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MATERIAL 04

RACIOCÍNIO LÓGICO PROF. ADRIANO CARIBÉ

1

Geometria Plana ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS RETAS PARALELAS CORTADAS POR UMA TRANSVERSAL • Ângulos correspondentes: a e e; b e f; c e g; d e h

Propriedade: são congruentes.

• Ângulos alternos internos: c e e; d e f Propriedade: são congruentes.

• Ângulos alternos externos: a e g; b e h Propriedade: são congruentes.

• Ângulos colaterais internos: c e f; d e e Propriedade: são suplementares.

• Ângulos colaterais externos: a e h; b e g Propriedade: são suplementares.

Exercícios

01. Na figura abaixo, sabendo que r//s calcule x + y.

a) 200º b) 190º c) 180º d) 170º e) 160º

t

a b

d c r

s

h

e

g

f r//s

y

25º

35º r

s

x

100º

60º

80º


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2

TRIÂNGULOS DEFINIÇÃO Sejam A, B e C três pontos não colineares. A união dos três segmentos,

ACeBC,AB chama-se triângulo ABC. ELEMENTOS Vértices: A, B e C Lados: BCeAC,AB

Ângulos internos: α, β eϒ Ângulos externos: α’, β’, ϒ’ Soma dos ângulos internos A soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180º .

α + β + ϒ = 180º Ângulo externo Cada ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes a ele.

+=

+=

+=

βαγ

γαβ

γβα

'

'

'

A B c α’

α

b a

C

ϒ

ϒ’

β’

β


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3

CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS Quanto aos lados, os triângulos classificam-se em:

Equilátero: é aquele que possui os três lados congruentes. Em todo triângulo eqüilátero os ângulos medem 60º Isósceles: é aquele que possui pelo menos dois lados congruentes. Em todo triângulo isósceles, os ângulos da base são iguais. Escaleno: é aquele que possui os três lados não congruentes. Exercícios: 01. Na figura, BE DE , BC AB == e .CE CF = Se o ângulo A mede 50º, então a medida, em graus, do ângulo DÊF é:

01) 90 02) 95 03) 100 04) 105 05) 130

02. O triângulo ABC representado na figura é isósceles.

Se BC = BD = DE =EA, a medida θ do ângulo assinalado, em radianos, é:

A B D

F E

C

50º

A

E

B C

D

θ


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4

a) 15

π

b) 12

π

c) 9

π

d) 8

π

e) 7

π

03 . Na figura seguinte, ABDE é um quadrado e BCD é um triângulo equilátero.

Calcule a medida do ângulo x. SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Triângulos semelhantes são triângulos que tem respectivamente os mesmos ângulos e os lados homólogos proporcionais.

......'''a'

a e 'C C ; 'ˆˆ;'ˆˆ =======

h

h

c

c

b

bBBAA

NOTA

Uma condição suficiente para que possamos concluir que dois triângulos são semelhantes é que eles tenham dois ângulos respectivamente congruentes.


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5

Exercícios: 04. Calcule o valor de x na figura, se r // s // t. 05. Qual a medida x do lado do quadrado inscrito num triângulo isósceles de base 6 e

altura 10?

RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Seja o ∆ABC da figura retângulo em A. Representemos por D o ponto onde a altura conduzida do vértice A encontra a hipotenusa BC Elementos do triângulo: a : hipotenusa

12

15

x

4

8

r

s

t


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6

b e c : catetos h : altura relativa a hipotenusa m e n : projeções dos catetos na hipotenusa Relações métricas : b2 = a.n ; c2 = a.m ; h2 = m.n ; b.c = a.h e a2 = b2 + c2 (Teorema de Pitágoras) Exercícios: 06 .Calcule x na figura abaixo:

a) 5

b) 62

c) 15

d) 36 e) NRA

07. Na figura abaixo , AB = 16cm , EC = 15cm, DF = 6 cm. A medida de BD , em centímetros, é: a) 15

b) 13,5

c) 12

d) 10,5

e) 9

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

a

b

hipotenusa

oposto catetoen xs ==

a

c

hipotenusa

adjacentes cateto xcos ==

c

b

adjacentes cateto

oposto cateto xtg ==

x

3

102

F

E

A B C D . . .


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7

b

h S

É importante saber os valores do seno, cosseno e tangente dos ângulos de 30º , 45º e 60º

ARCO FUNÇÃO

30º

45º

60º

Seno 1

2 2

2 3

2

Cosseno 3

2 2

2 1

2

Tangente 3

3 1 3

Exercícios: 08. O pentágono ABCDE representado na figura é determinado pela reunião de um

trapézio isósceles e um triângulo retângulo.

Se BC = 5cm e ED = 10cm, o perímetro desse pentágono é, em centímetros, igual a

a) 45 b) 48 c) 52

d) 58 e) 55

ÁREAS DAS FIGURAS PLANAS ÁREA DO RETÂNGULO S = b . h

(Use 1,73 = )


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8

ÁREA DO TRIÂNGULO ÁREA DO TRAPÉZIO

SB b h

=+( )

2

ÁREA DO CÍRCULO ÁREA DO SETOR CIRCULAR

2

º360

ºRS π

α=

Exercícios: 09. Na figura, têm-se 7 círculos tangentes entre si e cada um com 2cm de raio.

Sb h

=.

2

R S = πR2


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9

(Use π=3,1 e 1,73 = )

A área da figura sombreada é, em centímetros quadrados, igual a

a) 7,2 b) 6,4 c) 5,2 d) 4,8 e) 3,6

10. Considere o trapézio isósceles ABCD, representado na figura abaixo.

Se AB = 8cm e CD = 12 cm, então a área do trapézio, em centímetros quadrados, pode ser dada pela expressão

a) 24 ⋅ tg θ b) 20 ⋅ tg θ c) 20 ⋅ cos θ d) 18 ⋅ sen θ e) 18 ⋅ cos θ

11. Qual a área de um triângulo isósceles cujos lados medem 10m , 13m e 13m ?


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EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01. Na figura, sabe-se que e AD = BD = BC; AB = AC.

Calcule x. a) 36º b) 48º c) 60º d) 30º e) 45º

02. Na figura abaixo calcule a medida x sabendo que ABCD é um quadrado.

a) 5 b) 7,5 c) 6,5 d) 6 e) 8

03. Qual a área de um trapézio isósceles cujos lados medem AB = 13, BC = 6, CD = 5 e AD = 6? a) 54 u.a. b) 108 u.a.

c) .a.u526

d) 518 u.a. e) NRA 04. Os dois círculos maiores da figura ao lado têm raios de

medidas 12. Obter o raio do círculo menor, se os três círcu-los são tangentes dois a dois.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) NRA

x D A

9

B C

4

• •

•

•


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11

05. Na figura abaixo, ABCD é um quadrado. Os dois arcos de extremos B e D tem centros em A e C. Calcule o valor aproximado da área hachurada.

a) 6,88 u.a. b) 8 u.a. c) 9,12 u.a. d) 8,56 u.a. e) 7,44 u.a. 06. No retângulo de lados AB = 4 e BC = 3, o segmento DM é perpendicular à AB.

O segmento AM mede:

a) 3/2 b) 12/5 c) 5/2

d) 9/5 e) 2

07. Considere a figura. BE = 4 cm AE = 8 cm AD = 10 cm A área, em cm2, da região hachurada é: a) 24 b) 30 c) 32 d) 36 e) impossível de ser determinada pelas informações dadas.


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O8. O triângulo ABC tem altura h e base b (ver figura). Nele, está inscrito o retângulo

DEFG, cuja base ( )EF é o dobro da altura ( )GF . Nessas condições, a altura do retângulo, em função de h e b é dada pela fórmula:

a) bh

bh

+

b) bh

bh2

+

c) b2h

bh

+

d) bh2

bh

+

e) )bh(2

bh

+

09. Na figura abaixo, AB é o diâmetro da circunferência maior e mede 12 cm. Determine a área da região hachurada. a) 10π cm2 b) 12π cm2 c) 13π cm2 d) 14π cm2 e) 16π cm2 10. Sabendo que ABCD é um quadrado, ABP é um triângulo eqüilátero e P é um ponto

interno ao quadrado, calcule a medida do ângulo DPC ˆ . a) 150º b) 135º c) 120º d) 90º e) 75º

11. Em um trapézio ABCD, as bases AB e CD medem respectivamente 30 cm e 10 cm e a altura mede 20 cm. Sabendo que as diagonais AC e BD deste trapézio se encontram no ponto E, calcule a área do triângulo CDE.

a) 20 cm2 b) 25 cm2 c) 40 cm2 d) 50 cm2 e) 225 cm2

b B

D G

F

A

E C

h

A B


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12. Os catetos de um triângulo retângulo medem 6 e 53 e as projeções destes catetos na hipotenusa medem respectivamente m e n. Calcule n2 – m2 .

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

13. De um ponto A no solo um estudante observa o topo de uma torre sob um ângulo de 30º com a horizontal. Em seguida ele caminha 40 m, na direção da base da torre, até o ponto B, de onde observa o topo da torre sob um ângulo de 60º com a horizontal. Calcule a medida aproximada da altura da torre.

a) 34,6 m b) 51,9 m c) 69,2 m d) 86,5 m e) 103,8 m

14. ABCD é um quadrado inscrito num círculo. Sabendo que área do quadrado é 32 cm2, calcule a área do círculo.

a) 8π b) 12π c) 16π d) 24π e) 32π

Gabarito:

1.a 2.d 3.d 4.b 5.c 6.d 7.b 8.d 9.d 10. a 11. b 12. d 13. a 14. c

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