prova nivel 2 2008

XXX Olimpíada Brasileira de Matemática – Primeira Fase – Nível 2 www.obm.org.br

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XXX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Primeira Fase – Nível 2

8o ou 9o anos (antigas 7ª e 8ª séries)

Esta prova também corresponde à prova da Primeira Fase da Olimpíada Regional nos Estados de:

AL – BA – ES – GO – PI – RN – RS – SC

14 de junho de 2008 A duração da prova é de 3 horas. Cada problema vale 1 ponto. Não é permitido o uso de calculadoras nem consultas a notas ou livros. Você pode solicitar papel para rascunho. Entregue apenas a folha de respostas. Ao participar o aluno se compromete a não divulgar o conteúdo das questões até a publicação do gabarito no site da OBM.

01) No desenho temos AE = BE = CE = CD. Além disso, e

são medidas de ângulos. Qual é o valor da razão ?

A) 5

3 B)

5

4 C) 1 D)

4

5 E)

3

5

(D) Como EDC é isósceles, 80CDECED . Como

BEC é isósceles BCECBE . Usando ângulo

externo, 40 . Como ABE também é isósceles,

BAE . Finalmente, usando mais uma vez ângulo

externo podemos concluir que 50 .

02) Quantos dos números abaixo são maiores que 10?

113 , 74 , 55 , 36 , 27

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

(C) Os quadrados dos números são respectivamente: 99, 112, 125, 108 e 98. Destes, apenas o primeiro e

o último são menores que o quadrado de 10 que é 100. Assim, os três números do meio são maiores que

10.

03)1212 é igual a:

A) 66 B)

3212 C) 612 3.2 D)

126 E) 12

12

(C) 61262612 32)32(1212

04) Uma grande empresa possui 84 funcionários e sabe-se que cada funcionário fala pelo menos uma das

línguas entre Português e Inglês. Além disso, 20% dos que falam Português também falam Inglês e 80%

dos que falam Inglês também falam Português. Quantos funcionários falam as duas línguas?

A) 12 B) 14 C) 15 D) 16 E) 18

(D) Seja P o número de funcionários que falam Português e I o número de funcionários que falam Inglês.

É fácil ver que,

.4.100

20.

100

20IPIIP


2

Além disso, .2084.100

204 IIII Com isso, o número de funcionários que falam as duas

línguas é .164.100

20I

05) Edmilson, Carlos e Eduardo ganharam um total de R$150,00 lavando carros. Eles ganharam

quantidades diferentes de dinheiro. Como eles são muito amigos decidiram dividir o dinheiro ganho em

partes iguais. Para isto, Edmilson deu metade do que ganhou para dividir em partes iguais entre Carlos e

Eduardo, porém, Carlos tinha muito dinheiro e, portanto, deu R$ 10,00 a cada um dos outros dois.

Finalmente, para que cada um tivesse a mesma quantidade de dinheiro, Eduardo deu R$ 2,00 a Edmilson.

Quanto Eduardo ganhou antes da divisão?

A) R$ 76,00 B) R$ 51,00 C) R$ 23,00 D) R$ 50,00 E) R$ 100,00

(C)

Edmilson x

2

x 10

2

x 12

2

x

Eduardo y

4

xy 10

4

xy 8

4

xy

Carlos z

4

xz 20

4

xz 20

4

xz

A quantidade final de cada é R$ 50,00, então 122

x= 50, então .76x E com isso, Eduardo tinha

inicialmente R$ 23,00.

06) Nove números são escritos em ordem crescente. O número do meio é a média aritmética dos nove

números. A média aritmética dos 5 maiores é 68 e a média aritmética dos 5 menores é 44. A soma de

todos os números é:

A) 560 B) 504 C) 112 D) 56 E) 70

(B) Sejam ,,,,,,,,, ihgfedcba os números ordenados assim:

.ihgfedcba

Então, .99

ihgfedcbaeihgfedcba

e Além disso,

,340685

edcbaedcba

e também temos a seguinte equação,

445

ihgfe.220ihgfe Portanto, .565609 eee E assim, a soma

desejada será .504


3

07) Quantos quadrados têm como vértices os pontos do reticulado ao lado?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

. (E) Quadradinhos de lado 1 existem 6 e quadradinho de lado 2 existe 1.

Além disso, existem três outros inclinados de lado 2 . Portanto, temos 10

quadrados.

08) A primeira fase da OBM se realiza no dia 14 de junho, um sábado do ano bissexto 2008. Daqui a

quantos anos o dia 14 de junho será novamente no sábado?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

(C) 2009 – Domingo 2012 – Quinta (Pois é ano Bissexto)

2010 – Segunda 2013 – Sexta

2011 – Terça 2014 – Sábado

09) Os algarismos a , b e c são tais que os números de dois algarismos aa , bc e cb são números

primos e 2

aacbbcaa . Se cb , então bc é igual a:

A) 19 B) 17 C) 37 D) 29 E) 59

O único número primo de dois algarismos iguais é 11. Neste caso, 1a . Usando agora a definição do

sistema decimal:

.10110)(11121101011 cbcbbccb

Como os números citados são primos, temos que b e c devem ser ímpares e diferentes de 5. Além disso,

91 é múltiplo de 7. Portanto, os valores para b e c são 3 e 7 respectivamente.

10) Cinco inteiros positivos edcba ,,,, maiores que um satisfazem as seguintes condições:

275)(

243)(

203)(

155)(

128)(

dcbae

ecbad

edbac

edcab

edcba

Quanto vale a soma edcba ?

A) 9 B) 16 C) 25 D) 36 E) 49

Se edcba ,,,, são cinco inteiros maiores que um, então 2,,,, edcba , e com isso, a soma quaisquer

quatro deles é pelo menos 8. Observando a equação 31.5155)( edcab , onde 5 e 31 são

primos, temos que 5b e 31edca . Da mesma maneira, 203)( edbac , então

7c e 29edba . Baseado nos resultados encontrados, concluímos que 24eda ,

36edcba e da equação 128)( edcba , obtemos que 128)36( aa , ou seja,

4a ou 32a . Porém, 32a não poderá ser solução pois, caso fosse, teríamos

.40edcba Portanto, 16cba e a equação 275)( dcbae será a mesma que

275)16( de , onde 2036 cbaed . Como 25.11275 e 1816 d , temos que

11e e .91625d Observe que outra fatoração de 55.5275 faria 39d , que é muito

grande. Portanto, .36119754edcba


4

11) Em um triângulo ABC foi traçada a altura AH. Sejam M e N pontos sobre os lados AB e AC,

respectivamente, tais que HM é perpendicular a AB e HN é perpendicular a AC. Achar MN, sabendo que

o perímetro do triângulo órtico do triângulo ABC é igual a 10.

Observação: o triângulo órtico de um triângulo é aquele cujos vértices são as interseções das alturas do

triângulo com os respectivos lados. Pode-se demonstrar que o incentro (encontro das bissetrizes) do

triângulo órtico é sempre igual ao ortocentro (encontro das alturas) do triângulo original.

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

É fácil ver que os triângulos EQH e HPF são isósceles, logo EQ = QH = b e HP = PF = c. E seja

QP = a. No triângulo EHF, temos que EF = 2MN (MN é base média). Logo MN = 5.

12) Quantos números inteiros positivos menores que 500 têm exatamente 15 divisores inteiros positivos?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

(D) Sejam qp, números primos, então para que o número de divisores inteiros e positivos seja

exatamente 15, os número precisam ser da seguinte forma: 14p e

42.qp .

Assim teremos as seguintes possibilidades: ,3243.2 42 1442.3 42

e .4002.5 42

13) Seja )(nP a soma dos algarismos pares do número n . Por exemplo, .642)1234(P Qual o

valor de ?)100(...)3()2()1( PPPP

A) 200 B) 360 C) 400 D) 900 E) 2250


5

(C) Entre os números 1 e 100 o algarismo 2 aparece dez vezes como dígito das dezenas e dez vezes como

dígito das unidades. O mesmo ocorre com os algarismos 4, 6 e 8. Portanto, a soma pedida é

.400)8642(20

14) De quantas maneiras podemos dividir R$ 10,00 em moedas de 10 centavos e de 25 centavos, se pelo

menos uma moeda de cada valor tem que ser usada?

A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19

(E) Temos que 10

25100010002510

yxyx , onde x e y são, respectivamente, as quantidade

de moedas de 10 centavos e de 25 centavos. Para que x seja um valor inteiro positivo basta que y seja

qualquer número par entre 2 e 38. Logo, temos 19 maneiras diferentes.

15) Sejam dcba ,,, números inteiros tais que ba 2 , cb 3 , dc 4 . Se 40d , o maior valor

possível de a será:

A) 960 B) 959 C) 951 D) 934 E) 927

(E) Devemos encontrar o maior valor possível para a, então determinaremos os maiores valores para d, c

e b.

Tomando d = 39, observa-se que c < 156. Tomando c = 155, observa-se que b < 465. Tomando b = 464, a

deverá ser menor que 928, e portanto, o maior valor possível de a será 927.

16) A figura abaixo é um exemplo de um quadrado mágico de ordem 4. A soma dos 4 números em cada

linha, coluna e diagonal é 34. Então dizemos que a soma mágica deste quadrado mágico é 34. Suponha

que exista um quadrado mágico de ordem 7, formado pelos números inteiros de 1 a 49. Determine sua

soma mágica.

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

A) 175 B) 2450 C) 1225 D) 190 E) 100

(A) A soma de todos os números é: 12252

50494921

como temos sete colunas com a mesma soma, o resultado da soma dos elementos de uma mesma coluna é

1225/7 = 175.

17) Observe que:

.85841243

,131243

,543

22222

2222

222

Qual o menor valor possível da soma yx com yx, inteiros positivos tais que

?841243 222222 yx


6

A) 289 B) 250 C) 425 D) 795 E) 103

(A) Temos que 22222 17.585xy .

Temos, então, quatro possibilidades

,17.5

1

22xy

xy

,17.5

5

2xy

xy

,17.5

17

2xy

xy

.17

5

2

2

xy

xy

Resolvendo os sistemas temos:

x 3612 720 204 132 y 3613 725 221 157

O menor valor da soma yx é 289.

18) Um número de três algarismos é 629 vezes menor que a soma de todos os outros números de três

algarismos. Este número é:

A) 450 B) 785 C) 630 D) 471 E) 525

. (B) Vamos chamar esse número de x. A soma de todos os números de três algarismo é

4945502

9001099999101100

Assim, podemos montar a seguinte equação: 785494550629 xxx

19) Soninha tem muitos cartões, todos com o mesmo desenho em uma das faces. Ela vai usar

cinco cores diferentes (verde, amarelo, azul, vermelho e laranja) para pintar cada uma das cinco

partes do desenho, cada parte com uma cor diferente, de modo que não haja dois cartões pintados

da mesma forma. Na figura abaixo, por exemplo, os cartões são iguais, pois um deles pode ser

girado para se obter o outro. Quantos cartões diferentes Soninha conseguirá produzir?

A) 16 B) 25 C) 30 D) 60 E) 120

(C) ou (D) ambas devem ser consideradas como resposta correta.

(C) Escolhendo uma cor para o quadrado do centro (como o azul do exemplo), sobram 4 cores diferentes

para pintar cada uma das quatro partes restantes do desenho, cada parte com uma cor diferente, e isso

pode ser feito de 64

1234 maneiras de modo que não haja dois cartões pintados da mesma forma.

Pode-se verificar que há 4 maneiras iguais de se pintar os cartões, pois ao serem giradas, obtém-se a


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mesma. Como há 5 maneiras de escolher uma cor para o quadrado do centro, Soninha conseguirá produzir

3065 cartões diferentes.

(D) Se considerarmos que a diagonal com quadradinhos pretos é distinta da outra, então só precisamos

dividir por 2. Logo Soninha conseguirá 60 cartões diferentes.

20) Em um triângulo ABC, A = 20o e B = 110

o. Se I é o incentro (centro da circunferência inscrita) e

O o circuncentro (centro da circunferência circunscrita) do triângulo ABC, qual a medida do ângulo

IAO ?

A) 20o B) 25

o C) 30

o D) 40

o E) 35

o

(C)

Como oABC 110 , então

oAOC 140 e com isso .20oOAC Por outro lado, .10oIAC

Portanto, .30oIAO

21) Uma classe tem 22 alunos e 18 alunas. Durante as férias, 60% de todos os alunos dessa classe foram

prestar trabalho comunitário. No mínimo, quantas alunas participaram desse trabalho?

A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8

(B) Total de alunos: 40. Com isso, 2440.100

60 alunos. Como temos 22 alunos então pelo menos 2

alunas participarão do trabalho.

22) Na figura abaixo os pontos A, B, C são colineares, assim como os pontos D, E, F. As duas retas ABC

e DEF são paralelas.


8

A B C

D E F

A A A1 2 3

Sendo A1, A2 e A3 as áreas das regiões destacadas na figura, podemos afirmar que:

A) A2 = 2A1 = 2A3 B) A2 = A1+A3 C) A2 > A1+A3

D) A2 < A1+A3 E) A22 = A1.A3

(B)

A B C

D E F

A A1 3

P Q

A1 A

3

Seja P o ponto de interseção dos segmentos DB e AE; e Q o ponto de interseção de CE e BF. Note que os

triângulos ADE e BDE possuem a mesma altura e a mesma base, logo possuem a mesma área. O mesmo

ocorre com os triângulos BEF e CEF. Retirando as áreas comuns PDE e QEF, temos que [ADP]=[PBE] e

[BEQ]=[QCF]. Logo, A2 = A1+A3.

Observação: [XYZ] denota a área do triângulo XYZ.

23) O grupo A da última Copa do Mundo de futebol terminou com os seguintes resultados:

Equipe Número de Pontos

Áustria 7

Brasil 5

Camarões 4

Dinamarca 0

Sabe-se que Áustria e Camarões levaram apenas 1 gol, cada um. Além disso, Brasil e Dinamarca

marcaram apenas 1 gol, cada um, enquanto que Áustria marcou 3 gols. Qual o resultado da partida

Áustria Dinamarca?

Observação: no grupo, cada seleção joga com as demais exatamente uma vez e, em cada partida, o time

vencedor ganha 3 pontos, o perdedor não ganha nem perde pontos e, em caso de empate, cada time ganha

1 ponto.

A) 1 0 B) 2 1 C) 2 0 D) 0 0

E) Nada se pode afirmar.

(B) Como cada time joga três vezes, podemos concluir que:

Dinamarca perdeu todos os jogos.

Camarões ganhou um jogo, empatou uma vez e perdeu o outro.

Brasil ganhou um jogo e empatou outras duas vezes.


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Áustria ganhou dois jogos e empatou outro.

Assim, Brasil venceu a Dinamarca. Como o Brasil marcou apenas um gol, o único resultado possível para

esse jogo é 1 0. Além disso, os outros jogos do Brasil foram empates, logo o resultado foi 0 0 em

ambos. Da mesma forma, podemos concluir que o Camarões venceu a Dinamarca por 1 0. Ou seja, o

único gol que a Dinamarca marcou deve ter sido contra a Áustria.

Por outro lado, sabemos que a Áustria venceu o Camarões e que o Camarões levou apenas um gol. Logo,

o resultado desse jogo foi 1 0. Finalmente, como a Áustria marcou três gols, o jogo Áustria contra

Dinamarca foi 2 1.

24) Abaixo temos um quadrado mágico multiplicativo, onde o produto dos números em cada linha,

coluna e diagonal é o mesmo e igual ao número de quatro dígitos ABCD, onde cada letra representa um

dígito e cada casa contém um número inteiro. Se AC representa o número de dois dígitos no centro do

quadrado, a soma A + B + C + D vale:

4

AC

C 24

A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 21

(B) Como AC é um número de dois algarismos então AC = 10A + C. Com isso, 4.(10A + C) = 24C, e daí

C = 2A.

Temos agora um novo tabuleiro

Agora, 4x = 24. 6C, então x = 36C. Com isso, o produto mágico será (6C)3. Fazendo C = 2, temos que o

produto será 1728 e assim a soma será 18, mas se C = 3, a soma será 5832, que também terá soma 18.

Para valores de C maiores ou iguais a 4 o número procurado terá mais que 4 algarismos.

x 4

6C

C 24

25) Tenho um cubo de madeira, com três faces vermelhas e três faces azuis. O cubo é cortado em 3 3 3

= 27 cubos menores. Quantos destes cubos menores têm, pelo menos, uma face vermelha e outra azul?

A) 6 B) 12 C) 14 D) 16

E) depende de quais faces do cubo são vermelhas e quais são azuis.

. (E) Se o cubo tiver um vértice cujas três faces adjacentes são todas azuis, então estas faces conterão um

total de 19 cubinhos com pelo menos uma face azul. Destes, devemos descontar os 7 cubinhos (do canto

destacado) que não têm face vermelha. Neste caso, exatamente 19 – 7 = 12 cubinhos têm pelo menos uma

face de cada cor.


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Por outro lado, se o cubo não tiver três faces azuis incidindo num mesmo vértice, teremos duas faces

opostas e uma face lateral azul, o mesmo acontecendo para as faces vermelhas. Neste caso, supondo que

as faces superior, inferior e frontal sejam azuis, há 5 cubos que não possuem cor vermelha: os 3 cubos dos

centros das faces azuis e os 2 cubos que dividem face com essas faces centrais. Como o mesmo ocorre

para as faces vermelhas e há 26 cubos com pelo menos uma face pintada (de vermelho ou azul), neste

caso há 26 5 5 = 16 cubos com pelo menos uma face de cada cor.

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