Transformadas Integrais

8 de Dezembro de 2017

ii

Organizadores

Esequia Sauter - UFRGS

Fabio Souto de Azevedo - UFRGS

Irene Strau h - UFRGS

iii

iv

Li ença

Este trabalho está li en iado sob a Li ença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual

3.0 Não Adaptada. Para ver uma ópia desta li ença,

v

vi

Nota dos organizadores

Estamos es revendo este livro de forma olaborativa desde 2011 e, re entemente, de idi-

mos por abrir a olaborações externas. Nosso objetivo é produzir um material didáti o em

nível de graduação de ex elente qualidade e de a esso livre pela olaboração entre professores

e alunos de universidades, institutos de edu ação e demais interessados na análise, estudo e

apli ação das transformadas integrais nos mais diversos ramos da iên ia e da te nologia.

O su esso do projeto depende da olaboração! Edite vo ê mesmo o livro, dê sugestões ou

nos avise de erros e impre isões. Toda a olaboração é bem vinda. Saiba mais visitando o

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Desejamos-lhe ótimas olaborações!

vii

viii

Prefá io

Este livro bus a abordar os tópi os de um urso moderno de transformadas de Lapla e

ofere ido a estudantes de matemáti a, físi a, engenharias e outros. A ênfase é olo ada na

formulação e resolução de problemas e interpretação de resultados. Estudam-se a proprie-

dades da transformada de Lapla e e seu uso na resolução de equações diferen iais. Evita-se

sempre que possível o uso de onhe imentos de variável ompleza. Pressupõe-se que o estu-

dante domine onhe imentos e habilidades típi as desenvolvidas em ursos de graduação de

ál ulo, álgebra linear e equações diferen iais.

ix

x

Conteúdo

Organizadores iii

Li ença v

Nota dos organizadores vii

Prefá io ix

I Transformada de Lapla e 1

1 Introdução 3

1.1 Exer í ios de Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Transformada de Lapla e 5

2.1 Denição de transformada de Lapla e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Condição de existên ia da transformada de Lapla e . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 A transformada inversa de Lapla e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 Exer í ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 A propriedade de linearidade e a transformada da derivada 15

3.1 Linearidade da transformada de Lapla e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 A transformada de Lapla e da derivada de uma função . . . . . . . . . . . . 17

3.3 Apli ação da transformada de Lapla e para resolver problemas de valor ini ial 19

3.4 Método das frações par iais para al ular transformadas inversas . . . . . . . 21

3.5 Exer í ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 As propriedades de translação e da transformada da integral 25

4.1 Propriedade de translação no eixo s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2 Apli ação: Os ilador Harmni o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.3 A função de Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.4 Propriedade do deslo amento no eixo t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.5 A propriedade da transformada de Lapla e da integral de uma função . . . . 35

4.6 Apli ação: ir uito RC a um pulso de amplitude V0. . . . . . . . . . . . . . . 36

4.7 Exer í ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

xi

xii CONTEÚDO

5 A função Delta de Dira e a propriedade da onvolução 45

5.1 A função Delta de Dira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.1.1 Delta de Dira omo derivada distribu ional da função Heaviside . . . 47

5.2 Apli ação: ir uito RLC a um pulso de amplitude V0. . . . . . . . . . . . . . 48

5.3 Apli ação: ál ulo da deexão em vigas sujeitas a argas on entradas . . . . 51

5.4 Apli ação: metabolismo de uma medi ação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.5 Problemas na origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.6 Propriedade da onvolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.7 Exer í ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6 Funções espe iais e equações om oe ientes variáveis 65

6.1 Transformada de Lapla e de funções periódi as . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.2 Séries de potên ias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.2.1 Transformada de Lapla e inversa de funções envolvendo expansão em séries de potên ias 73

6.2.2 Transformada de Lapla e de funções envolvendo expansão em séries de potên ias 74

6.3 A derivada da transformada de Lapla e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.4 Equações diferen iais om oe ientes não onstantes . . . . . . . . . . . . . 76

6.5 Propriedade da integral da transformada de Lapla e . . . . . . . . . . . . . . 78

6.6 Propriedades do Valor Ini ial e Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.7 Exer í ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

7 Sistemas de equações diferen iais ordinárias 87

7.1 Transformada de Lapla e para resolver sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.2 Apli ação: ir uito de duas malhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.3 Apli ação: duplo massa mola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.4 Apli ação: reação quími a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

7.5 Exer í ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

II Transformada de Fourier 97

8 Introdução 99

9 Revisão de números omplexos e funções trigonométri as 101

9.1 Funções trigonométri as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

9.2 Números omplexos e fórmula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

9.3 Exer í ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

10 Séries de Fourier 111

10.1 Funções periódi as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

10.2 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

10.3 Exer í ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

CONTEÚDO xiii

11 Representações da série de Fourier e diagramas de espe tro 123

11.1 Forma harmni a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

11.2 Forma exponen ial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

11.3 Diagramas de espe tro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

11.4 Exer í ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

12 Propriedades das Séries de Fourier 131

12.1 Teorema de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

12.2 Fenmeno de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

13 Transformada de Fourier 135

13.1 Passagem do dis reto para o ontínuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

13.2 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

13.3 Exer í ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

14 Propriedades da transformada de Fourier 141

14.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

14.2 Passagem do ontínuo para o dis reto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

14.3 Apli ação: Sinais Dis retos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

14.4 Exer í ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

15 Equações diferen iais par iais 161

15.1 Equação do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

15.2 Equação do alor om termo fonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

15.3 Equação da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

15.4 Vibrações livres transversais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

15.5 Exer í ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

III Apêndi es 169

A Tabelas de propriedades, transformadas e séries 171

A.1 Tabelas de Transformadas de Lapla e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

A.2 Tabela de propriedades da transformada de Lapla e . . . . . . . . . . . . . . 174

A.3 Tabela de séries de potên ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

B Tabelas 177

Respostas dos Exer í ios 181

xiv CONTEÚDO

Parte I

Transformada de Lapla e

1

Capítulo 1

Introdução

A modelagem de muitos problemas en ontrados na físi a, quími a e engenharias tais omo

massa-mola, ou ir uitos em série, envolve funções des ontínuas. Um exemplo disso é uma

função do tipo have liga/desliga, que é zero o iní io do fenmeno, depois sobe instantanea-

mente a um valor onstante durante algum tempo e, nalmente, zero novamente. Métodos

analíti os para resolver equações diferen iais, omo fator integrante, separação de variáveis,

oe ientes a determinar e variação de parâmetros, fun ionam bem quando as funções e en-

volvidas são ontínuas. O método que vamos introduzir aqui, hamado de transformada de

Lapla e, resolve esse tipo de problema. Essen ialmente, a transformada de Lapla e é uma

transformação similar a derivação ou integração, pois leva função em outra função. Alem

disso, essa transformação leva a derivada de uma função em produtos da função original.

Isso signi a que essa transformação leva uma equação diferen ial a uma nova equação em

termos da função transformada que é algébri a e pode ser resolvida fa ilmente. Uma vez

que a transformada de Lapla e é onhe ida, temos que al ular a transformada inversa para

obter a solução do problema ([2 and [1).

Para ursar essas dis iplina o estudante deve onhe er té ni as bási as estudadas em dis-

iplinas omo Cál ulo Diferen ial e Integral e Equações Diferen iais. Nesse sentido, propomos

alguns exer í ios revisando algumas té ni as úteis.

1.1 Exer í ios de Revisão

Exer í io 1.1 Use as expressões cosh x = ex+e−x

2, senh x = ex−e−x

2, cosx = eix+e−ix

2e

sen x = eix−e−ix

2ipara al ular as seguintes integrais:

a)

∫∞0

sen(t)e−tdt

b)

∫∞0

cos(wt)e−tdt

)

∫∞0

sen2(wt)e−tdt

d)

∫∞0

cos2(wt)e−tdt

e)

∫∞0

senh(t)e−2tdt

3

4 CAPÍTULO 1. INTRODUÇO

f)

∫∞0

cosh(t)e−2tdt

Exer í io 1.2 Cal ule o valor da integral

∫ ∞

0

sen(wt)e−stdt

omo uma função de w e s sabendo que s e w são onstantes reais positivas.

Exer í io 1.3 Cal ule o valor da integral

∫ a

0

e−stdt

omo uma função de a e s sabendo que a e s são onstantes reais positivas.

Exer í io 1.4 Mostre que se |x| < 1 então

a)

∑∞k=0 x

k = 11−x

b)

∑∞k=0 kx

k = x(1−x)2

Exer í io 1.5 Use o resultado anterior para resolver os seguintes somatórios

a)

∑∞k=0 e

−sk

b)

∑∞k=0(−1)ke−sk

)

∑∞k=0 ke

−sk

onde s é uma onstante real positiva.

Exer í io 1.6 Use a té ni a de integração por partes para realizar as seguintes inte-

grais:

a)

∫∞0

te−tdt

b)

∫∞0

t2e−tdt

Exer í io 1.7 Cal ule a integral

I =

∫ ∞

0

|sen(πt)| e−tdt

es revendo-o omo o somatório

I =

∞∑

k=0

(−1)k∫ k+1

k

sen(πt)e−tdt.

Capítulo 2

Transformada de Lapla e

2.1 Denição de transformada de Lapla e

Denição 1. Seja f(t) uma função denida nos reais não negativos. Quando a integral

Lf(t) =

∫ ∞

0

f(t)e−stdt

for onvergente, ela será hamada de transformada de Lapla e da função f(t).

A transformada de Lapla e Lf(t) de uma função f(t) é uma função da variável s.A notação usual neste ontexto é letra minús ula para a função e letra maiús ula para a

transformada: Lf(t) = F (s), Lg(t) = G(s), Lh(t) = H(s).

Nos próximos exemplos, vamos apli ar a denição para al ular a transformadas de La-

pla e de algumas funções.

Exemplo 1. Vamos al ular a transformada de Lapla e da função f(t) = 1:

L1 =

∫ ∞

0

1 · e−stdt

= lima→∞

∫ a

0

e−stdt

= lima→∞

1− e−sa

s.

O limite lima→∞

1− e−sa

ssó existe se s > 0. Portanto,

L1 =1

s, s > 0.

5

6 CAPÍTULO 2. TRANSFORMADA DE LAPLACE

Exemplo 2. A transformada de Lapla e da função f(t) = t é al ulada fazendo integração

por partes:

Lt =

∫ ∞

0

te−stdt

= −te−st

s

∣∣∣∣

∞

0

−∫ ∞

0

(

−e−st

s

)

dt.

= −te−st

s

∣∣∣∣

∞

0

+1

s

∫ ∞

0

e−stdt.

onde a notação −te−st

s

∣∣∣∣

∞

0

indi a lima→∞

(

−te−st

s

∣∣∣∣

a

0

)

. Observe que, se s > 0, a primeira par ela

do lado direito é zero e a segunda é

1sL1, isto é,

Lt =1

sL1 =

1

s2, s > 0.

onde usamos o resultado do exemplo 1.

Exemplo 3. Para al ular a transformada de Lapla e da função f(t) = tn usamos a ideia in-

troduzida no exemplo 2 e es revemos-a em termos da transformada de tn−1. Observe primeiro

a transformada de t2 e t3

Lt2 =

∫ ∞

0

t2e−stdt

= −t2e−st

s

∣∣∣∣

∞

0

−∫ ∞

0

(

−2te−st

s

)

dt.

=2

s

∫ ∞

0

te−stdt =2

sLt =

2

s

1

s2=

2

s3, s > 0

Lt3 =

∫ ∞

0

t3e−stdt

= −t3e−st

s

∣∣∣∣

∞

0

−∫ ∞

0

(

−3t2e−st

s

)

dt.

=3

s

∫ ∞

0

t2e−stdt =3

sLt2 =

3

s

2

s3=

3!

s4, s > 0

Agora já podemos intuir qual seria a expressão para a transformada de tn:

Ltn =n!

sn+1, s > 0.

Essa expressão pode ser formalmente demonstrada pelo método de indução matemáti a (ver

exer í io 2.3).

2.1. DEFINIÇO DE TRANSFORMADA DE LAPLACE 7

Exemplo 4. A transformada de Lapla e da função f(t) = e−atpode ser obtida por integração

direta:

Le−at =

∫ ∞

0

e−ate−stdt

=

∫ ∞

0

e−(s+a)tdt

=e−(s+a)t

s+ a

∣∣∣∣

∞

0

=1

s+ a, s + a > 0

Exemplo 5. A transformada de Lapla e da função f(t) = sen(wt) pode ser obtida integrando

por partes duas vezes:

Lsen(wt) =

∫ ∞

0

sen(wt)e−stdt

= −sen(wt)e−st

s

∣∣∣∣

∞

0

− 1

s

∫ ∞

0

(w cos(wt))(−e−st

)dt

=w

s

∫ ∞

0

cos(wt)e−stdt

=w

s

(

−cos(wt)e−st

s

∣∣∣∣

∞

0

− 1

s

∫ ∞

0

(−w sen(wt))(−e−st

)dt

)

=w

s

(1

s− w

s

∫ ∞

0

sen(wt)e−stdt

)

=w

s2− w2

s2Lsen(wt).

Observe que obtemos uma equação para Lsen(wt):

Lsen(wt) =w

s2− w2

s2Lsen(wt).

Resolvemos essa equação e obtemos

Lsen(wt)(

1 +w2

s2

)

=w

s2,

isto é,

Lsen(wt) =w

s2 + w2, s > 0.

Exemplo 6. Vamos agora al ular a transformada de Lapla e Lf(t) de uma função f(t)des ontínua denida por partes:

f(t) =

0, 0 ≤ t ≤ 45, t > 4.

8 CAPÍTULO 2. TRANSFORMADA DE LAPLACE

Aqui usamos a seguinte propriedade de integral:

∫ b

af(t)dt =

∫ x

af(t)dt+

∫ b

xf(t)dt. Portanto,

Lf(t) =

∫ ∞

0

f(t)e−stdt

=

∫ 4

0

f(t)e−stdt+

∫ ∞

4

f(t)e−stdt

=

∫ 4

0

0 · e−stdt+

∫ ∞

4

5e−stdt

= −5e−st

s

∣∣∣∣

∞

4

=5e−4s

s

Problema 1. Cal ule a transforma de Lapla e da função f(t) = cos(wt) usando a denição.

Problema 2. Cal ule a transforma de Lapla e da função f(t) denida por partes:

f(t) =

0, 0 ≤ t ≤ 31, 3 ≤ t ≤ 5,0, t > 5.

2.2 Condição de existên ia da transformada de Lapla e

A integral que dene a transformada de Lapla e nem sempre onverge e, nesse aso,

dizemos que a função não possui transformada de Lapla e. As funções f(t) = et2e f(t) = 1

t

são alguns exemplo de funções que não possuem transformada de Lapla e. Nessa seção, vamos

introduzir uma família de funções que possuem transformada de Lapla e. Neste ontexto,

vamos onsiderar as funções que são ontínuas por partes, ou seja, aquelas que possui um

número nito de des ontinuidade.

Denição 2. Dizemos que uma função f(t) é de ordem exponen ial c se existem onstantes

c, M > 0 e T > 0 tal que |f(t)| ≤ Mect para todo t > T .

Exemplo 7. As funções f(t) = t2, g(t) = sen(t), h(t) = e−tsão de ordem exponen ial, pois

|t2| ≤ et, t > 0,

|5 cos(t)| ≤ et, t > 2,

|e−t| ≤ et, t > 0.

A gura 2.1 ilustra o res imento de f , g e h

Teorema 1. Se f(t) é ontínua por partes no intervalo [0,∞) e de ordem exponen ial c,então a transformada de Lapla e de f(t) existe para s > c.

Demonstração. Como a função f(t) é de ordem exponen ial c, então existem onstantes c,M > 0 e T > 0 tal que |f(t)| ≤ Mect para todo t > T . Assim, se T é maior ou igual a T , atransformada de Lapla e pode ser es rita omo a seguinte soma:

Lf(t) =

∫ ∞

0

f(t)e−stdt =

∫ T

0

f(t)e−stdt+

∫ ∞

T

f(t)e−stdt.

2.2. CONDIÇO DE EXISTÊNCIA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE 9

1

2

3

1

t

et

t21234

−1−2−3−4−5

1 2 3

t

et

5 cos(t)

1

2

3

1

t

et

e−t

Figura 2.1:

A primeira par ela do lado direito é uma integral denida de uma função ontínua por partes,

logo está bem denida para qualquer T .Agora, omo T ≥ T , podemos estimar

∣∣∣∣

∫ ∞

T

f(t)e−stdt

∣∣∣∣

≤∫ ∞

T

|f(t)| e−stdt ≤∫ ∞

T

Mecte−stdt

= M

∫ ∞

T

e−(s−c)tdt =M

c− se−(s−c)t

∣∣∣∣

∞

T

=M

s− ce−(s−c)T , s > c.

Como limT→∞Ms−c

e−(s−c)T = 0, a integral

∫∞0

f(t)e−stdt onverge para todo s > c, ou seja, a

transformada de Lapla e existe neste domínio.

Observação 1. O teorema 1 apresenta ondições su ientes para existên ia da transfor-

mada de Lapla e, estas ondições não são, no entanto, ne essárias. Por exemplo, a função

f(t) = ln(t) não é ontínua na origem, sequer é limitada quando t → 0+, mas admite uma

Transformada de Lapla e.

Teorema 2. (Comportamento no innito) Se a transformada de Lapla e de uma função

limitada f(t) existe, F (s) = Lf(t), então

lims→∞

F (s) = 0.

Demonstração. Por denição,

F (s) =

∫ ∞

0

f(t)e−stdt.

Fazendo u = st, temos:

F (s) =1

s

∫ ∞

0

f(u

s

)

e−udu.

Usando o fato que f é limitada, existe M tal que |f(t)| < M e, assim,

|F (s)| ≤ M

s

∫ ∞

0

e−udu =M

s.

10 CAPÍTULO 2. TRANSFORMADA DE LAPLACE

Portanto, |F (s)| → 0 quando s → ∞, o que impli a

lims→∞

F (s) = 0.

2.3 A transformada inversa de Lapla e

Se F (s) = Lf(t) é a transformada de Lapla e de f(t), então dizemos que f(t) =L−1F (s) é a transformada inversa de Lapla e da função F (s). Essa denição só faz sentido

se a transformação denida no onjunto de funções que possuem transformada de Lapla e

for "bijetora", ou seja, ada função f(t) está rela ionada a uma úni a transformada F (s). Éfá il observar que duas funções iguais a partir de t = 0 possuem a mesma transformada de

Lapla e. Porém, se duas transformadas são iguais para s > s0, por exemplo, F (s) = G(s),então ∫ ∞

0

f(t)e−stdt =

∫ ∞

0

g(t)e−stdt

ou seja, ∫ ∞

0

(f(t)− g(t))e−stdt = 0

para ada s > s0. Mas, o fato dessa integral ser nula, não signi a que a função f(t)− g(t)é nula. Tome omo exemplo a função

h(t) =

0, 0 ≤ t < 3,1, t = 3,0, t > 3,

que não é nula, mas a integral

∫ ∞

0

h(t)e−stdt = 0 ∀s > s0. (2.1)

No entanto, a função f(t)−g(t) não pode ser diferente de zero em um onjunto muito grande.

Basta tomar omo exemplo uma função que não se anula em um intervalo pequeno:

h(t) =

1, 0 ≤ t < ǫ,0, t ≥ ǫ

para 0 < ǫ << 1. Por menor que seja ǫ, a integral (2.1) não se anula para s > 0. Existe um

on eito que diz que duas funções h1(t) e h2(t) são iguais quase-sempre em [a, b] se∫ b

a

|h1(t)− h2(t)|dt = 0.

Observe que o módulo no on eito é importante, pois podemos tomar uma função diferente

de zero em intervalos grandes e om integral zero, por exemplo,

h3(t) =

1, 0 ≤ t < 1,−1, 1 ≤ t < 2,0, t ≥ 2,

. (2.2)

2.3. A TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 11

F (s) = Lf(t) f(t) = L−1F (s)

1

s1

1

s2t

1

sn, (n = 1, 2, 3, ...)

tn−1

(n− 1)!

F (s) = Lf(t) f(t) = L−1F (s)

a

a2 + s2sen(at)

1

s+ ae−at

Tabela 2.1:

Observe que a integral (2.1) deverá ser zero para todo s > s0, o que ompensa a falta do

módulo. Por exemplo, a integral (2.1) apli ada a função (2.2) não é zero:

∫ ∞

0

h3(t)e−stdt =

∫ ǫ

0

e−stdt−∫ 2ǫ

ǫ

e−stdt

=e−st

−s

∣∣∣∣

ǫ

0

− e−st

−s

∣∣∣∣

2ǫ

ǫ

=1

s− e−sǫ

s− e−sǫ

s+

e−2sǫ

s6= 0, s > 0.

Usando esse on eito, se duas transformadas de Lapla e são iguais, as respe tivas inversas

são iguais quase-sempre. Nesse sentido, uma função que possui transformada de Lapla e

está ontida numa lasse de funções que possuem a mesma transformada de Lapla e. Se

olharmos ada lasse de funções omo um elemento de um onjunto, então a transformada

de Lapla e é "bijetora". Isso signi a que a transformada inversa está bem denida, mesmo

que não es revemos uma forma integral fe hada para ela. Uma forma integral fe hada para

a transformada inversa de Lapla e apare erá naturalmente na teoria de transformada de

Fourier.

Abaixo segue a pequena tabela 2.1 das transformadas de Lapla e que al ulamos na seção

2.1 e suas respe tivas inversas. Observe que ada função da segunda oluna representa uma

lasse de funções iguais quase-sempre. As tabelas A.1 e A.2 do apêndi e A.1 estão mais

ompletas. As tabelas de transformadas são úteis quando estamos resolvendo uma equação

diferen ial, pois na práti a, onsultamos uma tabela para al ular a inversa.

Exemplo 8. Para al ular a transformada inversa da função F (s) = 10100+s2

, xamos a = 10na quarta linha da tabela 2.1 e obtemos

L−1

10

100 + s2

= sen(10t)

12 CAPÍTULO 2. TRANSFORMADA DE LAPLACE

Exemplo 9. Da mesma forma, para al ular a transformada inversa da função F (s) = 1s30

,

xamos n = 30 na ter eira linha da tabela 2.1 e obtemos

L−1

1

s30

=t29

29!.

2.4 Exer í ios

Exer í io 2.1 Use a denição de transformada de Lapla e para al ular as transfor-

madas das funções dadas nos grá os abaixo:

t

f(t)

c

k

a)

t

f(t)

c

k

b)

t

f(t)

c c+ b

k

c)

t

f(t)

c

k

d)

t

f(t)

c 2c

k

e)

Exer í io 2.2 Use a denição de transformada de Lapla e para al ular as transfor-

madas das funções dadas a seguir:

a) f(t) = at

b) f(t) =

0, 0 ≤ t < 22, 2 ≤ t < 30, t > 3

) f(t) = at, a > 0

d) f(t) = cos(wt)

e) f(t) = cosh(at)

f) f(t) = te2t

2.4. EXERCÍCIOS 13

g) f(t) = e−t+4

Exer í io 2.3 (Prin ípio da Indução) Mostre que Ltn =n!

sn+1seguindo os seguintes

passos:

a) Mostre que a fórmula é válida para n = 0, 1, 2 e 3.1

b) Mostre que Ltn−1 =(n− 1)!

sné válida, então Ltn =

n!

sn+1também o é.

Exer í io 2.4 Use a tabela A.1 para al ular a transformada Inversa de Lapla e das

funções:

a) F (s) = 1s2+4

b) F (s) = 1s2−4

) F (s) = ss2−9

d) F (s) = − ss2+2s+1

− 1s2+2s+1

e) F (s) = 1(s2+2s+1)(s+1)

1

De fato, bastaria mostrar para n = 0.

14 CAPÍTULO 2. TRANSFORMADA DE LAPLACE

Capítulo 3

A propriedade de linearidade e a

transformada da derivada

3.1 Linearidade da transformada de Lapla e

Propriedade 1. A transformada de Lapla e é uma transformação linear, isto é,

Lαf(t) + βg(t) = αLf(t)+ βLg(t) (3.1)

sempre que ada uma das transformadas existirem.

Demonstração. Isso vem direto da propriedade de linearidade da integral:

Lαf(t) + βg(t) =

∫ ∞

0

(αf(t) + βg(t)) e−stdt

=

∫ ∞

0

αf(t)e−stdt+

∫ ∞

0

βg(t)e−stdt

= α

∫ ∞

0

f(t)e−stdt+ β

∫ ∞

0

g(t)e−stdt

= αLf(t)+ βLg(t) .

Exemplo 10. A transformada de Lapla e da função f(t) = sen(wt) já foi al ulada no exem-

plo 5. Agora vamos al ular novamente usando o resultado do exemplo 4 e a linearidade da

transformada de Lapla e. Primeiro re ordamos a fórmula de Euler para es rever exponen iais

omplexas em termos de senos e ossenos:

eiwt = cos(wt) + i sen(wt)

ou

e−iwt = cos(wt)− i sen(wt).

As duas expressões podem ser resolvidas em termos do seno e do osseno para obter

sen(wt) =eiwt − e−iwt

2i(3.2)

cos(wt) =eiwt + e−iwt

2(3.3)

15

16CAPÍTULO 3. A PROPRIEDADE DE LINEARIDADE E A TRANSFORMADA DA DERIVADA

Agora podemos al ular a transformada de Lapla e do seno usando a expressão (3.2).

Lsen(wt) = Leiwt − e−iwt

2i

=1

2iLeiwt− 1

2iLe−iwt

=1

2i

(1

s− iw− 1

s + iw

)

=1

2i

(s+ iw − (s− iw)

(s− iw)(s+ iw)

)

=1

2i

(2iw

s2 + w2

)

=w

s2 + w2

Problema 3. Cal ule a transformada de Lapla e da função f(t) = cos(wt) usando a propri-

edade de linearidade 1.

Problema 4. Cal ule a transformada de Lapla e da função f(t) = eat − ebt usando a pro-

priedade de linearidade 1.

Exemplo 11. A transformada de Lapla e da função f(t) = senh(wt) pode ser al ulada

usando o resultado do exemplo 4 e as expressões em termos de exponen iais:

senh(at) =eat − e−at

2(3.4)

cosh(at) =eat + e−at

2. (3.5)

Apli amos a propriedade 1 a expressão (3.4) e temos:

Lsenh(at) = Leat − e−at

2

=1

2Leat− 1

2Le−at

=1

2

(1

s− a− 1

s+ a

)

=1

2

(s+ a− (s− a)

(s− a)(s + a)

)

=1

2

(2a

s2 − a2

)

=a

s2 − a2

Exemplo 12. Vamos al ular a tranformada de Lapla e da função f(t) = wt − sen(wt)

3.2. A TRANSFORMADA DE LAPLACE DA DERIVADA DE UMA FUNÇO 17

usando propriedade de linearidade 1 e o exemplo 10:

Lwt− sen(wt) = wLt − Lsen(wt)=

w

s2− w

s2 + w2

=w(s2 + w2)− ws2

s2(s2 + w2)

=w(s2 + w2)− ws2

s2(s2 + w2)=

w3

s2(s2 + w2)

Problema 5. Cal ule a transformada de Lapla e da função f(t) = cosh(at) usando a pro-

priedade de linearidade 1.

Problema 6. Cal ule a transformada de Lapla e da função f(t) = 1 − cos(wt) usando a

propriedade de linearidade 1.

Observação 2. A transformada inversa de Lapla e também é uma transformação linear,

isto é,

L−1 αF (s) + βG(s) = αf(t) + βg(t). (3.6)

Esse resultado é onsequên ia da propriedade de linearidade 1:

L−1 αF (s) + βG(s) = L−1 αLf(t)+ βLg(t)= L−1 L αf(t) + βg(t)= αf(t) + βg(t).

Exemplo 13. Vamos al ular a tranformada inversa de Lapla e da função F (s) = 2s+ 4

s2− 1

s−1

usando propriedade de linearidade 3.6 e a tabela 2.1:

L−1

2

s+

4

s2− 1

s− 1

= 2L−1

1

s

+ 4L−1

1

s2

− L−1

− 1

s− 1

= 2 + 4t− et

3.2 A transformada de Lapla e da derivada de uma fun-

ção

Propriedade 2. Se f(t) é ontínua e de ordem exponen ial e f ′(t) é ontínua por partes

para t ≥ 0, então

Lf ′(t) = sLf(t) − f(0). (3.7)

Demonstração. Primeiro onsidere f(t) e f ′(t) ontínuas nos reais não negativos. Usando

18CAPÍTULO 3. A PROPRIEDADE DE LINEARIDADE E A TRANSFORMADA DA DERIVADA

integração por partes na denição de transformada de Lapla e, temos

Lf ′(t) =

∫ ∞

0

e−stf ′(t)dt

= e−stf(t)∣∣∞0−∫ ∞

0

(−se−st)f(t)dt

= −f(0) + s

∫ ∞

0

e−stf(t)dt

= −f(0) + sLf(t)

Se f ′(t) for ontínua por partes, então separamos as integrais em somas de tal forma que f ′(t)seja ontínua em ada par ela. Apli amos integração por partes em ada par ela e obtemos

o resultado desejado.

Considere f(t) e f ′(t) ontínuas e f ′′(t) ontínua por partes. Então podemos apli ar a

expressão 3.7 duas vezes e obter:

Lf ′′(t) = sLf ′(t) − f ′(0)

= s (sLf(t) − f(0))− f ′(0)

= s2Lf(t) − sf(0)− f ′(0). (3.8)

Analogamente, se f(t), f ′(t), · · · , f (n−1)(t) são ontínuas e f (n)(t) é ontínua por partes,

então

Lf (n)(t) = snLf(t) − sn−1f(0)− sn−2f ′(0)− · · · − f (n−1)(0). (3.9)

Vamos usar a propriedade 13 da transformada da derivada para al ular transformadas

de Lapla e.

Exemplo 14. Vamos al ular a transformada de f(t) = cos(t) usando a propriedade 13.

Observe as derivadas:

f(t) = cos(t), f ′(t) = − sen(t) e f ′′(t) = − cos(t).

Logo,

f ′′(t) = −f(t).

Apli amos a transformada de Lapla e e usamos a propriedade 13:

s2F (s)− sf(0)− f ′(0) = −F (s).

Usamos o fato que f(0) = cos(0) = 1 e f ′(0) = − sen(0) = 0 e obtemos

s2F (s)− s = −F (s),

ou seja,

F (s) =s

s2 + 1,

que onfere om o item 14 da tabela A.1.

3.3. APLICAÇO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA RESOLVER PROBLEMAS DE VALOR INICIAL19

Exemplo 15. Agora, vamos al ular a transformada de g(t) = t cos(t) usando a propriedade

13 da transformada da derivada . Observe as derivadas:

g′(t) = −t sen(t) + cos(t)

e

g′′(t) = −t cos(t)− sen(t)− sen(t),

ou seja,

g′′(t) = −g(t)− 2 sen(t).

Apli amos a transformada de Lapla e e usamos a propriedade 13:

s2G(s)− sg(0)− g′(0) = −G(s)− 2Lsen(t).Usamos o fato que g(0) = 0 · cos(0) = 0, g′(0) = −0 · sen(0) + cos(0) = 1 e Lsen(t) = 1

s2+1

e obtemos

s2G(s)− 1 = −G(s)− 2

s2 + 1,

isto é,

G(s) =s2 − 1

(s2 + 1)2,

3.3 Apli ação da transformada de Lapla e para resolver

problemas de valor ini ial

A propriedade da transformada da derivada 13, juntamente om a propriedade da li-

nearidade 1, são importantes para resolver problemas de valor ini ial. A ideia é apli ar a

transformada de Lapla e à equação diferen ial e, usando as ondições ini iais es revemos

uma equação algébri a para transformada de Lapla e da solução, que é hamada de equa-

ção subsidiária. Em seguida, resolvemos a equação algébri a e al ulamos a transformada

inversa para obter a solução do problema. Por exemplo, onsidere o problema de valor ini ial

de segunda ordem

y′′(t) + ay′(t) + by(t) = f(t)

y(0) = y0

y′(0) = y′0

om a, b, y0 e y′0 onstantes. A apli ação da transformada de Lapla e nos dá

Ly′′(t)+ aLy′(t)+ bLy(t) = Lf(t).Usando a propriedade 13, obtemos a seguinte equação subsidiária

s2Ly(t) − sy(0)− y′(0) + asLy(t) − ay(0) + bLy(t) = Lf(t)ou seja,

Y (s) =F (s) + sy0 + y′0 + ay0

(s2 + as+ b)

onde Ly(t) = Y (s) e Lf(t) = F (s). A solução do problema de valor ini ial é y(t) =L−1Y (s).

20CAPÍTULO 3. A PROPRIEDADE DE LINEARIDADE E A TRANSFORMADA DA DERIVADA

Exemplo 16. Vamos resolver o problema de valor ini ial

y′′(t) + y(t) = 2t

y(0) = 2

y′(0) = 1

Primeiro apli amos a transformada de Lapla e na equação diferen ial:

Fy′′(t)+ Fy(t) = F2tEm seguida, usamos a equação 3.8 para obter

s2Ly(t) − sy(0)− y′(0) + Fy(t) = 2Ft.Agora, usamos a notação Ly(t) = Y (s) e o fato que Ft = 1

s2para es rever

s2Y (s)− sy(0)− y′(0) + Y (s) =2

s2.

Obtemos a equação subsidiária quando substituímos y(0) = 2 e y′(0) = 1:

s2Y (s)− 2s− 1 + Y (s) =2

s2.

O próximo passo é resolver a equação algébri a para Y (s)

Y (s)(s2 + 1

)=

2

s2+ 2s+ 1,

isto é,

Y (s) =2

s2 (s2 + 1)+

2s

(s2 + 1)+

1

(s2 + 1).

A solução do problema de valor ini ial pode ser es rita omo

y(t) = L−1

2

s2 (s2 + 1)

+ L−1

2s

(s2 + 1)

+ L−1

1

(s2 + 1)

.

Obtemos as transformadas inversas olhando a tabela A.1 do apêndi e A.1, itens 20, 14 e 13:

L−1

1

s2 (s2 + 1)

= t− sen(t), w = 1 no item 20 da tabela A.1,

L−1

s

(s2 + 1)

= cos(t), w = 1 no item 14 da tabela A.1

e

L−1

1

(s2 + 1)

= sen(t), w = 1 no item 13 da tabela A.1

Combinando a propriedade da linearidade 1, temos:

y(t) = 2t− 2 sen(t) + 2 cos(t) + sen(t) = 2t+ 2 cos(t)− sen(t)

Problema 7. Resolva o seguinte problema de valor ini ial

y′′(t) + 2y′(t) + y(t) = e−t

y(0) = −1

y′(0) = 1

3.4. MÉTODO DAS FRAÇÕES PARCIAIS PARA CALCULAR TRANSFORMADAS INVERSAS21

3.4 Método das frações par iais para al ular transfor-

madas inversas

Suponha que P (x) e Q(x) são polinmios tais que o grau de P é menor que o grau de Q.

O polinmio Q(x) pode ser fatorado em polinmios de graus um e dois:

Q(x) = (a1x+ b1)l1 · · · (anx+ bn)

ln(c1x2 + d1x+ e1)

p1 · · · (cmx2 + dmx+ em)pm .

Com isso, podemos en ontrar onstantes A1,1, . . . , An,l1···ln , B1,1, . . . , Bm,p1···pn e C1,1, . . . , Cm,p1···pntais que:

P (x)

Q(x)=

l1−1∑

k=0

A1,k

(a1x+ b1)l1−k+ · · ·+

ln−1∑

k=0

An,k

(anx+ bn)ln−k

+

p1−1∑

k=0

B1,kx+ C1,k

(c1x2 + d1x+ e1)p1−k+ · · ·+

pm−1∑

k=0

Bm,kx+ Cm,k

(cmx2 + dmx+ em)pm−k.

Esse método é usado para al ular integrais de funções ra ionais e transformadas inversas

de Lapla e.

Exemplo 17. Para al ular a transformada inversa de Lapla e da função ra ional F (s) =1

(s−1)(s2−2s−5)usamos o método de frações par iais, ou seja, en ontramos A, B e C que satis-

fazem

F (s) =1

(s− 1)(s2 + 1)=

A

s− 1+

B + Cs

s2 + 1

=A(s2 + 1) + (B + Cs)(s− 1)

(s− 1)(s2 + 1)

=s2(A+ C) + s(B − C) + A− B

(s− 1)(s2 + 1).

Obtemos o sistema

A + C = 0

B − C = 0

A−B = 1

que tem solução B = C = −12e A = 1

2. Logo,

F (s) =1

2

(1

s− 1− s+ 1

s2 + 1

)

.

Es revendo em uma forma onveniente, temos

F (s) =1

2

(1

s− 1− s

s2 + 1− 1

s2 + 1

)

.

A transformada inversa é

f(t) =1

2

(et − cos(t)− sen(t)

).

22CAPÍTULO 3. A PROPRIEDADE DE LINEARIDADE E A TRANSFORMADA DA DERIVADA

Problema 8. Cal ule a transformada inversa de Lapla e da função

F (s) =3s2 − 2s− 1

(s− 3)(s2 + 1).

3.5 Exer í ios

Exer í io 3.1 Use a linearidade da transformada para al ular a transformada de

Lapla e das seguintes funções

a) f(t) = −8t + 2 sen(5t)

b) f(t) = −3t2(t− 2)

) f(t) = (2t− 3)3

d) f(t) = cos(t)2

f) f(t) = sen(t)3

g) f(t) = cosh(t)3

Exer í io 3.2 Use a linearidade da transformada inversa para al ular a transformada

inversa de Lapla e das seguintes funções

a) F (s) = 2s−8s2+4

b) F (s) = 2s(

1s2−4

+ 1s(s2−4)

)

Exer í io 3.3 Resolva os seguintes itens

a) Use a denição para mostrar que Lezt = 1s−z

, z ∈ C.

b) Use a fórmula do item a) para on luir que

Le(a+ib)t =s− a+ ib

(s− a)2 + b2

) Use a fórmula de Euler e o item b) para on luir que

Leat cos(bt) =s− a

(s− a)2 + b2

e

Leat sen(bt) =b

(s− a)2 + b2

3.5. EXERCÍCIOS 23

Exer í io 3.4 Resolva os seguintes problemas de valor ini ial

a)

y′ + 2y = 1,y(0) = 3

b)

y′ + 3y = et,y(0) = 2

)

y′′ + 5y′ + 6y = 0,y(0) = 1,y′(0) = 0

d)

y′′ + 2y′ + y = e−t,y(0) = −1,y′(0) = 1

e)

y′′ + y = 2 cos(t),y(0) = 3,y′(0) = 4

f)

y′′ + 7y′ + 12y = 21e3t,y(0) = 3.5,y′(0) = −10

Exer í io 3.5 Use a propriedade da transformada da derivada para al ular a trans-

formada das seguintes funções:

0

1

2

0 1 2 3 4

t

f(t)a)

0

1

2

0 1 2 3 4 5

t

f(t)b)

Exer í io 3.6 Realize a expansão em frações par iais das seguintes funções ra ionais

F (s) e al ule as respe tivas transformadas inversas f(t) = L−1F (s).

a) F (s) = s2−6s+4s3−3s2+2s

b) F (s) = s2+s−2(s+1)3

) F (s) = s(s+1)3

24CAPÍTULO 3. A PROPRIEDADE DE LINEARIDADE E A TRANSFORMADA DA DERIVADA

d) F (s) = 5s2−15s−11(s+1)(s−2)3

e) F (s) = 3s2−2s−1(s−3)(s2+1)

f) F (s) = s2+2s+3(s2+2s+2)(s2+2s+5)

g) F (s) = 1s2(s−2)

Capítulo 4

As propriedades de translação e da

transformada da integral

4.1 Propriedade de translação no eixo s

Nessa seção vamos al ular a transformada inversa do deslo amento F (s− a) sabendo a

transformada inversa de F (s).

Propriedade 3. Se F (s) é a transformada de Lapla e de f(t), então eatf(t) é a transformada

inversa de F (s− a), isto é

Leatf(t)

= F (s− a), s > a (4.1)

ou

L−1 F (s− a) = eatf(t), s > a. (4.2)

Demonstração. É direto da apli ação da denição da transformada de Lapla e F (s− a):

F (s− a) =

∫ ∞

0

f(t)e−(s−a)tdt

=

∫ ∞

0

f(t)eate−stdt

= Leatf(t)

Agora vamos al ular algumas transformadas de Lapla e usando a propriedade 3.

Exemplo 18. Para al ular a transformada de Lapla e de f(t) = teat, que é o item 8 da

tabela A.1, usamos o item 2 da mesma tabela,

Lt =1

s2= F (s),

e a propriedade de translação 3 om f(t) = t:

Leatt= F (s− a) =

1

(s− a)2, s > a

25

26CAPÍTULO 4. AS PROPRIEDADES DE TRANSLAÇO E DA TRANSFORMADA DA INTEGRAL

Exemplo 19. Vamos provar o item 25 da tabela A.2,

L

1

4a3(sen(at) cosh(at)− cos(at) senh(at))

=1

s4 + 4a4,

usando os itens 13 e 14 da tabela A.1:

L1

asen(at)

=1

s2 + a2,

e

Lcos(at) =s

s2 + a2.

De fato,

L

1

4a3(sen(at) cosh(at)− cos(at) senh(at))

= L

1

4a3

(

sen(at)eat + e−at

2− cos(at)

eat − e−at

2

)

= L

1

8a3(eat (sen(at)− cos(at)) + e−at (sen(at) + cos(at))

)

=1

8a3[L(

eat (sen(at)− cos(at))+ L

e−at (sen(at) + cos(at))

)]

=1

8a3

[a

(s− a)2 + a2− s− a

(s − a)2 + a2

+a

(s+ a)2 + a2+

s+ a

(s+ a)2 + a2

]

=1

8a3

[8a3

((s− a)2 + a2) ((s+ a)2 + a2)

]

=1

s4 + 4a4

Problema 9. Use a propriedade 3 e as tabelas A.1 e A.2 para al ular as seguintes trans-

formadas de Lapla e

a) L

1

(n− 1)!tn−1eat

(usando o item 3 da tabela)

b) L1

wsen(wt)eat

(usando o item 13 da tabela)

Exemplo 20. Vamos al ular a transformada de Lapla e de f(t) = e−t cosh(2t) usando a

propriedade 3 e a tabela A.1. Primeiro observe o item 16 da tabela om a = 2:

Lcosh(2t) =s

s2 − 4= F (s).

Agora use a propriedade da translação no eixo s

Le−t cosh(2t)

= F (s+ 1) =

s+ 1

(s+ 1)2 − 4, s > −1 (4.3)

4.2. APLICAÇO: OSCILADOR HARMÔNICO 27

Problema 10. Use a propriedade 3 e as tabelas A.1 e A.2 para al ular as seguintes trans-

formadas de Lapla e

a) Lsenh(2t) cos(t)

b) L(4 + t2)et

Exemplo 21.

a) Agora vamos usar a propriedade 3 e o item 15 da tabela A.1 para al ular a transforma-

das inversa de Lapla e da função F (s) = 1s2−2s−3

. Primeiro es revemos F (s) numa forma

onveniente:

F (s) =1

s2 − 2s− 3=

1

(s− 1)2 − 1− 3=

1

(s− 1)2 − 4.

Observe no item 16 da tabela que L1

2senh(2t)

=1

s2 − 4= G(s) e, também, pela proprie-

dade da translação no eixo s dada na equação (4.2)

L−1F (s) = L−1G(s− 1) =1

2et senh(2t).

Problema 11. En ontre f(t) dado que F (s) usando as tabelas e as propriedades

a) F (s) = s(s+1)2+1

b) F (s) = s−1(s2−2s+5)(s2−2s+10)

4.2 Apli ação: Os ilador Harmni o

Uma mola elásti a om uma extremidade xada prende um orpo de massa m na outra

extremidade (veja gura (4.1)). Conside que o orpo esteja sujeito a uma força de atrito

propor ional a velo idade om onstante de amorte imento γ e a que mola obedeça a lei de

Hooke om onstante k.

y(t)0

Figura 4.1:

28CAPÍTULO 4. AS PROPRIEDADES DE TRANSLAÇO E DA TRANSFORMADA DA INTEGRAL

Seja y(t) o deslo amento do orpo da sua posição de equilíbrio estáti o em função do

tempo t. A equação do movimento é obtida a partir da segunda lei de Newton:

ma =∑

i

fi,

onde a = y′′(t) é a a eleração e

∑

i~fi representa a soma de todas as forças. No aso tratado

aqui, existem apenas três forças, a saber:

i) a força da mola, que é propor ional ao des o amento (lei de Hooke), om onstante de

propor ionalidade k, f1 = −ky(t),

ii) a força de atrito, que é propor ional a velo idade, om onstante de amorte imento γ,f2 = −γy′(t), e

iii) a força externa, f3(t) = f(t)

Logo,

my′′(t) = f1 + f2 + f3 = −ky(t)− γy′(t) + f(t),

ou seja, a equação para o deslo amento y(t) é dada por

my′′(t) + γy′(t) + ky(t) = f(t). (4.4)

O modelo a ompleto quando impomos as ondições ini iais y(0) = y0 e y′(0) = y′0.Agora, vamos usar o método da transformada de Lapla e para resolver a equação. Apli-

amos a transformada de Lapla e na equação (4.4) e obtemos:

mLy′′(t)+ γLy′(t)+ kLy(t) = Lf(t).

Apli amos a propriedade 13 e obtemos

ms2Ly(t) −msy(0)−my′(0) + γsLy(t) − γy(0) + kLy(t) = Lf(t).

Impomos as ondições ini iais para obter a seguinte equação subsidiária:

ms2Y (s)−msy0 −my′0 + γsY (s)− γy0 + kY (s) = F (s),

onde F (s) = Lf(t) e Y (s) = Ly(t). Resolvemos a equação para Y (s):

Y (s) =F (s) +msy0 +my′0 + γy0

ms2 + γs + k.

A solução do problema pode ser representado por y(t) = L−1Y (s).O sistema massa mola pode ser lassi ado das seguintes formas:

i) Os ilador harmoni o forçado: quando a força externa não é nula.

ii) Os ilador harmni o livre: quando não há força externa, ou seja, f(t) = 0, o que

impli a em F (s) = 0. Nesse aso

Y (s) =msy0 +my′0 + γy0

ms2 + γs+ k.

4.2. APLICAÇO: OSCILADOR HARMÔNICO 29

iii) Os ilador harmni o subamorte ido: quando γ2 < 4mk. No aso F (s) = 0, temos:

Y (s) =msy0 +my′0 + γy0

ms2 + γs+ k=

msy0 +my′0 + γy0

m(s+ γ

2m

)2 − γ2

4m+ k

,

onde − γ2

4m+ k > 0. Olhando os itens 13 e 14 da tabela de transformada A.1 e om-

binando om a propriedade 3, on luímos que as soluções são são senos e ossenos

multipli ados por exponen iais.

iv) Os ilador harmni o superamorte ido: quando γ2 > 4mk. No aso F (s) = 0, temos:

Y (s) =msy0 +my′0 + γy0

ms2 + γs+ k=

msy0 +my′0 + γy0

m(s+ γ

2m

)2 − γ2

4m+ k

,

onde − γ2

4m+ k < 0. Olhando os itens 15 e 16 da tabela de transformada A.1 e ombi-

nando om a propriedade 3, on luímos que as soluções são são senos e ossenos hiper-

bóli os multipli ados por exponen iais, ou seja, somas de exponen iais puras (lembre-se

que 2 senh(at) = eat − e−ate 2 cosh(at) = eat + e−at

).

v) Os ilador harmni o riti amente amorte ido: quando γ2 = 4mk. No aso F (s) = 0,temos:

Y (s) =msy0 +my′0 + γy0

ms2 + γs+ k=

msy0 +my′0 + γy0

m(s+ γ

2m

)2 ,

Olhando para o item 3 da tabela de transformada A.1 e ombinando om a propriedade

3, on luímos que as soluções são polinmios multipli ados por exponen iais.

vi) Os ilador harmni o não amorte ido: quando γ = 0. No aso F (s) = 0, temos:

Y (s) =msy0 +my′0ms2 + k

=sy0 + y′0s2 + k

m

,

Olhando os items 13 e 14 da tabela de transformada A.1 on luímos que as soluções

são senos e ossenos puros.

Para ilustrar, tomemos um aso subamorte ido, por exemplo, γ = 2, m = 1 e k = 5,sujeitos às ondições ini iais y0 = 1 e y′0 = −2. A função Y (s) toma a forma:

Y (s) =s

s2 + 2s+ 5.

A transformada inversa nos leva a solução do problema:

y(t) = L−1

s

s2 + 2s+ 5

.

Para al ular a inversa olhamos os itens 13 e 14 da tabela A.1 e es revemos

ss2+2s+5

numa

forma onveniente

s

s2 + 2s+ 5=

s

(s+ 1)2 + 4=

s+ 1

(s+ 1)2 + 4− 1

(s+ 1)2 + 4.

30CAPÍTULO 4. AS PROPRIEDADES DE TRANSLAÇO E DA TRANSFORMADA DA INTEGRAL

Usamos a propriedade 1 para on luir o resultado

y(t) = L−1

s+ 1

(s+ 1)2 + 22

− 1

2L−1

2

(s+ 1)2 + 22

= e−t cos(2t)− 1

2e−t sen(2t).

Para identi ar a amplitude e a fase, es revemos a expressão em termos de exponen ial vezes

osseno:

e−t

(

cos(2t)− 1

2sen(2t)

)

= Ae−t cos(2t + δ) = Ae−t (cos(2t) cos(δ)− sen(2t) sen(δ)) .

Isso é verdade se

A cos(δ) = 1

A sen(δ) =1

2

ou seja,

A =

√

1 +1

4=

√5

2

e δ é uma fase no primeiro quadrante onde

cos(δ) =2√5=

2√5

5,

o que impli a em δ ≈ 0, 463648 rad ≈ 26, 570. Portanto,

y(t) =

√5

2e−t cos(2t+ 0, 463648).

A gura 4.2 ilustra o grá o de y(t).

4.3 A função de Heaviside

A função de Heaviside ou função degrau unitário é nula para argumento negativo

e vale 1 para argumento positivo. Quando o argumento é zero a função não pre isa estar

denida (ou pode-se denir qualquer valor, dependendo do ontexto, por exemplo 1/2).Observe que esta é uma função ontínua por partes:

u(t) =

0, t < 01, t > 0.

(4.5)

A função de Heaviside om des ontinuidade em t = a é da forma

u(t− a) =

0, t < a1, t > a.

(4.6)

4.3. A FUNÇO DE HEAVISIDE 31

t

y(t)

√52e−t

−√52e−t

Figura 4.2:

1

t

u(t)

1

t

u(t− a)

a

Figura 4.3:

A gura 4.3 apresenta os grá os de u(t) e u(t− a) para a > 0.Observe que a representação grá a em t = a não está om o rigor matemáti o para

funções, pois deveria estar esboçado bolinhas abertas indi ando que em t = a a função não

está denida. Esse tipo de representação grá o é usado no ontexto de transformada de

Lapla e. Quando realmente for ne essário denir um transição em t = 0, toma-se uma

aproximação linear e ontínua para a função de Heaviside, hamada de função rampa:

gǫ(t) =

0, t < −ǫ12ǫt+ 1

2, −ǫ ≤ t ≤ ǫ

1, t > ǫ,

para ǫ << 1. A gura 4.4 ilustra o grá o de gǫ(t) para ǫ = 1/2.

32CAPÍTULO 4. AS PROPRIEDADES DE TRANSLAÇO E DA TRANSFORMADA DA INTEGRAL

1

t

u(t)

Figura 4.4:

A função de Heaviside é o limite de gǫ(t) se t 6= 0:

limǫ→0

gǫ(t) = u(t), t 6= 0.

Uma função importante em apli ações é a função pulso, denida por:

fp(t) =

0, t < a1, a < t < b0, t > b.,

(4.7)

om a < b A gura 4.5 apresenta uma representação grá a para a função pulso. A função

1

t

a b

u(t)

Figura 4.5:

pulso normalmente é representada em termos da diferença de duas função de Heaviside:

fp(t) = u(t− a)− u(t− b), a < b.

A função pulso geralmente indi a uma have liga-desliga. Por exemplo, o produto

fp(t)f(t) signi a que f estava desligada para t < a, f foi ligada em t = a e desligada

em t = b. Analogamente, o produto u(t − a)f(t) indi a que a função foi ligada em t = a.Observe o grá o de u(t− 1) sen(t) na gura 4.6.

Exemplo 22. Representar algebri amente em termos da função de Heaviside a função dada

no grá o da gura 4.7. Observe que podemos representar f(t) da seguinte forma:

f(t) =

0, t < 12, 1 < t < 3−3, 3 < t < 50, t > 5.

(4.8)

4.3. A FUNÇO DE HEAVISIDE 33

1

1 2 3 4 5 6 7

t

u(t− 1) sen(t)

Figura 4.6: Grá o da função u(t− 1) sen(t).

1

2

−1

−2

−3

1 2 3 4 5 6 7

t

f(t)

Figura 4.7:

Para representar em termos da função de Heaviside, olhe para o grá o pensando em dois

pulsos: 2(u(t− 1)− u(t− 3)) e −3(u(t− 3)− u(t− 5)). A soma deles é a função desejada:

f(t) = 2(u(t− 1)− u(t− 3))− 3(u(t− 3)− u(t− 5)).

Problema 12. Esbo e o grá o da função f(t) = (u(t)− u(t− 2π)) sen(t).

Problema 13. Es reva uma expressão em termos da função de Heaviside para a função

dada no grá o 4.8.

A transformada de Lapla e da função de Heaviside é obtida direto da denição. Primeiro

onsidere a ≥ 0:

Lu(t− a) =

∫ ∞

0

u(t− a)e−stdt

=

∫ ∞

a

e−stdt

=1

−se−st

∣∣∣∣

∞

a

=e−as

s. (4.9)

34CAPÍTULO 4. AS PROPRIEDADES DE TRANSLAÇO E DA TRANSFORMADA DA INTEGRAL

1

2

1 2 3 4 5 6 7

t

f(t)

Figura 4.8:

Se a < 0, então

Lu(t− a) = L1 =1

s.

4.4 Propriedade do deslo amento no eixo t

Propriedade 4. Se F (s) é a transformada de f(t), então f(t− a)u(t− a) é a transformada

inversa de e−asF (s), isto é

Lu(t− a)f(t− a) = e−asF (s), a > 0 (4.10)

ou

L−1e−asF (s)

= u(t− a)f(t− a), a > 0. (4.11)

Demonstração. Apli amos a denição da transformada de Lapla e e obtemos:

Lu(t− a)f(t− a) =

∫ ∞

0

u(t− a)f(t− a)e−stdt

=

∫ a

0

u(t− a)f(t− a)e−stdt+

∫ ∞

a

u(t− a)f(t− a)e−stdt

=

∫ ∞

a

f(t− a)e−stdt,

pois u(t− a) é zero no intervalo [0, a) e um no intervalo (a,∞). Depois usamos a mudança

de variável v = t− a na última integral:

∫ ∞

a

f(t− a)e−stdt =

∫ ∞

0

f(v)e−s(v+a)dv = e−as

∫ ∞

0

f(v)e−svdv.

Logo,

Lu(t− a)f(t− a) = e−asLf(t) = e−asF (s).

Observe que tomando f(t) = 1 na propriedade 4, temos:

Lu(t− a) =e−as

s, a > 0 (4.12)

que oin ide om a fórmula al ulada na equação (4.9). Quando a = 0 na equação (4.12),

re aímos no item 1 da tabela A.1.

4.5. A PROPRIEDADE DA TRANSFORMADA DE LAPLACE DA INTEGRAL DE UMA FUNÇO35

Exemplo 23. Apli ando diretamente a propriedade 4 e usando que Lt2 = 2s3, al ulamos

a transformada inversa de Lapla e de e−3s 2s3:

L−1

e−3s 2

s3

= u(t− 3)(t− 3)2.

Problema 14. Use a propriedade 4, al ule a transformada inversa de Lapla e e esbo e um

grá o para ada item:

a) G(s) = e−2s ss2+4

b) G(s) = e−s 1s2

− 3e−3s 1s2

Exemplo 24. Vamos al ular a transformada inversa de Lapla e da função

F (s) = e−s 1

(s+ 1)2 − 1.

Primeiro al ulamos a transformada de

1(s+1)2−1

usando a propriedade 3

L−1

1

(s+ 1)2 − 1

= e−t senh(t).

Depois usamos a propriedade 4 para on luir

L−1

e−s 1

(s + 1)2 − 1

= u(t− 1)L−1

1

(s+ 1)2 − 1

= u(t− 1)e−(t−1) senh(t− 1).

Problema 15. Use a propriedade 3 e propriedade 4 para al ular a transformada inversa de

Lapla e

F (s) =e−2s(s− 1)

s2 − 2s+ 5.

4.5 A propriedade da transformada de Lapla e da inte-

gral de uma função

Propriedade 5. Se F (s) é a transformada de Lapla e de uma função ontínua por partes

f(t), então∫ t

0f(τ)dτ é a transformada inversa de

1sF (s), isto é

L∫ t

0

f(τ)dτ

=1

sF (s), (4.13)

ou

L−1

1

sF (s)

=

∫ t

0

f(τ)dτ. (4.14)

36CAPÍTULO 4. AS PROPRIEDADES DE TRANSLAÇO E DA TRANSFORMADA DA INTEGRAL

Demonstração. Seja g(t) =∫ t

0f(τ)dτ . Então g′(t) = f(t). Apli amos a propriedade da

transformada da derivada 13 e temos:

Lg′(t) = sLg(t) − g(0).

Usando o fato que g(0) = 0, temos

L∫ t

0

f(τ)dτ

= Lg(t)

=1

sLg′(t)

=1

sLf(t)

=1

sF (s).

Essa propriedade será útil na apli ação de um ir uito RC dis utido na seção 4.6.

4.6 Apli ação: ir uito RC a um pulso de amplitude V0.

Considere o ir uito Resistor/Capa itor representado na gura 4.9 om uma tensão V (t)apli ada do tipo pulso,

V (t) = V0 (u(t− a)− u(t− b)) .

ou seja, o ir uito estava em repouso até t = a e foi apli ada a tensão V0 entre t = a e t = b.

CR

V

Figura 4.9:

O modelo para a orrente i(t) obede e a lei de Kir ho:

Ri(t) +1

Cq(t) = V (t), (4.15)

4.6. APLICAÇO: CIRCUITO RC A UM PULSO DE AMPLITUDE V0. 37

onde q(t) é a arga no apa itor,

1Cq(t) é a tensão no apa itor de apa itân ia C e Ri(t)

é a tensão no resistor de resistên ia R. Usando o fato que q(t) =∫ t

0i(τ)dτ , obtemos uma

equação integral para i(t):

Ri(t) +1

C

∫ t

0

i(τ)dτ = V0 (u(t− a)− u(t− b)) .

Para resolver esse problema de valor in ial, apli amos a transformada de Lapla e na equação

a ima e usamos a propriedade 5:

Li(t) + 1

sRCLi(t) =

V0

Rs

(e−as − e−bs

),

ou seja, obtemos a seguinte equação subsidiária:

sI(s) +1

RCI(s) =

V0

R

(e−as − e−bs

),

onde I(s) = Li(t). Logo,

I(s) =V0C

RCs+ 1

(e−as − e−bs

)=

V0

R

1

s+ 1RC

(e−as − e−bs

).

O item 7 da tabela de transformadas A.1 nos dá L−1

1s−d

= edt. Tome d = − 1

RCe obtemos

L−1

1

s + 1RC

= e−t

RC .

Agora, usamos a propriedade 4 do deslo amento no eixo t para al ular a função orrente:

i(t) = L−1

V0

R

1

s+ 1RC

(e−as − e−bs

)

=V0

R

[

L−1

1

s+ 1RC

e−as

− L−1

1

s+ 1RC

e−bs

]

=V0

R

[

u(t− a)e−(t−a)RC − u(t− b)e−

(t−b)RC

]

=V0

R

[

u(t− a)ea

RC − u(t− b)eb

RC

]

e−t

RC .

Olhando numa notação de função denida por partes, podemos es re er

i(t) =

0, t < a

Ae−t

RC , a < t < b,

(A− B) e−t

RC , t > b,

onde

A =V0

Re

aRC

e B =V0

Re

bRC .

38CAPÍTULO 4. AS PROPRIEDADES DE TRANSLAÇO E DA TRANSFORMADA DA INTEGRAL

1

2

3

−1

1 2 3 4 5−1

t

i(t)

Figura 4.10:

1

2

3

−1

1 2 3 4 5−1

t

q(t)

Figura 4.11:

Observe que A > 0, B > 0 e A < B, ou seja, para t > b a orrente é negativa e se aproxima

exponen ialmente de zero. Essa é a hamada orrente de des arga. A gura 4.10 apresenta

um grá o da orrente quando a = 0.5, b = 2, R = 1Ω, C = 1F e V0 = 3V .

Agora, vamos obter o modelo para a arga q(t). Voltamos a equação (4.15) e usamos

i(t) = dq(t)dt

Rq′(t) +1

Cq(t) = V0 (u(t− a)− u(t− b)) .

Obtemos a equação subsidiária apli ando a transformada de Lapla e:

R (sQ(s)− q(0)) +1

CQ(s) =

V0

s

(e−as − e−bs

).

onde Q(s) = Lq(t). Como o fenmeno estava em repouso no iní io, q(0) = 0. A solução

4.7. EXERCÍCIOS 39

da equação subsidiária é

Q(s) =C

RCs+ 1

V0

s

(e−as − e−bs

)=

V0

R

1

s(s+ 1

CR

)(e−as − e−bs

).

O item 11 da tabela A.1 nos dá

L−1

1

(s− d1)(s− d2)

=1

d1 − d2

(ed1t − ed2t

).

Colo amos d1 = 0, d2 = − 1CR

L−1

1

s(s+ 1

CR

)

= CR(

1− e−t

CR

)

.

Agora usamos a propriedade 4 da translação no eixo t e obtemos:

q(t) = CV0

(

u(t− a)(

1− e−t−aCR

)

− u(t− b)(

1− e−t−bCR

))

.

Olhando numa notação de função denida por partes, podemos es re er

q(t) =

0, t < a

CV0

(

1− e−t−aCR

)

, a < t < b,

CV0

(

e−t−bCR − e−

t−aCR

)

, t > b,

A gura 4.11 apresenta um grá o da arga quando a = 0.5, b = 2, R = 1Ω, C = 1 F e

V0 = 3V . Observe a onsitên ia om o grá o da gura 4.10.

4.7 Exer í ios

Exer í io 4.1 Esbo e o grá o das seguintes funções:

a) (t− π)u(t− π)

b) t u(t− 2)

) (sen t)u(t− π)

d) f(t) = u(t− 1) + 3u(t− 3)− 4u(t− 5)

e) f(t) = tu(t) + (t2 − t)u(t− 1) + (6− t− t2)u(t− 2) + (t− 6)u(t− 6)

f) f(t) = [u(t) + u(t− 1)]2

g) f(t) = u(t− 1) [1− u(t− 2)]

40CAPÍTULO 4. AS PROPRIEDADES DE TRANSLAÇO E DA TRANSFORMADA DA INTEGRAL

Exer í io 4.2 Cal ule a transformada de Lapla e para ada item do exer í io 4.1.

Exer í io 4.3 Es reva uma expressão para ada função em termos da função de Hea-

viside.

a)

1

2

−1

−2

1 2 3 4 5 6

t

f(t)

b)

1

2

−1

−2

1 2 3 4 5 6

t

f(t)

)

1

1 2 3 4 5 6

t

f(t)

d)

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6

t

f(t)

4.7. EXERCÍCIOS 41

Exer í io 4.4 Cal ule a transformada de Lapla e para ada item do exer í io 4.3.

Exer í io 4.5

a) Use os itens ) e d) do exer í io 4.3 e a propriedade da translação no eixo t para al ulara transformada de Lapla e das seguintes funções:

1

1 2 3 4 5 6

t

f(t)

b)

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6

t

f(t)

Exer í io 4.6 Utilize a propriedade do deslo amento no eixo s para en ontrar a trans-

formada de Lapla e de:

(a) t2e3t

(b) e−2t sen 4t

( ) e4t cosh(5t)

(d) e−2t (3 cos(6t)− 5 sen(6t))

Exer í io 4.7 Use as propriedades de translação e a tabela de transformadas para

al ular as transformadas inversa de Lapla e da função F (s):

a) F (s) =2s

s2 + 2s+ 5

b) F (s) =2s− 2

(s2 − 2s+ 5)(s2 − 2s+ 10)

42CAPÍTULO 4. AS PROPRIEDADES DE TRANSLAÇO E DA TRANSFORMADA DA INTEGRAL

) F (s) =2e−4s

s2 − 4

d) F (s) = 2e−2s

(s− 3)(s− 1)

e) F (s) =2s

s2 + 2s+ 5e−s

f) F (s) =2s− 2

(s2 − 2s+ 5)(s2 − 2s+ 10)e−3s

Exer í io 4.8 En ontre a transformada inversa das funções F (s) abaixo:

(a)

nπ

(s+ 2)2 + n2π2

(b)

s

(s+ 3)2 + 1

( )

6s− 4

s2 − 4s+ 20

(d)

4s+ 12

s2 + 8s+ 16

Exer í io 4.9 Use a transformada de Lapla e para resolver os seguintes problemas de

valor ini ial

a)

y′′ + 5y′ + 6y = 12et,y(0) = 1,y′(0) = −1

b)

y′′ + 5y′ + 6y = 6u(t− 3),y(0) = 1,y′(0) = −1

Exer í io 4.10 Esbo e o grá o e al ule a transformada de Lapla e das seguintes

funções:

a) f(t) = tu(t− 1)

b) f(t) = t2u(t− 1)

Exer í io 4.11 Mostre que:

4.7. EXERCÍCIOS 43

(a) Lcosh(at) sen(at) =a(s2 + 2a2)

s4 + 4a4

(b) Lsenh(at) cos(at) =a(s2 − 2a2)

s4 + 4a4

( ) Lsenh(at) sen(at) =2a2s

s4 + 4a4

A partir destas, mostre que

L−1

1

s4 + 4a4

=1

4a3[cosh(at) sen(at)− senh(at) cos(at)] .

Exer í io 4.12 (Ressonân ia) Considere o os ilador harmni o não amorte ido om

termo forçante F (t) = F0 sen(√

kmt)

des rito pelo problema de valor ini ial

my′′(t) + ky(t) = F (t)y(0) = 0y′(0) = 0

.

Use o método de transformada de Lapla e para al ular a solução, observando que a frequên-

ia de os ilação natural do sistema oin ide om a frequên ia do termo forçante.

Exer í io 4.13 Considere o os ilador harmni o amorte ido om termo forçante

F (t) = 2(u(t− 1)− u(t− 2)) des rito pelo problema de valor ini ial

y′′(t) + 3y′(t) + 2y(t) = F (t)y(0) = 0y′(0) = 0

.

Use o método de transformada de Lapla e para al ular a solução.

Exer í io 4.14 Considere o seguinte problema de segunda ordem que modela um

sistema massa-mola-amorte edor

my′′(t) + αy′(t) + κy(t) = f(t)

Onde f(t) é a força externa e a ondições ini iais y(0) e y′(0) são nulas. Supondo m = 4 e

κ = 1, responda às alternativas a seguir:

a) En ontre o onjunto de valores α para que o sistema seja amorte ido.

b) En ontre o onjunto de valores α para que o sistema seja sub-amorte ido.

) En ontre o onjunto de valores α para que o sistema seja riti amente amorte ido.

44CAPÍTULO 4. AS PROPRIEDADES DE TRANSLAÇO E DA TRANSFORMADA DA INTEGRAL

d) En ontre o onjunto de valores α para que o sistema seja superamorte ido.

e) En ontre a resposta y(t) do sistema riti amente amorte ido quando f(t) = delta(t−1).

Exer í io 4.15 Use a propriedade da transformada da integral para al ular f(t)

sabendo que Lf é:

(a)

5

s3 − 5s

(b)

10

s3 − πs2

( )

1

s4 + s2

Exer í io 4.16 En ontre g(t) e faça um esboço de seu grá o, sendo Lg(t) igual a:

(a)

2e−2s − 2e−4s

s

(b)

e−as

s2

( )

se−πs

s2 + 4

(d)

e−πs

s2 + 2s+ 2

(e)

e−s + e−2s − 3e−3s + 6e−6s

s2

Capítulo 5

A função Delta de Dira e a propriedade

da onvolução

5.1 A função Delta de Dira

Muitos fenmenos físi os exigem a representação de uma força muito grande em um

intervalo de tempo muito pequeno, por exemplo:

• um ir uito elétri o re ebe uma força eletromotriz grande em um urto intervalo de

tempo.

• um sistema massa-mola é atingido por uma martelo.

• uma bola de futebol parada re ebe um hute, ou seja, uma força quase instantânea,

que a olo a em movimento.

• um avião é atingido por um raio.

Para representar essa força, vamos tomar a função pulso unitário em um urto intervalo de

tempo [−ǫ, ǫ] em torno da origem, isto é, um pulso om integral unitária:

δǫ(t) =1

2ǫ(u(t+ ǫ)− u(t− ǫ)) =

0, t < −ǫ12ǫ, −ǫ < t < ǫ

0, t > ǫ.

Um pulso unitário em torno de t = a é representado por

δǫ(t− a) =1

2ǫ(u(t− (a− ǫ))− u(t− (a+ ǫ))) =

0, t < a− ǫ12ǫ, a− ǫ < t < a+ ǫ

0, t > a + ǫ.(5.1)

Observe que

∫∞−∞ δǫ(t − a) = 1 para qualquer ǫ > 0. A gura 5.1 apresenta o grá o de

δǫ(t− a) para a > 0 e ǫ = 1, ǫ = 12, ǫ = 1

4, ǫ = 1

8e ǫ = 1

12.

A função que representa uma grande força instantânea é hamada de função impulso

ou função Delta de Dira e pode ser denida pelo limite das funções pulsos:

δ(t− a) = limǫ→0

δǫ(t− a).

45

46CAPÍTULO 5. A FUNÇODELTA DE DIRAC E A PROPRIEDADE DA CONVOLUÇO

Este limite não pode ser interpretado pontualmente, isto é, omo o limite usual de funções

reais, mas apenas no ontexto de uma integral, omo veremos.

A gura 5.1 apresenta o grá o de δǫ(t−a) quando ǫ diminui e uma representação grá a

para δ(t− a).

t

δǫ(t− a), a = 1 e ǫ = 1

a

t

δǫ(t− a), a = 1 e ǫ = 12

a

t

δǫ(t− a), a = 1 e ǫ = 14

a

t

δǫ(t− a), a = 1 e ǫ = 18

a

t

δǫ(t− a), a = 1 e ǫ = 112

a

t

δ(t− a), a = 1

a

Figura 5.1:

Observação 3. A função delta de Dira pode ser denida omo limite de outras sequên ias

de funções om propriedades análogas a sequên ia de pulsos. Por exemplo, podemos denir

δ(t) omo limite das funções

fǫ(t) =1

ǫ√πe−

t2

ǫ2

A função Impulso é zero em todo ponto, ex eto em t = a:

δ(t− a) =

0, t 6= a∞, t = a

5.1. A FUNÇO DELTA DE DIRAC 47

e ∫ ∞

−∞δ(t− a)dt = 1

A função Delta de Dira deve ser sempre ompreendida omo o limite de funções reais no

ontexto de uma integração, isto onduz à hamada propriedade da ltragem, que dene

totalmente a Delta da Dira :

Se f(t) for um função ontínua em torno de t = a, então∫ ∞

−∞δ(t− a)f(t)dt = f(a). (5.2)

Para hegar a esta on lusão, denimos F (t) =∫ t

af(τ)dτ e al ulamos:

∫ ∞

−∞δ(t− a)f(t)dt = lim

ε→0+

∫ ∞

−∞δε(t− a)f(t)dt

=1

2ε

∫ ε

−ε

f(t)dt

=F (ε)− F (−ε)

2ε= F ′(0) = f(a).

5.1.1 Delta de Dira omo derivada distribu ional da função Hea-

viside

Na equação (5.1) denimos a função Delta de Dira omo

δ(t− a) = limǫ→0

1

2ǫ(u(t− (a− ǫ))− u(t− (a+ ǫ))) .

Por outro lado, usamos a denição de derivada para es rever

limǫ→0

1

2ǫ(u((t− a) + ǫ))− u((t− a)− ǫ))) =

d

dtu(t− a)

ou seja,

δ(t− a) =d

dtu(t− a).

Observe que as funções de Heaviside e de Dira não são funções no sentido do ál ulo di-

feren ial e integral. Naturalmente, a derivada a ima também vale somente num sentido

generalizado, mas é oerente quando olhamos a função de Heaviside omo limite de funções

rampas (ver gura 4.4), pois na origem a derivada tende ao innito.

A transformada de Lapla e de função Delta de Dira é obtido pela propriedade da ltra-

gem dada na equação (5.2):

Lδ(t− a) =

∫ ∞

0

δ(t− a)e−stdt = e−as. (5.3)

Problema 16. Resolva o seguinte problema de valor ini ial:

y′′ − 2y′ = 1 + δ(t− 2)y(0) = 0y′(0) = 1

48CAPÍTULO 5. A FUNÇODELTA DE DIRAC E A PROPRIEDADE DA CONVOLUÇO

5.2 Apli ação: ir uito RLC a um pulso de amplitude V0.

Considere o ir uito Resistor/Capa itor/Indutor representado na gura 5.2 om uma

tensão V (t) apli ada do tipo pulso,

V (t) = V0 (u(t− a)− u(t− b)) .

L

CR

V

Figura 5.2:

O modelo para a orrente i(t) obede e a lei de Kir ho:

Li′(t) +Ri(t) +1

Cq(t) = V0 (u(t− a)− u(t− b)) , (5.4)

onde q(t) é a arga no apa itor,

1Cq(t) é a tensão no apa itor de apa itân ia C, Ri(t) é a

tensão no resistor de resistên ia R e Li′(t) é a tensão no indutor de indutân ia L. Considereas ondições ini iais i(0) = 0 e q(0) = 0.

Dado que

dq(t)dt

= i(t), derivamos a equação (5.4) para obter a seguinte equação diferen ial:

Li′′(t) +Ri′(t) +1

Ci(t) = V0 (δ(t− a)− δ(t− b)) , (5.5)

onde usamos que a derivada da função de Heaviside é a função delta de Dira . As ondições

ini iais para a equação (5.5) são i′(0) = 0 e i(0) = 0. Com o objetivo de resolver a problema

de valor ini ial, apli amos a transformada de Lapla e para obter a equação subsidiária

Ls2I(s) +RsI(s) +1

CI(s) = V0

(e−as − e−bs

),

5.2. APLICAÇO: CIRCUITO RLC A UM PULSO DE AMPLITUDE V0. 49

que tem solução

I(s) =V0

(e−as − e−bs

)

Ls2 +Rs+ 1C

=1

L

V0

(e−as − e−bs

)

(s+ R

2L

)2 −(

R2L

)2+ 1

LC

=V0

L

[

e−as

(s+ R

2L

)2+ η

− e−bs

(s+ R

2L

)2+ η

]

onde

η =1

LC−(

R

2L

)2

.

Vamos exempli ar os asos subamorte ido, superamorte ido e riti amente amorte ido to-

mando V0 = 10V , a = 1 e b = 5:

• Caso subamorte ido (η > 0): es olhemos o aso onde L = 1 H, C = 110

F e R = 2Ω.Nesse aso

I(s) = 10

[e−s

(s+ 1)2 + 9− e−5s

(s+ 1)2 + 9

]

.

Logo,

i(t) =10

3

(u(t− 1)e−(t−1) sen (3(t− 1))− u(t− 5)e−(t−5) sen (3(t− 5))

).

O grá o da orrente é apresentado na gura 5.3.

1

2

3

−1

−2

1 2 3 4 5 6 7 8−1

t

i(t)

Figura 5.3:

50CAPÍTULO 5. A FUNÇODELTA DE DIRAC E A PROPRIEDADE DA CONVOLUÇO

• Caso superamorte ido (η < 0): es olhemos o aso onde L = 1H, C = 1 F e R = 4Ω.Nesse aso

I(s) = 10

[e−s

(s + 2)2 − 3− e−5s

(s+ 2)2 − 3

]

.

Logo,

i(t) = 10

(

u(t− 1)e−2(t−1)

√3

senh(√

3(t− 1))

− u(t− 5)e−2(t−5)

√3

senh(√

3(t− 5)))

=5√3u(t− 1)

(

e(√3−2)(t−1) − e−(

√3+2)(t−1)

)

+

+5√3u(t− 5)

(

e(√3−2)(t−5) − e−(

√3+2)(t−5)

)

O grá o da orrente é apresentado na gura 5.4.

1

2

3

4

5

−1

1 2 3 4 5 6 7 8−1

t

i(t)

Figura 5.4:

• Caso riti amente amorte ido (η = 0): es olhemos o aso onde L = 1 H, C = 1 F e

R = 2Ω. Nesse aso

I(s) = 10

[e−s

(s+ 1)2− e−5s

(s+ 1)2

]

.

Logo,

i(t) = 10(u(t− 1)e−(t−1)(t− 1)− u(t− 5)e−(t−5)(t− 5)

).

O grá o da orrente é apresentado na gura 5.5.

5.3. APLICAÇO: CÁLCULO DA DEFLEXO EM VIGAS SUJEITAS A CARGAS CONCENTRADAS51

1 2 3 4 5 6 7 8−1

t

i(t)

Figura 5.5:

5.3 Apli ação: ál ulo da deexão em vigas sujeitas a

argas on entradas

Considere uma viga elásti a horizontal de omprimento L sob a ação de forças verti ais.

Colo amos o eixo horizontal x om origem no extremo a esquerda da viga e, portanto, x = Lé o outro extremo. Supomos que a viga está sujeita a uma arga W (x) que provo a uma

deexão em ada ponto x ∈ [0, L]. Então, para pequenas deexões podemos aproximar a

urvatura k(x) pela variação instantânea de θ(x), onde θ(x) é o ângulo entre o eixo x e a

tangente, ou seja,

k(x) =dθ(x)

dx. (5.6)

Como

dy(x)

dx= tan(θ(x))

e, para θ(x) pequeno, tan(θ(x)) ≈ θ(x), temos:

dy(x)

dx= θ(x), (5.7)

Derivamos a equação (5.7) e substituímos na equação (5.6) para obter

d2y(x)

dx2= k(x). (5.8)

Por outro lado, a lei de Hooke para materiais nos dá k(x) = M(x)EI

, onde E é o módulo de

Young, I é o momento de inér ia da viga e M(x) é o momento etor. Assim, substituindo

na equação (5.8),

d2y(x)

dx2=

M(x)

EI. (5.9)

52CAPÍTULO 5. A FUNÇODELTA DE DIRAC E A PROPRIEDADE DA CONVOLUÇO

A variação do momento de inér ia M(x) é a força de isalamento V (x):

d

dxM(x) = V (x)

e a variação da força de isalamento é a arga:

d

dxV (x) = W (x).

Logo,

d2

dx2M(x) = W (x). (5.10)

Derivamos a equação (5.9) duas vezes e substituímos na equação (5.10) para obter a equação

de Euler-Bernoulli:

d4

dx4y(x) =

1

EIW (x). (5.11)

Consideraremos aqui uma viga engastada, ou seja:

y(0) = y′(0) = y(L) = y′(L) = 0.

A arga está on entrada na posição x = L3e tem intensidade P0, sendo modelada pela

seguinte expressão:

W (x) = P0δ

(

x− L

3

)

.

Apli ando a transformada de Lapla e em (5.11) e usando o fato que L(δ(x− L

3

))= e−

L3s,

obtemos

s4Y (s)− s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0) =P0

EIe−

L3s

Substituimos y(0) = y′(0) = 0, y′′(0) = C1 e y′′′(0) = C2 onde C1 e C2 são onstantes a

determinar:

s4Y (s)− sC1 − C2 =P0

EIe−

L3s

nalmente:

Y (s) =C1

s3+

C2

s4+

P0

EI

e−L3s

s4

e re uperamos a solução do domínio x através da transformada inversa de Lapla e:

y(x) =C1

2!x2 +

C2

3!x3 +

P0

EI

(x− L/3)3

3!u(x− L/3).

A expressão para y(x) pode ser es rita omo função denida por partes na forma:

y(x) =

C1

2!x2 + C2

3!x3, 0 ≤ x ≤ L

3C1

2!x2 + C2

3!x3 + P0

EI(x−L/3)3

3!, L

3< x ≤ L.

5.4. APLICAÇO: METABOLISMO DE UMA MEDICAÇO 53

Para al ular o valor das onstantes C1 e C2 al ulamos y(L) e y′(L) usando a segunda parte

da função y(x):

0 = y(L) =C1

2L2 +

C2

6L3 +

4

81

P0

EIL3

0 = y′(L) = C1L+C2

2L2 +

2

9

P0

EIL2

Colo ando na forma matri ial:

[L2

2L3

6

L L2

2

] [C1

C2

]

=

[− 4

81P0

EIL3

−29P0

EIL2 .

]

Invertemos a matriz do sistema para obter as onstantes C1 e C2:

[C1

C2

]

=12

L4

[L2

2−L3

6

−L L2

2

] [− 4

81P0

EIL3

−29P0

EIL2

]

,

o que resulta em C1 = 4P0L27EI

e C2 = − 20P0

27EI. A gura 5.6 apresenta o grá o da função y(x)

quando L = 5 e

P0

EI= 1.

12

−1 1 2 3 4 5 x

y(x)

Figura 5.6:

5.4 Apli ação: metabolismo de uma medi ação

Durante um período de onsumo de uma medi ação, a on entração da substân ia ingerida

na orrente sanguinea evolui segundo um modelo simples da seguinte forma:

• No aso de ausên ia de dosagens, a variação da on entração é propor ional a on en-

tração.

• O organismo metaboliza o medi amento om uma taxa τ .

• As doses de medi amento são liberadas e entra na orrente sanguinea instantaneamente

e homogeneamente.

O modelo que des reve esse fenmeno é

c′(t) +1

τc(t) = x(t), t > 0

54CAPÍTULO 5. A FUNÇODELTA DE DIRAC E A PROPRIEDADE DA CONVOLUÇO

onde c(t) é a on entração e x(t) representa a dosagem ao longo do tempo t. Em geral, as

dosagens não são úni as e são tomadas periodi amente. Seja c0 a on entração administrada

instantaneamente a ada período T , então

x(t) = c0 (δ(t) + δ(t− T ) + δ(t− 2T ) + δ(t− 3T ) + · · · )

Supondo que c(0) = 0, ou seja, ini ialmente não havia substân ia no organismo, vamos

al ular c(t).

Começamos apli ando a transformada de Lapla e:

sC(s) +1

τC(s) = c0

(1 + e−sT + e−2sT + e−3sT + · · ·

)= c0

∞∑

n=0

(e−sT

)n.

e en ontramos:

C(s) =

(c0

s+ 1τ

) ∞∑

n=0

(e−sT

)n.

Cal ulamos a transformada inversa usando a propriedade do deslo amento no eixo s.

c(t) = c0

(

e−tτ + e−

t−Tτ u(t− T ) + e−

t−2Tτ u(t− 2T ) + e−

t−3Tτ u(t− 3T ) + · · ·

)

= c0e− t

τ

(

1 + eTτ u(t− T ) + e

2Tτ u(t− 2T ) + e

3Tτ u(t− 3T ) + · · ·

)

O grá o da on entração é apresentado na gura 5.7, usando c0 = 1, τ = 1 e T = 1. O salto

1

2

1 2 3 4 5

t

c(t)

Figura 5.7:

em ada des ontinuidade é exatamente c0, pois os limites laterais são

limt→nT−

c(t) = limt→nT−

(

c0e− t

τ

(

1 + eTτ + e

2Tτ + · · ·+ e

(n−1)Tτ

))

=(

c0e−nT

τ

(

1 + eTτ + e

2Tτ + · · ·+ e

(n−1)Tτ

))

=(

c0

(

e−nTτ + e−

(n−1)Tτ + e−

(n−2)Tτ + · · ·+ e−

Tτ

))

5.5. PROBLEMAS NA ORIGEM 55

e

limt→nT+

c(t) = limt→nT+

(

c0e− t

τ

(

1 + eTτ + e

2Tτ + · · ·+ e

(n−1)Tτ + e

nTτ

))

=(

c0e−nT

τ

(

1 + eTτ + e

2Tτ + · · ·+ e

(n−1)Tτ + e

nTτ

))

=(

c0

(

e−nTτ + e−

(n−1)Tτ + e−

(n−2)Tτ + · · ·+ e−

Tτ + 1

))

,

que possuem diferença igual a c0.Observe que quando al ulamos o limite lim

t→0+c(t) obtemos c(0+) = c0, valor diferente da

ondição ini ial dada, que é c(0) = 0. Apesar de pare er estranho, não está errado. Tudo

é onsequên ia da presença do Dira em t = 0, que produz uma dis ontinuidade na origem.

Este assunto será dis utido na seção 5.5.

5.5 Problemas na origem

Para entender melhor esse fenmeno, vamos onsiderar um problema um pou o mais

simples, dado pelo seguinte problema de valor ini ial:

y′(t) + y(t) = δ(t)

y(0) = 0

Tomando a Transformada de Lapla e, temos:

sY (s)− y(0) + Y (s) = 1

ou seja, Y (s) = 1s+1

, o que impli a

y(t) = e−t.

Observamos que y(0) = 1 6= 0, ou seja, a ondição ini ial não é satisfeita.

Para entendermos o que está a onte endo, devemos lembrar que a Transformada de La-

pla e só produz a solução para t > 0 e interpretar y(t) omo

y(t) = u(t)e−t.

Desta forma y(0) simplesmente não está denido. De fato, para ompreender esse ompor-

tamento, vamos denir um problema auxiliar olo ando no lugar da função delta de Dira

uma função pulso:

y′(t) + y(t) = u(t)−u(t−ε)ε

y(0) = 0

onde ε é uma onstante positiva pequena. Sabemos que o termo

u(t)− u(t− ε)

ε

56CAPÍTULO 5. A FUNÇODELTA DE DIRAC E A PROPRIEDADE DA CONVOLUÇO

onverge para δ(t) quando ε → 0+. Apli ando a Transformada de Lapla e e resolvendo para

Y (s), temos:

Y (s) =1

s(s+ 1)

1− e−εs

ε=

(1

s− 1

s+ 1

)1− e−εs

ε,

ou seja,

y(t) =1− e−t

εu(t)− u(t− ε)

1− e−(t−ε)

ε.

Esta solução pode ser es rita omo uma função ontínua:

y(t) =

0, t ≤ 0,

1−e−t

ε, 0 < t ≤ ε,

eε−1ε

e−t, t ≥ ε.

Para ε > 0 pequeno podemos usar a seguinte aproximação:

et = 1 + t+t2

2+

t3

3!+ . . . ≈ 1 + t

Assim, temos:

y(t) ≈

0, t ≤ 0,

tε, 0 < t ≤ ε,

e−t, t ≥ ε.

Ou seja, existe uma pequena região de transição entre 0 e ε onde a solução y(t) sobe

rapidamente. O grá o apresentado na gura 5.8 mostra o omportamento de y(t) para

ε = 0.2, ε = 0.1 e ε = 0.05 em azul, vermelho e verde, respe tivamente, assim omo a solução

limite e−tu(t) em preto.

1

0 1 2

Figura 5.8:

5.6. PROPRIEDADE DA CONVOLUÇO 57

5.6 Propriedade da onvolução

Dada duas funções ontínuas por partes em [0,∞], a onvolução de f e g denotada por

f ∗ g é denida pela integral

(f ∗ g)(t) =∫ t

0

f(τ)g(t− τ)dτ. (5.12)

Exemplo 25. Dadas f(t) = et e g(t) = cos(t), vamos al ular f ∗ g:

(f ∗ g)(t) =

∫ t

0

eτ cos(t− τ)dτ

=1

2eτ (cos(t− τ)− sen(t− τ))

∣∣∣∣

t

0

=1

2

(et − cos(t) + sen(t)

).

onde usamos que

∫eτ cos(t− τ)dτ = 1

2eτ (cos(t− τ)− sen(t− τ)) + onstante.

Problema 17. Mostre que f ∗ g = g ∗ f .

Propriedade 6. Se F (s) = Lf(t) e G(s) = Lg(t), então

L(f ∗ g)(t) = F (s)G(s). (5.13)

ou

L−1F (s)G(s) = (f ∗ g)(t). (5.14)

Demonstração. Partimos da denição das transformadas:

F (s) = Lf(t) =

∫ ∞

0

f(t)e−stdt

e

G(s) = Lg(τ) =

∫ ∞

0

g(τ)e−sτdτ.

Logo,

F (s)G(s) =

∫ ∞

0

f(t)e−stdt

∫ ∞

0

g(τ)e−sτdτ

=

∫ ∞

0

f(t)

∫ ∞

0

g(τ)e−s(t+τ)dτdt

Mantemos t xo e fazemos a mudança de variável v = t+ τ para obter:

F (s)G(s) =

∫ ∞

0

f(t)

∫ ∞

t

g(v − t)e−svdvdt

58CAPÍTULO 5. A FUNÇODELTA DE DIRAC E A PROPRIEDADE DA CONVOLUÇO

Agora, vamos mudar a ordem de integração na região que é a metade inferior do primeiro

quadrante: em vez de variar v em [t,∞] depois t em [0,∞], primeiro vamos variar t em [0, v],depois v em [0,∞], ou seja,

F (s)G(s) =

∫ ∞

0

∫ v

0

f(t)g(v − t)e−svdtdv

=

∫ ∞

0

(∫ v

0

f(t)g(v − t)dt

)

e−svdv

=

∫ ∞

0

(f ∗ g)e−svdv

= Lf ∗ g

Exemplo 26. Vamos al ular a transformada inversa de

s(s−1)(s2+1)

. Primeiro observamos

que a expressão pode ser es rita omo um produto de duas funções tabelas:

s

(s− 1)(s2 + 1)=

1

s− 1

s

s2 + 1,

onde L−1

1s−1

= et e L−1

s

s2+1

= cos(t). Usando a propriedade 6 da onvolução, temos

L−1

1

s− 1

s

s2 + 1

=

∫ t

0

eτ cos(t− τ)dτ.

A onvolução a ima foi al ulada no exemplo 25, logo

L−1

1

s− 1

s

s2 + 1

=1

2

(et − cos(t) + sen(t)

).

A propriedade 6 da onvolução pode ser útil para resolver equações integrais, omo vere-

mos no próximo exemplo.

Exemplo 27. Vamos resolver a seguinte equação integral:

y(t) = 4 + 9

∫ t

0

y(τ)(t− τ)dτ.

Apli amos a transformada de Lapla e e usamos a propriedade 6 da onvolução om f(t) =y(t) e g(t) = t para obter:

Ly(t) =4

s+ 9Ly(t)Lt

ou seja,

Y (s) =4

s+ 9Y (s)

1

s2.

Logo,

Y (s) =s2

s2 − 9

4

s=

4s

s2 − 9.

Portanto,

y(t) = 4 cosh(3t)

5.7. EXERCÍCIOS 59

Problema 18. Resolva a seguinte equação integral:

y(t) = t +

∫ t

0

y(τ) sen(t− τ)dτ

5.7 Exer í ios

Exer í io 5.1 Considere as funções fε(t) e gε(t) dadas por

fε(t) =

tε2, 0 ≤ t < ε

2ε−tε2

, ε ≤ t < 2ε

0, t ≥ 2ε

gε(t) =

1ε2, 0 ≤ t < ε

− 1ε2, ε < t < 2ε

0, t > 2ε

onde ε é um parâmetro positivo.

a) Esbo e sob o mesmo plano artesiano o grá o da função fε para ε = 1, ε = 12e ε = 1

4.

Faça o mesmo em outro plano artesiano para a função gε(t). Lembre de indi ar os

eixos e pontos notáveis (ex. pontos de zero e máximo)

b) Cal ule as transformada de Lapla e, Fε(s) = Lfε(t) e Gε(s) = Lgε(t). Aqui ε é

um parâmetro positivo genéri o.

) Estude o omportamento das funções fε(t), gε(t), Fε(s) e Gε(s) no limite ε → 0+.Dis uta os resultados obtidos analisando as função no domínio tempo e no domínio

frequên ia (s). Qual a relação que se observa entre fε(t) e gε(t) e entre suas transfor-

madas de Lapla e?

Exer í io 5.2 Um apa itor de apa itân ia C está ini ialmente arregado de forma

que seu poten ial seja V0. A partir de t = 0, o apa itor se des arrega através de um resistor

de resistên ia R (veja gura 5.9). Use o método da transformada de Lapla e para en ontrar

a arga q(t) no apa itor.

Exer í io 5.3 Dado o ir uito LC da gura 5.10, en ontre a orrente i(t) e faça seu

grá o, assumindo L = 1 H, C = 1 F, orrente ini ial nula, arga ini ial no apa itor nula e

V (t) = u(t)− u(t− a).

60CAPÍTULO 5. A FUNÇODELTA DE DIRAC E A PROPRIEDADE DA CONVOLUÇO

CR

V

Figura 5.9:

CL

V

Figura 5.10:

Exer í io 5.4 Dado o ir uito RLC da gura 5.11, en ontre a orrente i(t), assumindo

que a orrente e a arga ini iais sejam nulas e que R = 2 Ω, L = 1 H, C = 1/2 F e

V (t) =

1, se t ∈ (0, 2)0, se t > 2

Exer í io 5.5 Dada a equação do movimento de um os ilador harmni o simples

(OHS)

− ky(t)− γy′(t) + f = my′′(t), (5.15)

al ule a resposta y(t) deste os ilador sujeito a forças externas f do tipo dado abaixo. Con-

sidere m = 1, k = 2, γ = 3, y(0) = 0 e y′(0) = 0.

(a) f(t) =

1, se t ∈ [1, 2]0, aso ontrário

5.7. EXERCÍCIOS 61

L

CR

V

Figura 5.11:

(b) f(t) = δ(t− 1)

Exer í io 5.6 Considere um OHS não amorte ido, isto é, γ = 0 na equação diferen ial

asso iada (5.15). Suponha que este os ilador está sujeito a uma força externa dada por

f = F0 sen(√

k/mt)

.

(a) Use o método da transformada de Lapla e para al ular as os ilações forçadas y(t),sabendo que y(0) = 0 e y′(0) = 0.

(b) Como se omporta o grá o destas os ilações? Que fenmeno físi o vo ê identi a?

Exer í io 5.7 En ontre por integração:

(a) 1 ∗ 1

(b) t ∗ et

( ) 1 ∗ cos(ωt)

(d) ekt ∗ e−kt

Exer í io 5.8 A har a solução dos seguintes problemas de valor ini ial:

(a)

y′′ + 2y′ + 2y = δ(t− π)y(0) = 1, y′(0) = 0

(b)

y′′ + 3y′ + 2y = δ(t− 5)− u(t− 10)y(0) = 0, y′(0) = 1/2

62CAPÍTULO 5. A FUNÇODELTA DE DIRAC E A PROPRIEDADE DA CONVOLUÇO

( )

y′′ + y = δ(t− 2π)y(0) = 0, y′(0) = 1

Exer í io 5.9 Justique as seguintes propriedades da operação de onvolução:

(a) f ∗ g = g ∗ f

(b) (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h)

( ) f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h

(d) (δ ∗ f)(t) = f(t)

[Di a: uidado para não onfundir as variáveis de integração que apare erão no item (b).

Exer í io 5.10 A equação do movimento de um OHS não amorte ido sujeito a os i-

lações forçadas pode ser es rita omo

y′′(t) + ω2y(t) = r(t), onde ω =

√

k

me r(t) =

f(t)

m.

(a) Pelo método da transformada de Lapla e, en ontre Y (s) = Ly(t).

(b) Com o auxílio do Teorema da Convolução, en ontre y(t) (em termos de R = Lr).

Exer í io 5.11 Use o Teorema da Convolução para al ular

L−1

(1

(s+ 1)(s2 + 1)

)

.

Exer í io 5.12 Use o Teorema da Convolução para resolver as seguintes equações

integrais:

(a) y(t) = 1 +

∫ t

0

y(τ) dτ

(b) y(t) = 1−∫ t

0

y(τ)(t− τ) dτ

( ) y(t) = tet − 2et∫ t

0

e−τy(τ) dτ

(d) y(t) = 1− senh t +

∫ t

0

(1 + τ)y(t− τ) dτ

5.7. EXERCÍCIOS 63

Exer í io 5.13 En ontre

(a) Ltu(t− 1) + t2δ(t− 1)

(b) L(cos t)(ln t)δ(t− π)

( ) Lδ(t− 1)et

64CAPÍTULO 5. A FUNÇODELTA DE DIRAC E A PROPRIEDADE DA CONVOLUÇO

Capítulo 6

Funções espe iais e equações om

oe ientes variáveis

Nesse apítulo dis utiremos a transformada de Lapla e envolvendo funções espe iais, tais

omo função de Bessel, função Gama e funções Seno Integrado. Também, desenvolvere-

mos ferramentas apaz de resolver alguns problemas de valor ini iais om oe ientes não

onstantes.

Para ini iar as dis ussões vamos demonstrar o item 6 da tabela A.1 no próximo exemplo.

Exemplo 28. Vamos al ular a transformada de Lapla e da funçao tk−1, dada por:

Ltk−1 =

∫ ∞

0

tk−1e−stdt.

Fazemos a mudança de variável x = st para obter:

Ltk−1 =

∫ ∞

0

xk−1

sk−1e−xdx

s

=1

sk

∫ ∞

0

xk−1e−xdx.

A função que apare e a ima é a multipli ação de

1sk

por uma que não depende de s, hamada

de função Gama e denotada por Γ(k). Portanto, demonstramos o item (6) da tabela A.1:

Ltk−1 =Γ(k)

sk, k > 0,

onde

Γ(k) =

∫ ∞

0

e−xxk−1dx.

Observe que o item 3 da tabela é

Ltn−1 =(n− 1)!

sn, n ∈ N.

65

66CAPÍTULO 6. FUNÇÕES ESPECIAIS E EQUAÇÕES COMCOEFICIENTES VARIÁVEIS

Isso nos indi a que, para que os itens 3 e 6 sejam onsistentes, Γ(n + 1) = n! se n ∈ N. De

fato, primeiro observe que, se k = (n+ 1) ∈ N, temos:

Γ(n + 1) =

∫ ∞

0

e−xxndx =[−e−xxn

]∞0−∫ ∞

0

(−e−x)nxn−1dx = n

∫ ∞

0

e−xxn−1dx = nΓ(n).

Como

Γ(1) =

∫ ∞

0

e−xdx =[−e−x

]∞0

= 1,

temos

Γ(2) = 1, Γ(3) = 2 · 1 = 2!, Γ(4) = 3Γ(3) = 3 · 2! = 3!, · · ·Logo, Γ(n + 1) = n! se n ∈ N.

Exemplo 29. Os itens 4 e 5 da tabela são asos parti ulares do item 6:

Lt− 12 =

Γ(12

)

s12

e

Lt 12 =

Γ(32

)

s32

.

Basta al ular os valores de Γ(12

)e Γ

(32

)para ompletar a demonstração. Começamos om

Γ(12

):

Γ

(1

2

)

=

∫ ∞

0

e−xx− 12dx =

∫ ∞

0

e−x

√xdx.

Fazendo a mudança de variáveis x = t2, obtemos dx = 2tdt e

Γ

(1

2

)

= 2

∫ ∞

0

e−t2dt

Utilizando a té ni a de Liouville, denimos:

I =

∫ ∞

0

e−t2dt

Logo

I2 =

∫ ∞

0

e−x2

dx

∫ ∞

0

e−y2dy =

∫ ∞

0

∫ ∞

0

e−(x2+y2)dxdy

A última integral é uma integral dupla que pode ser al ulada em oordenadas polares fazendo

r2 = x2 + y2 e dxdy = rdrdθ:

I2 =

∫ π2

0

∫ ∞

0

e−r2rdrdθ =π

2

[

−e−r2

2

]∞

0

=π

4

Assim,

I2 =π

4⇒ I =

√π

2

67

e

Γ

(1

2

)

= 2

∫ ∞

0

e−t2dt = 2I =√π.

Agora, usando a propriedade da função Gama que Γ(k + 1) = kΓ(k), temos:

Γ

(3

2

)

=1

2Γ

(1

2

)

=

√π

2.

Portanto, os itens 4 e 5 da tabela são válidos:

Lt− 12 =

√π√s

e

Lt 12 =

√π

2s32

.

Exemplo 30. Vamos al ular a transformada de Lapla e da função ln(t) (item 38 da tabela

A.2). Com esse objetivo, usamos a transformada de Lapla e de tk dada no item 6 da tabela

A.2: ∫ ∞

0

tke−stdt =Γ(k + 1)

sk+1.

Agora, omo o integrando do lado esquerdo é uma função ontínua e tem derivada par ial

om respeito a k ontínua podemos diferen iar ambos os lados om respeito ao parâmetro kusando a regra de Leibniz

d

dk

(∫ ∞

0

tke−stdt

)

=d

dk

(Γ(k + 1)

sk+1

)

⇓∫ ∞

0

tk ln(t)e−stdt =sk+1Γ′(k + 1)− Γ(k + 1)sk+1 ln(s)

s2(k+1)

Agora, fazemos k → 0 para obter

∫ ∞

0

ln(t)e−stdt =s1Γ′(1)− Γ(1)s1 ln(s)

s2,

ou seja,

∫ ∞

0

ln(t)e−stdt =Γ′(1)− ln(s)

s,

já que Γ(1) = 1. Do lado esquerdo apare e a transformada da função ln(t) e do lado direito

Γ′(1). Então al ulamos

Γ′(k) =

∫ ∞

0

xk−1 ln(x)e−xdx

e

Γ′(1) =

∫ ∞

0

ln(x)e−xdx = γ = 0.57721566490153286060651209008240243104215933593992...

Essa onstante γ é hamada de onstante de Euler - Mas heroni. Finalmente, on luímos

Lln(t) =γ − ln(s)

s

68CAPÍTULO 6. FUNÇÕES ESPECIAIS E EQUAÇÕES COMCOEFICIENTES VARIÁVEIS

6.1 Transformada de Lapla e de funções periódi as

Nesta seção apresentaremos uma propriedade da transformada de Lapla e de funções

periódi as e al ularemos algumas delas.

Propriedade 7. Seja f(t) uma função ontínua por partes e periódi a de período T . Entãosua transformada de Lapla e é da forma

Lf(t) =1

1− e−sT

∫ T

0

f(t)e−stdt.

Demonstração. Apli amos a denição e separamos a integral nos períodos da função f(t)para obter:

Lf(t) =

∫ ∞

0

f(t)e−stdt

=

∫ T

0

f(t)e−stdt+

∫ 2T

T

f(t)e−stdt+

∫ 4T

3T

f(t)e−stdt+ · · ·

=∞∑

n=0

∫ (n+1)T

nT

f(t)e−stdt.

Fazemos a mudança de variável τ = t− nT e obtemos

Lf(t) =

∞∑

n=0

∫ T

0

f(τ + nT )e−s(τ+nT )dτ

=∞∑

n=0

e−snT

∫ T

0

f(τ + nT )e−sτdτ.

Usando o fato que a função é periódi a, ou seja, f(τ) = f(τ + nT ), temos:

Lf(t) =

∞∑

n=0

e−snT

∫ T

0

f(τ)e−sτdτ

=

∫ T

0

f(τ)e−sτdτ

[ ∞∑

n=0

(e−sT

)n

]

=

∫ T

0

f(τ)e−sτdτ

[1

1− e−sT

]

=1

1− e−sT

∫ T

0

f(τ)e−sτdτ,

onde usamos a soma de uma série geométri a de razão e−sT.

Exemplo 31. Observe o ál ulo da transformada da função f(t) = cos(wt) sabendo que

∫

cos(wt)e−stdt =e−st (w sen(wt)− s cos(wt))

s2 + w2+ Constante

6.1. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNÇÕES PERIÓDICAS 69

e usando a propriedade 7:

Lcos(wt) =1

1− e−s 2πw

∫ 2πw

0

cos(wt)e−stdt

=1

1− e−s 2πw

[e−st (w sen(wt)− s cos(wt))

s2 + w2

] 2πw

0

=1

1− e−s 2πw

s− se−s 2πw

s2 + w2

=s

s2 + w2.

Exemplo 32. A função f(t) apresentada no grá o da gura 6.1 é hamada de onda qua-

drada de período 2a.

0

1

−1

t

f(t)

a 2a 3a 4a 5a 6a

Figura 6.1:

Cal ulamos a transformada de Lapla e usando a propriedade 7 olo ando T = 2a

Lf(t) =1

1− e−2sa

∫ 2a

0

f(t)e−stdt

=1

1− e−2sa

(∫ a

0

e−stdt−∫ 2a

a

e−stdt

)

=1

1− e−2sa

(1− 2e−as + e−2as

s

)

=1

(1− e−sa)(1 + e−sa)

((1− e−as)2

s

)

=1

s

1− e−as

1 + e−sa.

Multipli ando por eas2, podemos es rever a expressão em termos de funções hiperbóli as:

Lf(t) =1

s

eas2 − e−

as2

eas2 + e−

as2 )

=1

s

senh(as2

)

cosh(as2

)

=1

stanh

(as

2

)

.

70CAPÍTULO 6. FUNÇÕES ESPECIAIS E EQUAÇÕES COMCOEFICIENTES VARIÁVEIS

Exemplo 33. A função g(t) apresentada no grá oda gura 6.2 é hamada de onda trian-

gular de perído 2a.

0

1

t

g(t)

2a 4a 6a

Figura 6.2:

Para al ular a transformada de Lapla e, observe que:

a) A função g(t) representada na gura 6.2 tem omo derivada uma onda quadrada. De

fato, no intervalo [0, a], a derivada é

1ae no intervalo [a, 2a] a derivada é − 1

a. Esse

padrão se repete periodi amente. Logo, a derivada da onda triangular é a onda quadrada

multipli ada por

1a.

b) A propriedade 13 nos dá

Lg(t) =1

sLg′(t)+ 1

sg(0).

Logo,

Londa triangular =1

asLonda quadrada+ 1

s(onda triangular na origem),

e, portanto, usando o fato que a onda triangular vale zero na origem e o resultado do exemplo

32, temos

Lg(t) =1

as

1

stanh

(as

2

)

=1

as2tanh

(as

2

)

.

Exemplo 34. A função h(t) dada por

h(t) =

sen(wt), 0 < t < π

w

0, πw< t < 2π

w,,

h(t+ 2π

w

)= h(t), é hamada de reti ador de meia onda de período

2πw. A gura 6.3

apresenta o grá o da função h(t).

6.1. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNÇÕES PERIÓDICAS 71

0

1

t

h(t)

πw

2πw

3πw

4πw

5πw

6πw

Figura 6.3:

Cal ulamos a transformada de Lapla e usando a propriedade 7 om T = 2πw

Lf(t) =1

1− e−s 2πw

∫ 2πw

0

f(t)e−stdt

=1

1− e−s 2πw

∫ πw

0

sen(wt)e−stdt

=1

1− e−s 2πw

[

−e−st (sen(wt) + w cos(wt))

s2 + w2

] πw

0

=1

(1− e−sπw )(1 + e−

sπw )

w(1 + e−sπw )

s2 + w2

=1

1− e−sπw

w

s2 + w2

Exemplo 35. A função p(t) dada por

p(t) = | sen(wt)|

é hamada de reti ador de onda ompleta de período

πw. A gura 6.4 apresenta o grá o

da função p(t).

0

1

t

p(t)

πw

2πw

3πw

4πw

5πw

6πw

Figura 6.4:

72CAPÍTULO 6. FUNÇÕES ESPECIAIS E EQUAÇÕES COMCOEFICIENTES VARIÁVEIS

Cal ulamos a transformada de Lapla e usando a propriedade 7 om T = πw

Lp(t) =1

1− e−s πw

∫ πw

0

sen(wt)e−stdt

=1

1− e−s πw

[

−e−st (sen(wt) + w cos(wt))

s2 + w2

] πw

0

=1

1− e−sπw

w(1 + e−sπw )

s2 + w2

=w

s2 + w2

esπ2w + e−

sπ2w

esπ2w − e−

sπ2w

=w

s2 + w2coth

( πs

2w

)

Exemplo 36. A função q(t) dada por

q(t) = t

a, 0 ≤ t < a

q (t+ a) = q(t),

é hamada de onda dente de serra de período T = a. A gura 6.5 apresenta o grá o da

função q(t).

0

1

t

q(t)

a 2a 3a 4a 5a 6a

Figura 6.5:

Cal ulamos a transformada de Lapla e usando a propriedade 7 om T = a:

Lq(t) =1

1− e−sa

∫ a

0

t

ae−stdt

=1

1− e−sa

1

a

[

−e−st(1 + st)

s2

]a

0

=1

1− e−sa

1− e−sa(1 + as)

s2a

=1

1− e−sa

(1− e−sa − e−saas)

s2a

)

=1

as2− e−sa

s (1− e−sa).

6.2. SÉRIES DE POTÊNCIAS 73

6.2 Séries de potên ias

6.2.1 Transformada de Lapla e inversa de funções envolvendo ex-

pansão em séries de potên ias

Em algumas situações, é onveniente expandir em séries de potên ia um termo de uma

função para al ular sua transformada inversa. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 37. Vamos al ular a transformada inversa da função F (s) = 1(s+1)(1−e−s)

, usando

o fato que

1

1− e−s= 1 + e−s + e−2s + e−3s + · · · .

E, portanto, temos:

F (s) =1

s+ 1

[1 + e−s + e−2s + e−3s + · · ·

]

Como, pelo item 7 da tabela de transformadas L−1

1s+1

= e−t.

Apli ando a propriedade do deslo amento no eixo t, temos:

f(t) = e−t + u(t− 1)e−(t−1) + u(t− 2)e−(t−2) + u(t− 3)e−(t−3) + · · · .O grá o desta função é apresentado na gura 6.6.

0

1

2

1 2 3 4 5 6

t

f(t)

Figura 6.6:

Exemplo 38. Vamos al ular a transformada inversa da função F (s) = e−s

s2(1−e−s)

2

1−e−3s , usando

o fato que

1

1− e−3s= 1 + e−3s + e−6s + e−9s + · · · .

Agora observamos que se g(t) = L−1

e−s(1−e−s)

2

s2

, então:

g(t) = L−1

e−s(1− e−s)2

s2

= L−1

e−s (1− 2e−s + e−2s)

s2

= L−1

e−s − 2e−2s + e−3s

s2

= u(t− 1)(t− 1) + u(t− 2)(4− 2t) + u(t− 3)(2t− 4)

74CAPÍTULO 6. FUNÇÕES ESPECIAIS E EQUAÇÕES COMCOEFICIENTES VARIÁVEIS

Desta forma, pela propriedade do deslo amento em t, podemos es rever

f(t) = g(t) + u(t− 3)g(t− 3) + u(t− 6)g(t− 6) + u(t− 9)g(t− 9) + · · ·

= g(t) + g(t− 3) + g(t− 6) + g(t− 9) + · · · =∞∑

k=0

g(t− 3k)

o que impli a

f(t) =

∞∑

k=0

g(t−3k) =

∞∑

k=0

[u(t− 1− 3k)(t− 1− 3k) + u(t− 2− 3k)(4− 2t+ 6k) + u(t− 3− 3k)(2t− 4−

O grá o desta função é apresentado na gura 6.7.

0

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

t

f(t)

Figura 6.7:

6.2.2 Transformada de Lapla e de funções envolvendo expansão em

séries de potên ias

Nesta seção, vamos al ular a transformada de Lapla e usando a série de potên ias das

funções e a linearidade da transformada.

Exemplo 39. Vamos al ular LJ0(at) (item 31 da tabela A.2), onde J0(at) é a função de

Bessel de ordem zero dada por

J0(at) = 1−(at

2

)2

+1

(2!)2

(at

2

)4

− 1

(3!)2

(at

2

)6

+ · · · .

Apli ando o item 3 da tabela A.1, temos:

LJ0(at) = L1 −(a

2

)2

Lt2+

1

(2!)2

(a

2

)4

Lt4− 1

(3!)2

(a

2

)6

Lt6+ · · ·

=1

s−(a

2

)2 2!

s3+

1

(2!)2

(a

2

)4 4!

s5− 1

(3!)2

(a

2

)6 6!

s7+ · · ·

=1

s

[

1− 1

2

(a

s

)2

+1

2· 32· 12!

(a

s

)4

− 1

2· 32· 52· 13!

(a

s

)6

+ · · ·]

A série a ima está apresentada no item 10 da tabela A.4, onde usamos m = −12e x =

(as

)2.

Logo,

LJ0(at) =1

s

(

1 +(a

s

)2)− 1

2

6.3. A DERIVADA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE 75

Exemplo 40. Novamente usamos séries de potên ias para al ular LJ0(2√kt), k > 0

(item 34 da tabela A.2). Apli ando o item 3 da tabela A.1, temos:

L

J0(2√kt)

= L

1−

(

2√kt

2

)2

+1

(2!)2

(

2√kt

2

)4

− 1

(3!)2

(

2√kt

2

)6

+ · · ·

= L1 − kLt+ k2

(2!)2Lt2− k3

(3!)2Lt3+ · · ·

=1

s− k

s2+

k2

(2!)22!

s3− k3

(3!)23!

s4+ · · ·

=1

s

[

1−(k

s

)1

+1

2!

(k

s

)2

− 1

3!

(k

s

)3

+ · · ·]

=1

s

[

1 +

(

−k

s

)1

+1

2!

(

−k

s

)2

+1

3!

(

−k

s

)3

+ · · ·]

A série a ima está apresentada no item 3 da tabela A.4, onde usamos x = −ks. Logo,

L

J0(2√kt)

=1

se−

ks

Problema 19. Use o método das séries de potên ia e as propriedades da função Γ para

mostrar que

Lcos(2

√t)√

t

=

√π√se−

1s .

6.3 A derivada da transformada de Lapla e

Propriedade 8. Se F (s) = Lf(t), então

d

dsF (s) = −Ltf(t). (6.1)

Demonstração. Usando a denição de transformada de Lapla e, temos

d

dsF (s) =

d

ds

∫ ∞

0

f(t)e−stdt

=

∫ ∞

0

f(t)d

ds

(e−st

)dt

=

∫ ∞

0

f(t)(−t)e−stdt

= −∫ ∞

0

tf(t)e−stdt

= −Ltf(t).

76CAPÍTULO 6. FUNÇÕES ESPECIAIS E EQUAÇÕES COMCOEFICIENTES VARIÁVEIS

Exemplo 41. Para al ular Lt cos(wt), usamos a propriedade 8:

Lt cos(wt) = − d

dsLcos(wt)

= − d

ds

(s

s2 + w2

)

= − −s2 + w2

(s2 + w2)2

=s2 − w2

(s2 + w2)2

Problema 20. Cal ule Lt2 sen(wt) usando a propriedade 8.

6.4 Equações diferen iais om oe ientes não onstantes

A propriedade 8 da derivada da transformada de Lapla e tem uma apli ação importante

na solução de equações diferen iais om oe ientes variáveis.

Exemplo 42. Vamos resolver o seguinte problema de valor ini ial

ty′′(t) + y′(t) + 9ty(t) = 0

y(0) = 5

y′(0) = 0.

Começamos apli ando a transformada de Lapla e na equação diferen ial

Lty′′(t)+ Ly′(t)+ 9Lty(t) = 0.

Depois apli amos a propriedade 8:

− d

dsLy′′(t)+ Ly′(t) − 9

d

dsLy(t) = 0.

Em seguida apli amos a propriedade 13 para obter a seguinte equação subsidiária

− d

ds

(s2Y (s)− 5s

)+ sY (s)− 5− 9

d

dsY (s) = 0,

onde usamos que y(0) = 5, y′(0) = 0 e Y (s) = Ly(t). Agora resolvemos as derivadas e

obtemos uma equação diferen ial mais simples para Y (s):

−s2Y ′(s)− 2sY (s) + sY (s)− 9Y ′(s) = 0,

ou seja,

Y ′(s)

Y (s)= − s

s2 + 9.

6.4. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS COM COEFICIENTES NO CONSTANTES 77

Logo,

ln(Y (s)) = −1

2ln(s2 + 9) + C,

onde C é uma onstante de integração. Então

Y (s) = K(s2 + 9)−12 =

K√s2 + 9

,

onde K = eC. Pelo item 31 da tabela A.1, temos

y(t) = KJ0(3t).

Como J0(0) = 1, usamos que y(0) = 5 para obter K = 5. Portanto,

y(t) = 5J0(3t).

Observe que a solução satisfaz y′(0) = 0, porém essa ondição não é ne essária. De fato,

existe uma solução linearmente independente dessa, que não possui transformada de Lapla e,

pode ser en ontrada pelo método das séries de potên ia.

Exemplo 43. Vamos resolver a equação de Laguerre dada por

ty′′(t) + (1− t)y′(t) + 2y(t) = 0,

om as ondições ini iais y(0) = 1 e y′(0) = −2. Primeiro apli amos a transformada de

Lapla e nessa equação:

Lty′′(t) + Ly′(t) − Lty′(t)+ 2Ly(t) = 0.

Depois usamos a propriedade 8:

− d

dsLy′′(t)+ Ly′(t)+ d

dsLy′(t)+ 2Ly(t) = 0.

Continuamos usando a propriedade 13 para obter:

− d

ds

(s2Y (s)− sy(0)− y′(0)

)+ sY (s)− y(0) +

d

ds(sY (s)− y(0)) + 2Y (s) = 0,

onde Y (s) = Ly(t). Apli ando as derivadas hegamos na seguinte equação diferen ial para

Y (s):

−s2Y ′(s)− 2sY (s) + y(0) + sY ′(s) + Y (s) + sY (s)− y(0) + 2Y (s) = 0.

ou seja,

Y ′(s)(−s2 + s

)+ Y (s) (−s+ 3) = 0.

Logo,

Y ′(s)

Y (s)= − 3− s

s(1− s).

78CAPÍTULO 6. FUNÇÕES ESPECIAIS E EQUAÇÕES COMCOEFICIENTES VARIÁVEIS

Usamos o método de separação de variáveis para resolver a equação diferen ial, temos:

ln(Y (s)) = −∫

3− s

s(1− s)ds+ C

onde C é uma onstante de integração. A antiderivada do lado direito pode ser obtida pelo

método de frações par iais:

−3 + s

s(1− s)= −3

s− 2

1− s.

Isso nos dá

ln(Y (s)) = −3 ln(s) + 2 ln |1− s|+ C = ln

((1− s)2

s3

)

+ C

ou

Y (s) = K(1− s)2

s3=

K

s3− 2K

s2+

K

s

onde K = eC. A transformada inversa forne e uma expressão para y(t):

y(t) = K

(t2

2− 2t+ 1

)

.

Usando o fato que y(0) = 1, temos K = 1 e

y(t) =t2

2− 2t+ 1.

Observe que, apesar da ondição para a derivada ser satisfeita, isto é,

y′(0) = 0− 2 = −2,

não usamos-a para al ular a solução. De fato, o problema possui um singularidade na ori-

gem que não é per ebida pela transformada de Lapla e. A solução linearmente independente

dessa, que não possui transformada de Lapla e, pode ser en ontrada pelo método das séries

de potên ia.

6.5 Propriedade da integral da transformada de Lapla e

Propriedade 9. Se F (s) é a transformada de Lapla e de f(t) e a função

e o limite

limt→0+

∫ 1

t

f(τ)

τdτ

existe, então

∫ ∞

s

F (v)dv = Lf(t)

t

. (6.2)

6.5. PROPRIEDADE DA INTEGRAL DA TRANSFORMADA DE LAPLACE 79

Demonstração. Usamos a denição de transformada de Lapla e para es rever

∫ ∞

s

F (v)dv =

∫ ∞

s

(∫ ∞

0

f(t)e−vtdt

)

dv

=

∫ ∞

0

f(t)

(∫ ∞

s

e−vtdv

)

dt

=

∫ ∞

0

f(t)

[e−vt

−t

]∞

s

dt

=

∫ ∞

0

f(t)

te−stdt

= Lf(t)

t

.

Observe que a existên ia do limite limt→0+∫ 1

tf(τ)τdτ é fundamental para a existên ia da

Transformada de Lapla e e para os pro edimentos analíti os a ima.

Exemplo 44. Vamos mostrar o item 29 da tabela A.2:

L

1

2√πt3

(ebt − eat

)

=√s− a−

√s− b.

Para isso vamos usar o item 4, a saber,

L

1√πt

=1√s. (6.3)

Apli amos a propriedade 3 da translação no eixo s na equação (6.3) para obter:

L

1√πt

eat

=1√s− a

.

Finalmente, usando a propriedade 9 da integral da transformada, obtemos:

L

1

2√πt3

(ebt − eat

)

=1

2L1

t

(1√πt

ebt − 1√πt

eat)

=1

2

∫ ∞

s

(1√v − b

− 1√v − a

)

dv

=1

2

∫ ∞

s

(

(v − b)−12 − (v − a)−

12

)

dv

= − (v − b)12 + (v − a)

12

∣∣∣

∞

s

=√s− a−

√s− b.

80CAPÍTULO 6. FUNÇÕES ESPECIAIS E EQUAÇÕES COMCOEFICIENTES VARIÁVEIS

Observe que aqui usamos o seguinte limite no innito

limv→∞

(√v − b−

√v − a

)

= limv→∞

(√v − b−

√v − a

) (√v − b+

√v − a

)

(√v − b+

√v − a

)

= limv→∞

((v − b)− (v − a))(√

v − b+√v − a

)

= limv→∞

(a− b)(√

v − b+√v − a

)

= 0.

Exemplo 45. Vamos mostrar o item 39 da tabela A.2:

L1

t

(ebt − eat

)

= ln

(s− a

s− b

)

.

Para isso vamos usar o item 7, a saber,

Leat=

1

s− a.

Usando a propriedade 9 da integral da transformada, obtemos:

L1

t

(ebt − eat

)

=

∫ ∞

s

(1

v − b− 1

v − a

)

dv

= (ln(v − b)− ln(v − a))|∞s= (ln(s− a)− ln(s− b))

= ln

(s− a

s− b

)

Na penúltima igualdade usamos o seguinte limite no innito:

limv→∞

(ln(v − b)− ln(v − a)) = limv→∞

ln

(v − b

v − a

)

= ln

(

limv→∞

(v − b

v − a

))

= ln (1)

= 0.

Observe que a tro a do limite om o logarítmo é possível visto que ln(x) é ontínua para

x > 0.

Exemplo 46. Vamos mostrar o item 40 da tabela A.2:

L2

t(1− cos(wt))

= ln

(s2 + w2

s2

)

.

6.5. PROPRIEDADE DA INTEGRAL DA TRANSFORMADA DE LAPLACE 81

Para isso vamos usamos o fato que

L (1− cos(wt)) =1

s− s

s2 + w2.

Usando a propriedade 9 da integral da transformada, obtemos:

L2

t(1− cos(wt))

= 2

∫ ∞

s

(1

v− v

v2 + w2

)

dv

= 2

(

ln(v)− 1

2ln(v2 + w2)

)∣∣∣∣

∞

s

=(2 ln(v)− ln(v2 + w2)

)∣∣∞s

= ln

(v2

v2 + w2

)∣∣∣∣

∞

s

= − ln

(s2

s2 + w2

)

= ln

(s2 + w2

s2

)

Na penúltima igualdade usamos o seguinte limite no innito:

limv→∞

ln

(v2

v2 + w2

)

= ln

(

limv→∞

(v2

v2 + w2

))

= ln (1)

= 0.

Observe que a tro a do limite om o logarítmo é possível visto que ln(x) é ontínua para

x > 0.

Problema 21. Demonstre o item 41 da tabela usando os itens 1 e 16 juntamente om a

propriedade 9.

Exemplo 47. Vamos demonstrar o item 42 da tabela A.2:

L1

tsen(wt)

= arctan(w

s

)

.

Para isso vamos usamos o fato que

Lsen(wt) =w

s2 + w2.

Usando a propriedade 9 da integral da transformada, obtemos:

L1

tsen(wt)

=

∫ ∞

s

(w

v2 + w2

)

dv

= arctan( v

w

)∣∣∣

∞

s

= limv→∞

arctan( v

w

)

− arctan( s

w

)

=π

2− arctan

( s

w

)

82CAPÍTULO 6. FUNÇÕES ESPECIAIS E EQUAÇÕES COMCOEFICIENTES VARIÁVEIS

Usando o fato que tan(π2− θ)= cot(θ), temos que

L1

tsen(wt)

= cot−1( s

w

)

.

Também, se γ = cot−1(sw

), então cot γ = s

w. Logo,

1tan γ

= swe, portanto, tan γ = w

s. Assim,

podemos es rever a transformada de Lapla e da seguinte forma:

L1

tsen(wt)

= arctan(w

s

)

Exemplo 48. Vamos agora mostrar o item 43 da tabela A.2:

LSi (t) =1

scot−1(s),

onde Si (t) é função integral seno dada por:

Si (t) =

∫ t

0

sen(x)

xdx.

Primeiro apli amos a propriedade 5 para obter

LSi (t) = L∫ t

0

sen(x)

xdx

=1

sLsen(t)

t

.

Em seguida usamos o resultado do exemplo 47 (ou item 42 da tabela A.2) e temos:

LSi (t) =1

sarctan

(1

s

)

=1

scot−1 (s) .

6.6 Propriedades do Valor Ini ial e Final

Propriedade 10. (Propriedade do Valor Final) Se F (s) é a transformada de Lapla e de

f(t) e

limt→∞

f(t) = L,

então

lims→0+

sF (s) = L.

Demonstração. Usamos a denição de transformada de Lapla e para es rever

sF (s) = s

∫ ∞

0

f(t)e−stdt

= s

∫ a

0

f(t)e−stdt+ s

∫ ∞

a

f(t)e−stdt.

6.6. PROPRIEDADES DO VALOR INICIAL E FINAL 83

Observe que a primeira par ela do lado direito tende a zero independentemente do valor de

a. Porém, para a su ientemente grande, f(t) se aproxima de L, pois limt→∞

f(t) = L, ou seja,

s

∫ ∞

a

f(t)e−stdt ≈ s

∫ ∞

a

Le−stdt.

≈ sL

−s

[e−st

]∞a

= Le−as

Como e−as → 1 quando s → 0, então

lims→0+

sF (s) = L.

Propriedade 11. (Propriedade do Valor Ini ial) Se F (s) é a transformada de Lapla e de

uma função f(t) de ordem exponen ial c e

limt→0+

f(t) = L,

então

lims→∞

sF (s) = L.

Demonstração. Usamos a denição de transformada de Lapla e para es rever

sF (s) = s

∫ ∞

0

f(t)e−stdt

= s

∫ a

0

f(t)e−stdt+ s

∫ b

a

f(t)e−stdt+ s

∫ ∞

b

f(t)e−stdt.

Observe que a segunda par ela do lado direito tende a zero quando s → ∞ independentemente

do valor de a e b, pois o fato da função ser de ordem exponen ial e ontínua por partes impli a

em f(t) limitada em [a, b], ou seja, |f(t)| < M e, portanto,

∣∣∣∣s

∫ b

a

f(t)e−stdt

∣∣∣∣

≤ s

∫ b

a

|f(t)|e−stdt

≤ Ms

∫ b

a

e−stdt

≤ Ms1

−se−st

∣∣∣∣

b

a

= M(e−sa − e−sb).

Também, a ter eira par ela tende a zero se b for su ientemente grande, pois existem c e

M > 0 tal que |f(t)| < Mect para t > b e, portanto,∣∣∣∣s

∫ ∞

b

f(t)e−stdt

∣∣∣∣

≤ s

∫ ∞

b

|f(t)|e−stdt

≤ s

∫ ∞

b

Me−(s−c)tdt

≤ Ms1

c− se−(s−c)t

∣∣∣∣

∞

b

=Ms

s− c(e−(s−c)b).

84CAPÍTULO 6. FUNÇÕES ESPECIAIS E EQUAÇÕES COMCOEFICIENTES VARIÁVEIS

Porém, para a su ientemente pequeno, f(t) se aproxima de L, pois limt→0

f(t) = L, ou seja,

s

∫ a

0

f(t)e−stdt ≈ s

∫ a

0

Le−stdt.

≈ sL

−s

[e−st

]a

0= L

(1− e−as

)

Como e−as → 0 quando s → ∞, então

lims→∞

sF (s) = L.

6.7 Exer í ios

Exer í io 6.1Demonstre o item (32) da tabela usando os itens (4) e (5) e a propriedade

3 do deslo amento no eixo s.

Exer í io 6.2Use a propriedade da derivada da transformada para al ularLt cos(ωt).A partir desta, prove que

Lsen(ωt)− ωt cos(ωt) =2ω3

(s2 + ω2)2.

Exer í io 6.3 En ontre a transformada inversa das funções abaixo utlizando o método

que a har adequado.

(a) F (s) =3s+ 7

s2 − 2s− 3.

(b) F (s) =1

(s− 2)3.

( ) F (s) =3s+ 1

(s− 1)(s2 + 1).

(d) F (s) =s + 12

s2 + 4s.

(e) F (s) =s− 3

s2 − 1.

(f) F (s) =3s

s2 + 2s− 8.

(g) F (s) =3s2 − 2s− 1

(s− 3)(s2 + 1).

6.7. EXERCÍCIOS 85

(h) F (s) =s+ 1

s2 + 4s+ 13.

(i) F (s) =s2 + s− 2

(s+ 1)3.

(j) F (s) =2s3 + 10s2 + 8s+ 40

s2(s2 + 9).

(k) F (s) =2s2 − 4

(s+ 1)(s− 2)(s− 3).

(l) F (s) =1

(s2 + 4)(s2 + 1).

Exer í io 6.4 Use a tabela da transformada de Lapla e para mostrar que:

(a) Lt1/2 + t−1/2

=

√π(2s+ 1)

2s3/2

(b) Le−2t

√t

=

√π

s+ 2

( ) Lcos(2

√t)√

t

= e−1/s

√π

s

Exer í io 6.5 Use o método das séries de potên ias para mostrar que

Lsen√t =

√πe−1/4s

2s3/2.

Sugestão: Use que

Γ

(

n +3

2

)

=(2n+ 1)!

n!22n+1

√π.

Exer í io 6.6 Usando a derivada da transformada de Lapla e, al ule:

(a) Lt senh(at)

(b) Lt cosh(at)

Exer í io 6.7 Resolva

ty′′(t) + 2y′(t) + ty(t) = 0y(0) = 1, y(π) = 0

Sugestão: Utilize que lims→+∞

Y (s) = 0.

86CAPÍTULO 6. FUNÇÕES ESPECIAIS E EQUAÇÕES COMCOEFICIENTES VARIÁVEIS

Exer í io 6.8 Utilize a integral da transformada de Lapla e para demonstrar que:

(a) Lsenh t

t

=1

2ln

(s+ 1

s− 1

)

(b) L2

t

(1− cos(ωt)

)

= ln

(s2 + ω2

s2

)

( ) L2

t

(1− cosh(ωt)

)

= ln

(s2 − ω2

s2

)

Exer í io 6.9 Faça o grá o de f(t) e al ule Lf(t)

.

(a) f periódi a de período p = 4 e f(t) =

3t, se t ∈ (0, 2)6, se t ∈ (2, 4)

(b) f periódi a de período p = 2π e f(t) = et, para t ∈ (0, 2π).

(b) f(t) = | sen(ωt)|.

Exer í io 6.10 Para k onstante, en ontre a solução de

(a)

2y′′(t) + 8y(t) = ku(t− a)y(0) = 10, y′(0) = 0

(b)

2y′′(t) + 8y(t) = kδ(t)y(0) = 10, y′(0) = 0

Exer í io 6.11 Considere o OHS não amorte ido representado na gura 6.8. Suponha

que, em t = 0, a massa m está em sua posição de equilíbrio. En ontre o deslo amento x(t)para t > 0, se uma força F0δ(t) é apli ada.

x(t)0

mk

Figura 6.8:

Capítulo 7

Sistemas de equações diferen iais

ordinárias

7.1 Transformada de Lapla e para resolver sistemas

O método de transformada de Lapla e pode ser apli ado para resolver sistemas de equa-

ções diferen iais. Para isso, apli a-se a transformada de Lapla e a todas equações envolvidas,

levando o sistema de equações diferen iais em um sistema de equações algébri as. Depois de

resolver o sistema de equações algébri as no espaço de transformadas, al ula-se as transfor-

madas inversas para obter a solução.

Exemplo 49. Vamos resolver o seguinte problema de valor ini ial:

y′ = x

x′ = y

x(0) = 0

y(0) = 1.

Apli amos a transformada de Lapla e em ada uma das equações:

sY (s)− y(0) = X(s)

sX(s)− x(0) = Y (s),

onde usamos a propriedade 13 e a notação X(s) = Lx(t) e Y (s) = Ly(t). Substituímos

as ondições ini iais para obter o seguinte sistema de equações algébri as

−X(s) + sY (s) = 1 (7.1)

sX(s)− Y (s) = 0. (7.2)

Multipli amos a equação (7.1) por s, −sX(s) + s2Y (s) = s, e somamos om a equação (7.2)

para obter

(s2 − 1)Y (s) = s.

Logo

Y (s) =s

s2 − 1.

87

88 CAPÍTULO 7. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

Resolvemos X(s) usando a equação (7.2):

X(s) =Y (s)

s=

1

s2 − 1.

As transformadas inversas de X(s) e Y (s) estão tabeladas:

x(t) = senh(t)

y(t) = cosh(t).

Exemplo 50. Considere o seguinte problema de valor ini ial:

2d2x

dt2+

d2y

dt2= t2

d2x

dt2− d2y

dt2= 4t

x(0) = 2

x′(0) = 0

y(0) = −1

y′(0) = 10.

Apli amos a transformada de Lapla e em ada uma das equações:

2s2X(s)− 2sx(0)− 2x′(0) + s2Y (s)− sy(0)− y′(0) =2

s3

s2X(s)− sx(0)− x′(0)− s2Y (s) + sy(0) + y′(0) =4

s2,

onde usamos a propriedade 13 e a notação X(s) = Lx(t) e Y (s) = Ly(t). Substituímos

as ondições ini iais para obter o seguinte sistema de equações algébri as

2s2X(s)− 4s+ 0 + s2Y (s) + s− 10 =2

s3

s2X(s)− 2s+ 0− s2Y (s)− s+ 10 =4

s2.

ou seja,

2s2X(s) + s2Y (s) =2

s3+ 10 + 3s (7.3)

s2X(s)− s2Y (s) =4

s2− 10 + 3s. (7.4)

A soma das equações (7.3) e (7.4) resulta em

3s2X(s) =2

s3+

4

s2+ 6s.

Logo,

X(s) =2

3s5+

4

3s4+

2

s.

7.2. APLICAÇO: CIRCUITO DE DUAS MALHAS 89

Agora, usamos (7.4) para resolver Y (s):

s2(

2

3s5+

4

3s4+

2

s

)

− s2Y (s) =4

s2− 10 + 3s.

Assim,

Y (s) =2

3s5− 8

3s4+

10

s2− 1

s.

As transformadas inversas estão tabeladas:

x(t) =t4

36+

2t3

9+ 2

y(t) =t4

36− 4t3

9+ 10t− 1.

7.2 Apli ação: ir uito de duas malhas

Considere o ir uito da gura 7.1, onstituído de duas malhas om orrentes i1 e i2,respe tivamente. Vamos modelar i1 e i2 onsiderando i1(0) = i2(0) = 0. Usamos a lei de

40Ωi− +

110 V

5Ωi1 1H

10Ωi2 2H

Figura 7.1:

Kir ho para obter

di1(t)

dt+ 5i1(t) + 40i(t) = 110

2di2(t)

dt+ 10i2(t) + 40i(t) = 110.

Usando i(t) = i1(t) + i2(t), temos

di1(t)

dt+ 45i1(t) + 40i2(t) = 110

2di2(t)

dt+ 40i1(t) + 50i2(t) = 110,

90 CAPÍTULO 7. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

ou simplesmente

di1(t)

dt+ 45i1(t) + 40i2(t) = 110

di2(t)

dt+ 20i1(t) + 25i2(t) = 55.

Apli amos a transformada de Lapla e e obtemos:

sI1(s)− i1(0) + 45I1(s) + 40I2(s) =110

s

sI2(s)− i2(0) + 20I1(s) + 25I2(s) =55

s.

ou seja,

(s+ 45) I1(s) + 40I2(s) =110

s

20I1(s) + (s+ 25) I2(s) =55

s.

ou, ainda,

[(s+ 45) 40

20 (s + 25)

] [I1(s)I2(s)

]

=

110s

55s

A solução desse sistema é dada por

[I1(s)I2(s)

]

=1

(s+ 25)(s+ 45)− 800

[(s + 25) −40−20 (s+ 45)

]

110s

55s

Portanto,

I1(s) =1

s2 + 70s+ 325

(110

s(s+ 25)− 2200

s

)

=1

(s+ 5)(s+ 65)

(

110 +550

s

)

e

I2(s) =1

s2 + 70s+ 325

(

−2200

s+

55

s(s+ 45)

)

=1

(s+ 5)(s+ 65)

(

55 +275

s

)

.

Aqui per ebemos que I1(s) = 2I2(s) e, assim, vamos al ular apenas I2(s):

I2 =1

(s+ 5)(s+ 65)

(55s+ 275

s

)

=55

(s+ 5)(s+ 65)

(s+ 5

s

)

=55

s(s+ 65).

Logo,

i2(t) =55

65

(1− e−65t

)=

11

13

(1− e−65t

).

Como i1(t) = 2i2(t), temos:

i1(t) =22

13

(1− e−65t

).

7.3. APLICAÇO: DUPLO MASSA MOLA 91

7.3 Apli ação: duplo massa mola

Considere o duplo sistema massa-mola, onde as molas possuem onstantes k1 e k2 e as

massas envolvidas são m1 e m2. Des onsiderando o amorte imento, temos o seguinte sistema:

m1x1(t) = −k1x1(t) + k2 [x2(t)− x1(t)] + f1(t)

m2x2(t) = −k2 [x2(t)− x1(t)] + f2(t),

onde x1 e x2 representam o deslo amento de ada uma das massas e f1 e f2 são as forças

externas apli adas. Tomando transformada de Lapla e, obtemos:

m1(s2X1(s)− x1(0)− sx1(0)) = −(k1 + k2)X1(s) + k2X2(s) + F1(s)

m2(s2X2(s)− x2(0)− sx2(0)) = −k2X2(s) + k2X1(s) + F2(s)

isto é:

(m1s

2 + k1 + k2)X1(s)− k2X2(s) = F1(s) +m1x1(0) + sm1x1(0)

−k2X1(s) +(m2s

2 + k2)X2(s) = F2(s) +m2x2(0) + sm2x2(0)

A representação matri ial do sistema é:

[m1s

2 + k1 + k2 −k2−k2 m2s

2 + k2

] [X1(s)X2(s)

]

=

[F1(s) +m1x1(0) + sm1x1(0)F2(s) +m2x2(0) + sm2x2(0)

]

e sua solução pode ser es rita omo:

[X1(s)X2(s)

]

=1

P (s)

[m2s

2 + k2 k2k2 m1s

2 + k1 + k2

] [F1(s) +m1x1(0) + sm1x1(0)F2(s) +m2x2(0) + sm2x2(0)

]

,(7.5)

onde P (s) = m1m2s4 + (m1k2 +m2k1 +m2k2)s

2 + k1k2. Vamos resolver um aso parti ular

onde m1 = m2 = 1, f1 = f2 = 0, k1 = 6 e k2 = 4, temos o seguinte sistema massa-mola:

x1(t) = −6x1(t) + 4 [x2(t)− x1(t)]

x2(t) = −4 [x2(t)− x1(t)] ,

Usando (7.5), temos:

[X1(s)X2(s)

]

=1

s4 + 14s2 + 24

[s2 + 4 4

4 s2 + 10

] [x1(0) + sx1(0)x2(0) + sx2(0)

]

.

Para ompletar o sistema, impondo as seguintes ondições ini iais: x1(0) = x2(0) = 0,x1(0) = 1 e x2(0) = −1:

[X1(s)X2(s)

]

=1

s4 + 14s2 + 24

[s2 + 4 4

4 s2 + 10

] [1−1

]

.

Logo,

X(s) =1

s4 + 14s2 + 24

(s2 + 4− 4

)=

s2

s4 + 14s2 + 24

92 CAPÍTULO 7. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

e

X(s) =1

s4 + 14s2 + 24

(4− s2 − 10

)=

−s2 − 6

s4 + 14s2 + 24.

Usamos frações par iais para es rever

s2

s4 + 14s2 + 24=

s2

(s2 + 2)(s2 + 12)=

A

s2 + 2+

B

s2 + 12

=A(s2 + 12) +B(s2 + 2)

(s2 + 2)(s2 + 12)

=(A +B)s2 + 12A+ 2B

(s2 + 2)(s2 + 12),

ou seja, A+B = 1 e 12A+2B = 0. Logo, B = −6A e A−6A = 1, ou seja, A = −15e B = 6

5.

Portanto,

X(s) =1

5

(6

s2 + 12− 1

s2 + 2

)

=6

5√12

√12

s2 +√12

2 − 1

5√2

√2

s2 +√22 ,

e, al ulando a transformada inversa, temos:

x(t) =6

5√12

sen(√12t)− 1

5√2sen(

√2t)

=

√3

5sen(2

√3t)−

√2

10sen(

√2t).

Da mesma forma,

Y (s) = −3

5

(1

s2 + 12− 2

5

1

s2 + 2

)

= − 3

5√12

√12

s2 +√12

2 − 2

5√2

√2

s2 +√22 ,

e

y(t) = − 3

5√12

sen(√12t)− 2

5√2sen(

√2t)

= −√3

10sen(2

√3t)−

√2

5sen(

√2t).

A gura 7.2 apresenta os grá os de x(t) e y(t):

7.4 Apli ação: reação quími a

Considere o me anismo simpli ado de reação quími a apresentado a seguir:

R −→ S −→ T

onde a on entração de R, S e T são dadas em mol/l por x(t), y(t) e z(t), respe tivamente

e são regidas pelo seguinte sistema de equações diferen iais ordinárias:

x′(t) = −αx(t)

y′(t) = αx(t)− γy(t)

z′(t) = γy(t),

7.4. APLICAÇO: REAÇO QUÍMICA 93

t

x(t)

t

y(t)

Figura 7.2:

onde α e γ são onstantes positivas. Sabendo que as on entrações ini iais são dadas por:

x(0) = 1, y(0) = z(0) = 0.

Usando a teoria das Transformadas de Lapla e, vamos obter a solução dada pelas funções

x(t), y(t) e z(t) quando α = 1, e γ = 2. Cal ulamos a Transformada de Lapla e do sistema

usando a propriedade da linearidade 1 e da derivada 13:

sX(s)− x(0) = −αX(s)

sY (s)− y(0) = αX(s)− γY (s)

sZ(s)− z(0) = γY (s).

Da primeira equação, temos:

X(s) =x(0)

s+ α=

1

s+ 1. (7.6)

Da segunda equação, temos:

Y (s) =αX(s)

s+ γ=

αx(0)

(s+ γ)(s+ α)=

1

(s + 1)(s+ 2).

Da ter eira equação temos:

Z(s) =γY (s)

s=

2

s(s+ 1)(s+ 2).

94 CAPÍTULO 7. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

Agora, podemos obter as funções x(t), y(t) e z(t) através da Transformada Inversa de Lapla e:

x(t) = L−1 X(s) = e−t

onde usamos item 7 da tabela A.1;

y(t) = L−1 Y (s) = −e−2t + e−t,

onde usamos item 11 da tabela A.1 om a = 2 e b = −1;

z(t) = L−1 Z(s) = 2L−1

Y (s)

s

= 2

∫ t

0

y(τ)dτ

= 2

∫ t

0

(−e−2τ + e−τ

)dτ

= 2

(e−2t − 1

2−(e−t − 1

))

= e−2t − 2e−t + 1,

onde usamos a propriedade da onvolução 6 na passagem da primeira para a segunda linha.

A gura 7.3 apresenta o grá o de das funções x(t), y(t) e z(t).

t

x(t) z(t)

y(t)

Figura 7.3:

7.5 Exer í ios

7.5. EXERCÍCIOS 95

Exer í io 7.1 Considere o seguinte problema de valor ini ial:

x′(t) = −2x(t) + y(t)

y′(t) = αx(t)− 2y(t)

Com x(0) = 0 e y(0) = 3, onde α é uma onstante real.

a) Assinale a alternativa que indi a o tipo de amorte imento do sistema dado para os

valores de α dados respe tivamente por −1, 0, 1 e 2:

( ) Sem amorte imento, subamorte ido, riti amente amorte ido e superamorte-

ido.

( ) Subamorte ido, subamorte ido, riti amente amorte ido e superamorte ido.

( ) Subamorte ido, riti amente amorte ido, superamorte ido e superamorte ido.

( ) Superamorte ido, superamorte ido, riti amente amorte ido e subamorte ido.

( ) Superamorte ido, riti amente amorte ido, subamorte ido e subamorte ido.

( ) Superamorte ido, riti amente amorte ido, subamorte ido e sem amorte i-

mento.

b) Use a Use a té ni a da Transformada de Lapla e para en ontrar uma expressão para

x(t) e y(t) quando α = 1.

Exer í io 7.2 A temperatura em um forno industrial evolui no tempo onforme o

seguinte modelo simpli ado:

du(t)

dt= −λ(u(t)− uamb) + q(t)

onde u(t) representa a temperatura medida no forno, uamb é temperatura ambiente, onside-

rada onstante, q(t) é a potên ia de aque imento e λ é uma onstante rela ionada às tro as

de alor. Considere u(0) = 50, uamb = 50 e λ = 4. Usando a té ni as das transformadas de

Lapla e, faça o que se pede:

a) Mostre que U(s) = 50s+ Q(s)

s+4.

b) Cal ule a temperatura u(t) quando q(t) = 100δ(t− 1). Esbo e o grá o de u(t).

) Suponha, agora, que a temperatura é regulada por um sistema de ontrole automáti o

que aumenta a potên ia q(t) sempre que a temperatura está abaixo da temperatura de

ajuste e reduz a potên ia sempre que a temperatura se en ontra a ima da temperatura

de ajuste. O sistema de ontrole automáti o reage onforme a seguinte equação:

dq(t)

dt= η(ua − u(t)).

96 CAPÍTULO 7. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

onde ua é a temperatura de ajuste e η é uma onstante positiva. Cal ule o valor de

η para que o sistema resultante do a oplamente entre o modelo do forno e o sistema

de ontrole automáti o seja riti amente amorte ido. Mostre que U(s) = 200s

− 150s+2

−300

(s+2)2+ q(0)

(s+2)2.

d) Use a propriedade do valor nal para obter limt→+∞

u(t) no item ).

e) Resolva o problema a oplado usando a onstante η al ulada no item , onsiderando

ua = 200 e q(0) = 600.

f) Observe que a solução obtida no item e) satisfaz a ondição ini ial e tem a propriedade

limt→∞

u(t) = ua. Verique também que q(0) = limt→+∞ q(t).

g) Esbo e o grá o da u(t) obtida no item d).

Exer í io 7.3 Considere o seguinte problema de valor ini ial para um sistema de

equações integro-diferen iais:

x′(t) + x(t) = 2y(t)

x(t) =

∫ t

0

y(τ)dτ + 1

om x(0) = 0. Usando a teoria das Transformadas de Lapla e, resolve o sistema, obtendo

x(t) e y(t). Obs: Este sistema apresenta problemas na origem.

Parte II

Transformada de Fourier

97

Capítulo 8

Introdução

...

99

100 CAPÍTULO 8. INTRODUÇO

Capítulo 9

Revisão de números omplexos e funções

trigonométri as

9.1 Funções trigonométri as

Denição 3. Dado um número real θ, 0 ≤ θ < π2, seno de θ (sen(θ)) é denido pelo número

real asso iado ao triângulo retângulo de ângulos θ rad,

π2− θ rad e

π2rad omo a razão do

ateto oposto ao ângulo θ e a hipotenusa. O osseno é a razão do ateto adja ente ao ângulo

θ e a hipotenusa.

Denição 4. (Extensão das funções trigonométri as)

a) Dado um número real θ, 0 ≤ θ < 2π, as funções trigonométri as são estendidas da

seguinte forma:

cos(θ) = − cos(π − θ) se θ ∈(π

2, π]

sen(θ) = sen(π − θ) se θ ∈(π

2, π]

cos(θ) = − cos(θ − π) se θ ∈[

π,3π

2

)

sen(θ) = − sen(θ − π) se θ ∈[

π,3π

2

)

cos(θ) = cos(2π − θ) se θ ∈(3π

2, 2π

]

sen(θ) = − sen(2π − θ) se θ ∈(3π

22π

]

b) A extensão para todos os números reais se dá pela periodi idade:

cos(θ + 2kπ) = cos(θ), k ∈ Z

sen(θ + 2kπ) = sen(θ), k ∈ Z

101

102CAPÍTULO 9. REVISO DE NÚMEROS COMPLEXOS E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Denição 5. Dado um número real θ, 0 ≤ θ < 2π, dene-se tangente de θ por

tan(θ) =sen(θ)

cos(θ), θ 6= π

2e θ 6= 3π

2,

se ante de θ por

sec(θ) =1

cos(θ), θ 6= π

2e θ 6= 3π

2,

osse ante de θ por

csc(θ) =1

sen(θ), θ 6= 0 e θ 6= π

e otangente de θ por

cot(θ) =cos(θ)

sen(θ), θ 6= 0 e θ 6= π.

Proposição 1. Dado x, y ∈ R, valem as seguintes armações:

a) sen2(x) + cos2(x) = 1

b) sen(x+ y) = sen(x) cos(y) + sen(y) cos(x)

) sen(x− y) = sen(x) cos(y)− sen(y) cos(x)

d) sen(2x) = 2 sen(x) cos(x)

e) cos(x+ y) = cos(x) cos(y)− sen(y) sen(x)

f) cos(x− y) = cos(x) cos(y) + sen(y) sen(x)

g) cos(2x) = cos2(x)− sen2(x)

h) tan(x+ y) = tan(x)+tan(y)1−tan(x) tan(y)

, x 6= π2+ kπ, k ∈ Z.

i) As séries de Taylor do seno e osseno são dadas por

sen(x) =

∞∑

k=0

(−1)kx2k+1

(2k + 1)!= x− x3

3!+

x5

5!− · · ·

cos(x) =

∞∑

k=0

(−1)kx2k

(2k)!= 1− x2

2!+

x4

4!− · · ·

9.2. NÚMEROS COMPLEXOS E FÓRMULA DE EULER 103

9.2 Números omplexos e fórmula de Euler

Denição 6. Um número omplexo é denido pelo par ordenado (a, b) de números reais que

satisfazem as seguintes operações de adição e multipli ação:

(a1, b1) + (a2, b2) = (a1 + a2, b1 + b2)

(a1, b1) · (a2, b2) = (a1a2 − b1b2, a1b2 + a2b1).

O onjunto dos números omplexos é denotado por C.

Observação 4. (Números omplexos)

a) Os números omplexos da forma (a, 0) são identi ados om os números reais (a, 0) ≡ a.

b) O número omplexo (0, 1) é hamado de unidade imaginária e denotada por i. Observeque i2 = −1

) Os números omplexos da forma z = (a, b) são rotineiramente denotados na sua forma

retangular por z = a + bi, onde a é a parte real de z (Re (z) = a ) e b é a parte

imaginária de z (Im (z) = b ).

d) A representação geométri a do número z = a + bi no plano omplexo é dada por um

plano artesiano onde um eixo mar a a parte real e o outro mar a a parte imaginária

(veja gura 9.1).

Denição 7. Dado um número omplexo z = a + bi, denimos módulo de z (|z|) por |z| =√a2 + b2. Também denimos argumento θ para z 6= 0 omo qualquer solução do sistema

cos(θ) =a√

a2 + b2, (9.1)

sin(θ) =b√

a2 + b2. (9.2)

Observe que este sistema possui innitas soluções. Ademais, se θ1 e θ2 são duas soluções,

então diferem por um múltiplo inteiro de 2π, isto é, θ1 − θ2 = 2nπ, n inteiro.

Observe que uma possível solução, om −π2< θ ≤ 3π

2é dada por

θ =

tan−1(ba

)se a > 0

π2

se a = 0 e b > 03π2

se a = 0 e b < 0

tan−1(ba

)+ π se a < 0

104CAPÍTULO 9. REVISO DE NÚMEROS COMPLEXOS E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Se desejamos

π2≤ θ < π

2, podemos usar a seguinte expressão:

θ =

tan−1( ba) se a > 0,

tan−1( ba) + π se a < 0 e b ≥ 0,

tan−1( ba)− π se a < 0 e b < 0,

+π2

se a = 0 e b > 0,

−π2

se a = 0 e b < 0,

A representação geométri a de |z| e θ está na gura 9.1.

Im

Re

a

b

θ

|z| =√a2 + b2

Figura 9.1:

Denição 8. A forma trigonométri a de um número omplexo z = a+ bi é

z = |z| (cos(θ) + i sen(θ)) ,

onde |z| =√a2 + b2 é o módulo de z e θ satisfazendo a = |z| cos(θ) e b = |z| sen(θ) é o

argumento.

Exemplo 51. Para es rever o número z = 2 − 2i na forma trigonométri a, al ulamos o

módulo |z| =√

22 + (−2)2 = 2√2 e o argumento, que satisfaz sen(θ) = − 2

2√2= −

√22

e

cos(θ) = 22√2=

√22, ou seja, θ = 7π

4. Logo, z = 2

√2(cos(7π4

)+ i sen

(7π4

)).

Denição 9. Dado z ∈ C, denimos exponen ial de z por

ez = 1 + z +z2

2!+

z3

3!+

z4

4!+ · · · = 1 +

∞∑

k=1

zk

k!

Proposição 2. (Fórmula de Euler) Dado θ ∈ R, vale a identidade

eiθ = cos(θ) + i sen(θ).

9.2. NÚMEROS COMPLEXOS E FÓRMULA DE EULER 105

Demonstração. De fato,

eiθ = 1 + iθ +(iθ)2

2!+

(iθ)3

3!+

(iθ)4

4!+

(iθ)5

5!+ · · ·

= 1 + iθ − θ2

2!− i

θ3

3!+

θ4

4!+ i

θ5

5!+ · · ·

= 1− θ2

2!+

θ4

4!+ · · ·+ i

(

θ − θ3

3!+

θ5

5!+ · · ·

)

= cos(θ) + i sen(θ)

Denição 10. A forma exponen ial de um número omplexo z = a+ bi é

z = |z|eiθ,

onde |z| =√a2 + b2 é o módulo de z e θ satisfazendo a = |z| cos(θ) e b = |z| sen(θ) é o

argumento.

Exemplo 52. Para es rever o número z = 2−2i na forma exponen ial, al ulamos o módulo

|z| = 2√2 e o argumento θ = 7π

4e es revemos z = 2

√2ei

7π4.

Problema 22. Mostre que

sen(θ) =eiθ − e−iθ

2ie

cos(θ) =eiθ + e−iθ

2

Demonstração. Observe que pela fórmula de Euler vale

eiθ = cos(θ) + i sen(θ) (9.3)

e

e−iθ = cos(θ)− i sen(θ). (9.4)

A diferença das equações (9.3) e (9.4) nos dá a expressão para o seno e a soma delas nos dá

a expressão para o osseno.

Exemplo 53. Para al ular cos2(θ) usando as expressões do problema 22 fazemos o seguinte:

cos2(θ) =

(eiθ + e−iθ

2

)2

=

(eiθ)2

+ 2eiθe−iθ +(e−iθ

)2

4

=2 + e2iθ + e−2iθ

4

=1 + e2iθ+e−2iθ

2

2

=1 + cos(2θ)

2

106CAPÍTULO 9. REVISO DE NÚMEROS COMPLEXOS E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

9.3 Exer í ios

Exer í io 9.1 Rela ione A e θ om os valores onhe idos de B e C que satisfazem a

identidade

A cos(x− θ) = B cos(x) + C sen(x), ∀x ∈ R

sabendo que 0 ≤ θ < 2π e A ≥ 0.

Exer í io 9.2 En ontre A e θ om A ≥ 0 e 0 ≤ θ < 2π tal que

a) A cos(x− θ) = 3 cos(x) + 4 sen(x)

b) A cos(x− θ) = 3 cos(x)− 4 sen(x)

) A cos(x− θ) = −3 cos(x) + 4 sen(x)

d) A cos(x− θ) = −3 cos(x)− 4 sen(x)

e) A cos(x− θ) = sen(x)

f) A cos(x− θ) = 2 cos(x)

g) A cos(x− θ) = −2 cos(x)

Exer í io 9.3 Es reva os seguintes números omplexos na forma exponen ial. Cal ule

também o omplexo onjugado de ada um. Represente-os no plano omplexo e identique

no grá o as partes real e omplexa, o argumento e o módulo.

a) 2 + 3i

b) −2 + 3i

) 3− 4i

d) −3 − 4i

e) 4

f) 5i

g) −5

h) −4i

Exer í io 9.4 Es reva os seguintes números omplexos na forma retangular. Represente-

os no plano omplexo e identique no grá o as partes real e omplexa, o argumento e o

módulo.

9.3. EXERCÍCIOS 107

a) e5πi

b) e3πi+2

) 4e2πi

d) 2eπ2i+1e−2

e) 4e−π4i

f) 5eπ4i

Exer í io 9.5 Cal ule e es reva na forma retangular.

a) (2− 3i)(4 + 2i)− eiπ(2i+ 1)

b)

(√22+ i

√22

)3

)

3−2i−1+i

d)

5+5i3−4i

+ 204+3i

e)

3i30−i19

2i−1

Exer í io 9.6 Mostre a identidade

[cos(θ1) + i sen(θ1)] · [cos(θ2) + i sen(θ2)] = cos(θ1 + θ2) + i sen(θ1 + θ2)

diretamente a partir das identidades trigonométri as para soma de ângulos.

Exer í io 9.7 Use a identidade anterior e o prin ípio da indução matemáti a para

mostrar a fórmula de De Moîvre:

[cos(θ) + i sen(θ)]n = cos(nθ) + i sen(nθ)

Exer í io 9.8 Use a identidade anterior para al ular a razão

1

[cos(θ) + i sen(θ)]n= cos(nθ)− i sen(nθ)

sem usar a exponen ial omplexa.

Exer í io 9.9 Repita os três problemas anteriores usando a exponen ial omplexa

dada por

eiθ = cos(θ) + i sen(θ).

108CAPÍTULO 9. REVISO DE NÚMEROS COMPLEXOS E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Exer í io 9.10 Cal ule

a)

cos(π4 )+i sen(π

4 )cos(π

6 )+i sen(π6 )

b)

[cos(π4

)+ i sen

(π4

)] [cos(π6

)+ i sen

(π6

)]3

Exer í io 9.11 Mostre as seguintes identidades:

sen3 θ =3

4sen θ − 1

4sen 3θ

cos4 θ =1

8cos 4θ +

1

2cos 2θ +

3

8

Di a: Expresse as funções trigonométri as em termos de exponen iais e use o binmio de

Newton

Exer í io 9.12 Use o binmio de Newton para veri ar que as funções senn(t) e cosn(t)

podem ser es ritas na forma

a02

+

n∑

k=1

[ak cos(kt) + bk sen(kt)]

Exer í io 9.13 Deduza as seguintes identidades trigonométri as

a) cos(x) cos(y) = cos(x+y)+cos(x−y)2

b) sen(x) sen(y) = cos(x−y)−cos(x+y)2

) sen(x) cos(y) = sen(x+y)+sen(x−y)2

Exer í io 9.14 Cal ule as seguintes integrais onde n e m são inteiros não negativos.

a)

∫ 2π

0sen(nx)2dx

b)

∫ 2π

0sen(nx) sen(mx)dx, n 6= m

)

∫ 2π

0cos(nx)2dx

d)

∫ 2π

0cos(nx) cos(mx)dx, n 6= m

e)

∫ 2π

0sen(nx) cos(mx)dx

9.3. EXERCÍCIOS 109

Exer í io 9.15 Familiarize-se om as seguintes identidades e observe a primeira iden-

tidade impli a todas as outras.:

a) eix = cos(x) + i sen(x).

a) e−ix = cos(x)− i sen(x).

) |eiθ| = 1, ∀θ ∈ R.

d) eiθ = e−iθ, ∀θ ∈ R.

e) |ez| = eRe (z).

f) cos(x) = eix+e−ix

2

g) sen(x) = eix−e−ix

2i

110CAPÍTULO 9. REVISO DE NÚMEROS COMPLEXOS E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Capítulo 10

Séries de Fourier

Neste apítulo, apresentamos o on eito de Série de Fourier de uma função periódi a f(t)e apresentamos exemplos de expansão. A brevidade da apresentação se deve ao fato que

esperamos que o estudante já tenha tido um ontato prévio om o on eito.

10.1 Funções periódi as

Denição 11. Uma função f : R → R é dita periódi a de período T (também hamada de

T-periódi a) se existe uma onstante positiva T tal que

f(t) = f(t+ T )

para todo t ∈ R.

Observação 5. Se uma função f é periódi a de período T , então, f também é periódi a de

período nT onde n ∈ N., já que

f(t) = f(t+ T ) = f(t+ 2T ) = f(t+ 3T ) = · · · = f(t+ nT ).

Exemplo 54. As funções f(t) = sen(t) e g(t) = cos(t) são periódi as de período 2π.

Exemplo 55. A função onstante f(t) = 1 é periódi a e admite qualquer T > 0 omo

período.

Denição 12. Algumas funções periódi as admitem um menor período, hamado de período

fundamental. A frequên ia fundamental é então dada por ff = 1T

e a frequên ia angular

fundamental é dada por wf = 2πT.

Proposição 3. O período fundamental das funções f(t) = sen(wt) e g(t) = cos(wt) é 2πw.

Demonstração. Para provar isso, supomos que T é um período de f(t), isto é, f(t+T ) = f(T )para todo t. Em espe ial, para t = 0, temos:

sen(wT ) = sen(0) = 0.

111

112 CAPÍTULO 10. SÉRIES DE FOURIER

Logo, wT = nπ, onde n é um natural positivo. Observe que

πw

não pode ser o período

fundamental, pois tomando t = π2w, temos

1 = sen(

w( π

2w

))

6= sen(

w( π

2w+

π

w

))

= −1.

Como, por onstrução do ír ulo trigonométi o, temos:

sen

(

w

(

t+2π

w

))

= sen(wt+ 2π) = sen(wt),

então

2πw

é o período fundamental. Observe que w é a frequên ia angular fundamental. Um

ra io ínio análogo vale para g(t).

Exemplo 56. Vamos al ular o período fundamental da função f(t) = sen(w1t) + sen(w2t).Ambas as par elas que ompoem f(t) são periódi as, om períodos T1 = 2π

w1n e T2 = 2π

w2m,

onde n e m são inteiros positivos. A função f(t) é periódi a se existirem m e n tais que

T1 = T2, ou seja,

2πw1n = 2π

w2m. Isso impli a em

w2

w1= m

n. Essa identidade só é possível se

w1

w2

for ra ional, pois m e n são inteiros. Por exemplo,

i) se w1 =23e w2 =

32, então

3/22/3

= 94= m

ne os menores inteiros positivos que satisfazem

a identidade são m = 9 e n = 4. Logo, o período fundamental da função f(t) =sen(23t)+ sen

(32t)é

2π2/3

· 4 = 12π e a frequên ia angular fundamental é

2π12π

= 16;

ii) se w1 =√3 e w2 =

√43, então

√4/3√3

= 23= m

ne os menores inteiros positivos que

satisfazem a identidade são m = 2 e n = 3. Logo, o período fundamental da função

f(t) = sen(√

3t)+ sen

(√43t)

é

2π√3· 3 = 6π√

3e a frequên ia angular fundamental é

√33;

iii) a função f(t) = sen (2t) + sen (πt) não é periódi a, pois não existem inteiros positivos

n e m que satisfazem

2π= m

n.

Teorema 3. Se f(t) é uma função integrável T -periódi a, então o valor da integral denida

dentro de um período não depende do ponto ini ial, isto é:

∫ x+T

x

f(t)dt

não depende do valor x. Em espe ial, vale a identidade:

∫ T

0

f(t)dt =

∫ T/2

−T/2

f(t)dt.

Demonstração. Primeiro, es revemos

xT= n+α, isto é, omo um número inteiro n mais uma

parte fra ionária α ∈ [0, 1) e on luímos que podemos es rever x = nT + y, onde y = αT ,isto é 0 ≤ y < T .

I :=

∫ x+T

x

f(t)dt =

∫ (n+1)T+y

nT+y

f(t)dt

=

∫ (n+1)T

nT+y

f(t)dt+

∫ (n+1)T+y

(n+1)T

f(t)dt

10.2. SÉRIES DE FOURIER 113

Inserimos a mudança de variáveis t = nT + u e t = (n+ 1)T + v:

I =

∫ T

y

f(u+ nT )du+

∫ y

0

f(v + (n + 1)T )dv

Da periodi idade, temos que f(u) = f(u+ nT ) e f(v) = f(v + (n+ 1)T ):

I =

∫ T

y

f(u)du+

∫ y

0

f(v)dv

=

∫ y

0

f(v)dv +

∫ T

y

f(u)du

Como u e v são variáveis mudas, as integrais envolvidas podem ser es ritas em termos de tda seguinte forma:

I =

∫ y

0

f(t)dt+

∫ T

y

f(t)dt

=

∫ T

0

f(t)dt

10.2 Séries de Fourier

Denição 13. Seja T > 0, denimos polinmio trigonométi o de grau N uma função do

tipo:

f(t) =a02

+N∑

n=1

[an cos(wnt) + bn sen(wnt)]

onde wn = 2πnT.

Denição 14. Seja T > 0, denimos série trigonométri a toda função do tipo:

f(t) =a02

+

∞∑

n=1

[an cos(wnt) + bn sen(wnt)]

onde wn = 2πnT.

Problema 23. Mostre que T é um período para séries e polinmios trigonométri os a ima

denidos.

Teorema 4 (Relações de ortogonalidade). As funções trigonométri as admitem as seguintes

relações de ortogonalidade:

∫ T

0

sen

(2πnt

T

)

sen

(2πmt

T

)

dt =

0, n 6= mT2, n = m 6= 0

(10.1a)

∫ T

0

cos

(2πnt

T

)

cos

(2πmt

T

)

dt =

0, n 6= mT2, n = m 6= 0

T, n = m = 0(10.1b)

∫ T

0

cos

(2πnt

T

)

sen

(2πmt

T

)

dt = 0 (10.1 )

114 CAPÍTULO 10. SÉRIES DE FOURIER

aqui n e m são inteiros não negativos.

Demonstração. Para obter (10.1a), usamos a seguinte identidade trigonométri a:

sen(a) sen(b) =cos(a− b)− cos(a + b)

2

om a = 2πntT

e b = 2πmtT

, isto é:

sen

(2πnt

T

)

sen

(2πmt

T

)

=cos(

2π(n−m)tT

)

− cos(

2π(n+m)tT

)

2

Se n = m 6= 0, temos:

∫ T

0

sen

(2πnt

T

)

sen

(2πmt

T

)

dt =1

2

∫ T

0

[

1− cos

(4πnt

T

)]

dt =T

2

Se n 6= m, temos:

∫ T

0

sen

(2πnt

T

)

sen

(2πmt

T

)

dt =1

2

∫ T

0

[

cos

(2π(n−m)t

T

)

− cos

(2π(n+m)t

T

)]

dt = 0

Para obter (10.1b), usamos a seguinte identidade trigonométri a:

cos(a) cos(b) =cos(a− b) + cos(a + b)

2

om a = 2πntT

e b = 2πmtT

, isto é:

cos

(2πnt

T

)

cos

(2πmt

T

)

=cos(

2π(n−m)tT

)

+ cos(

2π(n+m)tT

)

2

Se n = m 6= 0, temos:

∫ T

0

cos

(2πnt

T

)

cos

(2πmt

T

)

dt =1

2

∫ T

0

[

1 + cos

(4πnt

T

)]

dt =T

2

Se n 6= m, temos: Caso n = m = 0, então cos(2πntT

)= 1, isto é:

∫ T

0

cos

(2πnt

T

)

cos

(2πmt

T

)

dt =

∫ T

0

1dt = T

Para obter (10.1 ), usamos a seguinte identidade trigonométri a:

cos(a) sen(b) =sen(a+ b) + sen(a− b)

2

om a = 2πntT

e b = 2πmtT

, isto é:

cos

(2πnt

T

)

sen

(2πmt

T

)

=sen(

2π(n+m)tT

)

+ sen(

2π(n−m)tT

)

2

E integrando onforme feito para os asos anteriores, temos o resultado.

10.2. SÉRIES DE FOURIER 115

Teorema 5. Seja f(t) uma função denida por uma série trigonométri a da forma

f(t) =a02

+

∞∑

n=1

[an cos(wnt) + bn sen(wnt)] (10.2)

Então sob determinadas hipóteses de onvergên ia, os oe ientes an e bn são dados pelas

seguintes expressões:

a0 =2

T

∫ T

0

f(t)dt =2

T

∫ T/2

−T/2

f(t)dt (10.3a)

an =2

T

∫ T

0

f(t) cos(wnt)dt =2

T

∫ T/2

−T/2

f(t) cos(wnt)dt (10.3b)

bn =2

T

∫ T

0

f(t) sen(wnt)dt =2

T

∫ T/2

−T/2

f(t) sen(wnt)dt (10.3 )

onde wn = 2πnT.

Demonstração. Multipli amos a equação (10.2) por cos(wmt) e obtemos

cos(wmt)f(t) =a02cos(wmt) +

∞∑

n=1

[an cos(wnt) cos(wmt) + bn sen(wnt) cos(wmt)] .

Seguimos integrando em [0, T ] e temos:

∫ T

0

cos(wmt)f(t)dt =

∫ T

0

a02cos(wmt)dt+

∞∑

n=1

[

an

∫ T

0

cos(wnt) cos(wmt)dt+ bn

∫ T

0

sen(wnt) cos(wmt)dt

]

.

Pelo teorema 4, se m 6= n, as par elas do lado direito são nulas. A úni a par ela não nula é

aquela onde m = n. Supondo m = n 6= 0, temos:

∫ T

0

cos(wmt)f(t)dt = amT

2,

onde obtemos a expressão (10.3b). Supondo m = n = 0, obtemos a expressão (10.3a). Um

argumento análoga para al ular bn.

Observação 6. Observe que omo cos(0) = 1, a fórmula de an om n = 0 re ai na fórmula

para a0.

Denição 15. Seja f(t) uma função T -periódi a integrável em [0, T ]. Denimos omo a

série de Fourier asso iada à função f , a série trigonométri a ujos oe ientes são dados

por (10.3).

Observe que a série de Fourier de uma função f(t) não é ne essariamente igual a função

f(t). De fato, não se pode se quer garantir que a série de Fourier asso iada a uma função

integrável seja onvergente. Estas questões teóri as fogem do es opo do nosso urso e são

normalmente tratadas em ursos de análise matemáti a (veja, por exemplo, [?, [? e [?).

116 CAPÍTULO 10. SÉRIES DE FOURIER

Teorema 6. Seja f uma função periódi a de período T , suave por partes e des ontínua no

máximo em um número nito de saltos dentro de ada intervalo, então a série de Fourier

onverge em ada ponto t paraf(t+) + f(t−)

2,

onde f(t+) e f(t−) são os limites laterais à direita e à esquerda, respe tivamente. Observe

que nos pontos t onde f(t) é ontínua, então f(t+) = f(t−) e a série de Fourier onverge

para f(t).

Exemplo 57. Seja f(t) uma função dada por

f(t) = |t|, −1 ≤ t < 1

f(t+ 2) = f(t), ∀t ∈ R.

Essa função é suave por partes e ontínua em todos os pontos. Portanto se apli a o teorema

6.

1

1 2 3 4−1

y = f(t)

t

Observamos que essa é uma função par, ou seja, f(t) = f(−t). A m de explorar essa

simetria, utilisaremos as fórmulas (10.3) envolvendo integrais simétri as, isto é,

a0 =2

T

∫ T/2

−T/2

f(t)dt

an =2

T

∫ T/2

−T/2

f(t) cos(wnt)dt

bn =2

T

∫ T/2

−T/2

f(t) sen(wnt)dt

onde T = 2 e wn = 2πnT

= πn. Logo,

a0 =

∫ 1

−1

|t|dt = 2

∫ 1

0

tdt = 2

[t2

2

]1

0

= 1

an =

∫ 1

−1

|t| cos(πnt)dt = 2

∫ 1

0

t cos(πnt)dt = 2

[t sen(πnt)

πn

]1

0

− 2

∫ 1

0

sen(πnt)

πndt

= 2

[t sen(πnt)

πn+

cos(πnt)

π2n2

]1

0

= 2(−1)n − 1

π2n2

10.2. SÉRIES DE FOURIER 117

bn =

∫ 1

−1

|t| sen(πnt)dt = 0.

onde se usou que |t|, |t| cos(πnt) são funções pares em t e |t| sen(πnt) é ímpar em t. Assim,

temos

f(t) =1

2− 4

π2

(

cos(πt) +1

32cos(3πt) +

1

52cos(5πt) + · · ·

)

Observe que, quando t = 0, obtemos omo subproduto da série de Fourier da f(t) a soma da

seguinte série numéri a:

1 +1

32+

1

52+ · · · = π2

8. (10.4)

A gura 10.1 apresenta os grá os da série que representa a função f(t) om um termo, dois

termos e três termos.

1

1 2 3 4−1

t

Figura 10.1: Grá os de f0(t) = 12(azul), f1(t) = 1

2− 4

π2 cos(πt) (verde) e f2(t) = 12−

4π2

(cos(πt) + 1

32cos(3πt)

)(vermelho).

Exemplo 58. Seja g(t) uma função dada por

g(t) = −1, −1 < t < 0

g(t) = 0, t = 0 ou t = 1

g(t) = 1, 0 < t < 1

g(t+ 2) = g(t), ∀t ∈ R.

Essa função é suave por partes e ontínua em todos os pontos ex eto por saltos nos inteiros,

onde a função vale a média aritméti a dos limites laterais. Portanto se apli a o teorema 6.

Observamos que essa é uma função ímpar, ou seja, f(t) = −f(−t). Novamente, utilisa-

remos as fórmulas (10.3) envolvendo integrais simétri as:

a0 =

∫ 1

−1

g(t)dt = 0

an =

∫ 1

−1

g(t) cos(πnt)dt = 0

118 CAPÍTULO 10. SÉRIES DE FOURIER

1

−1

1 2 3 4−1

y = g(t)

t

bn =

∫ 1

−1

g(t) sen(πnt)dt = 2

∫ 1

0

g(t) sen(πnt)dt = 2

∫ 1

0

sen(πnt)dt

=2

πn[− cos(πnt)]10 = 2

1− (−1)n

πn

Logo,

g(t) =4

π

(

sen(πt) +1

3sen(3πt) +

1

5sen(5πt) + · · ·

)

.

A gura 10.2 apresenta os grá os da série que representa a função g(t) om um termo, dois

termos, três termos e quatro termos.

1

−1

1 2 3 4−1

t

Figura 10.2: Grá os de g0(t) = 4πsen(πt) (azul), g1(t) = 4

π

(sen(πt) + 1

3sen(3πt)

)

(verde), g2(t) = g(t) = 4π

(sen(πt) + 1

3sen(3πt) + 1

5sen(5πt)

)(vermelho) e g3(t) = g(t) =

4π

(sen(πt) + 1

3sen(3πt) + 1

5sen(5πt) + 1

7sen(7πt)

)(preto).

10.2. SÉRIES DE FOURIER 119

Exemplo 59. Seja h(t) uma função dada por

f(t) = t, 0 < t < 1

f(t) =1

2, t = 1

f(t+ 1) = f(t), ∀t ∈ R.

Essa função é suave por partes e ontínua ex eto por salto nos inteiros onde h(t) assume o

valor médio dos limites laterais. Portanto se apli a o teorema 6.

1

1 2 3 4−1

y = h(t)

t

Utilisaremos as fórmulas (10.3) envolvendo integrais no intervalo [0, 1], isto é,

a0 = 2

∫ 1

0

tdt = 2

[t2

2

]1

0

= 1

an = 2

∫ 1

0

t cos(2πnt)dt = = 2

[t sen(2πnt)

2πn

]1

0

− 2

∫ 1

0

sen(2πnt)

2πndt

= 2

[t sen(2πnt)

2πn+

cos(2πnt)

4π2n2

]1

0

= 0

bn = 2

∫ 1

0

t sen(2πnt)dt = = 2

[

−t cos(2πnt)

2πn

]1

0

+ 2

∫ 1

0

cos(2πnt)

2πndt

= 2

[

−t cos(2πnt)

2πn+

sen(2πnt)

4π2n2

]1

0

= − 1

πn

Logo,

h(t) =1

2− 1

π

(

sen(2πt) +1

2sen(4πt) +

1

3sen(6πt) + · · ·

)

.

Observação 7. Os oe iente bn da série de Fourier de uma função par são nulos bem omo

os oe iente an da série de Fourier de uma função ímpar também o são.

Problema 24. Demonstre a observação 7.

120 CAPÍTULO 10. SÉRIES DE FOURIER

10.3 Exer í ios

Exer í io 10.1 Verique as seguintes armações são verdadeiras e justique:

1. A soma de funções periódi as é uma função periódi a.

2. Toda função periódi a possui uma representação em série de Fourier.

3. Séries de Fourier onvergentes são ontínuas.

4. Seja f(x) uma função real ímpar, então f(0) = 0.

5. Seja f(x) uma função real par, então f(0) = 0.

6. Seja f(x) uma função real ímpar diferen iável, então f ′(0) = 0.

7. Seja f(x) uma função real par diferen iável, então f ′(0) = 0.

8. Seja f(x) uma função real par diferen iável, então f ′(x) é uma função ímpar.

9. Seja f(x) uma função real ímpar diferen iável, então f ′(x) é uma função par.

10. Seja f(x) uma função real par integrável, então

∫ x

0f(s)ds é uma função ímpar.

11. Seja f(x) uma função real ímpar integrável, então

∫ x

0f(s)ds é uma função par.

12. A úni a função real par e ímpar é a função f(x) = 0.

13. Toda função real pode ser es rita de forma úni a omo a soma de uma função ímpar e

outra par.

Exer í io 10.2 Identique a paridade das sequintes funções. Verique quais delas são

periódi as.

1. f(x) = sen(x2).

2. f(x) = sen2(x).

3. f(x) = cos(x) + esen(x)

4. f(x) = cos(πx) + esen(x)

5. f(x) = 2

6. f(x) = (sen(x) + cos(x) + 1)5

7. f(x) = (cos(2x) + 1)7

8. f(x) = sen2(πx) + cos(πx)

10.3. EXERCÍCIOS 121

9. f(x) = sen(x) cos(x)

10. f(x) = sen(1 + cos(x))

Exer í io 10.3 Seja f(t) um função periódi a integrável de período T e F (t) =∫ t

0f(τ)dτ . En ontre uma ondição ne essária e su iente para que F (t) seja periódi a de

período T .

Exer í io 10.4 En ontre a frequên ia angular fundamental das seguintes funções

periódi as:

a) f(t) = sen(πt)

b) cos2(πt)

) cos3(πt)

d) ecos(t)

e) cos(2t) + cos(4t)

f) cos(2t) + sen(3t)

h) cos(6t) + sen(10t) + sen(15t)

i) 2 + cos(3t)

Exer í io 10.5 Considere a função periódi a de período T dada na região (−T/2, T/2)

por

f(t) =

0, −T/2 ≤ t < −d/2,1, −d/2 ≤ t ≤ d/2,0, d/2 < t ≤ T/2.

onde d é uma onstante entre 0 e T .Estude a paridade desta função. En ontre sua representação em série de Fourier.

Exer í io 10.6 Cal ule a soma da série

f(t) =∞∑

n=0

bn sen(nt)

onde 0 < b < 1 e mostre que

f(t) =b sen(t)

1− 2b cos(t) + b2.

Com base neste resultado, obtenha o valor da integral denida dada por

∫ 2π

0

b sen(t) sen(kt)

1− 2b cos(t) + b2dt.

122 CAPÍTULO 10. SÉRIES DE FOURIER

Exer í io 10.7 Considere a função periódi a de período T dada para −T/2 < t < T/2

por

f(t) =

t, |t| ≤ d/2,0, d/2 < |t| < T/2,

onde 0 < d ≤ T . Cal ule sua representação em série de Fourier. Estude o aso parti ular

d = T . Di a:∫u cos(u)du = cos(u) + u sen(u) + C e

∫u sen(u)du = sen(u)− u cos(u) + C

Exer í io 10.8 Tra e o grá o e obtenha a representação em série de Fourier das

seguintes funções:

a) f(t) = | sen(πt)|

b) g(t) =∑∞

n=−∞ δ(t− nT ) onde T > 0.

Exer í io 10.9 Use o item a do exer í io anterior para obter uma representação em

Série de Fourier da função

h(t) = | cos(πt)|.

Capítulo 11

Representações da série de Fourier e

diagramas de espe tro

No apítulo anterior, vimos que uma função periódi a pode ser representa omo uma

série trigonométri a. No entanto, sobretudo em apli ações em Físi a e Engenharia, a série de

Fourier é apresentada em outras formas, a forma harmni a (ou amplitude-fase) e a forma

exponen ial. Neste apítulo veremos omo onstruir estas representações e introduziremos o

on eito de diagramas de espe tro de uma função periódi a.

11.1 Forma harmni a

A forma harmni a, também hamada de forma amplitude-fase, da série de Fourier de

uma função f(t) é dada onforme a seguir:

f(t) = A0 +∞∑

n=1

An cos(wnt− θn),

onde wn = 2πnT, An são onstantes não negativas hamadas de amplitude e θn são ângulos de

fase. Para rela ionar esta representação om a forma trigonométri a, usamos a identidade

trigonométri a

cos(a− b) = cos(a) cos(b) + sen(a) sen(b),

om a = wnt e b = θn. Assim temos:

f(t) = A0 +

∞∑

n=1

An cos(wnt− θn)

= A0 +

∞∑

n=1

An [cos(wnt) cos(θn) + sen(wnt) sen(θn)]

= A0︸︷︷︸

a0/2

+

∞∑

n=1

[An cos(θn)︸ ︷︷ ︸

an

cos(wnt) + An sen(θn)︸ ︷︷ ︸

bn

sen(wnt)]

123

124CAPÍTULO 11. REPRESENTAÇÕES DA SÉRIE DE FOURIER E DIAGRAMAS DE ESPECTRO

Comparando os termos da representação trigonométri a, temos que:

a02

= A0

an = An cos(θn)

bn = An sen(θn)

Observe que

a2n + b2n = A2n

e, omo An ≥ 0 por hipótese, temos que

An =√

a2n + b2n.

Também temos

cos(θn) =an

√

a2n + b2n

sen(θn) =bn

√

a2n + b2n

Observe que sempre é possível onverter uma forma na outra e os ângulos de fase estão

uni amente denidos em ada volta do i lo trigonométri o.

Exemplo 60. Considere um função periódi a (T = 4) dada pelo grá o

1

−1

1 2 3 4 5 6−1

y = f(t)

t

Os oe ientes de Fourier são dados por

a02

=1

4

∫ 4

0

f(t)dt =1

4

∫ 1

0

1dt =1

4

an =2

4

∫ 4

0

f(t) cos(wnt)dt =1

2

∫ 1

0

cos(πn

2t)

dt =1

πn

[

sen(πn

2t)]1

0=

0, n par

1πn(−1)

n−12 n ímpar

bn =2

4

∫ 4

0

f(t) sen(wnt)dt =1

2

∫ 1

0

sen(πn

2t)

dt =1

πn

[

− cos(πn

2t)]1

0=

1πn, n ímpar

1πn

(1− (−1)

n2

)n par

11.2. FORMA EXPONENCIAL 125

n an bn An θn

0

12

0

14

1

1π

1π

√2

ππ4

2 0 1π

1π

π2

3 − 13π

13π

√2

3π3π4

4 0 0 0

5

15π

15π

√2

5ππ4

Tabela 11.1:

Para es rever a forma harmni a da série de Fourier da função f(t) al ulamos as am-

plitudes An e as fases θn. Para n = 0, temos a0 =12e, portanto, A0 =

a02= 1

4. Para n = 1,

temos a1 = b1 =1πe, onsequentemente, A1 =

√1π2 +

1π2 =

√2

πe θ1 =

π4. Os ál ulos foram

repetidos de forma análoga para n = 2, 3, 4 e 5 e apresentados na tabela 11.1. Portanto,

f(t) =1

4+1

π

[√2 cos

(π

2t− π

4

)

+ cos(

πt− π

2

)

+

√2

3cos

(3π

2t− 3π

4

)

+

√2

5cos

(5π

2t− π

4

)

+ · · ·]

11.2 Forma exponen ial

A forma exponen ial de uma série de Fourier é obtida quando se substiuem as funções

trigonométri as sen(wnt) e cos(wnt) por suas representações em termos de exponen iais om-

plexos, isto é

cos(wnt) =eiwnt + e−iwnt

2e sen(wnt) =

eiwnt − e−iwnt

2i

f(t) =a02

+

∞∑

n=1

an cos(wnt) +

∞∑

n=1

bn sen(wnt)

=a02

+

∞∑

n=1

an

(eiwnt + e−iwnt

2

)

+

∞∑

n=1

bn

(eiwnt − e−iwnt

2i

)

126CAPÍTULO 11. REPRESENTAÇÕES DA SÉRIE DE FOURIER E DIAGRAMAS DE ESPECTRO

Reagrupando os termos e usando o fato que

1i= −i, temos:

f(t) =a02

+

∞∑

n=1

an − ibn2

eiwnt +

∞∑

n=1

an + ibn2

e−iwnt(11.1)

Agora observamos que as denições 10.3 dadas por

a0 =2

T

∫ T

0

f(t)dt =2

T

∫ T/2

−T/2

f(t)dt

an =2

T

∫ T

0

f(t) cos(wnt)dt =2

T

∫ T/2

−T/2

f(t) cos(wnt)dt

bn =2

T

∫ T

0

f(t) sen(wnt)dt =2

T

∫ T/2

−T/2

f(t) sen(wnt)dt

Embora estas expressões estejam denadas apenas para n > 0, elas fazem sentidos para

qualquer n inteiro. Neste aso, valem as seguintes identidades:

a−n = an, b−n = −bn b0 = 0.

onde se usou que w−n = 2π(−n)T

= −2πnT

= −wn e a paridade das funções osseno e seno.

Estendendo estas denições para qualquer inteiro, introduzimos os oe ientes Cn dados

por:

Cn =an − ibn

2(11.2)

Observe que estes oe ientes estão denidos para para número inteiro n, assim temos:

C0 =a0 − ib0

2=

a02

e

C−n =a−n − ib−n

2=

an + ibn2

Substituindo estas expressões para C0, Cn e C−n em (11.1), obtemos:

f(t) = C0 +∞∑

n=1

Cneiwnt +

∞∑

n=1

C−ne−iwnt

Es revemos agora esta última expressão em um úni o somatório:

f(t) =∞∑

n=−∞Cne

iwnt(11.3)

onde se usou que w−n = 2π(−n)T

= −2πnT

= −wn

11.3. DIAGRAMAS DE ESPECTRO 127

Observamos também que os oe ientes Cn podem ser es ritos das seguinte forma mais

enxuta:

Cn =an − ibn

2

=1

T

∫ T

0

f(t) [cos(wnt)− i sen(wnt)] dt

=1

T

∫ T

0

f(t)e−iwntdt =1

T

∫ T/2

−T/2

f(t)e−iwntdt

Exemplo 61. A função f(t) dada no exemplo 57 pode ser es rita na forma exponen ial om

os seguintes oe ientes:

C0 =a02

=1

2

Cn =an − ibn

2=

2 (−1)n−1π2n2 + 0

2=

(−1)n − 1

π2n2, n 6= 0

Exemplo 62. A função g(t),

g(t) =4

π

(

sen(πt) +1

3sen(3πt) +

1

5sen(5πt) + · · ·

)

,

al ulada no exemplo 58 pode ser es rita na forma exponen ial om os seguintes oe ientes:

C0 =a02

= 0

e

Cn =an − ibn

2=

0− i21−(−1)n

πn

2= i

(−1)n − 1

πn, n 6= 0.

Logo,

g(t) = · · ·+ 2i

5πe−5iπt +

2i

3πe−3iπt +

2i

πe−iπt − 2i

πeiπt − 2i

3πe3iπt − 2i

5πe5iπt − · · · ,

11.3 Diagramas de espe tro

Diagramas espe tro são representações grá as dos oe ientes de Fourier Cn asso iados

a uma função periódi a f(t). Como os oe ientes Cn são números omplexos, é omum

representá-los na forma de módulo e fase, isto é:

Cn = |Cn|eiφn.

O ângulo de fase assim denido oin ide om o on eito de argumento do número Cn.

Exemplo 63. A função

f(t) = −1 + 2 cos(t) + 4 sen(2t)

128CAPÍTULO 11. REPRESENTAÇÕES DA SÉRIE DE FOURIER E DIAGRAMAS DE ESPECTRO

é periódi a om periodo fundamental 2π e pode ser es rita na forma exponen ial da seguinte

forma:

f(t) = −1 + 2

(eit + e−it

2

)

+ 4

(e2it − e−2it

2i

)

= 2ie−2it + e−it − 1 + eit − 2ie2it

Assim, identi amos in o oe ientes não nulos:

C−2 = 2i = 2eiπ2 =⇒ |C−2| = 2, φ−2 =

π2

C−1 = 1 =⇒ |C−1| = 1, φ−1 = 0C0 = −1 = 1eπ =⇒ |C0| = 1, φ0 = πC1 = 1 =⇒ |C1| = 1, φ1 = 0

C2 = −2i = 2e−iπ2 =⇒ |C2| = 2, φ2 = −π

2

Os digramas de espe tro de amplitude e fase são dados a seguir:

1

2

1 2 3−1−2−3

|Cn|

wn

1 2 3−1−2−3

φn

wn

π2

−π2

π

−π

Exemplo 64. As primeiras raias do digrama de espe tro da função do exemplo 62,

g(t) = · · ·+ 2i

5πe−5iπt +

2i

3πe−3iπt +

2i

πe−iπt − 2i

πeiπt − 2i

3πe3iπt − 2i

5πe5iπt − · · · ,

são dados na gura a seguir

11.4 Exer í ios

11.4. EXERCÍCIOS 129

−5π −4π −3π −2π −π π 2π 3π 4π 5π

2π

|Cn|

wn

−5π −4π −3π −2π −π

π 2π 3π 4π 5π

φn

wn

π2

−π2

π

−π

Exer í io 11.1 Esbo e os diagramas de amplitude e fase do espe tro das seguintes

funções periódi as:

a) f(t) = sen(t)

b) f(t) = 3 cos(πt)

) f(t) = 1 + 4 cos(πt)

d) f(t) = 2 cos2(2πt)

e) f(t) = 8 sen3(2πt) + 2 cos(6πt)

f) f(t) = sen(2πt) + cos(3πt)

Observação: Considere a fase φ no intervalo −π < φ ≤ π

Exer í io 11.2 Esbo e os diagramas de amplitude e fase do espe tro, indi ando pelo

menos as in o primeiras raias positivas e negativas, das seguintes funções periódi as:

a) f(t) =∑∞

n=−∞eiπnt

n2+1

b) f(t) =∑∞

n=1sen(nt)

n2

130CAPÍTULO 11. REPRESENTAÇÕES DA SÉRIE DE FOURIER E DIAGRAMAS DE ESPECTRO

Exer í io 11.3 Esbo e os diagramas de espe tro das séries de Fourier dos problemas

10.8 e 10.9 da página 122.

Exer í io 11.4 Mostre que se f(t) é uma função real, então C−n = Cn. Em espe ial,

|C−n| = |Cn|.

Exer í io 11.5 Mostre que se f(t) é um deslo amento no tempo de g(t), isto é,

f(t) = g(t− k), então os oe iente de Fourier Cfn da função f e Cg

n da função g são iguais

em módulo e, portanto, possuem o mesmo diagrama de espe tro de amplitude.

Capítulo 12

Propriedades das Séries de Fourier

12.1 Teorema de Parseval

Denição 16. Dene-se a potên ia média de um função periódi a f(t) omo

P f =1

T

∫ T

0

|f(t)|2dt

Exemplo 65. A potên ia média da função f(t) = A cos(wt) é dada por

P f =1

T

∫ T

0

|f(t)|2dt

=1

T

∫ T

0

A2 cos

(2π

Tt

)2

dt

=A2

T

∫ T

0

(

cos(4πTt)+ 1

2

)

dt

=A2

2

onde se usou que w = 2πT

e identidade trigonométri a dada por:

cos2(x) =

(eix + e−ix

2

)2

=e2ix + 2 + e−2ix

4=

cos(2x) + 1

2.

Exemplo 66. Seja V (t) = A cos(wt) uma fonte de tensão om frequên ia w = 60Hz = 120πrad/s ligado a um resistor de resitên ia RΩ. A potên ia no resistor é

P (t) =V (t)2

R

e a potên ia média Pm é

Pm =1

T

∫ T

0

P (t)dt =1

T

∫ T

0

V (t)2

Rdt,

131

132 CAPÍTULO 12. PROPRIEDADES DAS SÉRIES DE FOURIER

onde T = 160s. Por outro lado, a potên ia média é al ulada em termos da tensão média por

Pm =V 2m

R,

ou seja,

V 2m =

1

T

∫ T

0

V (t)2dt. (12.1)

O exemplo 65 nos dá o valor da potên ia média do sinal V (t) = A cos(wt). Logo,

Vm =A√2.

Se Vm = 127V , então a amplitude do sinal é aproximadamente A ≈ 180.

Observação 8. Na expressão (12.1), Vm também é hamado de valor RMS do sinal v(t)(Root mean square):

VRMS =

√

1

T

∫ T

0

V (t)2dt.

Teorema 7 (Teorema de Parseval). Seja f(t) uma função periódi a representável por uma

série de Fourier, então vale a seguinte identidade.

1

T

∫ T

0

|f(t)|2dt =∞∑

n=−∞|Cn|2. (12.2)

Demonstração.

1

T

∫ T

0

|f(t)|2dt =1

T

∫ T

0

f(t)f(t)dt

Como f(t) =

∞∑

n=−∞Cne

iwnt, temos

f(t) =

∞∑

n=−∞Cneiwnt =

∞∑

n=−∞Cn eiwnt =

∞∑

n=−∞Cne

−iwnt

Substituindo esta expressão para f(t) na denição de potên ia média, temos:

1

T

∫ T

0

|f(t)|2dt =1

T

∫ T

0

f(t)f(t)dt =1

T

∫ T

0

f(t)

[ ∞∑

n=−∞Cne

−iwnt

]

dt

=1

T

∞∑

n=−∞

[

Cn

∫ T

0

f(t)e−iwntdt

]

Como Cn = 1T

∫ T

0f(t)e−iwntdt, temos:

1

T

∫ T

0

|f(t)|2dt =

∞∑

n=−∞CnCn =

∞∑

n=−∞|Cn|2

12.1. TEOREMA DE PARSEVAL 133

Exemplo 67. Seja g(t) um função dada no exemplo 58, isto é,

g(t) = −1, −1 < t < 0

g(t) = 0, t = 0 ou t = 1

g(t) = 1, 0 < t < 1

g(t+ 2) = g(t), ∀t ∈ R.

Vimos no exemplo 58 que sua expansão em série de Fourie é da forma:

1

−1

1 2 3 4−1

y = g(t)

t

g(t) =4

π

(

sen(πt) +1

3sen(3πt) +

1

5sen(5πt) + · · ·

)

.

Cal ularemos agora a potên ia média desta função através de sua representação no tempo e

depois em frequên ia:

Pf =1

T

∫ T

0

|g(t)|2dt = 1

2

∫ 2

0

|g(t)|2dt = 1

2

∫ 2

0

1dt = 1

Alternativamente, temos pelo Teorema de Parseval:

Pf =∞∑

n=−∞|Cn|2 =

∞∑

n=−∞

∣∣∣∣

an − ibn2

∣∣∣∣

2

=1

4

∞∑

n=−∞|bn|2

Como b−n = bn, temos que |b−n| = |bn| e ainda temos que b0 = 0, portanto:

Pf =1

2

∞∑

n=1

|bn|2 =1

2

(4

π

)2(

1 +1

32+

1

52+

1

72+ · · ·

)

usando a equação (10.4) da página 117, temos:

Pf =1

2

(4

π

)2π2

8= 1

134 CAPÍTULO 12. PROPRIEDADES DAS SÉRIES DE FOURIER

12.2 Fenmeno de Gibbs

A onvergên ia das somas par iais da série de Fourier de uma função suave por partes

em torno de um salto apresenta os ilações ujas amplitudes não onvergem para zero. A

onvergên ia ponto a ponto a onte e, mas se olharmos para o valor absoluto da diferença entre

a função e soma par ial sempre en ontramos um ponto onde esse valor é aproximadamente

8,9% da amplitude do salto. Esse fenmeno é hamado de Fenmeno de Gibbs

1

−1

1 2 3 4−1

y = g(t)

t

1

0.1 0.2 0.3 0.4

Capítulo 13

Transformada de Fourier

A série de Fourier é uma ferramenta para representar funções periódi as. Como os pro-

blemas de interesse podem envolver funções não periódi as, neste apítulo deniremos uma

representação para essas funções que possuem interpretação omo extensão do on eito de

série de Fourier.

13.1 Passagem do dis reto para o ontínuo

Podemos onstruir uma representação em séries de Fourier para um função f(t) não-

periódi a sempre que nos restringimos a um intervalo nito [−T/2, T/2], isto é, onstruímos

a função fT (t) T-periódi a que oin ide om f(t) no intervalo itado:

fT (t) = f(t), −T/2 ≤ t < T/2fT (t + T ) = fT (t), ∀t ∈ R

(13.1)

Exemplo 68. Considerando a função f(t) = e−|t|, denimos funções fT (t) omo na equação

(13.1) e apresentamos os grá os de f(t) e fT (t) para T = 2 e T = 4 na gura 13.1. Observe

y = f(t) = e−|t|

t

y = fT (t), T = 2

t

y = fT (t), T = 4

t

Figura 13.1:

135

136 CAPÍTULO 13. TRANSFORMADA DE FOURIER

que a função fT (t) arrega onsigo informação sobre a função f(t). Naturalmente, gostaría-

mos de poder obter o limite T → ∞, a m de aproximar fT (t) tanto quando possível de f(t).Como T representa o período da função fT (t), quando T res e a frequên ia fundamental wF

des res e. A função fT (t) possui série de Fourier da forma

fT (t) =

∞∑

n=−∞Cne

iwnt,

onde

Cn =1

T

∫ T/2

−T/2

e−|t|e−iwntdt =1

T

∫ T/2

−T/2

e−|t| (cos(wnt)− i sen(wnt)) dt

=2

T

∫ T/2

0

e−|t| cos(wnt)dt =2

T

∫ T/2

0

e−t cos(wnt)dt

=2

T

[wn sen(twn)− cos(twn)

w2n + 1

e−t

]T/2

0

=2

T

[wn sen

(Twn

2

)− cos

(Twn

2

)]e−

T2 + 1

w2n + 1

=2

T

[wn sen (nπ)− cos (nπ)] e−T2 + 1

w2n + 1

=2

T

1− (−1)ne−T2

w2n + 1

(13.2)

Observemos os diagramas de espe to para fT (t) multipli ado por T quando T = 2, T = 4 e

T = 8 na gura 13.2.

Como a distân ia entre duas raias espe trais é igual a frequên ia fundamental wF = w1,

a densidade de raias aumenta, tornando mais densa na reta. A serie de Fourier da função

fT (t) é dada por

fT (t) =∞∑

n=−∞Cne

iwnt,

onde

Cn =1

T

∫ T/2

−T/2

fT (τ)e−iwnτdτ =

1

T

∫ T/2

−T/2

f(τ)e−iwnτdτ.

Denimos agora a função

FT (w) =

∫ T/2

−T/2

f(τ)e−iwτdτ

13.1. PASSAGEM DO DISCRETO PARA O CONTÍNUO 137

1

2

|TCn|

wn

T = 2

π 2π 3π−π−2π−3π

1

2

|TCn|

wn

T = 4

π 2π 3π−π−2π−3π

1

2

|TCn|

wn

T = 8

π 2π 3π−π−2π−3π

Figura 13.2:

e es revemos fT (t) em termos de FT (w):

fT (t) =∞∑

n=−∞

1

TFT (wn)e

iwnt

=∞∑

n=−∞

wF

2πFT (wn)e

iwnt(13.3)

=

∞∑

n=−∞

∆w

2πFT (wn)e

iwnt

=1

2π

∞∑

n=−∞FT (wn)e

iwnt∆w (13.4)

Observe que a função FT (w) onverge para ada frequên ia w para a função

F (w) =

∫ ∞

−∞f(t)e−iwtdt.

Fazendo T → ∞, a soma a direita na equação (13.4) é uma soma de Riemann que onverge

para uma integral:

f(t) =1

2π

∫ ∞

−∞F (w)eiwtdw,

onde

F (w) =

∫ ∞

−∞f(t)e−iwtdt

138 CAPÍTULO 13. TRANSFORMADA DE FOURIER

Exemplo 69. Continuamos om o exemplo 68. Dada a função f(t) = e−|t|, podemos es rever

f(t) =1

2π

∫ ∞

−∞F (w)eiwtdw,

onde

F (w) = limT→∞

∫ T/2

−T/2

e−|t|e−iwtdt

= limT→∞

(

2(−1)ne−

T2 + 1

w2 + 1

)

=2

w2 + 1,

onde usamos a expressão para TCn dada por (13.2). De fato, usando uma tabela de integrais

(ou método dos resíduos), temos

1

2π

∫ ∞

−∞

2

w2 + 1cos(wt)dw =

1

π

∫ ∞

0

1

w2 + 1cos(wt)dw (13.5)

= e−|t|(13.6)

13.2 Transformada de Fourier

Denição 17. Seja f(t) uma função real (ou omplexa), dene-se a transformada de Fourier

F (w) de f(t) omo:

F (w) = Ff(t) =

∫ ∞

−∞f(t)e−iwtdt.

Denição 18. Seja F (w) uma função real (ou omplexa), dene-se a transformada inversa

de Fourier f(t) de F (w) omo:

f(t) = F−1F (w) =1

2π

∫ ∞

−∞F (w)eiwtdw.

Observação 9. É ostumeiro em Físi a e Engenharia usar a variável k na transformada de

Fourier de função em x, isto é,

F (k) = Ff(x) =

∫ ∞

−∞f(x)e−ikxdx

f(x) = F−1F (k) =1

2π

∫ ∞

−∞F (k)eikxdk.

Os pares de variáveis t-w e x-k são hamados de pares de variáveis re ípro as. A letra k é

o número de onda, on eito análogo no espaço ao on eito de frequên ia angular no tempo,

isto é, enquanto w = 2πT, k = 2π

λ, onde λ é o omprimento de onda.

13.2. TRANSFORMADA DE FOURIER 139

1

1 2 3−1−2−3

y = f(t)

t

Figura 13.3: Grá o de f(t) = et, se t < 0 ou f(t) = e−3tse t > 0.

Exemplo 70. Seja

f(t) =

eat se t < 0e−bt

se t > 0

onde a e b são onstantes positivas. A gura 13.3 mostra o grá o de f(t) para a = 1 e

b = 3.

A transformada de Fourier de f(t) é al ulada da seguinte forma:

F (w) = Ff(t) =

∫ ∞

−∞f(t)e−iwtdt

=

∫ 0

−∞eate−iwtdt+

∫ ∞

0

e−bte−iwtdt

=

∫ 0

−∞eat (cos(wt)− i sen(wt)) dt+

∫ ∞

0

e−bt (cos(wt)− i sen(wt)) dt

=

∫ ∞

0

e−at (cos(wt) + i sen(wt)) dt+

∫ ∞

0

e−bt (cos(wt)− i sen(wt)) dt

=a

a2 + w2+

iw

a2 + w2+

b

b2 + w2− iw

b2 + w2

=a

a2 + w2+

b

b2 + w2+ i

(w

a2 + w2− w

b2 + w2

)

onde se usou os itens 1 e 2 da tabela B.1.

Exemplo 71. Cal ulamos a transformada de Fourier do delta de Dira δ(t − a), a ∈ R da

seguinte forma:

F (w) = Fδ(t− a) =

∫ ∞

−∞δ(t− a)e−iwtdt

= e−iwa

Exemplo 72. Considere a função dada por

f(x) =

1 se |x| < ℓ0 se |x| ≥ ℓ

140 CAPÍTULO 13. TRANSFORMADA DE FOURIER

A transformada de Fourier desta função é dada por:

F (k) =

∫ ∞

−∞f(x)e−ikxdx =

∫ ℓ

−ℓ

e−ikxdx

=

∫ ℓ

−ℓ

(cos(kx)− i sen(kx)) dx

= 2

∫ ℓ

0

cos(kx)dx

=2

ksen(kx)|x=ℓ

x=0 =2 sen(kℓ)

k

13.3 Exer í ios

Exer í io 13.1 Considere a função f(t) = e−atu(t) onde a é uma onstante positiva

e u(t) é a função Heaviside. Tra e o grá o de f(t) e obtenha sua transformada de Fourier

(use a = 1 no grá o).

Exer í io 13.2 Considere a função f(t) = e−at2onde a é uma onstante positiva.

Tra e o grá o de f(t) e obtenha sua transformada de Fourier (use a = 1 no grá o).

Exer í io 13.3 Cal ule a transformada inversa da função F (w) = δ(w−w0)+δ(w+w0)

Exer í io 13.4 Cal ule a transformada inversa da função F (k) = e−k2

Exer í io 13.5 Mostre que se f(t) é uma função real par, então sua transformada de

Fourier é uma função real.

Exer í io 13.6 Mostre que se f(t) é uma função real ímpar, então sua transformada

de Fourier é uma função imaginária.

Exer í io 13.7 Mostre que se f(t) é uma função real, então sua a parte real da

tranformada de Fourier de f(t) é uma função par e a parte imaginária é ímpar.

Exer í io 13.8 Cal ule a transformada de Fourier da função

f(t) =

∞∑

j=0

δ(t− j)e−j.

Capítulo 14

Propriedades da transformada de Fourier

14.1 Propriedades

Propriedade 12 (Linearidade ou superposição). Dadas duas funções f(t) e g(t) om trans-

formadas de Fourier F (w) e G(w), respe tivamente, e α e β duas onstantes reais ou om-

plexas, então

F αf(t) + βg(t) = αFf(t)+ βFg(t) = αF (w) + βG(w)

Demonstração. O resultado é direto da linearidade da integral:

F αf(t) + βg(t) =

∫ ∞

−∞(αf(t) + βg(t)) e−iwtdt

=

∫ ∞

−∞αf(t)e−iwtdt+

∫ ∞

−∞βg(t)e−iwtdt

= α

∫ ∞

−∞f(t)e−iwtdt+ β

∫ ∞

−∞g(t)e−iwtdt

= αF (w) + βG(w)

Exemplo 73. As transformadas das funções f(t) = e−|t|e g(t) = 1

2√πe−

t2

4são F (w) = 2

w2+1

e G(w) = e−w2, respe tivamente. Logo,

F 5f(t)− 3g(t) = 52

w2 + 1− 3e−w2

Propriedade 13 (Transformada da derivada). Dada uma função diferen iável f(t) tal que

limt→±∞

f(t) = 0

e sua transformada de Fourier F (w), então

Ff ′(t) = iwF (w)

141

142 CAPÍTULO 14. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER

Demonstração. De fato, usando integração por partes, temos

F f ′(t) =

∫ ∞

−∞f ′(t)e−iwtdt

=[f(t)e−iwt

]∞−∞ −

∫ ∞

−∞−iwf(t)e−iwtdt

= iw

∫ ∞

−∞f(t)e−iwtdt

= iwF (w)

Observação 10. Essa propriedade reete o fato de que a transformada de Fourier de ompõe

a função f(t) em funções do tipo eiwt uja derivada é iweiwt

. De fato, esta propriedade

poderia ter sido deduzida a partir da representação de f(t) em sua integral de Fourier, isto

é:

f(t) =1

2π

∫ ∞

−∞F (w)eiwtdw.

Diferen iando em t, obtemos

f ′(t) =1

2π

∫ ∞

−∞F (w)iweiwtdw =

1

2π

∫ ∞

−∞[iwF (w)] eiwtdw.

Exemplo 74. Considere a função f(t) = e−at2, a > 0, e sua transformada de Fourier (ver

exer í io 13.2 da página 140):

F (w) =

√π√ae−

w2

4a

Usando a propriedade 13, a transformada de Fourier da derivada f ′(t) = −2ate−at2é dada

por:

F−2ate−at2 = iwF (w) = iw

√π√ae−

w2

4a .

Usando a linearidade, en ontramos a transformada de Fourier da função te−at2:

Fte−at2 = −iw

√π

2a√ae−

w2

4a .

Compare om o exer í io ?? da página ??.

Observação 11. As derivadas de ordem superior são al uladas a partir da propriedade 13:

Ff ′′(t) = F

d

dt(f ′(t))

= iwF f ′(t)= (iw)2F f(t)= (iw)2F (w).

De modo geral,

Ff (n)(t) = (iw)nF (w).

14.1. PROPRIEDADES 143

Problema 25. O diagrama de magnitudes da transformada de Fourier F (w) de uma função

f(t) é dado na gura (14.1). Esbo e o diagrama de magnitudes da transformada de Fourier

da função f ′(t).

1

|F (w)|

w

Figura 14.1:

Propriedade 14 (Deslo amento no eixo w). Dada uma função f(t) e sua transformada de

Fourier F (w), entãoFeatf(t)

= F (w + ia).

Demonstração. De fato,

Featf(t)

=

∫ ∞

−∞f(t)eate−iwtdt

=

∫ ∞

−∞f(t)e(a−iw)tdt

=

∫ ∞

−∞f(t)e−i(ia+w)tdt

= F (w + ia)

Exemplo 75. Do exemplo 74 temos que a transformada de Fourier da função f(t) = te−at2,

a > 0, é dada por

F (w) = −iw

√π

2a√ae−

w2

4a .

Logo, a transformada G(w) da função g(t) = tebt−at2, b > 0, é dada por

G(w) = F

tebt−at2

= F

ebtte−at2

= F (w + ib)

= −i(w + ib)

√π

2a√ae−

(w+ib)2

4a

= (b− iw)

√π

2a√ae−

w2+2wib−b2

4a

=√w2 + b2e−i arctan(w

b )√π

2a√ae−

w2−b2

4a e−i(wb2a )

=√w2 + b2

√π

2a√ae−

w2−b2

4a e−i(wb2a

+arctan(wb ))

= |G(w)|eiφ(w),

144 CAPÍTULO 14. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER

onde

|G(w)| =√π

2a√ae−

b2

4a

√w2 + b2e−

w2

4ae φ(w) = −

(wb

2a+ arctan

(w

b

))

Veja os diagramas de espe tro de G(w) quando a = b = 1 na gura 14.2.

1

|G(w)|

w

1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6

φ(w)

w

π

−π

Figura 14.2:

Propriedade 15 (Deslo amento no eixo t). Dada uma função f(t) e sua transformada de

Fourier F (w), entãoF f(t− a) = e−iawF (w).

Demonstração. De fato,

F f(t− a) =

∫ ∞

−∞f(t− a)e−iwtdt

=

∫ ∞

−∞f(s)e−iw(s+a)ds

=

∫ ∞

−∞f(s)e−iwae−iwsds

= e−iwa

∫ ∞

−∞f(s)e−iwsds

= e−iawF (w)

14.1. PROPRIEDADES 145

Exemplo 76. Do exemplo 68 da página 135 temos que a transformada de Fourier da função

f(t) = e−|t|é dada por F (w) = 2

w2+1. Logo, a transformada de Fourier da função g(t) =

e−|t−2|é

G(w) =2

w2 + 1e−2iw

Observação 12. Um deslo amento real no tempo não altera o módulo da transformada de

Fourier, pois |e−iaw| = 1 sempre que a e w são reais.

Propriedade 16 (Transformada da integral). Dada uma função integrável f(t) tal que sua

transformada de Fourier F (w) satisfaça F (0) = 0, então

F∫ t

−∞f(τ)dτ

=1

iwF (w).

Demonstração. Denimos g(t) =∫ t

−∞ f(τ)dτ e, usando o teorema fundamental do ál ulo,

temos g′(t) = f(t). Apli amos a transformada de Fourier na igualdade e temos:

Fg′(t) = Ff(t),

ou seja,

Fg′(t) = F (w).

Observe que

limt→∞

g(t) =

∫ ∞

−∞f(τ)dτ =

∫ ∞

−∞f(τ)ei·0·τdτ = F (0) = 0

e

limt→−∞

g(t) =

∫ −∞

−∞f(τ)dτ = 0,

portanto, podemos usar a propriedade 13 da transformada de Fourier da derivada e obter:

Fg′(t) = iwFg(t).

Assim,

F (w) = iwF∫ t

−∞f(τ)dτ

.

Portanto,

F∫ t

−∞f(τ)dτ

=1

iwF (w).

Propriedade 17 (Teorema da modulação). Dada uma função f(t) e sua transformada de

Fourier F (w), então

F f(t) cos(w0t) =1

2F (w − w0) +

1

2F (w + w0),

para w0 ∈ R.

146 CAPÍTULO 14. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER

Demonstração. De fato,

F f(t) cos(w0t) = F

f(t)

(eiw0t + e−iw0t

2

)

=

∫ ∞

−∞f(t)

eiw0t + e−iw0t

2e−iwtdt

=1

2

∫ ∞

−∞f(t)e−i(w−w0)tdt +

1

2

∫ ∞

−∞f(t)e−i(w0+w)tdt

=1

2F (w − w0) +

1

2F (w + w0)

Exemplo 77. Considere a função f(t) = cos(w0t)e−a|t|

, a > 0. Podemos obter a trans-

formada de Fourier de f(t) a partir da transformada de Fourier da função g(t) = e−a|t|.

Basta apli ar o teorema da modulação à função g(t), uja transformada de Fourier é dada

por G(w) = 2aw2+a2

:

F g(t) cos(w0t) =1

2G(w − w0) +

1

2G(w + w0)

=1

2

2a

(w − w0)2 + a2+

1

2

2a

(w + w0)2 + a2

=a

(w − w0)2 + a2+

a

(w + w0)2 + a2

Propriedade 18 (Teorema da onvolução). Dadas duas funções f1(t) e f2(t) om suas res-

pe tivas transformadas de Fourier, F1(w) e F2(w), então

a) (Convolução no tempo)

F(f1 ∗ f2)(t) = F1(w)F2(w),

b) (Convolução na frequên ia)

(F1 ∗ F2)(w) = 2πFf1(t)f2(t)ou

F−1(F1 ∗ F2)(w) = 2πf1(t)f2(t),

onde ∗ indi a a onvolução de duas funções:

(f1 ∗ f2)(t) =∫ ∞

−∞f1(τ)f2(t− τ)dτ

Demonstração. a) Usando as denições de transformada de Fourier e onvolução de duas

funções, temos:

F(f1 ∗ f2)(t) =

∫ ∞

−∞(f1 ∗ f2)(t)e−iwtdt

=

∫ ∞

−∞

(∫ ∞

−∞f1(τ)f2(t− τ)dτ

)

e−iwtdt

=

∫ ∞

−∞

[

f1(τ)

∫ ∞

−∞f2(t− τ)e−iwtdt

]

dτ (14.1)

14.1. PROPRIEDADES 147

Uma das integrais pode ser al ulada fazendo uma mudança de variável:

∫ ∞

−∞f2(t− τ)e−iwtdt =

∫ ∞

−∞f2(s)e

−iw(s+τ)ds

= e−iwτ

∫ ∞

−∞f2(s)e

−iwsds

= e−iwτF2(w) (14.2)

Substituindo a equação (14.2) na equação (14.1), temos

F(f1 ∗ f2)(t) =

∫ ∞

−∞

[

f1(τ)

∫ ∞

−∞f2(t− τ)e−iwtdt

]

dτ

=

∫ ∞

−∞

[f1(τ)e

−iwτF2(w)]dτ

= F2(w)

∫ ∞

−∞

[f1(τ)e

−iwτ]dτ

= F1(w)F2(w)

b) Analogamente, usando as denições, temos:

F−1(F1 ∗ F2)(w) =1

2π

∫ ∞

−∞(F1 ∗ F2)(w)e

iwtdw

=1

2π

∫ ∞

−∞

(∫ ∞

−∞F1(v)F2(w − v)dv

)

eiwtdw

=1

2π

∫ ∞

−∞

[

F1(v)

∫ ∞

−∞F2(w − v)eiwtdw

]

dv (14.3)

Também,

∫ ∞

−∞F2(w − v)eiwtdw =

∫ ∞

−∞F2(y)e

i(y+v)tdy

= eivt∫ ∞

−∞F2(y)e

iytdy

= 2πeivtf2(t) (14.4)

Substituindo a equação (14.4) na equação (14.3), temos

F−1(F1 ∗ F2)(w) =1

2π

∫ ∞

−∞

[

F1(v)

∫ ∞

−∞F2(w − v)eiwtdw

]

dv

=1

2π

∫ ∞

−∞F1(v)e

ivt2πf2(t)dv

= f2(t)

∫ ∞

−∞F1(v)e

ivtdv

= 2πf1(t)f2(t)

148 CAPÍTULO 14. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER

Exemplo 78. Considere as funções f(t) = te−t2e g(t) = e−a|t|

, a > 0 e suas respe tivas

transformadas de Fourier F (w) = −iw√π2e−

w2

4e G(w) = 2a

w2+a2. A transformada de Fourier

da função

h(t) =

∫ ∞

−∞f(t− τ)g(τ)dτ =

∫ ∞

−∞(t− τ)e−(t−τ)2e−a|τ |dτ

é al ulada usando o teorema da onvolução e é dada por

H(w) = F (w)G(w) = −iwa

√π

w2 + a2e−

w2

4

Propriedade 19 (Conjugação). Dada uma função real f(t) e sua transformada de Fourier

F (w), então

F (w) = F (−w)

Demonstração. De fato,

F (w) =

∫ ∞

−∞f(t)e−iwtdt

=

∫ ∞

−∞f(t)e−iwtdt, pois f(t) = f(t)

=

∫ ∞

−∞f(t)eiwtdt

=

∫ ∞

−∞f(t)e−i(−w)tdt

= F (−w)

Observação 13. Se f(t) não é uma função real, esta propriedade não se apli a.

Exemplo 79. Considere as funções f(t) = te−t2e sua transformada de Fourier F (w) =

−iw√π2e−

w2

4. Então,

F (−w) = iw

√π

2e−

w2

4

e

F (w) = −iw

√π

2e−

w2

4 = iw

√π

2e−

w2

4 .

Propriedade 20 (Inversão temporal). Dada uma função f(t) e sua transformada de Fourier

F (w), entãoF f(−t) = F (−w).

Demonstração.

F f(−t) =

∫ ∞

−∞f(−t)e−iwtdt

14.1. PROPRIEDADES 149

pro edemos om a mudança de variáveis τ = −t:

F f(−t) =

∫ ∞

−∞f(−t)e−iwtdt

=

∫ −∞

∞f(τ)eiwτ (−dτ)

=

∫ ∞

−∞f(τ)eiwτdτ

=

∫ ∞

−∞f(τ)e−i(−w)τdτ

= F (−w)

Propriedade 21 (Simetria ou dualidade). Dada uma função f(t) e sua transformada de

Fourier F (w), então

f(−w) =1

2πFF (t)

Demonstração. Da denição de transformada de Fourier, temos

f(t) =1

2π

∫ ∞

−∞F (w)eiwtdw

Podemos tro as t e w e al ular f(w) em função de F (t):

f(w) =1

2π

∫ ∞

−∞F (t)eitwdt.

Ou seja,

f(−w) =1

2π

∫ ∞

−∞F (t)e−itwdt =

1

2πFF (t).

Propriedade 22 (Mudança de es ala). Dada uma função f(t) e sua transformada de Fourier

F (w), então

Ff(at) =1

|a|F(w

a

)

, ∀a 6= 0.

Demonstração. Da denição de transformada de Fourier, temos

Ff(at) =

∫ ∞

−∞f(at)e−iwtdt

Fazendo a mudança τ = at, distinguindo dois asos: a > 0 e a < 0.

150 CAPÍTULO 14. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER

Para o aso a > 0, temos:

Ff(at) =

∫ ∞

−∞f(at)e−iwtdt

=

∫ ∞

−∞f(τ)e−

iwτadτ

a

=1

a

∫ ∞

−∞f(τ)e−

iwτa dτ

Para o aso a < 0, temos:

Ff(at) =

∫ ∞

−∞f(at)e−iwtdt

=

∫ −∞

∞f(τ)e−

iwτadτ

a

= −1

a

∫ ∞

−∞f(τ)e−

iwτa dτ

Em ambos os asos, temos:

Ff(at) =1

|a|

∫ ∞

−∞f(τ)e−

iwτa dτ

=1

|a|F(w

a

)

Observação 14. A propriedade da inversão temporal (propriedade 20) é um aso parti ular

desta propriedade quando a = −1.

Propriedade 23 (Teorema de Parseval). Seja f(t) uma função real ou omplexa e F (w) suatransformada de Fourier, então vale a identidade:

∫ ∞

−∞|f(t)|2dt = 1

2π

∫ ∞

−∞|F (w)|2dw

Demonstração. Partimos da representação de f(t) em sua integral de Fourier:

f(t) =1

2π

∫ ∞

−∞F (w)eiwtdw

e onsequentemente:

f(t) =1

2π

∫ ∞

−∞F (w)e−iwtdw

14.1. PROPRIEDADES 151

e inserimos essa expressão na integral envolvida:

∫ ∞

−∞|f(t)|2dt =

∫ ∞

−∞f(t)f(t)dt

=1

2π

∫ ∞

−∞f(t)

∫ ∞

−∞F (w)e−iwtdwdt

=1

2π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞f(t)F (w)e−iwtdwdt

=1

2π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞f(t)F (w)e−iwtdtdw

=1

2π

∫ ∞

−∞F (w)

∫ ∞

−∞f(t)e−iwtdtdw

=1

2π

∫ ∞

−∞F (w)F (w)dw

=1

2π

∫ ∞

−∞|F (w)|2dw

Observação 15. Esta integral está asso iada ao on eito de energia total de um sinal.

Exemplo 80. Considere a função f(t) = e−a|t|, a > 0, e sua transformada de Fourier

F (w) = 2aw2+a2

. A energia asso iada a essa função pode ser al ulada de duas maneiras

distintas:

∫ ∞

−∞|f(t)|2dt =

∫ ∞

−∞|e−a|t||2dt

=

∫ ∞

−∞e−2a|t|dt

= 2

∫ ∞

0

e−2atdt

= 2

[

− 1

2ae−2at

]∞

0

=1

a

ou

1

2π

∫ ∞

−∞|F (w)|2dw =

1

2π

∫ ∞

−∞

(2a

w2 + a2

)2

dw

=4a2

π

∫ ∞

0

1

(w2 + a2)2dw

Usando o item 19 da tabela de integrais denidas B.1 da página 178 om m = 0, temos:

∫ ∞

0

1

(w2 + a2)2dw =

π

4a3.

152 CAPÍTULO 14. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER

Portanto,

1

2π

∫ ∞

−∞|F (w)|2dw =

4a2

π

π

4a3=

1

a.

Propriedade 24 (Prin ípio da In erteza*). Seja f(t) uma função real que satisfaz limt→±∞ f(t) =0 e F (w) = Ff(t) sua transformada de Fourier. Então vale a seguinte estimativa:

∫ ∞

−∞|tf(t)|2dt ·

∫ ∞

−∞|wF (w)|2 dw ≥ π

2

∣∣∣∣

∫ ∞

−∞|f(t)|2dt

∣∣∣∣

2

Demonstração. Primeiro observamos que

∫ ∞

−∞|f(t)|2dt =

∫ ∞

−∞f(t)f(t)dt

Pro edemos om intregação por partes onde u(t) = f(t)f(t), du(t) = f ′(t)f(t) + f(t)f ′(t),v(t) = t e dv(t) = dt.

∫ ∞

−∞|f(t)|2dt = −

∫ ∞

−∞t(

f ′(t)f(t) + f(t)f ′(t))

dt

= −∫ ∞

−∞tf ′(t)f(t)dt−

∫ ∞

−∞tf(t)f ′(t)dt

Usando a desigualdade de Cau hy-S hwarz

1

temos

∣∣∣∣

∫ ∞

−∞|f(t)|2dt

∣∣∣∣

≤∣∣∣∣

∫ ∞

−∞tf(t)f ′(t)dt

∣∣∣∣+

∣∣∣∣

∫ ∞

−∞tf(t)f ′(t)dt

∣∣∣∣

≤[∫ ∞

−∞|tf(t)|2dt ·

∫ ∞

−∞|f ′(t)|2dt

]1/2

+

[∫ ∞

−∞|tf(t)|2dt ·

∫ ∞

−∞|f ′(t)|2dt

]1/2

= 2

[∫ ∞

−∞|tf(t)|2dt ·

∫ ∞

−∞|f ′(t)|2dt

]1/2

.

Agora, usando o teorema de Parseval (ver propriedade 23), temos

∣∣∣∣

∫ ∞

−∞|f(t)|2dt

∣∣∣∣

2

≤ 4

∫ ∞

−∞|tf(t)|2dt ·

∫ ∞

−∞|f ′(t)|2dt

= 4

∫ ∞

−∞|tf(t)|2dt · 1

2π

∫ ∞

−∞|F f ′(t)|2 dw

=2

π

∫ ∞

−∞|tf(t)|2dt ·

∫ ∞

−∞|iwF (w)|2 dw

e, nalmente,

∫ ∞

−∞|tf(t)|2dt ·

∫ ∞

−∞|wF (w)|2 dw ≥ π

2

∣∣∣∣

∫ ∞

−∞|f(t)|2dt

∣∣∣∣

2

1

∣∣∫f(x)g(x)dx

∣∣ ≤

[∫|f(x)|2dx ·

∫|g(x)|2dx

]1/2

14.2. PASSAGEM DO CONTÍNUO PARA O DISCRETO 153

14.2 Passagem do ontínuo para o dis reto

Nesta seção vamos al ular a transformada de Fourier de uma função periódi a f(t)que possui representação em série de Fourier. Para esse propósito, observe que, olo ando

F (w) = 2πδ(w − w0), temos

f(t) = F−12πδ(w − w0) =2π

2π

∫ ∞

−∞δ(w − w0)e

iwtdw = eiw0t.

ou seja,

Feiw0t = 2πδ(w − w0). (14.5)

Agora, onsidere uma função f(t) que possui representação em série de Fourier:

f(t) =∞∑

n=−∞Cne

iwnt.

A denição de transformada de Fourier nos dá:

Ff(t) =

∫ ∞

−∞f(t)e−iwtdt

=

∫ ∞

−∞

( ∞∑

n=−∞Cne

iwnt

)

e−iwtdt

=

∞∑

n=−∞Cn

(∫ ∞

−∞eiwnte−iwtdt

)

= 2π

∞∑

n=−∞Cnδ(w − wn),

onde usamos a equação (14.5) na última passagem.

Exemplo 81. Dada a função f(t) = cos(w0t), sua representação em série trigonométri a

exponen ial é

f(t) =1

2ew0it +

1

2e−w0it.

Logo, a sua transformada de Fourier F (w) é dada por:

F (w) = πδ(w − w0) + πδ(w + w0)

Exemplo 82. Considere a função não periódi a g(t) = e−a|t| cos(w0t), a > 0. A transformada

de Fourier de g(t) é dada por G(w) = a(w−w0)2+a2

+ a(w+w0)2+a2

(ver exemplo (77)). Observe

que

lima→0

g(t) = lima→0

e−a|t| cos(w0t) = cos(w0t).

154 CAPÍTULO 14. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER

Comparando om o exemplo 81, é esperado que G(w) onvirja para F (w). De fato, observe

que a área abaixo da urva é onstante om respeito a a:

∫ ∞

−∞G(w)dw = a

∫ ∞

−∞

(1

(w − w0)2 + a2+

1

(w + w0)2 + a2

)

dw

= a

[1

atan−1

(w − w0

a

)

+1

atan−1

(w + w0

a

)]∞

−∞

=π

2−(

−π

2

)

+π

2−(

−π

2

)

= 2π

e a urva G(w) onverge para 0, ex eto em w = w0 e w = −w0. Portanto o limite de G(w) éF (w). Os diagramas de magnitude de F (w) e de G(w) para alguns valores de a > 0 e w0 = 1são apresentados na gura 14.3.

1

2

1 2−1−2

|G(w)|

w

w0 = 1, a = 1

1

2

3

1 2−1−2

|G(w)|

w

w0 = 1, a = 0.5

1

2

3

4

1 2−1−2

|G(w)|

w

w0 = 1, a = 0.25

1

2

3

1 2−1−2

|F (w)|

w

Figura 14.3:

14.3 Apli ação: Sinais Dis retos

Nessa seção vamos dis utir sobre dis retização de sinais, em espe ial, pretendemos res-

ponder om que frequên ia pre isamos amostrar um sinal real para podermos re onstruí-lo.

Vamos onsiderar que o espe tro da função f(t) é omposto apenas por frequên ias inferiores

14.3. APLICAÇO: SINAIS DISCRETOS 155

a wc, onde wc é hamado de frequên ia de orte. Mostraremos que se onhe ermos apenas os

valores de f(t) para t = kT , k ∈ Z, onde T é o período de amostragem e wa := 2πT

> 2wc é

a frequên ia de amostragem, então podemos re onstruir exatamente f(t) em todos instantes

de tempo.

Considere f(t) uma função real, deniremos fT (t) uma versão dis retizada deste sinal da

seguinte forma:

fT (t) =

∞∑

k=−∞f(kT )δ(t− kT ),

assim fT (t) é um trem de Dira 's ujas amplitudes oin idem om o valor da função f(t)nos pontos de amostragem kT . Veja um exemplo na gura 14.4. A m de al ularmos a

t

f(t), fT (t)

T

2T 3T

4T 5T

−T

−2T−3T

−4T−5T

Figura 14.4:

transforma de Fourier de fT (t), observamos que:

fT (t) =∞∑

k=−∞f(kT )δ(t− kT )

=∞∑

k=−∞f(t)δ(t− kT )

= f(t)

∞∑

k=−∞δ(t− kT )

= f(t)δT (t)

onde δT (t) =∑∞

k=−∞ δ(t− kT ) é uma função periódi a uja série de Fourier é dada por:

δT (t) =

∞∑

k=−∞δ(t− kT ) =

∞∑

n=−∞Cne

iwnt

156 CAPÍTULO 14. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER

e

Cn =1

T

∫ T/2

−T/2

δT (t)e−iwntdt =

1

T

assim,

δT (t) =1

T

∞∑

n=−∞eiwnt

e, portanto:

fT (t) = f(t)δT (t)

= f(t)1

T

∞∑

n=−∞eiwnt

=1

T

∞∑

n=−∞f(t)eiwnt

e nalmente:

FT (w) = F fT (t)

=1

TF ∞∑

n=−∞f(t)eiwnt

=1

T

∞∑

n=−∞F (w − wn)

onde se usou a propriedade do deslo amento no eixo w (14). Veja um exemplo na gura 14.5.

Observação 16. Observamos que se a frequên ia de amostragem wa for superior a 2wc, então

FT (w) =1TF (w) no intervalo [−wc, wc] e, portanto, toda a informação de f(t) é preservada.

De fato, neste aso, podemos es rever:

f(t) =1

2π

∫ ∞

−∞F (w)eiwtdw

=1

2π

∫ wc

−wc

F (w)eiwtdw

=1

2π

∫ wc

−wc

TFT (w)eiwtdw

Como FT (w) pode ser al ulada apenas om base nos pontos de amostragem, f(t) pode ser

re onstruída. Se wa < 2wc, então existe superposição espe tral, o que impede a re onstrução

da f(t). Este resultado é onhe ido omo teorema da amostragem de Nyquist-Shannon ou

teorema ardinal da interpolação.

Teorema 8. Suponha que f(t) é uma função real ujo espe tro é limitado pela frequên ia

wc, isto é, F (w) = 0 se |w| > wc, e T < πwc, então

f(t) =

∞∑

n=−∞f(nT )

2 sen(wa

2(t− nT )

)

wa(t− nT )

14.3. APLICAÇO: SINAIS DISCRETOS 157

|F (w)|

wc−wc

w

|FT (w)|

w

wc−wc wa−wa

1T

wa−wa

Figura 14.5:

Demonstração. Seja FT (w) a transformada de Fourier do sinal amostrado, onforme vimos,

vale a expressão:

TFT (w) =

∞∑

n=−∞F (w − wn).

Observe que TFT (w) é uma função periódi a de período wa (veja gura 14.5), de forma que

TFT (w) admite uma representação em série de Fourier:

TFT (w) =

∞∑

−∞Dne

ivnw =

∞∑

−∞Dne

inTw,

onde usamos que vn = 2πnwa

= Tn e

Dn =1

wa

∫ wa/2

−wa/2

TFT (w)e−inTwdw

=1

wa

∫ wa/2

−wa/2

F (w)e−inTwdw

=1

wa

∫ ∞

−∞F (w)e−inTwdw, pois F (w) = 0 se |w| > wa

2> wc

=2π

waf(−nT ) = Tf(−nT ), usando a transformada inversa.

Logo,

TFT (w) = T

∞∑

n=−∞f(−nT )einTw.

158 CAPÍTULO 14. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER

Usando a transformada inversa, temos:

f(t) =1

2π

∫ wa/2

−wa/2

TFT (w)eiwtdw

=1

2π

∫ wa/2

−wa/2

T

∞∑

n=−∞f(−nT )einTweiwtdw

=T

2π

∫ wa/2

−wa/2

∞∑

n=−∞f(−nT )eiw(t+nT )dw

=1

wa

∞∑

n=−∞f(−nT )

∫ wa/2

−wa/2

eiw(t+nT )dw

=1

wa

∞∑

n=−∞f(−nT )

∫ wa/2

−wa/2

cos(w(t+ nT ))dw, pois o seno é ímpar

=1

wa

∞∑

n=−∞f(−nT )

[sen(w(t+ nT ))

t+ nT

]wa/2

−wa/2

=∞∑

n=−∞f(−nT )

2 sen(wa

2(t+ nT )

)

wa(t+ nT )

Substituindo n por −n obtemos a expressão:

f(t) =

∞∑

n=−∞f(nT )

2 sen(wa

2(t− nT )

)

wa(t− nT ).

14.4 Exer í ios

Exer í io 14.1 Faça o diagrama de espe tro da transformada de Fourier do exemplo

76 da página 145.

Exer í io 14.2 Em geral não é verdade que módulo da soma é igual a soma dos

módulos, isto é, |x+ y| = |x|+ |y|, x, y ∈ C.

a) En ontre um aso parti ular onde |x+ y| = |x|+ |y| om |x| 6= 0 e |y| 6= 0.

b) En ontre um aso parti ular onde |x+ y| = 0 om |x| 6= 0 e |y| 6= 0. Mostre que, nesse

aso, x = −y.

) En ontre um aso parti ular onde |x+ y| = 1 om |x| = |y| = 1.

d) Mostre que |x+ y| = |x|+ |y| sempre que xy = 0.

14.4. EXERCÍCIOS 159

Observe que não possível, em geral, onhe er o diagrama de magnitudes da soma de duas

funções, F (w) e G(w), onhe endo apenas seus diagramas de magnitudes. As fases pre isam

ser levadas em onta. Um ex eção é quando, para todos w, ou F (w) = 0 ou G(w) = 0.

Exer í io 14.3 Mostre que, dada uma função f(t) e sua transformada de Fourier

F (w), então

F f(t) sen(w0t) =i

2F (w + w0)−

i

2F (w − w0),

para w0 ∈ R.

Exer í io 14.4 Considere uma função real f(t) tal que o diagrama de magnitude é

dado na gura abaixo.

510

100 200 300 400 500−100−200−300−400−500

|F (w)|

w

a) Tra e o diagrama de magnitude do espe tro de g(t) = f(t− a) onde a é uma onstante

real.

b) Tra e o diagrama de magnitude do espe tro de g(t) = f(2t).

) Tra e o diagrama de magnitude do espe tro de g(t) = f(−t).

d) Tra e o diagrama de magnitude do espe tro de g(t) = 3f(t).

e) Tra e o diagrama de magnitude do espe tro de g(t) = f(t) cos(1000t).

f) Tra e o diagrama de magnitude do espe tro de g(t) = f(t) cos2(1000t).

g) Tra e o diagrama de magnitude do espe tro de g(t) = f(t) sen(1000t).

h) Tra e o diagrama de magnitude do espe tro de g(t) = f(t)| sen(1000t)|. [Di a: Use a

expansão em Série de Fourier do reti ador de onda ompleta

2

i) Tra e o diagrama de magnitude do espe tro de g(t) = f ′(t).

j) Tra e o diagrama de magnitude do espe tro de g(t) = f(t) ∗ f(t).

k) Cal ule o valor da energia do sinal dada por

∫ ∞

−∞f(t)2dt.

2| sen(x)| = 2π − 4

π

(cos(2x)

1·3 + cos(4x)3·5 + cos(6x)

5·7 + · · ·)

160 CAPÍTULO 14. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER

l) Cal ule o módulo do valor médio do sinal dado por

∣∣∣∣

∫ ∞

−∞f(t)dt

∣∣∣∣.

Exer í io 14.5 Considere o sinal f(t) asso iado ao seguinte diagrama de espe tro:

255075100

1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6

|F (w)|

w (em 1000 rad/s)

a) Cal ule o valor de

∫∞−∞ f(t)dt.

b) Obtenha o valor aproximado da frequên ia fundamental em Hz e identique a nota.

) Tra e o diagrama de amplitudes do sinal g(t) = f ′(t)5000

d) Tra e o diagrama de amplitudes do sinal g(t) = f(−t).

e) Tra e o diagrama de amplitudes do sinal g(t) = f(t− 2).

f) Tra e o diagrama de amplitudes do sinal g(t) = f(1.12t), obtenha o valor aproximado

da frequên ia fundamental em Hz e identique a nota.

g) Cal ule o valor da "taxa de a eleração", a > 0, para que o sinal g(t) = f(at) representea nota sol na mesma oitava.

Exer í io 14.6 Tra e o grá o das seguintes funções, al ule sua transformada de

Fourier e tra e o diagrama de magnitudes:

a) f(t) = e−|t| cos(10t).

b) g(t) = e−t2/2 cos(10t).

) h(t) =

0, t < −4,cos(10t), −4 ≤ t ≤ 4,0, t > 4.

Capítulo 15

Equações diferen iais par iais

15.1 Equação do Calor

Considere o problema evolutivo de difusão de temperatura numa barra innita, dado pela

equação de alor

∂u

∂t(x, t) = µ

∂2u

∂x2(x, t), x ∈ (−∞,∞), t > 0, (15.1a)

u(x, 0) = f(x) (15.1b)

Tomando a transformada de Fourier desse problema na variável x, obtemos

∂(Fxu(x, t))∂t

= −µk2(Fxu(x, t))Fxu(x, 0) = Fxf(x),

onde se usou a propriedade 13 da transformada da derivada. Denotando Fxu(x, t) :=U(k, t), podemos es rever o problema de uma forma mais limpa:

∂U

∂t= −µk2U

U(k, 0) = F (k),

Essa é uma equação que pode ser resolvida por vários métodos, entre eles separação de

variáveis:

1

U

∂U

∂t= −µk2

⇓ln(U) = −µk2t+ C

⇓U = e−µk2t+C = Ke−µk2t

onde K = eC é uma onstante de integração que é al ulada om a ondição ini ial:

U(k, 0) = Ke−µk2·0 = F (k) ⇒ K = F (k),

161

162 CAPÍTULO 15. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS

Logo,

U(k, t) = Fxu(x, t) = F (k)e−µk2t. (15.2)

Agora, pre isamos al ular a transformada inversa de U(k, t) para obter a solução u(x, t) doproblema original. O resultado do exer í io 13.4 da página 140, temos que

F−1k e−k2 =

1

2√πe−

x2

4

Usando a propriedade de mudança de es ala 22 om a =√µt, temos

F−1k e−µtk2 = F−1

k e−(√µtk)2 =

1

2√π

1õt

e−(x/

õt)2

4

ou seja,

F−1k e−µtk2 =

1√4πµt

e−x2

4µt . (15.3)

Apli ando esse resultado juntamente om o teorema da onvolução des rito na propriedade

18 na equação (15.2), obtemos

u(x, t) =1√4πµt

∫ ∞

−∞f(y)e−

(x−y)2

4µt dy. (15.4)

Exemplo 83. Considere o aso parti ular da equação do alor (15.1) onde

f(x) =

u0, |x| ≤ 10, |x| > 1.

Então,

u(x, t) =u0√4πµt

∫ 1

−1

e−(x−y)2

4µt dy.

Fazendo a mudança de variável z = y−x2√µt

e denindo z1 =−1−x2√µt

e z2 =1−x2√µt, temos:

u(x, t) =u02

√µt√

4πµt

∫ z2

z1

e−z2dz =u0√π

∫ z2

z1

e−z2dz.

Essa expressão pode ser es rita da forma:

u(x, t) =u0√π

∫ 0

z1

e−z2dz +u0√π

∫ z2

0

e−z2dz

=u0√π

∫ z2

0

e−z2dz − u0√π

∫ z1

0

e−z2dz

=u0

2erf (z2)−

u0

2erf (z1),

onde erf (z) é a função erro dada por

erf (x) =2√π

∫ x

0

e−z2dz

15.2. EQUAÇO DO CALOR COM TERMO FONTE 163

Exemplo 84. Considere o fenmeno de difusão de sal ao longo de um ano longo e no.

Suponha que no tempo t = 0 uma quantidade Q de sal foi introduzida no ponto x0. A equação

que modela esse fenmeno é

∂ρ

∂t= µ

∂2ρ

∂x2, −∞ < x < ∞, t > 0

ρ(x, 0) =Q

Aδ(x− x0),

onde A é a área da seção transversal do ano e ρ(x, t) é a on entração de sal no ponto x e

tempo t. A solução desse problema é dada pela equação (15.4) om f(x) = QAδ(x− x0):

ρ(x, t) =Q

A√4πµt

∫ ∞

−∞δ(y − x0)e

− (x−y)2

4µt dy.

Usando a propriedade da ltragem, temos:

ρ(x, t) =Q

A√4πµt

e−(x−x0)

2

4µt .

15.2 Equação do alor om termo fonte

Considere o problema evolutivo de difusão de temperatura numa barra innita om um

termo fonte

∂u

∂t= µ

∂2u

∂x2+ f(x, t), x ∈ (−∞,∞), t > 0.

u(x, 0) = 0

Tomando a transformada de Fourier na variável x obtemos

∂Fxu(x, t)∂t

= −µk2(Fxu(x, t)) + Fxf(x, t)Fxu(x, 0) = 0.

Denotando Fxu(x, t) := U(k, t), podemos es rever o problema de uma forma mais limpa:

∂U

∂t= −µk2U + F

U(k, 0) = 0.

164 CAPÍTULO 15. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS

Essa equação pode ser resolvida pelo método do fator integrante:

∂U

∂t+ µk2U = F

⇓

eµk2t∂U

∂t+ eµk

2tµk2U = eµk2tF

⇓∂

∂t

(

Ueµk2t)

= eµk2tF

⇓

U(k, t)eµk2t − U(k, 0)eµk

2·0 =

∫ t

0

eµk2τF (k, τ)dτ

⇓

U(k, t) = e−µk2t

∫ t

0

eµk2τF (k, τ)dτ

ou seja,

U(k, t) = Fxu(x, t) =

∫ t

0

e−µ(t−τ)k2F (k, τ)dτ.

Agora, pre isamos obter a solução do problema original u(x, t), que é a transformada inversa

de U(k, t). Usando a equação (15.3), temos que

F−1k e−µ(t−τ)k2 =

1√

4πµ(t− τ)e−

x2

4µ(t−τ) .

Usando o teorema da onvolução dado na propriedade 18, temos

u(x, t) =

∫ t

0

(

F−1k

e−µk2(t−τ)

∗ f(x, τ))

dτ

=

∫ t

0

[(

1√

4πµ(t− τ)e−

x2

4µ(t−τ)

)

∗ f(x, τ)]

dτ

=1√4πµ

∫ t

0

[

1√

(t− τ)

∫ ∞

−∞e−

(x−y)2

4µ(t−τ)f(y, τ)dy

]

dτ.

15.3 Equação da Onda

Considere a equação da onda dada por

1

c2∂2y

∂t2=

∂2y

∂x2, −∞ < x < ∞, t > 0

y(x, 0) = f(x)

∂y

∂t(x, 0) = g(x).

15.3. EQUAÇO DA ONDA 165

Usando a notação

Y (k, t) = Fy(x, t)Y (k, 0) = Ff(x)dY

dt(k, 0) = Fg(x).

e tomando a transformada de Fourier da equação, temos

d2Y

dt2(k, t) + c2k2Y (k, t) = 0

Y (k, 0) = Ff(x) = F (k)

dY

dt(k, 0) = Fg(x) = G(k).

A solução desse problema é dada em termos de senos e ossenos:

Y = A cos(ckt) +B sen(ckt).

Impondo as ondições de ontorno, temos:

Y (0) = A = F (k)

Y ′(0) = ckB = G(k).

ou seja, A = F (k) e B = G(k)ck

. Portanto,

Y = F (k) cos(ckt) +G(k)

cksen(ckt).

ou

Y =1

2F (k)(eickt + e−ickt) +

G(k)

2ick(eickt − e−ickt).

Tomando a transformada de Fourier inversa obtemos

y(x, t) =1

2

(1

2π

∫ ∞

−∞F (k)(eik(x+ct) + eik(x−ct))dk

)

+

+1

2c

(1

2π

∫ ∞

−∞

G(k)

ik(eik(x+ct) − eik(x−ct))dk

)

.

Sabemos que

f(x± ct) =1

2π

∫ ∞

−∞F (k)eik(x±ct)dk,

g(x) =1

2π

∫ ∞

−∞G(k)eikxdk

e ∫ x+ct

x−ct

g(η)dη =1

2π

∫ ∞

−∞

G(k)

ik(eik(x+ct) − eik(x−ct))dk.

Portanto,

y(x, t) =1

2(f(x+ ct) + f(x− ct)) +

1

2c

∫ x+ct

x−ct

g(η)dη.

166 CAPÍTULO 15. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS

15.4 Vibrações livres transversais

Considere o problema de vibrações livres transversais de uma barra innita governada

por

∂4y

∂x4+

1

a2∂2y

∂t2= 0, t > 0, x ∈ (−∞,∞)

y(x, 0) = f(x)

∂y

∂t(x, 0) = ag′′(x).

Tomando a transformada de Fourier e pondo Y (k, t) = Fy(x, t), obtemos

∂2Y

∂t2+ k4a2Y = 0

Y (0) = Ff = F (k)

∂Y

∂t(0) = −ak2G(k).

tendo a solução

Y (k, t) = F (k) cos(ak2t)−G(k) sen(ak2t).

Tomando a transformada inversa de Fourier

y(k, t) =1

2π

∫ ∞

−∞F (k) cos(ak2t)eikxdk − 1

2π

∫ ∞

−∞G(k) sen(ak2t)eikxdk.

Usando o fato que,

∫ ∞

−∞e−k2aeikxdk =

√π√ae−

x2

4a

e

1

(ai)12

=1√ae−i 1

4π,

tro amos a por ai para obter

1

2π

∫ ∞

−∞(cos(ak2t)− i sen(ak2t))eikxdk =

1

2√πa

ei(

x2

4a−π

4

)

.

Tomando as partes real e imaginária nesta equação obtemos que

1

2π

∫ ∞

−∞cos(ak2)eikxdk =

√2

4√πa

(

cos

(x2

4a

)

+ sen

(x2

4a

))

e

1

2π

∫ ∞

−∞sen(ak2)eikxdk =

√2

4√πa

(

cos

(x2

4a

)

− sen

(x2

4a

))

.

15.5. EXERCÍCIOS 167

Utilizando o resultado sobre onvoluções dado na propriedade 18, obtemos que

1

2π

∫ ∞

−∞F (k) cos(ak2t)eikxdk =

√2

4√πat

∫ ∞

−∞f(x− y)

[

cos

(y2

4at

)

+ sen

(y2

4at

)]

dy

e

1

2π

∫ ∞

−∞G(k) sen(ak2t)eikxdk =

√2

4√πat

∫ ∞

−∞g(x− y)

[

cos

(y2

4at

)

− sen

(y2

4at

)]

dy

ou seja,

y(x, t) =1

2√2πat

∫ ∞

−∞f(x− y)

(

cos

(y2

4at

)

+ sen

(y2

4at

))

dy −

− 1

2√2πat

∫ ∞

−∞g(x− y)

(

cos

(y2

4at

)

− sen

(y2

4at

))

dy.

Es revendo u2 =y2

4at, obtemos:

y(x, t) =1√2π

∫ ∞

−∞f(x− 2ua

12 t

12 )(cos(u2) + sen(u2)

)du−

− 1√2π

∫ ∞

−∞g(x− 2ua

12 t

12 )(sen(u2)− cos(u2)

)du.

15.5 Exer í ios

Exer í io 15.1 No exemplo 84, mostre que a solução satisfaz a ondição ini ial:

limt→0

u(x, t) =Q

Aδ(x− x0)

e, omo esperado, vale zero nos limites para innito:

limx→±∞

u(x, t) = 0.

Exer í io 15.2 En onte a solução da equação da onda dada

∂2y

∂t2=

∂2y

∂x2, −∞ < x < ∞, t > 0

y(x, 0) = f(x)

∂y

∂t(x, 0) = g(x).

• a) Dados f(x) = e−|x|e g(x) = 0.

168 CAPÍTULO 15. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS

• b) Dados f(x) = e−3|x|e g(x) = e−x2

.

Exer í io 15.3 Considere uma viga innita repousada sobre um suporte elásti o e

y(x) seu deslo amento verti al em ada ponto x. Suponha que o suporte exer e uma força

de reação propor ional ao deslo amento y(x) e que a viga é arregada em x = 0 por um força

on entrada Pδ(x). A equação que modela o fenmeno é dada por:

EId4y

dx4= Pδ(x)− Cy(x), −∞ < x < ∞,

onde C é uma onstante de propor ionalidade rela ionada ao suporte, E é o módulo de Young

e I é o momento de inér ia da viga. Cal ule o deslo amento y(x) da viga.

Exer í io 15.4 Um uido se deslo a em um tubo termi amente isolado om velo idade

onstante v de forma que a evolução da temperatura u(x, t) omo uma função da oordenada

x e do tempo é des rita pelo seguinte modelo simpli ado:

ut − vux − uxx = 0.

Sabendo que no instante t = 0, a temperatura foi brus amente aque ida em uma região muito

pequena, de forma que podemos onsiderar

u(x, 0) = 500δ(x).

Use a té ni a das transformadas de Fourier para obter a solução desta equação diferen ial

quando v = 1m/s.

Parte III

Apêndi es

169

Apêndi e A

Tabelas de propriedades, transformadas

e séries

A.1 Tabelas de Transformadas de Lapla e

As prin ipais transformadas de Lapla e e suas inversas estão tabelas nas tabelas A.1 e

A.2. Algumas onstantes e funções espe iais que são usadas nas tabelas são as seguintes:

a) Função Gamma

Γ(k) =

∫ ∞

0

e−xxk−1dx, (k > 0)

b) Função Bessel modi ada de ordem ν

Iν(x) =

∞∑

m=0

1

m!Γ(m+ ν + 1)

(x

2

)2m+ν

) Função Bessel de ordem 0

J0(x) = 1− x2

22(1!)2+

x4

24(2!)2− x6

26(3!)2+ · · ·

d) Integral seno

Si (t) =

∫ t

0

sen(x)

xdx

e) Constante de Euler - Mas heroni

γ = 0.57721566490153286060651209008240243104215933593992...

171

172 APÊNDICE A. TABELAS DE PROPRIEDADES, TRANSFORMADAS E SÉRIES

F (s) = Lf(t) f(t) = L−1F (s)

1.

1

s1

2.

1

s2t

3.

1

sn, (n = 1, 2, 3, ...)

tn−1

(n − 1)!

4.

1√s,

1√πt

5.

1

s32

, 2

√

t

π

6.

1

sk, (k > 0)

tk−1

Γ(k)

7.

1

s− aeat

8.

1

(s− a)2teat

9.

1

(s− a)n, (n = 1, 2, 3...)

1

(n− 1)!tn−1eat

10.

1

(s− a)k, (k > 0)

1

Γ(k)tk−1eat

11.

1

(s− a)(s − b), (a 6= b)

1

a− b

(

eat − ebt)

12.

s

(s− a)(s − b), (a 6= b)

1

a− b

(

aeat − bebt)

13.

1

s2 + w2

1

wsen(wt)

14.

s

s2 + w2cos(wt)

15.

1

s2 − a21

asenh(at)

16.

s

s2 − a2cosh(at)

17.

1

(s− a)2 + w2

1

weat sen(wt)

18.

s− a

(s− a)2 + w2eat cos(wt)

19.

1

s(s2 + w2)

1

w2(1− cos(wt))

20.

1

s2(s2 + w2)

1

w3(wt− sen(wt))

21.

1

(s2 + w2)21

2w3(sen(wt) − wt cos(wt))

22.

s

(s2 + w2)2t

2wsen(wt)

Tabela A.1: Tabela de transformadas de Lapla e - parte 1

A.1. TABELAS DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE 173

F (s) = Lf(t) f(t) = L−1F (s)

23.

s2

(s2 + w2)21

2w(sen(wt) + wt cos(wt))

24.

s

(s2 + a2)(s2 + b2), (a2 6= b2)

1

b2 − a2(cos(at)− cos(bt))

25.

1

(s4 + 4a4)

1

4a3(sen(at) cosh(at)− cos(at) senh(at))

26.

s

(s4 + 4a4)

1

2a2sen(at) senh(at))

27.

1

(s4 − a2)

1

2a3(senh(at)− sen(at))

28.

s

(s4 − a4)

1

2a2(cosh(at)− cos(at))

29.

√s− a−

√s− b

1

2√πt3

(ebt − eat)

30.

1√s+ a

√s+ b

e−(a+b)t

2 I0

(a− b

2t

)

31.

1√s2 + a2

J0(at)

32.

s

(s− a)32

1√πt

eat(1 + 2at)

33.

1

(s2 − a2)k, (k > 0)

√π

Γ(k)

(t

2a

)k− 12

Ik− 12(at)

34.

1

se−

ks , (k > 0) J0(2

√kt)

35.

1√se−

ks

1√πt

cos(2√kt)

36.

1

s32

eks

1√πt

senh(2√kt)

37. e−k√s, (k > 0)

k

2√πt3

e−k2

4t

38.

1

sln(s) − ln(t)− γ, (γ ≈ 0, 5772)

39. ln

(s− a

s− b

)1

t

(

ebt − eat)

40. ln

(s2 + w2

s2

)2

t(1− cos(wt))

41. ln

(s2 − a2

s2

)2

t(1− cosh(at))

42. tan−1(w

s

) 1

tsen(wt)

43.

1

scot−1(s) Si (t)

Tabela A.2: Tabela de transformadas de Lapla e - parte 2

174 APÊNDICE A. TABELAS DE PROPRIEDADES, TRANSFORMADAS E SÉRIES

1. Linearidade Lαf(t) + βg(t) = αLf(t)+ βLg(t)

2. Transformada da derivada Lf ′(t)

= sLf(t) − f(0)

Lf ′′(t)

= s2Lf(t) − sf(0)− f ′(0)

3. Deslo amento no eixo s Leatf(t)

= F (s− a)

4. Deslo amento no eixo t Lu(t− a)f(t− a) = e−asF (s)

Lu(t− a) =e−as

s

5. Transformada da integral L∫ t

0f(τ)dτ

=F (s)

s

6. Transformada da Delta de Dira Lδ(t− a) = e−as

7. Teorema da Convolução L(f ∗ g)(t) = F (s)G(s),

onde (f ∗ g)(t) =∫ t

0f(τ)g(t− τ)dτ

8. Transformada de funções periódi as Lf(t) =1

1− e−sT

∫ T

0e−sτf(τ)dτ

9. Derivada da transformada Ltf(t) = −dF (s)

ds

10. Integral da transformada Lf(t)

t

=

∫ ∞

sF (s)ds

Tabela A.3: Tabela de séries de potên ias

A.2 Tabela de propriedades da transformada de Lapla e

A tabela A.3 apresenta as prin ipais propriedades da transformada de Lapla e.

A.3. TABELA DE SÉRIES DE POTÊNCIA 175

Série Intervalo de onvergên ia

1.

1

1− x=

∞∑

n=0

xn = 1 + x+ x2 + x3 + · · · , −1 < x < 1

2.

x

(1− x)2=

∞∑

n=1

nxn = x+ 2x2 + 3x3 + 4x4 + · · · , −1 < x < 1

3. ex =

∞∑

n=0

xn

n!= 1 + x+

x2

2!+

x3

3!+ · · · , −∞ < x < ∞

4. ln(1 + x) =

∞∑

n=0

(−1)nxn+1

n+ 1= x− x2

2+

x3

3− x4

4+ · · · , −1 < x < 1

5. arctan(x) =∞∑

n=0

(−1)nx2n+1

2n+ 1= x− x3

3+

x5

5− x7

7+ · · · , −1 < x < 1

6. sen(x) =

∞∑

n=0

(−1)nx2n+1

(2n+ 1)!= x− x3

3!+

x5

5!− x7

7!+ · · · , −∞ < x < ∞

7. cos(x) =∞∑

n=0

(−1)nx2n

(2n)!= 1− x2

2!+

x4

4!− x6

6!+ · · · , −∞ < x < ∞

8. senh(x) =

∞∑

n=0

x2n+1

(2n+ 1)!= x+

x3

3!+

x5

5!+

x7

7!+ · · · , −∞ < x < ∞

9. cosh(x) =

∞∑

n=0

x2n

(2n)!= 1 +

x2

2!+

x4

4!+

x6

6!+ · · · , −∞ < x < ∞

10. (1 + x)m = 1 +∞∑

n=1

m(m− 1) · · · (m− n+ 1)

n!xn −1 < x < 1, m 6= 0, 1, 2, ...

Tabela A.4: Tabela de séries de potên ias

A.3 Tabela de séries de potên ia

A tabela A.4 apresenta algumas séries de potên ia úteis.

176 APÊNDICE A. TABELAS DE PROPRIEDADES, TRANSFORMADAS E SÉRIES

Apêndi e B

Tabelas

177

178 APÊNDICE B. TABELAS

1.

∫ ∞

0e−ax cos(mx)dx =

a

a2 +m2(a > 0) 2.

∫ ∞

0e−ax sen(mx)dx =

m

a2 +m2(a > 0)

3.

∫ ∞

0

cos(mx)

a2 + x2dx =

π

2ae−ma (a > 0, m ≥ 0) 4.

∫ ∞

0

x sen(mx)

a2 + x2dx =

π

2e−ma (a ≥ 0, m > 0)

5.

∫ ∞

0

sen(mx) cos(nx)

xdx =

π2 , n < m

π4 , n = m,

(m > 0,n > 0)

0, n > m

6.

∫ ∞

0

sen(mx)

xdx =

π2 , m > 0

0, m = 0

−π2 , m < 0

7.

∫ ∞

0e−r2x2

dx =

√π

2r(r > 0) 8.

∫ ∞

0e−a2x2

cos(mx)dx =

√π

2ae− m2

4a2 (a > 0)

9.

∫ ∞

0xe−ax sen(mx)dx =

2am

(a2 +m2)2(a > 0)

10.

∫ ∞

0e−ax sen(mx) cos(nx)dx =

=m(a2 +m2 − n2)

(a2 + (m− n)2)(a2 + (m+ n)2)(a > 0)

11.

∫ ∞

0xe−ax cos(mx)dx =

a2 −m2

(a2 +m2)2(a > 0) 12.

∫ ∞

0

cos(mx)

x4 + 4a4dx =

π

8a3e−ma(sen(ma) + cos(ma))

13.

∫ ∞

0

sen2(mx)

x2dx = |m|π

214. erf(x) =

2√π

∫ x

0e−z2dz

15.

∫ ∞

0

sen2(ax) sen(mx)

xdx =

π4 , (0 < m < 2a)

π8 , (0 < 2a = m)

0, (0 < 2a < m)

16.

∫ ∞

0

sen(mx) sen(nx)

x2dx =

πm2 , (0 < m ≤ n)

πn2 , (0 < n ≤ m)

17.

∫ ∞

0x2e−ax sen(mx)dx =

2m(3a2 −m2)

(a2 +m2)3(a > 0) 18.

∫ ∞

0x2e−ax cos(mx)dx =

2a(a2 − 3m2)

(a2 +m2)3(a > 0)

19.

∫ ∞

0

cos(mx)

(a2 + x2)2dx =

π

4a3(1 +ma)e−ma (a > 0,

m ≥ 0)20.

∫ ∞

0

x sen(mx)

(a2 + x2)2dx =

πm

4ae−ma (a > 0, m > 0)

21.

∫ ∞

0

x2 cos(mx)

(a2 + x2)2dx =

π

4a(1−ma)e−ma (a > 0,

m ≥ 0)22.

∫ ∞

0xe−a2x2

sen(mx)dx =m√π

4a3e− m2

4a2 (a > 0)

Tabela B.1: Tabela de integrais denidas (ver [?)

179

Dó 2 - Si 2

Nota f (Hz) T (µs)

Dó 65,41 15289

Dó ♯ 69,30 14431

Ré 73,42 13621

Ré ♯ 77,78 12856

Mi 82,41 12135

Fá 87,31 11454

Fá ♯ 92,50 10811

Sol 98,00 10204

Sol ♯ 103,8 9631

Lá 110,0 9091

Lá ♯ 116,5 8581

Si 123,5 8099

Dó 3 - Si 3

Nota f (Hz) T (µs)

Dó 130,8 7645

Dó ♯ 138,6 7215

Ré 146,8 6810

Ré ♯ 155,6 6428

Mi 164,8 6067

Fá 174,6 5727

Fá ♯ 185,0 5405

Sol 196,0 5102

Sol ♯ 207,7 4816

Lá 220,0 4545

Lá ♯ 233,1 4290

Si 246,9 4050

Dó 4 - Si 4

Nota f (Hz) T (µs)

Dó 261,6 3822

Dó ♯ 277,2 3608

Ré 293,7 3405

Ré ♯ 311,1 3214

Mi 329,6 3034

Fá 349,2 2863

Fá ♯ 370,0 2703

Sol 392,0 2551

Sol ♯ 415,3 2408

Lá 440,0 2273

Lá ♯ 466,2 2145

Si 493,9 2025

Dó 5 - Si 5

Nota f (Hz) T (µs)

Dó 523,3 1911

Dó ♯ 554,4 1804

Ré 587,3 1703

Ré ♯ 622,3 1607

Mi 659,3 1517

Fá 698,5 1432

Fá ♯ 740,0 1351

Sol 784,0 1276

Sol ♯ 830,6 1204

Lá 880,0 1136

Lá ♯ 932,3 1073

Si 987,8 1012

Dó 6 - Si 6

Nota f (Hz) T (µs)

Dó 1047 955,6

Dó ♯ 1109 901,9

Ré 1175 851,3

Ré ♯ 1245 803,5

Mi 1319 758,4

Fá 1397 715,9

Fá ♯ 1480 675,7

Sol 1568 637,8

Sol ♯ 1661 602,0

Lá 1760 568,2

Lá ♯ 1865 536,3

Si 1976 506,2

Dó 7 - Si 7

Nota f (Hz) T (µs)

Dó 2093 477,8

Dó ♯ 2217 451,0

Ré 2349 425,7

Ré ♯ 2489 401,8

Mi 2637 379,2

Fá 2794 357,9

Fá ♯ 2960 337,8

Sol 3136 318,9

Sol ♯ 3322 301,0

Lá 3520 284,1

Lá ♯ 3729 268,1

Si 3951 253,1

Tabela B.2: Tabela de notas musi ais

180 APÊNDICE B. TABELAS

Resposta dos Exer í ios

Re omendamos ao leitor o uso riterioso das respostas aqui apresentadas. Devido a ainda

muito onstante atualização do livro, as respostas podem onter impre isões e erros.

Resposta do exer í io 1.1:

a)

12

b)

1w2+1

)

2w2

4w2+1

d)

2w2+14w2+1

e)

13

f)

23

Resposta do exer í io 1.2:

ws2+w2

Resposta do exer í io 1.3:

1−e−as

s

Resposta do exer í io 1.5:

a)

11−e−s

b)

11+e−s

)

e−s

(1−e−s)2

Resposta do exer í io 1.6:

a) 1

b) 2

181

182 APÊNDICE B. TABELAS

Resposta do exer í io 1.7:

I =∞∑

k=0

(−1)k∫ k+1

k

sen(πt)e−tdt

=π

s2 + π2

∞∑

k=0

[e−ks + e−(k+1)s

]

=π

s2 + π2

1 + e−s

1− e−s

=π

s2 + π2

es/2 + e−s/2

es/2 − e−s/2

=π

s2 + π2coth(s/2)

Resposta do exer í io 2.1:

a) F (s) =k

se−sc

b) F (s) =k

s

(1− e−sc

)

) F (s) =k

se−sc

(1− e−sb

)

d) F (s) = −k

c

(c

se−sc +

1

s2(e−sc − 1

))

e) F (s) =k

cs2(1− 2e−cs + e−2cs

)

Resposta do exer í io 2.2:

a) F (s) = as2

b) F (s) = 2se−2s (1− e−s)

) F (s) = 1s−ln(a)

d) F (s) = ss2+w2

e) F (s) = ss2−a2

f) F (s) = 1(s−2)2

g) F (s) = e4

s+1

183

Resposta do exer í io 2.4:

a) f(t) = 12sen(2t)

b) f(t) = 12senh(2t)

) f(t) = cosh(3t)

d) f(t) = −e−t

e) f(t) = t2e−t

2

Resposta do exer í io 3.1:

a) F (s) = − 8s2

+ 10s2+25

b) F (s) = −18s4

+ 12s3

) F (s) = 48s4

− 72s3

+ 54s2

− 27s

d) F (s) = s2+2s3+4s

e) F (s) = 6s4+10s2+9

f) F (s) = s(s2−7)s4−10s2+9

Resposta do exer í io 3.2:

a) f(t) = 2 cos(2t)− 4 sen(2t)

b) f(t) = 2 cosh(2t) + senh(2t)

Resposta do exer í io 3.4:

a) y(t) = 52e−2t + 1

2

b) y(t) = 14et + 7

4e−3t

) y(t) = 3e−2t − 2e−3t

d) y(t) = 12e−t(t2 − 2)

e) y(t) = t sen t + 3 cos t + 4 sen t

f) y(t) = e3t

2+ 5e−4t

2+ e−3t

2

184 APÊNDICE B. TABELAS

Resposta do exer í io 3.5:

a) F (s) = 1s+ e−s−e−2s

s2

b) F (s) = 2s+ −e−s+2e−3s−e−4s

s2

Resposta do exer í io 3.6:

a)

F (s) =s2 − 6s+ 4

s3 − 3s2 + 2s=

s2 − 6s+ 4

s(s2 − 3s+ 2)=

s2 − 6s+ 4

s(s− 1)(s− 2)=

A

s+

B

s− 1+

C

s− 2

A = lims→0

sF (s) = lims→0

s2 − 6s+ 4

(s− 1)(s− 2)=

s2 − 6s+ 4

(s− 1)(s− 2)

∣∣∣∣s=0

= 2

B = lims→1

(s− 1)F (s) = lims→1

s2 − 6s+ 4

s(s− 2)=

s2 − 6s+ 4

s(s− 2)

∣∣∣∣s=1

= 1

C = lims→2

(s− 2)F (s) = lims→2

s2 − 6s+ 4

s(s− 1)=

s2 − 6s+ 4

s(s− 1)

∣∣∣∣s=2

= −2

L−1 F (s) = L−1

2

s+

1

s− 1− 2

s− 2

= 2 + et − 2e2t, t > 0

b)

F (s) =s2 + s− 2

(s+ 1)3=

A

(s+ 1)3+

B

(s+ 1)2+

C

(s+ 1)

A = lims→−1

(s+ 1)3F (s) = lims→1

(s2 + s− 2) = (s2 + s− 2)∣∣s=−1

= −2

Conhe endo o valor de A, reduzimos o problema a

s2 + s− 2

(s+ 1)3+

2

(s+ 1)3=

B

(s+ 1)2+

C

(s+ 1)

Simpli ando o lado da esquerda, temos:

s2 + s− 2

(s+ 1)3+

2

(s+ 1)3=

s2 + s

(s+ 1)3=

s(s+ 1)

(s + 1)3=

s

(s+ 1)2

185

B = lims→−1

(s+ 1)2s

(s+ 1)2= −1

Reduzimos mais uma vez o problema a

s

(s+ 1)2+

1

(s+ 1)2=

C

s+ 1

Simpli ando o lado da esquerda, temos:

s

(s+ 1)2+

1

(s+ 1)2=

s+ 1

(s+ 1)2=

1

s+ 1

o que impli a C = 1. Portanto temos:

F (s) =s2 + s− 2

(s+ 1)3= − 2

(s+ 1)3− 1

(s+ 1)2+

1

(s+ 1)

e, assim,

f(t) = e−t(−t2 − t+ 1

)

)

F (s) =s

(s+ 1)3=

s+ 1

(s+ 1)3− 1

(s+ 1)3=

1

(s+ 1)2− 1

(s+ 1)3

f(t) = e−t

(

t− t2

2

)

d)

F (s) =5s2 − 15s− 11

(s+ 1)(s− 2)3=

A

s + 1+

B

(s− 2)3+

C

(s− 2)2+

D

(s− 2)

A = lims→−1

(s+ 1)F (s) = −1

3

B = lims→2

(s− 2)3F (s) = −7

Obtém-se também

C = 4

D =1

3

Portanto

f(t) = −1

3e−t +

(

−7

2t2 + 4t+

1

3

)

e2t

186 APÊNDICE B. TABELAS

e)

F (s) =3s2 − 2s− 1

(s− 3)(s2 + 1)=

A

s− 3+

Bs+ C

s2 + 1

A = lims→3

(s− 3)F (s) = 2

Bs+ C =

(

F (s)− A

s− 3

)

(s2 + 1)

=

(3s2 − 2s− 1

(s− 3)(s2 + 1)− 2

s− 3

)

(s2 + 1)

=

(3s2 − 2s− 1− 2(s2 + 1)

(s− 3)(s2 + 1)

)

(s2 + 1)

=s2 − 2s− 3

(s− 3)=

(s+ 1)(s− 3)

(s− 3)= s + 1

Assim, B = C = 1 e temos f(t) = e3t + cos(t) + sin(t)

f)

F (s) =s2 + 2s+ 3

(s2 + 2s+ 2)(s2 + 2s+ 5)=

As +B

s2 + 2s+ 2+

Cs +D

s2 + 2s+ 5

=(As+B)(s2 + 2s+ 5) + (Cs+D)(s2 + 2s+ 2)

(s2 + 2s+ 2)(s2 + 2s+ 5)

=(A+ C)s3 + (2A+ 2C +B +D)s2 + (5A+ 2D + 2B + 2C)s+ (5B + 2D)

(s2 + 2s+ 2)(s2 + 2s+ 5)

Comparando oe ientes, temos:

A+ C = 0

2A+ 2C +B +D = 1

5A+ 2D + 2B + 2C = 2

5B + 2D = 3

A = 0

B =1

3C = 0

D =2

3

187

F (s) =1

3

1

s2 + 2s+ 2+

2

3

1

s2 + 2s+ 5

=1

3

1

(s+ 1)2 + 1+

2

3

1

(s+ 1)2 + 22

f(t) =1

3e−t [sin(t) + sin(2t)]

g)

F (s) =1

s2(s− 2)=

A

s+

B

s2+

C

s− 2

Resposta do exer í io 4.1:

a) (t− π)u(t− π)

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6

t

f(t)

b) t u(t− 2)

1234567

1 2 3 4 5 6

t

f(t)

) (sen t)u(t− π)

188 APÊNDICE B. TABELAS

0.5

1.0

−0.5

−1.0

−1.5

1 2 3 4 5 6

t

d) f(t) = u(t− 1) + 3u(t− 3)− 4u(t− 5)

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6

t

f(t)

e) f(t) = tu(t) + (t2 − t)u(t− 1) + (6− t− t2)u(t− 2) + (t− 6)u(t− 6)

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6

t

f(t)

f) f(t) = [u(t) + u(t− 1)]2 = u(t) + 3u(t− 1)

189

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6

t

f(t)

g) f(t) = u(t− 1) [1− u(t− 2)] = u(t− 1)− u(t− 2)

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6

t

f(t)

Resposta do exer í io 4.2:

a) F (s) =e−πs

s2

b) F (s) = e−2s

(1

s2+

2

s

)

) F (s) = − e−πs

s2 + 1

d) F (s) = 1s(e−s + 3e−3s − 4e−5s)

e) F (s) = 1s2+(

2s3+ 1

s2

)e−s +

(− 2

s3− 5

s2

)e−2s + 1

s2e−6s

f) F (s) = 1+3e−s

s

g) F (s) = e−s−e−2s

s

190 APÊNDICE B. TABELAS

Resposta do exer í io 4.3:

a) f(t) = u(t− 1)− 3u(t− 3) + 2u(t− 5)

b) f(t) = tu(t) + (1− t)u(t− 1) +(−3

2t+ 9

2

)u(t− 3) +

(32t− 11

2

)u(t− 5)

) f(t) =∑∞

n=0(−1)nu(t− n)

d) f(t) =∑∞

n=0 u(t− 2n)

Resposta do exer í io 4.4:

a) F (s) = 1s(e−s − 3e−3s + 2e−5s)

b) F (s) = 1s2

(1− e−s − 3

2e−3s + 3

2e−5s + 2se−5s

)

) F (s) = 1s(1+e−s)

d) F (s) = 1s(1−e−2s)

Resposta do exer í io 4.5:

a) F (s) =e−s

s(1 + e−s)

b) F (s) =e−2s

s(1− e−2s)

Resposta do exer í io 4.6:

(a)

2

(s− 3)3

(b)

4

s2 + 4s+ 20

( )

s− 4

s2 − 8s− 9

(d)

3s− 24

s2 + 4s+ 40

Resposta do exer í io 4.7:

a) f(t) = (2 cos(2t)− sen(2t)) e−t

191

b) f(t) =2et

5(cos(2t)− cos(3t))

) f(t) = u(t− 4) senh(2(t− 4))

d) f(t) = u(t− 2)(e3(t−2) − e(t−2)

)

e) f(t) = u(t− 1)e−(t−1) (2 cos(2(t− 1))− sen(2(t− 1)))

f) f(t) = 2u(t− 3)et−3

5(cos(2(t− 3))− cos(3(t− 3)))

Resposta do exer í io 4.8:

(a) e−2t sen(nπt)

(b) e−3t(cos t− 3 sen t)

( ) e2t(6 cos(4t) + 2 sen(4t)

)

(d) 4e−4t(1− t)

Resposta do exer í io 4.9:

a) y(t) = −2e−2t + et + 2e−3t

b) y(t) = u(t) (2e−2t − e−3t) + u(t− 3) (1− 3e−2t+6 + 2e−3t+9)

Resposta do exer í io 4.10:

a) F (s) =(

1s2+ 1

s

)e−s

b) F (s) =(

2s3+ 2

s2+ 1

s

)e−s

Resposta do exer í io 4.12: y(t) =F0

2k

(

sen

(√

k

mt

)

−√

k

mt cos

(√

k

mt

))

Resposta do exer í io 4.13: y(t) = (1 − 2e−(t−1) + e−2(t−1))u(t− 1)− (1 − 2e−(t−2) +

e−2(t−2))u(t− 2)

Resposta do exer í io 4.14:

a) α > 0

192 APÊNDICE B. TABELAS

b) 0 < α < 4

) α = 4

d) α > 4

e) y(t) = 14u(t− 1)(t− 1)e−

t−12

Resposta do exer í io 4.16:

(a) 2(u(t− 2)− u(t− 4)

)

(b) (t− a)u(t− a)

( ) cos(2(t− π)

)u(t− π)

(d) e−(t−π) sen(t− π)u(t− π)

(e) (t− 1)u(t− 1) + (t− 2)u(t− 2)− 3(t− 3)u(t− 3) + 6(t− 6)u(t− 6)

Resposta do exer í io 5.2: q(t) = CV0e−t/RC

Resposta do exer í io 5.3: i(t) = sen t− sen(t− a)u(t− a)

Resposta do exer í io 5.4: i(t) = e−t sen t− u(t− 2)e2−t sen(t− 2)

Resposta do exer í io 5.5:

(a) y(t) =1

2

[1− 2e1−t + e2−2t

]u(t− 1)− 1

2

[1− 2e2−t + e4−2t

]

(b) y(t) =[e1−t − e2−2t

]u(t− 1)

Resposta do exer í io 5.6:

F0

2k

[sen(

√

k/mt)−√

k/mt cos(√

k/mt)]

Resposta do exer í io 5.7:

(a) t

(b) et − t− 1

( )

1

ωsen(ωt)

193

(d)

1

2k(ekt − e−kt) =

1

ksenh(kt)

Resposta do exer í io 5.8:

(a) y(t) = e−t sen t+eπe−t sen(t−π)u(t−π)+e−t cos t = e−t sen t(1−eπu(t−π)

)+e−t cos t

(b) y(t) =1

2(e−t − e−2t) + (e5−t − e10−2t)u(t− 5)− 1

2(1− 2e10−t + e20−2t)u(t− 10)

( ) y(t) = sen t+ sen(t− 2π)u(t− 2π)

Resposta do exer í io 5.9:

(a)

f ∗ g =

∫ t

0

f(τ)g(t− τ)dτ

= −∫ 0

t

f(t− u)g(u)du

=

∫ t

0

g(u)f(t− u)du

= g ∗ f

(b)

(f ∗ g) ∗ h =

∫ t

0

(∫ τ

0

f(u)g(τ − u)du

)

h(t− τ)dτ

=

∫ t

0

∫ τ

0

f(u)g(τ − u)h(t− τ)dudτ

=

∫ t

0

∫ t

u

f(u)g(τ − u)h(t− τ)dτdu

=

∫ t

0

f(u)

∫ t

u

g(τ − u)h(t− τ)dτdu

=

∫ t

0

f(u)

∫ t−u

0

g(v)h(t− u− v)dvdu

=

∫ t

0

f(u) [(g ∗ h)(t− u)] du

= f ∗ (g ∗ h)

onde se fez a mudança v = τ − u, dv = dτ .

194 APÊNDICE B. TABELAS

Resposta do exer í io 5.10:

(a) F (s) =sy(0) + y′(0)

s2 + w2+

R(s)

s2 + w2

(b) y(t) = y(0) cos(ωt) +y′(0) sen(ωt)

ω+

sen(ωt)

ω∗ r(t)

Resposta do exer í io 5.11:

1

2

[sen t− cos t + e−t

]

Resposta do exer í io 5.12:

(a) y(t) = et

(b) y(t) = cos t

( ) y(t) = senh t

(d) y(t) = cosh t

Resposta do exer í io 5.13:

(a)

e−s(s2 + s+ 1)

s2

(b) −e−πs ln π

( ) e1−s

Resposta do exer í io 6.3:

(a) f(t) = 4e3t − e−t

(b) f(t) =1

2t2e2t

( ) f(t) = 2et − 2 cos t + sen t

(d) f(t) = 3− 2e−4t

(e) f(t) = cosh t− 3 senh t

(f) f(t) = 2e−4t + e2t

(g) f(t) = 2e3t + cos t+ sen t

(h) f(t) = e−2t

[

cos(3t)− 1

3sen(3t)

]

195

(i) f(t) = e−t(1− t− t2)

(j) f(t) = 2 cos(3t) +10

3sen(3t) +

8

9

[1− cos(3t)

]+

40

27

[3t− sen(3t)

]

(k) f(t) = −1

6e−t − 4

3e2t +

7

2e3t

(l) f(t) =1

3

[

sen t− 1

2sen(2t)

]

Resposta do exer í io 6.5:

f(t) = sin√t =

∞∑

n=0

(−1)nt(2n+1)/2

(2n+ 1)!

F (s) = Lf(t) =∞∑

n=0

(−1)n

(2n+ 1)!Lt(2n+1)/2

=

∞∑

n=0

(−1)n

(2n+ 1)!Lt(2n+1)/2

=

∞∑

n=0

(−1)n

(2n+ 1)!Γ ((2n+ 3)/2)

1

s(2n+3)/2

=

∞∑

n=0

(−1)n

(2n+ 1)!

(2n+ 1)!

n!

√π

22n+1

1

s(2n+3)/2

=

√π

2s3/2

∞∑

n=0

(−1)n1

n!

1

22n1

sn

=

√π

2s3/2

∞∑

n=0

1

n!

(

− 1

4s

)n

=

√π

2s3/2e−

14s

Para mostrar a identidade Γ

(

n+ 32

)

= (2n+1)!n!22n+1

√π , usamos a relação de re orrên ia

Γ(x+ 1) = xΓ(x)

e o fato bem onhe ido de que

Γ(1/2) =√π

196 APÊNDICE B. TABELAS

Para obter

Γ(3/2) = Γ(1 + 1/2) =1

2Γ(1/2) =

√π

2

Γ(5/2) = Γ(1 + 3/2) =3

2Γ(3/2) =

3√π

22

Γ(7/2) = Γ(1 + 5/2) =5

2Γ(5/2) =

5 · 3√π

23

Γ(9/2) = Γ(1 + 7/2) =7

2Γ(7/2) =

7 · 5 · 3√π

24

E generalizando, temos:

Γ

(2n+ 1

2

)

= Γ

(

1 +2n− 1

2

)

=2n− 1

2Γ

(2n− 1

2

)

= (2n− 1)(2n− 3) · · ·3√π

2n

=(2n− 1)(2n− 2)(2n− 3) · · ·3 · 2 · 1

(2n− 2)(2n− 4) · · ·2

√π

2n

=(2n− 1)(2n− 2)(2n− 3) · · ·3 · 2 · 1

2n−1(n− 1)(n− 2) · · ·1

√π

2n

=(2n− 1)!

(n− 1)!

√π

22n−1

Resposta do exer í io 6.6:

(a)

2as

(s2 − a2)2

(b)

s2 + 9

(s2 − 9)2

Resposta do exer í io 6.7: y(t) =sen t

t

Resposta do exer í io 6.8:

(a)

3− 3e−2s − 6se−4s

s2(1− e−4s)

(b)

e2π(1−s) − 1

(1− s)(1− e−2πs)

( )

ω

s2 + ω2coth

(πs

2ω2

)

197

Resposta do exer í io 6.9:

(a) y(t) = 10 cos(2t) +k

8

(

1− cos(2(t− a)

))

u(t− a)

(b) y(t) = 10 cos(2t) +k

4sen(2t)

Resposta do exer í io 6.11: y(t) =F0√km

sen

(√

k

mt

)

Resposta do exer í io 7.2:

a) Observe que U(s) = 50s+4

+ 200s(s+4)

+ 100s+4

e−spode ser es rito omo U(s) = 50

s+ 100

s+4e−s

b) u(t) = 50 + 100u(t− 1)e−4(t−1).

25

50

75

100

125

150

1 2 3t

u(t)

) η = 4

d) 200

e) u(t) = 200− 150e−2t (1 + 2t)

g)

255075100125150175200225

1 2 3 4 5t

u(t)

198 APÊNDICE B. TABELAS

Resposta do exer í io 7.3:

x(t) = 2et (7.7)

y(t) = δ(t) + et (7.8)

Resposta do exer í io 9.1: A =√B2 + C2

e θ satisfaz simultaneamente cos(θ) =B√

B2+C2 e sen(θ) = C√B2+C2 .

Resposta do exer í io 9.2:

a) A = 5, θ = ϕ

b) A = 5, θ = 2π − ϕ

) A = 5, θ = π − ϕ

d) A = 5, θ = π + ϕ

e) A = 1, θ = π2

f) A = 2, θ = 0

g) A = 2. θ = π

onde ϕ = cos−1(35

)= sen−1

(45

)= tan−1

(43

)≈ 0.9272952rad

Resposta do exer í io 9.3:

a)

√13eiθ, θ = tan−1

(32

)

b)

√13eiθ, θ = π − tan−1

(32

)

) 5eiθ, θ = 2π − tan−1(43

)

d) 5eiθ, θ = π + tan−1(43

)

e) 4 (4e0)

f) 5eiπ2

f) 5eiπ

g) 4ei3π2

Resposta do exer í io 9.4:

a) −1

199

b) −e2

) 4

d) 2e−1i

e) 2√2 (1− i)

f)

5√2

2(1 + i)

Resposta do exer í io 9.5:

a) 15− 6i

b)

(ei

π4

)3= ei

3π4 = −

√22+ i

√22

)

−5−i2

d) 3− i

e)

3i2−i3

2i−1= −3+i

2i−1= 1 + i

Resposta do exer í io 9.10:

a) cos(

π12

)+ i sen

(π12

)

b) cos(3π4

)+ i sen

(3π4

)

Resposta do exer í io 9.14:

a) π se n > 0 e 0 se n = 0.

b) 0.

) π de n > 0 e 2π se n = 0.

d) 0

e) 0

Resposta do exer í io 10.1: São verdadeiras: 4, 7, 8,9,10,11,12 e 13.

Resposta do exer í io 10.2: São pares: 1,2,5,7, 8 e 10. É ímpar: 9. São periódi as:

2,3,5,6,7,8, 9 e 10.

200 APÊNDICE B. TABELAS

Resposta do exer í io 10.3: A ondição é

∫ T

0f(τ)dτ = 0. Lembre-se que vo ê deve

veri ar que esta ondição é ne essária e su iente.

Resposta do exer í io 10.4: π, 2π, π, 1, 2, 1, 1, 3

Resposta do exer í io 10.5:

a02

=1

T

∫ T/2

−T/2

f(t)dt =1

T

∫ d/2

−d/2

dt =d

T

an =2

T

∫ T/2

−T/2

f(t) cos(wnt)dt =2

T

∫ d/2

−d/2

cos(wnt)dt =2

T

sen(wnt)

wn

∣∣∣∣

d/2

−d/2

=4

wnTsen(wnd/2)

Como wn = 2πnT, temos an = 2

πnsen(πn d

T

)e, portanto

f(t) =d

T+

∞∑

n=1

an cos(wnt) =d

T+

2

π

∞∑

n=1

1

nsen

(πnd

T

)

cos(wnt)

Resposta do exer í io 10.6: Di a: Lembre que sen(x) = eix−e−ix

2i

Resposta do exer í io 10.7: bn = 4T

∫ d/2

0t sen(wnt)dt =

T sen(πdnT )−dnπ cos(πdn

T )π2n2

Resposta do exer í io 10.8:

a) f(t) = 2π− 4

π

∑∞n=1

cos(2nπt)4n2−1

1

1 2 3 4−1

y = f(t)

t

b) g(t) = 1T+ 2

T

∑∞n=1 cos

(2πnTt)

1

y = g(t)

t

−T T 2T 3T

201

Resposta do exer í io 10.9:

h(t) = f

(1

2− t

)

=2

π− 4

π

∞∑

n=1

cos (nπ − 2nπt)

4n2 − 1=

2

π− 4

π

∞∑

n=1

(−1)ncos (2nπt)

4n2 − 1

Resposta do exer í io 11.1:

a) Observe que

sen(t) =1

2i

(eit − e−it

)=

i

2e−it − i

2eit

e a frequên ia angular fundamental é wF = 1. Veja os diagramas de espe tro na gura

abaixo.

1

2

1 2 3−1−2−3

|Cn|

wn

1 2 3−1−2−3

φn

wn

π

−π

b) Observe que

3 cos(πt) =3

2

(eiπt + e−iπt

)=

3

2e−iπt +

3

2eiπt

e a frequên ia angular fundamental é wF = π. Veja os diagramas de espe tro na gura

abaixo.

1

2|Cn|

wn−2π −π π 2π

202 APÊNDICE B. TABELAS

φn

wn

π

−π

−2π −π π 2π

) Observe que

1 + 4 cos(πt) = 1 + 2(eiπt + e−iπt

)= 1 + 2e−iπt + 2eiπt

e a frequên ia angular fundamental é wF = π. Veja os diagramas de espe tro na gura

abaixo.

1

2|Cn|

wn−2π −π π 2π

φn

wn

π

−π

−2π −π π 2π

d) Observe que

2 cos2(2πt) = 2

(e2iπt + e−2iπt

2

)2

=e−4iπt + 2 + e4iπt

2=

1

2e−4iπt + 1 +

1

2e4iπt

e a frequên ia angular fundamental é wF = 4π. Veja os diagramas de espe tro na gura

abaixo.

203

1

|Cn|

wn−4π −2π 2π 4π

φn

wn

π

−π

−4π −2π 2π 4π

e) Observe que

8 sen3(2πt) + 2 cos(6πt) = 8

(e2iπt − e−2iπt

2i

)3

+ 2

(e6iπt + e−6iπt

2

)

= (i+ 1)e6iπt − 3ie2iπt + 3ie−2iπt + (1− i)e−6iπt

=√2e

π4ie6iπt + 3e−

π2ie2iπt + 3e

π2ie−2iπt +

√2e−

π4ie−6iπt

e a frequên ia angular fundamental é wF = 2π. Veja os diagramas de espe tro na gura

abaixo.

1

2

3|Cn|

wn−6π −4π −2π 2π 4π 6π

204 APÊNDICE B. TABELAS

φn

wn

π

−π

−6π

−4π −2π

2π

4π 6π

f) Observe que

sen(2πt) + cos(3πt) =

(e2iπt − e−2iπt

2i

)

+

(e3iπt + e−3iπt

2

)

= − i

2e2iπt +

i

2e−2iπt +

1

2e3iπt +

1

2e−3iπt

e a frequên ia angular fundamental é wF = π (ver exer í io 10.4 na página 121). Veja

os diagramas de espe tro na gura abaixo.

1|Cn|

wn−3π −2π −π π 2π 3π

φn

wn

π

−π

−3π

−2π −π

π

2π 3π

Resposta do exer í io 11.2:

a) Observe que f(t) já está na forma exponen ial e a frequên ia fundamental é wF = π.

205

Também temos:

n ωn |Cn| φn

−5 −5π 1(−5)2+1

= 126

0

−4 −4π 1(−4)2+1

= 117

0

−3 −3π 1(−3)2+1

= 110

0

−2 −2π 1(−2)2+1

= 15

0

−1 −π 1(−1)2+1

= 12

0

0 0 1(0)2+1

= 1 0

1 1π 112+1

= 12

0

2 2π 122+1

= 15

0

3 3π 132+1

= 110

0

4 4π 142+1

= 117

0

5 5π 152+1

= 126

0

Veja o diagrama de amplitude na gura abaixo.

1|Cn|

wn−5π −4π −3π −2π −π π 2π 3π 4π 5π

b) Começamos es revendo a função f(t) =∑∞

n=1sen(nt)

n2 na forma exponen ial:

∞∑

n=1

sen(nt)

n2=

∞∑

n=1

1

n2

(eint − e−int

2i

)

=

∞∑

n=1

1

2in2eint +

∞∑

n=1

(

− 1

2in2e−int

)

=

∞∑

n=1

(

− i

2n2eint)

+

−∞∑

n=−1

i

2n2eint.

A frequên ia angular fundamental é wF = 1 e as amplitudes e fases são dados na tabela

206 APÊNDICE B. TABELAS

abaixo.

ωn = n |Cn| φn

−5 150

π2

−4 132

π2

−3 118

π2

−2 18

π2

−1 12

π2

0 0 −1 1

2−π

2

2 18

−π2

3 118

−π2

4 132

−π2

5 150

−π2

Veja os diagramas de espe tro na gura abaixo.

1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

|Cn|

wn

12

φn

wn

1 2 3 4 5

−1−2−3−4−5

π

−π

Resposta do exer í io 11.3:

• problema 10.8, a)

f(t) =2

π− 4

π

∞∑

n=1

cos(2nπt)

4n2 − 1

=2

π− 4

π

∞∑

n=1

1

4n2 − 1

(e2nπit + e−2nπit

2

)

=2

π−

∞∑

n=1

2

π(4n2 − 1)e2nπit −

−∞∑

n=−1

2

π(4n2 − 1)e2nπit

207

Veja os diagramas de espe tro na gura abaixo.

|Cn|

wn

2π

2π 4π 6π−2π−4π−6π

φn

wn

2π 4π 6π

−2π−4π−6π

π

−π

• problema 10.9

h(t) =2

π− 4

π

∞∑

n=1

(−1)ncos(2nπt)

4n2 − 1

=2

π− 4

π

∞∑

n=1

(−1)n

4n2 − 1

(e2nπit + e−2nπit

2

)

=2

π−

∞∑

n=1

2(−1)n

π(4n2 − 1)e2nπit −

−∞∑

n=−1

2(−1)n

π(4n2 − 1)e2nπit

Veja os diagramas de espe tro na gura abaixo.

|Cn|

wn

2π

2π 4π 6π−2π−4π−6π

208 APÊNDICE B. TABELAS

φn

wn2π 4π 6π−2π−4π−6π

π

−π

Resposta do exer í io 13.1:

1

1 2 3

y = f(t)

t

F (w) = Ff(t) =

∫ ∞

−∞f(t)e−iwtdt

=

∫ ∞

0

e−ate−iwtdt

=

∫ ∞

0

e−at (cos(wt)− i sen(wt)) dt

=a

a2 + w2− iw

a2 + w2

onde se usou os itens 1 e 2 da tabela B.1.

Resposta do exer í io 13.2:

1

1 2 3−1−2−3

y = f(t)

t

209

F (w) = Ff(t) =

∫ ∞

−∞f(t)e−iwtdt

=

∫ ∞

−∞e−at2e−iwtdt

=

∫ ∞

−∞e−at2 (cos(wt)− i sen(wt)) dt

= 2

∫ ∞

0

e−at2 cos(wt)dt

=

√π√ae−

w2

4a

onde se usou o item 8 da tabela B.1.

Resposta do exer í io 13.3: f(t) = 1πcos(w0t)

Resposta do exer í io 13.4: f(x) = 12√πe−

x2

4

Resposta do exer í io 13.8:

F (w) = Ff(t) =

∫ ∞

−∞f(t)e−iwtdt

=

∫ ∞

−∞

[ ∞∑

j=0

δ(t− j)e−j

]

e−iwtdt

=

∞∑

j=0

∫ ∞

−∞δ(t− j)e−je−iwtdt

=

∞∑

j=0

e−je−iwj =

∞∑

j=0

e−(1+iw)j

=1

1− e−(1+iw)=

1

1− e−1 (cos(w)− i sen(w))

=1

1− e−1 cos(w) + ie−1 sen(w)

=1− e−1 cos(w) + ie−1 sen(w)

(1− e−1 cos(w))2 + e−2 sen2(w)

=1− e−1 cos(w) + ie−1 sen(w)

1− 2e−1 cos(w) + e−2

Resposta do exer í io 14.1: Ver gura abaixo.

210 APÊNDICE B. TABELAS

|F (w)|

w

1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6

φ(w)

w

π

−π

Resposta do exer í io 14.4:

a)

F g(t) = F f(t− a) = F f(t) e−iaw

|F g(t)| = |F (w)| |e−iaw| = |F (w)|Onde se usou a propriedade 15 Logo o diagrama de magnitude é o mesmo do de f(t).

b)

F g(t) = F f(2t) =1

2F(w

2

)

|F g(t)| =1

2

∣∣∣F(w

2

)∣∣∣ .

Onde se usou a propriedade 22.

510

100 200 300 400 500−100−200−300−400−500

|G(w)|

w

211

)

F g(t) = F f(−t) = F (−w)

|F g(t)| = |F (−w)| =∣∣∣F (w)

∣∣∣ = |F (w)| .

Onde se usou a propriedade 20 e, depois, 19.

102030

100 200 300 400 500−100−200−300−400−500

|G(w)|

w

d)

F g(t) = F 3f(t) = 3F (w)

|F g(t)| = 3 |F (w)| .

Onde se usou a propriedade 12.

e)

F g(t) = F f(t) cos(1000t)

=1

2[F (w − 1000) + F (w + 1000)]

510

500 1000−500−1000−1500

|G(w)|

w

f)

F g(t) = Ff(t) cos2(1000t)

= F

f(t)(1 + cos(2000t))

2

=1

2F (w) +

1

4[F (w − 2000) + F (w + 2000)]

2.55.0

500 1000 1500 2000−500−1000−1500−2000−2500

|G(w)|

w

212 APÊNDICE B. TABELAS

g)

F g(t) = F f(t) sen(1000t)

=i

2[F (w + 1000)− F (w − 1000)]

Veja o diagrama de magnitudes no grá o abaixo.

h)

g(t) = f(t)| sen(1000x)| = f(t)

[2

π− 4

π

(cos(2000x)

1 · 3 +cos(4000x)

3 · 5 +cos(6000x)

5 · 7 + · · ·)]

Fg(t) =2

πF (w)− 2

3π(F (w + 2000) + F (w − 2000))

− 2

15π(F (w + 4000) + F (w − 4000))− 2

35π(F (w + 6000) + F (w − 6000)) + · · ·

Veja o diagrama de magnitudes no grá o abaixo.

5

2000 4000 6000−2000−4000−6000

|G(w)|

w

i) Usamos a propriedade 13 para obter

Fg(t) = iwF (w).

Veja o diagrama de magnitudes no grá o abaixo.

500

500 1000−500−1000

|G(w)|

w

213

j)

Fg(t) = Ff(t) ∗ f(t) = F (w)2

|G(w)| = |F (w)|2.

Onde se usou a propriedade da onvolução 18. Veja o diagrama de magnitudes no

grá o abaixo.

255075100

100 200 300 400 500−100−200−300−400−500

|G(w)|

w

k)

∫ ∞

−∞f(t)2dt =

∫ ∞

−∞|f(t)|2dt

=1

2π

∫ ∞

−∞|F (w)|2dw

=1

π

∫ 250

0

10(

1− w

250

)2

dw

=100

π

∫ 0

1

u2 (−250) du

=25000

π

∫ 1

0

u2du

=25000

π

[u3

3

]1

0

dw

=25000

3π

l)

∫ ∞

−∞f(t)dt = F (0)

∣∣∣∣

∫ ∞

−∞f(t)dt

∣∣∣∣

= |F (0)| = 10

Resposta do exer í io 14.5:

a) 0

b) ff = 2070rad/s = 329.6Hz, equivalente à nota mi.

214 APÊNDICE B. TABELAS

) O diagrama é dada na gura abaixo.

255075100

1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6

|F (w)|

w (em 1000 rad/s)

d) Idênti o ao original.

e) Idênti o ao original.

f) Veja o diagrama abaixo.

255075100

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4−5−6−7

|F (w)|

w (em 1000 rad/s)

g)

a =392

329.6= 1.19

Resposta do exer í io 15.1:

limt→0

u(x, t) =Q

Alimt→0

1√4πµt

e−(x−x0)

2

4µt

=

0, x 6= x0

∞, x = x0

Como,

∫ ∞

−∞

1√4πµt

e−(x−x0)

2

4µt dx =2√4πµt

∫ ∞

0

e−x2

4µt dx

=2√4πµt

√π√4µt

2= 1,

onde se usou item 8 da tabela de integrais B.1 om a = 1√4µt

, então

limt→0

u(x, t) =Q

Aδ(x− x0)

Resposta do exer í io 15.2:

215

• a)

y(x, t) =1

2

(e−|x+t| + e−|x−t|) .

• b)

y(x, t) =1

2

(e−3|x+t| + e−3|x−t|)+

1

2

∫ x+t

x−t

e−η2dη.

Resposta do exer í io 15.3:

y(x) =P

EI

√2

8a3e−ax sen

(

ax+π

4

)

,

onde a =(

C4EI

) 14.

Resposta do exer í io 15.4: Apli amos a transforma de Fourier na variável x, obtemos

a seguinte expressão para a equação transformada

Ut(k, t)− v(ik)U(k, t)− (ik)2U(k, t) = 0

onde foi usada a propriedade da derivada. A ondição ini ial se torna:

U(k, 0) = 500

∫ ∞

−∞δ(x)e−ikx = 500

Portanto temos o seguinte problema de valor ini ial:

Ut(k, t) = (−k2 + ivk)U(k, t)

U(k, 0) = 500

uja solução é

U(k, t) = 500e(−k2+ivk)t = 500eivkte−k2t

A multipli ação por eivtk indi a um deslo amento no eixo x. Logo pre isamos al ular:

F−1x

e−k2t

=1

2π

∫ ∞

−∞e−k2teikxdk =

1

π

∫ ∞

0

e−k2t cos(ikx)dk

=1

π

√π

2√te−

x2

4t =1

2√πt

e−x2

4t

Portanto

u(x, t) =250√πt

e−(x+vt)2

4t =250√πt

e−(x+t)2

4t

216 APÊNDICE B. TABELAS

Bibliograa

[1 Strau h, I. Transformada de Lapla e em 9 aulas. Notas de aula, Porto Alegre, 2006.

[2 Zill, D. G. Equações Diferen iais. CENGAGE Learning, São Paulo, 2012.

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