RELATIVIDA

DE GALILEANA

Trabalho realizado por:

- Bruno Morgado - Inês Chaves - Vanessa Alves - Vasco Silva

Índice

Introdução......................................................................................................3

Referência Histórica e Alguns Factos Importantes.........................................4

Os Diferentes Referenciais.............................................................................4

Exemplo 1......................................................................................................5

Princípio da Relatividade de Galileu...............................................................6

Então porque é que a Terra não é considerada um referencial acelerado?. . .6

Transformação de Galileu (Exemplo 2)..........................................................6

Invariância e relatividade de uma grandeza física.......................................10

Exercícios.....................................................................................................11

Conclusão.....................................................................................................13

Bibliografia...................................................................................................14

Introdução

O nosso tema é a Relatividade Galileana.

Começamos por uma breve introdução histórica de forma a evidenciarmos a utilidade desta teoria e como se relacionava com a Teoria da Relatividade Restrita.

Iniciamos então a nossa explicação ao distinguirmos os referenciais inerciais dos referenciais acelerados, demos um exemplo, e seguimos com a enunciação do Principio da Relatividade Galileana; como já nos encontrávamos somente em referenciais inerciais, seguimos a aula com a Transformação de Galileu, começamos com um exemplo de dois referenciais inerciais, um em m.r.u. em relação ao outro, desenvolvemos o exemplo de forma a apresentarmos tudo o que era relevante sobre este tópico: as equações paramétricas, a Lei de adição de velocidades, a invariância das acelerações e a conservação portanto das leis da mecânica; logo como estávamos a falar de grandezas que variavam e de outras que se conservavam, acabamos a parte teórica da aula com a distinção entre grandezas invariantes e grandezas relativas entre diferentes referenciais.

Por fim, apresentamos 2 exercícios para os nossos colegas praticarem e tiramos dúvidas.

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Referência Histórica e Alguns Factos Importantes

Em homenagem a Galileu deu-se o nome de Relatividade Galileana à primeira teoria da relatividade, porém verificou-se que era insuficiente para fenómenos com velocidades próximas da velocidade da luz, foi aí que Einstein no século XX desenvolveu a Teoria da Relatividade Restrita, baseada na teoria de Galileu. Mas para a maior parte dos movimentos que iremos estudar e que nos são mais comuns, a Relatividade Galileana e os seus princípios mostram-se bastante úteis!

Os Diferentes Referenciais

Referenciais de Inércia ou Inerciais

É um referencial, sistema de eixos, em que se verifica a Lei da Inércia, 1ª Lei de Newton.

A Lei da Inércia diz que um corpo não altera o seu estado de repouso ou de movimento rectilíneo uniforme se Fr=0.

Referenciais não Inerciais

Um referencial não inercial é um referencial acelerado onde não se verifica a lei da inércia – portanto Fr≠0

As leis de Newton são só validas para referenciais onde a velocidade é constante.

Onde (a=0)

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Exemplo 1

Imaginemos um carro em movimento rectilíneo uniforme.

Temos dois observadores: O Vasco está dentro do carro, o seu referencial é o próprio carro; o Bruno encontra-se fora do carro a observar, o seu referencial é a Terra.

De repente o carro trava, (passa a existir uma aceleração de sentido contrário ao movimento inicial) ambos os observadores verificam que o condutor é projetado para a frente.

Vasco!

Verifica que apesar de atuarem as mesmas forças (Peso e Reação Normal, de resultante 0) que o condutor adquiriu aceleração, a lei da inércia deixou de se verificar.

Para o Vasco justificar o movimento do condutor terá de supor uma força fictícia que empurra o condutor para a frente. Esta força possui aceleração de igual módulo à aceleração imposta ao carro mas de sentido contrário.

Bruno!

Também verifica que continuam a actuar as mesmas forças no condutor, anulando-se; e que este mantém a sua velocidade constante, ou seja, verifica a primeira Lei da Inércia.

O carro travou porque actuou sobre ele uma força, mas a velocidade do condutor manteve-se maior que a do carro, e portanto este é projectado para a frente.

Qual dos dois observadores se encontrava num referencial inercial? O Vasco ou o Bruno?

O Bruno!

O referencial do Bruno estava ligado à Terra, ou seja, encontrava-se em repouso, ele consegue perceber que o carro sofre uma variação de velocidade e que o condutor permanece à mesma velocidade; enquanto o referencial do Vasco era o carro, ou seja, como é o carro que sofre a aceleração o referencial do Vasco é acelerado e ele teve de justificar o movimento do condutor com uma força fictícia.

Princípio da Relatividade de Galileu

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Todos os movimentos são relativos.

Quando falamos de movimentos temos sempre de indicar o referencial.

Cada observador vê o movimento de forma diferente mas os seus pontos de vista são equivalentes, se os referenciais forem inerciais.

O Principio da relatividade de Galileu permite-nos dizer que:

As leis da mecânica são as mesmas em qualquer referencial de inercia.

São leis invariantes.

É também impossível saber se estamos num referencial em repouso ou em movimento rectilíneo uniforme através de experiências mecânicas. Fr=0 quer em repouso quer em movimento rectilíneo uniforme, pois a=0

Então porque é que a Terra não é considerada um referencial acelerado?

Como sabemos a Terra gira à volta do Sol e gira sobre si mesma.

Associado ao movimento de translação e rotação da Terra, existe uma aceleração insignificante para muitos casos que iremos estudar, logo podemos considerar que um referencial ligado à Terra é inercial.

Transformação de Galileu (Exemplo 2)

Imaginemos que o Miguel está dentro da sua carrinha transparente que se move a velocidade constante e que deixa cair uma bola dentro da carrinha.

A Sara está fora da carrinha a observar.

Temos portanto 2 referenciais: o da Sara – referencial ligado à Terra; e o referencial do Miguel também inercial porque se move com velocidade constante em relação ao referencial da Sara.

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No instante t=0s as origens dos referenciais coincidem. t=t’ , o tempo corre da mesma maneira nos dois referenciais.

Imaginemos agora um vector R que simboliza o vector posição do referencial do Miguel tendo como origem o referencial da Sara.

r = R + r’

(deslocamento da bola em relação ao referencial da Sara = deslocamento do referencial do Miguel + deslocamento da bola em relação ao referencial

do Miguel)

A origem do referencial do Miguel tem em relação ao referencial da Sara movimento rectilíneo uniforme.

R= Vt

Ou seja, como neste caso o movimento é só no eixo dos xx.

x = x’ + Vt

As coordenadas nos eixos perpendiculares mantêm-se. y=y’ e z=z’

r

R

P

r’

V (velocidade)Sara

Miguel

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O início da queda da bola é um acontecimento, e a chegada da bola ao chão é outro acontecimento

Para descrever um acontecimento é necessário indicar o sítio em que acontece (x,y,z) e o instante (t); então o acontecimento caracteriza-se por (x,y,z,t).

Transformação de Galileu:

x = x’ + Vt

y = y’

z = z’

t = t’

Estas equações paramétricas permitem-nos passar de um acontecimento num referencial de inercia, para as coordenadas noutro referencial de inercia.

As leis da mecânica são invariantes pois de acordo com o Principio da Relatividade Galileana, quando lhes aplicamos a Transformação de Galileu as leis da mecânica não mudam de forma.

Para relacionar as velocidades da bola nos dois referenciais vamos derivar a equação apresentada anteriormente

r = R + r’

em ordem t que é equivalente a derivar em ordem a t’, ou seja, obtemos

v = V + v’

(velocidade da bola no referencial da Sara = velocidade a que o referencial do Miguel se desloca em relação ao referencial da Sara que é a velocidade

da carrinha + velocidade da bola no referencial do Miguel)

Chamada Lei de Adição de Velocidades.

Derivando esta Lei obtemos

a = a’

Pois V é uma constante e a sua derivada é 0.

Como a massa da bola é a mesma em todos os referenciais.

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Fr = Fr’

Portanto a Segunda Lei de Newton, Fr= m.a, a força resultante é a mesma seja qual for o referencial de inércia.

A transformação de Galileu conduz ao Princípio da Relatividade Galileana.

O que comprova os pontos de vista equivalentes de dois observadores, e a conservação das leis da mecânica!

As trajetórias em diferentes referenciais são diferentes porque as condições iniciais não são as mesmas.

Para o Miguel a velocidade inicial da bola era 0. Trajetória rectilínea.

vi = 0

Para a Sara a bola possui velocidade no eixo dos xx, que corresponde à velocidade da carrinha. Trajetória parabólica.

vi em xx

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Invariância e relatividade de uma grandeza física

Há grandezas que variam consoante os referenciais, a essas damos o nome de relativas; outras permanecem constantes nos diferentes referenciais – grandezas invariantes.

Uma grandeza é conservada se o seu valor é o mesmo antes ou depois de uma interação no mesmo referencial de inercia, como é o caso da massa de uma partícula.

Em relatividade galileana há invariância:

- Das leis de mecânica;

- De certas grandezas.

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Grandezas invariantes

Grandezas relativas

Massa Posição

Aceleração Velocidade

Força Momento linear

Intervalo de tempo Energia cinética

Comprimento

Exercícios

1) Dois comboios: A e B percorrem linhas paralelas a 70 km/h e 90 km/h respectivamente.Calcule o módulo da velocidade de B em relação a A.

a) Quando se movem no mesmo sentido.

VB/. = VB/A + VA/.

90=VB/A + 70

VB/A = 90 – 70 = 20 km/h

b) Quando se movem em sentidos opostos.

VB/. = VB/A + VA/.

90= VB/A – 70

VB/A = 90 + 70 = 160 km/h

Atenção:Se estivermos dentro de um comboio e passar por nos um comboio A no mesmo sentido, e um comboio B com a mesma velocidade de A mas em sentido oposto. Ficaremos com a impressão que o comboio B viaja com maior velocidade que o comboio A, pois a sua velocidade relativa é maior.

c) Se os módulos das velocidades forem 0,7c e 0,9c respectivamente poderia usar-se a mesma lei de adição de velocidades que usou nas alíneas anteriores?

Não, porque para velocidades próximas à velocidade da luz a lei de adição de velocidades deixa de ser válida.

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2) Um comboio desloca-se em linha recta em m.r.u. à velocidade de 180 km/h. Um passageiro atira a sua mala do compartimento superior a uma altura h de 2,20 m, deixando-a cair em queda livre. Atrito desprezável.

a) Calcule a velocidade a que a mala atinge o chão da carruagem, medido em relação ao comboio e em relação a um observador em repouso na estação.

Comboio – queda de um graveVi= 0 m/sVf= √2gh= 6,6 m/s vf= - 6,6 ey (m/s)

Estação – trajectória parabólica

Velocidade em xx é a velocidade do comboio, e a velocidade em yy é a mesma que para o observador no comboio.

Então vf= 50 ex – 6,6 ey (m/s)

b) Encontre a equação da trajectória da mala em relação ao comboio e em relação a um observador em repouso na estação.

Comboio

y = y0 + vot + (½)at 2

y0= 2,20 v0=0 y= 2,20 -5t 2 (m)

Estação

x= x0 + vot + (½)at 2 pois x0=0 e a=0v0= 50 m/sx= 50t (m)

eem yy é a mesma equação que para o observador no comboio.y= 2,20 -5t 2 (m)

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Conclusão

Ao longo deste trabalho, descobrimos a Teoria da Relatividade Galileana, tivemos de trabalhar verdadeiramente como um grupo para percebermos em que consistia, como funcionava, quando era aplicada, como podíamos ligar os diferentes conceitos e arranjar uma maneira eficaz de apresentar tudo o que tínhamos aprendido.

Consideramos que através das nossas pequenas iniciações dos diferentes tópicos seguidas de exemplos que nos permitiam aprofundar os conceitos, explicar as formulas e como estas se relacionavam umas com as outras e com os princípios desta teoria; com a apresentação de esquemas no quadro sempre que necessário e através dos exercícios de consolidação da matéria; o nosso objectivo de que todos percebessem em que consiste a Relatividade Galileana foi atingido. Existiram dúvidas por parte da turma, mas estas foram detectadas e esclarecidas, o que nos leva a crer que a turma percebeu a nossa explicação e percebeu a matéria.

Em suma, podemos dizer que foi uma aula proveitosa não só para nós, mas para toda a turma.

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Bibliografia

VENTURA, Graça, FIOLHAIS, Manuel, FIOLHAIS, Carlos, PAIXÃO, José António. (2011). 12 F Física. Lisboa: Texto Editores, Lda.

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