Raciocnio Lgico ABIN/2010

Raciocnio Lgico

Prof. Tarcsio Freitastarcisiofreitas@uol.com.br1Objetivo do cursoProporcionar aos candidatos as ferramentas necessrias para interpretar o edital e as questes propostas, por meio de exposies tericas e listas de exerccios, de forma que todos possam ter um desempenho satisfatrio na disciplina. 21. Lgica sentencial e de primeira ordem3FUNDAMENTOS DA LGICA

Aristteles ( 384 - 322 a.C.) - o pai da lgica.

O termo, a proposio, o silogismo, que um tipo especfico de inferncia, em que pode-se obter uma concluso a partir de duas premissas so contribuies da lgica aristotlica. A proposio, para Aristteles, a funcionalidade do julgamento de ser verdadeiro ou falso. Aristteles utiliza o termo premissa (protasis) como uma sentena afirmando ou negando uma coisa da outra, alm de ser uma forma de expresso.4Conceito mais elementar no estudo da lgica o de Proposio. Proposio - uma sentena declarativa, ou seja, algo que ser declarado por meio de palavras ou de smbolos, e cujo contedo poder ser considerado verdadeiro ou falso. Sendo uma cincia do raciocnio e da demonstrao, seu desenvolvimento prosseguiu e teve grande incremento com os trabalhos de George Boole (1815-1864), criador da lgebra booleana, que utiliza smbolos e operaes algbricas para representar proposies e suas inter-relaes. 5 Exemplo de Aplicao:

Algoritmos computacionais:

Incio ler o valor de x ler o valor de y se x y ento escrever x seno y = x+y escrever y fim (se)fim Exemplo sendo X=2 e Y=4, qual ser o valor escrito?Estrutura CondicionalY = 66 Exemplo de Aplicao: Algoritmos computacionais:

Algoritmo Fatorial

Incio Ler N Se N 0 ento Fat = 1 I = 1 Enquanto I N executar Fat = Fat x I I = I+1 Fim (Enquanto) Escrever N!= ; Fat seno escrever clculo impossvel Fim (se)Fim7Principal Aplicao:

8 As proposies podem ser representadas por letras minsculas (p, q, r, s etc) ou maisculas (P, Q, R, S, etc.). So exemplos de proposies, as seguintes:

p: Luiz engenheiro. q: 3 > 7

r: Matheus jogador de futebol VL(p)=VVL(q)=F. Proposio - uma sentena declarativa, ou seja, algo que ser declarado por meio de palavras ou de smbolos, e cujo contedo poder ser considerado verdadeiro ou falso.9Exerccio1. (ICMS/SP 2006 FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas tm uma mesma caracterstica lgica em comum, enquanto uma delas no tem essa caracterstica.

I. Que belo dia!II. Um excelente livro de raciocnio lgico.III. O jogo terminou empatado?IV. Existe vida em outros planetas do universo.V. Escreva uma poesia.

A frase que no possui essa caracterstica comum a(A) I. (B) II. (C) III. (D) IV. (E) V.As bancas cobram o conceito de proposio em provas? 10Consideraes acerca do valor lgico das proposies: Existe vida em outros planetas do universo.Qual o valor lgico dessa proposio?A banca considerou essa sentena uma proposio, embora, hoje, no saibamos ao certo se uma afirmao verdadeira ou falsa. Este no um problema lgico e sim epistemolgico. Os julgamentos so funo epistemolgicas, isto , dependem do contexto.Ex: O Rio de Janeiro a capital do Brasil. - de fato foi at 1960, ano da inaugurao de Braslia. Hoje a assertiva falsa. Assim, estando o contexto bem definido, uma proposio s ter dois valores: verdadeiro ou falso.11Consideraes acerca do valor lgico das proposies: Ex: 1+1 = 10 (verdadeiro ou falso) depende do contexto. Tratando-se do sistema binrio a afirmao verdadeira, no entanto, se o sistema for decimal, a informao falsa. Por isso, o contexto importante.

Ex: O general Geisel ser o prximo Presidente da Repblica. No sabemos o contexto. Se essa for uma afirmao de hoje, a assertiva falsa. Mas se considerarmos que foi uma frase do General Orlando Geisel, irmo do Presidente Geisel, na reunio do alto comando que escolheu o Presidente da Repblica, essa passa a ser uma sentena imperativa e portanto no uma proposio. 12Consideraes acerca do valor lgico das proposies: Isso no deve preocupar os candidatos . Foi tratado apenas a ttulo de curiosidade.

Em um concurso, a sentena O general Geisel ser o prximo Presidente da Repblica uma proposio cujo valor lgico falso, j que a prxima Presidente ser a Dilma Rousseff.

Se x = 5, ento x + 3 < 7; uma proposio. x + 3 < 7 ; no proposio, visto ser uma sentena aberta. 13Conceito de Proposio:

14(Cespe-UnB/BB1/2007) Na lgica sentencial, denomina-se proposio uma frase que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas no como ambas. Assim frases como Como est o dia hoje? e Esta frase falsa no so proposies porque a primeira pergunta e a segunda no pode ser nem V nem F. As proposies so representadas por letras maisculas do alfabeto A, B, C, etc. Uma proposio da forma A ou B F se A e B forem F, do contrrio, V; uma proposio da forma Se A ento B F se A for V e B for F, caso contrrio V. Considerando as informaes contidas no texto acima, julgue o item subsequente.Na lista de frases apresentadas a seguir, h exatamente trs proposies.A frase dentro destas aspas uma mentira. A expresso x + y positiva.O valor de 4+3 = 7Pel marcou dez gols pela seleo brasileiraO que isto? E15(Cespe-UnB/BB2/2007) H duas proposies no seguinte conjunto de sentenas:I. O BB foi criado em 1980.II. Faa seu trabalho corretamente.III. Manuela tem mais de 40 anos de idade.

(FCC ICMS-SP/2006) Considere as seguintes frases:Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.(x+y)/5 um nmero inteiro.Joo da Silva foi Secretrio da Fazenda do Estado de So Paulo em 2000. verdade apenas:I e II so sentenas abertasI, II e III so sentenas abertasII e III so sentenas abertasI uma sentena aberta C16Princpios do raciocnio Lgico Princpio da Identidade - Uma proposio verdadeira verdadeira; uma proposio falsa falsa. Princpio da No-Contradio - Nenhuma proposio poder ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Princpio do Terceiro Excludo - Uma proposio ou ser verdadeira, ou ser falsa: no h outra possibilidade.17Proposies podem ser ditas simples ou compostas. Sero proposies simples aquelas que vm sozinhas, desacompanhadas de outras proposies.

Exemplos: A nova campe do mundo a Espanha. O racismo crime inafianvel. Nas Proposies compostas duas (ou mais) proposies vm conectadas entre si, formando uma s sentena Ex: Alfredo engenheiro e Paulo mdico. Maria vai pizzaria ou Joana vai ao show. Se chover amanh , ento no irei praia. Comprarei um carro se e somente se eu passar na ABIN.18Valor Lgico de uma Proposio Composta:

O valor lgico de uma proposio composta ( verdadeira ou falsa) depender de duas coisas:

do valor lgico das proposies componentes;

do tipo de conectivo lgico que as une.1. Conectivo e: (conjuno)CONECTIVOS LGICOS: Proposies compostas em que est presente o conectivo e so ditas conjunes. Simbolicamente, esse conectivo pode ser representado por . 19Exemplo: Alfredo engenheiro e Paulo mdico.Pode-se representar a sentena composta, neste caso, apenas por: p q, onde: p = Alfredo engenheiro q = Paulo mdicoValor Lgico de uma proposio conjuntiva : uma conjuno s ser verdadeira, se ambas as proposies componentes forem tambm verdadeiras. Construindo a tabela-verdade: p = Alfredo engenheiro e q = Paulo mdico.

20

Alfredo engenheiroPaulo mdico Alfredo engenheiro ePaulo mdico

Alfredo engenheiroPaulo mdico Alfredo engenheiro ePaulo mdico Alfredo engenheiroPaulo mdico Alfredo engenheiro ePaulo mdico21 Assim, a Tabela-verdade que representa uma conjuno, ou seja, a tabela-verdade para uma proposio composta com a presena do conectivo e fica da seguinte forma:IMPORTANTE: uma conjuno s ser verdadeira, quando ambas as partes que a compem tambm forem verdadeiras, e falsa nos demais casos.pqp qVVVVFFFVFFFF22 Para visualizar melhor, podemos empregar a teoria dos conjuntos. Se as proposies p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a conjuno " p e q " corresponder interseo do conjunto p com o conjunto q.

Exemplo : Mariana magra e alta

232. Conectivo ou: (disjuno)Recebe o nome de disjuno toda proposio composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo ou. Simbolicamente, representaremos esse conectivo por . Exemplo: Maria vai pizzaria ou Joana vai ao show. Pode-se representar a sentena composta, neste caso, apenas por: p q , onde: p = Maria vai pizzariaq = Joana vai ao show Uma disjuno ser falsa quando as duas partes que a compem forem ambas falsas; nos demais casos, a disjuno ser verdadeira!24Maria vai pizzariaJoana vai ao showMaria vai pizzaria ou Joana vai ao show

Maria vai pizzariaJoana vai ao showMaria vai pizzaria ou Joana vai ao showMaria vai pizzariaJoana vai ao showMaria vai pizzaria ou Joana vai ao showMaria vai pizzariaJoana vai ao showMaria vai pizzaria ou Joana vai ao show25 Assim, a Tabela-verdade que representa uma disjuno, ou seja, a tabela-verdade para uma proposio composta com a presena do conectivo ou fica da seguinte forma:IMPORTANTE: uma disjuno s ser falsa, quando ambas as partes que a compem tambm forem falsas, e verdadeira nos demais casos.pqp V qVVVVFVFVVFFF26 Empregando a teoria dos conjuntos, se as proposies p e q forem representadas como conjuntos por meio de um diagrama, a disjuno "p ou q" corresponder unio do conjunto p com o conjunto q.Exemplo : Mariana magra ou alta

P U Q273. Conectivo ou ... ou...: (disjuno exclusiva)As disjunes exclusivas apresentam situaes mutuamente excludentes, de forma que apenas uma delas pode ser verdadeira, e a restante ser necessariamente falsa. Assim, a proposio composta s ser verdadeira se uma das sentenas for verdadeira e a outra falsa.

Exemplos:Te darei uma bola ou te darei uma bicicletaDisjuno inclusiva

2) ou te darei uma bola ou te darei uma bicicleta, mas no ambasDisjuno exclusiva

283) ou o flamengo empatou ou venceu o jogo.Disjuno exclusiva O smbolo que designa a disjuno exclusiva o v. E a tabela-verdade ser a seguinte ( p V q ): Se as proposies p e q forem representadas como conjuntos por meio de um diagrama, a disjuno exclusiva "ou p ou q" corresponder unio do conjunto p com o conjunto q, excluindo a parte relativa interseo.pqp V qVVFVFVFVVFFF29Disjuno Exclusiva

4. Conectivo Se ... ento...: (condicional)So proposies do tipo: Se Pedro mdico, ento Maria dentista. Se amanhecer chovendo, ento no irei praia.Observe o exemplo: Se eu sou carioca, ento eu nasci no Rio de Janeiro. Qual a nica maneira de essa proposio estar incorreta?30Resposta: s h uma maneira desta frase ser falsa: se a primeira parte for verdadeira, e a segunda for falsa. se verdade que eu sou carioca, ento necessariamente verdade que eu nasci no Rio de Janeiro. Ou seja, se algum disser que verdadeiro que eu sou carioca e que falso que eu nasci no Rio de Janeiro , ento este conjunto estar todo falso. Percebam que o fato de eu ser carioca condio suficiente para que se torne um resultado necessrio ter nascido no Rio. Uma condio suficiente gera um resultado necessrio.31 As sentenas condicionais (implicao lgica) indicam um nexo, ou seja, a proposio antecedente ser verdadeira implica que a composio consequente tambm seja verdadeira, caso contrrio, toda a proposio ser falsa. Se as proposies p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a proposio condicional "Se p ento q corresponder incluso do conjunto p no conjunto q (p est contido em q):32

A tabela-verdade pode ser construda a partir do julgamento possvel? pqp qSer CariocaNascer no RioSe carioca, ento nasceu no RioVVVVFFFVVFFVSituao Impossvel33 Um raciocnio muito til tambm o de cumpriu ou descumpriu a promessa. Ex:

Se voc estudar, ento ir ao cinema

pqp qestudarIr ao cinemaSe estudares irs ao cinemaVVVVFFFVVFFVCumpriu a promessaDescumpriu a promessaNo descumpriuNo descumpriu34 Observe que a condicional construda antes da confirmao do evento. Deste modo: 1 Se chover ento eu guardo o carro2 Se no chover ento eu coloco as roupas no varal Em princpio, ambas so verdadeiras a no ser que seja informado que so falsas. mas, o fato de chover ou no chover (confirmao do evento) no torna nenhuma delas falsa.35Importante: no preciso que exista qualquer conexo de sentido entre o contedo das proposies componentes da condicional. Exemplo:

Se o Lula usa barba, ento o urso panda est em extino A sentena condicional Se p, ento q ser representada por uma seta: p q.Na proposio Se p, ento q , a proposio p denominada de antecedente, enquanto a proposio q denominada conseqente.A proposio s ser falsa quando a houver a condio suficiente, mas o resultado necessrio no se confirmar. Ou seja, quando a primeira parte for verdadeira, e a segunda for falsa, sendo verdadeira nos demais casos.36Tabela-Verdade : IMPORTANTE: A condicional somente ser FALSA quando o antecedente for VERDADEIRO e o conseqente for FALSO. Ser verdadeira nos demais casos.pqp qVVVVFFFVVFFV37 Exemplo:

Se amanhecer chovendo, ento no iremos praia.

p: amanhecer chovendo ; q: no ir praiapq p qVVVVFFFVVFFV38 Tambm muito importante conhecer as expresses que podem ser empregadas como equivalentes de "Se p, ento q", so as seguintes:

Se p, q. p condio suficiente para q. q, se p. q condio necessria para p. Quando p, q. p somente se q. p implica q. Todo p q.39Exemplo: Marque certo (C) ou errado (E).Se nasci na Bahia, ento sou baiano.Logo:( ) Nascer na Bahia condio suficiente para ser baiano.( ) Nascer na Bahia condio necessria para ser baiano. ( ) Ser baiano condio suficiente para nascer na Bahia.( ) Ser baiano condio necessria para nascer na Bahia.( ) Nasci na Bahia somente se sou baiano.( ) Sou baiano somente se nasci na Bahia.( ) Nascer na Bahia condio suficiente e necessria para ser baiano.CEECCEE40(BACEN 2006 FCC) Sejam as proposies:p: atuao compradora de dlares por parte do Banco Central;q: fazer frente ao fluxo positivo.Se p implica em q, ento

(A) a atuao compradora de dlares por parte do Banco Central condio necessria para fazer frente ao fluxo positivo.(B) fazer frente ao fluxo positivo condio suficiente para a atuao compradora de dlares por parte do Banco Central.(C) a atuao compradora de dlares por parte do Banco Central condio suficiente para fazer frente ao fluxo positivo.(D) fazer frente ao fluxo positivo condio necessria e suficiente para a atuao compradora de dlares por parte do Banco Central.(E) a atuao compradora de dlares por parte do Banco Central no condio suficiente e nem necessria para fazer frente ao fluxo positivo.415. Conectivo ... se e somente se ...: (bicondicional)A estrutura dita bicondicional apresenta o conectivo se e somente se, separando as duas sentenas simples.

Exemplo: Eduardo fica alegre se e somente se Mariana sorri.

Trata-se da conjuno entre as duas proposies condicionais: Eduardo fica alegre somente se Mariana sorri e Mariana sorri somente se Eduardo fica alegre. Como uma proposio condicional s ser falsa quando o antecedente for verdadeiro e o consequente for falso, e como o bicondicional uma conjuno entre duas condicionais, ento a bicondicional falsa somente quando os valores lgicos das oposies que compe o bicondicional tiverem valores lgicos diferentes.42 Sabendo que a frase p se e somente se q representada por pq, ento nossa tabela verdade ser a seguinte:Observao: Uma proposio bicondicional "p se e somente se q" equivale proposio composta: se p ento q e se q ento p, ou seja, p q a mesma coisa que (p q) e (q p) pq p qVVVVFFFVFFFV43 So tambm equivalentes bicondicional "p se e somente se q" as seguintes expresses: p se e s se q. Se p ento q e se q ento p. p somente se q e q somente se p.p condio suficiente para q e q condio suficiente para p. q condio necessria para p e p condio necessria para q. Todo p q e todo q p.Todo p q e reciprocamente.Via de regra, em questes de prova, se v mais a bicondicional no seu formato tradicional: p se e somente se q.44 Se as proposies p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a proposio bicondicional "p se e somente se q" corresponder igualdade dos conjuntos p e q.6. Partcula no: (negao)No caso de uma proposio simples: a palavra no vem antes da sentena, e j a tornamos uma negativa. Exemplos: Joo mdico. Negativa: Joo no mdico. Maria estudante. Negativa: Maria no estudante.45 Reparemos que, caso a sentena original j seja uma negativa (j traga a palavra no), ento para negar a negativa, teremos que excluir a palavra no. Assim:

Joo no mdico. Negativa: Joo mdico. Maria no estudante. Negativa: Maria estudante. O smbolo que representa a negao uma pequena cantoneira () ou um sinal de til (~), antecedendo a frase. Assim, a tabela-verdade da negao :P P ou ~PVFFV46 Se a proposio A for representada como conjunto atravs de um diagrama, a negao "no A" corresponder ao conjunto complementar de A (Conjunto universo A) 47Reviso dos Conectivos:PQP V QP V QP QP QP Q PVVVFVVVFVFVVFFFFFVVVFVFVFFFFFVVV48

49Exerccios:4.(CESPE/Tc. Judicirio-2007) - Um dos instrumentos mais importantes na avaliao da validade ou no de um argumento e a tabela-verdade. Considere que P e Q sejam proposies e que "", "V" e "" sejam os conectores lgicos que representam, respectivamente, "e", "ou" e o "conector condicional". Ento, o preenchimento correto da ultima coluna da tabela-verdade abaixo e:

50Soluo:

515. (CESPE/Tc. Judicirio-2007) - Na analise de um argumento, pode-se evitar consideraes subjetivas, por meio da reescrita das proposies envolvidas na linguagem da lgica formal. Considere que P, Q, R e S sejam proposies e que "", "V", "" e " " sejam os conectores lgicos que representam, respectivamente, "e", "ou", "negao" e o "conector condicional". Considere tambm a proposio a seguir. Quando Paulo vai ao trabalho de nibus ou de metr, ele sempre leva um guarda-chuva e tambm dinheiro trocado. Assinale a opo que expressa corretamente a proposio acima em linguagem da lgica formal, assumindo que P = "Quando Paulo vai ao trabalho de nibus", Q = "Quando Paulo vai ao trabalho de metro", R = "ele sempre leva um guarda-chuva" e S = "ele sempre leva dinheiro trocado".a) P (Q V R)b) (P Q) V Rc) (P V Q) (R S).d) P V (Q (R S)).52Se Paulo vai ao trabalho de nibus ou de metr, ento ele leva guarda-chuva e dinheiro trocado.Seja:P: nibusQ: metrR: guarda-chuvaS: dinheiro trocado(PVQ) (R^S)Letra (c)Soluo: 53