1 Fundao Municipal de Educao de Niteri Escola Municipal Altivo Csar Reforo em Matemtica e resoluo de problemas 2010 2 Fundao Municipal de Educao de Niteri Escola Municipal Altivo Csar Reforo em Matemtica e resoluo de problemas Equipe Responsvel: Coordenador: Fabio Lennon Marchon dos Santos Vice-coordenador: Marcos Antnio Dos Santos Silva Equipe executora: Ana Amlia Gambaza Gomes Soares Cristina Azevedo de Oliveira 3 Sobre o projeto: Esteprojetotemsuaorigememduasquestesrecorrentesequetm se mostrado persistentes e duradouras.A primeira diz respeito aos dados relacionados ao aproveitamento dos alunos,obtidosemreuniesdeprofessoreseconselhosdeclasse,eque apontamparaacrescentedificuldadedosestudantesemaprendere compreender a matemtica ensinada em sala de aula. Estes dados foram recentemente confirmados de modo mais amplo a partir dos resultados do IDEB1(ndicedeDesenvolvimentodaEducaoBsica)paraoMunicpio de Niteri. Asegundaquestoestassociadaaosapelosdosalunosdo9ano deescolaridadeque,emsuagrandemaioria,demonstraminteresseem realizar provas de seleo ao fim do 4 ciclo do Ensino Fundamental e no se sentem preparados para tal desafio. Assim,danecessidadedesereforarocontedomatemtico estudadoem sala deaulaeao mesmo tempodarsuporteaosestudantes queestoporconcluiro9anodeescolaridadedoensinofundamental, nasceu o projeto Reforo em matemtica e resoluo de problemas. Estetrabalhofoiidealizadoparaoperododesetembroadezembro do ano de 2010, e, devido limitao de tempo, elaboramos um conjunto de atividades para efetiva atuao com os alunos neste perodo. Destacamos como objetivos gerais deste projeto o incentivo ao estudo da matemtica e de tecnologias associadas a esta rea do conhecimento assimcomotambmoaprofundamentodetpicosestudadosemsalade aula. Alguns dos objetivos especficos deste projeto so: Reforar e revisar o contedo escolar; Resolver problemas matemticos; Trabalhar o raciocnio lgico por meio de problemas; Resolver provas de seleo em nvel de 9 ano de escolaridade; Acreditamostambmqueparaseresolverumproblemamatemtico importantecompreendernoapenasapartetcnicadamatemtica, mas tambm a linguagem simblica associada ao problema assim como a compreensodotextoqueodescreve.Assimsendo,emgrandepartee semprequepossvel,optamosportrabalharoreforoemmatemticapor meio da resoluo de problemas.

1 http://ideb.inep.gov.br/Site 4 Ao Leitor: EstaapostilacontmomaterialdesenvolvidoparaoprojetoReforo emMatemticaeresoluodeproblemasequefoiidealizadoparaa EscolaMunicipalAltivoCsar,emNiteri.Nosetratamdequestes inditas, mas sua organizao feita de forma diferenciada. Dividimosaapostilaemtrscaptulosdistintos.Primeiramente apresentamosomaterialvoltadoparaoreforodealunosdo6anode escolaridade;Emseguida,problemasmatemticosederaciocniolgico paraalunosde7e8anosdeescolaridadee,porfim,umcaptuloespecficoparaalunosdo9anodeescolaridadecontendoquestesde provasdeseleorelacionadoscomoscontedosestudadosemsalade aula.Almdisso,aofimdecadacaptuloapresentamosumaavaliao diagnsticafeita,aoinciodasatividades,comointuitodeapontaras deficincias dos estudantes que participaram deste projeto. Agrandemaioriadasatividades(8e9ano)socomentadase/ou resolvidasvisandoumamelhorcompreensoporpartedosalunosoque, em hiptese alguma, significa que no devam eles prprios buscar solues para tais problemas. defundamentalimportnciadestacarqueosestudantesdevem tentar resolver todas as atividades propostas, experimentando na prtica os desafiosimpostospelosobstculosinerentesaaprendizagemda matemtica.Asseguramosquedoconfrontocomseuserrosedvidas que podero construir sues prprios acertos e certezas.Atendnciaemsebuscarrespostasprontasecaminhosque poupemoalunodosobstculosinerentesaaprendizagemda matemtica,emgeralnoauxiliamnaaprendizagemdamatemticae, assim sendo, no adotamos este posicionamento. Defendemos,poroutrolado,aidiadequeosestudantesdevem vivenciaraverdadeiraexperinciamatemticaqueconsisteembuscar soluesparaproblemasidealizadosoudarealidadeconcreta,fazendo suposieseestabelecendoconjecturas,validandoounosuashipteses ediscutindocomosseusparesosresultadosobtidos.Destamaneira, debatersuasidiasesuposiescomseuscompanheirospodeseralgo relevante no processo de aprendizagem. Tantoparaeruditosquantoparaleigosnonafilosofia,masa experincia ativa na prpria matemtica que unicamente pode responder questo: o que matemtica?2 Mos obra!

2 Courant, R. & Robbin, H. O que matemtica? Rio de Janeiro: Editora Cincia Moderna, 2000. 5 Sumrio Captulo I: Reforo para o 6 ano de escolaridade Atividade 1................................................................................................6 Atividade 2................................................................................................7 Atividade 3................................................................................................8 Atividade 4...............................................................................................9 Avaliao diagnstica..........................................................................10 Captulo II: Reforo para o 7 e 8 anos de escolaridade Atividade 1................................................................................................11 Atividade 2................................................................................................14 Atividade 3................................................................................................15 Atividade 4................................................................................................17 Avaliao diagnstica............................................................................18 Solues ....................................................................................................19 Captulo III: Reforo para o 9 ano de escolaridade Atividade 1................................................................................................23 Atividade 2................................................................................................25 Atividade 3................................................................................................27 Atividade 4................................................................................................29 Avaliao diagnstica ...........................................................................31 Solues....................................................................................................32 6 Captulo I Atividade 1 1. Responda: a)Quantos dias tem um trimestre?________________________ b)Quantas horas tm em 3 dias?_________________________ c)Quantos minutos tm em 4h e meia?____________________ d)Qual o ltimo ano do sculo XVIII?_____________________ e)Qual o primeiro ano do sculo XXI?_____________________ 2. Escreva utilizando algarismos indo arbicos os nmeros abaixo: a) 3,2 mil_____________________________ b) 43,5 milhes___________________________ c) Dois milhes, quinze mil e trinta._______________________ d)Centoequatrobilhes,duzentosecincomilhes,setemil,centoe quarenta. ____________________ e) O sucessor de dois mil e noventa e nove.__________________________ 3. Observe os nmeros: 1 011 1 101 1 110 1 100 1 001 Qual o maior deles? _________ E o menor? __________ Quais so menores que 1 010? __________________ Quais so maiores que 1 100?________________ Qual deles sucessor de outro?_______________________ Quanto d a soma do nmero maior como menor?________________________ 4.Lciasaiuparafazercomprascomduasnotasde R$100,00nacarteira. GastounosupermercadoR$142,00,napadariaR$6,00enoaougue R$32,00. Com quanto Lcia ficou aps essas compras? 5. Ao lado est representada uma subtrao:D8B6 -2C 1A 5 9 4 2 Quais os valores das letras ? A= ___, B= ___, C =___, D= ___ 7 Atividade 2 1.Decomponha os seguintes nmeros. Observe o exemplo: 567 = 500 + 60 + 7 = 5 centenas + 6 dezenas + 7 unidades a)852_______________________________________________________ b)901_______________________________________________________ c)480_______________________________________________________ d)200_______________________________________________________ e)609_______________________________________________________ 2.Escreva com algarismos os seguintes nmeros: a)Mil, cento e vinte. _____________________________________________ b)Cinco mil e trinta. _____________________________________________ c)Trs mil, seiscentos e noventa e um. ____________________________ d)Quatro mil e oitocentos._______________________________________ e)Setecentos e cinqenta e nove. _______________________________ 3.Para ir e voltar da casa de sua av, Fabiano anda 2 000 metros. Nesta semana ele foi visitar a sua av 3 vezes. Quantos metros ao todo Fabiano percorreu em visitas a sua av? 4.Um vendedor de bales vende, em mdia, 1 000 bales por semana. Esta semana ele vendeu 100 a menos que a mdia. Quantos bales ele vendeu? 5.Cludia comprou 3 pacotes de papel. Sabendo que em cada pacote h 500 folhas, quantas folhas de papel Cludia comprou? 6.Reinaldo comprou um carro usado. Ele deu R$5 000,00 vista e o restante pagou em trs prestaes mensais de R$1 000,00 cada uma. Quanto Reinaldo pagou pelo carro? 8 Atividade 3 1.Ligue as operaes que tm o mesmo resultado. 19 + 720 + 0 29 x 213 x 2 4 x 572 14 63 22 58 - 17 2.Carlos levou 95 sorvetes para vender no parque e voltou para casa com 15 sorvetes. Quantos sorvetes Carlos vendeu? 3.Valdirtem175centmetrosdealturaeseuirmotem150centmetros. Quantos centmetros de altura Valdir tem a mais do que seu irmo? 4.Umaquitandarecebe,todasemana,8caixascom50perascadauma. Quantas peras essa quitanda recebe toda semana? 5.Aoreceberseusalrio,CludiopagouR$250,00dealuguel,R$54,00de telefone,R$37,00deluz,R$19,00deguaeaindasobraramR$281,00. Quanto Cludio recebeu de salrio? 6.Emumrestauranteh32mesas,com4cadeirascadauma.Calculeo nmero de pessoas que esto almoando nesse restaurante, sabendo que 39 cadeiras esto vazias. 7.Umapicultorrecolhe,emmdia,40quilosdemelporms.Quantosquilos de mel esse apicultor recolhe em um ano? 8.O Brasil foi descoberto em 1500. Sua Independncia se deu 322 anos depois do seu descobrimento. Em que ano se deu a Independncia do Brasil? 9 Atividade 4 1.Numasubtrao,osubtraendo506eoresto378.Calculeo minuendo. 2.Numasubtrao,ominuendo3176eoresto1869.Calculeo subtraendo. 3.Adriano nasceu em janeiro de 1976. Quantos anos ter em janeiro do ano de 2012? 4.Numaadio,umadasparcelas2534easoma5123.Quala outra parcela? 5.Vnia tem 18 anos. O pai tem o triplo da idade dela. Qual a idade do pai de Vnia? 6.Umcarropercorre12quilmetroscom1litrodegasolina.Quantos quilmetros podero ser percorridos com 39 litros? 7.Numa multiplicao, um dos fatores 345 e o produto 4485. Qual o outro fator? 8.Qual o nmero que dividido por 36 tem quociente 12 e resto 8? 9.Quantas horas h em 510 minutos? Quantos minutos restam? 10. Considereonmero346,multiplique-opor7,aoresultadosome14 e divida o novo resultado por 3. Quanto obteve? 10 Avaliao diagnstica 6 ano 1. A seguir tem-se uma soma, tente descobrir o resultado desta soma sabendo-se que: (i) As letras devem ser substitudas por algarismos (de 0 a 9); (ii) Letras iguais representam algarismos iguais; (iii) Letras diferentes representam algarismos diferentes; (iv) Nenhuma das letras pode ser substituda pelos algarismos j indicados, ou seja, por 8 ou 3. 8XX +YY3 BBAA Seguindo as regras acima, qual opo abaixo indica o maior nmeropossvel para BBAA? a) 1100b) 1022c)1155d) 1186e)No sei 2. Julieta saiu para jantar com algumas amigas e a conta do restaurante ficou em R$103,00 fora a gorjeta. Cada uma delas deu R$ 9,00 e, dessa forma, sobraram R$5,00 para o garom. Quantas eram as amigas de Julieta? a)9b)10c)11d)12e)No sei 3. Qual o resultado da operao 3010+5 0 ? a) 4b)3c)8d)5e)No sei 4. Pensei em um nmero. A ele somei 55. Do resultado subtra 66 e encontrei 33. Qual foi o nmero em que pensei? a)66b)44c)33d)55e)No sei 5. O nmero 1500 divisvel: a) Apenas por 2b)Apenas por 3c) Por 2, 3, 4, 5 e 6d) por 7e)No sei 6. Qual o maior mltiplo de 7 que no ultrapassa 100? a) 99b) 98c) 97d) 96e)No sei 7. Sabe-se que 25 de uma quantidade igual a 60. Determine esta quantidade: a) 180b) 90c) 120d) 150e)No sei 11 Captulo II Atividade 1 Raciocnio Lgico1.Trscasassovizinhas,ladoalado,comnumeraoconsecutiva iniciando em 2. Elas possuem cores diferentes (Amarelo, azul e verde). Seus moradores so Carlos, Jos e Pedro. Com as informaes abaixo determine o nmeroeacordacasadecada morador: A casa 4 amarela; Jos no mora na casa 3; Acasaverdenoaprimeira casa; Pedro no mora na casa azul; Jos sempre visita o morador da casa azul; Casa 2 Cor: Morador: Casa 3 Cor: Morador: Casa 4 Cor: Morador: Ateno: Estetipodequestonecessitade concentrao,raciocniolgicoe anlisecuidadosadosdados fornecidos; Umatimaidiamontaruma tabelacomasinformaesque devem ser preenchidas. 12 Raciocnio lgico quantitativo 2.Considereumasequncianumricaondeoprimeironmero1e,a partir dele, todos os demais so obtidosutilizando uma regra matemtica.Observe os primeiros nmeros da sequncia: 1 nmero2 nmero3 nmero4 nmero5 nmero6 nmero 142536 a)Determine o nmero que estar na 7 posio; b)Determine o nmero que estar na 100 posio; Sugesto: Observe os nmeros nas posies pares; 2 posio4 posio6 posio8 posio Observe os nmeros nas posies mpares; 1 posio3 posio5 posio7 posio Penseemoperaessimplesdeadioe/ousubtraoparapassardeum nmero a outro;Observao:Lembre-sequeumaregra,emmatemtica,notemexceese deve funcionar da mesma forma para qualquer nmero em qualquer posio. 13 Raciocnio Lgico 3.Emumbancoexistemtrsfuncionrios:Beto,JonaseSouza.Cadaum delesocupaumcargo:caixa,gerenteecontador(nonecessariamente nesta ordem). Sabe-se que: O contador, que filho nico, ganha o menor salrio; Souza, que casou com a irm de Beto, ganha mais que o gerente; Qual o cargo que cada um ocupa no banco? Raciocnio lgico quantitativo 4.Utilizandonovepalitosumaalunoestabeleceuumarelaofalsade igualdade.Mexendo-seemapenasumdospalitosarelaopassaaser verdadeira.Descubraqualopalitodevesermodificadoequalsera relao verdadeira. Estarelaodeigualdadeutiliza nmeros romanos! Esta uma relao falsa! Dica:Aomovimentarumnico palito,tornandoarelao verdadeira,ossmbolossero indo-arbicosenomais romanos. 14 Atividade 2 Raciocnio lgico quantitativo Asquestesaseguirpodemserencontradasnobancodequestesda OBEMEP(OlimpadaBrasileiradeMatemticadasescolaspblicas)em: http://www.obmep.org.br/bq/bq2009-final.pdf 1.Cincotartarugasapostaramuma corridaem linha retaenachegadaa situaofoiaseguinte:Sininhaest10metrosatrsdeOlguinhae25m frentedeRosinhaqueest5matrsdeElzinhaqueest25matrsde Paulinha.Qual foi a ordem de chegada? 2. Embora eu esteja certo de que meu relgio est adiantado 5 minutos, ele est,narealidade,com10minutosdeatraso.Poroutrolado,orelgiodo meuamigoestrealmente5minutosadiantado,emboraelepenseque est correto. Ns marcamos um encontro s 10 horas e planejamos chegar pontualmente. Quem chegar em primeiro lugar?Depois de quanto tempo chegar o outro? 3.Seteamigostraaramumtringulo,umquadradoeumcrculo,como indicado na figura. Cada um deles marcou seu lugar com um nmero, sem que os outros soubessem. Cada um deles fez uma afirmao: Ana: Eu no falarei nada Bento: Eu estou dentro de uma nica figura Celina: Eu estou dentro de trs figuras Diana:Euestoudentrodeumtringulo,masno do quadrado Elisa: Eu estou dentro do tringulo e do crculo Fbio: Eu no estou dentro de um polgono Guilherme: Eu estou dentro do crculo Encontre o lugar exato de cada um. 1 2 3 4 56 7 15 Atividade 3 1.Um pouco sobre a matemtica egpcia Osegpciosutilizavamumtipodesistemadenumeraodecimalum poucodiferentedonosso.Elessimbolizavamosnmerosde1a9com traosverticaise,apartirda,utilizavamsmbolosespecficosparaos mltiplosdedez(10,100,1000,10000,etc).Osnmeroseramutilizadosem questes prticas de contagem. Comrelaosfraessabe-sequeosegpciossempreutilizavam numerador 1, tendo uma nica exceo que era a frao 2/3.Aprefernciapelonumerador1estavarelacionadomaneiracomo contavamasfraes.Porexemplo,suponhaqueumapessoadeseje repartiraquantidadedegroscontidaemcincosacosdefeijoporoito pessoas.Oprocedimentoegpcioeraoseguinte:Setivssemosapenas4 sacos,cadapessoadeveriareceberametadedecadasaco,ouseja, do saco. Fazendo isso, sobrar um saco, que poder ser dividido pelas oito pessoas, cada uma recebendo mais 1/8 deste saco. Sendo assim, podemos dizer que o resultado da diviso de 5 por 8 + 1/8. Atividade: a)Qualoresultadodadivisode5por8naformadenmero decimal? (No utilize calculadora) b)Utilizandoanossamaneiradeescreverecontarasfraes,como podemos representar a diviso de 5 por 8? c)Utilizandoomtododosegpcios(raciocinandocomoeles)como poderamosrealizaradivisodosgrosdearrozqueestoem9 sacos para 10 pessoas? {Lembre-se que o numerador deve ser 1} Sugesto:Penseprimeiramentenosgrosde5sacos,depoisnosgros de 2 sacos e assim por diante. 16 2.Um pouco sobre a matemtica na antiga Babilnia Desde 3000 a.C. os povos que habitavam a regio da Mesopotmia (atual Iraque) desenhavam smbolos em argila para representar quantidades. Sua escrita denominada cuneiforme.Eles usavam smbolos de 1 a 60, num processo aditivo, muito semelhante ao que fazemos em nosso sistema decimal posicional, mas, contudo, sua base denumeraoerasexagesimal(60).Estesistemadenumeraoainda utilizadohojeem diaparaacontagemdashoras,minutosesegundos.Na verdade,elesusavamumacombinaodebasesessentaedebasedez, pois os smbolos at cinqenta e nove mudam de dez em dez. A posio do nmero indicava qual o fator sessenta que deveria multiplic-lo.Porexemplo,aoescrevernaescritadosbabilnios1;3;15,o equivalentenosistemadecimal1 60 60 3 60 15 + + queiguala3600+ 180+15,ouseja,3795.Escrevendo16;43nosistemababilnico,o equivalente no sistema decimal 16 60 43 1003 + = . Atividade: a)Onmero1;2;5;10estescritonosistemababilnico.Qualo equivalente no sistema decimal? b)Comopoderamosescrever100(sistemadecimal)nosistema babilnico (sexagesimal)? c)Seumminutotem60segundoseumahoratem60minutos,ento quantos segundos tm em uma hora? d)Paraosbabilniosoanotinhaduraode360dias.Considerando queoanoeradivididoigualmentepelasquatroestaesdoano, quantos dias cada estao possua para os babilnios? 17 Atividade 4 1.Carlos,PedroeSrgioso,nonecessariamentenestaordem, carpinteiro, pintor e encanador. Sabe-se que: Opintorrecentementetentouconseguirosserviosdocarpinteiro, maselesoubequeesteestavaocupadofazendoserviosparao encanador; O encanador ganha mais que o pintor; Pedro ganha mais que Carlos; Srgio nunca ouviu falar de Pedro; Qual a ocupao de cada pessoa? 2.Clark,Jones,MorganeSmithso,nonecessariamentenestaordem, aougueiro, farmacutico, marceneiro e policial. Sabe-se que: Clark e Jones so vizinhos e vo juntos de carro para o trabalho; Jones ganha mais que Morgan; Clark vence Smith regularmente no boliche; O aougueiro sempre vai andando para o trabalho; O policial no mora perto do farmacutico; Anicavezqueomarceneiroviuopolicialfoiquandoelefoipreso por excesso de velocidade; O policial ganha mais que o farmacutico ou o marceneiro; Qual a profisso de cada um? 3.CincomeninosAlberto,Beto,Carlos,DanieleEduardoestavamvendo televiso. Eles estavam sentados em duas cadeiras e trs poltronas. Sabe-se que: Alberto e Beto sentavam-se num mesmo tipo de assento; Beto e Daniel sentavam-se em tipos diferentes; Daniel e Eduardo sentavam-se em tipos diferentes; Descubram onde cada um se sentava. 4.Eraumvermetopequenoquequasesumia,comeandodocho,no velhotroncosubiaeusandodetodasuaenergia,noite4metrospara cimafazia,masdedia2metrosdescia.Aps12noites,asubidatevefim. Diga baixinho, s para mim, qual a altura da rvore do jardim? 18 Avaliao diagnstica 7 e 8 ano 1. Trs casas so vizinhas, lado a lado, com numerao consecutiva iniciando em 2. Elas possuemcoresdiferentes(Amarelo,azuleverde).SeusmoradoressoCarlos,Jose Pedro. Considere as informaes abaixo: A casa 4 amarela; Jos no mora na casa 3; A casa verde no a primeira casa; Pedro no mora na casa azul; Jos sempre visita o morador da casa azul; correto afirmar que: a) A casa 3 azul b) Jos mora na casa 2 c) Pedro mora na casa 4 d) Pedro mora na casa verde e) A casa azul fica ao lado da casa amarela 2.Seja BC um ngulo reto. Sabendo que AD a bissetriz deste ngulo, qual a medida do ngulo DC? a) 45b) 50c) 25d) 60e) 35 3. Qual a raiz da equao 2.(x 1) + 3.(x + 2) = -7? a)- 11/4b) 11/4c) -11/5d) 11/5e) 11 4. Se 6 operriosdemoram8 horas para realizar um servio, quantas horas 10 operrios com as mesmas capacidades dos anteriores levaro para realizar o mesmo servio? a) 5 horasb) 6 horasc) 3 horasd) 4,8 horase) 4 horas 5. Qual o resultado de 1 10, 52 4+ + ? a) 1,75b) 1,25c) 1,00d) 5,6e) 0,75 6. Um automvel percorreu uma distncia em 2 horas, velocidade mdia de 90 km/h. Se a velocidade mdia fosse de 45 km/h, em quanto tempo o automvel faria a mesma distncia? a) 5 horasb) 6 horasc) 3 horasd) 4,8 horase) 4 horas 7. A idade de Carlos o quntuplo da idade de Ana, e a soma de suas idades 78 anos. Qual a idade de Carlos? a) 65 anosb) 13 anosc) 55 anosd) 18 anose) 20 anos 19 Solues Captulo II Atividade 1: 1. Comoacasaverdenoaprimeiracasa,entoelapodeserade nmero3ou4,masacasa4amarela,portantoacasaverdeade nmero 3. Pedro no mora na casa azul, logo ele mora na casa Amarela ou na casa verde, assim um candidato a morar na casa 3 ou na casa 4; Josnomoranacasa3enemnacasaazul,assimeledevemorarna casa 4 o que implica necessariamente que Pedro mora na casa 3. Podemos concluir ento que Carlos o morador da casa 2, que azul. Resposta: Casa 2 azul Carlos Casa 3 VerdePedroCasa 4 Amarela Jos 2: Nasposiesparestemosaseqnciadenmerosnaturaisapartirdo nmero 4. 2 posio4 posio6 posio8 posio 4567 Nas posies mpares temos toda a seqncia de nmeros naturais. 1 posio3 posio5 posio7 posio 1234 (a) Na stima posio temos o nmero 4; (b) Na centsima posio temos um nmero natural que est de acordo comaprimeiratabela;Notequea2posioestnoprimeiro quadrinho, a 4 posio est no segundo quadrinho, a 6 posio no terceiroquadrinhoeassimsucessivamente.Oquadrinhosemprea metadedaposio.Acentsimaposioseroquadrinho50 (estamos considerando apenas os pares e eliminando os mpares). O nmero no 50 pois iniciamos a contagem no 4, ou seja, saltamos 3 nmerosnacontagem,istoindicaqueonmeronoquadrinho50e que representa a centsima posio deve ser 53(salta 50, 51 e 52). 3:OcontadornoBeto,poiseletemumairm.Souzatambmno podeserocontador,vistoqueelenopossuiomenorsalrio.Assim,o contador Jonas.Souza ganha mais que o gerente, logo, ele no o gerente e s pode ser o caixa.Beto o gerente. Gerente Beto Caixa Souza Contador Jonas 4: Movimente um palito e crie a operao de radiciao, 111= . 20 Atividade 2:1.Sininhaest20metrosfrentedeElzinha.Paulinhaest5mfrentede Sininha.Aordemdechegadafoi:(1)Olguinha;(2)Paulinha;(3)Sininha;(4) Elzinha;(5)Rosinha 25 m RosinhaElzinhaSininhaPaulinhaOlguinha 5m25 m10m

2551025R E S P O

2. Eu chegarei quando meu relgio marcar 10h5min, uma vez que penso que orelgioestadiantado5min.Comoeleestatrasado10min,chegarei, naverdadeas10h15min.Meuamigochegarquandoseurelgiomarcar 10h,poiselepensaqueorelgioestcorreto,masnaverdadesero 9h55min. Logo meu amigo chegar 20 minutos antes de mim. 3. Observeque3oniconmerodentrodetrsfiguras,e1onicoque est dentro da circunferncia que noest dentro de um polgono. Assim, podemosconcluirqueCelinaestnaposio3equeFbioestna posio 1. Perceba tambm que 4 o nico nmero dentro do tringulo e do crculo, logo Elisa est naposio 4.Nessa situao, 5 o nico dentro dotringulomasnodoquadrado,assimDianaestnaposio5. Finalmente,7oniconmerodentrodeumanicafigura,logoBento estnaposio7.Restaonmero2dentrodocrculoparaGuilhermee6 para Ana. 21 Atividade 3: Soluo: 1. a)5 8 0, 625 =508 0, 50 8 20, 6 50 8 200, 62 4 50 8 200, 625 40 0 b)Todadivisopodeserescritanaformadefrao(evice-versa).Assim, modernamente, escrevemos 55 88 = . c)Vamosinicialmentedividir5sacospor10pessoas,Seguindoalinhade raciocnioegpcio.Destaforma,cadapessoaterdireitoametadedosaco,ou seja, do saco. Acrescentezero nodividendoe zeroevrgulano quociente. Fazemosadiviso de 50 por 8, que 6 e deixa resto 2. Paracontinuara divisobasta acrescentarzero noresto2.A diviso de 20 por 8 d2edeixaresto Paracontinuara divisobasta acrescentarzero noresto4.A diviso de 40 por 8 d5edeixaresto 0. 22 Agora,vamosdividiros4sacosrestantes.Consideredoissacosapenas.Asdez pessoas se dividem em dois grupos de 5 pessoas um grupo de 5 para cada saco. Cada uma das 5 pessoas, em cada grupo, ter direito a 1/5 dos gros no saco.Repetimos isso mais uma vez para os dois sacos restantes e, mais uma vez, teremos 1/5 de gros do saco para cada um. Assim, o resultado : + 1/5+1/5. Note que +1/5 + 1/5== + 2/5=(5+4)/109/10. 2. a)1;2;5;10 = 1x60x60x60 +2x60x60 +5x60+10 = 216000 +7200 +300 + 10 =223510 b) Divida 100 por 60.100 = 1x100 + 40 (quociente 1 e resto 40) Na escrita babilnica: 1;40 c) 1 hora = 60 minutos = 60x60 s = 3600 s. d)360divididopor4=90.Cadaestaodoanodeveriater90diasparaos babilnios. Atividade 4. 23 Captulo III Atividade 1 CEFET (2009-2010) 1. Se1 x y + =e 2 22 x y + = , ento 3 3x y + igual a: a)3,5 b)3 c)2,5d)2 Sugesto para soluo: (No deixe de ler!) Primeiramente tente utilizar as informaes que so fornecidas, ou seja, voc sabe o valor (x+y)etambmde(x2+y2).Qualaoperaoadio,subtrao,multiplicaoou diviso que voc pode realizar para obter x3 +y3? Em seguida, perceba que se voc sabe o valor de (x + y) ento voc pode tentar calcular (x + y)2. Isto pode ser til no desenvolvimento da soluo. Ateno: Pararesolverestaquestovoc precisarrecordarosclculoscom monmios e polinmios estudados no 8 ano. Lembre-se,porexemplo,que(x + y)2 iguala(x+y).(x+y)equeeste produtofornececomoresultado x2 + Soluo: {Faa seus clculos neste espao} 24 Pedro II (2009-2010) 2.Umalgoritmoumprocedimentocomputacionalqueservedeapoio para a programao de computadores, por meio da descrio de tarefas quedevemserefetuadas.Seguindopr-determinadasinstrues,apartir de valores ou expresses de entrada, produzido um valor ou expresso de sada. Considereoalgoritmoabaixoquedeterminaumaequaodo2grau,cujas razes reais so dois nmeros A e B conhecidos: a)Observandooalgoritmoacima,determineumaequaodo2grau com razes 2 e 5. b) Quais so os valores A e B que devem ser considerados na entrada para que a equao de sada seja x2 3x 28 = 0? Sugesto para soluo: (No deixe de ler!) No item (a), substitua 2 e 5 nos valores de A e B na sequncia operatria indicada no algoritmo.Em (b) basta resolver a equao utilizando a frmula. Ateno: Noseassustecomahistria contada no incio da questo! Vocdevesaberoqueuma equaodosegundograu,deve saberresolv-lae,paraisto,deve lembrar a frmula 242b b acxa =. 25 Atividade 2 NAVE (2008-2009) 1. Na figura abaixo P e Q so pontos mdios dos segmentos AB e AC, Respectivamente. Se a rea do tringulo APQ igual a 1m2, ento a rea do quadriltero BCQP em m2, igual a: a)1,5 B)2 C)2,5 D)3 FAETC (2006- 2007) 2.Dos180vosprevistosnumdeterminadodiaemumaeroporto,houve problemasdeatrasoem45deles.Oporcentualdevoscomatraso correspondeu a: A) 45% B) 30% C) 25% D) 20% 26 CEFET/2 fase (2009-2010) 3. Determinar o valor da expresso 0 2 32331 2 37 3 2278 | | | | | | |||\ \ \ | | |\ Pedro II (2009 2010) 4. Juliana recortou deuma tira de cartolina retangular seis tringulos retngulos idnticos, em que um dos catetos mede 3cm (figura 1). Com esses tringulos fez uma composio que tem dois hexgonos regulares (figura 2). a)Qual a medida do ngulo interno do hexgono menor? b)Quais so as medidas de x e y dos ngulos dos tringulos retngulos? c)Qual a medida do permetro do hexgono menor? 27 Atividade 3 Pedro II (2009-2010) 1. Na figura abaixo, os quatro crculos so tangentes dois a dois. Os raios dos crculos menores medem 4 cm cada um. A altura do trapzio ABCD mede 12 cm. a) Simbolizando o raio da circunferncia maior por x, determine esse valor, aplicando o Teorema de Pitgoras aos lados do tringulo ADE. b) Calcule a medida da rea do trapzio ABCD FAETC (2007) 2. Considere que o raio da roda de um avio igual a 50cm e = 3,14. Quando a rodaperfazumavoltacompleta,odeslocamentodoavio,emmetros, corresponde a: a) 3,14 b) 31,4 c) 314 d) 3140 28 XXXII Olimpada de Matemtica; 1 fase; nvel 2 8 ou 9 ano (2010) 3. Dividindo-se o nmero( )244por 44obtemos o nmero: a) 2 b) 43 c) 44 d)48 e)412 NAVE (2008-2009) 4. Um grande reservatrio de gua contm apenas 50 litrosde gua. Num determinado instante, uma torneira aberta, e ela despeja 3 litros de gua porminutonessereservatrio.Essatorneiradeveserfechadaquandoo reservatrioestivercom120litrosdegua.Aequaoquepermite encontrar o tempo, em minutos, que a torneira deve ficar aberta : a) 3t = 120 b) 50t = 120 c) 3t + 50 = 120 d) 50t + 3 = 120 29 Atividade 4 Pedro II (2009-2010) 1.Namatemtica,osnmerosprimossempreforamobjetodeespecial ateno.Em1742,nacorrespondnciaentreomatemticoprussiano ChristianGoldbacheofamosomatemticosoLeonardEuler,foi formulada a seguinte questo, conhecida por conjectura de Goldbach:Todointeiroparmaiorque2podeserescritocomoasomadedoisnmeros primos . Esta suposio tornou-se um dos problemas mais intrigantes da matemtica e no foi resolvida at os dias de hoje. Verifique voc tambm a validade desta afirmao! a)H quantos anos osmatemticostentam resolver o problema citado no texto acima? b)Escreva todos os nmeros primos menores que 28. c)Escrevatodasasformasderepresentaronmero28comosomade dois nmeros primos. FAETC (2007) 2.Dos180vosprevistosnumdeterminadodiaemumaeroporto,houve problemasdeatrasoem45deles.Oporcentualdevoscomatraso correspondeu a: A) 45% B) 30% C) 25% D) 20% 30 XXXII Olimpada de Matemtica; 1 fase; nvel 2 8 ou 9 ano (2010) 3.Aumentandoem2%ovalordomenordedoisnmerosconsecutivos, obtm-se o maior deles. Qual a soma desses nmeros? a) 43b) 53c) 97d) 101e) 115 NAVE (2008-2009) 4. Em uma loja de doces, as caixas de bombons foram organizadas em filas. Onmerodecaixasporfilaumnmerocujoquadradoadicionadoao seu quntuplo igual a 36. Qual esse nmero? a)13 b)9 c)8 d)4 31 Avaliao diagnstica 9 ano 1. Se1 x y + =e 2 22 x y + = , ento 3 3x y + igual a: a)3,5b)3c)2,5d)2e)1,5 2.Peloregulamentodaescola,Joonopodefaltaramaisde25%dasaulasde EducaoFsica.Aotodo,sero96aulasdeEducaoFsicaduranteoanoeelej faltou a 15 aulas. Qual o nmero mximo de faltas que ele ainda pode ter? a)9b)10c)12d)16e)24 3. Seja N o resultado da operao 3752 3742. A soma dos algarismos de N : a)18b)19c)20d)21e)22 4. Considere que o raio da roda de um avio igual a 50cm e= 3,14. Quando a roda perfaz uma volta completa, o deslocamento do avio, em metros,corresponde a: a) 3,14b)31,4c)314d)3140e)0,314 5.Apistadepousodeumaeroportopossuiaformadeumretnguloeassuas dimenses so: 1320 m de comprimento e 120 m de largura. A sua capacidade mxima dedecolagenseaterrissagensde20aviesacadahora.Areadapistadesse aeroporto, em metros quadrados, igual a: a) 158.400b) 79.200c) 19.800d) 2.880e) 15.879 6. Uma pessoa desenhou o piso de sua calada com motivos matemticos, mantendo umaregularidade.Aprimeirafiguratinhaumquadradinho;asegundatinham4 quadradinhos;aterceiratinham9quadradinhoseassimpordiante.Considerando-se que n representa o nmero de quadrados existentes em cada linha da figura, essa regularidade pode ser expressa por: a)n2b)n2+ n c)n2 n d)n e)2.n + 1 7.Um jardim de formato retangular tem rea igual a 12m2. O comprimento desse jardim igual ao triplo de sua largura. Qual o permetro desse jardim? a) 2 mb)4 mc) 6 md)12 me)16 m 32 Solues Captulo III Atividade 1: 1. Resoluo sugerida: Primeira etapa sugeridaSegunda etapa sugerida 2 23 2 2 33 3 2 23 33 33 3( ).( ) 1.2. . 222 .( )2 .12x y x yx x y y x yx y xy yxx y xy y xx y xyx y xy+ + =+ + + =+ = + = ++ = + = 2 22 22 21( ) 12 12 1 ( )2 1 22 112x yx yx xy yxy x yxyxyxy+ =+ =+ + == += = = Finalizao Como 3 32 x y xy + = e 12xy = , ento 3 31 1 4 1 52 ( ) 2 2, 52 2 2 2x y++ = = + = = = . Opo correta: (C) Comentrio:Na primeira etapa da soluo foi sugerido que voc tentasse obter x3 +y3 a partir de alguma operao que utilizasse (x + y) e (x2 + y2). A melhor opo amultiplicao.Lembrandoque,no9ano,vocdeveterestudadoas operaes com potncias e assim j deveria saber que: 2 1 2 3. x x x x+= = e2 1 2 3. y y y y+= = . Alm disso, aplicando a propriedade distributiva da multiplicao em(x + y).(x2 + y2), surge o polinmio 2 2. . x y y x + . Este polinmio possui incgnitas emcomumnasparcelasdasomafatorcomumemevidnciae,assim sendo, podemos escrever 2 2. . . . . . x x y y x y x y y x + = +=.( ) xy y x + . A segunda etapa do clculo tem por objetivo determinar o valor de xy. A sugestodadafoicalcular(x+y)2apartirde(x+y).Vocdeveriase lembrar da dica que foi posta ao lado da questo, ou seja, que (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 [produto notvel]. 33 2. Resoluo sugerida: (a)(b) 22( ).( ) 0( 2).( 5) 05 2 10 07 10 0x A x Bx xx x xx x = = + = + = x2 3x 28 = 0 1 3 28 a b c = = = 2242( 3) ( 3) 4.1.( 28)2.13 9 11223 11 1473 121 3 112 23 11 8 2 242 2b b acxaxxx = = +=+ = = = = = = = Atividade 2: 1.rea BCPQ Trs vezes rea de APQ. Basta perceber que traando uma paralela ao lado AC e uma paralela ao lado AB, elas se encontraro no ponto mdio do lado BC e, disto, obtemos quatro tringulos congruentes (mesmas medidas), todos com rea 1 m2.

2.Na porcentagem, 45 de 180 correspondem a: 45 10, 25 25%180 4= = = . 34 3. 4.a) Si = (n - 2).180 = (6 2) .180 = 4.180= 720 ; e 720 dividido para 6 igual a 120 b) Note que 120+ x = 180 , logo x=60 e, portanto y = 30 pois x + y = 90 . c)Notequesen30=3/a=e,portanto,a=6(hipotenusa).Comoa hipotenusaestadivididaaomeio,cadaladodohexgonomenormede 3cm e, assim sendo, seis vezes trs 18cm. Atividade 3:1. 1.a)PercebaqueDEigualamedidadoraiomenos4,assimsendo, escrevemos4 DE x = .UtilizandooTeoremadePitgorasnotringuloADE temos: 2 2 2(4 ) ( 4) 12 x x + = + 2 216 8 8 16 144 x x x x + + = + + 2 28 8 16 144 16 x x x x + + = + 16 144 x = 144916x = =35 1.b) A rea do trapzio obtido a partir de:( ).2b Bh + Onde b = base menor, B = base maior e h = altura.( ). (8 18).12(26).6 1562 2b Bhrea+ += = = =cm2 2. Opo correta (c). Basta calcular o comprimento da circunferncia usando a expresso2. . c r = , ou seja,2.(3,14).50 314 c = = . 3. Opo correta (e). Note que ( ) ( )244.4 164 4 4 = = . Lembre-se que na diviso de potncias de mesma base, repetimos a base e subtramos os expoentes.Assim,( )244 16 4 16 4 124 4 4 4 4 4 = = = . 4. Opo correta: (c). Em 1 minuto teremos 3 + 50; em 2 minutos, 6 + 50; em 3 minutos, 9 + 50; e assim por diante. Note que a expresso 3.t + 50 e que esta operao se interrompe quando alcana 120 litros. Assim sendo 3t + 50 = 120. Atividade 4. 1.a)2010 1742 = 268 anos= 2,68 x 102 anos b) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 c) 28 = 5 + 23 e 28 = 11 + 17 2. Temos 45 de 180 vos com atraso, ou seja, 45 5 10, 25 25%180 20 4= = = =3. Considere dois inteiros consecutivos x e x+1. Primeiramente lembre que 2% igual a 2/100 = 0,02. Sabe-se que aumentando 2% o menordestes nmeros obtemos o maior, ou seja, x + 0,02.x = x + 1. Desta expresso temos: 1 1 1001. 5020, 02 2100x = = = =Assim os nmeros so 50 e 51 e sua soma igual a 101. 4. A expresso matemtica que traduz este problema x2 + 5x = 36, ou seja, uma equao do segundo grau. Baste resolv-la. 2845 5 4.1.( 36) 5 169 5 13218 2.1 2 292= = = = = Neste caso s nos interessa o resultado positivo, sendo assim, x =4.