enriquecem a compreensão desse conteúdo. (DCEBM, 2008, p. 27).

Visando valorizar os conteúdos que envolvem as parábolas, sugere-se uma

relação com a Física, ao analisar a aplicação das propriedades das parábolas no

funcionamento de alguns objetos que fazem uso de espelhos côncavos, que são

superfícies parabólicas, como por exemplo, os fornos solares que utilizam espelhos

côncavos para captar a energia solar.

Como a distância do Sol à Terra é muito grande, o feixe de luz solar que nos atinge é sempre constituído de raios praticamente paralelos. Então, ao se refletirem no espelho, os raios desse feixe convergem para seu foco. Neste foco haverá uma grande concentração de energia, tanto luminosa quanto térmica (as radiações térmicas se comportam como a luz). Assim, no foco

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do espelho há uma considerável elevação de temperatura e, nesse ponto, é colocado o dispositivo que irá utilizar a energia concentrada. (LUZ & ALVARENGA, 2003, p. 283-284).

Pode-se citar também como exemplo, as usinas solares que utilizam espelhos

parabólicos para captar a luz do Sol. Ao analisar seu funcionamento observa-se o

relacionamento das parábolas com a Física e a Geografia ao mesmo tempo.

A seguir será apresentado um breve relato do funcionamento de uma usina

solar e os fatores geográficos importantes para se obter um maior aproveitamento

de energia solar. Estas Informações foram extraídas do site

http://www.scribd.com/doc/2979098/Fisica-Energia-03-Energia-Solar-I.

O aproveitamento de energia solar aplicado a sistemas que requerem

temperaturas mais elevadas ocorre por meio de concentradores solares, cuja

finalidade é captar a energia solar incidente numa área relativamente grande e

concentrá-la numa área muito menor, de modo que a temperatura desta última

aumente substancialmente. A superfície refletora (espelho) dos concentradores tem

forma parabólica ou esférica, de modo que os raios solares que nela incidem sejam

refletidos para uma superfície bem menor, denominada foco, onde se localiza o

material a ser aquecido. Os sistemas parabólicos de alta concentração atingem

temperaturas bastante elevadas e índices de eficiência que variam de 14% a 22%

de aproveitamento de energia solar incidente, podendo ser utilizada para a geração

de vapor e, consequentemente, de energia elétrica.

A disponibilidade de radiação solar, também denominada energia total

incidente sobre a superfície terrestre, depende da latitude local e da posição do

tempo (hora do dia e dia do ano). Isso se deve à inclinação do eixo imaginário em

torno do qual a Terra gira diariamente (movimento de rotação) e à trajetória elíptica

que a Terra descreve ao redor do Sol (translação ou revolução). Desse modo, a

duração solar do dia – período de visibilidade do Sol ou de claridade – varia, em

algumas regiões e períodos do ano.

Mediante estas informações, onde se pode articular a Matemática com a

Geografia, propõe-se uma pesquisa para descobrir qual é a região do Brasil, mais

apropriada para a construção de uma usina solar, já que esta irá gerar muito mais

energia se estiver em uma região onde se tem mais horas de sol por ano. Essa

pesquisa pode ser estendida a nível mundial, verificando ainda, quais países já

fazem ou pretendem fazer uso desta tecnologia.

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4 CONTEXTUALIZAÇÃO: PARÁBOLAS NO COTIDIANO

As parábolas fazem parte do cotidiano das pessoas, ainda que estas muitas

vezes não percebam. As antenas parabólicas, por exemplo, que são objetos muito

comuns nas residências, utilizam uma superfície denominada parabolóide, que se

origina ao girar a parábola em torno do seu eixo de simetria. Este parabolóide serve

para refletir as ondas eletromagnéticas emitidas por satélites, para o foco da

parábola, onde se encontra o aparelho receptor que as converterá em um sinal que

a TV transformará em ondas, que representam os programas que as pessoas

assistem. Informações disponíveis no site

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/eq2g/quadratica.htm.

É possível observar também a aplicação da propriedade das parábolas nos

faróis dos carros, nos holofotes, fornos solares, em lanternas e muitos outros

objetos.

Não se pode deixar de citar, as pontes pênseis que apresentam formatos de

parábolas, que juntamente com as pontes estaiadas, segundo a engenharia,

possibilitam os maiores vãos. Nelas o tabuleiro contínuo é sustentado por vários

cabos metálicos atirantados ligados a dois cabos maiores que, por sua vez, ligam-se

às torres de sustentação. Os cabos comprimem as torres de sustentação, que

transferem os esforços de compressão para as fundações. Estas informações foram

extraídas da tese de mestrado apresentada à UFRJ: “Programa para análise de

superestruturas de pontes de concreto armado e protendido” (MATOS, 2001: p. 35).

A ponte pênsil Akashi Kaikyo, que é atualmente a maior ponte suspensa do

mundo, com 3922 m de comprimento e o recorde de 1991 m de vão central, foi

construída em 1998 e liga as cidades de Kobe e Awaji Island no Japão. Para

maiores informações sobre esta ponte e para apreciar sua foto, acessar o site http://

www.depedraecal.blogspot.com/.

Como foi possível observar, não tem como ignorar a presença das parábolas

no dia-a-dia, portanto, é necessário que se dê o seu devido valor, mostrando suas

aplicações quando forem abordadas durante as aulas de matemática.

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5 SÍTIOS

Esta seção apresenta alguns sites que podem ser consultados pelo professor

para enriquecer suas aulas ao abordar as parábolas.

5.1 SOFTWARE GEOGEBRA

Disponível em: http://www.geogebra.org

Acessado em: Dezembro/2007

Comentários

O Geogebra é um software de matemática, no qual se pode trabalhar a

geometria dinâmica, a álgebra e o cálculo. Este software oferece a oportunidade de

visualizar a relação da representação algébrica com a geométrica de um objeto em

estudo. É um software gratuito e por esse motivo pode ser instalado nos

computadores da escola. Relacionado ao objeto de estudo em questão, é possível

mostrar dinamicamente a formação da parábola pela sua definição e a relação que

há entre os coeficientes da função quadrática e sua representação gráfica.

5.2 AS CÔNICAS E SUAS APLICAÇÕES

Disponível em: http://www.sato.prof.ufu.br/Conicas/Curso_ConicasAplicacoes.pdf

Acessado em: Dezembro/2007

Comentários

Este trabalho de Jucelino Sato, aborda as secções cônicas, deduzindo suas

propriedades focais, trabalhando a Geometria Euclidiana. Dá-se, posteriormente, um

enfoque analítico às secções cônicas. Apresenta algumas aplicações das

propriedades de reflexão em curvas. Explora também a construção das cônicas,

utilizando métodos que podem ser desenvolvidos com os alunos, inclusive um

método que utiliza um software de geometria dinâmica.

5.3 MATEMÁTICA ESSENCIAL: FUNDAMENTAL

Disponível em: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/eq2g/quadratica.htm

Acessado em: Dezembro/2007

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Comentários

Esta página além de apresentar os conteúdos de matemática de forma fácil

de entender, traz suas aplicações. Baseado neste site, é possível trabalhar várias

aplicações da parábola durante as aulas de matemática, mostrando sua relação com

a Física, dando a oportunidade de fazer a interdisciplinaridade. Pode-se utilizar estes

exemplos para contextualizar o conteúdo trabalhado, despertando maior interesse

por parte dos alunos.

5.4 PONTE AKASHI-KAIKYO

Disponível em: http://www.lmc.ep.usp.br/people/hlinde/Estruturas/akashi.htm

Acessado em: Fevereiro/2008

Comentários

Este site traz um documentário sobre a ponte pênsil Akashi-Kaikyo, no Japão,

mostrando a sua localização, importância econômica e cultural para aquela região.

Apresenta também o desafio que foi para a Engenharia, não só pela sua

grandiosidade, mas pelas condições naturais do estreito, tendo que garantir a pesca

e o tráfego marítimo no local. Este documentário é muito interessante porque relata

a construção detalhadamente desta ponte e apresenta suas fotos, onde se pode

observar a parábola em sua estrutura.

6. SONS E VÍDEOS

Categoria: Áudio-CD/MP3

Título da Música: Parabólica

Intérprete: Zeca Pagodinho

Disponível em: http://www.letras.terra.com.br/zeca-pagodinho/

Comentários

Esta música mostra como a comunidade valoriza a antena parabólica. A base

do funcionamento deste objeto faz uso de uma das propriedades da parábola, pois,

a superfície parabólica converge ao foco desta antena os sinais captados dos

satélites que ficam no espaço, e estes são enviados a um codificador conectado a

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antena através de um circuito elétrico, para controlar as freqüências que serão

utilizadas nos programas exibidos pela TV.

Hoje em dia, raramente se encontra uma residência que não possui antena

parabólica, pois, sabe-se que para muitas pessoas, os programas de TV ainda são

as melhores opções de lazer.

Uma boa sugestão, seria que os alunos que tem facilidade para cantar,

ensaiassem esta música para apresentar à sala, enriquecendo o conteúdo, com uma

prática cultural. A letra desta música pode ser encontrada na íntegra no site

http://www.letras.terra.com.br/zeca-pagodinho/ e uma demonstração de sua

execução no site

http://megastore.uol.com.br/acervo/samba/z/zeca_pagodinho/hoje_e_dia_de_festa/le

af_179663.html

A seguir será apresentada parte da letra da música Parabólica, extraída do

site http://www.letras.terra.com.br/zeca-pagodinho/.

O meu barracoHoje está valorizadoSó por causa de uma antena que eu instalei no telhadoMas a parabólicaFoi trazida por um temporalEu achei no mato e botei no barraco na cara-de-pau (2x) (...)

7. PROPOSTA DE ATIVIDADES

7.1 CONSTRUÇÃO DE UM REFLETOR DE RAIOS LUMINOSOS

Princípio aplicado na construção e no funcionamento das antenas

Parabólicas.

7.1.1 Introdução

Quando uma antena parabólica é observada de longe, nem sempre é possível

notar como se aplica a propriedade da parábola em seu funcionamento. Para facilitar

esse entendimento por parte dos alunos, deve-se propor uma atividade prática, na

qual eles poderão comprovar de perto essa propriedade.

Segue uma sugestão de atividade.

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7.1.2 Refletor de raios luminosos

Construção de um refletor de raios luminosos, com o formato de um cilindro

parabólico, onde os raios incidirão paralelamente ao eixo de simetria da curva básica

que é a parábola, comprovando a propriedade da parábola aplicada às antenas

parabólicas.

7.1.3 Objetivos

Tratar de um assunto que é abordado de forma superficial no âmbito dos Ensinos

Fundamental e Médio;

Mostrar como se origina uma Parábola;

Relacionar o conteúdo matemático com o conteúdo de Física, quando se

trabalha com a incidência de raios luminosos;

Comprovar que os raios paralelos ao eixo de simetria de uma Parábola,

convergem a um único ponto, que é o Foco da antena parabólica;

Verificar a importância da Parábola no avanço tecnológico e no desenvolvimento

das Ciências;

Mostrar que a Matemática possui aplicações práticas importantes na vida das

pessoas e que tais relações são ignoradas por um número significativo de

docentes;

Mostrar que a Matemática desenvolvida neste tópico pode ser trabalhada até

mesmo por alunos que apresentam dificuldades matemáticas;

Mostrar que se pode lecionar matemática proporcionando prazer aos alunos;

Realizar trabalhos em equipes, compartilhando experiências e habilidades.

7.1.4 Materiais necessários

um suporte de papelão grosso 30x30 (cm);

uma folha de papel laminado;

uma cartolina;

um palito roliço de madeira;

cola;

fita adesiva transparente;

uma folha sulfite;

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uma régua de 30 cm;

um lápis.

um pedaço de folha de alumínio;

uma lanterna com feixes de luz ou um ambiente com iluminação solar;

7.1.5 Desenvolvimento metodológico

Para desenvolver esta atividade, os alunos deverão formar grupos de cinco

integrantes, no máximo. O professor deverá passar as instruções, tais como: o

desenvolvimento do trabalho, a sua construção passo a passo, materiais utilizados e

salientar a necessidade da divisão de tarefas dentro de cada grupo, para que todos

participem. O procedimento a seguir, mostra como deve ser construído este refletor.

Construir o molde de uma parábola na folha sulfite (sugestão: Método da

dobradura. Ver subseção 7.1.7);

Recortar o molde da parábola e utilizá-lo para desenhar a mesma na cartolina,

que deverá estar colada no suporte de papelão (não esquecer de marcar o foco

da parábola);

Recortar a folha laminada e dobrar ao meio para que fique uma superfície mais

firme, deixando 1,5 cm de borda picotada para dobrar e fixá-la, usando a fita

adesiva transparente, sobre o contorno da parábola; (Observação: A folha

poderá ficar com 10 cm de altura, quando for dobrada ao meio e a largura deverá

ter o mesmo comprimento da parábola, para contorná-la);

Encapar o palito com o pedaço de folha de alumínio e colá-lo no foco da

parábola;

Utilizar uma lanterna ou a luz solar, de forma que os raios de luz incidam sobre a

superfície parabólica da folha laminada, paralelamente ao eixo de simetria da

parábola;

Para ter certeza de que os raios de luz sairão paralelos ao eixo de simetria da

parábola, deve-se traçar linhas paralelas ao mesmo e a lanterna deve ser

colocada sobre estas linhas.

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As imagens do refletor podem ser encontradas em “Trabalhos da Professora

Mirtes, Atividade 1”, disponível em: http://www.mat.uel.br/matessencial/superior/pde/

pde.htm.

Após seguir todos os procedimentos anteriores, os alunos deverão verificar a

propriedade da parábola, comprovando que apenas os raios de luz que chegam à

superfície parabólica, paralelos ao eixo de simetria da parábola é que se convergem

ao foco.

Se alguma parábola não ficar de acordo com o molde, os alunos deverão

observar que os raios de luz não irão convergir ao foco, como se esperava,

provando que esta é uma propriedade particular das parábolas.

O professor pode sugerir para alguns grupos que colem o palito, fora do foco

da parábola, para observar o que acontecerá com os raios que incidem sobre a

superfície parabólica.

7.1.6 Avaliação

Os integrantes dos grupos serão avaliados de acordo com as suas

participações durante a construção do refletor e a apresentação do mesmo aos

demais colegas de sala, sendo observado pelo professor o grau de assimilação do

conteúdo durante a explanação.

7.1.7 Construção da Parábola pelo método da dobradura

Esta atividade “Construção da parábola pelo do método da dobradura” foi

encontrada no site

http://www.sato.prof.ufu.br/Conicas/Curso_ConicasAplicacoes.pdf, porém foram

realizadas algumas adaptações ao ser apresentada nesta proposta, a fim de facilitar

a compreensão e o trabalho dos docentes que pretendem utilizá-la.

Utilizar uma folha de papel-manteiga, para realizar os seguintes

procedimentos:

1. Traçar uma reta diretriz d.

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2. Marcar um ponto F fora dessa reta, que será o foco da parábola;

3. Tomar um ponto A da reta d;

4. Traçar uma reta perpendicular r, à reta diretriz passando pelo ponto A;

5. Dobrar a folha fazendo sobrepor o ponto A ao ponto F (foco);

6. Traçar uma reta t coincidindo com a dobra feita;

7. Marcar o ponto de intersecção de t com r;

8. Repetir o processo, tomando outros pontos sobre a reta d;

9. Ligar os pontos de intersecção das dobras com as perpendiculares que passam

pelos pontos considerados sobre a reta d.

7.2 USO DO SOFTWARE GRATUITO GEOGEBRA NA CONSTRUÇÃO DE

PARÁBOLAS

Construção de parábolas, pela sua definição e através de funções

quadráticas, utilizando o software GeoGebra.

7.2.1 Introdução

O Geogebra é um software de matemática dinâmica, onde é possível

trabalhar a geometria, a álgebra e o cálculo. Através deste software é possível

visualizar a relação da representação algébrica com a geométrica de um objeto em

estudo. É um software gratuito, e por esse motivo pode ser instalado nos

computadores das escolas públicas.

A idéia central da primeira parte desta atividade, foi extraída da página, http://

www.sato.prof.ufu.br/Conicas/Curso_ConicasAplicacoes.pdf, porém, foram

realizadas algumas adaptações para utilizar o software gratuito Geogebra.

7.2.2 Objetivos

Explorar os softwares gratuitos no estudo dos conteúdos matemáticos;

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Apresentar o software GeoGebra aos professores de matemática para

enriquecerem suas aulas;

Incentivar os docentes que não têm o hábito de utilizar o computador como

ferramenta de trabalho a usar este software que pode auxiliá-lo muito em suas

aulas;

Demonstrar algumas utilidades do software GeoGebra na Matemática;

Mostrar que temos softwares gratuitos, de fácil acesso, direcionados ao estudo

da Matemática;

Mostrar através da dinâmica, dentro do software GeoGebra, a formação da

parábola, pela sua definição;

Construir parábolas através das funções quadráticas, mostrando dinamicamente

a relação de seus coeficientes e suas representações gráficas;

Mostrar aos alunos que se pode relacionar a informática com a Matemática;

Proporcionar uma aula agradável aos alunos, utilizando uma das coisas que eles

mais se interessam atualmente, ou seja, o computador;

Despertar a criatividade dos alunos, ao verificar o que se pode fazer utilizando

um software, trabalhando com conteúdos matemáticos;

Promover uma interação entre os alunos, utilizando a troca de informações entre

si, no âmbito da informática.

7.2.3 Fundamentação Teórica

Hoje em dia os professores têm uma aliada que pode auxiliá-los durante as

aulas de matemática, a informática. Além de ser um objeto que desperta grande

interesse na maioria dos alunos, é possível programar aulas utilizando softwares

voltados para a Matemática, já que as escolas estão ficando cada vez mais

equipadas para este fim.

Nota-se que a preocupação da maioria dos docentes de matemática é tornar

visíveis aos alunos, certos fatos dentro do conteúdo trabalhado e utilizando alguns

softwares isto se torna mais fácil.

É necessário levar em conta que atualmente, onde quer que se vá, há o uso

de computadores, portanto, alunos e professores têm que se conscientizar disto, já

que muitos docentes ainda têm certo receio em falar em informática, quanto mais

em inserir em suas aulas.

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Esta proposta de atividade procura levar ao conhecimento dos professores a

grande utilidade que este software GeoGebra pode ter em suas aulas, pois, com ele

é possível trabalhar geometria, álgebra e cálculos, abrindo um leque de opções,

sendo possível tornar as aulas de matemática mais interessantes e agradáveis aos

alunos.

7.2.4 Materiais necessários

Computadores que tenham o software GeoGebra instalado ou que se possa

baixar da internet.

O software se encontra no site: www.geogebra.org.

Os procedimentos de download e de instalação do GeoGebra se encontram

em “Atividade 3, Trabalhos da Professora Mirtes”, disponível em:

http://www.mat.uel.br/matessencial/superior/pde/pde.htm.

7.2.5 Encaminhamento Metodológico

Esta atividade pode ser desenvolvida no Ensino Fundamental e no Ensino

Médio, após serem trabalhadas, a definição de parábola e a função quadrática.

Esta atividade deve ser realizada no laboratório de informática da escola. Em

cada computador deverá ficar apenas dois alunos, para que o trabalho se torne mais

fácil, tendo a participação de todos. O professor deverá conversar com os alunos,

passando as informações gerais sobre a atividade, explicando que, para que os

objetivos sejam atingidos será necessário que todos caminhem juntos, ou seja,

realizem a atividade “passo a passo”, para que concluam juntos. O aluno que tiver

mais conhecimento em informática deverá auxiliar o colega para que todos

entendam os comandos do programa.

7.2.6 Realizando a atividade proposta

O procedimento desta atividade se encontra em “Atividade 3, Trabalhos da

Professora Mirtes”, disponível em

http://www.mat.uel.br/matessencial/superior/pde/pde.htm.

18

7.2.7 Avaliação

Os alunos deverão ser avaliados durante o seu desempenho, interesse e sua

participação na realização da atividade. O professor deverá questioná-los a respeito

do conteúdo trabalhado e o que estão observando na tela do computador, bem

como, a relação dos coeficientes a, b e c da função f(x) = ax2+bx+c e sua

representação no plano cartesiano.

7.3 CONFECÇÃO DE UM CONE COM SUAS SECÇÕES

Construir um cone de uma folha, analisando suas secções de acordo com o

ângulo formado com uma de suas geratrizes, dando ênfase à figura que se forma

quando o plano que o secciona é paralelo à geratriz considerada, ou seja, a

Parábola.

7.3.1 Objetivos

Trabalhar um conteúdo que está pouco reconhecido no Ensino Médio;

Reconhecer a figura que se forma quando o plano que secciona um cone for

paralelo a uma de suas geratrizes;

Analisar os argumentos que comprovam a formação da parábola;

Reconhecer as figuras que se formam quando o plano que secciona o cone não

for paralelo à geratriz considerada;

Tomar conhecimento da demonstração que prova que a figura que se forma da

secção da superfície de um cone com um plano paralelo a uma de suas

geratrizes é uma parábola, podendo assim, se aprofundar mais neste assunto;

Despertar o aluno para a importância das secções cônicas em outras áreas do

conhecimento, destacando as pesquisas realizadas nas áreas de Física,

Engenharia, Astronomia e outras;

Facilitar o entendimento do conteúdo, utilizando materiais concretos;

Desenvolver a habilidade do aluno em trabalhar com recortes e colagens,

quando se necessita de grande precisão;

Trabalhar em grupo, a fim de compreender a necessidade de participar e aceitar

opiniões dos colegas;

19

Mostrar que se pode estudar matemática com aulas práticas, despertando maior

interesse dos alunos.

7.3.2 Fundamentação Teórica

Ao introduzir a função quadrática no Ensino Médio, normalmente trabalha-se

a sua representação gráfica, que resulta em uma parábola, mas não há um

aprofundamento neste assunto. Em seguida se dá continuidade em uma sequência

de funções e a parábola já fica esquecida, ou lembrada apenas como uma simples

representação gráfica da função quadrática.

Com esta atividade procura-se, além da visualização das secções cônicas,

provar que quando o plano é paralelo à uma das geratrizes do cone, a interseção

entre eles, resulta em uma parábola.

As demonstrações e as fórmulas que envolvem as parábolas, podem ser

consultados pelo professor no trabalho “Parábolas: As curvas preciosas”, disponível

em: http://www.mat.uel.br/matessencial/superior/pde/mirtes-parabolas-curvas-

preciosas.pdf.

Há de se lembrar que, o professor não deve levar em conta a quantidade

reduzida de aulas de matemática e deixar de apresentar este conteúdo aos alunos,

pois, deve-se aproveitar o tempo e fazer o possível para trabalhar esta noção de

curvas cônicas que têm papel importante no desenvolvimento das Ciências.

Levando em conta a atividade proposta, acredita-se por ser desenvolvida de

uma forma prática, os alunos terão mais facilidade para compreender o conteúdo

proposto.

7.3.3 Materiais necessários

2 cartolinas de cores diferentes;

Ímã de geladeira;

Cola;

Tesoura.

20

7.3.4 Encaminhamento Metodológico

Primeiramente o professor deverá fazer uma revisão das curvas cônicas que

se classificam como: circunferência, elipse, parábola ou hipérbole para que facilite o

desenvolvimento desta atividade.

Em seguida, deve-se separar os alunos de uma sala de aula em grupos com

quatro integrantes cada; passar as instruções sobre o trabalho e pedir que

cada grupo traga na próxima aula, os materiais necessários para a atividade. Na

aula seguinte o professor deve distribuir para cada grupo uma cópia dos moldes que

estão nas páginas 3, 4, 5 e 6 da atividade “Construção de um cone e suas secções”,

que se encontram em “Atividade 2, Trabalhos da Professora Mirtes”, disponível em

http://www.mat.uel.br/matessencial/superior/pde/pde.htm, para que iniciem o seu

trabalho. É bom que os alunos vejam as fotos do cone, que estão nas páginas 6 e 7

da mesma Atividade que contém os moldes, pois, assim já terão noção de como o

seu trabalho deverá ficar. Caso nenhum grupo faça a observação sobre a posição

dos ímãs, o professor deve intervir no momento da montagem das peças, pois estes,

deverão ser cortados em pedaços pequenos e colados na parte interna

correspondente à cor vermelha das fotos e devem ficar em posição tal que, quando

colocadas as partes frente a frente, os pedaços de ímãs se encontrem, para que

haja a atração magnética.

Neste momento, é importante que o professor faça a demonstração do

teorema “A secção do cone com o plano paralelo a uma de suas geratrizes é uma

parábola”. Tal demonstração se encontra no trabalho “Parábolas: As curvas

preciosas”, p. 02, disponível em:

http://www.mat.uel.br/matessencial/superior/pde/mirtes-parabolas-curvas-

preciosas.pdf.

7.3.5 Avaliação

Após o término da construção do cone com as suas secções, cada grupo

deverá apresentar o seu trabalho aos demais, explicando a relação que há entre

cada secção e a geratriz considerada. Cada aluno deverá ser avaliado de acordo

21

com o seu desempenho dentro do grupo, durante a confecção do cone e na

apresentação do conteúdo trabalhado.

O professor de Matemática, juntamente com o de Física, poderá propor uma

pesquisa aos grupos sobre as aplicações das cônicas, assim, os alunos poderão

comprovar a importância deste conteúdo, e ainda serem avaliados de acordo com o

aprofundamento teórico de cada trabalho apresentado.

8 IMAGENS

(Imagens extraídas do Domínio Público. Disponível em: www.diaadiaeducacao.gov)

Comentários

Nestas imagens é possível observar o parabolóide, que é a superfície da

antena parabólica, que se origina pela rotação da parábola em torno de seu eixo de

simetria. Como se sabe, a antena parabólica é um objeto que já fez parte de

muitas experiências científicas e ainda tem grande valor em novas experiências que

futuramente favorecerão a humanidade.

9 SUGESTÃO DE LEITURA

A seguir serão apresentadas algumas sugestões de leitura para auxiliar o

docente no aprofundamento dos conteúdos que abordam as parábolas.

9.1 PROJETO, CONSTRUÇÃO E LEVANTAMENTO DE DESEMPENHO DE UM

CONCENTRADOR SOLAR CILÍNDRO PARABÓLICO COM MECANISMO

AUTOMÁTICO DE RASTREAMENTO

Comentários

Neste trabalho, que está disponível em

http://bdtd.bczm.ufrn.br/tedesimplificado//tde_busca/arquivo.php?codArquivo=1709,

22

Souza Filho (2009) mostra os processos de fabricação e montagem de um

Concentrador solar do tipo cilindro-parabólico para aquecer e vaporizar água para

aplicações residenciais, comerciais e industriais. Apresenta também, a importância

da propriedade da parábola em sua superfície para obter melhor resultado. Este

modelo de concentrador tem mobilidade para rastrear automaticamente o

movimento do sol, podendo assim, ter maior aproveitamento da energia solar. A sua

construção e montagem é considerada fácil dentro da Engenharia Mecânica e

possui custo reduzido.

Recomenda-se a leitura deste trabalho, por possuir partes que podem ser

utilizadas durante as aulas de matemática, pois, traz várias fotos do processo de

montagem deste Concentrador e de Concentradores semelhantes a este em outros

países. Através destas imagens é possível mostrar aos alunos a aplicação e a

importância das superfícies parabólicas. Apresenta também a viabilidade

econômica, fazendo comparações com as fontes de energias geralmente utilizadas.

Este trabalho mostra ainda, o aproveitamento da energia solar neste processo em

horários diferenciados em tabelas e gráficos, valorizando ainda mais este conteúdo.

9.2 A RAINHA DAS CIÊNCIAS: UM PASSEIO HISTÓRICO PELO MARAVILHOSO

MUNDO DA MATEMÁTICA

Comentários

Capítulo X: Apolônio, de Perga

Durante este capítulo, Garbi (2006) apresenta um resumo de parte da vida de

Apolônio, conhecido na época, como O Grande Geômetra. Foi o primeiro a

empregar os termos elipse, hipérbole e parábola e a gerá-las a partir de secções

planas de um cone com duas folhas. Mas, o caminho que seguiu, embora fosse de

grande precisão, era muito trabalhoso. Esta obra traz uma forma mais simples de

provar que as três curvas podem ser obtidas seccionando-se um cone de duas

folhas por um plano de inclinação variável em relação a seu eixo, encontrada por

Germinal Dandelin. Vale a pena ser lida e analisada, pois, com certeza o docente irá

crescer profissionalmente, já que as demonstrações apresentadas neste capítulo,

23

servem para aprofundamento no assunto das cônicas, porque, além da secção que

gera a parábola, apresenta também as secções que geram a elipse e a hipérbole.

9.3 PORQUE AS ANTENAS SÃO PARABÓLICAS

Comentários

Neste artigo, Eduardo (1997) apresenta a definição de parábola e obtém a

sua equação. Investiga também algumas de suas propriedades, que vem justificar a

necessidade das antenas e os espelhos serem parabólicos. Comenta a relação que

há entre esta propriedade da parábola e a convergência ao foco, dos raios que

incidem sobre a superfície parabólica, relacionada à lei de Física: “o ângulo de

incidência é igual ao ângulo de reflexão”.

10 NOTÍCIAS: TECNOLOGIA AJUDA MÉDICOS A SALVAR VIDAS NA FLORESTA

Uma equipe médica voluntária salva vidas na floresta amazônica com auxílio da tecnologia. Durante 30 dias do ano, uma ONG realiza expedições de profissionais, que ajudam os moradores de comunidades ribeirinhas com dificuldade de acesso aos serviços de saúde. No começo de julho, o grupo de profissionais saiu de Porto Velho (RO) e seguiu pelo rio Madeira, parando em cada vilarejo da região. Um dos casos encontrados foi o da menina Telma, filha de Joelma Carvalho de Amorim, de 16 anos. A garota nasceu com o auxílio de uma parteira, com menos de oito meses de gestação. Na visita, os médicos descobriram um problema na cabeça de Telma e precisavam do diagnóstico de um especialista. Com um computador de mão ligado a uma antena parabólica no meio da floresta, a equipe acessa a internet e contata um pediatra em São Paulo, que faz a consulta virtual. A câmera acoplada ao computador ajuda a dar o diagnóstico: o problema não passa de uma batida, e deve melhorar. Ao sair da comunidade, a equipe deixa os computadores e câmeras. Os agentes de saúde da região foram treinados para operar uma consulta entre os ribeirinhos da Amazônia e os médicos em grandes centros, como São Paulo. (Disponível em: http://g1.globo.com/Noticias/Brasil/0,,MUL82951-5598,00.html. Acesso em: 15 nov. 2007)

A notícia “Tecnologia ajuda médicos a salvar vidas na floresta”, mostra o uso

da antena parabólica, em favor da Saúde, pois, a comunidade poderá consultar

médicos, sem ter que se locomover às cidades em que poderiam encontrar socorro,

sendo diagnosticadas à distância, por uma consulta virtual, utilizando a internet.

24

Através desta informação é possível observar e mostrar aos alunos a

importância da utilização das propriedades das parábolas no avanço tecnológico, e

desta vez, salvando vidas.

11 DESTAQUES: PONTE HERCÍLIO LUZ: PONTE DO DESENVOLVIMENTO DE FLORIANÓPOLIS

Quem visita Florianópolis, capital de Santa Catarina, nem imagina a importância que um dos seus principais cartões postais teve para o desenvolvimento da cidade. A Ponte Hercílio Luz, inaugurada em 1926, quase foi batizada de Ponte da Independência, pois foi esse acesso que acabou com o sofrimento de cerca de 40 mil habitantes de Florianópolis que dependiam de balsas para atravessar da ilha ao continente e vice-versa. Apesar de estar desativada há dezesseis anos, a obra ainda é classificada um dos destaques da engenharia do Brasil.Considerada uma das maiores pontes pênseis do mundo e a maior do Brasil, a Hercílio Luz sustenta uma enorme estrutura, que fica a uma altura livre de mais de 30 metros acima do nível do mar. A ponte tem um comprimento total de 831 metros de extensão, com 259 metros de viaduto insular, 339 metros de vão central, 223 metros de viaduto continental e 24 vãos. A estrutura de aço tem peso aproximado de cinco mil toneladas, e os alicerces e pilares consumiram 14 250 metros de concretos durante sua construção. Só no vão central foram utilizadas mais de mil peças, montadas em 45 dias, sem nenhum acidente entre os trabalhadores.Mas o destaque da obra está em suas características técnicas: a cadeia de sustentação faz parte da viga de rigidez. De acordo com o engenheiro civil e especialista em pontes, Raul Ozório de Almeida foi a primeira vez no mundo que se construiu uma obra com essas características.A estrutura da ponte é metálica, com aço comum e aço de alta resistência com tratamento térmico para cabos de suspensão de estrutura pênsil. O bloco de ancoragem do lado continental está apoiado sobre estacas de madeira, e os demais pontos de apoio estão firmados sobre rochas. Além de ser uma ponte em estrutura metálica pênsil, o modelo tem como característica marcante a suspensão formada por correntes de barras de olhal, totalizando 3,5 mil metros cúbicos, na ilha, e 5 mil metros cúbicos no continente.

ProjetoDe acordo com o engenheiro Raul Ozório de Almeida a Hercílio Luz também foi projetada como uma ponte rodoferroviária, mas nunca foi utilizada por trens, nem recebeu trilhos. A idéia do governo na época era trazer até Florianópolis a ferrovia Maria Tereza, que passaria por Itajaí, Blumenau até Lages. Mas isso não se concretizou. A Hercílio Luz foi projetada pelo engenheiro David Steinman que ganhou um concurso internacional promovido pelo governo de Santa Catarina. Steinman era um famoso construtor de pontes nos Estados Unidos. Apesar de ter desenvolvido mais de quatrocentos projetos para diversos países, o engenheiro sempre considerou a Hercílio Luz como a sua principal obra, já que na época, a tecnologia adotada representou uma grande redução de custos. “A Hercílio Luz é hoje considerada um marco na evolução de pontes no Brasil”, afirmou Almeida. (Disponível em: http://www.iep.org.br/media/6/20071105-CONST_CIVIL3.pdf. Acesso em 17 dez. 2007)

25

O texto apresentado, extraído do site http://www.iep.org.br/media/6/20071105-

CONST_CIVIL3.pdf, traz a importância da ponte pênsil Hercílio Luz para a

população de Florianópolis, facilitando o seu transporte no dia-a-dia, e o quanto ela

ainda poderá ser útil, além de ser um ponto turístico. Ao acessar o site que contém

estas informações, é possível observar as imagens desta ponte e também, seu

tabuleiro que é sustentado por vários cabos metálicos presos a outros cabos

maiores, parabólicos, proporcionando uma distribuição uniforme de seu peso.

12 PARANÁ: PONTE PÊNSIL DE CHAVANTES SÃO PAULO/PARANÁ

Quem já assistiu a filmes de guerra sabe como a coisa funciona. As pontes são alvo preferencial em tempos de conflito. Não foi diferente com a Ponte Alves Lima, mais conhecida como Ponte Pênsil de Chavantes, erguida sobre o rio Paranapanema, entre as cidades de Ribeirão Claro, no Paraná, e Chavantes, São Paulo.

Ribeirão Claro é um município localizado na divisa do Estado do Paraná com o Estado de São Paulo, próximo ao município paulista de Chavantes, e a linha divisória entre os dois Estados é representada pelas águas extraordinariamente verdes deste que é considerado o único grande rio paulista ainda desprovido de qualquer poluição significativa, o rio Paranapanema.

A Ponte Alves Lima, foi inaugurada em dezembro de 1920, sofreu o primeiro bombardeio na Revolução de 1924, mobilizada contra a política de sustentação de República Velha. Acabou inteiramente destruída durante os embates da Revolução Constitucionalista de 32. Bem mais tarde, obteve um prêmio de consolação. Por ter sido cenário de tantas batalhas, acabou tombada pelo Patrimônio Histórico, em 1985.

O vão central pênsil, de 82 metros, serviu também de símbolo da excelência da engenharia brasileira já nas primeiras décadas do século XX. A profundidade do leito do rio e a força das águas do Paranapanema indicavam a construção da ponte pênsil como a melhor solução. A má situação do câmbio - já naquele tempo - levou os construtores a abrir mão de uma ponte metálica, já que a matéria-prima necessária deveria ser importada. Optou-se pelo uso de cabreúva, madeira altamente resistente.

O comprimento total da ponte é de 149 metros, 82 deles - a distância do vão central - sustentados por 14 cabos apoiados em duas torres de concreto armado, com 18 metros de altura. A construção da Ponte Pênsil de Chavantes foi incentivada pelos produtores de café do lado paranaense, interessados em um caminho mais curto para suas sacas até a estação Chavantes da Estrada de Ferro Sorocabana e, de lá, até o porto de Santos. Um deles, o fazendeiro Antonio Manoel Alves de Lima, chegou a emprestar o nome para o batismo oficial da obra.(disponível em: http://www.ribeiraoclaro.com.br/a_cidade/p_pontepensil.asp. Acesso em 20 nov. 2007)

Através do texto apresentado, “Ponte Pênsil de Chavantes São

Paulo/Paraná", nota-se que há muito tempo no Estado do Paraná, os construtores

26

utilizaram as propriedades das parábolas para construir esta ponte pênsil, já que

devido às condições do rio, este modelo era o mais viável. É possível também,

através destas informações, mostrar aos alunos a influência da matemática nos

fatos históricos do Paraná.

REFERÊNCIAS

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27

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______. As Cônicas e suas Aplicações. Disponível em: <http://www.sato.prof.ufu.br/Conicas/Curso_ConicasAplicacoes.pdf>. Acesso em: 05 dez. 2007.

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DOMÍNIO PÚBLICO. Imagens. Disponível em: www.diaadiaeducacao.pr.gov.br. Acesso em 12 dez. 2007 .

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JORNAL HOJE. Tecnologia ajuda médicos a salvar vidas na floresta. Disponível em: http://g1.globo.com/Noticias/Brasil/0,,MUL82951-5598,00.html. Acesso em: 15 nov. 2007.

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