relações
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Relações. Relações. Ao estudarmos conjuntos, estamos interessados em certas propriedades de seus elementos ou em relações entre conjuntos. Ou seja, queremos analisar sua estrutura. Relações Binárias. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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Relações
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Relações
Ao estudarmos conjuntos, estamos interessados em certas propriedades de seus elementos ou em relações entre conjuntos. Ou seja, queremos analisar sua estrutura.
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Relações Binárias
Na vida real, quando dizemos que duas pessoas, Maria e José, se relacionam, entendemos que Maria e José se distinguem dos demais pares de pessoas por haver uma relação que eles satisfazem ou verificam.
Ex.Maria e José são casados.
Maria e José são colegas de trabalho.
Maria e José não se entendem.
Maria manda em José
Em matemática é análogo: distinguimos determinados pares de objetos dos demais porque seus elementos satisfazem alguma relação que os elementos dos demais pares, em geral, não satisfazem.
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Relações Binárias
Dados dois conjuntos S e T
Uma relação R entre S e T é dada por
R SxT
Uma relação binária R em S é dada por
R SxS = S2
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Relações Binárias
Ex.: Sejam S= {1,2} e T = {2,3}
Temos que SxT = {(1,2), (1,3), (2,2), (2,3)}
• Relação de igualdade: os elementos do par são iguais.
O único par do “universo” (SxT) que satisfaz essa relação é (2,2),
• Relação menor do que: isto é, primeiro elemento do par é menor do que o segundo.
Três pares se distinguem: (1,2), (1,3), (2,3).
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Relações Binárias
Definição de uma relação ST:
• com palavras • pela enumeração dos pares ordenados que a
satisfazem.• Por uma fórmula relacional• Pela definição do conjunto
Usaremos a notação xy ou (x,y) para indicar que o par ordenado (x,y) satisfaz ou pertence à relação : x y (x,y) .
Uma relação ST também é denotada por (ST)
.
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Relações Binárias
Exemplos. Sejam S = {1,2} e T = {2,3,4} : • descrição: x y x+y é ímpar.
• x y x+y = 2n+1, com n N
• x y = {(1,2), (1,4), (2,3)}
• = {(x,y) | x S e y T e x+y é ímpar}
Seja PESSOA um conjunto de pessoas, podemos ter:
casado-com(PESSOA, PESSOA)
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Relações Binárias
• Para cada uma das seguintes relações binárias em NN, determine quais dos pares ordenados apresentados pertencem à :
a. x y x = y+1 ((2,2), (2,3), (3,3), (3,2)
b. x y x divide y (2,4), (2,5), (2,6)
c. x y x é ímpar (2,3), (3,4), (4,5), (5,6)
d. x y x > y2 (1,2), (2,1), (5,2), (5,4), (4,3))
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Relações n-árias
→Dados os conjuntos S1, S2, ..., Sn, uma relação n-ária em S1S2...Sn é um subconjunto de S1S2...Sn. Neste caso para uma relação em S1S2...Sn escrevemos (s1, s2, ...,sn) se s1, s2, ...,sn pertence à relação.
→Exemplo: A= {1,2}, B = {2}, C = {2,3}.
ABC = {(1,2,2), (1,2,3), (2,2,2), (2,2,3)}
(x,y,z) x=y=z = {(2,2,2)}
(x,y,z) x>y = ??
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Relações unárias
• Uma relação unária em um conjunto S é um subconjunto particular de S.
• Um elemento x de S satisfaz ou pertence à se, e somente se, x pertence ao subconjunto que define a relação.
• Exemplo 1: O conjunto dos números pares P (subconjunto de N) é definido pela relação:
x x é par.
• Exemplo 2: Para o conjunto pessoa podemos ter a relação unária maior-de-idade(PESSOA).
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Relações em um conjunto S
Uma relação binária em um conjunto S é um subconjunto de S2 = (SxS).
Ex.: x y xy em N
Analogamente, uma relação n-ária em um conjunto S é um subconjunto de Sn.
Ex.: (x,y,z) x+y=z em N.
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Definições
Seja uma relação binária em SxT. Então, consiste de um conjunto de pares ordenados da forma (s,t).
é uma relação um-para-um se cada primeiro elemento s e cada segundo elemento t aparecem exatamente uma vez na relação.
Formalmente: se (s,t) e (s,t’) então t=t’ e se (s,t) e (s’,t) então s=s’
Ex.: Sejam S = {2,5,7,9} e T = {1,3,4,5}
= {(2,4), (5,5), (7,3), (9,1}
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Definições
é uma relação um-para-muitos se algum primeiro elemento s aparece mais de uma vez.
Ex.: = {(7,4), (2,5), (2,3)}
é uma relação muitos-para-um se algum segundo elemento t fizer par com mais de um primeiro elemento s..
Ex.: = {(2,4), (3,4), (5,2)}
é uma relação muitos-para-muitos se pelo menos um s fizer par com mais de um t e pelo menos um t fizer par com mais de um s..
Ex.: = {(7,4), (2,5), (9,4), (2,3)}
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Operações sobre relações
• Seja B o conjunto de todas as relações binárias em um dado conjunto S:
B = P(SxS) = {: é uma relação binária em S}• Isto é, se B, então S2 .• Assim, se e B, então podemos aplicar as
operações de conjuntos à e resultando em novos subconjuntos de S2, isto é, em novas relações binárias:
• x ( ) y x y ou x y• x ( ) y x y e x y• x ’ y não x y.
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Exercícios
1. Sejam e duas relações binárias em S={1,2,3,4,5} definidas por:
x y x = y e x y x < y. Encontre:
a. b. ’
c. ’
d. e. ’
2. Analise as relações
pai-de(PESSOA,PESSOA),
casado-com(PESSOA, PESSOA) e
trabalha-em(PESSOA,EMPRESA)
Quanto às características
um-para-um, um-para-muitos, etc.)
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Propriedades das relações
Seja uma relação binária em S.
é reflexiva quando xx para todo x S.
é simétrica quandoxy se, e somente se yx para todo x e y S.
é transitiva quando, xy e yz implica xz para todo x, y e z S.
é anti-simétrica quando xy e yx implica x = y para todo x e y S.
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Exemplo
Seja S = N os naturais, e x y x+y é par. é reflexiva. é transitiva. é simétrica
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Fecho de uma relação
Se uma relação em um conjunto S não tem uma certa propriedade, podemos tentar estender a fim de obter uma relação * em S que tenha a propriedade.
Uma relação binária * em um conjunto S é dita ser o fecho de uma relação em S relativo à propriedade P se:
1 * tem a propriedade P;
2 * ;
3 * é a ‘menor’ relação contendo com a propriedade P
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Fecho de uma relação
Obs.: a nova relação * conterá todos os pares ordenados que contém mais os pares ordenados adicionais necessários para que a propriedade desejada se verifique. Portanto, *.
• Exemplo: • Seja S = {1,2,3} e = {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3)}
• Então,
- o fecho reflexivo de em S é:
* = {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3), (2,2), (3,3)}
- o fecho simétrico de em S é:
* = {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3), (2,1), (3,2)}
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Exercício
Seja S = {a,b,c,d} e
= {(c,c), (a,c), (a,d), (b,d), (c,a)}
• Encontre os fechos reflexivo, simétrico e transitivo de .