UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBA

PROVA DE CALCULO 1 e 2

PROVA DE TRANSFERENCIA INTERNA, EXTERNA E PARAPORTADORDE DIPLOMADE CURSO SUPERIOR - 16/10/2016

CANDIDATO:

CURSO PRETENDIDO:

OBSERVACOES:1. Prova SEM consulta;

2. A prova PODE ser feita a lapis;

3. PROIBIDO o uso de calculadoras e similares;

4. Duracao: 2 HORAS.

5. Nas questoes discursivas EXPLICITAR os calculos.

Questao 1 (10 pontos). Avalie:

limx→0

|x − 1|

x − 1

a) 0 b) −1 c) ∄ d) 1

Resposta: b)

Usando a definicao do valor absoluto, para valores proximos ao zero temos,

limx→0

|x − 1|

x− 1= lim

x→0−1 = −1

Questao 2 (10 pontos). Considere a sequencia an = n(1+ n2)p. Para quais valores

de p a serie∞∑

n=0

an

e convergente?

a) p ∈ (−∞,−1) b) p ∈ (−∞,−1] c) p ∈ (−∞, 0) d) p ∈ (−1, 0)

Resposta: a)

Usando o teste da integral temos

∫∞

0

x(1+ x2)dx =1

2

∫∞

1

updu

a qual e finita quando p < −1.

Questao 3 (10 pontos). Encontre o volume do solido gerado pela rotacao em torno

do eixo x da regiao x2 ≤ y ≤ x com x ∈ [0.2].

a) 4π b) 2π c) 3π d) 8π

Resposta: a)

Note que as funcoes x2 e x se cruzam em x = 1, assim o volume e dado pelas integrais

V = π

∫1

0

(x2 − x4)dx + π

∫ 2

1

(x4 − x2)dx = 4π.

Questao 4 (10 pontos). Considere funcao f(x, y) = x2 − xy3, se x = u2v + w3 e

y = v+ u cos(w), calcule∂f

∂w

para u = 0, v = 1 e w = 1.

a) −3 b) 3 c) 0 d) 2

Resposta: b)

Usando a regra da cadeia obtemos

∂f

∂w= 6

(

u2v+w3)

w2 − 3w2 (v+ u cos (w))3+ 3

(

u2v+w3)

(v+ u cos (w))2u sin (w)

avaliando nos valores dados temos∂f

∂w= 3

Questao 5 (10 pontos). Calcule

∫π/2

0

cos(x)sen (2x)dx

a) 23

b) 0 c) 13

d) −23

Resposta: a)

2

Vamos calcular a integral

∫π/2

0

cos(x)sen (2x)dx = 2

∫π/2

0

cos2(x)sen (x)dx =2

3.

Questao 6 (10 pontos). Avalie

∫xdx

x4 − 1

Resposta:

Calculando via fracoes parciais temos∫

xdx

x4 − 1=

1

4ln (x − 1) +

1

4ln (x + 1) −

1

4ln(

x2 + 1)

+ C

onde C e uma constante arbitraria.

Questao 7 (10 pontos). Avalie

lim(x,y)→(0,0)

ex2+y2

√

x2 + y2

Resposta:

Por qualquer caminho o denominador vai a zero por valores positivos, enquanto o numer-

ador tende a 1, logo a funcao tende a +∞.

Questao 8 (10 pontos). Sabendo que

∞∑

n=1

1

n2=

π2

6.

Calcule∞∑

n=3

1

(2n)2

Resposta:

Primeiramente,∞∑

n=1

1

(2n)2=

1

4

∞∑

n=1

1

(n)2=

π2

24

3

e ainda,∞∑

n=3

1

(2n)2=

∞∑

n=1

1

(2n)2−

1

4−

1

16=

π2

24−

5

16.

Questao 9 (10 pontos). Para x ∈ [0, π], determine o ponto de mınimo da funcao

f(x) = sen (x) + cos(x).

Resposta:

A derivada e dada por

f ′(x) = cos(x) − sen (x)

e esta definida para todo valor de x, se anulando, no intervalo do enunciado, quando

x = π4, logo este valor de x e ponto crıtico de f. Avaliando, a funcao no ponto crıtico e

nas extremidades do intervalo temos

f(0) = 1, f(π

4

)

=√2, f(π) = −1.

Logo, o ponto de mınimo e x = π.

Questao 10 (10 pontos). Avalie

∫√π

0

2x3 cos(x2)dx.

Resposta:

Resolvendo a integral indefinida obtemos,

∫

2x3 cos(x2)dx = cos(x2) + x2sen (x2) + C,

logo,∫√

π

0

2x3 cos(x2)dx = −2

4

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ FÍSICA – PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA PORTADOR DE DIPLOMA DE

CURSO SUPERIOR – 16/10/2016

CANDIDATO: _______________________________________________________

CURSO PRETENDIDO: _______________________________________________

OBSERVAÇÕES: 01 – Prova sem consulta. 02 – Duração: 2 HORAS

1) Uma partícula descreve um movimento unidimensional ao longo do eixo x. A força

resultante sobre essa partícula é dada por F = – k x. Supondo que o valor da constante k seja 3,0 N/m, o trabalho realizado por essa força quando a partícula vai da posição x = 0,20 m até a posição x = 0,40 m é: a) – 0,60 J. b) – 0,18 J. c) zero. d) 0,18 J. e) 0,60 J.

Solução: Alternativa (b).

2) Um pêndulo simples é constituído por uma esfera de massa M presa a um fio inextensível de comprimento L, como mostra a figura ao lado. O pêndulo é solto a partir do repouso

quando o fio faz um ângulo com a vertical e passa a oscilar livremente sem atrito, descrevendo um movimento circular cujo centro é o ponto O. Quando a esfera passa pelo ponto mais baixo da trajetória, movendo-se da direita para a esquerda, seu momento angular em relação ao ponto O é: a) horizontal e aponta para a esquerda da

figura; b) horizontal e aponta para a direita da figura; c) vertical e aponta para a parte de cima da

figura; d) perpendicular ao plano do papel; e) nulo.

O

Solução: Alternativa (d).

3) A figura abaixo mostra seis imagens sucessivas que registram a posição de um cubo

que se desloca da esquerda para a direita ao longo de uma superfície horizontal plana. Considerando que o tempo decorrido entre uma imagem e a seguinte seja o mesmo, que a força resultante sobre o cubo seja constante e que o eixo x esteja orientado para a direita, é correto afirmar que:

a) A velocidade inicial do cubo e sua aceleração são positivas. b) A velocidade inicial do cubo e sua aceleração são negativas. c) A velocidade inicial do cubo é positiva e sua aceleração é negativa. d) A velocidade inicial do cubo é negativa e sua aceleração é positiva. e) A velocidade inicial do cubo é positiva e sua aceleração é nula.

Solução: Alternativa (c).

À medida em que o tempo passa, o cubo se desloca para a direita e a distância entre duas posições sucessivas é cada vez menor. Logo, a aceleração é negativa e a velocidade inicial é positiva.

4) A figura ao lado mostra o movimento de um

projétil. Supondo que seja possível desprezar o efeito da resistência do ar, é correto afirmar que no ponto mais alto da trajetória: a) A aceleração e a velocidade são nulas. b) A aceleração é nula, mas a velocidade é

diferente de zero. c) A velocidade é nula, mas a aceleração é

diferente de zero. d) A aceleração e a velocidade são diferentes

de zero. e) É impossível saber se a aceleração e a

velocidade serão nulas ou não.

Solução: Alternativa (d).

Em qualquer ponto da trajetória a aceleração do projétil é a aceleração da gravidade e o componente horizontal da velocidade sempre será diferente de zero. Portanto em qualquer ponto da trajetória tanto a aceleração quanto a velocidade do projétil serão diferentes de zero.

5) Uma haste delgada, homogênea, de comprimento L e massa M pode girar em torno do eixo z, que é perpendicular a seu eixo de simetria. O momento de inércia em cada uma das situações mostradas na figura abaixo é dado por I1, I2 e I3. A partir dessas informações é correto afirmar que: a) I1 > I2 > I3. b) I1 > I3 > I2. c) I2 > I1 > I3. d) I2 > I3 > I1. e) I3 > I2 > I1.

I1 I2 I3

Solução: Alternativa (a).

6) Considere as seguintes situações:

I. Um automóvel de massa m viaja com uma velocidade de 90 km/h em uma estrada retilínea e horizontal quando colide com uma carreta que estava em repouso.

II. Um automóvel idêntico a esse, inicialmente em repouso, cai de uma altura h e colide com o chão.

Supondo que a resistência do ar possa ser desprezada, calcule qual deveria ser a altura h para que o momento linear do automóvel imediatamente antes da colisão fosse o mesmo nas duas situações. Adote g = 10 m/s2.

Solução:

Se os automóveis são idênticos, eles têm a mesma massa. Se o momento linear for o mesmo nas duas situações, então a velocidade também será a mesma. Assim, basta calcular a altura h tal que a velocidade do segundo automóvel seja de 90 km/h imediatamente antes da colisão:

7) Um ônibus viaja ao longo de uma estrada retilínea com uma velocidade constante de

72 km/h enquanto um passageiro caminha ao longo corredor com uma velocidade constante de 1 m/s em relação ao piso do ônibus. Calcule a velocidade desse passageiro em relação à estrada quando:

a) o passageiro sai da primeira fila junto ao motorista e vai para o fundo do ônibus; b) o passageiro sai da última fila e vai até a frente do ônibus.

Solução:

8) Uma caixa sem tampa tem o formato de um cubo. Todas as suas cinco faces (o fundo da caixa e as quatro faces laterais) são idênticas, têm lado L e massa M. Supondo que a espessura das faces possa ser desprezada, calcule a distância entre o fundo e o centro de massa da caixa. Solução:

Adotando um sistema de coordenadas em que o fundo da caixa esteja no plano x y e

que a coordenada z da abertura da caixa seja positiva, vem:

9) Um torque constante é aplicado a um disco homogêneo de 400 g, inicialmente em repouso, que pode girar em torno de um eixo vertical que passa por seu centro. Depois de 5,0 segundos sua velocidade angular chega a 30 rotações por minuto. Sabendo que o raio do disco é de 20 cm, calcule:

a) a aceleração angular do disco; b) o torque aplicado a ele.

Dado: Idisco = (m r2)/2

Solução:

Como o torque e o momento de inércia são constantes, a aceleração angular também será constante. Então:

(a)

(b)

10) Duas caixas A e B estão conectadas por uma corda inextensível, como mostra a figura acima. A caixa B é puxada para a direita com uma força constante de 20 N. Supondo que não haja atrito entre as caixas e o solo, que a massa de A seja 2,0 kg e que a massa de B seja 3,0 kg, calcule:

a) A aceleração da caixa A. b) A tração na corda que une as duas caixas.

Solução: