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Informação Quântica e Informação Quântica e Teoria da RelatividadeTeoria da Relatividade

Seminário de Teoria Quântica de Seminário de Teoria Quântica de Campos ICampos I

Miguel QuartinMiguel QuartinJunho 2005Junho 2005

22

ResumoResumo Conceitos PreliminaresConceitos Preliminares Aquisição de InformaçãoAquisição de Informação

DescoerênciaDescoerência Matrizes de Kraus e POVMsMatrizes de Kraus e POVMs

O Processo Relativístico de MedidaO Processo Relativístico de Medida Não Localidade Quântica?Não Localidade Quântica? Analogias ClássicasAnalogias Clássicas

Entropia Quântica e Relatividade RestritaEntropia Quântica e Relatividade Restrita TQC e Relatividade Geral TQC e Relatividade Geral Conclusões Conclusões Problemas em AbertoProblemas em Aberto ReferênciasReferências

33

Conceitos PreliminaresConceitos Preliminares

O operador densidade O operador densidade ρρ:: iii

ip

Permite a descrição de estados de misturaPermite a descrição de estados de mistura Possui vantagens na descrição de estados puros:Possui vantagens na descrição de estados puros:

|| ; e ; e i i | | resultam no mesmo resultam no mesmo ρρ As fórmulas acima são lineares em As fórmulas acima são lineares em ρρ, mas , mas

quadráticas em |quadráticas em |..

)](Tr[)()()( tPtPta nnn Ρrob

])(Tr[)()()( AttAttA 1)Tr( Se o estado for puro:

44

Conceitos Preliminares (2)Conceitos Preliminares (2)

Operador densidade reduzido e traços parciais:Operador densidade reduzido e traços parciais:

)2()1( HHH Sejam { |u(1) } e { |v(2) } bases de H(1) e H(2)

vuvuuuv

]1[)(Tr:]1[ 2

)(TrTr)Tr( 21

)1(]1[Tr)1(~

AA )2()1(~

1AA

55

Conceitos Preliminares (3)Conceitos Preliminares (3)

O operador O operador ρρ[1] nos permite calcular todos os [1] nos permite calcular todos os valores esperados valores esperados como se o sistema 1 estivesse como se o sistema 1 estivesse isoladoisolado e seu operador de densidade fosse e seu operador de densidade fosse ρρ[1];[1];

Não há um vetor de estado que descreva o sistema Não há um vetor de estado que descreva o sistema 1 quando o sist. total não estiver em um estado 1 quando o sist. total não estiver em um estado produto direto. O operador produto direto. O operador ρρ[1], no entanto, sempre [1], no entanto, sempre existe.existe.

DificuldadeDificuldade: a evolução temporal de : a evolução temporal de ρρ[1] em geral [1] em geral depende do operador depende do operador ρρ completo; completo;

)(),()( ttHtdt

di ?)](1[ t

dt

di

66

Conceitos Preliminares (4)Conceitos Preliminares (4) Um estado quântico Um estado quântico nãonão é uma grandeza física, cujo é uma grandeza física, cujo

valor (embora desconhecido) seja bem determinado;valor (embora desconhecido) seja bem determinado; A noção contrária não possui nenhuma evidência A noção contrária não possui nenhuma evidência

experimental e nos leva a aparentes paradoxos;experimental e nos leva a aparentes paradoxos; Estes paradoxos são frutos de uma interpretação Estes paradoxos são frutos de uma interpretação

incorreta da MQ, que por si só nunca é contraditória;incorreta da MQ, que por si só nunca é contraditória; || e e ρρ meras meras expressões matemáticas que codificam expressões matemáticas que codificam

informaçãoinformação sobre potenciais resultados de nossas sobre potenciais resultados de nossas intervenções;intervenções;

Uma situação física contendo vários observadores Uma situação física contendo vários observadores nãonão pode ser descrita por pode ser descrita por (t)(t) com lei relativística de com lei relativística de transformação.transformação.

Ex.:Ex.: “Paradoxo” EPRB “Paradoxo” EPRB se se AA mede mede Z Z = +1, quando o = +1, quando o estado do spin de estado do spin de BB muda p/ aquele onde muda p/ aquele onde Z Z = -1 com = -1 com prob. = 1?prob. = 1?

77

Aquisição de InformaçãoAquisição de Informação A preparação e a medida são realizadas por dispositivos A preparação e a medida são realizadas por dispositivos

macroscópicos macroscópicos descritos em termos clássicos; descritos em termos clássicos; O aparato obedece à MQ durante a interaçãoO aparato obedece à MQ durante a interação Ao término, ele é “desquantizado” e descrito por uma Ao término, ele é “desquantizado” e descrito por uma

densidade clás. de Liouville (e não 1 ponto no esp. de densidade clás. de Liouville (e não 1 ponto no esp. de fase);fase);

““Uma medida força o sistema a um salto para o auto-Uma medida força o sistema a um salto para o auto-estado associado à variável medida”.estado associado à variável medida”. Este salto (ou colapso), é algo que ocorre na nossa Este salto (ou colapso), é algo que ocorre na nossa

descrição do sistemadescrição do sistema, e não no próprio sistema., e não no próprio sistema. Se o resultado de uma medida é a ausência de Se o resultado de uma medida é a ausência de

detecção, não importa se isto foi fruto de um detector detecção, não importa se isto foi fruto de um detector mal projetado ou de uma prob. < 1 de um detector mal projetado ou de uma prob. < 1 de um detector perfeito ser ativado. perfeito ser ativado. O sistema quântico não permanece O sistema quântico não permanece inalterado!inalterado!

88

Aquisição de Informação (2)Aquisição de Informação (2) Intervenções se iniciam por uma interação do sistema Intervenções se iniciam por uma interação do sistema

com o aparato de medida, chamada com o aparato de medida, chamada pré-medidapré-medida..

A escolha de UA escolha de USSλλ determina qual propriedade do sistema determina qual propriedade do sistema está correlacionada ao aparato e é, portanto, medida;está correlacionada ao aparato e é, portanto, medida;

Detectores são descritos por operadores positivos Detectores são descritos por operadores positivos EE.. A prob. do detector A prob. do detector ser excitado é Tr( ser excitado é Tr(ρρEE);); Um conj. completo de EUm conj. completo de E constitui uma constitui uma

POVMPOVM (Positive Operator-Valued Measure); (Positive Operator-Valued Measure); Em geral: POVM ≠ medida de observável.Em geral: POVM ≠ medida de observável.

,S

SSS

S UcAsc Estamos supondo que o estado inicial é puro

1 E

0 EE ,

99

Aquisição de Informação (3)Aquisição de Informação (3) A medida envolve: sistema estudado + aparato de A medida envolve: sistema estudado + aparato de

medida + ambiente (possui graus de liberdade não-medida + ambiente (possui graus de liberdade não-especificados); especificados);

Estes g.d.l. interagem com os g.d.l. relevantes;Estes g.d.l. interagem com os g.d.l. relevantes; Descrição completa do sistema composto Descrição completa do sistema composto CC envolve: envolve:

variáveis microscópicas + var. macroscópicas.variáveis microscópicas + var. macroscópicas.Isoladas do ambiente

Interagem com o ambiente

Propriedade essencial de Propriedade essencial de CC: seus estados formam : seus estados formam um número finito de sub-espaços ortogonais um número finito de sub-espaços ortogonais distinguíveis pelo observador.distinguíveis pelo observador. Cada sub-espaço Cada sub-espaço um resultado da intervenção, que um resultado da intervenção, que

define um elemento de POVM Edefine um elemento de POVM E..

1010

Aq. de Info. - Descoerência (4)Aq. de Info. - Descoerência (4) Seja {|Seja {| , , } uma base para o sist. composto } uma base para o sist. composto CC

Sub-espaço macroscópico (associado a um ESub-espaço macroscópico (associado a um E)) Estados microscópicos nesse sub-espaçoEstados microscópicos nesse sub-espaço

Estados do ambiente correlacionados com sub-espaços Estados do ambiente correlacionados com sub-espaços distintos de distintos de CC são aproximadamente ortogonais; são aproximadamente ortogonais; Ortogonalidade Ortogonalidade matriz de densidade diagonal em blocos matriz de densidade diagonal em blocos Resultado Resultado predições estatísticas idênticas àquelas predições estatísticas idênticas àquelas

obtidas em uma mistura de estados puros (não-obtidas em uma mistura de estados puros (não-normalizados) |normalizados) |::

,

,S

SSUc

Desaparece o emaranhamento entre estados com distintos

Descoerência

1111

Aq. de Info. – Matrizes de Kraus (5)Aq. de Info. – Matrizes de Kraus (5)

O passo final da intervenção é descartar parte de O passo final da intervenção é descartar parte de CC. . A parte descartada pode depender de A parte descartada pode depender de .. {|{| , , } } novo sistema novo sistema {|{| , , m} } parte descartada parte descartada

m tS

ttSS,

μmμm AA mSSU

μmA

Matrizes de Kraus

m

μmμm AA

O “salto quântico” não é um processo dinâmico que ocorre no sistema propriamente dito

tStS cc

1212

m

E μmμm AA 1 E pois U S m é unitária

Aq. de Info. – Matrizes de Kraus (6)Aq. de Info. – Matrizes de Kraus (6)

Probabilidade de ocorrência do resultado Probabilidade de ocorrência do resultado ::

Epm

TrTrTr μmμm AA

Elemento de uma POVM

Condição suficiente para não poder haver Condição suficiente para não poder haver transferência instantânea de informação:transferência instantânea de informação: 0, nm BA

n

nnnm

nmmnp

BBBAAB TrTr

,

1313

O Processo Relativístico de O Processo Relativístico de MedidaMedida

Medidas quânticas são quase-instantâneas.Medidas quânticas são quase-instantâneas. Pergunta:Pergunta: a mudança quase-inst. é causada por um agente a mudança quase-inst. é causada por um agente

exofísico consistente com a teoria da relatividade?exofísico consistente com a teoria da relatividade? O importante não é como diferentes detectores se movem O importante não é como diferentes detectores se movem

em relação um ao outro, mas como os efeitos devidos aos em relação um ao outro, mas como os efeitos devidos aos mesmos são descritos em um referencial ou em outro.mesmos são descritos em um referencial ou em outro.

Sob uma transf. de Lorentz, não só os vários operadores são Sob uma transf. de Lorentz, não só os vários operadores são transformados, mas transformados, mas o modo de calcular o resultado de uma o modo de calcular o resultado de uma série de intervenções é alteradosérie de intervenções é alterado (pois a ordem cronológica (pois a ordem cronológica dos operadores muda).dos operadores muda).

Estes diferentes ordenamentos devem resultar no mesmo Estes diferentes ordenamentos devem resultar no mesmo conjunto de probabilidades. Este requisito não é trivial!conjunto de probabilidades. Este requisito não é trivial!

1414

O Processo Relativ. de Medida O Processo Relativ. de Medida (2)(2)

Consideremos o “paradoxo” EPR à la Bohm (Consideremos o “paradoxo” EPR à la Bohm (EPRBEPRB): um ): um par de partículas de spin ½ preparadas num estado par de partículas de spin ½ preparadas num estado singleto se afastam e são detectas por 2 observadores;singleto se afastam e são detectas por 2 observadores; Cada um mede uma componente de spin em uma Cada um mede uma componente de spin em uma

direção arbitrária (intervenções são mutuamente do tipo direção arbitrária (intervenções são mutuamente do tipo espaço);espaço);

A evolução do estado quântico deste sistema bipartido A evolução do estado quântico deste sistema bipartido parece ser genuinamente distinta nos 2 referenciais;parece ser genuinamente distinta nos 2 referenciais;

Os estados quânticos não são relacionados por T.L., mas Os estados quânticos não são relacionados por T.L., mas todos os resultados observáveis são os mesmos;todos os resultados observáveis são os mesmos;

Consistência com o arcabouço teórico impõe relações Consistência com o arcabouço teórico impõe relações entre os vários operadores usados;entre os vários operadores usados;

É suficiente para a consistência que os É suficiente para a consistência que os EE comutem em comutem em tempos iguaistempos iguais (análogo à TQC). (análogo à TQC).

1515

O Processo Relativ. de Medida O Processo Relativ. de Medida (3)(3)

Temos:Temos: n

nnf AA 0 VV ff UU 00

n

nnf AA 0Invariância de Lorentz garante:

UVWm

mmnn AADonde concluímos

que:

Há uma T.L. conectando Há uma T.L. conectando ρρ00 e e ρρ’’0 0 , assim como há uma para , assim como há uma para ρρff e e ρρ’’f f , mas não há T.L. p/ os estados intermediários;, mas não há T.L. p/ os estados intermediários;

Apenas nos nossos cálculos matemáticos há uma evolução Apenas nos nossos cálculos matemáticos há uma evolução determinística para o estado do sistema. Esta evolução determinística para o estado do sistema. Esta evolução nãonão é um processo físico!!! é um processo físico!!!

1616

O P.R.M. – Não-Localidade? (4)O P.R.M. – Não-Localidade? (4) Fenômenos como aquele encontrado no “paradoxo” Fenômenos como aquele encontrado no “paradoxo”

EPRB são comumente associados à não-localidade EPRB são comumente associados à não-localidade quântica quântica possibilidade de comunicação superluminal; possibilidade de comunicação superluminal;

O Teorema de Bell garante que é impossível imitar a MQ O Teorema de Bell garante que é impossível imitar a MQ por “variáveis ocultas” por “variáveis ocultas” qualquer imitação clássica da qualquer imitação clássica da MQ é necessariamente não-local;MQ é necessariamente não-local;

Mas a MQ não precisa ser não-local. Em particular, Mas a MQ não precisa ser não-local. Em particular, a TQC é manifestamente local;a TQC é manifestamente local;

Informação tem que ser carregada por partículas Informação tem que ser carregada por partículas materiais, quantizadas ou não;materiais, quantizadas ou não;

T.L. são implementadas por matrizes unitárias T.L. são implementadas por matrizes unitárias (G.L.H. é uma simetria válida) (G.L.H. é uma simetria válida) causalidade não causalidade não pode ser violada por medidas quânticaspode ser violada por medidas quânticas

1717

O P.R.M. – Analogias Clássicas O P.R.M. – Analogias Clássicas (5)(5)

A relatividade e a MQ estão realmente envolvidas nisso?A relatividade e a MQ estão realmente envolvidas nisso? Experimento clássico análogo ao EPRB Experimento clássico análogo ao EPRB bomba explode bomba explode

em 2 partes, carregando momentos angulares opostos:em 2 partes, carregando momentos angulares opostos: Alice e Bob medem componentes arbitrárias de Alice e Bob medem componentes arbitrárias de JJ11 e e JJ22;; A medida de Bob nada diz a respeito do que Alice fez (se é A medida de Bob nada diz a respeito do que Alice fez (se é

que ela fez algo!);que ela fez algo!); Bob sabe apenas o que Alice Bob sabe apenas o que Alice iriairia obter obter casocaso medisse a medisse a

mesma componente que ele;mesma componente que ele; A analogia é completa se usarmos mecânica estatística:A analogia é completa se usarmos mecânica estatística:

A distribuição dos fragmentos é dada por uma fç. de Liouville A distribuição dos fragmentos é dada por uma fç. de Liouville no espaço de fase. Uma medida de no espaço de fase. Uma medida de JJ11 por Alice por Alice altera instan-altera instan-taneamentetaneamente a fç. de a fç. de JJ22, não importa quão longe Bob esteja., não importa quão longe Bob esteja.

Fç de Liouville Fç de Liouville apenas uma ferramenta estatística apenas uma ferramenta estatística

1818

Entropia Quântica e Entropia Quântica e RelatividadeRelatividade

Descoerência Descoerência graus de liberdade do ambiente graus de liberdade do ambiente desconhecidos (ambiente é um exosistema);desconhecidos (ambiente é um exosistema);

VV m componentes do vetor de estado; componentes do vetor de estado;

m

mm ,Matriz de densidade do sistema em estudo:

lnTrSEntropia:

Conseqüência da relatividade: Conseqüência da relatividade: Variáveis primárias (cuja T.L. depende apenas de Variáveis primárias (cuja T.L. depende apenas de ))

Ex.:Ex.: componentes de momento componentes de momento Variáveis secundárias (cuja T.L. depende também de Variáveis secundárias (cuja T.L. depende também de pp))

Ex.:Ex.: spin e polarização spin e polarização

1919

Entropia Quântica e Relatividade Entropia Quântica e Relatividade (2)(2)

Considere uma partícula de spin ½ e massa m > 0:Considere uma partícula de spin ½ e massa m > 0:

)(

)()(

2

1

p

pp

a

a lnTrS

Entropia: )()( ppp d

Matriz densidade reduzida:

Considere ainda que Bob se afasta de Alice com Considere ainda que Bob se afasta de Alice com vv const.. const..

)(

)()(

2

1

p

pp

a

a ),,()( pp sr afaNo referencial de

Bob:

Ex.:Ex.: Alice prepara Alice prepara Z Z a a22((pp) = ) = 0 0 S S == 0 0 No referencial de Bob, mostra-se que: aNo referencial de Bob, mostra-se que: a22((pp) ) 0 0 S S 0 0 Conclusão: Conclusão: S não tem significado invarianteS não tem significado invariante, pois , pois não se não se

transforma covariantemente!transforma covariantemente!

2020

Entropia Quântica e Relatividade Entropia Quântica e Relatividade (3)(3)

Não existe uma mecânica estatística relativística Não existe uma mecânica estatística relativística para um sistema de para um sistema de NN partículas com espaço de partículas com espaço de fase de dimensão 6N definido pelos fase de dimensão 6N definido pelos ppnn e e qqnn.. Interações relativísticas são mediadas por campos;Interações relativísticas são mediadas por campos; Uma fç. de Liouville completa deve conter os campos;Uma fç. de Liouville completa deve conter os campos;

A partir desta, podemos definir uma fç. de Liouville reduzida, que dependa só dos pn e qn.

No entanto, a evolução temporal da fç. reduzida depende dos campos.

Se Alice prepara um par de estados, qual a prob. de Se Alice prepara um par de estados, qual a prob. de Bob distinguí-los? Bob distinguí-los?

2141

21

21 Tr),( EP

2121

Entropia Quântica e Relatividade Entropia Quântica e Relatividade (4)(4)

Consideremos agora Consideremos agora fótonsfótons.. Imperfeições nas fibras óticas e efeitos de difração nos Imperfeições nas fibras óticas e efeitos de difração nos

receptores levam a receptores levam a regras de superseleçãoregras de superseleção impossível impossível definir uma matriz densidade reduzida para a polarização.definir uma matriz densidade reduzida para a polarização.

Mas podemos definir matrizes densidade efetivas; E construir POVMs. Porém se nos restringirmos a

medidas de polarização por estas POVMs não mais existem estados de polarização ortogonais.

O teorema de não-clonagem se aplica! Se Bob se move com v em relação a Alice, mostra-se Se Bob se move com v em relação a Alice, mostra-se

que:que:

EE Pv

vP

1

1 Implicações sobre propriedades do canal de comunicação quântico

2222

TQC e Relatividade GeralTQC e Relatividade Geral Alguns resultados da TQC são importantes na Alguns resultados da TQC são importantes na

generalização de conceitos como POVMs e generalização de conceitos como POVMs e emaranhamento;emaranhamento; Corolário do Teorema de Reeh-Schlieder: se modelamos um Corolário do Teorema de Reeh-Schlieder: se modelamos um

detector por um operador localizado, este detector detector por um operador localizado, este detector apresenta “apresenta “contagens escuras”.”.

Corolário do Teorema de Epstein-Glaser-Jaffe: Nenhuma Corolário do Teorema de Epstein-Glaser-Jaffe: Nenhuma POVM construída por operad. locais satisfaz POVM construída por operad. locais satisfaz ΩΩ|E|E(x)|(x)|ΩΩ = 0. = 0.

Intervenções clássicas em sistemas quânticos são Intervenções clássicas em sistemas quânticos são aproximadamente aproximadamente localizadas no espaço e no tempolocalizadas no espaço e no tempo ““O conceito de ‘O conceito de ‘posição’posição’ em um dado tempo em um dado tempo nãonão é um é um

atributo do elétron, mas um atributo da interação entre o atributo do elétron, mas um atributo da interação entre o elétron e um dispositivo de detecção adequado.” elétron e um dispositivo de detecção adequado.”

-- R. Haag (1996)-- R. Haag (1996)

2323

TQC e Relatividade Geral (2)TQC e Relatividade Geral (2) Quão localizados podem ser os detectores?Quão localizados podem ser os detectores?

A idealização de “um detector por ponto espaço-A idealização de “um detector por ponto espaço-temporal” é claramente impossível;temporal” é claramente impossível;

Como garantir que 2 detectores possuem Como garantir que 2 detectores possuem probabilidade zero de se sobrepor?probabilidade zero de se sobrepor?

Aparentemente há um compromisso fundamental Aparentemente há um compromisso fundamental entre confiabilidade e localizabilidade.entre confiabilidade e localizabilidade.

Problema em aberto...Problema em aberto... Estados com um Estados com um número definidonúmero definido de partículas de partículas

conceitos teóricos úteis.conceitos teóricos úteis. Estados experimentalmente acessíveis Estados experimentalmente acessíveis não são, em não são, em

geral, auto-estados de operadores número de partículas.geral, auto-estados de operadores número de partículas. A realização física de um único qubit é uma idealização.A realização física de um único qubit é uma idealização.

2424

TQC e Relatividade Geral (3)TQC e Relatividade Geral (3) Um “Bobservador” acelerado Um “Bobservador” acelerado

descreve uma trajetória hiperbólica.descreve uma trajetória hiperbólica. Bob nunca não tem acesso à região Bob nunca não tem acesso à região

II.. Onde Alice vê um estado puro, Bob Onde Alice vê um estado puro, Bob

vê um estado de mistura... alguma vê um estado de mistura... alguma informação se perdeu.informação se perdeu. Situação análoga a presença de Situação análoga a presença de

um um buraco negro

BobI

II

III

IV

Se uma partícula cai no buraco negro, sua entropia desaparece?Se uma partícula cai no buraco negro, sua entropia desaparece? Se cai em um buraco negro matéria com correlações quânticas Se cai em um buraco negro matéria com correlações quânticas

com matéria que permanece fora, essas correlações são com matéria que permanece fora, essas correlações são observáveis? O estado é descrito pela MQ?observáveis? O estado é descrito pela MQ?

2525

ConclusõesConclusões

O estado quântico e as funções de onda devem ser O estado quântico e as funções de onda devem ser encarados como meras ferramentas matemáticas para encarados como meras ferramentas matemáticas para o cálculo de probabilidades em um dado referencial;o cálculo de probabilidades em um dado referencial;

““Colapsos” decorrentes de medidas ocorrem apenas Colapsos” decorrentes de medidas ocorrem apenas na nossa na nossa descriçãodescrição do sistema em questão; do sistema em questão;

Causalidade não pode ser violada por medidas Causalidade não pode ser violada por medidas quânticas;quânticas;

Evolução de estados puros para estados de mistura é Evolução de estados puros para estados de mistura é a regra geral ao se realizar uma intervenção clássica;a regra geral ao se realizar uma intervenção clássica;

Entropia não é um conceito covariante de Lorentz;Entropia não é um conceito covariante de Lorentz; TQC impõe um compromisso entre confiabilidade e TQC impõe um compromisso entre confiabilidade e

localizabilidade de detectores.localizabilidade de detectores.

2626

Problemas em AbertoProblemas em Aberto

Discussão quantitativa do “compromisso” imposto Discussão quantitativa do “compromisso” imposto pela TQC aos detectores;pela TQC aos detectores;

Passando da relatividade restrita para a geral, qual o Passando da relatividade restrita para a geral, qual o sentido de transporte paralelo de spin?sentido de transporte paralelo de spin? Em um espaço curvo, isto depende do caminho.Em um espaço curvo, isto depende do caminho. O que significa então dizer que um par de partículas O que significa então dizer que um par de partículas

distantes está num estado singleto?distantes está num estado singleto? Como o grupo de rotações O(3) não é mais uma Como o grupo de rotações O(3) não é mais uma

simetria, a classificação e o próprio conceito de simetria, a classificação e o próprio conceito de partícula torna-se duvidoso.partícula torna-se duvidoso.

Método para a detecção de emaranhamento Método para a detecção de emaranhamento relativístico que envolva as propriedades espaço-relativístico que envolva as propriedades espaço-temporais do sistema (ex.: combinar POVMs de spin e temporais do sistema (ex.: combinar POVMs de spin e localização).localização).

2727

ReferênciasReferências

Referência básica:Referência básica: A. Peres, D. Terno, A. Peres, D. Terno, Rev. Mod. Phys.Rev. Mod. Phys., vol. 76, pág. 93 (2004), vol. 76, pág. 93 (2004)

Referências adicionais:Referências adicionais: C. Cohen-Tannoudji et al., C. Cohen-Tannoudji et al., Quantum Mechanics vol. 1Quantum Mechanics vol. 1 J. Sakurai, J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics (2nd ed.)Modern Quantum Mechanics (2nd ed.) L. Reichl, L. Reichl, A Modern Course in Stat. Phys. (2nd ed.)A Modern Course in Stat. Phys. (2nd ed.) J. Preskill, J. Preskill, Quantum Information and Computation, Quantum Information and Computation, notas de notas de

aula (1998)aula (1998) R. D’Inverno, R. D’Inverno, Introducing Einstein’s RelativityIntroducing Einstein’s Relativity C. Fuchs, J. van de Graaf,C. Fuchs, J. van de Graaf, IEEE Trans. Inf. Theory, IEEE Trans. Inf. Theory, 45, 45,

p.1216p.1216