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Raciocínio LógicoSemana da Matemática 2013

Lúcio FassarellaDMA/CEUNES/UFES

May 20, 2013

Contents

1 Introdução 2

2 Confusões no raciocínio lógico 19

3 O raciocínio lógico é fundamental 34

4 Exemplos de Argumentos 60

5 Matemática e Raciocínio Lógico 67

6 Lógica 786.1 Tópicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

1

1 Introdução

INTRODUÇÃO

2

Fonte: Stanford Encyclopedia of Philosophy. URL (12/05/2013): http://plato.stanford.edu/archives/spr2013/entries/logic-informal

3

V Você é capaz de raciocinar logicamente?

4


V Você é capaz de entender um argumento, identi�candosua estrutura, suas premissas, suas hipóteses implícitas, assuposições tácitas e suas conclusões?

5


V Você é capaz de entender um argumento, identi�candosua estrutura, suas premissas, suas hipóteses implícitas, assuposições tácitas e suas conclusões?

V Você também é capaz de analisar criticamente um ar-gumento, de julgar sua validade, de avaliar sua solidez?

6

�FATOS�:

�Todas as pessoas são capazes de raciocinar logicamente, dentro delimitações individuais naturais.

7

�FATOS�:


�Todos usamos intuitivamente o raciocínio lógico no cotidiano, namaioria das decisões práticas que precisamos tomar.

8

�FATOS�:



�Geralmente, nós nunca questionamos a qualidade do nosso raciocíniológico e também não temos necessidade de fazer isso.

9

�FATOS�:



�Geralmente, nós nunca questionamos a qualidade do nosso raciocíniológico e também não temos necessidade de fazer isso.

Contudo...

10

�FATOS�:

�Geralmente, estamos habilitados para usar razoavelmente bemo raciocíniológico nas situações cotidianas; mas todos precisamos de treinamento

adequado para sermos capazes de abordar questões mais complexas

(ou mesmo, apenas incomuns).

11

�FATOS�:

�Geralmente, estamos habilitados para usar razoavelmente bemo raciocíniológico nas situações cotidianas; mas todos precisamos de treinamento

adequado para sermos capazes de abordar questões mais complexas

(ou mesmo, apenas incomuns).

Assim...

�Embora �pensar�seja uma capacidade humana inata, para alcançar-mos a plenitude de nosso potencial precisamos de estímulos e exercí-

cios.

12

�FATOS�:

�Apesar de ser importante, o raciocínio analítico e a capacidade de

argumentação não se desenvolvem sem esforço do indivíduo; assim,

são necessárias: re�exão, leitura crítica e prática.�

J.M. Ferreira, S.C. Ramos, M.L.T. Scherner: Raciocínio Analítico: construindo e entendendo a argumentação. Editora Atlas: São Paulo, 2010: p.x.

13

Problema: No Planeta Nérdia, existem três espécies de nerds: ET-nerds, UFO-nerds e OVNI-nerds. A primeira mente quando chove e

diz a verdade quando não chove; a segunda sempre mente; a terceira

sempre diz a verdade. Certo dia Bruberson, um nerd muito camarada,

se encontra com quatro nerds. Eles falam:

X: �Hoje está chovendo.�

Y: �O nerd que acabou de falar está mentindo.�

Z: �Hoje não está chovendo.�

W: �O primeiro nerd mentiu ou eu sou um ET-nerd.�

Com quantos ET-nerds Bruberson falou no máximo?

[Problema da XXXIII Olimpíada Brasileira de Matemática (2012), Nìvel 2, Primeira Fase, publicado na revista Eureka! No.36.]

14

�FATOS�:

A incapacidade de bem raciocinar logicamente tem sérias

implicações:

15

�FATOS�:


implicações:

�Confusão mental;

16

�FATOS�:


implicações:


�Di�culdades para interpretar e formular argumentos;

17

�FATOS�:


implicações:


�Di�culdades para interpretar e formular argumentos;

� Susceptibilidade a argumentos falaciosos e persuasivos;

�Etc.

18

2 Confusões no raciocínio lógico

CONFUSÕES NO RACIOCÍNO LÓGICO

19

Confusões na interpretação de conectivos lógicos

Mesmo usando o raciocínio lógico cotidianamente, podemos errar em

situações bastante simples!

Para reduzir as chances de se cometer equívocos, são necessários estu-

dar e fazer exercícios...

20


Geralmente, interpretamos uma implicação

Se A, então B (A) B)

como sendo uma equivalência

A se, e somente se, B (A () B)

21


Problema: Umconjunto de cartões possui letras de um lado e númerosdo outro. Dada a regra:

�Se um cartão tem um D de um lado, então ele tem um 3 do outro�,

determine quais dos seguintes cartões você tem que virar para testar

essa regra:

[D] [F] [3] [7]

22


Problema: Umconjunto de cartões possui letras de um lado e númerosdo outro. Dada a regra:

�Se um cartão tem um D de um lado, então ele tem um 3 do outro�,

determine quais dos seguintes cartões você tem que virar para testar

essa regra:

[D] [F] [3] [7]

Amaioria das pessoas escolhe virar o cartão [D] ou os cartões [D] e [3].

Entretanto, o correto é virar os cartões [D] e [7] pois: a proposição com-

posta �se A, então B�é falsa somente se a proposição A é verdadeira

e a proposição B é falsa, simultaneamente!

23


�[Peter] Wason queria saber como as pessoas comuns se saem para refutar hipóteses. Disse a elas que um conjunto de cartões possuía letras de um lado e

números do outro e pediu-lhes que testassem a regra "Se um cartão tem um D em um lado, [então] tem um 3 do outro", uma a�rmação simples do tipo P implica Q.

Quatro cartas foram mostradas aos sujeitos, perguntando-se que cartas eles teriam de virar para veri�car se a regra era verdadeira. Tente: D / F / 3 / 7. A maioria

das pessoas escolheu o cartão D ou o cartão D e o cartão 3. A resposta correta é D e 7. "P implica Q" é falso apenas se P é verdadeiro e Q é falso. O cartão 3 não é

importante; a regra dizia que os cartões D têm 3, não que cartões 3 têm D. O cartão 7 é crucial: se ele tiver um D do outro lado, a regra estaria inválida. Apenas cerca

de 5% a 10% das pessoas a quem se aplica o teste escolhem os cartões corretos. Até pessoas que �zeram cursos de lógica erram. (A propósito, não é que as pessoas

interpretam "Se D, então 3" como se "Se D então 3 e vice-versa". Se interpretassem desse modo, mas em outros aspectos se comportassem como lógicos, os indivíduos

virariam todos os quatro cartões.) Deduziram-se implicações calamitosas. Zé-povinho era irracional, anticientí�co, propenso a con�rmar seus preconceitos em vez de

procurar evidências que pudessem refutá-los. / Mas quando os áridos números e letras forma substituídos por eventos reais, às vezes - embora só às vezes - as pessoas

transformam-se em lógicos. Você é leão-de-chácara em um bar e está fazendo cumprir-se a regra "Se uma pessoa está bebendo cerveja, ela deve ter dezoito anos ou

mais." Você pode veri�car o que as pessoas estão bebendo ou que idade elas têm. O que você precisa veri�car: um bebedor de cerveja, um bebedor de Coca-cola,

uma pessoas de 25 anos, uma pessoa de dezesseis anos? A maioria das pessoas seleciona corretamente o bebedor de cerveja e a pessoa de dezesseis anos. Mas a mera

concretude não basta a regra "Se uma pessoa come chilli quente, ela bebe cerveja gelada" não é mais fácil de refutar do que os cartões com D e 3.�S.Pinker: Como a

Mente Funciona. Companhia das Letras: São Paulo, 1998: p.356-357.

24


Problema: Considere as a�rmações da mãe de Sávio:

(A) Se Sávio for aprovado, então seu pai lhe dará um carro.

(B) Sávio ganhou um carro.

(a) Então, podemos concluir que:

(b) Se Sávio ganhou um carro, então ele foi aprovado.

(c) Se ambas a�rmações são verdadeiras, então Sávio foi aprovado.

(d) Se Sávio não foi aprovado e, entretanto, ganhou um carro, então

sua mãe é mentirosa.

(e) Se Sávio foi aprovado e, entretanto, não ganhou um carro, então


(f) Se Sávio não foi aprovado e, também, não ganhou um carro, então


25

Confusões na interpretação de probabilidades e estatísticas

Mesmo quando o conceito de probabilidade é tido como bem entendido,

raciocinar com probabilidades e estatísticas requer cuidados especiais.

Para reduzir as chances de se cometer equívocos, são necessários estu-

dar e fazer exercícios...

26


Problema Para o próximo �nal de semana, o serviço de meteorolo-

gia prevê que há 50% de chances de chover no sábado e há também

50% de chances de chover no domingo. A partir dessas informações,

podemos concluir que há:

(a) 100% de chances de chover no sábado e no domingo.

(b) 100% de chances de chover nesse �nal de semana (sábado ou domingo).

(c) 50% de chances de chover nesse �nal de semana.

(d) 25% de chances de não chover nesse �nal de semana.

27


Problema (MPU-ESAF/2004): Quando Lígia para em um posto degasolina, a probabilidade de ela pedir para veri�car o nível de óleo é

0; 28; a probabilidade de ela pedir para veri�car a pressão dos pneus

é 0; 11 e a probabilidade de ela pedir para veri�car ambos, óleo e

pneus, é 0; 04. Portanto, a probabilidade de Lígia parar em um posto

de gasolina e não pedir nem para veri�car o nível de óleo e nem para

veri�car a pressão dos pneus é igual a:

a) 0; 25 b) 0; 35 c) 0; 45 d) 0; 15 e) 0; 65

28


A resolução do problema depende das respostas às seguintes questões interpretativas quanto aos referentes das probabilidades mencionadas no problema:

- A �probabilidade de ela pedir para veri�car o nível de óleo é 0,28%�admite que ela peça para �veri�car a pressão dos pneus�?

- A �probabilidade de ela pedir para veri�car a pressão dos pneus é 0,11%�admite que ela peça para �veri�car o nível de óleo�?

- A �probabilidade de ela pedir para veri�car ambos, óleo e pneus, é 0,04%�admite que ela peça apenas uma das duas coisas?

Embora a intuição possa indicar que todas as perguntas tenham resposta negativa, logicamente as duas primeiras questões têm resposta positiva e a terceira tem resposta

negativa. Aqui, interpretar equivocadamente o estrito signi�cado lógico das sentenças leva a uma resolução errada do problema. (Cabe observar que o número 0,57% seria a resposta

obtida por quem incorresse na interpretação equivocada mencionada �e efetuasse os cálculos corretamente a partir disso.)

29

Confusões na identi�cação de falácias (non sequitur)

Falácias são argumentos inválidos mas que parecem válidos e são per-

suasivos.

Elas são pedagogicamente classi�cadas em dezenas de tipos, por ex-

emplo:

> Falácias da Dispersão (manobras de diversão): Falso dilema (falsa dicotomia), Apelo à ignorância, Derrapagem (bola de neve ou declive ardiloso), Pergunta complexa;

Apelo a Motivos (em vez de razões), Apelo à força, Apelo à piedade, Apelo a consequências, Apelo a preconceitos, Apelo ao povo; Fugir ao Assunto (falhar o alvo), Ataques

pessoais, Apelo à autoridade, Autoridade anónima, Estilo sem substância; Falácias Indutivas: Generalização precipitada, Amostra não representativa, Falsa analogia, Indução

preguiçosa, Omissão de dados; Falácias com regras gerais: Falácia do acidente, Falácia inversa do acidente; Falácias causais: Post hoc, Efeito conjunto, Insigni�cância,

Tomar o efeito pela causa, Causa complexa; Falhar o alvo: Petição de princípio, Conclusão irrelevante, Espantalho; Falácias da ambiguidade: Equívoco, An�bologia, Ênfase.

Erros categoriais: Falácia da composição, Falácia da divisão; Non sequitur: Falácia da a�rmação da consequente, Falácia da negação da antecedente, Falácia da inconsistência;

Falácias da explicação: Inventar fatos, Distorcer fatos, Irrefutabilidade, Âmbito limitado, Pouca profundidade; Erros de De�nição: De�nição demasiado lata, De�nição

demasiado restrita, De�nição pouco clara, De�nição circular, De�nição contraditória.

30


�Menina, não diga que odeia comer giló.

Tem muita gente passando fome no mundo!�

31


�A política econômica do Brasil vai bem: não estamos em crise,

enquanto a maioria dos países desenvolvidos está.�

32


�Se mais de 75% da turma reprova, então o professor deve ser

péssimo!�

33

3 O raciocínio lógico é fundamental

O RACIOCÍNIO LÓGICO É FUNDAMENTAL!

34


�O raciocínio lógico bem desenvolvido é fundamental paranossa autonomia intelectual.

35



Cabe perguntar: Até que ponto nossas crenças são irre�etidamente

condicionadas pelas opiniões dos outros?

36



Cabe perguntar: Até que ponto nossas crenças são irre�etidamente

condicionadas pelas opiniões dos outros?

O assunto é tema de pesquisa acadêmica:

�Pesquisador polonês investiga até que ponto as pessoas se deixam

in�uenciar, ao ouvirem uma frase, pelo �status�de quem as pro-

nunciou":

K. Szczesniak: Não julgarás. Revista CiênciaHoje, Vol. 31 (30/04/2013):

p.30-33.

URL: http://cienciahoje.uol.com.br/revista-ch/2013/302/nao-julgaras

37



38



�A partir de uma pesquisa sociolinguística com quase 500 pessoas

no Brasil e na Polônia, Konrad Szczesniak, da Universidade da

Silésia (Polônia), procurou avaliar a aplicação na língua do fenô-

meno conhecido como �percepção seletiva�. Ele queria saber até

que ponto as pessoas se deixam in�uenciar, ao ouvirem uma frase,

pelo status de quem as pronunciou.�

JC e-mail, No. 4715 (29 de Abril de 2013). URL: http://www.jornaldaciencia.org.br/Detalhe.jsp?id=86857.

39



Conclusão da pesquisa: nas nossas avaliações de argumentos, somos

peculiarmente afetados pelo contexto de sua ocorrência (onde, quando,

como, quem o pronuncia):

�Como demonstraram economistas, as pessoas exibem, no ver-

dadeiro espírito de Schadenfreude (prazer pela infelicidade alheia),

bastante satisfação em punir a arrogância dos poderosos e tolerar

imperfeições dos humildes. Talvez, esse espírito tenha se manifes-

tado em nossa pesquisa em sociolinguística.�

K. Szczesniak: Não julgarás. Revista Ciência Hoje, Vol. 31 (30 de Abril de 2013): p.30-33.

40



�Aprendemos quase tudo o que sabemos de professores e especial-

istas de um tipo ou outro, e isso não é um fato surpreendente

na moderna sociedade altamente especializada. No entanto, há a

possibilidade de se con�ar excessivamente nos especialistas, e essa

forma de aprendizado e conhecimento tende a encorajar uma pos-

tura de passividade e receptividade, em vez de uma postura de

inventividade e imaginação. ...�

A. Fisher: A Lógica dos Verdadeiros Argumentos. Editora Novo Conceito: São Paulo, 2008. p.1.

41



�... Tendemos a acreditar que, como os professores e especialistas

sabem mais sobre um assunto do que nós, precisamos recorrer à

opinião deles e con�ar nessa opinião. Um dos objetivos deste livro

é combater essa atitude e convencer o leitor de que pode ser muito

bem-sucedido ao compreender um assunto pensando detidamente

por si mesmo, sendo imaginativo e inventivo, em vez de aceitar

simplesmente a opinião de um especialista.�

A. Fisher: A Lógica dos Verdadeiros Argumentos. Editora Novo Conceito: São Paulo, 2008. p.1.

42


�O raciocínio lógico bem desenvolvido é fundamental parase ter bom senso e fazer análise crítica.

�A palavra �crítica�vem do grego e possui três sentidos principais:

1) capacidade para julgar, discernir e decidir corretamente;

2) exame racional de todas as coisas sem preconceito e sem pré-

julgamento;

3) atividade de examinar e avaliar detalhadamente uma idéia, um

valor, um costume, um comportamento, uma obra artística ou cien-

tí�ca.�

M. Chauí: Um Convite a Filoso�a �13a. edição. Editora Ática: São Paulo, 2005.

43


�O raciocínio lógico bem desenvolvido é fundamental parase questionar as próprias crenças.

�...porque as pessoas acreditam em coisas estranhas:

(1) porque a esperança é a última que morre;

(2) porque o pensamento pode errar por razões gerais;

(3) porque o pensamento pode errar por razões particulares.�

M. Shermer: Why People Believe Weird Things: pseudoscience, superstition, and other confusions of our time. Holt Paperback, USA, 2002: p.8. (Tradução nossa.)

44



�A importância da �loso�a, portanto, é evidente, emqualquer nível

da vida e em qualquer contexto: sem o processo de conscientização

cada vez maior das regras [de qualquer área da vida], talvez seja

impossível avaliar ou fazer qualquer mudança racional deliberada

na nossa vida. Claro que se pode mudar e que se pode viver sem

�loso�a, assim como é possível viver sem o senso comum ou sem

qualquer dos cinco sentidos ou sem vários deles. Mas não se con-

segue nem mudar nem viver com a mesma e�cácia.�

J. Wilson: Pensar com Conceitos. Editora Martins Fontes, 2a. edição: 2005: pp.136-137.

45



�A simples verdade, porém, é que podemos estar horrivel, trágica

e dolorosamente errados sobre o que existe em nossa cabeça.�

J. Baggini, J. Stangroom: Você pensa o que acha que pensa? Zahar Editora: Rio de Janeiro, 2010: p.7.

46


�O raciocínio lógico bem desenvolvido é fundamental paraevitarmos ser enganados pela propaganda.

Vídeo-propaganda do Facebook no Youtube (16/05/2013):

http://www.youtube.com/watch?v=voWvqBsyYbE&feature=player_embedded

47



�A tecnologia de ponta de persuasão de massas atingiu níveis de

so�sticaçãomuitomaiores do que amaioria dos indivíduos imagina.

Muitos ainda se agarram desesperadamente à ilusão de que pensam

por si mesmos, determinam seus próprios destinos e exercem, tanto

individual quanto coletivamente, seu livre-arbítrio (o grande mito

subjacente à ideologia democrática); agarram-se à ilusao de que

a propaganda age em interesse do consumidor; e, talvez à maior

auto-ilusão de todas, a de que podem facilmente discernir entre

fantasia e realidade.�

W.B. Key: A Era da Manipulação - 2a. edição. Scritta: São Paulo, 1996: p.27.

48



�Infelizmente, os efeitos coletivos dos meios de comunicação de

massa reforçam as reações super�ciais e unidimensionais da popu-

lação aos estímulos imediatos. As leis da identidade, da exclusão

do meio-termo e da contradição de Aristóteles são estruturas co

mercialmente úteis. Seus limites e falácias permanecemocultos. As

populações doutrinadas continuam impotentemente vulneráveis a

serem manipuladas, verbal ou pictoricamente, para qualquer di-

reção lucrativa para os manipuladores.�

W.B. Key: A Era da Manipulação - 2a. edição. Scritta: São Paulo, 1996: p.187.

49


�O raciocínio lógico é fundamental na atividade pro�ssionale tem sido bastante valorizado pelo mercado de trabalho.

�A importância do raciocínio analítico [ou lógico] tem sido ampla-

mente reconhecida no Brasil. Vários instrumentos de seleção de

pro�ssionais estão voltados à busca de candidatos com tal com-

petência. Isso se dá pelo reconhecimento de que um pro�ssional

com esse per�l terá muito mais possibilidade de agir de forma coer-

ente e adequada do que aquele que não tem capacidade de analisar

suas próprias escolhas ou situações complexas.�

J.M. Ferreira, S.C. Ramos, M.L.T. Scherner: Raciocínio Analítico: construindo e entendendo a argumentação. Editora Atlas: São Paulo, 2010: p.ix.

50


�O raciocínio lógico é fundamental na atividade pro�ssionale tem sido amplamente cobrado em concursos.

�Os programas de Raciocínio Lógico nos Concursos Públicos têm

sido bastante variados. Em alguns, criou-se uma fronteira muito

além do que se identi�caria como Raciocínio Lógico, abordando

temas como Geometria Plana, Trigonometria, Álgebra Linear e

outros.�

C. Benjamin, A.C. Morgado: Raciocínio Lógico-quantitativo - Série Provas e Concursos �4a Ed. Campus, 2009.

51


�O raciocínio lógico é fundamental na atividade pro�ssionale tem sido bastante cobrado em concursos.

�A inclusão da prova de raciocínio analítico [lógico] nos processos

seletivos de mestrado e doutroado em Administração, por meio da

Associação Nacional de Pos-Graduação e Pesquisa em Adminis-

tração (ANPAD), e em diversos concursos públicos são outros ex-

emplos de como essa capacidade de pensar criticamente tem sido

valorizada.�

J.M. Ferreira, S.C. Ramos, M.L.T. Scherner: Raciocínio Analítico: construindo e entendendo a argumentação. Editora Atlas: São Paulo, 2010: p.ix.

52


�A prova de raciocínio lógico da ANPAD:

�[A prova de raciocínio lógico] visa à apuração da habilidade do

candidato para: entender a estrutura lógica de relações arbitrárias

entre pessoas, lugares, coisas ou eventos �ctícios; deduzir novas

informações a partir de relações fornecidas; e avaliar as condições

usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações.�

Fonte (23/03/2013): http://testeanpad.tempsite.ws/provas/logico.jsp

53

�Problema ANPAD (URL: http://testeanpad.tempsite.ws/provas/exemploLogico.jsp (acesso 23/03/2013))

Se Suzana tem R$5 a mais que Gilberto e Gilberto tem $2 a mais que

Eduardo, qual das seguintes transações fará com que os três �quem

com quantias iguais?

(a) Suzana deve dar R$4 a Eduardo e Eduardo receber R$1 deGilberto.

(b) Suzana deve dar R$2 a Eduardo e Eduardo receber R$2 deGilberto.

(c) Eduardo deve dar R$1 a Suzana e Suzana deve dar R$2 a Gilberto.

(d) Suzana deve dar R$3 a Eduardo e R$1 a Gilberto.

(e) Tanto Suzana como Gilberto devem dar R$7 a Eduardo.

54


�A prova de raciocínio analítico da ANPAD:

�A prova de Raciocínio Analítico objetiva testar a habilidade do

candidato em avaliar uma suposição, inferência ou argumento.

Uma suposição signi�ca um ato ou efeito de supor, estabelecer ou

alegar por hipótese ou conjectura. Uma inferência signi�ca um ato

ou efeito de inferir, tirar por conclusão ou deduzir por raciocínio.

Um argumento signi�ca um raciocínio, indício ou prova pela qual

se tira uma conseqüência ou dedução.�

Fonte (23/03/2013): http://testeanpad.tempsite.ws/provas/analitico.jsp

55

�Problema ANPAD (URL: http://testeanpad.tempsite.ws/provas/exemploAnalitico.jsp (acesso 23/03/2013)):

1. As empresas têm em vista apenas seus próprios interesses. Mesmo

quando se pensa que elas estão preocupadas com a sociedade, elas es-

tão sendo egoístas. Pensar nas atividades �lantrópicas das fundações

empresariais como produto de sensibilidade social é uma visão român-

tica da realidade. Isto porque as atividades �lantrópicas trazem para

as empresas mais vantagens econômicas e políticas do que custos. A

�lantropia empresarial é computada nos custos de representação do

capital, melhorando a imagem da empresa e otimizando o market-

ing comercial. Além disso, em muitos casos, a legislação permite o

abatimento de impostos e a obtenção de subsídios.

Qual das seguintes alternativas constitui a conclusão mais apropriada

para o texto acima?

(a)As empresas desenvolvem atividades �lantrópicas por dois motivos:

obtenção de ganhos econômicos e romantismo.56

(b) A �lantropia empresarial é um tipo de investimento por meio do

qual as empresas conseguem vantagens variadas.

(c) As atividades �lantrópicas das empresas oneram seus custos, mas

as empresas devem desenvolvê-las para limpar sua imagem.

(d)As empresas que não desenvolvematividades �lantrópicas não demon-

stram sensibilidade social e pioram seu marketing comercial.

(e) Os custos das atividades �lantrópicas desenvolvidas pelas fundações

empresariais são subsidiados, e as empresas são isentas de impostos.

57


�A prova de raciocínio quantitativo da ANPAD:

�Esta prova visa avaliar os conhecimentos básicos do candidato

relacionados ao raciocínio e ao cálculo matemático necessários à

análise quantitativa de problemas de Administração e Contabili-

dade.�

Fonte (23/03/2013): http://testeanpad.tempsite.ws/provas/quantitativo.jsp

58

�Problema ANPAD (URL: http://testeanpad.tempsite.ws/provas/exemploQuantitativo.jsp (acesso 23/03/2013):

Um citricultor estima que se 60 laranjeiras forem plantadas, a pro-

dutividade média por árvore será de 400 laranjas. Porém, a produ-

tividade média decrescerá 04 laranjas por árvore, para cada árvore

plantada a mais na mesma área. Quantas árvores deve o citricultor

plantar para maximizar a produtividade de seu laranjal?

(a) 72

(b) 80

(c) 85

(d) 95

(e) 100

59

4 Exemplos de Argumentos

EXEMPLOS DE ARGUMENTOS

... para ilustrar que como o raciocínio lógico pode ser vitalmente

importante...

60

A tese de Wilson

"Se a religião, incluindo as ideologias dogmáticas seculares, puder

ser sistematicamente analisada e explicada como um produto da

evolução do cérebro, seu poder como fonte externa de moralidade

terá desaparecido para sempre."

E.O. Wilson: On the Human Nature. Haward University Press. (Tradução nossa.)

61

A tese de Wilson

"Se a religião, incluindo as ideologias dogmáticas seculares, puder

ser sistematicamente analisada e explicada como um produto da

evolução do cérebro, seu poder como fonte externa de moralidade

terá desaparecido para sempre."

E.O. Wilson: On the Human Nature. Haward University Press. (Tradução nossa.)

� Importa saber se a tese de Wilson é verdadeira?

�Do que precisamos para poder decidir acerca da verdade da tese deWilson?

62

A tese de Wilson: duas críticas

Crítica de Kitcher a tese de Wilson: �Mesmo se o cenáriode Wilson estiver correto, o devoto pode razoavelmente replicar-

lhe que, como nossas idéias e práticas aritméticas, também nossas

declarações religiosas têm se tornado mais acuradas na medida em

que aprendemos mais sobre o mundo.�

P. Kitcher: Vaulting Ambition: Sociobiology and the Quest for Human Nature. The MIT Press: Cambridge, 1985. (Tradução nossa.)

63

A tese de Wilson: duas críticas

Crítica de Rolston a tese de Wilson: �Todo conjunto deideias humanas �ciência, ética, religião, etc. �tem uma história

que o conecta a evolução do cérebro, o qual tem sido usado para

construir a cultura e nos conduzir bem no mundo; entretetanto,

queremos saber se algumas dessas idéias, adquiridas por esse cére-

bro evoluido, são verdadeiras e corretas, enquanto outras falsas e

incorretas.�

Holmes Rolston III: Genes, Genesis and God: values and their origins in natural and human history. Cambridge University Press, 1999: p.346. (Tradução nossa.)

64

A tese de Wilson: questões aos interessados

Você consegue analisar criticamente a tese de Wilson?

Você consegue analisar criticamente as críticas a tese de Wilson?

Você consegue tomar iniciativas que o permitiriam se posicionar in-

telectualmente a respeito da tese de Wilson e de suas críticas �con-

cordando, discordando ou, pelo menos, com consciência das limitações

para decidir?

65

A tese de Wilson: ponderações

Para compreendermos melhor a tese de Wilson e poder julgar com

razoável segurança sua validade, deveríamos analisar as evidências rel-

evantes (favoráveis e contrárias): considerar os dados empíricos e as

teorias estabelecidas, avaliar os argumentos favoráveis e os argumentos

contrários, etc...

Todas essas tarefas requerem bastante raciocínio lógico

�além de outras coisas!!!

Alémdisso, acatar acriticamente a opinião de autoridades é temerário...

(E.O. Wilson foi professor destacado da universidade de Haward e ganhou um prêmio Pulitzer pelo seu livro "On the Human Nature" (onde discute sua tese), fato que testi�ca sua

autoridade no assunto e seu reconhecimento acadêmico. Quali�cações semelhantes podem ser atribuidas a seus críticos, Kitcher e Rolston...)

66

5 Matemática e Raciocínio Lógico

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO

67


Por que o raciocínio lógico (argumentação) é comumenterelacionado a Matemática?

68



Há razões positivas para essa associação:

�Porque o formalismo matemático pode ser pro�cuamente aplicado naresolução de problemas de raciocínio lógico.

�Porque o estudo do raciocínio lógico possui semelhanças comMatemática:ambos possuem uma estrutura formal cuja validade pode ser anal-

isada abstratamente, independentemente do signi�cado dos seus ob-

jetos.

69



Portanto, estudar Matemática signi�ca praticar o raciocínio lógico.

Embora isso não seja su�ciente para desenvolvermos raciocínio crítico,

certamente ajuda um pouco...

70



�Conhecendo-se os símbolos matemáticos e interpretando correta-

mente o texto [de um problema], podemos escrevê-lo em linguagem

simbólica. Diríamos, então, que a linguagem simbólica seria uma

ferrametna para traduzir matematicamente uma questão. É como

um trabalho de tradução. em nosso caso, para apresentar soluções

satisfatórias, devemos tem embasamento teórico e racicínio lógico-

matemático.�

V.S.J. Benzecry, K.A. Rangel: Como Desenvolver o Raciocínio Lógico: soluções criativas na teoria dos conjuntos. Editora LTC: Rio de Janeiro, 2008: p.vii.

71

Problema (ANPAD) Se �Alguns professores são matemáticos� e�Todos os matemáticos são pessoas alegres�, então, necessariamente:

(a) Toda pessoa alegre é matemático.

(b) Todo matemático é professor.

(c) Algum professor é uma pessoa alegre.

(d) Nenhuma pessoa alegre é professor.

(e) Nenhum professor não é alegre.

72

Problema: (Fonte: [2, p.29]) Num grupo de 200 alunos, tem-se que40 jogam futebol e basquete, 30 jogam vôlei e basquete, 15 não jogam

nenhum dos 3 esportes, todos que jogam vôlei jobam basquete e 70

jogam só basquete. Determine:

(a)Quantos alunos jogam só futebol?

(b)Quantos alunos não jogam vôlei?

(c)Quantos alunos praticam dois desses esportes?

(d)Quantos alunos praticam pelo menos um dos esportes?

(e)Quantos alunos jogam vôlei ou não jogam futebol?

73



Há também razões negativas para essa associação:

�Por razões históricas e sociológicas...

�Por um equívoco pedagógico, que consiste em enfatizar demasiada-

mente os benefícios do treinamento matemático fora do âmbito da

modelagem Matemática.

74

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO: crítica

�Aargumentação coerente pode ser aprendida e desenvolvida estudando-

se matemática, tanto quanto estudando-se qualquer outra disci-

plina, como história, biologia ou geogra�a. E se se pode reivin-

dicar a prioridade de uma delas na formação escolar, sem dúvida,

a língua materna, a primeira língua que aprendemos merece tal

reconhecimento. ... De um modo geral, é a exploração das linhas

de raciocínio abertas pelo uso competente da língua que propicia

o tratamento de um tema na perspectiva do desenvolvimento do

raciocínio lógico.�

N.J. Machado, M. O. da Cunha: Lógica e Linguagem Cotidiana �verdade, coerência, comunicação, argumentação. Autêntica Editora, 2008: pp.25-26.

75


�A in�uência da matemática na tematização das regras ou das leis do pensamento lógico é, sem dúvida, relevante, mas é muito posterior. É secundária na

constituição dos esquemas de raciocínio, pela simples e acaciana razão de que chegam até nós em segundo lugar. / A argumentação coerente pode ser aprendida e

desenvolvida estudanto-se matemática, tanto quanto estudando-se qualquer outra disciplina, como história, biologia ou geogra�a. E se se pode reivindicar a prioridade

de uma delas na formação escolar, sem dúvida, a língua materna, a primeira língua que aprendemos merece tal reconhecimento. / Um conto policial, um livro de

�loso�a e um texto de jornal podem ser tão indicados para exercícios de raciocínio quanto a demonstração de um teorema matemático. O ponto fundamental é menos

o tema em si e mais o modo como ele é tratado. De um modo geral, é a exploração das linhas de raciocínio abertas pelo uso competente da língua que propicia o

tratamento de um tema na perspectiva do desenvolvimento do raciocínio lógico. (...) / O que pode explicar esta associação tão forte entre a lógica e a matemática, em

detrimento da língua, é o fato de que um estudo inicial da lógica costuma ser realizado admitindo-se a possibilidade de uma separação nítida entre a forma e o conteúdo

de uma argumentação, e partindo-se do estudo das formas lógicas, sem conteúdo: Todo a é b e todo b é c acarreta que todo a é c, qualquer que seja o signi�cado dos

termos representados por a, b e c. Esta separação faz com que a lógica (formal) se pareça mais com a matemática do que com a língua. Na língua, em seu uso corrente,

é muito mais difícil tal separação. Mas isto é só uma estratégia, e é só um começo. E a vida, a linguagem nossa de cada dia se encarregará de mostrar que as estruturas

lógicas são muito mais próximas das estruturas da língua do que pode imaginar nossa vã perspectiva de esquizofrenia conteúdo/forma.�

N.J. Machado, M. O. da Cunha: Lógica e Linguagem Cotidiana �verdade, coerência, comunicação, argumentação. Autêntica Editora, 2008: pp.25-26.

76


�A lógica (pode-se dizer) é jurisprudência generalizada. Os argumentos podem ser comparados a processos judiciais; e as alegações que fazemos e os argumentos

que usamos para "defendê-las", em contextos extra-legais, são como as alegações que as partes apresentam nos tribunais; e os casos que oferecemos para provar cada

uma de nossas alegações são jurisprudência consagrada - para a lógica, num caso, e para o Direito, no outro. Uma das principais funções da jurisprudência é garantir

que se conserve o que é essencial no processo legal: os procedimentos pelos quais se devem apresentar, discutir e estabelecer as alegações. Nossa investigação visa a um

objetivo semelhante: temos de caracterizar o que se pode chamar de "o processo racional" - os procedimentos e as categorias mediante os quais se podem discutir e

decidir todas as "causas".�

S.E. Toulmin: Os Usos do Argumento. Martins Fontes: São Paulo, 2006: p.10.

77

6 Lógica

LÓGICA

78

LÓGICA

A Lógica pode ser concebida como o estudo cientí�co umaclasse de verdades, as verdades lógicas. (SEP)

�LÓGICA é a ciência que estuda princípios e métodos de infer-

ência, tendo o objetivo principal de determinar em que condições

certas coisas se seguem (são consequência), ou não, de outras.�

C. Mortari: Introdução à Lógica. Editora Unesp: São Paulo, 2001: p.2

�Lógica é o estudo de argumentos. Um argumento é uma sequência

de enunciados na qual um dos enunciados é a conclusão e os demais

são premissas, as quais servempara provar ou, pelomenos, fornecer

alguma evidência para a conclusão.�

J. Nolt, D. Rohatyn: Lógica. McGraw-Hill: São Paulo, 1991: p.1.

79

LÓGICA

O estudo do raciocínio lógico (argumentação) está dividido em duas

categorias:

Lógica informal:

�Lógica informal é o estudo dos argumentos particulares em lin-

guagem natural e do contexto no qual eles ocorrem.�


Lógica formal

�Lógica formal é o estudo das formas de argumento, modelos ab-

stratos comuns a muitos argumentos distintos.�


80

LÓGICA

Argumento é uma articulação de idéias na qual a verdadede uma (tese ou conclusão) segue da (presumida) verdadedas demais (hipóteses ou premissas).

��Argumentar�é apresentar um conjunto de razões ou provas que

fundamentam uma conclusão.�

A. Weston: A Construção do Argumento. Martins Fontes: São Paulo, 2009.

81

LÓGICA

Argumento válido:

�Um argumento é válido se qualquer circunstância que torna suas

premissas verdadeiras faz com que sua conclusão seja automatica-

mente verdadeira.�

C. Mortari: Introdução à Lógica. Editora Unesp: São Paulo, 2001: p.19.

A validade de um argumento depende de sua estrutura, mas não do

seu conteúdo.

Argumento não-válido � inválido ou falacioso

82

LÓGICA

Argumento correto:

�Umargumento é correto se for válido e, alémdisso, tiver premissas

verdadeiras.�

C. Mortari: Introdução à Lógica. Editora Unesp: São Paulo, 2001: p.19.

A correção de um argumento depende da sua estrutura e também do

seu conteúdo.

83

LÓGICA

Premissa

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

Verdadeira

8>>>>>><>>>>>>:

Argumento

Válido

Argumento

Inválido

Conclusão

Verdadeira

?

Falsa

8>>>>>><>>>>>>:

Argumento

Válido

Argumento

Inválido

?

?

84

Os argumentos divididos em duas categorias:

�Argumentos dedutivos: argumento no qual a verdade de umatese segue necessariamente de alguma(s) premissa(s), presumidas ver-

dadeiras.

�Argumentos indutivos (não trataremos disso aqui!)

85

LÓGICA

Argumento dedutivo é um argumento no qual a verdade de umatese segue necessariamente de alguma(s) premissa(s), presumidas ver-

dadeiras.

Um tipo de argumento dedutivo é o silogismo categórico:

Todo A é B

c é A

Logo c é B

Exemplo...

86

LÓGICA


dadeiras.

Exemplo de silogismo categórico:

Todo homem é mortal

Sócrates é homem

Logo Sócrates é mortal

87

LÓGICA


dadeiras.

Os argumentos dedutivos geralmente têm a estrutura de uma impli-

cação ()):

�Se P1;:::;Pn, então Q�" "

premissas conclusão

88

Problema (ICMS-SP/1997): Assinale a alternativa em quese chega a uma conclusão por um processo de dedução:

(a) Vejo um cisne branco, outro cisne branco, outro cisne branco...

então todos os cisnes são brancos.

(b) Vi um cisne, então ele é branco.

(c) Todos os cisnes são brancos, então este cisne é branco.

(d) Vi dois cisnes brancos, então outros cisnes devem ser brancos.

(e) Todos os cisnes são brancos, então este cisne pode ser branco.

89

Problema Considere as seguintes proposições:

P1: �Nada do que vale a pena saber pode ser ensinado.� (Oscar

Wilde)

P2: �É impossível ensinar o amor.�(Friedrich Nietzsche)

Assumindo essas proposições como verdadeiras e com base apenas

nelas, decida se cada uma das seguintes proposições é verdadeira,

falsa ou non sequitur:

(a) Nada pode ser ensinado;

(b) Algo pode ser ensinado;

(c) Vale a pena saber o amor;

(d) Não vale a pena saber sobre amor;

(e) É possível aprender a amar;

(f) Não se pode ensinar o amor;

(g) É possível aprender a amar.

90

Problema: Certo dia, uma cigana a�rmou ao Sr. Creumildo:

�É provável que o Sr. ganhe na Loteria algum dia; se

isto acontecer, será com um bilhete com �nal 463.�

A partir desse dia, o Sr. Creumildo passou a comprar somente bil-

hetes com �nal 463. Passando alguns anos, o Sr. Creumildo ganhou

na Loteria com o bilhete 21463. Podemos a�rmar que:

(a) Se o Sr. Creumildo nunca tivesse ganhado na Loteria, isto provaria

que a cigana estava errada.

(b) A a�rmação não seria contraditada se o Sr. Creumildo ganhasse

na Loteria com um número que terminasse em 773.

(c) Se o Sr. Creumildo somente comprasse bilhetes com �nal 463,

nunca seria possível contradizer a previsão da cigana.

(d) Nada se pode a�rmar.

91

Problema (fonte ): O argumento que segue foi extraído do livro Asaventuras de Huckleberry Finn, deMark Twain. Nesse, o personagem

Huck Finn a�rma:

�Jim disse que as abelhas não picariam idiotas;

mas eu não acreditei nisso, porque eu mesmo

já tentei muitas vezes e elas não me picaram.�

Analisando o argumento, podemos dizer que:

(a) Uma premissa implícita é que Huck Finn é idiota.

(b) Uma premissa implícita é que Huck Finn não é idiota.

(c) A conclusão do argumento é que Jim é idiota.

(d) A conclusão do argumento é que Huck Finn é inteligente.

92

6.1 Tópicos

TÓPICOS

93

CONTRADIÇÃO: Duas sentenças se contradizem quando a ver-

dade de uma delas implica na falsidade da outra.

94

CONTRADIÇÃO: Duas sentenças se contradizem quando a ver-

dade de uma delas implica na falsidade da outra.

Problema (ICMS-SP/1997): Assinale a única alternativa que apre-senta uma contradição:

(a) Todo espião não é vegetariano e algum vegetariano é espião.

(b) Todo espião é vegetariano e algum vegetariano não é espião.

(c) Nenhum espião é vegetariano e algum espião não é vegetariano.

(d) Algum espião é vegetariano e algum espião não é vegetariano.

(e) Todo vegetariano é espião e algum espião não é vegetariano.

95

NEGAÇÃO: Negar pode não ser algo fácil...

96

NEGAÇÃO: Negar pode não ser algo fácil...

Problema: Negue as a�rmações:

(a) �Não seja credor nem devedor.� (Shakespeare)

(b) �Tudo no mundo é bom para alguma coisa.� (John Dryden)

(c) �Se Deus não existe, seria necessário inventá-lo.� (Voltaire)

(d) �Há apenas uma coisa no mundo pior do que ser o tema das conver-

sas dos outros, e isso é nunca ser o tema das conversas dos outros.�

(Oscar Wilde)

(e) �Você pode enganar todas as pessoas algumas vezes e pode enganar

algumas pessoas todas as vezes, mas não pode enganar todas as

pessoas todas as vezes.� (Atribuido a Abraham Lincoln)

97

References

[1] N.J. Machado, M. O. da Cunha: Lógica e Linguagem Cotidiana �

verdade, coerência, comunicação, argumentação. Autêntica Editora,

2008.

[2] V.S.J. Benzecry, K.A. Rangel: Como Desenvolver o Raciocínio

Lógico: soluções criativas na teoria dos conjuntos. Editora LTC: Rio

de Janeiro, 2008.

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