RAZÃO ÁUREA: conexões com a natureza, o corpo humano, a pintura e a arquitetura

Daniela Bierhals Brenner1

Marcos Lübeck2 Resumo Este artigo tem como objetivo principal socializar os resultados obtidos pela implementação de uma Proposta Didático-Pedagógica realizada no âmbito do Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE) do estado do Paraná. Este trabalho foi desenvolvido com o objetivo de pesquisar conexões entre a matemática, a natureza, o corpo humano, a arquitetura e a pintura, em particular pelo estudo da razão áurea, na tentativa de contextualizar seu ensino e aprendizagem, motivando e promovendo o gosto e a curiosidade dos alunos do 3° ano do curso de Formação de Docentes do Colégio Estadual Santo Agostinho – Ensino Fundamental e Médio (EFM), do município de Palotina/PR, pela geometria e pela matemática. A razão áurea, ou proporção áurea, está presente em muitos lugares, fazendo com que ela se torne um motivo de curiosidade, de exploração e de investigação, desde a antiguidade até os dias atuais. A presença do conceito da razão áurea atualmente é considerável, pois ela é muito usada e aparece na confecção de cartões de crédito, de livros, em padrões de beleza do corpo humano, etc. Utilizando o software GeoGebra como uma ferramenta metodológica e sendo este um programa facilitador de visualizações, os alunos tiveram maior facilidade em compreender a importância, a presença e a utilidade da razão áurea na sua vida e, assim, desenvolveram um senso de utilidade mais concreto da matemática, percebendo que esta ciência não está descontextualizada e nem é uma teoria sem função prática. Palavras-chave: Razão Áurea. Geometria. Matemática. GeoGebra.

1 Introdução

Neste artigo, reuniremos os principais resultados da proposta de Produção

Didático-Pedagógica elaborada e implementada no Programa de Desenvolvimento

Educacional (PDE), em uma turma de 3º ano do curso de Formação de Docentes,

no Colégio Estadual Santo Agostinho, na cidade de Palotina/PR. Suas atividades

foram pensadas com o intuito central de despertar o interesse dos estudantes pela

matemática, em especial pela geometria, e também na tentativa de amenizar as

dificuldades que os alunos tem de perceber que existem muitas conexões entre a

matemática e o seu cotidiano.

Acreditamos como premissa que, quando um tema faz sentido para o aluno, a

aprendizagem dele se torna mais efetiva e, logo, as consequências obtidas a partir

1 Pós-Graduada em Educação Matemática e em Educação Integral em Tempo Integral. Professora na Rede Pública de Ensino da Secretaria de Estado da Educação do Paraná – SEED – no município de Palotina/PR. E-mail: danielabbrenner@hotmail.com. 2 Doutor em Educação Matemática. Docente na Universidade Estadual do Oeste do Paraná – UNIOESTE – Campus de Foz do Iguaçu/PR. E-mail: marcoslubeck@gmail.com.

dela são mais significativas. Por isso, a seguir, apresentaremos o referencial teórico

que direcionou a prática pedagógica, bem como abordaremos os efeitos e os

desafios que acompanharam todo o processo de implementação e as tomadas de

decisão que foram definidas frente à esses desafios.

2 Referencial Teórico De acordo com Ramos (2004, p. 2), “o processo de ensino e aprendizagem

contextualizado é um importante meio de estimular a curiosidade e fortalecer a

confiança do aluno”. Além disso, segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais

(PCN) (BRASIL, 2006) e as Diretrizes Curriculares da Educação Básica Matemática

(DCE) (PARANÁ, 2008), é importante que o currículo apresentado tenha vínculo

com a realidade do aluno, para que este tenha um real aprendizado, de forma que

aquilo que lhe pareça a priori sem sentido, seja problematizado e apreendido.

Neste sentido, o presente trabalho, sobre a razão áurea, embora seja um

tema conhecido desde a antiguidade, pode ser admirado e percebido na natureza,

no corpo humano, na pintura e na arquitetura, mostrando sua aplicabilidade da

matemática e sua relação com o cotidiano, andando lado a lado com os PCN e as

DCE, de maneira que a aprendizagem possa ser satisfatória e criando nos alunos

uma motivação concreta, autêntica, acerca dos conteúdos abordados dentro de sala,

e tornando-a prática e palpável nas suas vidas fora da sala, passando a perceber a

matemática como uma parte do seu dia a dia. E esta “concretização” faz com que o

aprendizado seja muito mais rápido, duradouro e vívido para cada aluno.

No âmbito da educação matemática, a ciência matemática é vista como uma

disciplina muito importante para a vida e a formação do cidadão, e por ser sopesada

assim, ela é obrigatória nos currículos dos ensinos fundamental e médio. Entretanto,

observa-se que grande parte dos conteúdos vistos ali não são assimilados pelos

alunos, talvez por serem explicados de forma muito abstrata e sem um verdadeiro

significado de como e onde podem ser aplicados no seu dia a dia.

Conforme Alves (2013, p. 23), a tarefa do professor se assemelha a da

cozinheira: antes de esta dar uma faca e um queijo ao aluno, é preciso provocar sua

fome. Se ele tiver fome, mesmo que não haja queijo, ele encontrará uma forma de

arranjar um. Assim, acreditamos que a aprendizagem traz significado semelhante,

tornando-se efetiva para o educando, e ele mesmo, por vontade própria, deve tomar

a iniciativa de buscar o conhecimento.

De acordo com as DCE (PARANÁ, 2008, p. 48), constata-se que: [...] a educação matemática como campo de estudos que possibilita ao professor balizar sua ação docente, fundamentado numa ação crítica que conceba a matemática como atividade humana em construção. Pela educação matemática, almeja-se um ensino que possibilite aos estudantes análises, discussões, conjecturas, apropriação de conceitos e formulação de ideias. Aprende-se matemática não somente por sua beleza ou pela consistência de suas teorias, mas, para que, a partir dela, o homem amplie seu conhecimento e, por conseguinte, contribua para o desenvolvimento da sociedade.

Neste contexto, é obrigação do professor articular o processo pedagógico,

sistematizar conteúdos que proporcionem aplicação e superem a perspectiva de

utilidade sem perder sua cientificidade e conteúdo. É por isso que as atuais DCE

defendem que o processo pedagógico necessita abandonar as abordagens

fragmentadas, uma vez que, “[...] o significado curricular de cada disciplina não pode

resultar de apreciação isolada de seus conteúdos, mas sim do modo como se

articulam” (MACHADO, 1993, p. 28). Daí a importância de estudar as relações entre

a matemática, a arte, a arquitetura, a natureza e o corpo humano.

Outrossim, Lorenzato (1995, p. 7) destaca que a matemática, como disciplina,

imprime grande valor à geometria, a qual não deve ser separada da álgebra e da

aritmética. Esta interligação permanece em função dos objetos e relações que se

correspondem nelas, permitindo que a geometria apresente conceitos, propriedades

e questões aritméticas e algébricas, traduzindo-as, por assim dizer, para o aprendiz.

Para melhor compreender a importância da matemática e a sua relevância na

vida da humanidade, cabe avaliar um pouco de sua história. Conforme citam Miguel

e Miorim (2004, apud PARANÁ, 2008, p. 66), “a história pode promover uma

aprendizagem significativa, pois propicia ao estudante entender que o conhecimento

matemático é construído historicamente a partir de situações concretas e

necessidades reais”. Além disso, a história explica muitos porquês da matemática.

Deste modo, na execução do projeto ora proposto, foi dado um especial enfoque a

este item.

De fato, Lara (2013, p. 52) diz que: Por muitas vezes, durante as aulas de matemática, alguns professores percebem estudantes desinteressados, desatentos, os quais pensam que, por não visualizarem a sua aplicabilidade no seu cotidiano, aprender determinados conceitos matemáticos não seria necessário. Além disso, é comum o professor ouvir questionamentos sobre “quem inventou tal conceito”, “quando tal conceito foi criado” ou “o que aquela pessoa estava pensando no momento em que criou tal conceito”. As respostas a

perguntas desse tipo, quando bem abordadas, podem tornar-se um modo de tratar a matemática de uma maneira mais atrativa, interessante e desafiante, além de contribuir para a aprendizagem do estudante.

Além disso, um dos recursos que o professor pode utilizar na sua prática para

dinamizar os conteúdos, potencializar o processo pedagógico e buscar alternativas

para os alunos superarem suas dificuldades na disciplina de matemática, é o uso de

mídias, tal como o software GeoGebra. Segundo as DCE (PARANÁ, 2008, p. 65): As mídias têm auxiliado estudantes e professores a visualizarem, generalizarem e representarem o fazer matemático de uma maneira passível de manipulação, pois permitem construção, interação, trabalho colaborativo, processos de descoberta de forma dinâmica e o confronto entre a teoria e a prática.

De acordo com Borba e Penteado (2012, p. 37):

As atividades além de naturalmente trazer a visualização para o centro da aprendizagem matemática, enfatizam um aspecto fundamental na proposta pedagógica da disciplina: a experimentação. As novas mídias, como os computadores com softwares gráficos e as calculadoras gráficas, permitem que o aluno experimente bastante, de modo semelhante ao que faz em aulas experimentais de biologia ou de física.

Já Valente (1999, p. 43-44) diz que:

Caberá ao professor saber desempenhar um papel de desafiador, mantendo vivo o interesse do aluno, e incentivando relações sociais, de modo que os alunos possam aprender uns com os outros e saber como trabalhar em grupo. Além disso, o professor deverá servir como modelo de aprendiz e ter um profundo conhecimento dos pressupostos teóricos que embasam os processos de construção do conhecimento e das tecnologias que podem facilitar esses processos.

Para Gerônimo, Barros e Franco (2010, p. 24), é fato que: As ilustrações construídas no GeoGebra têm caráter dinâmico que, em muitas oportunidades, fará com que o leitor, ao manipular uma construção, descubra instantaneamente a demonstração de uma preposição. Dessa forma, saímos de uma representação geométrica estática (lápis, papel e borracha) para uma representação geométrica dinâmica, mas não devemos esquecer que continuamos numa representação.

São por essas e outras razões que o uso do software GeoGebra se justifica

neste estudo, pois com ele o aluno adquire um papel mais ativo no seu processo de

aprendizagem, lhe proporcionando experiências que dificilmente seriam feitas com

lápis e papel. Isso porque é possível mover elementos, arrastar objetos e perceber

alterações ocorridas nas construções, auxiliando na compreensão dos conteúdos.

Além disso, professor e aluno poderão desenvolver atividades investigativas,

poderão explorar melhor os conteúdos, fazendo com que haja um significativo

desenvolvimento de ambos no que diz respeito ao processo de produção de

conhecimento. Cabe salientar que o professor sairá da sua zona de conforto, pois

contará com vários imprevistos, conforme aponta Penteado (2001).

Quanto à razão áurea ou o número de ouro, segundo Zahn (2011, p. 24), o

número de ouro é representado pela letra Φ do alfabeto grego, em honra a Fídias

(490-431 a.C.), que foi escultor grego da estátua da deusa de Atenas e de Zeus, e

também arquiteto do Parthenon, o templo da capital Atenas. Fídias utilizava esse

número, irracional, em suas obras. E, por se tratar da razão entre duas grandezas

que sempre produz o mesmo resultado phi, também é chamado de razão áurea, e

assim, pode-se dizer que Φ = !! !!

= 1,61803398….

Conforme Zahn (2011, p. 25), o Papiro de Rhind é um dos primeiros registros

que se tem sobre a razão áurea, de aproximadamente 1650 a.C. De acordo com

Eves (1997, p. 44), “a razão áurea pode ter sido conhecida mesmo antes da época

dos gregos. O historiador grego Heródoto diz que os sacerdotes egípcios narraram

que na pirâmide de Giseh a razão entre suas dimensões é Φ.” Para Contador (2007, p. 158), Luca Pacioli, que além de matemático e grande

admirador da secção áurea, foi o escritor do livro Divina Proporção (1509), primeiro

livro sobre matemática dedicado à secção áurea. Com o livro de Pacioli, a razão

áurea começou a se tornar disponível a artistas, pois era conhecida somente entre

os matemáticos, e sua publicação identificava a razão áurea como um assunto

merecedor de respeito.

De acordo com Livio (2008, p. 16), temos que: A fascinação pela Razão Áurea não se restringe aos matemáticos. Biólogos, artistas, músicos, historiadores, arquitetos, psicólogos e até místicos têm examinado e debatido bases de sua ubiquidade e seu apelo. De fato, é correto dizer que a Razão Áurea tem inspirado pensadores de todas as disciplinas mais do qualquer outro número na história da matemática.

E Contador (2007, p. 86) complementa, dizendo que: Na realidade não apenas matemáticos, físicos, ou astrônomos, mas também biólogos, músicos, arquitetos e profissionais das mais variadas áreas fizeram e fazem uso da proporção áurea para buscar a harmonia, a estética, as proporções exatas, enfim, a busca da beleza plena em tudo que fazem.

Exemplos disso são a Monalisa e o Homem Vitruviano, de Leonardo da Vinci,

as Pirâmides de Gizé (no Egito), o prédio das Nações Unidas em Nova Iorque (EUA)

e mesmo objetos comuns, como cartões de crédito e livros, bem como na natureza e

no corpo humano também se percebe a presença da razão áurea (ZAHN, 2011).

Segundo Boyer (1996, apud QUEIROZ, 2008, p. 5), a razão áurea ou

proporção áurea “representa a mais agradável proporção entre duas medidas”. De

acordo com a autora, os gregos a caracterizavam como a divisão de um segmento

em média e extrema razão, ou ainda, como “secção”.

Na natureza, se for sobreposto um pentágono estrelado à uma azaleia, por

exemplo, percebe-se que há proporções áureas. O mesmo pode ser observado na

petúnia e no jasmim-estrela. A razão áurea está presente também nas proporções

da anatomia de alguns animais, no padrão de desenvolvimento de árvores e plantas

em geral, em padrões retangulares, espirais, pentagonais, etc. De fato, Livio (2007,

p. 138) cita que “a natureza ama espirais logarítmicas”, que são relações áureas.

Considerando o corpo humano, para os gregos antigos, uma pessoa seria

considerada bela, quando possuísse um padrão relacionado com o número Φ. Hoje,

esses padrões de beleza também são buscados. Muitas das pessoas consideradas

belas apresentam proporções harmônicas entre as partes do corpo. Proporções

estas, cujas razões muito se aproximam do número phi. A Revista VEJA de maio de

2017, fala da beleza da atriz americana Amber Heard que teve seu rosto eleito como

o esteticamente mais bem-acabado do mundo, utilizando a proporção áurea.

A revista ressalta que a procura por essa razão chegou aos consultórios dos

cirurgiões plásticos, onde os pacientes encomendam o acerto exato a ser feito no

seu rosto, usando como referência a fórmula utilizada, como sinônimo de perfeição

ou equilíbrio estético. A reportagem salienta o retângulo áureo e fala ainda que a

Monalisa é um exemplo perfeito da proporção áurea, estando presente em várias

medidas desta, que é uma das mais, se não a mais famosa pintura de todo o

mundo, mostrando à humanidade que a matemática está presente e é parte da vida

de cada um de nós.

A razão áurea é usada, como padrão de harmonia entre medidas, sejam elas

no corpo humano, seja em construções, ou ainda, aparecendo espontaneamente na

natureza, mostrando que a matemática é palpável, real e significativa. Considerando

a beleza, a proporção ou razão áurea também denota um sorriso mais natural e

harmônico. Conforme Monteiro (2013, p. 13), a utilização da proporção áurea, hoje,

é recomendável no tratamento estético odontológico. Profissionais da área estudam

formas de atingir a harmonia e a beleza estética, pois estes percebem que podem

buscar um parâmetro de harmonia na constituição do corpo humano (cf. FERRER,

2005).

Contador (2007, p. 129-130), diz que: Na realidade, quando encontramos entre as partes de qualquer todo, uma combinação agradável, dizemos que nesse objeto há harmonia. Seja o todo um ser vivo, uma obra arquitetônica, uma obra de arte, etc.; se suas partes se complementam de maneira agradável e se os traços, as cores, as proporções combinam entre si também de maneira agradável, então, nesse todo, encontramos harmonia. O homem sempre buscou cercar-se de coisas bonitas e, para tanto, procurou e procura, mesmo inconscientemente, utilizar-se da harmonia em tudo que fez e faz.

Percebe-se que, onde houver harmonia, lá estará o número de ouro. Sendo

assim, a regularidade com que o phi aparece é surpreendente, e o homem, depois

de muita observação e experimentação, constatou a presença da razão áurea em

alguns animais, algumas plantas, em partes do seu corpo, bem como na pintura e na

arquitetura desenvolvida por ele.

O programa Domingo Espetacular, exibido pela Rede de Televisão Record no

dia 14/05/2017, falou de uma linha de pesquisa conhecida como design inteligente,

que acredita que a complexidade da vida e a perfeição da natureza comprovam a

existência de um ser superior. No núcleo de pesquisa em Ciência, Fé e Sociedade,

recém-inaugurado por uma das maiores universidades de São Paulo, em parceria

com instituições americanas, estudiosos descartam a criação do mundo como um

simples acaso e analisam códigos genéticos como uma espécie de 'assinatura de

Deus'.

A reportagem deu a definição do número de ouro e mostrou que ele está

presente no Parthenon, na Monalisa, em medidas do corpo humano, na natureza,

entre outros, criando uma harmonia maravilhosa; onde ela é empregada, além de

mostrar que a ciência não pode mais tratar de assuntos tão complexos sem

considerar a criação de tudo o que conhecemos por uma “mente superiora dotada

de extrema inteligência”.

Especulações à parte, o fato é que a razão áurea está aí, podendo ela ser

constatada e construída. As proporções e padrões encontrados na natureza criam,

independentemente da sua origem, uma harmonia que mostra a matemática em

várias áreas da nossa vida, demonstrando uma matemática prática, viva e concreta

para os alunos, facilitando a desmistificação de que a matemática é apenas teoria,

sem aplicabilidade no dia-a-dia.

3 Metodologia

O projeto foi realizado no Colégio Estadual Santo Agostinho, com alunos do

3º ano do curso de Formação de Docentes, no período vespertino, e foi organizado

nas seguintes atividades:

• O número de ouro e o corpo humano.

• Definindo a razão áurea.

• Construção do segmento áureo com a régua e o compasso.

• Construção do retângulo áureo com a régua e o compasso.

• Construção do segmento áureo com o software GeoGebra.

• Construção do retângulo áureo com o software GeoGebra.

• Utilizar o software GeoGebra no estudo da proporção áurea na pintura do

Homem Vitruviano, de Leonardo Da Vinci.

• Utilizar um compasso de madeira para verificar a presença da razão áurea

em diversos objetos retangulares conhecidos pelos alunos.

• Calcular área total e volume de um prisma pentagonal construído com

razão áurea e de prismas construídos sem razão áurea.

• Desenhar a fachada principal do Templo Parthenon.

• Estudando a Sequência de Fibonacci.

• Pesquisa teórica.

4 Resultados e Discussão No primeiro encontro, com o objetivo de despertar nos alunos a curiosidade

sobre a razão áurea foi mostrado, através da atividade 1, a presença dessa razão

nos próprios corpos dos alunos, valorizando sua utilidade, a lógica e a beleza dessa

razão (Figura 1). Após medições e cálculos, iniciou-se uma discussão sobre os

atuais padrões de beleza definidos pelas mídias, pela cultura, etc. e, por fim,

concluímos que, quanto mais próximo de 1,618... se chegar, mais próximo de um

padrão harmonioso de beleza estaremos.

Independentemente de conceitos de beleza, padrões definidos por mentes

humanas, a harmonia que encontramos nos objetos e corpos que apresentam a

razão áurea nas suas medidas são unanimidade e inquestionáveis.

Figura 1: Medindo o corpo humano.

Fonte: Autores, 2017.

Na atividade 2, para definir a razão áurea, foi apresentado um vídeo intitulado

“O Número de Ouro: a mágica por detrás do belo” (Disponível em

https://www.youtube.com/watch?v=XM-o0HsjkV8. Acessado em 28 nov. 2016). Após

assistir ao vídeo, os alunos fizeram um resumo relatando o que acharam mais

importante, e nesse resumo ficou evidente que eles perceberam que a razão áurea

está presente na natureza, no corpo humano, em pinturas, na arquitetura e em

objetos do cotidiano, bem como em outras situações, desde a remota antiguidade.

Nas atividades 3 e 4, de construir um segmento áureo e um retângulo áureo,

o grande desafio foi trabalhar com o compasso. Alguns alunos relataram que fazia

muito tempo que não utilizavam esse instrumento, outros relataram que pouco

haviam utilizado o compasso, dificultando o início da atividade.

Contudo, sanada essa dificuldade, a grande maioria dos alunos, seguindo o

passo a passo entregue pela professora, construiu com capricho e zelo o segmento

e o retângulo áureo. Percebemos aí o entusiasmo de alguns, no final da atividade,

momento de medir os segmentos e perceber a presença da razão áurea (Figura 2).

As construções individuais foram entregues à professora para serem avaliadas.

Figura 2: Construindo o retângulo áureo com régua e compasso. Fonte: Autores, 2017.

Nas atividades 5 e 6, de construir um segmento e um retângulo áureo com o

software GeoGebra, na primeira aula os alunos foram orientados a explorar as

ferramentas desse software até se familiarizarem com o programa. Alguns alunos

usaram seu notebook, outros seu Smartphone, e os demais os computadores da

escola. Após essa etapa, os alunos receberam o passo a passo para as construções

solicitadas. A construção do segmento áureo foi feita juntamente com a professora,

já a construção do retângulo áureo foi feita individualmente. A professora orientou os

alunos durante a execução das tarefas e a avaliação ocorreu durante o processo de

construção e foi finalizada com o envio do trabalho concluído por e-mail para a

professora.

Um fato importante dessas atividades foi o aluno poder movimentar os pontos

extremos do segmento áureo, aumentando ou diminuindo o segmento e verificando

que a relação se manteve, pois na tela aparece a constante 1,61..., independente do

comprimento do segmento. Essa é uma das vantagens do uso da tecnologia, pois

ela não é estática, ao contrário, ela permite mover elementos fazendo com que o

aluno perceba o que ocorre nas construções, e assim amplie suas possibilidades de

observação e investigação, conforme aponta D’Ambrósio e Barros (1988). O mesmo

foi feito com o retângulo áureo (Figura 3).

Figura 3: Construindo o retângulo áureo com o software GeoGebra.

Fonte: Autores, 2017.

Ainda, no laboratório de informática, os alunos inseriram uma imagem do

Homem Vitruviano, de Leonardo da Vinci, na tela do GeoGebra. Anteriormente, em

outra atividade, eles haviam criado a ferramenta “Ponto Áureo”, e assim, foi possível

perceber a presença da proporção áurea em partes do “corpo” dessa pintura.

Percebemos que a atividade chamou bastante a atenção dos alunos, pois eles

puderam encontrar a proporção áurea em várias partes do desenho. Cabe salientar

que a tecnologia tem ajudado nas experimentações matemáticas e tornado os

processos de descoberta mais dinâmicos, concretos, ágeis e facilitado muito a

compreensão dos conteúdos estudados.

Além disso, a atividade que media objetos retangulares com o compasso de

madeira foi bem interessante. Começamos a medir objetos retangulares em sala e

depois saímos da sala de aula. Quando um retângulo era avistado, os alunos se

questionavam se seria ou não um retângulo áureo. Depois de algumas medições,

muitos alunos, ao se depararem com retângulos, já descartavam alguns por notarem

que não eram áureos. Só mediam os que ou eram áureos ou bem próximos deste.

Com esta atividade, os alunos conseguiram ao visualizar algum retângulo

perceber se ele é ou não áureo com uma boa precisão. Por estarmos fora da sala,

nos deparamos com pessoas que questionaram o que era o objeto que tínhamos e o

que estávamos fazendo. Foi uma grande oportunidade para os alunos relatarem o

projeto e pudemos constatar que houve bom aprendizado, pois eles se mostraram

entusiasmados com o que estavam experimentando e conhecendo, percebendo a

matemática e a harmonia que ela pode comprovar, nas coisas mais simples do dia a

dia das pessoas mais comuns, não sendo necessário serem grandes estudiosos ou

que se façam necessários aparelhos que mostrem aquilo que ninguém mais poderia

ver e experimentar (Figura 4). Concretamente, a matemática foi apresentada aos

alunos e ela foi absorvida como parte da vida real e prática deles, diferentemente do

que a disciplina faz aos alunos quando não há uma contextualização correta.

Figura 4: Medindo retângulos com compasso de madeira.

Fonte: Autores, 2017.

Na atividade seguinte, a professora apresentou um prisma pentagonal para a

turma, elencando os seus elementos. Os alunos mediram as arestas do prisma,

calcularam suas áreas e o volume e verificaram a presença da razão áurea nesse

prisma (Figura 5). O mesmo foi feito com outros prismas (Figura 6). Essa atividade

ajudou muito na compreensão das fórmulas de áreas e também é uma maneira de

fixar as fórmulas sem ter que decorá-las, construindo assim uma base de

conhecimento para que todos cheguem à compreensão do que significa cada

elemento da fórmula e, desta maneira, passando da teoria ao conhecimento

internalizado. Na sequência, foram resolvidas diversas questões sobre o assunto

retiradas de provas de vestibulares e provas recentes do Exame Nacional do Ensino

Médio (ENEM).

Figura 5: Medindo arestas de um prisma triangular regular.

Fonte: Autores, 2017.

Figura 6: Medindo arestas de prismas e calculando suas áreas e volume.

Fonte: Autores, 2017.

Igualmente, os alunos pesquisaram a arquitetura do Parthenon e observaram

nele a presença de retângulos áureos, especialmente na fachada dessa construção,

e fizeram um desenho em uma folha sulfite A4. Os alunos, ao pesquisarem sobre o

Parthenon, assistiram vídeos sobre essa famosa edificação e relataram que se

surpreenderam com essa obra incrível, construída com grande grau de perfeição.

Para estudar a Sequência de Fibonacci, foi apresentado ao mesmo tempo um

vídeo intitulado “Phi Ratio – Sequência de Fibonacci – Proporção Áurea” (Disponível

em: https://www.youtube.com/embed/2VuS8JOkr7s?rel=0&showinfo=0. Acessado

em: 28 nov. 2016). Essa sequência atraiu os alunos, gerou curiosidade e provocou

até um certo fascínio sobre eles. Esse vídeo enfatizou também a presença da razão

áurea na natureza.

Para encerrar as atividades, os alunos, em grupos, apresentaram à turma, na

forma de seminário, as diferentes aplicações e/ou aparições da razão áurea na

natureza, no corpo humano, nas construções, em pinturas, no dia a dia, etc. Esse

trabalho enriqueceu muito todo o projeto, pois cada grupo se aprofundou mais num

desses temas e contribuiu com mais exemplos, vídeos, histórias, fatos ainda não

relatados.

Percebendo a profundidade do material apresentado pelos alunos durante o

seminário, constatamos que eles chegaram à construção do seu conhecimento e à

percepção das aplicabilidades práticas da matemática em suas vidas. Com uma

contextualização simples e dinâmica, cada um participou a seu modo da construção

do seu conhecimento e do conhecimento dos colegas, mostrando que uma disciplina

tão amplamente criticada, e por vezes tomada como sendo muito difícil, pode ser de

fácil compreensão.

5 Considerações Finais

Com o desenvolver deste trabalho, percebemos como a matemática pode ser

apresentada aos alunos, sejam do nível que forem, de uma maneira mais prática,

dinâmica e concreta, fazendo com que o interesse pela matéria atinja o patamar de

importância que a matemática tem no mundo.

A presença dela na arquitetura e na pintura, na natureza e no ser humano,

mostra que devem ser criadas, ou melhor, utilizadas técnicas de ensino que façam

com que os alunos cheguem juntos com o professor à construção do conhecimento,

desenvolvendo um real senso de importância da matemática.

As ciências como um todo mostram indícios de que a matemática está muito

mais presente no nosso cotidiano do que podemos imaginar, desde um belo ramo

de arbusto que nasce no nosso quintal, numa concha de um pequeno molusco, na

formação das galáxias, na tremenda força de um furacão ou mesmo no esplendor

das ondas do mar.

Contudo, com o desenvolvimento do trabalho, pudemos concluir também que

a matemática torna-se muito mais interessante aos alunos quando mostramos a

presença dela nas coisas mais simples, passando a ser vivida por eles nas suas

conversas corriqueiras, caminhando para casa ou passeando no final de semana. A

apresentação de realidades tão simples, mas, ao mesmo tempo, tão palpáveis, faz

com que a contextualização da matemática seja muito mais efetiva.

Este trabalho soube, através da manifestação da existência e da construção

na prática, da razão áurea, do retângulo áureo, da sequência de Fibonacci e suas

formas de apresentação na natureza, despertar o interesse dos alunos para uma

matemática mais viva e útil, não apenas para grandes estudiosos, mas para

qualquer pessoa que passe a observar os elementos simples onde ela está

presente.

Igualmente, conseguimos despertar nos alunos a sua sensibilidade para

perceberem as relações matemáticas no dia a dia e construímos uma base sólida de

conhecimento e significância para esta ciência. Arte e vida se misturam e interagem

diante da presença da matemática e isto mostrou a grandeza das relações antes

ocultas para estes alunos, mas agora perceptíveis e possíveis de serem admiradas.

Harmonia, sim... maravilhosa harmonia criada e presente em alguns seres

viventes que foi elucidada para estes jovens que passam a ter uma nova perspectiva

do que é matemática e de onde podemos encontrá-la. Ao final, pudemos perceber

que a participação na construção do conhecimento torna a matemática muito mais

atraente e vívida para os alunos.

E mesmo na falta de alguns recursos técnicos, conseguimos encontrar meios

de fazermos a matemática mais presente na vida dos alunos, pois vários estão com

o software GeoGebra instalados nos seus notebooks ou smartphones, estando este

à disposição deles em todo o tempo e lugar, facilitando o acesso ao conhecimento e

possibilitando que desenvolvam sempre mais sua curiosidade e, consequentemente,

os estimule à investigar e conhecer o desconhecido.

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