1- Primeiro de todas as salas Calcular as seguintes integrais Quando você acha a integral , deriva para ver se está certo, vocês erram muito em sinal .

a) ,

b) c)

1- a) ,

b) c)

1-Calcular as seguintes integrais

a) , b)

c) ,

1-Calcular as seguintes integrais

a) , b)

c) ,

1-Calcular as seguintes integrais

a) ,

b) c)

1-Calcular as seguintes integrais

a) ,

b) c)

Segundo de todas as salas 2-Calcule , usando integral dupla o volume de um tetraedro de vértices ( 0,0,0),(4,0,0),( 0,6,0 ) e ( 0,0,1)

2-Calcule , usando integral dupla o volume de um tetraedro de vértices ( 0,0,0),(2,0,0),( 0,2,0 ) e ( 0,0,2)

2-Calcule , usando integral dupla o volume de um tetraedro de vértices ( 0,0,0),(4,0,0),(0,4,0 ) e ( 0,0,4)2)-Calcule , usando integral dupla o volume de um tetraedro de vértices ( 0,0,0),(2,0,0),(0,2,0 ) e ( 0,0,1Quando for calcular integral dupla , ou tripla, precisa determinar a região ( fazendo o gráfico y = f(x)) , em se tratando deste tipo de problema, em que os vértices estão nos eixos , pode se determinar y= f(x), fazendo z = 0, na equação do plano , e em seguida fazendo z=0 e y =0, para achar a variação de x..

O gráfico seria y2 A equação da reta é x/2 + y/2 = 1, ou seja y= 2 –x

X2

Para verificar se está certo , o volume de uma pirâmide, é a área da base pela altura dividido por 3 , no nosso caso a base é o triângulo 2 x 2 e a altura é 1 , portanto a área = (2x2)/2 = 2O volume será (2x1) /3.

2-Calcule , usando integral dupla o volume de um tetraedro de vértices ( 0,0,0),(3,0,0),( 0,1,0 ) e ( 0,0,1)2-Calcule , usando integral dupla o volume de um tetraedro de vértices ( 0,0,0),(4,0,0),( 0,6,0 ) e ( 0,0,4)

Terceiro de todas as salas Precisa fazer o gráfico para determinar a região

3-Sendo a região limitada pelas curvas ao lado de cada integral i) coloque os limites

ii) calcule o valor da integral e y =

3-Sendo a região limitada pelas curvas ao lado de cada integral i) coloque os limites ii) calcule o valor da integral

entre y= -3 x² e y = -

3-Sendo a região limitada pelas curvas ao lado de cada integral i) coloque os limites ii) calcule o valor da integral

entre y= 3 x² e y =

3-Sendo a região limitada pelas curvas ao lado de cada integral i) coloque os limites ii) calcule o valor da integral

entre y= - e y =

3-Sendo a região limitada pelas curvas ao lado de cada integral i) coloque os limites ii) calcule o valor da integral

entre y= -4 x² e y = - 4x

3-Sendo a região limitada pelas curvas ao lado de cada integral i) coloque os limites ii) calcule o valor da integral

entre y= 4 x² e y = 4x

Quarto de todas as salas

4-- Calcule o valor da integral tripla , sendo a região dada por 0 , 1 , 2

4-- Calcule o valor da integral tripla , sendo a região dada por , 1 ;

0

= d A = d A =

= = =

= = 20

4- Calcule o valor da integral , sendo a região dada por , 2 ;

4-- Calcule o valor da integral tripla , sendo a região dada por 0 , -1 , 2

4-- Calcule o valor da integral tripla , sendo a região dada por , 1 ;

0

4- Calcule o valor da integral , sendo a região dada por , 1 ;

Quinto de todas as salas Observações : Momento de inércia é mais fácil calcular porque não precisa da massa.A massa entra na integral.Quando a peça é simétrica ,não se deve calcular ou , use a simetria

5- Uma lamina retangular ocupa a região dada por -1 , e tem densidade µ=2y Calcule a) as coordenadas do centro de massa e b) os momentos de inércia Usar =0 ( é simétrico)

5-Determine o centro de massa de um quarto de circunferência de raio a, sabendo-se que a densidade em cada

ponto é proporcional ao quadrado da distancia ao centro do circulo = , só calcule um deles

5- Determine o centróide da região dada ( mais demorado, se ficou para a sub deixa para o fim )a) semi circulo de raio a dado por x² + y² ≤ 4, =0

b)quarto de circunferência de raio a contida no primeiro quadrante e segundo quadrantes . = ,a) Falou centróide é centro de massa, e mi é constante tira da integral

M= = M= = = 2

=

é simétrico com relação a x e densidade não varia com relação a x então = 0

= = = = =

= = = = =

Obs. A área de uma de uma circunferência é = 4 , como é semi-circunferência é

a massa será densidade vezes a área, que é

b) No caso b a área será e a massa será

= = = = =

= = = =

Observe que o é igual ao anterior.Pense um pouco porquê.

5- Uma lamina retangular ocupa a região dada por -1 , - e tem densidade µ=3y Calcule a) as coordenadas do centro de massa e b) os momentos de inércia

5- Determine o centróide da região dada a) semi circulo de raio a dado por x² + y² ≤ a²

=0, só calcular b)quarto de circunferência de raio a contida no primeiro quadrante

5-Determine o centro de massa de um semi circulo de raio a, sabendo-se que a densidade em cada ponto é proporcional ao quadrado da distancia ao centro do circulo =

Sexto de todas as salas

6- Calcule a integral dada . Precisa usar coordenadas polares

, onde R é a região de um semicírculo de raio 2 , no 1º e 3º e quadrante

1º quadrante 0 a e 3º de a 3

Usando coordenada polar a integral acima ficará =

= + = + = 4.( - 0) + 4 ( – = 4

Se fosse no 1º e 4º quadrante seria de a , se fosse 2º e 4º precisaria duas integrais, se fosse

do 1º e 2º seria uma integral de 0 a

2º e 3º seria de a , com uma integral

6- Calcule .

, onde R é a região de um semicírculo de raio 2 , no 2º e 3º e quadrante

6- Calcule

, onde R é a região de um semicírculo de raio 2 , no 1º e 3º e quadrante

6- Calcule

, onde R é a região de um semicírculo de raio 2 , no 1º e 4º e quadrante

6- Calcule

, onde R é a região de um semicírculo de raio 2 , no 2º e 4º e quadrante

6- Calcule a integral dada .

, onde R é a região de um semicírculo de raio 2 , no 2º e 4º e quadrante

Sete de todas as salas 7- Classifique a equação diferencial, quanto à ordem e verifique se as funções ao lado são soluções da equação diferencial

Y’”+ y’+ y”+y=0 , com y = A.sen x + B cos x e y = sen x – B cos x

7-Classifique a equação diferencial, quanto à ordem e verifique se as funções ao lado soluções da equação diferencial

Y’ – 3 y” -4 y’” = 0 , com 1) y = sen x 2 ) y= cos x

7-Classifique a equação diferencial, quanto à ordem e verifique se as funções ao lado são soluções da equação diferencial -14 y + y’ + y” – y’” + y””= 0 y = e y = A A EDO : -14 y + y’ + y” – y’” + y””= 0 é de 4ª ordemVerificação se y = é solução : y’ = 2 y”= 4 y’”= 8 e y””= 16

Substituindo na EDO temos -14 - 8 =0, portanto y = é solução

Verificando se y = A é solução

Da mesma forma y = y’ = 2A y”= 4A y’”= 8A e y””= 16A

Substituindo-se na EDO temos : -14 + 2A + 4A - 8A +16A = 0, portanto y = é

solução da EDO

7-Classifique a equação diferencial, quanto à ordem e verifique se as funções ao lado são soluções da equação diferencial -14 y + y’ + y” – y’” + y””= 0 y = e y = A

7- Classifique as equações diferenciais, quanto à ordem e verifique se as funções ao lado são soluções da equação diferencialY’”+ y’+ y”+y=0 , com y = A.cos x + B sen x e y = cos x – B sen x7-Classifique as equações diferenciais, quanto à ordem e verifique se as funções ao lado são soluções da equação diferencial

Y’ – 3 y” - 4 y’” = 0 , com 1) y = cos x 2 ) y= Asen x + B cos x