NORMAS PARA A CONFECO DOS TRABALHOS DE FINAL DE CURSO

eca004 Sistema de Controle clssico Maio/2015Universidade Federal de ItajubCampus Avanado de Itabiraengenharia de controle e automaoengenharia eltrica

experimento 07 modelagem do motor cc a partir da resposta em frequnciaexperimento 08 compensao por lugar das razes

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Resumo O presente relatrio apresenta um estudo de modelagem de um motor CC e de determinao dos parmetros de um controlador PID, proporcional- integral-derivativo. Para modelar o motor CC foi utilizado uma tcnica a partir da resposta em frequncia, na qual variando a frequncia de entrada pode-se determinar a funo de transferncia da planta do sistema, utilizando-se o Diagrama de Bode. Aps determinado a funo do motor CC calculou-se os parmetros do controlador PID. O clculo do compensador foi realizado a partir do Lugar das Razes, tcnica utilizada para adicionar ou deslocar polos e zeros do sistema.

Palavras-Chave: Diagrama de Bode, Modelagem a partir da Resposta em Frequncia, Compensador pelo Mtodo do Lugar das Razes

I. Introduo terica

I.1 Modelagem a partir da Resposta em Frequncia

Para realizar a modelagem de um sistema a partir da Resposta em Frequncia geralmente aplica-se a planta diversas entradas senoidais com mesma amplitude e frequncias diferentes. Com a finalidade de determinar e descrever a resposta em regime permanente do sistema. Um sistema linear e invariante no tempo que est sujeito a uma entrada senoidal em estado estacionrio ter uma sada tambm senoidal de mesma frequncia que a entrada, mas com amplitude e fase diferente. Podendo caracterizar a resposta do sistema.

I.1.1 Diagrama de Bode

O Diagrama de Bode possui dois grficos, sendo um, o de Magnitude, que representa a amplitude da resposta em frequncia em dB, e outro, o de Fase, que representa a fase do sistema em funo da frequncia. As duas curvas permitem determinar as margens de ganho e fase do sistema, bem como as respectivas frequncias de cruzamento e, com elas, analisar a estabilidade absoluta do sistema em malha fechada e a estabilidade relativa.A Figura 1 mostra as curvas assintticas de magnitude e fase associadas a cada uma das classes de termos bsicos que compe as funes de transferncias.

Fig. 1 Curvas assintticas dos termos bsicos de uma funo de transferncias

I.1.2 Escala Logartmica de Amplitude Os grficos de magnitude nos diagramas de Bode so frequentemente apresentados utilizando no eixo das ordenadas a escala em decibel. O bel definido como logaritmo na base 10 do quociente de dois nveis de potncia. Como na prtica esta unidade era muito grande, definiu-se por convenincia o decibel, 1/10 bel como sendo a unidade padro para expressar o logaritmo da razo entre dois nveis de potncia. Uma vez que elementos dissipativos possuem relao quadrtica entre a amplitude das variveis aplicadas a eles e a potncia por eles dissipadas, a magnitude da resposta em frequncia da funo de transferncia G(j) definida pela razo entre as amplitudes da varivel senoidal de sada Y(j) e de entrada do sistema U(j), i.e.

Eq.[1]

I.2 Sintonia de um controlador PID pelo Mtodo do Lugar das Razes O Projeto do Lugar das Razes um sistema de controle aplicvel em malha fechada. A tcnica controla, pelo menos, algum dos lugares dos polos do sistema. De certa forma, o projeto de controle pelo Lugar das Razes permite prever e modificar a resposta transitria, o que, na maioria das vezes, pode influenciar na resposta em regime permanente. Como o projeto de compensao via Lugar das Razes desloca os polos do sistema em malha fechada, sempre indicado que aps os clculos dos parmetros do controlador verifique se o sistema no perdeu sua estabilidade, j que o mtodo pode deslocar os polos do sistema para o semi plano direito. Para desenvolver o controlador pelo mtodo do Lugar das Razes necessrio que exista um conhecimento prvio da funo de transferncia da planta. Deve-se aplicar uma entrada ao sistema e observar alguns parmetros da resposta, como o erro em regime permanente (), o overshoot (), e o tempo de acomodao ().Os trs compensadores mais utilizados so os de Avano de Fase (ou PD), os de Atraso de Fase (ou PI) e os PID. Tanto o controlador do tipo Avano de Fase, como o controlador do tipo Atraso de Fase adiciona um polo e um zero ao sistema. O controlador do tipo Avano de Fase contribui com um ngulo positivo no critrio de ngulo do sistema. O que permite melhorar a resposta transitria. Isto ocorre porque h um deslocamento do lugar das razes, no plano S, para a esquerda melhorando a estabilidade do sistema. J o controlador do tipo Atraso de Fase contribui com um ngulo negativo no critrio de ngulo do sistema. Ou seja, melhora a resposta estacionria mas tende a levar o sistema a instabilidade, existindo um deslocamento do lugar das razes para a direita. O controlador PID, proporcional-integral-derivativo, utilizado em sistemas que deseja-se melhorar tanto a resposta transitrio como o regime permanente. Adicionando ao sistema dois zeros e um polo, sendo um dos zeros apenas para limitar o ganho em altas frequncias. II. Objetivos

Confeccionar e analisar o diagrama de Bode para a resposta em frequncia de sistema complexo, identificando os parmetros da planta (no caso, o motor CC) para futuras sintonias de um controlador. Alm de sintonizar dois controladores PID, com alguns parmetros j pr-estabelecidos, utilizando o mtodo do Lugar das Razes.

III. Materiais e Mtodos

III.1 Materiais- Motor de corrente contnua, fabricante Labtools;- NI LabVIEW;- MatLab. III.2 MtodosO relatrio contm duas prticas que visam modelar e controlar um motor CC.Com a finalidade de modelar o motor CC fabricante Labtools, acoplado ao mdulo Elvis da National Instruments, foi utilizado a plataforma do programa LabVIEW para simular e coletar os dados de sada do sistema. J para calcular os valores do parmetro do controlador PID utilizou-se o programa MatLab, com a tcnica do compensador pelo Lugar das Razes.

III.2.1 Modelagem do motor CC a partir da resposta em frequnciaPrimeiramente foi montado o diagrama de blocos da Figura 2 no programa LabVIEW. Com este foi possvel aplicar uma onda senoidal com amplitude de 3V e frequncia de 0.001Hz a 1 Hz, de acordo com a Tabela 1 nos Resultados.

Fig. 2 Diagrama de Blocos para aquisio de dados do motor CC no LabVIEW

Foram salvo as amplitudes de entrada e sada do sistema, a fim de obter as magnitudes pela Equao 1, da Introduo Terica.Os valores coletados foram utilizados para plotar o Diagrama de Bode (o grfico de resposta em frequncia do sistema), exposto na Figura 3 nos Resultados.Aps plotar o Diagrama de Bode foi aproximado os pontos encontrados a uma funo de transferncias a partir da definio dos plos, zeros e ganho desta, observando-se a Figura 1 da Introduo Terica. No Matlab, plotou-se o grfico original e o diagrama de bode do sistema aproximado em um mesmo grfico para realizar uma anlise e uma comparao das curvas. Com o mesmo diagrama de blocos (o Figura 2), aplicou-se uma onda quadrada de tenso com amplitude de 3V e frequncia baixa o suficiente para que a velocidade atinja o seu estado estacionrio. Os resultados foram salvos.Com a funo de transferncia do motor CC encontrada, foi realizado o mesmo teste no programa MatLab e assim comparado os resultados reais com a modelagem obtida para termos de validao.

III.2.2 Compensao por lugar das razesA partir do modelo, do motor CC, encontrado e utilizando o mtodo de compensao pelo lugar das razes, foi realizado o clculo dos parmetros de dois controladores PID com as seguintes caractersticas: Controlador 1 a. 10% de sobressinal; b. tempo de assentamento de 80% da constante de tempo do sistema; c. erro de 10% a uma rampa unitria. Controlador 2 a. 30% de sobressinal; b. tempo de assentamento de 110% da constante de tempo do sistema; c. erro de 20% a uma rampa unitria.A definio dos parmetros foi realizada no programa Matlab, o cdigo encontra-se no anexo deste relatrio.

IV. Resultados

IV.1 Modelagem do motor CC a partir da resposta em frequnciaMagnitudes calculadas, pela Equao 1, para cada frequncia aplicada ao sistema encontra-se na Tabela 1.

Tabela 1 Frequncias aplicadas no teste para a modelagemFrequncia[Hz]Amplitude[V]Sada[V]Magnitude [dB]

0,0131,42-6,50

0,0431,38-6,74

0,0531,39-6,68

0,0831,38-6,74

0,1031,37-6,81

0,1531,3-7,26

0,2031,25-7,60

0,2531,16-8,25

0,3031,12-8,56

0,3531,11-8,64

0,4031,05-9,12

0,4530,98-9,72

0,8030,84-11,06

130,70-12,64

230,45-16,48

430,20-23,52

830,12-27,96

1030,10-29,54

Com os dados coletados e calculados anteriormente foi possvel gerar o grfico de resposta em frequncia do sistema, o Diagrama de Bode, na Figura 3.

Fig. 3 Diagrama de Bode do motor CC com os dados experimentais

Analisando o grfico encontrado, Figura 3, a partir dos dados experimentais, Tabela 1, tem-se que a resposta se aproxima de um sistema de 1 ordem com caractersticas de um passa-baixas. Assim, pelos tipos de respostas apresentadas na Tabela 1, da Introduo Terica, tem-se que a Funo de Transferncia (FT) correspondente a essa resposta, aquela que possui um plo com posio fora da origem. Ento, a equao da FT no domnio da frequncia que descreve o comportamento do sistema tem o seguinte formato:

Eq.[2]

w1 3.581, obtidos no cruzamento das duas retas retilneas na Figura 3.Para o clculo do ganho K utilizou-se os dados da frequncia de 0.01:

Eq.[6]

A FT no domnio da frequncia :

Eq.[3]

De forma anloga, substituindo s=jw e w1=3.581 tem-se que a FT no domnio de Laplace:

Eq.[4]

Feito isso, plotou-se o diagrama de Bode da FT no domnio de Laplace para verificar possveis semelhanas e diferenas frente ao obtido com os dados experimentais. O diagrama pode ser visto na Figura 4.

Fig. 4 Diagrama de Bode da FT aproximada G(s)

Fig. 5 Diagrama de Bode do motor CC com os dados experimentais e o modelo encontrado

No grfico da Figura 5 podemos observar o esboo do Diagrama de Bode a curva azul, representada tambm na Figura 3, e o Diagrama de Bode do sistema aproximado, a curva vermelha traada. Mesmo com todos os mtodos de aproximao e do ajuste fino observamos que a curva original (o esboo do Diagrama de Bode) e a curva aproximada (o Diagrama de Bode) ainda no esto totalmente alinhadas. Justificamos este fato pelos valores da coleta de dados de sada, parte emprica do experimento, que em alguns casos ocorreu a aproximao demasiada do valor, influenciando o clculo da magnitude e por consequncia todas as outras etapas do experimento.Aps encontrado o modelo do motor, faz se necessrio validao do mesmo, para certificar de que o modelo realmente representa a realidade, e se caso no, discutir sobre as causas das diferenas entre os modelos.Para a validao do modelo encontrado, foi utilizado o programa do LabVIEW para aplicar uma onda quadrada de tenso com amplitude de 3V e frequncia baixa o suficiente para que a velocidade atingisse o seu estado estacionrio.No MatLab utilizou-se a mesma entrada de onda quadrada na funo de transferncia encontrada. Com os dados simulados e reais, construiu-se um grfico com a entrada de onda quadrada, a resposta real e a modelada, como pode ser visto na Figura 6.

Fig. 6 Comparao da resposta real e da modelada

Como pode ser visto na Figura 6, o modelo encontrado se aproxima muito do real. Como os dados de amplitude registrados foram todos positivos, o modelo se aproximou mais da parte positiva do sinal, pois a planta possui uma dinmica diferente quando se aplica um sinal negativo.Conclui-se por esta anlise que a modelagem por frequncia muito til e resulta em um modelo confivel e preciso.

IV.2 Compensao por lugar das razesA definio dos parmetros foi realizada no programa Matlab, o cdigo encontra-se no anexo deste relatrio. Para que os ganhos dos controladores fossem vlidos, foi necessrio alterar os valores do fator de amortecimento e os de fii dos controladores.. Resultados: Controlador 1 a. 10% de sobressinal; b. tempo de assentamento de 80% da constante de tempo do sistema; c. erro de 10% a uma rampa unitria.

OBS.: Adicionou-se 0.3 no fator de amortecimento e 1.5 em fii.

Controlador 2 a. 30% de sobressinal; b. tempo de assentamento de110% da constante de tempo do sistema; c. erro de 20% a uma rampa unitria.

OBS.: Adicionou-se 0.5 no fator de amortecimento e 2.5 em fii.

V. discusses

V.1 Modelagem do motor CC a partir da resposta em frequncia A anlise do sistema pelo mtodo da resposta em frequncia tem-se a vantagem de poder verificar o comportamento do sistema sem o devido conhecimento prvio da funo de transferncia, que nesse experimento representa o modelo de um motor CC.Pelo diagrama de Bode, obteve-se os grficos de magnitude e de fase com os dados coletados no experimento e a partir da anlise de ambos, obteve-se uma funo de transferncia relativa ao sistema. Aps a realizao do ajuste fino dos dados da funo de transferncia e obteno de seu devido ganho, obteve-se uma tima aproximao quando comparada a resposta dos dados experimentais. Assim, o modelo encontrado se mostrou satisfatrio.

V.2 Compensao por lugar das razes Os valores encontrados para as constantes proporcional e derivativa em ambos os controladores no eram aceitveis para os dados fornecidos, visto que no existe controlador com constantes negativas.Sendo assim, foi necessrio alterar os valores do fator de amortecimento e os de fii dos controladores.

VI. ConclusoAmbos os experimentos, a modelagem do motor CC e o clculo dos parmetros do controlador PID, foram teis para a compreenso da Resposta em Frequncia e do Mtodo do Compensador pelo Lugar da Razes. Ao fim da atividade prtica e da elaborao deste relatrio, podemos classifica-los como satisfatrios, uma vez que cumpriu com todos os objetivos traados para o experimento da modelagem, infelizmente para os clculos dos parmetros dos controladores foi necessrio alterar os valores do fator de amortecimento e os de fii dos controladores.

VII. Anexos

Cdigo para modelar o motor CC, pela Resposta em Frequncia:X = 3;f = [0.01 0.04 0.05 0.08 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.80 1 2 4 8 10];w = 2 * pi * f;Y = [1.42 1.38 1.39 1.38 1.37 1.3 1.25 1.16 1.12 1.11 1.05 0.98 0.84 0.7 0.45 0.2 0.12 0.10];A = Y / X; figure(1)semilogx(w, 20*log10(A));xlabel('rad.s^-1')ylabel('Magnitude[dB]')title('SemilogX') figure(2)semilogx(w, 20*log10(A)); hold on; K = 0.473;w_1 = 3.581;f = 0:0.01:10;w = 2 * pi * f;s = j * w;G = K ./ (1 + s/w_1);semilogx(w, 20*log10(abs(G)),'--r'); hold off;ylabel('20log_10(|G(jw)|)');xlabel('w(rad/s)');title('Diagrama de Bode');legend('Experimental', 'Modelo');xlim([0 100]); figure(3)num = [1.695];den = [1 3.581];bode(num,den)

Cdigo para calcular os parmetros do controlador PID. Controlador 1:%% % Controlador 1% a. 10% de sobressinal; % b. tempo de assentamento de 80% da constante de tempo do sistema; % c. erro de 10% a uma rampa unitria. disp('Controlador 1') N1 = [1.695];D1 = [1 3.581];Gp1 = tf(N1, D1)H1 = 1 Mep1 = 10/100;zeta1 = (sqrt((log(Mep1))^2/((log(Mep1))^2+(pi)^2))) + 0.3 constante_de_tempo = 1/3.581;Ta1 = constante_de_tempo*0.8;omega1 = 4/(zeta1*Ta1) s1 = - zeta1*omega1 + j*omega1*sqrt(1-zeta1^2) figure(4)rlocus(series(Gp1,H1))xlabel('Re(s)')ylabel('Im(s)')title('Lugar das Razes')hold onplot(real(s1),imag(s1),'d')sgrid(zeta1,omega1) GPH=@(s)(1.695)/(s+3.581)K1=-1/GPH(s1) sM = abs(s1)beta = angle(s1)+ 1.5M = abs(GPH(s1))psi = angle(GPH(s1))ess = 0.1;K = 1/essKi = K/(1.695/3.581)Kp = -sin(beta+psi)/(M*sin(beta))-2*Ki*cos(beta)/sMKd = sin(psi)/(sM*M*sin(beta))+Ki/sM^2NC = [Kd Kp Ki];DC = [1 0]GC = tf(NC, DC)

Controlador 2:

%% % Controlador 2% a. 30% de sobressinal;% b. tempo de assentamento de 110% da constante de tempo do sistema;% c. erro de 20% a uma rampa unitria. disp('Controlador2') N1 = [1.695];D1 = [1 3.581];Gp1 = tf(N1, D1)H1 = 1 Mep1 = 30/100;zeta1 = (sqrt((log(Mep1))^2/((log(Mep1))^2+(pi)^2))+0.5 constante_de_tempo = 1/3.581;Ta1 = constante_de_tempo*1.1;omega1 = 4/(zeta1*Ta1) s1 = - zeta1*omega1 + j*omega1*sqrt(1-zeta1^2) figure(5)rlocus(series(Gp1,H1))xlabel('Re(s)')ylabel('Im(s)')title('Lugar das Razes')hold onplot(real(s1),imag(s1),'d')sgrid(zeta1,omega1) GPH=@(s)(1.695)/(s+3.581)K1=-1/GPH(s1) sM = abs(s1)beta = angle(s1)+2.5M = abs(GPH(s1))psi = angle(GPH(s1))ess = -0.2;K = 1/essKi = K/(1.695/3.581)Kp = -sin(beta+psi)/(M*sin(beta))-2*Ki*cos(beta)/sMKd = sin(psi)/(sM*M*sin(beta))+Ki/sM^2NC = [Kd Kp Ki];DC = [1 0]GC = tf(NC, DC))VIII. Referncias Bibliogrficas

[1] Ogata, Katsuhiko; Problemas de Ingenieria de Control utilizando Matlab, 1edio, Prentice Hall, 2000.[2] Phillips, Charles L. e Harbor, Royce D.; Sistemas de Controle e Realimentao, MAKRON Books, 1 Edio. 1996.[3] Maya, Paulo e Leornardi, Fabrizio; Controle Essencial, 1edio, Pearson [4] Ogata, Katsuhiko; Engenharia de Controle Moderno, 5edio, Pearson Education do Brasil, 2010.[5] Nise, Norman S.; Engenharia de Sistemas de Controle, LTC, 6 Edio. 2013.