relatividade geral frança de aguia… · a teoria da relatividade geral é uma teoria geométrica...
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INSTITUTO DE FÍSICAUNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
Relatividade Geral
Bernardo França de Aguiar
Rio de Janeiro - RJ
Agosto, 2018
Bernardo França de Aguiar
Relatividade Geral
Monografia apresentada ao Curso de Graduação
em Física da Universidade Federal Fluminense
como requisito parcial para obtenção do título
de Bacharel em Física.
Orientador:
Prof. Dr. Marco Moriconi
Rio de Janeiro - RJ
Agosto, 2018
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Ficha catalográfica automática - SDC/BIFGerada com informações fornecidas pelo autor
Bibliotecário responsável: Mario Henrique de Oliveira Castro - CRB7/6155
D278r De aguiar, Bernardo França Relatividade Geral / Bernardo França De aguiar ; MarcoMoriconi, orientador. Niterói, 2018. 90 f. : il.
Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Física)-Universidade Federal Fluminense, Instituto de Física,Niterói, 2018.
1. Relatividade Geral. 2. Produção intelectual.I.Moriconi, Marco, orientador. II. Universidade FederalFluminense. Instituto de Física. III. Título.
CDD -
“Physics is like sex: sure, it may give some practical results, but that’s not why we do it.”
Richard Feynman
Não discuto com o destino, o que pintar eu assino
Paulo Leminski
iii
RESUMO
Nesta monografia é feito um estudo introdutório da teoria da Relatividade Geral,apresentando
efeitos observáveis que a teoria prevê.
Palavras-chave: teoria de campos, relatividade, gravidade
vi
ABSTRACT
In this monograph is made an introductory study of the theory of General Relativity, pre-
senting observable effects that the theory predicts.
Keywords: field theory, relativity, gravity
vii
LISTA DE FIGURAS
1 A linha sólida é o decaimento previsto pela relatividade e os pontos são os dados
coletados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2 Colapso gravitacional nas coordenadas de Eddington–Finkelstein [7], a superfície
da estrela é representada pela linha sólida, note que um observador distante
nunca vê a superfície da estrela cruzar o raio de Schwarzschild. . . . . . . . . . . 70
viii
Sumário
Lista de Figuras viii
Introdução 1
I Relatividade Geral 2
1 Os princípios físicos da Relatividade Geral 3
1.1 Princípio de Mach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Princípio da Equivalência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Princípio da Covariância Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Sobre a geometria do espaço-tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Desvio da geodésica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Limite de campo fraco da equação da geodésica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 Consequências do Princípio da Equivalência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Teoria de gravitação relativística 18
2.1 Equações de campo de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Ação de Einstein-Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 Linearização da Equação de Einstein 29
3.1 As equações necessárias e o calibre de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Aproximação Newtoniana e o desvio da luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
ix
3.3 A equação linearizada no vácuo e calibre transverso de traço nulo . . . . . . . . 37
3.3.1 Interação com partículas teste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.2 No calibre transverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.3 No referencial próprio do detector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4 Emissão de ondas gravitacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5 Aproximação de quadrupolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5.1 Ondas gravitacionais emitidas por massas oscilando . . . . . . . . . . . . 49
3.5.2 Ondas gravitacionais emitidas por um sistema binário . . . . . . . . . . . 51
3.6 A energia da onda gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.7 Como detectar Ondas Gravitacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4 Solução Schwarzschild 59
4.1 Medidas de tempo e distância, interpretações das coordenadas e da métrica. . . 62
4.1.1 Singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1.2 A métrica em coordenadas isotrópicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1.3 Buracos Negros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2 Movimento de partículas com massa e fótons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2.1 Avanço do Periélio em uma Teoria Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2.2 Avanço do Periélio De Mercúrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.3 Deflexão da Luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Referências 82
Introdução
A teoria da relatividade geral é uma teoria geométrica da gravitação criada por Albert
Einstein. Ela consiste em um conjunto de hipóteses que generaliza a relatividade especial e
a lei da gravitação universal de Newton, fornecendo uma descrição da gravidade como uma
propriedade geométrica do espaço-tempo. Em particular, a “curvatura do espaço-tempo” está
diretamente relacionada à energia e ao momento de qualquer matéria e energia presente. Ela
aponta para a existência de buracos negros,para a curvatura da luz em campos gravitacionais
e para a existência de ondas gravitacionais.
1
Parte I
Relatividade Geral
2
1 Os princípios físicos da Relatividade Geral
Poderíamos apenas especificar uma ação para a Relatividade Geral e investigar o resultados
da teoria, porém, é mais vantajoso do ponto de vista físico entender os princípios nos quais a
teoria foi construída.
Podemos resumir os princípios que guiaram a criação da Relatividade Geral em:
• Princípio de Mach
• Princípio da Equivalência
• Princípio da Covariância Geral
1.1 Princípio de Mach
Uma questão fundamental da mecânica newtoniana é como detectar referenciais inerciais.
Uma forma de responder tal questão é através do famoso experimento do balde de Newton.
Postulando a existência de um espaço absoluto imóvel, um referencial inercial é um referencial
que permanece imóvel ou com velocidade constante com respeito a este espaço absoluto, mas, se
o referencial é acelerado com respeito a este espaço, forças inerciais surgem, então o experimento
do balde é concebido com a ideia de detectar este tipo de efeito.
O experimento consiste em colocar um balde de água em movimento rotacional. Uma vez que
o movimento é comunicado para a água, a superfície da água assume um formato côncavo.
Podemos estender para o caso da aceleração linear, em um balde acelerado linearmente a
superfície da água assume um formato inclinado com respeito a horizontal.
Logo se quisermos identificar se estamos em um referencial inercial basta observar a superfície
da água em um balde, se ela não estiver plana então estamos em movimento acelerado com
respeito ao espaço absoluto.
Mach considerava que não existe significado na palavra movimento se este não for relativo
à alguma coisa. Por exemplo, em um universo completamente vazio, um corpo não poderia ser
dito em movimento, uma vez que não existe nada para que o movimento seja relativo. Além
3
disso, para Mach, os efeitos inerciais deveriam ser completamente determinados por toda a
matéria do universo, no nosso universo a matéria esta concentrada nas estrelas fixas, então, as
estrelas fixas determinam as qualidades do referencial.
A diferença entre os dois pontos de vista fica explícito se retornarmos ao experimento do balde.
Newton não nos dá alguma explicação mais profunda para a existência das forças inerciais
responsáveis pelos efeitos observados, porém, Mach diz que os efeitos acontecem pois a água
esta em movimento relativo às estrelas, e como a inercia é determinada pelas estrelas, caso a
água esteja fixa a as estrelas em rotação, o efeito seria o mesmo e portanto a superfície da água
continuaria deformada, no caso newtoniano, nesta mesma configuração, a superfície da água
não estaria deformada. Então, traçando o paralelo com a teoria newtoniana, um referencial
inercial é um referencial em que as estrelas fixas estão estáticas, já na teoria newtoniana um
referencial inercial é um referencial que não está em movimento acelerado relativo ao espaço
absoluto.
Como as propriedades inerciais são determinadas pela distribuição de matéria do universo, a
inercia de um objeto pode variar dependendo da sua posição no universo, se houver uma pre-
ponderância de matéria em uma direção particular então os efeitos inerciais seriam dependentes
da direção. Experimentos realizados por Hughes e Drever mostram um resultado nulo para tal
efeito, logo, ou o principio de Mach está incorreto ou o universo é isotrópico[1], alguns indícios
apontam para a segunda hipótese [2]. Com essas considerações talvez soe como se o princípio
de Mach apenas substitui o espaço absoluto de newton pelas as estrelas fixas.
Resumindo o princípio de Mach[3]:
• A distribuição de matéria do universo determina as propriedades inerciais.
• Um corpo em um universo vazio não deve possuir propriedades inerciais.
1.2 Princípio da Equivalência
Considere um referencial K ′ uniformemente acelerado em relação a um referencial inercial
K com aceleração a. Assumindo que inicialmente os relógios estão sincronizados, que os eixos
das coordenadas coincidem e que há aceleração apenas em um destes eixos coincidentes x. A
4
segunda lei de Newton no referencial inercial, considerando que uma partícula se move neste
eixo x sob a ação de uma força F , é
F = mx, (1)
já no referencial acelerado, a segunda lei de Newton para a mesma partícula é
F = mx+ma = mx+ Finercial. (2)
Retornando à equação newtoniana, temos, a priori, dois conceitos de massa:
• Massa inercial: a massa que leva em conta a resistência ao movimento de uma partícula,
• Massa gravitacional: é a massa à qual o campo gravitacional se acopla.
Um fato empírico importante é que ambas as massas são iguais. Testes feitos por Galileu e
Newton e mais tarde por vários outros comprovaram isso com boa precisão. A teoria newtoniana
seria perfeitamente consistente caso as massas fossem diferentes, mas esse resultado estaria nos
dizendo algo mais profundo, a igualdade entre as massas inerciais e gravitacionais sugerem uma
relação próxima entre gravidade e inércia. Na equação (2) o termo extra representa a força
inercial devido a escolha de um referencial não inercial para a descrição do movimento, note
que a força inercial é proporcional a massa da partícula assim como a força da gravidade. Este
fato empírico sugere que é impossível distinguir entre aceleração e um campo gravitacional,
sugere que podemos tratar a força gravitacional como uma força inercial,
~a = ~g. (3)
Assim como a força inercial em (2) pode ser eliminada se escolhermos um referencial inercial, a
gravidade também pode ser eliminada se descrevermos o movimento do ponto de vista de um
observador em queda livre.
Considere as seguintes situações [4]:
5
• Alguém em uma pequena caixa no espaço, longe de qualquer matéria, portanto livre da
ação de qualquer força. Esta pessoa flutua, ao soltar duas massas, ambas irão permanecer
flutuando junto com ela.
• Agora assuma que tal caixa é acelerada para cima constantemente. Então, é óbvio que a
pessoa será pressionada pelo chão da caixa com uma força constante, e o mesmo verá as
duas massas, que antes flutuavam, caírem no chão.
• Agora considere a mesma caixa, porém agora sendo colocada estacionária em um campo
gravitacional, então novamente, a pessoa será pressionada pelo chão da caixa com uma
força constante, e também verá as massas caindo no chão. Nenhum experimento pode
ser feita dentro da caixa com o intuito de distinguir se os efeitos estão ocorrendo devido
ao um campo gravitacional ou devido a uma aceleração para cima.
6
• Considere que tal caixa é posta em queda livre em um campo gravitacional homogêneo e
constante. A pessoa iria flutuar junto com as duas massas, ela não sente nenhuma força.
Devemos dar ênfase no fato de que as acelerações aqui são constantes e que a caixa é pequena
suficiente, caso contrário as duas massas soltas começarão a se aproximar (forças de maré).
7
Einstein formalizou o resultado desse experimento mental com o seguinte postulado:
• Princípio da equivalência de Einstein: as massas inerciais e gravitacionais são
iguais1 e o resultado de qualquer experimento local não gravitacional em um referencial
em queda livre é independente da velocidade do referencial (invariância de Lorentz) e sua
localização no espaço tempo, localmente (a menos de forças de maré) podemos recuperar
as mesmas leis da relatividade especial.
Este primeiro postulado mais tarde foi estendido para conter não só experimentos não gravi-
tacionais e sim todos os outros (chamado de principio da equivalência forte, com isso, objetos
que auto gravitam poderiam ser incluídos).
1.3 Princípio da Covariância Geral
As situações descritas a cima nos diz que não existe uma forma de distinguir localmente
entre um referencial em queda livre em um campo gravitacional uniforme e um referencial
inercial e distinguir também entre localmente estar acelerado e estar em repouso sob ação de
um campo gravitacional.1A trajetória de uma partícula teste em queda livre em um campo gravitacional independe de sua massa,
partículas testes seguem a mesma trajetória.
8
Se um referencial acelerado pode ser descrito como um referencial em repouso sob a ação de um
campo gravitacional, se as leis da natureza não se alteram na presença de um campo gravita-
cional, então não há motivo para que haja distinção entre referenciais acelerados e referenciais
inerciais no que diz respeito à descrição da natureza, assim Einstein generalizou o princípio da
relatividade especial[8]:
• Princípio da covariância geral: As leis da física são as mesmas para todos os obser-
vadores
A consequência matemática deste segundo postulado é que as leis da física devem ser escritas
em termos de quantidades invariantes por transformações de coordenadas gerais, esses objetos
são os tensores. Resumidamente, equações válidas no espaço de Minkowski agora devem ser
escritas apropriadamente da seguinte forma:
1. Use coordenadas arbitrárias.
2. Substitua a métrica de Minkowski por uma métrica geral:
nµν → gµν (4)
3. Substitua derivadas parciais por derivadas covariantes:
∂µ → ∇µ (5)
4. Em particular, derivadas ao longo de uma curva serão dadas pelo operador:
uµ∇µ, (6)
onde uµ é o vetor tangente à curva.
1.4 Sobre a geometria do espaço-tempo
É interessante perceber que o espaço-tempo nos apresenta indícios de que sua geometria pode
assumir um formato mais complexo do que a geometria euclidiana (ou pseudo-euclidiana).
9
Considere dois observadores, A e B, onde o observador A está em movimento uniforme, enquanto
o observador B está em um sistema de referência acelerado com respeito ao referencial A. Temos
então, matematicamente, para o observador A:
ds2 = gµνdxµdxν = −dct2 + dx2 + dy2 + dz2 (7)
A transformação de coordenadas entre os dois referenciais, que pode ser obtida observando a
linha mundo do referencial B no referencial A e percebendo que tal linha mundo tem carácter
hiperbólico, é dada por:
ct =
(x′ +
c2
2
)sinh(
at′
c), x =
(x′ +
c2
2
)cosh(
at′
c)− c2
a, z′ = z, , y
′= y, (8)
de forma que (9) se transforma em
ds′2 = gµ′ν′dx′µ′dx′ν
′= −
(1 +
ax′
c2
)2
dct′2 + dx′2 + dy′2 + dz′2, (9)
onde a é a aceleração, se ax′/c2 é pequeno, então
ds′2 = −(
1 +2ax′
c2
)dct′2 + dx′2 + dy′2 + dz′2. (10)
Pelo principio da equivalência, localmente, é impossível distinguir entre estar em movimento
uniformemente acelerado e estar em repouso sob a ação de um campo gravitacional, o que
nos leva a concluir que o observador B pode interpretar qualquer diferença em resultados de
experimentos como sendo devido à presença de um campo gravitacional, em vez de ter origem
em qualquer quantidade absoluta do seu estado de movimento. Logo, a métrica (10) também
pode ser interpretada como a métrica de um referencial sob a ação um campo gravitacional
uniforme. Dada uma fonte para o campo, podemos descrever a gravidade como consequência
da geometria do espaço-tempo.
No caso da relatividade especial, ação de uma partícula livre relativística é
10
S =
∫ B
A
√−nαβ
dxα
dτ
dxβ
dτdτ, (11)
onde nαβ é a métrica de Minkowski. A equação de movimento resultante ao minimizar a ação
com respeito a quadrivelocidade é
d2xµ
dτ 2= 0. (12)
Mas em um referencial acelerado, e pelo princípio da equivalência, em um referêncial sob a ação
de um campo gravitacional, esta equação sofre uma pequena mudança, isso se deve ao fato de
que as componentes do tensor gµν não são mais constantes, por exemplo,a componente g00 da
métrica em (11) agora depende da coordenada x’.
Então, promovendo a métrica da ação da partícula livre para uma métrica mais geral
S =
∫ B
A
√−gµν
dxµ
dσ
dxν
dσdσ =
∫ B
A
Ldσ, (13)
e usando a equação de Euler-Lagrange apropriada
d
dσ
∂L
∂(
dxµ
dσ
) − ∂L
∂xµ= 0, (14)
com
− d
dσ
∂L
∂(dxλ
dσ
) =d
dσ
(1
Lgλβ
dxβ
dσ
)
= Ld
dτ
(gλβ
dxβ
dτ
)= L
[gλβ
d2xβ
dτ 2+
1
2
(∂gλα∂xβ
+∂gλβ∂xα
)dxα
dτ
dxβ
dτ
],
e
11
∂L
∂xλ= − 1
2L
∂gαβ∂xλ
dxα
dσ
dxβ
dσ= −L
2
∂gαβ∂xλ
dxα
dτ
dxβ
dτ,
logo
d
dσ
∂L
∂(
dxµ
dσ
) − ∂L
∂xµ= −L
[gλβ
d2xβ
dτ 2+
1
2
(∂gλα∂xβ
+∂gλβ∂xα
)dxα
dτ
dxβ
dτ
]+L
2
∂gαβ∂xλ
dxα
dτ
dxβ
dτ= 0, (15)
simplificando a equação chegamos em
d2xµ
dτ 2+ Γµνλ
dxν
dτ
dxλ
dτ= 0, (16)
onde Γ é o simbolo de Christofell
Γik` =1
2gim(∂gmk∂x`
+∂gm`∂xk
− ∂gk`∂xm
)=
1
2gim(gmk,` + gm`,k − gk`,m). (17)
Podemos ver que o simbolo de Christoffel representa a pseudo força sentida por uma partí-
cula livre no referencial B, e pelo princípio da equivalência, a “força gravitacional"sentida por
uma partícula em um campo gravitacional. A métrica é o tensor candidato a generalizar o
potencial gravitacional.
1.5 Desvio da geodésica
Aceleração e gravidade só são equivalentes localmente. Considere duas partículas caindo de
uma distância grande da superfície da terra, sabemos que ambas irão cair em direção ao centro
de massa da terra, a separação relativa entre as partículas diminuirá. Como já sabemos que
partículas livre se movem por geodésicas, em um espaço plano geodésicas inicialmente paralelas
permanecem paralelas, porém em um espaço curvo, geodésicas inicialmente paralelas podem se
interceptar. Se aceleração e gravidade fossem globalmente equivalentes, não veríamos tal efeito
pois em um referencial acelerado a separação relativa entre as partículas testes é zero.
12
No caso newtoniano, se uma partícula esta em xi e outra em xi+δxi, a equação que governa
a separação relativa das partículas, δxi, em queda livre no campo gravitacional é
d2
dt2δxi = −∂i∂jφ(x)δxj, (18)
onde φ(x) é o potencial gravitacional. Se não existe força gravitacional, o desvio é zero, en-
tão as trajetórias irão se manter paralelas. Conclui-se novamente que a presença do campo
gravitacional deve nos levar à uma geometria não-euclidiana.
Em contrapartida, uma equação equivalente a (19) pode ser obtida da equação (17). Con-
sidere novamente, uma partícula em xµ e outra em xµ + δxµ onde δxµ é a separação relativa
das partículas. A equação da geodésica para a segunda partícula é
d2 (xµ + δxµ)
dτ 2+ Γµνλ (x+ δx)
d (xµ + δxµ)
dτ
d(xλ + δxλ
)dτ
= 0, (19)
que em termos de δxµ é
d2
dτ 2δxµ + 2Γµνλ(x)
dδxλ
dτ
dδxν
dτ+ ∂ρΓ
µνλ(x)δxρ
dδxλ
dτ
dδxν
dτ= 0, (20)
e escrito em termos da derivada covariante é
(Dτ )2δxµ = Rµ
νλρxν xλδxρ, (21)
onde R é o tensor de curvatura de Riemann
R`ijk =
∂
∂xjΓ`ik −
∂
∂xkΓ`ij + Γ`jsΓ
sik − Γ`ksΓ
sij, (22)
que pode ser escrito em termos da métrica. Logo, a presença do campo gravitacional implica em
uma geometria não euclidiana, já que o tensor de curvatura não é nulo, geodésicas inicialmente
paralelas poderão se intersectar. Podemos então resumir a gravidade como a manifestação da
curvatura do espaço tempo [4].
13
1.6 Limite de campo fraco da equação da geodésica
A métrica (12) pode ser obtida de outra forma. Considere uma partícula não relativística se
movendo em um campo gravitacional fraco e estacionário, isso implica que podemos considerar
uma pequena pertubação em torno da métrica de Minkowski [3]
gµν = nµν + hµν , (23)
onde hµν << 1, e que
dxi
dτ<<
dx0
dτ≈ 1. (24)
Nestas condições, a equação da geodésica para é
d2xi
dτ 2+ c2Γi00 = 0, (25)
onde, considerando apenas fatores de primeira ordem em h
Γi00 ≈ −1
2niσ
∂h00
∂xσ. (26)
A parte temporal da equação da geodésica é zero pois o campo é estático, resta apenas
d2x
dτ 2=
1
2∇h00c
2, (27)
e comparando com a equação newtoniana correspondente resulta em
h00 =−2φ
c2, (28)
logo
g00 = −(1 +2φ
c2) (29)
desta forma é possível reduzir a equação da geodésica ao caso newtoniano quando tomamos um
regime não relativístico e de campo fraco.
14
1.7 Consequências do Princípio da Equivalência
A partir desses postulados somados a conhecimentos obtidos da relatividade especial, an-
tes mesmo de formular formalmente a teoria da relatividade geral, já é possível obter alguns
resultados [4].
• Luz é defletida por um campo gravitacional;
Considere um observador em um referencial inercial e outro em um referencial acelerado,
ao enviar um feixe de luz de um ponto a outro, o feixe de se manterá em linha reta para
o observador no referencial inercial, mas para o observador acelerado, ele verá o feixe
de luz defletindo. Pelo princípio da equivalência, este efeito então pode ser interpretado
novamente, mas dessa vez entendendo que o observador acelerado na verdade está sob a
ação de um campo gravitacional, logo, em um campo gravitacional, a luz também deve
defletir.
Tomando a métrica obtida através do limite newtoniano da equação da geodésica como
ponto de partida, sabendo que raios de luz se propagam por geodésicas do tipo luz, então
vale[4]
kν∂νkµ + Γµνλk
νkλ = 0, (30)
onde k é o quadrivetor de onda que satisfaz
< k, k >= 0⇒ ω = c|~k|, (31)
podemos introduzir o vetor unitário ~e que aponta na direção ~k, então ~k = |~k|~e = ω~e/c.
As únicas componentes não nulas do simbolo de Christoffel são
Γ00i ≈
1
c2∂iφ ≈ Γi00, (32)
para µ = 0 a equação (?) se torna(1
c∂t + ~e · ~∇
)ω =
dω
cdt= −ω~e ·
~∇φc2
, (33)
15
que mostra que a frequência do raio de luz varia com o tempo apenas porque o trajeto da
luz é feito em um potencial que varia espacialmente, então se o potencial for constante no
tempo e fraco podemos dizer que a frequência do raio de luz é constante. A parte especial
da equação (?) é(1
c∂t + ~e · ~∇
)~e =
d~e
dz= − 1
c2
[~∇− ~e(~e · ~∇
]φ = − 1
c2~∇⊥φ, (34)
se o raio esta se movendo no eixo z, ignorando o eixo y, podemos ver que ~∇⊥φ =
GMx(x2+z2)3/2
~ex, então, integrando a equação (?), como o desvio em ~e é pequeno, podemos
considerar o do raio de luz se deslocando por uma linha aproximadamente reta que se
estende de −∞ e ∞, integrando
δ~e = −~ex∫ ∞−∞
dzGmx
c2(x2 + z2)3/2= −2GM
c2x~ex (35)
para um raio de luz passando próximo à superfície do sol,
|δ~e| = 0.87”. (36)
• Desvio para o vermelho gravitacional .
Imagine um foguete com altura h, que do repouso acelera com aceleração constante g.
Em t = 0 um raio de luz é emitida na parte inferior do foguete é recebida no topo em ∆t.
O intervalo ∆t é determinado por
h+g
2∆t2 = c∆t, (37)
cuja solução é
∆t± =1
g
(c±
√c2 − 2gh
)=c
g
(1−
√2gh
c2
)≈ h
c. (38)
Quando a luza chega ao teto, o teto se move com a seguinte velocidade
∆v = g∆t ≈ gh
c, (39)
logo, pela fórmula clássica do efeito Doppler
νreceptor = νemissor
(1− gh
c2
). (40)
Pelo principio da equivalência, esses efeitos também devem ser observados em um campo
gravitacional, considerando o foguete estático sob a ação de campo gravitacional,
g = |~∇φ| ⇒ gh ≈ ∆φ, (41)
16
onde ∆φ é a diferença do campo gravitacional entre o teto e o chão do foguete, logo
νreceptor = νemissor
(1− ∆φ
c2
), (42)
então, o comprimento de onda recebido no topo do foguete é menor. Invertendo essa rela-
ção, podemos perceber que o tempo passa mais devagar perto de um campo gravitacional
do que longe.
17
2 Teoria de gravitação relativística
Para buscas uma equação que governe o campo gravitacional e que satisfaça todo o conheci-
mento adquirido anteriormente, devemos começar estudando a teoria de gravitação newtoniana,
que pode ser resumida de forma sucinta em um conjunto de duas equações diferenciais, uma des-
crevendo o movimento de uma partícula no campo gravitacional e outra descrevendo o próprio
campo:
m−→x =
−→F = −mg
−→∇φ, (43)
∆φ = 4πGNµ, (44)
GN é a constante de gravitação de Newton e µ é a densidade de massa. A equação do campo
não é invariante de Lorentz. Por causa da ausência de derivadas em relação ao tempo em
(1.2), tal equação descreve uma interação a distância e uma propagação instantânea do campo
gravitacional em cada ponto do espaço (se a densidade de massa mudar em sua posição atual, os
efeitos serão sentidos em quaisquer outros pontos instantaneamente). Esse tipo de efeito é algo
que foi ’exorcizado’ pela relatividade especial, ademais, devemos levar em conta a relação massa
energia, que indica que outras formas de energia, além da densidade de massa, deveriam ser
incluídas como fontes de gravitação, logo a teoria de gravitação newtoniana deve ser revisada.
Devemos procurar uma teoria que relativística invariante que se acople não só à massa, mas
também à energia.
Somos levados a tentar generalizar a teoria newtoniana da seguinte forma:
∆φ = 4πGNµ→ φ = 4πGNµ (45)
onde é o operador D’alembertiano que é invariante de Lorentz. Apesar de promissor, podemos
perceber algo errado com essa equação. O lado direito de (45) , como já sabemos de relatividade
especial, µ = ρc2
é a componente 00 do tensor energia momento, o tensor que contém toda
informação sobre a distribuição de massa-energia no espaço-tempo, devemos corrigir nossa
equação com o intuito de adicionar este tensor à nossa teoria. O lado esquerdo da nossa
18
equação é composto por um escalar, então, uma possibilidade é substituir nosso µ pelo traço
do tensor de energia-momento T , pois no caso não relativístico T se reduziria à densidade de
massa:
φ = 4πGNT (46)
Teorias escalares como esta são bem conhecidas e estudadas, as equações de campo parecem
ser bem consistentes, porém, apesar disso, estão incorretas. Uma forma simples de observar isso
é perceber que a fonte da gravidade em (1.4) é apenas o traço do tensor de energia momento,
notando que o tensor de energia momento do electromagnetismo tem traço igual a zero, podemos
concluir que tal equação levaria um acoplamento anômalo com o campo eletromagnético, não
apresentando deflexão da luz pelo sol.
Uma outra opção para fazer (46) assumir propriedades consistentes seria pensar em φ, φ e
etc como componentes de um tensor:
[algum tensor que generaliza φ]αβ = 4πGNTµν . (47)
2.1 Equações de campo de Einstein
Do estudo feito anteriormente, temos como dica, que o tensor métrico irá representar o potencial
gravitacional e que nosso espaço-tempo poderá apresentar uma geometria curvatura, então,
esperamos que nossa equação que governa a relação entre matéria e espaço-tempo tenha a uma
forma parecida com,
[algum tensor que envolva φ]µν = Eµν = 4πGNTµν , (48)
lembrando que,
g00 = −(1 + 2φ), T00 = ρ, (49)
19
a equação newtoniana então pode ser reescrita como,
4g00 = −8πGNT00, (50)
isso sugere que nossa equação então deve ter o seguinte formato,
[algum tensor que envolva4g00]µν = Eµν = 8πGNTµν . (51)
Algumas considerações devem ser feitas:
• Eµν é simétrico já que Tµν também é,
• ∇µTµν = 0⇒ ∇µE
µν = 0,
• Em um campo gravitacional fraco e estático, ficamos com E00 = −4g00,
• Eµν envolve apenas a métrica e suas primeira e segunda derivadas.
Fazendo uma analogia com o caso newtoniano, a equação newtoniana pode ser obtida da
seguinte forma
d2
dt2δxi = −∂i∂jφ(x)δxj,
Gij = −∂i∂jφ(x),
T r(G) = ∇2φ(x),
então a equação (21) sugere que devemos usar as contrações do tensor de Riemann para buscar
a equação de campo geral, já que
(Dτ )2δxµ = Rµ
νλρxν xλδxρ,
Gµν = Rµ
λνρxλxρ,
T r(G) = Rµν xν xµ.
20
Quando a densidade de massa é zero o traço do tensor G é zero no caso newtoniano, isso sugere
que a equação que para o vácuo na relatividade geral deve ser[3]
Rµν = 0 (52)
onde Rµν é o tensor de Ricci. Mas não podemos escolher o tensor de Ricci como o tensor a
generalizar (51) pois a derivada covariante do tensor de Ricci não é zero. Com essas condições,
podemos caminhar na direção do tensor geral, buscando um tensor que envolva o tensor de
Riemann
R`ijk =
∂
∂xjΓ`ik −
∂
∂xkΓ`ij + Γ`jsΓ
sik − Γ`ksΓ
sij, (53)
e suas contrações com a métrica,
Rµν = Rλµλν = gλσRσµλν , (54)
R = Rµµ = gµνRµν . (55)
Um caminho possível é partir da identidade de Bianchi,
∇λRµναβ +∇µRνλαβ +∇νRλµαβ = 0, (56)
e fazendo algumas manipulações,
21
gλαgνβ (∇λRµναβ +∇µRνλαβ +∇νRλµαβ) = ∇αgνβRµναβ +∇µgλαRβ
λαβ +∇βgλαRλµαβ
= ∇αgνβRνµβα −∇µgλαRβ
λβα +∇βRαµαβ
= ∇αRβµβα −∇µg
λαRλα +∇βRµβ
= ∇αRµα −∇µRαα +∇βRµβ
= 2∇αRµα −∇µR
= 2∇α
(Rµα −
1
2gµαR
)= 2∇αGµα = 0,
chega-se ao tensor de Einstein,
Eµν = Gµν = Rµν −1
2gµνR (57)
é fácil demonstrar que o tensor de Einstein Gµν apresenta todas as características esperadas,
como por exemplo se reduzir ao limite newtoniano e de baixas velocidades correto. De forma
análoga ao limite newtoniano e de baixas velocidades da equação da geodésica, considere uma
perturbação em torno da métrica de Minkowski
gµν = nµν + hµν , hµν << 1.
Como o potencial é estático então
∂0gµν = ∂0hµν = 0, (58)
e como consideramos matéria não relativística então
T00 = ρ, Tij = 0.
22
Então temos que determinar
G00 = R00 −1
2g00R. (59)
Como o escalar de Ricci é pelo menos linear em h então podemos substituir g00 por n00
G00 = R00 +1
2R. (60)
Como
Tij = 0⇒ Gij = 0⇔ Rij =1
2δijR,
onde, pelos mesmo argumentos usados antes, substituímos a parte espacial de g pela parte
espacial da métrica de Minkowski.
Linear em h o escalar de curvatura é R = −R00+3R/2, logo R = 2R00, então G00 = R00+R/2 =
2R00. No limite de campo fraco, R00 é dado por
R00 = δikRi0k0 = −δik∂i∂k1
2g00 = −1
24g00 (61)
logo
G00 = 2R00 = −4g00, (62)
portanto a equação de Einstein se reduz a equação (50) quando a fonte do campo é matéria
não relativística, como o esperado.
Em Relatividade Geral as “equações de movimento"são dadas pela equação de Einstein,
Gµν = Rµν −1
2gµνR =
8πG
c4Tµν , (63)
Nessa equação, do lado esquerdo representa uma medida de curvatura espaço tempo e do
lado direito uma medida da energia e momento contidos no espaço tempo:
23
“A matéria diz como o espaço-tempo deve se curvar e o espaço-tempo diz como a matéria
deve se mover."
de certa forma é um resultado Machiano e não é ao mesmo tempo, a matéria determina como
matéria se move, mas sabendo que propriedades inerciais existe na relatividade especial, note
que a solução de Minkowski é uma solução da equação de Einstein se o tensor de energia é nulo,
ou seja, mesmo sem matéria as propriedades inerciais estão definidas, contrariando o princípio
de Mach.
Considerações:
• Em três e duas dimensões, se o tensor de Ricci for nulo implica que o tensor responsável
por ter as informações relacionadas à curvatura do espaço-tempo, o tensor de Riemann,
também será nulo. Então esses espaços tempos são necessariamente planos na ausência
de matéria (Tµν = 0).
Já em quatro dimensões, a situação é diferente, o tensor de Ricci ser zero não implicar que
o tensor de Riemann também é zero. Isso quer dizer que mesmo na ausência de matéria,
o espaço-tempo ainda pode ser curvo.
• A priori, a equações de Einstein nos dão um conjunto de 10 equações não lineares aco-
pladas de segunda ordem em gµν que aparece dos dois lados da equação. Essas equações
estão associadas a 4 identidades diferenciais devido às identidades de Bianchi.
• É complicado obter qualquer solução analítica dessas equações, até mesmo a solução
geral para o vácuo talvez nunca seja ’descoberta’. Normalmente são algumas condições
são impostas, envolvendo simetrias, com o intuito de reduzir o numero de equações.
Um termo pode ser adicionado à equação de Einstein e ainda assim satisfazer as condições
dadas. Um termo na forma de Λgµν ,
Gµν = Rµν −1
2gµνR + Λgµν =
8πG
c4Tµν . (64)
Λ dá uma contribuição para o tensor de energia-momento, no espaço de Minkowski, ela seria
proporcional à métrica de Minkowski e invariante de Lorentz, portanto compatível com a si-
24
metria do vácuo, então por vezes, é dito que Λ representa a densidade de energia do vácuo
ou que a densidade de energia do vácuo contribui para o valor de Λ. Comparando o tensor
de energia-momento com a equação de Einstein com a constante cosmológica é possível obter
que Λ corresponde à energia e pressão ρΛ = −pΛ = Λ8πGN
e contribui para o tensor de energia
momento como TΛµν = −ρΛgµν ,e então, dependendo do sinal, temos que a pressão e a densidade
terão sinais positivos ou negativos.
Esse termo foi proposto originalmente por Einstein. Ele não estava satisfeito por não ter
conseguido obter solução cosmológica estática estável apenas utilizando a equação de Einstein.
Depois da descoberta da expansão do universo, o universo estático não era mais considerado,
e a constante passou a ser ignorada, e considerada novamente após indícios de que o universo
está em expansão acelerada. Porém não é tão simples assim, um dos maiores mistérios da física
moderna é o valor da constante cosmológica. De acordo com teoria quântica de campos, o
valor da constante deveria ser bem maior do que o observado. Einstein também esperava que a
constante cosmológica tornasse a relatividade geral mais Machiana, mas isso não ocorreu pois
ainda era possível obter soluções com o tensor de energia momento igual a zero [5].
2.2 Ação de Einstein-Hilbert
Adotando um ponto de visão mais moderno, podemos derivar a equação de Einstein de uma
ação. Para construir tal ação demos levar em conta o as simetrias desejadas [3].
A parte relacionada à gravidade da ação, pelo principio da covariância deve ter a seguinte forma
SEH =
∫ √−g d4xΦ(gµν) (65)
onde Φ é um escalar construído usando a métrica. A escolha mais simples para tal escalar
é o escalar de Ricci, e essa também é a única escolha se queremos construir tal ação apenas
dependendo da métrica e suas primeiras e segundas derivadas.
SEH =c3
16πG
∫R√−gd4x
=c3
16πG
∫gµνRµν
√−gd4x
25
essa é a ação de Einstein-Hilbert.
Variando com relação à métrica e usando que:
δ(gαβgβγ) = 0⇒ δgαβ = −gαγgδγ(δgγδ), (66)
e
δRµν = ∇λδΓαµν −∇νδΓ
λµλ (67)
obtemos,
δSEH = δ
∫ √−gd4xgαβRαβ =
∫ ((δ√−g)gαβRαβ +
√−g(δgαβ)Rαβ +
√−ggαβδRαβ
)(68)
usando a identidade,
δ√−g =
1
2
√−ggαβδgαβ = −1
2
√−ggαβδgαβ, (69)
para deduzir,
δSEH =c3
16πG
∫ √−gd4x
(Rαβ −
1
2gαβR
)δgαβ +
c3
16πG
∫ √−gd4xgαβδRαβ. (70)
O primeiro termo é a própria equação de Einstein e o segundo termo é um termo de superfície.
Se quisermos incluir a constante cosmológica, podemos incluir um termo igual a 2Λ e iremos
obter a mesma equação com a constante cosmológica que já foi citada.
É possível obter uma ação mais geral, com termos que são previstos por teorias de gravitação
quântica, como:
S =
∫ √−gd4x
(R + c1R
2 + c2RαβRαβ + c3RαβγδR
αβγδ + c4...)
(71)
26
porém eles são irrelevantes para nosso propósito e em alguns casos, nos leva a equações de
movimento de ordens superiores.
A ação total da relatividade deve conter a parte responsável pela fonte
SM [g] =
∫L√−g d4x (72)
que quando variada em relação a métrica resulta em
δSM =
∫d4x√−g[δL
δgµν− 1
2Lgµν
]δgµν , (73)
definindo
Tµνc
= −2
[δL
δgµν− 1
2Lgµν
]= − 2√
−gδ(√−gL)
δgµν, (74)
então
δSM = − 1
2c
∫d4x√−gTµνδgµν , (75)
combinando com
δSEH =c3
16πG
∫ √−gd4x
(Rαβ −
1
2gαβR
)δgαβ, (76)
resulta em
δSEH =c3
16πG
∫ √−g d4x
[Gµν −
8πG
c4Tµν
]δgαβ = 0, (77)
logo
Gµν =8πG
c4Tµν . (78)
O teorema de Lovelock diz que a única equação de Euler-Lagrange que podemos obter de
uma ação quadridimensional que envolve apenas a métrica, suas primeiras e segundas derivadas
é a equação que contém as equações de Einstein. Isso limita as teorias que podemos construir
utilizando apenas a métrica.
27
Esse teorema não implica que a ação de Einstein-Hilbert é a única ação que pode ser construída
utilizando gµν em quatro dimensões:
L = α√−gR− 2λ
√−g + βεµνρλRαβ
µνRαβρλ + γ√−g[R2 − 4Rµ
νRνµ +Rµν
ρλRρλµν
](79)
os dois últimos termos não contribuem para a equação de Euler-Lagrange.
O teorema de Lovelock sugere que quisermos construir uma teoria métrica de gravidade que
difere da relatividade em relação a equações de movimento, devemos então considerar
• Adicionar mais campos
• Aceitar termos de ordem superior nas derivadas da métrica
• Ir para dimensões superiores
• Abrir mão da localidade
• Desconsiderar a simetrias do tensor métrico
28
3 Linearização da Equação de Einstein
Obter soluções exatas das equações de Einstein não é um trabalho fácil, mas podemos
certamente obter resultados aproximados se aplicarmos teoria de pertubação. Se já conhecermos
uma solução da equação de Einstein, podemos supor uma pequena pertubação em torno dessa
solução de fundo e observar os novos aspectos físicos que a pertubação pode apresentar [4] [3]
[9].
3.1 As equações necessárias e o calibre de Lorentz
Abordando o caso mais simples, podemos imaginar que a métrica de Minkowski é perturbada
fracamente de alguma forma, então é conveniente supor que existe um conjunto referenciais nos
quais vale a
gµν = nµν + hµν , (80)
onde
|hµν | << 1, (81)
essa condição é satisfeita perfeitamente no sistema solar, pois
|hµν | ≈φ
c2≈ 10−6. (82)
Usando que gµνgνη = δηµ podes inferir que a inversão de (80) em primeira ordem em h é
gµν = nµν − hµν , (83)
com
hµν = nµαnνβhαβ, (84)
os índices serão levantados e abaixados utilizando a métrica de fundo, ou seja n.
29
A expressão para o símbolo de Christoffel
Γσµν =1
2gσρ(∂gρν∂xµ
+∂gρµ∂xν
− ∂gµν∂xρ
), (85)
utilizando (80) e (83), é
Γσµν =1
2(nσρ − hσρ)
[∂(nρν + hρν)
∂xµ+∂(nρµ + hρµ)
∂xν− ∂((nµν + hµν)
∂xρ
]=
1
2(∂µh
σν + ∂νh
σµ − ∂σhµν)−
1
2hσρ(∂µhρν + ∂νhµρ − ∂ρhµν),
=1Γσµν + 2Γσµν
onde o superescrito 1 e 2 indicam a ordem na pertubação, onde
1Γσµν =1
2(∂µh
σν + ∂νh
σµ − ∂σhµν),
2Γσµν =− 1
2hσρ(∂µhρν + ∂νhµρ − ∂ρhµν).
Já o tensor de Ricci
Rµν = ∂σΓσµν − ∂νΓσµσ + ΓσασΓαµν − ΓσανΓαµσ
é de O(Γ2), substituindo o símbolo de Christoffel e ignorando termos maiores que O(h2) fica
Rµν =1
2[∂σ∂µh
σν + ∂σ∂νh
σµ −hµν ]−
1
2∂σ[hσλ(∂µhλν + ∂νhµλ − ∂λhµν)]
−1
2[∂ν∂µh+ ∂ν∂σh
σµ − ∂ν∂σhµσ] +
1
2∂ν [h
σλ(∂µhλσ + ∂σhµλ − ∂λhµσ)]
+1
4(∂αh
σσ + ∂σh
σα − ∂σhασ)(∂µh
αν + ∂νh
αµ − ∂αhµν)
−1
4(∂αh
σν + ∂νh
σα − ∂σhαν)(∂µhασ + ∂σh
αµ − ∂αhµσ),
30
agrupando e simplificando os termos lineares e quadráticos em h fica,
Rµν = 1Rµν + 2Rµν (86)
onde1Rµν =
1
2(∂σ∂µh
σν −hµν − ∂µ∂νh+ ∂ν∂σh
σµ) (87)
e
2Rµν =1
2
[1
2∂µhαβ∂νh
αβ + ∂βhνα(∂βhαµ − ∂αhβµ
)+ hαβ
(∂µ∂νh
αβ + ∂α∂βhµν − ∂β∂νhαµ − ∂β∂µhαν)
−(∂αh
αβ − 1
2∂βh
)(∂µhνβ + ∂νhµβ − ∂βhµν)
].
onde h é o traço do tensor de perturbação e é o operador de D’Alembert. Usando a mesma
análise feira para o tensor de Ricci, o escalar de Ricci é
Rµν = (nµν − hµν)(1Rµν + 2Rµν) = 1R + 2R, (88)
onde1R = ∂λ∂µh
λµ −h, (89)
e
2R = 2Rµνnµν − 1Rµνh
µν . (90)
Por enquanto, considere apenas correções lineares do tensor de Einstein e lembre-se que estamos
expandindo em torno da métrica de Minkoski, então em ordem zero o tensor de Einstein é zero,
logo
31
1Gµν = 1Rµν −1
2nµν
1R
=1
2(−h+ ∂α∂µh
αν + ∂α∂νhµα − ∂ν∂νh− nµν∂β∂αhαβ + nµνh) =
16πG
c4Tµν
A ultima equação é um tanto quanto complicada, mas perceba que se definirmos
hµν = hµν −1
2hnµν ↔ hµν = hµν −
1
2hnµν
com h = −h, e substituirmos na equação (??) resulta em
16πG
c4Tµν = −hµν +
1
2nµνh+ ∂α∂µh
α
ν −1
2∂µ∂νh+ ∂α∂νh...
− 1
2∂µ∂νh+ ∂µ∂νh− nµν∂β∂αh
αβ − nµνh+1
2nµνh
= −hµν + ∂α∂µhα
ν + ∂α∂νhµν − nµν∂β∂αhαβ.
Ao supor que existem sistemas de coordenadas em que a métrica é decomposta em uma parte
que corresponde a métrica de Minkowski e outra parte que corresponde a pertubação de tal
forma que a pertubação seja sempre pequena, a invariância por transformações de coordenadas
da Relatividade Geral é quebrada, pois ao fazer uma transformação de coordenadas arbitrária
nada nos garantirá que a nossa suposição continue valendo, logo reduzimos as transformações
de coordenadas ao pequeno grupo de transformações que não destroem o pressuposto.
A primeira transformação que devemos considerar são as transformações de Lorentz, desde
que o boost não afete |hµν << 1|,
xµ → x′µ = Λu′
ν xv, Λµ
ρ′Λνσ′nµν = nρ′σ′ ,
então a métrica se transforma da seguinte forma
gµ′ν′ = Λρµ′Λ
σν′gρσ = nµ′ν′ + Λρ
µ′Λσν′hρσ → hµ′ν′ = Λρ
µ′Λσν′hρσ, (91)
32
portanto podemos ver que h se transforma como um tensor de Lorentz.
Considere dois sistemas de coordenadas xµ e x′µ, que se relacionam por uma transformação
infinitesimal :
x′µ = xµ + ζµ, (92)
então
∂x′α
∂xµ= δαµ +
∂ζα
∂xµ(93)
logo, em primeira ordem em ζµ a métrica se transforma da seguinte forma
gµν = g′αβ∂x′α
∂xµ∂x′β
∂xν
= (nαβ + h′αβ)
(δαµ +
∂ζα
∂xµ
)(δβν +
∂ζβ
∂xν
)= nµν + h′µν
∂ζµ∂xν
+∂ζν∂xµ
como gµν = nµν + hµν , então
h′µν = hµν −∂ζµ∂xν− ∂ζν∂xµ
.
Note que o tensor de Ricci é invariante por esse tipo de transformação de coordenada
R′µν(h′) =
1
2(∂λ∂µh
′ λν + ∂λ∂νh
′µλ −h′µν − ∂µ∂νh′)
= Rµν(h)− ∂λ∂µ∂νζλ − ∂λ∂µ∂λζν − ∂λ∂ν∂λζµ − ∂λ∂ν∂µζλ
+ ∂λ∂λ∂νζµ + ∂λ∂λ∂µζν +−nαβ∂µ∂ν∂αζβ − nαβ∂µ∂ν∂βζα
= Rµν(h),
portanto o escalar de Ricci também, logo a equação de Einstein linearizada também é invariante,
isso implica que, dada uma solução h da equação de Einstein linearizada podemos gerar outra
33
solução h′. Essa ambiguidade surge pois não fixamos um sistema de coordenadas/referencial
específico.
Note que tensor definido em (??) se transforma da seguinte forma
h′µν = hµν −∂ζµ∂xν− ∂ζν∂xµ
+ nµν∂ζρ∂xρ
, (94)
então
∂αh′µα
= ∂αhµα − ∂µ∂αζα − ∂α∂αζµ + nµα∂α∂βζ
β
= ∂αhµα −ζµ,
como ζ é arbitrário e é inversível, sempre podemos escolher ζ tal que se ∂αhµα
= fµ, então
fµ = ζµ. (95)
Se olharmos para a equação de Einstein linearizada, podemos perceber que ela será simplificada
se conseguirmos fixar ∂αhµα
= 0, este é chamado o calibre de Lorentz ( citar maggiore). Como h′
também é solução da equação de Einstein linearizada, a equação (??) nos mostra que podemos
escolher ∂αh′µα
= 0 se ∂αhµα
= ζµ, então, impondo essas condições a equação de Einstein
linearizada é
−h′µν =16πG
c4Tµν , (96)
Perceba que o calibre de Lorentz impõe 4 restrições em hµν , o que limita hµν a 6 componentes
independentes. A ultima equação e a equação que define o calibre Lorentz juntas implicam em
∂νTµν = 0, (97)
que é a conservação de energia momento na teoria linearizada.
34
3.2 Aproximação Newtoniana e o desvio da luz
Podemos começar estudando a equação,
−hµν =16πG
c4Tµν , (98)
utilizando uma aproximação newtoniana. Devemos assumir que o tensor de energia momento
é dominado pela densidade de matéria e portanto devemos ignorar todos os termos exceto h00,
também devemos considerar que a matéria se move lentamente para que possamos ignorar as
derivadas temporais do d’Alambertiano. Então
∇2h00 = −16π
c2ρ, (99)
Definindo ∇2φ = 4πρ, então a solução é
h00 = − 4
c2φ. (100)
então voltando para definição hµν = hµν − 12hnµν e notando que h = 4φ
c2então
hµν =
−2φ
c2µ = ν = 0,
−2φc2
µ = ν 6= 0,
0 para qualquer outro caso.
(101)
Portando a métrica é
ds2 = −(
1 +2φ
c2
)c2dt2 +
(1− 2φ
c2
)(dx2 + dy2 + dz2), (102)
que para um objeto de massa M o potencial newtoniano é φ = −M/r, logo
ds2 = −(
1− 2M
rc2
)c2dt2 +
(1 +
2M
rc2
)(dx2 + dy2 + dz2), (103)
Então, em primeira ordem, podemos usar esse resultado para descrever o espaço tempo em
torno do Sol. Vale notar a diferença entre esta métrica e a obtida no limite newtoniano da
35
geodésica, o limite newtoniano da geodésica ignora as componentes do tipo espaço, então os
resultado obtido para o desvio da luz deve diferir nesta nova métrica.
Sabendo que a propagação da luz é caracterizada por
(1 +
2φ
c2
)c2dt2 =
(1− 2φ
c2
)|d~x|2, (104)
Então podemos definindo o indicie de refração devido ao campo gravitacional,
n =c
c′=
√(1− 2φ
c2
)(1 + 2φ
c2
) (105)
onde c′ = |d~x|/dt, expandindo para 2φ/c2 << 1 fica
n =c
c′=
(1− 2φ
c2
), (106)
podemos calcular o desvio da luz utilizando o princípio de Fermat, que o tempo de deslocamento
da luz entre dois pontos é um extremo
δ
∫dt = δ
∫dx
c′→ δ
∫n(~x)|d~x| = 0.
Introduzindo um parâmetro λ, podemos escrever ~x = ~x(λ) com |d~x| = |~x|dλ e então
δ
∫n(~x)|~x|dλ = 0, (107)
A equação de Euler
∂L
∂~x− d
dλ
∂L
∂~x= 0 (108)
com L = n(~x)|~x|, resulta em
|~x|~∇n− d
dλ
n~x√~x
= 0 (109)
onde ~x é o vetor tangente ao deslocamento. Se escolhermos o parâmetro λ de tal forma que o
vetor ~x seja um vetor unitário x a equação resultante da equação de Euler-Lagrange se torna
36
~∇n− x · ~∇n− n ˙x = 0. (110)
Os primeiros dois termos são resulta na componente de ~∇n perpendicular a x, então
˙x = ~∇⊥ lnn = − 2
c2φ, (111)
que é duas vezes o resultado de (34).
3.3 A equação linearizada no vácuo e calibre transverso de traço nulo
Ao investigar a equação de Einstein linearizada no vácuo podemos perceber que ela permite
que ondas se propaguem pela a estrutura do espaço tempo, estas ondas serão chamadas de
ondas gravitacionais.
No vácuo, a equação se torna
hµν = 0, (112)
que é um sistema de 10 equações do tipo onda, então podemos buscar soluções do tipo
hµν = Re(Aµνe
ikαxα), (113)
onde kµ é o vetor de onda e ω/c = k0 = −k0, Re indica que devemos tomar a parte real da
solução. O operador d’Alambertiano atuando em (113), sabendo que hµν = 0, resulta em
kαkα = 0, (114)
claramente esta solução representa uma onda com frequência ω = c√δijkikj ( i, j = 1, 2, 3) se
propagando na velocidade da luz. Como consequência do calibre de Lorentz ∂αhµα
= 0 temos
Aαµkµ = 0, (115)
ou seja, k é ortogonal a Aαµ . Fora da fonte podemos ainda impor mais uma condição, pois
37
o calibre de Lorentz não fixa o calibre completamente. Se fizermos uma nova transformação
infinitesimal de coordenadas, teremos
∂αh′′µα
= −ζµ,
se escolhermos
ζµ = Re(iBµeikαx
α), (116)
teremos ζµ = 0 , logo o calibre de Lorentz ainda é satisfeito, isso implica que ζµν = 0, onde
ζµν = ∂µζν + ∂νζµ − nµν∂σζσ. (117)
Sob essa condição, a amplitude se transforma de tal que
Aµν → Aµν + kµBν + kνBµ − kαBαnµν , (118)
então temos a liberdade de impor outras 4 condições para as 6 componentes independentes de
hµν . Em particular podemos escolher a componente zero de ζ de tal foma que o traço de h
seja zero, note que se fizermos isso hµν = hµν . As componentes espaciais de ζ são escolhidas
apropriadamente para que as componentes mistas do tipo tempo e espaço de hµν sejam zero.
Para entender melhor no que tais condições implicam, podemos separar Aαµkµ = 0 me uma
parte espacial e outra temporal para a componente zero
−ωA00 + kiA0i = 0 (119)
se ω 6= 0 então A00 = 0, logo Aii = Aαα + A00, portanto o traço da parte espacial é zero. Além
disso, podemos ver que Aαµkµ = 0 então
Aijki = 0 (120)
para i e j representando as componentes espaciais. Resumindo, o calibre é definido por :
38
hµi = 0, h é puramente espacial.
hii = 0, o traço espacial é zero.
Aijki = 0, a onda é transversa.
∂jhij = 0, as componentes espaciais possuem divergência nula,
indicarei por um superescrito “TT ” quando este calibre for utilizado. Dada uma solução hµν se
propagando fora da fonte da onda gravitacional na direção n, já no calibre de Lorentz mas não
no calibre TT, podemos aplicar o calibre TT nesta solução de forma prática. Introduzindo o
tensor
Pij(n) = δij − ninj, (121)
que é transverso ( niPij = 0), é um projetor (P 2 = P ) e tem traço Pii = 2, podemos construir
outro projetor
Λij,kl(n) =PikPjl −1
2PijPkl
=δikδjl −1
2δijδkl − njnlδik − ninkδjl
+1
2nknlδij +
1
2ninjδkl +
1
2ninjnknl
que é transverso em todos os indicies, simétrico em trocas de ij com kl e com traço nulo em ij
e kl. Dado qualquer tensor simétrico Kij a parte transversa com traço nulo é definida como
KTTij = Λij,kl(n)Kkl, (122)
então a solução no calibre de Lorentz pode ser transformada para o calibre TT desta mesma
forma.
Uma vez que o calibre é fixado, podemos interpretar hµν como um tensor em um espaço plano
com uma escolha arbitrária de coordenadas, já que o tensor hµν é invariante por transformações
de Lorentz. Mas em todo momento utilizamos derivadas parciais, fica implícito que estamos
considerando coordenadas que mantêm a métrica de Minkowski em sua forma “plana”. Se
39
quisermos utilizar coordenadas curvilíneas, devemos substituir a métrica de Minkowski pela
métrica nas coordenadas que desejamos, substituir também todas as derivadas na equação de
campo e de calibre por derivadas covariantes, já que o símbolo de Christoffel pode não ser nulo.
3.3.1 Interação com partículas teste
Inicialmente tínhamos 10 equações independentes, reduzimos para 6 utilizando o calibre de
Lorentz e agora reduzimos para 2 ao utilizar este novo calibre. Podemos então investigar o
efeito destes 2 graus de liberdade. Escolhendo a direção de propagação como sendo a direção
z, aplicando todos os calibres já ditos,
A0α = Azα = 0 (123)
sobrando apenas
Axx, Axy = Ayx e Ayy, (124)
com Ayy = −Axx. Então hTTµν pode ser representado como
hTTµν =
0 0 0 0
0 h+ h× 0
0 h× −h+ 0
0 0 0 0
cos[ω(t− z/c)] (125)
onde h× e h+ são os graus de liberdade restantes que correspondem as duas polarizações das
ondas gravitacionais. A métrica para esta pertubação então é
ds2 =− c2dt2 + dz2 + (1 + h+ cos[ω(t− z/c)])dx2
+ (1− h× cos[ω(t− z/c)])dy2 + 2h× cos[ω(t− z/c)]dxdy.
40
3.3.2 No calibre transverso
Considere uma partícula em repouso em τ = 0, utilizando a equação da geodésica, sabendo
que dxi/dτ = 0 com i = 1, 2 e 3, então
d2xi
dτ 2+
[Γi νλ
dxν
dτ
dxλ
dτ
]τ=0
= 0,
d2xi
dτ 2+
[Γi 00
dx0
dτ
dx0
dτ
]τ=0
= 0,
como
Γαµν =1
2(∂νh
αµ + ∂µh
αν − ∂αhµν),
logo
Γi00 =1
2(2∂0h0i − ∂σh00). (126)
Mas como estamos no calibre transverso, h0i e h00 são zero e portanto Γi00 = 0 . Então, se
uma partícula está inicialmente em repouso, a derivada da velocidade também é zero e então a
velocidade se mantém igual a zero para todo τ , isso mostra que no calibre transverso, partículas
que estão em repouso na chegada da onda gravitacional se mantém em repouso após a passagem
dela. Se consideramos duas partículas inicialmente separadas por uma distância δx, a equação
do desvio da geodésica (20) se reduz a
d2δxi
dτ 2= −
[2cΓi 0j
dδxj
dτ
]τ=0
= 0. (127)
já que Γi00 = 0.
Em outras palavras, as coordenadas, neste calibre, se adaptam aos efeitos da onda gravitacional
de tal forma que a posição em coordenadas das partículas teste inicialmente em repouso não se
modifica. É importante notar que isso só possível pois estamos considerando uma teoria linear,
se considerarmos correções de ordem superior teríamos Γi00 6= 0.
41
Como até agora só olhamos para o efeito nas coordenadas, vale a pena olhar o que acontece
com a distancia entre dois eventos no espaço tempo. Obviamente a distância definida pela
diferença entre as coordenadas x2 − x1 = L também é constante, mas o que acontece com a
distância própria? Se um evento ocorre em (ct, x1, 0, 0) e outro em (ct, x2, 0, 0), a distância
própria entre eles é
s =
∫ds
=(x2 − x1)√
1 + h+ cos(wt)
≈L[1 +1
2h+ cos(wt)].
Logo, a distância própria entre os dois eventos varia periodicamente devido a onda gravitacional.
De forma mais geral, se entre os dois eventos é dada por um vetos L, a distância própria é
s2 = L2 + hij(t)LiLj, que linear em h é s ≈ L + hij(LiLj/2L). Se derivamos com respeito ao
tempo duas vezes e definirmos Li/L = ni e si = nisi, ficamos com equação da geodésica em
termos da distância própria em vez das coordenadas
si ≈1
2hijsj. (128)
Já que a distância própria determina o tempo que a luz demoraria para percorrer o caminho, o
tempo irá variar, se permitimos que um raio de luz transite entre este dois eventos, poderemos
detectar a presença de ondas gravitacionais medindo diferenças no tempo que a luz leva para
percorrer o caminho entre os eventos.
3.3.3 No referencial próprio do detector
Se o tamanho do detector é muito menor que o tamanho do comprimento de onda da onda
gravitacional, podemos aproximar o referencial deste detector como sendo um referencial local
de Lorentz. Então, a influência da onda gravitacional em partículas testes pode ser estudada
utilizando o desvio da geodésica. Utilizando a equação do desvio da geodésica e supondo um
movimento em baixa velocidade, a separação relativa de duas partículas é dada por (20),
42
d2ζ i
dt2= −ζjRi
0j0
(dx0
dt
)2
= −c2ζjRi0j0, (129)
considerando apenas correções lineares em h, Ri0j0 = ∂jΓ
i00 − ∂0Γi0j = ∂jΓ
i00. Como o tensor
de Riemann linearizado é invariante por transformações infinitesimais, podemos calcula-lo em
qualquer referencial que quisermos. Como em um referencial com o calibre transverso o cálculo
é mais simples, então ele será escolhido
Ri0j0 = Ri0j0 = − 1
2c2¨hTT ij, (130)
logo
d2ζ i
dt2=
1
2hTTij ζ
j. (131)
Então, no referencial próprio do detector, o efeito da onda gravitacional pode ser pensado
como uma força newtoniana
Fi =m
2hTTij ζ
j, (132)
na prática, se a onda se propaga na direção z, podemos liberar massas no plano (x, y), e
minimizando todo o ruído possível, podemos então medir o efeito das ondas gravitacionais
mensurando a distancia entre as massas.
A diferença entre um referencial utilizando o calibre transverso e o referencial próprio do
detector fica clara se notarmos que o desvio da geodésica aqui é definido pela separação dada
pelas coordenadas, no caso do calibre transverso, a variação da separação entre as coordenadas
é zero, mas a distância própria não.
Devemos ter cuidado ao utilizar a equação (131), pois ela só é valida em uma escala típica de
variação do potencial, no caso hij, já que ao derivar a equação do desvio da geodésica na primeira
parte desta monografia, consideramos apenas os termos de primeira ordem na separação entre
as geodésicas. No caso das ondas gravitacionais, a escala de variação é o comprimento de onda
da onda gravitacional, então se o detector possui uma dimensão característica L a aproximação
só e válida se L << λ.
43
Podemos usar a equação (20) para estudar o efeito das ondas gravitacionais em um anel
de massas. Considere o anel de massas no plano (x, y) e uma onda gravitacional viajando na
direção z, com as massas inicialmente em repouso e com o a origem do sistema de coordenadas
equidistante das partículas, então ζ i representa a distância entre uma partícula e o centro
de coordenadas ( distância em coordenada ou distância própria, já que podemos aproximar o
referencial por um referencial local de Lorentz, ambas distâncias são as mesmas). Como a onda
gravitacional é transversa, então a onda só terá efeito no plano (x, y). Considerando a posição
das partículas (x+ δxi, yi + δyi), a evolução da posição é da dada pela equação (20), linear em
h para os dois graus de liberdade é de uma massa é
(δxδy
)=h+
2
( x0−y0)
cos(ωt),(δxδy
)=h×2
(y0x0
)cos(ωt).
Podemos então plotar o resultado para varias massas do anel e então entender o motivo de
nomear os graus de liberdade com + e ×.
3.4 Emissão de ondas gravitacionais
Já vimos que a equação linearizada no vácuo nos mostra a existência de ondas gravitacionais,
mas devemos entender como as ondas são produzidas. Voltando a equação
−hµν = 16πTµν , (133)
44
sabemos que ela é linear na pertubação, então podemos resolver esta equação utilizando funções
de Green. Definindo
xG(x− x′) = δ4(x− x′), (134)
então a solução correspondente é
hµν(x) = −16πG
c4π
∫d4x′G(x− x′)Tµν(x′). (135)
A solução obviamente depende das condições de contorno que vamos impor. A equação é
análoga ao caso da radiação no eletromagnetismo, podemos impor as mesmas condições e usar
as funções de Green retardadas
G(x− x′) = − 1
4π|x− x′|δ(x0
ret − x0), (136)
onde x0ret = ctret e tret é o tempo retardado tret = t− |x− x′|/c, então a solução geral é
hµν(t,x) =4G
c4
∫d3x′
1
|x− x′|Tµν
(t− |x− x
′|c
,x′). (137)
Fora da fonte, podemos colocar a solução no calibre transverso utilizando o tensor de projeção
definido como
Λij,kl(n) = PikPjl −1
2PijPkl (138)
lembrando que neste calibre h00 = h0k = 0, logo apenas as componentes espaciais são utilizadas,
então a solução é
hTT
ij (t,x) =4G
c4Λij,kl(n)
∫d3x′
1
|x− x′|Tkl
(t− |x− x
′|c
,x′). (139)
45
3.5 Aproximação de quadrupolo
Considerando sistemas em baixa velocidade, que as ondas gravitacionais possuem compri-
mento de onda muito maior do que o tamanho do sistema e avaliando a onda em distâncias
grandes, implica que não precisamos saber com muitos detalhes os movimentos internos da
fonte, então podemos fazer uma expansão de multipolos. Se a massa total for conservada o
momento de monopolo não pode variar no tempo, se o momento for conservado o momento de
dipolo também não poderá variar[11], mas o que podemos falar do próximo termo da expansão?
Fazendo então |x− x′| ≈ |x| = r e
x0 − |x− x′| ≈ x0 − r + ~x′ · ~er, (140)
onde ~er é um unitário apontando na direção radial, então
hij(t,x) =4G
rc4
∫d3x′Tij
(t− r
c+~x′ · ~erc
,x′)
(141)
para baixas velocidades podemos ignorar ~x′ · ~er em primeira ordem, para ver isso, basta fazer
uma transformada de Fourier na equação anterior e fazer uma expansão da exponencial que
surge, então
hµν(t,x) =4G
rc4
∫d3x′ Tij
(t− r
c,x′). (142)
Esta equação pode ser escrita de outra forma se utilizarmos a conservação do tensor de energia
momento
∂µTµν = 0. (143)
Derivando em relação ao x0 e separando a parte espacial da parte temporal fica
∂0∂0Tµ0 = −∂0∂iT
µi, (144)
para µ = 0,
46
∂0∂0T00 = −∂0∂iT
0i. (145)
Podemos usar isso para escrever Tij em termos da componente 00 do tensor de energia momento
∂µ∂νTµν = 0
∂0∂νT0ν + ∂i∂νT
iν = 0
∂0∂0T00 + ∂0∂iT
i0 + ∂i∂0T0i + ∂i∂jT
ij = 0
∂0∂0T00 − 2∂0∂0T
00 + ∂i∂jTij = 0
∂0∂0T00 = ∂i∂jT
ij.
Considerando a quantidade
∂k∂l(Tklxixj) = ∂k∂lT
klxixj + ∂lTkl(δikx
j + δjl xi) + ∂k(T
kixj + T kjxi), (146)
usando que
∂l[Tkl(δikx
j + δjkxi)] = ∂lT
kl(δikxj + δjl x
i) + T kl(δikδjl + δikδ
lk) (147)
o segundo termo pode ser escrito como
∂l[Tilxj + T jlxi)]− 2T ij = ∂lT
kl(δikxj + δjl x
i) (148)
então
∂k∂l(Tklxixj) = ∂k∂lT
klxixj + 2∂k(Tkixj + T kjxi)− 2T ij, (149)
se
47
∂0∂0(T 00xixj) =∂0∂0T00xixj
=∂k∂lTklxixj
=∂k∂l(Tklxixj)− 2∂k(T
kixj + T kjxi) + 2T ij,
podemos definir o momento de massa
I ij =1
c2
∫T 00xixjd3x, (150)
de tal forma que
∂2I ij
∂t2=
∫∂0∂0(T 00xixj)d3x
=
∫[∂k∂l(T
klxixj)− 2∂k(Tkixj + T kjxi) + 2T ij]d3x.
Os dois primeiros são termos de superfície, podemos impor que T ij seja zero na superfície do
volume em que a fonte está confinada, então
1
2
∂2I ij
∂t2=
1
c2
∫T ijd3x, (151)
com as aproximações consideradas T 00 = ρc2, onde ρ é a densidade de massa da fonte, substi-
tuindo na equação ( 142) já no calibre transverso fica
hTT
ij (t,x) =2G
rc4Λij,klIkl(t− r/c). (152)
onde os pontos indicam derivada em relação ao tempo.
Sabendo que o projetor Λ aplicado a uma delta é igual a zero, podemos escrever Ikl podemos
escrever
Ikl =
(Ikl − 1
3δklIii
)+
1
3δklIii, (153)
e introduzir o momento de quadrupolo
48
Qjk =Ikl − 1
3δklIii
=
∫d3xρ(t,x)(xjxk − 1
3r2δjk),
para escrever
hTT
ij (t,x) =2G
rc4Λij,klQkl(t−
r
c) =
2G
rc4QTTkl (t− r
c). (154)
Então em primeira ordem, se o momento de quadrupolo do sistema variar com o tempo, haverá
produção de ondas gravitacionais, um objeto pulsando com simetria esférica, por exemplo, não
emitirá ondas gravitacionais, pois o momento de quadrupolo é zero.
3.5.1 Ondas gravitacionais emitidas por massas oscilando
Sabemos como ondas gravitacionais são produzidas e como elas se propagam, se quiser-
mos montar um aparato para produzir ondas gravitacionais, podemos imaginar uma situação
simples. Considere um oscilador harmônico composto de duas massas oscilando com uma
frequência ν = w/2π e amplitude A, sendo l0 a distância inicial entre as partículas em repouso,
assumindo que o movimento se dá no eixo x, a posição das duas massas, com o sistema de
coordenadas equidistante de ambas, será
x1 = −1
2l0 − A cosωt
x2 =1
2l0 + A cosωt,
a componente 00 do tensor de energia momento, considerando baixas velocidades é
T 00 = mc2
2∑n=1
δ(x− xn)δ(y)δ(z), (155)
então, calculando as componentes do momento de massa
Ixx =m
∫(x2δ(x− x1)δ(y)δ(z) + x2δ(x− x2)δ(y)δ(z))d3x,
=m[x21 + x2
2] = m[A2 cos 2ωt+ 2Al0 cosωt+ k],
49
Iyy =m
∫(y2δ(x− x1)δ(y)δ(z) + y2δ(x− x2)δ(y)δ(z))d3x,
=0,
Izz =m
∫(z2δ(x− x1)δ(y)δ(z) + z2δ(x− x2)δ(y)δ(z))d3x,
=0,
Izy = Iyz =m
∫(zyδ(x− x1)δ(y)δ(z) + zyδ(x− x2)δ(y)δ(z))d3x,
=0,
Izx = Ixz =m
∫(zxδ(x− x1)δ(y)δ(z) + zxδ(x− x2)δ(y)δ(z))d3x,
=0,
Iyx = Ixy =m
∫(yxδ(x− x1)δ(y)δ(z) + yxδ(x− x2)δ(y)δ(z))d3x,
=0,
onde k é uma constante e quando derivarmos em relação ao tempo ela não importará. Os
momentos de quadrupolo são
Qxx =Ixx −1
3Ixx =
2
3Ixx,
Qyy =Qzz = −1
3qxx,
Qxy =Qzy = Qxz = 0.
Se a onda viaja na direção z, o tensor de projeção P é
Pjk = diag(1, 1, 0), (156)
então a aplicação do tensor Λ no momento de quadrupolo, resulta em
50
QTTxx =
1
2(Qxx −Qyy)
QTTyy = −1
2(Qxx −Qyy)
QTTxy = QTT
zz = QTTzy = QTT
xz = 0.
A equação da onda gravitacional (154 ) então é
hTTxx (t, z) = −hTTyy (t, z) =G
c4z(Qxx(t− z/c)− Qyy(t− z/c))
hTTxx (t, z) = −2Gm
zc4[2A2 cos 2ω(t− z/c) + Al0 cosω(t− z/c)].
Considerando as massas comm = 103 kg, l0 = 1 m, A = 10−4 m e ω = 104 rad/s, negligenciando
o termo quadrático na amplitude A, a amplitude da onda gravitacional é da ordem de≈ 10−35/z,
ou seja, um efeito muito pequeno e difícil de ser medido, já que a distância própria é proporcional
a este valor.
3.5.2 Ondas gravitacionais emitidas por um sistema binário
Se com massas na ordem de grandeza da seção anterior o efeito é pequeno, talvez se conside-
rarmos massas maiores o efeito aumente. Vamos considerar dois planetas de m1 e m2 em órbita
circular, cuja separação entre eles é l0, a massa reduzida é µ = m1m2/M onde M = m1 + m2,
escolhendo o sistema de coordenadas no centro de massa do sistema, então
l0 = r1 + r2, r1 =m2l0M
, r2 =m1l0M
e frequência orbital worb =√GM/l30.
As coordenadas das partículas, considerando que a órbita se dá no plano (x, y), são
51
x1 =m2l0M
cosωorbt, y1 =m2l0M
sinωorbt,
x2 = −m1l0M
cosωorbt, y2 = −m1l0M
sinωorbt.
O tensor de energia momento é
T 00 = c2
2∑n=1
mnδ(x− xn)δ(y)δ(z), (157)
então, de forma análoga ao item anterior, as componentes não nulas do momento de massa são
Ixx =µl202
cos 2ωorbt+ k
Iyy = −µl20
2cos 2ωorbt+ k
Ixy =µl202
sin 2ωorbt.
Como o traço de I é zero, podemos escrever o momento de quadrupolo como
Qij =µl202
cos 2ωorbt sin 2ωorbt 0
sin 2ωorbt − cos 2ωorbt 0
0 0 0
ij
. (158)
Então, a expressão da pertubação é
hTT
ij (t,x) = −h0Λij,kl
cos 2ωorbt sin 2ωorbt 0
sin 2ωorbt − cos 2ωorbt 0
0 0 0
ij
. (159)
onde h0 =2Gµl20(2ωorb)
2
2rc4é a amplitude. Como o movimento é no plano perpendicular ao eixo
z, se considerarmos a onda viajando no eixo z o momento de quadrupolo já está no calibre
transverso então fica
52
hTT
ij (t,x) = −h0
cos 2ωorbt sin 2ωorbt 0
sin 2ωorbt − cos 2ωorbt 0
0 0 0
. (160)
logo,
hTTxx = −hTTyy = −h0 cos 2ωorb(t− z/c) (161)
e
hTTxy = h0 sin 2ωorb(t− z/c). (162)
Note que a frequência da onda gravitacional é duas vezes a frequência da órbita. Considerando
o Pulsar PSR J0737-3039, a amplitude da onda seria h0 ≈ 10−21 [10], relativamente maior que
no primeiro caso, mas ainda assim um efeito muito pequeno.
3.6 A energia da onda gravitacional
Usando o teorema de Noether é possível obter uma expressão para a energia devido as ondas
gravitacionais. Devemos saber que a expressão do tensor de energia momento que podemos ob-
ter do teorema de Noether não é necessariamente um observável físico, é apenas uma expressão
matemática que quando integrada no espaço, nos dá inequivocamente a energia e momento
total de um campo clássico. Podemos usar o valor médio da expressão do tensor de energia
momento para avaliado em um região grande o suficiente para que os termos de superfície sejam
nulos, removendo então ambiguidades relacionadas a termos de derivada total. Considerando
um pacote de onda com os comprimentos de onda centrados em torno de um valor λ, podemos
usar o teorema de Noether e integrar em uma região L >> λ .
A expressão geral para o tensor é
tµν =
⟨− ∂L
∂(∂µhαβ)∂νhαβ + nµνL
⟩, (163)
53
onde < ... > indica uma media espacial sobre alguns comprimentos de onda, que para ondas
planas, é equivalente a uma media temporal sobre alguns períodos, e L é a Lagrageana que
governa hαβ. Devemos então obter uma ação para descrever nosso sistema. Podemos expandir
a ação de Einstein até termos de segunda ordem na pertubação, já que o termo de ordem zero
e primeira ordem são zero se considerarmos uma expansão em torno da métrica de Minkowski.
Então
SEH =c3
16πG
∫R√−gd4x
=c3
16πG
∫gµνRµν
√−gd4x,
usando que
gµνRµν = (nµν − hµν)(R(1)µν +R(2)
µν ), (164)
onde
R(1)µν =
1
2(∂λ∂µh
λν + ∂λ∂νhµλ −hµν − ∂µ∂νh)
R(2)µν =
1
2
[1
2∂µhαβ∂νh
αβ + ∂βhνα(∂βhαµ − ∂αhβµ
)+ hαβ
(∂µ∂νh
αβ + ∂α∂βhµν − ∂β∂νhαµ − ∂β∂µhαν)
−(∂αh
αβ − 1
2∂βh
)(∂µhνβ + ∂νhµβ − ∂βhµν)
]e −g = 1 + h então
SEH = − c3
64πG
∫d4x[∂µhαβ∂
µhαβ − ∂µh∂µh+ 2∂µhµν∂νh− 2∂µh
µν∂ρhρµ]. (165)
O primeiro termo do tensor contentando a derivada com respeito as derivadas da pertubação,
avaliados no calibre transverso é
∂L
∂(∂µhαβ)= − c4
32πG∂µhαβ, (166)
54
o termo < L > é igual a zero, pois todos os termos de L ou produzem termos de derivada total
ou termos que são zero devido as equações de movimentos hµν = 0, então, o tensor de energia
momento total é
tµν =c4
32πG< ∂µhαβ∂νhαβ > . (167)
Os termos dentro dos <> não são invariante por transformações de calibre, mas é perda de
tempo buscar outra expressão para a energia, já que o princípio da equivalência nos diz que dado
um ponto, podemos sempre escolher um sistemas de coordenadas tal que o campo gravitacional
é nulo. Então, qualquer candidato para ser a expressão local da energia gravitacional pode ser
sempre zerada com uma transformação de coordenadas. Então, não podemos fazer melhor do
que calcular uma média espacial ou temporal do tensor de energia momento, já que a energia
das ondas gravitacionais não podem ser localizadas.
Poderíamos obter o mesmo resultado se expandíssemos a equação de Einstein em torno de
uma métrica de fundo mais geral e permitíssemos que a métrica de fundo sofresse curvatura.
Mas fazendo isso, ficaríamos com o problema para distinguir entre as ondas gravitacionais e
as variações na métrica de fundo devido ao tensor de energia momento da matéria, uma boa
discussão desse assunto se encontra em [9]
Usando a conservação do tensor de energia momento, podemos obter uma fórmula para o
fluxo de energia e o fluxo de momento
dE
dt=
c3r2
32πG
∫dΩ < hTTij h
TTij >,
dP k
dt= − c3r2
32πG
∫dΩ < hTTij ∂
khTTij > .
3.7 Como detectar Ondas Gravitacionais
Uma forma indireta de detectar ondas gravitacionais é observar a evolução de sistemas
binários. Como mostrado anteriormente, dois objetos em órbita circular emitem ondas gravita-
cionais, e por consequência, olhando para o tensor de energia associado as ondas gravitacionais,
perdem energia. Perdendo energia, a distância entre os dois objetos diminui, a órbita decai. A
55
primeira observação foi feita por Joseph Taylor e Russel Hulse, ao observar um sistema binário
de estrelas de neutron, eles mediram com boa precisão o período orbital das duas estrelas e
notaram que o tempo de órbita das duas estrelas estava diminuindo lentamente. Esse efeito
concorda em boa precisão com o que é esperado se as estrelas de neutrons estivessem emitindo
radiação gravitacional [9].
Figura 1: A linha sólida é o decaimento previsto pela relatividade e os pontos são os dados coletados.
Do estudo sobre a interação das ondas gravitacionais com partículas teste, notamos que a
distancia própria oscila enquanto a onda gravitacional está passando, concluímos que podemos
usar a luz para medir a luz para medir a presença das onda gravitacionais, já que o tempo de
deslocamento da luz irá variar se a distância variar. Um aparato conhecido que utiliza a luz é
o interferômetro, que consiste em um laser que é divido em duas partes que viajam por braços
perpendiculares e depois são recombinados.
56
A potência medida por fotodetector é
|E|2 = |E0|2 sin2[wLc
(Lx − Ly)], (168)
onde Lx e Ly são os tamanhos dos braços, se considerarmos a onda gravitacional viajando no
eixo z com apenas a polarização +, o tamanho do braço no eixo x e y variam
Lx =c(t2 − t1)− c
2
∫ t2
t1
dt′h+(t′),
Ly =c(t2 − t1) +c
2
∫ t2
t1
dt′h+(t′).
57
logo a a potência detectada pelo fotodetector irá variar proporcionalmente à amplitude da onda
gravitacional. A diferença entre os tamanhos do braço causará uma diferença de fase entre os
raios de luz quando os mesmos forem combinados. Considerando que a onda gravitacional
possui um comprimento de onda muito maior que o interferômetro a diferença de fase é
δφ ≈ h
(t− (Lx + Ly)
2c
)wLc
(Lx + Ly) (169)
Então, quanto maior o interferômetro, maior a diferença de fase. Utilizando este método ondas
gravitacionais foram detectadas, um estudo detalhado sobre o detector, análise de dados e todas
as detecções recentes se encontra em [9]
58
4 Solução Schwarzschild
Esta solução foi primeiramente obtida por Karl Schwarzschild em 1916. A ideia era obter
uma solução que descrevesse o exterior de objetos como a terra e o sol.Todo conteúdo desta
seção é baseado em [3] [4] [8].
Com o intuito de simplificar as equações diferenciais originadas da equação de Einstein,
devemos assumir algumas coisas, parece interessante explorar simetria esférica e configurações
estáticas no vácuo.
• A métrica não dependerá de φ e θ, não teremos termos cruzados do tipo espaço-espaço.
• A métrica não dependerá do tempo e de termos cruzados do tipo tempo-espaço, pelo
teorema de Birkhoff, qualquer solução esfericamente simétrica da equação de Einstein no
vácuo é estática.
Tal solução é conhecida como solução de Schwarzschild, que pode ser obtida a partir de Rµν −12gµνR = 0, assumindo o que já foi dito, isso equivale a determinar os coeficientes U e V da
seguinte métrica
ds2 = −U(r)dt2 + V (r)dr2 + r2(dθ2 + sin2θdφ2) (170)
Os símbolos de Christoffel não nulos são:
Γ001 =Γ0
10 =U ′
2U,
Γ100 =
U ′
2V,
Γ111 =
V ′
2V,
Γ122 = − r
V,
59
Γ133 = − r
Vsin2θ,
Γ212 = Γ2
21 =1
r,
Γ233 = −cosθsinθ,
Γ313 = Γ3
31 =1
r,
Γ332 = Γ3
23 = cotθ,
onde ’ indica derivada em relação a r.
As componentes não nulas do tensor de Ricci são:
R00 = −U′′
2V+U ′V ′
4V 2+
(U ′)2
4UV− U ′
rV
R11 =U ′′
2U− U ′V ′
4V U− (U ′)2
4U2− V ′
rV
R22 =rU ′
2UV+
1
V− rV ′
2V 2− 1
R33 = sin2θR22,
assim o escalar de Ricci também pode ser calculado,
R =U ′′
UV− U ′V ′
2UV 2− (U ′)2
2U2V+
2U ′
rUV− 2V ′
rV 2− 2
r2+
2
r2V. (171)
Inserindo o que foi calculado na equação de Einstein resulta em um conjunto de equações
envolvendo V, U e r,
60
R00 −1
2g00R =
V ′
rV 2+
1
r2− 1
r2V= 0,
R11 −1
2g11R = − U ′
rUV+
1
r2− 1
r2V= 0,
R22 −1
2g22R = −U
′
U+V ′
V− rU ′′
U+rU ′V ′
2UV+r(U ′)2
2U= 0,
R33 −1
2g3R = R22 +
r2
rR = 0.
Resolvendo essas equações impondo que a métrica se reduza à métrica de um espaço plano
quando r →∞, acha-se expressões para U e V:
V =1
1− Cr
,
e
U = (1− C
r).
A comparação com a métrica de campo fraco e baixas velocidades nos leva à um valor para C,
C =2GM
c2. (172)
Então a solução final é
ds2 = −(
1− 2Gm
c2r
)dct2 +
(1− 2Gm
c2r
)−1
dr2 + r2(dθ2 + sin2θdφ2). (173)
É interessante notar que o único parâmetro livre é a massa total do objeto, isso implica que a
métrica exterior à um objeto esférico e estático é completamente determinada por sua massa,
independente da forma que o tensor de energia momento assume dentro do objeto.
61
4.1 Medidas de tempo e distância, interpretações das coordenadas e
da métrica.
É interessante notar que tal métrica, quando r →∞, tende a
ds2 = −dct2 + dr2 + r2(dθ2 + sin2θdφ2), (174)
quando isso ocorre, a métrica é dita assintoticamente plana.
As coordenadas polares θ e φ possuem sua interpretação e alcance usual. Já a coordenada
t pode ser interpretada como tempo próprio de um observador estático no infinito, visto que
a métrica é assintoticamente plana. Ao menos de um fator de conversão, a coordenada t pode
ser concorda com a tempo próprio medido por um observador com suas coordenadas espaciais
fixas, e por isso a métrica de Schwarzschild é dita adaptada a esses observadores estáticos.
Claramente o alcance da coordenada t não é restrito.
A medida de tempo em um espaço com a geometria Schwarzschild é interessante. Considere
um observador estático, o tempo próprio deste observador então é
dτ =
√1− 2GNM
c2rdt < dt = dτ∞ (175)
onde τ∞ é o tempo próprio de um observador estático no infinito. A expressão mostra que o
tempo próprio de um observador próximo a um objeto massivo é menor do que o tempo próprio
medido por um observador distante, como já mencionado.
A coordenada r não pode ser interpretada como a distância da origem até um ponto qualquer
espaço pois a componente g11 6= 0, apesar disso, se notarmos que para t e r constantes a métrica
assume a geometria de uma 2-esfera, r pode ser interpretado como o raio de uma esfera de raio
constante.
A medida de distância em um espaço com a geometria Schwarzschild também é interessante.
Considere novamente um observador estático, então o elemento de linha se torna
62
ds =dr√
1− 2GNMc2r
, (176)
que pode ser integrado, considerando r muito maior que 2GNMc2
,
∆S =
∫ r2
r1
dr√1− 2GNM
c2r
≈∫ r2
r1
(1 +
GNM
c2r
)dr = ∆r +
GM
c2ln
(r2
r1
), (177)
onde ∆r = r2 − r1. Note que a distancia própria medida é maior que diferença entre as
coordenadas r2 e r1, porém, o fator adicional não costuma ser grande. Por exemplo, distância
entre a Terra e Lua pode ser corrigida, devido a presença do Sol, em
GM
c2ln
(r2
r1
)≈ 3m. (178)
Para efeito astronômicos, a coordenada r é uma boa aproximação para a distância real. Como a
métrica é construída para descrever a área exterior à uma estrela, as vezes é dito que a métrica
é valida somente em r0 < r < r onde r0 é o raio da estrela.
4.1.1 Singularidades
Qualquer ponto em que métrica se torna infinita ou apresenta algum outro comportamento
patológico é chamado de singularidade. A métrica de Schwarzschild apresenta singularidades
em r = 0 e
rs =2GNM
c2. (179)
Singularidades podem ser de dois tipos: singularidades de coordenada e singularidades “físi-
cas". Uma singularidade de coordenada é apenas uma má escolha de coordenadas e podemos
removê-las escolhendo cuidadosamente novas coordenadas, um exemplo é a métrica plana em
coordenadas polares, em r = 0 a inversa da métrica tende ao infinito mas o ponto r = 0 não
apresenta nenhuma diferença de qualquer outro ponto no plano. Singularidades físicas são sin-
gularidades da geometria, são pontos no qual os escalares de curvatura divergem e não podemos
remover mudando coordenadas, o escalar de Kretschmann
63
K = RabcdRabcd, (180)
é igual a
K =48G2M2
c4r6(181)
para a métrica de Schwarzschild, e claramente não diverge para r = rs e sim para r = 0,
lembre-se que dentro de uma estrela a geometria não é dada pela métrica de Schwarzschild, por
isso não devemos nos importar com essa singularidade em r = 0 para estes objetos .
Talvez possa parecer apropriado que a coordenada r esteja limitada em r > rs, onde rs é
chamado de raio de Schwarzschild, mas note que a métrica não apresenta nenhum problema
para r < rs .
Na maioria dos casos práticos essa limitação não é aplicada pois o raio de grande parte dos
objetos físicos é quase sempre muito maior que o raio de Schwarzschild, por exemplo para um
proton, terra e o sol, os raios de Schwarzschild são
rs ≈ 2, 5× 10−52cm << r0 ≈ 10−13cm,
rs ≈ 1cm << r0 ≈ 6000km,
rs ≈ 3km << r0 ≈ 7× 105km.
Porém, para alguns objetos mais compactos, como por exemplo estrelas de neutrons, o raio de
Schwarzschild pode vir a ser da ordem de 0.1r0 e coisas interessantes podem ocorrer com estes
objetos.
Por completeza, podemos mostrar como eliminar a singularidade usando as coordenadas de
Kruskal, definidas por
u =( r
2m− 1) 1
2e
r4m cosh
(t
4m
)(182)
u =( r
2m− 1) 1
2e
r4m sinh
(t
4m
). (183)
Nessas coordenadas, a métrica de Schwarzschild assume a seguinte forma
ds2 =32m3
re−
r2m (−dv2 + du2) + r2(dθ2 + sin2θdφ2), (184)
64
onde u e v se relacionam da seguinte maneira
u2 − v2 = er
2m
( r
2m− 1) 1
2 (185)
Se olharmos para a métrica nessas coordenadas, podemos inferir que não existe singularidade
em r = 2m.
4.1.2 A métrica em coordenadas isotrópicas
Ao escrever a métrica em coordenadas isotrópicas, podemos observar que a métrica de
Schwarzschild talvez possa ser usada para algo mais alem do que descrever a região exterior à
uma estrela.
A ideia é agrupar a parte espacial da métrica da seguinte forma
(1 +
2m
r
)−1
dr2 + r2dΩ2 = B2(ρ)(dρ2 + ρ2dΩ2), (186)
Então, para que a parte angular seja igual ,
B2(ρ)ρ2 = r2, (187)
e para a parte radial ser igual,
B2(ρ)dρ2 =dr2
1− 2M/r, (188)
e dividindo as duas equações
dρ2
ρ2=
dr2
r2 − 2Mr, (189)
cujo resultado da integração é
r = ρ
(1 +
m
2ρ
)2
. (190)
65
A métrica de Schwarzschild em coordenadas definida por
r = ρ
(1 +
m
2ρ
)2
, (191)
é
ds2 = −(1− m
2ρ)2
(1 + m2ρ
)2dt2 +
(1 +
m
2ρ
)4
(dρ2 + ρ2dΩ2) (192)
Note que r →∞ para ρ→∞ e ρ→ 0, enquanto r = 2m para ρ = m/2, logo essas coordenadas
cobrem duas vezes a região que as coordenadas de Schwarzschild cobrem. A métrica nesta forma
parece descrever não só uma região, mas sim duas regiões assintoticamente planas ligadas por
uma 2-esfera r = 2m, o que indica que a solução de Schwarzschild talvez possa ser usada para
descrever algo além do seu propósito inicial.
4.1.3 Buracos Negros
Suponha que existe um objeto cujo raio é menor que o raio de Schwarzschild, como seria se
viajássemos em queda livre até esse objeto?
Considere uma partícula se movendo radialmente no espaço tempo de Schwarzschild, as equa-
ções de movimento (que serão derivadas com mais detalhes nas próximas seções) são
dt
dτ=
E
1− 2mr
,dr
dτ= −
√E2 − 1 +
2m
r
dθ
dτ= 0,
dφ
dτ= 0.
Supondo que a partícula estava em repouso no infinito, E = 1, e as equações se reduzem a
dt
dτ=
1
1− 2mr
,dr
dτ= −
√2m
r.
A segunda equação pode ser integrada, escolhendo r = r0 quando τ = 0,
66
τ(r) = −∫ r
r0
dr′√
r′
2m
= − 1√2m
∫ r
r0
dr′√r′
=2
3
1√2m
(r
3/20 − r3/2
).
Do ponto de vista de uma partícula em queda livre na direção do objeto ela se vê ultrapassando
o raio de Schwarzschild em um tempo infinito. O movimento da partícula é completamente
regular, apesar da singularidade em rs as coordenadas de Schwarzschild são capazes de descrever
o movimento de partículas em r < rs.
Agora considere um observador estacionário no infinito, ele mede as coordenadas Schwarzs-
child, já que á métrica é assintoticamente plana. Para ele então, combinando as equações de
dt e dr,
dt
dr= − 1
1− 2mr
√r
2m. (193)
O resultado da integração é
t(r) =2
3
1√2m
(r
3/20 − r3/2 + 6mr
1/20 − 6mr1/2
)+ 2mln
[√r0 −
√2m
√r0 +
√2m
√r +√
2m√r −√
2m
].
Que diverge para r = 2m. Do ponto de vista de um observador no infinito, um relógio caindo
em um buraco negro irá parecer que está se movendo cada vez mais devagar enquanto ele se
aproxima de r = 2m. De fato, um observador externo nunca observará a partícula teste cruzar
o horizonte de eventos, ele apenas verá a partícula se aproximando e se movendo mais e mais
lentamente.
Podemos também ver a estrutura causal nas coordenadas de Schwarzschild, resolvendo as
equações de movimento radial para partículas sem massa
67
0 = gµν xµxν ⇒ 0 = −
(1− 2Gm
c2r
)c2
(dt
dσ
)2
+
(1− 2Gm
c2r
)−1(dr
dσ
)2
,
logo
dt = ±1
c
(1− 2Gm
c2r
)dr, (194)
onde o sinal de mais e menos indica se a partícula está inicialmente se afastando ou se aproxi-
mando do objeto de massa m. O resultado da integração é
ct = ±(r +
2Gm
c2ln
∣∣∣∣ c2r
2Gm− 1
∣∣∣∣) (195)
e plotando os resultados, obtém-se o seguinte gráfico :
Os raios em vermelho estão inicialmente se afastando de r = 0, e os azuis se aproximando de
r = 0. Observe que para r grande o cones de luz se asemelha com os cones de luz de um espaço
tempo plano. Note que para r < rs todas as geodésicas resultam em r = 0, nenhuma geodésica
consegue escapar para o infinito. Veja também que nenhuma geodésica se aproximando cruza
a superfície em r = rs o que contradiz o resultado obtido ao estudar o movimento no ponto de
vista próprio da partícula.
68
Para valores r < rs as componentes g00 e g11mudam o sinal, os papeis de r e t são trocados,
a consequência física disso é que a partícula não poderá escolher o estado do seu movimento
radialmente, ela necessariamente irá se mover para valores menores de r e consequentemente
chegar em r = 0.
A singularidades em r = rs é chamada de horizonte de eventos, pois fora desta superfície
podemos enviar sinais em qualquer direção e os mesmos se propagarão nestas direções, já
para r < rs qualquer sinal enviado “em direção"ao o infinito irá se propagar em direção a
singularidade, uma vez em r < rs é impossível voltar e para um observador em r > rs impossível
ter informações dos eventos em r < rs.
A conclusão que podemos chegar é que a métrica de Schwarzschild pode não só ser usada para
descrever o exterior de um estrela, mas também ser usada para descrever um objeto exótico,
que uma vez dentro deste objeto não é possível escapar. Estes objetos exóticos recebem o nome
buraco negro.
Buracos negros se formam através do colapso gravitacional de uma estrela. Estrelas são im-
pedidas de colapsar devido a própria gravidade graças a pressão gerada pelas reações nucleares
em seus núcleos. Eventualmente essas reações acabam e a estrela começa a contrair, a única
forma de impedir a contração da estrela é se existir alguma outra fonte de pressão, uma dessas
fontes surgem do princípio da exclusão de Pauli, que torna um gás de fermions resistente a
contração. É possível mostrar que para além de um limite de massa nenhuma força é capaz de
impedir o colapso, e então, de acordo com o teorema de Penrose, a formação da singularidade
é inevitável e ela necessariamente estará confinada na região r < rs [6].
69
Figura 2: Colapso gravitacional nas coordenadas de Eddington–Finkelstein [7], a superfície da estrela é repre-
sentada pela linha sólida, note que um observador distante nunca vê a superfície da estrela cruzar o raio de
Schwarzschild.
4.2 Movimento de partículas com massa e fótons
Alguns resultados interessantes podem ser obtidos ao estudar o movimento de partículas mas-
sivas e sem massa na métrica obtida anteriormente.
As equações que determinam o movimento de partículas podem ser obtidas, assim como na
relatividade especial, ao minimizar o funcional:
S =
∫ √− < u, u >dτ, (196)
onde u é a quadrivelocidade e τ é o tempo próprio.
Como δS = 0, então
δS = δ
(∫ √− < u, u >dτ
)=
∫−δ < u, u >
2√− < u, u >
dτ, (197)
70
logo é equivalente e mais fácil utilizar
S =
∫1
2< u, u >=
∫Ldτ (198)
para obter as equações de movimento,
com
L =1
2gµν x
µxν (199)
onde
gµν =
−(1− 2Gm
c2r
)0 0 0
0(1− 2Gm
c2r
)−10 0
0 0 r2 0
0 0 0 r2sin2θ
(200)
logo,
L =1
2< u, u >=
1
2
[−(
1− 2Gm
c2r
)t2 +
(1− 2Gm
c2r
)−1
r2 + r2(θ2 + sin2θφ2)
](201)
onde L = −12para partículas massivas e L = 0 para luz, devido a normalização da quadrive-
locidade. O ponto a cima das variáveis indicam derivadas com relação ao tempo próprio.
Supondo que o movimento é realizado no plano equatorial, θ = π2então θ = 0
L =1
2< u, u >=
1
2
[−(
1− 2Gm
r
)t2 +
(1− 2Gm
r
)−1
r2 + r2φ2)
], (202)
as equações de movimento para φ e t serão obtidas través das equações de Euler-Lagrange
∂L
∂xµ− d
dτ
(∂L
∂xµ
)= 0. (203)
71
Como L não depende explicitamente de t e φ espera-se quantidades conservadas,
∂L
∂φ= r2φ2 = const
∂L
∂t= −
(1− 2Gm
c2r
)t2 = const.
A quantidade conservada associada à φ é a mesma expressão para o momento angular no caso
clássico, logo
φ2 =L
r2. (204)
No caso clássico, a quantidade conservada associada à t é a energia. Podemos fazer então
E = t2(
1− 2Gm
c2r
), (205)
se notarmos que quando r →∞
E → dt
dτ(206)
e como a métrica é assintoticamente Minkowski, dtdτ
= γc2, então
E → γc2, (207)
que é a expressão da relatividade especial para a energia por unidade de massa . Logo iremos
interpretar a quantidades associada a t como energia por unidades de massa.
Substituindo as relações em L
2L =
[(1− 2Gm
c2r
)−1
(r2 − E2) +L2
r2
]. (208)
Note que não estou utilizando as equações de Euler-Lagrange para obter a equação de movi-
mento para r, na verdade estou usando a normalização da quadrivelocidade como artifício e
por isso podemos substituir essas relação não-holônomas em L.
72
Sabendo que 2L = −1 para partículas massivas e 2L = 0 para luz, podemos reescrever a ultima
equação como
ε =
[(1− 2Gm
c2r
)−1
(r2 − E2) +L2
r2
](209)
onde
ε =
−1 para partículas com massa
0 para partículas sem massa(210)
fazendo m = Gm/c2, multiplicando por (1− 2m/r)/2 e reagrupando os temos
E2 + ε
2=r2
2+εm
r+L2
2r2− mL2
r3, (211)
note que a equação se parece muito com a equação do caso newtoniano se nomearmos
Eef =E2 + ε
2,
Vef =εm
r+L2
2r2− mL2
r3.
Para ε = −1 o potencial efetivo “newtoniano"é corrigido por um termo cubico
Vef (r) = −mr− mL2
r3. (212)
Já para ε = 0 o potencial gravitacional não é nulo como no caso newtoniano,
V (r) = −mL2
r3. (213)
O potencial efetivo para ambos os casos é completamente regular para r = rs.
Usando a mudança de variável r = 1/u , e notando que
73
dr
dτ= − 1
u2
du
dτ(214)
logo, usando a conservação do momento angular e abrindo a regra da cadeia
du
dτ= Lu2 du
dφ. (215)
Substituindo essas equações em
E2 + ε
2=r2
2+εm
r+L2
2r2− mL2
r3, (216)
o resultado é
(du
dφ
)2
+ u2 =E2 + ε
L2− 2ε
mu
L2+ 2mu3, (217)
e derivando em relação a φ
(d2u
dφ2
)2
+ u = −ε mL2
+ 3mu2 (218)
A comparação dos resultados mostra que a relatividade geral contribui com um termo a mais,
3mu2, como esperado.
A razão do entre os termos do lado direito da equação para uma partícula massiva é
3mu2
mL2
= 3u2L2 = 3(rφ)2 ≈ 7.7× 10−8, (219)
para o planeta Mercúrio.
Já para uma partícula sem massa a razão entre os termos que sobram, para valores do sistema
solar, é
3mu2
u= 3mu ≈ 10−6. (220)
74
Para ambos os casos, as razões sugerem que podemos usar teoria de pertubação.
4.2.1 Avanço do Periélio em uma Teoria Escalar
Se insistíssemos em manter uma métrica plana para tentar descrever a gravidade notaríamos
inconsistências, a caráter de comparação, podemos calcular o avanço do periélio em uma teoria
escalar.
A lagrangeana mais geral possível que se reduz à teoria limite newtoniano corretamente é
L = −mc√−nµν xµxν(1 + φ), (221)
escrevendo o termo da raiz como e notando que φ = φ/c2
√−nµν xµxν =
√c2 − ~v2 = c
√1− ~β2, (222)
com ~β = ~v/c, o limite de campo fraco é facilmente verificado
L ≈ −mc2
(1− ~v2
2c2
)(1 + φ) ≈ −mc2 +
m
2~v2 −mc2φ (223)
As equações de movimento podem ser obtidas utilizando as equações de Euler-Lagrange
∂L
∂xµ− d
dt
(∂L
∂xµ
)= 0, (224)
onde
∂L
∂xµ=
mcβµ√1− ~β2
(1 + φ)
d
dt
(∂L
∂xµ
)= mc(1 + φ)
βµ√1− ~β2
+βµ ~β.~β
(1− β2)(3/2)
+mcβµ√1− ~β2
φ.
75
Considerando um potencial estático, φ = 0, e um movimento não relativístico, β << 1, então
∂L
∂xµ=
mcβµ√1− ~β2
(1 + φ) ≈ mc2
(1− β2
2
)~∇φ ≈ −mc2~∇φ
d
dt
(∂L
∂xµ
)= mc(1 + φ)
βµ√1− ~β2
+βµ ~β.~β
(1− β2)(3/2)
+mcβµ√1− ~β2
φ
≈ mc(1 + φ)~β
(1 +
β2
2
)≈ m(1 + φ)~x,
logo
~x = −c2~∇(φ− φ2
2
). (225)
Comparado com a equação newtoniana, o potencial aqui é perturbado por um termo quadrático.
O avanço do periélio é dado, na teoria newtoniana, por
∆θ = 2
∫ r1
r0
drdθ
dr, (226)
a integração é feita do raio do periélio até o raio do afélio.
Substituindo a relação do raio com o angulo polar
dr
dθ=mr2
L
√2
m(E − V − L2
2mr2) =
r2
L
√2m(E − V )− L2
r2, (227)
o avanço então é
∆θ = −2∂L
∫ r1
r0
dr
√2m(E − V )− L2
r2(228)
Dividindo o potencial V em um termo newtoniano V0 e uma pertubação δV e expandindo a
integrando na menor ordem em δV
∆θ = −2∂L
∫ r1
r0
dr√K0
(1− mδV
K0
), (229)
com
K0 = 2m(E − V0)− L2
r2. (230)
76
O primeiro termo da integração é zero pois a órbita na teoria newtoniana é fechada, então
∆θ = 2∂L
∫ r1
r0
dr
(mδV√K0
), (231)
e usando
dr
dφ≈ r2
L
√K0, (232)
podemos mudar a variável de integração para φ
∆θ = ∂L2m
L
∫ π
0
dφ r2δV. (233)
O potencial e a pertubação então são
V0 = mc2φ = −GMm
r
δV = mc2φ2
2=mc2
2
V 20
m2c4=G2M2m
2c2r2,
substituindo na equação do desvio e integrando
∆θ = −πG2M2m2
c2L2, (234)
como o momento angular é igual a
GMm2α(1− e2) (235)
então
∆θ = − πGM
c2α(1− e2). (236)
Utilizando os valores de massa do sol e das órbitas de Mercúrio, calculado para um século
77
∆θ = −7′′ (237)
4.2.2 Avanço do Periélio De Mercúrio
O tratamento das órbitas de Kepler nos dá seguinte solução para uma órbita fechada:
u0 =1
p(1 + e cosφ), (238)
com,
p = α(1− e2) =L2
m(239)
onde e é a excentricidade da órbita e α é a distancia do sol no periélio.
Usando teoria de pertubação então, podemos aproximar 3mu2 para 3mu20 então
u′′ + u =m
L2+
3m
p2(1 + e cosφ)2. (240)
A solução desta equação diferencial é
u =1
p(1 + e cosφ) +
3m
p2+
3m
p2eφ sinφ+
e2
2
(1− 1
3cos 2φ
)(241)
Esta solução tem seu periélio em φ = 0 pois a solução não perturbada u0 também tem o periélio
quando φ = 0, u′ = 0 quando φ = 0, logo o raio orbital em um extremo em φ = 0.
Usando esta equação, começando com o primeiro periélio em φ = 0 e esperando aproximada-
mente um revolução, o próximo periélio correrá em φ = 2π + δφ, então devemos descobrir o
valor de δφ para que u′ = 0 novamente. Sob essas condições então
− sin δφ+3m
p
(sin δφ+ (2π + δφ) cos δφ+
e
3sin 2δφ
)= 0 (242)
78
ou, em primeira ordem em δφ,
δφ =3m
p
(2δφ+ 2π +
2e
3δφ
), (243)
simplificando,
δφ
(1− 6m
p(1 +
e
3)
)≈ 6πm
p=
6πm
α(1− e2). (244)
O resultado é -6 vezes o resultado da teoria escalar considerada anteriormente ou seja, δφ ≈ 43′′
por século para as órbitas de Mercúrio, e satisfaz muito bem as observações.
4.2.3 Deflexão da Luz
Escolhendo a orientação dos eixos de coordenadas de tal forma que uma partícula se aproxi-
mando do infinito terá
φ = 0 (245)
e a partícula escapando para o infinito terá
φ = π + δ. (246)
79
A solução da equação homogênea
u′′ + u = 0 (247)
é
u0 =sinφ
b, (248)
onde b é o parâmetro de impacto.
Inserindo esta solução na equação diferencial
u′′ − u = 3mu2 =3m
2b2(1− cos 2φ), (249)
cuja solução é
u1 =3m
2b2
(1 +
1
3cos 2φ− 4
3cos 2φ
), (250)
80
então a solução geral é u = u0 + u1
u =sinφ
b+
3m
2b2
(1 +
1
3cos 2φ− 4
3cos 2φ
). (251)
A solução deve ser zero quando a partícula escapa para o infinito, então, substituindo φ = π+δ
a solução aproximada é
u ≈ −δb
+4m
b2≈ 0, (252)
logo
δ ≈ 4m
b, (253)
para um raio de luz passando próximo à superfície do sol
δ ≈ 4m
b= 1.74′′. (254)
Este resultado é duas vezes o resultado obtido utilizando a métrica de campo fraco e baixas
velocidades.
81
Referências
[1] Dicke, R. H. Experimental Tests of Mach’s Principle. Physical Review Letters. 7 9:
359–360.
[2] Daniela Saadeh, Stephen M. Feeney, Andrew Pontzen, Hiranya V. Peiris, e Jason D.
McEwen. How Isotropic is the Universe?. Phys. Rev. Lett. 117, 131302.
[3] Ray d’Inverno. Introducing Einstein’s Relativity. Clarendon Press
[4] Charles Misner, John Archibald Wheeler e Kip Thorne. Gravitation. W. H. Freeman and
Company
[5] Selected Solutions of Einstein’s Field Equations: Their Role in General Relativity and
Astrophysics. Charles Universitys
[6] R. Penrose. "Gravitational collapse and space-time singularities". Phys. Rev. Let. 14
[7] M. P. Hobson , G. P. Efstathiou , A. N. Lasenby. General Relativity: An Introduction for
Physicists. Cambridge University Press
[8] Sean Carroll. Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity Addison-
Wesley Professional
[9] Michele Maggior. Gravitational Waves: Volume 1 e Volume 2 Oxford University Press
[10] Valeria Ferrari, Lecture Notes
[11] Bernard F. Schutz Gravitational waves on the back of an envelope Am. J. Phys. 52, 412
(1984)
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