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QUESTÕES DE MATEMÁTICA DE PROVAS DA UERJ

R E S O L U Ç Ã O D E E X E R C ÍC IO S R A C IO C ÍN IO L Ó G IC O

M A T E M Á T IC A F ÍS IC A /Q U ÍM IC A

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1

1.1] Matemática – Vestibular Estadual 2000 – UERJ – 09/01/2000

1.1.1] Questão 01– Um restaurante self-service cobra pela refeição R$ 6,00, por pessoa, mais uma multa pela comida deixada no prato, de acordo com a tabela:

INTERVALO DO DESPERDICIO

(EM GRAMAS) MULTA

(EM REAIS) [0,100[ 0

[100,200[ 1 [200,300[ 2 [300,400[ 3

Se Julia pagou R$ 9,00 por uma refeição, indique a quantidade mínima de comida que ela pode ter desperdiçado.

1.1.2] Questão 02 – Observe que, na tabela abaixo, só há números primos maiores que 3 na primeira e quinta colunas.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 . . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. 6n+1 6n+2 6n+3 6n+4 6n+5 6n

Se p é primo e maior que 3, demonstre que p2 – 1 é múltiplo de 12. Retirando-se aleatoriamente, da tabela, dois números naturais distintos, menores que 37, determine a probabilidade de ambos serem primos maiores que 3.

1.1.3] Questão 03 – Considere as matrizes A e B:

A = (aij ) é quadrada de ordem n em que aij =−

1

1

,

,

se i=par

se i = im par

B = (bij ) é de ordem n x p em que b i j = j i Calcule a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A.

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2

1.1.4] Questão 04 – Observe a figura abaixo:

Ela representa um papel quadrado ABCD, com 10 cm de lado, que foi dobrado na linha AM, em que M é o ponto médio do lado . Se, após a dobra, A, B, C, D e M são coplanares, determine: A) a distância entre o ponto B e o segmento DC ; B) o valor de Tg θ

1.1.5] Questão 05 – A tabela abaixo indica os preços e os diâmetros de bolinhos que têm forma esférica.

TIPO DE BOLINHO

DIÂMETRO (CM)

PREÇO (R$)

PEQUENO 2 1 MÉDIO 3 2

GRANDE 4 3

Suponha que João comeu apenas um bolinho grande e mariana comeu exatamente cinco pequenos. Calcule a percentagem do volume que João comeu a mais do que Mariana. Foram arrecadados 40 reais na venda de 25 unidades de bolinhos. Calcule a quantidade vendida de cada tipo, sabendo que o número de bolinhos grandes foi o maior possível.

1.2] Matemática – Vestibular Estadual 2000 – UERJ – 17/12/2000

1.2.1] Questão 01 – Um grupo de alunos de uma escola deveria visitar o Museu de Ciência e o Museu de História da cidade. Quarenta e oito alunos foram visitar pelo menos um desses museus.20% dos que foram ao de Ciência visitaram o de História e 25% dos que foram ao de História visitaram também o de Ciência. Calcule o número de alunos que visitaram os dois museus.

D R C

BQ

A P

M10

θθθθ

αααα

αααα

B'

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3

1.2.2] Questão 02 – O coquetel preferido de João tem 15% de álcool e é uma mistura de tequila e cerveja. No bar onde pediu que lhe preparassem esse coquetel, a tequila e a cerveja tinham, respectivamente, 40% e 5% de álcool. Calcule a razão entre os volumes de tequila e cerveja usados nessa mistura.

1.2.3] Questão 03 – Os números 204 , 782 e 255 são divisíveis por 17. Considere o determinante de ordem 3 abaixo:

2 0 4

7 8 2

2 5 5

Demonstre que esse determinante é divisível por 17.

1.2.4] Questão 04 – Observe a tabela de Pitágoras.

3 4 5

6 8 10

9 12 15

12 16 20

... ... ...

Calcule a soma de todos os números desta tabela até a vigésima linha.

1.2.5] Questão 05 – Considere a função f, definida para todo x real positivo, e seu respectivo gráfico.

0

f(x)

xa b 3a 3b

f xx

( ) =1

Se a e b são dois números positivos (a < b), a área do retângulo de vértices (a,0), (b,0) e (b, f(b)) é igual a 0,2. Calcule a área do retângulo de vértices (3a, 0), (3b, 0) e (3b, f(3b)).

1.2.6] Questão 06 – Um triângulo acutângulo ABC tem 4 cm2 de área e seus lados AB e AC medem, respectivamente, 2 cm e 5 cm. Mantendo-se as medidas desses dois lados e dobrando-se o ângulo interno Â, calcule o aumento percentual de sua área.

[email protected]

4

1.2.7] Questão 07 – Uma indústria produz três tipos de correntes. A tabela abaixo indica os preços praticados para uma produção total de 100 m. A quantidade z de metros produzidos da corrente do tipo III é um número inteiro. Se 5 < P ≤≤≤≤ 10 , calcule os possíveis valores inteiros de P.

PREÇO P/METRO (R$)

TIPOS

PRODUÇÃO

(M) CUSTO VENDA I X 2,00 3,00 II Y 4,00 5,00 III Z 5,00 P

TOTAL 100 320,00 460,00

1.2.8] Questão 08 – Os afixos de três números complexos são eqüidistantes de (0,0) e vértices de um triângulo eqüilátero. Um

desses números é 1 3+i .

Calcule os outros números na forma: a + bi. 1.2.9] Questão 09 – Uma prova é composta por 6 questões com 4

alternativas de resposta cada uma, das quais apenas uma delas é correta. Cada resposta correta corresponde a 3 pontos ganhos; cada erro ou questão não respondida, a 1 ponto perdido. Calcule a probabilidade de um aluno que tenha respondido aleatoriamente a todas as questões obter um total de pontos exatamente igual a 10.

1.2.10] Questão 10 – Observe a figura abaixo, que representa um cilindro circular reto inscrito em uma semi-esfera, cujo raio OA forma um ângulo θ θ θ θ com a base do cilindro. Se θ θ θ θ varia no intervalo ]0,ππππ/2[ e o raio da semi-esfera mede r, calcule a área lateral máxima deste cilindro

r

A

O θθθθ

1.2.11] Questão 11 – As equações acima, em que x∈∈∈∈ C, têm uma raiz

comum. Determine todas as raízes não-comuns.

x3 + x + 10 = 0 x3 – 19x – 30 = 0

1.2.12] Questão 12 – O volume de água em um tanque varia com o tempo de acordo com a seguinte equação:

V t t t= − − − − ∈ℜ+10 4 2 2 6 ,

Nela, V é o volume medido em m3 após t horas, contadas a partir de 8h de uma manhã. Determine os horários inicial e final dessa manhã em que o volume permanece constante.

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5

1.2.13] Questão 13 – Considere dois números naturais ab e cd em que a, b, c e d são seus algarismos.

Demonstre que, se ab . cd = ba . dc, então a . c = b . d.

1.2.14] Questão 14 – Uma porta colonial é formada por um retângulo de 100 cm x 200 cm e uma semi-elipse. Observe as figuras:

200

QP

224

100

30

QP30

Na semi-elipse o eixo maior mede 100 cm e o semi-eixo menor, 30 cm. Calcule a medida da corda PQ, paralela ao eixo maior, que representa a largura da porta a 224 cm de altura.

1.2.15] Questão 15 – Observe a figura abaixo.

B

A

D

C

y

x

z

Ela representa um cubo de aresta 2, seccionado pelo plano ABCD; B=(2,0, t) e t varia no intervalo [0,2]. Determine a menor área do quadrilátero ABCD.

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6

1.2.16] Questão 16 – A figura abaixo representa um quadrado ABCD e dois triângulos eqüiláteros equivalentes.

L

3 – L

3

L– 3

1

L–2 Se cada lado desses triângulos mede 2 cm, calcule o lado do quadrado ABCD.

1.2.17] Questão 17 – Na potência abaixo, n é um número natural menor do que 100. Determine o maior valor de n, de modo que o desenvolvimento dessa potência tenha um termo independente de x.

1.2.18] Questão 18 – A figura abaixo representa uma chapa de metal com a forma de um triângulo retângulo isósceles em que AB=BC=CD=2 m. Dobrando-a nas linhas BE e CE , constrói-se um objeto que tem a forma de uma pirâmide. Desprezando a espessura da chapa, calcule o cosseno do ângulo formado pela aresta AE e o plano ABC.

Considere a equação abaixo, que representa uma superfície esférica, para responder às questões de números 17.2.19 e 17.2.20.

( x–1)2

+ (y–1)2 + (z–1)2 = 9

1.2.19] Questão 19 – Determine a equação da circunferência obtida pela interseção da superfície acima e o plano coordenado XOY.

1.2.20] Questão 20 – Determine o total de pontos da superfície esférica acima com todas as coordenadas inteiras.

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7

1.3] Matemática – Vestibular UERJ 2001

1.3.1] Questão 01 – Observe o paralelogramo ABCD.

D

M

b

a

C

BA

(A) Calcule AC BD2 2

+ em função de AB a= e BC b= . (B) Determine a razão entre as áreas dos triângulos ABM e MBC.

1.3.2] Questão 02 – Admita os seguintes dados sobre as condições ambientais de uma comunidade, com uma população p, em milhares de habitantes:

C, a taxa média diária de monóxido de carbono no ar, em partes por milhão, corresponde a C (p)= 0,5 p +1; Em um determinado tempo t, em anos, p será igual a p(t) = 10 +0,1 t2 Em relação à taxa C, (A) expresse-a como uma função do tempo; (B) calcule em quantos anos essa taxa será de 13,2

partes por milhão.

1.3.3] Questão 03 – Analise a expressão abaixo, na qual n é um número natural.

Nn

n= −10 (A) Se n é um número par, então N também é um número par. Justifique esta afirmativa. (B) Determine o valor da soma dos algarismos de N quando n = 92.

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