raciocinio logico

É proibida a reprodução total ou parcial desta obra com base na Lei nº 9.610/98. A violação de direitos autorias constitui crime de acordo com o que determina o art. 184 do Código Penal.

CapaMassapê Comunicação

DiagramaçãoClaudio Braghini Jr.

Coordenação de ProduçãoIvana Bradley e Paulo Sette

Produção e RevisãoCláudia Merquior

LocuçãoWemmerson SeixasLina Fernandes

Operação de ÁudioAdmilson Rufino da Silva

AgradecimentosProfessor Pedro Bello

ISBN 978859930326-9

Todos os direitos reservados aSette Informações Educacionais LtdaCNPJ: 05.729.886/0001-22E–mail: [email protected]: www.audiojus.com.br

Sumário

Saudações!............................................................5

Capítulo.1./.Apresentação....................................7

Capítulo.2./.Conectivos.Lógicos.........................10

Capítulo.3./.Tautologia,.Contradição.e.Equivalência.Lógica............................................16

Capítulo.4./.Lógica.da.Argumentação................19

Capítulo.5./.Argumentos.Dedutivos.e.Indutivos.. 23

Capítulo.6./.Falácias...........................................27

Capítulo.7./.Estrutura.das.Proposições...............32

Capítulo.8./.Silogismo.......................................36

Capítulo.9./.Distribuição...................................40

Capítulo.10./.Regras.de.Validade.de.um..Silogismo...........................................................46

Capítulo.11./.Exemplos.de.Aplicação.das..Regras.do.Silogismo...........................................49

Capítulo.12./.Diagramas.Lógicos.......................56

Capítulo.13./.Apêndice.Matemático...................72

Capítulo.14./Questões.Resolvidas....................105

Questões.de.Concursos....................................110

Gabarito...........................................................119

Apresentação./.7

Capítulo.1./.Apresentação

Embora.existam.vários.significados.atribuídos.à.palavra.“Lógica”,.cabe.neste.material.preparatório.para.concursos.uma.definição.simples.e.direta..Segundo.o.professor.Irving.Copi,.a.lógica.é.uma.ciência.do.raciocínio,.que.nos.oferece.métodos.e.procedimentos.para.distinguir.os.argumentos.válidos.(logicamente.corretos).dos.não-válidos.(logicamente.incorretos).. A. lógica. trata,. basicamente,. da. correção. do.raciocínio,. procurando.nos. ensinar. a. organizar. o.pensa-mento..Essa.ciência,.porém,.está.focada.no.aspecto.formal.de.um.raciocínio.ou.argumento,.deixando.o.conteúdo.em.segundo.plano..Desta.forma,.a.lógica.estuda.a.estrutura.do.pensamento,.procurando.compreender.os.tipos.de.relações.formais.que.podem.existir.entre.as.proposições..A proposi-ção.é.uma.afirmação.que.pode.ser.verdadeira.ou.falsa..Em-bora.toda.proposição.seja.uma.frase,.nem.toda.frase.é.uma.proposição..Uma.frase.é.uma.proposição.apenas.quando.aceita.um.dos.dois.valores.lógicos:.falso.ou.verdadeiro.

Exemplos.de.frases.que.não.são.proposições:

Cuidado!.Quer.um.biscoito?.Não.sei.se.irei.à.festa.de.hoje.

8./.Raciocínio.Lógico

Exemplo.de.frases.que.são.proposições:

Nova.Iorque.é.a.capital.dos.Estados.Unidos..(Falso)A.lua.é.o.único.satélite.da.Terra..(Verdadeiro).A.Biologia.é.uma.ciência..(Verdadeiro).

Cálculo.Proposicional

Proposição.simples.ou.atômica.é.aquela.que.apresenta.uma.única.idéia.

Exemplos:

Maria.é.gorda.A.Terra.é.redonda.7.é.um.número.primo.

Proposição. composta.ou.molecular é. aquela. formada.pela.combinação.de.duas.ou.mais.proposições.

Exemplos:

Maria.é.gorda.ou.a.casa.é.amarela.Joaquim.é.casado.e.Joaquim.é.alto.

Princípios

A.Lógica.segue.alguns.princípios.básicos..Os.mais.im-portantes.são:

Apresentação./.9

Princípio da Não-contradição:Uma.proposição.não.pode.ser.ao.mesmo.tempo.falsa.e.

verdadeira.

Princípio do Terceiro Excluído:Toda.proposição.é.verdadeira.ou.falsa,.não.existe.uma.

terceira.opção.

Princípio da Funcionalidade:O.valor.lógico,.verdadeiro.ou.falso,.de.uma.proposição.

composta.é.determinado.exclusivamente.pelos.valores.ló-gicos.das.proposições.que.a.formam...

Assim,.aplicando.estes.princípios,.temos.que:“O.município.de.Bauru.fica.em.São.Paulo”.é.uma.pro-

posição.verdadeira.“O.Botafogo.é.um.time.de.futebol”.é.uma.proposição.

verdadeira.“A.Câmara.Municipal.pertence.ao.Poder.Executivo”.é.

uma.proposição.falsa.


Capítulo.2./.Conectivos.Lógicos

Como. você. já. aprendeu,. as. proposições. podem. ser.combinadas.entre.si..Para.representar.essas.combinações,.usaremos.os.conectivos.lógicos..Cada.conectivo.possui.um.símbolo..São.eles:

NegaçãoExemplo:.a:.João.é.advogado.

....................Exemplo.de.negação.de.a.(~a):.João.não.é.advogado.

Símbolo: ~

Conjunção.(a e b)Exemplo.de.conjunção.de.a.e.b.(a^b):.João.

é.advogado.e.7.é.primo.Símbolo: ^

Disjunção.(a.ou.b)Exemplo.de.disjunção.de.a.e.b.(a b):.João.é.

advogado.ou.7.é.primo.Símbolo:

Disjunção exclusiva.(ou.a.ou.b)Exemplo.de.disjunção.exclusiva.de.a.e.b.

(a b):.Ou.João.é.advogado.ou.7.é.primo.Símbolo:

Implicação.(se.a, então.b)Exemplo.de.implicação.de.a.sobre.b.(a b):.

Se.João.é.advogado,.então.7.é.primo. Símbolo:

Bi-implicação.(a.se,.e.somente.se,.b)Exemplo.de.bi-implicação.de.a.sobre.b.

(a(a b):.João.é.advogado.se,.e.somente.se,.7.é.primo.

Símbolo:

Conectivos.Lógicos./.11

Tabelas-Verdade

Veja.agora.todos.os.valores.possíveis.nas.proposições.compos-tas.de.acordo.com.as.proposições.simples.que.as.compõem..

Tabela-verdade.da.NegaçãoExemplo:

A.negação.da.proposição.“Joana.é.professora”.é.“Joana.não.é.professora”.

A. tabela-verdade.da.negação. representa. a.negação.de.uma.proposição..Assim,.se.uma.proposição.é.verdadeira,.sua.negação.é.falsa.e.vice-versa.

Desta.forma,.na.tabela-verdade.da.negação:Quando.a.é.verdadeiro,.a.negação.de.a.é.falsa.Quando.a.é.falso,.a.negação.de.a.é.verdadeira.

a Negação de a (~a):V FF V

Tabela-verdade.da.ConjunçãoExemplo.de.conjunção:

Joana.é.professora.e.2.é.um.número.par.

A.conjunção.é.verdadeira.se,.e.somente.se,.as.proposições.simples.que.a.formam.são.verdadeiras.


Assim,.na.tabela-verdade.da.conjunção:Quando.a.é.verdadeiro.e.b.é.verdadeiro,.a.conjunção.de.

a.e.b.é.verdadeira.Quando.a.é.verdadeiro.e.b.é.falso,.a.conjunção.de.a.e.

b.é.falsa.Quando.a.é.falso.e.b.é.verdadeiro,.a.conjunção.de.a.e.

b.é.falsa.Quando.a.é.falso.e.b.é.falso,.a.conjunção.de.a.e.b.

é.falsa.

a b Conjunção de a e b (a^b):

V V VV F FF V FF F F

Tabela-verdade.da.DisjunçãoExemplo.de.disjunção:

Joana.é.professora.ou.2.é.um.número.par.

A.disjunção.é.verdadeira.se,.e.somente,.pelo.menos.uma.de.suas.partes.for.verdade.

Assim,.na.tabela-verdade.da.disjunção:Quando.a.é.verdadeiro.e.b.é.verdadeiro,.a.disjunção.de.

a.e.b.é.verdadeira.Quando.a.é.verdadeiro.e.b.é.falso,.a.disjunção.de.a.e.b.

é.verdadeira.


Quando.a.é.falso.e.b.é.verdadeiro,.a.disjunção.de.a.e.b.é.verdadeira.

Quando.a.é.falso.e.b.é.falso,.a.disjunção.de.a.e.b.é.falsa.

a b Disjunção de a e b (a b):

V V VV F VF V VF F F

Tabela-verdade.da.Disjunção.ExclusivaExemplo.de.disjunção.exclusiva:

Ou.Joana.é.professora.ou.2.é.um.número.par.

A.disjunção.exclusiva.só.é.verdadeira.se.apenas.uma.de.suas.partes.for.verdade.

Assim,.na.tabela-verdade.da.disjunção.exclusiva:Quando.a.é.verdadeiro.e.b.é.verdadeiro,.a.disjunção.de.

a.e.b.é.falsa.Quando.a.é.verdadeiro.e.b.é.falso,.a.disjunção.de.a.e.b.

é.verdadeira.Quando.a.é.falso.e.b.é.verdadeiro,.a.disjunção.de.a.e.b.

é.verdadeira.Quando.a.é.falso.e.b.é.falso,.a.disjunção.de.a.e.b.é.falsa.

a b Disjunção exclusiva de a e b (a b)

V V FV F VF V VF F F


ATENção:.É.importante.observar.que.o.co-nectivo.lógico.“ou”.pode.ter.dois.sentidos:.inclusivo.(disjunção).e.exclusivo.(disjunção.exclusiva)..En-quanto.a.disjunção.é.verdadeira.se.ao.menos.uma.das.partes.que.a.compõem.for.verdade,.a.disjunção.exclusiva.só.é.verdadeira.se.apenas.uma.das.partes.que.a.formam.for.verdade.

Tabela-verdade.da.ImplicaçãoExemplo.de.implicação:

Se.Joana.é.professora,.então.2.é.um.número.par.

ATENção:.Também.é.comum.que.se.utilize.a.estrutura.“quando.A,.B”.para.substituir.a.estrutura.“se.A.então.B”..Assim,.dizer.“quando.tenho.sono,.durmo”.é.o.mesmo.que.dizer.“se.estou.com.fome,.então.eu.como”.

Uma.implicação.é.falsa.se,.e.somente.se,.o.antecedente.é.verdadeiro.e.o.conseqüente.é.falso..

Assim,.na.tabela-verdade.da.implicação:Quando.a.é.verdadeiro.e.b.é.verdadeiro,.a.implicação.

de.a.sobre.b.é.verdadeira.Quando.a.é.verdadeiro.e.b.é. falso,.a. implicação.de.a.

sobre.b.é.falsa.Quando.a.é. falso.e.b.é.verdadeiro,.a. implicação.de.a.

sobre.b.é.verdadeira.


Quando.a.é.falso.e.b.é.falso,.a.implicação.de.a.sobre.b.é.verdadeira.

a b Implicação de a sobre b (a b)

V V VV F FF V VF F V

Tabela-verdade.da.Bi-implicaçãoExemplo.de.bi-implicação:

Joana.é.professora.se,.e.somente.se,.o.número.2.é.par.

A.bi-implicação.é.verdadeira.se,.e.somente.se,.seus.com-ponentes.são.ambos.verdadeiros.ou.ambos.falsos.

Assim,.na.tabela-verdade.da.bi-implicação:Quando.a.é.verdadeiro.e.b.é.verdadeiro,.a.bi-implicação.

de.a.sobre.b.é.verdadeira.Quando.a.é.verdadeiro.e.b.é.falso,.a.bi-implicação.de.a.

sobre.b.é.falsa.Quando.a.é.falso.e.b.é.verdadeiro,.a.bi-implicação.de.a.

sobre.b.é.falsa.Quando.a.é.falso.e.b.é.falso,.a.bi-implicação.de.a.sobre.

b.é.verdadeira.

a b Bi-implicaçã de a sobre b (asobre b (a b)

V V VV F FF V FF F V


Capítulo.3./.Tautologia,.Contradição.e.Equivalência.Lógica

Tautologia

Uma. proposição. é. chamada. de. tautologia. quando. o.resultado.de.todas.as.proposições.que.a.formam.for.verda-deiro..A.tautologia.é,.portanto,.uma.proposição.composta.que.tem.valor.lógico.verdadeiro,.independentemente.dos.valores.lógicos.dos.termos.que.a.formam..Afinal,.como.você.verá.nos.exemplos.a.seguir,.dizer.que.uma.proposição.ou.é.verdadeira.ou.é.falsa.é.sempre.verdadeiro..Concluímos,.assim,.que.a.tautologia.é.sempre.verdadeira.

Exemplos.de.tautologia:

Se.Maria.é.gorda,.então,.Maria.é.gorda.ou.Joana.é.alta.Ou.Mozart.era.compositor.ou.Mozart.não.era.compositor.

Contradição

Uma.proposição.composta.é.chamada.de.contradição.quando.tem.sempre.valor.falso,.independentemente.dos.ter-mos.que.a.formam..A.contradição.é,.portanto,.a.proposição.

Tautologia,.Contradição.e.Equivalência.Lógica./.17

composta.que.é.falsa.independentemente.do.valor.lógico.das.proposições.simples.que.a.compõem..Concluímos.assim.que.a.contradição.é.sempre.falsa..Depois.dessas.explicações,.você.já.deve.ter.percebido.que.a.contradição.é.o.inverso.da.tautologia..Como.uma.tautologia.é.sempre.verdadeira,.a.negação.de.uma.tautologia.é.sempre.falsa,.ou.seja,.é.uma.contradição,.e.vice-versa.

Exemplo.de.contradição:

Se.Maria.não.é.gorda,.então.Maria.é.gorda.e.Joana.é.alta.

Como.visto.no.exemplo,.uma.proposição.que.pode.ser.ao.mesmo.tempo.verdadeira.e.falsa.é,.na.verdade,.sempre.falsa.

Equivalência.Lógica

Quando.duas.proposições.compostas.possuem.a.mesma.tabela.verdade,.elas.são.equivalentes.

Exemplo.de.proposições.equivalentes:

Alguns.felinos.são.animais.domésticos.Pelo.menos.um.felino.não.é.animal.doméstico.

A.implicação.(se.A,.então.B).é.equivalente.à.negação.da.disjunção.(A.ou.B),.pois.ambas.têm.a.mesma.tabela-verdade.


Quando.a.é.verdadeiro.e.b.é.verdadeiro,.a.implicação.de.a.sobre.b.é.verdadeira.e.a.negação.da.disjunção.de.a.sobre.b.também.é.verdadeira.

Quando.a.é.verdadeiro.e.b.é. falso,.a. implicação.de.a.sobre.b.é.falsa.e.a.negação.da.disjunção.de.a.sobre.b.tam-bém.é.falsa.

Quando.a.é. falso.e.b.é.verdadeiro,.a. implicação.de.a.sobre.b.é.verdadeira.e.a.negação.da.disjunção.de.a.sobre.b.também.é.verdadeira.

Quando.a.é.falso.e.b.é.falso,.a.implicação.de.a.sobre.b.é.verdadeira.e.a.negação.da.disjunção.de.a.sobre.b.também.é.verdadeira.

a b a b ~a bV V V VV F F FF V V VF F V V

Lógica.da.Argumentação./.19

Capítulo.4./.Lógica.da.Argumentação

Argumento é.um.conjunto.de.proposições.que.têm.como.conseqüência.outra.proposição..Conforme.explicamos.an-teriormente,.uma.proposição.pode.ser.verdadeira.ou.falsa..No.caso.dos.argumentos,.porém,.diremos.que.ele.é.válido.ou.não–válido,.dependendo.apenas.da.lógica.de.suas.pro-posições.e.não.do.conteúdo.delas..As.proposições.iniciais.do. argumento. são. chamadas. de. premissas. ou. hipóteses,.enquanto.a.proposição.final.recebe.o.nome.de.conclusão.ou.tese.do.argumento..

Exemplo.de.argumento:

Premissa.1:.Todos.os.atletas.são.magros.Premissa. 2:. Nenhuma. pessoa. magra. tem. problema.

de.saúde.Conclusão:. .Os.atletas.não.têm.problema.de.saúde.

As.premissas,. por. sua. vez,. formam.o. antecedente.do.raciocínio,. enquanto. a. conclusão. forma. o. conseqüente..Quando.as.premissas.são.verdadeiras,.o.argumento.segue.


um.processo.chamado.inferência,.que.é.o.encadeamento.lógico.que.nos.permite.passar.das.premissas,.ou.seja,.do.antecedente,.à.conclusão.

Outros.exemplos.de.argumento:

Argumento. com. premissas. verdadeiras. e. conclusão.verdadeira:

Premissa.1:.Se. eu. tirar.uma.boa.nota.na.prova,. serei.aprovada..(Verdadeira)

Premissa.2:.Tirei.uma.boa.nota.na.prova..(Verdadeira)Conclusão:. .Serei.aprovada..(Verdadeira)

Argumento.com.algumas.ou.todas.as.premissas.falsas.e.uma.conclusão.verdadeira:

Premissa.1:.Todos.os.peixes.têm.asas..(Falsa)Premissa.2:Todos.os.pássaros.são.peixes..(Falsa)Conclusão:. .Todos.os.pássaros.têm.asas..(Verdadeira)

Argumento.com.algumas.ou.todas.as.premissas.falsas.e.uma.conclusão.falsa:

Premissa.1:.Todos.os.peixes.têm.asas..(Falsa)Premissa.2:.Todos.os.cães.são.peixes..(Falsa)Conclusão:. .Todos.os.cães.têm.asas..(Falsa)

Lógica.da.Argumentação./.21

ATENção:.Normalmente,.representamos.os.argumentos.escrevendo.as.premissas.em.linhas.se-paradas.e.separando-as.da.conclusão.por.uma.barra.horizontal..Vale.destacar,.ainda,.que,.logo.antes.da.conclusão,.são.colocados.três.pontos..

Validade.de.um.Argumento

Enquanto.uma.proposição.pode.ser.classificada.em.ver-dadeira.ou.falsa,.um.argumento.deve.ser.considerado.válido.ou.não-válido..Afinal,.no.que.diz.respeito.ao.argumento,.o.objetivo.da.lógica.é.verificar.se.a.conclusão.é.ou.não.uma.conseqüência.lógica.de.suas.premissas,.e.é.isso.que.irá.de-terminar.se.um.argumento.é.válido.ou.não.

Um.argumento.é.válido.se,.e.somente.se,.tem.conclusão.verdadeira. sempre.que.suas.premissas. forem.verdadeiras..Todos.os. argumentos. citados.aqui. até. agora. são.válidos,.já.que.todos.teriam.conclusões.verdadeiras.caso.tivessem.premissas.verdadeiras.

Assim,.podemos.dizer.que.um.argumento.é.válido.se,.quando.todas.as.suas.premissas.forem.verdadeiras,.sua.con-clusão.também.for.verdadeira..Da.mesma.forma,.diremos.que.um.argumento.é.não-válido.se,.a.partir.de.premissas.verdadeiras,.chegarmos.a.uma.conclusão.falsa.


Veja.no.próximo.exemplo.como.a.validade.de.um.argu-mento.depende.apenas.da.sua.estrutura:

Todos.os.A.são.B.Todos.os.C.são.A.

.Todos.os.C.são.B.

Perceba.que.não.é.preciso.ter.nenhum.conhecimento.maior. sobre.um.assunto.para.concluir.que.o.argumento.deste.exemplo.é.válido..Logo,.a.validade.de.um.argumento.é.conseqüência.de.sua.forma.e.não.depende.do.conteúdo.das.premissas.e.da.conclusão..A.noção.de.validade,.porém,.só.é.usada.nos.argumentos.dedutivos.

Argumentos.Dedutivos.e.Indutivos./.23

Capítulo.5./.Argumentos.Dedutivos.e.Indutivos

Os.argumentos.podem.ser.dedutivos.ou.indutivos..Um.argumento. será. dedutivo. quando. sua. conclusão. resultar.inteiramente.das.premissas..Isso.quer.dizer.que,.nos.argu-mentos.dedutivos,.a.conclusão.não.diz.nada.além.do.que.já.foi.dito.nas.premissas,.procurando.apenas.tornar.mais.claras.as.informações.transmitidas.pelas.premissas.

Exemplo:

Toda.criança.tem.mãe.Toda.criança.é.um.ser.humano.

.Todo.ser.humano.tem.mãe.

Um. argumento. é. considerado. indutivo. quando. tem.uma.conclusão.que.não.é.totalmente.baseada.em.suas.pre-missas,.ou.seja,.que.ultrapassa.o.conteúdo.das.premissas....Assim,.os.argumentos.indutivos.são.aqueles.que.chegam.a.uma.conclusão.que.tem.grande.probabilidade.de.ser.verda-deira,.mas.que.não.pode.ser.confirmada.apenas.com.base.


nas.informações.passadas.nas.premissas..Aqui,.portanto,.a.conclusão.não.é.necessariamente.verdadeira.

Exemplo:

A.França.faz.parte.da.União.Européia.A.Alemanha.faz.parte.da.União.Européia.

.Todos. os. países. da. Europa. fazem. parte. da. União.Européia.

Como.nos.argumentos.indutivos.a.conclusão.tem.infor-mações.que.ultrapassam.os.dados.trazidos.pelas.premissas,.o.conceito.de.argumento.válido.ou.não-válido.não.pode.ser.aplicado..No.caso.do.argumento.indutivo,.não.é.possível.ter.certeza.de.que.a.conclusão.deriva.das.premissas,.o.que.inviabiliza.a.classificação.em.válido.ou.não-válido..Afinal,.a.noção.de.validez.não.tem.meio.termo.–.um.argumento.pode.apenas.ser.válido.ou.não-válido.

Argumentos.Dedutivos.Válidos

Como. já. aprendemos,. os. conceitos. de. válido. e. não-válido.são.aplicados.apenas.aos.argumentos.dedutivos,.ou.seja,.àqueles.em.que.todo.o.conteúdo.da.conclusão.já.estava.nas.premissas..Se.as.premissas. forem.verdadeiras.em.um.argumento.dedutivo.válido,.portanto,.a.conclusão.também.será.verdadeira.

Argumentos.Dedutivos.e.Indutivos./.25

Desta. forma,. um. argumento. dedutivo. válido. deve.ter. premissas. e. conclusão. verdadeiras.. Veremos. nos.exemplos. a. seguir. os. tipos. principais. de. argumentos.dedutivos.válidos:

- Afirmação do Antecedente

Nesse. tipo.de. argumento,. a.possibilidade.prevista.na.primeira.proposição.se.confirma.

Exemplo:

Se.eu.passar.no.concurso,.vou.pedir.demissão.do.meu.emprego.

Fui.aprovada.no.concurso..Vou.pedir.demissão.do.meu.emprego.

-.Negação do Conseqüente

Em.argumentos.como.esse,.a.possibilidade.prevista.na.primeira.proposição.não.acontece.

Exemplo:

Se.eu.for.uma.boa.funcionária,.então.serei.promovida.Não.sou.uma.boa.funcionária.

.Não.serei.promovida.


- Dilema

Normalmente,.esse.argumento.apresenta.uma.situação.em.que.alguém.é.obrigado.a.escolher.entre.duas.alternativas.indesejáveis.

Se. Maria. for. aprovada. no. concurso,. terá. que. morar.longe.da.família.

Se. Maria. não. for. aprovada. no. concurso,. continuará.desempregada.

.Ou.Maria.terá.que.morar.longe.da.família.ou.conti-nuará.desempregada.

Argumentos.Dedutivos.Não-válidos

Os. argumentos. dedutivos. não-válidos,. são. aqueles.que.combinam.a verdade.e.a.falsidade.das.premissas.e.da.conclusão. de. forma. arbitrária,. indiscriminada.. Isso. que.dizer. que. um. argumento. não-válido. pode. ter. premissas.verdadeiras.e.conclusão.também.verdadeira..Afinal,.o.fato.de.as.premissas.e.a.conclusão.serem.verdadeiras.não.signi-fica.que.a.conclusão.a.que.se.chegou.seja.de.fato.baseada.nas.premissas.do.argumento..Um.argumento.não-válido.é.chamado.de.falácia

Falácias./.27

Capítulo.6./.Falácias

Em.nosso.cotidiano,.muitas.vezes.o. termo.“falácia”.é.usado.para.se.referir.a.crenças.erradas..No.universo.da.lógica,.porém,.esse.termo.é.usado.de.uma.forma.mais.específica,.significando.um.defeito.técnico.que.faz.um.argumento.ser.inválido..É.comum.que.as.falácias.sejam.confundidas.com.um.argumento.válido,.por.isso.é.preciso.muita.atenção.para.distinguir.umas.das.outras..Vejamos.algumas.das.falácias.mais.comuns:

Falácia.da.Afirmação.do.Conseqüente

Essa.falácia.é.um.argumento.da.forma.“A.implica.B,.B.é.verdade,.portanto.A.é.verdade”..

Assim,.nesse.caso,.ao.contrário.do.que.acontece.num.argumento.dedutivo.válido,.o.antecedente.é.concluído.a.partir.do.conseqüente,.o.que.resulta.em.falácia..

Exemplo:

Se.ele.me.ama,.então.ele.casa.comigo.Ele.casa.comigo.

.Ele.me.ama.


A.falácia.ocorre.porque.embora.tenhamos.que.“se.ele.me.ama,.casa.comigo”,.não.é.possível.concluir.que.“ele.me.ama”.apenas.a.partir.da.premissa.“ele.casa.comigo”..Como.não.podemos. ter.premissas.verdadeiras.e.conclusão. falsa.em.um.argumento.válido,.o.argumento.desse.exemplo.é.uma.falácia.

Falácia.da.Negação.do.Antecedente

Essa.falácia.é.um.argumento.da.forma.“A.implica.B,.A.é.falso,.portanto.B.é.falso”..Em.casos.como.esse,.o.problema.é.que.a.falsidade.do.antecedente.não.nos.permite.chegar.a.nenhuma.conclusão.sobre.o.conseqüente,.daí.esse.tipo.de.argumento.ser.uma.falácia...A.falácia.da.Negação.do.An-tecedente,.portanto,.é.o.contrário.da.falácia.de.Afirmação.do.Conseqüente,.que.acabamos.de.estudar.

Exemplo:

Se.Joana.engravidar,.irá.engordar.Joana.não.engravidou.

.Joana.não.irá.engordar.

Ora,.o.fato.de.Joana.não.ter.engravidado.não.significa.que.ela.está.livre.de.engordar..O.argumento.desse.exemplo,..é.uma.falácia,.já.que.apresenta.premissas.verdadeiras.e.con-clusão.falsa.

Falácias./.29

Falácia.da.Generalização.Arrasadora.ou.Falácia.do.Acidente

Na.generalização.arrasadora,.uma.regra.geral.é.apli-cada. a.uma. situação.particular. sem. respeitar. as. carac-terísticas. dessa. situação. particular.. É. um. erro. comum.quando.se.tenta.partir.do.geral.para.chegar.ao.específico..A.falácia.da.generalização.arrasadora.é.muito.cometida,.por.exemplo,.na.tentativa.de.chegar.a.conclusões.sobre.questões.morais.através.da.aplicação.pura.e.simples.de.uma.regra.geral.

Exemplo:

Norte-Americanos.normalmente.não.gostam.de.árabes.Você.é.norte-americano.

.Você.não.deve.gostar.de.árabes.

Falácia.da.Generalização.Apressada.ou.Falácia.do.Acidente.Inverso

Essa.falácia.é.o.contrário.da.Falácia.da.Generalização..Arrasadora.e.ocorre.quando.uma.regra.específica.é.aplicada.a.um.caso.genérico..É.a.criação.e.aplicação.de.uma.regra.geral.que.tem.como.base.apenas.alguns.poucos.casos,.que.não.são.representativos..


Exemplos:

Todo.político.é.corrupto.Você.é.político.

.Você.é.corrupto.

Falácia.de.Composição

Ocorre. quando. se. assume. que. uma. característica.presente. em. determinados. itens. individuais. é. também.compartilhada.por.uma.coleção.desses. itens..Outro. tipo.de.Falácia.de.Composição.ocorre.quando.a.propriedade.de.partes.de.um.objeto.é.considerada.uma.propriedade.do.objeto.como.um.todo.

Exemplos:

Um.carro.usa.menos.gasolina.que.um.ônibus.Um.carro.causa.menos.poluição.que.um.ônibus.

.Portanto,.carros.causam.menos.danos.ao.ambiente.do.que.ônibus.

Falácia.de.Divisão

É.o.oposto.da.Falácia.de.Composição..Ocorre.quando.se.considera.que.as.características.de.um.objeto.também.

Falácias./.31

devem.ser.aplicadas.às.suas.partes,.ou.que.uma.propriedade.presente.em.um.grupo.de.itens.é.compartilhada.por.cada.item.separadamente.

Você.mora.em.Ipanema.Ipanema.é.um.bairro.nobre.

.Portanto,.você.é.rico.


Capítulo.7./.Estrutura.das.Proposições

No. estudo. do. Raciocínio. Lógico,. as. proposições.universais. e. particulares. são. responsáveis. por. criar. as.relações. entre. os. argumentos.. Há. seis. tipos. de. argu-mentos,.que,.com.a.letra.“S”.representando.o.sujeito,.e. a. letra. “P”,. o. predicado,. podem. ser. resumidos. das.seguintes.formas:

Universal.Afirmativa:.Todo.S.é.P.

Universal.Negativa:.Nenhum.S.é.P.

Particular.Afirmativa:.Algum.Homem.é.mortal:.Algum.S.é.P.

Particular.Negativa:.Nenhum.Homem.é.mortal:.Algum.S.não.é.P.

Proposições.Universais.e.Particulares

Podemos.classificar.as.proposições.em.universais.ou.par-ticulares,.sendo.que.cada.uma.delas.pode.ser.afirmativa.ou.

Estrutura.das.Proposições./.33

negativa..Vamos.agora.conhecer.os.seis.tipos.de.proposições.mais.detalhadamente:

A.proposição.universal.é.aquela.em.que.o.predicado.se.refere.à.totalidade.do.conjunto,.ou.seja,.à.extensão.total.do.sujeito..Assim,.o.conceito.de.“universal”.inclui.absolutamen-te.todos.os.elementos.de.uma.categoria..Se.a.premissa.tem.como.sujeito.os.pássaros,.ela.abrange.todos.os.pássaros.de.qualquer.lugar.do.planeta.e.em.qualquer.tempo..Incluirá.os.pássaros.medievais,.os.atuais.e.até.mesmo.aqueles.que.ainda.não.nasceram.

Exemplos.de.proposição.universal:

Todo.livro.é.instrutivo.Toda.loura.é.burra.Nenhum.aluno.é.estudioso.

Também.é.uma.proposição.universal. aquela.que. tem.sujeito.unitário,.mas.que.representa.toda.uma.categoria.

Exemplos:

O.leão.é.mamífero.O.homem.é.mortal.

As.proposições.universais.afirmativas,.portanto,.podem.ser.resumidas.da.seguinte.forma:


Todos.os.S.são.P.

Já.as.proposições.universais.negativas,.podem.ser.resu-midas.em:

Nenhum.S.é.P.

A.proposição.particular é.aquela.em.que.o.predicado.se.refere.a.apenas.uma.parte.do.conjunto,.ou.seja,.da.extensão.do.sujeito.

Exemplos:

Alguns.livros.são.instrutivos.Algumas.louras.são.burras.Alguns.alunos.são.estudiosos.

Na.forma.afirmativa,.a.proposição.particular.pode.ser.resumida.da.seguinte.forma:

Alguns.S.são.P.

Já.as.proposições.particulares.negativas.podem.ser.re-sumidas.em:

Alguns.S.não.são.P.

Estrutura.das.Proposições./.35

Resumidamente,.temos.então.que:

Na.proposição.universal.afirmativa,.“Todo.S.é.P”.Na.proposição.universal.negativa,.”Nenhum.S.é.P”.Na.proposição.particular.afirmativa,.“Algum.S.é.P”.Na.proposição.particular.negativa,.“Algum.S.não.é.P”.

AFIRMATIVA NEGATIVAUNIVERSAL Todo.S.é.P. Nenhum.S.é.P.PARTICULAR Algum.S.é.P. Algum.S.não.é.P.


Capítulo.8./.Silogismo

O.silogismo.categórico.-.que.por.motivo.de.comodidade.chamaremos.aqui.apenas.de.silogismo.-.é.um.argumento.ou.raciocínio.formado.por.três.proposições,.ou.seja,.duas.premissas.e.uma.conclusão.

Veja.agora.o.exemplo.clássico.de.silogismo:

Premissa.1:.Todo.homem.é.mortal..Premissa.2:.Sócrates.é.homem.Conclusão:. .Sócrates.é.mortal.

A.Estrutura.do.Silogismo

Existem.diversas.formas.de.silogismos,.que.podem.ser.válidas.ou.não..Assim.como.acontece.com.todo.argumento.dedutivo,.isto.é,.o.argumento.cuja.conclusão.é.decorrente.das.premissas,.a.validade.do.silogismo.depende.exclusivamente.de.sua.forma..Vamos.retomar.o.exemplo.clássico.de.silogismo.para.entender.como.esse.tipo.de.argumento.é.estruturado:.

A.proposição.“Todo.homem.é.mortal”.corresponde.à.premissa.maior.do.silogismo..Nessa.premissa,.“homem”.é.o.sujeito.lógico,.enquanto.o.verbo.“é”.representa.a.cópu-la,.ou.seja,.expressa.a.relação.existente.entre.o.sujeito.e.o.

Silogismo./.37

predicado..O.termo.“mortal”,.por.sua.vez,.é.o.predicado.lógico,.e.aparece.depois.da.cópula.

A. proposição. “Sócrates. é. homem”. funciona. como. a.premissa.menor.do.argumento.

Já.a.proposição.“Sócrates.é.mortal”.representa.a.conclu-são.do.argumento.

Cada.uma.das.proposições.que.constituem.um.silogismo.tem.dois.termos,.o.sujeito.e.o.predicado..O.silogismo.como.um.todo,.tem.apenas.três.termos.ou.classes.diferentes..É.conhecido.como.termo.médio.aquele.que.aparece.uma.única.vez.em.cada.premissa,.apresentando.uma.idéia.comum.entre.elas..Os.termos.extremos,.por.sua.vez,.estão.presentes.uma.única.vez.na.conclusão.e.também.uma.única.vez.em.uma.das.premissas.

Exemplo:

Todos.os.gatos.são.felinos.Todos.os.felinos.são.animais.

.Todos.os.gatos.são.animais.

A.classe.dos.“felinos”.aparece.uma.única.vez.em.cada.uma.das.duas.premissas.que.formam.o.silogismo.e.é,.por-tanto,. chamada.de. termo.médio.. Já. os. termos. “gatos”. e.


“animais”.estão.presentes.uma.só.vez.na.conclusão.e.uma.só.vez.em.uma.premissa,.sendo.por.isso.conhecidos.como.termos.extremos..Assim,.das.três.classes.presentes.em.um.silogismo,.uma.é.chamada.termo.médio,.enquanto.as.outras.duas.recebem.o.nome.de.termos.extremos.

Fatores.que.Determinam.a.Forma.de.um.Silogismo

Como. você. já. viu,. a. validade. de. um. silogismo. e. de.qualquer.tipo.de.argumento.dedutivo.é.determinada.pela.forma.ou.estrutura.que.eles.têm..A.forma.de.um.silogis-mo,.depende.do.tipo.de.enunciado.a.que.pertencem.suas.proposições.e.da.posição.que.os.termos.médios.e.extremos.ocupam.nesse.tipo.de.argumento.

Vamos.conhecer.primeiramente.o.papel.que.a.posição.dos.termos.médio.e.extremo.desempenha.na.forma.de.um.silogismo..Para.isso,.vamos.voltar.ao.último.exemplo:



Primeiramente,. note.que. as. três. proposições. que. for-mam.esse.silogismo.são.universais.afirmativas,.que.podem.

Silogismo./.39

ser.resumidas.por.“todo.S.é.P”..Agora.vamos.partir.para.a.identificação.dos.termos.desse.argumento..“Gatos”.é.um.dos.dois.termos.extremos.desse.silogismo,.já.que.é.sujeito.lógico.da.primeira.premissa.e.também.da.conclusão..O.outro.termo.extremo.do.argumento,.por.sua.vez,.é.“animais”,.que.ocupa.a.função.de.predicado.lógico.tanto.da.segunda.premissa.quanto.da.conclusão..O.papel.de.termo.médio.do.silogismo.cabe.a.“felinos”,.que.funciona.como.predicado.da.primeira.premissa.e.também.como.sujeito.da.segunda.premissa..Para.chegarmos.à.estrutura.resumida.desse.argumento.temos.algumas.con-siderações.a.fazer..O.termo.extremo.que.ocupa.a.função.de.sujeito.da.conclusão.deve.ser.representado.pela.letra.“S”..Já.o.termo.extremo.que.funciona.como.predicado.da.conclusão.deve.ser.indicado.pela.letra.“P”..O.termo.médio,.por.sua.vez,.deve.ser.representado.pela.letra.“M”..Além.disso,.lembre-se.de.que.as.três.proposições.que.formam.esse.argumento,.“todos.os.gatos.são.felinos”,.“todos.os.felinos.são.animais”.e.“todos.os.gatos.são.animais”.são.universais.afirmativas,.característica.que.deve.ser.indicada.pela.letra.“A”.

Depois.de.estabelecidas.essas.convenções,.a.estrutura.do.silogismo.pode.ser.resumida.da.seguinte.forma:

Premissa.1:.S A MPremissa.2: M A PConclusão:. .S A P


Capítulo.9./.Distribuição

Vamos. conhecer. em.breve. as. três. regras. simples.que.podem.ser.usadas.para.determinar.a.validade.de. todo.e.qualquer. silogismo.. Antes. de. passarmos. a. essas. regras,.porém,.é.importante.explicar.o.conceito.de.distribuição..Os. termos. ou. classes. podem. estar. distribuídos. ou. não-distribuídos.em.uma.proposição.ou.enunciado..Um.ter-mo.de.uma.determinada.proposição.–.seja.ele.sujeito.ou.predicado.lógico.–.está.distribuído.nesse.enunciado.caso.declare. alguma. coisa. sobre. todos. os. membros. da. classe.que.representa.

Vamos.retornar.ao.último.exemplo.para.explicar.melhor.o.conceito.de.distribuição:



Na.primeira.proposição.“todos.os.gatos.são.felinos”,.o.sujeito.lógico.“gatos”.está.distribuído.e.o.predicado.“felinos”.está. não-distribuído.. Isso. acontece. porque. o. enunciado.

Distribuição./.41

“todos.os.gatos.são.felinos”.faz.uma.afirmação.a.respeito.de.todo.e.qualquer.gato,.embora.não.declare.nada.a.respeito.da.classe.dos.felinos.

Vamos.revisar.os.tipos.de.estrutura.que.uma.proposição.pode.ter:

Universal.Afirmativa:.Todo.S.é.P.

Universal.Negativa:.Nenhum.S.é.P.

Particular.Afirmativa:.Algum.Homem.é.mortal:.Algum.S.é.P.

Particular.Negativa:.Nenhum.Homem.é.mortal:.Algum.S.não.é.P.

Distribuição.dos.Termos.em.Proposições.Universais.Afirmativas

Nas.proposições.universais.afirmativas,.ou.seja,.do.tipo.“todo.S.é.P”,.o.sujeito.lógico.está.distribuído,.pois.é.decla-rada.alguma.coisa.sobre.todos.os.membros.de.uma.classe..O.predicado,. entretanto,.não.está.distribuído.nesse. tipo.de.enunciado.


Exemplo:.Toda.criança.é.bonita.

Esse.enunciado.faz.uma.afirmação.sobre.toda.a.classe.das.crianças.e,.portanto,.o.sujeito.“criança”.está.distribuído..Por.outro.lado,.a.proposição.não.afirma.que.toda.pessoa.bonita.é.criança,.assim,.o.predicado.“bonita”.não.está.distribuído.no.enunciado.

Distribuição.dos.Termos.em.Proposições.Universais.Negativas

Nas.proposições.universais.negativas,.ou.seja,.do.tipo.“nenhum.S.é.P”,.tanto.o.sujeito.como.o.predicado.estão.distribuídos.

Exemplo:

Nenhum.professor.é.ignorante.

Ora,. esse. enunciado. declara. que. todo. e. qualquer.professor.é.um.“não-ignorante”,.ou.seja,.um.sábio..Além.disso,.a.proposição.“nenhum.professor.é.ignorante”.tam-bém.diz.que.todo.e.qualquer.ignorante.não.é.professor..Esse.enunciado.afirma,.portanto,.que.a.classe.dos.pro-fessores.está.totalmente.excluída.da.classe.dos.ignorantes.e.vice-versa.

Distribuição./.43

Distribuição.dos.Termos.em.Proposições.Particulares.Afirmativas

No.caso.das.proposições.particulares.afirmativas,.isto.é,.do.tipo.“algum.S.é.P”,.tanto.o.sujeito.quanto.o.predicado.estão.não-distribuídos..

Exemplo:

Algumas.crianças.são.bonitas.

Esse.enunciado.nada.declara.sobre.a.classe.das.crianças.como.um.todo,.além.de.não.afirmar.nada.a.respeito.de.to-dos.os.membros.da.classe.“bonita”.A.proposição.“algumas.crianças.são.bonitas”.apenas.afirma.que.parte.da.classe.das.crianças.coincide.com.a.classe.dos.bonitos.

Distribuição.dos.Termos.em.Proposições.Particulares.Negativas

Nas.proposições.particulares.negativas,.isto.é,.do.tipo.“algum.S.não.é.P”,.o.sujeito.é.não-distribuído.e.o.predicado.é.distribuído.

Exemplo:

Algumas.crianças.não.são.bonitas.


Nesse.exemplo,.o.sujeito.“crianças”.é.não-distribuído,.pois.não.é.usado.para.declarar.algo.sobre.todo.e.qualquer.membro.dessa.classe..Por.outro.lado,.o.predicado.lógico.“bonitas”.nos. informa.algo.sobre.o.sujeito..Para.explicar.melhor.o.que.acontece.com.o.predicado.das.proposições.particulares.negativas,.vamos.usar.um.exemplo.que.é.equi-valente.ao.enunciado.“algumas.crianças.são.bonitas”:

Há.pelo.menos.uma.criança.que.não.é.bonita.

Essa.proposição.não.diz.quem.é. a. criança.que.não. é.bonita,.porém,.dá.a.certeza.de.que.ela.existe.

Resumo.de.distribuição

Ouça. agora. um. resumo. do. que. aprendemos. sobre. o.conceito.de.distribuição:

Proposição universal afirmativa:Sujeito.distribuído./.Predicado.não-distribuído

Proposição universal negativa:Sujeito.distribuído/Predicado.distribuído

Proposição particular afirmativa:Sujeito.não-distribuído./Predicado.não-distribuído

Proposição particular negativa:Sujeito.não-distribuído./Predicado.distribuído

Distribuição./.45

Assim,.o.sujeito.de.uma.proposição.universal.está.distri-buído.e.o.predicado.de.um.enunciado.negativo.está.distribu-ído,.enquanto.todos.os.outros.termos.não.estão.distribuídos..Para.não.esquecer.dessa.regra,.você.pode.memorizar.a.frase.“Um.Sapato.Não.Presta”..As.iniciais.das.palavras.que.for-mam.essa.frase.“USNP”.farão.com.que.você.se.lembre.da.regra:.Universal.–.sujeito.distribuído.e.negativo.–.predicado.distribuído,.que.nos.remetem.aos.casos.em.que.o.sujeito.ou.o.predicado.estão.distribuídos.no.enunciado.


Capítulo.10./.Regras.de.Validade.de.um.Silogismo

Vamos.apresentar.as.três.regras.principais.que.servem.para.verificar.a.validade.de.um.silogismo..É.importante.que.elas.sejam.compreendidas.e.memorizadas.

Para.que.um.silogismo.seja.válido:

- Regra I: o termo médio deve estar distribu-ído apenas uma única vez.-.O.termo.médio,.que. aparece. uma. vez. em. uma. das. premissas.que. formam. um. argumento,. deve. estar. dis-tribuído. apenas. em. uma. dessas. ocorrências,.caso.contrário,.o.argumento.em.questão.não.é..um.silogismo.

- Regra II: Nenhum termo extremo pode estar distribuído somente uma vez.–.Um.silogismo.não.é.válido.se.um.de.seus.termos.extremos.estiver.distribuído.nas.premissas,.mas.não.na.conclusão..Da. mesma. forma,. um. silogismo. também. não.pode.ser.considerado.válido.se.um.termo.extremo.

Regras.de.Validade.de.um.Silogismo./.47

estiver.distribuído.na.conclusão.e.não.aparecer.dessa. forma. nas. premissas.. Assim,. um. termo.extremo.não.pode.aparecer.distribuído.em.uma.ocorrência.e.na.outra.não.

- Regra III: o número de premissas negativas tem de ser igual ao número de conclusões negativas.–.Para.ser.válido,.um.silogismo.que.só.tem.premissas.afirmativas.não.pode.ter.con-clusão.negativa..Já.no.caso.de.um.silogismo.ter.uma.premissa.negativa.e.outra.afirmativa,.ele.só.será.válido.se.sua.conclusão.for.negativa..Se.um.silogismo.tiver.duas.premissas.negativas.ele.não.será.válido,.já.que.esse.tipo.de.argumento.tem.apenas.uma.conclusão..No.caso.de.um.silogismo.ter.duas.premissas.negativas,.portanto,.ele.não.poderia.satisfazer.a.regra.de.que.“o.número.de.premissas.negativas.tem.de.ser.igual.ao.número.de.conclusões.negativas”..Afinal,.por.definição,.o.silogismo.apresenta.apenas.uma.única.con-clusão. e. nesse. caso. o. número. de. conclusões.negativas.não.poderia.ser.igual.ao.número.de.premissas.negativas.

Para.ser.considerado.válido,.um.silogismo.deve.satisfazer.a.todas.essas.condições..Se.um.silogismo.seguir.essas.três.


regras,.ele.será.válido..Por.outro.lado,.se.ele.não.se.enquadra.em.pelo.menos.uma.dessas.regras,.ele.não.será.válido.

ATENção:.Além.dessas.três.regras,.também.é.preciso.se.lembrar.da.regra.geral,.segundo.a.qual.se.um.silogismo.é.válido,.qualquer.outro.que.te-nha.aa.mesma.forma.será.válido,.enquanto.que.se.um.silogismo.é.inválido,.qualquer.argumento.que.tenha.a.mesma.forma.será.inválido.

Exemplos.de.Aplicação.das.Regras.do.Silogismo./.49

Capítulo.11./.Exemplos.de.Aplicação.das.Regras.do.Silogismo

Aprenda. como. as. três. regras. básicas. são. aplicadas. na.prática.

Tomemos.como.exemplo:.

Todos.os.pedagogos.são.educadores.Alguns.professores.não.são.educadores.

.Alguns.professores.não.são.pedagogos.

Antes.de.aplicar.as.regras.para.verificar.se.esse.argumento.é.ou.não.um.silogismo,.vamos.ver.de.que.forma.é.feita.a.distribuição.dos.termos.nos.enunciados.

A. proposição. “todos. os. pedagogos. são. educadores”. é.universal,.o.que.significa.dizer.que.seu.sujeito.“pedagogos”.está.distribuído..Como.essa.premissa.é.afirmativa,.seu.pre-dicado.“educadores”.está.não-distribuído.

Já.a.segunda.proposição.“alguns.professores.são.edu-cadores”.é.particular.e,.portanto,.seu.sujeito.“professores”.não. está. distribuído.. Como. se. trata. de. um. enunciado.


negativo,.concluímos. também.que. seu.predicado.“edu-cadores”.está.distribuído.

Será.que.o.exemplo.se.encaixa.nas.regras.que.determinam.que.um.argumento.é.silogismo?

A. regra. I,. que. afirma. que. o. termo. médio. deve. estar.distribuído.apenas.uma.única.vez,.está.satisfeita..O.termo.médio.“educadores”.não.está.distribuído.na.primeira.pre-missa. “todos.os.pedagogos. são.educadores”,.mas. está.na.segunda,.“alguns.professores.não.são.educadores”.

A.regra.II,.segundo.a.qual.nenhum.termo.extremo.pode.estar.distribuído.somente.uma.vez,.está.satisfeita.no.exem-plo..Afinal,.o.termo.extremo.“pedagogos”.está.distribuído.tanto. na. premissa. “todos. os. pedagogos. são. educadores”.quanto. em. “alguns. professores. não. são. pedagogos”.. Por.sua. vez,. o. outro. termo. extremo,. “professores”. não. está.distribuído.no.enunciado.em.nenhuma.das.duas.vezes.em.que.aparece,.ou.seja,.não.está.distribuído.em.“alguns.pro-fessores.não.são.educadores”.e.nem.em.“alguns.professores.não.são.pedagogos”..

Finalmente,.a.regra.III,.segundo.a.qual.“o.número.de.premissas.negativas.tem.de.ser.igual.ao.número.de.conclu-sões.negativas”.também.está.satisfeita..O.argumento.tem.uma.premissa.negativa.e.uma.conclusão.negativa.


Como. o. exemplo. se. encaixa. em. todas. as. três. regras,.temos.que.se.trata.de.um.silogismo..

Vamos.a.um.outro.exemplo:

Todo.bom.aluno.é.esforçado.Nenhum.repetente.é.bom.aluno.

.Nenhum.repetente.é.esforçado.

A.primeira.premissa.“todo.bom.aluno.é.esforçado”.é.uni-versal.e,.portanto,.seu.sujeito.“bom.aluno”.está.distribuído..Uma.vez.que.esse.enunciado.é.afirmativo,.o.predicado.“es-forçado”.não.está.distribuído..A.segunda.premissa.“nenhum.repetente. é. bom. aluno”. é. universal,. conseqüentemente,.seu.sujeito.“repetente”.está.distribuído..Por.se.tratar.de.um.enunciado.negativo,.seu.predicado.“bom.aluno”.também..A. conclusão. “nenhum. repetente. é. esforçado”. também. é.universal.negativa.e,.por.isso,.tem.o.sujeito.“repetente”.e.o.predicado.“esforçado”.distribuídos.no.enunciado.

Partiremos.agora.para.a.aplicação.das. regras.que. irão.verificar.se.o.exemplo.é.um.silogismo.válido.

De.acordo.com.a.regra.I,.o.termo.médio.deve.estar.dis-tribuído.apenas.uma.vez..Essa.exigência.não.está.satisfeita.no.exemplo,.pois.o.termo.médio.“aluno”.está.distribuído.tanto.na.primeira.proposição,.que.é.universal.afirmativa,.


quanto.na.segunda,.que.é.universal.negativa..Nesse.caso,.portanto,.o.termo.médio.está.distribuído.duas.vezes,.deso-bedecendo.a.regra.

A.regra.II.declara.que.nenhum.dos.termos.extremos.podem.estar.distribuídos.somente.uma.vez..Os.termos.extremos.do.exemplo.são.“repetente”,.que.aparece.na.segunda.premissa.e.na.conclusão,.e.“esforçado”,.que.ocorre.na.primeira.pre-missa.e.na.conclusão.

O.termo.extremo.“repetente”.está.distribuído. tanto.na.premissa.“nenhum.repetente.é.bom.aluno”.quanto.na.conclu-são.“nenhum.repetente.é.esforçado”..Afinal,.nos.dois.casos,.o.termo.extremo.“repetente”.está.inserido.em.proposições.uni-versais.negativas..Assim,.esse.termo.extremo.satisfaz.a.regra.

O.mesmo.não.acontece.com.o.termo.extremo.“esforça-do”,.que.aparece.na.premissa.“todo.bom.aluno.é.esforçado”.e.na.conclusão.“nenhum.repetente.é.esforçado”..Como.“todo.bom.aluno.é.esforçado”.é.uma.proposição.universal.afirma-tiva,.e.“esforçado”.tem.papel.de.predicado.nesse.enunciado,.ele.não.está.distribuído.nesse.caso..Já.em.“nenhum.repetente.é.esforçado”,.que.é.uma.proposição.universal.negativa,.o.termo.extremo.está.distribuído.

Embora.o.termo.extremo.“repetente”.esteja.distribuído.duas.vezes.no.argumento,.o.outro.termo.extremo.do.exem-


plo,.“repetente”,.aparece.distribuído.apenas.uma.vez..Diante.disso,.concluímos.que.essa.regra.também.não.foi.satisfeita.no.exemplo.e.que,.portanto,.o.silogismo.não.é.válido.

Mais.um.exemplo.de.aplicação.das.regras.que.detectam.a.validade.do.silogismo:

Algumas.atrizes.não.são.pessoas.educadas.Algumas.pessoas.educadas.não.são.inteligentes.

.Algumas.atrizes.não.são.inteligentes.

Antes.de.começar.a.aplicar.as.regras,.porém,.saibamos.como.se.dá.a.distribuição.dos.termos.nesse.exemplo..A.pre-missa.“algumas.atrizes.não.são.pessoas.educadas”.é.particular.negativa,.o.que.significa.dizer.que.seu.sujeito.“atrizes”.não.está.distribuído,.mas.que.seu.predicado.“educadas”.está.dis-tribuído..O.enunciado.“algumas.pessoas.educadas.não.são.inteligentes”.também.é.particular.negativo.e,.portanto,.tem.o.sujeito.“pessoas”.não-distribuído,.enquanto.o.predicado.“inteligentes”.está.distribuído..Da.mesma.forma,.a.conclu-são.“algumas.atrizes.não.são.inteligentes”.é.uma.proposição.particular.negativa,.isto.é,.possui.o.sujeito.não-distribuído.e.o.predicado.distribuído.

Vamos.ver.agora.se.o.exemplo.se.encaixa.nas.regras.e.pode.ser.considerado.um.silogismo.válido:


De.acordo.com.a.regra.I,.o.termo.médio.deve.estar.distribuído.apenas.uma.única.vez..No.nosso.exemplo,.o.termo.médio.é.“pessoas.educadas”,.que.aparece.nas.duas.premissas..Em.“algumas.atrizes.não.são.pessoas.educadas”,.que.é.uma.proposição.particular.negativa,.o.termo.médio.“pessoas.educadas”.tem.papel.de.predicado.e,.por.isso,.está.distribuído.no.enunciado..Na.segunda.premissa.“algumas.pessoas.educadas.não.são. inteligentes”,.proposição.que.também.é.particular.negativa,.o.termo.médio.“algumas.pessoas.educadas”.é.sujeito.e,.conseqüentemente,.não.está.distribuído..Assim,.a.regra.I.foi.satisfeita.nesse.exemplo,.já. que. “pessoas. educadas”. aparece. distribuído. apenas.uma.vez.

A. regra. II. afirma. que. nenhum. termo. extremo. pode.estar.distribuído.somente.uma.vez..No.exemplo,.um.dos.termos.extremos.é.“atrizes”..Na.premissa.“algumas.atrizes.não.são.pessoas.educadas”,.que.é.uma.proposição.particular.negativa,.o.termo.“atrizes”.faz.papel.de.sujeito.e.não.está.distribuído..Na.conclusão,.o.termo.extremo.“atrizes”.tam-bém.faz.papel.de.sujeito.e,.por.estarmos.diante.de.outra.proposição.particular.negativa,.o.sujeito.não.está.distribuído.no.enunciado.. Já.o.outro. termo.extremo,. “inteligentes”,.aparece. na. premissa. “algumas. pessoas. educadas. não. são.inteligentes”.na.forma.de.predicado.e,.por.essa.se.tratar.de.uma.proposição.particular.negativa,.o.termo.está.distribuído.no.enunciado.


Da.mesma.maneira,.o.termo.extremo.inteligentes.está.presente.na.conclusão.“algumas.atrizes.não.são.inteligen-tes”,. que. também. é. particular. negativa.. Como. o. termo.“inteligente”.ocupa.a.função.de.predicado.na.conclusão,.ele.também.está.distribuído.no.enunciado..Aqui,.portanto,.a.regra.foi.satisfeita,.já.que.o.termo.extremo.“atrizes”.não.está.distribuído.nenhuma.vez.e.o.termo.extremo.“inteligentes”.aparece.distribuído.duas.vezes..Assim,.nenhum.termo.ex-tremo.do.exemplo.aparece.distribuído.apenas.uma.vez.

Segundo.a.regra.III,.o.número.de.premissas.negativas.deve.ser.o.mesmo.de.conclusões.negativas.e.essa.condição.também.será.satisfeita.pelo.exemplo.

Para.saber.se.o.nosso.exemplo.obedece.a.terceira.regra,.devemos.verificar.se.o.número.de.premissas.negativas.do.argumento. é. igual. ao.de. conclusões.negativas..Podemos.perceber. facilmente.que. aqui. a. regra. foi. violada..Afinal,.tanto.a.primeira.premissa.“algumas.atrizes.não.são.pessoas.educadas”,. quanto. a. segunda. premissa. “algumas. pessoas.educadas.não.são.inteligentes”.são.negativas,.mas.o.argu-mento.apresenta.apenas.uma.conclusão.negativa..Desta.for-ma,.as.duas.premissas.do.exemplo.são.negativas,.enquanto.há.apenas.uma.conclusão.neste.argumento,.ainda.que.seja.negativa..A.regra.II,.portanto,.foi.violada.nesse.exemplo,.o.que.é. suficiente.para.que.o.silogismo.seja.considerado.não-válido.


Capítulo.12./.Diagramas.Lógicos

A.técnica.dos.diagramas.facilita.a.resolução.de.problemas.lógicos,. dando.mais. clareza. ao. raciocínio. e.podendo. ser.aplicada.aos.diversos.tipos.de.argumento.

Para.utilizar.os.diagramas,.é.preciso.primeiro.entender.o.que.o.enunciado.de.um.problema.nos.diz.sobre.as.relações.entre.as.classes..Quando.uma.premissa.afirma,.por.exemplo,.que.“todos.os.felinos.são.mamíferos”,.isso.quer.dizer.que.a.classe.dos.felinos.está.contida.na.classe.dos.mamíferos..Da.mesma.forma,.de.acordo.com.a.proposição.“Nenhum.rato.é.inseto”,.a.classe.dos.ratos.está.inteiramente.excluída.da.classe.dos.insetos.

Por.outro.lado,.se.uma.proposição.afirma.que.“algu-mas.pedras.são.jóias”,.a.classe.das.pedras.e.das.jóias.têm.ao.menos.um.membro.em.comum,.ou.seja,.as.duas.clas-ses.coincidem.em.parte..Já.de.acordo.com.a.proposição.“alguns.animais.não.são.mamíferos”,.existe.pelo.menos.um.animal.que.não.faz.parte.da.classe.dos.mamíferos..Para. a. melhor. compreensão. deste. assunto,. você. pode.consultar.o.livreto.que.acompanha.este.curso.e.ver.nele.os.diagramas.desenhados.

Diagramas.Lógicos./.57

O. diagrama. padrão. tem. dois. círculos. parcialmente.sobrepostos,. cada. um. deles. representando. uma. classe..Esses.círculos,.por.sua.vez,.estão.dentro.de.um.retângulo..O.interior.de.um.círculo.representa.a.classe.A,.enquanto.o.interior.do.outro.círculo.representa.a.classe.B..Já.a.área.de.interseção.entre.os.dois.círculos.representa.as.caracte-rísticas.que.pertencem.tanto.à.classe.A.quanto.à.classe.B,.ou.seja,.o.que.essas.duas.classes.têm.em.comum..O.círculo.correspondente. à. classe. A. -. excluindo. a. área. sobreposta.-.representa.as.características.que.dizem.respeito.apenas.a.essa.classe.e.que,.portanto,.não.estão.presentes.na.classe.B..O.mesmo.acontece.com.o.círculo.que.representa.a.classe.B,.uma.vez.que.representa.as.características.que.só.estão.presentes.nessa.classe..

Ao.mesmo.tempo,.a.área.situada.fora.dos.dois.círculos.representa.as.características.que.não.estão.presentes.em.nenhum.dos.dois.grupos,.ou. seja,.que.não.pertencem.à.classe.A.e.nem.à.classe.B..Já.a.totalidade.das.caracte-rísticas.possíveis.a.esses.dois.grupos,.ou.seja,.o.universo.em. que. essas. classes. estão. inseridas. são. representadas,.como. um. todo,. pelo. grande. retângulo. em. que. estão.inseridos. os. dois. círculos.. Cada. diagrama. parte. desse.modelo.básico.para.depois.expressar.informações.sobre.a.inclusão,.exclusão.ou.sobreposição.de.classes..A.seguir,.vamos.detalhar.cada.caso.


Quando. desejamos. indicar. que. uma. classe. não. tem.membros,. devemos. sombrear. a. área. do. diagrama. que.representa. esse. grupo.. Se. quisermos.diagramar. a. propo-sição.“todas.as.professoras.são.inteligentes”,.por.exemplo,.devemos.sombrear.a.área.que.representa.todas.as.pessoas.que.são.professoras.(indicadas.pela.letra.A),.mas.que.não.são. inteligentes. (indicadas. pela. letra. B).. Desta. forma,.sombreamos.o.círculo.que.representa.a.classe.A,.ou.seja,.as.professoras,.excluindo.a.parte.que.indica.a.intercessão.da.classe.A.com.a.classe.B,.que.quer.dizer,.a.área.que.repre-senta.as.professoras.inteligentes..Desta.forma,.indicamos.que.a.parte.do.diagrama.que.representa.as.professoras.não.inteligentes.não. tem.membros,.ou. seja,. está. excluída.do.diagrama..(Ver.diagrama.2).


Para.diagramar.a.proposição.“nenhum.tomate.é.legume”,.devemos.sombrear.a.região.que.representa.tudo.aquilo.que.é,.ao.mesmo.tempo,.tomate.e.legume..Assim,.neste.caso,.sombrearemos. a. área. de. intercessão. entre. o. círculo. que.representa.os.tomates.(indicados.pela.letra.A).e.aquele.que.representa.os.legumes.(indicados.pela.letra.B)..Assim.sendo,.ao.sombrearmos.a.área.que.representa.os.tomates.que.são.legumes,. estamos. excluindo.esse.grupo.do.diagrama,.ou.seja,.declarando.que.o.grupo.dos.tomates.que.são.legumes.é.vazio..(Ver.diagrama.3).


O.fato.de.uma.área.ser.sombreada,.porém,.não.significa.que.as.demais.regiões.do.diagrama.verdadeiramente.possu-am.membros..Outras.partes.do.diagrama.que.não.estejam.sombreadas,. portanto,. também. podem. representar. uma.classe.vazia..O.diagrama.não.se.compromete.nem.em.um.sentindo.e.nem.no.outro,.pois.ele.depende.totalmente.da.interpretação.que.dermos.à.proposição.representada.

Para. indicar.um.grupo.que.de. fato. tem.membros,.ou.seja,.que.não.é.uma.classe.vazia,.devemos.escrever.uma.letra.dentro.da.região.que.o.representa.no.diagra-ma.. No. caso. da. proposição. “todas. as. professoras. são.inteligentes”,. por. exemplo,. podemos. assinalar. com.um.“x”.a.região.do.diagrama.em.que.há.a. intercessão.do.círculo.que.representa.as.professoras.com.o.círculo.


que.corresponde.à.classe.das.pessoas.inteligentes..Com.a.letra.“x”.na.área.de.intercessão.entre.as.duas.classes,.mostramos.que.o.grupo.das.professoras.inteligentes.tem.membros. e. que,. portanto,. não. é. um. conjunto. vazio..(Ver.diagrama.4).

Se. quisermos. representar. através. de. um. diagrama. a.proposição.“nenhum.tomate.é.legume”,.devemos.assina-lar.com.a.letra.“x”.o.círculo.correspondente.à.classe.dos.tomates,.mas.sem.incluir.a.área.de.intercessão.do.grupo.dos.tomates.com.o.dos.legumes..Assim,.a.letra.“x”.corres-ponde.apenas.à.parte.da.classe.dos.tomates.que.está.fora.do.círculo.que.representa.os.legumes,.mostrando.que.o.grupo. dos. tomates,. que. não. são. legumes,. não. é. vazio..(Ver.diagrama.5).


Passemos.agora.um.exemplo.um.pouco.mais.complexo:

Como.representar.através.de.um.diagrama.as.seguintes.premissas:

Todas.as.aranhas.têm.oito.patas.Nenhum.inseto.tem.oito.patas.Nenhuma.aranha.é.inseto.

Perceba.que.este.exemplo.parte.de.duas.premissas.uni-versais..Para.começar,.desenhamos.três.círculos.sobrepostos,.de.forma.que.cada.um.deles.tenha.áreas.em.comum.com.os.outros.dois..O.primeiro.círculo.(indicado.pela.letra.A).representa.a.classe.das.aranhas;.o.segundo.(indicado.pela.


letra.B),.o.grupo.dos.insetos;.e.o.terceiro.(indicado.pela.letra.C),.os.seres.que.têm.oito.patas..(Ver.diagrama.6).

Como.já.foi.visto.nos.exemplos.anteriores,.devemos.come-çar.excluindo.as.áreas.do.diagrama.que.não.estão.de.acordo.com.as.proposições.e.que,.portanto,.não.serão.utilizadas..Uma.vez.que.a.primeira.premissa.estabelece.que.“todas.as.aranhas.têm.oito.patas”,.devemos.sombrear.a.área.do.círculo.que.repre-senta.as.aranhas.que.não.possuem.oito.patas..Para.excluir.do.diagrama.a.parte.correspondente.às.aranhas.que.não.têm.oito.


patas,.devemos.sombrear.a.região.do.círculo.que.representa.as.aranhas,.deixando.de.fora.as.intercessões.dessa.classe.com.o.grupo.dos.seres.de.oito.patas..(Ver.diagrama.7).

Continuando. com. as. exclusões,. chegamos. a. segunda.proposição:. “nenhum. inseto. tem. oito. patas”.. Devemos.agora.sombrear.a.área.do.diagrama.correspondente.aos.in-setos.que.possuem.oito.patas..Desta.forma,.iremos.excluir.do. diagrama. as. áreas. de. intercessão. entre. o. círculo. que.


corresponde.aos.insetos.e.o.círculo.que.representa.os.seres.de.oito.patas..(Ver.diagrama.8).

Ao.chegamos.à.proposição.“nenhuma.aranha.é.inseto”,.já.não.precisamos.fazer.mais.nenhuma.exclusão..Afinal,.a.área.que.representa.o.grupo.das.aranhas.que.são.insetos.já.foi.excluída.do.diagrama.quando.sombreamos.o.grupo.das.aranhas.que.não.possuem.oito.patas,.depois.da.análise.da.primeira.proposição.desse.exemplo.


Com.as.informações.das.premissas.representadas.no.dia-grama,.podemos.partir.para.a.etapa.da.verificação,.quando.veremos.se.os.dados.expostos.através.do.diagrama.nos.levam.à.mesma.conclusão.do.argumento..Como.a.conclusão.afirma.que.“nenhuma.aranha.é.inseto”.e.a.área.que.representa.as.aranhas.que.são.insetos.foi.excluída.do.diagrama,.concluímos.que.o.argumento.é.válido..Perceba.que,.quando.represen-tamos.duas.premissas.através.de.diagramas,.diagramamos,.conseqüentemente,.a.conclusão.do.argumento.

Não.se.preocupe.com.o.fato.de.outras.áreas.do.diagra-ma.terem.sido.sombreadas,.e,.portanto,.estarem.também.excluídas.do.diagrama..Afinal,.de.acordo.com.a.conclusão.do.argumento.“nenhuma.aranha.é.inseto”.a.área.que.repre-senta.as.aranhas.que.são.insetos.deve.ser.representada.no.diagrama.como.uma.região.vazia,.que.não.tem.membros..A.conclusão.não.nos.diz.se.as.outras.regiões.são.ou.não.vazias,.portanto,.não.importa.o.que.aconteceu.com.essas.áreas.na.fase.de.diagramação.das.premissas.

O.exemplo.que.você.acabou.de.acompanhar.tem.duas.premissas.universais.(todas.as.aranhas.têm.oito.patas.e.ne-nhum.inseto.tem.oito.patas).Acompanhe.agora.um.exemplo.com.uma.premissa.particular:




Como.sempre,.devemos.começar.pelo.diagrama.básico,.com.a.diagramação.das.premissas..Aqui,.o.círculo.A.repre-senta.a.classe.dos.pedagogos;.o.círculo.B,.a.dos.educadores;.e.o.C,.a.dos.professores..Como,.de.acordo.com.a.primeira.premissa,.“todos.os.pedagogos.são.educadores”.vamos.come-çar.sombreando.a.área.que.corresponde.aos.pedagogos.que.não.são.educadores,.ou.seja,.a.área.do.círculo.que.representa.os.pedagogos,.mas.que.não.inclui.o.grupo.dos.educadores..Assim,.excluímos.do.diagrama.a.área.que.representa.os.pe-dagogos.sem.levar.em.conta.a.região.em.que.há.intercessão.com.o.grupo.dos.educadores..(Ver.diagrama.9).


Em.seguida,.partimos.para.a.diagramação.da.segunda.premissa,. segundo. a. qual. “alguns. professores. não. são.educadores”,.ou.seja,.algum.S.não.é.P..Para.representar.a.segunda.premissa.através.do.diagrama,.devemos.escrever.a.letra.“x”.dentro.do.círculo.que.corresponde.aos.profes-sores..O.“x”,.porém,.se.refere.apenas.à.região.do.círculo.dos.professores.que.não.faz.intercessão.com.o.grupo.dos.educadores.e.nem.com.o.dos.pedagogos..Afinal,.o.“x”.é.usado.para.assinalar.uma.região.que.não.está.vazia.e.nós.já.sabemos.que.a.área.do.diagrama.que.representa.os.pe-dagogos.que.não.são.educadores.está.vazia,. tendo.sido,.inclusive,. sombreada. para. indicar. isso.. O. “x”. também.não.pode.abranger.as.áreas.de.intercessão.com.o.grupo.dos.educadores,.pois.para.diagramar.a.segunda.premissa,.segundo.a.qual.algum.S.não.é.P,.devemos.assinalar.exata-mente.a.região.que.corresponde.aos.professores.que.não.são.educadores..(Ver.diagrama.10).


Até.agora,.já.sombreamos.a.área.correspondente.aos.pe-dagogos.que.não.são.educadores.para.diagramar.a.primeira.premissa.e.assinalamos.com.um.“x”.a.região.que.corresponde.aos.professores.que.não.são.educadores..Partiremos.agora.para.a.etapa.de.verificação,.vendo.se.a.diagramação.que.foi.feita.é.capaz.de.nos.levar.a.conclusão.desejada,.isto.é,.a.de.que.“alguns.professores.não.são.pedagogos”..A.partir.do.diagrama,.podemos.concluir.que.“alguns.professores.não.são.pedagogos”,.o.que.mostra.que,.no.argumento.representado.no.diagrama,.a.conclusão.é.decorrente.das.premissas.


ATENção: Do.ponto.de.vista.da.validade,.não.importa.a.ordem.em.que.as.premissas.aparecem..Porém,.para.a.diagramação.de.um.argumento,.a.ordem.em.que.as.premissas.aparecem.pode.fazer.toda.a.diferença..Para.que.um.diagrama.seja.ela-borado. com. maior. comodidade,. é. importante.que.a.premissa.universal.seja.diagramada.antes.da.premissa.particular.

Vamos.retomar.o.exemplo.anterior.e.ver.o.que.aconte-ceria.se.diagramássemos.primeiro.a.premissa.particular:



Caso.fizéssemos.primeiramente.a.diagramação.da.pre-missa.particular. “alguns.professores.não. são.educadores”.teríamos.dificuldade.em.determinar.a.área.em.que.seria.colo-cado.o.“x”,.usado.para.assinalar.uma.região.do.diagrama.que.não.é.vazia..Como.nenhuma.parte.do.diagrama.teria.sido.sombreada.e,.portanto,.considerada.como.vazia,.ficaria.mais.difícil.determinar.a.área.ativa.do.diagrama,.correspondente.à.premissa.“alguns.professores.não.são.educadores”..Afinal,.ainda.não.estaria.representada.no.diagrama.a.exclusão.do.grupo.dos.pedagogos.que.não.são.educadores,.ou.seja,.o.


círculo.que.corresponde.aos.pedagogos.sem.a.área.de.inter-cessão.desse.grupo.com.o.círculo.dos.educadores.

Por.outro.lado,.se.tivermos.duas.premissas.particulares,.a.conclusão.será.sempre.que.o.silogismo.é.não-válido..Isso.acontece.porque.sem.que.tenhamos.uma.premissa.universal.que.nos.permita.pôr.a.letra.“x”.numa.área.determinada.do.diagrama,.não.é.possível.haver.uma.conclusão.válida..Desta.forma,.podemos.afirmar.que.nenhum.silogismo.com.duas.premissas.particulares.pode.ser.considerado.válido.

ATENção:.Para.verificar.a.validade.de.argu-mentos.não–silogísticos,.isto.é,.que.envolvem.mais.de.três.classes,.o.diagrama.lógico.não.é.o.método.mais. indicado,.pois. se. torna.difícil.de. trabalhar..Em.casos.desse.tipo,.dê.preferência.às.regras.para.verificar.a.validade.de.um.argumento.


Capítulo.13./.Apêndice.Matemático

Embora. alguns. editais. de. concursos. afirmem. que.nenhum. conhecimento. de. matemática. será. cobrado. na.prova,.é.comum.que.seja.exigido.um.conhecimento.básico.do.assunto..O.destaque.nesse.caso.vai.para.o.assunto.pro-babilidade,.em.que.a.análise.combinatória.costuma.ser.o.ponto.mais.abordado.

Probabilidade

A.probabilidade.é.uma.área.da.matemática.que.estuda.os.fenômenos.aleatórios..Ela.é.usada.em.situações.que.per-mitem.dois.ou.mais.resultados.diferentes,.nas.quais.não.é.possível.prever.o.que.irá.acontecer..Um.exemplo.clássico.de.uso.da.probabilidade.é.o.lançamento.de.um.dado,.já.que.não.é.possível.prever.o.número.que.teremos.

No.estudo.da.probabilidade,.há.alguns.conceitos-chave.que.precisam.ser.apreendidos..O.espaço.amostral.é.o.con-junto.que.engloba.todos.os.resultados.possíveis.em.uma.situação,.enquanto.a.amostra.ou.evento.é.um.subconjunto.do.espaço.amostral.

Apêndice.Matemático./.73

A.probabilidade,.portanto,. é. a. razão. entre.o.número.de.casos.favoráveis.e.o.número.de.casos.possíveis..Isso.é.o.mesmo.que.dizer.que,.para.calcular.a.probabilidade.de.um.resultado,. dividimos. o. número. de. resultados. favoráveis.em.um.determinado.evento.pelo.número.de.elementos.do.espaço. amostral..Assim,. a. probabilidade.que.um. evento.tem.de.ocorrer.é.igual.ao.número.de.resultados.favoráveis.a.esse.evento.dividido.pelo.número.de.resultados.possíveis..Eis.a.fórmula:

Acompanhe. um. exemplo. para. entender. melhor. esse.assunto:

Em.uma.caixa.existem.9.bolas.brancas.e.3.bolas.pretas..Se.retirarmos.aleatoriamente.um.bola.dessa.caixa,.qual.é.a.probabilidade.de.que.ela.seja.preta?

Neste. caso,.os. resultados. favoráveis. correspondem.às.3.bolas.pretas,.enquanto.o.universo.amostral,.ou.seja,.o.total.de.bolas.que.estão.dentro.da.caixa,.é.12..Aplicando.a.fórmula.da.probabilidade,.temos.que.o.número.de.bolas.pretas,.ou.seja,.3,.dividido.pelo.número.total.de.bolas.dentro.da.caixa,.isto.é,.12,.é.igual.a.1/4,.que.é.o.mesmo.que.25%..Assim,.a.probabilidade.de.retirarmos.uma.bola.preta.da.caixa.é.de.25%.


P(E).=.n(E)./.n(S)........=.3/12........=.1/4........=.25%.......Para.fixar.melhor.essa.informação,.tomemos.um.outro.

exemplo:

No.lançamento.de.um.dado,.qual.a.probabilidade.de.o.resultado.ser.menor.ou.igual.a.3?

Aqui,.o.número.de.resultados.favoráveis.é.3,.pois.que-remos. saber.qual. é. a.probabilidade.de.o. lançamento.do.dado.ter.como.resultado.os.números.3,.2.ou.1..O.universo.amostral.neste.caso.é.6,.ou.seja,.o.total.de.resultados.pos-síveis.quando.jogamos.um.dado..Assim,.com.a.aplicação.da.fórmula,.temos.que.a.probabilidade.de.o.resultado.ser.um.número.menor.ou.igual.a.3.é.de.3/6.que,.simplificado,.é.o.mesmo.que.1/2..Isso.quer.dizer.que.as.chances.de,.no.lançamento.de.um.dado,.o.resultado.ser.menor.ou.igual.a.3.é.de.50%.

P(E).=.n(E)./.n(S).......P=.3/6.........=.1/2.........=.50%


Vamos.agora.a..um.exemplo.um.pouco.mais.complexo:

No.lançamento.de.dois.dados,.qual.é.a.chance.de.ob-termos.resultados.cuja.soma.seja.igual.a.5?

Como. estamos. lidando. com. dois. dados,. o. espaço.amostral. é. 36,. que. corresponde. ao. número. de. pares.possíveis. formados.no. lançamento..Para.determinar.os.resultados.favoráveis,.devemos.verificar.as.combinações.de.números.que.tenham.soma.igual.a.5..Assim,.são.re-sultados.favoráveis.os.seguintes.pares.de.números:.1.e.4;.4.e.1;.2.e.3;.e.3.e.2,.isto.é,.um.total.de.4.pares..Diante.disso,.a.probabilidade.de.a.soma.dos.resultados.do.lan-çamento.de.dois.dados.ser.igual.a.5.é.de.4/36,.que.é.o.mesmo.que.1/9.

P(E).=.n(E)./.n(S).......=.4/36.......=.1/9

Tipos.de.Evento

Até.aqui,.mostramos.apenas.como.é.feita.a.resolução.de.eventos.simples,.de.eventos.que.envolvem.apenas.uma.situ-ação.aleatória..A.partir.de.agora,.vamos.aprender.a.calcular.a.probabilidade.de.outros.tipos.de.evento.


Eventos Complementares

O.complemento.de.um.evento.p.é.chamado.de.q.e.é.formado.por.todos.os.resultados.em.que.o.evento.p.não.ocorre..Assim,.sendo.p.a.probabilidade.de.que.um.evento.ocorra.e.q.a.possibilidade.de.que.ele.não.ocorra,.é.possível.estabelecer.a.seguinte.relação:.p.+.q.=.1,.que.é.o.mesmo.que.dizer.que,.p + q = 100%.

Logo,.a.probabilidade.de.que.um.evento.p.não.ocorra.é.calculada.da.seguinte.forma:.q.é.igual.a.1-.p,.ou.ainda,.q.é.igual.a.100.–.p..Eis.a.fórmula:

Acompanhe.um.exemplo.de.eventos.complementares:

Uma.fábrica.de.brinquedos.está.tendo.problemas.em.sua.linha.de.produção..A.cada.lote.de.12.brinquedos,.4.estão.com.defeito..Retirando-se.um.brinquedo.qualquer.de.um.lote.de.brinquedos,.qual.é.a.probabilidade.de.que.ele.seja.defeituoso?.E.as.chances.de.ele.não.ter.defeito?

O.espaço.amostral.do.exemplo.é.12,.já.que.cada.lote.tem.12.brinquedos,.o.que.indica.que.há.um.total.de.12.resultados.possíveis..Paralelamente,.o.número.de.eventos.favoráveis,.ou.seja,.de.que.o.brinquedo.escolhido.tenha.de-


feito,.é.4..Desta.forma,.a.chance.de.o.brinquedo.escolhido.aleatoriamente.ser.defeituoso.é.de.4/12,.que.é.o.mesmo.que.1/3..Logo,.p.é.igual.a.1/3.

p.=.4./.12...=.1./.3

Agora.que. já.encontramos.o.valor.de.p,.basta.aplicar.a.fórmula.dos.eventos.complementares.para.descobrir.as.chances. de. o. brinquedo. não. ter. defeito.. Assim,. q,. que,.neste.caso,.é.a.chance.de.que.não.seja.retirado.um.brinque-do.com.defeito,.é.igual.a.1.–.1/3,.cujo.resultado.é.2/3..A.probabilidade.de.o.brinquedo.retirado.não.ser.defeituoso,.portanto,.é.de.2/3.

q.=.1-.p...=.1.–.1./.3...=.2./3

Eventos Independentes

Dois.ou.mais.eventos.são.considerados.independentes.quando.a.realização.ou.não-realização.de.um.não.afeta.a. probabilidade. de. realização. do. outro. e. vice-versa..Quando. lançamos. dois. dados. ou. duas. moedas,. por.


exemplo,. o. resultado. de. um. evento. não. influencia. o.resultado.do.outro,.por.isso,.esses.eventos.são.chamados.de.independentes.

Caso.dois.eventos.independentes.aconteçam.ao.mesmo.tempo,.encontramos.a.probabilidade.deles.multiplican-do.a.probabilidade.que.cada.um.desses.eventos.têm.de.ocorrer. uma. pela. outra.. Assim,. as. chances. de. eventos.independentes.ocorrerem.ao.mesmo.tempo.é.dada.pelo.produto.das.probabilidades.individuais.que.esses.eventos.têm.de.acontecer..

Vejamos.um.exemplo.para.que. você. entenda.melhor.esse.assunto:

Isabela.tem.dois.baralhos.de.52.cartas.cada.e.decidiu.retirar,.ao.mesmo.tempo,.uma.carta.de.cada.um.deles..Quais.são.as.chances.de.a.carta.do.primeiro.baralho.ser.um.valete.e.a.do.outro.ser.o.2.de.copas?

Como. estamos. diante. de. acontecimentos. indepen-dentes.e.simultâneos,.vamos.começar.calculando.a.pro-babilidade.de.cada.evento.separadamente..Preste.atenção:no.caso.do.primeiro.baralho,.o.espaço.amostral.é.52.e.os.


resultados.favoráveis.são.4,.pois.sabemos.que.um.baralho.tem.4.valetes.Assim,.o.número.de.resultados.favoráveis,.4,.dividido.pelo.número.de.elementos.do.espaço.amostral,.52,.é.igual.a.1/13..Já.no.caso.do.segundo.baralho,.o.es-paço.amostral.é.o.mesmo,.52,.mas.há.apenas.1.resultado.favorável,.pois.cada.baralho.tem.somente.uma.carta.de.2.de.copas..Assim,.a.probabilidade.de.ocorrer.esse.segun-do.evento.é.de.1/52..Logo,.as.chances.de.que.esses.dois.eventos. ocorram. ao. mesmo. tempo. pode. ser. calculada.multiplicando.as.probabilidades.de.cada.um.deles..Como.1/13.x.1/52.é.igual.a.1/676,.temos.que.as.chances.de.a.carta.do.primeiro.baralho.ser.um.valete.e.a.do.segundo.ser.o.2.de.copas.é.de.1/676.

p.=.1/13.x.1/52..=.1/676

Eventos Mutuamente Exclusivos

Dois.ou.mais.eventos.são.ditos.mutuamente.exclusivos.quando.a.ocorrência.de.um.deles.impede.a.realização.do.outro..Assim,.dois.ou.mais.eventos.são.exclusivos.se.eles.não.puderem.ocorrer.simultaneamente.

A. probabilidade. de. ocorrerem. eventos. mutuamente.exclusivos.é.dada.pela.soma.das.probabilidades.isoladas.que.


cada.um.dos.eventos.tem.de.ocorrer..Portanto,.em.casos.desse.tipo,.a.probabilidade.de.ocorrência.de.um.ou.outro.evento.é.calculada.pela.expressão.p..é.igual.a.p1.+.p2..Eis.a.fórmula:

Vamos.a.um.exemplo.para.que.você.entenda.melhor.o.assunto:

Qual.a.probabilidade.de.sair.o.resultado.3.ou.o.resultado.5.em.um.único.lançamento.de.dado?.

Para. chegarmos. à. solução. desse. problema,. devemos.identificar. a.probabilidade.de. cada.um.desses. resultados.de.ocorrer. separadamente..Desta. forma,.as.chances.de.o.lançamento.de.um.dado.ter.o.3.como.resultado.são.de.1/6,.já.que,.neste.caso,.1.é.o.resultado.favorável.e.6.é.o.total.de.possibilidades.do.evento.

.Da.mesma.forma,.a.probabilidade.de.o.resultado.do.lançamento.de.um.dado.dar.6.é.de.1/6,.já.que.o.resultado.favorável.também.é.1.e.o.universo.amostral.continua.sendo.6..Agora,.partimos.para.a.soma.das.probabilidades.isoladas,.isso.significa.somar..as.chances.de.um.lançamento.com.re-


sultado.3.e.as.chances.de.um.lançamento.com.o.resultado.5..Assim,.1/6.+.1/6.é.igual.a.1/3.

p(3).=.1/6.p(5).=.1/6..p.=.p1.+.p2...............=.1/6.+.1/6...............=.2/6.=.1/3

Análise.Combinatória

O.objetivo.principal.da.análise.combinatória.é.determi-nar.o.número.de.possibilidades.que.um.determinado.evento.tem.de.ocorrer..Em.casos.relativamente.simples,.é.possível.resolver.questões.sobre.análise.combinatória.listando.todas.as.possibilidades.para,.em.seguida,.contar.o.número.delas..Para.resolver.problemas.que.envolvem.análise.combinatória.um.pouco.mais.elaborados,.uma.das.técnicas.mais.utilizadas.é.a.multiplicação.

Princípio.Multiplicativo

O.princípio.multiplicativo.é.a.principal.ferramenta.para.a.resolução.de.problemas.de.contagem,.que.são.muito.co-muns.em.análise.combinatória,.sem.que.seja.preciso.listar.e.contar.os.elementos.possíveis..Acompanhe.atentamente.os.exemplos.e.suas.explicações.


Vamos.começar.com.um.problema.de.contagem.mais.simples.

Exemplo:

Clarissa.vai.sair.com.suas.amigas.mas.está.indecisa.sobre.que.roupa.usar..Para.escolher.a.roupa.que.irá.usar,.ela.se-parou.1.saia.preta,.1.calça.azul.e.3.blusas,.sendo.a.primeira.rosa,.a.segunda.branca.e.a.terceira.vermelha..De.quantas.maneiras.ela.pode.se.arrumar?

Vejamos.as.possibilidades.desse.problema:

1ª.possibilidade:.Blusa.rosa.e.calça.azul.2ª.possibilidade:.Blusa.rosa.e.saia.preta.3ª.possibilidade:.Blusa.branca.e.calça.azul.4ª.possibilidade:.Blusa.branca.e.saia.preta.5ª.possibilidade:.Blusa.vermelha.e.calça.azul.6ª.possibilidade:.Blusa.vermelha.e.saia.preta.

Clarissa,.portanto,.pode.se.vestir.de.6.formas.diferentes.para.sair.com.suas.amigas.

Mas. esse. problema. também. pode. ser. resolvido. de.outra.forma:

Há.duas.decisões.a.serem.tomadas:.escolher.a.calça.ou.a.saia.(2.possibilidades).e.escolher.uma.das.3.blusas.(3.pos-


sibilidades)..Assim,.concluímos.que.Clarissa.pode.escolher.entre.duas.peças.como.parte.de.baixo.e.entre.três.peças.como.parte.de.cima.e.tem,.portanto,.6.decisões.possíveis.a.tomar,.já.que.2.multiplicado.por.3.é.igual.a.6.

Acompanhe.agora.um.outro.exemplo:

Um.restaurante.prepara.4.pratos.quentes.(frango,.peixe,.carne.e.salsichão),.2.saladas.(verde.e.russa).e.3.sobremesas.(sorvete,.frutas.e.Romeu.e.Julieta)..De.quantas.maneiras.diferentes.um.freguês.pode.se.servir.para.comer.um.prato.quente,.uma.salada.e.uma.sobremesa?

Vejamos.as.possibilidades.desse.problema:

Frango,.salada.verde.e.sorvete.Frango,.salada.verde.e.frutas.Frango.salada.verde.e.Romeu.e.Julieta.Frango,.salada.russa.e.sorvete.Frango,.salada.russa.e.frutas.Frango,.salada.russa.e.Romeu.e.Julieta.

Peixe,.salada.verde.e.sorvete.Peixe,.salada.verde.e.frutas.Peixe,. salada. verde. e. Romeu. e. Julieta. e. assim. por.

diante...


Como.você.já.deve.ter.percebido,.listar.todas.as.possibi-lidades.para,.em.seguida,.contar.o.número.delas.não.é.uma.forma. prática. de. solucionar. problemas. mais. elaborados..Quando.existe.um.grande.número.de.opções. e.decisões.envolvidos.em.um.problema,.muitas.vezes.se.torna.inviável.listar.o.número.total.de.possibilidades..Por.isso,.para.de-terminar.as.combinações.possíveis.e.calcular.a.quantidade.total.de.possibilidades.sem.precisar.enumerá-las,.o.ideal.é.recorrer.ao.princípio.multiplicativo.

O.mais.indicado.nesse.exemplo,.portanto,.é.aplicar.o.princípio.multiplicativo,.multiplicando.o.número.de.opções.que.o.freguês.terá.em.cada.tipo.de.prato..Para.isso,.preci-samos.primeiro.identificar.os.níveis.de.decisão.envolvidos.nesse.problema:

I)Escolher. um. entre. os. 4. tipos. de. pratos. quentes.oferecidos;

II)Escolher.um.entre.os.2.tipos.de.saladas.disponíveis;III)Escolher.uma.entre.as.3.sobremesas.possíveis.

Aplicando. o. princípio. multiplicativo,. calculamos.o. resultado. de. 4. x. 2. x. 3,. que. por. sua. vez. é. igual. a.24.Assim,.concluímos.que.o.freguês.tem.24.maneiras.diferentes. de. tomar. as. três. decisões,. ou. seja,. tem. 24.opções.de.cardápio.


Vamos.a.mais.outro.exemplo:

Quantos.números.naturais.de.4.algarismos.existem?

Os.números.de.4.algarismos.são.formados.por.4.ordens.ou.“casas”..São.elas:.milhar,.centena,.dezena.e.unidade..As.ordens.da.centena,.da.dezena.e.da.unidade.têm.dez.possibi-lidades.de.algarismos,.que.vão.do.número.0.até.o.9..O.mes-mo.não.acontece.com.a.ordem.do.milhar,.já.que.algarismo.que.ficará.na.ordem.do.milhar.não.pode.ser.o.zero..Caso.contrário,.não.se.trataria.de.uma.número.de.4.algarismos.e.sim.de.três!.Por.isso,.no.caso.da.ordem.do.milhar,.temos.nove.opções,.os.números.que.vão.do.1.até.o.9..

Vamos. então. organizar. as. decisões. envolvidas. nesse.problema:

I)Escolher.o.algarismo.do.milhar,.que.não.poderá.ser.o.zero.(temos,.assim,.9.opções);

II)Escolher.o.algarismo.da.centena.(temos.10.opções);III)Escolher. o. algarismo. da. dezena. (temos. também.

10.opções);IV)Escolher.o.algarismo.da.unidade. (também.temos.

10.opções).

Para.saber.o.total.de.números.formados,.calculamos.9.x.10.x.10.x.10,.cujo.resultado.é.9.0000..


Passemos.agora.a.um.exemplo.um.pouco.mais.complexo:

Quantos.números.naturais.de.4.algarismos.diferentes.podem.existir?

Como.você. já. sabe,.os.números.de.4. algarismos. são.formados.por.4.ordens.ou.“casas”..São.elas:.milhar,.centena,.dezena.e.unidade..Lembramos.que.a.ordem.do.milhar.não.pode.ter.o.zero.como.algarismo.e,.portanto,.tem.9.algaris-mos.possíveis.A.ordem.da.centena,.por.sua.vez,.aceita.o.zero.como.algarismo,.mas.não.pode.aceitar.o.mesmo.algarismo.que.estiver.na.ordem.do.milhar.Afinal,.nesse.problema,.os.algarismos.que.formam.o.número.de.4.casas.têm.de.ser.diferentes.entre.si..Assim,.a.centena.tem.9.possibilidades.de.algarismos,.ou.seja,.números.que.vão.do.0.ao.9,.mas.que.excluem.o.algarismo.usado.na.ordem.do.milhar.

Já.a.ordem.da.dezena,.terá.8.opções,.isto.é,.números.de..0..a.9,.mas.que.não.podem.coincidir.com.os.algarismos.que.estiverem.nas.casas.do.milhar.e.na.centena..A.ordem.da. unidade,. por. sua. vez,. terá. 7. opções,. pois. poderá. ser.ocupado.por.números.de.0.a.9,.desde.que.não.sejam.iguais.aos.números.que.estiverem.nas.casas.do.milhar,.da.centena.e.da.dezena.

Vamos. então. organizar. as. decisões. envolvidas. nesse.problema:


I)Escolher.o.algarismo.do.milhar,.que.não.poderá.ser.o.0.(temos,.assim,.9.opções);

II)Escolher.o.algarismo.da.centena,.que.não.poderá.ser.igual.ao.do.milhar.(temos.9.opções);

III)Escolher.o.algarismo.da.dezena,.que.não.poderá.ser.igual.ao.do.milhar.e.nem.ao.da.centena.(temos.8.opções);

IV)Escolher.o.algarismo.da.unidade,.que.não.poderá.ser.igual.ao.número.que.estiver.na.casa.do.milhar,.nem.ao.da.centena.e.nem.ao.da.dezena.(temos.7.opções).

Para.saber.o.total.de.números.formados,.calculamos.9.x.9.x.8.x.7,.cujo.resultado.é.4.536.

Acompanhe.mais.um.exemplo.da.aplicação.do.princípio.multiplicativo.na.análise.combinatória.

Entre. todos. os. números. naturais. de. três. algarismos.diferentes.entre.si,.quantos.deles.são.pares?

Para.resolver.esse.problema,.devemos.começar.identi-ficando.o. total.de.números.de. três. algarismos.diferentes.possíveis,.como.já.fizemos.anteriormente.

Na.ordem.da.centena,.os.algarismos.possíveis.vão.de.1.a.9,.pois.o.número.zero.está.excluído..Temos,.portanto,.9.opções.para.a.“casa”.da.centena..Na.ordem.da.dezena,.por.


sua.vez,.os.algarismos.possíveis.vão.de.0.a.9.mas.precisamos.excluir.o.número.usado.na.centena..Portanto,.temos.tam-bém.9.opções.para.a.ordem.da.dezena..No.caso.da.ordem.da.unidade,.há.8.opções,.já.que.os.algarismos.possíveis.vão.de.0.a.9.e.temos.que.excluir.os.dois.algarismos.usados.na.centena.e.na.dezena.

Acompanhe.as.decisões.que.devem.ser.tomadas.na.pri-meira.parte.deste.problema:

I)Escolher.o.algarismo.da.centena,.que.não.poderá.ser.o.zero.(temos,.assim,.9.opções);

II)Escolher. o. algarismo. da. dezena,. que. não. poderá.coincidir.com.o.da.centena.(temos.9.opções);

III)Escolher.o.algarismo.da.unidade,.que.não.poderá.coincidir.com.os.números.que.ocupam.as.“casas”.da.centena.e.da.dezena.(temos.8.opções).

Calculamos.então.o.valor.de.9.x.9.x.8,.que.é.igual.a.648.

Passemos.agora.à.segunda.parte.do.problema,.em.que.pre-cisamos.descobrir.quantos.desses.648.números.são.pares...

Para. que. um. número. seja. par,. seu. último. algarismo.também.deve.ser.par,.o.que.significa.dizer.que.um.número.par.pode.ser.terminado.em.0,.2,.4,.6.e.8..Assim,.o.alga-rismo.da.unidade.tem.5.opções,.podendo.ser.o.números.0,.2,.4,.6.e.8..Já.o.primeiro.algarismo,.o.da.centena,.não.


pode.ser.o.zero,.como.vimos.em.outros.exemplos..Porém,.encontramos.uma.situação.diferente.nesse.problema..Se.o.zero.tiver.sido.usado.na.casa.da.unidade,.a.casa.da.centena.tem.9.opções,.ou.seja,.números.que.vão.de.1.a.9..Caso.o.número.usado.na.ordem.da.unidade.não.seja.o.zero,.a.casa.da.centena.terá.8.opções,.isto.é,.os.números.que.vão.de.1.a.9.menos.o.algarismo.que.ocupa.a.ordem.da.unidade..Como.sair.desse.impasse?

Vamos.conhecer..as.soluções.possíveis:

Solução I –. Desmembrar. a. resolução. do. problema,.calculando. separadamente. cada. caso..Você. conta,. então,.as. opções. que. o. algarismo. da. centena. teria. se. a. casa. da.unidade. estivesse. ocupada. pelo. zero,. ou. seja,. 9. opções..Paralelamente,.você.deve.contar.o.número.de.opções.que.a.casa.da.centena.teria.se.a.casa.da.unidade.não.estivesse.ocupada.pelo.zero,.isto.é,.8.opções..

Como.acabamos.de.ver,.com.o.zero.na.casa.da.unidade,.teremos,.então,.9.opções.para.centena,.já.que.devemos.con-siderar.como.algarismos.possíveis.os.que.vão.de.1.a.9..Para.a.casa.da.dezena,.por.sua.vez,.teremos.8.opções,.já.que.ela.pode.ser.ocupada.por.números.de.0.a.9.menos.os.números.usados.nas.ordens.da.centena.e.da.unidade..Se.ordem.da.unidade.for.ocupada.pelo.zero,.portanto,.calculamos.o.total.


de.opções.possíveis.através.da.conta.9.x.8.x.1,.que.é.igual.a.72.números.

Acompanhe.agora.como.podemos.calcular.o.número.total.de.possibilidades.caso.a.casa.da.unidade.seja.ocupada.por.um.algarismo.diferente.de.zero..Nessa.situação,.há.8.opções.para.a.casa.da.centena,.isto.é,.números.de.1.a.9.menos.o.algarismo.que.ocupa.a.ordem.da.unidade..Já.para.a.casa.da.dezena,.exis-tem.também.8.opções,.números.de.0.a.9.menos.os.algarismos.que.ocupam.as.casas.da.centena.e.da.unidade.

A.unidade,.nesse.caso,.tem.então.4.opções,.os.números.2,.4,.6.e.8,.já.que.consideramos.nessa.solução.que.o.zero.não.está.na.casa.da.unidade..O.cálculo.dessa.parte.do.problema.seria,..8.x.8.x.4,.que.é.igual.a.256.números.

Para.finalizar.essa.solução,.somamos.256.(total.de.possi-bilidades.quando.o.último.algarismo.for.diferente.de.zero).com.72.(total.de.possibilidades.quando.o.último.algarismo.for.o.zero)..256.+.72.é.igual.a.328,.o.que.significa.que.há.328.números.pares.de.três.algarismos.diferentes.entre.si.

Solução 2 –.Em.uma.outra.forma.de.chegar.a.esse.mes-mo.resultado,.partimos.do.cálculo.dos.números.possíveis.com.3.algarismos.diferentes,.ou.seja,.648,.como.já.calcu-lamos.no.início.da.resolução.desse.exemplo..Em.seguida,.calculamos.os.números.ímpares.possíveis.com.3.algarismos.diferentes,.o.que.é.um.recurso.para.que.não.seja.necessário.


desmembrar.o.problema..Para.que.um.número.seja.ímpar,.é.preciso.que.ele.termine.em.1,.3,.5,.7.ou.9,.o.que.quer.dizer,.que.existem.5.opções.para.a.ordem.da.unidade..A.casa.da.centena,.por.sua.vez,.pode.ser.ocupada.por.números.de.1.a.9.menos.o.número.que.ocupa.a.casa.da.unidade,.ou.seja,.tem.8.opções..Finalmente,.a.casa.da.dezena.pode.ser.ocupada.por.números.de.0.a.9.menos.os.números.que.ocu-pam.as.ordens.da.centena.e.da.unidade,.isto.é,.tem.também.8.opções..Calculamos,.então,.8.x.8.x.5,.que.é.igual.a.320.números..Depois.disso,.subtraímos.o.total.de.possibilidades.de.números.ímpares.de.três.algarismos.diferentes.entre.si,.320,.do.número.total.de.possibilidades.de.números.de.três.algarismos.diferentes,648.

Assim,.calculamos.648.-.320,.que.é.igual.a.328.números..Há,.portanto,.328.números.pares.de.três.algarismos.diferen-tes.entre.si..Como.você.já.pôde.perceber,.usamos.soluções.diferentes.para.alcançar.o.mesmo.resultado.

Vamos.agora.um.último.exemplo:

Antigamente,.as.placas.de.automóveis,.no.Brasil,.eram.formadas.por.duas.letras.–.incluindo.o.K,.o.Y.e.o.W.–.e.quatro. algarismos.. Depois,. as. placas. passaram. a. ter. três.letras. e. quatro. algarismos.. Quantas. placas. do. tipo. mais.novo.podem.existir?

Cada.um.dos.3.espaços.destinados.a. letras.pode. ser.preenchido.por.26.algarismos,.já.que.se.incluirmos.o.K,.Y.


e.W.termos.um.alfabeto.de.26.letras..Em.cada.um.dos.4.espaços.da.placa.destinados.a.números,.temos.10.opções.de.preenchimento..Assim,.devemos.calcular.o.valor.de.26.x.26.x.26.x.10.x.10.x.10.x.10,.conta.que.equivale.a.26.ao.cubo.multiplicado.por.10.elevado.à.quarta.potência..Fazendo. essa. operação,. chegamos. à. conclusão. de. que.existem. 175.760.000. possibilidades. de. placa. no. novo.modelo.implantado.

Permutações

Em.algumas.questões.de.análise.combinatória,é.comum.que.seja.preciso.calcular.de.quantas.formas.podemos.or-ganizar.um.certo.conjunto..Em.problemas.de.contagem.desse.tipo,.usamos.as.permutações,.que.são.muito.úteis.para.determinar.as.formas.possíveis.de.organizar.os.elementos.de.um.grupo..Na.permutação,.todos.os.elementos.que.fazem.parte.do.espaço.amostral.são.utilizados.

Vamos.partir.para.os.exemplos.para.que.você.entenda.como.as.permutações.funcionam..Começaremos.com.um.exemplo.bem.simples.

Qual. é. o. número. mínimo. de. crianças. que. devemos.reunir.para.termos.certeza.de.que.haverá.sempre.duas.delas.que.fazem.aniversário.no.mesmo.mês?


Um.ano.tem.12.meses,.então,.em.um.grupo.de.doze.crianças,.há.a.possibilidade.de.cada.uma.fazer.aniversário.em.um.mês.diferente..Seguindo.esse.raciocínio,.o.número.mínimo.para.que.haja.duas.crianças.no.grupo.que.façam.aniversário.no.mesmo.mês.é.13.

Acompanhe.agora.um.outro.exemplo:

Em.um.escritório,.temos.um.arquivo com.5.pastas..De. quantas. formas. podemos. organizá-las. dentro. do.arquivo?

Em.cada.forma.de.organização.das.pastas.dentro.do.arquivo,.cada.uma.delas.poderá.ocupar.apenas.uma.po-sição.Assim,.a.primeira.pasta.terá.5.opções.de.posição,.a.segunda.terá.4.opções.de.posição,.a.terceira,.3.opções,.a.quarta,.2.opções.e.a.quinta,.apenas.uma..Multiplicando.5,.4,.3,.2.e.1,.chegamos.ao.número.120..Concluímos,.assim,.que.existem.120.formas.de.organizar.as.5.pastas.no.arquivo.

P.=.5!...=.5.x.4.x.3.x.2.x.1...=.120


Vamos.a.um.outro.exemplo:

De.quantas. formas.podemos.organizar.uma.fila.de.4.pessoas?

Ao.escolhermos.uma.pessoa.para.ocupar.o.primeiro.lugar.na.fila,.teremos.automaticamente.3.pessoas.possíveis.para.ocupar.o.segundo.lugar.e.assim.sucessivamente..Portanto,.devemos.calcular.o.resultado.de.4.x.3.x.2.x.1.para.desco-brir.de.quantas.formas.4.pessoas.poderão.formar.uma.fila..Temos,.então,.que.há.24.formas.de.organizarmos.4.pessoas.em.uma.fila.

P.=.4!...=.4.x.3.x.2.x.1...=.24

Tipos.de.Permutação

Depois.de.acompanhar.outros.exemplos.de.problemas.que.envolvem.permutação,.vamos.voltar.um.pouco.à.teo-ria..As.permutações.podem.ser.simples,.com.repetição.ou.circulares,.mas.antes.de.aprender.mais. sobre.os. tipos.de.permutação,.vamos.entender.o.que.é.fatorial.

O.fatorial.de.um.número.natural.n,.representado.pela.letra.n.seguida.de.um.ponto.de.exclamação.(ou.seja,.n!),.é.


igual.ao.produto.sucessivo.desse.número.pelos.seus.ante-cessores.até.chegar.à.unidade.

O.fatorial.de.n.(representado.por.n!),.portanto,.é.igual.a.n.x.(n.–.1).x.(n.–.2).x.(n.–.3)...até.chegar.à.multiplica-ção.pelo.número.1..Assim,.o.fatorial.de.5.(ou.seja,.5!).é.5.4.3.2.1,.que.é.igual.a.120..Eis.a.fórmula:

ATENção:.Perceba.que.o.fatorial.de.4.(isto.é,.4!),.que.encontramos.através.da.conta.4x3x2x1.é.o.mesmo.que.4.x.o.fatorial.de.3..Assim,.quando,.para.calcular.um.fatorial,.estivermos.multiplicando.um.número.pelo.seu.antecessor,.podemos.parar.de.calcular.antes.de.chegar.a.número.1..Para.isso,.basta.completar.o.número.em.que.você.parou.com.o.sím-bolo.do.fatorial,.que.é.uma.exclamação..Esse.recurso.pode. ser. extremamente.útil,.uma.vez.nos.permite.simplificar.expressões.como:..fatorial.de.7.dividido.por.fatorial.de.5.(7!./.5!)..Essa.expressão.pode.ser.trans-formada.em.7.x.6.x.fatorial.de.5.(isto.é,.5!).dividido.por.fatorial.de..5.(isto.é,.5!)..Ao.eliminarmos.o.fatorial.de.5.(representado.por.5!).da.expressão,.temos.apenas.que.calcular.o.valor.de.7.x.6,.que.é.igual.a.42.


Por.uma.questão.de.convenção,.o.fatorial.de.1.(1!).é.1,.e.o.fatorial.de.zero.(0!).também.é.0.

Vamos.agora.aos.tipos.de.permutação.existentes:

Permutação Simples

É. a. permutação. de. n elementos. distintos. em. grupos.de.n.elementos,.de.forma.que.cada.grupo.difere.do.outro.apenas.pela.ordem.de.seus.elementos..As.permutações.dos.exemplos.que.você.acabou.de.acompanhar.são.justamente.do.tipo.simples.

Como.você.deve.ter.percebido,.os.cálculos.usados.na.per-mutação.simples.seguem.um.padrão.e.podem.ser.resumidos.pela.fórmula:.n.x.(n-1).x.(n-2).x.(n.–3)....e.assim.sucessiva-mente,.até.chegar.à.multiplicação.pelo.número.1.

Assim,.na.permutação.simples,.permutação.de.n.é.igual.a.n.fatorial..Essa.é.a.fórmula.


Permutação com Repetição

A.permutação.com.repetição.ocorre.quando.temos.um.número.n.de.elementos.para.permutar.e.esses.elementos.se.dividem.em.categorias.diferentes.

Para.calcularmos.a.permutação.por.repetição,.devemos.usar.a. fórmula:. fatorial.de.n.dividido.pelos. fatoriais.que.representam.as.categorias.em.que.esses.elementos.se.dividem.(n!./.a!.x.b!.x.c!)..Essa.é.a..fórmula:

Vamos.ao.exemplo:.Quantos.anagramas.tem.a.palavra.ARARA?

Anagrama.é.uma.palavra.obtida.a.partir.da.reorganização.das.letras.de.uma.outra.palavra..Para.a.criação.de.um.anagra-ma.é.indispensável.que.a.nova.palavra.tenha.exatamente.as.mesmas.letras.da.palavra.original..Na.verdade,.o.anagrama.é.uma.permutação.feita.com.as.letras.de.uma.outra.palavra.

No.caso.da.palavra.ARARA,.a.letra.A.aparece.duas.vezes.e.a.letra.R.três.vezes..Além.disso.o.número.total.de.elementos.que.irão.permutar.é.5,.já.que.ARARA.tem.5.letras..Desta.forma,.para.


saber.a.quantidade.de.anagramas.dessa.palavra.devemos.calcular.a.expressão.fatorial.de.5.dividido.por.fatorial.de.3.multiplicado.por.fatorial.de.2.(5!./.3!.x.2!)..O.resultado.dessa.expressão.é.10,.o.que.significa.que.a.palavra.ARARA.tem.10.anagramas.

5.x.4.x.3!./.3!.X.2!=20./.2=.10

Permutação Circular

A.permutação.circular.é.aquela.em.que.temos.n.elemen-tos.em.n lugares.ao.redor.de.um.círculo..Quando.ocorre.esse.tipo.de.permutação,.temos.um.único.grupo.de.elementos.en-volvidos,.já.que.eles.ficam.dispostos.em.um.círculo.Assim,.se.os.elementos.A,.B,.C.e.D,.estiverem.organizados.em.círculo,.então.ABCD.=.BCDA.=.CDAB.=.DABC..Para.solucionar.problemas.de.permutação.circular,.devemos.aplicar.a.fórmula.fatorial.de.n.(ou.seja,.n!).dividido.por.n..Simplificando.essa.fórmula,.podemos.dizer.também.que.a.permutação.circular.pode.ser.calculada.subtraindo-se.o.número.1.de.n.e,.depois,.calculando.o.fatorial.desse.resultado.

Assim,.a.permutação.circular.de.n.é.igual.ao.fatorial.do.resultado.de.n.menos.1..Esta.é.a.fórmula:


Acompanhe.a.resolução.de.um.exemplo.para.entender.melhor.a.permutação.circular:

De.quantas. formas.podemos.organizar.4.crianças.em.uma.roda?

Para.começar,.por.uma.questão.de.praticidade,.vamos.chamar.as.4.crianças.do.problema.de.A,.B,.C.e.D..Note.que.temos.um.total.de.4.rodas.com.a.mesma.organização.neste.exemplo,.já.que.a.posição.de.cada.uma.das.crianças.em.relação.às.outras.não.muda..Lembre-se.de.que,.no.caso.da.permutação.circular,.ABC.=.BCA=.CBA..Por.outro.lado,.se.as.crianças.estivessem.dispostas.em.uma.fila.as.permutações.fariam.toda.a.diferença.na.posição.delas.

Para.não.considerar.como.diferentes.as.rodas.que,.na.ver-dade,.são.iguais,.devemos.calcular.o.número.de.organizações.possíveis.para.uma.roda.de.4.crianças.pela.expressão.fatorial.de.4.(isto.é,.4!).dividido.por.4,.cujo.resultado.é.6..A.divisão.pelo.número.4.serve.para.que.não.sejam.contabilizadas.as.4.permutações.sem.efeito.que.acontecem.na.roda.

P=.4!./.4...=4.x.3!./.4...=3!=.3.x.2.x.1=.6


Combinação

Tanto.no.princípio.multiplicativo.quanto.nas.permuta-ções,.todos.os.elementos.são.usados.na.formação.de.grupos.e.a.ordem.em.que.esses.elementos.são.organizados.é.relevante..No.caso.da.combinação,.que.estudaremos.agora,.essas.duas.características. deixam. de. valer.. Assim,. na. combinação,.ao.contrário.do.que.acontece.nos.outros.tipos.de.análise.combinatória,.não.se.utilizam.todos.os.elementos.e.nem.a.ordem.em.que.eles.estão.dispostos.importa.

Para.aplicar.a.fórmula.da.combinação,.devemos.conside-rar.que.temos.n.elementos.disponíveis.e.que.escolheremos.apenas.p.desses.elementos.

Portanto,.a.combinação.de.n.elementos.tomados.p.a.p.é.igual.ao.fatorial.de.n.dividido.pelo.fatorial.de.p.multiplicado.pelo.fatorial.do.resultado.de.n.menos.p..Eis.a.fórmula:

Acompanhe.um.exemplo.para.entender.melhor.a.com-binação:

Clarissa.tem.3.festas.para.ir.neste.final.de.semana.e.5.opções.de.vestido.para.usar..De.quantas.formas.diferentes.ela.pode.escolher.3.roupas.para.usar.nas.festas?


Perceba.que,.ao.contrário.do.que.acontece.no.princípio.multiplicativo.e.na.permutação,.apenas.3.dos.5.elementos.do.exemplo.serão.utilizados..Da.mesma.forma,.a.ordem.em. que. os. vestidos. serão. usados. não. é. relevante. nesse.problema..Temos. aqui,. portanto,. uma. combinação. de.5.elementos.-.isto.é,.os.vestidos.-.3.a.3.-.já.que.apenas.três.deles.serão.escolhidos..Aplicando.a.fórmula.da.com-binação,.montamos. a. expressão:. fatorial. de.5.dividido.pelo.fatorial.de.3.multiplicado.pelo.fatorial.de.2,.que.é.a.diferença.entre.n,.que.neste.caso.é.5,.e.p,.que.é.3..O.resultado.dessa.conta.é.10,.o.que.significa.dizer.que.há.10.formas.diferentes.de.se.escolher.as.roupas.que.serão.usadas.nas.festas.

C.3,.5.=.5!./.3!.X.(5-3)!.........=.5!./.3!.x.2!.........=.5.x.4.x.3!./.3!.X.2.........=.20./.2.........=.10

Vejamos.mais.um.exemplo:

Doze.pessoas.estão.concorrendo.a.bolsas.de.estudos.em.um.curso.de.idiomas,.mas.há.apenas.9.vagas.disponíveis.para.bolsis-tas..De.quantas.formas.essas.vagas.poderão.ser.preenchidas?

Temos.aqui.uma.combinação.de.12.pessoas.para.formar.grupos.de.9,.ou.seja,.uma.combinação.de.12.elementos.9.a.


9..Aplicando.a.fórmula.da.combinação.chegamos.à.expres-são:.fatorial.de.doze.dividido.por.fatorial.de.9.multiplicado.por.fatorial.de.3,.que.é.a.diferença.entre.12.e.9,.ou.seja,.entre.o.número.de.pessoas.e.o.número.de.vagas..O.resultado.dessa.expressão.é.220,.o.que.significa.dizer.que.existem.220.formas.diferentes.de.se.escolher.os.bolsistas.

C.9,.12.=.n!./.p!.(n-p)!...........=.12!./.9!.(12.–.9)!...........=.12.x.11.x.10.x.9!./.9!.X.3!...........=.1320./.3!...........=.1320./.6...........=.220

Arranjo

Na.Análise.Combinatória,.os.arranjos.são.grupos.orde-nados.de.elementos.distintos.em.que.a.ordem.é.importante...Assim,.temos.um.arranjo.se.os.grupos.ficam.diferentes.quan-do.invertemos.a.posição.dos.seus.elementos..Os.arranjos.podem.ser.simples.ou.com.repetição.

Assim,. representando.o.número. total. de. arranjos. de.n.elementos.tomados.p.a.p,.chegamos.à.fórmula.fatorial.de.n.dividido.pelo.fatorial.do.resultado.de.n –.p..Esta.é.a.fórmula:


Acompanhe.o.exemplo.para.entender.melhor:

Quantos.números.de.três.algarismos.diferentes.entre.si.podemos.formar.com.os.números.1,.3,.5,.7.e.9?

Note.que. se.quisermos. formar.números.de. três. alga-rismos.distintos.com.os.números.1,.3,.5,7.e.9.teremos.as.seguintes. centenas:135;. 137;139;. 153,. 157. e. assim. por.diante.. Caso. a. posição. dos. elementos. de. qualquer. uma.destas.centenas.seja.modificada,.encontraremos.números.diferentes.de.três.dígitos..O.número.135,.por.exemplo,.vira.351.se.a.ordem.de.seus.algarismos.for.invertida..Estamos,.portanto,.diante.de.um.arranjo.de.5.números.(1,.3,.5,.7.e.9).em.grupos.de.três.algarismos..Aplicando.a.regra,.temos.que.o.fatorial.de.5.dividido.pelo.fatorial.do.resultado.de.5.–3,.ou.seja,.2,.é.igual.a.60..Desta.forma,.utilizando.apenas.os.cinco.primeiros.números.ímpares,.podemos.formar.60.centenas.de.algarismos.diferentes.

A.n,p=.n!./.(n.-.p)!A.5,3.=.5!/(5-3)!.A.5,3.=.5!/2!.


A.5,3.=.5.x.4.x.3.x.2!/2!A.5,3.=.5.x.4.x.3.=.60

Mais.um.exemplo:

Com.um.alfabeto.de.26.letras,.quantos.arranjos.de.3.letras,.sem.repetição,.podem.ser.montados?.

Neste.caso,.queremos.formar.grupos.de.três.letras.dife-rentes.entre.si.a.partir.de.um.alfabeto.de.26.letras.Assim,.temos.aqui.um.arranjo.de.26.letras.em.grupos.de.três.alga-rismos..Usando.a.fórmula,.temos.que.fatorial.de.26.dividido.pelo.fatorial.do.resultado.de.26.–3,.ou.seja,.pelo.fatorial.de.23,.é.igual.a.15.600..Concluímos.então.que.com.26.letras.podemos.formar.15.600.grupos.de.três.letras.distintos.

A.n,p.=.n!/(n-p)!n=26,.p=3A.=.26!/(26.–.3)A.=.26.x.25.x.24.x.23!./.23!A.=.26.x.25.x.24A.=.15.600

Questões.Resolvidas./.105

Capítulo.14./.Questões.Resolvidas.

Agora.que.você.já.estudou.os.principais.pontos.cobrados.em.provas.de.Lógica.em.concursos,.vamos.acompanhar.a.resolução.de.questões.de.provas.anteriores!

1..Prova.para.o.cargo.de.Fiscal.do.Trabalho..De.três.ir-mãos.–.José,.Adriano.e.Caio.–.sabe-se.que.ou.José.é.o.mais.velho,.ou.Adriano.é.o.mais.moço..Sabe-se.também.que.ou.Adriano.é.o.mais.velho,.ou.Caio.é.o.mais.velho..Então,.o.mais.velho.e.o.mais.moço.dos.três.irmãos.são,.respectivamente:

a).Caio.e.Joséb).Caio.e.Adrianoc).Adriano.e.Caiod).Adriano.e.Josée).José.e.Adriano

Resolução:Temos.as.seguintes.proposições:Ou.José.é.o.mais.velho,.ou.Adriano.é.o.mais.moço..(I)Ou.Adriano.é.o.mais.velho,.ou.Caio.é.o.mais.velho..(II)A.proposição.“ou.Adriano.é.o.mais.velho,.ou.Caio.é.

o.mais. velho”. será.verdadeira. se,. e. somente. se,.uma.das.proposições.for.verdadeira.


Assim,.se.Caio.é.o.mais.velho,.Adriano.não.é.o.mais.velho.Já.a.proposição.“ou.José.é.o.mais.velho,.ou.Adriano.é.o.

mais.moço”.será.verdadeira.se.pelo.menos.uma.das.propo-sições.for.verdadeira.

“José.é.mais.velho”.é.falso.de.acordo.com.a.segunda.pro-posição,.que.afirma.que.o.mais.velho.é.Adriano.ou.Caio.

Assim,.se.José.não.é.o.mais.velho,.Adriano.é.o.mais.moço.e,.conseqüentemente,.Caio.é.o.mais.velho.

Resposta correta:.Opção.B..O.mais.velho.e.o.mais.novo.são,.respectivamente,.Caio.e.Adriano.

2..Questão.retirada.de.prova.organizada.pela.ESAF..Se.Carlos.é.mais.velho.do.que.Pedro,.então.Maria.e.Júlia.têm.a.mesma.idade..Se.Maria.e.Júlia.têm.a.mesma.idade,.então.João.é.mais.moço.do.que.Pedro..Se.João.é.mais.moço.do.que.Pedro,.então.Carlos.é.mais.velho.do.que.Maria..Ora,.Carlos.não.é.mais.velho.do.que.Maria..Então:

a).Carlos.não.é.mais.velho.do.que.Leila,.enquanto.João.é.mais.moço.do.que.Pedro.

b).Carlos.é.mais.velho.do.que.Pedro.e.Maria.e.Júlia.têm.a.mesma.idade.

c).Carlos.e.João.são.mais.moços.que.Pedro.d).Carlos.é.mais.velho.do.que.Pedro,.enquanto.João.é.

mais.moço.do.que.Pedro.e).Carlos.não.é.mais.velho.do.que.Pedro,.enquanto.Maria.

e.Júlia.não.têm.a.mesma.idade.


Resolução:Temos.a.partir.da.última.informação.dada.pelo.enunciado.

que.Carlos.não.é.mais.velho.do.que.Maria,.então.podemos.concluir.que.João.não.é.mais.jovem.do.que.Pedro..Se.João.não.é.mais.jovem.do.que.Pedro,.podemos.afirmar.que.Maria.e.Júlia.não.têm.a.mesma.idade..Se.elas.não.têm.a.mesma.ida-de,.concluímos.que.Carlos.não.é.mais.velho.do.que.Pedro..

Resposta correta:.Opção.E..Carlos.não.é.mais.velho.do.que.Pedro,.enquanto.Maria.e.Júlia.não.têm.a.mesma.idade.

3..Questão.retirada.da.prova.para.cargo.de.auditor.fiscal..Se.Nestor.disse.a.verdade,.Júlia.e.Raul.mentiram..Se.Raul.mentiu,.Lauro.falou.a.verdade..Se.Lauro.falou.a.verdade,.há.um.leão.feroz.na.sala..Ora,.não.há.um.leão.feroz.nesta.sala,.logo:

a).Nestor.e.Júlia.disseram.a.verdadeb).Nestor.e.Lauro.mentiramc).Raul.e.Lauro.mentiramd).Raul.mentiu.ou.Lauro.disse.a.verdadee).Raul.e.Júlia.mentiram

Resolução:Como.não.há.um.leão.feroz.na.sala,.podemos.concluir.

que.Lauro.mentiu..Assim,.se.Lauro.mentiu,.Raul,.por.sua.vez,.falou.a.verdade..Se.Raul.falou.a.verdade,.então.Júlia.também.falou.a.verdade..


Se.Júlia.e.Raul.disseram.a.verdade,.Nestor.mentiu.

Resposta correta:.Opção.B..Nestor.e.Lauro.mentiram.

4..Questão.retirada.da.prova.para.cargo.de.auditor.fiscal..José.quer.ir.ao.cinema.assistir.ao.filme.“Fogo.contra.Fogo”,.mas.não.tem.certeza.se.o.mesmo.está.sendo.exibido..Seus.amigos,.Maria,.Luís.e.Júlio.têm.opiniões.discordantes.sobre.se.o.filme.está.ou.não.em.cartaz..Se.Maria.estiver.certa,.então.Júlio.está.enganado..Se.Júlio.estiver.enganado,.então.Luís.está.enganado..Se.Luís.estiver.enganado,.então.o.filme.não.está.sendo.exibido..Ora,.ou.o.filme.“Fogo.contra.Fogo”.está.sendo.exibido.ou.José.não.irá.ao.cinema..Verificou-se.que.Maria.está.certa,.logo:

a).O.filme.“Fogo.contra.Fogo”.está.sendo.exibidob).Luís.e.Júlio.não.estão.enganadosc).Júlio.está.enganado,.mas.não.Luísd).Luís.está.enganado,.mas.não.Júlioe).José.não.irá.ao.cinema

Resolução:Se. Maria. está. certa,. como. nos. é. revelado. no. fim. do.

enunciado,. Júlio. está. errado. e,. conseqüentemente,. Luís.também.está.enganado..Luís.está.errado,.o.filme.não.está.sendo.exibido.e,.portanto,.José.não.irá.ao.cinema.

Resposta correta: Opção.E..José.não.irá.ao.cinema.


5..Questão.retirada.de.concurso.organizado.pela.AFC.no.ano.de.96...Se.Beto.briga.com.Glória,.então.Glória.vai.ao.cinema..Se.Glória.vai.ao.cinema,.então.Carla.fica.em.casa..Se.Carla.fica.em.casa,.então.Raul.briga.com.Carla..Ora,.Raul.não.briga.com.Carla..Logo:

a).Carla.não.fica.em.casa.e.Beto.não.briga.com.Glória.b).Carla.fica.em.casa.e.Glória.vai.ao.cinema.c).Carla.não.fica.em.casa.e.Glória.vai.ao.cinema.d).Glória.vai.ao.cinema.e.Beto.briga.com.Glória.e).Glória.não.vai.ao.cinema.e.Beto.briga.com.Glória.

Resolução:Se.sabemos.que.Raul.não.briga.com.Carla,.podemos.con-

cluir.que.Carla.não.fica.em.casa..Se.Carla.não.fica.em.casa,.isto.significa.que.Glória.não.vai.ao.cinema..Ora,.se.Glória.não.vai.ao.cinema,.então.Beto.não.briga.com.Glória..Portanto,.Carla.não.fica.em.casa.e.Beto.não.briga.com.Glória.

Resposta correta:.Opção.A..Carla.não.fica.em.casa.e.Beto.não.briga.com.Glória.


Questões.de.Concursos

1).(TTN)..Se.é.verdade.que.“Alguns.A.são.R”.e.que.“Ne-nhum.G.é.R”,.então.é.necessariamente.verdadeiro.que.

a).algum.A.não.é.G.b).algum.A.é.G.c).nenhum.A.é.G.d).algum.G.é.Ae).nenhum.G.é.A

2).(ESAF)..Considere.a.sentença:.“Paulo.passará.no.exame,.pois.é.aluno.estudioso.e.alunos.estudiosos.passam.no.exame.”.A.conclusão.do.argumento.expresso.por.esta.sentença.é:

a).Paulo.é.estudioso.b).Existem.alunos.estudiosos.c).Paulo.passará.no.exame.d).Alunos.estudiosos.passam.no.exame.e).Paulo.é.estudioso.ou.existem.alunos.estudiosos.

3).(ESAF)..Uma.seqüência.lógica.equivalente.a.“Se.Pedro.é.economista,.então.Luisa.é.solteira.”.é:

a).Pedro.é.economista.ou.Luisa.é.solteira.b).Pedro.é.economista.ou.Luisa.não.é.solteira.c).Se.Luisa.é.solteira,.Pedro.é.economista.

Questões.de.Concursos./.111

d).Se.Pedro.não.é.economista,.então.Luisa.não.é.solteira.e).Se.Luisa.não.é.solteira,.então.Pedro.não.é.economista.

4).(ESAF)..Das.premissas:A:.“Nenhum.herói.é.covarde.”B:.“Alguns.soldados.são.covardes.”Pode-se.concluir.corretamente.que:

a).alguns.heróis.são.soldados.b).alguns.soldados.não.são.heróis.c).nenhum.soldado.é.herói.d).alguns.soldados.não.são.covardes.e).nenhum.soldado.é.herói.

5).(ESAF)..Se.Ana.não.é.advogada,.então.Sandra.é.se-cretária..Se.Ana.é.advogada,.então.Paula.não.é.professora..Ora,.Paula.é.professora..Portanto:

a).Ana.é.advogada.b).Sandra.é.secretária.c).Ana.é.advogada.ou.Paula.não.é.professora.d).Ana.é.advogada.e.Paula.é.professora.e).Ana.não.é.advogada.e.Sandra.é.secretária.

6).(ESAF)..Se.não.é.verdade.que.“Alguma.professora.uni-versitária.não.dá.aulas.interessantes”,.então.é.verdade.que:

a).todas.as.professoras.universitárias.dão.aulas.interessantes.b).nenhuma.professora.universitária.dá.aulas.interessantes.


c).nenhuma.aula.interessante.é.dada.por.alguma.pro-fessora.universitária.

d). nem. todas. as. professoras. universitárias. dão. aulas.interessantes.

e).todas.as.aulas.interessantes.são.dadas.por.professoras.universitárias.

7).(ESAF).Considere.a.seguinte.sentença:“A.nenhum.homem.é.consentido.ser.juiz.em.causa.própria,.

porque.seu.interesse.certamente.influirá.em.seu.julgamento,.e,.não.improvavelmente,.corromperá.a.sua.integridade:

A.conclusão.do.argumento.expresso.por.resta.sentença.é:a).os.interesses.corrompem.a.integridade.b).os.interesses.influenciam.nos.julgamentos.c).os.interesses.influenciam.nos.julgamentos.e.provavel-

mente.corrompem.a.integridade.d). a.nenhum.homem.é. consentido. ser. juiz. em.causa.

própria.e).Julgar.em.causa.própria.provavelmente.corrompe.a.

integridade.de.quem.julga.

8).(Banco.Central./.Analista)..Assinale.a.frase.que.contra-diz.a.seguinte.sentença:.Nenhum.pescador.é.mentiroso.

a).Algum.pescador.é.mentiroso.b).Nenhum.mentiroso.é.pescador.


c).Todo.pescador.não.é.mentiroso.d).Algum.mentiroso.não.é.pescador.e).Algum.pescador.não.é.mentiroso.

9).(Banco.Central./.Analista)..Alfredo.é.pelo.menos.tão.alto.quanto.João..Pedro.é.no.máximo.tão.alto.quanto.Mar-celo..Alfredo.não.é.tão.alto.quanto.Marcelo..Portanto:

a).João.não.é.tão.alto.quanto.Alfredo.b).Marcelo.é.pelo.menos.tão.alto.quanto.João.c).Marcelo.não.é.tão.alto.quanto.Alfredo.d).Alfredo.é.pelo.menos.tão.alto.quanto.Pedro.e).João.é.pelo.menos.tão.alto.quanto.Pedro.

10).(Banco.Central./.Analista)..Quem.não.fuma.econo-miza.dinheiro..Nenhum.vegetariano.fuma..Logo,

a).quem.fuma.não.economiza.dinheiro.b).quem.economiza.dinheiro.é.vegetariano.c).todo.vegetariano.economiza.dinheiro.d).nenhum.vegetariano.economiza.dinheiro.e).algum.vegetariano.não.economiza.dinheiro.

11).(Banco.Central./.Analista)..Todos.os.jornalistas.defen-dem.a.liberdade.de.expressão..Cristina.não.é.jornalista..Logo,

a). nem. todos. os. jornalistas. defendem. a. liberdade. de.expressão.


b).não.existe.jornalista.que.não.defenda.a.liberdade.de.expressão.

c). existe. jornalista. que. não. defende. a. liberdade. de.expressão.

d).Cristina.não.defende.a.liberdade.de.expressão.e).Cristina.defende.a.liberdade.de.expressão.

12).(Banco.Central./.Analista).Somente.os.transgressores.são.punidos..Algum.motorista.é.transgressor..Logo,

a).nenhum.motorista.é.punido.b).somente.os.motoristas.são.punidos.c).somente.os.punidos.são.transgressores.d).todos.os.punidos.são.transgressores.e).todos.os.motoristas.são.transgressores.

13).(Banco.Central./.Analista)..Se.Pedro.gosta.de.Pi-menta,.então.ele.é.falante..Portanto,

a). se. Pedro. não. é. falante,. então. ele. não. gosta. de.pimenta.

b).se.Pedro.é.falante,.então.ele.gosta.de.pimenta.c).se.Pedro.é.falante,.então.ele.não.gosta.de.pimenta.d). se. Pedro. não. gosta. de. pimenta,. então. ele. não. é.

falante.e).se.Pedro.gosta.de.pimenta,.então.ele.não.é.falante.


14).(Banco.Central./.Analista)..Jair.está.machucado.ou.não.quer.jogar..Mas.Jair.quer.jogar..Logo,.

a).Jair.não.está.machucado.nem.quer.jogar.b).Jair.não.quer.jogar.nem.está.machucado.c).Jair.não.está.machucado.e.quer.jogar.d).Jair.está.machucado.e.não.quer.jogar.e).Jair.está.machucado.e.quer.jogar.

15).(Previ-Rio./.Analista.de.Finanças.e.Controle).Em.uma.sala.de.aula.estão.10.crianças,.sendo.6.meninas.e.4.meninos..Três.das.crianças.são.sorteadas.para.participarem.de.um.jogo..A.probabilidade.de.as.três.crianças.sorteadas.serem.do.mesmo.sexo.é:

a).15%b).20%c).25%d).30%e).35%

16).(Previ-Rio./.Analista.de.Finanças.e.Controle)..Na.Mega-Sena.são.sorteadas.seis.dezenas.de.um.conjunto.de.60.possíveis.(as.dezenas.sorteáveis.são.01,.02....60)..Uma.aposta.simples.(ou.aposta.mínima),.na.Mega-sena,.consiste.em.escolher.6.dezenas..Pedro.sonhou.que.as.seis.dezenas.


que.serão.sorteadas.no.próximo.concurso.da.Mega-Sena.estarão.entre.as.seguintes:.01,.02,.05,.10,.18,.32,.35,.45..O.número.mínimo.de.apostas.simples.para.o.próximo.con-curso.da.Mega-Sena.que.Pedro.deve.fazer.para.ter.certeza.matemática. de. que. será. um. dos. ganhadores,. caso. o. seu.sonho.seja.correto,.é:

a).8b).28c).40d).60e).84

17).(STN./.Analista.de.Finanças.e.Controle)..Considere.dois.números.naturais,.cada.um.deles.com.três.algarismos.diferentes..O.maior.deles.só.tem.algarismos.pares.e.o.menor.só.tem.algarismos.ímpares..O.menor.valor.possível.para.a.diferença.entre.eles.é:

a).4b).5c).23d).47e).113

18).(STN./.Analista.de.Finanças.e.Controle)..Em.uma.cidade,.os.números.dos.telefones.têm.7.algarismos.e.não.


podem.começar.por.0..Os.três.primeiros.números.consti-tuem.o.prefixo..Sabendo-se.que.em.todas.as.farmácias.os.quatro.últimos.dígitos.são.zero.e.o.prefixo.não.tem.dígitos.repetidos,. então. o. número. de. telefones. que. podem. ser.instalados.nas.farmácias.é.igual.a:

a).504b).720c).684d).648e).842

19). (STN. /. Analista. de. Finanças. e. Controle).. Um.candidato.é.submetido.a.um.teste.de.múltipla.escolha.em.que.cada.questão.apresenta.cinco.opções,.sendo.apenas.uma.delas.correta..Se.o.candidato.sabe.a.questão,.ele.es-colhe.a.opção.correta..Se.não.sabe,.ele.marca.a.resposta.puramente.ao.acaso..O.candidato.sabe.80%.das.questões..Escolhe-se.uma.questão.ao.acaso.e.verifica-se.que.o.can-didato.marcou.a.opção.correta..Portanto,.levando-se.em.conta.a.informação.de.que.ele.marcou.a.resposta.correta,.a.probabilidade.de.que.o.candidato.saiba.esta.questão.é.igual.a:

a).5/25b).20/25c).20/20


d).21/25e).20/21

20).(TCU./.Analista.de.Controle.Externo)..Um.dado.de.seis.faces.numeradas.de.1.a.6.é.viciado.de.modo.que,.quando.lançado,.a.probabilidade.de.ocorrer.uma.face.par.qualquer.é.300%.maior.do.que.a.probabilidade.de.ocorrer.uma.face.ímpar.qualquer..Em.dois.lançamentos.desse.dado,.a.probabilidade.de.que.ocorram.exatamente.uma.face.par.e. uma. face. ímpar. (não. necessariamente. nesta. ordem). é.igual.a:

a).0,1600b).0,1875c).0,3200d).0,3750e).1

Gabarito./.119

Gabarito

1. A 2. C 3. E 4. D5. B 6. A 7. D 8. A9. B 10. C 11. B 12. D13. A 14. E 15. B 16. B17. B 18. D 19. E 20. A

raciocinio logico

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