prova de cálculo iv - uesc

7/26/2019 Prova de Clculo IV - UESC

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ UESC

DEPARTAMENTO DE CINCIAS EXATAS E TECNOLGICAS DCET

COLEGIADO DO CURSO DE MATEMTICA - COLMAT

ClculoIV

BOA SORTE

1aAvaliao escrita de Clculo IV

Professor:Afonso Henriques Data: 10/04/2008

Aluno (a): Nota

2

.00

1. SejaRa regio do plano delimitada pelos grficos de y x= , 3 18y x= e 0y = . Sef

continua emR, exprima ( , )R

f x y dA em termos de integrais iteradas:

(a)Encarando com uma regio do tipoRx;

(b)Encarando com uma regio do tipoRy;

2.

50

2. Dada e x

ydydx1

ln

0

:

(a) D a representao grfica e analtica do domnio de integrao dessa integral.

(b) Inverta a ordem de integrao e calcule a integral resultante.

3.

00

3. (a) D a definio de integrais duplas em coordenadas polares sobre regies mais gerais.

(b) Use (a) para encontrar o volume do slido Q correspondente a regio interior ao

grfico de equaox2+ y2+ z2= 25e exterior ao grfico dex2+ y2= 9.

2.

50

4. Encontre o volume do slido delimitado pelas superfcies dadas de equaes

2 2 1z x y= + + , 2 2 1x y+ = e plano-xy.


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ClculoIV

BOA SORTE

2aAvaliao escrita de Clculo IV 2008.1


Aluno (a): Nota

2.

50

5. CalculeQ

dV onde a regio tridimensional delimitada pelos grficos de z=x2, z=4-x2,

y+z=3 e o plano-xz.

2.

50

6. D uma RGe uma RAdo slido S delimitado pelas superfcies de equaes dadas por

z=rondez0ex2+y2= 1. Use uma integral tripla para encontrar o volume de S.

2.

50

7. Descreva o grfico da equao em dimenses:

(a) 9=

(b) cos2=r

(c) cos6sen=

2.

50

8. Calcule a massa e pelo menos uma coordenada do centride do slido determinado pela

superfcie de equaes dada por (a) do problema 3.

BOA SORTE


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BOA SORTE

3aAvaliao escrita de Clculo IV


Aluno (a): Nota

2.

00 9. Demonstre que todocampo vetorial quadrado inversoconservativo.

2.

00

10.Ache um campo vetorial conservativo que tenha o potencial dado por:

f(x,y,z)=x2-3y2+4z2

3.

00

11.Calcule a integral ++C

xdzdyzydxyx )()( se C uma curva que une os pontos

)0,0,0( e )1,1,1( de duas maneiras:

a) C consiste em dois segmentos de reta, o primeiro bissetriz ao plano-xy, o segundo paralelo ao eixo-z.

b) C um segmento retilneo.

3.

00

12.Se um campo de fora inverso dado por rr

kzyxF

3),,( = onde k uma constante,

ache o trabalho realizado por Fquando o ponto de aplicao se move ao longo do eixo-x

de P(1,0,0) a Q(2,0,0).


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ClculoIV

BOA SORTE

Atividade em Classe


Aluno (a): Nota

Preparar uma aula sobre o tema: Mudana de Varivel em uma Integral Dupla e

Jacobiano (Obs. consultar o guia de estudo n 2, pg. 17 a 20). Desenvolva os exemplos

nele presentes e em seguida resolver os problemas abaixo (de acordo com a lista dos

exerccios propostos em anexo).

No bloco de Exercs. 1-8, fazer os exerccios 3 e 8


No bloco de Exercs. 13-16, fazer os exerccios 14, 16




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BOA SORTE

3aAvaliao escrita de Clculo IV de 13:30 s 15:10 2007.1


Aluno (a): Nota

3.

00

13.Uma concho-espiral uma curva C que admite a parametrizao: cosmtx ae t= ,senmty ae t= , mtz be= ; 0t , com a, be mconstantes.

i. Mostre que Cest na superfcie Sdada pela equao ( )2

2 2 22

bz x ya

= + .

ii. Ache o comprimento de Ccorrespondente ao intervalo [ ]0, de t.

2.

00

14.Um ponto se move sobre uma curva Cde modo que o vetor posio r(t)de P igual aovetor tangente r(t) para todo t. Ache as equaes paramtricas de C.

2.

00

15.Se f e F so uma funo escalar e um campo vetorial, respectivamente, com derivadasparciais contnuas. Verifique a identidade: rot(f) = rot (rot F).

3.

00

16.A fora que atua em um ponto P do plano-xy dada por F(x, y)=3

4r

r, onde r o vetor

posio de P. Ache o trabalho realizado por Fao longo do semicrculo de raio a.

BOA SORTE


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Avaliao Final de Clculo IV(2aChamada) de 14:30 s 16:30 2007.1


Aluno (a): Nota

2.

00

17. Considere as seguintes afirmaes:

Uma regio plana do tipo A limitada esquerda e a direita por retas verticais x =a e x=be limitadaabaixo e acima por curvas distintas e continuas nessa regio.

Uma regio plana do tipo B limitada abaixo e acima por retas horizontais y =c e y=d e limitada aesquerda e a direita por curvas distintas e continuas nessa regio.

(a) D uma representao analtica e grfica de cada uma das regies e as respectivas integrais iteradas deuma funofcontinua sobre tais regies.

(b) D um exemplo satisfazendo essas consideraes.

2.0

0

18. Se 0 4z , use uma integral adequada para calcular o volume do slido delimitado por z e pela

superfcie rosaceana dada pela equao1

sen(2 )2

r = .

2.

00

19. Se S a parte interna, tanto da esfera centrada de raio 4 quanto dos cones dados pelas equaes2 2

z x y= + , 2 2y x z= + e 2 2x y z= + ento d uma representao grfica e analtica de S e calcule

o seu volume.

2.

00

20. Calcule o trabalho realizado pelo campo de fora2 2 2 2

1 4( , ) i jF x y

x y x y= +

+ +

ur r r

numa partcula que se

move ao longo da curva C dada por 2 2 4x y+ = de (4, 0) a (0, 4).

2.

00

21. Mostre que a integral de linha 2 2C

y dx xydy+ independente de caminho e calcule essa integral ao longo

do segmento de extremidades (-1, 2) e (1, 3).

BOA SORTE


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ClculoIV

BOA SORTE

Avaliao Final de Clculo IV de 13:30 s 16:00 2007.1


Aluno (a): Nota

2.

00

22. Considere as seguintes afirmaes:

Uma regio plana do tipo A limitada esquerda e a direita por retas verticais x =a e x=be limitadaabaixo e acima por curvas distintas e continuas nessa regio.

Uma regio plana do tipo B limitada abaixo e acima por retas horizontais y =c e y=d e limitada aesquerda e a direita por curvas distintas e continuas nessa regio.

(a) D uma representao analtica e grfica de cada uma das regies e as respectivas integrais iteradas deuma funofcontinua sobre tais regies.

(b) D um exemplo satisfazendo essas consideraes.

2.0

0

23. Se 0 4z , use uma integral adequada para calcular o volume do slido delimitado por z e pela

superfcie rosaceana dada pela equao1

sen(2 )2

r = .

2.

00

24. Se S a parte interna, tanto da esfera centrada de raio 4 quanto dos cones dados pelas equaes2 2

z x y= + , 2 2y x z= + e 2 2x y z= + ento d uma representao grfica e analtica de S e calcule

o seu volume.

2.

00

25. Mostre que a divergente do campo quadrando inverso dado por

( )( )

32 2 2

1( , , ) i j kF x y z x x x

x y z

= + +

+ +

ur r r r

nula.

2.

00

26. Calcule o trabalho realizado pelo campo de fora2 2 2 2

1 4( , ) i jF x y

x y x y= +

+ +

ur r r

numa partcula que se

move ao longo da curva C dada por 2 2 4x y+ = de (4, 0) a (0, 4).

BOA SORTE


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ClculoIV

BOA SORTE

1aAvaliao escrita de Clculo IV (2 chamada) 2007.1


Aluno (a): Nota:

27.D uma RA1e grfica da regio de integrao para cada integral iterada abaixo e calculesua rea.

3.

00 (a)

2

2

4

4

2

2),(

u

u

dvduvuf (b)

2

1

2

4

2),(

u

u

dvduvuf

2.

00

28.Seja ISa interseo dos slidos delimitados pelas superfcies de equaes 922 =+yx e

922 =+zy . Encontre o volume de IS.

2.

00

29.Corta-se uma parte do plano 1=++ zyx pela superfcie cilndrica de equao

422 =+yx . Esboce a parte cortada e encontre sua rea.

3.

00

30.D a RGe uma RAdo slido Sdelimitado pelos grficos dez-3x2=0,z-4+x2=0,y=0 ez+y-6=0. Encontre o Volume de S.

BOA SORTE

1Representaes Analticas (RA) e Representao Grfica (RG)


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ClculoIV

BOA SORTE



Aluno (a): Nota

3.

00

31.D uma RA2do domnioDdelimitada pelos grficos das equaesy = senxe y = cosx,

parax=0 e4

x

= . Expresse a integral dupla, ( 1)D

y dA+ sobreDcomo integral iterada, e

encontre o seu valor.

2.

00

32.Use coordenadas polares para determinar o volume do slido Qcorrespondente a regio

interior ao grfico de equaox2+ y2+ z2= 25e exterior ao grfico dex2+ y2 = 9.

3.

00

33.Esboce o slido no primeiro octante delimitado pelos grficos das equaesz = 4 x2;

x+ y = 2e ache o seu volume.

2.

00

34.Seja 0f(x, y) em toda uma regio Rno plano-xycom derivadas parciais contnuas em

R, Mostre explicitamente que a frmula de integral para achar a rea de uma superfcie

que o grfico defem R dada por [ ] [ ] ++=R

yx yxfyxfA 1),(),(22

.

BOA SORTE



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ClculoIV

BOA SORTE



Aluno (a): Nota

3.

00

35.Seja D a regio interior ao polgono de vrtices (0, 2); (-4, -2); (4, -2) e exterior aocrculo de raio 1 centrado na origem.

(a) D uma RA3e RG deD.

(b) Encontre a rea deDusando uma integral dupla.

2.

00

Determine ( cos )D

x y dA sobre o domnio delimitado pory=0, y=x2,x = 1. EsboceD e d sua

representao analtica.

2.

00

36.Calcule o volume do slido da interseo dos dois cilindros de equaes x2+y2=1 ex

2+z2=1.

3.

00

37.Trace a RG do slido S delimitado pelos grficos de equaesz = x2+ y2, y=4-x2, x= 0,y = 0 ez = 0. D uma RA e determinar o volume.

BOA SORTE



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ClculoIV

BOA SORTE



Aluno (a): Nota

3.

00

38.D uma RA4do domnioDdelimitada pelos grficos das equaesy = senxe y = cosx,

parax=0 e4

x

= . Expresse a integral dupla, ( 1)D

y dA+ sobreDcomo integral iterada, e

encontre o seu valor.

2.

00

39.Use coordenadas polares para determinar o volume do slido Qcorrespondente a regio

interior ao grfico de equaox2+ y2+ z2= 25e exterior ao grfico dex2+ y2 = 9.

3.

00

40.Esboce o slido no primeiro octante delimitado pelos grficos das equaesz = 4 x2;

x+ y = 2e ache o seu volume.

2.

00

41.Seja 0f(x, y) em toda uma regio Rno plano-xycom derivadas parciais contnuas em

R, Mostre explicitamente que a frmula de integral para achar a rea de uma superfcie

que o grfico defem R dada por [ ] [ ] ++=R

yx yxfyxfA 1),(),(22

.

BOA SORTE



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ClculoIV

BOA SORTE



Aluno (a): Nota

3.

00

42.SejaDa regio interior ao polgono de vrtices (3, 2); (4, 2); (4, 5); (1, 4).

(a) D uma RA5e RG deD.

(b) Encontre a rea deDusando uma integral dupla.

2.

00

43.Determine D

dxdyyx )2( sobre o domnio 1 2D D D= onde:

{ }1 ( , );2 4; 1 2D x y x y= . e { }2 ( , );1 4; 1 3D x y x y= . EsboceD.

2.

00

44.D a RG do slido S delimitado superior e inferiormente pela esfera r2 + z2 = 4 elateralmente pelo cilindro r = 1. Encontre o Volume de S.

3.

00

45.Trace a RG do slido S delimitado pelos grficos de equaes z = 9 x2, z = 0, y = -1 ey = 2. D duas RA distintas possveis a partir de S e as respectivas escritas de integraisduplas para determinar o volume.

BOA SORTE



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3aAvaliao escrita de Clculo IV de 13:30 s 15:10 2007.1


Aluno (a): Nota

3.

00

46.Prove que o rotacional e o divergente de um campo vetorial quadrado inverso so nulo ezero, respectivamente.

2.

00

47.Calcule 2 3C

xydx x y dy+ , onde C grfico dex=y3de (0,0) a (2,8).

2.

00

48.Sef e F so uma funo escalar e um campo vetorial, respectivamente, com derivadas

parciais contnuas. Verifique a identidade: rot(f) = rot (rot F).

3.

00

49.A fora que atua em um ponto P do plano-xy dada por F(x, y)=3

4r

r, onde r o vetor

posio de P. Ache o trabalho realizado por Fao longo do semicrculo de raio a.

BOA SORTE


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ClculoIV

BOA SORTE

3aAvaliao escrita de Clculo IVde 20:20 s 22:00 2007.1


Aluno (a): Nota

3.

00

50.Uma curva C admite a parametrizao: sen senx a t = , sen cosy b t = , cosz c t= ;0t , com a, b, c e constantes positivos.

i. Mostre que Cest na superfcie Sdada pela equao2 2

2 2 22 2

x yz c c

a b

= +

.

ii. Descreva C e S.

2.

00

51.Um ponto se move sobre uma curva Cde modo que o vetor posio r(t)e vetor tangenter(t) sejam sempre ortogonais para todo t. Prove que Cest sobre uma esfera centrada naorigem.

3.

00

52.Prove que o rotacional e o divergente de um campo vetorial quadrado inverso so nulo ezero, respectivamente.

2.

00

53.Calcule 2 3C

xydx x y dy+ , onde C grfico dex=y3de (0,0) a (2,8).

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