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Análise Matemática II

Feliz Minhós

Conteúdo

Introdução 1

Objectivos Gerais 3

Programa 5

1 Funções de Rn em Rm 71.1 Espaço vectorial Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Noções topológicas em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3 Intervalos em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4 Tipos de função, domínio e grá�co . . . . . . . . . . . . . . . 171.5 De�nição de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.6 Propriedades algébricas dos limites . . . . . . . . . . . . . . 221.7 Limites relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.8 Continuidade. Propriedades das funções contínuas . . . . . . 281.9 Continuidade uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.10 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2 Cálculo diferencial em Rn 392.1 Derivação parcial de 1a ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.2 Signi�cado geométrico das derivadas de 1a ordem . . . . . . . 422.3 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.4 Derivada direccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.5 Funções diferenciáveis. Diferencial e gradiente . . . . . . . . . 482.6 Funções vectoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.7 Regra de derivação de funções compostas . . . . . . . . . . . 632.8 Derivada de uma função composta de ordem superior . . . . . 682.9 Algumas aplicações das derivadas em Rn . . . . . . . . . . . . 72

2.9.1 Funções homogéneas. Teorema de Euler . . . . . . . . 722.9.2 Plano tangente e recta normal a uma superfície . . . . 75

iii

iv CONTEÚDO

2.9.3 Operadores diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.10 Invertibilidade de funções em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . 812.11 Funções implícitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.12 Derivada da função implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902.13 Diferenciais de ordem superior para funções reais em Rn . . . 942.14 Estudo dos extremos de funções reais de n variáveis reais . . 102

2.14.1 Extremos em pontos interiores do domínio . . . . . . . 1032.14.2 Classi�cação dos pontos críticos . . . . . . . . . . . . . 105

2.15 Máximos e mínimos de funções de�nidas implicitamente . . . 1122.16 Extremos condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

2.16.1 Método dos multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . 1162.16.2 Método do Hessiano orlado . . . . . . . . . . . . . . . 116

2.17 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3 Integrais de linha ou curvilíneos 1313.1 De�nição e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313.2 Integrais de linha em relação ao comprimento de arco . . . . 1353.3 Aplicações do integral de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . 1373.4 Campo conservativo e potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

4 Integrais duplos 1514.1 De�nição de integral duplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1514.2 Propriedades do integral duplo . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.3 Integrais duplos inferior e superior . . . . . . . . . . . . . . . 1544.4 O integral duplo por integração iterada . . . . . . . . . . . . 1564.5 Interpretação geométrica do integral duplo . . . . . . . . . . . 1574.6 Integrabilidade de funções contínuas . . . . . . . . . . . . . . 1584.7 Integrabilidade de funções limitadas com descontinuidades . . 1604.8 Integrais duplos em regiões mais gerais . . . . . . . . . . . . . 1624.9 Aplicações a áreas e volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1694.10 Outras aplicações dos integrais duplos . . . . . . . . . . . . . 1694.11 Teorema de Green no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1724.12 Mudança de variáveis num integral duplo . . . . . . . . . . . 174

4.12.1 Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1754.12.2 Transformações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

4.13 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

CONTEÚDO v

5 Integrais triplos 1835.1 Propriedades do integral triplo . . . . . . . . . . . . . . . . . 1845.2 Cálculo de integrais triplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1845.3 Aplicações dos integrais triplos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1865.4 Mudança de coordenadas em integrais triplos . . . . . . . . . 189

5.4.1 Coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1905.4.2 Coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

5.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

6 Integrais de superfície 1956.1 De�nição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1956.2 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

6.2.1 Área de uma superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1966.2.2 Centro de massa e momento de inércia . . . . . . . . . 1966.2.3 Fluxo de um �uido através de uma superfície . . . . . 199

6.3 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2026.4 Teorema de Gauss ou Teorema da divergência . . . . . . . . . 2036.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

vi CONTEÚDO

Introdução

Unidade Curricular: Análise Matemática IITipo: ObrigatóriaNível: BaseAno: 1o

Semestre: 2o

Carga horária semanal: 3 horas de Aulas Teóricas e 2 horas de AulasPráticas

Créditos (ECTS): 6

1

Objectivos Gerais

Considerando esta unidade curricular no âmbito da formação pessoal e cien-tí�ca, em geral, e da formação matemática em particular, o aluno deverá:

� Desenvolver capacidades de abstracção, dedução lógica e análise.

� Adquirir métodos e técnicas estruturantes do raciocínio cientí�co ematemático que proporcione um espírito crítico.

� Dominar conteúdos matemáticos associados à Análise real vectorial,nomeadamente sucessões, funções, Cálculo Diferencial e Integral emRn, ao nível de conceitos e aplicações.

� Utilizar conhecimentos matemáticos na resolução de problemas e in-terpretação da realidade.

� Adquirir competências matemáticas que possam vir a ser desenvolvidase aplicadas em contexto pro�ssional empresarial, de investigação ou deensino.

3

Programa

O aluno deverá dominar os conteúdos programáticos do Ensino Secundárioe da Análise Matemática I, nomeadamente ao nível do estudo de funçõesreais de variável real, geometria analítica, cálculo diferencial e integral,...

Em cada capítulo do programa são apresentadas secções com os seguintesconteúdos:

B Resumo dos principais resultados bem como considerações que permitemilustrar a metodologia seguida;

B Exemplos, aplicações e exercícios resolvidos;

B Lista de exercícios sugeridos.

O que é a Análise Matemática ou simplesmente Análise?É o ramo da Matemática que se ocupa dos números e das relações entre

eles, expressos por meio de igualdades, desigualdades e operações.As operações fundamentais da Análise são: adição, subtracção, multipli-

cação, divisão, radiciação e passagem ao limite.A Análise diz-se Análise Algébrica ou Álgebra quando não emprega a

passagem ao limite.Diz-se Análise In�nitesimal se usar a noção de limite, e portanto de

in�nito, quer directa quer indirectamente (séries, derivadas, integrais,...).A Análise Matemática II generaliza os conceitos da Análise Matemática

I, elaborados em R (unidimensional), para espaços vectoriais (multidimen-sionais).

5

6 CONTEÚDO

Capítulo 1

Funções de Rn em Rm

1.1 Espaço vectorial Rn

O espaço vectorial multidimensional pode ser considerado como um produtode n factores R: Mas como de de�ne o produto de conjuntos?

Chama-se produto cartesiano de dois conjuntos A e B, e representa-sepor A � B ou A � B; ao conjunto de todos os pares ordenados (x; y) que épossível formar com os conjuntos A e B de forma a que o primeiro elementodo par ordenado pertença a A e o segundo a B: Isto é,

A�B = f(x; y) : x 2 A ^ y 2 Bg :

Análogamente, o produto cartesiano de n conjuntos A1; :::; An; é formadopor sequências de n elementos tais que

A1 � � � � �An = f(x1; :::; xn) : x1 2 A1 ^ � � � ^ xn 2 Ang= f(x1; :::; xn) : xi 2 Ai; i = 1; :::; ng :

Interessa-nos particularmente um caso particular de produto cartesianode n factores:

Rn = R� � � � � R;

constituído por todos os elementos da forma

(x1; :::; xn) tais que xi 2 R; i = 1; :::; n:

Se n = 1, tem-se a recta real R: Se n = 2, R2 representa o plano carte-siano bidimensional. Se n = 3, o espaço tridimensional R3:

7

8 CAPÍTULO 1. FUNÇÕES DE RN EM RM

Em Rn de�ne-se uma operação adição entre elementos de Rn e umamultiplicação por um número real, do seguinte modo:

x+ y = (x1; :::; xn) + (y1; :::; yn) = (x1 + y1; :::; xn + yn) ; 8x; y 2 Rn;�x = � (x1; :::; xn) = (�x1; :::; �xn) ; 8� 2 R; 8x 2 Rn:

O conjunto Rn com estas duas operações constitui um espaço vectorialreal.

Os elementos (x1; :::; xn) ; ou�!x ; ou (xi) ; são os vectores (ou pontos) e

os números reais são os escalares do espaço.Os n vectores

�!e 1 = (1; 0; :::; 0); �!e 2 = (0; 1; :::; 0); :::;�!e n = (0; 0; :::; 1)

são linearmente independentes e formam uma base (a base canónica)de Rn , que assim tem dimensão n:

De�nição 1.1.1 Um espaço vectorial (real ou complexo) diz-se normado,quando a cada vector x está associado um número real não negativo (chamadoa norma de x; e que se designa por kxk) que veri�cas as seguintes pro-priedades:

1. kxk > 0 se x 6= 0 e k0k = 0;

2. k�xk = j�j kxk ; 8� 2 R;

3. kx+ yk � kxk+ kyk (desigualdade triangular).

Exemplo 1.1.2 a) O espaço vectorial Rn passa a constituir um espaçonormado, tomando para norma de x = (x1; :::; xn) a expressão

kxk =q(x1)

2 + � � �+ (xn)2 (norma euclideana).

b) Há uma in�nidade de normas que se podem considerar em Rn: Por ex-emplo:

kxkM = max fjx1j ; :::; jxnjg (norma do máximo),kxkS = jx1j+ � � �+ jxnj (norma da soma).

Exercício 1.1.3 Prove que as normas anteriores veri�cam as condiçõesda De�nição 1.1.1.

1.1. ESPAÇO VECTORIAL RN 9

Exercício 1.1.4 Mostre que

kxkM � kxk � kxkS � n kxkM ; 8x 2 Rn:

(Estas desigualdades servem para mostrar que estas três normas são equiv-alentes).

Resolução: Para a primeira desigualdade temos, para um certo i =1; :::; n;

kxkM = max fjx1j ; :::; jxnjg = jxij =q(xi)

2

�q(x1)

2 + � � �+ (xn)2 = kxk :

Para a segunda desigualdade, note-se que

(x1)2 + � � �+ (xn)2 = jx1j2 + � � �+ jxnj2 � (jx1j+ � � �+ jxnj)2 :

Então

kxk =

q(x1)

2 + � � �+ (xn)2 �q(jx1j+ � � �+ jxnj)2

� jx1j+ � � �+ jxnj = kxkS :

No caso da última desigualdade como se tem

kxkM = max fjx1j ; :::; jxnjg = jxij ; para um certo 1 � i � n;

então

kxkS = jx1j+ � � �+ jxnj � jxij+ � � �+ jxij = n jxij = n kxkM :

�

Observação 1.1.5 Em particular, no caso de n = 1; tem-se que kxk = jxj ;pelo que a norma generaliza a Rn muitas das propriedades do valor absolutodos números reais.

Exercício 1.1.6 Mostre que

jkxk � kykj � kx� yk ; 8x; y 2 Rn:


Resolução: Para provar a desigualdade referida é necessário mostrarque

kxk � kyk � �kx� yk ^ kxk � kyk � kx� yk ; 8x; y 2 Rn:Para provar a primeira desigualdade escreva-se x = (x� y)+y e apliquemosa desigualdade triangular:

kxk = k(x� y) + yk � kx� yk+ kyk :

Entãokxk � kyk � kx� yk :

Para a segunda desigualdade escreva y = (y � x) + x e aplique o mesmoprocesso.�

Todo o espaço normado se pode transformar num espaço métrico,de�nindo uma distância entre dois vectores através da igualdade

d(x; y) = kx� yk : (1.1.1)

Em particular, para o espaço euclidiano, tem-se

d(x; y) =

q(x1 � y1)2 + � � �+ (xn � yn)2:

Exercício 1.1.7 Mostre que uma distância, como em 1.1.1, veri�ca asseguintes propriedades:a) d(x; z) � d(x; y) + d(y; z).b) d(x; y) = d(y; x).c) x 6= y =) d(x; y) > 0:

Sugestão: Aplique a de�nição de norma e as propriedades da De�nição1.1.1.

De�nição 1.1.8 No espaço vectorial Rn; chama-se produto interno, ouproduto escalar, de dois vectores x = (x1; :::; xn) e y = (y1; :::; yn) aonúmero real

x j y =nXi=1

xi yi:

Exercício 1.1.9 Mostre que o produto interno veri�ca as propriedades:a) x j y = y j xb) (�x+ �y) jz = � (x j z) + � (y j z) ;8�; � 2 R:c) x j x � 0 e x j x = 0() x = 0:

1.1. ESPAÇO VECTORIAL RN 11

Observação 1.1.10 Com esta de�nição de produto interno obtem-se umanorma fazendo

kxk =px j x; (1.1.2)

isto é, todo o espaço com produto interno pode ser considerado como umespaço normado.

Proposição 1.1.11 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Para quais-quer x; y 2 Rn tem-se

j(x j y)j � kxk kyk ;dando-se a igualdade se, e só se, os vectores x e y são colineares.

Dem. Note-se que, para � 2 R;

0 � k�x+ yk2 = (�x+ y) j (�x+ y)= �2 kxk2 + 2� (x j y) + kyk2 :

Para que esta desigualdade seja verdadeira para qualquer valor do parâmetro�; o binómio discriminante tem que ser não positivo: � � 0: Isto é,

4 (x j y)2 � 4 kxk2 kyk2 � 0:

Ora a desigualdade só acontece se

(x j y)2 � kxk2 kyk2

ou seja,j(x j y)j � kxk kyk :

Exercício 1.1.12 Utilizando as propriedades que caracterizam um produtointerno e a De�nição 1.1.2, prove a lei do paralelogramo:

kx+ yk2 + kx� yk2 = 2�kxk2 + kyk2

�; 8x; y 2 Rn:

Em linguagem corrente:A soma dos quadrados das diagonais de um paralelogramo é igual à somados quadrados dos seus quatro lados.

Dem. Somando termo a termo as duas igualdades

kx+ yk2 = ((x+ y) j (x+ y)) = kxk2 + 2 (x j y) + kyk2

kx� yk2 = ((x� y) j (x� y)) = kxk2 � 2 (x j y) + kyk2

obtem-se a igualdade pretendida.


Observação 1.1.13 A lei do paralelogramo não é válida para todo o tipode normas. Por exemplo, a norma do máximo e a norma da soma em Rn,não a veri�cam.Logo estas normas não se podem de�nir à custa de um produto interno emRn:

Proposição 1.1.14 Duas normas quaisquer no espaço Rq são equivalentes.

Dem. Seja kukS a norma da soma, isto é, kukS = ju1j+ � � �+ juqj :Pela transitividade da relação de equivalência, basta provar que uma

norma arbitrária k�k é equivalente a k�kS :Designe-se por e:= max fk�!e 1k ; :::; k�!e qkg : Então, para cada u 2 Rq

tem-se

kuk = ku1�!e 1 + � � �+ uq�!e qk � ju1j k�!e 1k+ � � �+ juqj k�!e qk� ju1j e+ � � �+ juqj e = e kukS :

Basta agora provar a desigualdade inversa, isto é,

9� > 0 : kukS � � kuk ; 8u 2 Rq:

Suponhamos, por absurdo, que tal não acontece.Então, para cada n 2 N; existe uma sucessão un 2 Rq tal que

kunkS > n kunk : (1.1.3)

De�na-se s sucessão vn := unkunkS

: Então, por (1.1.3),

kvnk =kunkkunkS

<1

n

e

kvnkS =kunkSkunkS

= 1; 8n 2 N:

Então a sucessão vn é limitada em relação à norma da soma.Recordemos o Corolário do Teorema de Bolzano-Weierstrass:"Toda a sucessão limitada em R admite, pelo menos, uma subsucessão

convergente."Assim, vn admite uma subsucessão, que se designa por vnk ; que é con-

vergente para um certo v 2 Rq: Ou seja, quando k ! +1;

kvnkkS ! kvkS = 1; (1.1.4)

1.2. NOÇÕES TOPOLÓGICAS EM RN 13

pelo que v 6= 0:Por outro lado, para todo o k 2 N; tem-se

kvk = kv � vnk + vnkk � kv � vnkk+ kvnkk

� e kv � vnkkS +1

nk:

Como as duas últimas parcelas tendem para 0; quando k ! +1; tem-se que

kvk � 0:

Logo v = 0; que contradiz a normalização de (1.1.4), demonstrando o teo-rema.

1.2 Noções topológicas em Rn

Nesta secção apresentam-se algumas noções importantes para o estudo defunções de�nidas nalgum conjunto D � Rn com valores em Rm (m;n �1);nomeadamente para as propriedades que envolvam os conceitos de limitee continuidade.

Estas noções são apresentadas para espaços normados em geral, mastambém se podem adaptar a espaços métricos, usando a distância d(x; y) nolugar da norma kx� yk :

De�nição 1.2.1 Seja E um espaço normado.Chama-se bola (aberta) de centro c e raio r ao conjunto

Br(c) = fx 2 E : kx� ck < rg :

O conjunto de elementos x 2 E tais que : kx� ck � r é uma bola fechadade centro c e raio r.

A forma geométrica das bolas varia com o espaço e com a norma.

� Para n = 1; isto é, em R; a bola reduz-se a um intervalo.

� Para n = 2; em R2; a bola também se chama um disco.

� Para n = 3; em R3; a bola é uma esfera.


� Se em R2; para x = (x1; x2) e c = (c1; c2); tomarmos a norma domáximo kxkM = max fjx1j ; jx2jg ; tem-se

Br(c) =�x 2 R2 : kx� ckM < r

= max fjx1 � c1j ; jx2 � c2jg < r:

Então

jx1 � c1j < r ^ jx2 � c2j < r

e

(c1 � r < x1 < c1 + r) ^ (c2 � r < x2 < c2 + r) :

Gra�camente, temos um quadrado centrado em c e com os ladosparalelos aos eixos coordenados e de comprimento 2r:

� Se, em R2; tomarmos a norma da soma kxkS = jx1j+ jx2j ; tem-se

Br(c) =�x 2 R2 : kx� ckS � r

;

ou seja

jx1 � c1j+ jx2 � c2j � r:

Se x1 = c1 então jx2 � c2j � r e se x2 = c2 então jx1 � c1j � r: Comotemos a soma de duas quantidades não negativas, quando uma dis-tância aumenta a outra diminui. Gra�camente a bola é um quadradocujas diagonais são paralelas aos eixos coordenados e de comprimento

1.2. NOÇÕES TOPOLÓGICAS EM RN 15

2r:

� Em R3; com a norma do máximo as bolas são cubos centrados em c ede aresta 2r paralelas aos eixos coordenados. Com a norma da soma,as bolas são octaedros, com as diagonais de comprimento 2r; paralelasaos eixos coordenados.

Num espaço vectorial genérico E, vejamos algumas noções topológicasbásicas:

De�nição 1.2.2 Chama-se vizinhança de c a qualquer subconjunto de Eque contenha uma bola (aberta) de centro em c:

De�nição 1.2.3 Um conjunto diz-se limitado se existir alguma bola que ocontenha.

Num espaço normado os conceitos topológicos de ponto interior, exteriore ponto fronteiro, bem como as de�nições que daí derivam (interior, exterior,fronteira, aderência,...) são análogos aos de�nidos em R; e que sintetizamosna de�nição seguinte:

De�nição 1.2.4 Seja E um espaço normado, S � E e a 2 E:

(i) a diz-se um ponto interior de S se existir uma bola (aberta) de centroem a, totalmente contida em S:

(ii) O conjunto de todos os pontos interiores de S designa-se por interiorde S e representa-se por int S: Em linguagem simbólica

a 2 int S () 9r > 0 : Br(a) � S:


(iii) a é um ponto exterior de S se existir uma bola (aberta) de centroem a, totalmente contida em EnS:

(iv) Chama-se exterior de S; ext S; ao conjunto de todos os pontos exte-riores de S: Assim,

a 2 ext S () 9r > 0 : Br(a) � EnS() 9r > 0 : Br(a) \ S = ?:

(v) a é um ponto fronteiro de S se não for ponto interior nem pontoexterior. Isto é, se qualquer bola centrada em a contém pontos de S edo seu complementar.

(vi) Designa-se por fronteira de S, fr S, o conjunto de todos os pontosfronteiros. Então

a 2 fr S () 8r > 0; (Br(a) \ S 6= ?) ^ (Br(a) \ EnS 6= ?) :

(vii) Chama-se aderência ou fecho de S, ad S, ao conjunto

ad S = S [ fr S:

(viii) S é um conjunto aberto se, e só se, S = int S:S é um conjunto fechado se, e só se, S = ad S:S é um conjunto denso em E se, e só se, ad S = E:

(ix) Um ponto a 2 S diz-se um ponto isolado se existir uma bola centradaem a; que só tenha o ponto a em comum com S: Isto é,

a é um ponto isolado sse 9r > 0 : Br(a) \ S = fag:

(x) Um ponto a 2 E diz-se um ponto de acumulação de S se toda a bolacentrada em a contém pelo menos um ponto de S, distinto de a: Assim

a é um ponto de acumulação de S sse 8r > 0; Br(a) \ (Snfag) 6= ?:

(xi) Ao conjunto de todos os pontos de acumulação de S chama-se conjuntoderivado de S, S0:

1.3. INTERVALOS EM RN 17

1.3 Intervalos em Rn

De�nição 1.3.1 (i) Sejam a = (a1; :::; an) e b = (b1; :::; bn) dois pontos deRn: Diz-se que a < b desde que

ai < bi; para i = 1; :::; n:

(ii) O conjunto fx 2 Rn : a < x < bg ; diz-se um intervalo aberto de ex-tremos a e b e representa-se por (a; b) ou ]a; b[:(iii) [a; b] := fx 2 Rn : a � x � bg é o intervalo fechado com os mesmosextremos.

Observação 1.3.2 Para n > 1; há 4n tipos de intervalos, pois o intervalopode ser considerado como o produto cartesiano de n intervalos de R; e cadaum deles pode ser abertado, fechado ou aberto de um lado e fechado de outro.Pot exemplo, para n = 2; tem-se a = (a1; a2) e b = (b1; b2) e

]a1; b1[�]a2; b2[ = ]a; b[; ]a1; b1]�]a2; b2] =]a; b];[a1; b1[�[a2; b2[ = [a; b[; [a1; b1]� [a2; b2] = [a; b]:

Contudo ]a1; b1[�[a2; b2] não está incluido em nenhum destes quatro casos.O mesmo acontece com outros 11 casos.Gra�camente pode dizer-se que, em R2; os intervalos são rectângulos, en-quanto em R3 são paralelepípedos ou prismas.

1.4 Tipos de função, domínio e grá�co

No que se segue consideram-se funções f : D � Rn ! Rm (n;m 2 N) cujodomínio é um conjunto D de um espaço Rn e com valores num espaço Rm:Isto é, f é uma correspondência unívoca de Rn para Rm; fazendo correspon-der a cada elemento a = (a1; :::; an) 2 D � Rn e b = (b1; :::; bm) 2 Rm:

Supõem-se �xadas no espaço Rn uma base ortonormada f�!e 1; :::;�!e ng euma norma k�kRn ; e no espaço Rm uma base também ortonormada ff1; :::; fmge uma norma k�kRm :

Em termos de notação, escreve-se y = f(x) com x = (x1; :::; xn) 2 Rn ey = (y1; :::; ym) 2 Rm, o que equivale a8><>:

y1 = f1 (x1; :::; xn)...

ym = fm (x1; :::; xn) :


Se n = m; tem-se Rn � Rm e consideram-se bases idênticas à partida eà chegada.

Se m = 1; tem-se f : Rn ! R uma funçao real de n variáveis e designa-sepor campo escalar (a cada ponto (x1; :::; xn) associa-se um número real, umescalar).

Se m > 1; tem-se f : Rn ! Rm um campo vectorial (aplica pontos emvectores).

O estudo de uma função f : Rn ! Rm necessita de um espaço de n+mdimensões. Assim se se pretender um suporte grá�co (geométrico) ter-se-áapenas os casos em que n+m � 3:

Por exemplo, a representação grá�ca de uma função real de duas var-iáveis,

f : R2 ! R(x; y) 7! z;

necessita de um espaço a três dimensões.Se �xarmos uma variável, por exemplo, y = b; obtem-se z = f(x; b); que,

na prática é uma função que depende apenas de uma variável x. Geomet-ricamente consiste e intersectar o plano y = b com a superfície (grá�co dafunção, o que vai resultar numa linha.

Exercício 1.4.1 Considere a função f : R2 ! R dada por

f(x; y) =p4� x2 � y2:

a) Indique o domínio D de f e represente-o gra�camente.

b) Descreva int D; ext D; fr D e o conjunto derivado de D (D0).

1.4. TIPOS DE FUNÇÃO, DOMÍNIO E GRÁFICO 19

c) D é um conjunto aberto ? É fechado ?

d) Indique o contradomínio de f e qual a sua representação grá�ca.

Resolução: a)D =�(x; y) 2 R2 : 4� x2 � y2 � 0

=�(x; y) 2 R2 : x2 + y2 � 4

b) int D =�(x; y) 2 R2 : x2 + y2 < 4

; ext D =

�(x; y) 2 R2 : x2 + y2 > 4

;

fr D =�(x; y) 2 R2 : x2 + y2 = 4

; D0 =

�(x; y) 2 R2 : x2 + y2 � 4

:

c) D é um conjunto fechado.

d) Contradomínio de D = [0; 2] ; pois 0 � z = f(x; y) � 2:


Exercício 1.4.2 Para g : R2 ! R3 dada por

g(x1; x2) =

8<:y1 = 1

x1+x2y2 = log (x1)

y3 =p9� x21 � x22

a) Indique o domínio D de g e represente-o gra�camente.

b) Descreva int D; ext D e fr D.

Resolução: Considerar, simultaneamente, as condições referentes acada uma das funções coordenadas.a) D =

�(x1; x2) 2 R2 : x1 + x2 6= 0 ^ x1 > 0 ^ 9� x21 � x22 � 0

=�(x1; x2) 2 R2 : x1 6= �x2 ^ x1 > 0 ^ x21 + x22 � 9

:

b) int D =�(x1; x2) 2 R2 : x1 6= �x2 ^ x1 > 0 ^ x21 + x22 < 9

;

fr D =

�(x1; x2) 2 R2 : (x1 = �x2 ^ 0 � x1 � 3) _

�x1 � 0 ^ x21 + x22 = 9

�_ (x1 = 0 ^ �3 � x2 � 3)

�;

ext D = R2n (adD) :

1.5 De�nição de limite

Comecemos pela de�nição de limite:

1.5. DEFINIÇÃO DE LIMITE 21

De�nição 1.5.1 Sejam f : Rn ! Rm uma função e a um ponto de acumu-lação do domínio de f; D:Diz-se que b 2 Rm é limite de f no ponto a (ou quando x tende para a); eescreve-se

limx!a

f(x) = b;

se para cada � > 0; existe � > 0 tal que kf(x)� bkRm < �; para todos ospontos x tais que kx� akRn < � e x 2 D:Simbolicamente,

limx!a

f(x) = b, 8� > 0;9� > 0 : (kx� akRn < � ^ x 2 D)) kf(x)� bkRm < �:

Exercício 1.5.2 Prove, usando a De�nição 1.5.1, que f : R2 ! R dadapor

f(x; y) =x2y2

x2 + y2;

tem por domínio R2n f(0; 0)g e

limx!0y !0

f(x; y) = 0:

Resolução: Pretende-se provar que

8� > 0;9� > 0 :px2 + y2 < �)

�� x2y2

x2 + y2� 0�� < �

ou

8� > 0;9� > 0 : x2 + y2 < �2 ) x2y2

x2 + y2< �:

Atendendo a que �x2 + y2

�2 � 4x2y2 = �x2 � y2�2 � 0;tem-se que �

x2 + y2�2 � 4x2y2 , �

x2 + y2�2

4� x2y2:

Assim

x2y2

x2 + y2�(x2+y2)

2

4

x2 + y2=x2 + y2

4<�2

4:

Então para que�2

4< � , �2 < 4�


basta tomar � < 2p�: Então lim

(x;y)!(0;0)f(x; y) = 0

Tal como para funções reais de variável real, pode-se também de�nir olimite à custa de sucessões:

Teorema 1.5.3 (Limite segundo Heine) Considere-se a 2 Rq um ponto deacumulação do domínio D de f : D � Rq ! Rm e b 2 Rm:Tem-se que lim

x!af(x) = b se, e só se, para cada sucessão un com limite a; a

correspondente sucessão f(un) converge para b:Simbolicamente,

limx!a

f(x) = b, 8un; un 2 D;un 6= a; limun = a) lim f(un) = b:

Dem. )Suponhamos que lim

x!af(x) = b: Considere-se uma sucessão un 2 Dnfag

tal que limun = a:

Pela de�nição de limite de uma sucessão, a partir de uma certa ordemn0 2 N; tem-se que kun � akRq < �: Então, por hipótese, kf(un)� bkRm < �:Logo lim f(un) = b:

(Hipótese: 8un; un 2 D;un 6= a; limun = a) lim f(un) = b:

Tese: limx!a

f(x) = b:

Suponhamos, por contradição, que

9� > 0 : 8� > 0; kx� akRn < � ^ kf(x)� bkRm � �;

isto é, limx!a

f(x) 6= b:

Então pode considerar-se, para cada n 2 N; um ponto un 2 Dnfag talque

kun � akRn <1

n^ kf(un)� bkRm � �:

Assim, obtém-se uma sucessão un tal que un ! a; sem que a correspondentesucessão f(un) tendesse para b; o que está em contradição com a hipótese,demonstrando-se o teorema.

1.6 Propriedades algébricas dos limites

Os teoremas que se seguem relacionam as propriedades algébricas funda-mentais com as noções de convergência e limite.

1.6. PROPRIEDADES ALGÉBRICAS DOS LIMITES 23

Teorema 1.6.1 Seja f : D � Rn ! Rm. O limite de f(x), no ponto a;quando existe é único.

Teorema 1.6.2 Considerem-se as funções f; g : D � Rn ! Rm e h : D �Rn ! R tais que

limx!a

f(x) = b; limx!a

g(x) = c; limx!a

h(x) = �:

Então:

a) limx!a

[f(x) + g(x)] = b+ c;

b) limx!a

[h(x)f(x)] = �b:

Uma regra prática para calcular o limite de uma função vectorial é dadapela proposição seguinte:

Proposição 1.6.3 Seja f : D � Rn ! Rm. Então é válida a equivalência

limx!a

f(x) = b, limx!a

fj(x) = bj ; para j = 1; :::;m:

Ou seja, cada coordenada de f admite como limite a respectiva coordenadade b se, e só se, lim

x!af(x) = b:

Dem. Por uma questão de conveniência utiliza-se a norma do máximo.)Suponhamos que lim

x!af(x) = b; isto é,

8� > 0 9� > 0: (kx� akRn < � ^ x 2 D)) kf(x)� bkM < �:

Ora

kf(x)� bkM < � , maxi=1;:::m

fjfi(x)� bijg < �

, jf1(x)� b1j < � ^ � � � ^ jfm(x)� bmj < �:

Fazendo os cálculos para a primeira componente

8� > 0 9� > 0 : (kx� akRn < � ^ x 2 D)) jf1(x)� b1j < �

, limx!a

f1(x) = b1:

Análogamente para as outras componentes.


(=Considere-se que lim

x!afj(x) = bj ; para j = 1; :::;m:

Então, dado � > 0; 9� > 0:(kx� akRn < � ^ x 2 D) ) jfi(x)� bij < �;para i = 1; :::m; e

kf(x)� bk = maxi=1;:::m

fjfi(x)� bijg < �:

Assim limx!a

f(x) = b:

Exercício 1.6.4 Considere-se a função f : D � Rn ! Rm tal que limx!a

f(x) =

b:Prove que

limx!a

kf(x)k = kbk :

Resolução: Se limx!a

f(x) = b então limx!a

fj(x) = bj ; para j = 1; :::;m:

limx!a

kf(x)k = limx!a

q(f1(x))

2 + � � �+ (fm(x))2

=

r�limx!a

f1(x)�2+ � � �+

�limx!a

fm(x)�2

=

q(b1)

2 + � � �+ (bm)2 = kbk :

Um teorema importante refere-se à composição de funções:

Teorema 1.6.5 Seja g : A � Rn ! B � Rm e f : B ! C � Rp:Represente-se por u = f � g a função composta de g e f:Se lim

x!ag(x) = b e lim

y!bf(y) = c então lim

x!af [g(x)] = lim

x!a[(f � g) (x)] = c:

Dem. Considere-se uma sucessão (un) � A e tal que un ! a:

Pelo Teorema 1.5.3, limx!a

g(un) = b e limg(un)!b

f [g(un)] = c:

1.7 Limites relativos

Na recta real x apenas se pode aproximar de um certo número vindo deduas direcções: pela esquerda ou pela direita do número. Por isso se tinha,em R; os limites laterais.

Em Rn temos limites segundo direcções ou relativos a um certo conjunto.

1.7. LIMITES RELATIVOS 25

De�nição 1.7.1 Seja A um subconjunto de D � Rn e a um ponto de acu-mulação de A: Chama-se limite de f : D � Rn ! Rm; no ponto a, relativoa A (ou limite de f(x) quando x tende para a no conjunto A) ao limite ema (quando exista) da restrição de f a A:Designa-se por

limx!ax 2 A

f(x):

Exemplo 1.7.2 Para funções de�nidas em R; os limites laterais

limx!a+

f(x) e limx!a�

f(x);

são casos particulares de limites relativos a um conjunto. Concretamente a

fx 2 R : x > ag e a fx 2 R : x < ag ;

respectivamente.

Exemplo 1.7.3 Para funções de�nidas em Rn; n > 1; a tendência de xpara a não se limita à "esquerda"ou "à direita de a, já que existem outrasditecções de aproximação.Os pontos da forma

x = a+mv;

com a; v 2 Rn elementos �xos e tomando m 2 R; qualquer valor real, con-stituem uma "recta em Rn"; passando por a e com a direcção de v; chamam-se os limites direccionais de f no ponto a e na direcção de v:

Observação 1.7.4 (i) Pela unicidade do limite, se existir limx!a

f(x) então

existem e são iguais todos os limites direccionais de f(x) no ponto a:(ii) Para n � 2; podem existir todos os limites direccionais no ponto a; ecom o mesmo valor, sem que exista lim

x!af(x):

Por um ponto x; f pode aproximar-se de a por outros caminhos que nãosejam rectilíneos, o que torna possível o aparecimento de limites relativoscom valor diferente do dos limites direccionais, conforme se pode ver nosexercícios seguintes:

Exercício 1.7.5 Para f : R2 ! R dada por

f(x; y) =x2 � y2x2 + y2

;

determinar:


a) Domínio de f:

b) lim(x;y)!(0;0)

f(x; y)

Resolução: a) D=R2n f(0; 0)gb) Como lim

(x;y)!(0;0)f(x; y) = 0

0 ; calculam-se os limites direccionais:

Limite segundo o eixo das abcissas (y = 0) :

limx!0y=0

f(x; 0) = limx!0y=0

x2

x2= 1;

Limite segundo o eixo das ordenadas (x = 0) :

limy!0x=0

f(0; y) = limy!0x=0

� y2

y2= �1:

Logo não existe lim(x;y)!(0;0)

f(x; y)

Exercício 1.7.6 Repita o exercício anterior para f : R2 ! R dada por

f(x; y) =xy

x2 + 4y2:

Resolução 1.7.7 a) D=R2n f(0; 0)gb) Como lim

(x;y)!(0;0)f(x; y) = 0

0 ; calculam-se os limites direccionais:

Limite segundo o eixo das abcissas (y = 0) :

limx!0y=0

f(x; 0) = limx!0y=0

0

x2= lim

x!0y=0

0 = 0;

Limite segundo o eixo das ordenadas (x = 0) :

limy!0x=0

f(0; y) = limy!0x=0

0

4y2= lim

y!0x=0

0 = 0;

Limite segundo rectas do tipo y = mx (m 6= 0) :

limx!0y=mx

f(x;mx) = limx!0y=mx

mx2

x2 +m2x2=

m

1 +m2:

1.7. LIMITES RELATIVOS 27

Como o limite depende de m; logo, pela unicidade do limite, não existelim

(x;y)!(0;0)f(x; y):

Exercício 1.7.8 Idem, para f : R2 ! R dada por

f(x; y) =

8><>:x2yx4+y2

se (x; y) 6= (0; 0)

0 se (x; y) = (0; 0) :

Resolução: a) D=R2

b) Como lim(x;y)!(0;0)

f(x; y) = 00 ; calculam-se os limites direccionais:

Limite segundo o eixo das abcissas (y = 0) : limx!0y=0

f(x; 0) = 0;

Limite segundo o eixo das ordenadas (x = 0) : limy!0x=0

f(0; y) = 0;

Limite segundo rectas do tipo y = mx (m 6= 0) :

limx!0y=mx


mx3

x4 +m2x2= lim

x!0y=mx

mx

x2 +m2=

0

m2= 0:

Apesar de os limites direccionais existirem e serem todos iguais a 0; nada sepode concluir quanto à existência do limite.De facto, se os pontos se aproximarem de (0; 0) segundo parábolas do tipoy = ax2 (a 6= 0); tem-se

limx!0y=a x2

f(x; a x2) = limx!0y=a x2

a2x4

x4 + a2x4=

a2

1 + a2:

Como o limite depende de a; logo, pela unicidade do limite, não existelim

(x;y)!(0;0)f(x; y):

Exercício 1.7.9 Seja f : R2 ! R3 dada por

f(x; y) =

8>>>>><>>>>>:

f1(x; y) = 2x+ 5y

f2(x; y) = 2xy2

x2+y2

f3(x; y) = x+2y�3 :

Calcular lim(x;y)!(0;0)

f(x; y):


Resolução: Pela Proposição 1.6.3, calculam-se os limites componente acomponente:

lim(x;y)!(0;0)

f1(x; y) = 0; lim(x;y)!(0;0)

f3(x; y) = �2

3; lim

(x;y)!(0;0)f2(x; y) =

0

0:

Resolução 1.7.10 Limite segundo rectas do tipo y = mx (m 6= 0) :

limx!0y=mx

f2(x;mx) = limx!0y=mx

2x3m2

x2 +m2x2= lim

x!0y=mx

2xm2

1 +m2= 0:

O lim(x;y)!(0;0)

f2(x; y); se existir, será 0: Para provar que é este valor, há que

recorrer à de�nição:

8� > 0;9� > 0 :px2 + y2 < �) jf2(x; y)� 0j < �:

Então �� 2xy2x2 + y2

�� = 2 jxj y2x2 + y2

�2px2 + y2

�x2 + y2

�x2 + y2

= 2px2 + y2:

Portanto, desde que 2px2 + y2 < �; isto é,

px2 + y2 < �

2 ; tem-se, para� = �

2 ; que jf2(x; y)� 0j < �; provando-se que lim(x;y)!(0;0)

f2(x; y) = 0:

Então

lim(x;y)!(0;0)

f(x; y) =

�0; 0;�2

3

�:

1.8 Continuidade. Propriedades das funções con-tínuas

A de�nição de continuidade para funções vectoriais é análogo ao caso uni-dimensional:

De�nição 1.8.1 Seja f : D � Rn ! Rm e a 2 D:(i) Diz-se que f é contínua no ponto a se

limx!a

f(x) = f(a):

Note-se que esta de�nição é equivalente a

8� > 0 9� > 0 : (kx� akRn < � ^ x 2 D)) kf(x)� f(a)kRm < �:

(ii) f é contínua num conjunto X � D quando for contínua em todos ospontos de X:Diz-se simplesmente que f é contínua, quando o for em todo o seu domínio.

1.8. CONTINUIDADE. PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES CONTÍNUAS29

Exemplo 1.8.2 Um caso trivial de continuidade:Se a é um ponto isolado do conjunto D então toda a função f : D ! Rm énecessariamente contínua no ponto a:Com efeito 9� > 0 : V�(a)\D = fag; por ser um ponto isolado: Então, paraqualquer � > 0; tomando este valor de �; tem-se

x 2 D; kx� akRn < �) x = a) kf(x)� f(a)kRm = 0 < �:

As funções reais contínuas de n variáveis, gozam de propriedades e car-acterização semelhantes às conhecidas para funções de uma só variável.

Proposição 1.8.3 Uma função é contínua em a se, e só se, para cadasucessão (un) � D tal que un ! a se tem f (un)! f(a):

Dem. f é contínua em a sse limx!a

f(x) = f(a) e, pelo Teorema 1.5.3, para

toda a sucessão un ! a se tem f (un)! f(a):

Proposição 1.8.4 (Propriedades das funções contínuas) Sejam f; g : D �Rn ! Rm e h : D � Rn ! R:Se f , g e h são funções contínuas em a 2 D; então as funções

f + g; h f; kfk e fh; com h(a) 6= 0;

são contínuas em a 2 D:

Dem. A demonstração resulta directamente das propriedades dos limi-tes (Teorema 1.6.2) e do Exercício 1.6.4.


f(x; y) =

8><>:xy2

x2+y2se (x; y) 6= (0; 0)

8 se (x; y) = (0; 0) :

Estudar f quanto à continuidade.

Resolução: Para (x; y) 6= (0; 0) ; a função é contínua porque é o pro-duto, soma e cociente de funções contínuas em que o denominador não seanula.Para (x; y) = (0; 0) ; calcular lim

(x;y)!(0;0)f(x; y)

�00

�: Aplicando limites direc-

cionais, temos

limx!0y=mx


x3m2

x2 +m2x2= lim

x!0y=mx

xm2

1 +m2= 0:


O limite, se existir, seria 0: Logo f(x; y) nunca poderá ser contínua em (0; 0) ;pelo que f é contínua em R2n f(0; 0)g :

Exercício 1.8.6 Estudar quanto à continuidade a função f : R2 ! R2 dadapor

f(x; y) =

8<:f1(x; y) = x� 2y

f2(x; y) = 1x�y :

Resolução: Df = f(x; y) : (x; y) 2 Df2g = R2n f(x; y) : x = yg : Entãof é contínua no seu domínio (pelas propriedades das funções contínuas).

Teorema 1.8.7 (Continuidade da função composta) Se g : A � Rn ! Rmé contínua em a 2 A e f : B � g(A) � Rm ! Rp é uma função contínuaem b = g(a) então a função composta f � g é contínua em a.

Dem. Se g é contínua em a; então limx!a

g(x) = g(a): Como f é contínua

em g(a); então limx!g(a)

f(x) = f [g(a)] :

Pelo Teorema 1.6.5 tem-se que

limx!a

[f � g] (x) = limx!a

f [g(x)] = f [g(a)] = [f � g] (a):

Proposição 1.8.8 Se f : D � Rn ! Rm é contínua num conjunto com-pacto A � D; então f(A) é um conjunto compacto de Rm:

Este enunciado é equivalente a : Se f : D � Rn ! Rm é contínuanum conjunto A � D limitado e fechado de Rn; então f(A) é um conjuntolimitado e fechado de Rm:

Dem. A demonstração é análoga ao caso de funções reais de variávelreal.

Apresenta-se aqui um outro proceso de demonstração baseado na carac-terização de espaço compacto:

"Um espaço (normado ou métrico) diz-se compacto (para as sucessões)se toda a sucessão tem uma subsucessão convergente."

Seja yn uma sucessão de f(A): Então existe uma sucessão (un) � A talque f (un) = yn:

Como A � Rn é um conjunto compacto (limitado e fechado) então asucessão un é uma sucessão limitada. Logo pelo Corolário do Teorema deBolzano-Weierstrass, existe uma subsucessão unk convergente para a 2 A:

1.9. CONTINUIDADE UNIFORME 31

Assim, ynk = f (unk)! f(a) ( porque f é contínua).Então qualquer sucessão (yn) � f(A) tem uma subsucessão convergente.,

isto é, f(A) é compacto.

1.9 Continuidade uniforme

Na de�nição de continuidade (De�nição 1.8.1), mesmo depois de �xado um� > 0; os correspondentes � possíveis dependem do a, a que a de�nição dizrespeito.

Há, no entanto, funções para as quais é possível, �xado um � > 0;encontrar um � > 0 que "sirva" para todos os pontos do conjunto.

Esta situação, de grande utilidade teórica, designa-se por continuidadeuniforme:

De�nição 1.9.1 Uma função f : D � Rn ! Rm é uniformemente contínuaem D se, e só se, para cada � > 0 dado; existe um � > 0; tal que, paraquaisquer x; y 2 D comkx� yk < � se tem kf(x)� f(y)k < �:Simbolicamente, f é uniformemente contínua em D ,

8� > 0 9� > 0 : 8x; y 2 D; kx� yk < �) kf(x)� f(y)k < �:

Exemplo 1.9.2 Toda a aplicação linear

Am�n : Rnx!7!RmAx

é uniformemente contínua.De facto, considerando x; y 2 Rn tal que kx� yk < �; tem-se

kAx�Ayk = kA (x� y)k = kAk kx� yk :

Então, dado um � > 0 toma-se � = �kAk e obtem-se, para todo os x; y 2 R

n

que veri�quem kx� yk < �;

kAx�Ayk = kAk kx� yk < kAk �

kAk = �:

Tal como para a continuidade pontual, pode de�nir-se a continuidadeuniforme recorrendo a sucessões:

Teorema 1.9.3 Uma função f : D � Rn ! Rm é uniformemente contínuaem D se, e só se, para quaisquer sucessões xk e yk em D; com lim (xk � yk) =0 se tem lim (f (xk)� f (yk)) = 0:


Dem. )Suponha-se f uma função uniformemente contínua em D e sejam xk e

yk duas sucessões em D � Rn; com lim (xk � yk) = 0:Dado � > 0; existe � > 0 tal que kx� yk < �; x; y 2 D ) kf(x)� f(y)k <

�:Para esse � > 0, como lim (xk � yk) = 0; existe k0 2 N tal que para

k > k0 se tem kf (xk)� f (yk)k < �:Pela arbitrariedade de � > 0; lim (f (xk)� f (yk)) = 0:(Por hipótese, para quaisquer xk e yk em D tais que lim (xk � yk) = 0

tem-se lim (f (xk)� f (yk)) = 0:Suponhamos, por absurdo, que f não é uma função uniformemente con-

tínua em D: Então

9� > 0 : 8� > 0;9x; y 2 D : kx� yk < � ^ kf(x)� f(y)k � �:

Neste caso considerando sucessivamente � = 1; 12 ; :::;1k ; :::obtem-se, para cada

k 2 N; um par de pontos xk; yk 2 D com

kxk � ykk <1

k^ kf (xk)� f (yk)k � � > 0:

Então tem-se lim (xk � yk) = 0 mas não se tem lim (f (xk)� f (yk)) = 0; oque contradiz a hipótese.

Exemplo 1.9.4 A função f : R ! R dada por f(x) = cos�x2�não é

uniformemente contínua em R; apesar de ser uma função contínua.Como contra-exemplo, considere-se

xn =p(n+ 1)� e yn =

pn�:

Então

xn � yn =p(n+ 1)� �

pn�

=

�p(n+ 1)� �

pn��p

(n+ 1)� +pn��

p(n+ 1)� +

pn�

=�p

(n+ 1)� +pn�

:

Logo lim (xn � yn) = 0. Contudo

f (xn) = cos�x2n�= cos

��p(n+ 1)�

�2�= cos ((n+ 1)�) = �1

1.9. CONTINUIDADE UNIFORME 33

ef (yn) = cos

�y2n�= cos

h�pn��2i

= cos (n�) = �1;

pelo quejf (xn)� f (yn)j = 2;8n 2 N:

Assim não se tem lim (f (xn)� f (yn)) = 0:

O exemplo anterior mostra que em R, num conjunto não limitado, ofacto de a função ser contínua não implica a continuidade uniforme.

O mesmo se passa em intervalos abertos. Por exemplo, f(x) = 1x em

]0; 1[ :Contudo em conjuntos compactos, a continuidade é sempre uniforme.

Teorema 1.9.5 (Teorema de Cantor) Se f : D � Rn ! Rm é contínuanum compacto C � D; então f é uniformemente contínua em C:

Dem. Suponhamos, por contradição que f não é uniformemente con-tínua num compacto C � D: Isto é,

9� > 0 : 8� > 0;9xk; yk 2 D : kxk � ykk < � ^ kf(xk)� f(yk)k � �:

Para � = 1k ; tem-se kxk � ykk <

1k ^ kf(xk)� f(yk)k � �:

Como C é compacto e xk é limitada, pode considerar-se uma subsucessãoconvergente

�xkj�� C e cujo limite l também pertence a C:

Como kxk � ykk < 1k ; a subsucessão correspondente (com os mesmos

índices)�ykj�� C também seria convergente para l: Assim

limkj!+1

�f�xkj�� f

�ykj��= f(l)� f(l) = 0;

o que está em contradição com kf(xk)� f(yk)k � � > 0:Logo f é uniformemente contínua em C:Vejamos conceitos de continuidade mais fortes que a continuidade uni-

forme, isto é, que exigem mais da função.

De�nição 1.9.6 Seja f : D � Rn ! Rm:

i) f é uma função Lipschitz (ou contínua no sentido de Lipschitz, ou quesatisfaz a condição de Lipschitz) em X � D; se existir uma constantek > 0 tal que

kf(x)� f(y)k � k kx� yk ; 8x; y 2 X:


ii) f é uma função Hölder-contínua (ou contínua no sentido de Hölder,ou que satisfaz a condição de Hölder de ordem �) em X � D; seexistirem constantes k > 0 e 0 < � � 1 tais que

kf(x)� f(y)k � k kx� yk� ; 8x; y 2 X:

1.10. EXERCÍCIOS 35

1.10 Exercícios

1. Determine o valor de cada uma das funções de�nidas de R2 para R; nospontos indicados:

a) f(x; y) = 2x2 � 3xy + 5y2 � x em (0; 1); (�2; 3) e (2;�3);

b) g(s; t) = 2sts2+t2

em (1; 0); (�3; 4) e (5; 5);

c) f(x; y) = ln�p

x2 + y2�em (�1; 0); (e; 0) e (�3;�4):

2. Um tanque para armazenamento de oxigénio líquido num hospitaldeve ter a forma de um cilindro de raio r e de altura l (ambos dados emmetros), com um hemisfério em cada extremidade.

a) Calcule a capacidade do tanque em função da altura l e do raio r.

b) Calcule o valor da capacidade de um tanque de altura 8m e de raio1m.

3. O índice de massa corporal humano (IMC) é expresso em função dopeso P; em quilos, e da altura A; em metros, por

IMC(P;A) =P

A2:

O IMC indica se uma pessoa está acima ou abaixo do peso ideal, segundoa seguinte tabela da Organização Mundial da Saude:

Condição ponderal IMCAbaixo do peso IMC < 18:5Peso normal 18:5 � IMC � 25

Excesso de peso 25 � IMC � 30Obesidade IMC > 30

a) Qual a condição ponderal de uma pessoa que mede 1:65m e pesa 95kg ?

b) Se uma pessoa mede 1:80m entre que valores poderá variar o seu peso,de modo a possuir uma condição ponderal normal ?


4. Quando um poluente é emitido por uma chaminé de h metros dealtura, a concentração do poluente, a x metros da origem da emissão e a ymetros do chão pode ser aproximada por

P (x; y) =a

x2

�eh(x;y) + ek(x;y)

�com

h(x; y) = � b

x2(y � h)2 e k(x; y) = � b

x2(y + h)2 :

A concentração do poluente P é medido em �g=m2 (�g=microgramas),sendo a e b constantes que dependem das condições atmosféricas e da taxade emissão do poluente.

Considere a = 200 e b = �0:002.

a) Se uma fábrica tiver uma chaminé de 10m de altura, determine a conta-minação a 1km de distância e a uma altura de 2m.

b) Para os valores indicados dos parâmetros, se a altura da chaminé deuma fábrica for de 15m; a que distância da fábrica se deve colocar dafábrica, de modo que a contaminação a altura de 1m seja, no máximo,de 0:05�g=m2 ?

5. O �uxo sanguíneo através de um vaso, como artérias ou veias, quese consideram como vasos com formato cilíndrico não elástico (Lei do �uxolaminar de Poiseuille).

sangue

8:pdf

Represente-se por R o raio e l o comprimento, medidos em cm. Devidoà fricção nas paredes do vaso, a velocidade v do sangue é maior ao longo doeixo central do vaso e decresce se a distância d (cm) do eixo à parede crescee é zero na parede.

A função velocidade v é uma função de quatro variáveis:

v(P;R; l; d; �) =P�R2 � d2

�4l�

;

onde � é a viscocidade do sangue e P a diferença entre a pressão da entradae a da saída do sangue no vaso.


Experimentalmente, para o sangue humano numa veia, temos � = 0:0027.Calcule a velocidade do �uxo sanguíneo, se l = 1:675, R = 0:0075,

P = 4� 103 e d = 0:004:

6. Um modelo simpli�cado (modelo de Cobb-Douglas) para estimar ocrescimento da economia de um país, é determinado pela quantidade de tra-balho e pelo capital investido. A função utilizada para modelar a produçãoé da forma

P (T;C) = 1; 01 T 0;75 C0;25;

onde P é a produção total (valor dos bens produzidos no ano), T é a quan-tidade de trabalho (número total de pessoas-hora trabalhadas no ano) e C éo capital investido (valor monetário das máquinas, equipamentos e prédios).

a) Determine o domínio da função P. Faça um esboço.

b) No ano A, os valores da produção, do trabalho e do capital, foramrespectivamente, de 231; 194 e 407 em unidades apropriadas.

Calcular a produção no ano A.

c) O que acontece com a produção se o trabalho e o capital investidoduplicarem ambos?

d) Que alteração tem a produção se o trabalho e o capital investidoforem multiplicados por um número positivo k ?

7. Encontre o domínioD das funções abaixo e, quando possível, represente-os gra�camente:

a) f(x; y) = 1x2+y2�16

b) g(x; y) = ln�y + x2

�c) h(x; y) =

p25� x2 � y2 + x�yp

x2+y2�9

d) f(x; y) = arcsen(x+ y):

8. Para as funções abaixo indicadas, indique o seu domínio, indique, seexistir, o limite na origem e o conjunto onde a função é contínua:

a) f(x; y) = x2�23+xy

b) g(x; y) =

(x4�y4x2+y2

; (x; y) 6= (0; 0)0 ; (x; y) = (0; 0)


c) h(x; y) =

(2x2+3y2

3x2�y2 ; (x; y) 6= (0; 0)0 ; (x; y) = (0; 0)

D =�3x2 � y2 6= 0

[ f(0; 0)g ;

não tem limite, é contínua em R2n f(0; 0)g :

d) f(x; y) =

(x2sen(y) y2sen(x)

x2+y2; (x; y) 6= (0; 0)

0 ; (x; y) = (0; 0)contínua em R2

Capítulo 2

Cálculo diferencial em Rn

Recorde-se a de�niçãode derivada para funções reais de variável real, isto é,f : R! R; e do seu signi�cado geométrico:

De�nição 2.0.1 Seja I � R um intervalo aberto e a 2 I:

(i) Designa-se por derivada de f no ponto a (quando exista) e representa-se por

�df

dx

�(a) ou f 0(a) = lim

h!0

f (a+ h)� f (a)h

:

(ii) Se este limite existir e for �nito, a função diz-se derivável ou dife-renciável no ponto a:Geometricamente, representando f(x) num referencial ortonormado,se f é diferenciável em a, e designando por � o ângulo que a tangenteà curva no ponto (a; f(a)) forma com a parte positiva do eixo das ab-cissas, tem-se f 0(a) = tan � (coe�ciente angular da tangente ou declive

39

40 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL EM RN

da recta tangente).

(iii) Se f(x) for diferenciável em todos os pontos de um conjunto I; chama-se derivada de f à função que a cada x 2 I; associa f 0(x)

�ou df

dx

�:

Passando a funções reais de�nidas em Rn; por economia de escrita restringe-se a funções de duas variáveis.

2.1 Derivação parcial de 1a ordem

De�nição 2.1.1 Seja (a; b) um ponto do domínio da função f : D � R2 !R:

(i) Fazendo y = b, obtem-se uma função de apenas uma variável f (x; b) :Se esta última função for derivável no ponto a, chama-se derivadaparcial de f em relação a x no ponto (a; b) a�

@f

@x

�(a; b) ou f 0x(a; b) = lim

h!0

f (a+ h; b)� f (a; b)h

:

(ii) De modo análogo, chama-se derivada parcial de f em relação a yno ponto (a; b) a�

@f

@y

�(a; b) ou f 0y(a; b) = lim

k!0

f (a; b+ k)� f (a; b)k

:

2.1. DERIVAÇÃO PARCIAL DE 1A ORDEM 41

(iii) Se a função f tiver derivada parcial em ordem a xem todos os pontosde A � D; chama-se derivada parcial de f em ordem a x à funçãoque a cada ponto de (x; y) 2 A associa f 0x(x; y); designando-se entãopor @f

@x ou f0x:

Analogamente se de�ne a função derivada parcial de f em ordema y; designando-se então por @f

@y ou f0y:

A de�nição anterior mostra que o cálculo das derivadas parciais se sujeitaàs regras de derivação válidas para funções de variável real.

Exemplo 2.1.2 Determinar as derivadas parciais de f(x; y) = x3 + y2 noponto (1; 2)

a) Usando a de�nição:

b) Aplicando as regras de derivação.

Resolução: a)�@f

@x

�(1; 2) = lim

h!0

f (1 + h; 2)� f (1; 2)h

= limh!0

(1 + h)3 + 4� 5h

= limh!0

1 + 3h+ 3h2 + h3 � 1h

= limh!0

�3 + 3h+ h2

�= 3:

�@f

@y

�(1; 2) = lim

k!0

f (1; 2 + k)� f (1; 2)k

= limk!0

1 + (2 + k)2 � 5k

= limk!0

4 + 4k + k2 � 4k

= limk!0

(4 + 4k) = 4:

b)�@f@x

�(x; y) = 3x2;

�@f@x

�(1; 2) = 3� 1 = 3:�

@f@y

�(x; y) = 2y;

�@f@y

�(1; 2) = 2� 2 = 4:

Generalizando a De�nição 2.1.1 a funções de n variáveis, tem-se

De�nição 2.1.3 Considere-se f : D � Rn ! R e a 2 D: Chama-sederivada parcial de f em relação à i-ésima variável (1 � i � n) aolimite �

@f

@xi

�(a) ou f 0xi(a) = lim

�!0

f (a+ � ei)� f (a)�

;

quando este exista.


2.2 Signi�cado geométrico das derivadas de 1a or-dem

Para a função f : D � R2 ! R; ao conjunto

G = f(x; y; z) : (x; y) 2 D ^ z = f (x; y)g

chama-se o grá�co de f (x; y) e os pontos de R3 que o constituemmrepre-sentam uma parte de uma superfície, sendo x a abcissa, y a ordenada ez = f (x; y) a cota de cada um dos seus pontos no referencial ortonormado.

Fazer y = b em f (x; y) corresponde a seccionar a superfície z = f (x; y)por um plano y = b, paralelo a xOz:

Tal como a função real de variável real,�@f@x

�(a; b) representa o declive

da tangente a f (x; b) no plano y = b; no ponto (a; b). De modo análogo,�@f@y

�(a; b) representa o declive da tangente a f (a; y) no plano x = a; no

ponto (a; b).

2.3 Derivadas de ordem superior

Tal como para as funções reais de variável real, é possível falar-se de derivadasde ordem superior à primeira.

Veja-se o caso de funções reais de duas variáveis, que possuem duasderivadas de 1a ordem (f 0x (x; y) e f

0y (x; y)) as quais, por sua vez, são também

funções de duas variáveis, de�nidas em conjuntos de R2:Designa-se por f

00

x2 ou@2f@x2

a derivada parcial de 2a ordem de f (x; y) duas

vezes em relação a x: Análogamente para f00

y2 ou@2f@y2

:

2.3. DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR 43

Representa-se por f00xy ou

@2f@x @y a derivada parcial de 2

a ordem de f (x; y)primeiro em ordem a x e depois em ordem a y: De modo semelhante paraf00yx ou

@2f@y @x :

A partir destas de�niremos as derivadas de 3a ordem e assimm sucessi-vamente, como sugere o esquema:

f(x; y) =

8>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>:

f 0x (x; y)

8>><>>:f00

x2 (x; y)

�f 000x3 (x; y)f 000x2y (x; y)

f00xy (x; y)

�f 000xyx (x; y)f 000xy2 (x; y)

f 0y (x; y)

8>>><>>>:f00yx (x; y)

�f 000yx2 (x; y)

f 000yxy (x; y)

f00

y2 (x; y)

(f 000y2x (x; y)

f 000y3 (x; y) :

As derivadas do tipo f00

x2 e f00

y2 designam-se por derivadas quadradas

e as do tipo f00xy e f

00yx por derivadas cruzadas ou mistas.

De uma forma análoga se de�nem as derivadas parciais de uma funçãocom três variáveis f (x; y; z) de�nidas em subconjuntos de R3:

Por exemplo, @3f@x @y @z representa a derivada parcial de 3

a ordem, primeiroem relação a x; depois a y e �nalmente em ordem a z:

Observação 2.3.1 De uma forma geral:

(i) Uma função de duas variáveis possui 2n derivadas de ordem n:

(ii) Uma função de p variáveis possui pn derivadas de ordem n:

Veja-se a título de exemplo, como se pode estender a de�nição de segun-das derivadas parciais, para uma função de duas variáveis:

Exemplo 2.3.2 Seja f : D � R2 ! R e (a; b) 2 D:

a) f00

x2 (a; b) = limh!0

f 0x(a+h;b)�f 0x(a;b)h ;

b) f00xy (a; b) = lim

k!0f 0x(a;b+k)�f 0x(a;b)

k ;

c) f00yx (a; b) = lim

h!0f 0y(a+h;b)�f 0y(a;b)

h ;


d) f00

y2 (a; b) = limk!0

f 0y(a;b+k)�f 0y(a;b)k :

Caso não seja obrigatório o recurso às de�nições anteriores, pode aplicar-se as regras de derivação para calcular as derivadas.

Exercício 2.3.3 Calcular as segundas derivadas da função

f (x; y) = x2 cos y + y3:

Resolução:

f 0x (x; y) = 2x cos y ; f00

x2 (x; y) = 2 cos y ; f00xy (x; y) = �2x seny;

f 0y (x; y) = �x2 seny + 3y2 ; f 00yx (x; y) = �2x seny ;f00

y2 (x; y) = �x2 cos y + 6y:

Exercício 2.3.4 Considere a função

f(x; y) =

8<:xy

x2+y2se (x; y) 6= (0; 0)

0 se (x; y) = (0; 0) :

Calcular: a) f00xy (0; 0) ;

b) f00yx (0; 0)

Resolução: a) É necessário utilizar a de�nição

f00xy (0; 0) = lim

k!0

f 0x (0; 0 + k)� f 0x (0; 0)k

:

Note-se que o cálculo de f 0x (0; k) pode ser realizado com recurso às regrasde derivação. Assim f 0x (0; k) =

1k :

O cálculo de f 0x (0; 0) tem que ser por de�nição

f 0x (0; 0) = limh!0

f (h; 0)� f (0; 0)h

= limh!0

0

h= 0:

Então

f00xy (0; 0) = lim

k!0

1k � 0k

= limk!0

1

k2= +1:

b) O processo é análogo ao anterior.

2.4. DERIVADA DIRECCIONAL 45

Exercício 2.3.5 Calcular @3f@x @y @x para

f (x; y) = exy � 4y2x+ 5x2y:

Exercício 2.3.6 Considere

f (x; y; z) =1p

x2 + y2 + z2:

a) Indique o domínio de de�nição de f; D

b) Mostre que@2f

@x2+@2f

@y2+@2f

@z2= 0; 8 (x; y; z) 2 D:

2.4 Derivada direccional

A de�nição de derivadas parciais de 1a ordem (De�nição 2.1.1) para funçõesf : D � R2 ! R permite concluir que as razões incrementais, quandoos limites existem, resultam de considerar acréscimos da função segundosegmentos paralelosa algum dos eixos coordenados.

Este facto sugere uma generalização do conceito de derivada parcial:derivada segundo um vector ou derivada direccional ou derivada dirigida.

De�nição 2.4.1 Seja f : D � Rn ! R de�nida num conjunto D aberto,a 2 D e v 2 Rn: chama-se derivada de f no ponto a segundo o vectorv ao limite, quando existe,

f 0v(a) = limt!0

f (a+ tv)� f (a)t

:


Observação 2.4.2 (i) A derivada de f segundo um vector v pode ser en-tendida como a derivada no ponto t = 0 da função composta entre f : D �Rn ! R e � :]�"; "[! Rn; isto é, (f � �) :]�"; "[! R; em que � é o caminhorectilíneo �(t) = a+ tv; para o qual se tem �(0) = a e �0(t) = v;8t:Nesta de�nição " é escolhido su�cientemente pequeno para que a imagem de� esteja contida em D:(ii) Quando kvk = 1 as derivadas segundo vectores costumam designar-sepor derivadas direccionais.Outra designação, é a de derivada dirigida segundo v: Esta designaçãorevela-se mais correcta pois a derivada não depende apenas da direcção dovector, mas também do seu sentido.(iii) A derivada segundo um vector é uma generalização das derivadas par-ciais. De facto se, por exemplo, em R2; consideraramos a base canónicaf�!e 1;�!e 2g ; calculando

f 0�!e 1(a) = limt!0

f (a+ t�!e 1)� f (a)t

= limt!0

f (a1 + t; a2)� f (a1; a2)t

= f 0x(a):

Analogamente para f 0�!e 2(a) = f 0y(a):

(iv) O signi�cado da derivada dirigida (kvk = 1) é análogo: f 0v(a) = tan �;sendo � ângulo formado:� pela tangente à curva que resulta da intersecção do plano perpendicular aX1OX2 que contem o vector v aplicado ao ponto a;� pelo vector v no plano X1OX2 .

Exercício 2.4.3 Calcular a derivada de f : R2 ! R dada por f (x; y) =ln�e2x + ey

�no ponto (1; 2) ; segundo uma direcção que forma com o eixo

OX um ângulo de �4 :

Resolução 2.4.4 A direcção considerada pode ser representada por váriosvectores. Vejamos dois casos:

2.4. DERIVADA DIRECCIONAL 47

a) segundo o vector v = (1; 1)

f 0v(1; 2) = limt!0

f ((1; 2) + t(1; 1))� f(1; 2)t

= limt!0

ln�e2(1+t) + e2+t

�� ln

�e2 + e2

�t

= limt!0

ln�e2+2t + e2+t

�� ln

�2e2�

t

�0

0

�= lim

t!0

2e2+2t+e2+t

e2+2t+e2+t

1=3e2

2e2=3

2:

b) segundo o vector u = (2; 2)

f 0u(1; 2) = 3 = 2� f 0v(1; 2):

Exercício 2.4.5 Prove que a derivada de f segundo um vector dependelinearmente de v: Isto é, para f : D � Rn ! R; a 2 D; f 0v(a) existe se, e sóse, f 0�v(a) existe 8� 2 Rn f0g e em caso a�rmativo

f 0�v(a) = �f 0v(a):

Resolução:

f 0�v(a) = limt!0

f (a+ t�v)� f (a)t

= �limt!0

f (a+ (t�) v)� f (a)�t

= �f 0v(a):

Observação 2.4.6 (i) Um caso particular do resultado anterior será, para� = �1

f 0�v(a) = �f 0v(a):(ii) Fixado um vector u, há vantagem em considerar a derivada segundo oversor de u := u

kuk ; de modo a obter um vector unitário, que fornece umaunidade geradora para a derivada.Isto é, para obter jf 0w(a)j com w = kv; basta fazer kwk jf 0vers v(a)j :

Exercício 2.4.7 Considere-se g : D � R2 ! R dada por

g (x; y) =

8><>:x2yx2+y2

se (x; y) 6= (0; 0)

0 se (x; y) = (0; 0) :

Prove que a derivada de g (x; y) existe segundo qualquer vector em qualquerponto de R2:


Resolução: Para (x; y) 6= (0; 0) trata-se de um cálculo directo, apli-cando a de�nição.Para (x; y) = (0; 0) tem-se

g0v(0; 0) = limt!0

g ((0; 0) + t(v1; v2))� g(0; 0)t

= limt!0

t2v21 t v2t2v21+t

2v22

tlimt!0

t3v21 v2

t3�v21 + v

22

� = v21 v2v21 + v

22

:

Então g (x; y) admite derivadas em qualquer ponto de R2 segundo qualquervector de R2.

2.5 Funções diferenciáveis. Diferencial e gradiente

Atente-se no seguinte exercício:


f (x; y) =

�x+ y se x = 0 _ y = 01 se x 6= 0 ^ y 6= 0:

a) Mostre que f tem derivadas parciais �nitas em (0; 0):b) Prove que f não é contínua em (0; 0):

Resolução: a) f 0x (0; 0) = limh!0

f(h;0)�f(0;0)h = lim

h!0h�0h = 1:

f 0y (0; 0) = limk!0

f(0;k)�f(0;0)k = lim

k!0kk = 1:

b) limx!0y=0

f(x; y) = limx!0y=0

f(x; 0) = limx!0y=0

x = 0;

limx!0

y=mx (m6=0)

f(x; y) = limx!0

y=mx (m6=0)

f(x;mx) = 1:

Logo, não existe limx!0y!0

f(x; y); pelo que f não é contínua em (0; 0):

Observação 2.5.2 A existência de derivadas parciais �nitas num pontonão implica a continuidade nesse ponto. No entanto implica a continuidaderelativamente a cada variável.O mesmo acontece com as derivadas segundo um vector, conforme se com-prova no exercício seguinte.

2.5. FUNÇÕES DIFERENCIÁVEIS. DIFERENCIAL E GRADIENTE 49

Exercício 2.5.3 Seja g : R2 ! R uma função de�nida por

g (x; y) =

8><>:x3yx6+y2

se (x; y) 6= (0; 0)

0 se (x; y) = (0; 0) :

a) Prove que existem derivadas direccionais �nitas de g em (0; 0):b) Mostre que g é descontínua em (0; 0):

Resolução: a)

g0v(0; 0) = limt!0

g ((0; 0) + t(v1; v2))� g(0; 0)t

= limt!0

t3v31 t v2t6v61+t

2v22

tlimt!0

tv31 v2t4v61 + v

22

= 0:

b)

limx!0y =x3

g(x; y) = limx!0y =x3

x6

x6 + x6=1

26= g (0; 0) :

Assim, mesmo que o limite exista, será 12 6= g (0; 0) : Então g(x; y) não é

contínua em (0; 0):

A hipótese de existência das derivadas segundo qualquer vector, ou, emparticular, das derivadas parciais, embora fraca, não é desprovida de utili-dade. Entre outras, permite demonstrar o teorema seguinte, que constitui ageneralização do Teorema de Lagrange a funções de mais de uma variável:

Teorema 2.5.4 (Teorema do valor médio ou dos acréscimos �nitos) Sejaf : D � Rn ! R de�nida num conjunto aberto D: Suponhamos que [a; a+ v] �D; que f é contínua em [a; a+ v] e que existe a derivada de f segundo ovector v; f 0v(x); para todo o ponto x 2 ]a; a+ v[.Então, existe � 2 ]0; 1[ tal que

f (a+ v)� f(a) = f 0v(a+ �v):

Dem. De�na-se a função real de variável real � : [0; 1] ! R dada por�(t) = f(a+ tv):

Note-se que �(0) = f(a) e �(1) = f(a+ v):

Pelas hipóteses sobre f , a função � é contínua em [0; 1] e diferenciável em]0; 1[ : Pelo Teorema de Lagrange para funções de uma variável real, existe


� 2 ]0; 1[ tal que

f (a+ v)� f(a) =�(1)� �(0)1� 0 = �0(�) = lim

t!0

� (� + t)� � (�)t

= limt!0

f(a+ (� + t) v)� f(a+ �v)t

= f 0v(a+ �v):

Para recuperar a relação entre diferenciabilidade e continuidade é necessáriouma nova de�nição de função diferenciável:

De�nição 2.5.5 Considere-se uma função f : D � Rn ! R; D um con-junto aberto e a 2 D:

(i) A função f diz-se diferenciável no ponto a se existirem constantes�1; :::; �n 2 R tais que, para todo o vector h = (h1; :::; hn) 2 Rn setenha

f(a+ h)� f(a) = h1�1 + � � �+ hn�n + "�;com � =

ph21 + � � �+ h2n e lim�!0" = 0:

(ii) Se f é diferenciável em todos os pontos de D, diz-se simplesmente quef é diferenciável.

Observação 2.5.6 a) Resulta da de�nição anterior que se é diferenciávelem a 2 D � Rn então:

� f é contínua em a; porque limh1!0...

hn!0

f(a+ h) = f(a):

� f admite derivadas parciais de 1a ordem em a, com

f 0x1(a) = limh1!0

f (�1 + h1; �2; :::; �n)� f(a)h1

= limh1!0

�1h1 + "�

h1

= limh1!0

�1h1 + " jh1jh1

= �1:

Analogamente se prova que f 0xi(a) = �i; i = 1; :::; n:

b) Note-se que a recíproca da alínea anterior não é verdadeira.Veja-se o contra-exemplo da função f : R2 ! R dada por f(x; y) =pjxyj e de�nida em todo o plano.

A função f(x; y) :


� admite derivadas parciais na origem�f 0x(0; 0) = f 0y(0; 0) = 0

�;

� é contínua em (0; 0); pois

8� > 0 9" > 0 : 8 (x; y) ;px2 + y2 < " =) jf(x; y)� 0j < �

e pjxyj =

pjxj jyj �

qpx2 + y2

px2 + y2 =

px2 + y2 < " < �:

� não é diferenciável em (0; 0); pois

f (0 + h1; 0 + h2)� f(0; 0) = h1f0x(0; 0) + h2f

0y(0; 0) + "�

com � =ph21 + h

22: Assim f (h1; h2) = "� e então

" =

pjh1h2jph21 + h

22

:

Para veri�car se limh1!0h2 !0

" = 0; note-se que

limh1!0h2=mh1

" = limh1!0h2=mh1

pjmjh21p

h21 +m2h21

= limh1!0h2=mh1

pjmj jh1jp

1 +m2 jh1j=

pjmjp

1 +m2:

Logo este limite não existe.

c) Na prática, a diferenciabilidade traduz que a função pode ser aprox-imada, na vizinhança de a, por uma função linear h1�1+ � � �+hn�n+f(a); com um erro desprezável em comparação com �

�lim�!0

" = 0

�:

Exercício 2.5.7 Estude a função f : D � R2 ! R dada por

f (x; y) =

8><>:x3yx2+y2

se (x; y) 6= (0; 0)

0 se (x; y) = (0; 0) ;

quanto à diferenciabilidade no ponto (0; 0):


Resolução: Pretende-se veri�car se f (h1; h2) � f(0; 0) = h1f0x(0; 0) +

h2f0y(0; 0)+"�; com � =

ph21 + h

22 e lim�!0

" = 0: Como f 0x(0; 0) = f 0y(0; 0) = 0;

tem-seh31h2h21 + h

22

= "qh21 + h

22; pelo que " =

h31h2�h21 + h

22

� 32

:

Para veri�car se lim�!0

" = 0; temos

�� h31h2�h21 + h

22

� 32

�� =

��h31�� jh2j�h21 + h

22

� 32

�

�ph21 + h

22

�3ph21 + h

22�

h21 + h22

� 32

=qh21 + h

22 < � < �:

Então lim�!0

" = 0; pelo que f (x; y) é diferenciável em (0; 0) :

Em face da Observação 2.5.6 a), a diferenciabilidade de uma funçãof : D � Rn ! R; com D aberto, no ponto a pode reescrever-se relacionandoas constantes �i com as derivadas parciais no ponto a :

Teorema 2.5.8 A função f : D � Rn ! R é diferenciável em a se, e sóse, nalguma vizinhança desse ponto se tiver, para h = (h1; :::; hn) ;

f(a+ h)� f(a) = h1f0x1(a) + � � �+ hnf

0xn(a) + "�;

com � =ph21 + � � �+ h2n e lim�!0" = 0:

Dem. Aplicar a Observação 2.5.6 na De�nição 2.5.5.O acréscimo representado pelo primeiro membro depende não só do

ponto a, mas também do vector h = (h1; :::; hn) ; o mesmo acontecendoà soma h1f 0x1(a) + � � � + hnf

0xn(a); que dará um valor aproximado desse

acréscimo.

De�nição 2.5.9 À soma h1f 0x1(a) + � � � + hnf0xn(a) chamamos diferencial

da função f : D � Rn ! R no ponto a; relativo ao vector h = (h1; :::; hn) ;e escreve-se

(df)h (a) = h1f0x1(a) + � � �+ hnf

0xn(a):

De�nição 2.5.10 Seja f : D � Rn ! R uma diferenciável num conjuntoaberto D: Ao operador

nXi=1

@f

@xiei

chama-se gradiente de f e representa-se por grad f ou rf:


Observação 2.5.11 Uma consequência imediata desta de�nição é que oescalar de�nido na De�nição 2.5.9 pode escrever-se, para h = (h1; :::; hn) ;

(df)h (a) = (grad f) (a) j h:

Na Observação 2.5.6 provou-se que a recíproca da implicação

f é diferenciável em x =) f é contínua em x

não é verdadeira. No entanto, há toda a vantagem em estabelecer condiçõessu�cientes de diferenciabilidade:

Teorema 2.5.12 Se a função f : D � Rn ! R admite derivadas parciaisde 1a ordem, então f é diferenciável em todos os pontos em que n�1 dessasderivadas sejam contínuas.

Dem. Limitando-nos a R2 considere-se a igualdade

f (a1 + h1; a2 + h2)� f(a1; a2) = [f (a1 + h1; a2 + h2)� f (a1 + h1; a2)]+ [f (a1 + h1; a2)� f(a1; a2)] :

Note-se que:

� Atendendo à de�nição de derivada (De�nição 2.1.1), a segunda parcelado segundo membro pode escrever-se

f (a1 + h1; a2)� f(a1; a2) = h1�f 0x1(a1; a2) + "1

�;

com limh1!0

"1 = 0;

� Pelo Teorema 2.5.4 aplicado à 2a variável, na primeira parcela, tem-se

f (a1 + h1; a2 + h2)� f (a1 + h1; a2) = h2�f 0x2(a1 + h1; a2) + �h2

�:

Assim,

f (a1 + h1; a2 + h2)� f(a1; a2) = h1�f 0x1(a1; a2) + "1

�+h2

�f 0x2(a1 + h1; a2 + �h2)

�;

com 0 < � < 1 e limh1!0

"1 = 0:

Por hipótese, pelo menos uma das derivadas é contínua. Suponhamosque f 0x2 é contínua em (a1; a2):


Entãof 0x2(a1 + h1; a2 + �h2) = f 0x2(a1; a2) + "2;

com lim(h1;h2)!(0;0)

"2 = 0: Então

f (a1 + h1; a2 + h2)� f(a1; a2)= h1

�f 0x1(a1; a2) + "1

�+ h2

�f 0x2(a1; a2) + "2

�= h1f

0x1(a1; a2) + "1h1 + h2f

0x2(a1; a2) + "2h2:

Como se veri�ca que lim(h1;h2)!(0;0)

("1h1 + "2h2) = 0; então f é diferen-

ciável em (a1; a2):

Se se admitisse que f 0x1 fosse contínua então a demonstração começariacom a igualdade

f (a1 + h1; a2 + h2)� f(a1; a2)= [f (a1 + h1; a2 + h2)� f (a1; a2 + h2)] + [f (a1; a2 + h2)� f(a1; a2)]= h1f

0x1(a1 + �h1; a2 + h2) + h2

�f 0x2(a1; a2) + "2

�:

A demonstração para uma função de n variáveis é análoga, incremen-tando uma variável de cada vez e admitindo a continuidade numa delas.

De�nição 2.5.13 Uma função f : D � Rn ! R diz-se de classe Cr;r 2 N0; num conjunto S � D; e representa-se por f 2 Cr(S); se admitederivadas parciais contínuas até à ordem r; em todos os pontos de S:

Do teorema anterior resulta que:

Corolário 2.5.14 Toda a função de classe C1 é diferenciável.

Dem. Se f 2 C1 então @f@xi; i = 1; :::; n, são contínuas. Logo, pelo

Teorema 2.5.12, f é diferenciável.As condições do Teorema 2.5.12 e do Corolário 2.5.14 são su�cientes mas

não necessárias, como se pode comprovar pelo exercício seguinte:

Exercício 2.5.15 Mostre que a função f : R2 ! R dada por

f(x; y) =

8>>>><>>>>:x2sen

�1x

�+ y2sen

�1y

�se xy 6= 0

x2sen�1x

�se x 6= 0 ^ y = 0

y2sen�1y

�se x = 0 ^ y 6= 0

0 se (x; y) = (0; 0)


é diferenciável na origem apesar de nenhuma das derivadas parciais aí sercontínua.

Resolução: Da igualdade

f (h1; h2)� f(0; 0) = h1f0x(0; 0) + h2f

0y(0; 0) + "�;

e como

f 0x(0; 0) = limh1!0

f (h1; 0)� 0h1

= limh1!0

h21sen�1h1

�h1

= 0 = f 0y(0; 0);

resulta

h21sen

�1

h1

�+ h22sen

�1

h2

�= "�

e

" =h21sen

�1h1

�+ h22sen

�1h2

�ph21 + h

22

:

Basta agora provar, por de�nição, que lim(h1;h2)!(0;0)

" = 0; isto é,

8� > 0;9� > 0 :qh21 + h

22 < � ) j"� 0j < �:

Ora, como��h21sen

�1h1

�+ h22sen

�1h2

�ph21 + h

22

�� h21 + h22p

h21 + h22

�qh21 + h

22 < �;

basta tomar � < � para que j"j < �: Entao lim(h1;h2)!(0;0)

" = 0; pelo que f é

diferenciável em (0; 0):Por outro lado

f 0x(x; 0) = 2xsen

�1

x

�+ x2

�� 1

x2

�cos

�1

x

�= 2xsen

�1

x

�� cos

�1

x

�:

Quando x ! 0 ^ y = 0; não existe lim f 0x; pelo que f0x não é contínua em

(0; 0):Analogamente para lim

y!0x=0

f 0y:

Exercício 2.5.16 Considere a função f(x; y) = (lnx)py:


a) Estude f quanto à diferenciabilidade.

b) Calcule, recorrendo ao diferencial, um valor aproximado de f (1:07; 3:98) :

Resolução: a) Domínio de f

Df =�(x; y) 2 R2 : x > 0 ^ y � 0

:

Como @f@x =

1x

py e @f

@y = (lnx)12py ; pelo Teorema 2.5.12, f(x; y) é diferen-

ciável num conjunto que contenha�(x; y) 2 R2 : x > 0 ^ y > 0

;

pelo que neste conjunto, pelo menos uma das derivadas é contínua.b)

f (1 + 0:07; 4� 0:02)� f(1:4) =@f

@x(1:4)� 0:07 + @f

@y(1:4)� (�0:02)

= 2� 0:07 + 0 = 0:14:

Pode demonstrar-se que se uma função real f é diferenciável então:

� f admite derivada segundo qualquer vector u;

� f 0u(a) identi�ca-se com o diferencial, ou seja, é combinação linear dasderivadas parciais, fornecendo uma regra prática para o determinar:

Teorema 2.5.17 Se f : D � Rn ! R é diferenciável em a 2 D; conjuntoaberto, então, para qualquer u = (u1; :::; un) ;

f 0u(a) = f 0x1(a)� u1 + :::+ f0xn(a)� un = (df)u (a)

ou seja,f 0u(a) = (df)u (a) = (grad f) (a) j u:

Dem. Pela de�nição de derivada segundo um vector, De�nição 2.4.1,

f 0u(a) = limt!0

f (a+ tv)� f (a)t

= limt!0

tu1f0x1(a) + � � �+ tunf

0xn(a) + "�

t:


Como � =pt2u21 + � � �+ t2u2n = jtj kuk ; temos

f 0u(a) = limt!0

t�u1f

0x1(a) + � � �+ unf

0xn(a)� " kuk

�t

= limt!0

u1f0x1(a) + � � �+ unf

0xn(a)� " kuk

= u1f0x1(a) + � � �+ unf

0xn(a) = (df)u (a)

=�f 0x1 ; � � � ; f

0xn

�(a) j (u1; :::; un) = (grad f) (a) j u:

Este processo de escrever a derivada direccional permite uma interpre-tação geométrica quando kuk = 1, ou seja, neste caso é possível atribuir umsigni�cado geométrico ao gradiente:

Suponha-se que (grad f) (a) 6= 0 e designe-se por � o ângulo entre rf(a)e u:

Pelo Teorema 2.5.17,

f 0u(a) = (grad f) (a) j u = krf(a)k kuk cos � = krf(a)k cos �:

Então

cos � =f 0u(a)

krf(a)k ;

pelo que f 0u(a) é a componente do vector gradiente na direcção de u:Como consequência, registemos que:

1. f 0u(a) toma o valor máximo quando cos � = 1; isto é, quando � = 0; ouainda, quando os vectores rf(a) e u têm a mesma direcção e sentido.Análogamente, toma o valor mínimo se � = �; isto é, se os vectoresrf(a) e u têm a mesma direcção mas sentidos opostos.


2. Se rf(a) é perpendicular a u então f 0u(a) = 0:

A partir do conceito de diferenciabilidade pode-se garantir a simetria dasderivadas mistas, facilitando o seu cálculo:

Teorema 2.5.18 (Teorema de Scharwz) Seja f : D � Rn ! R uma funçãoreal de n > 1 variáveis reais. Então as derivadas de 2a ordem f 00xjxi e f

00xixj

são iguais em todos os pontos em que f 0xi e f0xj sejam diferenciáveis.

Dem. Façamos a demonstração para duas variáveis, já que para n > 2variáveis o processo é análogo.

De�na-se a expressão

�2f : = [f (a1 + h; a2 + h)� f(a1 + h; a2)]� [f (a1; a2 + h2)� f (a1; a2)]= [f (a1 + h; a2 + h)� f (a1; a2 + h)]� [f (a1 + h; a2)� f (a1; a2)]

e provar-se-á que �2fh2

tende, quando h ! 0; quer para f 00x1x2 (a1; a2) querpara f 00x2x1 (a1; a2) (e pela unicidade do limite prova-se a igualdade entre asderivadas mistas.

De�nindo' (x1) := f (x1; a2 + h)� f (x1; a2)

e (x2) := f (a1 + h; x2)� f (a1; x2) ;

pode escrever-se

�2f = ' (a1 + h)� ' (a1) = (a2 + h)� (a2) :

Pelo Teorema dos Acréscimos �nitos para funções de uma variável tem-seque

' (a1 + h)� ' (a1) = '0 (a1 + �1h)h

(a2 + h)� (a2) = 0 (a2 + �2h)h;

com 0 < �1; �2 > 1; e, portanto,

�2f

h= '0 (a1 + �1h) = 0 (a2 + �2h) :

Atendendo ao modo como se de�niu '; temos

�2f

h= f 0x1 (a1 + �1h; a2 + h)� f

0x1 (a1 + �1h; a2)

=�f 0x1 (a1 + �1h; a2 + h)� f

0x1 (a1; a2)

��f 0x1 (a1 + �1h; a2)� f

0x1 (a1; a2)

�:


Utilizando a diferenciabilidade de f 0x1 em (a1; a2) ; tem-se

�2f

h=

h�1h f

00x21(a1; a2) + hf

00x1x2 (a1; a2) + o(h)

i�h�1h f

00x21(a1; a2) + o(h)

i= hf 00x1x2 (a1; a2) + o(h):

De uma forma análoga prova-se que

�2f

h= 0 (a2 + �2h)

e a diferenciabilidade de f 0x2 em (a1; a2) ; conduzem a

�2f

h= hf 00x2x1 (a1; a2) + o(h):

Então

limh!0

�2f

h2= f 00x1x2 (a1; a2) = f 00x2x1 (a1; a2) :

O teorema anterior apenas garante a simetria das derivadas pontual-mente, conforme se ilustra no exercício seguinte:


f (x; y) =

8><>:xy(x2�y2)x2+y2

se (x; y) 6= (0; 0)

0 se (x; y) = (0; 0) :

a) Calcule @f@x (0; y) e

@f@y (x; 0):

b) Prove que@2f

@x@y(0; 0) 6= @2f

@y@x(0; 0):

Quando se pode garantir que as derivadas mistas são iguais:

Corolário 2.5.20 Se f : D � Rn ! R for de classe C2 então

f 00xixj = f 00xjxi ; 8i; j = 1; :::; n:


Dem. Se f é de classe C2 então as várias derivadas de 1a ordem, f 0xi(i = 1; :::; n) são de classe C1 (De�nição 2.5.13).

Logo f 0s~aoxi funções diferenciáveis (Corolário 2.5.14) e, pelo Teorema deSchwarz, Teorema 2.5.18,

f 00xixj = f 00xjxi ; 8i; j = 1; :::; n:

O Teorema de Schwarz pode aplicar-se para derivadas mistas de ordemsuperior à segunda:

Corolário 2.5.21 Se f : D � Rn ! R for de classe Cr (r 2 N0) então éindiferente a ordem de derivação até à ordem r:

Dem. O resultado obtem-se provando sucessivamente que a igualdadese veri�ca para dois elementos sucessivos��

f (p)�00�i;�i+1

�(q)=

��f (p)

�00�i+1;�i

�(q);

cpm p+ q + 2 � r:Veja-se o exemplo:

Exemplo 2.5.22 Seja D � R2 um aberto e f : D � R2 ! R uma função 3vezes diferenciável em D: Há 6 derivadas de 3a ordem para f :

@3f

@x2@y;

@3f

@x@y@x;@3f

@y@x2;

@3f

@y2@x;

@3f

@y@x@y;@3f

@x@y2;

mas apenas duas delaspodem ser diferentes, pois as derivadas da primeiralinha são iguais, bem com as da segunda linha.Com efeito, pelo Teorema de Schwarz, Teorema 2.5.18,

@3f

@x2@y=

@

@x

�@2f

@x@y

�=

@

@x

�@2f

@y@x

�=

@3f

@x@y@x:

Por outro lado

@3f

@x@y@x=

@

@x

�@

@y

�@f

@x

��=

@2g

@x@y=

@2g

@y@x

=@

@y

�@

@x

�@f

@x

��=

@3f

@y@x2:

Para as outras derivadas o processo é análogo.

2.6. FUNÇÕES VECTORIAIS 61

2.6 Funções vectoriais

Estamos agora em condições de generalizar as condições anteriores ao casogeral de funções f : D � Rn ! Rm; as quais se podem escrever na forma8><>:

y1 = f1 (x1; :::; xn)...

...ym = fm (x1; :::; xn) :

Comecemos pela derivada segundo um vector.A expressão

f 0u(a) = limt!0

f (a+ tu)� f (a)t

pode desdobrar-se em m igualdades, uma para cada componente de f :

�f 0i�u(a) = lim

t!0

fi (a+ tu)� fi (a)t

:

Supondo diferenciáveis todas as funções fi : D � Rn ! R; o Teorema2.5.17 permite escrever, representando os vectores de Rm e Rn por matrizescolunas,

f 0u(a) =

264 f1...fm

3750

(a) =

264@f1@x1

: : : @f1@xn

......

@fm@x1

� � � @fm@xn

375 (a)264 u1

...un

375 :Da Álgebra Linear é conhecido que, �xadas bases em Rm e Rn (bases

canónicas) a matriz m � n da igualdade anterior representa um operadorlinear Da : Rn ! Rm pelo que se pode escrever

f 0u(a) = Dau:

De�nição 2.6.1 Seja f : X � Rn ! Rm; uma função de componentesyi = fi (x1; :::; xn) (com coordenadas dadas nas bases canónicas dos espaços)e a um ponto interior de X:

Ao operador linear Da : Rn ! Rm de�nido pela matriz Ja =h@fi@xi

ichama-

se derivada de f no ponto a e designa-se por matriz jacobiana dosistema yi = fi (x1; :::; xn) ; i = 1; :::;m:Quando m = n, o determinante de J diz-se o jacobiano da função f edesigna-se por @(f1;:::;fn)

@(x1;:::;xn ):


A relação entre os conceitos de derivada e de diferencial estabelece-se domesmo modo que o estudado para o caso m = 1:

De�nição 2.6.2 Seja a um ponto interior do domínio da função f : D �Rn ! Rm:

(i) Diz-se que f é diferenciável em a quando nalguma vizinhança desteponto, a função se representa na forma

f (a+ u)� f(a) = Lau+ o (kuk) ;

sendo La um operador linear de Rn em Rm e o (kuk) um vector de Rmtal que

limkuk!0

o (kuk)kuk = 0:

(ii) Ao operador La =(df) (a) chama-se diferencial de f no ponto a:

(iii) À aplicação linear Lau =(df)u (a) chama-se diferencial de f no pontoa relativo ao vector u:

Tal como para o caso de m = 1 (Teorema 2.5.17), temos:

Teorema 2.6.3 Se f : D � Rn ! Rm é diferenciável em a; então, 8u 2 Rn;

(df)u (a) = f 0u (a) = f 0 (a) j u = Ja � U;

sendo U a matriz coluna referente a u:

Dem. ExercícioSugestão: Com as notações da de�nição de matriz jacobiana, provar que

cada funçao componente fi de f , é diferenciável.O operador La da De�nição 2.6.2 é representado pela matriz jacobiana.

Exercício 2.6.4 Considere a função f : D � R3 ! R3 dada por

f(x; y; z) =

8<:y1 = 2x+ 3y

2 + 2zy2 = x� cos yy3 = 2y + tan z:

a) Calcule a matriz jacobiana e o jacobiano.

2.7. REGRA DE DERIVAÇÃO DE FUNÇÕES COMPOSTAS 63

b) Determine a derivada de f no ponto�1; �2 ;

�4

�segundo o vector u =

(2;�1; 3) :

Resolução:

Resolução 2.6.5

a)

J =

264@y1@x

@y1@y

@y1@z

@y2@x

@y2@y

@y2@z

@y3@x

@y3@y

@y3@z

375 =24 2 6y 21 seny 00 2 sec2 z

35 :jJ j = 2 seny sec2 z + 4� 6y sec2 z:

b)

f 0(2;�1;3)

�1;�

2;�

4

�= J(1;�2 ;

�4 )� (2;�1; 3)T

=

24 2 3� 21 1 00 2 2

3524 2�13

35 =24 10� 3�1

4

35ou (10� 3�)�!e 1 +�!e 2 + 4�!e 3:

2.7 Regra de derivação de funções compostas

Estudada a diferenciabilidade pode-se construir uma regra para derivarfunções compostas.

Num caso geral temos

g : A � Rn ! g(A) � B � Rm e f : B � Rm ! Rq:

Como derivar a função composta u = f � g ?Comecemos pelo caso particular de n = 1; m = 2; q = 1; isto é

f : R2 ! R e g : R! R2;

uma função u com duas variáveis mas em que cada uma delas dependeapenas de uma variável.


Teorema 2.7.1 Seja u(t) a função real de variável real que resulta de secompor z = f(x; y) de�nida em D � R2 com x = '(t) e y = (t) ambasde�nidas num intervalo I � R (com '(t) e (t) � D)) (u(t) = f('(t); (t))) :Se '(t) e (t) são diferenciáveis num ponto t0 2 I e f é diferenciável em(a; b) = ('(t0); (t0)) então a função composta também é diferenciável emt0 e

du

dt(t0) =

@f

@x(a; b)

d'

dt(t0) +

@f

@y(a; b)

d

dt(t0) :

Dem. Escrevendo u(t) = f('(t); (t)); tem-se

u(t0 + h)� u(t0) = f ['(t0 + h); (t0 + h)]� f ['(t0); (t0)]= f ['(t0 + h)� '(t0) + '(t0); (t0 + h)� (t0) + (t0)]

�f ['(t0); (t0)]= f (a+�'; b+� )� f(a; b);

com�' = '(t0 + h)� '(t0) e � = (t0 + h)� (t0):

Pela diferenciabilidade de f; ' e (ver Teorema 2.5.8), com � =q(�')2 + (� )2

tem-se que

u(t0 + h)� u(t0) = f (a+�'; b+� )� f(a; b)= f 0x(a; b)�'+ f

0y(a; b)� + o(�)

= f 0x(a; b)�h'0(t0) + o(h)

�+ f 0y(a; b)

�h 0(t0) + o(h)

�+ o(�)

= h�f 0x(a; b)'

0(t0) + f0y(a; b)

0(t0)�+ o(h):

Note-se que o(�) é um o(h) porque

o(�)

h=o(�)

�

�

h! 0 quando h! 0;

pois �h é limitado pois

�

h=

s��'

h

�2+

��

h

�2=

s�'(t0 + h)� '(t0)

h

�2+

� (t0 + h)� (t0)

h

�2=

q('0(t0))

2 +� 0(t0)

�2


é �nito porque '(t) e (t) são diferenciáveis.Logo

u0(t0) = limh!0

u(t0 + h)� u(t0)h

= f 0x(a; b)'0(t0) + f

0y(a; b)

0(t0):

A regra dada pelo teorema anterior pode escrever-se, para z = f(x; y);

dz

dt(t0) =

@z

@x(a; b)

dx

dt(t0) +

@z

@y(a; b)

dy

dt(t0) ;

ou, na forma matricial

�u0(t0)

�=h

@f@x

@f@y

i(a;b)

� d'dtd dt

�(t0)

:

Pode resumir-se a derivada pela seguinte cadeis (regra da cadeia)

u��

x = '

y =

�� t .

Analise-se o caso em que z = f(x; y) é diferenciável em (a; b) e x = '(s; t)e y = (s; t) são funções diferenciáveis em (s0; t0); com a = '(s0; t0) eb = (s0; t0); ou seja o caso em que n = 2; m = 2; q = 1:

Procedendo como no teorema anterior, escreve-se

u(s; t) = f ['(s; t); (s; t)] (2.7.1)

e obtem-se, para

�' = '(s0 + h; t0 + h)� '(s0; t0),� = (s0 + h; t0 + h)� (s0; t0);

� =

q(�')2 + (� )2;


u(s0 + h; t0 + h)� u(s0; t0)= f ['(s0 + h; t0 + h); (s0 + h; t0 + h)]� f ['(s0; t0); (s0; t0)]= f (a+�'; b+� )� f(a; b)= f 0x(a; b)�'+ f

0y(a; b)� + o(�)

= f 0x(a; b)�h'0s(s0; t0) + k'

0t(s0; t0) + o(�)

�+f 0y(a; b)

�h 0s(s0; t0) + k

0t(s0; t0) + o(�)

�+ o(�)

= h�f 0x(a; b)'

0s(s0; t0) + f

0y(a; b)

0s(s0; t0)

�+k�f 0x(a; b)'

0t(s0; t0) + f

0y(a; b)

0t(s0; t0)

�+ o(�):

Esta igualdade permite não só garantir a diferenciabilidade de u em(s0; t0) mas também obter a expressão das derivadas parciais @u

@s e@u@t no

ponto (s0; t0):Considerando as derivadas num ponto genérico (s; t) tem-se

@u

@s=

@f

@x(x; y) � @'

@s+@f

@y(x; y) � @

@s;

@u

@t=

@f

@x(x; y) � @'

@t+@f

@y(x; y) � @

@t:

Em notação matricial�@u@s

@u@t

�=h

@f@x

@f@y

i � @'@s

@'@t

@ @s

@ @t

�;

ou resumindo na regra da cadeia

Finalmente considere-se o caso em que todas as funções envolvidas sãovectoriais:

Teorema 2.7.2 Seja g uma função de domínio A � Rn e contradomíniog(A) � B � Rm; e f : B � Rm ! Rq:Designe-se por u = f � g a função composta de g e f:Se g é diferenciável em a e f é diferenciável em b = g(a) então u = f � g édiferenciável em a e

(f � g)0 (a) = f 0 [g(a)] � g0(a):


Dem. Represente-se g(x) = y; z = f(y) e u(x) = (f � g) (x) = f [g(x)] :Desdobrando cada uma destas funções nas suas componentes tem-se8><>:

u1(x) = f1 [g(x)] = f1 [g1(x); :::; gm(x)]...

uq(x) = fq [g(x)] = fq [g1(x); :::; gm(x)] :

Aplicando o Teorema 2.7.1 a cada uma das componentes ui(x); prova-se queas funções ui; i = 1; :::; q; são diferenciáveis.

Então a função u também é diferenciável e tem-se264@u1@x1

� � � @u1@xn

......

@uq@x1

� � � @uq@xn

375(a)

=

2664@f1@y1

� � � @f1@ym

......

@fq@y1

� � � @fq@ym

3775(g(a))

264@g1@x1

� � � @g1@xn

......

@gm@x1

� � � @gm@xn

375(a)

:

Como cada uma destas matrizes jacobianas representa (nas bases canónicasde Rn;Rm e Rq), pode escrever-se

(f � g)0 (x) = f 0 [g(x)] � g0(x):

Exercício 2.7.3 Considere f : R2 ! R dada por

f(x; y) = 2x2 � y2:

a) Para x = '(t) = sen t e y = (t) = cos t; calcular dudt ; designando por

u(t) = f (x; y) = f ('(t); (t)) :

b) Para x = '(s; t) = sen (st) e y = (s; t) = cos (st) ; calcular @u@t e

@u@s ;

designando por u(s; t) = f (x; y) = f ('(s; t); (s; t)) :

Resolução: a) Uma possível resolução será

du

dt=

@f

@x

dx

dt+@f

@y

dy

dt= 4x cos t+ 2y sen t

= 4sen t cos t+ 2 cos t sen t = 6 sen t cos t

= 3 sen (2t) :

b)

@u

@t=

@f

@x

@x

@t+@f

@y

@y

@t= 4x s cos (st) + 2y s sen (st)

= 4sen (st) s cos (st) + 2 cos (st) s sen (st)

= 6 sen (st) s cos (st) = 3s sen (2st) :


@u

@s=

@f

@x

@x

@s+@f

@y

@y

@s= 4x t cos (st) + 2y t sen (st)

= 6 t sen (st) cos (st)

= 3t sen (2st) :

Exercício 2.7.4 Seja g : R3 ! R dada por

g(x; y; z) = 3x+ 4y + cos z;

comx = t3 + es; y = arctan(st) + sen(t2) e z = 3t2;

Calcular @u@t e

@u@s ; sendo u(s; t) = g(x; y; z):

Resolução: Grá�camente temos

Então@u

@s=@g

@x

@x

@s+@g

@y

@y

@s= 3 es + 4

t

1 + (st)2;

@u

@t=

@g

@x

@x

@t+@g

@y

@y

@t+@g

@z

@z

@t

= 3 3t2 + 4

�s

1 + (st)2+ 2t cos(t2)

�� sen(z) 6t

= 9t2 +4s

1 + (st)2+ 8t cos(t2)� 6t sen(3t2).

2.8 Derivada de uma função composta de ordemsuperior

Para fufunções vectoriais f : D � Rn ! Rm (m > 1) a função derivada def (que a cada x 2 D1 � D associa f 0(x)) é uma aplicação linear e limitada,conforme indicado na De�nição 2.6.1,

f 0 : D1 � Rn ! B (Rn;Rm) ;

2.8. DERIVADADE UMA FUNÇÃOCOMPOSTADEORDEM SUPERIOR69

dada pela matriz jacobiana e denotando B (Rn;Rm) o conjunto dos oper-adores lineares limitados de Rn em Rm:

Note que o conjunto de chegada já não é Rm; como o era para f e paraf 0u mas sim B (Rn;Rm) :

Assim ao considerar derivadas de ordem superior à primeira, surgemespaços cada vez mais "afastados de Rm: Por exemplo

f : D � Rn ! Rm;f 0 : D1 � D � Rn ! B (Rn;Rm) ;f 00 : D2 � D1 � D � Rn ! B (Rn;B (Rn;Rm)) ; :::

Neste curso só consideraremos derivadas de ordem superior à primeirasegundo vectores. E, neste caso, podemos limitar-no a funções com valoresem R; pois para f : D � Rn ! Rm a derivada f 0u obtem-se à custa das suascomponentes (fi)

0u ; com fi funções reais.

Desta forma, limitando-nos a f : Rn ! R a regra de derivação defunções compostas pode estender-se a derivadas parciais de ordem superiorà primeira.

Considerando a função u(t) = f('(t); (t)); de�nida no Teorema 2.7.1,e admitindo -se que existem as derivadas de 2a ordem envolvidas, obtem-sea igualdade

du

dt=@f

@x

d'

dt+@f

@y

d

dt

que

d2u

dt2=

d

dt

�@f

@x

�d'

dt+@f

@x

d2'

dt2+d

dt

�@f

@y

�d

dt+@f

@y

d2

dt2: (2.8.1)

Considerando que @f@x e

@f@y são funções de x e y que, por sua vez, são

funções de t; aplica-se a derivada da função composta dada pelo Teorema2.7.1, isto é,

d

dt

�@f

@x

�=@2f

@x2d'

dt+

@2f

@x@y

d

dt

ed

dt

�@f

@y

�=

@2f

@y@x

d'

dt+@2f

@y2d

dt:

Substituindo em (2.8.1), obtem-se a regra para obter a 2a derivada da função


composta u :

d2u

dt2=

�@2f

@x2d'

dt+

@2f

@x@y

d

dt

�d'

dt+@f

@x

d2'

dt2

+

�@2f

@y@x

d'

dt+@2f

@y2d

dt

�d

dt+@f

@y

d2

dt2:

No caso da função u(s; t) = f ['(s; t); (s; t)] de�nida em (2.7.1), ad-mitindo -se a existência das respectivas derivadas de 2a ordem, obtem-se apartir da igualdade

@u

@s=@f

@x

@'

@s+@f

@y

@

@s

que

@2u

@s2=

@

@s

�@f

@x

�@'

@s+@f

@x

@2'

@s2+

@

@s

�@f

@y

�@

@s+@f

@y

@2

@s2

=

�@2f

@x2@'

@s+

@2f

@x@y

@

@s

�@'

@s+@f

@x

@2'

@s2

+

�@2f

@y@x

d'

ds+@2f

@y2d

ds

�@

@s+@f

@y

@2

@s2;

e de modo análogo para @2u@s@t :

Da igualdade@u

@t=@f

@x

@'

@t+@f

@y

@

@t

obtem-se

@2u

@t@s=

@

@s

�@f

@x

�@'

@t+@f

@x

@2'

@t@s+

@

@s

�@f

@y

�@

@t+@f

@y

@2

@t@s

=

�@2f

@x2@'

@s+

@2f

@x@y

@

@s

�@'

@t+@f

@x

@2'

@t@s

+

�@2f

@y@x

d'

ds+@2f

@y2d

ds

�@

@t+@f

@y

@2

@t@s:

Analogamente para @2u@t2

:

Exercício 2.8.1 Seja F : R2 ! R uma função cujas derivadas mistas de2a ordem são nulas e tal que F 2 C2:Para

'(x; y) = x2 � y2 e (x; y) = y3;

2.8. DERIVADADE UMA FUNÇÃOCOMPOSTADEORDEM SUPERIOR71

designando por u(x; y) a função composta de F com ' e ; (F ('(x; y); (x; y))) ;prove que

x

y

@2u

@x@y+@2u

@x2=1

x

@u

@x; com x; y 6= 0: (2.8.2)

Resolução: Calculemos os termos envolvidos:

@u

@x=@F

@'

@'

@x+@F

@

@

@x= 2x

@F

@';

@2u

@x2=

@

@x

�2x@F

@'

�= 2

@F

@'+ 2x

@

@x

�@F

@'

�= 2

@F

@'+ 2x

�@2F

@'2@'

@x+

@2F

@'@

@

@x

�= 2

@F

@'+ 4x2

@2F

@'2;

@2u

@x@y=

@

@y

�2x@F

@'

�= 2x

@

@y

�@F

@'

�= 2x

�@2F

@'2@'

@y+

@2F

@'@

@

@y

�= �4xy@

2F

@'2:

Substituindo em (2.8.2),

x

y

@2u

@x@y+@2u

@x2=

x

y

��4xy@

2F

@'2

�+ 2

@F

@'+ 4x2

@2F

@'2

= �4x2y@2F

@'2+ 2

@F

@'+ 4x2

@2F

@'2= 2

@F

@'

=1

x2x@F

@'=1

x

@u

@x:

Exercício 2.8.2 Considere g : R2 ! R dada por

g(x; y) = x2 + y3;

comx = '(s; t) = 2s+ et e y = (s; t) = t2:

Designando por u(s; t) a função composta de g com ' e ; calcule

@2u

@t@s:


Resolução:

@u

@t=

@g

@x

@'

@t+@g

@y

@

@t= 2x et + 3y2 2t

= 2�2s+ et

�et + 3

�t2�22t = 4s et + 2e2t + 6t5;

@2u

@t@s= 4 et:

2.9 Algumas aplicações das derivadas em Rn

2.9.1 Funções homogéneas. Teorema de Euler

De�nição 2.9.1 (i) Uma função f : D � Rn ! R diz-se uma funçãohomogénea de grau � 2 R; se

f (tx1; :::; txn) = t�f (x1; :::; xn) ; 8x 2 D � Rn; 8t 2 R; com tx 2 D;

ou, abreviadamente,

f (tx) = t�f (x) ; 8x 2 D � Rn; 8t 2 R com tx 2 D: (2.9.1)

(ii) Se a igualdade anterior for válida apenas para t � 0; a função diz-sepositivamente homogénea de grau �:

A igualdade (2.9.1) permite estender a função a todos os pontos das semi-rectas que saem da origem (eventualmente com exclusão desta) e passam emalgum ponto do domínio inicial D:

Para estas funções enuncia-se o Teorema de Euler, cuja demonstração éuma aplicação da regra da derivação de funções compostas.

Teorema 2.9.2 (Teorema de Euler) Uma função f : D � Rn ! R é dife-renciável e positivamente homogénea de grau � se, e só se, veri�ca a igual-dade de Euler

x1f0x1 + � � �+ xnf

0xn = � f; 8x 2 D � Rn; 8t 2 R:

Dem. ())Se f é positivamente homogénea de grau � , então

f (tx1; :::; txn) = t�f (x1; :::; xn) ; 8x 2 Rn; 8t 2 R:

Derivando em ordem a t

x1f0u1 (tx1; :::; txn) + � � �+ xnf

0un (tx1; :::; txn) = �t��1f (x1; :::; xn) ;

2.9. ALGUMAS APLICAÇÕES DAS DERIVADAS EM RN 73

com ui = txi; i = 1; :::; n; e, para t = 1; obtem-se

nXi=1

xi f0ui (x1; :::; xn) = � f (x1; :::; xn) :

(()Suponhamos que f é uma função diferenciável e veri�ca a igualdade de

EulernXi=1

xi f0ui (x1; :::; xn) = � f (x1; :::; xn) :

De�na-se a função

'(t) = f (tx1; :::; txn)� t�f (x1; :::; xn) : (2.9.2)

Faxendo ui = txi; i = 1; :::; n; temos

t '0(t) = (tx1) f0u1 + � � �+ (txn) f

0un � � t�f (x1; :::; xn) (2.9.3)

= � f (tx1; :::; txn)� � t�f (x1; :::; xn) = �'(t):

De�na-se (t) := '(t)t� : Então, �xando o ponto (x1; :::; xn) ; tem�se, por

(2.9.3),

0(t) ='0(t) t� � '(t) � t��1

t2�=

�'(t)t t� � '(t) � t��1

t2�= 0;

logo (t) é uma função constante. Como

(1) = '(1) = f (x1; :::; xn)� 1�f (x1; :::; xn) = 0;

então (t) � 0; para t > 0 (estuda-se a possibilidade de f ser positivamentehomogénea), pelo que '(t)

t� � 0; ou seja '(t) = 0: Assim, por (2.9.2),

f (tx1; :::; txn)� t�f (x1; :::; xn) = 0:

Exercício 2.9.3 Comsidere a função f : D � R2 ! R dada por

f(x; y) =x2 + y2

x+ y:

a) Mostre que f é homogénea e indique o seu grau de homogeneidade.


b) Mostre que f 0x também é homogénea.

c) Veri�que a igualdade de Euler para f:

Resolução: a) Grau 1, pois

f (tx; ty) =t2x2 + t2y2

tx+ ty= t

x2 + y2

x+ y= tf(x; y):

b)

f 0x =2x (x+ y)�

�x2 + y2

�(x+ y)2

=x2 + 2xy � y2

(x+ y)2;

f 0x (tx; ty) =t2x2 + 2t2xy � t2y2

(tx+ ty)2=t2�x2 + 2xy � y2

�t2 (x+ y)2

= t0f 0x (x; y) :

f 0x é homogénea de grau 0:

Observação: Se f é uma função homogénea de grau �; as suas derivadasde 1a ordem são funções homogéneas de grau �� 1:

c) Pretende-se mostrar que xf 0x + yf0y = 1 f: Então

f 0y =y2 + 2xy � x2

(x+ y)2;

e

xf 0x + yf0y = x

x2 + 2xy � y2

(x+ y)2+ y

y2 + 2xy � x2

(x+ y)2

=x3 + 2x2y � xy2 + y3 + 2xy2 � yx2

(x+ y)2

=x3 + x2y + xy2 + y3

(x+ y)2=x2 (x+ y) + y2 (x+ y)

(x+ y)2

=x2 + y2

x+ y= f(x; y):

Exercício 2.9.4 Dada a função f : D � R3 ! R dada por

f(x; y; z) = x2 +x�y�

z3� z3�y�;

determine � e � de modo que f seja homogénea e indique o seu grau dehomogeneidade.


Resolução:

f(tx; ty; tz) = t2x2 +t�x�t�y�

t3z3� t3�z3�t�y�

= t2x2 +t�+��3x�y�

z3� t3�+�z3�y� :

Para ser possível colocar t em evidência é necessário que��+ � � 3 = 23�+ � = 2

,�� = �3

2� = 13

2

:

Para estes valores f é homogénea de grau 2.

2.9.2 Plano tangente e recta normal a uma superfície

Recordemos alguns conceitos:

1. Chama-se trajectória ou caminho a uma aplicação contínua ' :[a; b] � R! R3; que se pode representar na forma paramétrica8<:

x = f(t)y = g(t)z = h(t)

; a � t � b;

sendo f; g; h : R! R funções contínuas.

2. Se a função ' for de classe Ck; diz-se que a trajectória é de classe Ck:

3. Se ' : R3 ! R , a equação ' (x; y; z) = 0 de�ne uma superfície.

4. Uma recta é tangente à superfície ' (x; y; z) = 0 no ponto P0 (x0; y0; z0)se for tangente a uma curva traçada sobre a superfície e que passe peloponto P0:Como existem uma in�nidade de curvas traçadas sobre a superfícieque passam por P0; existe também uma in�nidade de tangentes.

5. P é um ponto singular da superfície se as derivadas

'0x (P ) = '0y (P ) = '0z (P ) = 0:

P é um ponto simples da superfície se as derivadas '0x; '0y; '

0z exis-

tirem, forem contínuas e, pelo menos, uma for não nula.


Teorema 2.9.5 Todas as rectas tangentes à superfície ' (x; y; z) = 0 numponto simples P0; pertencem ao mesmo plano.

Dem. Seja r(t) um caminho escrito na forma paramétrica por

r(t) =

8<:x = f(t)y = g(t)z = h(t)

; a � t � b;

que passa pelo ponto simples P0 = r(t0) = (f(t0); g(t0); h(t0)) :

O vector director da recta tangente a r(t) é � =�dfdt ;

dgdt ;

dhdt

�e a sua

equação vectorial será

(x; y; z) = (x0; y0; z0) + k

�df

dt;dg

dt;dh

dt

�(t0)

; k 2 R:

Como os pontos de r(t) pertencem à superfície '; então os seus pontosveri�cam a igualdade ' (f(t); g(t); h(t)) = 0: Derivando (derivada da funçãocomposta) temos

@'

dx

df

dt+@'

dy

dg

dt+@'

dz

dh

dt= 0: (2.9.4)

Considere-se o vector n =�@'dx ;

@'dy ;

@'dz

�; cujas componentes não são

simultaneamente nulas em P0: Assim, knk 6= 0:O vector n é perpendicular ao vector director da tangente à curva no

ponto P0; pois, por (2.9.4),

nj� =

�@'

@x;@'

@y;@'

@z

�j�df

dt;dg

dt;dh

dt

�=

@'

@x

df

dt+@'

@y

dg

dt+@'

@z

dh

dt= 0:

Pela arbitrariedade da curva r; que passa pelo ponto P; na superfície ';todas as tangentes a esta superfície, e que passam por P; são perpendicularesa este mesmo vector h; pertencendo portanto todas a um mesmo planoperpendicular a n:

De�nição 2.9.6 O plano formado por todas as rectas tangentes num pontoP , às curvas traçadas sobre uma superfície ' que passe por P (x0; y0; z0) ;chama-se plano tangente à superfície ' no ponto P:A equação é dada por

nj� =�@'

@x;@'

@y;@'

@z

�(x0;y0;z0)

j (x� x0; y � y0; z � z0) = 0:


Observação 2.9.7 Se P for um ponto singular da curva, o plano tangentepode não existir, visto que em tais pontos as tangentes podem não pertencerao mesmo plano. Isto é, não há a garantia de serem perpendiculares, pois�

@'

@x;@'

@y;@'

@z

�(x0;y0;z0)

= (0; 0; 0) :

De�nição 2.9.8 (i) Chama-se recta normal à superfície ' (x; y; z) = 0num ponto P0 = (x0; y0; z0) à recta perpendicular ao plano tangente nesseponto.A sua equação cartesiana é dada por

x� x0�@'dx

�(x0;y0;z0)

=y � y0�

@'dy

�(x0;y0;z0)

=z � z0�

@'dz

�(x0;y0;z0)

:

(ii) Chama-se plano normal à curva r(t) no ponto P0 ao plano que passapor P0 e é perpendicular à recta tangente a r(t) no ponto P0.A equação é dada por

r0(t0) j (x� x0; y � y0; z � z0) = 0;

ou seja �df

dt;dg

dt;dh

dt

�(t0)

j (x� x0; y � y0; z � z0) = 0:

Exercício 2.9.9 Considere a superfície ' dada pela igualdade z = 2x2+4y2

e um ponto P = (1; 2; 18) :

a) Mostre que P 2 ':

b) Determine a equação do plano tangente a ' em P:

c) Indique a equação da recta normal a ' em P:

Resolução: a) 18 = 2� 1 + 4� 22b) ' (x; y; z) = 2x2 + 4y2 � z = 0 e

@'

dx= 4x;

@'

dy= 8y;

@'

dz= �1:

Em P = (1; 2; 18)

@'

dx(1; 2; 18) = 4;

@'

dy(1; 2; 18) = 16;

@'

dz(1; 2; 18) = �1:


A equação do plano tangente a ' em P será

(4; 16;�1) j (x� 1; y � 2; z � 18) = 0;

isto é 4x+ 16y � z � 18 = 0:c) Na forma cartesiana

x� 14

=y � 216

=z � 18�1 ;

ou, na forma vectorial

(x; y; z) = (1; 2; 18) + k (4; 16;�1) ; k 2 R:

Exercício 2.9.10 Indique a equação do plano tangente e da recta normalà superfície

3xyz � z3 = 8;

no ponto com a abcissa nula e ordenada 2.

Resolução: Coordenadas do ponto de tangência P :

3� 0� 2� z � z3 = 8, z = �2:

Logo P = (0; 2;�2) :

' (x; y; z) = 3xyz � z3 � 8 = 0; @'dx(P ) = 3yzj(P ) = �12;

@'

dy(P ) = 3xzj(P ) = 0;

@'

dz(P ) = 3xy � 3z2

��(P )

= �12:

Plano tangente:

(�12; 0;�12) j (x; y � 2; z + 2) = 0, x+ z + 2 = 0:

Equação cartesiana da recta normal

x

�12 =z + 2

�12 ^ y = 2:


2.9.3 Operadores diferenciais

Considere-se uma função f : D � Rn ! Rm .

De�nição 2.9.11

(i) Se m = 1 (campo escalar) chama-se gradiente de f ao campo vectorial,e representa-se por grad f ou rf; a

grad f =nXi=1

@f

@xiei:

(ii) Se m = n chama-se divergência de f ao campo escalar

div f =nXi=1

@fi@xi

=@f1@x1

+ � � �+ @fn@xn

(traço da matriz jacobiana).

(iii) Se m = n = 3 chama-se rotacional de f ao campo vectorial

rot f =

�@f3@x2

� @f2@x3

��!e 1 +

�@f1@x3

� @f3@x1

��!e 2

+

�@f2@x1

� @f1@x2

��!e 3:

Esta expressão costuma-se escrever na forma de um determinante

rot f =

��!e 1 �!e 2 �!e 3@@x1

@@x2

@@x3

f1 f2 f3

�� ;entendendo-se que deve ser calculado aplicando o Teorema de Laplaceà 1a linha e com @

@xifj a signi�car

@fj@xi:

(iv) Se m = 1 chama-se matriz hessiana de f à matriz de ordem n

H =

2666664@2f@x21

@2f@x1@x2

� � � @2f@x1@xn

@2f@x2@x1

@2f@x22

� � � @2f@x2@xn

......

...@2f

@xn@x1@2f

@xn@x2� � � @2f

@x2n

3777775 :


Note-se que a matriz hessiana pode ser entendida como sendo a matrizjacobiana do sistema 8><>:

y1 =@f@x1...

yn =@f@xn

:

Sendo a matriz hessiana sempre uma matriz quadrada, pode calcular-se o seu determinante: o hessiano.

(v) Ao traço da matriz hessiana chama-se laplaciano de f e representa-sepor Lap f ou �f: Assim

�f =

nXi=1

@2f

@x2i:

Exercício 2.9.12 Considere f : R2 ! R2 dada por

f(x; y) =

�x(�; �) = � cos �y(�; �) = � sen �

; � > 0; 0 � � < 2�:

Calcule div f:

Resolução: div f = @x@� +

@y@� = cos � + � cos �:

Exercício 2.9.13 Para g : R3 ! R3 dada por

g(x; y; z) =

8<:g1 = x2 + y � zg2 = xyz2

g3 = 2xy � y2z:

Calcular

a) div g

b) rot g

Resolução: a)

div g =@g1@x

+@g2@y

+@g3@z

= 2x+ xz2 � y2:

b)

rot g =

��!e 1 �!e 2 �!e 3@@x

@@y

@@z

g1 g2 g3

��= (2x� 2yz � 2xyz)�!e 1 + (�2y � 1)�!e 2 +

�yz2 � 1

��!e 3:

2.10. INVERTIBILIDADE DE FUNÇÕES EM RN 81

Exercício 2.9.14 Seja h : R3 ! R dada por

h(x; y; z) = 5xy + 3x2y + 2xz + 5yz � z3:

Calcule

a) rh

b) o hessiano de h em (0; b; 1)

c) �h

Resolução: a)

rh =@h

@x�!e 1 +

@h

@y�!e 2 +

@h

@z�!e 3

= (2x� 2yz � 2xyz)�!e 1 +�5x+ 3x2 + 5z

��!e 2 + �2x+ 5y � 3z2��!e 3:b)

jHj =

��@2h@x2

@2h@x@y

@2h@x@z

@2h@y@x

@2h@y2

@2f@y@z

@2h@z@x

@2h@z@y

@2h@z2

�� =��6y 5 + 6x 25 0 52 5 �6z

��= 60x� 150y + 150z + 180xz + 100:

No ponto (0; b; 1) ;jHj(0;b;1) = �150b+ 250:

c)

�h =@2h

@x2+@2h

@y2+@2h

@z2= 6y � 6z:

2.10 Invertibilidade de funções em Rn

Consideremos uma função f : D � Rn ! Rn de�nida e de classe C1 numaberto D � Rn:

Que condições se deverá exigir a f de modo a garantir que seja injectiva(logo bijectiva em D) e, portanto invertível ?

Para n = 1 tem-se o seguinte teorema para a derivada da função inversa:


Teorema 2.10.1 Se f : R! R é uma função contínua em [a; b] e de classeC1 em [a; b] ; com f 0(x) 6= 0 para x 2 ]a; b[ ; então f�1 é diferenciável emb = f(a) e �

f�1�0(b) =

1

f 0(a):

Dem. Note-se que f 0(x) 6= 0 implica que f é injectiva, pois, pelo Teo-rema de Labrange

f (x1)� f (x2) = (x1 � x2) f 0(c)

e se f (x1) = f (x2) então x1 = x2 (pois f 0(c) 6= 0 ).Represente-se y = f(x) e observe-se que se y 6= b então f�1(y) 6=

f�1(b) = a: Então

�f�1

�0(b) = lim

y!b

f�1(y)� f�1(b)y � b = lim

y!b

1y�b

f�1(y)�f�1(b)= lim

y!b

1f [f�1(y)]�f(a)f�1(y)�a

:

Como f é diferenciável, logo contínua, então f�1 é contínua (teorema dacontinuidade da função inversa) e quando

y ! b =) f�1(y)! f�1(b) = a:

Fazendo uma mudança de variável no limite tem-se

limf�1(y)!a

1f [f�1(y)]�f(a)f�1(y)�a

=1

f 0(a):

O enunciado do teorema anterior tem sentido em Rn (com n > 1), sendoentão f 0 o operador linear representado pela matriz jacobiana.

Contudo a condição da 1a derivada não se anular assume um aspectoparticular. Veja-se o seguinte exemplo:

Tome-se f linear de�nida por

y = f(x) =

8><>:y1 = a11x1 + � � �+ a1nxn

...yn = an1x1 + � � �+ annxn

:

Neste caso a matriz jacobiana J =h@fi@xj

ié dada pela matriz A = [aij ] :

Sabe-se da Álgebra Linear que para a aplicação ser invertível deve exigir-seque jAj 6= 0:


Assim para obter um enunciado correspondente ao Teorema 2.10.1, paran > 1; é necessário exigir que

det

�@fi@xj

�6= 0:

Num caso geral, esta hipótese não é su�ciente para garantir a bijectivi-dade da função f no conjunto D � Rn em que esteja de�nida.

Veja-se o exemplo da função dada por�y1 = x1 cos(x2)y2 = x1 sen(x2)

:

É uma função de classe C1 e tem o jacobiano não nulo em qualquer conjuntoaberto contido no semiplano x1 > 0; isto é, jJ j = x1 > 0:

Contudo a função não é injectiva, já que os pontos (a1; a2) e (a1; a2 + 2�)têm a mesma imagem.

Porque são diferentes os resultados para n = 1 e n > 1 ?Para n = 1 , a injectividade resulta directamente do Teorema de La-

grange. Para funções f : D � Rn ! Rn (n > 1); conduz, para a; b 2 Rn eci 2 ]a; b[ ; a

f(b)� f(a) =

26664�@f1@x1

�(c1)

� � ��@f1@xn

�(c1)

......�

@fn@x1

�(cn)

� � ��@fn@xn

�(cn)

37775 [b� a]e o não anulamento do jacobiano nos pontos de D não chega para garantir ainvertibilidade da matriz, porque os pontos ci 2 ]a; b[ variam de linha paralinha, e, por isso, não se trata da matriz jacobianade f num certo ponto dodomínio.

Com funções de jacobiano não nulo apenas se consegue garantir umainvertibilidade local (restrição a um conjunto de pontos onde o jacobiano énão nulo):

Teorema 2.10.2 (Teorema da função inversa) Seja f uma função de classeC1 num aberto D � Rn e com valores em Rn e tal que (det (f 0))(a) 6= 0;a 2 D:Nestas condições existem conjuntos abertos A � D e B � f(D) tais que:

a) Existência da função inversa:


(i) a 2 A; f(a) 2 B e f jA é uma função bijectiva de A sobre B;

(ii) A função g, inversa de f jA é de classe C1 em B:

b) Derivada da função inversa:

iii) g0 [f(x)] = 1f 0(x) ; 8x 2 A:

Exercício 2.10.3 Considere a função f : R2 ! R2 dada por�x = � cos(�)y = � sen(�)

; com � > 0 e 0 � � < 2�:

a) Calcule f 0(x) (matriz jacobiana de f):

b) Em que condições existe f�1(x) ?

c) Determine f�1 e�f�1

�0 (matriz jacobiana de f�1):d) Prove que f 0 �

�f�1

�0= I:

Resolução: a)

f 0 = Jf =

"@x@�

@x@�

@y@�

@y@�

#=

�cos � �� sen �sen � � cos �

�:

b)

det�f 0�= jJf j =

�� cos � �� sen �sen � � cos �

�� = � > 0:

Então det (f 0) 6= 0; 8 (x; y) 2 R2: Como x = f1 (�; �) e y = f2 (�; �) são declasse C1 então f é de classe C1: Assim f(x; y) é invertível 8 (x; y) 2 R2:c) Neste caso é fácil determinar a expressão de f�1: A partir de:�

x2 = �2 cos2(�)y2 = �2 sen2(�)

=) � =px2 + y2; (� > 0);�

x = � cos(�)y = � sen(�)

=) y

x= tan � , � = arctan

�yx

�:

Então

f�1 =

�� =

px2 + y2

� = arctan� yx

�


e �f�1

�0=

"@�@x

@�@y

@�@x

@�@y

#=

"xpx2+y2

ypx2+y2

� yx2+y2

xx2+y2

#:

d)

f 0 ��f�1

�0=


��"

xpx2+y2

ypx2+y2

� yx2+y2

xx2+y2

#

=


��"

� cos(�)�

� sen(�)�

�� sen(�)�2

� cos(�)�2

#

=

�cos2 � + sen2 � cos � sen � � sen � cos �

sen � cos � � cos � sen � cos2 � + sen2 �

�=

�1 00 1

�:

Exercício 2.10.4 Seja g : R3 ! R3 dada por

g =

8<:u = 2x+ 3y + 5zv = x� yw = 2y + 3z

:

a) Veri�que se g é invertível.

b) Calcule�g�1�0:

Resolução: a) g é de classe C1 pois u; v e w são funções polinomiaislogo C1. Como

Jg =

264@u@x

@u@y

@u@z

@v@x

@v@y

@v@z

@w@x

@w@y

@w@z

375 =24 2 3 51 �1 00 2 3

35 ;tem-se jJgj = �5 6= 0; pelo que g é localmente invertível, 8 (x; y; z) 2 R3:b) Como se trata de uma função linear, pode ser representada por umaequação matricial 24 u

vw

35 =24 2 3 51 �1 00 2 3

3524 xtz

35 ;


pelo que 24 xtz

35 =24 2 3 51 �1 00 2 3

35�1 24 uvw

35 :Assim basta calcular24 2 3 5

1 �1 00 2 3

35�1 =24 3

5 �15 �1

35 �6

5 �1�25

45 1

35 ;para obter a derivada da função inversa.

2.11 Funções implícitas

Uma forma corrente de de�nir uma função f : D � Rn ! R consiste em daruma expressão analítica que permita calcular o valor de f em cada pontox 2 D: Por exemplo f (x1; x2) = x21 + x

22 de�ne uma função real de variável

x = (x1; x2) em R2:Na correspondência x 7�! y = f(x) designa-se x por variável indepen-

dente e y por variável dependente.Outras vezes a função x 7�! y = f(x) é traduzida por uma relação da

forma' (x; y) = 0; (2.11.1)

não resolvida em ordem à variável dependente, mas permitindo, apesar disso,associar a cad x, pertencente a um certo domínio D; um determinado valorpara y (raiz da equação (2.11.1) para o x previamente �xado.

Nestes casos diz-se que f está de�nida implicitamente ou, embora de ummodo menos correcto, que é uma função implícita.

A teoria destas funções tem por objectivo estudar as suas propriedadesmais importantes (incluindo condições de existência e o cálculo das deivadas,por exemplo), se necessidade de explicitar a função, pois tal não será, emgeral, possível.

Note-se que para uma função f : D � Rn ! R; a�rmar que x = g(y) éinvertível édizer que a equação x� g(y) = 0 permite associar a cada x (numcerto conjunto) um determinado y (a raiz, eventualment, única, daquelaequação para o x considerado. Como nem sempre é possível explicitar ytem-se um caso particular de função implícita.

O teorema central da teoria das funções implícitas é um teorema deexistência local:

2.11. FUNÇÕES IMPLÍCITAS 87

Teorema 2.11.1 (Teorema das funções implícitas) Se:

� ' (x; y) com x 2 Rn e y 2 Rm for uma função de classe C1 num abertoD � Rn � Rm e com valores em Rm;

� (x0; y0) 2 D for solução da equação ' (x; y) = 0;

� o jacobiano de ' em relação a y for diferente de zero em (x0; y0) :Então existe uma vizinhança V (x0) � Rn e uma função � : V (x0)!Rm de classe C1 em V (x0) tal que �(x0) = y0 e ' (x; �(x)) = 0em V (x0), isto é, a equação ' (x; y) = 0 de�ne implicitamente y =(y1; :::; ym) como função de x = (x1; :::; xn) :

Uma outra versão deste teorema pode ser enunciado utilizando coorde-nadas:

Teorema 2.11.2 Se:

� (x0; y0) = (x01; :::; x0n; y01; :::; y0m) for uma solução do sistema8><>:'1 (x1; :::; xn; y1; :::; ym) = 0

...'m (x1; :::; xn; y1; :::; ym) = 0;

com as funções 'i 2 C1 num aberto D � Rn+m contendo (x0; y0) ;

� ��@ ('1; :::; 'm)@ (y1; :::; ym)

��(x0;y0)

6= 0;

Então existe uma vizinhança V (x0) � Rn e existem funções reais�i de classe C

1 em V (x0) tais que �i (x01; :::; x0n) = (y01; :::; y0m) e'i (x1; :::; xn; �1(x1; :::; xn); :::; �m(x1; :::; xn)) = 0 em V (x0).

No caso particular de m = 1 (funções com valores reais), obtem-se umaversão mais simples:

Teorema 2.11.3 Se:

� (x0; y0) = (x01; :::; x0n; y0) for uma solução da equação ' (x1; :::; xn; y) =0 com ' 2 C1 num aberto D � Rn+1 contendo (x0; y0) ;


��@'@y

�(x0;y0)

6= 0;

Então existe uma vizinhança V (x0) � Rn e uma função � de classe C1em V (x0) tais que �x01; :::; x0n) = y0 e 'i (x1; :::; xn; �(x1; :::; xn)) = 0em V (x0), ou seja, a equação ' (x1; :::; xn; y) = 0 de�ne implicita-mente y como função de x = (x1; :::; xn) :

Dem. Considere a função f : D � Rn+m ! Rn+m; dada por

(x; y) �!f(u; v) com

�u = x

v = '(x; y);

isto é, indicando as coordenadas

(u; v) = f (x; y) com

8>>>>>>>><>>>>>>>>:

u1 = x1...

un = xnv1 = '1 (x1; :::; xn; y1; :::; ym)

...vm = 'm (x1; :::; xn; y1; :::; ym)

:

Como (x0; y0) é solução da equação ' (x; y) = 0; então

f (x0; y0) = (x0; ' (x0; y0)) = (x0; 0) (2.11.2)

e f é de classe C1; pelas hipóteses do Teorema (' 2 C1 e u = x é a funçãoidentidade, também de classe C1) e, além disso,

�det f 0

�(x0;y0)

=

��

@u1@x1

� � � @u1@xn

@u1@y1

� � � @u1@ym

......

......

@un@x1

� � � @un@xn

@un@y1

� � � @un@ym

@v1@x1

� � � @v1@xn

@v1@y1

� � � @v1@ym

......

......

@vm@x1

� � � @vm@xn

@vm@y1

� � � @vm@ym

��(x0;y0)

=

��

1 � � � 0 0 � � � 0...

......

...0 � � � 1 0 � � � 0...

...�@('1;:::;'m)@(y1;:::;ym)

��(x0;y0)

=

��@ ('1; :::; 'm)@ (y1; :::; ym)

��(x0;y0)

6= 0:

2.11. FUNÇÕES IMPLÍCITAS 89

Como se veri�cam as hipóteses do Teorema da função inversa (Teorema2.10.2), pelo que existe um conjunto aberto V (x0; y0) � Rn � Rm que éaplicado biunivocamente, por f , sobre outro aberto eV (x0; 0) � f (D) �Rn � Rm e onde f�1 é de classe C1

�eV (x0; 0)� :Represente-se f�1 por

(u; v) �!f�1

(x; y) com�

x = uy = (u; v)

; (2.11.3)

ou seja, em termos de coordenadas8>>>>>>>><>>>>>>>>:

x1 = u1...

xn = uny1 = 1 (u1; :::; un; v1; :::; vm)

...ym = m (u1; :::; un; v1; :::; vm)

:

Compondo f�1 com f (restringidas aos conjuntos abertos considerados)obtem-se a aplicação identidade:�

f � f�1�(u; v) = f

�f�1 (u; v)

�= f (x; y) = (u; v) ;

ou seja, por (2.11.3),

f (x; y) = f [u; (u; v)] = (u; v) :

Então pode escrever-se, para todos os pontos de eV (x0; 0) (onde há a garantiaque a função é invertível), atendendo apenas à 2a componente de f;

v = ' (x; y) = ' (u; (u; v)) :

Limitando-nos agora à 1a componente consideremos a vizinhança V (x0) �Rn que resulta de eV (x0; 0) considerando nulas asm componentes de. Então

' (u; (u; 0)) = 0; 8u 2 V (x0) : (2.11.4)

Tendo presente que u = x e de�nindo �(x) := (x; 0) (função de�nida emV (x0) e com valores em Rn); obtem-se, por (2.11.4), que

' (u; �(x)) = 0; em V (x0) :

Para concluir a demonstração basta observar que :


� �(x0) = y0 () (x; 0) = y0; e esta última igualdade resulta def�1 (x0; 0) = (x0; y0) ; por (2.11.2);

� � é de classe C1 em V (x0) porque, pelo Teorema da Função Inversa(Teorema 2.10.2), f�1 é de classe C1 em eV (x0; 0) : Logo a sua 2acomponente (u; v) também será de classe C1:

2.12 Derivada da função implícita

O Teorema 2.11.3, além de garantir a existência de uma função implícita �(de classe C1 num certo aberto em V (x0)), garante também a existência dasua derivada �0:

Vejamos como obter essa derivada.Comece-se pelo caso mais simples, em que m = 1:Pela De�nição 2.6.1, �0 é o operador representado pela matriz (linha)

jacobiana h@�@x1

� � � @�@xn

i=h

@y@x1

� � � @y@xn

i:

Para calcular cada uma das derivadas parciais @y@xi; recorde-se que se pode

de�nirF (x1; :::; xn) := ' (x1; :::; xn; � (x1; :::; xn))

como a função composta de ' (x1; :::; xn; y) com8>>><>>>:x1 = x1

...xn = xn

y = � (x1; :::; xn) :

Como ' (x1; :::; xn; � (x1; :::; xn)) = 0 em V (x0) então F (x1; :::; xn) � 0 emV (x0) :

Pela regra de derivação de funções compostas,�@F

@xi

�(x0) =

�@'

@xi

�(x0; y0) +

�@'

@y

�(x0; y0)

�@y

@xi

�(x0) = 0;

ou seja, �@y

@xi

�(x0) = �

�@'@xi

�(x0; y0)�

@'@y

�(x0; y0)

; i = 1; :::; n;

2.12. DERIVADA DA FUNÇÃO IMPLÍCITA 91

(observe-se que o denominador é não nulo, de acordo com o Teorema 2.11.3).Para um ponto genérico que veri�que as condições do Teorema da função

implícita, tem-se@y

@xi= �

@'@xi@'@y

; i = 1; :::; n:

Para m > 1; compondo as funções 'i (x1; :::; xn; y1; :::; ym) com yi =�i (x1; :::; xn) obtêm-se as funções Fi (x1; :::; xn) � 0 numa vizinhança dex0 = (x01; :::; x0n) :

Calculando as suas derivadas em ordem a xi; obtem-se, pela regra dederivação de funções compostas,8>><>>:

@'1@xi

+ @'1@y1

@y1@xi

+ � � �+ @'1@ym

@ym@xi

= 0...

@'m@xi

+ @'m@y1

@y1@xi

+ � � �+ @'m@ym

@ym@xi

= 0:

Para cada i tem-se um sistema linear com m equações e m incógnitas,@yj@xi; (j = 1; :::;m); cujo determinante (que se supõe calculado num ponto

(x0; y0) e que veri�ca as condições do Teorema 2.11.3) é não nulo, pelo queo sistema é possível e determinado.

Em notação matricial pode escrever-se2664@'1@y1

� � � @'1@ym

......

@'m@y1

� � � @'m@ym

3775�264

@y1@xi...

@ym@xi

375 = �2664

@'1@xi...

@'m@xi

3775 :Designando, numa forma abreviada, por�

@'j@yk

��@yj@xi

�= �

�@'k@xi

�; j; k = 1; :::;m; i �xo,

tem-se �@yj@xi

�= �

�@'j@yk

��1 �@'k@xi

�:

Como se tem uma igualdade deste tipo para cada i; as m � n derivadasparciais @yj

@xi(j = 1; :::;m; i = 1; :::; n) podem calcular-se através da equação

matricial2664@'1@y1

� � � @'1@ym

......

@'m@y1

� � � @'m@ym

3775�264

@y1@x1

� � � @y1@xn

......

@ym@x1

� � � @ym@xn

375 = �2664

@'1@x1

� � � @'1@xn

......

@'m@x1

� � � @'m@xn

3775 :


De forma sintéctica pode escrever-se a regra de derivação da função im-plícita, num caso geral, como�

@'j@yk

��@yj@xi

�= �

�@'k@xi

�; j; k = 1; :::;m; i = 1; :::; n.

Exercício 2.12.1 Considere a equação

x+ 2y � z = sen (3xyz) :

a) Veri�que que a equação de�ne z como uma função de x e y numa vizin-hança de (0; 0; 0) :

b) Mostre que �@z

@x

�(0; 0) = 1 e

�@z

@y

�(0; 0) = 2:

Resolução: a) Caso m = 1:

� (0; 0; 0) é solução da equação;

� ' (x; y; z) = 0 =) ' (x; y; z) = x+ 2y � z�sen(3xyz) = 0:' 2 C1?

@'

@x= 1� 3yz cos (3xyz) ; @'

@y= 2� 3yz cos (3xyz) ;

@'

@z= �1� 3yz cos 3xyz:

Todas estas derivadas, bem como ' são funções contínuas em R3; logo,em particular, numa vizinhança de (0; 0; 0) :

��@'@z

�(0; 0; 0) = �1 6= 0:

Então, pelo Teorema 2.11.3, existe uma vizinhança de (0; 0; 0) em quea equação de�ne z como uma função de x e y:b)

�@z

@x

�(0; 0) = �

�@'@x

�(0; 0; 0)�

@'@z

�(0; 0; 0)

= 1;

�@z

@y

�(0; 0) = �

�@'@y

�(0; 0; 0)�

@'@z

�(0; 0; 0)

= 2:

Exercício 2.12.2 Considere o sistema�exy � u+ ln (v + x) = 1x2 + y3 + u2 � v3 = 0:

2.12. DERIVADA DA FUNÇÃO IMPLÍCITA 93

a) Mostre que o sistema de�ne implicitamente (u; v) como função de (x; y)numa vizinhança de (x; y; u; v) = (0; 1; 0; 1) :

b) Calcular�@u

@x

�(0; 1) ;

�@u

@y

�(0; 1) ;

�@v

@x

�(0; 1) ;

�@v

@y

�(0; 1) :

Resolução: a) (0; 1; 0; 1) é solução do sistema.

@'1@x

= yexy +1

v + x;@'1@y

= xexy;@'1@u

= �1; @'1@v

=1

v + x;

@'2@x

= 2x;@'2@y

= 3y2;@'2@u

= 2u;@'2@v

= �3v2:

Todas as derivadas são contínuas numa vizinhança de (0; 1; 0; 1) ; já que aquiv + x 6= 0:�

@ ('1; '2)

@ (u; v)

�(0;1;0;1)

=

�� @'1@u

@'1@v

@'2@u

@'2@v

��(0;1;0;1)

=

�� 1 1v+x

2x �3v2��(0;1;0;1)

=

�� 1 10 �3

�� = 3 6= 0:Então, pelo Teorema 2.11.3, o sistema de�ne �1 (x; y) = u e �2 (x; y) = v navizinhança de (0; 1; 0; 1) :b) "

@u@x

@u@y

@v@x

@v@y

#(0;1)

= �"

@'1@u

@'1@v

@'2@u

@'2@v

#�1(0;1;0;1)

"@'1@x

@'1@y

@'2@x

@'2@y

#(0;1;0;1)

=

�2 10 1

�:

Portanto �@u

@x

�(0; 1) = 2;

�@v

@x

�(0; 1) = 0;�

@u

@y

�(0; 1) = 1;

�@v

@y

�(0; 1) = 1:


2.13 Diferenciais de ordem superior para funçõesreais em Rn

Neste curso, como foi referido anteriormente, só serão estudads derivadasde ordem superior para derivadas segundo vectores e, neste caso, podemoslimitar-nos a funções com valores reais (pois f 0u obtem-se à custa das suascomponentes (fi)

0u ; com fi funções reais.

Nestas condições, considere-se f : D � Rn ! R de classe C1 (D) :Recorde-se que, então:

� f é diferenciável (Corolário 2.5.14);

� f 0u (a) = (df)u (a) =nXi=1

�@f@xi

�(a)� ui (Teorema 2.5.17).

No conjunto D (onde f é diferenciável) pode considerar-se uma novafunção

f 0u : x 7�! f 0u(x)

a partir da qual se pode de�nir o diferencial de 2a ordem de f:

De�nição 2.13.1 Seja f : D � Rn ! R tal que f 2 C1 (D) : Chama-sediferencial de 2a ordem de f; primeiro em relação a u e depois emrelação a v (ou a 2a derivada de f relativo aos vectores u e v (por estaordem)) a

f00uv :=

�f 0u�0v= dv (duf) := d2uvf:

Como regra prática:

Proposição 2.13.2 Se f : D � Rn ! R é de classe C2 (D) então

f00uv =

nXi;j =1

@2f

@xi@xjuivj :

Dem. Se f 2 C2 =) f 2 C1 e, pelo Teorema 2.5.17, para um pontogenérico de D;

f00uv = dv (duf) = dv

nXi=1

@f

@xiui

!=

nXj=1

"@

@xj

nXi=1

@f

@xi

!ui

#vj

=nXj=1

nXi=1

@2f

@xi@xjuivj =

nXi;j =1

@2f

@xi@xjuivj :

2.13. DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR PARA FUNÇÕES REAIS EM RN95

Observação 2.13.3 Se f é de classe C2 então:

(i) Pelo Corolário 2.5.20,

f00uv = f

00vu; 8u; v 2 Rn:

(ii) No caso particular em que u = v (:= h); fala-se em diferencial (ouderivada) de 2a ordem de f em relação a h e, em vez de f

00hh ou d

2hhf;

escreve-se apenas

f00h

�= d2hf

�=

nXi;j =1

@2f

@xi@xjhihj ;

que é uma forma quadrática bilinear nas variáveis hi, cuja matriz(simétrica) se representa pela matriz hessiana

H =

2666664@2f@x21

@2f@x1@x2

� � � @2f@x1@xn

@2f@x2@x1

@2f@x22

� � � @2f@x2@xn

......

...@2f

@xn@x1@2f

@xn@x2� � � @2f

@x2n

3777775 :

(iii) Utilizando a matriz hessiana pode-se determinar o escalar indicado porf00uv (a) através de

f00uv (a) = UTH (a)V;

sendo U e V as matrizes colunas contendo as coordenadas dos vectoresu e v:

(iv) Em escrita simbólica (e sintéctica) pode indicar-se:

f00h = d2hf =

�h1

@

@x1+ � � �+ hn

@

@xn

�2f

= (h1D1 + � � �+ hnDn)2 f;

sendo

DiDjf =@

@xi

�@f

@xj

�=

@2f

@xj@xi:


(v) Para funções de classe Cm (D) ; de�nem-se do mesmo modo as derivadas(ou diferenciais) de ordem m segundo o vector h:

f(m)

h =�f(m�1)h

�0h= dh

�dm�1h f

�= dmh f:

Ou escrevendo simbolica e sintecticamente

f(m)

h = dmh f =

�h1

@

@x1+ � � �+ hn

@

@xn

�mf

= (h1D1h + � � �+ hnDn)m f:

Proposição 2.13.4 Seja f : D � Rn ! R uma função de classe Cm (D) :Prove que

f(m)

h = khkm f (m)vers h (m 2 N) :

Dem. Como

vers h =h

khk () h = khk vers h;

então, pelo Exercício 2.4.5,

f 0h = f 0khkvers h = khk f0vers h:

A demonstração faz-se por indução matemática em m.Hipótese de indução:

f(p)

h = khkp f (p)vers h .

Tese:f(p+1)

h = khkp+1 f (p+1)vers h .

Então

f(p+1)

h =�f(p)

h

�0h=�khkp f (p)vers h

�0h= khkp

�f(p)

vers h

�0khkvers h

= khkp khk f (p+1)vers h = khkp+1 f

(p+1)

vers h:

Exercício 2.13.5 Calcule o 2o diferencial de g : R3 ! R dada por

g (x; y; z) = e2x�y+3z:


Resolução: A função g é de classe C2. Como não é referido nem pontonem vector, pretende-se uma função de ambos. Seja (x; y; z) 2 R3 e h =(h1; h2; h3) :

d2hg = g00h =

�h1

@

@x+ h2

@

@y+ h3

@

@z

�2g

= (h1)2 @

2g

@x2+ 2h1h2

@2g

@x@y+ 2h1h3

@2g

@x@z+ 2h2h3

@2g

@y@z

+(h2)2 @

2g

@y2+ (h3)

2 @2g

@z2

=h4 (h1)

2 � 4h1h2 + 12h1h3 � 6h2h3 + (h2)2 + 9 (h3)2ie2x�y+3z:

Exercício 2.13.6 Para f : R2 ! R; dada por

f (x; y) = xy4 � ex+4y;

calcular o diferencial de 3a ordem.

Dem. Como f é de classe C3 logo as derivadas parciais são contínuas ehá simetria das derivadas cruzadas.

d3hf = f000h =

�h1

@

@x+ h2

@

@y

�3f

= (h1)3 @

3f

@x3+ 3 (h1)

2 h2@3f

@x2@y+ 3h1 (h2)

2 @3f

@x@y2+ (h2)

3 @3f

@y3:

Os diferenciais poderão ser utilizados para aproximar funções complexaspor funções lineares ou mais "linearizadas", como é indicado pelo próximoteorema:

Teorema 2.13.7 (Teorema de Taylor) Se f : D � Rn ! R uma função declasse Cm+1 numa vizinhança de a que contenha a+ h, então

f (a+ h) = f(a) + f 0h(a) +1

2!f00h (a) + � � �

+1

m!f(m)

h (a) +1

(m+ 1)!f(m+1)

h (a+ �h);


com 0 < � < 1:Escrevendo a mesma expressão utilizando diferenciais obtem-se

f (a+ h) = f(a) + (dhf) (a) +1

2!

�d2hf

�(a) + � � �

+1

m!(dmh f) (a) +

1

(m+ 1)!

�dm+1h f

�(a+ �h);

com 0 < � < 1:Em particular:

(i) Se n = 1;

f (a+ h) = f(a) + hf 0(a) +h2

2!f00(a) + � � �

+hm

m!f(m)(a) +

hm+1

(m+ 1)!f(m+1)

(a+ �h);

com 0 < � < 1:

(ii) Se n > 1;

f (a+ h) = f(a) + khk f 0vers h(a) +khk2

2!f00vers h(a) + � � �

+khkm

m!f(m)

vers h(a) +khkm+1

(m+ 1)!f(m+1)

vers h(a+ �h);

com 0 < � < 1:

Note-se que

f(k)

vers h(a) =

�h1khkD1 + � � �+

hnkhkDn

�kf:

Observação 2.13.8 1. A fórmula de Taylor, para o caso de n = 1,pode escrever-se, substituindo a+ h = x,

f (x) = f(a) + (x� a) f 0(a) + (x� a)2

2!f00(a) + � � �

+(x� a)m

m!f(m)(a) +

(x� a)m+1

(m+ 1)!f(m+1)

(c);


com a < c < x ou x < c < a:2. Esta última igualdade no caso de a = 0 é conhecida como fórmula deMacLaurin:

f (x) = f(0) + xf 0(0) +x2

2!f00(0) + � � �+ xm

m!f(m)(0) +

xm+1

(m+ 1)!f(m+1)

(c);

com 0 < c < x ou x < c < 0:3. Uma função de classe Cm pode ser aproximada por um polinómio de graum.

Dem. (i) De�nindo b = a+ h, considere-se a função

'(x) = f(b)� f(x)� (b� x) f 0(x)� (b� x)2

2!f00(x) + � � �

�(b� x)m

m!f(m)(x)� (b� x)

m+1

(m+ 1)!�;

com � uma constante a determinar.Note-se que assim de�nida, '(b) = 0:A função ' : R ! R é derivável em [a; b] ; pelas hipóteses sobre f (f 2

Cm+1); e pode obter-se

'0(x) = �f 0(x) + f 0(x)� (b� x) f 00(x) + (b� x) f 00(x)� (b� x)2

2!f 000(x) + � � �

+(b� x)m�1

(m� 1)! f(m)(x)� (b� x)

m

m!f(m+1)

(x) +(b� x)m

m!�;

ou seja

'0(x) =(b� x)m

m!

h�� f (m+1)(x)

i: (2.13.1)

Considere-se � de modo que '(a) = 0: Então:' é contínua em [a; b] ; ' é derivável em [a; b] ; '(a) = '(b); pelo que é

aplicável o Teorema de Rolle a ' no intervalo [a; b] : Assim existe c 2 ]a; b[tal que '0(c) = 0:

Substituindo em (2.13.1), tem-se

'0(c) = 0 =) � = f(m+1)

(c):

Por outro lado,

0 = '(a) = f(b)� f(a)� (b� a) f 0(a)� (b� a)2

2!f00(a) + � � �

�(b� a)m

m!f(m)(a)� (b� a)

m+1

(m+ 1)!�:


Aplicando aqui que b = a+ h; ou seja; h = b� a, e � = f(m+1)

(c); com c umvalor entre a e b, obtem-se a igualdade dada em (i).

(ii) De�na-se ' : [0; 1]! R dada por

'(t) = f (a+ th) : (2.13.2)

Tal como foi feito no Teorema 2.5.4, tem-e

'0(t) = f 0h (a+ th)

e, iterando o processo,

'(k)(t) = f(k)h (a+ th) :

A fórmula de MacLaurin para afunção '(t) e para o intervalo [0; 1] ; permiteescrever

'(1) = '(0) + '0(0) +'00(0)

2!+ � � �+

f(k)h (a)

m!+'(m+1)

(c)

(m+ 1)!;

com c um valor entre 0 e 1. Por (2.13.2),

f (a+ th) = f (a) + f 0h (a) +f 00h (a)

2!+ � � �+

f(m)h (a)

m!+f(m+1)h (a+ �h)

(m+ 1)!;

com 0 < � < 1:A expressão de (ii) resulta observando que, pela Proposição 2.13.4,

f(k)h = khk f (m)vers h (k 2 N).

Observação 2.13.9 Em qualquer das formas apresentadas, a última parcelaé conhecida por resto da fórmula de Taylor, podendo assumir várias formas:Exemplo 1. Resto de Lagrange :

Rm+1 =f(m+1)h (a+ �h)

(m+ 1)!; com 0 < � < 1;

ou qualquer das formas equivalentes, como

Rm+1 =khkm+1

(m+ 1)!f(m+1)vers h (a+ �h); com 0 < � < 1; (2.13.3)


ou, para n = 1,

Rm+1 =(b� a)m+1

(m+ 1)!f (m+1)(c); com a < c < b:

Exemplo 2. Resto de Peano : Se considerar f 2 Cm+1; f(m+1)h é uma

função contínua e então

f(m+1)h (a+ �h) = f

(m+1)h (a) + �;

comlimh!0

� = 0:

Assim, o resto de Peano será

Rm+1 =1

(m+ 1)!

�f(m+1)h (a) + �

�; com lim

h!0� = 0:

Exercício 2.13.10 Escrever um polinómio de grau 2, que aproxime

f(x; y) = arctan(xy)

em torno do ponto (1; 1) e calcule um valor aproximado para arctan(0:99):

Resolução:

f ((1; 1) + (h1; h2)) = f (1; 1) + f 0h (1; 1) +1

2!f 00h (1; 1) :

Como

f 0h (1; 1) =

�@f

@x;@f

@y

�(1;1)

j (h1; h2) =1

2(h1 + h2) ;

f 00h (1; 1) =

�h1

@

@x+ h2

@

@y

�2(1;1)

f =

=

�h21@2f

@x2+ 2h1h2

@2f

@x@y+ h22

@2f

@y2

�(1;1)

= �12

�h21 + h

22

�então

f (1 + h1; 1 + h2) =�

4+1

2(h1 + h2)�

1

4

�h21 + h

22

�:

Assim

arctan(0:99) = arctan(1:1� 0:9) = arctan [(1 + 0:1)� (1� 0:1)] ;


temos o ponto (1; 1) e h = (0:1;�0:1) ; pelo que

arctan(0:99) ' �

4� 0:02

4:

Se no Teorema 2.13.7 a função f for de classe C1 e

limm!+1

Rm+1 (a; h) = limm!+1

f(m+1)h (a+ �h)

(m+ 1)!; com 0 < � < 1;

para todos os pontos os pontos numa vizinhança de a; então f pode serrepresentada pela série de Taylor em torno de um ponto a:

De�nição 2.13.11 Se f : I � R! R é uma função de classe C1; dá-se onome de série de Taylor de f no ponto a 2 I a

1Xn=0

f(n)(a)

n!(x� a)n :

Note-se que a série pode ser, ou não, convergente. Contudo f só podeser traduzida pela série de Taylor se o resto convergir para 0:

2.14 Estudo dos extremos de funções reais de nvariáveis reais

As de�nições de extremos de funções funções reais com n variáveis reais sãoanálogas ao caso escalar:

De�nição 2.14.1 Seja f : D � Rn ! R e a 2 D:

(i) Diz-se que f(a) é um mínimo (respectivamente, um máximo) local ourelativo de f se existir uma vizinhança V (a) tal que

f(x) � f(a) (resp.,f(x) � f(a)); 8x 2 V (a) \D:

(ii) Aos máximos e mínimos dá-se o nome de extremos. Quando a de-sigualdade só se veri�ca para x = a; diz-se que f(a) é um extremolocal estrito.

2.14. ESTUDODOS EXTREMOS DE FUNÇÕES REAIS DEN VARIÁVEIS REAIS103

2.14.1 Extremos em pontos interiores do domínio

Antes de classi�car os extremos vejamos algumas condições necessárias paraa sua existência:

Teorema 2.14.2 Considere-se f : D � Rn ! R uma função diferenciávelem a 2 int D:É condição necessária, embora não su�ciente, para que exista um extremo(local) em x = a que f 0(a) = 0: (Note-se que no caso de n > 1; tal signi�ca

que�@f@xi

�(a) = 0; para i = 1; 2; :::; n):

Dem. Para n = 1; no caso em que f(a) é mínimo tem-se que f 0(a�) � 0e f 0(a+) � 0:

Como f é diferenciável em a; então f 0(a�) = f 0(a+) = 0:Análogamente no caso em que f(a) é máximo.No caso geral:

� a diferença f (a+ h) � f(a) (= f 0h (a+ �h); 0 < � < 1) só tem sinalconstante numa vizinhança V (a) se o mesmo suceder com o vector h"paralelo"a cada um dos vectores da base de Rn; ei;

� para cada derivada parcial @f@xi (apenas incrementada segundo o vectorei); é possível calcular derivadas laterais. Pela primeira parte (caso

n = 1); tem-se�@f@xi

�(a) = 0; para i = 1; 2; :::; n; e logo f 0h (a) = 0:

A condição f 0(a) = 0 não é su�ciente para a existência de extremos.Veja-se o seguinte contra-exemplo:

Para f : R ! R dada por f(x) = x3; temos f 0(x) = 3x2; 0 2 int D;f 0(0) = 0 e f(0) = 0 não é nenhum extremo.

De�nição 2.14.3 Seja f : D � Rn ! R: Os pontos x em que f 0(x) = 0;dizem-se pontos de estacionaridade ou pontos críticos de f:

Para n = 1 foram estabelecidas algumas regras para esclarecer se umponto crítico é, ou não, um extremante da função.

Veja-se, a título de exemplo, o seguinte teorema que sintetiza algumasdessas regras:

Teorema 2.14.4 Considere-se f : I � R! R uma função de classe Cm ea 2 int I um ponto crítico de f:Seja m > 1 a mais baixa ordem das derivadas de f que não se anulam ema: Então:


a) Se m é par e f(m)(a) > 0 então f(a) é um mínimo (local) estrito;

b) Se m é par e f(m)(a) < 0 então f(a) é um máximo (local) estrito;

c) Se m é ímpar e f(m)(a) > 0 então f é crescente nalguma vizinhança de

a;

d) Se m é ímpar e f(m)(a) < 0 então f é decrescente nalguma vizinhança

de a.

Dem. Daremos apenas uma ideia intuitiva da demonstração usando afórmula de Taylor:

Se m > 1 é a mais baixa ordem das derivadas de f que não se anulamem a; então

f (x) = f(a) +(x� a)m

m!f(m)(a) +Rm+1.

Se considerarmos Rm+1 o resto de Peano, quando x! a (ou h! 0); tem-seque Rm+1 ! 0; pelo que é desprezável. Assim

f (x)� f(a) = (x� a)m

m!f(m)(a);

e o sinal de f (x)� f(a) é o mesmo que o sinal de (x� a)m f(m)(a):

Se f (x)� f(a) > 0; então f (x) > f(a); 8x 2 V (a); e f(a) é um mínimo.

Para n > 1, o processo é análogo, recorrendo ao m (primeira ordem dasderivadas dirigidas que não se anulam no ponto crítico a) e à fórmula deTaylor.

Assim tem-se, utilizando o resto de Peano (2.13.3),

f (a+ h) = f (a) +khkm

m!

hf(m)vers h(a) + �

i; com lim

h!0� = 0:

Então o sinal de

f (a+ h)� f (a) = khkm

m!


i;

depende do sinal de f (m)vers h(a) que é um polinómio homogéneo de graum (ou uma forma de grau m ) nas componentes de vers h (veja-se. porexemplo, o Exercício 2.13.10).


2.14.2 Classi�cação dos pontos críticos

Em primeiro lugar vejamos a classi�cação das formas (polinómios homogé-neos) e, posteriormente, a sua relação com a existência de extremos, ou sejao sinal de f (m)vers h(a).

De�nição 2.14.5 Uma forma diz-se:

a) inde�nida, se puder tomar valores positivos e valores negativos (nãotem sinal constante);

b) de�nida, se tiver sinal constante, sem nunca se anular (como se con-sidera vers h; que tem norma 1, as suas coordenadas não se podemanular todas simultaneamente):

b.1) de�nida positiva, se for positiva;

b.2) de�nida negativa, se for negativa;

c) semi-de�nida, se tomar valores de um só sinal mas se se puder anularcom os hi (componentes de h) não todos nulos. Isto é, existem di-recções singulares, direcções de h 6= 0 segundo as quais a forma seanula.

Classi�quemos então os pontos críticos:

Teorema 2.14.6 Considere-se uma função de classe Cm+1, f : D � Rn !R e a 2 int D um ponto crítico de f:Seja m > 1 a mais baixa ordem das derivadas dirigidas de f que não seanulam (identicamente) em a. Então

a) f(a) é um mínimo (resp. máximo) local estrito se m é par e f (m)vers h(a)é uma forma de�nida positiva (resp. negativa);

b) o ponto x = a não é um extremante para a função f se:

b.1) m é ímpar (neste caso caso a forma é inde�nida);

b.2) m é par mas f (m)vers h(a) é uma forma inde�nida ;

b.3) m é par e f (m)vers h(a) é uma forma semi-de�nida, mas há alguma di-recção singular ao longo da qual a primeira derivada dirigida que nãose anula é de ordem ímpar ou, sendo par, tem sinal contrário ao quetinha f (m)vers h(a) fora das direcções singulares;


c) o recurso às derivadas dirigidas não é conclusivo quando se veri�camsimultaneamente as condições:m é par, f (m)vers h(a) é semi-de�nida e ao longo de cada direcção singularou as derivadas dirigidas de ordem superior a m continuam a anular-se todas no ponto a, ou a primeira que não se anula é de ordem pare toma um valor do mesmo sinal que assume f (m)vers h(a) nas direcçõesnão singulares.

Dem. Nas hipóteses do teorema temos


m!


i;

com limh!0

� = 0:

a) Sem é par e f (m)vers h(a) é uma forma de�nida (toma valores com sinal cons-tante, sem se anular) então no conjunto

�(h1; :::; hn) : h

21 + � � �h2n = 1

(limitado e fechado) a função (contínua) de h; f (m)vers h(a) assume um

mínimo e um máximo. Em qualquer dos casos a função��f (m)vers h(a)

��tem um mínimo positivo �:Como � é um in�nitésimo com h é possível �xar h tal que

j�j < � ��f (m)vers h(a)

�� ; 8h 6= 0:Então existe uma vizinhança de a onde o sinal de f (a+ h)�f (a) temo mesmo sinal de f (m)vers h(a); pelo que há um extremo estrito em a :

� máximo, se f (m)vers h(a) < 0 (forma de�nida negativa), pois f (a+ h) <f (a) ;

� mínimo, se f (m)vers h(a) > 0 (forma de�nida positiva), pois f (a+ h) >f (a) ;

b.1) Sem é ímpar, então o polinómio f (m)vers h(a) (em hi; i = 1; :::; n) tem grauímpar, pelo que tanto pode tomar valores negativos como positivos.Ou seja, f (m)vers h(a) é uma forma inde�nida;

b.2) Sem é par e f (m)vers h(a) é uma forma inde�nida (toma valores positivos enegativos), pelo que não há uma vizinhança de a onde f (a+ h)�f (a)mantenha sinal constante e, assim, a não será extremante para a funçãof ;


b.3) Se a forma é semi-de�nida (pode tomar valores só de um sinal, maspode anular-se com hi não todos nulos (direcções singulares)), entãojá não há a garantia de que para direcções vizinhas destas, em


m!


i;

temos��f (m)vers h(a)

�� > �; pelo que não é possível garantir o sinal de

f (a+ h)� f (a) :A única conclusão que podemos tirar é que não há extremo se, aolongo de uma direcção singular v; a primeira derivada dirigida que nãose anula, f (m+k)vers h (a); puder ter o sinal contrário ao que tinha a forma

semi-de�nida f (m)vers h(a) fora das direcções singulares (pois, neste caso,por menor que seja o raio da vizinhança V (a); f (a+ h)�f (a) assumevalores de um sinal ao longo das direcções não singulares e valores desinal contrário ao longo da direcção v).É, por exemplo, o que se passa sempre que m+ k seja ímpar.

c) Se não se veri�car a diferença de sinal da alínea anterior, isto é, se aolongo das direcções singulares, as primeiras derivadas dirigidas que nãose anulam em a são de ordem par e tomam todas valores do mesmosinal que assume f (m)vers h(a) fora das direcções singulares, então só umestudo directo e individualizado do comportamento da função na viz-inhança de a, poderá dar alguma informação.

O teorema anterio é útil, na prática, quando m = 2; pelo que é im-portanta a classi�cação da forma quadrática f 00vers h(a) através da matriz

hessiana, H(a) =h@2f@x@y

i(a):

Corolário 2.14.7 Seja A uma matriz simétrica de ordem n:Considere-se a cadeia de menores principais de A:

1; �1;�2; � � � ;�n = det(A);

em que cada �i (determinante de ordem i) é menor principal do determi-nante �i+1 ; i = 1; :::; n� 1.

1. Se a característica de A (r(A)) é igual a n; então a forma f 00vers h(a)(ou H(a)) é:


a) de�nida positiva se �i > 0; i = 1; :::; n;

b) de�nida negativa se (�1)i�i > 0; i = 1; :::; n;

c) inde�nida se houver permanência e variação de sinal.

2. Se r(A) = p < n (quadrática degenerada; há n � p colunas nulas), aforma é:

a) semi-de�nida positiva se �i > 0; i = 1; :::; p; �j = 0; j = p +1; :::; n;

b) semi-de�nida negativa se (�1)i�i > 0; i = 1; :::; p; �j = 0; j =p+ 1; :::; n;

c) inde�nida se na cadeia houver permanência e variação de sinal.

Exercício 2.14.8 Estudar a existência de extremos livres das funções:

a) f : R3 ! R dada por

f (x; y; z) = x2 + y2 + 3z2 + yz + 2xz � xy;

b) g : R2 ! R dada por

g (x; y) = 2�y3 + x2 + xy

�;

c) h : R2 ! R dada por

h (x; y) = 2 (x� y)2 � 2�y4 + x4

�:

Resolução: a) Os pontos críticos de f são dados pelas soluções dosistema 8><>:

@f@x = 2x+ 2z � y = 0@f@y = 2y + z � x = 0@f@z = 2x+ 6z + y = 0:

Como é um sistema linear homogéneo com característica 3, é possível edeterminado, pelo que admite apenas a solução nula (0; 0; 0):O estudo da forma f 00vers h(0; 0; 0) pode ser feito através da matriz hessiana

H =

2664@2f@x2

@2f@x@y

@2f@x@z

@2f@y@x

@2f@y2

@2f@y@z

@2f@z@x

@2f@z@y

@2f@z2

3775(0;0;0)

=

24 2 �1 2�1 2 12 1 6

35 :


A cadeia de menores principais é

1; �1 = 2; �2 =

�� 2 �1�1 2

�� = 3; �2 = jHj = 4:Como são todos positivos, H é de�nida positiva, pelo que f(0; 0; 0) é ummínimo local, pelo Teorema 2.14.6.Em alternativa à matriz hessiana, pode calcular-se a derivada dirigida de 2a

ordem em (0; 0; 0); designando vers h = (h1; h2; h3) e calculano a forma

f 00vers h(0; 0; 0) =

"�h1

@

@x+ h2

@

@y+ h3

@

@z

�2f

#(0;0;0)

:

b) Os pontos estacionários de g são dados pelo sistema(@g@x = 4x+ 2y = 0@g@y = 6y

2 + 2x = 0

cujas soluções são �x = 0y = 0

_�x = � 1

12y = 1

6

:

A matriz hessiana é

H =

"@2g@x2

@2g@x@y

@2g@y@x

@2g@y2

#=

�4 22 12y

�:

Então

H (0; 0) =�4 22 0

�e a cadeia de menores principais será

1; �1 = 4; �2 = jH (0; 0)j = �4:

Então g00vers h(0; 0) é uma forma inde�nida (m = 2; par) pelo que, peloTeorema 2.14.6, g(0; 0) não é ponto de máximo nem de mínimo.Para o ponto crítico

�� 112 ;

16

�temos

H�� 1

12;1

6

�=

�4 22 2

�e

1; �1 = 4; �2 =

��H�� 1

12;1

6

�� = 4:


Assim H�� 112 ;

16

�é de�nida positiva, pelo que

�� 112 ;

16

�é um ponto de

mínimo.c) Os pontos críticos de h são as soluções do sistema� @a

@x = 4 (x� y)� 8x3 = 0

@a@y = �4 (x� y)� 8y

3 = 0;

isto é, �x = 0y = 0

_�

x = 1y = �1 _

�x = �1y = 1

:

A matriz hessiana é

H =

"@2a@x2

@2a@x@y

@2a@y@x

@2a@y2

#=

�4� 24x2 �4�4 4� 24y2

�:

Para

H (�1; 1) =��20 �4�4 �20

�tem-se

1; �1 = �20; �2 = jH (�1; 1)j = 384;

pelo que a00vers h (�1; 1) é uma forma de�nida negativa. Logo (�1; 1) é umponto de máximo.O mesmo acontece para (1;�1) :No outro caso, obtem-se

H (0; 0) =�4 �4�4 4

�tem-se

1; �1 = 4; �2 = jH (0; 0)j = 0:

Então a00vers h (0; 0) é uma forma semi-de�nida positiva e é necessário estudaras direcções singulares.A expressão da forma é, considerando h = (h1; h2) ;

a00vers h (0; 0) = 4h21 � 8h1h2 + 4h22 = 4 (h1 � h2)

2 :

Assima00vers h (0; 0) = 0() h1 = h2:

Comokvers hk =

qh21 + h

22 = 1 (2.14.1)


tem-se que h1 = �p22 ; pelo que existem duas direcções singulares

u =

p2

2;

p2

2

!e v =

�p2

2;�p2

2

!:

É preciso agora encontrar a primeira ordem da derivada dirigida que não seanula identicamente em (0; 0) : Comecemos por veri�car a 3a ordem:

a000vers h (0; 0) = h31a000x3 (0; 0) + 3h

21h2a

000x2y (0; 0)

+3h22h1a000xy2 (0; 0) + h

32a000y3 (0; 0)

= 0; 8h 2 R2:

Passando à 4a derivada

a(iv)vers h (0; 0) = h41a

(iv)x4(0; 0) + 4h31h2a

(iv)x3y(0; 0) + 6h21h

22a(iv)x2y2

(0; 0)

+4h1h32a(iv)xy3(0; 0) + h42a

(iv)y4(0; 0)

= �48�h41 + h

42

�:

Esta derivada não se anula porque, por (2.14.1), h1 e h2 não se podem anularsimultaneamente. Então, em (0; 0), a primeira derivada dirigida que não seanula identicamente é 4, isto é, m = 4.Determine-se, agora, o sinal da forma segundo a direcção singular u =�p

22 ;

p22

�:

a(iv)�p

22;p22

� (0; 0) = �480@ p2

2

!4+

p2

2

!41A < 0:

(o sinal é o mesmo para a direcção singular��p22 ;�

p22

�):

O sinal de a00vers h (0; 0) fora das direcções singulares é positivo. Então, peloTeorema 2.14.6 b.3), o ponto (0; 0) não é um extremante.

Exercício 2.14.9 Para a função

f(x; y) = x4 � 2x2y2 + y4 + 1;

a) prove que qualquer ponto da forma (x; x) ou (x;�x) é um ponto esta-cionário;

b) Determine as direcções singulares;


c) mostre que todas as derivadas dirigidas se anulam segundo as direcçõessingulares;

d) prove que 1 é um mínimo absoluto de f:(Sugestão: escreva f na forma f(x; y) =

�x2 � y2

�2+ 1))

2.15 Máximos e mínimos de funções de�nidas im-plicitamente

A teoria anterior é aplicável a uma função f : D � Rn ! R de�nidaimplicitamente por uma relação da forma ' (x1;:::;xn ; y) = 0; desde qu ' sejadiferenciável até uma ordem conveniente e atendendo às condições típicasdas funções implícitas:

� As condições de estacionaridade @y@xi

= 0; escrevem-se agora na forma@'@xi

= 0; (i = 1; 2; :::; n); supondo que @'@y 6= 0;

� Como as variáveis xi e o vafor y = f (x1; :::; xn) correspondente têmque veri�car a igualdade ' (x1;:::;xn ; y) = 0; o sistema para determinaros pontos críticos será 8>>><>>>:

@'@x1

= 0...

@'@xn

= 0

' (x1;:::;xn ; y) = 0

(supondo que @'@y 6= 0; que é uma condição necessária para ser função

implícita).

� Se A = (a1; :::; an; b) for solução do sistema (em que b = f (a1; :::; an)é o valor da função no ponto crítico), também se pode recorrer à

matriz hessiana H(A) =h

@2y@xi@xj

i(A)(caso não seja a matriz nula, o

que corresponde a admitir que f 00vers h (a1; :::; an) 6= 0) para se veri�carse (a1; :::; an) é, ou não, extremante.

� O cálculo das segundas derivadas @2y@xi@xj

faz-se a partir de

@y

@xi= �

@'@xi@'@y

; (2.15.1)

2.15. MÁXIMOS EMÍNIMOS DE FUNÇÕES DEFINIDAS IMPLICITAMENTE113

utilizando o facto de A ser um ponto de estacionaridade. Assim

@2y

@xi@xj(A) =

�@

@xj

�@y

@xi

��(A) =

"@

@xj

�

@'@xi@'@y

!#(A)

=

264� @@xj

�@'@xi

�� @'@y �

@'@xi

� @@xj

�@'@y

��@'@y

�2375 (A)

=

264��

@2'@xi@xj

+ @2'@xi@y

@y@xj

�� @'@y �

@'@xi

��

@2'@y@xj

+ @2'@y2

@y@xj

��@'@y

�2375 (A) :

Como A é um ponto crítico do sistema @'@xi(A) = 0 e, por (2.15.1),

@y@xi(A) = 0; tem-se

@2y

@xi@xj(A) =

24� @2'@xi@xj@'@y

35 (A) : (2.15.2)

Estas considerações podem resumir-se no teorema seguinte:

Teorema 2.15.1 Seja f : D � Rn ! R uma função de classe Ck (k �2) de�nida implicitamente por uma relação da forma ' (x1;:::;xn ; y) = 0;segundo as condições do Teorema 2.11.3.Então:

a) Os pontos críticos de f são as soluções do sistema� @'@xi

= 0; i = 1; 2; :::; n;

' (x1;:::;xn ; y) = 0

(com @'@y 6= 0);

b) Para cada ponto crítico A = (a1; :::; an; b) ; a condição de b = f (a1; :::; an)ser um extremo, depende :

1. se n = 1; do sinal de (2.15.2), caso seja não nulo, nos termos doTeorema 2.14.4;

2. se n > 1; da natureza da forma quadrática da matriz (2.15.2), senão for nula, nos termos do Teorema 2.14.6.


Exercício 2.15.2 Considere a equação

x+ 2xy + 3z2 + x2z � 1 = 0:

a) Indique os pontos onde a equação de�ne z como função de x e y:

b) Determine, se existirem, os extremos da função z:

Resolução: a) ' (x; y; z) = x+ 2xy + 3z2 + x2z � 1 é de classe C1 e

@'

@z= 6z + x2 6= 0() z 6= �x

2

6:

A equação de�ne z como função de x e y nos pontos pertencentes ao conjunto�(x; y; z) 2 R3 : ' (x; y; z) = 0 ^ z 6= �x

2

6

�:

b) Os pontos críticos são as soluções do sistema8><>:@'@x = 1 + 2y + 2xz = 0@'@y = 2x = 0

x+ 2xy + 3z2 + x2z � 1 = 0;

isto é 0;�1

2;�p3

3

!:

Para classi�car os pontos críticos, estuda-se a matriz"�H'

@'@z

#= � 1

@'@z

"@2'@x2

@2'@x@y

@2'@y@x

@2'@y2

#= � 1

6z + x2

�2z 22 0

�:

No ponto A =�0;�1

2 ;p33

�a matriz será

� 1

2p3

"2p33 22 0

#=

"�13 �

p33

�p33 0

#:

Como �1 = �13 ; �2 = �

13 ; tem-se uma matriz inde�nida, pelo que o ponto�

0;�12

�não é um ponto extremante da função z:

Em B =�0;�1

2 ;�p33

�; obtem-se �1 = 1

3 ; �2 = �13 ; a situação é análoga.

2.16. EXTREMOS CONDICIONADOS 115

Exercício 2.15.3 Seja a equação

x2 + xy + y2 = 27:

a) Indique o conjunto de pontos para os quais a equação de�ne y comofunção de x:

b) Determine, caso existam, os extremos de y:

Resolução: a) ' (x; y) = x2z + xy + y2 � 27 2 C1(R2) e

@'

@y= x+ 2y 6= 0() y 6= �x

2:

A equação de�ne y como função de x nos pontos do conjunton(x; y) 2 R2 : ' (x; y) = 0 ^ y 6= �x

2

o:

b) Os pontos críticos são as soluções do sistema�@'@x = 2x+ y = 0x2 + xy + y2 = 27

()�y = �2xx2 = 9

()�y = �6x = 3

_�y = 6x = �3 :

A classi�cação dos pontos críticos faz-se através do sinal de"�@2'@x2

@'@y

#=

�� 2

x+ 2y

�(3;�6)

=2

9> 0:

Pelo Teorema2.14.4, �6 é um mínimo local de y (o minimizante é 3).No ponto (�3; 6) ; o sinal é negativo, logo 6 é um máximo local de y:

2.16 Extremos condicionados

Admitamos que interessa determinar os extremos de uma função f : D �Rn ! R, mas sujeita a restrições caracterizadas por m < n relações daforma 8><>:

'1(x1:::; xn) = 0...

'm(x1:::; xn) = 0;

sendo f e 'i funções de classe Cr (Rn) ; (r � 2); com 'i funções linearmente

independentes, o seu jacobiano @('1;:::;'m)@(x1:::;xn)

6= 0 (caso contrário consideram-seapenas as m funções linearmente independentes).


2.16.1 Método dos multiplicadores de Lagrange

Este método baseia-se na construção de uma nova função (Lagrangeana)que resulta da soma de f com uma combinação linear das restrições

L := f(x1:::; xn) + �1'1(x1:::; xn) + � � �+ �m'm(x1:::; xn);

ou,

L(x1:::; xn; �1; :::; �m) := f +mXi=1

�i'i(x1:::; xn);

com os componente �i a determinar.Por este motivo também se chama "Método dos multiplicadores indeter-

minados".Os possíveis pontos críticos de f , sujeitos às restrições apresentadas,

terão de ser também pontos críticos de L, isto é, de satisfazer o sistema

@f

@xk+

mXi=1

�i@'i@xk

= 0; k = 1; :::; n;

ou seja, 8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:

@f@x1

+ �1@'1@x1

+ � � �+ �m@'m@x1

= 0...

@f@xn

+ �1@'1@xn

+ � � �+ �m@'m@xn

= 0

'1(x1:::; xn) = 0...

'm(x1:::; xn) = 0;

ou, sinteticamente, (@L@xi

= 0; i = 1; :::n;@L@�j

= 0; j = 1; :::m:

Determinados os pontos críticos de problemas com extremos condiciona-dos, há que investigar quais são os pontos de máximo ou de mínimo ou osque não são extremantes.

2.16.2 Método do Hessiano orlado

Este método é válido quando o sinal do segundo diferencial permite deter-minar a natureza do ponto crítico.

Antes do resultado geral veja-se um exemplo:


1o Caso: Seja f : R2 ! R sujeita à restrição '(x; y) = 0:A função Lagarangeana é

L(x; y; �) = f(x; y) + �'(x; y)

e os pontos críticos de L são soluções do sistema8><>:@f@x + �

@'@x = 0

@f@y + �

@'@y = 0

'(x; y) = 0:

(2.16.1)

Seja (a; b; �0) um ponto estacionário de L.Partindo de

(df)h =@f

@xh1 +

@f

@yh2

e aplicando a ' tem-se

(d')h =@'

@xh1 +

@'

@yh2 = 0;

pois '(x; y) = 0:Considerando o x como variável independente na expressão '(x; y) = 0;

pode considerar-se h2 como uma função de x; y e h1; dada por

h2 = �@'@x@'@y

h1: (2.16.2)

(Note-se que se @'@y = 0 então @'

@xh1 = 0 =) @'@x = 0 =) '(x; y) � 0;

pelo ' seria a função nula, logo não seria nenhuma restrição.)Calculando o diferencial de 2a ordem de '; temos

0 = d2h' = dh (dh') =@

@x(dh')h1 +

@

@y(dh')h2

=@

@x

�@'

@xh1 +

@'

@yh2

�h1 +

@

@y

�@'

@xh1 +

@'

@yh2

�h2

=

�@2'

@x2h1 +

@2'

@y@xh2 +

@'

@y

@h2@x

�h1 +

�@2'

@y@xh1 +

@2'

@y2h2 +

@'

@y

@h2@y

�h2

=@2'

@x2(h1)

2 + 2@2'

@y@xh1h2 +

@2'

@y2(h2)

2 +@'

@y

0BBB@@h2@x h1 + @h2@y

h2| {z }=dhh2

1CCCA :


Então o diferencial de h2 é dado por

dhh2 = �@2'@x2

@'@y

(h1)2 � 2

@2'@y@x

@'@y

h1h2 �@2'@y2

@'@y

(h2)2 : (2.16.3)

Aplicando o mesmo processo para determinar o diferencial de 2a ordem def e substituindo em (2.16.3), obtem-se

d2hf =@2f

@x2(h1)

2 + 2@2f

@y@xh1h2 +

@2f

@y2(h2)

2 +@f

@ydhh2

=@2f

@x2(h1)

2 + 2@2f

@y@xh1h2 +

@2f

@y2(h2)

2

+@f

@y

0@� @2'@x2

@'@y

(h1)2 � 2

@2'@y@x

@'@y

h1h2 �@2'@y2

@'@y

(h2)2

1A ;

colocando em evidência h1; h2 e h1h2 temos

d2hf =

@2f

@x2�

@f@y

@'@y

@2'

@x2

!(h1)

2 + 2

@2f

@y@x�

@f@y

@'@y

@2'

@y@x

!h1h2

+

@2f

@y2 2�

@f@y

@'@y

@2'

@y2

!(h2)

2 ;

obtendo-se assim uma forma quadrática nas componentes de h = (h1; h2):Como se pretende calcular esta forma nos pontos críticos, isto é, nos

pontos que veri�cam (2.16.1), tem-se

@f

@y+ �

@'

@y= 0() � = �

@f@y

@'@y

;

e, substituindo em d2hf;

d2hf (a; b) =

�@2f

@x2� �0

@2'

@x2

�(a;b)

(h1)2 + 2

�@2f

@y@x� �0

@2'

@y@x

�(a;b)

h1h2

+

�@2f

@y2 2� �0

@2'

@y2

�(a;b)

(h2)2 :


Pela construção Lagrangeana (L(x; y; �) = f(x; y) + �'(x; y)), obtem-sea forma quadrática

d2hf (a; b) =@2L@x2

(a; b; �0) (h1)2 + 2

@2L@y@x

(a; b; �0)h1h2 (2.16.4)

+@2L@y2

(a; b; �0) (h2)2 :

Por outro lado tem-se

f (a+ h1; b+ h2)� f(a; b) = (dhf)(a;b)| {z }=0

+1

2!d2hf (a; b) +R3:

Como (dhf)(a;b) = 0, o sinal do primeiro membro, numa vizinhançasu�cientemente pequena de (a; b) (em que o resto tende para 0); depende dosinal da forma quadrática d2hf (a; b) :

Atendendo a (2.16.2), pode-se modi�car (2.16.4):

d2hf (a; b) =@2L@x2

(a; b; �0) (h1)2 + 2

@2L@y@x

(a; b; �0)h1

�@'@x@'@y

h1

!

+@2L@y2

(a; b; �0)

�@'@x@'@y

h1

!2

=

0@@2L@x2

� 2 @2L

@y@x

@'@x@'@y

+@2L@y2

@'@x@'@y

!21A (h1)2=

1�@'@y

�2"@2L@x2

�@'

@y

�2� 2 @

2L@y@x

@'

@x

@'

@y+@2L@y2

�@'

@x

�2#(h1)

2

= � 1�@'@y

�2��0 @'

@x@'@y

@'@x

@2L@x2

@2L@x@y

@'@y

@2L@y@x

@2L@y2

��| {z }H (a;b;�0)

(h1)2 :

Como os outros factores são quadrados, o sinal de f (a+ h1; b+ h2)�f(a; b)vai depender do determinanteH (Hessiano orlado) no ponto (a; b; �0) ; quese obtem do hessiano de L em (a; b; �0) rodeado das derivadas das restrições@'@x (a; b) e

@'@y (a; b) ; do modo como se indica:


Observação 2.16.1 Considerando @'@y (a; b) 6= 0 :

� Se H (a; b; �0) > 0; d2hf (a; b) é uma forma de�nida negativa, pelo quef(a; b) é um máximo;

� Se H (a; b; �0) < 0; d2hf (a; b) é uma forma de�nida positiva, e f(a; b)é um mínimo.

2o Caso: (caso geral)Seja f : Rn ! R sujeita às restrições 'i(x1:::; xn) = 0; com i = 1; :::;m;

em que f; 'i 2 Cr; (r � 2).A função lagarngeana será

L(x1:::; xn; �1; :::; �m) = f(x1:::; xn) + �1'1(x1:::; xn)

+ � � �+ �m'm(x1:::; xn);

e o hessiano orlado é um determinante de ordem n+m dado por,

Hn+m =

��

0 � � � 0 @'1@x1

� � � @'1@xn

......

0 � � � 0 @'m@x1

� � � @'m@xn

@'1@x1

� � � @'m@x1

@2L@x21

� � � @2L@x1@xn

......

......

@'1@xn

� � � @'m@xn

@2L@xn@x1

� � � @2L@x2n

��:

Observação 2.16.2 Calculam-se n�m determinantes:

� Hn+m;

� Hn+m�1; suprimindo a linha e a coluna n+m;

� ...

� H2m+1; suprimindo as n�m� 1 últimas linhas e colunas.Para cada ponto crítico (a1; :::; an) tem-se os seguintes casos

1. Se os determinantes Hk (2m+ 1 � k � n+m; k 2 N) são alter-nadamente positivos e negativos, tendo H2m+1 o sinal de (�1)m+1 ;então (a1; :::; an) é um ponto de máximo (já que a forma é de�nidanegativa);


2. Se os determinantes Hk (2m+ 1 � k � n+m; k 2 N) têm todoso mesmo sinal de (�1)m ; então (a1; :::; an) é um ponto de mínimo(já que a forma é de�nida positiva);

3. Se H2m+1 = 0; nada se pode concluir e só o estudo local pode darinformação.O mesmo acontece para os outros casos não referenciados ante-riormente.

Exemplo 2.16.3 Determinar os extremos de f(x; y) = 2x � 3y que per-tencem à elipse

x2 +3

2y2 = 10:

Resolução: Para a lagrangeana

L(x; y; �) = 2x� 3y + ��x2 +

3

2y2 � 10

�calculam-se os pontos críticos8><>:

@f@x + �

@'@x = 0

@f@y + �

@'@y = 0

'(x; y) = 0

()

8<:2 + 2x� = 0�3 + 3y� = 0x2 + 3

2y2 = 10

()

8<:x = 2y = �2� = �1

2

_

8<:x = �2y = 2� = 1

2

:

O hessiano orlado será

H =

��0 @'

@x@'@y

@'@x

@2L@x2

@2L@x@y

@'@y

@2L@y@x

@2L@y2

�� =��0 2x 3y2x 2� 03y 0 3�

�� :Calculando-o em cada um dos pontos críticos:

H�2;�2;�1

2

�=

��0 4 �64 �1 0�6 0 �3

2

�� = 60 > 0;então f (2;�2) é máximo;

H��2; 2; 1

2

�=

��0 �4 6�4 1 06 0 3

2

�� = �60 < 0;então f (�2; 2) é mínimo.


Exemplo 2.16.4 Estudar os extremos de g(x; y; z) = x2 + 2y + z que per-tencem aos planos

x+ y + z = 2 e x+ 2y = 1:

Resolução:

L(x; y; z; �1; �2) = x2 + 2y + z + �1 (x+ y + z � 2) + �2 (x+ 2y � 1) ;8>>>><>>>>:

@L@x = 2x+ �1 + �2 = 0@L@y = 2 + �1 + 2�2 = 0@L@z = 1 + �1 = 0x+ y + z = 2x+ 2y = 1

()

8>>>><>>>>:x = 3

4y = 1

8z = 9

8�1 = �1�2 = �1

2

;

H2+3 =

��0 0 1 1 10 0 1 2 01 1 2 0 01 2 0 0 01 0 0 0 0

��= 8 > 0:

Calcular 3�2 determinantes. Neste caso apenas H5 = 8 > 0; que é o mesmosinal de (�1)m = (�1)2 = 1: Logo o ponto crítico é um ponto de mínimo,tomano f o valor mínimo de f

�34 ;18 ;98

�= 31

16 :

Exemplo 2.16.5 Determinar três números cuja soma seja 150 e de modoque o produto seja o máximo.

Resolução: f(x; y; z) = xyz e '(x; y; z) = x+ y + z = 150;

L(x; y; z; �) = xyz + � (x+ y + z � 150) ;

os pontos críticos são8>><>>:@L@x = yz + � = 0@L@y = xz + � = 0@L@z = xy + � = 0x+ y + z = 150

()

8>><>>:x = 50y = 50z = 50

� = �2500

;

excluem-se os valores nulos, pois neste caso o produto seria nulo.Provar que o produto é máximo neste ponto:

H3+1 =

��0 @'

@x@'@y

@'@z

@'@x

@2L@x2

@2L@x@y

@2L@x@x

@'@y

@2L@y@x

@2L@y2

@2L@y@z

@'@z

@2L@z@x

@2L@z@y

@2L@z2

��=

��0 1 1 11 0 z y1 z 0 x1 y x 0

�� :


É necessário calcular n�m = 3� 1 = 2 determinantes: H4 e H3: Assim

H4 (50; 50; 50;�2500) =

��0 1 1 11 0 50 501 50 0 501 50 50 0

�� = �7500 < 0;

H3 (50; 50; 50;�2500) =

��0 1 11 0 501 50 0

�� = 100 > 0:Temos sinais alternados comH2m+1=3 > 0 que é o mesmo sinal de (�1)m+1=2 :Pela Observação 2.16.2 (1) o ponto crítico é um ponto de máximo.Assim os números são x = y = z = 50:


2.17 Exercícios

1. Determine, utilizando a de�nição, as derivadas parciais de 1a ordem dasfunções, nos pontos indicados:

a) f(x; y) = 2x+y+3x�3y+1 em (�1; 1);

b) g(s; t) =pst em (1; 1):

2. Calcule, caso existam, as derivadas parciais de 1a ordem das seguintesfunções:

a) f(x; y) =

(2x2+3y3

x2+y2; (x; y) 6= (0; 0)

0 ; (x; y) = (0; 0);

b) g(x; y) =

(x+ypx2+y2

; (x; y) 6= (0; 0)0 ; (x; y) = (0; 0):

3. Para as funções

f(x; y) = x2 cos (x) y3; g(x; y; z) =2x

yx2 + z2;

h(x; y; z) = arctan (xyz) ; j(x; y) = (3x+ 2y)6 ;

calcular:

a) @f@x b) @f

@y c) @2f@x@y d) @2f

@y2

e) @g@y f) @g

@z g) @2g@z2

h) @2h@y@z

i) @2h@y2

j) @j@x l) @3j

@y@x2m) @4j

@y2@x2:

4. Recorrendo à de�nição, calcule a derivada das seguintes funções,segundo o vector u e nos pontos P indicados:

a) f(x; y) = 2x2 + 3y2; u = (1; 1) e P = (2;�1);

b) g(s; t) = 2s+ 5y2; u = (1;p2) e P = (�1; 1):

5. Determine a derivada direccional f 0u no ponto P:

a) f(x; y) = e5xy; u = (1; 1) e P = (23 ;�13);

b) g(s; t) = ln�2 + s+ y2

�; u = (1; 0) e P = (�12 ;

1p2):


6. A altura em relação ao nível das águas do mar de um ponto (x; y) deuma certa montanha é dado por

z = 2500� 2x2 � 3y2;

em que x; y e z são de�nidos em metros. O semi-eixo positivo OX apontapara Oriente e o semi-eixo positivo OY indica o Norte.

Um montanhista está no ponto (�10; 5; 2225) e pode caminhar em qual-quer direcção

a) Se se dirigir em direcção a Ocidente, o montanhista estará subindo oudescendo ?

b) Se caminhar em direcção a Nordeste, o montanhista estará subindo oudescendo e a que taxa?

c) Em que direcção/direcções deverá caminhar para seguir uma curva denível ?

7. Mostre que as funções abaixo têm derivadas parciais de 1a ordem naorigem mas não são diferenciáveis em (0; 0).

a) f(x; y) =� xy

x2+y2; (x; y) 6= (0; 0)

0 ; (x; y) = (0; 0);

b) g(x; y) =

(y(x2�y2)x2+y2

; (x; y) 6= (0; 0)0 ; (x; y) = (0; 0):

8. Estude a diferenciabilidade e a continuidade das seguintes funções:

a) f(x; y) = xy

b) g(x; y) =

(y2x2�x4x2+y2

; (x; y) 6= (0; 0)0 ; (x; y) = (0; 0)

c) f(x; y) =

(x5

x2+y2; (x; y) 6= (0; 0)

0 ; (x; y) = (0; 0):

9. Calcule o diferencial total das funções:

a) z = 2x2 + y2 � 5x � 3y no ponto (�2; 1) para os acréscimos dx = 0:1 edy = �0:3:


b) z = x2 ln�xy

�em (1; 1) para os acréscimos dx = �0:2 e dy = 0:2:

10. Utilizando o diferencial indique um valor aproximado para:

a) f(1:02; 0:96) para f(x; y) = 4x2 + 3xy + xy2:

b) g(1:003; 1:002) para g(x; y) = ln (y)x2 + y2

1+x2:

11. Considere uma função f diferenciável no ponto (1; 2) com

@f

@x(1; 2) = �1 e

@f

@y(1; 2) = 3:

Se f(1; 2) = 4 indique uma aproximação para o valor de f(0:99; 2:03):

12. Para a função f : R3 ! R2 dada por

f(x; y; z) =

�x2 + ez; arctan

�x+ 2y + 3z

3

��;

escreva a matriz jacobiana em (0; 0; 0) :

13. Considere a função f : R3 ! R3 de�nida por

f(x; y; z) = (sen (xy) ; cos (xy) ; xz) :

Calcule o diferencial de f no ponto P = (0; 2; 1) segundo o vector u =(�1; 2; 1) :

14. Dada a função z(x; y) = tan�x2 + y3

�; com x = t2 + 2t e y = ln t;

calcule dzdt :

15. Seja a função f(x; y; z) = 3x�2y+4z; em que x(t) = ln t; y(t) = 3t;z(t; w) = 2t + cosw:

Calcular @f@t e

@f@w :

16. Considere as funções f; g : R3 ! R com f de classe C1�R3�e g

dada porg(x; y; z) = f (x� y; y � z; z � x) :

Mostre que

@g

@x(x; y; z) +

@g

@y(x; y; z) +

@g

@z(x; y; z) = 0;

para qualquer ponto (x; y; z) 2 R3:


17. Sejam as funções h : R2 ! R; h 2 C2�R2�e z(s; t) = h (x(s; t); y(s; t))

com x(s; t) = s2 � t2 e y(s; t) = 2st:Prove que

@2z

@s@t= 4x

@2h

@x@y� 2y

�@2h

@x2� @2h

@y2

�+ 2

@h

@y:

18. Veri�que que as seguintes funções são homogéneas:

a) f(x; y) = 4x2+3xyx2+y2

b) g(x; y) = 2xy2 + ln�4x

3�:

19. Considere a função f : R3 ! R dada por

f(x; y; z) = x2y +

px�ypz�

+ y��1z:

Determine os valores de � e � de modo que a função seja homogénea.Indique o grau de homogeneidade e veri�que o Teorema de Euler.

20. Considere o parabolóide z = f(x; y) = 1 + 4x2 + y2:

a) Veri�que que o ponto P = (12 ;p3; 5) pertence ao parabolóide.

b) Determine a equação do plano tangente ao parabolóide em P:

c) Indique uma equação da recta normal ao parabolóide no ponto P:

d) Determine o ponto Q de intersecção da reta perpendicular ao grá�co def em P com o plano XOY .

21. Indique a equação do plano tangente e da recta normal à superfíciex2 � 4y2 + 2z = �2 no ponto (2; 1;�1):

22. Determine a equação de um plano tangente à superfície x2 + 2y2 +z2 = 1 de modo que seja paralelo ao plano y = 2z:

23. Calcule a divergência e o rotacional das seguintes funções:

a) f(x; y; z) = (xy; yz; zx)

b) g(x; y; z) = (xey)�!e 2 + (yez)�!e 3:


24. Seja f : R3 ! R3 uma função de classe C2�R3�: Prove que:

rot (rf) = (0; 0; 0) :25. Considere uma função g : R3 ! R3 dada por

g(x; y; z) =

8<:u = x+ y + zv = 2y + zw = �x+ 2z:

a) Determine o jacobiano de g:

b) Que pode a�rmar quanto à sua invertibilidade ?

c) Se possível, calcule g�1:

26. Considere as funções

f(u; v; w) =

8<:x = 2u+ bv + wy = u+ (b+ 2)v + 2wz = u+ 2bw

e

g(x; y; z) =

8<:u = bx+ 2y + zv = 2x+ (b+ 2)y + 2zw = 6x� y + 3z:

a) Em cada caso, determine o parâmetro b de modo a que as funções sejaminvertíveis.

b) Para um valor conveniente de b, determine, para cada uma das funções,a respectiva função inversa.

27. Prove que as equações seguintes, de�nem z como função de x e y navizinhança dos pontos referidos e calcule @z

@x e@z@y nesses pontos:

a) ln(x+ 2y + 3z) = 4xy na vizinhança de (1; 0; 0).

b) 2x+ y � 3z � 1 + cos (x+ 2y + z) = 0 na vizinhança da origem.

28. Considere a equação

x+ 2xy + 3z2 + 2x2z = 1:

a) Para que valores de z a equação de�ne, implicitamente, z como funçãode x e y na vizinhança de (1; 0; z).


b) Calcule as derivadas parciais de z como função de x e y na vizinhançados pontos anteriores.

c) Nos pontos referidos, calcule@2z

@x@y:

29. Considere o sistema�xy + ln (z + w) = 0zw + ln (x+ y) = 0:

a) Mostre que este sistema de�ne z e w como funções implícitas de x e y,na vizinhança de (1; 0; 1; 0) .

b) Calcule@z

@x;@z

@y;@w

@x;@w

@y;

na vizinhança de (1; 0).

30. Estude os extremos relativos das seguintes funções:

a) f(x; y) = y2 + xy + 3y + 2x+ 5;

b) g(x; y) = x2 + xy � 2y � 2x� 3;

c) h(x; y) = x2 + y � ey;

d) f(x; y) = x2 + y2 + 2xy + 2y + 2x+ 10:

31. Determine os máximos e mínimos relativos (locais) da função y(x)de�nida implicitamente pela equação

y3 � 3x2y + x3 � 3 = 0:

32. Calcule os extremos da função z(x; y) de�nida implicitamente pelaigualdade

x+ 2xy + 3z2 + x2z = 2;

na vizinhança dos pontos adequados.33. Determinar e classi�car os extremos das funções seguintes nas regiões

indicadas:


a) f(x; y) = x2 + y2 � x+ 3 na região�(x; y) 2 R2 : x2 + y2 = 4

;

b) g(x; y) = x2+ y2� 2x� 2y+3 sobre a curva C dada por 4x2� 8x+ y2�2y + 1 = 0; Máximo: (1,3) e (1-1); Mínimo (2,1) e (0,1)

c) h(x; y) = x2 + y2 + xy2na região�(x; y) 2 R2 : 0 � x � 1; jyj � 1

;

d) f(x; y; z) = 2x2 + y + z sujeita às restrições�x+ y + z = 4x+ 2y = 6

;

e) g(x; y; z) = 2x+ y2 + 2z sujeita às restrições�x+ 2y + z = 10x+ 2z = 8

:

34. Determine a distância mínima da origem à superfície z = 1xy :

35. Indique o(s) ponto(s) do cone z2 = x2+ y2 que estão mais próximosdo ponto (4; 2; 0):

36. Determinar o paralelepípedo rectangular de volume máximo inscritonuma esfera de raio r.

37. Num secador de cereais de formato cilíndrico com raio de 1 metro, atemperatura do ar na saída do secador num ponto (x; y) da secção transversaldo tubo de descarga do secador, considerando a origem no centro do tubo,é dada pela função

T (x; y) = 8(3x2 � 2xy + 3y2 + 2y + 5):

Encontre a maior e a menor temperatura na secção de saída do secador.

Capítulo 3

Integrais de linha oucurvilíneos

Neste capítulo generaliza-se a noção de integral.O intevalo [a; b] é substituido por uma curva do espaço a n dimensões,

de�nida por uma função vectorial �. A função integranda é também umafunção vectorial f; de�nida e limitada ao longo da curva.

Os integrais de linha são importantes em Matemática pura e aplicada.Aparecem ligados com os conceitos de trabalho, energia potencial, �uxo decalor, circulação de um �uido, e noutros conceitos físicos em que se estuda ocomportamento de uma função (escalar ou vectorial) ao longo de uma curva.

3.1 De�nição e propriedades

Seja I = [a; b] :

De�nição 3.1.1

a) Uma função � : I ! Rn contínua em I; diz-se uma linha contínua deRn;

b) � é uma linha regular se a derivada �0 existe e é contínua num inter-valo ]a; b[;

c) � é uma linha seccionalmente regular (regular por intervalos) se sepode fazer uma partição de [a; b] num número �nito de subintervalose, em cada um deles, � é regular.

131

132 CAPÍTULO 3. INTEGRAIS DE LINHA OU CURVILÍNEOS

Exemplo

Esta curva admite tangente (derivada) em todos os pontos excepto numnúmero �nito de pontos (bicos).

De�nição 3.1.2 Seja � : [a; b] ! Rn uma linha seccionalmente regular eseja f uma função vectorial e limitada sobre o grá�co de �; C:O integral de linha de f ao longo de �; representa-se porZ

C

f d� ouZf � d� ou

IC

f d� (para curvas fechadas),

e de�ne-se ZC

f d� =

bZa

f [�(t)] � �0(t) dt:

Quando f e � se exprimem em função das suas componentes, f =(f1; :::; fn) e � = (�1; :::; �n) temosZ

C

f d� =

nXk=1

bZa

fk [�(t)] � �0k(t) dt:

Neste caso o integral de linha também se pode escreverZC

f d� =

ZC

f1 d�1 + � � �+ZC

fn d�n:

Exemplo 3.1.3 Seja f : D � R2 ! R2 dada por f(x:y) =�py; x3 + y

�:

1. Determinar D;

2. Calcular o integral de linha de f de (0; 0) a (1; 1) ao longo dos seguintescaminhos:

3.1. DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES 133

a) recta de equações paramétricas x = t; y = t; 0 � t � 1;b) curva de equações paramétricas x = t2; y = t3; 0 � t � 1;c) curva de equações paramétricas x = t: y = t

32 ; 0 � t � 1:

Resolução: 1. D = f(x; y) : y � 0g2. a) �(t) = (t; t) ; �0(t) = (1; 1) e

ZC

f d� =

1Z0

�pt; t3 + t

�� (1; 1) dt =

1Z0

�pt+ t3 + t

�dt =

17

12:

b) �(t) =�t2; t3

�; �0(t) =

�2t; 3t2

�e

ZC

f d� =

1Z0

�pt3; t6 + t3

��2t; 3t2

�dt =

1Z0

�2t

52 + 3t8 + 3t5

�dt =

59

42:

Observação 3.1.4 O exercício mostra que o integral de um ponto a outro,depende, em geral, do caminho percorrido.

c) �(t) =�t; t

32

�; �0(t) =

�1; 32 t

12

�e

ZC

f d� =

1Z0

�qt32 ; t3 + t

32

��1;3

2t12

�dt =

1Z0

�t34 +

3

2t72 +

3

2t2�dt =

59

42:

Observação 3.1.5 O valor do integral de linha é independente da repre-sentação paramétrica da curva.

Algumas propriedades dos integrais de linha são semelhantes às dos in-tegrais de Riemann.

1. Linearidade do integral (em relação à função integranda)ZC

(k1f + k2g) d� = k1

ZC

f d�+ k2

ZC

g d�:

2. Aditividade do integral:ZC

f d� =

ZC1

f d�+

ZC2

f d�;


onde C = C1 [C2; isto é, a curva C é de�nida pela função �(t) no intervalo[a; b] e C1 e C2; de�nidas por �(t) com t a variar em [a; c] e [c; b] paraa < c < b:

Vejamos como se pode con�rmar a conjetura da Observação 3.1.5.Sejam: �(t) uma linha contínua de�nida em [a; b], u uma função real de

variável real com u0(x) 6= 0; 8x 2 [c; d] ; e u ([c; d]) = [a; b] :Então a função � de�nida em [c; d] por �(x) = � [u(x)] é uma linha

contínua com o mesmo grá�co de �:Duas linhas � e � assim relacionadas dizem-se linhas equivalentes e

proporcionam representações paramétricas distintas da mesma curva.A função u de�ne uma mudança de parâmetro.Seja C o grá�co comum de duas linhas equivalentes, � e �:Se u0(x) > 0; 8x 2 [c; d] ; u preserva a orientação, isto é, � e � corre-

spondem a C com o mesmo sentido.Se u0(x) < 0; 8x 2 [c; d] ; u inverte a orientação, isto é, � e � percorrem

C com sentidos opostos.Então temos o Teorema

Teorema 3.1.6 (Comportamento de um integral curvilíneo sob uma mu-dança de parâmetro) Se � e � são duas linhas seccionalmente regulares,então tem-se:

a) se � e � originam C com o mesmo sentidoZC

f d� =

ZC

f d�;

b) e � e � corresponde a C com sentidos opostosZC

f d� = �ZC

f d�:

Dem. A demonstração faz-se apenas para linhas regulares. Para linhasseccionalmente regulares, basta decompor o intervalo e utilizar a aditividadeem relação à linha.

As linhas � e � estão relacionadas por �(x) = � [u(x)] ; com u de�nidaem [c; d] e � em [a; b] :

3.2. INTEGRAIS DE LINHA EMRELAÇÃOAOCOMPRIMENTODE ARCO135

Então �0(x) = �0 [u(x)] u0(x); pelo que

ZC

f d� =

dZc

f [�(x)] � �0(x) dx =dZc

f (� [u(x)]) � �0 [u(x)] u0(x) dx:

Fazendo, no último integral, a substituição v = u(x) e dv = u0(x)dx obtem-se

ZC

f d� =

u(d)Zu(c)

f [� (v)] � �0 (v) dv = �bZa

f [� (v)] � �0 (v) dv

= �ZC

f d�;

utilizando-se o sinal + se u (c) = a e u (d) = b e o sinal � se u (d) = a eu (c) = b:

No primeiro caso � e � originam C com o mesmo sentido. o segundocom sentidos opostos.

3.2 Integrais de linha em relação ao comprimentode arco

Seja � 2 C1 ([a; b]) : Então o grá�co de � é uma curva recti�cável.Se designarmos por ds o comprimento do arco �; então ds = k�0 (t)k =

s0 (t) :

De�nição 3.2.1 Seja f : Rn ! R de�nida e limitada em C (grá�co de �).O integral de linha de f com respeito ao comprimento de arco ao longode C, de�ne-se por

ZC

f ds =

bZa

f [� (t)] � s0 (t) dt =bZa

f [� (t)]� �0 (t) dt;

sempre que o integral do 2o membro exista.

Exercício 3.2.2 Calcular os integrais de linha, com respeito ao compri-mento do arco:


1.ZC

(x+ y) ds; onde C é o triângulo de vértices (0; 0) ; (1; 0) e (0; 1) ;

percorrido em sentido directo.

2.ZC

z ds; onde C é o grá�co de�nido pela função � : R! R3 dada por

�(t) = (t cos t; t sen t; t) ;

com 0 � t � t0:

Resolução: 1. DecompondoZC

(x+ y) ds =

ZC1

(x+ y) ds+

ZC2

(x+ y) ds+

ZC3

(x+ y) ds;

sendo

C1 : �1(t) =

�x = ty = 0

; com t 2 [0; 1] ;

C2 : �2(t) =

�x = t

y = �t+ 1 ; com t 2 [0; 1] ;

C3 : �3(t) =

�x = 0y = t

; com t 2 [0; 1] :

Como �01(t) = 1; �02(t) = p2; �03(t) = 1;temos

ZC1

(x+ y) ds =

1Z0

t� 1dt = 1

2;

ZC2

(x+ y) ds =

0Z1

(t� t+ 1)�p2dt = �

p2;

ZC3

(x+ y) ds =

0Z1

t� 1dt = �12;

3.3. APLICAÇÕES DO INTEGRAL DE LINHA 137

logo ZC

(x+ y) ds = �p2:

2. Para a curva � temos

�0(t) = (cos t� t sen t; sen t+ t cos t; 1 )

e �0(t) =p2 + t2:Então Z

C

zds =

t0Z0

tp2 + t2dt =

1

3

h(2 + t0)

32 � 2

p2i:

3.3 Aplicações do integral de linha

Trabalho de uma forçaConsidere-se uma partícula que se move ao longo de uma curva � sob a

acção de uma força f:Se a curva � é seccionalmente regular, o trabalho produzido por f de�ne-

se através do integral de linhaZf � d�:

Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 3.3.1 O trabalho produzido por uma força constante f = k;ao deslocar uma partícula de um ponto a para um ponto b; ao longo dequalquer trajectória seccionalmente regular unindo a e b é

k � (b� a) :

Dem. Seja � = (�1; :::; �n) ; com t 2 [t0; t1] ; uma linha unindo a e b;isto é, � (t0) = a e � (t1) = b; e k = (k1; :::; kn) :

Admitindo que �0 é contínua em [a; b] ; o trabalho realizado por f é

Zfd� =

nXi=1

ki

t1Zt0

�0i(t)dt =nXi=1

ki [�i(t1)� �i(t0)]

= k � [�(t1)� �(t0)] = k � (b� a) :


Observação 3.3.2 Se a força é constante, o trabalho depende apenas dosextremos a e b e não da curva que os une (campo conservativo).

Exemplo 3.3.3 Princípio do trabalho e energia: Uma partícula demassa m move-se ao longo de uma curva sob acção de uma força f: Se avelocidade da partícula no instante t é v(t); a sua energia cinética é dadapor

Ec =1

2mv2(t):

Proposição 3.3.4 A variação da energia cinética num intervalo de tempoé igual ao trabalho realizado por f nesse intervalo de tempo.

Dem. Sela e(t) a posição da partícula no instante t:O trabalho efectuadopor f durante o intervalo de tempo [t0; t1] é dado porZ e(t1)

e(t0)f � d�:

Pela lei do movimento de Newton F = ma; temos f (e(t)) = mv0(t) e

f (e(t)) � e0(t) = f (e(t)) � v(t) = mv0(t) � v(t)

=1

2md

dt

�v2(t)

�:

Integrando em [t0; t1] ;Z e(t1)

e(t0)f � de =

Z t1

t0

f (e(t)) � e0(t)dt = 1

2m

Z t1

t0

d

dt

�v2(t)

�dt

=1

2m�v2(t)

�t1t0=1

2mv2(t1)�

1

2mv2(t0):

Exemplo 3.3.5 Distribuição de massas ao longo de uma curva:Consideremos um �o A de densidade variável, de�nida por f: Ou seja f (x; y; z)representa a massa por unidade de comprimento no ponto (x; y; z) de A:Então a massa total M do �o é dada pelo integral de linha relativo aocomprimento de arco

M =

ZAf (x; y; z) ds:

3.3. APLICAÇÕES DO INTEGRAL DE LINHA 139

O centro de massa do �o é o ponto (x0; y0; z0) cujas coordenadas sãodadas pelos fórmulas

x0 =1

M

ZAxf (x; y; z) ds; y0 =

1

M

ZAyf (x; y; z) ds;

z0 =1

M

ZAzf (x; y; z) ds:

Um �o de densidade constante diz-se homogéneo e, neste caso, o centro demassa diz-se o centróide.

Exercício 3.3.6 Determinar a massa M e as coordenadas do centro degravidade de uma espira completa de uma mola helicoidal cilindríca de equaçãovectorial

�(t) = (a cos t; a sent; bt) ;

se a densidade em (x; y; z) for dada por f (x; y; z) = x2 + y2 + z2:

Resolução:

M =

ZC

�x2 + y2 + z2

�ds

=

Z 2�

0

�a2 cos2 t+ a2 sen2t+ b2t2

�pa2 + b2dt

=pa2 + b2

�a2t+

b2t3

3

�2�0

=pa2 + b2

�2�a2 +

8

3b2�3

�:

A coordenada x0 será

x0 =1

M

ZAx�x2 + y2 + z2

�ds

=1

M

Z 2�

0a cos t

�a2 + b2t2

�pa2 + b2dt

=6ab2

3a2 + 4b2�3:

As coordenadas y0 e z0 obtêm-se de modo análogo.

Exemplo 3.3.7 Momento de inércia de um �o em relação a umeixo: Se � (x; y; z) representar a distância de um ponto (x; y; z) de C a umeixo L; o momento de inércia IL de�ne-se por

IL =

ZC�2 (x; y; z) f (x; y; z) ds;


em que f (x; y; z) é a densidade em (x; y; z) :Os momentos de inércia em relação aos eixos coordenados presentam-se porIx; Iy e Iz:

Exercício 3.3.8 Calcular o momento de inércia Iz da espira completa damola helicoidal referida no exercício anterior.

Resolução: Como �2 (x; y; z) = x2+y2 = a2 e f (x; y; z) = x2+y2+ z2;então

Iz =

ZC

�x2 + y2

� �x2 + y2 + z2

�ds

= a2ZC

�x2 + y2 + z2

�ds =Ma2:

3.4 Campo conservativo e potencial

Comecemos pela de�nição de conjunto conexo por arcos:

De�nição 3.4.1 Seja � Rn um conjunto aberto. diz-se conexo porarcos se cada par de pontos de se pucer unir por uma linha seccionalmenteregular, cujo grá�co esteja em : Isto, para cada par de pontos a e b existeuma linha seccionalmente regular ; de�nida em [t0; t1], tal que (t) 2 ;8t 2 [t0; t1], com (t0) = a e (t1) = b:

Conjuntos conexos por arcos

De�nição 3.4.2 Um conjunto aberto diz-se não conexo se é a reunião de

3.4. CAMPO CONSERVATIVO E POTENCIAL 141

dois ou mais conjuntos abertos não vazios e disjuntos.

Conjunto no conexo

De�nição 3.4.3 Seja f : � Rn ! Rm uma função vectorial contínua,com aberto e conexo. A função f diz-se um campo vectorial conservativo,quando o integral de linha de f; ao longo de qualquer curva fechada é zero(o integral não depende do caminho).

Teorema 3.4.4 Se f : � Rn ! R; aberto e conexo em Rn; é umafunção diferenciável com gradiente contínuo, então para quaisquer dois pon-tos a e b ligados por uma linha seccionalmente regular em ; tem-se

bZa

rf � d = f(b)� f(a):

Dem. Suponhamos dois pontos arbitrários a e b em ; unidos por umalinha seccionalmente regular em ; de�nida num intervalo [t0; t1] :

a) Se é regular em [t0; t1] então

bZa

rf � d =

t1Zt0

rf ( (t)) � 0(t)dt =t1Zt0

g0(t)dt

= g (t1)� g (t0) = f ( (t1))� f ( (t0)) = f(b)� f(a):

b) Se é seccionalmente regular, efectua-se uma partição do intervalo[t0; t1] num número �nito k de subintervalos [ti�1; ti] ; em cada um dos quais


é regular e aplicamos a alínea a):

bZa

rf � d =kXi=1

(ti)Z (ti�1)

rf ( (t)) � 0(t)dt =

=kXi=1

[f ( (ti)))� f ( (ti�1))] = f(b)� f(a):

Observação 3.4.5 Se b = a; isto é, para uma linha fechada, f(b)� f(a) =0; pelo que:O integral de linha de um gradiente contínuo é nulo ao longo de toda a linhafechada seccionalmente regular em :

De�nição 3.4.6 Se f = r' então ' chama-se uma função potencial paraf:

Exemplo 3.4.7 Em R3; seja ' (x; y; z) = fn; com f (x; y; z) =px2 + y2 + z2:

Note-se que, para cada n 2 N; temos r (fn) = nfn�2 � r (x; y; z) ; comr (x; y; z) = (x; y; z) : De facto, para n = 1;

rf = f�1r =r

f=

r

krk :

Admitindo, por hipótese, que r (fp) = pfp�2 � r tem-se que

r�fp+1

�= r (fpf) = r (fp) f + fprf =

�pfp�2 � r

�f + fpf�1r

=�pfp�1 + fp�1

�� r = (p+ 1) fp�1 � r:

Então, por indução matemática r (fn) = nfn�2 � r; 8n 2 N:Desta forma ' é um potencial da função vectorial f (x; y; z) = nfn�2 �r (x; y; z) :Ou seja, as superfícies equipotenciais de ' são esferas centradas na origem.

Observação 3.4.8 1. Num campo conservativo não se realiza trabalho nomovimento de uma partícula ao longo de uma curva fechada, voltando aoponto de partida.

2. Um campo de forças não é conservativo se no sistema existirem atritoou viscosidade, uma vez que estes tendem a transformar a energia mecânica


em energia calorí�ca.

3. Um campo de forças que admite uma função potencial, diz-se conservativoporque a energia total (soma das energias cinética e potencial) se conserva.

O teorema seguinte generaliza o Teorema Fundamental do Cálculo Inte-gral a integrais de linha, ao longo de uma curca C; seccionalmente regular,entre um ponto �xo a 2 e um ponto genérico x:

Teorema 3.4.9 Se f é uma função vectorial contínua num conjunto conexo � Rn; se o integral de linha de f é independente da linha considerada em e se a é um ponto �xo de ; então:

� a função escalar ' : ! R é dada por

' =

Z x

af � d�;

com � uma qualquer linha seccionalmente regular de ; unindo a a x;

� o gradiente de ' existe e é igual a f; isto é,

r'(x) = f(x); 8x 2 :

Dem. Como f(x) é uma função vectorial, provaremos que para a com-ponente de ordem k; a derivada parcial @'

@xkexiste e é igual a fk(x); para

k = 1; :::; n e para cada valor de x em :Seja Br(x) � : Se y é um vector tangente unitário, o ponto x + hy

também está em (porque é conexo), para todo o h 2 R tal que 0 < jhj < r:Então

' (x+ hy)� ' (x) =Z x+hy

xf � d�;

sendo que a linha que une x a x+hy pode ser uma linha qualquer seccional-mente regular.

Em particular podemos utiliar o segmento de�nido por �(t) = x + thy;0 � t � 1: AssimZ 1

0f (x+ thy) � y dt =

1

h

Z 1

0f (x+ thy) � h y dt

=1

h

Z 1

0r' (x+ thy) � h y dt

=1

h[' (x+ thy)]10 =

' (x+ hy)� ' (x)h

:


Considerando agora y = ek; o vector de ordem k da base ortonormada,temos

f (x+ thy) � y = f (x+ thek) � ek:Fazendo uma mudança de variável u = th; temos

' (x+ hy)� ' (x)h

=

Z 1

0f (x+ thy) � y dt =

Z 1

0f (x+ thek) dt(3.4.1)

=

Z h

0f (x+ uek)

1

hdu =

g (h)� g (0)h

;

sendo g a função de�nida em ]� r; r[ por g(t) =R t0 fk (x+ uek) du:

Como cada componente fk é contínua em ; o Teorema Fundamentaldo Cálculo Integral garante que g0(t) = fk (x+ tek) : Em particular, g0(0) =fk (x) :

Passando ao limite em (3.4.1) com h! 0; tem-se

limh!0

' (x+ hy)� ' (x)h

= limh!0

g (h)� g (0)h

= g0(0) = fk (x) :

Então @'@xk

= fk(x):O próximo teorema fornece uma condição necessária e su�ciente para

que uma função vectorial seja um gradiente:

Teorema 3.4.10 Se f é uma função vectorial contínua num conjunto conexoe aberto � Rn; então são equivalentes as três propriedades:

(i) f é o gradiente de alguma função potencial em ;

(ii) o integral de linha de f é independente da linha considerada em ;

(iii) o integral de linha de f; ao longo de qualquer linha fechada seccional-mente regular contida em é zero.

Dem. (ii) =) (i) foi provada no Teorema 3.4.9.(i) =) (iii) foi provada no Teorema 3.4.4, no caso particular de b = a.(iii) =) (ii)Suponhamos duas quaisquer curvas, C1 e C2; seccionalmente regulares

em e com as mesmas extremidades. Seja C1 o grá�co de uma função �de�nida em [a; b] e C2 o grá�co de � de�nida em [c; d] :

Consideremos uma função de�nida por

(t) =

��(t) se a � t � b

� (b+ d� t) se b � t � b+ d� c:


Então de�ne uma curva fechada C; pois

(a) = �(a) e (b+ d� c) = � (b+ d� b� d+ c) = � (c) :

Como C1 e C2 têm as mesmas extremidades, �(a) = � (c) ; pelo que é umacurva fechada.

Por outro lado, como � e � têm sentidos opostos,ZCf � d =

ZC1

f � d��ZC2

f � d�;

eIC

f � d = 0 pelo que

ZC1

f � d� =ZC2

f � d�;

ou seja, o integral é independente do caminho.

Observação 3.4.11 1. SeIC

f � d 6= 0; para C uma curva fechada, então

f não é um gradiente.

2. SeIC

f � d = 0; para C uma curva fechada particular não implica neces-

sariamente que f seja um gradiente.

Vejamos um contra-exemplo:IC

f �d ; com o círculo com centro na origem,

raio qualquer e f(x; y) = (x; xy); é nulo. Todavia f não é um gradiente.

3. O Teorema 3.4.9 pode ser utilizado para veri�car se uma dada funçãovectorial é um gradiente num conjunto aberto e conexo ; procedendo domodo seguinte:

1o) Integrando f desde um ponto �xo até um ponto arbitrário x 2 ; aolongo de uma linha conveniente de ; construindo-se ' : Rn ! R;

2o) Calculando-se as derivadas parciais de ' e comparando @'@xk

com fk :

Se @'@xk(x) = fk(x); 8x 2 e k qualquer, então f é um gradiente em

e ' é um potencial.Se @'

@xk(x) 6= fk(x); para algum x 2 , então f não é um gradiente em

.


O teorema seguinte fornece uma condição necessária para veri�car se umfunção vectorial não é um gradiente:

Teorema 3.4.12 Seja f = (f1; :::; fn) um campo vectorial continuamentediferenciável num aberto � Rn:Se f é um gradiente em ; então asderivadas parciais das componentes de f veri�cam

@fj@xi

(x) =@fi@xj

(x);8x 2 ; i; j = 1; 2; :::; n:

Dem. Se f é um gradiente então f = r' para alguma função potencial': Assim fj =

@'@xj

; para cada j = 1; 2; :::; n:Derivando ambos os membros em relação a xi; encontramos

@fj@xi

=@

@xi

�@'

@xj

�:

Analogamente, temos@fi@xj

=@

@xj

�@'

@xi

�:

Como as derivadas parciais @fj@xie @fi@xj

são contínuas em ; as duas derivadasmistas são iguais em :

Exercício 3.4.13 Veri�car se a função vectorial

f(x; y) =�3x2y; x3y

�é, ou não, um gradiente em � R2:

Resolução:@f1@y

= 3x2 e@f2@x

= 3x2y:

Então para x 6= 0 ^ y 6= 1, a função f não é um gradiente.As condições do teorema anterior são necessárias mas não su�cientes,

como se pode veri�car pelo próximo exercício:

Exercício 3.4.14 Seja = R2n f(0; 0)g e f : R2 ! R2 de�nida por

f(x; y) =

��y

x2 + y2;

x

x2 + y2

�:

Mostre que @f1@y =

@f2@x em ; mas que, apesar disso, f não é um gradiente.


Resolução:@f1@y

=y2 � x2x2 + y2

=@f2@x

:

Para provar que f não é um gradiente em ; calcula-se o integral de linhade f ao longo do círculo unitário de�nido por

�(t) = (cos t; sen t) ; 0 � t < 2� :

IC

f � d� =

Z 2�

0(�sen t; cos t) � (�sen t; cos t) dt

=

Z 2�

0

�sen2 t+ cos2 t

�dt = 2�:

Como o integral não é nulo, pelo Teorema 3.4.10, f não é um gradiente.


3.5 Exercícios

1. Calcular o integral de linha das funções vectoriais indicadas ao longo daslinhas especi�cadas:

a) f : R2 ! R2 dada por

f(x; y) =�x2 � 2xy

��!e 1 + �y2 � 2xy��!e 2;ao longo da parábola y = x2 entre os pontos (�1; 1) e (1; 1);

b) g : R2 ! R2 dada por

g(x; y) = (2a� y; x) ;

ao longo da linha de�nida por

�(t) = a (t� sen(t))�!e 1 + a (1� cos t)�!e 2;

para 0 � t � 2� e a > 0;

c) h : R3 ! R3 de�nida por

h(x; y; z) =�y2 � z2

��!e 1 + 2yz �!e 2 � x2 �!e 3;ao longo da linha dada por

�(t) = t �!e 1 + t2 �!e 2 + t3 �!e 3;

para 0 � t � 1;

d) f : R3 ! R3 de�nida por

f(x; y; z) =�2xy; x2 + z; y

�;

ao longo do segmento de recta que une os pontos A(1; 0; 2) e B(3; 4; 1);

2. Considere uma força f : R3 ! R3 de�nida por

f(x; y; z) = yz �!e 1 + xz �!e 2 + x(y + 1) �!e 3:

Calcular o trabalho realizado por f ao deslocar uma partícula ao longo docontorno do triângulo de vértices A(0; 0; 0); B(1; 1; 1) e C(�1; 1; 1); por estaordem.

3. Calcular os integrais de linha, com respeito ao comprimento de arco:


a)ZC

xy ds sobre a curva C dada por y = x2

2 da origem ao ponto�1; 12�;

b)ZC

z ds; onde C tem a equação vectorial

�(t) = t cos t �!e 1 + t sen t �!e 2 + t �!e 3;

com 0 � t � t0:

c)ZC

�2 + x2y

�ds; onde C é a parte da circunferência x2 + y2 = 1; para

x � 0; percorrida o sentido anti-horário;

d)ZC

�x2 + y2 � z

�ds; em que C é a hélice dada pelas equações paramétri-

cas 8<:x(t) = cos ty(t) = sen tz(t) = t

do ponto P (1; 0; 0) até ao ponto Q (1; 0; 2�) :

5. Considere um �o homogéneo de forma semi-circular e raio r:

a) Prove que o centro de massa está situado sobre o eixo de simetria, a umadistância de 2r

� do centro (origem).

b) Mostre que o momento de inércia em relação ao diâmetro que passa pelasextremidades do �o é 1

2Mr2; em que M é a massa do �o.

6. Um �o tem a forma circular com raio r: Determine a sua massa e omomento de inércia em relação ao diâmetro, sabendo que a sua densidadeem (x; y) é dada por jxj+ jyj:

7. Veri�que se as funções vectoriais indicadas são, ou não, um gradientee, em caso a�rmativo, determine a função potencial correspondent·e:

a) f(x; y) = x �!e 1 + y �!e 2;

b) g(x; y) =�3x2y; x3

�;

c) h(x; y; z) = (x+ z) �!e 1 � (y + z) �!e 2 + (x� y) �!e 3;

d) f(x; y; z) =�4xy � 3x2z2 + 1; 2x2 + 2;�2x3z � 3z2

�:

Capítulo 4

Integrais duplos

Inicialmente estudaram-se integrais do tipoR ba f(x)dx para funções de�nidas

e limitadas em intervalos limitados e, posteriormente, para funções não lim-itadas e/ou de�nidas em intervalos não limitados.

No capítulo anterior introduziram-se os integrais de linha ou curvilí-neos. Agora iremos substituir o intervalo [a; b] por uma região R (região deintegração).

4.1 De�nição de integral duplo

Seja R um rectângulo de�nido pelo produto cartesiano dos intervalos fecha-dos [a; b] e [c; d] :

R = [a; b]� [c; d] = f(x; y) : x 2 [a; b] e y 2 [c; d]g :

Consideremos duas partições P1 e P2; respectivamente de [a; b] e [c; d] :P1 = fx0; x1; :::; xng e P2 = fy0; y1; :::; ymg ; onde x0 = a; xn = b; y0 = c;

151

152 CAPÍTULO 4. INTEGRAIS DUPLOS

ym = d:

Como P1 decompõe [a; b] em n subintervalos e P2 decompõe [c; d] em msubintervalos, então a partição P := P1 � P2 divide a região R em n �mrectângulos.

De�nição 4.1.1 Uma função f de�nida num rectângulo R diz-se ser umafunção em escada se existe uma partição P de R; tal que f seja constanteem cada um dos rectângulos abertos de P:

O grá�co é formado por placas rectangulares paralelas ao eixo XOY:

3

2

x

41

0

1

02

43

y10

2z

3

5

4

4.2. PROPRIEDADES DO INTEGRAL DUPLO 153

Uma função em escada tem os pontos de contorno dos rectângulos bemde�nidos, mas esses pontos não são relevantes para a teoria de integração.

Intuitivamente, se P1 e P2 são partiçõse deR, tal que f seja constante nosrectângulos abertos de P1 e g constante nos de P2; então a função �f + �g;�; � 2 R; é constante nos rectângulos de P1 [ P2 (re�namento de P1 e P2 ).Ou seja:

Proposição 4.1.2 Se f e g são duas funções em escada num dado rectân-gulo R; então a combinação linear �f+�g; �; � 2 R; é também uma funçãoem escada.

Seja P = P1 � P2 uma partição do rectângulo R; em n �m rectângu-los abertos. Designemos por Rij o rectângulo determinado por [xi�1; xi] e[yj�1; yj ] e seja �ij o valor constante de f no interior de Rij .

Se f é positiva, o volume V do paralelepípedo com base Rij e altura �ijé dado por

VRij = �ij (xi � xi�1) (yj � yj�1)

ou, abreviadamente,VRij = �ij �xi �yj :

Estamos agora em condições de de�nir o integral duplo:

De�nição 4.1.3 Seja f uma função em escada, que toma o valor constante�ij no rectângulo aberto ]xi�1; xi[� ]yj�1; yj [ de um rectângulo R: O integralduplo de f em R de�ne-se porZZ

R

f (x; y) dxdy =nXi=1

mXj=1

�ij �xi �yj :

Tal como para os integrais de�nidos em R; o valor do integral não sealtera se a partição P for substituida por uma partição mais �na.

Assim, o valor do integral é independente da escolha da partição P , desdeque f seja constante nos rectângulos abertos de R:

4.2 Propriedades do integral duplo

Estas propriedades são generalizaçõesdos correspondentes teoremas para ocaso de integrais de�nidos em R:


Proposição 4.2.1 Sejam f e g funções em escada de�nidas num rectânguloR não degenerado (isto é, R não é nem um ponto nem um segmento derecta). Então são válidas as seguintes propriedades:

1. (Linearidade) 8�1; �2 2 R;ZZR

[�1f(x; y) + �2g(x; y)] dxdy

= �1

ZZR

f(x; y)dxdy + �2

ZZR

g(x; y)dxdy:

2. (Aditividade) Se R = R1 [R2 com intR1 \ intR2 = ? entãoZZR

f(x; y)dxdy =

ZZR1

f(x; y)dxdy +

ZZR2

f(x; y)dxdy:

3. (Comparação) Se f(x; y) � g(x; y); 8(x; y) 2 R; entãoZZR

f(x; y)dxdy �ZZR

g(x; y)dxdy:

Em particular se f(x; y) � 0; 8(x; y) 2 R; entãoZZR

f(x; y)dxdy � 0:

As demonstrações são consequências directas de de�nição de integralduplo e das propriedades dos somatórios.

4.3 Integrais duplos inferior e superior

Seja f uma função de�nida e limitada num rectângulo R: Isto é, existeM > 0 tal que

jf(x; y)j �M; 8(x; y) 2 R:

Então f pode ser limitada superiormente e inferiormente por duas funçõesem escada, s e t; onde s(x; y) = �M e t(x; y) =M; 8(x; y) 2 R; por exemplo.

4.3. INTEGRAIS DUPLOS INFERIOR E SUPERIOR 155

De�nição 4.3.1 Considere-se duas funções em escada, s e t; de�nidas emR; tais que

s(x; y) � f(x; y) � t(x; y);8(x; y) 2 R:Se existir um, e só um, número I tal queZZ

R

s(x; y)dxdy � I �ZZR

t(x; y)dxdy;

então f diz-se integrável em R, sendo

I =

ZZR

f(x; y)dxdy:

Designe-se por S o conjunto de todos os númerosZZR

s(x; y)dxdy; obtidos

quando se considera s(x; y) no conjunto de todas as funções em escada quelimitam f inferiormente, e por T quando se tomam as funções em escadat(x; y) que limitam f superiormente.

Note-se que S e T não são vazios pois f é limitada.Por outro lado, temosZZ

R

s(x; y)dxdy �ZZR

t(x; y)dxdy;

pelo que cada elemento de S é menor que qualquer elemento de T:Portanto S tem um supremo e T tem um ín�mo, que satisfazem as

desigualdadesZZR

s(x; y)dxdy � supS � inf T �ZZR

t(x; y)dxdy:

Então, tanto supS como inf T veri�cam as desigualdades da de�nição ante-rior.

Assim pode dizer-se que

f é integrável em R, supS = inf T =

ZZR

f(x; y)dxdy:

Ao número supS chama-se integral inferior de f e nota-se por I(f):A inf T chama-se integral superior de f e nota-se por I(f):

As a�rmações anteriores podem resumir-se no o seguinte teorema


Teorema 4.3.2 Toda a função f limitada num rectângulo R tem integralinferior e superior, tal queZZ

R

s(x; y)dxdy � I(f) � I(f) �ZZR

t(x; y)dxdy;

para todas as funções em escada s e t com s � f � t:A função é integrável em R se, e só se, os integrais inferior e superior sãoiguais e, neste caso ZZ

R

f(x; y)dxdy = I(f) = I(f):

Como as de�nições anteriores são análogas ao caso dos integrais de�nidosem R, todas as propriedades referidas na Proposição 4.2.1 são válidas paraintegrais duplos em geral.

4.4 O integral duplo por integração iterada

Vejamos como calcular alguns integrais duplos por intermédio de duas inte-grações sucessivas:

Teorema 4.4.1 Seja f uma função de�nida e limitada em R = [a; b]� [c; d]e admita-se que f é integrável em R. Para cada y �xo em [c; d] ; admita-seque

R ba f(x; y)dx existe e é igual a A(y):

SeR dc A(y)dy existe, então será igual ao integral duplo

ZZR

f(x; y)dxdy: Ou

seja, ZZR

f(x; y)dxdy =

Z d

c

�Z b

af(x; y)dx

�dy:

Dem. Escolham-se duas funções em escada arbitrárias s(x; y) e t(x; y)tais que s � f � t em R.

Integrando relativamente a x; em [a; b] ; temosZ b

as(x; y)dx � A(y) �

Z b

at(x; y)dx:

4.5. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO INTEGRAL DUPLO 157

Visto queR dc A(y)dy existe, pode integrar-se ambas as desigualdades relati-

vamente a y em [c; d] : EntãoZZR

s(x; y)dxdy �Z d

cA(y)dy �

ZZR

t(x; y)dxdy:

Visto que f é integrável em R, pela De�nição 4.3.1, o único número comestas propriedades é o integral duplo de f em R. EntãoZ d

cA(y)dy =

ZZR

f(x; y)dxdy:

Se mudarmos a ordem de integração, obtem-se de forma análoga,ZZR

f(x; y)dxdy =

Z b

a

�Z d

cf(x; y)dy

�dx;

sendo a igualdade válida se supusermos queR dc f(x; y)dy existe para cada x

�xo em [a; b] e é integrável em [a; b] :

4.5 Interpretação geométrica do integral duplo

Consideremos a função f : R2 ! R. Restringindo-a a um rectângulo R,obtemos um conjunto S; formado por todos os pontos entre o rectângulo Re a superfície z = f(x; y):


Para cada y �xo no intervalo [c; d] o integral A(y) =R ba f(x; y)dx é a

área da secção plana de S, de�nida por um plano paralelo ao plano XOZ:Como a área A(y) é integrável em [c; d] o integral

R dc A(y)dy é igual ao

volume do paralelepípedo formado por S:Isto é, para funções não negativas, o volume do conjunto das imagens de

f sobre o domínio R, é dado pelo integral duploZZR

f(x; y)dxdy:

Exemplo 4.5.1 Calcular o volume dos paralelepípedos cuja base é a regiãoR, e são limitados superiormente pelo grá�co de f(x; y); em R = [�1; 1]��0; �2

�sendo f(x; y) = x sen(y)� y ex:

Resolução: V =

�2Z0

1Z�1

(x sen (y)� yex) dxdy

=

�2Z0

hx2

2 sen (y)� yexi1�1dy =

hy2

2

�e+ 1

e

�i�20= �2

8

�e+ 1

e

�:

4.6 Integrabilidade de funções contínuas

Para funções contínuas temos o seguinte resultado:

Teorema 4.6.1 Se f é contínua num rectângulo R = [a; b]� [c; d] ; então:

(i) f é integrável em R;

(ii) o valor do integral pode obter-se por integração unidimensional iterada,ZZR

f(x; y)dxdy =

Z d

c

�Z b

af(x; y)dx

�dy =

Z b

a

�Z d

cf(x; y)dy

�dx:

Dem. (i) O Teorema 4.3.2 mostra que se f é limitada em R então fadmite um integral superior e um integral inferior. Para provar o teoremabasta demonstrar que I(f) = I(f):

Fixado " > 0; escolhe-se uma partição P deR, num número �nito de sub-rectângulos R1; :::;Rn, tais que a oscilação (valor máximo absoluto�valormínimo absoluto) de f em cada subrectângulo é menor que ":

4.6. INTEGRABILIDADE DE FUNÇÕES CONTÍNUAS 159

Isyo é, notando por Mk(f) o valor máximo absoluto de f e por mk(f) ovalor mínimo absoluto de f; em Rk, temos

Mk(f)�mk(f) < "; 1 � k � n:

Sejam agora s e t duas funções em escada de�nidas no interior de cadaRk da forma seguinte

s(x; y) = mk(f); t(x; y) =Mk(f);

se x 2 intRk: Nos pontos fronteira de�nimos s(x; y) = m e t(x; y) =M; emque m e M são, respectivamente, o máximo e o mínimo absolutos em R.

Entãos(x; y) � f(x; y) � t(x; y); 8x 2 R:

Do mesmo modo temos, designando por A (Rk) a área de cada rectânguloRk; ZZ

R

s(x; y)dxdy =nXk=1

mk(f)A (Rk)

e ZZR

t(x; y)dxdy =

nXk=1

Mk(f)A (Rk) :

A diferença entre estes dois integrais éZZR

t(x; y)dxdy �ZZR

s(x; y)dxdy =

nXk=1

[Mk(f)�mk(f)]A (Rk)

< "nXk=1

A (Rk) = "A (R) ;

sendo A (R) a área de R.Uma vez queZZ

R

s(x; y)dxdy � I(f) � I(f) �ZZR

t(x; y)dxdy;

então resulta a desigualdade

0 � I(f)� I(f) � "A (R) :

Fazendo "! 0; obtemos I(f) = I(f); pelo que f é integrável em R.


(ii) Para cada y �xo em [c; d] o integral simplesR ba f(x; y)dx existe, pois

a função integranda é contínua em R.Seja A(y) =

R ba f(x; y)dx: Pretende-se provar que A(y) é contínuo em

[c; d] (por (i)).Considerem-se y1 e y dois pontos arbitrários de [c; d] : Assim temos

A(y1)�A(y) =Z b

a[f(x; y1)� f(x; y)] dx;

pelo que

jA(y1)�A(y)j �Z b

ajf(x; y1)� f(x; y)j dx

� (b� a) maxa�x�b

jf(x; y1)� f(x; y)j

� (b� a) jf(x0; y1)� f(x0; y)j ;

onde x0 é o ponto de [a; b] no qual jf(x; y1)� f(x; y)j atinge o seu valormáximo.

Fazendo y ! y1 então f(x; y) ! f(x; y1); pelo que A(y) ! A(y1); ouseja, A(y) é contínuo em y1:

Deste modo Z d

cA(y)dy =

Z d

c

�Z b

af(x; y)dx

�dy

existe e pelo Teorema 4.4.1 é igual aZZR

f(x; y)dxdy:

O raciocínio é análogo quando se inverte a ordem de integração.

4.7 Integrabilidade de funções limitadas com de-scontinuidades

No teorema anterior provámos que o integral duplo de f sobre R existe sef for contínua em todos os pontos de R:

Agora provaremos que o integral também existe se f tem descontinuidadesemR, desde que o conjunto das descontinuidades não seja demasiado grande.Para tal necessitamos do seguinte conceito:

De�nição 4.7.1 Seja A um conjunto limitado do plano. Diz-se que A éum conjunto de medida nula se para todo o " > 0 existe um conjunto

4.7. INTEGRABILIDADE DE FUNÇÕES LIMITADAS COMDESCONTINUIDADES161

�nito de rectângulos cuja união contém A e cuja soma das áreas não exceda":

Ou seja, um conjunto plano limitado de medida nula pode ser cobertocom uma reunião de rectângulos cuja área total seja arbitrariamente pe-quena.

Vejamos algumas propriedades dos conjuntos de medida nula:

Proposição 4.7.2 (i) Qualquer conjunto �nito de pontos do plano tem me-dida nula.(ii) A reunião de um número �nito de conjuntos limitados de medida nulatem também medida nula.(iii) Todos os subconjuntos de conjuntos de medida nula, têm medida nula.(iv) Todo o segmento de recta tem medida nula.

Teorema 4.7.3 Seja f uma função de�nida e limitada em R = [a; b]�[c; d] :Se o conjunto dos pontos de descontinuidade de f em R é um conjunto de

medida nula, então o integralZZR

f(x; y)dxdy existe.

Dem. Como f é limitada, existe L > 0 tal que jf j � L em R:Seja D o conjunto de pontos de descontinuidade de f em R:Dado � > 0; considere-se uma partição P de R tal que a soma das áreas

de todos os subrectângulos de P; que contêm pontos de D; seja menor que�: (Só é possível porque D tem medida nula).

Nestes subrectângulos de�nam-se s(x; y) e t(x; y) funções em escada taisque

s(x; y) = �L e t(x; y) = L:

Nos restantes subrectângulos de P de�nam-se s e t; como no teoremaanterior, isto é, s(x; y) = mk(f) e t(x; y) =Mk(f):

Seguindo a técnica da demonstração do teorema anterior, temosZZR

t(x; y)dxdy �ZZR

s(x; y)dxdy

=

p0Xk=1

[Mk(f)�mk(f)]A (Rk)| {z }Rectângulos sem descontinuidades

+

p1Xk=1

2L| {z }Rectângulos com pontos de D

< "A (R) + 2L�:


Obtem-se assim a desigualdade

0 � I(f)� I(f) � "A (R) + 2L�:

Fazendo "! 0; tem-se que I(f) = I(f); pelo que f é integrável em R.

4.8 Integrais duplos em regiões mais gerais

Até aqui os integrais duplos foram de�nidos para domínios de integraçãorectangulares. Vamos agora estender esse conceito a domínios mais gerais.

Sejam S uma região limitada contida em R e f uma função de�nida elimitada em S:

De�na-se uma nova função ef em R do modo seguinte

ef(x; y) = � f(x; y) se (x; y) 2 S0 se (x; y) 2 RnS:

Isto é, estende-se f a todo o rectângulo R, fazendo com que seja nula noexterior de S:

Se supusermos ef integrável em R, então f é integrável em S e

ZZS

f(x; y)dxdy =

ZZR

ef(x; y)dxdy :

Consideremos em primeiro lugar conjuntos S de pontos do plano XOYde�nidos na forma

S = f(x; y) : a � x � b ^ '1(x) � y � '2(x)g ; (4.8.1)

4.8. INTEGRAIS DUPLOS EM REGIÕES MAIS GERAIS 163

onde '1 e '2 são funções contínuas em [a; b]: Por exemplo:

x

y

S

y=j1

y=j2

a b

A região S é limitada (necessariamente) porque '1(x) e '2(x) são funçõescontínuas, logo limitadas em [a; b]:

Outro exemplo de conjunto será

T = f(x; y) : c � y � d ^ 1(y) � x � 2(y)g ;

onde 1 e 2 são funções contínuas em [c; d]:

x

y

T

y1x= x= y2

c

d


T é uma região limitada, por motivos análogos.

Todas as regiões que se considerem, serão de um destes dois tipos, oupoderão ser decompostas num número �nito de partes, cada uma das quaisde um destes dois tipos.

Analisemos agora os pontos de descontinuidade.

Em primeiro lugar, note-se que, se os pontos de descontinuidade es-tiverem na fronteira da região, podem ser desprezados.

Considere-se ef de�nido como anteriormente. As descontinuidades de efem R serão as de f em S; mais aqueles pontos de fronteira de S nos quaisf não se anula.

No primeiro exemplo, a fronteira de S é constituida pelos grá�cos de '1e '2 e pelos dois segmentos de recta verticais que unem as extremidades dosgrá�cos.

Cada um destes segmentos de recta tem medida nula.

O teorema seguinte garante que os grá�cos têm também medida nula.

Teorema 4.8.1 Se ' é uma função real contínua em [a; b]; então o seugrá�co tem medida nula.

Dem. Seja A o grá�co de '; isto é,

A = (x; y) : y = '(x) ^ a � x � b:

Fixemos " > 0 e escolha-se uma partição P de [a; b] com um número�nito de subintervalos tais que a oscilação de ' em cada subintervalo de Pseja menor que "

b�a :

Portanto, relativamente a cada subintervalo de P; o grá�co de ' está


situado num rectângulo de altura "b�a :

Logo todo o grá�co de ' está contido numa reunião �nita de rectângulos,cuja soma das áreas é ":

Isto prova que o grá�co tem medida nula.O próximo teorema prova a existência do integral duplo se f for contínua

no int S:

Teorema 4.8.2 Seja S uma região compreendida entre os grá�cos de '1 e'2; admita-se que f está de�nida e limitada em S e que f é contínua no

interior de S: EntãoZZS

f(x; y)dxdy existe e pode calcular-se por integração

repetida: ZZS

f(x; y)dxdy =

Z b

a

"Z '2(x)

'1(x)f(x; y)dy

#dx:

Dem. Sejam R = [a; b] � [c; d] um rectângulo que contem S e ef umafunção de�nida como anteriormente.

Os únicos pontos de descontinuidade para ef são os pontos da fronteirade S:

Uma vez que a fronteira de S tem medida nula, ef é integrável em R.Para cada x �xo em [a; b] ; o integral

R dcef(x; y)dxdy existe, pois a função

integranda tem, no máximo, dois pontos de descontinuiidade em [c; d] :


Pelo Teorema 4.4.1, temos

ZZR

f(x; y)dxdy =

Z b

a

�Z d

c

ef(x; y)dy� dx:Se '1(x) � y � '2(x) então ef(x; y) = f(x; y); enquanto ef(x; y) = 0 para

os restantes valores de y em [c; d] :

Assim Z d

c

ef(x; y)dy = Z '2(x)

'1(x)f(x; y)dy;

pelo que da igualdade anterior se obtem

ZZR

f(x; y)dxdy =

Z b

a

�Z d

c

ef(x; y)dy� dx = Z b

a

"Z '2(x)

'1(x)f(x; y)dy

#dx:

Análogamente se prova um resultado semelhante para a região T:

Se as regiões forem simultaneamente de um e outro tipo, a ordem deintegração é irrelevante, isto é,

Z b

a

"Z '2(x)

'1(x)f(x; y)dy

#dx =

Z d

c

"Z 2(y)

1(y)f(x; y)dx

#dy:

Nalguns casos um destes integrais pode ser mais fácil de calcular do queo outro, pelo que se torna vantajoso examiná-los antes de se proceder aocálculo.

Exercício 4.8.3 Considere o integral duplo

Z 3

0

"Z p25�y24y3

f(x; y)dx

#dy:

Determine a região S de integração e permute a ordem de integração.


Resolução: A região S é dada por

Ao inverter a ordem de integração obtem-se duas regiões do primeiro tipo:

Z 4

0

"Z 34x

0f(x; y)dy

#dx+

Z 5

4

"Z p25�x2

0f(x; y)dy

#dx:

Exercício 4.8.4 Calcular os integrais duplos das funções f que se seguemnas regiões indicadas:

a) f(x; y) = (x+ y)�2 na região A = f(x; y) : x � y � 2x; 1 � x � 2g ;

b) f(x; y) = x2 + y2 na região B =�(x; y) : x2 + y2 � 1

:


Resolução: a) Representemos gra�camente a região de integração:

Z 2

1

Z 2x

x(x+ y)�2 dydx =

Z 2

1

��1x+ y

�2xx

dx =

Z 2

1

1

6xdx =

1

6ln 2:

b) Restringindo a região de integração ao 1o quadrante temos

ZZB

f(x; y)dxdy = 4

Z 1

0

Z p1�y20

�x2 + y2

�dxdy

= 4

Z 1

0

�p1� y2

�33

dy +

Z 1

0

�p1� y2y y

�dy

=4

3

Z �2

0cos4 t dt+ 4

��y2

�p1� y2

�3 23

�10

+4

3

Z 1

0

�p1� y2

�3dy

=�

4+4

3

3�

16=�

2:

4.9. APLICAÇÕES A ÁREAS E VOLUMES 169

4.9 Aplicações a áreas e volumes

Para uma região S como anteriormente de�nida em (4.8.1), podemos aplicaro Teorema 4.8.2 com f(x; y) = 1: Assim temosZZ

S

dxdy =

Z b

a['2(x)� '1(x)] dx;

sendo este último integral igual à área da região S:Em R3; conssidere-se o conjunto de pontos (x; y; z) tais que (x; y) 2 S e

0 � z � f(x; y): Então o integral duploZZS

f(x; y)dxdy é igual ao volume

do conjunto de pontos indicados.Mais geralmente se f e g são ambas contínuas em S; com f � g; entãoZZ

S

(g(x; y)� f(x; y)) dxdy é igual ao volume do sólido compreendido entre

os grá�cos das funções f e g:Análogamente para as regiões do tipo da região T:

Exercício 4.9.1 Determinar o volume do sólido no 1o octante limitado nabase pelos eixos coordenados e pela equação 2x+ y = 2 e superiormente porf(x; y) = x2 + y2 + 1:

Resolução: Então

V =

ZZR

f(x; y)dxdy =

Z 1

0

Z 2�2x

0

�x2 + y2 + 1

�dydx

=

Z 1

0

�x2y +

y3

3+ y

�2�2x0

dx =11

6:

4.10 Outras aplicações dos integrais duplos

Considere-se uma lâmina plana S; construída com uma matéria de densi-dade conhecida. Ou seja, existe uma função não negativa, f(x; y); de�nidaem S; que representa a massa por unidade de área no ponto (x; y):

Se a lâmina é constituida por um material homogéneo, então a den-sidade é constante e, neste caso, a massa total obtem-se efectuando oproduto da densidade pela área da lâmina.


Quando a densidade varia de ponto para ponto, utilizamos o integralduplo da densidade como de�niçao da massa total. Isto é, se a funçãodensidade f é integrável sobre S; de�ne-se a massa total, m(S); por

m(S) =

ZZS

f(x; y)dxdy:

Ao quociente

massaárea

=

ZZS

f(x; y)dxdy

ZZS

dxdy

chama-se densidade média da placa, ou lâmina, S:Se S é considerada como uma �gura geomátrica em vez de uma placa,

este quociente de�ne o valor médio da função f em S: Neste caso não seexige que f seja não negativa.

De�ne-se centro de massa como sendo o ponto (x; y) dado pelas equações

x m(S) =

ZZS

x f(x; y)dxdy; (4.10.1)

y m(S) =

ZZS

y f(x; y)dxdy:

Os integrais dos segundos membros são os momentos da placa relati-vamente ao eixo OY e OX; respectivamente.

Quando a densidade é constante, por exemplo f(x; y) = c; c > 0; tem-se

x m(S) = x

ZZS

f(x; y)dxdy = x c

ZZS

dxdy = x c a(S);

sendo a(S) a área de S: Substituindo em (4.10.1), tem-se

x a(S) =

ZZS

x dxdy:

Análogamente

y a(S) =

ZZS

y dxdy:

4.10. OUTRAS APLICAÇÕES DOS INTEGRAIS DUPLOS 171

Nestas hipóteses, ao ponto (x; y) chama-se centróide da placa, ou região,S:

Considerando no plano da placa uma recta r, designe-se por �(x; y) adistância de um ponto (x; y) de S a r: Então ao número Ir; de�nido por

Ir =

ZZS

�2(x; y) f(x; y)dxdy;

chama-se momento de inércia da placa S relativamente a r:Osmomentos de inércia em relação aos eixos OX e OY representam-

se por Ix e Iy e são dados por

Ix =

ZZS

y2 f(x; y)dxdy e Iy =ZZS

x2 f(x; y)dxdy:

À soma destes dois integrais chama-se momento polar de inércia I0em relação à origem:

I0 = Ix + Iy =

ZZS

�x2 + y2

�f(x; y)dxdy :

Observação 4.10.1 1. A massa e o centro de massa da placa são pro-priedades do corpo e são independentes da localização da origem e das di-recções dos eixos coordenados.

2. O momento polar de inércia depende da localização da origem, mas nãodas direcções escolhidas para os eixos coordenados.

3. Os momentos de inércia em relação aos eixos OX e OY dependem dalocalização da origem e da orientação dos eixos.

4. Se uma placa homogénea admite um eixo de simetria, o centróide estásobre esse eixo.

5. Se existirem dois eixos de simetria, numa placa homogénea, o centróideestará sobre o ponto de intersecção.

Exemplo 4.10.2 Determinar o centróide da região plana limitada por umarco de sinusóide.

Por de�nição de centróide, considera-se a densidade constante. Considere-se a região S limitada pela curva y =sen x; com 0 � x � �:


Como a região é homogénea e admite um eixo de simetria, o centróide estásobre esse eixo, isto é, x = �

2 : Então

y =

ZZS

y dxdy

a(S)=

R �0

R sen x0 y dydxR �0 sen x dx

=

R �0

hy2

2

isen x0

dxR �0 sen x dx

=�

8;

pelo que o centróide tem por coordenadas (x; y) =��2 ;

�8

�:

4.11 Teorema de Green no plano

OTeorema de Green, em homenagem a George Green (1793-1841), matemáticoinglês que se debruçou sobre as aplicações da Matemática à electricidade emagnetismo, �uxo de �uidos e à re�exão e refracção da luz e do som, per-mite exprimir um integral duplo estendido a uma região plana R como umintegral de linha ao longo de uma curva fechada C, que constitui a fronteirade R.

Há, contudo, condições de natureza geométrica que devem ser impostasa C:

De�nição 4.11.1 Suponhamos que C é descrita por uma função vectorialcontínua � de�nida em [a; b] :A curva C diz-se:

� Fechada, se �(a) = �(b);

� Fechada simples, se � é injectiva, isto é, para quaisquer valoresdiferentes de t 2]a; b[ dão lugar a pontos distintos da curva. Simboli-camente

t1 6= t2 =) �(t1) 6= �(t2):

� Curva de Jordan, se for uma curva fechada simples.

Observação 4.11.2 Toda a Curva de Jordan C decompõe o plano em doisconjuntos abertos conexos disjuntos, admitindo C como fronteira comum.Uma dessas regiões é limitada (interior de C), sendo a outra não limitada(exterior de C).

Enunciemos então o Teorema de Green para regiões planas limitadas porcurvas de Jordan seccionalmente regulares:

4.11. TEOREMA DE GREEN NO PLANO 173

Teorema 4.11.3 Sejam P e Q duas funções escalares, isto é, P;Q : Rn !R; continuamente diferenciáveis num conjunto aberto S do plano XOY .Considere-se C uma curva de Jordan seccionalmente regular, R a reuniãode C com o seu interior e R � S: Então veri�ca-se a igualdadeZZ

R

�@Q

@x� @P

@y

�dxdy =

IPdx+Qdy;

onde o integral de linha se considera ao longo de C no sentido directo.

Observação 4.11.4 A igualdade anterior é equivalente às duas fórmulas:ZZR

@Q

@xdxdy =

IQdy;

ZZR

� @P

@ydxdy =

IPdx:

Se ambas forem verdadeiras, somando-as membro a membro, obtem-se aigualdade inicial.Recíprocamente, fazendo no teorema P = 0 obtem-se a primeira e com Q = 0temos a segunda.

Vejamos uma vantagem deste resultado:Calcular, usando o Teorema de Green, o trabalho efectuado por

f(x; y) = (y + 3x| {z }P

; 2y � x| {z }Q

);

que actua sobre uma partícula obrigando-a a descrever a 4x2 + y2 = 4 nosentido directo.

O trabalho é dado pelo integral de linhaIPdx+Qdy =

ZZE

�@Q

@x� @P

@y

�dxdy =

ZZE

(�2) dxdy

= �2 a(E) = �4�:

A vantagem da utilização do Teorema de Green, consiste na não neces-sidade de parametrização da elipse � e dos cálculos de f [�(t)] e �0(t):

Por outro este exemplo mostra que uma área também pode ser expressacomo um integral de linha.


Observação 4.11.5 Para uma função f : R2 ! R2 dada por

f(x; y) = (P (x; y); Q(x; y)) ;

continuamente diferenciável num conjunto aberto e conexo S do plano, peloTeorema 3.4.10, uma condição necessária e su�ciente para que f seja umgradiente, é dada por.

@P

@y=@Q

@x:

4.12 Mudança de variáveis num integral duplo

Na teoria de integração a uma dimensão, o método de substituição permite-nos, frequentemente, calcular integrais "complicados", transformando-os noutrosmais simples ou noutro tipo de integral que pode pode ser mais facilmentecalculado.

O método baseia-se na igualdade

Z b

af(x)dx =

Z d

cf('(t)) '0(t)dt

com c = '�1(a) e d = '�1(b); sob as hipóteses de ' ter derivada contínuaem [c; d] e que f sejacontínua no conjunto de valores que toma '(t) comt 2 [c; d] :

Para o caso bidimensional existem duas substituições a efectuar: umapara x e outra para y. Assim, em vez de uma função ', existirão duasfunções, por exemplo, ' e ; as quais relacionam x e y com u e v, do modoseguinte

x = ' (u; v) e y = (u; v) :

Com estas duas relações, de�ne-se uma função vectorial

r (u; v) = (' (u; v) ; (u; v)) :

4.12. MUDANÇA DE VARIÁVEIS NUM INTEGRAL DUPLO 175

Quando (u; v) percorre a região T a extremidade de r (u; v) descreve ospontos de S.

Consideraremos apenas aplicações para as quais as funções ' e sãocontínuas e têm derivadas parciais contínuas @'

@u ;@'@v ;

@ @u ;

@ @v :

A fórmula para mudança de variáveis nos integrais duplos pode escrever-se como ZZ

S

f(x; y)dxdy =

ZZT

f [' (u; v) ; (u; v)] jJ (u; v)j dudv;

sendo jJ (u; v)j o módulo do jacobiano, isto é,

J (u; v) =

�� @'@u

@ @u

@'@v

@ @v

�� :Vejamos dois casos particulares da fórmula de mudança de variáveis:

4.12.1 Coordenadas polares

Neste caso escreveremos � e � em vez de u e v, e de�nimos a aplicação pelasduas equações

' (�; �) = x = � cos � e (�; �) = y = � sen �:

Para obtermos uma aplicação bijectiva, considera-se apenas � > 0 e � 2[0; 2�] :


O jacobiano será

J (�; �) =

�� @'@�

@ @�

@'@�

@ @�

�� =�� cos � sen �� sen � � cos �

�� = �:

Então a fórmula de mudança de variáveis tem a formaZZS

f(x; y)dxdy =

ZZT

f (� cos �, � sen �) �d�d�:

A transformação por coordenadas polares pode traduzir-se pelo esquema

Note-se que :

� As curvas � são rectas que passam pela origem e as curvas � são círculoscentrados na origem.

� A imagem de um rectângulo no plano � = � é um "quadrilátero"noplano XOY limitados por raios e dois arcos de circunferência.

� As coordenadas polares são adequadas quando a região de integraçãotem fronteiras ao longo das quais � e/ou � são constantes (circunfer-ências, sectores circulares,...)

Exemplo 4.12.1 O volume de um octante de esfera de raio a (a > 0) serádado por

V =

ZZS

pa2 � x2 � y2dxdy

4.12. MUDANÇA DE VARIÁVEIS NUM INTEGRAL DUPLO 177

onde S é a região do 1o quadrante de um círculo x2 + y2 � a2. Assim

V =

Z a

0

Z pa2�x2

0

pa2 � x2 � y2 dydx

=

Z a

0

Z �2

0

pa2 � �2 cos2 � � �2 sen2 � � d�d�

=

Z a

0�pa2 � �2 [�]

�20 d� =

�

6a3:

4.12.2 Transformações lineares

Uma transformação linear é uma aplicação de�nida por duas equações daforma

x = �u+ �v e y = u+ �v;

com �; �; ; � 2 R:O jacobiano jJ (u; v)j = �� :Para podermos obter u e v em função de x e y deve supor-se que

jJ (u; v)j 6= 0 (para que o sistema seja possível e determinado).Note-se que :

� As transformações lineares transformam rectas paralelas em rectasparalelas. Portanto a imagem de um rectângulo no plano UOV éum paralelogramo no plano XOY, sendo a sua área multiplicada pelofactor jdet J (u; v)j = j�� j :

� A fórmula da mudança de variáveis assume a formaZZS

f(x; y)dxdy = j�� jZZT

f (�u+ �v, u+ �v) dudv:

Exemplo 4.12.2 Calculemos o valor do integralZZS

ey�xy+x dxdy;

sendo S o triângulo limitado pela recta y+ x = 2 e pelos eixos coordenados.A presença de y � x e y + x na função integranda sugere a substituição

u = y � x e v = y + x:


Resolvendo relativamente a x e a y, temos

' (u; v) = x =v � u2

e (u; v) = y =v + u

2

e o jacobiano

jJ (u; v)j =�� 1

212

12

12

�� = �12 :Grá�camente

Para determinar a imagem T de S no plano UOV , observe-se que:

� as rectas x = 0 e y = 0 aplicam-se, respectivamente, nas rectas u = ve u = �v.

� a recta x+ y = 2 transforma-se na recta v = 2.EntãoZZ

S

ey�xy+x dxdy =

ZZT

euv

��12�� dudv = 1

2

Z 2

0

�Z v

�veuv du

�dv

=1

2

Z 2

0vheuv

iv�vdv = e� 1

e:


4.13 Exercícios

1. Calcular os seguintes integrais duplos :

a)ZZR

xy (x+ y) dxdy com R = [0; 1]� [0; 1] ;

b)ZZR

�py + x� 3xy2

�dxdy com R = [0; 1]� [1; 3] ;

c)

�Z0

�Z0

sen2x sen2y dxdy;

d)

�2Z0

�2Z0

sen (x+ 2y) dxdy;

e)ZZR

�y�3e

t xy

�dxdy com R = [0; t]� [1; t] ; t > 1:

2. Esboce a região de integração e calcule os integrais duplos :

a)ZZR

(1� x� y) dxdy com R = f(x; y) : x+ y � 1g ;

b)ZZR

(x+ y) dxdy com R =�(x; y) : x2 � y � 2x2

;

c)ZZR

�x2 + y2

�dxdy com R =

�(x; y) : x2 + y2 � 1

;

d)ZZR

1(x+y)2

dxdy com R = f(x; y) : x � y � 2xg ;

e)ZZR

(x cos (x+ y)) dxdy sendo R a região triangular de vértices (0; 0) ;

(�; 0) e (�; �) :


f)ZZR

x2y2dxdy sendo R a região do 1o quadrante entre as hipérboles xy = 1

e xy = 2 e as duas rectas y = x e y = 4x:

g)ZZR

ex+ydxdy com R = f(x; y) : jxj+ jyj � 1g :

3. Admitindo que os integrais em causa existem, esboce a região deintegração e permute a ordem de integração :

a)

1Z0

yZ0

f(x; y) dxdy;

b)

2Z0

2yZy2

f(x; y) dxdy;

c)

2Z1

p2x�x2Z2�x

f(x; y) dydx;

d)

2Z�6

2�xZx2�44

f(x; y) dydx:

4. Considere uma placa homogénea com o formato da região S limitadapelas curvas abaixo. Em cada caso represente grá�camente a região S ecalcule as coordenadas do centróide :

a) y = x2 e x+ y = 2;

b) y2 = x+ 3 e y2 = 5� x;

c) y = sen x; y = cosx e 0 � x � �4 :

5. Calcular o momento de inércia de uma placa delgada S no planoXOY , limitada pelas curvas de�nidas pelas equações abaixo, representandopor f(x; y) a densidade de S num ponto arbitrário (x; y) :

a) y = sen2x; y = �sen2x; �� x � � e f(x; y) = 1;


b) xa +

yb = 1;

xc +

yb = 1; y = 0; 0 < c < a; b > 0 e f(x; y) = 1;

c) xy = 1; xy = 2; x = 2y; y = 2x; x > 0; y > 0 e f(x; y) = 1;

d) y = ex; y = 0; 0 � x � 1 e f(x; y) = xy:

6. Aplicar o Teorema de Green para calcular o integral de linhaIC

y2dx+ x dy;

quando:

a) C é o quadrado com vértices (0; 0), (2; 0), (2; 2) e (0; 2);

b) C é o quadrado com vértices (�2; 0) e (0;�2);

c) C é a circunfereência de raio 2 e centro na origem:

7. Calcular o valor dos integrais, passando para coordenadas polares:

a)

2aZ0

p2ax�x2Z0

�x2 + y2

�dydx;

b)

1Z0

xZx2

�x2 + y2

�� 12 dydx;

c)

aZ0

pa2�y2Z0

�x2 + y2

�dxdy:

8. Considere a aplicação de�nida pelas equações

x = u+ v , y = v � u2:

a) Calcular o jacobiano J(u; v);

b) Um triângulo T no plano UOV tem vértices (0; 0), (2; 0) e (0; 2). Desenhea sua imagem S no plano XOY ;

c) Calcular a área de S por intermédio de um integral duplo estendido a Se por outro estendido a T ;


d) Calcular ZZS

(x� y + 1)�2 dxdy:

9. Calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies:

a) x2 + y2 = 4, x+ y + z = 2 e z = 0.

b) z = x2 + y2, y = x2, xy = 1, x = 2, y = 0 e z = 0.

c) x2

a2+ y2

b2= 1, z + y = 2a e z = 0 (0 < b < 2a).

Capítulo 5

Integrais triplos

Comecemos pela de�nição de integral triplo de uma função.

De�nição 5.0.1 Seja f : R3 ! R uma função contínua em A � R3 umconjunto fechado.Seguindo a mesma metodologia que para os integrais duplos, chama-se somaintegral de f(x; y; z) relativamente a uma decomposição Dn = fA1; A2; :::; Angde A à expressão

S =nXi=1

f(xi; yi; zi) �Ai;

onde f(xi; yi; zi) será o valor de f num ponto escolhido (xi; yi; zi) de Ai:

Considerando uma sucessão de decomposições com o diâmetro �Ai atender para zero, com limite �nito então diz-se que f(x; y; z) é integrávelem A:

Ao valor desse limite chama-se integral triplo de f no domínio e representa-se por ZZZ

A

f(x; y; z) dxdydz:

183

184 CAPÍTULO 5. INTEGRAIS TRIPLOS

5.1 Propriedades do integral triplo

1. O integral triplo da soma de duas funções f(x; y; z) e g(x; y; z) em Aé igual à soma dos integrais de cada uma delas no mesmo domínio A:ZZZ

A

[f(x; y; z)� g(x; y; z)] dxdydz

=

ZZZA

f(x; y; z) dxdydz �ZZZ

A

g(x; y; z) dxdydz:

2. Para k 2 R;ZZZA

k f(x; y; z) dxdydz = k

ZZZA

f(x; y; z) dxdydz:

3. Se o domínio de integração A está dividido em dois domínios A1 e A2tais que intA1 \ intA2 = ?, entãoZZZ

A

f(x; y; z) dxdydz =

ZZZA1

f(x; y; z) dxdydz+

ZZZA2

f(x; y; z) dxdydz:

Precisemos agora o que se entende por domínio regular:

De�nição 5.1.1 Um conjunto A � R3 é um domínio regular se:

a) A sua superfície fronteira é cortada em apenas dois pontos por qualquerrecta vertical que passe por um ponto interior;

b) A sua projecção sobre o plano XOY constitui um plano regular como ema) (convexo);

c) Qualquer parte de A que se obtenha por secção de planos paralelos aqualquer dos planos coordenados, verifa as propriedades a) e b).

5.2 Cálculo de integrais triplos

Consideremos, entãoZZZ

A

f(x; y; z) dxdydz em que A é um subconjunto

regular de R3:

5.2. CÁLCULO DE INTEGRAIS TRIPLOS 185

Suponhamos que A é limitado por uma superfície S cuja equação, nasua parte superior é z = '(x; y) e, na inferior, z = (x; y) e cuja projecçãono plano XOY é a região limitada Q.

Nestas condições

ZZZA

f(x; y; z) dxdydz =

ZZQ

264 '(x;y)Z (x;y)

f(x; y; z) dz

375 dxdy:Isto é, a primeira integração é feita em relação a z, reduzindo-o a um

integral duplo sobre a projecção Q, o qual pode ser resolvido pelos métodosjá expostos.

Exemplo 5.2.1 Calculemos

2Z0

xZ0

yZ0

(xyz)dzdydx =

2Z0

xZ0

xy

�z2

2

�y0

dydx =

2Z0

xZ0

xy3

2dydx

=

2Z0

x

2

�y4

4

�x0

dx =1

8

2Z0

x5dx =4

3:

Exemplo 5.2.2 Calculemos agoraZZZ

A

y dzdydx; sendo A o domínio lim-

itado pelos parabolóides z = 6� x2 � y2 e z = x2 + y2:Gra�camente o sólido será


A intersecção entre os dois parabolóides é dado pelo círculo x2 + y2 � 3à cota z = 3: Assim A é limitado superiormente por z = 6 � x2 � y2 einferiormente por z = x2 + y2:A projecção de A em XOY é o círculo de centro em (0; 0) e raio

p3: O

domínio é, obviamente, regular, pelo que

ZZZA

y dzdydx =

p3Z

�p3

p3�x2Z

�p3�x2

6�x2�y2Zx2+y2

y dzdydx

=

p3Z

�p3

p3�x2Z

�p3�x2

y [z]6�x2�y2

x2+y2dydx

=

p3Z

�p3

p3�x2Z

�p3�x2

�6y � 2x2y � 2y3

�dydx = 0

5.3 Aplicações dos integrais triplos

Os integrais triplos podem ser utilizados para calcular volumes, massas,centros de massa, momentos de inércia e outros conceitos físicos relacionadoscom sólidos.

Se S é um sólido, o seu volume V é dado por

V =

ZZZS

1 dxdydz:

Se o sólido se supõe com densidade f(x; y; z) em cada um dos seus pontos(x; y; z) (massa por unidade de volume), a sua massa M é dada por

M =

ZZZS

f(x; y; z) dxdydz;

e o respectivo centro de massa será o ponto (x; y; z) em que

x =1

M

ZZZS

x f(x; y; z) dxdydz;

e de modo análogo para y e z:

5.3. APLICAÇÕES DOS INTEGRAIS TRIPLOS 187

O momento de inércia Ixy em relação ao plano XOY é de�nido por

Ixy =

ZZZS

z2 f(x; y; z) dxdydz:

O momento de inércia IL em relação à recta L é de�nido por

IL =

ZZZS

�2(x; y; z) f(x; y; z) dxdydz;

em que �2(x; y; z) representa a distância de um ponto genérico (x; y; z) de Sà recta L.

Exemplo 5.3.1 Seja S o sólido limitado pela superfície cilíndrica x2 = 2ze pelos planos x� 2y = 0, x = 2

p2 e z = 0.

Supondo que a sua densidade é constante, calcular:

a) o volume de S.

b) A massa de S e o centro de massa.

c) O momento de inércia de S em relação ao plano XOY .

Resolução: O sólido S é limitado inferiormente por z = 0 e superior-mente por z = x2

2 : Lateralmente é limitado pelos planos y =x2 ; y = 2x e

x = 2p2:


O esquema grá�co da projecção tem a seguinte forma

0.00

1

0.2

01

2

0.4

2

0.6

3

yx

z

3

655

1.0

44

0.8

x=2y

y=2x

a)

V =

2p2Z

0

2xZx2

x2

2Z0

dzdydx =

2p2Z

0

2xZx2

x2

2dydx = 12:

b)

M =

ZZZS

k dzdydx = k V = 12k:

x =1

12k

ZZZS

x k dzdydx =1

12

2p2Z

0

2xZx2

x2

2Z0

x dzdydx

=1

12

2p2Z

0

2xZx2

x3

2dydx =

8

5

p2:

5.4. MUDANÇA DE COORDENADAS EM INTEGRAIS TRIPLOS 189

y =1

12k

ZZZS

y k dzdydx =1

12

2p2Z

0

2xZx2

yx2

2dydx

=1

12

2p2Z

0

15

16x4dx = 2

p2:

z =1

12k

ZZZS

z k dzdydx =1

12

2p2Z

0

2xZx2

x4

4dydx =

4

3:

Então o centro de massa tem por coordenadas�8

5

p2; 2p2;4

3

�:

c)

Ixy =

ZZZS

z2 k dzdydx = k

2p2Z

0

2xZx2

x2

2Z0

z2 dzdydx

= k

2p2Z

0

2xZx2

x6

24dydx = 32k:

5.4 Mudança de coordenadas em integrais triplos

À semelhança do que �zemos com os integrais duplos, consideremos umdomínio D � R3; limitado, onde estão de�nidas novas variáveis u; v e w(funções de x; y e z) pelas igualdades

u = �1(x; y; z); v = �2(x; y; z); w = �3(x; y; z);

sendo u; v e w funções bijectivas contínuas num domímio D0; transformadode D:

Nestas condições temos queZZZD

f(x; y; z) dxdydz =

ZZZD0

f(u; v; w) jJ((u; v; w)j dudvdw;


com

J(u; v; w) =

��@u@x

@u@y

@u@z

@v@x

@v@y

@v@z

@w@x

@w@y

@w@z

��o jacobiano da transformação dada.

Consideraremos dois casos particulares importantes:

5.4.1 Coordenadas cilíndricas

Um ponto que em coordenadas cartesianas é dado por (x; y; z), será escritoem coordenadas cilíndricas da seguinte forma: o x e o y serão substituidospelas suas coordenadas polares, e mantem-se o z inalterado.

Isto é, de�nimos as aplicações

x = � cos �; y = � sen �; z = z:

Neste caso o jacobiano será

J =

��@x@�

@x@�

@x@z

@y@�

@y@�

@y@z

@z@�

@z@�

@z@z

�� =��cos � �� sen � 0sen � � cos � 00 0 1

�� = �:

Então ZZZD

f(x; y; z) dxdydz =

ZZZD0

f(� cos �; � sen �; z) � d�d�dz:

Observação 5.4.1 Note-se que:

� Para obtermos aplicações injectivas deve-se fazer � � 0 e � 2 [0; 2�[:

� As coordenadas cilíndricas são utilizadas, sobretudo, quando o domínioD tem simetria axial.

� O jacobiano anula-se quando � = 0; mas isso não afecta a validade dafórmula, porque o conjunto de pontos com � = 0 tem medida nula.

Exemplo 5.4.2 Calculemos o volume limitado pelos parabolóides

z = 8� x2 � y2 e z = x2 + y2:


Os parabolóides intersectam-se à cota z = 4; que se projecta no plano XOYsegundo uma circunferência de centro na origem e raio 2.O volume será dado por

V =

2Z�2

p4�x2Z

�p4�x2

8�x2�y2Zx2+y2

dzdydx:

Como o sólido é simétrico em relação ao eixo OZ, pelo que se pode reduziro cálculo do volume ao 1o octante:

V = 4

2Z0

p4�x2Z0

8�x2�y2Zx2+y2

dzdydx:

Devido à simetria axial utilizaremos as coordenadas cilíndricas. Assim

V = 4

2Z0

�2Z0

8��2Z�2

� dzd�d� = 4

2Z0

�2Z0

�8�� 2�3

�d�d�

= 4

2Z0

�4�� 3�

�d� = 16�:

5.4.2 Coordenadas esféricas

Um ponto (x; y; z); em coordenadas cartesianas, é dado em coordenadasesféricas pelas relações

x = � sen ' cos �; y = � sen ' sen �; z = � cos',

sendo:

� � a distância do ponto à origem;

� ' o ângulo que a recta que une o ponto à origem faz com o eixo OZ;

� � o ângulo formado com a parte positiva do eixo OX e pela recta queune a origem à projecção do ponto no plano XOY .

Para se obterem aplicações injectivas faz-se

� � 0; ' 2 [0; �] e � 2 [0; 2�[:


Grá�camente

esfv2

32:jpg

O determinante jaconiano é

J(�; '; �) =

��@x@�

@x@'

@x@�

@y@�

@y@'

@y@�

@z@�

@z@'

@z@�

��=

��sen ' cos � � cos' cos � �� sen ' sen �sen ' sen � � cos' sen � � sen ' cos �cos' �� sen ' 0

��= ��2 sen ':

Como ' 2 [0; �] logo sen ' � 0 e jJ j = �2 sen ':EntãoZZZ

D

f(x; y; z) dxdydz

=

ZZZD0

f(� sen ' cos �; � sen ' sen �; � cos') �2 sen ' d�d'd�:

Embora o jacobiano se anule quando � = 0 ou ' = 0 ou ' = �; a fórmulade mudança de variáveis é ainda válida porque o conjunto de pontos ondetal se veri�ca tem medida nula.


As coordenadas esféricas utilizam-se sobretudo quando o domínio de in-tegração D é simétrico em relação a um ponto (centro de simetria).

As superfícies � = k são esferas centradas na origem.As superfícies � = k são planos verticais contendo o eixo OZ.As superfícies ' = k são cones circulares com o eixo de simetria coinci-

dente com o eixo OZ.O exemplo seguinte pode ser considerado como uma demostração para

a fórmula conhecida do volume de uma esfera:

Exemplo 5.4.3 Calcular o volume de uma esfera de centro na origem eraio r.A equação da superfície esférica é dada por x2 + y2 + z2 = r2; sendo a suaprojecção no plano XOY uma circunfereência de equação x2 + y2 = r2:Como o sólido tem simetria em relação à origem, pode utilizar-se coorde-nadas esféricas e calcular o volume apenas num octante:

V = 8

rZ0

pr2�x2Z0

pr2�x2�y2Z0

dzdydx

= 8

rZ0

�2Z0

�2Z0

�2 sen ' d'd�d� =

rZ0

�2Z0

�2 d�d�

=

rZ0

�2�

2d�d� =

4

3�r3:


5.5 Exercícios

1. Calcular os integrais triplos:

a)

aZ0

bZ0

cZ0

(x+ y + z) dxdydz; a; b; c > 0;

b)

aZ0

xZ0

yZ0

(xyz) dzdydx; a > 0;

c)ZZZ

S

�xy2z3

�dxdydz; onde S é o sólido limitado pela superfície z = xy

e os planos y = x, x = 1 e z = 0;

d)ZZZ

S

(1 + x+ y + z)�3 dxdydz; com S o sólido limitado pelos três planos

coordenados e pelo plano x+ y + z = 1:

2. Calcular o volume dos sólidos pelas superfícies dadas, utilizandointegrais triplos:

a) pelos cilindros z = 4� y2; z = y2 + 2 e pelos planos x = �1 e x = 2;

b) pelos parabolóides z = x2+y2; z = x2+2y2 e pelos planos y = x; y = 2xe x = 1;

c) pelos parabolóides z = x2 + y2; z = 2x2 + 2y2; pelo cilindro y = x2 e oplano y = x:

3. Calcular o volume dos sólidos limitados pelas superfícies indicadas,utilizando integrais triplos e uma mudança de variáveis conveniente:

a) pela esfera x2 + y2 + z2 = 4 e pelo parabolóide x2 + y2 = 3z;

b) pela superfície de equação�x2 + y2 + z2

�2= a3x; a > 0;

c) pela esfera x2+y2+z2 = r2 e pelo parabolóide x2+y2 = r2�2zr; z � 0;

d) pelas esferas x2 + y2 + z2 = 1; x2 + y2 + z2 = 16 e por x2 + y2 = z2;x = 0; y = 0; z = 0 , com x � 0; y � 0 e z � 0:

Capítulo 6

Integrais de superfície

Os integrais de superfície são, em muitos aspectos, análogos aos integrais delinha, sendo a integração estendida a uma superfície em vez de uma curva.

6.1 De�nição

De�nimos anteriormente os integrais de linha mediante a representaçãoparamétrica para a curva. Análogamente, de�niremos integrais de super-fície por intermédio de uma representação paramétrica da superfície.

Recorde-se que se entende como superfície o lugar geométrico de�nidopor um ponto que se move no espaço com dois graus de liberdade. Daí queas equações paramétricas das superfícies necessitem de dois parâmetros.

De�nição 6.1.1 Seja S = g(u; v), com g : R2 ! R3; uma superfície narepresentação paramétrica descrita por uma função g de�nida numa regiãoD do plano. Considere-se uma função escalar f : S � R3 ! R limitada emS.O integral de superfície de f sobre S representa-se por

ouZ Zg(D)

f dS

e calcula-se Z Zg(D)

f dS =

ZZD

f [g(u; v)]

@g@u � @g

@v

dudv;sendo @g

@u �@g@v o produto externo dos vectores.

195

196 CAPÍTULO 6. INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

6.2 Aplicações

6.2.1 Área de uma superfície

Note-se que a superfície não é necessariamente plana.Quando f = 1, a expressão anterior escreve-se

a(S) =

Z Zg(D)

f dS =

ZZD

@g@u � @g

@v

dudv:Se S é dada explicitamente por uma função da forma z = f(x; y), pode

tomar-se x e y como parâmetros e então @g@u � @g

@v

= ��@f@x;�@f@y ; 1� =

s1 +

�@f

@x

�2+

�@f

@y

�2e o integral é dado por

a(S) =

Z Zg(D)

f dS =

ZZD

s1 +

�@f

@x

�2+

�@f

@y

�2dxdy:

6.2.2 Centro de massa e momento de inércia

Se a função f : R3 ! R é interpretada como sendo a densidade de massade uma lâmina delgada com a forma de S, a massa total M da superfícieobtem-se pelo integral

M =

ZZS

f(x; y; z) dS:

O centro de massa é o ponto (x; y; z) com coordenadas de�nidas por

x M =

ZZS

x f(x; y; z) dS;

y M =

ZZS

y f(x; y; z) dS;

z M =

ZZS

z f(x; y; z) dS:

6.2. APLICAÇÕES 197

O momento de inércia IL de S em relação a L é de�nido por

IL =

ZZS

�2(x; y; z)f(x; y; z) dS;

sendo �(x; y; z) a distância a L de um ponto denético da superfície.

Exercício 6.2.1 Para a esfera x2 + y2 + z2 = r2; calcular:

a) a área da superfície esférica;

b) a massa e o centro de massa, supondo a densidade constante;

c) o momento de inércia em relação ao plano XOY .

Resolução: a) Calculemos a área por dois processo:1o processo : Utilizando a representação paramétrica da superfície esférica8<:

x = r cos � cos'y = r sen � cos'z = r sen ',

com � 2 [0; 2�] e ' 2��2 ;�

�2

�; temos a função

g (�; ') = (r cos � cos'; r sen � cos'; r sen ') :

Calculando o vector dado pelo produto externo

@g

@�� @g

@'=

��x y z

�r sen � cos' r cos � cos' 0�r cos � sen ' �r sen � sen ' r cos'

��=

�r2 cos � cos2 '; r2 sen � cos2 '; r2 cos' sen '

�e a sua norma @g@� � @g

@'

=pr4 cos4 '+ r4 cos2 ' sen2 '

=pr4 cos4 '+ r4 cos2 ' sen2 '

=pr4 cos2 ' = r2 jcos'j :


Então a área será

a(S) =

ZZS

r2 jcos'j dS = 2

�2Z0

2�Z0

r2 cos' d�d'

= 4�r2

�2Z0

cos' d' = 4�r2:

2o processo : Escrevendo a função de uma forma explícita: z = �pr2 � x2 � y2:

Restringindo-nos apenas à parte positiva

a(S) = 2

rZ�r

pr2�x2Z

�pr2�x2

vuut1 + �xpr2 � x2 � y2

!2+

�yp

r2 � x2 � y2

!2dydx

= 2

rZ�r

pr2�x2Z

�pr2�x2

rpr2 � x2 � y2

dydx:

Passando para coordenadas polares

a(S) = 2

2�Z0

rZ0

rpr2 � �2

d�d� = 2r

2�Z0

r d� = 4�r2:

b) Para k > 0;

M =

ZZS

k dS = k

ZZS

dS = 4�r2k:

Atendendo aos eixos de simetria as coordenadas do centro de massa terãoque ser (0; 0; 0) : A título de exemplo calculemos z :

z M =

ZZS

z k dS = k

�2Z

��2

2�Z0

r sen '�r2 jcos'j

�d�d':


Como ' 2��2 ;

�2

�então cos' > 0 , pelo que

z =r3

4�r2

�2Z

��2

2�r sen ' cos' d'

=r

4

�2Z

��2

sen (2') d' = 0:

c) A distância de um ponto genérico da superfície esférica ao plano XOY édada por z. Assim

Ixy =

ZZS

z2k dS = k

�2Z

��2

2�Z0

r4 sen2' cos' d�d'

= 2�kr4

�2Z

��2

sen2' cos' d�d'

=2�kr4

3

�sen3'

��2

��2=4�kr4

3:

6.2.3 Fluxo de um �uido através de uma superfície

Antes de mais recordemos alguma nomenclatura:Considera-se um �uido como um conjunto de pontos ou partículas.A cada partícula (x; y; z) atribuimos um vector v(x; y; z), que representa

a sua velocidade, construindo-se assim a função velocidade da corrente do�uido.

A velocidade pode, ou não, variar com o tempo. Consideraremos apenas�uxos estacionários, isto é, �uxos para os quais a velocidade v(x; y; z)depende apenas da posição da partícula e não do tempo.

Designemos por �(x; y; z) a densidade (massa por unidade de volume)do �uido no ponto (x; y; z):

Se o �uido é incompressível, a densidade � é constante. Se é com-pressível, tal como num gás, a densidade pode variar de ponto para ponto.Em qualquer dos casos, a densidade é uma função escalar associada à cor-rente do �uido.

O produto da densidade pela velocidade representamo-lo por F , ou seja

F (x; y; z) = �(x; y; z) v(x; y; z);


é uma função vectorial chamada densidade do �uxo da corrente, que tem amesma direcção que a velocidade e as dimensões

massaunidade de volume

� distânciaunidade de tempo

=massa

unidade de área� unidade de tempo :

Por outras palavras, o vector densidade do �uxo F (x; y; z); diz-nos quantamassa do �uido, por unidade de área, passa pelo ponto (x; y; z) na direcçãode v(x; y; z) por unidade de tempo.

Seja S = g(D) uma superfície paramétrica. Em cada ponto de S desig-namos por n o vector unitário normal com sentido igual ao vector @g

@u �@g@v ;

isto é,

n =@g@u �

@g@v @g@u � @g@v

:O produto interno F � n dá a componente do vector densidade do �uxo

segundo n:A massa do �uido que passa através de S, na unidade de tempo, na

direcção e no sentido de n, de�ne-se pelointegral de superfícieZ Zg(D)

F � n dS =ZZD

F [g (u; v)] � n @g@u � @g

@v

dudv:Exemplo 6.2.2 Seja S a semi-esfera x2+ y2+ z2 = 1; z � 0 e F (x; y; z) =(x; y; 0) : Seja n o vector normal unitário exterior a S. Calcular o valor do

integral de superfícieZZS

F � n dS; utilizando:

a) A representação vectorial

g ('; �) = (sen ' cos �; sen � sen '; cos') ;

com � 2 [0; 2�[ e ' 2�0; �2

�;

b) A representação explícita z =p1� x2 � y2:

Resolução: a) Como

F [g ('; �)] = (sen ' cos �; sen � sen '; 0) ;


@g

@'� @g

@�=

��x y z

cos � cos' sen � cos' �sen '�sen � sen ' cos � sen ' 0

��=

�sen2' cos �; sen � sen2'; sen ' cos'

�;

entãoZZS

F � ndS =

ZZD

F [g ('; �)] ��@g

@'� @g

@�

�d'd�

=

�2Z0

2�Z0

�(sen ' cos �; sen � sen '; 0) ��

sen2' cos �; sen � sen2'; sen ' cos'� � d�d'

=

�2Z0

2�Z0

sen3' d�d' = 2�

�2Z0

sen3' d'

= 2�

�� cos'+ 1

3cos3 '

��2

0

=4

3�:

b)Utilizando a função z = f(x; y) =p1� x2 � y2 temos g(x; y) =

�x; y;

p1� x2 � y2

�com �1 � x � 1 e �1 � y � 1:Neste caso

@g

@x� @g

@y=

��x y z

1 0 @f@x

0 1 @f@y

�� =��@f@x;�@f

@y; 1

�;

pelo queZZS

F � ndS =

ZZD

F [g (x; y)] ��@g

@x� @g

@y

�dxdy

=

1Z�1

p1�x2Z

�p1�x2

(x; y; 0) �

xp1� x2 � y2

;yp

1� x2 � y2; 1

!dydx

=

1Z�1

�p1�x2Z

p1�x2

x2 + y2p1� x2 � y2

dydx:


Passando para coordenadas polaresZZS

F � ndS =

1Z0

2�Z0

�2p1� �2

� d�d� = 2�

1Z0

�3p1� �2

d�

= 2�

1Z0

2�p1� �2d� = 4

3�:

6.3 Teorema de Stokes

O Teorema de Stokes relaciona um integral de superfície com um integralde linha, generalizando o Teorema de Green:

Teorema 6.3.1 Seja S = g(D) uma superfície paramétrica simples e regu-lar, com D uma região do plano UOV limitada por uma curva de Jordan �;seccionalmente regular.Admita-se que as componentes de g admitem derivadas parciais de 2a ordemcontínuas num conjunto aberto contendo D [ �:Considere-se C = g (�) o grá�co de�nido por uma função �(t): Então tem-seZ

C

F � d� =ZZS

(rot F ) � n dS

Exercício 6.3.2 Determine, utilizando o Teorema de Stokes, os integraiscurvilíneos:

a)Z�

(y + z; z + x; x+ y) � d�; em que � é a circunferência resultante da

intersecção de x2 + y2 + z2 = a2 com x+ y + z = 0;

b)I�

�xy2; x; z

�� d�; sendo � a superfície limitada pela circunferência x2+

y2 = r2 e z = 0:

Resolução: a)Z�

F � d� =ZZD

(rot F ) � n dS = 0 porque

rot F =

��x y z@@x

@@y

@@z

y + z z + x x+ y

�� = 0:

6.4. TEOREMA DE GAUSS OU TEOREMA DA DIVERGÊNCIA 203

b) Como

rot F =

��x y z@@x

@@y

@@z

xy2 x z

�� = (0; 0; 1� 2xy) ;então I

�

�xy2; x; z

�� d� =

ZZD

(rot F ) � ndS

=

rZ�r

pr2�x2Z

�pr2�x2

(0; 0; 1� 2xy) � (0; 0; 1) dydx:

Passando para coordenadas polares

I�

�xy2; x; z

�� d� =

rZ0

2�Z0

�1� 2�2 cos � sen �

�� d�d�

=

rZ0

2�� 2

2[� cos(2�)]2�0 d� = �r2:

6.4 Teorema de Gauss ou Teorema da divergência

O Teorema de Gauss, ou Teorema da divergência, exprime uma relação entreum integral triplo estendido a um sólido e um integral de superfície tomadosobre a duperfície fronteira desse sólido.

Teorema 6.4.1 Sejam V um sólido limitado em R3 por uma superfíciefechada S e n o vector normal unitário orientado para o exterior de S.Se F é uma função vectorial continuamente diferenciável de�nida em V ,tem-se ZZZ

V

(divF ) dxdydz =

ZZS

F � n dS:

Exemplo 6.4.2 Calcular o �uxo de F (x; y; z) = (x; y; z) para o exterior docubo C formado pelos planos x = 0; y = 0; z = 0; x = 1; y = 1; e z = 1;utilizando o Teorema da divergência.


Resolução: Assim

ZZS

F � n dS =

ZZZC

(divF ) dxdydz

=

1Z0

1Z0

1Z0

3 dxdydz = 3:

Exemplo 6.4.3 Determinar o �uxo de F (x; y; z) = (xz; xy; yz) para o exte-rior da superfície S; situada no 1o octante e formada pelo cilindro x2+y2 =r2 e os planos x = 0; y = 0; z = 0; z = h:

Resolução: Gra�camente

ZZS

F � n dS =ZZZ

S

(divF ) dxdydz =

rZ0

pr2�x2Z0

hZ0

(x+ y + z) dzdydx:

6.4. TEOREMA DE GAUSS OU TEOREMA DA DIVERGÊNCIA 205

Passando para coordenadas cilindricas:

ZZS

F � n dS =

rZ0

�2Z0

hZ0

(� cos � + � sen � + z) � dzd�d�

=

rZ0

�2Z0

�h�2 (cos � + sen �) +

h2

2�

�d�d�

=

rZ0

�2h�2 +

�h2

4�

�d� = hr2

�2r

3+�h

8

�:


6.5 Exercícios

1. Determine uma parametrização para:

a) a superfície de revolução de um cone de altura b > 0 e gerado pela rectaz = x; y = 0;

b) a superfície esférica de centro na origem e raio r;

c) a superfície de�nida por x+ 2y + 3z = 4;

d) a superfície caracterizada em coordenadas rectangulares por x2 + y2 +z2 = 16 ^ z � 0;

e) a superfície caracterizada em coordenadas rectangulares por x2+y2+z2 =16 ^ y < 0;

2. Determine em coordenadas cartesianas (rectangulares) a condiçãoque de�ne:

a) a superfície de�nida parametricamente por

g(u; v) =

8<:x = uy = v

z =pu2 + v2

;

para (u; v) 2�(u; v) 2 R2 : u2 + v2 � 1

;

b) a superfície de�nida parametricamente por

g(u; v) =

8<:x = u cos vy = u sen vz = u

;

para (u; v) 2�(u; v) 2 R2 : 0 � u � 1 ^ 0 � v < 2�

;

c) a superfície de�nida parametricamente por

g(u; v) =

8<:x = u cos vy = u sen vz = u2

;

para (u; v) 2�(u; v) 2 R2 : 0 � u � 1 ^ 0 � v < 2�

;


3. Calcule a integral de superfícieZZS

xy dS;

com S a superfície cilíndrica x2 + y2 = 4 e �1 � z � 1.

4. Calcule a área da superfície S de�nida por z = x2 + y2 com z � 1:

5. Calcule o �uxo do campo de forças

F (x; y; z) = x �!e 1 + y �!e 2 + z �!e 3através da superfície S de�nida por z = 1� x2 � y2 ^ z � 0 orientada parafora.

6. Mostre que o valor do �uxo do campo de forças F (x; y; z) = z �!e 3através da superfície esférica S de�nida por x2+ y2+ z2 = 9 orientada parafora, é 36�:

7. Considere a circunferência C de equação x2 + y2 = 4 limitada su-periormente pela superfície S de equação z � 4 = �

�x2 + y2

�e um campo

vectorial F (x; y; z) =�x2y; yz; xz

�:

Mostre queIC

x2y dx+ yz dy + xz dz =

ZZS

��y;�z;�x2

�� n dS = 4�:

8. Transforme o integral de linhaZC

x2yz dx+ xy2 dy + (x+ z) dz

num integral duplo, sabendo que C é a circunferência de centro na origeme raio R.

9. Determine o trabalho efectuado pelo campo vectorial

F (x; y; z) = x2 �!e 1 + 4xy3 �!e 2 + y2x �!e 3

numa partícula que percorre, no sentido positivo, o contorno do rectângulosituado no plano z = y de vértices (0; 0; 0), (1; 0; 0), (1; 3; 3) e (0; 3; 3).


10. Determine, utilizando o Teorema da divergência, o integral de su-perfície ZZ

S

F (x; y; z) � n dS;

para as superfícies e campos vectoriais indicados:

a) S é a região limitada pelos planos coordenados e pelos planos x = 1,y = 1 e z = 1; com F (x; y; z) =

�2x� z; x2;�xz2

�:

b) S é a região limitada pelo cilindro z = 4�x2 e pelos planos y = 5, XOYe XOZ, com F (x; y; z) =

�x3 + sen z; x2y + cos z; ex

2+y2�:

c) S é a região limitada pelo cilindro circular reto x2+y2= 4 e pelos planosz = 0 e z = 3, sendo F (x; y; z) = x3 �!e 1 + y3 �!e 2 + z3 �!e 3:

anÆlise matemÆtica ii - dspace.uevora.pt · reais de variÆvel real, geometria analítica,...

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