Matemática do Zero

REGRA DE TRÊS COMPOSTA E DIVISÃO PROPORCIONAL

• A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Para não vacilar, temos que montar um esquema com base na análise das colunas completas em relação à coluna do “x”.

• Usaremos um método simples e direto que ao contrário dos métodos tradicionais não analisa se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

• E a Regra é clara: O sinal indica quem fica no NUMERADOR da fração, ou seja, se aparecer o sinal de + fica o MAIOR valor da coluna, se aparecer o sinal de – fica o MENOR valor da coluna.

Regra de Três Composta

Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160 m³ de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125 m³?

Exemplo:

Solução: organizando os dados em colunas :

• Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?

Exemplo:

Solução: organizando os dados em colunas :

Num acampamento, 10 escoteiros consumiram 4 litros de água em 6 dias. Se fossem 7 escoteiros, em quantos dias consumiriam 3 litros de água?

a) 6,52 b) 6,50 c) 6,45 d) 6,42 e) 6,40

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

TRF - 2014 Sabe-se que uma máquina copiadora imprime 80 cópias em 1 minuto e 15 segundos. O tempo necessário para que 7 máquinas copiadoras, de mesma capacidade que a primeira citada, possam imprimir 3 360 cópias é de: a) 15 minutos. b) 3 minutos e 45 segundos. c) 7 minutos e 30 segundos. d) 4 minutos e 50 segundos. e) 7 minutos.

TRF - 2016 Uma indústria produz um tipo de máquina que demanda a ação de grupos de funcionários no preparo para o despacho ao cliente. Um grupo de 20 funcionários prepara o despacho de 150 máquinas em 45 dias. Para preparar o despacho de 275 máquinas, essa indústria designou 30 funcionários. O número de dias gastos por esses 30 funcionários para preparem essas 275 máquinas é igual a a) 55. b) 36. c) 60. d) 72. e) 48.

CNMP - 2015 Para montar 800 caixas com produtos, uma empresa utiliza 15 funcionários que trabalham 6 horas por dia. Esse trabalho é realizado em 32 dias. Para atender um pedido de 2.000 caixas com produtos, iguais às anteriores, a empresa recrutou mais 5 funcionários, de mesma produtividade, além dos 15 funcionários já alocados para a função. O número de horas de trabalho por dia foi aumentado para 8 horas. Nessas condições, o número de dias necessários para montagem dessas 2.000 caixas é igual a a) 18. b) 60. c) 36. d) 45. e) 25.

SABESP - 2014 Sabe-se que 18 funcionários, trabalhando juntos, conseguem analisar em média um total de 840 pedidos em 8 horas. Em um dia de chuva, três desses 18 funcionários faltaram e os restantes só trabalharam durante 6 horas. Nessas condições e mantendo a média de análise de pedidos, esses 15 funcionários analisaram, nas horas trabalhadas nesse dia, um total de pedidos igual a a) 630. b) 710. c) 525. d) 485. e) 685.

DPE - 2013 Para produzir 60% de uma encomenda, os oito funcionários de uma empresa gastaram um total de 63 horas. Como dois ficaram doentes, os outros seis funcionários terão de produzir sozinhos os 40% restantes da encomenda. Considerando que todos eles trabalham no mesmo ritmo e executam as mesmas tarefas, pode-se estimar que o restante da encomenda será produzido em: a) 84 horas. b) 42 horas. c) 56 horas. d) 60 horas. e) 70 horas.

SEFAZ - 2015 O gerente de produção de uma gráfica verificou que, para imprimir a encomenda de uma empresa em um prazo de 8 dias, poderia utilizar 9 máquinas idênticas, do tipo X, cada uma trabalhando 10 horas por dia. A empresa, porém, não aceitou o prazo proposto e declarou que só contrataria a gráfica se a encomenda ficasse pronta em 3 dias. Para atender o pedido da empresa, o gerente decidiu colocar as máquinas para trabalhar 15 horas por dia. Mesmo assim, percebeu que teria de utilizar, no mínimo, a) 15 máquinas do tipo X. b) 12 máquinas do tipo X. c) 18 máquinas do tipo X. d) 16 máquinas do tipo X. e) 10 máquinas do tipo X.

CÂMARA MUNICIPAL - 2014

O trabalho de varrição de 6.000 m² de calçadas é feita em um dia de trabalho por 18 varredores trabalhando 5 horas por dia. Mantendo-se as mesmas proporções, 15 varredores varrerão 7.500 m² de calçadas, em um dia, trabalhando por dia, o tempo de a) 8 horas e 15 minutos. b) 9 horas. c) 7 horas e 45 minutos. d) 7 horas e 30 minutos. e) 5 horas e 30 minutos.

GABARITOS Questões FCC : C-A-D-C-C-D-D

COMO A FCC

COBRA ISSO?

DIVISÃO PROPORCIONAL

• Podemos definir uma DIVISÃO PROPORCIONAL como uma forma de divisão na qual se determinam valores que, divididos por quocientes previamente determinados, mantêm-se uma razão constante (que não tem variação).

• Iremos estudar os principais casos de Divisão Proporcional que caem em prova.

Divisão Proporcional

Caso 1: Dividir em partes diretamente proporcionais à valores inteiros. Dividir o número 180 em partes diretamente proporcionais a 2,3 e 4.

Divisão Proporcional

Caso 2: Dividir em partes diretamente proporcionais com algum valor fracionário.

Dividir o número 405 em partes diretamente proporcionais a 2/3 , 3/4 e 5/6.

Divisão Proporcional

Caso 3: Dividir em partes inversamente proporcionais. Dividir o número 70 em partes inversamente proporcionais a 2 e 5.

Divisão Proporcional

Caso 4: Dividir em partes simultaneamente proporcionais. Dividir o número 148 em partes diretamente proporcionais a 2, 6 e 8 e inversamente proporcionais a 1/4 , 2/3 e 0,4.

Divisão Proporcional

Uma herança foi dividida entre 3 pessoas em partes diretamente proporcionais às suas idades, que são 32, 38 e 45.Se o mais novo recebeu R$ 9.600, quanto recebeu o mais velho?

Uma empresa dividiu os lucros entre seus sócios, proporcionais a 7 e 11. Se o 2º sócio recebeu R$ 20 000 a mais que o 1º sócio, quanto recebeu cada um?

• Caso Particular • João, sozinho, faz um serviço em 10 dias. Paulo, sozinho, faz o mesmo serviço

em 15 dias. Em quanto tempo fariam juntos esse serviço? Primeiramente, temos que padronizar o trabalho de cada um. Neste caso já

esta padronizado, pois ele fala no trabalho completo, o que poderia ser dito a metade do trabalho feito em um certo tempo.

Se João faz o trabalho em10 dias, isso significa que ele faz 1/10 do trabalho por dia. Na mesma lógica, Paulo faz 1/15 do trabalho por dia. Juntos o rendimento diário é de 1/10 +1/15 = 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6

Se em um dia eles fazem 6 do trabalho em 6 dias os dois juntos completam o trabalho.

Divisão Proporcional

• Caso Particular Sempre que as capacidades forem diferentes, mas o serviço a ser feito for o

mesmo,seguimos a seguinte regra: • 1 + 1 = 1 t1 t2 tT (tempo total)

Divisão Proporcional

Uma torneira enche um tanque em 3h, sozinho. Outra torneira enche o mesmo tanque em 4h, sozinho. Um ralo esvazia todo o tanque sozinho em 2h. Estando o tanque vazio, as 2 torneiras abertas e o ralo aberto, em quanto tempo o tanque encherá?

DIVISÃO PROPORCIONAL

COMO A FCC

COBRA ISSO?

Paula e Renata gastaram, juntas, R$ 48,00 na compra de bilhetes de uma loteria, sendo que Paula contribuiu com R$ 12,00 dessa quantia. As duas foram sorteadas, ganhando um prêmio de R$ 120.000,00. Na partição desse prêmio entre elas, que foi feita proporcionalmente ao dinheiro que cada uma deu na compra dos bilhetes, Renata ficou com a) R$ 90.000,00. b) R$ 75.000,00. c) R$ 86.000,00. d) R$ 84.000,00. e) R$ 92.000,00.

TRT - 2016

Para proceder à fusão de suas empresas, os proprietários A, B e C decidem que as partes de cada um, na nova sociedade, devem ser proporcionais ao faturamentos de suas empresas no ano de 2014, que foram, respectivamente, de R$ 120.000,00; R$ 135.000,00 e R$ 195.000,00. Então, se a empresa resultante da fusão lucrar R$ 240.000,00 em 2016, a parte desse lucro devida ao sócio A foi de a) R$.110.000,00. b) R$ 72.000,00. c) R$ 64.000,00. d) R$ 60.000,00. e) R$ 80.000,00.

TRT- 2015

Uma empresa quer doar a três funcionários um bônus de R$ 45.750,00. Será feita uma divisão proporcional ao tempo de serviço de cada um deles. Sr. Fortes trabalhou durante 12 anos e 8 meses. Sra. Lourdes trabalhou durante 9 anos e 7 meses e Srta. Matilde trabalhou durante 3 anos e 2 meses. O valor, em reais, que a Srta. Matilde recebeu a menos que o Sr. Fortes é a) 17.100,00. b) 5.700,00. c) 22.800,00. d) 17.250,00. e) 15.000,00.

SABESP - 2014

Quatro funcionários dividirão, em partes diretamente proporcionais aos anos dedicados para a empresa, um bônus de R$ 36.000,00. Sabe-se que dentre esses quatro funcionários um deles já possui 2 anos trabalhados, outro possui 7 anos trabalhados, outro possui 6 anos trabalhados e o outro terá direito, nessa divisão, à quantia de R$ 6.000,00. Dessa maneira, o número de anos dedicados para a empresa, desse último funcionário citado, é igual a: a) 5 b) 7 c) 2 d) 3 e) 4

TRF - 2014

Uma empresa decidiu contratar 45 novos funcionários, que seriam distribuídos por três setores (A, B e C) proporcionalmente ao total de horas extras mensais registradas pelos três setores. Em relação à tabela de horas extras usada para o cálculo, sabe-se que o setor A registrou 500 horas e o setor B registrou 700 horas. Feitas as contas com a proporção correta das horas extras dos três setores, coube ao setor C um total de 9 novos funcionários. Na situação descrita, coube ao setor B um total de novos funcionários igual a a) 24. b) 20. c) 21. d) 18. e) 15.

DPE - 2015

Luiz Silva, Ana Kan e uma terceira pessoa investiram, juntos, 180 mil reais em uma sociedade. Coincidentemente, a quantia investida por cada um, nessa sociedade, foi diretamente proporcional ao número de letras do seu nome e sobrenome, contando também as letras repetidas. Se a terceira pessoa investiu 72 mil reais na sociedade, e se seu nome e sobrenome estão assinalados em apenas uma das alternativas abaixo, então, a terceira pessoa é a) Ida Lopes. b) Davi Santos. c) Caio Teixeira. d) Beatriz Borges. e) Cristiana Dutra.

CNMP - 2015

Márcia e Lúcio trabalham como digitadores em uma empresa de telemarketing. Márcia, mais experiente, consegue digitar o cadastro de um cliente em 3 minutos, enquanto Lúcio leva 5 minutos para realizar a mesma tarefa. Trabalhando juntos, o tempo mínimo que os dois gastarão para digitar o cadastro de um grupo de 120 clientes é igual a a) 5 horas. b) 1 hora e 4 minutos. c) 4 horas e 15 minutos. d) 6 horas. e) 3 horas e 45 minutos.

SEFAZ - 2015

GABARITOS Questões FCC : A-C-A-D-C-B-E