1

PROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA VESTIBULAR– 2012 – 1a Fase

RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.

QUESTÕES DE 01 A 08

Instrução: Assinale as proposições verdadeiras, some os números a elas associados e marque o resultado na Folha de Respostas. Questão 01. Um reservatório em forma de cilindro circular reto de raio da base r = 0,80m e altura H metros tem capacidade para 1984 litros de combustível e, para enchê-lo, são utilizados álcool e gasolina na proporção de um litro de álcool para quatro litros de gasolina. O gráfico – que h indica, em cm, a altura do nível de combustível contido no reservatório – descreve a variação desse nível durante um período de 10 horas.

Considerando-se π = 3,1 e que não houve entrada e saída simultâneas de combustível do reservatório, pode-se afirmar: (01) O reservatório, quando cheio, contém 396,8 litros de álcool. (02) O reservatório estava cheio quando t = 6. (04) Em t = 0, havia no reservatório 600 litros de combustível. (08) Em t = 2, o combustível que havia no reservatório ocupava menos da metade de sua capacidade. (16) No intervalo de tempo entre t = 6 e t = 9, houve um consumo médio de combustível de 198,4 litros por hora. (32) No intervalo de tempo entre t = 4 e t =6, houve crescimento do consumo de combustível. RESOLUÇÃO: (01) VERDADEIRA.

396,8a5

1

1984

a

5

1

c

a

4

1

g

a=⇒=⇒=⇒=

(02) FALSA. Cálculo da altura do recipiente:

100cmh198400019840h1984000h3,1802 =⇒=⇒=×× Quando t = 6 horas, o nível do combustível era de 70 cm, logo o recipiente não estava cheio. (04) FALSA.

Em t = 0, havia no tanque: l595,2595,200dm595200cm033,180 332 =⇒=×× .

2

(08) VERDADEIRA. Analisando o gráfico percebe-se que para t = 2, o nível do combustível está abaixo de 50cm. (16) VERDADEIRA.

( )l4,1984,198198400cm1019840

3

40703,180 332

===×=−××

dm .

(32) FALSA. Pela análise do gráfico conclui-se que no intervalo de tempo entre t = 4 e t = 6 houve entrada de combustível. Questão 02. Considere-se a sequência numérica A = { }... ,,...,3 ,1

na – tal que, para valores inteiros positivos de n,

( )2

1nnan

+= – e a progressão aritmética B = { }28 ...., 4, 1, .

Sobre essas sequências, é correto afirmar: (01) A sequência A é uma progressão geométrica. (02) A sequência B tem dez termos. (04) Existem apenas três termos comuns às sequências. (08) Os termos x e y da progressão geométrica crescente { }1b y, ,a , 93 −x são tais que x + y = 15.

(16) Os termos da sequência C = ( )n

c , em que nnn

aac 22 −= , são quadrados perfeitos.

(32) Utilizando-se algarismos do subconjunto { }321 a ,a ,a da sequência A, podem-se formar 12 números

naturais primos, sem algarismos repetidos. (64) Existe um par de elementos da sequência B que pode ser excluído, sem alterar a sua média aritmética. RESOLUÇÃO: (01) FALSA.

Sendo ( ) *,

2

1+∈

+= Zn

nnan , a lei de formação da sequência A = { }... ,,...,3 ,1

na , então,

A = { }21,... 15, 10, 6, 3, 1, que não é uma progressão geométrica

≠

3

6

1

3.

(02) VERDADEIRA. Sendo a sequência B = { }28 ...., 4, 1, uma progressão aritmética,

( ) ( ) ( ) 1091273128311 =⇒=−⇒=×−⇒=×−+ nnnn .

(04) VERDADEIRA. Sendo A = { }... 36, 28, 21, 15, 10, 6, 3, 1, e B = { }28 25, 22, 19, 16, 13, 10, 7, 4, 1, , então os únicos elementos

comuns às duas sequências são: 1, 10 e 28. (08) VERDADEIRA. Na progressão geométrica { } { }24 y, 6, ,1b y, ,a , 93 xx =− , 24x=6y ⇒ y =4x.

Sendo x + y = 15 ⇒ x + 4x = 15 ⇒ x = 3 e y = 12. (16) VERDADEIRA. A sequência C = ( )nc , tal que ;91221c4;610c 1;23c2aac 321n2nn =−==−==−=⇒−=

{ }16,.... 9, 4, 1,C16,....2036c4 =⇒=−= .

(32) FALSA. Com os algarismos da sequência { } { }6 3, ,1a ,a ,a 321 = podem-se formar apenas 3! = 6 números naturais

diferentes.

3

(64) VERDADEIRA.

A média aritmética dos elementos da sequência B é:

( )

5,1410

145

102

10281

1010 ==

×+

=S

.

Na condição da exclusão de 2 elementos e a média aritmética continuar sendo 14,5, a soma de todos os elementos será 1615,148 =× . Com a exclusão dos dois elementos a soma de todos os elementos iniciais ficará diminuída de 145 – 116 = 29 que é sempre igual à soma de dois elementos eqüidistantes dos extremos da sequência. Questão 03 Desejando pagar um empréstimo de R$10 000,00 em cinco prestações mensais consecutivas, um cliente de uma instituição financeira tem duas opções distintas. Opção 1 – Cada prestação é constituída por 20% do valor total do empréstimo acrescido de 5% do saldo devedor, determinado pela expressão ( ) 5 ..., 1, n ,62000 =−= nD

n.

Opção 2 – Cada prestação é constituída por 50% do saldo devedor – exceto a última, em que o saldo deve ser pago integralmente – acrescido de 5% de juros, calculados sobre esse saldo devedor,

determinado pela expressão 1,2,..,5n,2

10000S

1nn ==−

.

RESOLUÇÃO: OPÇÃO 1:

( ) ( )⇒−+=⇒−×+=⇒+= n61000,20Vpn620000,050,20Vp0,05D0,20Vp nnnn

( ) ( )n61002000pn6100100000,20p nn −+=⇒−+×= n ( )n61002000pn −+=

1 25005000002p1 =+=

2 24004000002p2 =+=

3 23003000002p3

=+=

4 22002000002p4 =+=

5 21001000002p5 =+=

∑=

5

1nnp

11.500

OPÇÃO 2:

1,2,..,5n,2

10000S com ,0,05S0,5Sp

1nnnnn ==+=−

n np

1 550050050002

100000,05

2

100000,5p

001 =+=×

+×

=

2 275005200522

100000,05

2

100000,5p

112 =+=×

+×

=

3 375125125012

100000,05

2

100000,5p

223 =+=×

+×

=

4 50,87650,262562

100000,05

2

100000,5p

334 =+=×

+×

=

5 25,65625,312562

1000005,0

2

10000p

445 =+=×

+=

∑=

5

1nnp 10.968,75

(01) VERDADEIRA.

4

%24100

24

10000

2400==

(02) FALSA. reais 7.200ppp 321 =++ .

(04) VERDADEIRA. 132 212521254125500 −×=×=×= ; 2321252125250 −×=×= ; 330 212521251125125 −×=×=×= ;

431 2125212550,62 −− ×=×= ; 532 2125212525,31 −− ×=×= (08) VERDADEIRA. (16) VERDADEIRA.

0TT 968,75T e 1500T 2121 >−⇒== .

(32) FALSA. M = 10.000 + 10.000×0,05×5= 10.000 + 2.500 = 12.500 > 11.500 Questão 04

Considerem-se as funções ���� → e

+∞−→ ,

8

25R:g definidas por 2x1f(x) −= e

3x7x2)x(g 2 +−= .

Com base no estudo de funções reais, pode-se afirmar: (01) VERDADEIRA.

Sendo ( ) ( ) ( ) ( )217277327222g2

−=−=+−= e

( )2122222

1221

2

12f −=−=

−−=

− ⇒

( )

Q2

7

)22(1

)27(1

2

12f

2g∈=

−

−=

−

.

(02) VERDADEIRA.

Sendo g : R →

+∞− ,

8

25 e g(x) = 2x² – 7x + 3 o valor mínimo de g(x) é:

⇒−=−−

=−−

=8

25

8

24)(49

4a

4ac)(by

2

o conjunto imagem de g(x) é

+∞−= ,

8

25Im que é também o

seu contra-domínio.

5

(04) FALSA. A função g(x) = 2x² – 7x + 3 tem vértice no ponto

−

8

25 ,

4

7, então função h(x), representada ao lado, e

cujo gráfico é simétrico do gráfico de g(x) em relação ao

eixo Oy, tem vértice no ponto

−−

8

25 ,

4

7, logo as duas

funções têm o mesmo valor mínimo.

(08) FALSA.

8

25

2

5

2

71

4

721

4

7f −≠−=−=

−=

(16) VERDADEIRA.

⇒−=+−−−=−=+−=− 10x8x32x)7(32x)2(32x)g(32)2xg(11)g(f(x 22

que a soma das raízes de 1)g(f(x − é igual a 4

5

16

10= .

(32) VERDADEIRA.

( )x22x2x1(x) f 444444h(x) −−− ×=×=== é uma função decrescente porque 0< ( )24− <1.

Para determinar a inversa de 2x14h(x) −= ,faça-se h(y) = x:

xlog2

1yxlog

2

1

2

1yxlog12yxlog2y1x4 4444

2y1 −=⇒−=⇒−=⇒=−⇒=− ,

com x > 0. Questão 05. Uma rede consiste de um número finito de nós conectados por segmentos orientados, chamados ramos. O estudo do fluxo através de uma rede baseia-se no chamado “princípio da conservação do fluxo” que afirma: em cada nó, o fluxo de entrada é igual ao fluxo de saída. A figura descreve fluxos não negativos, medidos em litros por minuto, através de parte de uma rede de encanamento em que nós estão representados pelos pontos A, B e C. Aplicando-se o princípio da conservação do fluxo, é possível obter-se um sistema de equações lineares

=++−

=+

=+

=

4z2y2x

20y2x

20zx

S – no qual cada equação representa a conservação do fluxo em cada nó – cuja

matriz dos coeficientes é

−

=

122

012

101

M .

Com base nessas informações e nos conhecimentos sobre matrizes e sistemas lineares, é correto afirmar:

6

(01) O sistema s pode ser representado pela equação matricial DXT = , em que ( )zyxX = , ( )42020D = e T é a transposta de M.

(02) Se o terno ordenado ( )cba é solução do sistema S, então a = b – c.

(04) sendo k = 2 e , a matriz identidade de ordem 3, o determinante da matriz M – kI é igual a 1. (08) A soma dos termos da segunda linha da matriz inversa de M é igual a – 3. (16) É impossível inverter-se, na parte da rede, representada na figura, apenas a orientação do fluxo indicado por 2y. (32) O menor fluxo através de um ramo da parte de rede, representada na figura, é de quatro litros por minuto. RESOLUÇÃO:

(01) VERDADEIRA.

⇒

=

−

⇒

=

−

⇒

=++−

=+

=+tt

4

20

20

z

y

x

122

012

101

4

20

20

z

y

x

122

012

101

:S

4z2y2x

20y2x

20zx

:S

( ) ( ) DXT42020Mxyx

4

20

20

122

012

101

z

y

xt

ttt

=⇒=×⇒

=

−

.

(02) FALSA.

⇒

=⇒=+

=⇒=+

=

⇒

=

=⇒

=−

=+⇒

−=−−

=+

=+

⇒

=++−

=+

=+

12z20z8

4y20y16

8x

8x

567x

36z6x

20zx

4z2y2x

402y4x

20zx

4z2y2x

20y2x

20zx

:S

( ) ( ) a8124cb1248cba ≠−=−=−⇒= .

(04) VERDADEIRA.

1221

122

012

101

kIM =−+−=

−−

−

−

=− .

(08) FALSA.

⇒

=

++−+

++−+

++−+

⇒

=

−

100

010

001

ig2ih2i2hg

fd2fe2f2ed

ca2cb2c2ba

100

010

001

122

012

101

ihg

fed

cba

( ) ( ) ⇒

−

⇒−

−

−

⇒−

−

⇒

=+

=+

=−+

2700

1210

0221

L2L;

0320

1210

0221

LL;

0101

1210

0221

0fd

12fe

02f2ed

3231

7

3def

7

2

7

4

7

6d

7

3

7

41e

7

2f

27f

12fe

02f2ed

=++⇒

−=+−=

=−=

=

⇒

=

=+

=−+

7

(16) VERDADEIRA. No nó A o fluxo de entrada e o fluxo de saída são iguais a 20. No nó B o fluxo de entrada e o fluxo de saída são iguais a 20. Porém no nó C o fluxo de entrada passou a ser 28 e o de saída 12. Então na parte da rede representada na figura é impossível inverter-se, apenas o fluxo representado por 2y (=8).

(32) VERDADEIRA. Questão 06.

Considerando-se a circunferência C1 e a reta r de equações ( ) ( ) 162y1x 22=−++ e 3x + 4y + 10 = 0,

respectivamente, pode-se afirmar: (01) Uma equação de uma reta paralela a r e tangente a C1 é 3x + 4y – 20 = 0. (02) A reta de equação 4x – 3y + 10 = 0 passa pelo centro de C1 perpendicularmente a r.

(04) A reta r faz com o eixo Oy um ângulo θ tal que 4

3tg =θ .

(08) A ordenada de um ponto P(–1, a), interior `C1, pertence ao intervalo ] –2, 6[. (16) Todo quadrado inscrito em C1 tem área igual a 32u.a.

(32) Se a circunferência C2 tem raio 23 u.c. e é concêntrica à circunferência C1, então a área da coroa circular determinada por C1 e C2 tem 7u.a. (64) Um cubo de base circunscrita a C1 tem volume 512u.v. RESOLUÇÃO:

A circunferência de equação ( ) ( ) 162y1x 22=−++ tem centro no ponto O = ( )2 ,1− e raio 4.

(01) FALSA.

d = 435

15

169

2083<==

+

−+− é a distância da reta 3x + 4y – 20 = 0 ao centro da circunferência

( ) ( ) 162y1x 22=−++ . E sendo essa distância menor que o raio, a reta em questão é secante à

circunferência. (02) VERDADEIRA. Substituindo na equação 4x – 3y + 10 = 0, x e y pelas ordenadas do ponto O = ( )2 ,1− , tem-se: – 4 – 6 + 10 = 0, então a reta passa por C1.

O coeficiente angular da reta r: 3x + 4y + 10 = 0 é 4

3tg −=α e o da reta 4x – 3y + 10 = 0 é

3

4tg =β ,

então 13

4

4

3tgβtgα −=×−=× , logo as retas são perpendiculares.

8

(04) FALSA.

r: 3x + 4y +10 = 0 ⇒ 4

10x

4

3y −−= ⇒

⇒=⇒−=−°4

3tgα

4

3α)tg(180

No triângulo retângulo ABC, AC = 3x e AB = 4x, com x ∈ +R

Assim, de acordo com a figura ao lado, 3

4tgθ =

(08) VERDADEIRA. Se um ponto é interior a uma circunferência a sua distância ao centro é menor que a medida do raio. Considerando a distância entre os pontos O = ( )2 ,1− e

P = ( )a 1,− pertencente à reta x:

6a242a442a <<−⇒<−<−⇒<−

(16) VERDADEIRA. Todo quadrado inscrito numa circunferência tem como diagonal um dos diâmetro da circunferência.

Na figura ao lado, a diagonal AC do quadrado inscrito tem como medida é 2r = 8, então,

( ) 3224S242

2882

2

ABCD ==⇒==⇒= ll u.a.

(32) FALSA. A área da coroa pintada de azul é igual a:

( ) ( ) π2π1618π423S 22=−=

−= u. a.

64) VERDADEIRA. A medida do lado do quadrado circunscrito é igual à medida do diâmetro, 8. Se este quadrado é base de um cubo, então o volume deste cubo é 83 = 512 u.v.

9

Questão 07 Com base nos conhecimentos de geometria plana, é correto afirmar: (01) Se os lados de um triângulo medem 8cm, 11cm e xcm, então 3 < x < 19.

(02) O cosseno do maior ângulo interno de um triângulo cujos lados medem 6cm, 8cm e 372 cm é

igual a 2

1− .

(04) Se o ponteiro dos minutos de um relógio de parede mede 12cm, então, em 40 minutos, sua extremidade percorre mais que 30cm.

(08) Se x pertence ao intervalo

−−

5

1 ,

5

3, então existe um ângulo θ tal que senθ = 2 + 5x.

(16) Para os ângulos α e β, indicados na figura, − dois quadrados congruentes com um lado comum

− tem-se ( )10

53sen =+ βα

RESOLUÇÃO: (01)VERDADEIRA. Em todo triângulo a medida de um de seus lados é sempre maior que o módulo da diferença dos outros dois lados e menor que a soma desses lados. Então se os lados de um triângulo medem 11cm, 8cm e xcm, 19x3811x811 <<⇒+<<− .

(02) VERDADEIRA. Aplicando a Lei dos cossenos em relação ao maior lado:

( ) .2

1cos48cos96cos96100148cos8626436372

2−=⇒−=⇒−=⇒×××−+= αααα

(04) VERDADEIRA. O ponteiro dos minutos a cada hora completa uma volta, então:

50,24cm16πx24π

x

3

2

12π2

x

60

40≅=⇒=⇒

×= .

(08) VERDADEIRA.

Se 5x2senθ += , então ⇒−≤≤−⇒−≤≤−⇒≤+≤−5

1x

5

315x315x21

−−∈

5

1 ,

5

3x .

(16) FALSA.

O triângulo BCD (metade do quadrado) tem área 2

a2

.

Os triângulos ABD e FBE são semelhantes e

2

aAD

2

1

EF

AD=⇒= , logo a área de ABD é

4

aa

2

a

2

1 2

=×× .

ABC formado pela reunião dos triângulos ABD e BDC.

Assim área de ABC é 4

3a

4

a

2

aS

222

=+=

10

BC = 2a (medida da diagonal do quadrado de lado a) e AB = 2

5a

4

aa

22 =+

SABC = 10

103

10

3β)sen(α

4

3aβ)sen(α

2

5a2a

2

1 2

==+⇒=+××× .

Questão 08

Turma Homens Mulheres I 10 25 II 35 30

Um colégio prepara duas turmas para uma olimpíada cultural e as avalia, periodicamente, através de provas simuladas, de desafios entre grupos competidores e de outros meios que estimulem a evolução dos estudantes. Considerando-se a distribuição do número de estudantes, por turma e gênero, dada na tabela, pode-se afirmar: (01) Transferindo-se 10 homens da Turma II para a Turma I, a razão entre o número de homens e de mulheres será a mesma nas duas turmas. (02) É possível redistribuir os estudantes das duas turmas de modo que cada turma passe a ter tantos homens quanto mulheres. (04) Para um debate, cada turma deve formar uma equipe com quatro de seus compoonentes, sendo dois homens e duas mulheres, portanto a Turma I pode formar, no máximo, 13500 equipes distintas, assim construídas. (08) Sendo 9,0 e 6,0, respectivamente, a maior e a menor nota obtidas pelos homens da Turma I em uma prova simulada, a média das notas de todos os homens dessa turma é maior que 7,5 (16) escolhendo-se, ao acaso, um estudante dessas turmas, a probabilidade de ser mulher ou da Turma II é igual a 90%. (32) Escolhendo-se, ao acaso e simultaneamente, um componente de cada turma, a probabilidade de

serem do mesmo gênero é igual a 91

44.

RESOLUÇÃO: (01) FALSA. Turma Homens Mulheres

I 20 25 II 25 30

30

25

25

20≠

(02) FALSA.

Turma Homens Mulheres I x x II y y

O total de alunos é 100, logo 2x + 2y = 100 ⇒ x + y = 50 que corresponde ao total de homens e ao total de mulheres das duas turmas. Então para que a afirmativa da questão pudesse ocorrer o número total de homens e de mulheres nas

duas turmas que estão sendo preparadas seria 50. O que não corresponde à realidade pois são ao todo

homens e 55 mulheres.

(04) VERDADEIRA.

135003004512

2425

12

910CCn 2,252,10 =×=

×

××

×

×=×= .

11

(08) FALSA.

Falsa, pois sendo 6 a menor nota e 9 a maior, a única coisa que podemos garantir é que a média será

um número entre 6 e 9. Nada além disso. Por exemplo se as outras oito notas fossem iguais a 7 a

média seria 1,710

71

10

7896==

×++ que é menor que 7,5.

(16) VERDADEIRA.

Seja A o conjunto das mulheres das duas turmas e B o conjunto dos alunos da Turma II, então o

número n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B) = 55 + 65 – 30 = 90.

A probabilidade pedida é: %90100

90= .

(32) VERDADEIRA.

HI HII MI MII

13

2

65

35

35

10=×

91

30

65

30

35

25=× 91

44

91

3014

91

30

13

2=

+=+

Questão 09.

Sobre as idades dos amigos X e Y, afirma-se:

• Há cinco anos, a idade de X era um número múltiplo de 4 e, de hoje a quatro anos, será um

número múltiplo de 5.

• Há quatro anos, a idade de Y era um número múltiplo de 5 e , de hoje a cinco anos, será um

número múltiplo de 4.

• Hoje essas idades variam entre 40 e 60 anos.

Sendo assim, determine, em anos, a diferença entre as idades atuais de X e Y.

RESOLUÇÃO:

Seja x a idade de X e y a idade de Y, sendo que x, y ∈ ]40, 60[.

DETERMINAÇÃO DO VALOR DE x.

• Se (x – 5) é um múltiplo de 4, então x é um número ímpar.

• Se (x + 4) é múltiplo de 5, e sabendo que x é ímpar, então o algarismo das unidades é 1. Logo

x só poderá ser 41 ou 51.

• Ocorre que 51 – 5 = 46 não é múltiplo de 4.portanto x não é 51.

41 – 5 = 36 é múltiplo de 4 e 41 + 4 = 45 é múltiplo de 5.

Conclusão: x = 41

DETERMINAÇÃO DO VALOR DE y.

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• Se (y + 5) é um múltiplo de 4, então y é um número ímpar.

• Se (x – 4) é múltiplo de 5, e sabendo que x é ímpar, o algarismo das unidades só pode ser 9.

Logo y só poderá ser 49 ou 59.

• Ocorre que 49 – 4 = 45 é múltiplo de 5, mas, 49 + 5 = 54 não é múltiplo de 4.

59 – 4 = 55 é múltiplo de 5 e 59 + 5 = 64 é múltiplo de 4.

Conclusão: y = 59

RESPOSTA: A diferença entre as idades dos amigos é 18 anos.

Questão 10.

Na figura, os triângulos MNP e MNQ são

retângulos com hipotenusa comum MN, o

triângulo MNP é isósceles, e seus catetos medem

cinco unidades de comprimento.

Considerando 3

1tg =α e a área de MNQ igual a x

unidades de área, determine o valor de 4x.

RESOLUÇÃO:

Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo MNP:

25502525y ==+=

No triângulo MNQ, sendo +∈==⇒== R w3w,MQ e wNQMQ

NQ

3

1tgα .

Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo MNQ:

5 NQ e 53MQ5w5w50w9w 222 ==⇒=⇒=⇒=+ .

Sendo x unidades de área a medida da área de MNQ:

302

15 44x

2

15

2

553 x =

=⇒=

×= .

RESPOSTA: A medida de 4x é 30.