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LIVRO DO PROFESSOR
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Ano
_pro
fess
orA coleção Matemática Interativa – Aplicando a Matemática – apresenta de forma inovadora os conteúdos, possibilitando a construção do
conhecimento matemático de forma signifi cativa, prática e contextualizada.
Esta coleção relaciona a Matemática aos problemas atuais e aos interesses dos alunos. Apresenta situações de investigação em que o estudante necessita de uma ferramenta matemática. Então, os conceitos e ideias são aplicados para satisfazer essa necessidade.
A proposta inova ao introduzir o uso de funções e o estudo da geometria em todos os anos. Além disso, a coleção contém desafi os, projetos e atividades complementares que possibilitam melhor compreensãoe aprofundamento do conhecimento matemático.
Reis & Tro
von
Reis & Tro
von
MATEM
ÁTICA
MATEM
ÁTICA
Designer
Editor (a)
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Depto. Arte
Coord.pedag—gica
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Casa Publicadora BrasileiraTatuí, SP
Alexandre Luís Trovon de CarvalhoBacharel em Matemática pela UNICAMP – Campinas, SP
Mestre em Matemática Aplicada eDoutor em Matemática pela mesma Universidade
Lourisnei Fortes ReisLicenciado em Ciências com Habilitação em Matemática pela FIDENE – Ijuí, RS
Licenciado em Pedagogia pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Moema, São Paulo
Alexandre Luís Trovon de CarvalhoBacharel em Matemática pela UNICAMP – Campinas, SP
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Apresentação
Oi, colega!
Junte-se a nós! Aqui iniciamos uma aventura através da Matemática. Queremos que você participe dela.
Ao estudar “Matemática Interativa – Aplicando a Matemática”, você vai se deparar em cada Unidade com situações muito legais, que o ajudarão a conhecer mais sobre o mundo em que vivemos, os mais varia dos fatos do dia a dia, e como a Matemática aparece aí. Ao final de cada Unidade, você encontra um quadro especial, onde poderá aplicar os co nhe cimentos que adquiriu às mais variadas áreas, tais como: ecologia, meio ambiente, arte, dentre outras. Lembre-se de que você não estará sozinho nessa aventura, pois seus colegas de classe e seu professor estarão com você.
Descubra!Junto com o professor Roberval, você fará grandes descobertas. Ele sempre estará por
perto para dar uma mãozinha com dicas e explicações. Você explorará a Matemática dos grilos e cigarras, descobrirá como a Matemática está ajudando os cientistas a decifrar o código gené-tico, e muito mais. Alguns assuntos aparecerão diversas vezes em sua jornada, relembrando o que você já viu antes e abrindo caminho para novas descobertas. Você também poderá discutir e partilhá-las com colegas, trabalhando com eles em grupo. Isso porque a Matemática é algo que as pessoas aprendem e descobrem juntas.
Divirta-se! Esperamos que sua aventura seja divertida e prazerosa. Nós e o professor Roberval traba lhamos
para que isso ocorra. Muitos jogos e atividades interessantes são apresentados para que você sinta prazer no que está aprendendo. Você construirá suas próprias obras de arte e terá diversos desafios legais. Mas lembre-se: aprender pode ser muito divertido e interes-sante, mas requer tempo e esforço. Mais que isso, exige que você pense. Esperamos que você aprenda bastante e também que pense bastante! Faça da mente seu laboratório e … mãos à obra!
Os Au to res
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Números 5 1. Sequências, Números e Fractais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2. Máquinas e Múltiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3. Divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4. Critérios de Divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5. Números Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 6. Múltiplos Comuns e Operações com Frações . . . . 38 7. Operações com Frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 8. Operações com Decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Ciência – A Matemática das Abelhas . . . . . . . . . . . . 57
Um Mundo de Formas Geométricas 60 1. Representações e Decomposições . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2. Olhando de Maneiras Diferentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3. Experiências com Sólidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4. Contornos e Polígonos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5. Paralelas e Perpendiculares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6. Medindo e Utilizando Ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Cidadania – Brasileiros em Ruanda. . . . . . . . . . . . . . . 94
Números Negativos 95 1. “Haja mais Números”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 2. Números Negativos e sua Representação. . . . . . . . . 102 3. Somando e Subtraindo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4. Multiplicando e Dividindo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Saúde – Alimentos e suas Calorias . . . . . . . . . . . . . . . 120 Projeto 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Expressões e Equações 122 1. Modelos para Expressões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 2. Sentenças Envolvendo Letras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 3. Equações – Que Bichos são esses? . . . . . . . . . . . . . . . 139 4. Sistemas – Tentativa e Erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Criptografia – A Matemática dos Códigos . . . . . . . 150
Transformações 151 1. Isometrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 2. Simetrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Meio Ambiente – Simetria na Natureza . . . . . . . . . . 168 Projeto 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Funções e Gráficos 173 1. Pontos e Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 2. Representação Cartesiana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 3. Forma Algébrica das Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Cidadania – Funções no dia a dia . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Tudo nas Devidas Proporções 199 1. Grandezas e Relações entre Grandezas . . . . . . . . . . 200 2. Funções e Grandezas Diretamente
Proporcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 3. Fotos, Mapas e Plantas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 4. Proporções que Variam ao Contrário . . . . . . . . . . . . . 215 5. Equações, Proporções e Regra de Três. . . . . . . . . . . . 220 Ciência – As Proporções do Corpo . . . . . . . . . . . . . . . 226 Projeto 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Medindo Superfícies e Volumes 232 1. Calculando Área de Figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 2. Blocos e Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 3. Calculando o Volume de Blocos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Ciência – O Princípio de Arquimedes. . . . . . . . . . . . . 253
Analisando Informações 254 1. Porcentagens na Análise de Informações. . . . . . . . . 255 2. A Estatística como Ferramenta para
a Análise de Informações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 3. Pictogramas e Gráficos de Setores . . . . . . . . . . . 266 Cidadania – Expectativa de Vida . . . . . . . . . . . . 274 Projeto 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
278
Unidade 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278Unidade 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284Unidade 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287Unidade 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289Unidade 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292Unidade 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295Unidade 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298Unidade 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299Unidade 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
305
309
333
Sumário
2
3
4
5
6
7
8
9
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
GLOSSÁRIO
MATERIAL DE APOIO
BIBLIOGRAFIA
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Na na tu re za, di ver sas for mas se guem pa drões. Elas se or ga ni zam de uma ma nei ra re gu lar, se guin do prin cí pios que po dem ser geo mé tri cos ou nu mé ri cos. Re cen te men te, des co briu-se que cer tos ti pos de tu mo res se de sen vol vem mais ou me nos se gun do cer tas re gras ma te má ti cas. Por essa ra zão, os cien tis tas hoje es tu dam pro prie da des de for mas geo mé tri cas, cha ma das de frac tais, bus can do um diag nós ti co mais pre ci so e rá pi do para es ses ti pos de cân-cer. Ao lado te mos a foto de um frac tal, que foi pro du zi do no com pu ta dor.
Si tua ção 1Par tin do de um triângulo, po de mos for mar a se guin te se quên cia:
E en tão, des co briu como essa se quên cia foi for ma da? Abai xo te mos o pro ces so pas so a pas so:
pas so 1: Co me ça mos com o triân gu lo equi lá te ro.pas so 2: Mar ca mos a me ta de do com pri men to de cada lado e uni mos es ses pon tos for man-
do um triân gu lo me nor. Re ti ran do esse triân gu lo, ob te mos a se gun da fi gu ra da se quên cia aci ma.
pas so 3: A se gun da fi gu ra é for ma da por três triân gu los ver me lhos. Re pe ti mos o que foi fei-to no pas so an te rior para cada um des ses triân gu los, ob ten do a ter cei ra fi gu ra.
A.L
.T.C
.
Mas… o que são es ses tais de
frac tais? Essa fi gu ra aci ma é bem “ma nei ra”,
mas não me diz mui ta coi sa.
Os frac tais são for mas geo mé tri cas
construídas se gun do uma cer ta re gra, como uma
se quên cia. Nas Si tua ções a se guir você co nhe ce rá
al guns frac tais.
Não dá para con ti nuar e re pe tir o
pas so 2 para os triân gu los pe que nos da
ter cei ra fi gu ra?
Dá, sim! E você vai ob ter um
to tal de 27 triân gu los na fi gu ra nova. Ob ser ve
o que acon te ce quan do isso é fei to.
SEQUÊNCIAS, NÚMEROS E FRACTAIS
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À di rei ta, te mos a fi gu ra se guin te da se quên cia. Po de mos con ti nuar, se qui ser-mos, de ter mi nan do o pró xi mo ter mo. En tre tan to, po de mos as so ciar uma se quên-cia nu mé ri ca a essa se quên cia de fi gu ras, con tan do o nú me ro de triân gu los em cada eta pa. Veja:
En tão, o nú me ro de triân gu los em cada eta pa é dado pela se quên cia nu mé ri ca:
1, 3, 9, 27
Você é ca paz de des co brir qual o pró xi mo ter mo des sa se quên cia, isto é, quan tos triân gu los a pró xi ma fi gu ra terá?
Si tua ção 2Na Si tua ção an te rior, a área das fi gu ras da se quên cia ia di mi nuin do, pois, a cada eta pa, eram
re ti ra dos triân gu los. En tre tan to, exis tem se quên cias em que a área da fi gu ra au men ta de uma eta pa para a se guin te. Ob ser ve:
E en tão? Con se guiu des co brir como foi for ma da? Abai xo te mos:
pas so 1: Co me ça mos com o qua dra do.pas so 2: Di vi di mos cada lado des se qua dra do em 3 e, em se gui da, cons truí mos um qua dra do
so bre o ter ço do meio, so bre cada lado. Ob ti ve mos com isso a se gun da fi gu ra.pas so 3: Di vi di mos cada lado da fi gu ra em 3 e, em se gui da, cons truí mos um qua dra do so bre
o ter ço do meio, ob ten do a ter cei ra fi gu ra.
Você pode con ti nuar e cons truir a pró xi ma fi gu ra, bem como con tar o nú me ro de qua dra dos em cada eta pa. Fa zen do isso, ob te mos a se quên cia nu mé ri ca:
1, 5, 25
Qual será o pró xi mo ter mo, isto é, quan tos qua dra dos ha ve rá na pró xi ma eta pa? Ten te des co brir.
1 3 9 27
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1. Ob ser ve a se quên cia ao lado: Com base nela, faça o que se pede e res pon da às per gun tas:
a) Com suas pa la vras, des cre va como essa se quên cia foi for ma da.
Divide-se o quadrado em 16 quadrados meno res. Em seguida, retiram-se os quatro quadrados
menores do centro.
b) Cons trua uma se quên cia nu mé ri ca que dê o nú me ro de qua dra dos em cada eta pa.
1, 12, 122 , 123 , …
c) Quan tos qua dra dos ha ve rá nas duas pró xi mas eta pas? Ex pli que sua res pos ta.
Haverá 1 728, 20 736, respectivamente. Pelo processo de construção, cada quadradinho será
dividido em 16 partes, das quais retiram-se quatro, do centro. A figura resultante terá 1 728 qua-
dradinhos. Na próxi ma etapa, o processo gera uma figura, agora com 20 736 quadradinhos.
2. Ob ser ve a se quên cia a se guir, e o nú me ro de bo li nhas em cada eta pa:
a) Qual é o pró xi mo ele men to des sa se quên cia? Quan tas bo li nhas ele terá? 21 bolinhas
b) Sem de se nhar, você con se gue des co brir como o nú me ro de bo li nhas au men ta de uma eta pa para a se guin te? Dis cu ta com seus co le gas a res pei to dis so.
A diferença entre um termo e o seguinte au menta de 1 em 1.
3. En con tre os dois pró xi mos ter mos das se quên cias nu mé ri cas:
a) 20, 18, 16, 14, 12 , 10 b) 1, 5, 9, 13, 17, 21 , 25
c) 1, 4, 9, 16, 25, 36 , 49 d) 2, 4, 8, 16, 32, 64 , 128
e) 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28 , 36 f) , , , , ,
4. De se nhe a pró xi ma fi gu ra de ca da uma das se quên cias abai xo:
a) b)
c) d)
●●
● ●
●● ●
● ● ●
●● ●
● ● ●● ● ● ●
●● ●
● ● ●● ● ● ●
● ● ● ● ●1 3 6 10 15
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5. As sequências numéricas abaixo são formadas por uma regra bem curiosa. Com auxílio de uma calcula-dora, complete o espaço com o número correto, e tente descobrir o que se observa com os resultados das multiplicações.
a)
6. Este é para fa zer em gru po. Por isso, reú na-se com mais um ou dois co le gas. Há 9 pe ças qua dra das es pa lha das so bre a mesa. Elas são usa das para mon tar for mas como as representadas ao lado. Cada qua dra do deve es tar en cos ta-do em pelo me nos um ou tro qua dra do, ao lon go de um lado in tei ro. To dos os qua dra dos têm lado me din do 1 cm. Com base nis so, res pon da:
a) Quais os pe rí me tros das fi gu ras pos sí veis de se rem for ma das des sa ma nei ra?
12 cm, 14 cm, 16 cm, 18 cm e 20 cm.
b) Quais fi gu ras têm maior e me nor pe rí me tro, res pec ti va men te?
Um retângulo formado com as nove peças lado a lado, tendo perímetro 20 cm. Um qua drado formado com as nove peças, tendo
perímetro 12 cm.
7. Ao lado te mos par te de uma ta be la con ten do os nú me ros de 1 a 100, or de na dos do me nor para o maior. Abai xo te mos par tes des sa ta be la. De ter mi ne que nú me ros de vem ocu par a po si ção do qua dra do azul em cada caso:
a) b)
8. Este exercício é quase um desafio. Por isso, reúna-se com mais um ou dois colegas. A se guir temos uma
sequência de polígonos, estudada por von Koch, em 1906. Ela foi cons truída da se guinte maneira:▶ A é um triângulo equilátero com lado 1.▶ B é obtido de A dividindo cada lado do triângulo em 3 partes iguais, construindo-se na parte do meio
um triângulo equilátero com a base removida.▶ C é obtido de B como B foi obtido de A. Continuamos de maneira semelhante, obtendo o polígono D. Calcule o perímetro da cada uma das figuras, A, B, C e D. Há alguma relação entre eles?
A B C D
A tem perímetro 3, B: 4, C: � , D � . O próximo termo da sequência sempre é obtido multiplicando o termo
anterior por .
1 5 6 7 82 3 4 9 10
21 22 23 24
11 15 16 17 1812 13 14 19 20
25 26 27 28
31 35 36 37 3832 33 34 39 40
29 30
42
66 71
58
D.N
.S.
489
163
649
43
6 � 7 � 42
66 � 67 � 4 422
666 � 667 � 444 222
6 666 � 6 667 � 44 442 222
66 666 � 66 667 � 4 444 422 222
1 � 1 � 1
11 � 11 � 121
111 � 111 � 12 321
1 111 � 1 111 � 1 234 321
11 111 � 11 111 � 123 454 321
b)
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9. Este é para fazer em grupo. Por isso, junte-se com mais um ou dois colegas. O triângulo numérico abaixo é conhecido como Triângulo de Pascal. Ob serve uma de suas propriedades:
Explique o que você notou. Será que essa pro-priedade é sempre válida?
Somando os números da diagonal evidenciada, obtemos
o número que está em destaque. Sim, essa propriedade
sempre é válida.
10. Observe a sequência abaixo:
...
Se você continuar com essa sequência até obter 10 bolas pretas seguidas, quantas bolas brancas e pretas terá ao todo?
Serão 10 bolas brancas e 55 pretas, ou seja, ao todo
teremos 65 bolas.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
11. A sequência abaixo foi formada da mesma maneira que o exercício 8 desta Unidade: Com base nela, faça o que se pede e res pon da à per gun tas:
a) Cons trua uma se quên cia nu mé ri ca que dê o nú me ro de triângulos em cada eta pa.
1, 4, 16, 64, 128, …
b) Quan tos triân gu los ha ve rá nas duas pró xi mas eta pas? Ex pli que sua res pos ta.
64 e 128, respectivamente. Pelo processo de construção, cada lado da figura será dividido
em três e, sobre o terço médio se construirá um triângulo equilátero, totalizando 64 triângulos.
Continuando o processo, obteremos uma figura com 128 triângulos.
12. Pres te aten ção no nú me ro de bo li nhas em cada eta pa da se quên cia:
Ago ra res pon da:a) Qual será o pró xi mo ele men to des sa se quên cia? E o nú me ro de bo li nhas que ele tem?
Um conjunto com três linhas de bolinhas. As duas de baixo com 5 bolinhas cada, e a de cima com 4 bolinhas, totali-
zando 14 bolinhas.
b) Como essa se quên cia é for ma da?
A sequência é formada acrescentando-se uma coluna com 3 bolinhas a cada etapa.
●
●
●
● ●
● ●
● ●
● ● ●
● ● ●
● ● ●
● ● ● ●
● ● ● ●2 5 8 11
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● ● ● ● ●14
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13. Quais são os dois pró xi mos ter mos de cada uma das se quên cias nu mé ri cas?
a) 1, 10, 100, 1 000, 10 000 , 100 000 b) 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 , 32
c) 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729 , 2 187 d) 1, 2, 5, 14, 41, 122, 365 , 1 094
e) , , , , , f) 1, , , , ,
14. Nes te exer cí cio vo cê pre ci sa rá de aten ção especial. Ob ser ve cui da do sa men te ca da uma das se quên cias abai xo, e de se nhe a pró xi ma fi gu ra. (Di ca: pro cu re identificar ca da de ta lhe das fi gu ras.)
a) b)
c) d)
15. As sequências numéricas abaixo são formadas por uma regra bem curiosa. Com auxílio de uma calcula-dora, complete o espaço com o número correto, e tente descobrir o que se observa com os resultados das multiplicações.
a) 12 345 679 � 9 � 111 111 111 b) 1 � (9 � 0) � 1
12 345 679 � 18 � 222 222 222 2 � (9 � 1) � 11
12 345 679 � 27 � 333 333 333 3 � (9 � 2) � 21
12 345 679 � 36 � 444 444 444 4 � (9 � 3) � 31
12 345 679 � 45 � 555 555 555 5 � (9 � 4) � 41
c) 8 � (9 � 0) � 8
7 � (9 � 9) � 88
6 � (9 � 98) � 888
5 � (9 � 987) � 8 888
4 � (9 � 9876) � 88 888
12
14
18
116
32
94
278
132
164
8116
24332
Mad
alen
a
Ilust
raçõ
es: A
.L.T
.C.
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D.N
.S.
16. Ao lado es tá um triân gu lo for-ma do por le tras. Vo cê po de for mar a pa la vra GEO ME TRIA, mar can do as le tras de ci ma pa ra bai xo, co me çan do pe la le tra G, e in do até a le tra A, co mo no exem plo. Pa ra for mar a pa la vra, só va le mar car uma das duas le tras abai xo da le tra que vo cê mar cou por úl ti mo, co mo ao lado.
a) Marque três ou tras ma nei ras di fe ren tes de formar a pa la vra GEO ME TRIA.
b) Exis tem so men te es sas três ma nei ras, ou exis tem ou tras? O que vo cê acha?
Existem outras maneiras.
c) Com pa re com seus co le gas pa ra ver quem en con trou ma nei ras di fe ren tes de mar car a pa la vra GEO ME TRIA, se guin do as re gras da das. Comparação com os colegas.
17. Na sequência abaixo, as figuras são formadas por cubos que são colados. Se a superfície externa
precisar ser pintada, quantos quadrados serão pintados em cada uma das 4 primeiras etapas? E na décima etapa?
, , ...
Na primeira etapa serão pintados 6 quadrados, na segunda etapa serão 10 quadrados, na terceira 14, na quarta etapa
serão 18 quadrados, e na décima etapa, 42 quadrados.
18. Um tanque contém 15 360 litros de água. Ao final de cada dia, metade da água é removida, e não é reposta. Quantos litros de água restarão após:
a) 3 dias: Restarão 1 920 litros de água.
b) 5 dias: Restarão 480 litros de água.
c) 10 dias: Restarão 15 litros de água.
19. A seguinte sequência foi construída com base em um relógio de ponteiros:1, 6, 11, 4, 9, . . .
Responda:a) Como essa sequência foi formada?
Somando 5 ao número anterior. Ao chegar ao 12 (estamos nos baseando em um relógio), co meçamos a contar a partir
do 1 novamente.
b) Os próximos 5 termos dela serão 2, 7, 12, 5, 10
Diz uma len da an ti ga que num mos tei ro em Ha nói, no Viet nã, três monges idosos ten ta vam re sol ver um in tri gan te pro ble ma ma te má ti co, que aca bou le van do o no me de Tor re de Ha nói. Diz a len da que três es ta cas fo ram fin ca das no chão, e que qua tro dis cos de di fe ren tes ta ma nhos, to dos fei tos de ou ro, fo ram co lo ca dos em uma es ta ca. Pri mei ro, na ba se da es ta ca, foi co lo ca do o maior e, em se gui da, os de me nor ta ma nho, até que
G E E O O O M M M M E E E E E T T T T T T R R R R R R R I I I I I I I I A A A A A A A A A
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o me nor fi cou no to po. O pro ble ma con sis te em trans fe rir to dos os dis cos, um de ca da vez, pa ra ou tra es ta ca. Isso deve ser feito com o menor número de movimentos possível. Mas cuidado! Durante a transferência, um disco menor não pode ficar embaixo de um maior. Pa ra is so podem-se usar as três es ta cas.
Com ba se na his tó ria, e lem bran do que ne nhum dis co de me nor ta ma nho po de fi car em bai xo de um de maior ta ma nho, fa ça o que se pe de e res pon da às per gun tas:
a) Complete a tabela:
En tão re cor te qua tro dis cos de car to li na, de qua tro di fe ren tes ta ma nhos, e re sol va o pro ble ma na prá ti ca pa ra 1 dis co, 2 dis cos, 3 dis cos e 4 dis cos, re gis tran do na ta be la o me nor nú me ro de mo vi men tos pa ra trans fe ri-los de uma estaca para outra.
b) De acor do com a se gun da li nha da ta be la, cons trua a se quên cia for ma da pe lo nú me ro de mo vi men tos ne ces sá rios pa ra trans fe rir os dis cos de uma es ta ca pa ra ou tra em ca da si tua ção.
1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, ...
c) E se fos sem cin co dis cos, qual se ria o me nor nú me ro de mo vi men tos pa ra trans fe rir os dis cos pa ra ou tra es ta ca? Vo cê con se gue ver al gum pa drão pa ra es sa se quên cia? Dis cu ta com seus colegas a respeito.
Ob ser ve a má qui na aci ma. Todo nú me ro que for co lo ca do na en tra da sai mul ti pli ca do por 3. Por isso, di ze mos que a re gra des sa má qui na é “�3” (ve zes 3).
In se rin do 5, ela dará 15 como re sul ta do. Co lo can do 10, ela dará 30 como re sul ta do, e as sim por dian te. Po de mos re pre sen tar os va lo res de en tra da e saí da numa ta be la, ou com fle chas, como veremos a seguir.
� 3
Número de
discos 1 2 3 4
Movimentos necessários 1 3 7 15
MÁQUINAS E MÚLTIPLOS2222
31 movimentos. De modo geral, se n é o número de discos, o número de movimentos será 2n – 1.
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Co lo ca mos os nú me ros 0, 1, 2, 3, 4, e as sim por dian te, na en tra da da má qui na. Na saí da va mos ob ter, en tão, a se guin te se quên cia:
0, 3, 6, 9, 12, …
Ob ser ve que ela “pula” de 3 em 3. Mas não é só isso: todo ele-men to aí é o re sul ta do da mul ti pli ca ção de al gum nú me ro in tei ro por 3. Por isso, di ze mos que ela é a se quên cia de múl ti plos de 3, cada um de seus ele men tos é um múl ti plo de 3.
Para ve ri fi car se 231 é múl ti plo de 3, de ve mos tes tar se exis te al gum nú me ro in tei ro que foi co lo ca do na en tra da da fun ção �3 , dan do como re sul ta do 231:
Re pre sen ta mos a re gra des sa má qui na por uma fle cha, as sim:
�3
�3
Entrada Saída
1 3
�32 6
�33 9
Boa observação! Além disso, note que a
sequência obtida na saída “pula” de 3 em 3. Abaixo, temos isso descrito com
mais detalhes. Veja:
Hum… se eu for colocando os
números 0, 1, 2, 3,… na entrada, vou obter uma sequência nos números
de saída!
�30 0
�32 6
�33 9
�34 12
�31 3
... ... ...
Para isso, pre ci sa re mos
re cor dar a ideia de fun ção in ver sa.
Pres te aten ção:
Mas… como é que eu faço para
tes tar se um nú me ro é múl ti plo de 3?
Por exem plo, 231 é múl ti plo de 3?
�3númeroprocurado 231
Entrada Saída
0 0
1 3
2 6
3 9
4 12
5 15
6 18
�3
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Mas ob ser ve que a fun ção �3 des faz aqui lo que é fei to por �3 .Por exem plo:
Des sa for ma, po de mos de ter mi nar o nú me ro pro cu ra do as sim:
Efe tuan do a di vi são, des co bri mos que 231 � 3 � 77, que é um nú me ro in tei ro. Logo, o nú me ro pro cu ra do é 77.
231 é o re sul ta do da mul ti pli ca ção de 77 por 3. Por isso ele é um múl ti plo de 3. E, já que cada
uma das fun ções �3 e �3 des faz o que a ou tra faz, di ze mos que:
Para de ter mi nar os múl ti pos de 7, de ve mos co lo car 0, 1, 2, 3, e as sim por dian te, na en tra da da fun ção �7 , e ano tar os re sul ta dos.
Fa zen do isso, des co bri mos que a se quên cia dos múl ti plos de 7 é:
0, 7, 14, 21, . . .
Ela pula de 7 em 7. Além dis so, cada um de seus ele men tos é o re sul ta do da mul ti pli ca ção de al gum nú me ro in tei ro por 7.
Para tes tar se o nú me ro 493 é múl ti plo de 7, de ve mos en tão ve ri fi car se exis te al gum nú me ro in tei ro que foi co lo ca do na en tra-
da da fun ção �7 , dan do como re sul ta do 493:
�38 24 �324 8
Ao co lo car 8 nes sa má qui na, ob te mos 24 como re sul ta do.
Co lo can do 24 nes sa má qui na, ob te mos 8 como re sul ta do.
númeroprocurado 231
�3
�3
�3 �3
�3 �3
é a inversa de
é a inversa dee que
As fun ções
in ver sas nos aju da rão a re sol ver di ver sos pro ble mas.
Va mos usá-las para tes tar se 493
é múl ti plo de 7:
Esse ne gó cio de fun ção in ver sa
fi cou mui to com pli ca do. Que ro ver você de ter mi nar
se 493 é múl ti plo de 7!
�70 0
�72 14
�73 21
�71 7
... ... ...
�7númeroprocurado 493
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Uti li zan do o que vi mos a res pei to de fun ções in ver sas, e lem bran do que �7 é
a fun ção in ver sa de �7 , te mos:
Não há nú me ro in tei ro que, mul ti pli ca do por 7, dê 493. Por isso, 493 não é múl ti plo de 7. Para tes tar se um nú me ro é múl ti plo de 7, sua di vi são por 7 deve ser exa ta, isto é, o re sul ta do da di vi são é um nú me ro in tei ro e não so bra nada de res to.
20. En con tre a se quên cia de múl ti plos dos se guin tes nú me ros:
a) 2 = 0, 2, 4, 6, 8, … b) 5 = 0, 5, 10, 15, 20, 25, …
c) 9 = 0, 9, 18, 27, 36, 45, … d) 10 = 0, 10, 20, 30, 40, …
e) 11 = 0, 11, 22, 33, 44, … f) 13 = 0, 13, 26, 39, 42, …
21. Es cre va a fun ção in ver sa de cada uma das fun ções abai xo:
a) b) c)
d) e) f)
22. Com base no que você viu no tex to, res pon da sim ou não:
a) 140 é múl ti plo de 8? Não b) 336 é múl ti plo de 7? Sim
c) 868 é múl ti plo de 6? Não d) 315 é múl ti plo de 9? Sim
23. Duas má qui nas fo ram co lo-ca das em sé rie, como ilus tra a fi gu ra ao lado: O nú me ro 3 en trou na pri mei ra má qui-na. O nú me ro 6, que saiu dela, ime dia ta men te en trou na se gun da má qui na. Como re sul ta do, o nú me ro 7 saiu da se gun da má qui na. Po de mos es que ma ti zar es sas ope ra ções as sim:
Efe tuan do a di vi são 493 � 7,
ob te mos 70,42… que não é um nú me ro in tei ro.
Por isso, 493 não é múl ti plo de 7!
númeroprocurado 493
�7
�7
�2
�5
�9
�3
�1
�2
�3�5
�1
�2
�2 �9
36
7� 2 � 1
�23 �16 7
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O ali nha men to das duas má qui nas em sé rie é cha ma do de fun ção com pos ta. Complete as fun ções com pos tas colocando o número correto no espaço.
a)
b)
c)
24. Este é para fa zer em gru po. Por isso, reú na-se com mais um ou dois co le gas. Al gu mas va cas es tão pas tan do em um cam po. Ca da va ca car re ga três si nos no pes co ço. Se vo cê con tar os si nos das va cas, o re sul ta do po de ser 53? Po de ser 51? Ex pli que sua res pos ta.
O resultado não pode ser 53, pois ele não é múl tiplo de 3. É possível que o resultado seja 51, pois 3 � 17 � 51.
25. Use o que você apren deu a res pei to de fun ções in ver sas para completar o espaço em cada caso:
a) b)
c) d)
26. Que números são múltiplos de 2 e 3 simultaneamente?
0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 102, … . Ou seja, os múlti plos de 6.
27. Este tam bém é para fa zer em gru po. Por isso, reú na-se com mais um ou dois co le gas. A du ra ção do ano so lar – tem po que a Ter ra le va pa ra dar uma vol ta com ple ta em tor no do Sol – não é exa ta men te 365 dias. Du ra apro xi ma da men te 365 dias e 6 ho ras. Por is so so bram cer ca de 6 ho ras to dos os anos. Pa ra cor ri gir es se pro ble ma, a ca da 4 anos acres cen ta-se o dia 29 de fe ve rei ro ao ca len dá rio. Es ses anos com um dia a mais são cha ma dos de anos bis sex tos, e to dos são múl ti plos de 4. Mas te nha cui da do! Pa ra que as con tas do ca len dá rio deem cer to, os anos que ter mi nam com 00 só são bis sex tos se eles fo rem múl ti plos de 400!
Sa ben do dis so, res pon da às se guin tes ques tões:
a) 1822, ano da in de pen dên cia do Bra sil, foi um ano bis sex to? Não.
b) O ano de 1920, em que acon te ceu a pri mei ra par ti ci pa ção do Bra sil nas Olim pía das, foi um ano bis sex to? Sim.
c) O ano de 1970, quan do o Bra sil foi tri cam peão da Co pa no Mé xi co, foi bis sex to? Não.
d) E o ano de 2050, se rá bis sex to? Não.
28. Este é para fazer em grupo. Por isso, junte-se com mais um ou dois colegas. Dado um calendário, para qualquer mês do ano, como este que você encon-tra à direita, tome um bloco qualquer de 3 � 3 números, como este ao lado.
Encontre a soma dos números do bloco 3 � 3. A soma tem algo a ver com o número do centro do bloco 3 � 3? Compare com a resposta de seu colega.
A soma deste bloco dá 81. Esse número é 9 vezes o número do centro.
�18
�412
�5
�3
�2
�3 18
9
48
6
27
50
30
�7 12 9
�6 48 20
�13
�23
19
8
117
43
É ou não é ano
bissexto?
D S T Q Q S S1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
Maio
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29. Des cu bra a se quên cia de múl ti plos de cada um dos nú me ros:
a) 4 0, 4, 8, 12, 16, … b) 8 0, 8, 16, 24, 32, …
c) 12 0, 12, 24, 36, 48, 60, … d) 1 0, 1, 2, 3, 4, …
e) 0 0 f) 7 0, 7, 14, 21, 28, …
30. De acor do com o que você viu no tex to, es cre va a fun ção in ver sa de:
a) b) c)
31. Res pon da sim ou não:
a) 96 é múl ti plo de 8? Sim b) 53 é múl ti plo de 5? Não c) 242 é múl ti plo de 11? Sim
d) 431 é múl ti plo de 9? Não e) 863 é múl ti plo de 3? Não f) 225 é múltiplo de 15? Sim
32. Em cada um dos itens complete o espaço com o nú me ro cor re to (re cor de o que você viu no exer cí cio 23 des ta Uni da de).
a)
b)
c)
33. Ob ser ve a fi gu ra ao la do. Quan tos são os pin guins agru-pa dos? O que a dis po si ção dos pin guins lem bra a vo cê? Construa uma sequência que expresse o total de pinguins nos grupos. Es cre va com suas pa la vras e com pa re com a res pos ta dos seus co le gas.
Eles estão agrupados em pares e lembram a sequência de números: 6,
8,10, indo de baixo para cima.
34. Al guns ca va los es tão sol tos em um cam po. Se vo cê con tar o nú me ro das pa tas de les, o re sul ta do po de ser 58? Po de ser 60? Ex pli que sua res pos ta.
Cada cavalo tem quatro patas. Assim, o número de cavalos não pode ser
58, pois 58 não é múltiplo de 4. É possível que o resultado seja 60, pois
4 · 15 = 60.
35. Ve ri fi que se os se guin tes anos são bis sex tos:
a) 1889, ano da Pro cla ma ção da Re pú bli ca. Não.
b) 1998, ano da Co pa da Fran ça, quan do o Bra sil foi vi ce-cam peão. Não.
c) 1972, ano do ses qui cen te ná rio da In de pen dên cia do Bra sil. Sim.
d) 1770, ano em que nas ceu o com po si tor Bee tho ven. Não.
�4 �3�11
�4�11 �3
�2 �7 63 18 9
�35 �7 8 56
�811 �9 88 79
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36. Para des co brir que nú me ros vão nos espaços, na fun ção com pos ta abai xo, Lau ra fez o se guin te:
Ela des fez as ope ra ções �2 e �3. Para isso, usou fun ções in ver sas, as sim:
Ago ra é com você! Nas fun ções com po stas abai xo, complete o espaço com o nú me ro cor re to:
a)
b)
c)
d)
Des cu bra o nú me ro se cre to:
(Di ca: há mais de uma possibilidade. Lem bre-se de que se um nú me ro é múl ti plo de 3 e tam bém de 4, en tão ele se rá múlti plo de 12.)
O número secreto pode ser: 444, 516, 552, 624.
Ja que li ne jun tou 40 fi gu ri nhas re pe ti das, que de se ja dis tri buir en tre 5 ami gos. Para isso, ela fez a se guin te con ta:
1512
�3
24
�2
�2 �3
�2
�6
�7
�8
�5
�5
�5
�3
64
�4�3
1
42
16
7 5
2 8
218 225
17 12
45
4
Gal
leryJá dei vá rias
di cas pa ra vo cê so lu cio nar pro ble mas. Ago ra é ho ra de ver
se vo cê apren deu bem. Pa ra is so ten te des co brir o nú me ro
mis te rio so que tem as pro prie da des
ao la do.
• Ele é maior que 440 e me nor que 730.• É múl ti plo de 3.• É múl ti plo de 4.• Não é múl ti plo de 5.• A so ma de seus al ga ris mos é igual a 12.
�2 �3 15
Se rá que dá pa ra ca da um fi car com
o mes mo nú me ro de fi gu rinhas? Dei xe-me ver:
40 5 0 8
Que bom! Não so brou res to na di vi são! As sim pos so di vi dir as fi gu ri nhas igual men te, fi can do
8 pa ra ca da um.
DIVISIBILIDADE3
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Na con ta que Ja que li ne fez, cada um de seus ami gos fi cou com 8 fi gu ri nhas. Isso oco rreu por que o res to da di vi são de 40 por 5 é 0.
Des sa for ma, toda vez que uma di vi são ti ver res to zero, di ze mos que ela é uma di vi são exa-ta. No caso das fi gu ri nhas de Ja que li ne, como a di vi são de 40 por 5 é exa ta, di ze mos que 40 é di vi sí vel por 5, ou ain da, que 5 é um di vi sor de 40.
Você se lem bra do que são quo cien te e res to em uma di vi são de nú me ros in tei ros? Na di vi são de 40 por 5, o quo cien te é 8, e o res to da di vi são é 0.
Para ver a re la ção en tre múl ti plos de 5 e di vi si bi li da de por 5, va mos cons truir a se quên cia de múl ti plos de 5. Para isso, usa mos
a fun ção �5 :
Co lo can do su ces si va men te na en tra da os nú me ros 0, 1, 2, 3, e as sim por dian te, des co bri mos a se quên cia dos múl ti plos de 5. Abai-xo es tão seus 11 pri mei ros ter mos:
0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, . . .
Ela “pula” de 5 em 5. Ob ser ve que 40 é um dos ter mos des sa se quên cia.
Por isso, di zer que 40 é di vi sí vel por 5 é o mes mo que di zer que 40 é múl ti plo de 5. Des sa for ma, ve mos que as afir ma ções
40 é múl ti plo de 5 40 é di vi sí vel por 5 5 é um di vi sor de 40
sig ni fi cam a mes ma coi sa. A seguir, te mos mais al guns exem plos em que a di vi si bi li da de de nú me ros é tes ta da:
8 figurinhas 8 figurinhas 8 figurinhas 8 figurinhas 8 figurinhas
as 40 figurinhas de Jaqueline
Veja: 40 é múl ti plo de 5. Isso
é uma con se quên cia do fato de a di vi são de 40
por 5 ter quo cien te in tei ro e res to zero. Veja as ex pli ca ções
a se guir:
Ué! Pelo que
vi mos an tes, 40 é múl ti plo de 5, já que
40 = 8 � 5. Mas esse ne gó cio de di vi sor eu
não en ten di di rei to! Dá para ex pli car
melhor?
resto
quociente40 5 0 8
�50 0
�52 10
�53 15
�51 5
... ... ...
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Fi nal men te, dado um nú me ro in tei ro, po de mos des co brir to dos os seus di vi so res e or ga ni zá-los em uma se quên cia. Por exem plo, fa zen do al gu mas con tas, des co bri mos que to dos os di vi so res de 40 são:
1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
Eles es tão or ga ni za dos em uma se quên cia, do me nor para o maior. Ob ser ve que a se quên-cia dos di vi so res de um nú me ro ter mi na, en quan to a se quên cia dos múl ti plos de um nú me ro não ter mi na. Por que isso acon te ce? Pen se a res pei to e dis cu ta com os co le gas.
37. Efe tue as di vi sões a se guir. Mas aten ção: o res to e o quo cien te de vem ser in tei ros!
a) 81 � 9 = 9 b) 144 � 12 = 12
c) 225 � 15 = 15 d) 873 � 3 = 291
e) 1 235 � 25 = Quociente 49 e resto 10 f ) 161 � 7 = 23
38. Com base no que você fez no exer cí cio an te rior, res pon da sim ou não:
a) 81 é di vi sí vel por 9? Sim b) 144 é múltiplo de 12? Sim c) 15 é di vi sor de 225? Sim
d) 873 é di vi sí vel por 3? Sim e) 25 é di vi sor de 1 235? Não f) 161 é múltiplo de 7? Sim
39. Este é para fa zer em gru po. Por isso, reú na-se com mais um ou dois co le gas. Di ze mos que um nú me ro é par se ele for di vi sí vel por 2. Os nú me ros in tei ros que não são di vi sí veis por 2 são cha ma dos de ím pa-res. Com base nis so, faça o que se pede e res pon da às per gun tas:a) Quan tos nú me ros pa res exis tem? Or ga ni ze-os em uma se quên cia.
Infinitos. 2, 4, 6, 8, 10, 12, …
b) Quan tos nú me ros ím pa res exis tem? Or ga ni ze-os em uma se quên cia.
Infinitos. 1, 3, 5, 7, 9, 11, …
c) Se você so mar um nú me ro par com um ím par, o re sul ta do será par ou ím par?
O resultado será um número ímpar.
40. En con tre a se quên cia de di vi so res dos se guin tes nú me ros:
a) 15 1, 3, 5 e 15.
b) 24 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.
c) 42 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 e 42.
d) 60 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60.
e) 81 1, 3, 9, 27, 81.
Vamos testar se 52 é múltiplo de 8. Para isso fazemos a divisão
Como o resto não é zero, a divisão não é exata. Logo, 52 não é divisível por 8.
Para verificar se 2 é divisor de 3, efetuamos a divisão 3 ÷ 2:
Nesse caso, o resto é zero, mas o quociente não é inteiro. Logo, 2 não é divisor de 3.
3 20 1,5 quociente
52 8 4 6 resto
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41. Este tam bém é para fa zer em gru po. Jun te-se com mais um ou dois co le gas. Faça o que se pede.a) Marque os números abaixo que são divisíveis por 400: 1 600 1 200 4 600 81 000 900
b) Marque os números abaixo que são divisíveis por 4: 16 12 46 810 9
c) O que você deduz?
Para ser divisível por 400, o número deve terminar em 00 e o número formado, excluindo-se o 00, deve ser divisível
por 4.
42. Des cu bra o nú me ro mis te rio so:▶ Ele é múl ti plo de 2.▶ É di vi sí vel por 3.▶ 5 é di vi sor de le.▶ É maior que 20.▶ É me nor que 40.
O número misterioso é 30.
43. Al guns nú me ros apre sen tam a ca rac te rís ti ca cu rio sa de serem iguais à so ma de seus di vi so res, ex cluin-do-se den tre es ses o pró prio nú me ro. Eles são cha ma dos de nú me ros per fei tos. O nú me ro 28, por exem plo, apre sen ta 5 di vi so res me no res que 28:
1, 2, 4, 7, 14
A so ma des ses di vi so res 1 � 2 � 4 � 7 � 14 é exa ta men te igual a 28. Lo go, 28 é um nú me ro per-fei to. Marque quais dos se guin tes nú me ros são per fei tos:
a) 15 b) 6 c) 27 d) 496
44. Escreva V ou F para indicar quais das seguintes afirmações são verdadeiras e quais são falsas. Justifique sua resposta em cada caso.
a) Todo número natural é divisor de zero.
Verdadeira, pois podemos dividir zero por qualquer número natural sem aparecer resto mai or que zero nessa divisão.
b) Zero é divisor de todo número natural.
Falsa, pois não existe divisão por zero.
c) 1 é divisor de todo número natural. Verdadeira, pois ao dividirmos qualquer nú me ro natural por 1 obteremos resto zero, o que pro va que 1 é divisor de
qualquer número na tu ral.
d) Todo número natural diferente de zero é divisor dele próprio.
Verdadeira, pois se dividirmos um número na tural por ele mesmo obteremos quociente 1 e res to zero, o que implica que
o número é divisor dele mesmo.
e) Zero divide zero.
Falsa, pois não existe divisão por zero, logo ze ro não pode dividir nenhum número.
Gal
lery
No te que, em Ma te má ti ca, às ve zes nos re fe ri mos
a um mes mo fa to de vá rias ma nei ras. As sim, se o nú me ro mis te rio so é di vi sí vel por 3, en tão, o que
3 é de le? Se 5 é di vi sor de le, en tão o que ele é de 5?
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45. Um número é dito deficiente se a soma de seus divisores (com exceção do próprio nú me-ro) é menor que o número. Da mesma forma, dizemos que um número é abundante se a soma de seus divisores (diferentes dele próprio) é maior que o número. Por exem plo, 14 é deficiente, pois seus divisores (diferentes de 14) são 1, 2 e 7, sendo que 1 � 2 � 7 � 14. Por outro lado, 12 é abundante, já que seus divisores (diferentes de 12) são 1, 2, 3, 4, 6 e 1 � 2 � 3 � 4 � 6 � 12. Determine se os números seguintes são abundantes ou deficientes:
a) 10 Os divisores menores que 10 são: 1, 2, 5. Efetuando a so ma desses números, encontramos como resultado o número
8. Como 10 > 8, temos que 10 é deficiente.
b) 18 Os divisores menores que 18 são: 1, 2, 3, 6, 9. Efetuando a soma desses números, encontramos como re sultado o
número 21. Como 18 < 21 , temos que 18 é abundante.
c) 20 Os divisores menores que 20 são: 1, 2, 4, 5, 10. Efetuando a soma desses números, encontramos como re sultado
o número 22. Como 20 < 22, temos que 20 é abundante.
d) 16 Os divisores menores que 16 são: 1, 2, 4, 8. Efetuando a soma desses números, encontramos como resultado o
número 15. Como 16 > 15, temos que 16 é deficiente.
e) 468 Alguns dos divisores de 468 são: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 78, 117, 156, 234. Efetuando a soma des ses números,
encontramos como resultado o nú mero 623. Como 468 < 623, temos que 468 é abundante.
46. Sabendo que dois números são divisíveis por 5, responda:
a) Será que sua soma é divisível por 5? Sim.
b) Será que seu produto é divisível por 5? Sim.
47. Efe tue as di vi sões de nú me ros, de modo que o quo cien te e o res to se jam in tei ros:
a) 91 � 7 = 13 b) 210 � 15 = 14
c) 150 � 10 = 15 d) 943 � 23 = 41
48. Com base no que você fez no exer cí cio an te rior, res pon da sim ou não:
a) 91 é di vi sí vel por 7? Sim b) 210 é di vi sí vel por 15? Sim
c) 10 é di vi sor de 150? Sim d) 943 é di vi sí vel por 23? Sim
49. Qual dos nú me ros tem a maior quan ti da de de di vi so res: 24 ou 30?
Ambos têm 8 divisores.
50. Res pon da às per gun tas:
a) Quais os di vi so res de 54? 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27 e 54.
b) Quais os di vi so res de 36? 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36.
c) Exis tem di vi so res que são co muns a am bos: 54 e 36? Sim. Quais? 1, 2, 3, 6, 9 e 18.
d) Qual é o maior di vi sor co mum a 54 e 36? 18
51. Você já sabe que um ano que ter mi na em 00 é bi ssex to so men te se ele for múl ti plo de 400. Uti li zan do o que você apren deu so bre di vi si bi li da de, e o exer cí cio 41 des ta Uni da de, responda quais dos se guin tes anos são bi ssex tos:
a) 1500 Não. (porque 15 não é divisível por 4) b) 1800 Não. (pois 18 não é divisível por 4)
c) 2000 Sim. (porque 20 é divisível por 4) d) 1300 Não. (pois 13 não é divisível por 4)
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52. Re cor de aqui lo que você fez no exer cí cio 39, para res pon der às per gun tas, ex pli can do sua res pos ta em cada caso. (Dica: es cre va a se quên cia dos pa res e a dos ím pa res.)a) O pro du to de dois nú me ros pa res é par ou ím par?
Par, pois o produto de dois números divisíveis por 2 continua divisível por 2.
b) O pro du to de dois nú me ros ím pa res é par ou ím par?
Ímpar, pois o produto de dois números que não são divisíveis por 2 continua não divisível por 2.
c) E o pro du to de um nú me ro par por um ím par, é par ou ím par?
Par, pois o produto de um número divisível por 2 por qualquer outro número inteiro é divisí vel por 2.
53. Ob ser ve a fi gu ra ao lado. Ela é uma ma lha de 10 � 10 � 100 bo li nhas. Será pos sí vel de se nhar uma li nha ho ri zon tal e uma ver ti cal, di vi din do a ma lha em qua tro par tes, cada uma con ten do 12 bo li nhas, 18 bo li nhas, 28 bo li nhas e 42 bo li nhas, res pec ti va men te? Onde você deve de se nhar as li nhas?
54. Des cu bra o nú me ro mis te rio so:▶ Ele é múl ti plo de 4. ▶ 8 é di vi sor de le. ▶ É maior que 30.▶ É di vi sí vel por 5. ▶ É me nor que 60.
O número misterioso é 40.
A ami za de não exis te so men te en tre se res hu ma nos. Ela es tá pre sen te até en tre nú me ros. Va mos, em pou-cas pa la vras, ex pli car o que é o con cei to de nú me ros ami gos em Ma te má ti ca. Con si de re mos, por exem plo, os nú me ros 220 e 284.
O nú me ro 220 é di vi sí vel exa ta men te pe los se guin tes nú me ros:
1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110.
Es ses são os di vi so res de 220 me no res do que ele mes mo. O nú me ro 284 é, por sua vez, di vi sí vel pe los nú me ros:
1, 2, 4, 71 e 142.Es ses são os di vi so res de 284 me no res do que ele mes mo.Há, en tre es ses nú me ros, uma curiosa coin ci dên cia. Se so mar mos os di vi so res de 220, aci ma in di ca dos,
va mos ob ter uma so ma igual a 284. E se so mar mos os di vi so res de 284, o re sul ta do se rá 220. Ve ja a ta be la:
Dois nú me ros são ami gos se a so ma dos di vi so res de um, ex cluin do ele pró prio, é igual ao ou tro nú me ro. Des sa re la ção, os ma te má ti cos che ga ram à con clu são de que os nú me ros 220 e 284 são ami gos.
Descubra se os pares de números abaixo são amigos.
a) 1 184 e 1 210 São números amigos. b) 2 620 e 2 924 São números amigos.
Número Soma dos divisores
220 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
284 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
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