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Universidade de So Paulo

Instituto de Matemtica e Estatstica

Rafael Fernandes Pinheiro

Estudo da Conjectura de Aizermanem Dimenso 2 e Um Contraexemplo

em dimenso 4

Monografia apresentada ao Instituto de Matemtica e

Estatstica para a concluso do Curso de Bacharelado em

Matemtica Aplicada e Computacional

Habilitao: Sistemas e Controle

Orientador: Pedro Aladar Tonelli

Janeiro

2010

Dedicatria

Dedico este trabalho aos meus Pais, Esposa e Filha, que apesar do sofri-

mento de minha constante ausncia souberam compreender meus objetivos e

sempre me apoiaram.

2

RESUMO

Utilizando tcnicas da Teoria da Estabilidade, abordadas de forma sus-

cinta neste texto, o objetivo deste trabalho estudar um problema de estabi-

lizao que tem uma relao com a teoria de controle, o Problema de Aizer-

man. Em 1947 Aizerman [1] levantou uma questo fascinante aos olhos dos

matemticos da poca que cou conhecida na literatura como a Conjectura

de Aizerman. Essa conjectura dizia que seria possvel estudar estabilidade de

sistemas no lineares apenas pelo estudo de sistemas lineares de EDO. Em

1953 Krasovskii [6] provou que de fato a conjectura era vlida para sistemas

de dimenso 2 e para alguns sistemas de dimenses superiores, criando a

expectativa que talvez ela fosse sempre vlida. Porm, em 1958, Pliss [10]

apresentou um mtodo de construo de contraexemplo em dimenso 3 inva-

lidando a teoria inicial de Aizerman para casos gerais. Os trabalhos deixados

pelos matemticos, desde a poca do surgimento da conjectura, na tentativa

de validar e/ou `derrubar' a suposio de Aizerman, so at hoje de valiosa

contribuio para a Teoria da Estabilidade com aplicaes principalmente

no ramo da Engenharia, sendo, ainda, o Problema de Aizerman, um grande

possibilitador de aprendizado e de novas descobertas.

3

PREFCIO

A partir de uma Iniciao Cientca, realizada no ano de 2007 com apoio

nanceiro do Programa Ensinar com Pesquisa, este texto consolida o conheci-

mento que adquiri naquele trabalho, cujo o tema do projeto foi Estabilidade

de Sistemas Dinmicos em dimenso 2 e os Problemas de Aizerman e Lur'e

no Plano que tive como orientador o Prof. Dr. Pedro Aladar Tonelli (IME-

USP). Podendo, agora, ser exposto com maior consistncia, aps concludas

as matrias da Habilitao (em Sistemas e Controle na POLI), bem como,

todas as outras matrias do IME-USP, principalmente, aquelas ministradas

pelo Departamento de Matemtica Aplicada, ao longo do curso de Bachare-

lado em Matemtica Aplicada e Computacional (BMAC).

O objetivo deste trabalho estudar um problema de estabilizao que

tem uma relao com a teoria de controle, o Problema de Aizeman. Embora

esse problema j esteja resolvido por completo em R2 por Krasovskii [6], em

dimenses superiores, isto , na verso geral, este problema nos remete ao

Problema de Lur'e o qual ainda tem sido bastante estudado.

Para um melhor entendimento do Problema de Aizerman e am de que

seja atingido o objetivo proposto, este Trabalho de Formatura est dividido

em quatro partes, a saber: Alguns Tpicos de Sistemas de EDO, Estabili-

dade Segundo Lyapunov, Funes de Lyapunov e por ltimo o Problema de

Aizerman.

Alm do objetivo primordial deste trabalho, que estudar o Problema

de Aizerman, tomando como bibliograa principal a obra de Guzman [4], eu

resolvi dar uma ateno especial, embora abordados de forma suscinta, aos

captulos 1, 2 e 3, assuntos dos quais foram objetos de longos estudos no

meu projeto de Iniciao Cientca e tambm muito explorados em algumas

displinas do Departamento de Matemtica Aplicada e da Habilitao em

Sistemas e Controle da POLI.

Eu procurei fazer este trabalho de modo que pessoas com conhecimen-

tos bsicos de lgebra Linear, Clculo e EDO possam compreender o con-

tedo aqui exposto, entretanto, para quem possui conhecimentos um pouco

mais avanados em Equaes Diferenciais Ordinrias, como por exemplo,

para quem cursou matrias equivalentes Tcnicas em Teoria do Controle

(MAP2321), Mtodos Numricos em Equaes Diferenciais I (MAP2310) e

seus pr-requisitos, podero acompanhar este texto de forma bastante crtica.

4

E, ainda, para aqueles que se interessarem podero se aprofundar, por meio

das referncias bibliogrcas, na interessante teoria que faz surgir o contra-

exemplo aqui exposto, passando, dessa fase, para uma possvel pesquisa em

grau de ps-graduao, tomando como linha inicial o Problema de Aizerman

e em seguida o Problema de Lur'e [9], que introduziu pela primeira vez em

1945 o conceito de Estabilidde Absoluta.

Finalizando, aproveito a oportunidade para deixar meus sinceros agrade-

cimentos, primeiramente, Deus que me d foras para superar os grandes

desaos que surgem em minha vida, agradeo ao Professor Pedro, meu ori-

entador, que de forma explndida com sua sabedoria, pacincia e presteza

conseguiu me passar conhecimentos fundamentais para que eu pudesse galgar

as disciplinas do IME e POLI com maior facilidade, possibilitando-me, ainda,

a abertura de novos horizontes no mundo acadmico. Agradeo, tambm,

todos os professores do IME e POLI que em suas aulas, algumas um tanto

que rduas, tentaram me transmitir seus sbios conhecimentos matemticos

e de vida. Enm, agradeo, do fundo do meu corao, todos que de forma

direta ou indireta contriburam para que eu conseguisse chegar ao m deste

curso.

5

Sumrio

1 ALGUNS TPICOS DE SISTEMAS DE EDO 8

1.1 INTRODUO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 MODELAGEM DO PNDULO . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 AUTOVALORES E AUTOVETORES . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1 DEFINIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.2 EXEMPLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 EXPONENCIAL DE MATRIZES . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.1 PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS . . . . . . . . . 14

1.4.2 EXEMPLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 EXPONENCIAL DEMATRIZES PELA FORMACANNICA

DE JORDAN (a matriz J) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5.1 EXEMPLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.6 SOLUO PARA SISTEMA DE EDO

LINEAR COM COEFICIENTES

CONSTANTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6.1 EXEMPLO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 ESTABILIDADE SEGUNDO LYAPUNOV 23

2.1 INTRODUO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 DEFINIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 ESTABILIDADE PARA EDO

COM COEFICIENTES CONSTANTES . . . . . . . . . . . . 26

2.3.1 EXEMPLO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 FUNES DE LYAPUNOV 28

3.1 INTRODUO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2 A FUNO DE LYAPUNOV . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.1 EXEMPLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6

3.3 FUNO DE LYAPUNOV PARA

SISTEMAS AUTNOMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3.1 EXEMPLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4 MTODO DIRETO DE LYAPUNOV . . . . . . . . . . . . . 34

4 O PROBLEMA DE AIZERMAN 36

4.1 INTRODUO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2 APRESENTAO DO PROBLEMA

DE AIZERMAN EM DIMENSO 2 . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3 UM RESULTADO PARA

A DIMENSO 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3.1 EXEMPLO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.4 UM CONTRAEXEMPLO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

7

Captulo 1

ALGUNS TPICOS DE

SISTEMAS DE EDO

1.1 INTRODUO

No captulo 1 temos a apresentao de alguns mtodos relacionados a

como se obter solues de sistemas de equaes diferencias ordinrias linea-

res. Iniciaremos na seo 1.2, como motivao, com o problema de modela-

gem do pndulo simples o qual mais adiantes nos remeter a um problema

de controle. Em seguida, na seo 1.3 temos algumas denies a respeito

de autovalores e autovetores, logo aps na seo 1.4, com o objetivo de se

obter solues para Sistemas de EDO, temos o conceito de Exponencial de

Matrizes que uma ferramenta fundamental para a resoluo de Sistemas de

Equaes Diferenciais. A partir desse conceito veremos, na seo 1.5, como

obter solues de sistemas de equaes difereciais lineares.

1.2 MODELAGEM DO PNDULO

Muitos problemas reais trazem equaes diferenciais que admitem uma

aproximao linear que, geralmente, suciente para muitos propsitos.

Observe o pndulo simples, que consiste de uma partcula de massa m,

um o ideal de comprimento l e o ngulo do o com a vertical.

Usando a Lei de Newton e lembrando que a derivada segunda corresponde

acelerao temos:

8

Figura 1.1: Pndulo Simples

mx = Tsin (1.1)

e

my = mg Tcos (1.2)

Eliminando T:

xcos ysin = gcos (1.3)

Como x = lsin e y = lcos, e sabendo que dfdx

= dfd

ddx

obtemos:

y = l(cos)2 l(sin) (1.4)

Aplicando (1.3) e (1.4) em (1.2), temos:

l + gsin = 0 (1.5)

Que a equao do pn