relacoes matematicas

1

RELAÇÕES 1. Produto cartesiano

Sejam A e B conjuntos não vazios. Chama-se produto cartesiano de A por B o conjunto de todo os pares ordenados ( , )x y com ex A y B∈ ∈ .

Notação:

{ }( , ) | eA B x y x A y B× = ∈ ∈

2. Relação binária Denomina-se relação binária de A em B a todo subconjunto ℜ de A B× . Se

( , )x y ∈ℜ indicamos por x yℜ e ( , )x y ∉ℜ indicamos por x yℜ .

3. Domínio e imagem Seja ℜ uma relação binária de A em B. Denomina-se domínio de ℜ o subconjunto de A, dos elementos de x A∈ para os quais existe algum y em B com x yℜ .

Denomina-se imagem de ℜ o subconjunto de B, dos elementos de y B∈ para os quais

existe algum x em A com x yℜ .

{ }Im | :y B x A x yℜ = ∈ ∃ ∈ ℜ

4. Propriedades das relações Seja .A Bℜ ⊂ × i) Reflexiva Dizemos que ℜ é reflexiva se ( )( )x x A x x∀ ∈ → ℜ ou ( )( ( , ) )x x A x x∀ ∈ → ∈ℜ

Exemplo 1: Mostremos que as relações dadas são reflexivas.

a) Seja { }( , ),( , ),( , ),( , ),( , )a a b b c c a c b aℜ = sobre { }, ,A a b c= .

ℜ é reflexiva, pois , ea a b b c cℜ ℜ ℜ .

b) Seja { }2( , ) |x y x yℜ = ∈ =�

ℜ é reflexiva, pois para ,x x x∀ ∈ =�

c) Seja { }2( , ) |r s S r s r sℜ = ∈ ℜ ↔ � sendo S plano euclidiano.

ℜ é reflexiva, pois para ,r S r r∀ ∈ �

2

ii ) Simétrica Dizemos que ℜ é simétrica se, e somente se ( ), ( )x y A x y y x∀ ∈ ℜ → ℜ .

Exemplo 2:

Mostremos que as relações dadas são simétricas.

a) Seja { }( , ),( , ),( , ),( , )a a b b a b b aℜ = sobre { },A a b= .

ℜ é simétrica, pois a b b aℜ → ℜ . b) Seja ℜa relação de perpendicularidade definida por:

{ }2( , ) |r s S r s r sℜ = ∈ ℜ ↔ ⊥ sendo S plano euclidiano.

ℜ é simétrica, pois r s s rℜ → ℜ . iii ) Transitiva Dizemos que ℜ é transitiva se, e somente se ( , , )(( ) )x y z x y e y z x z∀ ℜ ℜ → ℜ .

Exemplo 3:

Mostremos que a relação { }( , ),( , ),( , ),( , )a a a b b c a cℜ = sobre { }, ,A a b c= é

transitiva. ℜ é transitiva pois, ( )a b e b c a cℜ ℜ → ℜ .

iv) Anti-simétrica Dizemos que ℜ é anti-simétrica se, e somente se ( ), (( ) )x y A x y e y x x y∀ ∈ ℜ ℜ → = ou

equivalente( ), ( ( ))x y A x y x y ou y x∀ ∈ ≠ → ℜ ℜ .

Exemplo 4:

Mostremos que a relação { }( , ),( , ),( , ),( , )a a b b a b a cℜ = sobre { }, ,A a b c= é anti-

simétrica. A sentença ( )a b e b a a bℜ ℜ → = é verdadeira, pois F F→ é verdadeira.

Exemplo 5:

A relação { }( , ),( , ),( , ),( , ),( , )a a b b a b b a c cℜ = sobre { }, ,A a b c= não é anti-simétrica.

Não é anti-simétrica pois, ( )a b a b e b a≠ → ℜ ℜ .

Observação:

Se A é um conjunto finito com poucos elementos, é possível visualizar as propriedades por meio dos diagramas.

3

Reflexiva: Em cada ponto do diagrama deve ter um laço.

Simétrica: Toda flecha deve ter duas pontas.

Transitiva: Todo par de flechas consecutivas deve existir uma flecha cuja origem é a primeira e extremidade é a segunda.

Anti-simétrica: Não há flechas com duas pontas.

5. Relação de equivalência Uma relação ℜ sobre A não vazio denomina-se relação de equivalência sobre A se, e somente se, ℜ for reflexiva, simétrica e transitiva. Exemplo 6:

A relação { }( , ),( , ),( , ),( , ),( , )a a b b c c c a a cℜ = sobre { }, ,A a b c= é de equivalência

pois, valem as três propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva. Exemplo 7:

Seja A = � . A relaçãoℜ definida por , ,x y x y x yℜ ↔ = ∀ ∈� é de equivalência.

i )Reflexiva

A relaçãoℜ é reflexiva pois, ( )( )x x x x∀ ∈ → =� ii )Simétrica A relaçãoℜ é simétrica pois, ( , )( )x y x y y x∀ ∈ = → =�

a b

c d

a b

c d

a b

c d

a b

c

4

iii ) Transitiva A relaçãoℜ é transitiva pois, ( , , )( ) )x y z x y e y z x z∀ ∈ = = → =� Exemplo 8: A relação de paralelismo no plano euclidiano S é uma relação de equivalência. Assim

( , )( )r s S r s r s∀ ∈ ℜ ↔ �

i )Reflexiva

A relaçãoℜ é reflexiva pois, ( )( )r r S r r∀ ∈ → � ii )Simétrica A relaçãoℜ é simétrica pois, ( , )( )r s S r s s r∀ ∈ →� � iii ) Transitiva A relaçãoℜ é transitiva pois, ( , , )( ) )r s t S r s e s t r t∀ ∈ →� � � .

Exercícios de Aplicação 1: Diga quais propriedades são válidas para as relações definidas a seguir.

1) { }( , ),( , ),( , ),( , )a a b b c c c aℜ = sobre

{ }, ,A a b c=

i )Reflexiva ii)Simétrica

iii) Transitiva iv) Anti-simétrica

2) { }( , ),( , )a a a bℜ = sobre { },A a b=



5

3) { }( , ),( , ),( , )a a b b b aℜ = sobre { },A a b=



4) { }( , ),( , ),( , ),( , ),( , )a a b b c c a b b aℜ =

sobre { }, ,A a b c=



5) Seja { }2 2 2( , ) | 1x y x yℜ = ∈ + =� ,

quais propriedades são válidas para as relação. i )Reflexiva ii)Simétrica


6. Classe de equivalência Seja ℜ uma relação de equivalência sobre A.

Dado ,a A∈ denomina-se classe de equivalência determinada por a, o subconjunto de A

formado dos elementos x tal que .x aℜ Simbolicamente

{ }|a x A x a= ∈ ℜ

6

7. Conjunto quociente O conjunto das classes de equivalência denomina-se conjunto quociente e se indica por /A ℜ Exemplo 9:

A relação { }( , ),( , ),( , ),( , ),( , )a a b b c c c a a cℜ = sobre { }, ,A a b c= é de

equivalência.Determinemos suas classes de equivalência começando por a, assim:

{ }, ,pois, a ea a c a a c e c a= ℜ ℜ ℜ

{ },pois,b b b b= ℜ

{ }, ,pois,c c a c c e a c e c a= ℜ ℜ ℜ , logo podemos ver que a classe a c= , assim

temos duas classes, e indicamos por:

{ } { }{ }/ , , ,A a b a c bℜ = =

Exemplo 10:

Seja a relação de equivalência ℜ sobre { }, , , , ,A a b c d e f=

{ }( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )a a b b a b b a c c d d d e e d e e e f f e f f f d d fℜ =Determinemos suas classes de equivalência.

{ }, ,pois, a ea a b a a b e b a= ℜ ℜ ℜ

{ }c c= pois, c cℜ

{ }, ,d d e f= pois, ,...d d e d f e d eℜ ℜ ℜ

e escrevemos o conjunto quociente:

{ } { }{ }{ }/ , , , ,A a b c d e fℜ =

8. Partição de um conjunto Seja A um conjunto não vazio. Diz-se que a classe dos subconjuntos de A é uma partição de A se, e somente se 1) ( )( )rr B φ∀ ≠

2) Se r s r sr s B B ou B Bφ≠ → ∩ = =

3) 1

n

rr

B A=

=U

Exemplo 11:

Utilizando o exemplo 10 podemos escrever que { }, , , , ,A a b c d e f=

e { } { }{ }{ }/ , , , ,A a b c d e fℜ = , assim /A ℜ forma uma partição de A pois. Denominando

7

{ }1 ,B a b=

{ }2B c=

{ }3 , ,B d e f= , tem-se 3

1r

r

B A=

=U e a intersecção de dois a dois é sempre vazia e

( )( )rr B φ∀ ≠

Exemplo 12: Sejam A = ×� � e ℜ definida por ( , ) ( , )a b c d a d b cℜ ↔ + = + .

a) Verifique se ℜ é uma relação de equivalência.

b) Caso afirmativo dar a classe de (2,3). Deixamos a cargo do leitor a demonstração i )Reflexiva ii)Simétrica iii) Transitiva a)( , ) ( , )a b c d a d b cℜ ↔ + = +

( , ) ( , )c d e f c f d eℜ ↔ + = + , adicionando membro a membro e simplificando tem-se;

( ) ( , ) ( , )a f b e a b e f+ = + → ℜ , logo ℜ é transitiva e portanto é uma relação de

equivalência.

b) Classe de (2,3)= ( ){ }, | ( , ) (2,3)x y x y∈ × ℜ� � = ( ){ }, | 3 2x y x y∈ × + = +� � =

{ }(2,3),(1,2),(3,4),.... Exercícios de aplicação 02:

1)Sejam *A = ×� � e ℜ definida por ( , ) ( , )a b c d ad bcℜ ↔ = .

a) Verifique se ℜ é uma relação de equivalência i )Reflexiva ii)Simétrica

iii) Transitiva

b) Caso afirmativo, dar a classe de (2,3).

8

2) Seja a relação de equivalência ℜ sobre

� definida por , 1n mn m i i iℜ ↔ = = −


iii) Transitiva b) Caso afirmativo dar /ℜ� .

3) Seja

* 2: ,definida por ( ) 1f f x x→ = +� � .

a) Mostre que

{ }*( , ) | ( ) ( )a b af b bf aℜ = ∈ × =� � é de

equivalência. i )Reflexiva ii)Simétrica

iii) Transitiva

b) Caso afirmativo dar a classe 3.

4)Sejam A = � e ℜ definida por ( , ) 3/a b a b∈ℜ ↔ − .(lê-se 3 divide a-b)

a) Verifique se ℜ é uma relação de equivalência. i )Reflexiva ii)Simétrica

iii) Transitiva b) Caso afirmativo, dar /ℜ�

9

5) Seja { }, , ,A a b c d= , complete o quadro

Relação ℜ Reflexiva Simétrica transitiva

ℜ={ }( , ),( , ),( , ),( , )a a b b c c d d

ℜ={ }( , ),( , ),( , ),( , )a c c a c c a d

ℜ={ }( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )a a b b a b b a b d d b

6) Seja a relação de equivalência ℜ sobre � (conjunto dos números complexos)definida por

( ) ( ) , 1x yi z ti x y z t i+ ℜ + ↔ + = + = −

Descreva geometricamente a classe de

equivalência determinada por 2 3i+

7) Seja : ,f →� � e a

relação { }*( , ) | ( ) ( )a b af b bf aℜ = ∈ × =� �

a) Mostre que é de equivalência. i )Reflexiva ii)Simétrica

iii) Transitiva

b)Sendo 2( )f x x= , dar a classe 2.

8) Em ∗ ∗×� � , definimos a relaçãoℜde equivalência por

( , ) ( , ) |x y a b k x ka e y kb∗ℜ ↔ ∃ ∈ = =�

Descreva geometricamente ∗ ∗×

ℜ� �

10

9. Relação de ordem Seja A um conjunto não vazio. Diz-se que a relaçãoℜ é de ordem parcial sobre A se, e somente se, ℜ for reflexiva, anti-simétrica e transitiva, isto é, são verdadeiras as propriedades: i) ℜ é reflexiva se ( )( )x x A x x∀ ∈ → ℜ

ii) ℜ é anti-simétrica se, e somente se ( ), (( ) )x y A x y e y x x y∀ ∈ ℜ ℜ → =

iii) ℜ é transitiva se, e somente se ( , , )(( ) )x y z x y e y z x y∀ ℜ ℜ → ℜ .

Notação: Se a bℜ e é uma relação de ordem parcial escrevemos a bp , lê-se “ a precede b” ou “ a antecede b”

Se a relaçãoℜ é de ordem parcial sobre A, então dizemos que A é parcialmente ordenado.

Elementos comparáveis

Se a relaçãoℜ é de ordem parcial sobre A. Os elementos a e b de A, se dizem comparáveis se oua b b ap p .

10. Ordem total

Se a relaçãoℜ é de ordem parcial sobre A e os elementos a e b de A, forem comparáveis isto é, oua b b ap p , então ℜ é de ordem total. Nesse caso o conjunto A se diz totalmente

ordenado. Exemplo 13:

Sejam A = � e a relaçãoℜ definida por x y x yℜ ↔ ≤ (menor ou igual é uma relação

de ordem total, denominada ordem habitual). Mostremos que ≤ é uma relação de ordem total. i) ℜ é reflexiva, pois ( )( )x x x x∀ ∈ → ≤�

ii) ℜ é anti-simétrica, pois ( ), (( ) )x y x y e y x x y∀ ∈ ≤ ≤ → =�

iii) ℜ é transitiva, pois ( , , )(( ) )x y z x y e y z x z∀ ∈ ≤ ≤ → ≤� . Portanto ℜ é de ordem

parcial sobre � . Verifiquemos se é de ordem total;

( ), (se , ou )x y x y x y y x∀ ∈ ∈ → ≤ ≤� � ,logo ℜ é de ordem total.

11. Limites superiores e inferiores

Seja A um conjunto parcialmente ordenado mediante a relação p . Seja B φ≠ um

subconjunto de A . Chamamos de limite superior de B a todo elemento | ,L A x L x B∈ ∀ ∈p

Chamamos de limites inferior de B a todo elemento | ,l A l x x B∈ ∀ ∈p

11

12. Máximo e Mínimo Sejam B A⊂ e p uma relação de ordem parcial. Se ,L B∈ então L é máximo.

Se ,l B∈ então l é mínimo. 13. Supremo e Ínfimo

Seja A um conjunto parcialmente ordenado mediante a relação p . Seja B φ≠ um

subconjunto de A . Chama-se supremo de B o mínimo do conjunto dos limites superiores de B (caso exista) Chama-se ínfimo de B o máximo do conjunto dos limites superiores de B (caso exista). 11. Boa ordem

ℜ é boa ordem sobre A se, qualquer subconjunto de A possuir mínimo Exemplo 12: Sejam � , ] 1,2]A = − eℜ a ordem habitual. Determinar

a) Limites superiores de A, LS(A)= { }| 2L L∈ ≥�

b) Máximo de A, Max(A)={ }2

c) Supremo de A, Sup(A)= { }2

d) Limites inferiores de A, LI(A)= { }| 1l l∈ ≤ −�

e) Mínimo de A, não existe Min(A)

f) Ínfimo de A, Inf(A)={ }1−

Exemplo 14:

Sejam { }, , , ,A a b c d e= e o diagrama simplificado da pré-ordem. Determinar os

conjuntos indicados. ( no diagrama vê-se que a c> )

a) Max(A)= { }a b) Sup(A)= { }a

c) Min(A) = não existe d) Inf(A) = não existe

a

bc

d

e

12

Exemplo 15:

Seja { }1,2,3,4,5,6,7,8A = e { }3,6,7,B . Em A consideremos a pré-ordem definida pelo

diagrama.

Determinar i) a) LS(B)={7} b) Max(B)={7} c) Sup(B)= {7} d) LI(B)={3,4,5,8 } c) Min(B) ={3} d) Inf(B)= {3,4,5,8} ii) B é parcialmente ordenado (justifique) a) Reflexiva vale, pois, é pré-ordenado. b) Transitiva : Todo par de flechas consecutivas tem uma flecha cuja origem é a primeira e extremidade é a segunda. c) Anti-simétrica : Devemos verificar se vale a propriedade para o conjunto B. (3 7 7 3) 3 7,∧ → =p p F F→ é verdadeira. Analogamente para 3 e 6 e 6 e 7.

iii) B é totalmente ordenado (justifique) Como B é pré-ordenado, devemos verificar se todos os elementos de B são comparáveis.

3 7 7 3oup p (V)

3 6 6 3oup p (V)

6 7 7 6oup p (V), logo , é totalmente ordenado.

12 3

4

56

78

13

Exercícios de aplicação 03: 1) Seja { }1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A = e { }2,3,5B . Em A consideremos a pré-ordem definida

pelo diagrama.

Determinar i) a) LS(B)={ } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)={ } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { }

ii) ( , )B p é totalmente ordenado?

2)Seja { }1,2,3,4,5,6,7A = e { }4,5,7B . Em A consideremos a pré-ordem definida pelo

diagrama.

Determine i) a) LS(B)={ } b) Max(B)={ } c) Sup(B= { } d) LI(B)= { } e) Min(B) ={ } f) Inf(B)= { } ii) ( , )B p é totalmente ordenado? (justifique)

iii) O que se deve fazer para ser ( , )B p parcialmente ordenado

iv) ( , )B p é bem ordenado se todos seus subconjuntos têm mínimo. Verifique se B é bem

ordenado

12

34

6

85

7

654

321

9

10

7

14

3)Seja { }1,2,3,4,5A = e { }1,3,5B . Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama.

Determine i) a) LS(B)={ } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { } ii) ( , )B p é totalmente ordenado? (justifique)

4) Seja { }1,2,3,4,5,6,7,8A = e { }0,1,2,3B . Em A consideremos a pré-ordem definida pelo

diagrama.

Determine 1) a) LS(B)={ } b) Max(B)={ } c) Sup(B= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) = { } d) Inf(B)= { }

2) ( , )B p é totalmente ordenado? (justifique)

54

3

2

1

12

3

4

56

7

8

0

15

Exercícios de aplicação 04: 1) Seja {( , ) | ( 1) ( 1)}x y x x y yℜ = ∈ − = −� .

a) Determinar { }1 ,x ∈ −� tal que 2.xℜ

b) Verifique se ℜ é anti-simétrica.

2) Seja : ,f →� � e a relação ℜ dada por

{ }( , ) | ( ) ( )a b f a f b a bℜ = ∈ × − = −� �


iii) Transitiva b) Sendo 2( ) 1f x x= + , determinar 3.

3) Em ×� � , definimos a relaçãoℜde por

1 1 1 1( , ) ( , ) 2( )x y x y y y x xℜ ↔ − = −

a) Verifique se ℜ é de equivalência i )Reflexiva ii)Simétrica

iii) Transitiva

b) Descreva geometricamente × ℜ� �

16

4) Em ×� � , definimos a relaçãoℜde por

1 1 1 1( , ) ( , ) ( )x y x y y y x xℜ ↔ − = −

a) Verifique se ℜ é de equivalência i )Reflexiva ii)Simétrica iii) Transitiva

b) Determine ( ,0) , .k k ∈�

c) Descreva geometricamente × ℜ� �

5) Sejam *A = ×� � e ℜ relação de equivalência definida por

2 2( , ) ( , )a b c d a b c dℜ ↔ − = − .

Determine os valores de k , para que (2, ) ( 1,3)k k∈ −

17

Exercícios de aplicação 04: 1) Seja { }1,2,3,4,5,6A = e { }2,3,4B . Em

A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama.

Determinar i) a) LS(B)= { } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { }

ii) ( , )B p é parcialmente ordenado?

iii) ( , )B p é totalmente ordenado?

2) Seja { }1,2,3,4,5,6A = e { }2,4,5B . Em




iii) ( , )B p é totalmente ordenado?

1

2

5

6

34

B

1

35

6

B

2

4

18

3) Seja { }1,2,3,4,5,6,7,8A = e

{ }2,3,5,8B . Em A consideremos a pré-

ordem definida pelo diagrama.



iii) ( , )B p é totalmente ordenado

4) Seja { }1,2,3,4,5,6A = e { }1,5,6B . Em




64

1 3

B

5

2

6 4 1

3

2 B

57

8

19

5) Em { ,, , , , }A a c d e f= , considere a pré-

ordem definida pelo diagrama que segue



iii) ( , )B p não é boa ordem, eliminando qual

seta ( , )B p passa a ser boa ordem?

Seja { }1,2,3,4,5,6,7,8A = e { }3,6,7,B . Em A

consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama


ii) ( , )B p é parcialmente

ordenado?

1

2

34

5

6

78 9

B

a

b

c

d

e

f

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