regressão com descontinuidade - rdd · o b asico sobre causalidade: endogeneidade a rela˘c~ao...

Regressao com Descontinuidade - RDD

Rafael Terra

Universidade de Brasılia-Unb

05 de Maio, 2016

Rafael Terra (Unb) Econometria do Setor Publico 05 de Maio, 2016 1 / 55

O Basico sobre Causalidade: Endogeneidade

A relacao causal entre a educacao (s) e o salario (w) e objeto de estudoconstante em economia do trabalho. Jacob Mincer propos uma relacaocausal simplificada:

lnwi = lnw0i + βs + γ1Xi + γ2X2i + εi (1)

em que lnw0 representa o salario do trabalho sem qualificacao e experiencia.

s denota os anos de educacao.

X representa o tempo de experiencia.

ε representa outros fatores que afetam lnw .



suponha a seguinte estimativa:

lnwi =6.684(1.122)

+ 0.252(0.081)

si + 0.053(0.021)

Xi − 0.001(0.0005)

X 2i (2)

Voce acredita nessa estimacao?



Nao!

Sabemos hoje em dia que ao menos um fator importante para explicar osalario , a habilidade (q) do indivıduo, nao se encontra no modelo, i.e. e naoobservavel.

Ha uma correlacao condicional positiva entre habilidade e salario γ3. Logo,se esta nao e observavel, ela recaira no erro ε = γ3q + u

Como habilidade tem uma relacao positiva com a escolaridade, a estimativado efeito da escolaridade sobre o salario estara superestimada. O modelocorreto seria

lnwi = 6.355(1.08)

+ 0.102(0.031)

si + 0.051(0.019)

Xi − 0.0009(0.0003)

X 2i + 0.457

(0.014)qi (3)

em que a nova estimativa de um ano adicional de escolaridade seria bemmenor.



O que observamos nesse caso e o classico problema de endogeneidade.

E [sε] 6= 0.

A consequencia da violacao da hipotese de ortogonalidade entre o erro e oregressor e o vies da estimativa de β.

Esse e o principal problema em Econometria de Avaliacao de Programas.



Ha basicamente tres fontes de endogeneidade que fazem com que E [sε] 6= 0

Omissao no modelo de regressores relevantes.Regressores medidos com erro.Simultaneidade entre as variaveis —a causacao e bidirecional entreregressando w e regressor s.

Omissao de variaveis relevantes costuma ser a principal fonte deendogeneidade em Econometria de Avaliacao de Programas.



Ha varias formas de lidar com o problema de endogeneidade. Se o problemae de variavel omitida– correlacionada com regressores incluıdos no modelo.

1 A inclusao da variavel no modelo resolve o problema de endogeneidade.2 Se e impossıvel obter/medir essa variavel omitida, pode-se tentar

encontrar uma variavel “proxy” que capture a correlacao entre avariavel omitida e o regressando w .

3 Se tal “proxy” nao existe, mas um conjunto de variaveis de controle x“exaure” essa correlacao entre a variavel omitida e o regressando w ,pode-se estimar consistentemente β.



4 Se voce sabe que essa variavel omitida e invariante no tempo, e sedispoe de dados em painel, pode-se usar o estimador de efeitos fixos ouprimeiras diferencas (que remove essa parte fixa de cada unidadeseccional).

5 Se a variavel omitida nao for invariante no tempo, podemos tentarencontrar uma variavel instrumental z correlacionada com a variavelendogena s, mas nao correlacionada com a variavel dependente w — anao ser por meio de s.



As estrategias de 1 a 4 listadas se baseiam em hipoteses muito fortes.

A variavel omitida pode ser encontrada/medida?A “proxy” e boa?As variaveis de controle realmente “exaurem” essa relacao entre avariavel omitida e o regressor de interesse?A variavel omitida e realmente invariante no tempo?

Se tivermos uma variavel instrumental “evidentemente” exogena, esta sera aforma mais robusta de estimar β consistentemente.


O Basico sobre Causalidade: Variaveis Instrumentais

Uma variavel instrumental z e uma variavel correlacionada diretamente coma variavel endogena s, mas nao correlacionada diretamente com w uma vezcontrolado o efeito de s sobre w .

No exemplo em questao poderıamos sugerir como variavel instrumental parao nıvel educacional a “educacao dos pais”. Sera que seria uma de fato umaboa variavel instrumental?



A estimacao de β via variaveis instrumentais pode ser realizada pelo metodo2SLS (Mınimos Quadrados em Dois Estagios).

O primeiro estagio consiste em:

si = δ0 + ρzi + λ1Xi + λ2X2i + ηi (4)

Devemos observar ρ 6= 0.

Para identificacao requeremos ainda que a propria variavel instrumental sejaexogena no primeiro estagio, i.e. E (z ′η) = 0.



obtemos s e inserimos no lugar de s.

lnw = lnw0 + βs + γ1X + γ1X2 + ε (5)

Regredindo lnw sobre s obtemos β2SLS , uma estimativa consistente de β.


Econometria de Avaliacao de Programas

A Econometria de Avaliacao de Programas busca estimar o efeito causal deum programa. Pode ser um programa educacional, de transferencia derenda, de atendimento medico, de incentivos fiscais, etc.

Dizemos que os participantes do programa sao “Tratados” (T) e os naoparticipantes sao os “Controles” (C).


Econometria de Avaliacao de Programas: Efeito Medio doTratatamento (ATE)

Gostarıamos de estimar o Efeito Medio do Tratamento:

ATE = E [Yi (T )− Yi (C )] (6)

em que Yi (T ) e Yi (C ) sao ditos contrafactuais da variavel de interesse, e.g.salario.

Se o tratamento e um programa de treinamento, Yi (T ) seria o salario doindivıduo “i” se fosse tratado e Yi (C ) seria o salario do mesmo indivıduo “i”se nao fosse tratado.

Nao e possıvel observar estes dois estados, daı a denominacao“contrafactual”.


Econometria de Avaliacao de Programas: Eliminando ovies via experimentos randomizados

Podemos eliminar esse vies com a realizacao de um experimento querandomize o tratamento entre os indivıduos avaliados.

Em caso de randomizacao do tratamento garantirıamos queE [Y C

i |C ] = E [Y Ci |T ] e E [Y T

i |T ] = E [Y Ti |C ].


Econometria de Avaliacao de Programas: Eliminando ovies via experimentos randomizados

Colocando o problema em termos de regressao, apos a randomizacao dotratamentos entre os indivıduos estimamos

Yi = α + βTi + εi (8)

A randomizacao garante que nao haja correlacao entre o status detratamento T e fatores nao observaveis ε, i.e. E [Tε] = 0. Logo, oscoeficientes estimados sao todos consistentes.

O efeito do tratamento e E [Yi |Ti = 1]− E [Yi |Ti = 0] = (α + β)− α = β


Econometria de Avaliacao de Programas: A randomizacaoda designacao ao tratamento como variavel instrumental

Podemos colocar o mesmo problema em dois estagios.

Em um primeiro momento, os indivıduos sao sorteados entre tratados econtroles. O status de sorteio e dado por zi . Assim, o primeiro estagioconsistiria em

Ti = δ0 + ρzi + η (9)

O segundo estagio seria o

Yi = α + βTi + εi (10)

Se sempre que sorteada a pessoa for realmente tratada e o controle nao,dizemos que ha “perfect compliance”. Nesse caso Ti = zi e o segundoestagio sera simplesmente a equacao 8 ja apresentada


Econometria de Avaliacao de Programas: O uso deExperimentos Naturais

Nem sempre a realizacao de um experimento social e viavel. Custos muitoaltos, problemas eticos, dificuldade de garantir que nao haja contaminacaoentre indivıduos tratados e controles, sao problemas comuns.

Mas podemos tentar encontrar experimentos naturais que nos fornecamvariaveis instrumentais ideais.

Um exemplo de experimento natural foi o sorteio realizado entre jovensamericanos para irem a Guerra do Vietnam. Angrist(1990) usa esseexperimento natural como variavel instrumental para estimar o efeito da idaa Guerra sobre os rendimentos futuros.


Econometria de Avaliacao de Programas: ExperimentosNaturais e Mınimos Quadrados Indiretos (ou 2 Estagios)

Essas variaveis instrumentais sao fornecidas pela natureza e consistem emvariacoes naturalmente randomizadas na designacao ao tratamento.

Normalmente, os indivıduos nao sao obrigados a aderir ao tratamento.Nesse caso ha “imperfect compliance”, e a estimacao tem ser feita em doisestagios .

Podemos usar Mınimos Quadrados em Dois Estagios, ou uma formaalternativa de representar o problema — que e didatica para o nosso caso—denominada Mınimos Quadrados Indiretos.

Esse procedimento consiste em estimar uma equacao regredindo oinstrumento zi sobre a variavel dependente Yi e sobre o tratamento Ti .

Yi = γ0 + γ1zi + ηi

Ti = π0 + π1zi + νi(11)


Econometria de Avaliacao de Programas: ExperimentosNaturais e Mınimos Quadrados Indiretos (ou 2 Estagios)

γ1 = E [Yi |zi = 1]− E [Yi |zi = 0] nos da a diferenca de resultados Yi entrequem foi e nao sorteado — a “Intencao de Tratar”.

Esse nao e o efeito do tratamento, pois nem todos que sao sorteados pelanatureza (z = 1) sao tratados (Ti = 1).

π1 = E [Ti |zi = 1]− E [Ti |zi = 0] nos da a proporcao de pessoas que aderemao tratamento se sorteados e nao aderem se nao forem. Sao os “compliers”.

O efeito do tramento “Local” — porque so e valido para os compliers— edado pela razao entre γ1 e π1.

β =γ1

π1=

E [Yi |zi = 1]− E [Yi |zi = 0]

E [Ti |zi = 1]− E [Ti |zi = 0](12)


Regression Discontinuity Design (RDD)

No fundo consiste em um experimento natural que nos fornece variaveisinstrumentais para estimar o efeito causal local do tratamento.

Graficos ajudam muito a entender o problema e encontrar as respostas doefeito causal local.

Ha varias formas de se chegar a estimativas graficamente e via regressoeslineares locais e regressoes parametricas.



Em um desenho RDD observamos a quadrupla (Yi ,Ti ,Xi ,Zi ).

Yi e a variavel de resultado.

Ti e a variavel que indica se o indivıduo foi ou nao tratado.

Xi desempenha um papel especial no desenho RDD. Denominamo-a forcingvariable. Ela determina quem sera designado ao tratamento.

E.g., sao designados ao tratamento os indivıduos com valores de Xi ≥ c , emque c e o threshold definido pela natureza (leis, regras, etc).

Zi e uma variavel dummy que informa em qual lado do threshold c seencontra o indivıduo. Isto e, nos informa quem sera “designado aotratamento”.



A intuicao e a de que ao redor desse threshold Xi = c os indivıduos, emmedia, sao muito parecidos, inclusive em termos de variaveis nao observaveis.

A unica caracterıstica que difere aqueles a direita daqueles a esquerda dothreshold e a presenca de tratamento — caso RDD Sharp — ou, caso naohaja obrigatoriedade de adesao ao tratamento, a diferenca reside somente naproporcao de tratados.

Essa e justamente a condicao de exogeneidade que precisamos para estimaro efeito causal do tratamento.

As probabilidades dos indivıduos se encontrarem do lado esquerdo ou direitode Xi = c nas proximidades do threshold tendem a ser as mesmas.



Indivıduos do lado esquerdo e ao redor do cutoff sao bons “contrafactuais”para os indivıduos a direita e ao redor.

Xi pode ou nao ser correlacionado com os resultados potenciais Yi (Ti ), masessa associacao e “suave” (contınua).

Qualquer descontinuidade na distribuicao do resultado Yi ao redor dessethreshold e interpretada como evidencia de um efeito causal do tratamento.


Sharp RDD

No desenho do tipo Sharp (SRD), a designacao do tratamento determinadapor Xi (forcing variable) segue a regra de que todas as unidades com umvalor de Xi maior ou igual a c sao designados para o grupo de tratamentoZi = 1, e aqueles com valor menor ou igual a c sao designados para o grupode controle Zi = 0.

Como o “compliance” e perfeito, Zi = Ti = 1 para aqueles com valores deXi acima de c e Zi = Ti = 0 para aqueles abaixo.

Esse efeito pode ser interpretado como o efeito causal medio no ponto dedescontinuidade

τSRD = E [Yi (1)− Yi (0)|Xi = c] (13)

O Efeito Medio Local do Tratamento e dado por:

limx↓c

E [Yi |Xi = x ]− limx↑c

E [Yi |Xi = x ] (14)


Sharp RDD

A figura 1 plota a probabilidade condicional de receber o tratamentoPr(T = 1|X = x) contra a forcing variable X .

Na figura 1, no cutoff — x = c = 6 — a probabilidade salta de 0 para 1.

Essa e uma caracterıstica especıfica do Sharp RDD.


Sharp RDD

Designacao de probabilidades e resultados potenciais


Sharp RDD

Na figura 2,a linha de baixo representa o resultado potencial se o indivıduonao fosse tratado.

A linha de cima representa o resultado potencial se o indivıduo fosse tratado.

A linha solida reflete o resultado observado.

As diferencas nos resultados potenciais sugerem que o tratamento tem efeitosobre Yi .

Esse efeito e local, como mostra a figura, e so vale para o entorno do pontode corte.


Sharp RDD

Por definicao nao ha unidades com Xi = c para as quais observamos Yi (0).

Mas observamos Yi (0) para unidades Xi < c com valores arbitrariamenteproximos de c .

Para justificar o calculo do efeito medio ao redor de x = c precisamos dahipotese sobre resultados potenciais :

1

E [Y (0)|X = c] e E [Y (1)|X = x ] sao contınuas em x. (15)


Sharp RDD

Sob quaisquer hipoteses, o valor do contrafactual esperado se nao houvessetratamento no ponto c e igual ao limite pela esquerda do valor esperado dey observado condicional em x, i.e.

E [Y (0)|X = c] = limx↑c

E [Y (0)|X = x ] = limx↑c

E [Y (0)|T = 0,X = x ] =

limx↑c

E [Y |X = x ](16)

De forma similar

E [Y (1)|X = c] = limx↓c

E [Y (1)|X = x ] = limx↓c

E [Y (1)|T = 1,X = x ] =

limx↓c

E [Y |X = x ](17)

Portanto, o efeito medio do tratamento em c satisfaz

τSRD = limx↓c

E [Yi |Xi = x ]− limx↑c

E [Yi |Xi = x ] (18)


Sharp RDD: Estimando o efeito local

Na pratica podemos usar uma regressao linear local para estimar o efeito dotratamento.

Esta consiste em uma diferenca de medias de Yi de observacoes a direita e aesquerda de c dentro de um intervalo x ∈ [c − h; c + h].

Em uma regressao, dado que Zi = Ti deve-se calcular

Yi = α + βTi + γ1(Xi − c) + γ2Ti (Xi − c) + εi

i : c ≤ Xi < c + h(19)

em que o efeito do tratamento em Xi = c e β.

h deve ser suficientemente pequeno.


Sharp RDD: Estimando o efeito local

Veja um exemplo grafico de uma regressao RDD Sharp — nao local.

Efeito Local do Tratamento


Fuzzy RDD

A probabilidade de receber o tratamento nao precisa mudar de 0 para 1 nothreshold c .

O desenho do tipo Fuzzy ocorre quando ha “imperfect compliance”. Nestecaso ha um salto descontınuo menor do que 1 na probabilidade detratamento no threshold :

limx↓c

Pr [Ti = 1|Xi = x ] 6= limx↑c

Pr [Ti = 1|Xi = x ] (20)

Essa situacao pode ocorrer quando em determinado threshold ha umamudanca descontınua nos incentivos para participar de um programa, semque esses incentivos sejam fortes o suficiente para mover todas as unidadesda situacao de nao-participantes para participantes.


Fuzzy RDD

A razao entre o salto observado nos resultados em torno do threshold e osalto observado na probabilidade de participacao no programa consiste noEfeito Causal Medio Local.

τFRD =limx↓c E [Yi |Xi = x ]− limx↑c E [Yi |Xi = x ]

limx↓c E [Ti |Xi = x ]− limx↑c E [Ti |Xi = x ](21)

Note a similaridade com o estimador de variaveis instrumentais (ou MınimosQuadrados Indiretos).

Se a regra de tratamento determina que sejam tratados indivıduos comXi ≥ c e nao tratados indivıduos com Xi < c , no caso do desenho FRD,deve ser possıvel desrespeitar o threshold em alguma medida.


Fuzzy RDD

Na figura 3 podemos ver que a probabilidade de receber o tratamento nao e0 ou 1, i.e. o cut-off e manipulavel. A probabilidade ainda pula no pontox = 6, mas para um valor entre 0 e 1.

Na figura 4 vemos a esperanca dos resultados potenciais dada a covariada Xe o tratamento, E [Y (T )|T = T ,X = x ], representadas pelas linhastracejadas, e a esperanca condicional do resultado observado dada acovariada, representada pela linha solida.

A linha tracejada nao precisa coincidir com a linha cheia, pois aprobabilidade nao e 0 ou 1, mas um valor intermediario, que determinaresultados medios esperados diferentes dos resultados potenciais.


Fuzzy RDD

Figure : Designacao de probabilidades e resultados potenciaisRafael Terra (Unb) Econometria do Setor Publico 05 de Maio, 2016 38 / 55

Fuzzy RDD: Estimando o efeito local

A regressao linear local no caso Fuzzy pode ser estimada por

Yi = α + βTi + γr (Xi − c)Zi + γl(Xi − c)(1− Zi ) + εi

i : c ≤ Xi < c + h(23)

O primeiro estagio consistiria em

Ti = θ + ρZi + λr (Xi − c)Zi + λl(Xi − c)(1− Zi ) + ηi

i : c ≤ Xi < c + h(24)


Validade Externa do RDD

Os desenhos SRD e FRD, na melhor das hipoteses, proveem uma estimativado efeito medio para uma subpopulacao, marcadamente aquela comcovariada igual a Xi = c .

O desenho FRD restringe ainda mais a analise, pois so e valido para asubpopulacao de compliers.

Sem fortes hipoteses para justificar a extrapolacao para outrassubpopulacoes (e.g. homogeneidade do efeito do tratamento), os desenhosnunca permitirao ao pesquisador estimar o efeito medio total do tratamento.

A vantagem dos desenhos do tipo RDD comparativamente a outros metodosnao experimentais e que aqueles tem maior validade interna. Por outro lado,tem menor validade externa.


Analise Grafica

A analise grafica e uma parte integral da analise por RDD.

Para avaliar a validade dessa estrategia e importante analisar varios graficos.

O primeiro grafico de interesse se baseia no valor medio do resultado paradiferentes valores da forcing variable.


Analise Grafica: Salto na variavel de resultado Yi

Para algum binwidth (largura do bin) m, e para um numero especıfico debins K0 e K1 para a esquerda e para a direita do cutoff, respectivamente,construa bins [bk , bk+1] para k = 1, ...,K = K0 + K1.

O numero de observacoes em cada bin e dado por:

Nk =N∑i=1

1{bk < Xi ≤ bk+1} (25)

e o resultado medio no bin e dado por

Y k =1

Nk·

N∑i=1

Yi · 1{bk < Xi ≤ bk+1} (26)



O primeiro grafico de interesse e aquele que plota Y k para k = 1, ...,Kcontra os pontos medios de cada bin bk+bk+1

2 , e ajusta uma reta de regressaode cada lado do cutoff.

Queremos ver se em volta do threshold c ha evidencia de descontinuidade(e.g. um salto). Se nao observarmos descontinuidade nesse grafico, muitoprovavelmente nao acharemos descontinuidade usando os demais metodos.

Bins muito “estreitos” atrapalham a vizualizacao da relacao entre a forcingvariable e a variavel de resultado Y , i.e. o “ruıdo” dificulta a identificacaodo “sinal”. Bins mais “largos” permitem visualizacao do salto em torno docut-off. Mas se forem muito largos, nao poderemos visualizar o “salto”.



Graficos suavizados por bins


Analise Grafica: Graficos de covariadas e da variavel detratamento

No segundo grafico devemos calcular medias para outras covariadas Xim domodelo para os k bins.

Plotamos X km para k = 1, ...,K contra os pontos medios de cada bin.

No caso do FRD tambem vale a pena plotar um terceiro grafico com o valormedio de T em cada bin, para verificar se de fato ha um salto em torno de c .


Analise Grafica: Grafico de covariada

Descontinuidade em covariadas (infraestrutura) no % de alunos no BolsaFamıli- Oliveira (2015)


Analise Grafica: Grafico da variavel de tratamento

Descontinuidade do Programa Mais Educacao no % de alunos no BolsaFamılia - Oliveira (2015)


Analise Grafica: A densidade da forcing variable

Para verificar se nao ha uma descontinuidade na propria forcing variable X ,podemos plotar o numero de observacoes em cada bin.

Se houver um “salto” nessa variavel e sinal de que o valor de X emanipulavel,i.e. a localizacao em volta do cutoff nao e aleatoria.

Um exemplo nesse sentido e a manipulacao do ındice de pobreza usadocomo criterio de elegibilidade para programas sociais na Colombia (verCamacho e Conover, 2010).

O algoritmo para criar o ındice de pobreza se tornou publico no segundosemestre de 1997.



Densidade do Indice de Pobreza na Colombia



Populacao Municipal e a regra de populacao do FPM - Castro (2016)



Existe um teste, proposto por Justin McCrary (2008) que compara asdensidades da forcing variable — limx↓c f (X |X = x)− limx↑c f (X |X = x)— a direita e a esquerda do cutoff. Se essa diferenca for estatisticamentesignificante, entao temos evidencia de manipulacao do cutoff.



O teste de densidade de McCrary (2008) - Castro (2016)


Checklist da implantacao de RD - ver Lee e Lemieux

1 Para checar se houve manipulacao, mostre a distribuicao da variavel X.

2 Apresente os principais graficos de RD usando medias locais.

3 Caso use uma especificacao polinomial, faca o grafico.

4 Mostre sensibilidade dos resultados a diversas escolhas de h (bandwidth) onordem do polinomio escolhido.

5 Conduza um RD em paralelo para as covariadas.

6 Mostre a sensibilidade dos resultados em relacao a introducao de variaveiscontrole.

7 Faca testes de robustez/falsificacao da variavel Yi em perıodospre-tratamento.


Material sobre avaliacao de programas no site da disciplinade avaliacao


Referencias

Duflo, Esther, Rachel Glennerster, and Michael Kremer. 2008. “UsingRandomization in Development Economics Research: A Toolkit.” T. Schultzand John Strauss, eds., Handbook of Development Economics. Vol. 4.Amsterdam and New York: North Holland, 4.

Imbens, G.W., Lemieux, T., (2007). Regression discontinuity designs: Aguide to practice, Journal of Econometrics, in press,doi:10.1016/j.jeconom.2007.05.001.

Jacob; R.,Zhu, P.; Somers, M.A.; Bloom, H. (2008). A Practical Guide toRegression Discontinuity. MDRC.


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