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RACIOCÍNIO LÓGICO

JORGE BART


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SUMÁRIO

Princípio Fundamental da Contagem ................................................................................................... 05

Arranjo ...................................................................................................................................................... 06

Combinação .............................................................................................................................................. 07

Regras gerais sobre Análise Combinatória ........................................................................................... 08

Fundamentos da Lógica .......................................................................................................................... 09

Principais Fundamentos da Lógica ........................................................................................................ 09

Proposição ................................................................................................................................................

Silogismo. .................................................................................................................................................

Conjuntos Numéricos ..............................................................................................................................

Sistemas Legal de Medidas .....................................................................................................................

Critério de Divisibilidade ........................................................................................................................

Potenciação ..............................................................................................................................................

Radiação ....................................................................................................................................................

Razão e Proporção ..................................................................................................................................

Porcentagem ............................................................................................................................................

Aumentos e Descontos ............................................................................................................................

Operação entre Conjuntos ......................................................................................................................

Probabilidade ...........................................................................................................................................

Equações ..................................................................................................................................................

Estatística .................................................................................................................................................

Matemática Financeira ............................................................................................................................

Exercícios Matemática Básica ...............................................................................................................

Exercícios Análise Combinatória e Probabilidade ...............................................................................

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Exercícios Matemática Financeira .......................................................................................................... 68

Exercícios Estatística ............................................................................................................................... 71

Exercícios Raciocínio Lógico .................................................................................................................. 76

Gabaritos ................................................................................................................................................... 85

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

O princípio fundamental da contagem diz que um evento que ocorre em n situações independentes e sucessi-vas, tendo a primeira situação ocorrendo de M1 maneiras, a segunda situação ocorrendo de M2 maneiras e assim sucessivamente até a enésima situação ocorrendo de Mn maneiras, temos que o número total de ocorrên-cias será dado pelo produto:

M1, M2, M3, ... MN

EXEMPLO 01Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes matérias, empilhados de cima para baixo nesta exata ordem: Português, matemática, história e geografia.

Incluindo a ordem atual, de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros nesta carteira? Vamos pensar sobre o problema.

-Na escolha do primeiro livro a ser colocado na carteira temos 4 possibilidades, pois ainda não colocamosnenhum livro nela, temos então quatro livros a escolher: Português, matemática, história e geografia. Secomeçarmos a pilha com o livro de português, na escolha do próximo livro a ser colocado sobre ele, temos 3possibilidades: matemática, história e geografia. Se escolhermos o livro de história como o segundo livro dapilha, para o terceiro livro temos 2 possibilidades apenas: matemática e geografia. Se colocarmos na pilha olivro de geografia, para o último livro temos obviamente 1 possibilidade: matemática.

Veja pela figura ao lado que as 4 possibilidades do primeiro livro podem ser combinadas com cada uma das 3 possibilidades do segundo livro, que podem ser combinadas com cada uma das 2 possibilidades do terceiro livro, que podem finalmente ser combinadas com 1 possibilidade do quarto livro. Matematicamente o número total de possibilidades seria:

4.3.2.1 = 24

EXEMPLO 02Quantos são os números naturais de dois algarismos que são múltiplos de 5?Como o zero à esquerda de um número não é significativo, para que tenhamos um número natural com dois algarismos ele deve começar com um dígito de 1 a 9, temos portanto 9 possibilidades.

Para que o número seja um múltiplo de 5, o mesmo deve terminar em 0 ou 5, portanto temos apenas 2 possibilidades.

9.2 = 18

Logo são 18 os números naturais de dois algarismos que são múltiplos de 5.

EXEMPLO 03De quantas formas podemos dispor as letras da palavra FLUOR de sorte que a última letra seja sempre a letra R?

Para a última letra, segundo o enunciado temos apenas uma possibilidade que é a letra R.

Para a primeira, segunda, terceira e quarta letras temos respectivamente 4, 3, 2 e 1 possibilidades. Assim temos:

4.3.2.1 = 24

Podemos dispor as letras da palavra FLUOR de 24 formas diferentes, tal que a última letra seja sempre a letra R.


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ARRANJO (A ORDEM É IMPORTANTE)

São agrupamentos formados com p elementos, (p<n) de forma que os p elementos sejam distintos entre si pela ordem ou pela espécie. Os arranjos podem ser simples ou com repetição.

ARRANJO SIMPLES

Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de n elementos.

A�,� = n! (n-p)!

EXEMPLO Seja Z={A,B,C,D}. Os arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 (n=4, p=2) são 12 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento mas que podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupa-mentos estão no conjunto:

C

A

B

C

D

B

A

D B C

D

A

A

D

C

B

AC

AB

AD

BA

BC

BD DC

DB

DA

CD

CB

CA

Resolvendo pela fórmula:

A4,2 = 4! (4-2)!

= 4.3.2.1 2.1

= 12


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COMBINAÇÃO (A ORDEM NÃO É IMPORTANTE)

Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p<n) de forma que os p elementos sejam distintos entre si apenas pela espécie. As combinações podem ser simples ou com repetição

COMBINAÇÃO SIMPLES

Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.

C�,� = n! p! (n-p)!

EXEMPLO Seja C={A,B,C,D}. As combinações simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 (n=4 e p=2) são 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem:


C4,2 = 4! 2! (4-2)!

= 4.3.2.1 2.1.2.1

= 24 12

A B

A C

A D

C B

C D

B D

AB

AC

AD BD

CD

CB

= 6

PERMUTAÇÃO

Quando formamos agrupamentos com n elementos, de forma que os n elementos sejam distintos entre si pela ordem.

PERMUTAÇÃO SIMPLES

São agrupamentos com todos os m elementos distintos.

Cm= m!


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EXEMPLOSeja C={A,B,C} e m=3. As permutações simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que não podem ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamen-tos estão no conjunto:


C3= 3! = 3.2.1 = 6

REGRAS GERAIS SOBRE ANÁLISE COMBINATÓRIA

Regra da soma (OU)A regra da soma nos diz que se um elemento pode ser escolhido de m formas e um outro elemento pode ser escolhido de n formas, então a escolha de um ou outro elemento se realizará de m+n formas, desde que tais escolhas sejam independentes, isto é, nenhuma das escolhas de um elemento pode coincidir com uma escolha do outro.

Regra do Produto (E)A regra do produto diz que se um elemento H pode ser escolhido de m formas diferentes e se depois de cada uma dessas escolhas, outro elemento M pode ser escolhido de n formas diferentes, a escolha do par (H,M) nesta ordem poderá ser realizada de m.n formas.


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FUNDAMENTOS DA LÓGICA

ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES

PROPOSIÇÃO

É uma declaração (afirmação ou negação) que pode ser verdadeira ou falsa.

Exemplos: “Cinco mais três é igual a oito” é uma proposição afirmando algo, essa declaração é verdadeira (V).“O Internacional nunca foi campeão do mundo” é uma proposição negando algo, essa declaração é falsa (F).

CUIDADO!“2 + 3” não é uma declaração, mas “2 + 3 = 5” é uma declaração afirmativa verdadeira (V).

NÃO SÃO PROPOSIÇÕES

Sentenças interrogativas:

Sentenças exclamativas:

Sentenças imperativas:

Sentenças ambíguas:Sentenças paradoxais:

p: vai chover hoje:

q: que bonito esse casado!

r: Thiago, vá para casa.

t: a anta gorda da minha sogra.e: essa frase está errada.

PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA LÓGICA

01. Princípio da não-contradição

Uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa.

02. Princípio do terceiro excluído

Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, nunca ocorrendo um terceiro caso.

PROPOSIÇÃO

SIMPLES (atômica): uma proposição isolada.

Exemplo: Brasília é a capital do Brasil.

COMPOSTA (molecular): formada por mais de uma proposição.Exemplo: Brasília é a capital do Brasil e cinco mais três são oito

Normalmente, para resolvermos provas de concursos públicos, representamos uma proposição simples por uma letra minúscula, “p”, “q”, “r”, “s”, mas isso não é uma regra. Usamos as letras para facilitar a construção da Tabela-verdade.


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SÍMBOLOS

Negação

Conjunção

Disjunção

Disjunção exclusivaImplicação

não p

p E q

p OU q

OU p OU qSE p ENTÃO q

Dupla Implicação p SE E SOMENTE SE

(~p)

(p^q)

(pVq)

(pVq)(p → q)(p ↔ q)

↔≠⇔

⇔ = Proposições

Equivalentes ↔

=

NEGAÇÃO (~P)

Se uma proposição for verdadeira, a sua negação é obrigatoriamente falsa; se for falsa, então a sua negação é obrigatoriamente verdadeira.

Existem basicamente três possíveis formas de negar uma proposição, são elas:

Com a palavra “não” antes do verbo. p Felisberto gosta de futebol.~p Felisberto não gosta de futebol.

Retirando a palavra “não” da frente do verbo. p Bernarda não gosta de Henrique.~p Bernarda gosta de Henrique.

Substituir pelo antônimo. p A praia é bonita.~p A praia é feia.

TABELA VERDADE

É uma tabela usada para representar as preposições, tem como vantagem a fácil visualização das relações. Vamos representar na tabela uma preposição p e a sua negação ~p.

A Tabela acima vale para qualquer p e ~p. vejamos um exemplo: p Renato joga bola aos sábados.~p Renato não joga bola aos sábados.

Se p é verdadeiro, então ~p é falso (1° linha da tabela).Se p é falso, então ~p é verdadeiro (2° linha da tabela).

p ~p

V F

F V


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NEGAÇÃO (~P)

Só será verdadeira se p e q forem verdadeira ao mesmo tempo.

01. Conjunção: p E q (p^q)

p

q

(p ^ q)

Note que, para (p ^ q) ser verdadeira, as duas proposi-ções devem ser verdadeiras.

Artur é colorado.

Otávio é gremista.

Arthur é colorado e Otávio é gremista.

NEGAÇÃO (~P)02. Negação da Conjunção: ~ (p^q)

~(p ^ q) ↔ ~p v ~q

(p ^ q) “Carlos é rico e Marcela é pobre.”

~(p ^ q) “Carlos não é rico ou Marcela não é podre.” ou “Carlos é pobre ou Marcela é rica.”

NEGAÇÃO (~P)03. Disjunção: p OU q (p V q)

Será verdadeira se p ou q forem verdadeiras.

p

q

(p V q)

Note que a palavra ou permite que (p V q) seja verda-deira desde que pelo menos uma das duas proposi-ções seja.

A casa é bonita.

A praia é bonita.

A casa é bonita ou a praia é bonita.

NEGAÇÃO (~P)04. Negação da Disjunção: ~ (p V q)

~(p V q) ↔ ~p ^ ~q

(p V q) “Carlos é alto ou Célia é linda.”

~(p V q) “Carlos não é alto e Célia não é linda.” ou “Carlos é baixo e Célia é feia.”


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NEGAÇÃO (~P)

Somente será verdadeira quando p e q tiverem resultados opostos.

05. Disjunção Exclusiva : OU p OU q (pVq)

(p V q) “Ou Ricardo é rico ou Maria vai embora.”Note que essa proposição é equivalente a: “Ricardo é rico e Maria não vai embora.” Ou “Ricardo não é rico e Maria vai embora.”

* Veremos a negação da disjunção exclusiva mais adiante.

NEGAÇÃO (~P)

(p → q) só será falsa quando p for verdadeiro e q for falsa.

Vejamos:SE ela for bonita, ENTÃO eu a beijarei.

Note que ela ser bonita é condição SUFICIENTE para que eu a beije.Note também que eu beijá-la é condição NECESSÁRIA para que ela seja bonita.Perceba ainda que ela será bonita SOMENTE SE eu a beijar.

Formas de dizer (p → q)

Se p, então q.

p implica q.

p é suficiente para q.

q é necessário para p.

Quando p, q.

Observe o quadro a cima. Apesar de não parecer, as últimas duas linhas estão corretas, vamos analisá-las:

1° linha: ela era bonita (V) e eu a beijei (V).Promessa cumprida (V).2° linha: ela era bonita (V) e eu não a beijei (F).Promessa não cumprida (F).3° linha: ela não era bonita (F) e eu a beijei (V).4° linha: ela não era bonita (F) e eu não a beijei (F).

Note que, nesses dois últimos casos, não houve promessa, logo, não posso ser penalizado por isso (F). Por consequência, consideramos a proposição verdadeira (V).

06. Implicação: SE p ENTÃO q (p → q)

Dica importante

p → q

não é equivalente a

~p → ~q


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NEGAÇÃO (~P)07. Negação da Implicação: ~ (p → q)

~ p → q ↔ p ~q

(p → q) SE ela for bonita, ENTÃO eu a beijarei.~ Ela é bonita e eu não a beijei.

* tente mostrar porque (p → q) ↔ ~q → ~p através da tabela-verdade.

NEGAÇÃO (~P)08. Dupla Implicação: SE p ENTÃO q E SE q ENTÃO p (p ↔ q)

Só será verdadeira se ambas as proposições forem verdadeiras ou ambas as proposições forem falsas.

Aline está grávida SE E SOMENTE SE tem um filho na barriga.

Aline estar grávida é condição necessária e suficiente para ter um filho na barriga.

NEGAÇÃO (~P)09. Negação da Dupla Implicação ~(p ↔ q)

Só será verdadeira se ambas as proposições forem verdadeiras ou ambas as proposições forem falsas.

Ana é magra se e somente se mora no Brasil.

Ou Ana é magra ou Ana mora no Brasil.


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TAUTOLOGIA E CONTRADIÇÃO

TAUTOLOGIAÉ toda proposição sempre verdadeira (tabela verdade composta somente por V) independente da verdade dos termos.

CONTRADIÇÃOÉ toda proposição sempre falsa (tabela verdade composta somente por F) independente da verdade dos termos.

SILOGISMO

É um tipo de raciocínio dedutivo em que, a partir de certas informações, concluímos algo.

EXEMPLO Seja C={A,B,C,D}. As combinações simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 (n=4 e p=2) são 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem:

(premissa maior)

(premissa menor)

(conclusão)

Todas as mulheres são complicadas.

Jussara é uma mulher.

Logo, Jussara é complicada.

01. FALÁCIAÉ um raciocínio lógico equivocado.

Exemplo:O inter ganhou do Grêmio.O Grêmio ganhou do Juventude.O inter ganhará do juventude.

02. PARADOXOParte de algo não contraditório, mas suas conclusões são contraditórias.

Exemplo:Meu amigo japonês disse que todos os japoneses são mentirosos. Os problemas de silogismos apresentam expressões como “todos, “algum”, “nenhum”, “ao menos um”.

Temos de tomar cuidado com o significado dessas expressões, vejamos:

Todo A é B: todo elemento que pertence a A pertence a B.

∀𝑥 𝐴 𝑥 → 𝐵 𝑥 ) Para todo x que pertence a A, pertence também a B.


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Algum A é B: Existe ao menos um elemento comum aos dois conjuntos.

Nenhum A é B: Não existem elementos comuns aos dois conjuntos.

Algum A não é B: Existe ao menos um elemento que pertence a A e não pertence a B

∃𝑥 / 𝐴 𝑥 ∧ 𝐵 𝑥 Existe x tal que x pertence a A e também a B.

∃𝑥 / 𝐴 𝑥 ∧ ¬𝐵 𝑥 Existe um elemento X tal que x pertence a A e não Pertence a B.

Negações para “Todos”, “Algum” e “Nenhum”

A) Todos:p: Toda brasileira é Bonita.

~p: Alguma brasileira não é bonita.

B) Nenhumq: Nenhum político é honesto

~q: Pelo menos um político é honesto.

Ou

~q: Algum político é honesto.

C) Algum:r: Alguém nessa sala é mentiroso.

~r: Ninguém nessa sala é mentiroso.

Ou

t: Alguém nessa sala não é responsável.~t: todos nessa sala são responsáveis

1) Em uma entrevista realizada com 1500 pessoas que acessam os sites S1, S2 e S3 para obterem informações sobre concursos, constatou-se que 790 acessam S1, 868 acessam S2, 1129 acessam S3, 560 acessam S1 e S2, 582 acessam S1 e S3, 577 acessam S2 e S3, e 432 entrevistados acessam S1, S2 e S3. Com base nessas informações, o número de entrevistados que acessam um único site é igual a:A) 423. B) 645. C) 790. D) 1068. E) 1129.

2) Uma das funções do Escriturário é entrar em contato com fornecedores e clientes para controlar pagamentos, créditos e débitos. Sabe-se que, em um mês, a quantidade de clientes fornecedores atendidos por um escriturário corresponde ao número de anagramas que podem ser formados com a palavra PROCERGS, terminando com a letra S. Esse número corresponde a: A) 210. B) 840. C) 1680. D) 2520. E) 5040.

3) Um funcionário trabalha em uma das salas de um prédio que tem duas portas de acesso, seis elevadores no hall de entrada, dez andares e oito salas por andar. De quantos modos diferentes esse funcionário pode entrar nesse prédio para ir a uma das salas? A) 120. B) 540. C) 750. D) 960. E) 980.

4) Considere as seguintes proposições:

P : “Maria não é administradora ou Vinícius é engenheiro”. Q : “Existem indivíduos que são administradores”. R : “Todos os professores são estudiosos”. S : “Se Sílvia é advogada, então ela tem curso superior”. T : “Márcio toma chá se, e somente se, está doente”.

Com base nas proposições acima, qual das seguintes alternativas está correta? A) A negação de P é: “Maria é administradora ou Vinícius não é engenheiro”. B) A negação de Q é: “Existem indivíduos que não são administradores”. C) A negação de R é: “Existem professores que são estudiosos”. D) A negação de S é: “Silvia é advogada ou ela não tem curso superior”. E) A negação de T é: “Márcio toma chá e não está doente ou Márcio não toma chá e está doente”.

5) Considerando que a proposição “Nenhum homem bom pratica o mal” é falsa, qual das seguintes alternativas apresenta uma proposição verdadeira? A) Todo homem bom pratica o mal. B) Todo homem bom não pratica o mal. C) Alguns homens bons não praticam o mal. D) Pelo menos um homem bom pratica o mal. E) Não há homem bom que pratique o mal.

6) Considere as seguintes proposições condicionais: • Seu Jorge é maior do que Jardel, então Thiago e Caio têm o mesmo tamanho. • Se Thiago e Caio têm o mesmo tamanho, então Pedro é maior do que Jardel. • Se Pedro é maior do que Jardel, então Jorge é maior do que Thiago. Sabendo-se que Jorge não é maior do que Thiago, qual das seguintes alternativas apresenta uma proposição verdadeira de acordo com as apresentadas acima? A) Jorge não é maior do que Thiago e Pedro é menor do que Jardel. B) Jorge é maior do que Jardel e Thiago e Caio têm o mesmo tamanho. C) Jorge não é maior do que Jardel e Thiago e Caio não têm o mesmo tamanho. D) Jorge é maior do que Jardel e Pedro é menor do que Jardel. E) Jorge e Pedro são menores do que Jardel.

7) Se a laranja está azeda, então a manga não está doce. Ou a manga está doce ou André não gosta de manga. Ora, André gosta de manga. Logo, A) a laranja está azeda e a manga está doce. B) a laranja está azeda e a manga não está doce. C) a laranja não está azeda e a manga está doce. D) a laranja não está azeda e a manga não está doce. E) se a laranja não está azeda, então a manga está doce.

8) Lúcia tem três tipos de calçados: uma bota, um sapato e uma sandália. Um dos calçados é branco, o outro é preto e outro é vermelho. Sabe-se que: I. ou a bota é preta ou o sapato é preto. II. ou a bota é branca ou a sandália é vermelha. III. ou a sandália é branca ou o sapato é branco. Então, as cores da bota, do sapato e da sandália são, respectivamente, A) branca, preta e vermelha. B) branca, vermelha e preta. C) vermelha, preta e branca. D) preta, vermelha e branca. E) preta, branca e vermelha

9) Uma fábrica produz jarras nas cores azul, branca, creme, vermelha e verde, nessa ordem. Se a primeira jarra produzida no dia foi azul, a cor da 65.432 a jarra produzida nesse dia foi:A)azul;B)branca;C)creme;D)verde;E) vermelha.

10) Dado que as proposições “Eu fiz o curso.” e “Eu estudei muito.” são verdadeiras e que “Estive presente em todas as aulas.” é falsa, qual das alternativas a seguir representa uma proposição verdadeira? A) Se estudei muito, então não fiz o curso. B) Se eu fiz o curso, então estive presente em todas as aulas.C) Eu fiz o curso ou estudei muito, mas estive presente em todas as aulas. D) Se estudei muito e fiz o curso, então estive presente em todas as aulas. E) Se estive presente em todas as aulas, então eu fiz o curso e estudei muito.

11-Dada a proposição: “Quando chove, não há aula ao ar livre.”, sua contrapositiva é A) “Quando não chove, não há aula ao ar livre.” B) “Se há aula ao ar livre, então não chove.” C) “Não chove e nem há aula ao ar livre.” D) “Se chove, há aula ao ar livre.” E) “Quando chove, há aula em outro local.”

12) Sejam dadas as seguintes proposições: I. Se 2 é um número primo, então 3 é um número par. II. Se 2 não é um número primo, então 3 é um número par. III. Se 3 é um número primo, então 2 não é um número par. A sequência dos valores lógicos V, se verdadeiro, F, se falso, de cada uma das três proposições compostas acima,ordenados de cima para baixo, é: A) F – F – F. B) F – V – F. C) F – V – V. D) V – V – F. E) V – F – V.

13) Considere as seguintes premissas de um argumento:1. “Se eu chego cedo ou está chovendo, então eu consigo passar na prova.” 2. “Se eu consigo passar na prova, então farei uma viagem.”3. “Eu não farei uma viagem.” Para que o argumento acima seja válido, sua conclusão deve ser: A) Eu não chego cedo, não está chovendo e não consigo passar na prova. B) Eu chego tarde e não consigo passar na prova, porque está chovendo.C) Eu não chego cedo, está chovendo e não fiz a prova. D) Não está chovendo, mas eu cheguei cedo e não fiz a prova. E) Eu não fiz a prova porque estava chovendo.

14) Roberto, Sílvio e Túlio pintaram suas casas com as cores verde, amarela ou branca, não necessariamente nesta mesma ordem. Além de as três casas terem cores distintas, sabe-se que apenas uma das afirmações a seguir éverdadeira. I. A casa de Roberto foi pintada de branco.II. A casa de Sílvio não foi pintada de branco.III. A casa de Túlio não foi pintada de verde. Então, as cores das casas de Roberto, Sílvio e Túlio são, respectivamente:A) amarela, branca, verde. B) amarela, verde, branca. C) branca, verde, amarela. D) verde, amarela, branca. E) verde, branca, amarela.

15)Uma menina possui 5 blusas, 3 saias e 2 sandálias. De quantas maneiras diferentes ela pode se vestir? A) 30 B)30 C)15 D) 10 E) 40

16) Considere as premissas abaixo.P1 - Quando a campainha toca, todos os cachorros latem. P2 - Um cachorro não latiu.Qual é a consequência lógica decorrente das premissas P1 e P2 acima? A) A campainha não tocou.B) A campainha tocou.C) Nenhum cachorro latiu.D) Alguns cachorros latiram, mas a campainha não tocou.E) Não se pode chegar a uma conclusão com base nas premissas.

17) A proposição “Carlito vai ao parque de diversões, ou não é verdade que Carlito vai ao parque de diversões, eFlorinda não vai ao cinema” é: A) uma contradição.B) uma tautologia.

C) uma contingência. D) um paradoxo.E) um silogismo.

18) Considere os argumentos abaixo: I – Todos os gatos são pretos. Alguns animais pretos mordem. Logo, alguns gatos mordem. II – Se 11 é um número primo, então, 8 não é um número par. Ora 8 é um número par, portanto, 11 não é um número primo.III – Todos os X são Y. Todos os Z são Y.

Alguns X estão quebrados. Logo, alguns Y estão quebrados. Quais são válidos? A) Apenas o I. B) Apenas o II. C) Apenas o III. D) Apenas o II e o III. E) O I, o II e o III.

19) Ana precisa fazer uma prova de matemática composta 15 questões. Contudo, para ser aprovada, Ana só precisa resolver 10 questões das 15 propostas. Assim, de quantas maneiras diferentes Ana pode escolher as questões?A) 3003B) 2980 C) 2800 D) 3006 E) 3005

20) O departamento de vendas de imóveis de uma imobiliária tem 8 corretores, sendo 5 homens e 3 mulheres. Quantas equipes de vendas distintas podem ser formadas com 2 corretores, havendo em cada equipe pelo menosuma mulher?A) 15 B)45 C)31 D)18 E)25

21) Entre os professores que constituem o corpo docente de uma universidade têm-se 8 professores de Marketing e 10 professores de Finanças. Esses professores estão se organizando para participar de um Congresso de Adminis-tração Financeira e Marketing que será realizado no Canadá. Contudo, devido ao alto custo da viagem, somentepoderão participar do Congresso cinco professores. Desse modo, o número de diferentes grupos de cinco profes-sores que podem ser escolhidos para participar do Congresso, de modo que em cada grupo deve haver 2 professo-res de Marketing e 3 professores de Finanças é igual a:A) 1460 B) 2560 C) 3360 D) 2530 E) 4780

22) Na Mega-Sena são sorteadas seis dezenas de um conjunto de 60 possíveis (as dezenas sorteáveis são 01, 02, ... , 60). Uma aposta simples (ou aposta mínima), na Mega-Sena, consiste em escolher 6 dezenas. Pedro sonhou que as seis dezenas que serão sorteadas no próximo concurso da Mega-Sena estarão entre as seguintes: 01, 02, 05, 10,18, 32, 35, 45. O número mínimo de apostas simples para o próximo concurso da Mega-Sena que Pedro deve fazer para ter certeza matemática que será um dos ganhadores caso o seu sonho esteja correto é:A) 8 B) 28 C) 40D) 60 E) 84

23) Um grupo de dança folclórica formado por sete meninos e quatro meninas foi convidado a realizar apresenta-ções de dança no exterior. Contudo, o grupo dispõe de recursos para custear as passagens de apenas seis dessas crianças. Sabendo-se que nas apresentações do programa de danças devem participar pelo menos duas meninas,o número de diferentes maneiras que as seis crianças podem ser escolhidas é igual a:A) 286 B) 756 C) 468 D) 371 E) 752

24) Separam-se os números de 1 a 10 em dois conjuntos de 5 elementos de modo que 1 e 8 não estejam no mesmo conjunto. Isso pode ser feito de n modos distintos, o valor de n é: A) 20B) 35 C) 70 D)140 E) 200

25) Assinale a alternativa na qual consta a quantidade de números inteiros formados por três algarismos distintos,escolhidos dentre 1, 3, 5, 7 e 9, e que são maiores que 200 e menores que 800?A) 30B) 36 C) 42 D) 48 E) 54

26) De quantas maneiras 10 clientes de um banco podem se posicionar na fila única dos caixas de modo que as 4 mulheres do grupo fiquem juntas? A) 4!.7! B) 5!.6! C) 6.6! D) 10.6! E) 4!+ 10!

27) Quatro amigos, Pedro, Luísa, João e Rita, vão ao cinema, sentando-se em lugares consecutivos na mesma fila. O número de maneira que os quatro podem ficar dispostos de forma que Pedro e Luísa fiquem sempre juntos eJoão e Rita fiquem sempre juntos é: A) 2 B) 4 C) 8 D) 16E) 24

28) Você faz parte de um grupo de 12 pessoas, 5 das quais deverão ser selecionadas para formar um grupo de trabalho. De quantos modos você poderá fazer parte do grupo a ser formado?A) 182 B) 330 C) 462 D) 782 E) 7920

29) Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e 6 vagões distintos, sendo um deles restaurante. Sabendo-se que a locomotiva deve ir à frente, e que o vagão restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, o número de modos diferentes de montar a composição é: A) 120B) 320 C) 500 D) 600 E) 720

30) Para colocar preço em seus produtos, uma empresa desenvolveu um sistema simplificado de código de barras formado por cinco linhas separadas por quatro espaços. Podendo usar linhas de três larguras possíveis e espaços de duas larguras possíveis, o número total de preços que podem ser representados por esse código é: A) 1440 B) 2880 C) 3125 D) 3888 E) 4320


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1) Em uma entrevista realizada com 1500 pessoas que acessam os sites S1, S2 e S3 para obterem informações sobre concursos, constatou-se que 790 acessam S1, 868 acessam S2, 1129 acessam S3, 560 acessam S1 e S2, 582 acessam S1 e S3, 577 acessam S2 e S3, e 432 entrevistados acessam S1, S2 e S3. Com base nessas informações, o número de entrevistados que acessam um único site é igual a:A) 423. B) 645. C) 790. D) 1068. E) 1129.

2) Uma das funções do Escriturário é entrar em contato com fornecedores e clientes para controlar pagamentos, créditos e débitos. Sabe-se que, em um mês, a quantidade de clientes fornecedores atendidos por um escriturário corresponde ao número de anagramas que podem ser formados com a palavra PROCERGS, terminando com a letra S. Esse número corresponde a: A) 210. B) 840. C) 1680. D) 2520. E) 5040.

3) Um funcionário trabalha em uma das salas de um prédio que tem duas portas de acesso, seis elevadores no hall de entrada, dez andares e oito salas por andar. De quantos modos diferentes esse funcionário pode entrar nesse prédio para ir a uma das salas? A) 120. B) 540. C) 750. D) 960. E) 980.

4) Considere as seguintes proposições:

P : “Maria não é administradora ou Vinícius é engenheiro”. Q : “Existem indivíduos que são administradores”. R : “Todos os professores são estudiosos”. S : “Se Sílvia é advogada, então ela tem curso superior”. T : “Márcio toma chá se, e somente se, está doente”.

Com base nas proposições acima, qual das seguintes alternativas está correta? A) A negação de P é: “Maria é administradora ou Vinícius não é engenheiro”. B) A negação de Q é: “Existem indivíduos que não são administradores”. C) A negação de R é: “Existem professores que são estudiosos”. D) A negação de S é: “Silvia é advogada ou ela não tem curso superior”. E) A negação de T é: “Márcio toma chá e não está doente ou Márcio não toma chá e está doente”.

5) Considerando que a proposição “Nenhum homem bom pratica o mal” é falsa, qual das seguintes alternativas apresenta uma proposição verdadeira? A) Todo homem bom pratica o mal. B) Todo homem bom não pratica o mal. C) Alguns homens bons não praticam o mal. D) Pelo menos um homem bom pratica o mal. E) Não há homem bom que pratique o mal.

6) Considere as seguintes proposições condicionais: • Seu Jorge é maior do que Jardel, então Thiago e Caio têm o mesmo tamanho. • Se Thiago e Caio têm o mesmo tamanho, então Pedro é maior do que Jardel. • Se Pedro é maior do que Jardel, então Jorge é maior do que Thiago. Sabendo-se que Jorge não é maior do que Thiago, qual das seguintes alternativas apresenta uma proposição verdadeira de acordo com as apresentadas acima? A) Jorge não é maior do que Thiago e Pedro é menor do que Jardel. B) Jorge é maior do que Jardel e Thiago e Caio têm o mesmo tamanho. C) Jorge não é maior do que Jardel e Thiago e Caio não têm o mesmo tamanho. D) Jorge é maior do que Jardel e Pedro é menor do que Jardel. E) Jorge e Pedro são menores do que Jardel.

7) Se a laranja está azeda, então a manga não está doce. Ou a manga está doce ou André não gosta de manga. Ora, André gosta de manga. Logo, A) a laranja está azeda e a manga está doce. B) a laranja está azeda e a manga não está doce. C) a laranja não está azeda e a manga está doce. D) a laranja não está azeda e a manga não está doce. E) se a laranja não está azeda, então a manga está doce.

8) Lúcia tem três tipos de calçados: uma bota, um sapato e uma sandália. Um dos calçados é branco, o outro é preto e outro é vermelho. Sabe-se que: I. ou a bota é preta ou o sapato é preto. II. ou a bota é branca ou a sandália é vermelha. III. ou a sandália é branca ou o sapato é branco. Então, as cores da bota, do sapato e da sandália são, respectivamente, A) branca, preta e vermelha. B) branca, vermelha e preta. C) vermelha, preta e branca. D) preta, vermelha e branca. E) preta, branca e vermelha

9) Uma fábrica produz jarras nas cores azul, branca, creme, vermelha e verde, nessa ordem. Se a primeira jarra produzida no dia foi azul, a cor da 65.432 a jarra produzida nesse dia foi:A)azul;B)branca;C)creme;D)verde;E) vermelha.

10) Dado que as proposições “Eu fiz o curso.” e “Eu estudei muito.” são verdadeiras e que “Estive presente em todas as aulas.” é falsa, qual das alternativas a seguir representa uma proposição verdadeira? A) Se estudei muito, então não fiz o curso. B) Se eu fiz o curso, então estive presente em todas as aulas.C) Eu fiz o curso ou estudei muito, mas estive presente em todas as aulas. D) Se estudei muito e fiz o curso, então estive presente em todas as aulas. E) Se estive presente em todas as aulas, então eu fiz o curso e estudei muito.

11-Dada a proposição: “Quando chove, não há aula ao ar livre.”, sua contrapositiva é A) “Quando não chove, não há aula ao ar livre.” B) “Se há aula ao ar livre, então não chove.” C) “Não chove e nem há aula ao ar livre.” D) “Se chove, há aula ao ar livre.” E) “Quando chove, há aula em outro local.”

12) Sejam dadas as seguintes proposições: I. Se 2 é um número primo, então 3 é um número par. II. Se 2 não é um número primo, então 3 é um número par. III. Se 3 é um número primo, então 2 não é um número par. A sequência dos valores lógicos V, se verdadeiro, F, se falso, de cada uma das três proposições compostas acima,ordenados de cima para baixo, é: A) F – F – F. B) F – V – F. C) F – V – V. D) V – V – F. E) V – F – V.

13) Considere as seguintes premissas de um argumento:1. “Se eu chego cedo ou está chovendo, então eu consigo passar na prova.” 2. “Se eu consigo passar na prova, então farei uma viagem.”3. “Eu não farei uma viagem.” Para que o argumento acima seja válido, sua conclusão deve ser: A) Eu não chego cedo, não está chovendo e não consigo passar na prova. B) Eu chego tarde e não consigo passar na prova, porque está chovendo.C) Eu não chego cedo, está chovendo e não fiz a prova. D) Não está chovendo, mas eu cheguei cedo e não fiz a prova. E) Eu não fiz a prova porque estava chovendo.

14) Roberto, Sílvio e Túlio pintaram suas casas com as cores verde, amarela ou branca, não necessariamente nesta mesma ordem. Além de as três casas terem cores distintas, sabe-se que apenas uma das afirmações a seguir éverdadeira. I. A casa de Roberto foi pintada de branco.II. A casa de Sílvio não foi pintada de branco.III. A casa de Túlio não foi pintada de verde. Então, as cores das casas de Roberto, Sílvio e Túlio são, respectivamente:A) amarela, branca, verde. B) amarela, verde, branca. C) branca, verde, amarela. D) verde, amarela, branca. E) verde, branca, amarela.

15)Uma menina possui 5 blusas, 3 saias e 2 sandálias. De quantas maneiras diferentes ela pode se vestir? A) 30 B)30 C)15 D) 10 E) 40

16) Considere as premissas abaixo.P1 - Quando a campainha toca, todos os cachorros latem. P2 - Um cachorro não latiu.Qual é a consequência lógica decorrente das premissas P1 e P2 acima? A) A campainha não tocou.B) A campainha tocou.C) Nenhum cachorro latiu.D) Alguns cachorros latiram, mas a campainha não tocou.E) Não se pode chegar a uma conclusão com base nas premissas.

17) A proposição “Carlito vai ao parque de diversões, ou não é verdade que Carlito vai ao parque de diversões, eFlorinda não vai ao cinema” é: A) uma contradição.B) uma tautologia.

C) uma contingência. D) um paradoxo.E) um silogismo.

18) Considere os argumentos abaixo: I – Todos os gatos são pretos. Alguns animais pretos mordem. Logo, alguns gatos mordem. II – Se 11 é um número primo, então, 8 não é um número par. Ora 8 é um número par, portanto, 11 não é um número primo.III – Todos os X são Y. Todos os Z são Y.

Alguns X estão quebrados. Logo, alguns Y estão quebrados. Quais são válidos? A) Apenas o I. B) Apenas o II. C) Apenas o III. D) Apenas o II e o III. E) O I, o II e o III.

19) Ana precisa fazer uma prova de matemática composta 15 questões. Contudo, para ser aprovada, Ana só precisa resolver 10 questões das 15 propostas. Assim, de quantas maneiras diferentes Ana pode escolher as questões?A) 3003B) 2980 C) 2800 D) 3006 E) 3005

20) O departamento de vendas de imóveis de uma imobiliária tem 8 corretores, sendo 5 homens e 3 mulheres. Quantas equipes de vendas distintas podem ser formadas com 2 corretores, havendo em cada equipe pelo menosuma mulher?A) 15 B)45 C)31 D)18 E)25

21) Entre os professores que constituem o corpo docente de uma universidade têm-se 8 professores de Marketing e 10 professores de Finanças. Esses professores estão se organizando para participar de um Congresso de Adminis-tração Financeira e Marketing que será realizado no Canadá. Contudo, devido ao alto custo da viagem, somentepoderão participar do Congresso cinco professores. Desse modo, o número de diferentes grupos de cinco profes-sores que podem ser escolhidos para participar do Congresso, de modo que em cada grupo deve haver 2 professo-res de Marketing e 3 professores de Finanças é igual a:A) 1460 B) 2560 C) 3360 D) 2530 E) 4780

22) Na Mega-Sena são sorteadas seis dezenas de um conjunto de 60 possíveis (as dezenas sorteáveis são 01, 02, ... , 60). Uma aposta simples (ou aposta mínima), na Mega-Sena, consiste em escolher 6 dezenas. Pedro sonhou que as seis dezenas que serão sorteadas no próximo concurso da Mega-Sena estarão entre as seguintes: 01, 02, 05, 10,18, 32, 35, 45. O número mínimo de apostas simples para o próximo concurso da Mega-Sena que Pedro deve fazer para ter certeza matemática que será um dos ganhadores caso o seu sonho esteja correto é:A) 8 B) 28 C) 40D) 60 E) 84

23) Um grupo de dança folclórica formado por sete meninos e quatro meninas foi convidado a realizar apresenta-ções de dança no exterior. Contudo, o grupo dispõe de recursos para custear as passagens de apenas seis dessas crianças. Sabendo-se que nas apresentações do programa de danças devem participar pelo menos duas meninas,o número de diferentes maneiras que as seis crianças podem ser escolhidas é igual a:A) 286 B) 756 C) 468 D) 371 E) 752

24) Separam-se os números de 1 a 10 em dois conjuntos de 5 elementos de modo que 1 e 8 não estejam no mesmo conjunto. Isso pode ser feito de n modos distintos, o valor de n é: A) 20B) 35 C) 70 D)140 E) 200

25) Assinale a alternativa na qual consta a quantidade de números inteiros formados por três algarismos distintos,escolhidos dentre 1, 3, 5, 7 e 9, e que são maiores que 200 e menores que 800?A) 30B) 36 C) 42 D) 48 E) 54

26) De quantas maneiras 10 clientes de um banco podem se posicionar na fila única dos caixas de modo que as 4 mulheres do grupo fiquem juntas? A) 4!.7! B) 5!.6! C) 6.6! D) 10.6! E) 4!+ 10!

27) Quatro amigos, Pedro, Luísa, João e Rita, vão ao cinema, sentando-se em lugares consecutivos na mesma fila. O número de maneira que os quatro podem ficar dispostos de forma que Pedro e Luísa fiquem sempre juntos eJoão e Rita fiquem sempre juntos é: A) 2 B) 4 C) 8 D) 16E) 24

28) Você faz parte de um grupo de 12 pessoas, 5 das quais deverão ser selecionadas para formar um grupo de trabalho. De quantos modos você poderá fazer parte do grupo a ser formado?A) 182 B) 330 C) 462 D) 782 E) 7920

29) Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e 6 vagões distintos, sendo um deles restaurante. Sabendo-se que a locomotiva deve ir à frente, e que o vagão restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, o número de modos diferentes de montar a composição é: A) 120B) 320 C) 500 D) 600 E) 720

30) Para colocar preço em seus produtos, uma empresa desenvolveu um sistema simplificado de código de barras formado por cinco linhas separadas por quatro espaços. Podendo usar linhas de três larguras possíveis e espaços de duas larguras possíveis, o número total de preços que podem ser representados por esse código é: A) 1440 B) 2880 C) 3125 D) 3888 E) 4320


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Naturais ( )

São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. Caso queira representar o conjunto dos

números Naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se representar desta forma: *

={0, 1, 2, 3, ...}

*={1, 2, 3, ...}

Inteiros ( )

São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos). Caso queira representar o conjunto dos números Inteiros não-nulos (excluindo o zero),

deve-se representar desta forma: *

={ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Inteiros não-negativos ( +)

São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais. É representado por :

+= {0,1,2,3,4,5,6, …}

Inteiros não-positivos ( -)

São todos os números inteiros que não são positivos. É representado por:

- = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0}

Racionais ( )

São todos os números que podem ser escritos na forma de fração, com numerador inteiro e denominador diferente de zero. Alguns Racionais importantes: Naturais, Inteiros, Decimais, Exatos e Dízimas periódicas .

Irracionais ( )

São todos os números com representação decimal infinita e não periódicos. Os irracionais não podem ser escritos na forma de fração.

Alguns irracionais importantes: Raízes inexatas, Logaritmos inexatos, e .

Reais ( )

É formado pela união dos Naturais, Inteiro, Racionais e Irracionais.

Complexos ( )

Um número complexo é uma expressão da forma a + bi onde a e b são números reais e i = 1 .

CONJUNTOS NUMÉRICOS


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1)Medida padrão de Comprimento: Metro (m)

2) Medida padrão de Área: Metro (m²)

3) Medida padrão de Capacidade: Litro (l)

4) Medida padrão de Volume: Metro cúbico (m³)

5) Medida padrão de Massa: Grama (g)

SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS


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6) Unidades de Medidas1 ano = 12 meses1 mês = 30 dias1 dia = 24 horas1 hora = 60 minutos1 minuto = 60 segundos1 ano comercial = 360 dias, e mês com 30 dias1 ano civil = 365 dias, e mês com o número de dias do calendário1 ano civil bissexto = 366 dias (ano divisível por 4)

7) Equivalência entre volume e capacidade1 dm³ = 1 litro1 litro = 1000 cm³

8) Medidas agrárias1 centiare (ca) = 1m²1 are (a) = 100m²1 hectare (ha) = 10 000m²


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São critérios que nos permite verificar se um número é divisível por outro sem precisarmos efetuar grandes divisões.

Divisibilidade por 2 Um número natural é divisível por 2 quando ele termina com algum número par.

Divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3.

Divisibilidade por 4 Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.

Divisibilidade por 5 Um número natural é divisível por 5 quando ele termina com 0 ou 5.

Divisibilidade por 6 Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.

Divisibilidade por por 8 Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8.

Divisibilidade por 9 Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9.

Divisibilidade por 10 Um número é divisível por 10 quando ele termina em 0.

Divisibilidade por 11 Um número é divisivel por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par for divisivel por 11.

Divisibilidade por 12 Um número é divisivel por 12 quando é divisível por 3 e por 4 ao mesmo tempo.

Divisibilidade por 15 Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5 ao mesmo tempo

CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE


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Definição:

Seja a um número real e n um número natural, chama-se potência de expoente inteiro o número n ou

− assim definido:

* Se n ≥ 2, então

= a . a . a . ... a ( n fatores)

* Se n = 1, então = a

* Se n = o, então = 1

* Se a ≠0, então

Propriedades

Sendo a e b números inteiros reais, m e n número inteiros e supondo que o denominador de cada

fração seja diferente de zero, valem para as potências as seguintes propriedades.

Propriedades

Sendo a e b números reais positivos e n um número natural não nulo, valem as seguintes propriedades:

POTENCIAÇÃO

RADICIAÇÃO


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Razão: Razão entre dois números racionais a e b, sendo b ≠ 0, é o quociente da divisão de a por b. Representa-se por:

ou a : b que se lê "a está para b"

Os elementos da razão a/b são: a: antecedente b:conseqüente

1) Na razão 2/3, 2 é o antecedente e 3 é o conseqüente.2) Razão inversa da razão a/b é a razão b/a.

Exemplos: 1) Se uma pessoa percorre 210 km em 3 horas, qual é a sua velocidade média?

2) Ronaldinho marcou 36 gols em 24 jogos. Qual foi a sua média de gols por partida?

Grandezas: Grandezas de mesma natureza são grandezas medidas na mesma unidade. A razão é um número puro.

Exemplo: 1) Qual é a razão entre 10 m² e 25 m²?

Grandezas de naturezas diferentes são grandezas que não são medidas na mesma unidade.

RAZÃO E PROPORÇÃO


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Exemplo: Qual é a razão entre 400 km e 2 horas?

Proporção Proporção é a igualdade entre duas razões.

"a está para b, assim como c está para d”.

Observe a estrutura abaixo: a : b = c : d

As razões a/b e c/d são chamadas de: Extremos: a, d Meios: b, c Antecedentes: a, c Consequentes: b, d

1° termo: a 2° termo: b 3° termo: c 4° termo: d

Exemplo: 01) As razões 2/3 e 4/6 formam uma proporção.Numa proporção, o produto dos extremos e igual ao produto dos meios.Na proporção:

a/b = c/d a . d = b . c

Exemplo: 02) Dada a proporção 2/3 = 4/6, o produto dos extremos e igual ao produto dos meios.Produto dos extremos: 2 . 6 = 12Produto dos meios: 3 . 4 = 12

Em toda proporção, a soma do 1º termo com o 2º termo está para o 1º termo ou para o 2º termo, assim como a soma do 3º termo com o 4º termo está para o 3º termo ou para o 4º termo.

Em 2/3 = 6/9 , temos:


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Exemplo:

03) A soma do número de gols marcado pelo Flamengo e pelo Corinthians no campeonato brasileiro foide 75 gols e a razão entre o número de gols do Flamengo e o número de gols do Corinthians foi 3/2.Quantos gols marcou cada time?

Flamengo: a Corinthians: b

5a = 225 a = 45

a+b = 75 45 + b = 75 b = 30

Em toda proporção, a diferença entre o 1º termo e o 2º termo está para o 1º termo ou para o 2º termo, assim como a diferença entre o 3º termo e o 4º termo está para o 3º termo ou para o 4º termo.

Em 7/2 = 14/4 , temos:

Em toda proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes, assim como cada antecedente está para o seu respectivo conseqüente.

Exemplo:

A propriedade também é válida para igualdade com mais de duas razões:

Em toda proporção, a diferença entre os antecedentes está para a diferença entre os conseqüentes assim como antecedente está para seu respectivo conseqüente.

Exemplo:


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Números Diretamente Proporcionais Sejam as sucessões numéricas 1, 2, 3 e 2, 4, 6. Comparando os elementos correspondentes nas sucessões, temos:

Os números das sucessões são diretamente proporcionais. A razão entre os elementos correspondentes é o fator de proporcionalidade ou razão da proporção. É comum representar esta razão pela letra k.

No exemplo, k = 1/2

Números Inversamente Proporcionais Sejam as sucessões numéricas 2, 3, 4 e 6, 4, 3. Multiplicando-se os elementos correspondentes de cada sucessão temos:

Os números das sucessões são inversamente proporcionais. A razão ou constante ou fator de proporcionalidade é o produto de elementos correspondentes.

No exemplo, a razão é k = 2 . 6 = 12


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0


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0

Porcentagem é uma proporção entre dois valores obtida a partir de uma fração cujo denominador é cem.

Taxa Percentual

Fração Decimal

10% 10

1

100

10 0,1

25% 4

1

100

25 0,25

30% 10

3

100

30 0,3

1% 100

10,01

5% 20

1

100

5 0,05

100% 1100

100 1

200% 2100

200 2

0,05% 2000

1

10000

5

100

05,0 0,0005

Exemplos resolvidos: 1) João ganha 700 reais mensais em seu estágio. João deseja guardar 30% desse valor por mês paraaproveitar as férias de final do ano. Cumprindo o planejamento econômico, quanto restará por mês aJoão para gastar

x = 30% de 700

x = 700100

30

x = 210

Restou: 700 – 210 = 490 Resposta: restará 490 reais.

2) Fui a uma festa no litoral, 25% do que gastei foi somente com o ingresso. Sabendo que o ingresso foide R$ 20,00, quanto gastei na festa ao todo.Ingresso:25% de x = 20

x = 80

Resposta: gastei ao todo 80 reais.

por = (divisão)

de = (multiplicação)

PORCENTAGEM


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0

Para entender, Imaginemos a seguinte situação:

1) Leonardo ganha R$ 100 de mesada do pai. Como Leonardo está ficando mais velho, seu pai resolveuaumentar sua mesada em 10%. Quanto ficará a nova mesada de Leonardo?Aposto que você desenvolveu o seguinte raciocínio:

Mesada = 100 + 10 = 110

Podemos escrever esse raciocínio da seguinte forma Mesada = 100 + 10% de 100 Ou

Mesada = 100 + 100100

10 Ou

Mesada = 100 + 1001,0

Em qualquer um dos três casos, como 100 está nos dois lados da soma, podemos colocá-lo em evidência, assim: Mesada = 1,01100

Efetuando a soma dentro dos parênteses temos:

Mesada = 1,1100

Podemos efetuar um aumento de 10% multiplicando a mesada de Cornélio por 1,1. De forma análoga, podemos dar um desconto de 10% se multiplicarmos a mesada de Leonardo por 0,9, ou seja, 1– 0,1, ou seja, 0,9.

Exemplos:

1,1 aumento de 10%

1,2 aumento de 20%

1,4 aumento de 40%

1,25 aumento de 25%

0,9 desconto de 10%

0,8 desconto de 20%

0,85 desconto de 15%

0,75 desconto de 25%

É importante salientar a diferença entre, por exemplo, calcular 20% de 600 e aumentar 600 em 20%. O primeiro resulta em 120 e o segundo em 720.

AUMENTOS E DESCONTOS


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União de Conjuntos (A ∪ B)

Dados os conjuntos A e B, define-se como

união dos conjuntos A e B o conjunto

representado por Au B, formado por todos os

elementos pertencentes a A ou B.

Intersecção de Conjuntos (A ∩ B)

Dados os conjuntos A e B, define-se como intersecção dos conjuntos A e B o conjunto representado por AnB, formado por todos os elementos pertencentes a A e B simultaneamente.

Diferença de Conjuntos (A – B)

Dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre Ae B (nesta ordem) o conjunto representado por A - B, formado por todos os elementos pertencente a A, mas que não pertencem a B.

Complementar ( )

Complementar de B em relação a A: dados os conjuntos A e B; define-se como complementar de B em relação a A (nesta ordem) o conjunto representado por A - B, se e somente se o conjunto B for subconjunto do conjunto A.

Fórmula da União Existe uma fórmula que relaciona o número de elementos da união, da intersecção e

dos conjuntos individuais. A fórmula é dada por:

n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB)

Se forem três conjuntos a fórmula será:

n(ABC)=n(A)+n(B)+n(C)–n(AB)–n(AC)–n(BC)+n(ABC)

OPERAÇÃO ENTRE CONJUNTOS


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Para iniciarmos o estudo da probabilidade, vamos a seguir definir alguns conceitos importantes sobre a matéria. O estudo da probabilidade vem da necessidade de em certas situações, prevermos a possibilidade de ocorrência de determinados fatos.

Experimento Aleatório Se lançarmos uma moeda ao chão para observarmos a face que ficou para cima, o resultado é imprevisível, pois tanto pode dar cara, quanto pode dar coroa. Se ao invés de uma moeda, o objeto a ser lançado for um dado, o resultado será mais imprevisível ainda, pois aumentamos o número de possibilidades de resultado. Considere os seguintes experimentos:

E1. Jogar uma moeda e observar se dá cara ou coroa;

E2. Jogar um dado e observar a face voltada para cima;

E3. Inspecionar uma lâmpada, buscando determinar se está boa ou se tem defeito;

E4. Retirar uma carta de um baralho com 52 cartas e observar o seu naipe;

A análise desses experimentos revela:

a) Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob as mesmas condições;b) Não se conhece um particular valor do experimento “a priori”, porém pode-se descrever

todos os possíveis resultados – as possibilidades;

Os experimentos como estes, ocorrendo nas mesmas condições ou em condições semelhantes, que podem apresentar resultados diferentes a cada ocorrência, damos o nome de experimentos aleatórios.

Espaço Amostral

Para cada experimento aleatório E, define-se Espaço Amostral S o conjunto de todos os possíveis

resultados desse experimento.

Exemplo: Ao lançarmos uma moeda não sabemos qual será a face que ficará para cima, no entanto podemos afirmar com toda certeza que ou será cara, ou será coroa, pois uma moeda só possui estas duas faces. Neste exemplo, ao conjunto { cara, coroa } damos o nome de espaço amostral, pois ele é o conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrer neste experimento.

Representamos um espaço amostral, ou espaço amostral universal como também é chamado, pela letra S. No caso da moeda representamos o seu espaço amostral por:

S = { cara, coroa }

Tipos de espaço amostral 1. Finitos: tem um numero finito de elementos.

Exemplo: lançamento de um dado.S={1,2,3,4,5,6}

2. Infinito enumerável ou contável: tem um numero infinito de elementos enumeráveis.Exemplo: uma mpoeda é jogada sucessivamente até que o resultado seja coroa.

3. Infinito não enumerável ou não contável: tem um numero infinito de elementos nãoenumeráveis.Exemplo: observar o tempo de vida de uma lâmpadaS={X/X ε R, X ≥ 0}

PROBABILIDADE


32

0

Evento É um conjunto de resultados do experimento; em termos de conjunto, é um subconjunto de S. Em

particular, S e (conjunto vazio) são eventos; S é dito o evento certo e o evento impossível.

Observação: Se o numero de elementos do espaço amostral for n, então o número de eventos a ele

associados é 2n.

Exemplo:

Quando lançamos um dado ou uma moeda, chamamos a ocorrência deste fato de evento. Qualquer subconjunto de um espaço amostral é um evento. Em relação ao espaço amostral do lançamento de um dado, veja o conjunto a seguir:

S = {1,2,3,4,5,6} A = {2, 3, 5}

Note que A C S( A está contido em S, A é um subconjunto de S ). O conjunto A é a representação do evento do lançamento de um dado, quando temos a face para cima igual a um número primo.

Classificação de Eventos

Podemos classificar os eventos por vários tipos. Vejamos alguns deles:

Evento Certo

Ao lançarmos um dado é certo que a face que ficará para cima, terá um número divisor de 720. Este é um evento certo, pois 720 = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1, obviamente qualquer um dos números da face de um dado é um divisor de 720, pois 720 é o produto de todos eles. O conjunto A = { 2, 3, 5, 6, 4, 1 } representa um evento certo pois ele possui todos os elementos do espaço amostral S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.

Evento Impossível

No lançamento conjunto de dois dados qual é a possibilidade de a soma dos números contidos nas duas faces para cima, ser igual a 15? Este é um evento impossível, pois o valor máximo que podemos obter é igual a doze. Podemos

representá-lo por A=, ou ainda por A = {}.

Evento união

Chama-se evento reunião de dois eventos A e B, o evento AB, formado pelos elementos

comuns e não comuns aos eventos A e B.

Exemplo:

Seja A = { 1, 3 } o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um dado, ímpar e menor ou igual a 3 e B = { 3, 5 }, o evento de ocorrência da face superior, ímpar e maior ou igual a 3, então C = { 1, 3, 5 } representa o evento de ocorrência da face superior ímpar, que é a união

dos conjuntos A e B, ou seja, C=AB. Note que o evento C contém todos os elementos de A e B.


33

0

Evento Intersecção

Chama-se evento intersecção de dois eventos A e B, o evento AB formado pelos elementos

comuns aos eventos A e B.

Exemplo: Seja A = { 2, 4 } o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um dado, par e menor ou igual a 4 e B = { 4, 6 }, o evento de ocorrência da face superior, par e maior ou igual a 4, então C = { 4 } representa o evento de ocorrência da face superior par, que é a intersecção dos

conjuntos A e B, ou seja, C=AB. Veja que o evento C contém apenas os elementos comuns a A e B.

Eventos Mutuamente Exclusivos Dois eventos são mutuamente exclusivos, se eles não puderem ocorrer simultaneamente, isto é,

A B = .

Exemplos:

Seja A = { 1, 2, 3, 6 } o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um dado, um número divisor de 6 e B = { 5 }, o evento de ocorrência da face superior, um divisor de 5, os

eventos A e B são mutuamente exclusivos, pois AB=, isto é, os eventos não possuem elementos em comum.

Evento Complementar Chama-se evento complementar de um evento A, o conjunto, constituído pelos elementos de S

que não pertencem ao conjunto A.

Exemplos:

Seja A = { 1, 3, 5 } o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um dado, um número ímpar, o seu evento complementar é A = { 2, 4, 6 } o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um dado, um número par.

Definição A probabilidade de um evento é igual à razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis de ocorrer, sendo todos igualmente prováveis. A notação é:

Onde;

Probabilidade do evento A;

Número de elemento do evento A;

Número de elemento do espaço amostral S;

A probabilidade de um evento ocorrer (Luís voltar para casa primeiro) considerando-se um espaço

amostral (Pedro, João e Luís) é igual a razão do número de elementos do evento (1, apenas Luís) para o

número de elementos do espaço amostral (3, o número de irmãos que foram brincar na rua), desde que

espaço o amostral seja um conjunto equiprovável, ou seja, todos os seus elementos tenham a mesma

possibilidade de ocorrer (as condições de retorno para casa são as mesmas para os três irmãos).

A probabilidade pode ser representada na forma de fração, número decimal ou em porcentagem.


34

0

A probabilidade é um número entre zero e um, inclusive, o que significa que no mínimo não a nenhuma hipótese do evento acontecer e no máximo o evento sempre ocorrerá:

0 ≤ P(E) ≤ 1

Normalmente representamos probabilidades através de frações, mas também podemos representá-las por números decimais, ou até mesmo por porcentagens.

Exemplos:

Exemplo 1 Um dado é lançado. Qual é a probabilidade de obtermos um número divisor de 6?

Como vimos acima, o espaço amostral do lançamento de um dado é: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Como estamos interessados apenas nos resultados divisores de 6, o evento E é representado por: E = { 1, 2, 3, 6 }

Então quero = 4 e tenho= 6, portanto:

Podemos também apresentar o resultado na forma de uma porcentagem:

Exemplo 2

Uma bola será retirada de uma sacola contendo 5 bolas verdes e 7 bolas amarelas. Qual a probabilidade

desta bola ser verde?

Neste exercício o espaço amostral possui 12 elementos, que é o número total de bolas, portanto a probabilidade de ser retirada uma bola verde está na razão de 5 para 12.

Sendo S o espaço amostral e E o evento da retirada de uma bola verde, matematicamente podemos representar a resolução assim:

Exemplo 3 Um casal pretende ter filhos. Sabe-se que a cada mês a probabilidade da mulher engravidar é de 20%.

Qual é a probabilidade dela vir a engravidar somente no quarto mês de tentativas?

Sabemos que a probabilidade da mulher engravidar em um mês é de 20%, que na forma decimal é igual a 0,2. A probabilidade dela não conseguir engravidar é igual a 1 - 0,2, ou seja, é igual a 0,8.

Este exercício trata de eventos consecutivos e independentes (pelo menos enquanto ela não engravida), então a probabilidade de que todos eles ocorram, é dado pelo produto de todas as probabilidades


35

http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeExercicios.aspx#anchor_ex1


http://www.matematicadidatica.com.br/Razao.aspx



0

individuais. Como a mulher só deve engravidar no quarto mês, então a probabilidade dos três meses anteriores deve ser igual à probabilidade dela não engravidar no mês, logo:

0,1024 multiplicado por 100% é igual a 10,24%

Principais Teoremas

1) 0 P(A) 1

2) P() = 0

3) P(AB) = P(A) + P(B) → sendo AB =

4) P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)

5) P (A) = 1 –

Probabilidade de Ocorrência de um Evento Os três irmãos Pedro, João e Luís foram brincar na rua. Supondo-se que as condições de retorno para casa são as mesmas para cada um deles, qual é a probabilidade de Luís voltar para casa primeiro?

Como 3 é o número total de irmãos, então Luís tem 1 chance em 3 de voltar para casa primeiro, por isto a probabilidade de Luís voltar para casa antes dos seus irmãos é igual a 1/3.

Probabilidade Condicional

É a probabilidade de ocorrer A, sabendo-se que já ocorreu B. Teremos:

P(A/B) = → P(A∩B) = P(A/B) . P(B)

Se a ocorrência do evento B, não mudar a probabilidade da ocorrência do evento A, então P(A/B) = P(A)

e, nesse caso, os eventos são ditos independentes, e a fórmula fica

P(A∩B) = P(A) . P(B)


36

0

Equação primeiro grau ax +b = 0

Equação Geral (2º grau) ax² + bx + c = 0

Fórmula de Bhaskara

Soma e Produto

Número de raízes

duas raízes reais e distintas

duas raízes reais e iguais

não possui raíz real

EQUAÇÕES


37


38

ESTATÍSTICA

ESTATÍSTICA: É um ramo da Matemática Aplicada, que fornece métodos para a coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados, bem como métodos para a utilização destes dados na tomada de decisões.

População: Eventualmente também referida como Universo, é o conjunto de elementos (empresas, pessoas, produtos, etc.) portadores de pelo menos uma característica em comum, sobre os quais se deseja obter informações, e para os quais desejamos que as conclusões oriundas da pesquisa sejam válidas.

Amostra: Um subconjunto finito de unidades elementares (participantes), extraído de uma população segundo critérios de representatividade. Para ser representativa, a amostra tem que possuir as mesmas características da população de origem. Pode ser obtida por métodos probabilísticos ou não.

Distribuição de Frequências (DF): Agrupamento de dados em classes com suas respectivas frequências absolutas e/ou relativas de ocorrência.

Tipos de Distribuição de Frequências: Para dados tabulados e agrupados por frequência, SEM intervalos de classes. Para dados tabulados e agrupados por frequência, COM intervalos de classes.

Dados tabulados e agrupados por frequência, SEM intervalos de classes: Os dados a serem trabalhados apresentam-se tabulados e associados à frequência (ou número de vezes) com que aparecem na amostra.

Exemplo de DF SEM agrupamento em Intervalos:

Idade dos Alunos numa Turma (anos)

Idade Alunos

17 3 18 18 19 17 20 8 21 4

Total 50

Fonte: Fictícia

DADOS TABULADOS E AGRUPADOS POR FREQUÊNCIA, COM INTERVALOS DE CLASSES. Os dados são tabulados e associados à frequência (ou número de vezes) com que aparecem na amostragem, estando agrupados em classes que constituem intervalos de dados.

ESTATÍSTICA


39

Salário dos Empregados da Empresa X

Salários ($) Empregados

200 |--- 300 2 300 |--- 400 3 400 |--- 500 13 500 |--- 600 11 600 |--- 700 9 700 |--- 800 2

TOTAL 40

Fonte: Fictícia

NOTA O símbolo “|---” denota intervalo fechado à esquerda e aberto à direita. Na DF acima, o valor 400 e o valor 499,9999 pertencem à terceira classe, mas o valor 500 pertence à quarta classe. Na última classe, geralmente não destacado, convenciona-se que o símbolo padrão é ‘|---|’, indicando intervalo fechado nos dois extremos.

EXEMPLOS DE GRÁFICOS

CARTOGRAMA ESTEREOGRAMA PICTOGRAMA


40

TIPOS DE DIAGRAMAS USUAIS

POR PONTOS POR BARRAS POR COLUNAS

POR LINHAS POR FAIXAS POR SETORES

Média Aritmética: Matematicamente, a média é definida como a soma dos valores dividida pelo número de valores.

Numa População a média é denotada por (letra grega equivalente ao ‘m’ minúsculo) e pronuncia-se ‘mi’.

Numa Amostra a média é denotada por x e pronuncia-se ‘xis barra’.

Moda: A moda de um conjunto de valores é definida como o valor que ocorre com maior frequência. Referências comuns à moda incluem expressões como valor dominante, valor que ocorre o maior número de vezes, valor que predomina num conjunto, valor modal, valor mais comum, etc. A moda é denotada por Mo.

Mediana: A mediana é o valor que separa o Rol em duas partes iguais, deixando à sua esquerda o mesmo número de elementos que à sua direita (50% para cada lado). O conceito de mediana implica necessariamente em ordenação dos dados, já que é definida sobre o Rol dos valores. A mediana é denotada por Md.

CÁLCULO DE MEDIDAS: O estudo das medidas de posição será efetuado tratando-as separadamente para dados isolados (não agrupados) e para dados agrupados, com e sem intervalos de classe. DADOS ISOLADOS OU NÃO AGRUPADOS Considere os seguintes conjuntos de dados como exemplos para cálculos das medidas.


41

86,147

104

7

17141410141718x

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Conjunto 1

18 17 14 10 14 14 17

Conjunto 2

9 8 8 14 13 10 10 11 15 7

Conjunto 3

13 6 5 3 20 16 16 12 6 4 4

Conjunto 4

41 29 30 6 10 36 17 7 21 33 16 38

CÁLCULO DA MÉDIA:

Considerando a definição da média aplicada a um conjunto de dados isolados, podemos defini-la como a razão ou quociente ou divisão da soma de todos os valores da amostra, pelo número de elementos da amostra (n). Assim, a formulação matemática da média é:

Onde:

xi são os valores da variável

n é o número total de valores (nº de elementos na amostra ou conjunto de dados) Para o Conjunto de dados 1 acima temos:

CÁLCULO DA MODA: Num conjunto de valores não agrupados, a moda é facilmente reconhecida: basta procurar o valor que mais se repete. É evidente que a ordenação dos valores contribui para a rápida identificação do(s) valor(es) mais frequente(s). Observe a construção do Rol para cada um dos conjuntos de exemplo:

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Rol 1 10 14 14 14 17 17 18

Rol 2 7 8 8 9 10 10 11 13 14 15

Rol 3 3 4 4 5 6 6 12 13 16 16 20

Rol 4 6 7 10 16 17 21 29 30 33 36 38 41

n

xxtesimplesmenou

n

x

xi

n

i

i 1


42

EXEMPLO 1: Nota-se facilmente que a Moda para este conjunto de dados é o valor 14. Logo, este conjunto de dados é UNIMODAL (apenas uma Moda). Observe que o valor 17 aparece apenas duas vezes e, portanto, não pode ser considerado como uma moda do conjunto, uma vez que o valor 14 aparece três vezes.

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Rol 1 10 14 14 14 17 17 18

Rol 2 7 8 8 9 10 10 11 13 14 15

Rol 3 3 4 4 5 6 6 12 13 16 16 20

Rol 4 6 7 10 16 17 21 29 30 33 36 38 41

EXEMPLO 2: Nota-se facilmente que no conjunto 2 existem duas modas, o valor 8 e o valor 10. Logo, este conjunto de dados é BIMODAL.

EXEMPLO 3: No conjunto 3 existem três modas, o valor 4, o valor 6, e o valor 16. A este conjunto de dados denominamos MULTIMODAL.

EXEMPLO 4: Neste conjunto de dados não existe um valor que apareça mais vezes que os outros. A este conjunto de dados denominamos AMODAL, ou seja, que não tem Moda.

CÁLCULO DA MEDIANA:

Cabem aqui algumas observações importantes sobre a Mediana:

a) O valor da mediana pode coincidir ou não com um elemento da amostra. Quando o número de

elementos da amostra é ímpar, há coincidência. O mesmo não acontece quando este número é par.

b) A mediana e a média aritmética não têm necessariamente o mesmo valor.c) A mediana depende da posição e não dos valores dos elementos da amostra ordenada. Essa é umadas diferenças marcantes entre a mediana e média: a média se deixa influenciar, e muito, pelosvalores extremos, enquanto a mediana não se importa com os valores dos dados, mas apenas com suaposição.

Em função do tamanho da amostra (n), duas alternativas de cálculo são possíveis:

a) n é ímpar

Neste caso, o ROL comporta apenas um elemento central, cuja posição é dada por

2

1n.

b) n é par

Neste caso, o ROL admite dois valores centrais, de ordens

2

n e

1

2

n.

A mediana é, por convenção, a média dos valores que ocupam estas duas posições centrais consecutivas.

Considerando ser a Mediana uma medida de ordenamento do conjunto de dados, é imprescindível que seu cálculo seja efetuado sobre a amostra ordenada, ou seja, o ROL. Retomemos os conjuntos de dados ordenados dos exemplos:


43

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Rol 1 10 14 14 14 17 17 18

Rol 2 7 8 8 9 10 10 11 13 14 15

Rol 3 3 4 4 5 6 6 12 13 16 16 20

Rol 4 6 7 10 16 17 21 29 30 33 36 38 41

EXEMPLO 1: Este conjunto de dados possui 7 elementos, e portanto n é ímpar. Conjuntos de dados ímpares possuem um único elemento central, e sua posição é de ordem (n+1)/2. Assim, a ordem da MEDIANA num conjunto de dados com 7 elementos é o valor na posição (7+1)/2 = 4., ou seja, o valor 14. Logo, Md=14.

EXEMPLO 2: Este conjunto de dados possui 10 elementos, e portanto n é par. Conjuntos de dados pares possuem dois elementos centrais, e a mediana é a média destes dois valores centrais. O primeiro destes valores centrais é de ordem n/2=10/2=5, e o segundo valor central é o seu elemento consecutivo, de ordem 6 (5+1). Neste caso, os valores dos elementos centrais são 10 (5º) e 10 (6º), e portanto a Mediana vale também 10, uma vez que ela é a média destes dois valores. Logo, Md=10.

EXEMPLO 3: O conjunto 3 possui 11 elementos, e portanto é ímpar. O único elemento central neste caso é de ordem (n+1)/2. Assim, a mediana será o valor do elemento de ordem 6, que, por coincidência, neste caso também vale 6. Logo, Md=6.

EXEMPLO 4: Este conjunto de dados possui 12 elementos, e portanto n é par. O primeiro valor central é de ordem n/2 = 12/2 = 6. Assim a mediana será a média entre o 6º e o 7º valores do conjunto, que são respectivamente 21 e 29. Logo Md=25.


44

Capital, juros, taxa de juros e montante.

Quando uma pessoa empresta a outra um valor monetário, durante certo tempo, essa quantia é

chamada de capital (ou principal) e é indicada por C. O valor que o emprestador cobra pelo uso do

dinheiro, ou o valor pago pelo tomador do empréstimo é chamado de juros e indicado por J. A taxa de

juros, indicada por i, é expressa em porcentagem do capital, esta taxa i representa os juros numa certa

unidade t de tempo, que pode ser indicada ao dia (a.d.), ao mês (a.m.) ou ao ano (a.a.). Assim, por

exemplo, se o capital C emprestado for R$ 6.000,00 e a taxa i for 2% a.m., os juros pagos no tempo t

de 1 mês serão iguais a 2%sobre R$6000,00, que equivale a 0,02. (6000) e, portanto, igual a R$ 120,00.

De modo geral, os juros no período da taxa são iguais ao produto do capital pela taxa, isto é:

Se o pagamento for feito numa única parcela, ao final do prazo do empréstimo, o tomador pagará a

soma do capital emprestado com o juro, que chamaremos de montante e indicaremos por M. No caso

do empréstimo de R$6.000,00, durante 1 mês, à taxa de 2% ao mês, o montante será igual a R$

6.120,00. De modo geral, teremos:

Imagine que um capital de R$ 16.000,00 foi aplicado durante 3 meses à taxa de 5%a.t.( ao trimestre).

Vamos calcular os juros e o montante recebidos após 3 meses.

Em reais, após 3 meses, os juros recebidos foram:

Assim, o montante recebido, em reais, foi:

J = C . i

M = C + J

M = 16.000 + 800 = 16.800

J =16.000 . (0,05) = 800

MATEMÁTICA FINANCEIRA


45

Regime de capitalização simples e composta

Capitalização simples:

No regime de capitalização simples, os juros gerados em cada período são sempre os mesmos e são

dados pagos somente no final da aplicação. No regime de capitalização simples, um investimento de

vinte mil reais (R$ 20.000) à taxa de 10% ao mês.

O juro total produzido ao final de quatro meses é: R$ 28.000 – R$ 20.000 = R$ 8.000

Capitalização composta:

No regime de capitalização composta, os juros do 1º período são adicionados ao capital, gerando o

montante M1 após o 1º período. Os juros do 2º período são obtidos multiplicando-se a taxa pelo

montante M1; esses juros são adicionados ao montante M1, gerando o montante M2, após dois

períodos, e assim sucessivamente, ou seja, os juros de cada período são iguais ao montante do início

do período, multiplicado pela taxa; e esses juros são adicionados ao montante do início do período,

gerando o montante do final do período.

No regime de capitalização, um investimento de vinte mil reais (R$ 20.000) à taxa de 10% ao mês.

O juro total produzido ao final de quatro meses é de R$ 9.282,00. Observe que a taxa foi aplicada,

sempre, sobre o montante do mês imediatamente anterior.

Ao final do 1º mês: 20.000 + 0,1 . 20,000 = 22.000

Ao final do 2º mês: 22.000 + 0,1 . 20.000 = 24.000

Ao final do 3º mês: 24.000 + 0,1 . 20.000 = 26.000

Ao final do 4º mês: 26.000 + 0,1 . 20.000 = 28.000

Ao final do 1º mês: 20.000 + 0,1 . 20.000 = 22.000

Ao final do 2º mês: 22.000 + 0,1 . 22.000 = 24.200

Ao final do 3º mês: 24.200 + 0,1 . 24.200 = 26.620

Ao final do 4º mês: 26.620 + 0,1 . 26.200 = 29.282


46

Juros simples:

Consideremos um capital C aplicado a juros simples, a uma taxa i por período e durante n períodos de

tempo. Os juros do 1º período são iguais a C, i e, de acordo com a definição de capitalização simples,

em cada um dos períodos seguintes os juros são iguais C . i . Assim, os juros simples da aplicação serão

a soma de n parcelas iguais a C . i, ou seja:

E, portanto:

Alguns matemáticos gostam de trabalhar a fórmula assim:

Nessa fórmula, se a taxa de juros for i + 2%, você substituirá o i por 2, pois o 100 do denominador já

representa o símbolo de taxa percentual %.

Em alguns problemas de juros simples não há coerência entre a taxa de juros fornecida e o período de

capitalização. Portanto você tem que lançar mão de uma taxa proporcional, que deve ser aplicada ao

mesmo capital durante o mesmo prazo, produzindo o mesmo montante acumulado no final daquele

prazo.

Exemplo:

J = C . i + C . i + C . i + ... + C . i

J = C . i .n

- 12% ao ano é proporcional a 6% ao semestre;

- 1% ao mês é proporcional a 12% ao ano.


47

Juros compostos:

Já vimos que os juros simples são aqueles calculados à taxa fixa, sempre a partir da quantia inicial. Na

capitalização composta os juros J, que se obtém através de um capital C, aplicado a uma taxa i,

durante um certo período n, produzem um montante M que é calculado da seguinte maneira:

Podemos concluir então que o montante será dado por:

Observemos ainda que, embora a fórmula acima tenha sido deduzida para n inteiro e não negativo, ela

pode ser estendida para qualquer valor real não negativo. Além disso, o valor de n deve ser expresso

de acordo com a unidade de tempo da taxa. Essa operação é a mais utilizada nas transações

comerciais e financeiras: Os juros compostos.

Taxa de juros

No mercado financeiro em geral se faz uma grande confusão no que se refere aos conceitos de taxas

de juros nominal, efetiva e real. Existe uma verdadeira “poluição” de taxas de juros, pois, além das

citadas, tem-se ainda a simples, composta, equivalente, proporcional, aparente, antecipada, etc.

Porém, tentaremos simplificar as coisas a fim de tornar sua compreensão muito mais fácil.

Conceito e classificação:

Suponha que você tenha feito um empréstimo de uma determinada quantia a fim de pagá-la após

certo período. Como já vimos anteriormente, a taxa de juros é a razão entre os juros pagos no final do

período e o capital inicialmente tomado. Por exemplo:

Se você tomou R$ 1.000,00 emprestado por um determinado período e pagou R$ 1.200,00, então

pagou R$ 200,00 de juros pelo empréstimo. Logo, pagou = 0,2 ou 20% de taxa de juros.

Taxa nominal:

E a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo

dos períodos de capitalização.

A taxa nominal é usada apenas como referência para cálculos rápidos da taxa efetiva. Nunca se pode

usar a taxa nominal nos cálculos com juros compostos.

1º período: M1 = C + C . i = C( 1+i )

2º período: M2 = M1 + M1 . i = M1 . ( 1 + i ) = C( 1 + i ) . ( 1 + i ) = C ( 1 + i )²

3º período: M3 = M2 + M2 . i = M2 . ( 1 + i ) = C ( 1 + i)² . ( 1 + i ) = C ( 1 + i )³

M = C ( 1 + i )n

- 12% ao ano, capitalizados mensalmente;

- 24% ao ano, capitalizados semestralmente;

- 10% ao ano, capitalizados trimestralmente;


48

Taxa efetiva:

E a taxa de juros compostos em que a unidade referencial de seu tempo coincide com a unidade de

tempo dos períodos de capitalização.

São exemplos de taxas efetivas:

A passagem da taxa nominal para a taxa efetiva é feita de modo proporcional, como nos juros simples,

por convenção para facilitar os cálculos.

Exemplo: Numa transação financeira com capitalização mensal,

Taxa nominal Taxa efetiva

48% ao ano. = 4% ao mês.

Taxa equivalente

São taxas de juros efetivas fornecidas em unidades de tempo diferentes, que ao serem aplicadas a um

mesmo principal durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante acumulado no final

daquele prazo. O conceito de taxas equivalentes está, portanto, diretamente ligado ao regime de juros

compostos. Assim, a diferença entre taxas equivalentes e taxas proporcionais se prende

exclusivamente ao regime de juros considerado. As taxas proporcionais se baseiam em juros simples, e

as taxas equivalentes se baseiam em juros compostos.

Taxa real e Taxa aparente

A taxa real de juros nada mais é do que a apuração de ganho ou perda em relação a uma taxa de

inflação ou de um custo de oportunidade. Na verdade, significa dizer que tal taxa de juros é o

verdadeiro ganho financeiro.

Exemplo: Se considerarmos que uma determinada aplicação financeira rendeu 15% em um

determinado período de tempo e, que no mesmo período ocorreu uma inflação de 5%, é correto

afirmar que o ganho real desta aplicação não foi de 15%, tendo em vista que o rendimento

correspondente sofreu uma desvalorização de 5%, no mesmo período de tempo; desta forma, temos

de encontrar qual o verdadeiro ganho em relação à inflação, ou seja, temos de encontrar a taxa real de

juros.

A taxa aparente é a taxa que se obtém numa operação financeira sem se considerar os efeitos da

inflação. Se a inflação for zero, a taxa aparente e a taxa real são iguais.

- 2% ao mês, capitalizados mensalmente;

- 3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente;

- 6% ao semestre, capitalizados semestralmente;


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50

0

01. Sabe-se que Lúcia, daqui a doze anos, terá 5/3 da idade que tem hoje. Então é correto afirmar que aidade de Lúcia daqui a seis anos será igual a:A) 15 anos.B) 18 anos.C) 20 anos.D) 21 anos.E) 24 anos.

2. Ana decide economizar dinheiro para pagar a sua formatura. Se ela guardar R$ 48,00 por semana,então ela levará 25 semanas para obter o valor da formatura. É correto afirmar que se Ana guardasse R$60,00 por semana, ao invés de R$ 48,00, então o tempo que ela levaria para obter o valor da formaturaseria igual a:A) 10 semanas.B)15 semanas.C) 20 semanas.D) 30 semanas.E) 35 semanas.

3. Um atleta corre 3.750 metros em um quarto de hora. Supondo que a velocidade deste atleta sejaconstante, em quanto tempo este atleta corre dois quilômetros?A) 05 minutos.B) 07 minutos.C) 08 minutos.D) 09 minutos.E) 10 minutos.

4. Em um grupo de pessoas, 60% são homens. Entre os homens, 90% possui carro próprio. Sabendo queo número de homens deste grupo que possui carro próprio é igual a 189, é correto afirmar que onúmero total de pessoas neste grupo é igual a:A) 200 pessoas.B) 250 pessoas.C) 300 pessoas.D) 350 pessoas.E) 400 pessoas.

5. Em uma empresa, 40 máquinas imprimem 1.040 livros por turno, sendo que as máquinas operam emritmo constante. Se, em um determinado turno, estragarem 15 máquinas e somente as demais ficaremoperando, quantos livros serão impressos neste turno?A) 200.B) 390.C) 520.D) 650.E) 720.

6. Pedro possui 45 balas e decide reparti-las entre os seus filhos Ana e Beto, cujas idades são,respectivamente, 3 e 6 anos. Sabendo que Pedro irá repartir as balas de maneira proporcional às idadesde seus dois filhos, é correto afirmar que Beto receberá a mais do que Ana exatamente:A) 06 balas.B) 09 balas.C) 10 balas.

EXERCÍCIOS – Matemática Básica


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0

D) 12 balas.E) 15 balas.

7. Em uma pesquisa realizada com 500 pessoas, foi detectado que 100 pessoas sofriam apenas deúlcera, 80 pessoas sofriam de úlcera e estresse e 200 pessoas sofriam de estresse. Quantas pessoasdesta pesquisa não sofrem de úlcera e nem de estresse?A) 250 pessoas.B) 200 pessoas.C) 120 pessoas.D) 80 pessoas.E) 50 pessoas.

08. Uma equipe de 15 enfermeiros consegue atender 90 pacientes em um plantão. Supondo que o ritmode atendimento seja constante entre os enfermeiros, é correto afirmar que para atender 138 pacientes,neste plantão, seriam necessários:A) 23 enfermeiros.B) 24 enfermeiros.C) 25 enfermeiros.D) 26 enfermeiros.E) 27 enfermeiros.

09. Em uma faculdade brasileira, a taxa de desistência do curso de medicina é igual a 17,5% dos alunosingressantes. Supondo que no ano passado 80 alunos ingressaram neste curso, é correto afirmar que onúmero de alunos que desistiram do curso nesta época foi igual a:A) 10B) 12C) 14D) 16E) 18

10. Uma pesquisa realizada com 200 pessoas buscou averiguar quantas pessoas haviam realizado oexame do HIV neste ano. Os resultados estão apresentados na tabela abaixo:

Nesta pesquisa, a razão entre o número total de pessoas que não realizaram o exame do HIV e o número total de pessoas que realizaram o exame do HIV, desta entrevista, é igual a: A) 3/5B) 3/8C) 1/4D) 3/4E) 5/8

11. Um dos graves problemas atuais que a saúde pública está enfrentando é a dengue. Entre as medidasde prevenção contra a dengue, estão:

- evitar, sempre que possível, o uso de pratos nos vasos de plantas. Caso utilize, coloque areia enão deixe a água parada.- lavar os bebedouros dos animais com frequência.- não deixar qualquer depósito de água sem estar bem fechado.

Um agente da saúde entrevistou 40 pessoas, onde constatou que 15 pessoas não praticavam as medidas de prevenção contra a dengue. É correto afirmar que nesta entrevista a razão entre o número de


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0

pessoas que não praticavam as medidas de prevenção contra a dengue e o número de entrevistados é igual a: A) 0,25B) 0,125C) 0,35D) 0,375E) 0,45

12. Antes de viajar, é necessário verificar se o destino da viagem não exige algumas vacinaçõesobrigatórias para os seus visitantes. Em uma entrevista realizada com 100 passageiros no AeroportoInternacional Salgado Filho, constatou-se que 50 passageiros estavam com a vacina da febre amarela emdia, 70 passageiros estavam com a vacina contra a febre tifoide em dia e 40 passageiros estavam comestas ambas as vacinações em dia. É correto afirmar que o número de passageiros desta entrevista quenão estavam com nenhuma destas duas vacinas em dia é igual a:A)10B)20C)30D)40E)50

13. Sobre as poltronas de uma sala de cinema em uma determinada sessão, sabe-se que a razão entre onúmero de poltronas desocupadas e o número de poltronas ocupadas é igual a 3/5. Se, neste momento,a metade das cadeiras desocupadas fosse ocupada, então a referida razão passaria a ser igual a:A) 5/8B) 3/16C) 4/5D) 3/13E) 2/5

14. Um pelotão de 40 soldados recebe um tanque cheio de água potável. Ao ser repartida igualmente aágua deste tanque entre todos os soldados do pelotão, cada soldado recebe 6 litros de água. Nestecontexto, se o número de soldados deste pelotão fosse igual a 50, então a quantia de água que cadasoldado receberia passaria a ser igual a:A) 1,2 litrosB) 3,4 litrosC) 4,8 litrosD) 5,2 litrosE) 7,5 litros

15. Em uma construção, 5 funcionários constroem 2 salas iguais em 10 dias. Supondo que o ritmo detrabalho seja mantido nesta construção, é correto afirmar que 10 funcionários constroem 4 destas salasem apenas:A) 2 dias.B) 5 dias.C) 10 dias.D) 15 dias.E) 20 dias.

16. Uma entrevista foi realizada com 300 pessoas a fim de verificar se os entrevistados já haviam lido olivro "Ana Terra" ou o livro "O centauro no jardim". Dos entrevistados, 180 leram "Ana Terra", 100 leram"O centauro no jardim" e 80 não leram nenhum destes dois livros. Segundo a teoria dos conjuntos, écorreto afirmar que o número de pessoas entrevistadas que leram ambos os livros é igual a:A) 120B) 100


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0

C) 80D) 60E) 40

17. Em uma classe, a razão entre o número de meninos e o número de meninas é igual a 2/7. Sabendoque esta classe possui um total de 27 alunos (meninos e meninas) é correto afirmar que a diferençaentre o número de meninas e o número de meninos é igual a:A)03B)05C) 09D) 13E) 15

18. Em uma pesquisa realizada com 200 pessoas em Cachoeirinha, constatou-se que:- 100 pessoas gostam de comer sushi.- 150 pessoas gostam de comer churrasco.- 20 pessoas não gostam de comer sushi nem churrasco.

Nestas condições, é correto afirmar que o número de pessoas desta pesquisa que gostam de comer sushi, mas não gostam de comer churrasco é igual a: A) 30B) 40C) 50D) 60E) 70

19. Em uma pequena empresa de Cachoeirinha, um grupo de 8 funcionários produzem juntos 120 peçasiguais em um dia. Se mais 3 funcionários juntarem-se ao referido grupo, supondo que os funcionáriosdesta empresa produzam estas peças em um ritmo constante, é correto afirmar que este novo efetivoirá produzir em um dia:A) 45 peçasB) 145 peçasC) 165 peçasD) 185 peçasE) 205 peças

20. Em um grupo de 250 professores, sabe-se que 75 são formados em pedagogia, 40 são formados emmatemática e 05 professores são formados em pedagogia e matemática. É correto afirmar que onúmero de professores que não são formados em pedagogia nem em matemática, neste grupo, é iguala:A) 100B) 110C) 120D) 130E) 140

21. Um terreno deve ser dividido igualmente entre 08 herdeiros, resultando em uma parte de 350 m2para cada um. Porém, antes da divisão, 03 destes herdeiros decidem abrir mão da sua parte e, em plenoacordo, permitem que o terreno seja dividido igualmente entre os herdeiros restantes. É correto entãoafirmar, que cada um dos herdeiros restantes passará a receber uma parte do terreno equivalente a:A) 130 m²B) 220 m²C) 560 m²D) 840 m²E) 930 m²


54

0

22. Em uma urna escura estão, inicialmente, 70 bolas pretas e 30 bolas brancas. Quantas bolas pretasdevem ser retiradas da urna de modo que, após a extração, a quantidade de bolas pretas corresponda a40% das bolas na urna?A) 20B) 30C) 40D) 50E) 60

23. Em um posto de saúde, 5.760 pacientes foram atendidos no mês de abril deste ano, o querepresenta uma diminuição de 20% em relação ao número de pacientes atendidos no mês anteriorneste mesmo posto. É correto, então, afirmar que o número de pacientes atendidos no referido postono mês de março deste ano é igual a:A) 4.500B) 4.608C) 6.912D)7.000E) 7.200

24. Uma pesquisa realizada com um grupo de 200 pessoas buscou averiguar quantas pessoas já haviamlido o livro A ou o livro B. No diagrama de Venn abaixo, estão representados os resultados destapesquisa, onde o conjunto A representa o conjunto de pessoas que leram o livro A e o conjunto Bsimboliza o conjunto de pessoas que leram o livro B:

60

É correto afirmar que a probabilidade de sortear uma pessoa deste grupo e esta pessoa NÃO ter lido o

livro B é igual a:

A) 10%

B) 20%

C) 40%

D) 60%

E) 80%

25. Na última Feira do Livro realizada na capital gaúcha, a frase "Livros ajudam a pensar'' influenciou

milhares de gaúchos a buscarem um livro para ler. Pedro, que participou da última Feira do Livro de

Porto Alegre, possui o hábito de ler quatro livros por mês. Supondo que Pedro mantenha este hábito, é

correto afirmar que ele lerá em um ano e meio um total de:

A) 48 livros

B) 56 livros

C) 60 livros

D) 72 livros

E) 80 livros


55

0

26. Baseado na história real da equipe de jornalismo investigativo do "Boston Globe", o filme "Spotlight"

surpreendeu e venceu o Oscar de melhor filme deste ano. Além deste prêmio, o filme levou também o

Oscar de melhor roteiro original. Sabendo que o filme "Spotlight'' concorreu a um total de 6 indicações

aos prêmios do Oscar, dos quais venceu apenas os prêmios mencionados, é correto afirmar que o

percentual de prêmios que "Spotlight" venceu em relação ao número de suas indicações no Oscar é

igual a, aproximadamente:

A) 23%

B) 24%

C) 27%

D) 29%

E) 33%

27. Em uma empresa de comunicação, trabalham 108 funcionários, dos quais 24 são jornalistas. É

correto afirmar que a razão entre o número de jornalistas e o número total de funcionários dessa

empresa é igual a:

A) 5/9

B) 2/9

C) 9/2

D) 9/5

E) 5/3

28. Uma editora realizou pesquisa com 100 pessoas que leram os livros A e B, a fim de avaliar a

aprovação desses livros. Sobre os resultados dessa pesquisa, sabe-se que:

- 70 pessoas gostaram do livro A.

- 45 pessoas gostaram do livro B.

- 10 pessoas não gostaram de nenhum desses dois livros.

É correto afirmar que o número de pessoas dessa entrevista que gostaram de ambos os livros, A e B, é

igual a:

A) 10

B) 15

C) 20

D)25

E) 30

29. Uma mangueira, cuja vazão é de 20 litros por minuto, leva 50 minutos para encher uma piscina

vazia. Quanto tempo seria necessário para encher a mesma piscina vazia, caso fosse utilizada uma

mangueira de vazão igual a 25 litros por minuto?

A)20 minutos

B)30 minutos

C)40 minutos

D)45 minutos

E)60 minutos

30. Em uma entrevista com 500 pessoas constatou-se que, entre os entrevistados, 250 pessoas assistiam

a série Game of Thrones, 170 pessoas assistiam a série Grey's Anatomy e 120 não assistiam a nenhuma

destas duas séries. Segundo a teoria dos conjuntos, é correto afirmar que o número de pessoas desta

entrevista que assistiam ambas as séries mencionadas é igual a:


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0

A) 40

B) 120

C) 130

D) 210

E) 320

31. Em um grupo de pessoas, 40% são mulheres. Entre as mulheres deste grupo, 50% foram vacinadas

contra a gripe neste ano, o que equivale ao número de 60 mulheres vacinadas. Nesta situação, é correto

afirmar que o número total de pessoas deste grupo é igual a:

A) 200

B) 250

C) 300

D) 350

E) 400

32. Uma pesquisa foi realizada com 200 pessoas em Porto Alegre, a fim de verificar o potencial de

público para dois grandes shows: Pearl Jam e Creedence. Sobre esta pesquisa, sabe-se que: 140

entrevistados afirmaram comparecer ao show do Pearl Jam, 120 entrevistados afirmaram comparecer

ao show de Creedence e 80 entrevistados afirmaram comparecer a ambos os shows. Segundo a teoria

dos conjuntos, é correto afirmar que, nesta pesquisa, o número de pessoas entrevistadas que afirmaram

não comparecer a nenhum dos shows é igual a:

A)10

B)20

C)30

D)40

E)50

33. Um determinado show nacional começa a ser apresentado às 21h e acaba às 23h20min. Sabendo

que durante o show não houve nenhuma pausa nem intervalo, é correto afirmar que a duração do

show, em minutos, é igual a:

A)140

B)160

C)180

D)200

E)220

34. Pedro comprou seu carro em uma loja que lhe concedeu um desconto de 5% para o pagamento à

vista. Sabendo que Pedro pagou a quantia à vista de R$ 42.750,00 nesta compra, qual o valor do

desconto que Pedro ganhou?

A) R$ 2.000,00

B) R$ 2.250,00

C) R$ 2.500,00

D) R$ 2.750,00

E) R$ 3.000,00


57

0

35. A prova de um concurso continha 50 questões, sendo estas distribuídas entre quatro matérias com a

seguinte pontuação por questão:

Disciplina Número de questões Pontuação por questão correta

Língua Portuguesa 15 2,0

Legislação 15 2,0

Conhecimentos Específicos 10 2,0

Raciocínio Lógico 10 2,0

Sabendo que a pontuação final de cada candidato neste concurso é a soma das pontuações em cada

disciplina da prova, assinale a alternativa que apresenta uma pontuação total que NÃO pode ser obtida

por nenhum candidato neste concurso:

A)36 pontos.

B)48 pontos.

C)55 pontos.

D)84 pontos.

E)92 pontos.

36. Uma loja de Novo Hamburgo decide fazer uma grande promoção de curta duração. Nesta promoção,

o preço de um produto que custa R$ 120,00 passará a custar apenas a metade deste valor. Ao final

desta promoção, o preço do produto deverá retornar ao preço inicial. Para que o preço deste produto

na promoção retorne ao preço inicial, este valor deverá sofrer um aumento equivalente a:

A)25%

B)50%

C)100%

D)150%

E)200%

37. Uma torneira possui vazão igual a 12L/min, isto é, libera 12 litros de água a cada minuto. Esta

torneira levaria 5 horas para encher um determinado tanque vazio. Quanto tempo uma torneira de

vazão igual a 8L/min levaria para encher o mesmo tanque vazio?

A)3h30min

B)4h

C)5h30min

D)6h

E) 7h30min

38. Em um supermercado, no mês de fevereiro deste ano, foram aplicados dois aumentos consecutivos

sobre o preço da mercadoria A. No início do referido mês, a mercadoria A custava R$ 150,00 e sofreu

um aumento de 20% sobre o seu valor. Após este aumento, a mercadoria sofreu um novo aumento

sobre o seu valor atual, passando a custar R$ 207,00. É correto afirmar que a mercadoria A teve um

aumento total sobre o seu valor inicial, no mês de fevereiro deste ano, equivalente a:

A)15%

B)20%

C)30%

D)35%

E)38%


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0

39. Durante uma festa de aniversário, Júlio constata que, se utilizar copos descartáveis de 175 ml,

conseguirá encher 40 copos com o volume de suco que preparou. Quantos copos Júlio conseguiria

encher com o mesmo volume de suco preparado, se os copos descartáveis fossem de volume igual a 200

ml?

A)45 copos.

B)35 copos.

C)30 copos.

D)25 copos.

E)20 copos.

40. Durante o mês de fevereiro do corrente ano, uma moeda estrangeira teve sua cotação em moeda

nacional aumentada de R$ 2,75 para R$ 3,05. Este aumento ocorrido no mês mencionado corresponde a

um aumento percentual equivalente a, aproximadamente,

A)07%

B)09%

C)11%

D)13%

E)15%

41. Sejam A e B conjuntos numéricos. Sabendo que A B = {2}, B - A = {0,5} e A U B = {0,1,2,3,4,5}, é

correto afirmar que o conjunto A é igual a:

A){ }

B){1,3,4}

C){1,2,3,4}

D){0,1,2,3,4}

E){0,1,2,3,4,5}

42. Theo possui 30 laranjas que deverão ser divididas em duas cestas em quantias diretamente

proporcionais a 03 e 07. Após esta divisão, a cesta com maior número de laranjas possui quantas

laranjas a mais do que a outra cesta?

A)08.

B)10.

C)12.

D)14.

E)16.

43. Em uma empresa de Alvorada, 08 máquinas iguais produzem 1.000 peças em 5 horas. Quantas horas

são necessárias para que 04 destas máquinas produzam 2.500 peças?

A)6 horas.

B)8 horas.

C)10 horas.

D)15 horas.

E)25 horas.

44. Neste mês, em um supermercado de Porto Alegre, o preço do produto A sofreu um aumento de 25%

sobre o seu valor inicial. A fim de que o preço do produto A retorne ao seu valor inicial após este

aumento é necessário aplicar um desconto, sobre o valor atual, igual a:


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0

A)20%

B)25%

C)27,5%

D)31,25%

E)35%

45. Artur precisa representar através de um desenho uma piscina olímpica de 50 metros de

comprimento e 25 metros de largura, mantendo a proporção entre estas dimensões. Sabendo que, no

desenho de Artur, a largura desta piscina era igual a 12,5cm, é correto afirmar que o comprimento da

piscina nesta mesma representação é igual a:

A) 10 cm

B) 15 cm

C) 20 cm

D) 25 cm

E) 30 cm

46. Uma empresa realiza uma entrevista com 300 jovens, a fim de avaliar o número de pessoas deste

grupo que possuem carteira de habilitação de categoria A ou de categoria B. Os dados coletados

permitem afirmar que, entre os entrevistados, 100 possuem carteira de habilitação de categoria A, 150

possuem carteira de habilitação de categoria B e 70 possuem carteira de habilitação de ambas as

categorias (A e B). É correto afirmar que o número de entrevistados que não possuem carteira de

habilitação de categoria A ou B é igual a:

A) 80

B) 90

C) 100

D) 110

E) 120

47. Em uma sala estão 20 pessoas, sendo que 35% destas são homens. Se saírem 2 homens e 3 mulheres

desta sala, então:

A) A proporção de mulheres entre os presentes na sala diminui em relação à situação inicial.

B) A porcentagem de mulheres na sala aumenta em menos de 2% em relação à situação inicial.

C) A porcentagem de homens diminui em 3% em relação à situação inicial.

D) A proporção de homens na sala fica igual à proporção de mulheres.

E) O número de homens fica igual ao dobro de número de mulheres na sala.

48. Carlos, após ser aprovado entre os dez melhores colocados para determinada vaga em um concurso

público, foi submetido a uma prova de aptidão física. O teste de corrida da referida prova consiste em

percorrer a distância mínima de 2.400 metros em 12 minutos em uma pista de corrida, na qual uma

volta completa equivale a percorrer 400 metros. O candidato será aprovado no teste no teste de corrida

se atingir o objetivo citado. Sabendo que Carlos correrá em uma velocidade constante durante a prova,

qual o tempo máximo que Carlos pode levar para completar cada volta na pista, a fim de finalizar o teste

de corrida e ser aprovado?

A) 30 segundos.

B) 1 minuto.


60

0

C) 2 minutos.

D) 4 minutos.

E) 6 minutos.

49. Sobre o preço original de uma televisão da marca A de 42 polegadas, durante uma semana

promocional, foi aplicado um desconto de 15%, passando então a custar R$ 1.062,50. O preço original

desta televisão antes do desconto era igual a:

A) R$ 903,13.

B) R$ 1.031,25.

C) R$ 1.1100,50.

D) R$ 1.250,00.

E) R$ 1.300, 75.

50. Uma fotografia retangular possui dimensões de 15cm de largura e 20 cm de comprimento. A fim de

utilizar esta fotografia em uma exposição, um artista decide ampliá-la mantendo as suas proporções.

Sabendo que, após a ampliação, a medida da largura da fotografia passa a ser igual a 3,75 metros, é

correto afirmar que a medida do comprimento da fotografia, após a ampliação, é igual a:

A) 1 metro.

B) 2 metros.

C) 3 metros.

D) 4 metros.

E) 5 metros.


61

0

01. Matheus é jogador de basquete. Sabe-se que a probabilidade dele acertar cada arremesso livre é de

60%. Se Matheus vai realizar duas tentativas de arremesso livre, supondo estes eventos independentes,

qual a probabilidade de ele acertar o primeiro e errar o segundo arremesso?

A) 24%

B) 48%

C) 50%

D) 60%

E) 100%

02. Em um laboratório, um técnico deve realizar uma análise individual em cinco amostras de sangue

distintas. De quantas maneiras diferentes este técnico pode ordenar estas amostras para a análise?

A)12

B)15

C)24

D)48

E)120

03. Em uma caixa escura, estão 3 bolas verdes, 2 bolas brancas, 7 bolas pretas e 3 bolas amarelas,

distintas apenas pela cor. É correto afirmar que o número mínimo de bolas que devem ser retiradas ao

acaso desta caixa, a fim de garantir que pelo menos uma das bolas retiradas seja preta, é igual a:

A)15

B)13

C)09

D)08

E)07

04. No contexto apresentado pelo enunciado anterior, qual a probabilidade de sortear ao acaso um dos

dias da semana apresentados e Rose ter atendido nesse dia um número total de telefonemas inferior a

135?

A)20%

B)40%

C)50%

D)60%

E)80%

05. O número de anagramas da palavra "COMUSA" que começam com uma vogal é igual a:

A)120

B)240

C)360

D)580

E)720

EXERCÍCIOS – Análise Combinatória e Probabilidade


62

0

06. Uma empresa decide realizar uma propaganda e, para isto, deve escolher duas modelos para

participarem desta ação. Após uma triagem inicial, restam 5 modelos disponíveis para a escolha de

quem participará da propaganda. Tendo estas cinco modelos disponíveis, de quantas maneiras distintas

podem ser escolhidas duas modelos para participarem da propaganda?

A)07

B)08

C)10

D)12

E)15

07. Matheus é o segundo melhor aluno da turma de matemática. Em um determinado dia, o professor

sorteou aleatoriamente um livro entre os cinco melhores alunos desta turma. Qual a probabilidade de

Matheus ser sorteado por este professor e ganhar o livro?

A)05 anos

B)06 anos

C)07 anos

D)08 anos

E)09 anos

08. Em uma escola, é necessário escolher 02 entre 12 professores disponíveis, para cuidar das crianças

durante o recreio. O número de maneiras distintas de escolher uma dupla de professores para esta

atividade é igual a:

A)66

B)84

C)108

D)121

E)132

09. O número telefônico de Alberto é 5031-5031. Ele decide criar uma senha de 4 dígitos distintos

utilizando apenas os algarismos que aparecem no seu número de telefone. É correto afirmar que o

número de senhas diferentes que Alberto pode criar nestas condições está entre:

A)15 e 20

B)20 e 25

C)25 e 30

D)30 e 35

E)35 e 40

10. Em cinco urnas escuras estão bolas pretas e bolas brancas, porém em diferentes quantidades. Na

tabela abaixo é possível observar a distribuição da quantidade de bolas pretas e brancas em cada urna:

Urna Número de bolas pretas Número de bolas brancas

A 3 1

B 10 10

C 6 4

D 2 3

E 9 11


63

0

A propabilidade de retirar uma bola de dentro da urna e esta bola ser branca é maior na urna:

A)A

B)B

C)C

D)D

E)E

11. Bruno dispõe de 3 calças de cores diferentes e 6 camisetas, cada uma de uma cor. Nestas condições

de quantas formas distintas Bruno pode compor um visual com uma calça e uma camiseta?

A)6

B)9

C)12

D)16

E)18

12. O gráfico a seguir apresenta o número de gols marcados pelo time A durante cinco jogos:

Qual a probabilidade de sortear um jogo, entre os cinco jogos apresentados, e o time A ter marcado

mais do que 2 gols neste jogo?

A)15%

B)20%

C)40%

D)60%

E)80%

13. Marcos, Eduardo, Taís, Leandro e Elena são cinco amigos que desejam abrir uma empresa em

conjunto. Para dar nome à empresa, estes amigos decidem criar uma sigla de cinco letras com as letras

iniciais dos seus nomes. Nestas condições, é correto afirmar que o número de siglas diferentes que eles

podem formar para dar nome à empresa é igual a:

A)60

B)80

C)100

D)120

E)140


64

0

14. Em uma escola, estudantes criam uma rifa de 200 números para ser vendida, com o objetivo de

arrecadar dinheiro para a formatura. Neste sistema, cada comprador escolhe os números que deseja,

sendo que, depois de comprados, os mesmos números não poderão mais ser vendidos. Finalizado o

prazo da venda é sorteado aleatoriamente apenas um número, e o comprador deste número receberá o

devido prêmio da rifa. Ana compra 30 números e Bruno compra 40 números desta rifa. Neste contexto,

é correto afirmar que:

A)A probabilidade de Bruno ganhar o prêmio é 5% maior do que a probabilidade de Ana ganhar o prêmio.

B)A probabilidade de Bruno ganhar o prêmio é 10% maior do que a probabilidade de Ana ganhar o prêmio.

C)A probabilidade de Bruno ganhar o prêmio é 15% maior do que a probabilidade de Ana ganhar o prêmio.

D)A probabilidade de Ana ganhar o prêmio é 15% maior do que a probabilidade de Bruno ganhar o prêmio.

E)A probabilidade de Ana ganhar o prêmio é 10% maior do que a probabilidade de Bruno ganhar o prêmio.

15. Na imagem, a seguir está representada uma sequência construída com quatro figuras geométricas

distintas:

Quantas sequências diferentes da apresentada são possíveis construir utilizando as mesmas quatro

figuras?

A)11

B)15

C)17

D)23

E)35

16. Anagramas são alterações na sequência de letras de uma determinada palavra a fim de formar

outras palavras com ou sem sentido. Quantos são os anagramas da palavra "NOVO"?

A)4

B)8

C)12

D)16

E)24

17. Deseja-se formar uma comissão de 5 integrantes em uma empresa de Canoas, sendo que esta

comissão deve ter obrigatoriamente apenas 1 ou 2 homens em sua composição. Entre os funcionários

disponíveis para a formação desta comissão estão apenas 5 homens e 5 mulheres. Quantas são as

possibilidades de formar diferentes comissões neste contexto?

A)25.

B)50.

C)75.

D)100.

E)125.


65

0

18. Quantos são os anagramas da palavra "ALVORADA" que começam com a letra "D"?

A)840.

B)1680.

C)5040.

D)6720.

E)40320.

19. Em uma caixa escura estão algumas bolas pretas e outras brancas, idênticas com exceção da cor.

Sabendo que o número de bolas brancas e o número de bolas pretas, nesta caixa, são diretamente e

respectivamente proporcionais a 1 e 3, é correto afirmar que a probabilidade de sortear, ao acaso, uma

bola desta caixa e a bola ser branca é igual a:

A)25%

B)40%

C)50%

D)60%

E)75%C

20. Em uma urna escura estão 5 bolas azuis, 8 bolas vermelhas, 3 bolas verdes e algumas bolas

amarelas, todas idênticas, exceto a cor. Sabe-se que a probabilidade de retirar ao acaso uma bola desta

urna e a cor desta bola não ser amarela é igual a 80%. Qual o número de bolas desta urna após a

retirada de uma bola ao acaso sem reposição?

A)19

B)22

C)24

D)25

E)29

21. Em alguns jogos é comum o uso de dados com um número diferenciado de faces. Considere um

dado com 12 faces, numeradas de 01 a 12. Sabendo que todos os lados deste dado possuem

probabilidade igual de serem sorteados durante um lançamento, qual a probabilidade de ser sorteada

uma face com um número maior que 03 em um lançamento?

A)80%

B)75%

C)50%

D)25%

E)20%

22. Os anagramas são alterações da sequência das letras de uma palavra que geram diferentes

sequências. Quantos são os anagramas da palavra "GUARDA"?

A)90.

B)180.

C)360.

D)540.

E)720


66

0

23. Um fotógrafo irá realizar uma foto de 5 pessoas sentadas em um banco. Entre estas 5 pessoas está

um casal que não deve sentar separado. De quantas formas diferentes o fotógrafo pode organizar as

pessoas sentadas neste banco de acordo com esta situação?

A)12

B)24

C)48

D)60

E)120

24. Em uma escola, 40% dos professores são homens. Entre os professores homens, 15% são

professores de história. A probabilidade de sortear um professor desta escola e este ser homem e não

ser professor de história é igual a:

A)2%

B)6%

C)25%

D)32%

E)34%

25. Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Qual a probabilidade de sortear ao acaso uma bola

cujo número não contenha o algarismo 1?

A)35%

B)45%

C)55%

D)65%

E)75%


67

0

01. Qual o capital que deve ser aplicado em um sistema de juros simples, cuja taxa de juros é de 12% ao

trimestre, durante 8 meses, a fim de que o montante obtido seja igual a R$ 231,00?

A)R$ 160,00.

B)R$ 165,00.

C)R$ 170,00.

D)R$ 175,00.

E)R$ 180,00.

02. Lucas aplica um capital inicial em um sistema de juros simples, cuja taxa de juros mensal é igual a

5%, durante um ano. Ao final desta aplicação, ele obtém um montante igual a R$ 2.000,00. É correto

afirmar que o capital inicial aplicado por Lucas nesta operação é igual a:

A)R$ 1.100,00

B)R$ 1.150,00

C)R$ 1.200,00

D)R$ 1.250,00

E)R$ 1.300,00

03. Felipe aplica R$ 600,00 em um sistema de juros simples de taxa mensal igual a 5%, obtendo ao final

desta aplicação uma quantia de R$ 840,00. É correto afirmar que o tempo de duração desta aplicação

realizada por Felipe foi de:

A)5 meses

B)6 meses

C)7 meses

D)8 meses

E)9 meses

04. Laura deseja fazer um investimento em um sistema de juros simples para sacar um montante de R$

1.500,00 ao final de 4 anos de aplicação. Sabendo que a taxa de juros desta aplicação é igual a 6,25% ao

trimestre, qual o capital inicial que Laura deverá aplicar para atingir o seu objetivo?

A)R$ 750,00

B)R$ 725,00

C)R$ 700,00

D)R$ 675,00

E)R$ 650,00

05. Daniel aplicou R$ 1.000,00 em um sistema de juros simples durante 4 meses. Após este período,

Daniel retirou um montante de R$ 1.300,00 desta aplicação. Pode-se afirmar que a taxa de juros mensal

praticada nesta aplicação é igual a:

A)2%

B)2,5%

C)5%

D)7,5%

E)8%

EXERCÍCIOS – Matemática Financeira


68

0

06. Em um sistema de juros simples, Carlos aplicou R$ 800,00. Querendo resgatar um montante de R$

1.640,00 ao final desta aplicação, quanto tempo Carlos deverá deixar depositado este capital inicial

sabendo que a taxa desta aplicação é igual a 15% ao ano?

A) 05 anos

B) 06 anos

C) 07 anos

D) 08 anos

E) 09 anos

07. Vitória aplica R$ 750,00 em um sistema de juros simples, cuja a taxa de juros é igual a 5% ao ano, e

não realiza nenhum outro movimento nesta aplicação. Após 8 anos, é correto afirmar que o montante

obtido por Vitória nesta aplicação é igual a:

A) R$ 900,00

B) R$ 950,00

C) R$ 1.000,00

D) R$ 1.050,00

E) R$ 1.100,00

08. Marcos aplicou R$ 4.500,00 em um sistema de juros simples, cuja taxa de juros era de 2% ao mês, e

obteve, ao final desta aplicação, um montante de R$ 5.130,00. É correto afirmar que o tempo desta

aplicação realizada por Marcos foi igual a:

A)4 meses

B)5 meses

C)6 meses

D)7 meses

E)8 meses

09. Danilo aplica um capital em um sistema de juros simples, cuja taxa de juros mensal é de 7,5%, e

obtém um montante de R$ 2.100,00 após 10 meses de aplicação. É correto afirmar que o capital

aplicado por Danilo nesta operação foi igual a:

A) R$ 1.000,00

B) R$ 1.100,00

C) R$ 1.200,00

D) R$ 1.300,00

E) R$ 1.4000,00

10. Ao investir uma quantia de R$ 1.800,00 em uma aplicação de juros compostos de 5% ao mês,

durante dois meses, obtém-se um montante igual a:

A) R$ 1.975,50

B) R$ 1.984,50

C) R$ 2.010,25

D) R$ 2.070,00

E) R$ 2.160,00

11. Joaquim empresta R$ 300,00 ao seu amigo, propondo-lhe cobrar juros simples a uma taxa de 2,5%

ao mês. Tendo o amigo de Joaquim aceitado a proposta e quitado a sua dívida após exatos 5 meses em

uma única parcela, é correto afirmar que ele pagou a Joaquim a quantia de:


69

0

A) R$ 337,50

B) R$ 350,00

C) R$ 375,00

D) R$ 412,50

E) R$ 450,00

12. Assinale a alternativa que apresenta a expressão que permite calcular os juros (J) obtidos após t

meses de aplicação de uma quantia de R$ 500,00 em um sistema de juros composto de taxa mensal

igual a 5%:

A)J = 500.((1,05) -1)

B)J = 500.(1,5) -500

C)J = 500.(0,95) -500

D)J = 500.1,5t

E)J = 500.0,95t

13. Pedro aplica R$ 400,00 em um sistema de juros composto de taxa mensal igual a 2,5% ao mês

durante dois meses. É correto afirmar que os juros obtidos nesta aplicação são iguais a:

A)R$ 20,00.

B)R$ 20,25.

C)R$ 25,00.

D)R$ 420,00.

E)R$ 420,25

14. João aplica R$ 500,00 em um sistema de juros composto de taxa igual a 3% ao mês. Qual a quantia

de juros que João obtém nesta aplicação nos primeiros 2 meses?

A)R$ 30,00

B)R$ 30,45

C)R$ 31,00

D)R$ 31,50

E)R$ 35,00

15. João retira um empréstimo de R$ 500,00 sobre os quais serão aplicados juros compostos de taxa

mensal igual a 3%. Se João pagar a sua dívida após 2 meses, a quantia a ser paga será igual a

A)R$ 530,45

B)R$ 546,36

C)R$ 525,55

D)R$ 523,65

E)R$ 515,00


70

0

01. Os salários de cinco funcionários de uma empresa estão descritos na tabela a seguir:

Funcionário Ana Beto Camila Diego Eduardo

Salário R$ 2.500,00 R$ 1.400,00 R$ 1.800,00 R$ 2.800,00 R$ 2.500,00

Sobre estes dados, analise as afirmações abaixo.

I -A média salarial entre estes funcionários é igual a R$ 2.200,00 por funcionário.

II -A moda salarial destes dados é igual a R$ 2.500,00.

III -A mediana dos dados apresentados é igual a R$ 1.800,00.

Das afirmações acima, qual(is) está(ão) correta(s)?

A) Apenas a I.

B) Apenas a II.

C) Apenas I e II.

D) Apenas I e III.

E) Apenas II e III

As questões de número 02 e 03 referem-se ao enunciado abaixo.

Em uma prova, o candidato é aprovado se obter uma nota superior à nota 6,0, caso contrário ele é

reprovado. No quadro abaixo são apresentadas as notas obtidas por 5 candidatos nesta prova:

Candidato Lucas Leonardo Diego Daniela Franciele

Nota 4,6 7,6 6,0 9,8 8,0

02. É correto afirmar que a nota média destes cinco candidatos foi igual a:

A)6,4

B)6,6

C)6,8

D)7,0

E)7,2

03. Sobre estes candidatos, pode-se afirmar que a razão entre o número de aprovados e o número de

reprovados foi igual a:

A)5/2

B)3/5

C)2/3

D)3/2

E)2/5

04. Em um pronto atendimento foram atendidas 53 pessoas na segunda-feira, 57 pessoas na terça-feira,

53 pessoas na quarta-feira, 47 pessoas na quinta-feira e 50 pessoas na sexta-feira. Qual a média de

pessoas atendidas por dia neste pronto atendimento ao longo destes cinco dias?

A)52 pessoas

B)53 pessoas

C)54 pessoas

EXERCÍCIOS – Estatística


71

0

D)55 pessoas

E)56 pessoas

05. Rose é a recepcionista da ala de psiquiatria de um hospital, onde trabalha de segunda-feira a sexta-

feira. Na tabela a seguir, estão descritos os números totais de telefonemas atendidos por Rose durante

um determinado período de serviço:

Dia da semana Número total de telefonemas atendidos

Segunda-feira 170

Terça-feira 120

Quarta- feira 110

Quinta-feira 140

Sexta-feira 140

É correto afirmar que o número médio de ligações totais diárias atendidas por Rose ao longo deste

período apresentado foi igual a:

A) 130

B) 134

C) 136

D) 138

E) 140

06. Em 2014 uma escola divulgou uma tabela com o número de alunos reprovados por turma para as

turmas do terceiro ano. A tabela está representada a seguir:

TURMA Nº de alunos reprovados

3T1 08

3T2 09

3T3 08

3T4 12

3T5 08

Qual a média de alunos reprovados por turma no terceiro ano de 2014 nesta escola?

A) 08

B) 09

C) 10

D) 11

E) 12

07. Artur, Bruno e Carlos receberam uma quantia de dinheiro de sua empresa como bonificação. Bruno

recebeu R$ 300,00 e Artur recebeu R$ 200,00 a mais do que Bruno. Sabendo que a média das quantias

recebidas pelos três funcionários foi igual a R$ 390,00, é correto afirmar que Carlos recebeu:

A) R$ 320,00

B) R$ 350,00

C) R$ 360,00

D) R$ 370,00

E) R$ 380,00

08. O número de alunos matriculados em cada turma de quinto ano da escola X está descrito na tabela

abaixo.


72

0

TURMA Nº de alunos matriculados

5M1 31

5M2 26

5M3 30

5T1 31

5T2 27

É correto afirmar que o número médio de alunos matriculados nessas turmas é igual a:

A) 27

B) 28

C) 29

D) 30

E) 31

09. Um pesquisador observou as temperaturas máximas atingidas na cidade de Novo Hamburgo ao

longo de cinco dias de verão. Os dados obtidos estão representados no quadro abaixo:

Dia de

observação

Temperatura máxima (°C)

1° dia 38,5

2° dia 38

3° dia 43

4°dia 41,5

5° dia 27

É correto afirmar que a média diária da temperatura máxima ao longo do período observado em Novo

Hamburgo foi igual a:

A) 38ºC

B) 38,5ºC

C) 39ºC

D) 39,5ºC

E) 40ºC

10. No gráfico abaixo, estão representadas as pontuações finais de cinco candidatos de um concurso

público:


73

0

Sobre estes dados, analise as seguintes afirmações:

l -A pontuação final média destes candidatos é igual a 70 pontos.

ll -Sobre porcentagem, tem-se que a pontuação final do candidato W é 125% maior do que a

pontuação final do candidato Y.

lll -A razão entre a pontuação final do candidato Z e a pontuação final do candidato K é superior

a 0,8.


A) Apenas a l.

B) Apenas a ll.

C) Apenas a lll.

D) Apenas I e ll

E) Apenas ll e lll.

11. Durante a sua preparação para a prova de um concurso público de Novo Hamburgo, João realizou 4

simulados, cada um com 40 questões, a fim de averiguar o seu rendimento sobre o que havia estudado.

O número de acertos de João nos 4 simulados realizados foram, respectivamente, os seguintes: 36, 28,

32 e 36. Neste contexto, é correto afirmar que o número médio de acertos de João nestes simulados foi

igual a:

A) 30.

B) 31.

C) 32.

D) 33.

E) 34.

12. Com base no gráfico apresentado anteriormente, é correto afirmar que a temperatura máxima

média durante a semana analisada, na referida cidade, foi igual a aproximadamente:

A) 15ºC.

B) 18ºC.

C) 21ºC.

D) 24ºC.

E) 27°C.

13. Com base nos dados apresentados no gráfico, a que porcentagem de dias desta semana

correspondem, aproximadamente, os dias em que a temperatura máxima ultrapassou 20ºC?

A) 29%.

B) 43%.

C) 57%.

D) 71%.

E) 85%.

14. Durante um concurso de beleza, cada candidata é avaliada por 6 jurados através de notas que

variam de O a 10. A nota final da candidata é determinada como sendo a média das 5 maiores notas

obtidas. Observe abaixo as notas dadas a candidata X por seis jurados:

Jurado A B C D E F

Nota 7,5 8,0 9,0 8,5 7,0 8,5


74

0

É correto afirmar que a nota final da candidata X, neste concurso, é igual a:

A) 8,0

B) 8,1

C) 8,2

D) 8,3

E) 8,4

15. A equipe responsável pelo almoço em uma escola decidiu fazer uma entrevista para avaliar o nível

de satisfação dos alunos com a refeição servida. A nota a ser atribuída pelos alunos entrevistados varia

de O a 5, diretamente proporcional ao grau de satisfação do entrevistado. O gráfico abaixo indica os

resultados da referida entrevista:

É correto afirmar que a nota média dada pelos entrevistados é de aproximadamente:

A) 2,4

B) 2,5

C) 3,6

D) 3,7

E) 4,2


75

0

01. Considerando a proposição lógica "João é enfermeiro ou Paula é médica", cujo valor lógico é

verdadeiro, analise as sentenças abaixo.

l - A proposição do enunciado é uma proposição composta.

ll - A proposição "João é enfermeiro" possui obrigatoriamente valor lógico verdadeiro.

lll - A proposição lógica "João não é enfermeiro ou Paula não é médica" possui obrigatoriamente

valor lógico falso.

Das sentenças acima, qual(is) está(ão) correta(s)?

A) Apenas a l.

B) Apenas l e ll.

C) Apenas l e lll.

D) Apenas ll e lll.

E) l, ll e lll.

02. Considere que o símbolo -> representa o conectivo lógico condicional. Durante seus estudos para a

prova de um concurso público, Juliano monta a tabela-verdade a seguir para analisar a proposição lógica

p -> q, porém sua irmã apaga os valores lógicos de três espaços, como se pode notar abaixo:

p q p->q

V V V

V F

V V

F F

Os valores lógicos que completam corretamente os espaços em branco da tabela-verdade acima da

esquerda para a direita, respectivamente, são:

A) F-F-F.

B) F-F-V.

C) F-V-F.

D) V-V-F.

E) V-F-V.

03. A proposição composta "se Bruno faltou à prova do concurso da FHGV, então ele foi reprovado

nesta prova" é logicamente equivalente à proposição:

A) se Bruno não faltou à prova do concurso da FHGV, então ele não foi reprovado nesta prova.

B) se Bruno não faltou à prova do concurso da FHGV, então ele foi reprovado nesta prova.

C) se Bruno não faltou à prova do concurso da FHGV, então ele foi aprovado nesta prova.

D) se Bruno não foi reprovado na prova da FHGV, então ele faltou a esta prova.

E) se Bruno não foi reprovado na prova da FHGV, então ele não faltou a esta prova.

EXERCÍCIOS – RACIOCÍNIO LÓGICO


76

0

04. Adriano, Gustavo e Rodrigo disputaram uma prova de natação de som Crawl entre eles. Sobre a

classificação destes três amigos, leia as proposições abaixo.

Proposição 1: Não é verdade que Rodrigo ficou em primeiro lugar.

Proposição 2: Gustavo ficou em primeiro ou em segundo lugar.

Sabendo que a proposição 1 é verdadeira e que a proposição 2 é falsa, é correto afirmar neste contexto

que:

A) Adriano ficou em primeiro lugar.

B) Gustavo ficou em segundo lugar.

C) Rodrigo ficou em primeiro lugar.

D) Adriano ficou em terceiro lugar.

E) Rodrigo ficou em terceiro lugar.

05. A proposição "Se Pedro foi ao cinema, então ele comprou pipoca" é logicamente equivalente a:

A) Se Pedro não foi ao cinema, então ele comprou pipoca.

B) Se Pedro não comprou pipoca, então ele não foi ao cinema.

C) Se Pedro comprou pipoca, então ele foi ao cinema.

D) Pedro comprou pipoca, mas não foi ao cinema.

E) Pedro foi ao cinema ou comprou pipoca.

06. A proposição lógica "A Estátua do Laçador é uma obra de Antônio Caringi e foi produzida no ano de

1964" é uma proposição composta falsa, pois o ano de sua produção está incorreto. Segundo a lógica,

assinale a alternativa que contém uma proposição composta obrigatoriamente verdadeira.

A) A Estátua do Laçador é uma obra de Antônio Caringi e foi produzida no ano de 1950.

B) A Estátua do Laçador não é uma obra de Antônio Caringi e não foi produzida no ano de 1964.

C) A Estátua do Laçador não é uma obra de Antônio Caringi ou não foi produzida no ano de 1964.

D) A Estátua do Laçador é uma obra de Paixão Cortês e foi produzida no ano de 1964.

E) A Estátua do Laçador não é uma obra de Antônio Caringi ou foi produzida no ano de 1964.

07. Sobre as proposições lógicas, analise os itens abaixo.

l - A negação da proposição "João é professor, mas não gosta de raciocínio lógico" é dada pela

proposição composta "João não é professor e gosta de raciocínio lógico".

ll - Supondo que a proposição composta "Ana é professora ou Bruno é gaúcho" é uma

proposição verdadeira, é possível inferir que a proposição "Bruno é gaúcho" é uma proposição

simples verdadeira. lll - A proposição "se Maria tirou notas altas, então ela foi aprovada" é

logicamente equivalente à proposição "se Maria não foi aprovada, então ela não tirou notas

altas".


A) Apenas a l.

B) Apenas a ll.

C) Apenas a lll.

D) Apenas l e ll.

E) Apenas ll e lll.


77

0

08. Considere os argumentos verdadeiros abaixo:

* Paulo gosta de surfar se, e somente se, ele nasceu em Tramandaí.

* Paulo é médico ou ele é ator.

* Se Paulo gosta de surfar, então ele não é ator.

* Paulo não é médico.

Neste contexto podemos concluir:

A) Paulo é médico e ator.

B) Paulo não nasceu em Tramandaí.

C) Paulo não é ator.

D) Paulo nasceu em Tramandaí, mas não gosta de surfar.

E) Paulo gosta de surfar.

09. Negação da proposição lógica "Pedro não é engenheiro ou Bruna é médica" é dada por:

A) Pedro é engenheiro ou Bruna não é médica.

B) Pedro não é médico ou Bruna é engenheira.

C) Pedro não é engenheiro e Bruna é médica.

D) Pedro é engenheiro e Bruna é médica.

E) Pedro é engenheiro e Bruna não é médica.

10. Assinale a alternativa que apresenta uma proposição composta falsa.

A) Cachoeirinha é uma cidade gaúcha e Porto Alegre é a capital do Rio Grande do Sul.

B) Cachoeirinha não é uma cidade gaúcha ou Porto Alegre é a capital do Rio Grande do Sul.

C) Cachoeirinha é uma cidade gaúcha ou Porto Alegre não é a capital do Rio Grande do Sul.

D) Se Cachoeirinha não é a capital de Porto Alegre, então Porto Alegre não é uma cidade gaúcha.

E) Se Porto Alegre não é a capital do Rio Grande do Sul, então Cachoeirinha não é uma cidade gaúcha.

11. A proposição lógica "Eduardo não trabalha aos domingos ou ele é ator" é equivalente à proposição:

A) Eduardo trabalha aos domingos, mas ele não é ator.

B) Se Eduardo trabalha aos domingos, então ele é ator.

C) Eduardo trabalha aos domingos ou ele não é ator.

D) Se Eduardo é ator, então ele não trabalha aos domingos.

E) Eduardo é ator se, e somente se, não trabalha aos domingos.

12. Considere a proposição lógica composta "Se Tarantino foi ao cinema e Chaplin foi ao teatro, então

Freddie foi ao show". Analise as afirmações abaixo separadamente:

l - A proposição composta apresentada pode ser simbolizada por (P ˄ Q) -> R, onde P, Q e R são

proposições simples adequadamente escolhidas.

ll - Caso a proposição simples "Tarantino foi ao cinema" seja falsa, então a proposição composta

do enunciado será obrigatoriamente verdadeira.

lll - Caso a proposição simples "Freddie foi ao show" seja falsa, então a proposição composta do

enunciado será obrigatoriamente verdadeira.


78

0


A) Apenas a l.

B) Apenas a lll.

C) Apenas I e ll.

D) Apenas l e lll.

E) l, ll e lll.

13. A negação da proposição lógica "se Pedro possui 80 anos, então ele foi vacinado contra a gripe" é

dada por:

A) Pedro possui 80 anos, mas ele não foi vacinado contra a gripe.

B) Se Pedro não foi vacinado contra a gripe, então ele não possui 80 anos.

C) Pedro não possui 80 anos ou ele foi vacinado contra a gripe.

D) Se Pedro não possui 80 anos, então ele não foi vacinado contra a gripe.

E) Pedro não foi vacinado contra a gripe ou ele possui 80 anos.

14. Considere que a proposição Pé dada por "William é jornalista" e que a proposição Q é dada por

"Sandra é repórter''. Sabendo que a proposição composta "Se Sandra é repórter, então William é

jornalista" é uma proposição de valor lógico falso, é correto afirmar que:

A) A proposição P é verdadeira e a proposição Q é verdadeira.

B) A proposição P é verdadeira e a proposição Q é falsa.

C) A proposição P é falsa e a proposição Q é verdadeira.

D) A proposição P é falsa e a proposição Q é falsa.

E) A proposição P é verdadeira ou a proposição Q é falsa.

15. Sobre João, sabe-se que ele tem 20 anos e não gosta de futebol. Neste contexto, analise as

proposições compostas abaixo quanto ao seu valor lógico "V" corresponde ao valor lógico verdadeiro;

"F" corresponde ao valor lógico falso.

l -João tem 22 anos ou não gosta de futebol.

ll -João não tem 18 anos, mas gosta de futebol.

lll -Se João tem 20 anos, então ele gosta de futebol.

É correto afirmar que os valores lógicos respectivos destas proposições são apresentados na sequência:

A) V-V-V

B) V-F-F

C) V-F-V

D) F-V-V

E) F-F-F

16. Sobre os amigos Diego, Eduardo e Felipe, sabe-se que cada um deles nasceu em uma cidade

diferente e possui uma profissão diferente dos demais. Entre as cidades natais deles estão: Novo

Hamburgo, Campo Bom e São Leopoldo. Além disto, entre suas profissões estão: médico, engenheiro e

professor.

Neste contexto, leia as seguintes proposições FALSAS sobre eles:

- Quem nasceu em Campo Bom é professor ou é engenheiro.

- Se Diego é engenheiro, então ele nasceu em São Leopoldo.

- Felipe não é professor.

De acordo com estas informações e a teoria lógica, é verdade que:


79

0

A) Felipe é engenheiro e nasceu em Novo Hamburgo.

B) Eduardo é professor e nasceu em São Leopoldo.

C) Felipe é professor e nasceu em Novo Hamburgo.

D) Diego é médico e nasceu em Novo Hamburgo.

E) Eduardo é médico e nasceu em Campo Bom.

17. Sabe-se que todos os taxistas são motoristas e, além disto, alguns taxistas possuem mais de 30 anos.

Logo, decorre logicamente que:

A) Não existem motoristas com mais de 30 anos.

B) Todos os motoristas possuem mais de 30 anos.

C) Não existem motoristas com menos de 30 anos.

D) Existem motoristas com mais de 30 anos.

E) Existem taxistas que não são motoristas.

18. A negação da proposição lógica "Lúcia não é professora e Pedro é técnico em enfermagem" é dada

pela proposição composta:

A) Lúcia é professora e Pedro não é técnico em enfermagem.

B) Lúcia é técnica em enfermagem e Pedro é professor.

C) Lúcia é professora ou Pedro é técnico em enfermagem.

D) Lúcia não é professora ou Pedro é técnico em enfermagem.

E) Lúcia é professora ou Pedro não é técnico em enfermagem.

19. Sobre as profissões de Ana, Beatriz, Carlos e Diego, é possível afirmar as seguintes proposições

verdadeiras:

l - Se Diego é enfermeiro, então Ana é dentista.

ll - Se Beatriz não é dentista, então Carlos é motorista.

lll - Ana e Beatriz não possuem a mesma profissão.

IV-Carlos não é motorista.

Com base nas informações acima, é correto afirmar que:

A) Beatriz não é dentista.

B) Ana é dentista.

C) Diego é enfermeiro.

D) Diego não é enfermeiro e Ana não é dentista.

E) Beatriz é dentista e Diego é enfermeiro.

20. Artur, Beto e Carlos são amigos e possuem profissões diferentes. Sabe-se que um deles é gaúcho,

outro é baiano e o outro é paranaense. Entre as profissões destes três amigos estão: cantor, médico e

professor. Além disso, sobre Artur, Beto e Carlos é verdade que:

Quem é professor não nasceu no Rio Grande do Sul.

Carlos não nasceu no Paraná e não é médico.

Artur nasceu na Bahia, mas não é professor.

Neste contexto, é correto afirmar que:


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0

A) Carlos nasceu na Bahia.

B) Artur é médico.

C) Carlos é professor.

D) Beto é gaúcho.

E) Beto é cantor.

21. Segundo a teoria da lógica, a negação da proposição "alguns motoristas não respeitam as leis de

trânsito" é:

A) Existem motoristas que não respeitam as leis de trânsito.

B) Todos os motoristas respeitam as leis de trânsito.

C) Nenhum motorista respeita as leis de trânsito

D) Todos os motoristas não respeitam as leis de trânsito.

E) Nem todos os motoristas respeitam as leis de trânsito.

22. A negação da proposição "Arthur comprou um carro, mas João não anda de bicicleta" é:

A) Arthur não comprou um carro ou João anda de bicicleta.

B) Se Arthur não comprou um carro, então João anda de bicicleta.

C) Arthur comprou um carro ou João não anda de bicicleta.

D) Arthur não comprou um carro e João anda de bicicleta.

E) Arthur comprou um carro e João anda de bicicleta.

23. Sabendo que "todo problema complexo é um problema interessante" e "alguns problemas

interessantes são fáceis de resolver", então se pode afirmar logicamente que:

A) Todo problema fácil de resolver é um problema complexo.

B) Todo problema complexo é fácil de resolver.

C) Existem problemas que são fáceis de resolver, mas que não são complexos.

D) Alguns problemas fáceis de resolver são interessantes.

E) Alguns problemas complexos são fáceis de resolver.

24. Três amigos, João, Paula e Carlos, decidem medir e compara as suas alturas. Após realizarem as

medições, cada um dos três amigos faz uma afirmação, conforme abaixo:

João:"-A minha altura é igual a 1,70m e sou o mais baixo entre nós três".

Paula: "-A minha altura é igual a 1,75m e não sou a mais alta entre nós três".

Carlos: "-A minha altura é igual a 1,60m e não sou o mais baixo entre nós três".

Sabe-se que apenas um dos três amigos mentiu. Logo é possível afirmar sobre a altura e afirmações de

João, Paula e Carlos que:

A) João mentiu e Paula é a mais alta.

B) Paula mentiu e Paula é a mais alta.

C) Paula mentiu e João é o mais alto.

D) Carlos mentiu e João é o mais alto.

E) Carlos mentiu e Carlos é o mais alto.


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25. Sabendo que "todo gaúcho gosta de churrasco" e "algumas pessoas que gostam de churrasco

também gostam de lasanha", decorre logicamente destas proposições que:

A) todo gaúcho gosta de lasanha.

B) todos que gostam de churrasco são gaúchos.

C) existe quem goste de lasanha e não é gaúcho.

D) existe quem goste de lasanha e de churrasco.

E) não existe gaúcho que goste de lasanha.

26. Sobre a negação de proposições lógicas, analise as afirmações abaixo.

l -A negação da proposição simples "x é um número maior que 5" é "x é um número menor que

5".

ll -A negação da proposição composta "Carlos sabe nadar e Maria sabe andar de bicicleta" é

"Carlos não sabe nadar e Maria não sabe andar de bicicleta".

lll -A negação da proposição composta "todos os alunos falam inglês ou espanhol, mas não

sabem matemática" é "existe pelo menos um aluno que não fala inglês nem espanhol ou sabe

matemática".


A) Apenas a l.

B) Apenas a ll.

C) Apenas a lll.

D) Apenas l e lll.

E) Apenas ll e lll.

27. Considerando a proposição Todos os gaúchos já leram o livro "O Continente", a negação lógica desta

proposição é:

A) Nenhum gaúcho leu o livro "O Continente".

B) Existe pelo menos um gaúcho que não leu o livro "O Continente".

C) Todos os gaúchos não leram o livro "O Continente".

D) Existe pelo menos um gaúcho que leu o livro "O Continente".

E) Alguns gaúchos leram o livro "O Continente".

28. A proposição "se Carlos foi nadar, então hoje não é sexta-feira" é, logicamente, equivalente a:

A) Se Carlos não foi nadar, então hoje é sexta-feira.

B) Se Carlos foi nadar, então hoje é sexta-feira.

C) Carlos foi nadar e hoje não é sexta-feira.

D) Se hoje não é sexta-feira, então Carlos foi nadar.

E) Se hoje é sexta-feira, então Carlos não foi nadar.

29. A negação da proposição composta "todos Astrix falam mandarim ou turco" está expressa na

alternativa:

A) Nenhum Astrix fala mandarim ou turco.

B) Existe pelo menos um Astrix que não fala mandarim ou turco.

C) Nenhum Astrix fala mandarim e turco.

D) Existe pelo menos um Astrix que não fala mandarim nem turco.

E) Todos Astrix não falam mandarim ou turco.


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0

30. A negação lógica da proposição composta "Garfield é um gato e Bolt é um cão" é:

A) Garfield não é um gato e Bolt não é um cão.

B) Garfield não é um gato ou Bolt não é um cão.

C) Garfield é um cão e Bolt é um gato.

D) Garfield é um cão ou Bolt é um gato.

E) Garfield e Bolt não são cães nem gatos.

31. A negação da proposição composta "Pedro mora em Canoas, mas Maria mora em Porto Alegre" é:

A) Pedro não mora em Canoas, mas Maria mora em Porto Alegre.

B) Pedro e Maria não moram em Canoas.

C) Se Pedro mora em Canoas, então Maria não mora em Porto Alegre.

D) Se Maria mora em Porto Alegre, então Pedro mora em Canoas.

E) Pedro não mora em Canoas ou Maria mora em Porto Alegre.

32. Sabe-se que é verdade que todos os Alfas são Betas e alguns Betas são Sigmas. Então, é correto e

lógico afirmar que:

A) Alguns Altas são Sigmas.

B) Alguns Sigmas são Altas.

C) Alguns Betas são Alfas.

D) Todos os Sigmas são Betas.

E) Todos os Betas são Alfas.

33. Admita que a proposição "Carolina é guarda municipal" é verdadeira e a proposição "Pedro mora em

Canoas" é falsa. Analise as proposições compostas abaixo.

l - Se Pedro mora em Canoas, então Carolina é guarda municipal.

ll - Carolina é guarda municipal e Pedro mora em Canoas.

lll - Carolina não é guarda municipal ou Pedro não mora em Canoas.

Das proposições compostas acima, qual(is) possui(em) valor lógico verdadeiro?

A) Apenas a l.

B) Apenas a ll.

C) Apenas a lll.

D) Apenas l e lll.

E) Apenas ll e lll.

34. Sabendo que toda criança gosta de Natal e que algumas crianças acreditam em Papai Noel, decorre

logicamente desta afirmação que:

A) Existem adultos que gostam de Papai Noel.

B) Todos que acreditam em Papai Noel são crianças.

C) Todos que acreditam em Papai Noel gostam de Natal.

D) Existe quem acredita em Papai Noel e gosta de Natal.

E) Existe criança que não acredita em Papai Noel.


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35. Considere a proposição composta: "João não é alto e Carlos é professor''. A negação desta

proposição pode ser escrita como:

A) João não é alto ou Carlos não é professor.

B) João é alto e Carlos não é professor.

C) Se João não é alto, então Carlos não é professor.

D) Se João é alto, então Carlos não é professor.

E) João não é alto e Carlos não é professor.


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0

MATEMÁTICA BÁSICA

01. E

02. C

03. C

04. D

05. D

06. E

07. B

08. A

09. C

10. A

11. D

12. B

13. D

14. C

15. C

16. D

17. E

18. A

19. C

20. E

21. C

22. D

23. E

24. C

25. D

26. E

27. B

28. D

29. C

30. A

31. C

32. B

33. A

34. B

35. C

36. C

37. E

38. E

39. B

40. C

41. C

42. C

43. E

44. A

45. D

46. E

47. B

48. C

49. D

50. E

ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE

01. A

02. E

03. C

04. B

05. C

06. C

07. D

08. A

09. B

10. D

11. E

12. D

13. A

14. A

15. D

16. C

17. E

18. A

19. A

20. A

21. B

22. C

23. C

24. E

25. B

MATEMÁTICA FINANCEIRA

01. D

02. D

03. D

04. A

05. D

06. C

07. D

08. D

09. C

10. B

11. A

12. A

13. B

14. B

15. A

ESTATÍSTICA

01. C

02. E

03. D

04. A

05. C

06. B

07. D

08. C

09. E

10. E

11. D

12. D

13. C

14. D

15. C

RACIOCÍNIO LÓGICO

01. A

02. B

03. E

04. D

05. B

06. C

07. C

08. B

09. E

10. D

11. B

12. C

13. A

14. C

15. B

16. E

17. D

18. E

19. D

20. B

21. B

22. A

23. D

24. E

25. A

26. C

27. B

28. E

29. D

30. B

31. C

32. C

33. D

34. D

35. C

GABARITOS


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raciocÍnio lÓgico - andresan · 1 raciocÍnio lÓgico jorge bart. intensivo susepe/rs 2 . ......

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