Variance balanced block designs

Propriedades e métodos de construção

Planeamento de experiências

Iniciou-se com Sir Ronald A. Fisher com as investigações no Rothamsted Agricultural Experiment Station

A ele também se deve a ANOVA (análise de Variância)

Foi continuado por Frank Yates, John Wishart e William CochranOutros se seguiram como:

R.C. BoseO. KempthorneGertrude Mary Cox

Uma dos fundadores da Sociedade Biométrica – 1947Seu presidente em 1968-1969Primeira mulher a ser eleita para o International Statistical Institute

Planeamento de experiências

O que é?

Protocolo para seleção e organização das amostras a serem investigadas

Investigação pretende adquirir conhecimentos sobre uma determinada área

Planeamento de experiências

Regras

Processo de medição simples

Resultados obtidos devem ser úteis e fiáveis

Custos mínimos

Execução em tempo útil

Planeamento de experiências

Porque o erro é inevitável

Método para o controlar

Medidas para minimizar

Organização do material

Identificar

Separar

Planeamento de experiências

Princípios básicos

Usar réplicasObservação ou aplicação do mesmo tratamento

Agrupamentos convenientesOrganizar dados por critérios - uniformes

Casualização ou aleatorizaçãoCondição sine qua non para validar a estimação do erro

Planeamento de experiências

Tipos de planeamento

Completamente casualizadoTratamentos distribuídos às unidades

A variação é espalhada a todas unidades – desvantagemPode ser usado com qualquer número de tratamentos ou réplicasAnálise estatística simples mesmo com rejeição de unidades ou tratamentos

Blocos completos casualizadosAplica-se muito na agricultura

Vant

agen

s

Planeamento de experiências

Tipos de planeamento

Quadrados latinosMatriz quadrada em que cada letra ocorre uma vez em cada linha e em cada coluna

O número de réplicas é igual ao número de tratamentosDesvantagem

A B

B A

A B C

B C A

C A B

A B C D

B C D A

C D A B

D A B C

Planeamento de experiências

Tipos de planeamento

Blocos incompletos

Aparecem pela dificuldade em manter a homogeneidade intrabloco pela inclusão de todos os tratamentos

Os blocos não necessitam de ter o mesmo tamanho

Planeamento de experiências

Planos em blocos incompletos

T e B vetores totais dos tratamentos e dos blocos, N matriz de incidência

Plano binário

Plano apropriado

Plano equi-replicado

Planeamento de experiências

Planos em blocos incompletos

Temos:

Planeamento de experiências

Planos em blocos incompletosAnálise de variância

Partimos do modelo

Obs i-ésimo tratamento do j-ésimo

bloco

Média global

Efeito i-ésimo

tratamento

Efeito do j-ésimo bloco

Componente

aleatória do

erro

Planeamento de experiências

Planos em blocos incompletosAnálise de variância

Compara-se com F0 crítico da tabela F-Snedcor

Origem de variação

Graus de liberdade

Soma de quadrados Quadrados médios

Razão de variâncias

Blocos (ignorando tratamentos)Tratamentos (ajustados)Resíduo

Total

Planeamento de experiências

Planos em blocos incompletos equilibrados

Um plano é equilibrado (balanceado) quando dois quaisquer tratamentos aparecem o mesmo número de vezes juntos

PBIE, (v,b,r,k,λ)

Planeamento de experiências

Planos em blocos incompletos equilibrados

Três condições devem ser cumpridas:

PBIE (4,4,3,3,2)PBIE (5,15,6,2,3/2)

1

2

3

inteiro

Planeamento de experiênciasPlanos em blocos incompletos

Análise de variância

Origem de variação

Graus de liberdade

Soma de quadrados Quadrados médios

Razão de variâncias

Tratamentos (ajustados)

Tratamentos (ignorando blocos)Blocos (ignorando tratamentos)Blocos (ajustados)

Resíduo

Total

Planeamento de experiências

Métodos de construção dos blocos

Teorema 1

Se é um PBIE com parâmetros e é a matriz C para , então

é a matriz incidência do VB PBIE.

NiNi v;bi ;ri;ki;¸ iv;bi ;ri;ki;¸ i CiCii = 1;2;:: : ;ti = 1;2;:: : ;t

N = [N 1N 2 : : :N t]N = [N 1N 2 : : :N t]

Planeamento de experiências

Métodos de construção dos blocos

Teorema 1

Se é um PBIE com parâmetros e é a matriz C para , então

é a matriz incidência do VB PBIE.

NiNi v;bi ;ri;ki;¸ iv;bi ;ri;ki;¸ i CiCii = 1;2;:: : ;ti = 1;2;:: : ;t

N = [N 1N 2 : : :N t]N = [N 1N 2 : : :N t]

Planeamento de experiências

Métodos de construção dos blocos

Teorema 2

Se é a matriz incidência do PBIE com parâmetros e é a matriz incidência do PBIE com parâmetros , então:

é a matriz de incidência VB PBIE com parâmetros

N1N1 v;b1; r1;k1;¸1v;b1; r1;k1;¸1N2N2 v;b2; r2;k2;¸2v;b2; r2;k2;¸2

N =N 1 ¤N 2N =N 1 ¤N 2

v;b= v2(v ¡ 1)=2; r = (v ¡ 1)2;k =·2¢1v(v¡ 1)(v¡ 2)=2

1v(v¡ 1)

¸;b¤ = v(v+ 1)=2v;b= v2(v ¡ 1)=2; r = (v ¡ 1)2;k =

·2¢1v(v¡ 1)(v¡ 2)=2

1v(v¡ 1)

¸;b¤ = v(v+ 1)=2

Planeamento de experiências

Métodos de construção dos blocos

Teorema 3

Se é a matriz incidência do PBIE com parâmetros

E é a matriz incidência do PBIE com parâmetros

então:é a matriz de incidência VB PBIE com parâmetros

N1N1

N2N2

N =N 1 ¤N 2N =N 1 ¤N 2

v;b= t(6t + 1)2; r = 18t2; k =·3¢12t(3t¡ 1)(6t+1)

2¢13t(6t+1)

¸;b¤ = 4t(6t + 1)v;b= t(6t + 1)2; r = 18t2; k =

·3¢12t(3t¡ 1)(6t+1)

2¢13t(6t+1)

¸;b¤ = 4t(6t + 1)

v1 = 6t + 1;b1 = t(6t + 1); r1 = 3t;k1 = 3;¸1 = 1v1 = 6t + 1;b1 = t(6t + 1); r1 = 3t;k1 = 3;¸1 = 1

v2 = b2 = 6t + 1;r2 = k2 = 6t;¸2 = 6t ¡ 1v2 = b2 = 6t + 1;r2 = k2 = 6t;¸2 = 6t ¡ 1

Planeamento de experiências

Métodos de construção dos blocos

Teorema 4

Se é a matriz incidência do PBIE com parâmetros

E é a matriz incidência do PBIE com parâmetros

então:é a matriz de incidência VB PBIE com parâmetros

N1N1

N2N2

N =N 1 ¤N 2N =N 1 ¤N 2

v;b= 3(2t + 1)2(3t + 1); r = 2(3t + 1)2; k =·3¢16t(2t+1)(3t+1)2¢13(2t+1)(3t+1)

¸;b¤ = 4(2t + 1)(3t + 1)v;b= 3(2t + 1)2(3t + 1); r = 2(3t + 1)2; k =

·3¢16t(2t+1)(3t+1)2¢13(2t+1)(3t+1)

¸;b¤ = 4(2t + 1)(3t + 1)

v1 = 3(2t + 1);b1 = (2t + 1)(3t + 1); r1 = 3t + 1;k1 = 3;¸1 = 1v1 = 3(2t + 1);b1 = (2t + 1)(3t + 1); r1 = 3t + 1;k1 = 3;¸1 = 1

v2 = b2 = 3(2t + 1); r2 = k2 = 2(3t + 1);¸2 = 6t + 1v2 = b2 = 3(2t + 1); r2 = k2 = 2(3t + 1);¸2 = 6t + 1

Planeamento de experiências

Métodos de construção dos blocos

Teorema 5

Se é a matriz incidência do PBIE com parâmetros

então:

é a matriz de incidência VB PBIE com parâmetros

N1N1

N =N 1 ¤N 1N =N 1 ¤N 1

v;b= v2; r = r21; k =·

k1 ¢1v¸11v(v¡ 1)

¸;b¤ = v(v+ 1)=2v;b= v2; r = r21; k =

·k1 ¢1v

¸11v(v¡ 1)

¸;b¤ = v(v+ 1)=2

v1 = b1; r1 = k1;¸1v1 = b1; r1 = k1;¸1

Planeamento de experiênciasMétodos de construção dos blocos

Corolários

Parâmetros PBIE

1 primo ou potência de primo

2

3

v1 = b1 = 4t + 3; r1 = k1 = 2(t + 1);¸1 = t + 1v1 = b1 = 4t + 3; r1 = k1 = 2(t + 1);¸1 = t + 1

4t + 34t + 3

v;b= (4t + 3)2; r = 4(t + 1)2;v;b= (4t + 3)2; r = 4(t + 1)2;

k =·

2(t + 1) ¢14t+3(t + 1) ¢12(2t+1)(4t+3)

¸;k =

·2(t + 1) ¢14t+3

(t + 1) ¢12(2t+1)(4t+3)

¸;

b¤ = 2(t + 1)(4t + 3)b¤ = 2(t + 1)(4t + 3)

v1 = b1 = 4t2; r1 = k1 = t(2t + 1); ¸1 = t(t + 1)v1 = b1 = 4t2; r1 = k1 = t(2t + 1); ¸1 = t(t + 1)v;b= 16t4; r = t2(2t + 1)2;v;b= 16t4; r = t2(2t + 1)2;

k =·

t(2t + 1) ¢14t2t(t + 1) ¢14t2 (4t2 ¡ 1)

¸;k =

·t(2t + 1) ¢14t2

t(t + 1) ¢14t2 (4t2 ¡ 1)

¸;

b¤ = 2t2(4t2 +1)b¤ = 2t2(4t2 +1)

v1 = b1 = 4t2 ¡ 1; r1 = k1 = 2t2; ¸1 = t2v1 = b1 = 4t2 ¡ 1; r1 = k1 = 2t2; ¸1 = t2 v;b= (4t2 ¡ 1)2; r = 4t4;v;b= (4t2 ¡ 1)2; r = 4t4;

k =·

2t2 ¢14t2 ¡ 1t2 ¢12(2t2 ¡ 1)(4t2¡ 1)

¸;k =

·2t2 ¢14t2 ¡ 1

t2 ¢12(2t2 ¡ 1)(4t2¡ 1)

¸;

b¤ = 2t2(4t2 ¡ 1)b¤ = 2t2(4t2 ¡ 1)

Planeamento de experiênciasMétodos de construção dos blocos

Corolários

Parâmetros PBIE

4

5

6

v1 = b1 = 8t + 7; r1 = k1 = 4(t + 1);¸1 = 2(t + 1)v1 = b1 = 8t + 7; r1 = k1 = 4(t + 1);¸1 = 2(t + 1)v;b= (8t + 7)2; r = 16(t + 1)2;v;b= (8t + 7)2; r = 16(t + 1)2;

k =·

4(t + 1) ¢18t+72(t + 1) ¢12(4t+3)(8t+7)

¸;k =

·4(t + 1) ¢18t+7

2(t + 1) ¢12(4t+3)(8t+7)

¸;

b¤ = 4(t + 1)(8t + 7)b¤ = 4(t + 1)(8t + 7)

v1 = b1 = t2 + t + 1;r1 = k1 = t2; ¸1 = t(t ¡ 1)v1 = b1 = t2 + t + 1;r1 = k1 = t2; ¸1 = t(t ¡ 1) v;b= (t2 + t + 1)2; r = t4;v;b= (t2 + t + 1)2; r = t4;

k =·

t2 ¢1t2+t+1t(t ¡ 1) ¢1t(t+1)(t2+t+1)

¸;k =

·t2 ¢1t2+t+1

t(t ¡ 1) ¢1t(t+1)(t2+t+1)

¸;

b¤ = (t2 + t + 1)(t2 + t + 2)=2)b¤ = (t2 + t + 1)(t2 + t + 2)=2)

v1 = b1 = (t + 1)(t2 + 1); r1 = k1 = t3; ¸1 = t2(t ¡ 1)v1 = b1 = (t + 1)(t2 + 1); r1 = k1 = t3; ¸1 = t2(t ¡ 1) v;b= (t + 1)2(t2 + 1)2; r = t6;v;b= (t + 1)2(t2 + 1)2; r = t6;

k =·

t3 ¢1(t+1)(t2+1)t2(t ¡ 1) ¢1t(t+1)(t2+1)(t2+t+1)

¸;k =

·t3 ¢1(t+1)(t2+1)

t2(t ¡ 1) ¢1t(t+1)(t2+1)(t2+t+1)

¸;

b¤ = (t + 1)(t2 + 1)(t3 + t2 + t + 2)=2b¤ = (t + 1)(t2 + 1)(t3 + t2 + t + 2)=2

Planeamento de experiênciasMétodos de construção dos blocos

Corolários

Parâmetros PBIE

7 v1 = b1; r1 = k1 = v1 ¡ 1;¸1 = v ¡ 2v1 = b1; r1 = k1 = v1 ¡ 1;¸1 = v ¡ 2 v;b= v2; r = (v ¡ 1)2;v;b= v2; r = (v ¡ 1)2;

k =·

(v ¡ 1) ¢1v(v ¡ 2) ¢1v(v¡ 1)

¸;k =

·(v ¡ 1) ¢1v

(v ¡ 2) ¢1v(v¡ 1)

¸;

b¤ = v(v+ 1)=2b¤ = v(v+ 1)=2

Planeamento de experiênciasExemplos

Exemplos

Parâmetros

1v = 4;b1 = 6;r1 = 3;k1 = 2;¸1 = 1v = 4;b1 = 6;r1 = 3;k1 = 2;¸1 = 1

v = 4;b2 = 4;r2 = 3;k2 = 3;¸2 = 2v = 4;b2 = 4;r2 = 3;k2 = 3;¸2 = 2

N 1 =

2

664

1 0 1 0 1 01 0 0 1 0 10 1 1 0 0 10 1 0 1 1 0

3

775N 1 =

2

664

1 0 1 0 1 01 0 0 1 0 10 1 1 0 0 10 1 0 1 1 0

3

775

N 2 =

2

664

1 1 1 01 1 0 11 0 1 10 1 1 1

3

775N 2 =

2

664

1 1 1 01 1 0 11 0 1 10 1 1 1

3

775

v = 4;b= 24; r = 9;k =·2¢112112

¸;b¤ = 10v = 4;b= 24; r = 9;k =

·2¢112112

¸;b¤ = 10

N =

2

664

1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 01 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 10 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 10 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0

3

775N =

2

664

1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 01 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 10 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 10 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0

3

775

N =£N 1 N 1 I 4 I 4 I 4

¤N =

£N 1 N 1 I 4 I 4 I 4

¤

Planeamento de experiênciasExemplos

Exemplos

Parâmetros

2 v = b1 = 7;r1 = k1 = 3;¸1 = 1v = b1 = 7;r1 = k1 = 3;¸1 = 1v = b2 = 7;r2 = k2 = 6;¸2 = 5v = b2 = 7;r2 = k2 = 6;¸2 = 5

N 1 =

2

66666664

1 1 1 0 0 0 01 0 0 1 1 0 00 1 0 1 0 1 01 0 0 0 0 1 10 0 1 1 0 0 10 0 1 0 1 1 00 1 0 0 1 0 1

3

77777775

N 1 =

2

66666664

1 1 1 0 0 0 01 0 0 1 1 0 00 1 0 1 0 1 01 0 0 0 0 1 10 0 1 1 0 0 10 0 1 0 1 1 00 1 0 0 1 0 1

3

77777775

N 2 =

2

66666664

0 1 1 1 1 1 11 0 1 1 1 1 11 1 0 1 1 1 11 1 1 0 1 1 11 1 1 1 0 1 11 1 1 1 1 0 11 1 1 1 1 1 0

3

77777775

N 2 =

2

66666664

0 1 1 1 1 1 11 0 1 1 1 1 11 1 0 1 1 1 11 1 1 0 1 1 11 1 1 1 0 1 11 1 1 1 1 0 11 1 1 1 1 1 0

3

77777775

v = 7;b= 49; r = 18;k =·3¢1282¢121

¸;b¤ = 28v = 7;b= 49; r = 18;k =

·3¢1282¢121

¸;b¤ = 28

N 3 =

2

66666664

1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 00 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 10 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1

3

77777775

N 3 =

2

66666664

1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 00 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 10 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1

3

77777775

N =£N 1 N 1 N 1 N 1 N 3

¤N =

£N 1 N 1 N 1 N 1 N 3

¤

Planeamento de experiênciasExemplos

Exemplos

Parâmetros

3v = 9;b1 = 12;r1 = 4;k1 = 3;¸1 = 1v = 9;b1 = 12;r1 = 4;k1 = 3;¸1 = 1

v = b2 = 9;r2 = k2 = 8;¸2 = 7v = b2 = 9;r2 = k2 = 8;¸2 = 7

N 1 =

2

666666666664

1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 00 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 00 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 00 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 01 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 00 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 10 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 10 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1

3

777777777775

N 1 =

2

666666666664

1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 00 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 00 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 00 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 01 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 00 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 10 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 10 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1

3

777777777775

N 2 =

2

666666666664

0 1 1 1 1 1 1 1 11 0 1 1 1 1 1 1 11 1 0 1 1 1 1 1 11 1 1 0 1 1 1 1 11 1 1 1 0 1 1 1 11 1 1 1 1 0 1 1 11 1 1 1 1 1 0 1 11 1 1 1 1 1 1 0 11 1 1 1 1 1 0 1 0

3

777777777775

N 2 =

2

666666666664

0 1 1 1 1 1 1 1 11 0 1 1 1 1 1 1 11 1 0 1 1 1 1 1 11 1 1 0 1 1 1 1 11 1 1 1 0 1 1 1 11 1 1 1 1 0 1 1 11 1 1 1 1 1 0 1 11 1 1 1 1 1 1 0 11 1 1 1 1 1 0 1 0

3

777777777775

v = 9;b= 108; r = 32;k =·3¢1722¢136

¸;b¤ = 48v = 9;b= 108; r = 32;k =

·3¢1722¢136

¸;b¤ = 48

N 4 =

2

666666666664

1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 10 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1

3

777777777775

N 4 =

2

666666666664

1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 10 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1

3

777777777775

N =£N 1 N 1 N 1 N 1 N 1 N 1 N 4

¤N =

£N 1 N 1 N 1 N 1 N 1 N 1 N 4

¤

Fim