módulo 1 • unidade 8 potenciação e radiciação · seu amigo é um e entre você e o amigo de...

Matemática e suas Tecnologias • Matemática 1

Módulo 1 • Unidade 8

Potenciação e radiciaçãoPara início de conversa...

Discutimos anteriormente as quatro operações aritméticas: adição,

subtração, multiplicação e divisão. Agora trabalharemos com mais duas:

a potenciação e a radiciação. Ambas são úteis em diversas situações, seja

para realizarmos representações numéricas, seja para efetuarmos cálculos

de forma mais rápida. Compreender essas operações e saber utilizá-las

para resolver problemas é importante para o entendimento de diversas

aplicações matemáticas. O problema abaixo retrata bem essa situação.

Com cerca de 51% de brasileiros, o Orkut, comunidade base-ada em Redes Sociais criada pelo Google, é um campo fértil para a boataria, ou para o Hoax, como são chamadas as men-sagens de cunho duvidoso que circulam pela Internet.

Na disseminação desses boatos, duas características são im-portantes: a densidade da rede do internauta e os graus de separação. A densidade da rede do internauta significa, de for-ma simples, quantos contatos esse internauta tem. Já o grau de separação é a distância que separa você de outra pessoa na rede social. Por exemplo, o grau de separação entre você e seu amigo é um e entre você e o amigo de seu amigo é dois.

Por um usuário de Orkut, com muitos amigos, irá trafe-gar a maioria das mensagens que circulam entre os bra-sileiros. Em outras palavras, quem tem mais amigos no Orkut também recebe mais boatos por e-mail.


Isso porque o Orkut possibilita o envio de mensagens a seus amigos e aos ami-gos dos seus amigos (grau um e grau dois, respectivamente).

Sendo assim, se você tem 10 amigos e cada amigo seu tem mais dez amigos, um boato que circula no Orkut tem o potencial de atingir 100 pessoas. Felizmente, o Orkut permite apenas a comunicação em até dois graus de separação. Se fosse possível enviar mensagens para toda a minha rede em até cinco graus de separa-ção, um boato como o de um sequestro, enviado por mim a meus 54 amigos do Orkut, poderia atingir mais de um milhão de pessoas. Um pesadelo.

O texto foi adaptado. A versão completa pode ser encontrada em:

http://informatica.terra.com.br/interna/0,,OI359546-EI1684,00.html

Como você pensa que, ao final do texto, se chegou ao valor de um milhão de pessoas?

Objetivos de aprendizagem � Definir os conceitos de potenciação e radiciação.

� Operar com potenciação e radiciação.

� Verificar que as duas operações são inversas entre si.


Seção 1Potenciação

Situação problema

Pensemos numa situação em que uma pessoa fica sabendo de um boato, não neces-

sariamente verdadeiro, e gasta 10 minutos para contar para os seus três melhores amigos.

Creio que é assim que as fofocas espalham-se. Imagine que cada um dos três amigos resolve

fazer a mesma coisa e 10 minutos depois contam a novidade para três colegas que ainda não

a conheciam. Assim, cada um que recebia a notícia sempre a transmitia para três colegas de-

sinformados, gastando, para isso, 10 minutos.

Veja como a fofoca espalha-se e complete a tabela:


Tempo (minutos) Novos alunos que ouvem a fofoca Representação em forma de potência

10 3 31

20 3 x 3 32

30 3 x 3 x 340506070

a) Quantos alunos ficaram sabendo do boato no período entre 20 e 30 minutos?

b) Quantos alunos ficaram sabendo do boato na primeira meia hora?

c) Se, na escola onde estudam, há 364 alunos, em quantos minutos todos os alunos ficaram sabendo do boato? Lembre-se que a quantidade de pessoas que ficam sabendo do boato acumula-se. Por exemplo, a partir do momen-to que a primeira pessoa conta para outras três, já são quatro sabendo do boato. No segundo momento, já são 1 + 3 +9 e assim sucessivamente.

Atividade

O caso da disseminação da fofoca mostra uma situação em que a potenciação

pode ser útil. Ela nos auxilia na representação de números grandes e, de certa forma, faci-

lita cálculos com esses números. Além disso, apresenta a evolução da ordem de grandeza

desses números.

A notação an, onde a é um número real e n é um número natural diferente de zero, é a repre-

sentação de uma potência. a é chamado de base e n é o expoente, com n significando a quan-

tidade de vezes que a base aparece como fator de uma multiplicação.


Assim:

24 = 2 x 2 x 2 x 2

36 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3

510 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5

Perceba que esta notação facilita a escrita, simplificando a comunicação e a

representação numérica.

Por definição, consideram-se verdadeiras as seguintes afirmações:

a1 = a

a0 = 1, para qualquer número a ≠ 0

a-n = 1na

, para qualquer número a ≠ 0 e para qualquer número inteiro n.

Fractal é uma forma geométrica irregular que normalmente está dividida em

partes e cada parte é uma cópia reduzida da forma toda. A palavra fractal vem do

latim fractus, que significa quebrado, partido ou, ainda irregular. Vários fractais são

verdadeiras obras de arte. Algumas pessoas chegam a duvidar que, por trás de tanta

beleza, haja fórmulas matemáticas avançadas. Veja alguns exemplos de fractais feitos

em computador, a partir de fórmulas matemáticas. São ou não são muito belas?


Além desses fractais, construídos com a utilização da Informática, outros mais

simples podem ser encontrados. Um deles é o Triângulo de Sierpinsky (descoberto pelo

matemático Waclav Sierpinsky 1882-1969), construído a partir de um triângulo inicial e

uma regra: dividir o triângulo em 4 partes iguais e retirar a parte central. A cada triângulo

restante é aplicada a mesma regra, infinitas vezes. Veja o desenho abaixo:

Observe que, com base nesse desenho, podemos realizar algumas operações

matemáticas com a utilização da potenciação.

Fase Número de Triângulos1 1 30

2 3 31

3 9 32

456789

10


a) Escreva em forma de potência quantos triângulos haveria na fase 50? _______________.

b) Que fração do triângulo da fase 1 permanece pintada na fase 5? ________________

c) E na fase 10? ________________.

A Água em Números

Estoque total de água do planeta: 1,5 bilhão de Km3

Volume mundial disponível para consumo: 9 mil de Km3

Superfície da Terra coberta pela água: 372 milhões de Km3

1,4 bilhão de pessoas carecem de acesso à água potável, o que corresponde

aproximadamente a um sexto da população mundial;

2.400 milhões dos habitantes do planeta não têm acesso a serviços de sanea-

mento adequados, ou seja, o equivalente a 40% dos habitantes do planeta;

Fonte: Departamento de Informação Pública da ONU, DPI/2283/Rev.1, Dezembro de 2002


a) Observe que aparecem diversos valores grandes. Veja alguns desses núme-ros escritos de outras formas:

� 1,5 bilhão de Km3 = 1.500.000.000 de km3 = 1,5 x 109 de km3

� 9 mil de km3 = 9.000 de km3 = 9 x 103 de km3

� 372 milhões de km3 = 372.000.000 de km3 = 3,72 x 108 de km3

b) No texto, aparecem ainda outros números. Escreva esses números, usando outras representações:

a) 1,4 bilhão de pessoas =

b) 1100 milhões de pessoas =

c) 2400 milhões dos habitantes =

É normal o uso da notação científica, isto é a escrita de um número com auxílio

de potências de base 10. Geralmente, usa-se o seguinte formato:

A x 10n

Nessa fórmula, A é um número maior que 1 e menor que 10, e n é o expoente de 10.

Para escrever um número muito grande em notação científica, procede-se

a divisão sucessiva por 10 até que encontremos um resultado entre

1 e 10, lembrando que ao dividirmos um número por 10 há um deslocamento da vír-

gula para a esquerda. A quantidade de divisões efetuadas, ou seja, a quantidade de

deslocamentos da vírgula é o expoente do 10. Observe o exemplo:

Hoje vivem na terra cerca de 6 bilhões de habitantes.

6 bilhões = 6.000.000.000 = 6 x 109


Você sabia que a massa da Terra é

aproximadamente 6,02 x 1024 kg? Isto repre-

senta 6.020.000.000.000.000.000.000.000 kg.

Como vê, a notação inicial é muito mais con-

veniente. Veja outros valores escritos em

notação científica e escreva-os em sua repre-

sentação decimal:

a) Raio da Terra: 6,40 x 106 m =

b) Massa da Lua: 7,44 x 1022 kg =

c) Distância Terra-Lua (centro a centro): 3,84 x 108 m =

Observe que até agora a notação científica foi utilizada para representar valores muito gran-

des. Acontece que ela também pode ser utilizada para representar valores muito pequenos.

Em Biologia, Química e tecnologias computacionais, costuma-se fazer muito uso desse tipo

de notação.

Para escrever um número muito pequeno em notação científica, procede-se a multiplicação

sucessiva por 10 até que encontremos um resultado entre 1 e 10, lembrando que ao multi-

plicarmos um número por 10 há um deslocamento da vírgula para a direita. A quantidade de

multiplicações efetuadas, ou seja, a quantidade de deslocamentos da vírgula é representada

por um número. Esse número com o sinal negativo é o expoente do 10.

O exemplo a seguir mostra porque o sinal do expoente é negativo. Para representar o número

0,000000000000000000000006 em notação científica, poderíamos pensar da seguinte forma:

−= = = × 2424

6 60,000000000000000000000006 6 10

1000000000000000000000000 10


Represente os valores seguintes em notação científica:

a) 34000000000000000

b) 1230000000000

c) 0,000000000123

d) 0,000000173

Represente os valores abaixo em notação decimal:

a) 1,23x108

b) 3,4x105

c) 5,3x10-6

d) 1,2x10-8

Seção 2Radiciação

Situação problema 2:

Ainda com base no que você estudou na seção anterior, tente colocar nos quadrados

os valores que torne as igualdades verdadeiras:

2 3 4a) = 9 a) = 27 a) = 16

2 3 4b) = 64 b) = 1000 b) = 81

2 3 4c) = 100 c) = 64 c) = 10000


Perceba que nessa atividade você conhecia o resultado da potenciação e queria des-

cobrir a base. Veja o exemplo:

2

= 9

Veja que aqui estávamos procurando um número que elevado ao quadrado (2) tem 9

como resultado. Nesse caso, dizemos que estamos realizando a operação inversa da poten-

ciação. É o que denominamos radiciação e dizemos que a raiz quadrada de 9 é o número que

poderia substituir o quadradinho, no caso 3.

Outro exemplo:

3

= 27

Aqui procuramos um número que elevado ao cubo (3) tem 27 como resultado. A raiz

cúbica de 27 é o número que poderia substituir o quadradinho, 3.

=3 27 3 porque =33 27

Generalizando: se um número A for elevado a um expoente n ( nA ) resultando em um

valor B ( =nA B ), então a raiz enésima de B ( n B ) será A ( =n B A ), logo:

=n B A porque =nA B

A, B e n devem ser números reais e n deve ser maior que zero.

Os elementos da radiciação possuem nomes específicos, na operação =n A B ,

n é o índice;

A é o radicando;

é o radical;

B é a raiz.

16 se escreve sem o índice, pois quando o índice é 2 ele não é representado.


Calcule os resultados das seguintes raízes:

16 =

=3 27

=4 256

=5 32

=6 1000000

Você sabe o que são números irracionais?

Nem sempre conseguimos encontrar um valor inteiro como resultado de uma raiz de um nú-

mero natural. Por exemplo 5 , onde precisaríamos encontrar um número que elevado ao qua-

drado (2) tem 5 como resultado. Em casos como esse, podemos utilizar a calculadora ou atribuir

uma aproximação para o resultado pretendido.

Números como esse pertencem ao conjunto dos números irracionais, isto é, números que não

podem ser escritos em forma de fração.

Coloque nos os símbolos = ou ≠.

a) 25 + 16 41

b) +100 36 10 + 6

c) ⋅100 36 10 · 6

d) +2 210 6 10 + 6

e) +2 210 6 10 + 6

f ) +2 210 6 136

7


Momento de reflexão

Potenciação, radiciação, notação científica. Pois é, muito cálculo e muita coisa para se

pensar. Esses assuntos foram tratados nessa unidade e cada um tem sua importância, seja

para resolver problemas, efetuar cálculos ou para representação numérica de forma diferen-

ciada. Muito disso já pode ter sido visto por você em outros momentos, porém pode ser que

isso já faça algum tempo. Mas, se tudo isso é novidade para você, não ser preocupe, o que

importar é saber reconhecer o que foi aprendido e o que ainda precisa ser reforçado, e escre-

ver sobre isso poder orientar você na busca de ampliação de seu conhecimento. É isso que

propomos aqui, pense e escreva sobre as seguintes questões:

� O que foi mais difícil na discussão dos conteúdos tratados?

� O que mais chamou a atenção?

� Já deparou com esses conteúdos ao estudar outras disciplinas? O que especificamente?

Momentode

reflexão

Voltando à conversa inicial...

As operações de Potenciação e Radiciação foram tratadas nessa unidade. Vimos que

a representação de números por meio das potências torna mais simples a representação de

quantidades muito grandes ou muito pequenas. Dizer 5x1012 é bem mais simples e econômi-

co do que escrever 5.000.000.000.000, da mesma forma que 3x10-7 é mais interessante de se

escrever do que 0,0000003.

A radiciação, como inversa da potenciação, foi trabalhada ao mesmo tempo em que

vimos a impossibilidade de se calcular diretamente algumas raízes cujo resultado são núme-

ros irracionais. Essas podem ser calculadas por aproximação, com o auxílio da calculadora.

Voltando ao problema apresentado inicialmente, sobre o Orkut, primeiramente é im-

portante dizer que quando o autor fala de dois graus de separação ele se refere aos seus

amigos e aos amigos de seus amigos. Considerando cinco graus de separação teremos:

Grau de separação

Quantidade de novas pessoas atingidas

Total de pessoas atingidas pelo boato

1 54 54 2 54 x 20 = 1.080 1.080 + 54 = 1.134 3 1.080 x 20 = 21.600 21.600 + 1.134 = 22.734 4 21.600 x 20 = 432.000 432.000 + 22.734 = 454.734 5 432.000 x 20 = 8.640.000 8.640.000 + 454.734 = 9.094.734

São nove milhões, noventa e quatro mil, setecentos e trinta e quatro pessoas: muita

gente!

Você já pensou em um número que está em todo lugar. Que tal assistir a um filme e

pensar sobre isto? O filme é Número 23 dirigido por Joel Schumacher.

Ao assistir a esse filme, fique atento como a presença dos números influencia as diver-

sas ações da personagem principal.


Referências

Imagens

• http://www.sxc.hu/photo/789420


• http://www.flickr.com/photos/rosepetal236/2511852611/

• http://www.flickr.com/photos/craft_uas/1693597432/

• http://www.flickr.com/photos/49403380@N00/2437476071/

• http://www.flickr.com/photos/doodle_m/4678606798/





• http://www.sxc.hu/browse.phtml?f=download&id=1220957 • Ivan Prole.

• http://www.sxc.hu/985516_96035528.

Bibliografia consultada

PAIVA, M. A. V.; FREITAS, R. C. O. Matemática. In: SALGADO, Maria Umbelina Caiafa;

AMARAL, Ana Lúcia.. (Org.). ProJovem Urbano. Ed. Brasilia DF: Governo Federal/Programa Na-

cional de Inclusão de Jovens, 2008, v. 1,2,3,4,5,6.

POZO, Juan Ignacio et al. (Org.); tradução de Beatriz Affonso Neves. A Solução de Pro-

blemas: Aprender a resolver, resolver para aprender. Porto Alegre: Artmed, 1998.


Anexo • Módulo 1 • Unidade 8

O que perguntam por aí?

Atividade 1 (ENEM 2010)

Um dos grandes problemas da poluição dos mananciais (rios, córregos e outros) ocor-

re pelo hábito de jogar óleo utilizado em frituras nos encanamentos que estão interligados

com o sistema de esgoto. Se isso ocorrer, cada 10 litros de óleo poderão contaminar 10 mi-

lhões (107) de litros de água potável.

Manual de etiqueta. Parte integrante das revistas Veja (ed. 2055), Cláudia (ed. 555), National Geographic (ed.

93) e Nova Escola (ed. 208) (adaptado).

Suponha que todas as famílias de uma cidade descartem os óleos de frituras através

dos encanamentos e consomem 1 000 litros de óleo em frituras por semana. Qual seria, em

litros, a quantidade de água potável contaminada por semana nessa cidade?

a) 10-2

b) 103

c) 104

d) 106

e) 109


Atividade 2 (ENEM 2011)



Caia na Rede!

Na onda dos fractais

Na atividade 1 desta unidade, falamos um pouco sobre os fractais, essas imagens sur-

preendentes realizadas a partir de padrões matemáticos. Se você ficou interessando em co-

nhecer mais sobre os fractais, tenho duas dicas para te dar.

A primeira dica é o site: www.fractarte.com.br.

Lá você poderá encontrar mais formas parecidas com

as vistas na atividade. Clique no link galeria e visite

as imagens que estão expostas. Caso queria aprender

um pouco mais sobre fractais e como eles são elabo-

rados, clique no link artigos, nele você vai encontrar

muita informação interessante.

Caso você queira ter um fractal só seu, a se-

gunda dica é baixar um arquivo de Excel, disponível

no site: info.abril.com.br/downloads/mandelbrot-

-macro. Com este arquivo você poderá gerar fractais

para salvar em seu computador.


Seção 1 – Potenciação

Situação problema

9 alunos

3 + 9 + 27 = 39 alunos

Em 50 minutos todos os alunos da escola ficam sabendo do boato. Observe:

Tempo (minutos) 10 20 30 40 50

Novos alunos que ouvem a fofoca 3 9 27 81 243

3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 363

363 +1(o que cria a fofoca) = 364 (número de alunos)

Atividade 1

Fase Número de triângulos

1 1 30

2 3 31

3 9 32

4 27 33

5 81 34

6 243 35

7 729 36

8 2187 37

9 6561 38

10 19683 39

a) 349 triângulos

b)

434

c)

934


Fase Fração pintada1 1

234

3 =

29 316 4

4 =

327 364 4

5

434

6

534

... ...

10

934

Atividade 2

a) 1,4 bilhão de pessoas = 1,4 x 109 de pessoas = 1.400.000.000 de pessoas

b) 1100 milhões de pessoas = 1,1 x 109 de pessoas = 1.100.000.000 de pessoas

c) 2400 milhões dos habitantes = 2,4 x 109 dos habitantes = 2.400.000.000 dos habitantes

Atividade 3

a) 6.400.000 m

b) 74.400.000.000.000.000.000.000 Kg

c) 384.000.000 m

Atividade 4

a) 34000000000000000 = 3,4 x 1016

b) 1230000000000 = 1,23 x 1012

c) 0,000000000123 = 1,23 x 10-10

d) 0,000000173 = 1,73 x 10-7


Atividade 5

a) 1,23x108 =123000000

b) 3,4x105 = 340000

c) 5,3x10-6 =0,0000053

d) 1,2x10-8 = 0,000000012

Situação problema 2

2 3 4a) 3 = 9 a) 3 = 27 a) 2 = 16

2 3 4b) 8 = 64 b) 10 = 1000 b) 3 = 81

2 3 4c) 10 = 100 c) 4 = 64 c) 10 = 10000

Seção 2 – Radiciação

Atividade 6

16 = 4

=3 27 3

=4 256 4

=5 32 2

=6 1000000 10

Atividade 7

a) 25 + 16 ≠ 41

b) +100 36 ≠ 10 + 6

c) ⋅100 36 = 10 · 6

d) +2 210 6 = 10 + 6


e) +2 210 6 ≠ 10 + 6

f ) +2 210 6 = 136

O que perguntam por aí?

Atividade 1

Resposta: Letra E

Atividade 2

Resposta: Letra A

módulo 1 • unidade 8 potenciação e radiciação · seu amigo é um e entre você e o amigo de...

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