radiciaçâo

Ângelo Moreira

Radiciação

Na raiz , temos: = b

A radiciação é a operação inversa da potenciação. Ex.

42pois24 2 ==n a

RADICAL

O número n é chamado índice;O número a é chamado radicando;O número b é chamado raiz.

3

RadiciaçãoRadiciaçãoRaiz quadrada de um número positivo “a” é o número positivo que elevado ao quadrado dê “a”.

Exemplos:Exemplos:

9 3= 49 7= 81 9=

1 1= 0 0= 1,21 1,1= 6,25 2,5=

1 1

4 2= 0,04 0,2=

636 =

5

3

25

9 =

ban =

Radical

Radicando

Índice Raiz enézima de a

A Raiz Enézima de a

Propriedades da Propriedades da RadiciaçãoRadiciação

( )

aa e)

aa d)

aa c)

0)(b b

a

b

ab)

abb a a)

pn pmn m

nmn m

n mmn

nn

n

nnn

=

=

=

≠=

=⋅

Propriedades dos radicais:

nnn babaa ⋅=⋅)

Se :,,,,, temosNpNnZmRbRa ++++ ∈∈∈∈∈

pn pmn m aab⋅ ⋅=)

)0() ≠= bb

a

b

ac

n

n

n

( ) n mmn aad =)

npp n aae ⋅=)

3333 102525 =⋅=⋅

6 423 2.23 2 555 == ⋅

4

4

4

3

5

3

5 =

( ) ( ) 322288 55

3 3533 5 ====

6233 777 == ⋅

Radicais SemelhantesRadicais Semelhantes

Dois ou mais radicais são semelhantes, Dois ou mais radicais são semelhantes, quando possuem o mesmo índice e mesmo quando possuem o mesmo índice e mesmo radicandoradicando

32 37

3 54− 3 56−

e

e

RADICIAÇÃO

Potência com expoente racional

Observe as seguintes igualdades: ou

Igualmente podemos transformar uma potência com expoente fracionário em um radical.

De modo geral, definimos:

, com a IR,m,n, IN, a >0, n>0, m>0

Podemos também transformar um radical com expoente fracionário, isto é,vale também a volta.

Veja mais um exemplo:

60 13260 13360

1335

4

4

3

3

2

5

4

4

3

3

25 44 33 2 ..... aaaaaaaaaaa =====

++

RADICIAÇÃO

Potência com expoente racional Propriedade das potências com expoentes racionais

As propriedades das potências com expoentes racionais são as mesmas para os expoentes inteiros. Sendo a e b números reais e positivos e os expoentes números racionais, temos que:

( )

n

m

n

m

n

m

n

m

n

m

n

m

q

p

n

m

q

p

n

m

q

p

n

m

q

p

n

m

b

a

b

a

baba

a

a

a

aaa

=

=

=

=

−

+

..

.

Simplif icando Simplif icando RadicaisRadicais

23632233223

32233232883 b)

2222 8 a)

224

2425

236 336 36

=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅

=⋅⋅=⋅=

==== ÷ ÷

Simplificar um radical é reduzir o radicando à sua expressão mais simples.

Exemplos:

RADICIAÇÃO

“Introdução” de um fator no radical

33 333 33 567.27.27.2 === Processo prático: 33 33 567.272 ==

44 44 300003.10310 ==

1805.656 2 ==

5005.10510 2 ==

RADICIAÇÃO

Operações com Radicais:Adição e Subtração

Exemplo 1: Efetue: Resolução: Os três radicais são semelhantes, pois possuem o mesmo índice 2 e o mesmo radicando 3. Adicionando algebricamente os coeficientes, podemos escrever:

37333 −+

( ) 32731337333 −=−+=−+

Exemplo 2: Efetue: Resolução: Os três radicais aparentemente não são semelhantes, mas se os simplificarmos, perceberemos que eles são verdadeiramente semelhantes. Simplificando cada um dos radicais, teremos:

1843283 +−

214212242623.42222.33.242223 2253 =+−=+−+−

RADICIAÇÃO

Operações com Radicais:Adição e Subtração

Exemplo 3: Efetue: Resolução: Os três radicais aparentemente não são semelhantes, mas se os simplificarmos, perceberemos que eles são semelhantes dois a dois. Simplificando cada um dos radicais, teremos:

864 8112540075 +−+

536355.235355.25.3 28 46 34 242 +=+−+=+−+

RADICIAÇÃO

Operações com Radicais:Multiplicação

Exemplo 1: 5.2Resolução: Os dois são homogêneos, pois possuem o mesmo índice 2. Multiplicando os radicandos e conservando o índice, podemos escrever: 105.25.2 ==

Exemplo 2: Efetue: 5 44 33 2 .. aaa

Resolução: Os três radicais são heterogêneos, pois possuem índices diferentes. Reduzindo-os ao mesmo índice, teremos: 60 13360 48454060 4860 4560 405 44 33 2 ...... aaaaaaaaaa ===

E simplificando o radical teremos:60 133a 60 13260 13120 .. aaaa =

RADICIAÇÃO

Operações com Radicais:

Divisão

RADICIAÇÃO


Potenciação

( ) 55 355553

5 822.2.22.2.22 ====

Logo, ( ) 1.35 33

5 1 .22 ←=

( ) 7 67 337 37 32

7 3 55.55.55 ===

Logo, ( ) 3.27 62

7 3 .55 ←=

( ) n mrm

n r aa =

De modo geral, para se elevar um radical a um dado expoente, basta elevar o radicando àquele expoente.

Radiciação

RADICIAÇÃO

2642864 633 === e Logo, 63 2 6464 =

2.3

3813981 4 === e Logo, 42 2 8181 =2.2

28644096 333 ===

2240964096 12 12123 ===

ou

De modo geral, satisfeitas as condições de existência dos radicais envolvidos, podemos indicar a radiciação de um radical assim:

nmn m aa .=


Expressões RADICIAÇÃO

=−+=+−+=+−+ 333 984185484182548418

327918811838418 3333 ==+=+=−+=

=+=−+=−+ 333

25

4

125

14

25

1115

125

14

25

11

5

3

125

14

5

4

125

64

125

5014

5

2

125

14333 ==+=+=

246416.416.13:5216.13:52 333333 =====

2

1

3.7.2

3.7

3.7.2

3.23.5

7.3.2

3.25.3

588

127522

22

==+=+=+

RADICIAÇÃO

Desenvolvendo Produtos Notáveis

( ) ( ) ( ) ( ) 246224422222422.222222

+=++=++=++=+

( ) ( ) ( ) ( ) 36366.36.3363.6322

−=−=+−+=+−

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 30.213330.21033.103.1010310.310310222

−=+−=+−−=−−=−

RADICIAÇÃO

Racionalização de Denominadores

Em alguns cálculos, você pode se deparar com raízes no denominador da fração, o que a torna irracional. Para que você possa prosseguir com os cálculos, é conveniente que você elimine essas raízes do denominador, esse processo chamado de racionalização de denominadores. Isto é, transforma-se um denominador irracional em racional, para que assim possamos trabalhar com tranquilidade com a fração que agora teremos

o denominador é um número irracional e deve ser eliminado.

Atenção: o importante é eliminar a raiz (que pode ser quadrada, cúbica, etc), mantendo uma fração "equivalente", ou seja, que representa o mesmo valor.

Uma dica é multiplicar tanto o numerador (parte de cima), quanto o denominador pelo mesmo número, o que não interfere na igualdade. Se a fração anterior for multiplicada em cima e em baixo por ficará:

Note que é igual a 1, logo a multiplicação de um número por 1 não o altera.

RADICIAÇÃO


Prosseguindo:

Como se pode notar o denominador agora é um número racional (3).

RADICIAÇÃO


Raízes não-quadradas

Para eliminar raízes cúbicas, ou de outros índices diferentes de 2 (lembre-se: raiz quadrada é, na verdade, uma raiz de índice 2), é necessário utilizar um artifício.

Multiplique, no numerador e no denominador, por uma raiz de mesmo radicando (o número dentro da raiz) e cujo índice seja equivalente ao índice da raiz original, e o expoente do radicando seja o valor do índice menos um. Por exemplo:

é o fator racionalizante de

ou

RADICIAÇÃO

Racionalização de DenominadoresSoma de raízes no denominador

Veja:

Deve-se multiplicar por

Isso porque a multiplicação de por é, na verdade, a multiplicação de (a + b). (a - b), um produto notável, cujo resultado é (a2 - b2), isto é, os radicais somem!

é o fator racionalizante de

é o fator racionalizante de é o fator racionalizante de

radiciaçâo

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