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ACADEMIA DO CONCURSO

Matemtica Financeira Carreira Fiscal 2013 Prof. Quilelli

Porcentagem Toda diviso por cem uma porcentagem ou percentagem:

10075

=75% (75 porcento)

So duas formas de se representar uma porcentagem:

10075

= 75% ( forma percentual: em cada 100, toma-se 75 )

10075

= 0,75 ( forma unitria; em cada 1 toma-se 0,75 )

Exerccios de Aplicao 1 ) Passe as taxas percentuais para a forma unitria: a ) 32% = b ) 3,41% = c ) 4568% = 2 ) Passe as taxas unitrias para a forma percentual: a ) 0,637 = b ) 0,0042 c ) 9 = Clculo da porcentagem

75% de 40 = 75% x 40 = 10075

x 40 = 0,75 x 40 = 30.

75% a taxa ( i ): quantidade de unidades tomadas em cada 100. 40 o principal ( P ): grandeza da qual se calcula a porcentagem. 30 a porcentagem ( p ): quantidade tomada do principal, proporcionalmente taxa.

p = P . i

3 ) ( TRF - FCC ) A redao de uma revista recebe 50 e-mails por semana, dos quais seleciona 16% que realmente tem assuntos de interesse pblico. Desses 16%, apenas 12,5% ser assunto na prxima edio semanal da revista. Portanto, do total de e-mails recebidos pela redao, vo estar presentes na prxima edio semanal apenas: a) 1% b) 2% c) 10% d) 20% e) 4%

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4 ) ( ANTT NCE ) Para cumprir uma certa tarefa, Joo resolveu adotar a seguinte estratgia: na primeira semana, ele far 50% da tarefa, na segunda, 50% do que restar, na terceira, 50% do que ainda restar e finalizar a tarefa na quarta semana. Com isso, Joo realizar, na quarta semana, a seguinte porcentagem da tarefa: (A) 10%; (B) 12,5%; (C) 15%; (D) 17,5%; (E) 25%.

5 ) (AFRFB ESAF) Em uma repartio, 3/5 do total dos funcionrios so concursados, 1/3 do total dos funcionrios so mulheres e as mulheres concursadas correspondem a 1/4 do total dos funcionrios dessa repartio. Assim, qual entre as opes abaixo, o valor mais prximo da porcentagem do total dos funcionrios dessa repartio que so homens no concursados? a) 21% b) 19% c) 42% d) 56% e) 32%

Fator de aumento Calculamos inicialmente 75% de 40. Agora queremos saber quanto 40 aumentado de 75% de 40. 40 + 75% x 40 = 1x 40 + 0,75 x 40 = ( 1 + 0,75 ) x 40 = 1,75 x 40 = 30 0,75 a taxa e 1+ 0,75 = 1,75 o fator. Logo, o fator de aumento para 75% 1,75. Aumentar uma quantia em 75% o mesmo que multiplic-la por 1,75.

fator de aumento = 1 + i

Exerccio de Aplicao 6 ) D o fator de aumento para: a ) 32% b ) 5,4% c ) 0,12% d ) 700% Nota: O fator equivalente a aumentos sucessivos dado por:

f = ( 1 + i1 )( 1 + i2 )( 1 + i3 )... ( 1 + in ) 7 ) A inflao em determinada regio sofreu um aumento de 8% em um determinado ano e 5% no ano seguinte. Qual foi a inflao equivalente no binio? a ) 8% b ) 13% c ) 10,8% d ) 13,4% e ) 18,8%

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8 ) ( ANTT NCE ) O preo do barril de petrleo no mercado internacional multiplicou-se por sete do incio de 2002 para c. Isso significa que, nesse perodo, o preo do barril sofreu um aumento percentual aproximado de: (A) 400%; (B) 500%; (C) 600%; (D) 700%; (E) 1.200%. 9 ) ( TFC/SFC ESAF ) O nvel geral de preos em determinada regio sofreu um aumento de 10% em 1999 e 8% em 2000. Qual foi o aumento total dos preos no binio considerado? a ) 8% b ) 8,8% c ) 10,8% d ) 18% e ) 18,8%

Fator de reduo

Agora calculamos 40 diminudo de 75% de 40: 40 75% x 40 = 1 x 40 0,75 x 40 = ( 1 0,75 ) x 40 = 0,25 x 40 = 10 1 0,75 = 0,25 o fator de reduo para 75%. Diminuir uma quantia em 75% o mesmo que multiplic-la por 0,25.

fator de reduo = 1 i

Exerccio de Aplicao

10 ) D o fator de reduo para: a ) 10% b ) 5% c ) 0,1% d ) 85% Nota: O fator equivalente a redues sucessivas dado por:

f = ( 1 - i1 )( 1 - i2 )( 1 - i3 )... ( 1 - in )

11 ) O salrio de um trabalhador vem sendo desvalorizado a partir de um determinado ano. No primeiro ano da srie desvalorizou 10%, no segundo desvalorizou 12%. Qual foi a desvalorizao do salrio no binio? a ) 32% b ) 68% c ) 20,8% d ) 79,2% e ) 23,2% 12 ) ( SEFAZ PI ESAF ) O valor de uma mquina, a cada ano que passa, diminui 10% em ralao ao valor do ano anterior. Se o valor dessa mquina , hoje, igual a

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R$20.000,00, ento daqui a trs anos a percentagem equivalente desvalorizao total no perodo desses trs anos ser igual a: a ) 10,42% b ) 27,10% c ) 30% d ) 32,20% e ) 40% 13 ) ( IBGE NCE ) Suponha que o salrio de um trabalhador vem sendo desvalorizado em 15% a cada ano que passa. Se o salrio hoje tem como valor x, daqui a dois anos o salrio do trabalhador ser: a ) 0,1275 x b ) 0,225 x c ) 0,30 x d ) 0,7225 x e ) 0,85 x

Lucro e Prejuzo

Lucro quando o preo de venda maior que o preo de compra.

L = venda compra

Prejuzo quando o preo de venda menor que o preo de compra.

P = compra venda 14 ) Um automvel foi vendido por R$ 28 000,00 com lucro de 12% sobre o custo. Qual o seu preo de custo? 15 ) Certa mercadoria foi vendida por R$ 390,00 com prejuzo de 22% sobre o custo. Qual o preo de custo ? 16 ) Paulo vendeu um terreno com prejuzo de 10% sobre o preo de venda. Admitindo-se que ele tenha comprado o terreno por R$ 264 000,00, o preo de venda foi de: 17 ) Vendi uma mquina por R$ 6 000,00 com 25% de lucro sobre a venda. Por quanto comprei a mquina? 18 ) ( TRF FCC ) Na compra de um lote de certo tipo de camisa para vender em sua loja, um comerciante conseguiu um desconto de 25% sobre o valor a ser pago. Considere que: - se no tivesse recebido o desconto, o comerciante teria pago R$20,00 por camisa; - ao vender as camisas em sua loja, ele pretende dar ao cliente um desconto de 28% sobre o valor marcado na etiqueta e, ainda assim, obter um lucro igual a 80% do preo de custo da camisa. Nessas condies, o preo que dever estar marcado na etiqueta A ) R$28,50 B ) R$35,00 C ) R$37,50 D ) R$39,00 E ) R$41,50

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Retorno Financeiro o dinheiro ganho em uma aplicao financeira. Ex.: Uma pessoa aplica R$ 10.000,00 por um determinado perodo e recebe no final do perodo R$ 10.500,00. Qual o retorno financeiro? Soluo: O retorno financeiro ser de 10.500 10.000 = 500 Resposta: O retorno financeiro ser de R$500,00 Rentabilidade a relao entre o retorno financeiro e o capital empregado. Ex.: Uma pessoa aplica R$ 10.000,00 por um determinado perodo e recebe no final do perodo R$ 10.500,00. Qual a rentabilidade da aplicao? Soluo: O retorno financeiro ser de R$500,00.

A rentabilidade ( r ) ser de r = 05,0000.10

500 = 5%

Juro

Juro a remunerao do capital. Ao aplicar o capital durante um determinado perodo de tempo, o mesmo ser acrescido de uma remunerao, chamada de juro.

Montante

O capital(C) aplicado acrescido do juro(J) ser igual ao montante(M): M = C + J

Juro Simples O juro simples fica caracterizado pelo clculo do juro de cada perodo ser sempre sobre o capital inicial. Os juros simples so diretamente proporcionais ao capital inicial, taxa de juros e ao tempo de aplicao.

J = C.i.t ( utilizando-se a taxa unitria ) ou

J = 100

.. tiC ( utilizando-se a taxa percentual )

C capital ( principal ) i taxa de juros simples J juro ( rendimento ) t tempo ( prazo de aplicao ) Como J = C.i.t e M = C + J, tem-se que M = C + C.i.t logo, M = C.( 1 + i.t ) Para utilizao destas frmulas necessrio que taxa e tempo estejam referenciados mesma unidade de tempo. Ex: i = 15% ao ano e tempo de 3 anos. As taxas de juros so sempre proporcionais. A taxa de 12% ao ano proporcional (equivalente) a 1% ao ms ou a 6% ao semestre, a juros simples.

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A funo montante uma funo do 1 grau e, como funo do 1 grau, seu grfico uma reta. Dada a funo montante M = C + C.i.t onde: M= y C.i = a C = b t = x temos a funo y = ax + b, cujo grfico uma reta. M C t 0 19 ) ( GEFAZ MG - ESAF ) Os valores da funo f( t ) = c( 1 + rt ), t real, c > 0 e r > 0, nos pontos em que t um nmero natural, constituem uma progresso aritmtica. Indique qual a razo dessa progresso. a ) c. b ) 1 + r. c ) c 1. d ) r. e ) cr. 20 ) (Banco da AmazniaCESGRANRIO) O valor dos juros simples correspondentes a um emprstimo de R$ 12.000,00, pelo prazo de 6 meses, com taxa de 4% ao ms, , em reais: A ) 4.320,00 B ) 2.880,00 C ) 1.920,00 D ) 720,00 E ) 480,00 21 ) ( AFRE SEFAZ CE - ESAF ) Qual o capital que aplicado a juros simples taxa de 2,4% ao ms rende R$1.608,00 em 100 dias? a) R$ 20 000,00. b) R$ 20 100,00. c) R$ 20 420,00. d) R$ 22 000,00. e) R$ 21 400,00. 22 ) ( SEFAZ PI - ESAF ) Durante o ms de maio, um capital de R$ 2 000,00 foi aplicado no open market ( sistema de juros simples ) a um a taxa de 30% ao ms, tendo produzido um montante de R$ 2 240,00. O nmero de dias a que esse capital esteve aplicado foi de: a ) 8 b ) 10 c ) 12 d ) 13 e ) 15 23 ) ( SEFAZ SP ESAF ) Um capital unitrio aplicado a juros gerou um montante de 1,1 ao fim de 2 meses e 15 dias. Qual a taxa de juros simples anual de aplicao deste capital?

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a) 4% b) 10% c) 60% d) 54% e) 48% 24 ) ( Fiscal de Rendas FGV ) Um artigo custa, vista, R$ 200,00 e pode ser comprado a prazo com uma entrada de R$ 100,00 e um pagamento de R$ 120,00 um ms aps a compra. Os que compram a prazo pagam juros mensais de taxa: (A) 5%. (B) 10%. (C) 20% (D) 25%. (E) 30%. 25 ) ( SEFAZ-SP Analista FCC ) Um capital no valor de R$ 12.500,00 aplicado a juros simples, durante 12 meses, apresentando um montante igual a R$15.000,00. Um outro capital aplicado, durante 15 meses, a juros simples a uma taxa igual da aplicao anterior, produzindo juros no total de R$ 5.250,00. O valor do segundo capital supera o valor do primeiro em (A) R$ 5.850,00 (B) R$ 6.000,00 (C) R$ 7.500,00 (D) R$ 8.500,00 (E) R$ 10.000,00

Taxa Mdia

Taxa mdia a taxa que, substituindo as taxas de uma aplicao diversificada, fornece os mesmos juros totais, assim como tempo mdio e capital mdio.

332211

333222111

.........

tCtCtCtiCtiCtiCim

26 ) Dadas as condies abaixo: C1 = 200 i1 = 4 % t1 = 4 meses C2 = 100 i2 = 10 % t2 = 6 meses C3 = 400 i3 = 3 % t3 = 9 meses ( a ) Quais so os juros totais ? ( b ) Qual a taxa mdia ? ( c ) Qual o tempo mdio ? 27 ) ( ATE MS - ESAF ) Trs capitais so aplicados a juros simples pelo mesmo prazo. O capital de R$3.000,00 aplicado taxa de 3% ao ms, o capital de R$2.000,00 aplicado a 4% ao ms e o capital de R$ 5.000,00 aplicado a 2% ao ms. Obtenha a taxa mdia mensal de aplicao desses capitais.

332211

333222111

iCiCiCtiCtiCtiCtm

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a) 3% b) 2,7% c) 2,5% d) 2,4% e) 2% 28 ) ( AFRF - ESAF ) Os capitais de R$ 3 000,00, R$ 5 000,00 e R$ 8 000,00 foram aplicados todos no mesmo prazo, a taxa de juros simples de 6% ao ms, 4% ao ms e 3,25% ao ms, respectivamente. Calcule a taxa mdia de aplicao desses capitais. a ) 4,83% ao ms b ) 3,206% ao ms c ) 4,4167% ao ms d ) 4% ao ms e ) 4,859% ao ms

Desconto sempre a diferena ente o valor do ttulo e o valor do ttulo descontado, quer dizer, a diferenas entre o valor a ser debitado ou creditado e o valor efetivamente recebido ou pago. Existem duas formas de se calcular o desconto: a primeira calculando o juro sobre o valor nominal do ttulo, chamado de desconto comercial, e a segunda calculando o juro sobre o valor recebido ou pago, chamado de desconto racional. Desconto juro. Desconto Simples o valor a ser deduzido de um ttulo, calculado a juros simples, por antecipao. NOTAS: (1) O devedor, que antecipa o pagamento da dvida, se beneficia de um desconto, pagando menos. (2) O credor, que necessite do dinheiro antes da data predeterminada, recebe um valor menor que o fixado no ttulo de crdito. Desconto Comercial, Bancrio ou Por Fora a parcela a ser deduzida do valor do ttulo, calculada a juros simples, sobre o valor nominal ou de face do papel. N D 0 t A

O desconto comercial juro sobre N logo, 100.. tiND (taxa na forma

percentual) ou D = N.i.t ( taxa na forma percentual ou na forma unitria ). N valor nominal ou valor de face (valor do ttulo na data do vencimento) A valor atual, valor presente ( valor do ttulo na data do resgate ) D desconto comercial, bancrio ou por fora( juros sobre N ). N valor do ttulo na data do vencimento, valor nominal ou valor de face. i taxa de desconto comercial. t prazo de antecipao.

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O desconto o valor que se deduz do ttulo para se obter o valor do resgate.

A = N D Podemos, ento, deduzir o valor atual em funo de N, i e t ; A = N D logo, A = N N.i.t, ento A = N.( 1 i.t ). 29 ) Um ttulo de $ 2000 ser descontado a 12 % ao ms, 2 meses antes do vencimento. Determinar o valor de resgate, considerando desconto simples bancrio. 30 ) ( TFC SFC ESAF ) Um indivduo obteve um desconto de 10% sobre o valor de face de um ttulo ao resgat-lo um ms antes do seu vencimento em um banco. Como esta operao representou um emprstimo realizado pelo banco, obtenha a taxa de juros simples em que o banco aplicou os seus recursos nessa operao. a ) 9% ao ms b ) 10% ao ms c ) 11,11% ao ms d ) 12,12% ao ms e ) 15% ao ms 31 ) ( CVM Analista ESAF ) Um ttulo de valor de face de R$ 100 000,00 vence no dia 31 de julho. Calcule o desconto comercial simples no dia 11 do mesmo ms, a uma taxa de desconto de 6% ao ms. a ) R$4.000,00 b ) R$3.000,00 c ) R$2.000,00 d ) R$1.500,00 e ) R$1.000,00 32 ) ( Auditor do Tesouro Municipal Fortaleza CE ESAF ) Um ttulo de valor nominal de R$ 20.000,00 sofre um desconto comercial simples de R$ 1.800,00 trs meses antes de seu vencimento. Calcule a taxa mensal de desconto aplicada. a ) 6% b ) 5% c ) 4% d ) 3,3% e ) 3% 33 ) ( SEFAZ-SP Analista FCC ) O valor do desconto de um ttulo, em um banco, igual a 2,5% de seu valor nominal. Sabe-se que este ttulo foi descontado 50 dias antes de seu vencimento, segundo uma operao de desconto comercial simples e considerando a conveno do ano comercial. A taxa anual de desconto correspondente igual a (A) 12% (B) 15% (C) 18% (D) 20% (E) 24%

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Desconto Racional, Real ou Por Dentro ( juro calculado sobre A ) a parcela a ser deduzida do valor do ttulo, calculada a juros simples sobre o valor atual ou valor presente. O desconto racional se caracteriza pelo clculo do juro sobre o valor atual ( valor presente ). N 0 t d A Notao: N valor nominal ou valor de face (valor do ttulo na data do vencimento) A valor atual, valor presente ( valor do ttulo na data do resgate ) d desconto por dentro, desconto racional ( juros sobre A ) i taxa de desconto t prazo de antecipao

Desconto racional o juro calculado sobre A logo, d = 100

.. tiA, se a taxa for

percentual ou d = A.i.t, usando a taxa unitria. Como o desconto o valor a ser deduzido do valor do ttulo, ento A = N d ou N = A + d.

N = A + A.i.t ou N = A.( 1 + i.t )

que matematicamente igual frmula do montante a juros simples. Da podemos definir que em desconto racional, N montante de A. 34 ) Um ttulo de $ 2000 ser descontado a 12 % ao ms, 2 meses antes do vencimento. Determinar o valor de resgate, considerando desconto simples racional. 35 ) ( TCM RJ ESAF ) Uma pessoa tomou um emprstimo de R$ 15 000,00 a juros simples de 10% ao ms. O emprstimo dever ser reembolsado por meio de duas parcelas iguais: a primeira dois meses e a segunda cinco meses depois de contratado o emprstimo. O valor de cada parcela, considerando-se o desconto racional, igual a: a ) R$ 9 800,00 b ) R$ 10 000,00 c ) R$ 10 200,00 d ) R$ 11 000,00 e ) R$ 12 000,00 36 ) ( AFRE MG ESAF ) Um cheque pr-datado adquirido com um desconto de 20% por uma empresa especializada, quatro meses antes do seu vencimento.

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Calcule a taxa de desconto mensal da operao, considerando um desconto simples por dentro. a ) 6,25% b ) 6% c ) 4% d ) 5% e ) 5,5% 37 ) ( MTE AFT ESAF ) Um ttulo sofre um desconto simples por dentro de R$10.000,00 cinco meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 4% ao ms. Qual o valor mais prximo do valor nominal do ttulo? a) R$ 60.000,00. b) R$ 46.157,00. c) R$ 56.157,00. d) R$ 50.000,00. e) R$ 55.000,00.

Taxa de Juros Efetiva numa operao de desconto comercial simples Em uma operao de desconto comercial a taxa que incide sobre A (valor atual) para se obter N ( valor nominal ) chama-se taxa efetiva em uma operao de desconto comercial.

Sendo A = N.( 1 iD.t ) e sendo N = A.( 1+ief.t ), substituindo a segunda na primeira encontramos A = A.( 1 + ief.t ).( 1 iD.t ). Logo,

( 1 + ief.t ).( 1 iD.t ) = 1. ief taxa efetiva iD taxa de desconto comercial 38 ) ( AFC STN ESAF ) Marcos descontou um ttulo 45 dias antes do seu vencimento e recebeu R$ 370 000,00. A taxa de desconto comercial simples foi de 60% ao ano. Assim, o valor nominal do ttulo e o valor mais prximo da taxa efetiva da operao so, respectivamente, iguais a: a ) R$ 550 000,00 e 3,4% ao ms b ) R$ 400 000,00 e 5,4% ao ms c ) R$ 450 000,00 e 64,8% ao ano d ) R$ 400 000,00 e 60% ao ano e ) R$ 570 000,00 e 5,4% ao ms 39 ) ( AFRFB ESAF ) Um banco deseja operar a uma taxa efetiva de juros simples de 24% ao trimestre para operaes de cinco meses. Deste modo, o valor mais prximo da taxa de desconto comercial trimestral que o banco dever cobrar em suas operaes de cinco meses dever ser igual a: a ) 19% b ) 18,24% c ) 17,14% d ) 22% e ) 24% 40 ) ( ATRFB ESAF 2012 ) Um ttulo de R$ 20.000,00 foi descontado 4 meses antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 5% ao ms. A taxa efetiva mensal de juros simples dessa operao igual a

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a) 6,50%. b) 5,50%. c) 5,25%. d) 6,00%. e) 6,25%.

Relao entre Descontos Simples A uma mesma taxa e a um mesmo tempo, D (desconto comercial) montante de d (desconto racional). D = N.i.t e d = A. i. t. Fazendo a razo entre as duas equaes encontramos

tiAtiN

dD

.... logo,

AN

dD . Como A =

tiN.1 logo,

tiNN

dD

.1 , ento ti

dD .1 ,

ento: D = d.( 1 + i.t ) ou D = d + d.i.t.

D desconto comercial d desconto racional Outra frmula que poder ser til a do montante em funo dos descontos:

dDdDN .

41 ) A diferena entre dois tipos de descontos simples, calculados a 48 % ao ano, a 3 meses do vencimento, foi de R$ 480,00. Calcular os valores dos dois tipos de desconto, bem como o valor nominal do papel. 42 ) O quociente entre os descontos comercial e racional de 1,06, nas mesmas condies de aplicao. Qual ser o prazo de antecipao se a taxa de juros foi de 2% ao ms ? 43 ) ( BACEN ESAF ) Um ttulo deve sofrer um desconto comercial simples de R$560,00 trs meses do seu vencimento. Todavia, uma negociao levou troca do desconto comercial por um desconto racional simples. Calcule o novo desconto, considerando a taxa de 4% ao ms. a ) R$ 500,00 b ) R$ 540,00 c ) R$ 560,00 d ) R$ 600,00 e ) R$ 620,00

Equivalncia de Capitais

Dois capitais representados por papis ou ttulos financeiros, numa mesma

data ou em datas diferentes, so equivalentes, a juros simples, se na data zero forem iguais. O deslocamento desses dinheiros feito atravs dos descontos.

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44 ) Qual o valor nominal de um papel com vencimento para 45 dias, sob taxa de 30% ao ms, e que equivalente a outro ttulo de R$ 600,00, para 15 dias, sob taxa de 40% ao ms (descontos simples comerciais ) ? 45 ) Qual o valor nominal do ttulo para 60 dias, descontado racionalmente sob taxa de 3 % ao ms, e que substituir dois ttulos de R$ 1 500,00, sendo que o primeiro para 30 dias, descontado comercialmente sob a mesma taxa e o segundo, para 45 dias, descontado racionalmente sob taxa de 4 % ao ms ? a ) R$ 3 245,00 b ) R$ 3 042,00 c ) R$ 3 860,00 d ) R$ 4 200,00 e ) R$ 3 156,00

JUROS COMPOSTOS

Capitalizao Composta

Um capital C est aplicado a juro composto, num prazo de n perodos se, no final de cada perodo, o juro produzido incorporado ao capital, passando tambm a render novos juros.

Quando o juro incorporado ao capital, no final de cada perodo, dizemos que ocorreu uma capitalizao.

Na aplicao de um capital C temos: 1 perodo: M = C.( 1 + i) 2 perodo: M = C.( 1 + i).( 1 + i)= C.(1 + i)2 3 perodo: M = C.( 1 + i) .( 1 + i) .( 1 + i) = .( 1 + i)3 n perodos: M = C. .( 1 + i)n Notao:

M montante C capital i taxa ( unitria ) t perodo de aplicao n nmero de vezes que i capitaliza em t ( 1 + i )n fator de capitalizao

Observe que a seqncia dos montantes uma Progresso Geomtrica de razo (1+i). A juros compostos o juro normalmente calculado fazendo a diferena entre o montante e o capital: J = M C

46 ) ( Caixa Econmica Federal CESGRANRIO ) O grfico a seguir representa as evolues no tempo do Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos, ambos mesma taxa de juros. M dado em unidades monetrias e t, na mesma unidade de tempo a que se refere a taxa de juros utilizada.

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Analisando-se o grfico, conclui-se que para o credor mais vantajoso emprestar a juros (A) compostos, sempre. (B) compostos, se o perodo do emprstimo for menor do que a unidade de tempo. (C) simples, sempre. (D) simples, se o perodo do emprstimo for maior do que a unidade de tempo. (E) simples, se o perodo do emprstimo for menor do que a unidade de tempo. 47 ) ( AFRE MG ESAF ) Os valores da funo exponencial f( t ) = c( 1 + r )t, t real, c>0 e 1 + r > 0, nos pontos em que t um nmero natural, constituem uma progresso geomtrica. Indique a razo desta progresso. a ) c. b ) 1 + r. c ) c 1. d ) r. e ) c( 1 + r ). 48 ) ( GEFAZ MG - ESAF ) Ao fim de quantos trimestres um capital aplicado a juros compostos de 8 % ao trimestre aumenta 100 %. a ) 12,5 b ) 12 c ) 10 d ) 9 e ) 8 49 ) ( AFRE MG ESAF ) A que taxa mensal de juros compostos um capital aplicado aumenta 80% ao fim de quinze meses. a ) 4% b ) 5% c ) 5,33% d ) 6,5% e ) 7% 50 ) ( Fiscal de Rendas ) Se a inflao mensal em nosso pas fosse de 3 %, durante o ano todo, uma bicicleta que custasse R$ 10 000,00 atingiria o preo de R$ 10 609,00 no seguinte nmero de meses: a ) 5 b ) 4 c ) 3 d ) 2 e ) 1 51 ) ( AFRFB ESAF - 2012 ) No sistema de juros simples, um capital foi aplicado a uma determinada taxa anual durante dois anos. O total de juros auferidos por esse capital no final do perodo foi igual a R$ 2.000,00. No sistema de juros compostos, o mesmo capital foi aplicado durante o mesmo perodo, ou seja, 2

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anos, e a mesma taxa anual. O total de juros auferidos por esse capital no final de 2 anos foi igual a R$ 2.200,00. Desse modo, o valor do capital aplicado, em reais, igual a a) 4.800,00. b) 5.200,00. c) 3.200,00. d) 5.000,00. e) 6.000,00. 52 ) ( ATRFB ESAF - 2012 ) Marta aplicou R$ 10.000,00 em um banco por 5 meses, a uma taxa de juros simples de 2% ao ms. Aps esses 5 meses, o montante foi resgatado e aplicado em outro banco por mais 2 meses, a uma taxa de juros compostos de 1% ao ms. O valor dos juros da segunda etapa da aplicao igual a a) R$ 221,10. b) R$ 220,00. c) R$ 252,20. d) R$ 212,20. e) R$ 211,10.

TAXAS Taxa Nominal a que est referida a um perodo distinto do perodo de capitalizao. Ex: 36 % a.a., com capitalizao mensal Taxa Efetiva a que est referida ao perodo de capitalizao. tambm chamada de Taxa Proporcional taxa nominal, obtida proporcionalmente, linearmente. Ex: Ex: 36% a.a. com capitalizao mensal= 36% : 12 = 3% a.m( taxa efetiva ao ms) A taxa de 3% ao ms a taxa efetiva, proporcional taxa de 36% ao ano com capitalizao mensal. 53 ) Determinar a taxa efetiva, dada a taxa nominal: a ) i = 12% a ano, com capitalizao mensal. b ) i = 24% ao ano, com capitalizao semestral. c ) i = 9% ao trimestre com capitalizao mensal. 54 ) ( Auditor do Tes. Mun. - Fortaleza CE - ESAF ) O capital de R$20.000,00 aplicado taxa nominal de 24% ao ano com capitalizao trimestral. Obtenha o montante ao fim de dezoito meses de aplicao. a ) R$ 27 200,00 b ) R$ 27 616,11 c ) R$ 28 098,56 d ) R$ 28 370,38 e ) R$ 28 564,92 55 ) ( AFRFB ESAF ) No sistema de juros compostos um capital PV aplicado durante um ano taxa de 10 % ao ano com capitalizao semestral resulta no valor final FV. Por outro lado, o mesmo capital PV, aplicado durante um trimestre

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taxa de it% ao trimestre resultar no mesmo valor final FV, se a taxa de aplicao trimestral for igual a: a) 26,25 % b) 40 % c) 13,12 % d) 10,25 % e) 20 % Taxas Equivalentes so aquelas que referidas a perodos de tempo diferentes, mas que quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo prazo, geram o mesmo montante.

I =( 1 + i )n - 1

I taxa referente ao maior perodo i taxa referente ao menor perodo n nmero de vezes que i capitaliza em I ( 1 + i )n fator de capitalizao 56 ) Qual a taxa efetiva bimestral equivalente taxa de 5% ao ms? 57 ) Qual a taxa efetiva mensal equivalente taxa de 21% ao bimestre? 58 ) ( TCU - Analista ESAF ) Um financiamento externo contratado a uma taxa nominal de 12% ao ano com capitalizao semestral. Obtenha a taxa efetiva anual desse financiamento. a ) 12,36% b ) 11,66% c ) 10,80% d ) 12,44% e ) 12,55% 59 ) ( AFRF ESAF ) Indique a taxa de juros anual equivalente taxa de juros nominal de 12% ao ano com capitalizao mensal. a ) 12,3600% b ) 12,6825% c ) 12,4864% d ) 12,6162% e ) 12,5508% Relao entre as taxas real, aparente e de inflao

Quando se aplica um dinheiro em uma instituio financeira, o rendimento que ele gera classificado como aparente, pois neste perodo houve uma inflao, que deve ser descontada para se obter o rendimento real. A frmula que nos d esse ganho (ou perda) real :

( 1 + iR ) = ( 1 + iA ) ( 1 + iI )

ou

fator de ganho real = ( fator de ganho aparente ) ( fator de inflao )

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60 ) Quanto deve render uma aplicao, em um determinado perodo em que a inflao estimada de 12%, para se ter um ganho real de 2% ? a ) 14% b) 9,80% c ) 10% d ) 14,24% e ) 91,07% 61 ) Uma aplicao, em que o rendimento num ms foi de 1,808%, teve um ganho real de 0,8%. Determine a taxa de inflao naquele ms. 62 ) Um emprstimo foi liquidado atravs de pagamentos de prestaes, a uma taxa de juros positiva, corrigidas pela taxa de inflao desde a data da realizao do referido emprstimo. Verificou-se que o custo efetivo da operao foi de 44% e a taxa de inflao acumulada no perodo foi de 25%. O custo real efetivo referente a este emprstimo foi de (A) 14,4% (B) 15,2% (C) 18,4% (D) 19% (E) 20% 63 ) ( Fiscal de Rendas RJ FGV ) Em um pas, o Produto Interno Bruto (PIB) aumentou 6,0% em um ano, enquanto a populao aumentou 2,0% no mesmo perodo. Ento, pode-se dizer que a evoluo do PIB per capita foi: A ) inferior a 2,0%. B ) igual a 2,0%. C ) entre 2,0% e 3,0%, excluindo os extremos. D ) superior a 3,0%. E ) igual a 3,0%. 64 ) (BB-SP Escriturrio FCC) Um financiamento foi contratado, em uma determinada data, consistindo de pagamentos a uma taxa de juros positiva e ainda corrigidos pela taxa de inflao desde a data da realizao do compromisso. O custo efetivo desta operao foi de 44% e o custo real efetivo de 12,5%. Tem-se, ento, que a taxa de inflao acumulada no perodo foi de (A) 16% (B) 20% (C) 24% (D) 28% (E) 30% Perodos No Inteiros H ocasies em que o tempo de aplicao do capital contm uma parte que frao do perodo da capitalizao. Por exemplo, uma capitalizao mensal numa aplicao de 3,5 meses. Para esse clculo existem dois tipos de conveno, que trataremos a seguir. I Conveno Linear (calcula-se o montante da parte inteira do tempo por juros compostos e este montante ser o capital de uma aplicao a juros simples na parte fracionria do tempo) 65 ) Qual o montante produzido por R$ 1 000,00, colocado a juros compostos taxa de 20 % ao ano, capitalizados semestralmente, no fim de 2 anos e 3 meses ? 66 ) ( Analista de Comrcio Exterior ACE ESAF ) Um capital de R$ 1 000,00 aplicado taxa de 3% ao ms, juros compostos, do dia 10 de fevereiro ao dia 30 de maio. Obtenha os juros da aplicao, usando a conveno linear.

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a ) R$ 110,00 b ) R$ 113,48 c ) R$ 114,47 d ) R$ 114,58 e ) R$ 115,00 II Conveno Exponencial ( a parte inteira e fracionria so calculadas a juros compostos ou por logaritmo ou por uma tbua de logaritmos ou calculadora; atualmente fornecido o valor da exponencial ) 67 ) Qual o montante de um capital de R$ 2 000,00, aplicados a juros compostos a uma taxa de 10% ao ms durante 4 meses e meio ? ( 1,10 )4,5 = 1,535561 68 ) ( AFRF ESAF ) Um capital aplicado a juros compostos taxa de 40% ao ano durante um ano e meio. Calcule o valor mais prximo da perda percentual do montante considerando o seu clculo pela conveno exponencial em relao ao seu clculo pela conveno linear, dado que 1,401,5 = 1,656502. a ) 0,5% b ) 1% c ) 1,4% d ) 1,7% e ) 2,0% Capitais Equivalentes Dois capitais so equivalentes, a juros compostos, quando so iguais em uma mesma data qualquer, chamada data focal. Ex: P 1 0 3 200 Sabendo que P equivalente a 200, a uma taxa de 10% ao perodo, determine P. Soluo: O valor de P na data 3 o valor de 200 na data 3 ou o valor de P na data 1 o valor de 200 na data 1, pois so equivalentes. Em juros compostos, comparam-se valores em uma mesma data qualquer escolhida, chamada data focal. Adotando a data 3, chamada data focal: P = 200.( 1 + 0,10 )2 P = 200x(1,1)2 P = 220x1,21 P = 242 69 ) ( Analista de Finanas e Controle AFC ESAF ) Uma pessoa contraiu uma dvida no regime de juros compostos que dever ser quitada em trs parcelas. Uma parcela de R$500,00 vencvel no final do terceiro ms; outra de R$ 1 000,00 vencvel no final do oitavo ms e a ltima, de R$ 600,00 vencvel no final do dcimo segundo ms. A taxa de juros cobrada pelo credor de 5% ao ms. No final do sexto ms o cliente decidiu pagar a dvida em uma nica parcela. Assim, desconsiderando os centavos, o valor equivalente a ser pago ser igual a:

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a ) R$ 2 535,00 b ) R$ 2 100,00 c ) R$ 2 153,00 d ) R$ 1 957,00 e ) R$ 1 933,00

Descontos Compostos I . Desconto Racional Composto ( N montante de A ) N 0 t d A Em desconto racional ao se antecipar o pagamento ou o recebimento de um ttulo est se retirando juros desse valor. Faz-se essa operao de descapitalizao dividindo o valor nominal do ttulo pelo fator de capitalizao:

A = niN

)1( . Ao se carregar um valor para uma data posterior, isto , postergar o pagamento ou o recebimento de um ttulo, est se incorporando juros ao ttulo, o ttulo est se capitalizando. Determina-se o valor posterior multiplicando o inicial pelo fator de capitalizao:

N = A( 1 + i )n

Em desconto racional o N (valor nominal do ttulo) montante de A. 70 ) Qual o valor atual de um ttulo de valor nominal $11.248,64, descontado racionalmente taxa composta de 4% ao ano, trs anos antes do investimento ? 71 ) Ana comprou um eletrodomstico e vai pag-lo em 30 e 60 dias, pagando $216,00 e $233,28, respectivamente. Se a loja cobra juros compostos de taxa 8% ao ms, qual o valor vista desse bem? 72 ) (GEFAZ MG ESAF) Um ttulo de valor nominal de R$13.400,00 resgatado seis meses antes de seu vencimento, sofrendo um desconto de R$ 3 400,00 sobre seu valor nominal. Calcule a taxa de desconto mensal, considerando um desconto composto por dentro. a ) 4,2% b ) 4,5% c ) 5% d ) 5,5% e ) 5,67%

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73 ) ( AFRF ESAF ) O valor nominal de uma dvida igual a 5 vezes o desconto racional composto, caso a antecipao seja de dez meses. Sabendo-se que o valor atual da dvida (valor de resgate) de R$ 200.000,00, ento o valor nominal da dvida, sem considerar os centavos, igual a: a) R$ 230.000,00 b) R$ 250.000,00 c) R$ 330.000,00 d) R$ 320.000,00 e) R$ 310.000,00 II . Desconto Composto Comercial (A N afetado por um fator de reduo) N D 0 t A Em desconto comercial composto o valor atual do ttulo determinado pelo clculo do juros sobre o valor nominal desse ttulo:

A = N( 1 i )n

74 ) ( CESAN CESPE ) Julgue o item que se segue. Se um ttulo de valor nominal igual a R$ 20.000,00 for resgatado 2 meses antes do seu vencimento, usando-se o desconto comercial composto, taxa de 10% ao ms, ento o valor do desconto ser inferior a R$ 2.000,00. 75 ) ( CEF CESGRANRIO ) Um ttulo de valor nominal R$ 24.200,00 ser descontado dois meses antes do vencimento, com taxa composta de desconto de 10% ao ms. Sejam D o valor do desconto comercial composto e d o valor do desconto racional composto. A diferena D d, em reais, vale (A) 399,00 (B) 398,00 (C) 397,00 (D) 396,00 (E) 395,00 76 ) ( SEFAZ-SP Analista FCC ) Um ttulo descontado dois anos antes de seu vencimento segundo o critrio do desconto racional composto, a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, apresentando um valor atual igual a R$ 20.000,00. Caso este ttulo tivesse sido descontado segundo o critrio do desconto comercial composto, utilizando a taxa de 10% ao ano, o valor atual seria de (A) R$ 21.780,00 (B) R$ 21.600,00 (C) R$ 20.702,00 (D) R$ 19.804,00 (E) R$ 19.602,00

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Fluxo de Caixa Fluxo de caixa o conjunto de entradas e sadas de dinheiro previstas para um determinado perodo. O diagrama de fluxo de caixa serve para mostrar graficamente as transaes financeiras em um perodo de tempo. A B Ex: 0 2 5 8 C D A linha horizontal a linha do tempo, as setas para cima so as entradas e as setas para baixo as sadas 77 ) Uma determinada empresa tem a seguinte previso oramentria para um determinado perodo:

Pagamentos Recebimentos 1 / 4 2 000 1 / 2 3 000 1 / 5 5 000 1 / 6 6 000

Qual o valor do fluxo de caixa para 1 de junho, sabendo que a taxa de desconto composto de 5 % ao ms ? Taxa Interna de Retorno Taxa Interna de Retorno a taxa que compensa a entrada de capital com a sada; a taxa que zera o fluxo de caixa. 78 ) Considere o fluxo: 300 x 2 4 anos 500

Qual o valor de x para uma taxa interna de retorno anual de 5% ? 79 ) ( CEF CESGRANRIO ) A tabela abaixo apresenta o fluxo de caixa de um certo projeto.

Valor ( milhares de reais ) -50 35 22 Perodo ( anos ) 0 1 2

A taxa interna de retorno anual igual a (A) 10% (B) 12% (C) 15% (D) 18% (E) 20%

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80 ) ( Banco do Brasil - FCC ) Considere o seguinte fluxo de caixa cuja a taxa interna de retorno igual a 10% ao ano. Ano Fluxo de caixa ( R$ ) 0 -25.000,00 1 0,00 2 X 3 17.303,00 O valor de X igual a: a ) R$ 11.000,00 b ) R$ 11.550,00 c ) 13.310,00 d ) R$ 13.915,00 e ) R$ 14 520,00 Interpolao 81 ) Calcule ( 1,11 )9. 82 ) ( Banco do Brasil ) Qual a taxa semestral equivalente taxa de 25% ao ano? a ) 11,40% b ) 11,50% c ) 11,60% d ) 11,70% e ) 11,80%

Rendas Certas ou Anuidades O depsito peridico de uma mesma quantia em uma caderneta de poupana uma CAPITALIZAO. A aquisio de um bem em prestaes peridicas iguais uma AMORTIZAO. RENDA uma sucesso de depsitos ou pagamentos em pocas distintas. TERMOS DA RENDA so as parcelas; retiradas( pagamentos) ou depsitos. PERODO DA RENDA o intervalo entre dois termos consecutivos. RENDA CERTA uma sucesso de depsitos ou pagamentos iguais em tempos peridicos. A F 0 1 2 3 P P P P parcelas. t perodo: tempo de aplicao ( dia, ms, ano, etc... ). A valor atual ou valor presente da renda. F valor futuro ou montante na data da ltima parcela. So trs tipos de Renda a serem tratadas: a postecipada, a antecipada e a diferida que veremos a seguir.

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Para qualquer um dos trs tipo de renda, o clculo do Valor Futuro o mesmo, pois a capitalizao das parcelas para a data da ltima parcela independe da localizao da renda no tempo. Valor Futuro ou Montante de uma Renda o montante da srie na data da ltima parcela. o valor total pago ou recebido imediatamente aps o ltimo pagamento ou recebimento de uma renda certa. F 1 2 t P P .....................P Capitalizando todas as parcelas para a data da ltima parcela obtemos o montante da renda, obtido pela frmula:

iIPF

n 11. (valor futuro na data da ltima parcela), onde ii n 11

o

fator de acumulao de capital ou fator de valor futuro, tambm representado por s( n, i ), ficando a frmula representada por F = P.s( n, i ). 83 ) ( Anal. de Com. Ext. ESAF ) Um contrato prev que aplicaes iguais sejam feitas mensalmente em uma conta durante doze meses com o objetivo de atingir o montante de R$100 000,00 ao fim deste prazo.. Quanto deve ser aplicado ao fim de cada ms, considerando rendimentos de juros compostos de 2% ao ms? a ) R$ 7 455,96 b ) R$ 7 600,00 c ) R$ 7 982,12 d ) R$ 8 270,45 e ) R$ 9 000,00 84 ) ( Anal. Com. Ext. MDIC ESAF ) Um bnus possui valor nominal de US$ 1,000.00 e contm doze cupons semestrais de US$ 50.00 cada, sendo que o primeiro cupom vence seis meses aps o lanamento e, junto com o ltimo cupom, o comprador recebe o valor nominal do bnus de volta. Abstraindo custos administrativos da operao, calcule o desgio sobre o valor nominal com que este bnus lanado no mercado internacional, considerando que compradores desses bnus aplicaram o seu capital nesta operao taxa nominal de 12% ao ano. a ) 0% b ) 5% c ) 6% d ) 8,384% e ) 10,125% I . Renda Postecipada ou Imediata uma srie uniforme de parcelas peridicas, onde a primeira parcela ocorre no final do primeiro perodo ou um perodo aps o incio do negcio; a renda sem entrada.

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A 0 1 2 3 P P P A (valor atual ou valor presente) soma de todas as parcelas descapitalizadas para a data zero.

O valor atual calculado pela frmula ii

IPA nn

.111.

onde iii

n

n

.111

o fator

de valor atual tambm representado por a( n, i ) ou a , ficando a frmula n i

do valor atual tambm representada por A = P. a . n i

NOTA: Observe que A F descapitalizado n perodos: nIFA 1 . Ou F A

capitalizado n perodos: F = A.( 1 + i )n. 85 ) ( AFRF ESAF ) Na compra de um carro em uma concessionria no valor de R$25.000,00, uma pessoa d uma entrada de 50% e financia o saldo devedor em doze prestaes mensais a uma taxa de 2% ao ms. Considerando que a pessoa consegue financiar ainda o valor total do seguro do carro e da taxa de abertura de crdito, que custam R$ 2.300,00 e R$ 200,00, respectivamente, nas mesmas condies, isto , em doze meses e a 2% ao ms, indique o valor que mais se aproxima da prestao mensal do financiamento global. a) R$ 1.405,51 b) R$ 1.418,39 c) R$ 1.500,00 d) R$ 1.512,44 e) R$ 1.550,00 86 ) ( AFRF ESAF ) Uma pessoa faz uma compra financiada em doze prestaes mensais e iguais de R$ 210,00. Obtenha valor financiado, desprezando os centavos, a uma taxa de juros compostos de 4% ao ms, considerando que o financiamento equivale a uma anuidade e que a primeira prestao vence um ms depois de efetuada a compra. a ) R$ 3.155,00 b ) R$ 2.048,00 c ) R$ 1.970,00 d ) R$ 2.530,00 e ) R$ 2.423,00 87 ) ( BACEN ESAF ) Obtenha o valor mais prximo da taxa interna de retorno do fluxo de caixa abaixo. Ano 0 1 a 10 Fluxo (em R$1.000,00) - 20.000 3.255

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a) 5% ao ano b) 7% ao ano c) 7,5% ao ano d) 9% ao ano e) 10% ao ano Fator de Recuperao de Capital ( FRC )

O Valor Atual de uma renda postecipada dada pela frmula ii

IPA nn

.111.

ou A = P. a( n,i ) ou por A = P. a n , i ou por A = P . a . n i

Chama-se FRC = ),(

1ina

. Da frmula do Valor Atual A = P. a( n,i ) tira-se:

A . ),(

1ina

= P. Da que P = A. (FRC).

88 ) Um emprstimo de R$ 50.000,00 dever ser pago em 18 prestaes mensais iguais postecipadas a uma taxa de 3% ao ms. Considerando o Fator de Recuperao de Capital para o perodo correspondente igual a 0,07271, o valor da prestao ser igual a: A ) R$ 5.000,00 B ) R$ 3.369,50 C ) R$ 3.635,50 D ) R$ 3.000,25 E ) R$ 2.589,35

OPERAO BALO 89 ) Um automvel est sendo comercializado em 18 parcelas de R$500,00 com uma taxa de juros de 3% ao ms nas seguintes condies: entrada de R$1.000,00 e trs prestao reforo ou pagamentos-balo ou intermedirias de R$ 2.000,00 na 6, 12 e 18 parcela. Qual o valor das parcelas mensais para quitar o financiamento do automvel? Considerar 1,0318 = 1,7 1,0312 = 1,4 1,036 = 1,2 II . Renda Antecipada ou Com Entrada uma srie uniforme de pagamentos ou depsitos peridicos realizados no incio de cada perodo a primeira parcela ocorre no ato da realizao do negcio renda com entrada. A 1 2 0 P P P

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O clculo do Valor Atual ser feito considerando uma renda postecipada de 2 termos P e acrescentando o termo P, da data zero, que no foi considerado: A = P.a(2,i) + P. 90 ) ( TCE RJ ESAF ) Uma compra foi paga com cinco cheques pr-datados no valor de R$ 5 000,00 cada, com vencimentos mensais e consecutivos, o primeiro na data da compra. Qual o valor da compra se a taxa de juros efetiva composta cobrada pelo financiamento de 3,0% a.m.? a ) R$ 19 275,25 b ) R$ 21.432,50 c ) R$ 22.575,00 d ) R$ 23 585,50 e ) R$ 27 000,00 III. Renda Diferida ou Com Carncia uma srie uniforme de pagamentos peridicos, onde o primeiro pagamento ocorre 1 perodo aps k perodos de carncia. Ex.: A 4 5 6 0 1 2 3 P P P A renda acima de 3 termos, sendo a primeira parcela 1 perodo aps o trmino da carncia de 3 perodos. Para se achar o valor atual sugere-se que imaginemos uma renda de 6 termos postecipada a uma taxa i: A = P. a( 6,i ); subtrai-se, ento, a renda 3 termos que foi computada durante o perodo de carncia, ficando: A = P. a( 6,i ) P.a(3,i). 91 ) ( ACE MDCI ESAF ) Um financiamento no valor de US$ 300,000.00 possui um perodo de carncia de pagamentos de dois anos, seguido pela amortizao do financiamento em prestaes iguais e semestrais, vencendo a primeira prestao seis meses aps o trmino da carncia. Calcule esta prestao, desprezando os centavos de dlar e considerando que:

a taxa nominal de 12% ao ano; o prazo total para o financiamento de quatro anos, incluindo a carncia; os juros devidos durante a carncia no so pagos, mas se acumulam ao

saldo devedor do financiamento e Considerar (1,06)-4 = 0,8.

a ) US$ 117,134.00 b ) US$ 119,253.00 c ) US$ 112,500.00 d ) US$ 113,740.00 e ) US$ 115,175.00

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92 ) ( AFC ESAF. ) No dia 10 de setembro, Ana adquiriu um imvel financiado em 10 parcelas mensais e iguais a R$ 20 000,00. A primeira parcela vence no dia 10 de novembro do mesmo ano e as demais no dia 10 dos meses subseqentes. A taxa de juros compostos contratada foi de 60,1032% ao ano. Assim, o valor financiado no dia 10 de setembro, sem considerar os centavos, foi de: a ) R$ 155 978,00 b ) R$ 155 897,00 c ) R$ 162 217,00 d ) R$ 189 250,00 e ) R$ 178 150,00 93 ) ( Aud. do Tes. Mun. Pref. de Fortaleza ESAF ) Um financiamento no valor de R$10000,00 obtido a uma taxa nominal de 24% ao ano para ser amortizado em doze prestaes semestrais iguais vencendo a primeira prestao seis meses aps o fim de um perodo de carncia de dois anos de durao, no qual os juros semestrais devidos no so pagos, mas se acumulam ao saldo devedor. Desprezando os centavos, calcule a prestao semestral do financiamento. a ) R$ 1 614,00 b ) R$ 2 540,00 c ) R$ 3 210,00 d ) R$ 3 176,00 e ) R$ 3 827,00

RENDA PERPTUA

94 ) (Fiscal de Rendas MS FGV) O montante acumulado em uma srie de 400 depsitos mensais de R$ 150,00, a juros de 1% ao ms, permite a obteno, a partir da, de uma renda perptua de que valor? Dado: 1,01400 = 53,52 ( A ) R$ 3.512,00 ( B ) R$ 4.884,00 ( C ) R$ 5.182,00 ( D ) R$ 6.442,00 ( E ) R$ 7.878,00 95 ) (Fiscal de Rendas RJ FGV) Considerando uma taxa de juros de 0,5% ao ms, quanto, aproximadamente, uma famlia deve investir mensalmente, durante 18 anos, para obter a partir da uma renda mensal de R$ 1.000,00, por um perodo de 5 anos? ( Utilize, se necessrio: 1,005-60 = 0,74, 1,005-216 = 0,34 e 1,005216 = 2,94.) ( A ) R$ 260,00 ( B ) R$ 740,00 ( C ) R$ 218,00 ( D ) R$ 134,00 ( E ) R$ 252,00

AMORTIZAO

Quando uma dvida est sendo paga em prestaes peridicas, dizemos que a mesma est sendo amortizada. Prestaes devem conter uma parte, que o juro cobrado pela dvida, e uma outra parte, que paga a dvida, que a amortizao.

Pk = Ak + Jk

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Amortizao um processo de extino de uma dvida atravs de pagamentos peridicos, que so realizados em funo de um planejamento. Dbito (ou dvida) o que se deve. A forma de se pagar que caracteriza o sistema de pagamento ou de amortizao. Juro ( Jk ) igual a taxa percentual ( i ) vezes o saldo devedor anterior (Sk-1 ):

Jk = i%.Sk-1 Saldo Devedor em uma data (Sk) igual ao saldo devedor na data anterior (Sk-1), diminudo da amortizao paga (Ak):

Sk = Sk-1 Ak

SISTEMAS DE AMORTIZAO Sistema Francs ( Tabela Price ) Questo: Considere um emprstimo de R$ 10 000,00, que ser devolvido em cinco prestaes mensais iguais e postecipadas taxa composta de 10% ao ms. Determine a planilha de pagamento. Caracterstica: as prestaes so todas iguais e a primeira um perodo aps a data da feitura do negcio ( srie uniforme de pagamento postecipada ) P P P P P 0 1 2 3 4 5 10 000

10.000 = P.a( 5 , 10 ) logo, P = 790787,310000

= 2637,97

Planilha

K Pk Jk Ak Sk 0 - - - 10 000,00 1 2 637,97 1 000,00 1 637,97 8 362,03 2 2 637,97 836,20 1 801,77 6 560,26 3 2 637,97 656,03 1 981,94 4 578,32 4 2 637,97 457,83 2 180,14 2 398,18 5 2 637,97 239,82 2 398,15 -

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Sistema de Amortizao Constante ( SAC ) Questo: Considere um emprstimo de R$ 10 000,00, que ser devolvido em cinco prestaes mensais postecipadas, taxa composta de 10% ao ms, pelo sistema de amortizaes constantes. Determine a planilha de pagamento. Caracterstica: a amortizao constante e igual ao emprstimo dividido pelo

nmero de prestaes ( n ): A = 5

10000 = 2 000

Planilha

K Pk Jk Ak Sk 0 - - - 10 000,00 1 3 000,00 1 000,00 2 000,00 8 000,00 2 2 800,00 800,00 2 000,00 6 000,00 3 2 600,00 600,00 2 000,00 4 000,00 4 2 400,00 400,00 2 000,00 2 000,00 5 2 200,00 200,00 2 000,00 -

Sistema de Amortizao Misto ( SAM ) Questo: Considere um emprstimo de R$ 10 000,00, que ser devolvido em cinco prestaes mensais e postecipadas, taxa composta de 10% ao ms, pelo sistema de amortizao misto. Determine a planilha de pagamento. Caracterstica: Cada prestao (pagamento) a mdia aritmtica das prestaes respectivas no Sistemas Price e no Sistema de Amortizao Constante (SAC). Soluo: Aproveitando as tabelas j montadas do Price e do SAC calculamos as prestaes: PSAM = ( PPrice + PSAC ) 2

k PPrice PSAC PSAM 1 2 637,97 3 000,00 2 818,99 2 2 637,97 2 800,00 2 718,99 3 2 637,97 2 600,00 2 618,99 4 2 637,97 2 400,00 2 518,99 5 2 637,97 2 200,00 2 418,99

Planilha

K Pk Jk Ak Sk

0 - - - 10 000,00 1 2 818,99 1 000,00 1 818,99 8 181,01 2 2 718,99 818,10 1 900,89 6 280,12 3 2 618,99 628,01 1 990,98 4 289,14 4 2 518,99 428,91 2 090,08 2 199,06 5 2 418,99 219,90 2 199,09 -

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Sistema Americano Questo: Considere um emprstimo de R$ 10 000,00, que ser devolvido em cinco prestaes mensais e postecipadas, taxa composta de 10% ao ms, pelo sistema americano. Determine a planilha de pagamento. Caracterstica: a cada prestao so pagos somente os juros; no h amortizao, a no ser na ltima prestao, em que a amortizao todo o principal.

Planilha

K Pk Jk Ak Sk 0 - - - 10 000,00 1 1 000,00 1 000,00 - 10 000,00 2 1 000,00 1 000,00 - 10 000,00 3 1 000,00 1 000,00 - 10 000,00 4 1 000,00 1 000,00 - 10 000,00 5 11 000,00 1 000,00 10 000,00 -

Consideraes 1 ) No sistema francs a prestao constante , calculada como na srie uniforme (postecipada), o juro decrescente e a amortizao crescente. A cota de amortizao na ltima prestao igual ao saldo devedor anterior. 2 ) No sistema francs o saldo devedor em um determinado momento o valor atual da srie, que corresponde aos pagamentos que sero devidos. Ex: Aps o 3 pagamento, o saldo devedor ser o valor atual da srie de 2 prestaes. S3 = P. a = 2 637,97 x 1,735537 = 4 578,29 2 10 3) No SAC a amortizao constante e o juro, a prestao e o saldo so decrescentes em Progresso Aritmtica. 4 ) No SAC se paga menos de parcela de juros, porm a 1 prestao a maior de todos os sistemas. 5 ) No SAC os juros caem mais rapidamente. 6 ) Se paga mais juros pelo Sistema Americano. 96 ) ( Fiscal de Atividades Econmicas RJ ) Considere o sistema Francs de Amortizao. Uma quantia de R$ 400 000,00 dever ser paga em 10 prestaes mensais iguais sob taxa de juros compostos de 12 % ao ms. Se no ms 4 a prestao vale R$ 70 793,60, a cota de amortizao no ms 1 de:

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97 ) Um emprstimo de R$ 2 000,00 ser saldado em 20 amortizaes mensais iguais (SAC), tendo sido contratada taxa de juros compostos de 25 % ao ms. Qual o saldo devedor aps o pagamento da nona parcela, sabendo-se que no houve prazo de carncia? a ) R$ 900,00 b ) R$ 1 100,00 c ) R$ 1 250,00 d ) R$ 1 120,00 98 ) (AFTN) Uma pessoa obteve um emprstimo de R$ 120 000,00, a uma taxa de juros compostos de 2 % ao ms, que dever ser pago em 10 parcelas iguais. O valor dos juros a ser pago na oitava parcela de: a ) R$ 5,00 b ) R$ 51,00 c ) R$ 518,00 d ) R$ 456,00 e ) R$ 770,52 99 ) ( GEFAZ MG ESAF ) Um financiamento no valor de R$ 3 000,00 foi contrado no incio de um determinado ms, para ser pago em dezoito prestaes iguais e mensais de R$200,00, com a primeira prestao vencendo no fim daquele ms, a segunda no fim do ms seguinte e assim por diante. Imediatamente aps o pagamento da oitava prestao, determine o valor mais prximo da dvida restante do tomador do financiamento, considerando a mesma taxa de juros do financiamento e desprezando os centavos. a ) R$2 000,00 b ) R$1 796,00 c ) R$1 700,00 d ) R$1 522,00 e ) R$1 400,00 100 ) Um emprstimo de R$30.300,00 concedido a uma empresa para ser liquidado em 5 meses mediante pagamentos mensais, com uma taxa de juros contratada de 3% ao ms. Determine o valor aproximado da amortizao embutida na primeira prestao, considerando o desembolso deste emprstimo pelo sistema de amortizao misto. ( Considere 1,035 = 1,1 ) A ) R$9.091,00 B ) R$ 6.060,00 C ) R$7.575,00 D ) R$6.575,50 E ) R$5.000,00 ( Fiscal de Rendas ICMS MS FGV ) O enunciado a seguir refere-se s questes de nmeros 101 a 102. Considere um financiamento de R$ 150.000,00 em 150 prestaes mensais, pelo SAC, a juros de 1% ao ms. 101 ) Determine o estado da dvida imediatamente aps o pagamento da 60 prestao. (A) R$ 60.000,00 (B) R$ 70.000,00 (C) R$ 80.000,00 (D) R$ 90.000,00 (E) R$ 100.000,00

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102 ) Determine o valor dessa prestao. (A) R$ 1.910,00 (B) R$ 2.000,00 (C) R$ 2.100,00 (D) R$ 2.110,00 (E) R$ 2.220,00