proposiÇÕes de davydov para introduÇÃo ao … · de alguns livros didáticos brasileiros,...
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UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE - UNESC CURSO DE PS-GRADUAO ESPECIALIZAO EM EDUCAO
MATEMTICA
JOSIANE CRUZ GOULARTE DORIGON
PROPOSIES DE DAVYDOV PARA INTRODUO AO
CONCEITO DE EQUAO
CRICIMA
2013
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JOSIANE CRUZ GOULARTE DORIGON
PROPOSIES DE DAVYDOV PARA INTRODUO AO
CONCEITO DE EQUAO
Monografia apresentada ao programa de Ps-graduao em Educao Matemtica (Lato sensu) da Universidade do Extremo Sul Catarinense como exigncia parcial obteno do ttulo de especialista, com a orientao da Prof. Dr. Joslia Euzbio Da Rosa e co-orientao do Prof. Dr. Ademir Damazio.
CRICIMA
2013
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AGRADECIMENTOS
Agradeo primeiramente a Deus. O que seria de nossas vidas sem
que o esprito esteja em paz.
A minha me, ela foi a primeira a me incentivar, para fazer esta
especializao. Sempre em minha memria, estar presente.
Ao meu pai, que sempre me conduziu, para ser a pessoa que sou
(amor incondicional).
Ao meu marido, que com toda compreenso e amor, me apoiou nas
horas de dificuldades. Sempre presente, contribuiu nos processos e etapas
desta monografia.
A minha irm, que sem exceo, com uma infinidade de atitudes,
refora mais os laos de unio, amor e cumplicidade que temos uma com a
outra.
Aos meus sogros, cunhada, cunhados e os concunhados. Que com
todo carinho, esto presentes.
Foi necessria a colaborao de muitos, desse modo, muito
obrigada:
Aos meus amigos e familiares.
Aos integrantes do GPEMAHC Grupo de Pesquisa em Educao
Matemtica: uma Abordagem Histrico-Cultural.
Aos professores da especializao e aos professores
extracurriculares.
Ao meu co-orientador.
Ao CNPQ Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientfico e
Tecnolgico.
Ao FUMDES Fundo de Apoio Manuteno e ao Desenvolvimento
da Educao Superior.
A UNESC Universidade do Extremo Sul Catarinense.
E um obrigada especial, a minha orientadora, que com toda
pacincia, compreenso, timo profissionalismo e principalmente que se tornou
uma grande amiga para toda a vida. Assim, orientou, contribuiu e fez com que
cada etapa desta monografia, fosse concretizada.
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RESUMO
A presente monografia se caracteriza na modalidade terica, a partir dos pressupostos da Teoria Histrico-Cultural. Investigou-se, nas proposies davydovianas, a introduo do ensino do conceito de equao. Para Davydov, no ensino, os conceitos devem ser organizados de forma orientada do geral para o particular, no procedimento de ascenso do abstrato ao concreto. Mas, em que consiste organizar o ensino a partir desses pressupostos? Durante a anlise das proposies davydovianas, revelou-se as caractersticas essenciais, no movimento entre as dimenses particular, singular e universal, pelo procedimento de reduo do concreto catico ao abstrato e, posteriormente, de ascenso do abstrato ao concreto. Com intuito de revelar a essncia em detrimento da aparncia, selecionou-se e analisou-se atividades de alguns livros didticos brasileiros, utilizados por professores da rede municipal de Cricima nos anos letivos de 2012 e 2013. Em tais livros a referncia de anlise foram suas definies e como introduzido o conceito de equao do primeiro grau, em particular para as operaes de adio e subtrao. Durante a apresentao, explicao e anlise das tarefas davydovianas, com o intuito de colocar o leitor em atividade, organizou-se o texto por meio de perguntas, que o levaria a pensar nas possveis respostas para as tarefas, assim como tambm, para o processo de anlise dos dados. Dentre os resultados da investigao, destaca-se as multiplas relaes entre as significaes aritmticas, geomtricas e algbricas em nvel terico. Alm disso, confirmou-se que as proposies davydovianas so expresso da teoria anunciada, qual seja, a Teoria Histrico-Cultural. Por outro lado, as atividades dos livros didticos enfatizam as dimenses empricas do conceito de equao. Palavras-chave: Proposies davydovianas. Equao do primeiro grau. Significaes algbricas, aritmticas e geomtricas.
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LISTA DE ILUSTRAES
ILUSTRAO 1: TAREFA 1 QUADRO ................................................................................................... 18
ILUSTRAO 2: TAREFA 1 - ESQUEMA GERAL DA TAREFA .................................................................... 19
ILUSTRAO 3: TAREFA 1 - RESOLUO NA RETA NUMRICA ............................................................. 19
ILUSTRAO 4: TAREFA 1 - QUADRO PREENCHIDO ............................................................................. 20
ILUSTRAO 5: ATIVIDADE LIVRO DIDTICO ....................................................................................... 21
ILUSTRAO 6: TAREFA 2 - TABELA COM PARTES FALTANTES.............................................................. 23
ILUSTRAO 7: TAREFA 2 - QUADRO COM PARTE COMPLETA ............................................................. 24
ILUSTRAO 8: TAREFA 2 - QUADRO COM PARTE J COMPLETA ......................................................... 24
ILUSTRAO 9: TAREFA 2 ATIVIDADE DO LIVRO DIDTICO ............................................................... 25
ILUSTRAO 10: TAREFA 3 ESQUEMA TODO PARTES E REPRESENTAO ALGBRICA ....................... 26
ILUSTRAO 11: TAREFA 3 ESQUEMA TODO PARTES REPRESENTAO ALGBRICA COM TODO ...... 28
ILUSTRAO 12: TAREFA 3 UMA DAS PARTES CONHECIDA ............................................................... 28
ILUSTRAO 13: TAREFA 3 ESQUEMA E REPRESENTAO ALGBRICA TODO PARTES ....................... 29
ILUSTRAO 14: TAREFA 3 ESQUEMA TODO PARTES E REPRESENTAO ALGBRICA ....................... 29
ILUSTRAO 15: TAREFA 3 ESQUEMA TODO PARTES REPRESENTAO ALGBRICA COM O TODO ... 30
ILUSTRAO 16: TAREFA 3 TODO E UMA PARTE COMPLETA ............................................................. 31
ILUSTRAO 17: TAREFA 3 TODO PARTES COMPLETAS ..................................................................... 31
ILUSTRAO 18: TAREFA 3 ATIVIDADE DO LIVRO DIDTICO .......................................................... 32
ILUSTRAO 19: TAREFA 4 REPRESENTAO ALGBRICA DE ADIO ............................................... 33
ILUSTRAO 20: TAREFA 4 DETERMINAO DO TODO ..................................................................... 34
ILUSTRAO 21: TAREFA 4 PARTE C COMPLETA ................................................................................ 35
file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735840file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735841file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735842file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735844file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735845file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735846file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735848file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735849file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735850file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735851file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735852file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735853file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735854file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735855file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735856file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735857file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735858 -
5
ILUSTRAO 22: TAREFA 4 REPRESENTAO ALGBRICA DA SUBTRAO ....................................... 35
ILUSTRAO 23: TAREFA 4 TODO E PARTES ...................................................................................... 36
ILUSTRAO 24: TAREFA 4 TODO ESCOLHIDO ................................................................................... 36
ILUSTRAO 25: TAREFA 4 VALOR ARITMTICO K ............................................................................ 37
ILUSTRAO 26: TAREFA 5 REPRESENTAO ALGBRICA COM UM VALOR COMPLETAR ............... 38
ILUSTRAO 27: TAREFA 5 - VALOR DESCONHECIDO DE K .................................................................. 39
ILUSTRAO 28: TAREFA 5 - VALOR DO TODO E DAS PARTES ORGANIZADOS ..................................... 40
ILUSTRAO 29: TAREFA 5 RELAO TODO-PARTES ......................................................................... 40
ILUSTRAO 30: TAREFA 5: TODO E PARTES ARITMETICAMENTE ........................................................ 40
ILUSTRAO 31: TAREFA 5 ESQUEMA PARTE E TODO ....................................................................... 41
ILUSTRAO 32: TAREFA 5 REPRESENTAO ALGBRICA DE SUBTRAO ........................................ 41
ILUSTRAO 33: TAREFA 5 NOMEAO TODO PARTES ..................................................................... 42
ILUSTRAO 34: TAREFA 5 VALOR ARITMTICO PARA TODO ........................................................... 42
ILUSTRAO 35: TAREFA 5 PARTE COMPLETA ................................................................................... 43
ILUSTRAO 36: TAREFA 5 - ESQUEMA TODO E PARTES ...................................................................... 43
ILUSTRAO 37: TAREFA 5 UMA DAS PARTES DESCONHECIDA ......................................................... 44
ILUSTRAO 38: TAREFA 5 - RELAO TODO E PARTES ...................................................................... 44
ILUSTRAO 39:TAREFA 5: TODO E PARTES J COMPLETOS ............................................................... 44
ILUSTRAO 40: TAREFA 5 REPRESENTAO GEOMTRICA DO TODO E DAS PARTES ....................... 45
ILUSTRAO 41: TAREFA 5 ATIVIDADE DO LIVRO DIDTICO .......................................................... 45
ILUSTRAO 42: TAREFA 5 ATIVIDADE DO LIVRO DIDTICO ........................................................... 46
ILUSTRAO 43: TAREFA 6 ESQUEMA GENRICO .............................................................................. 48
ILUSTRAO 44: TAREFA 6 ESQUEMA GENRICO COM INTERROGAO ........................................... 49
file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735859file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735860file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735861file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735863file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735864file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735865file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735866file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735867file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735868file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735869file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735870file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735871file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735872file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735873file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735874file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735875file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735877file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735878file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735879file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735880file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735881 -
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ILUSTRAO 45: TAREFA 6 ESQUEMA GENRICO COM INCGNITA X ............................................... 49
ILUSTRAO 46: TAREFA 6 ESQUEMA COM VALORES ARITMTICOS ................................................ 50
ILUSTRAO 47: TAREFA 6 ESQUEMA TODO E PARTES ..................................................................... 51
ILUSTRAO 48: TAREFA 7 TODO E PARTES ...................................................................................... 53
ILUSTRAO 49: TAREFA 7 CALCULO DO VALOR DA INCGNITA X .................................................... 54
ILUSTRAO 50: TAREFA 7 TODO E PARTES DEFINIDOS .................................................................... 54
ILUSTRAO 51: TAREFA 7 CLCULO DO VALOR DA INCGNITA X .................................................... 55
ILUSTRAO 52: TAREFA 7 ESQUEMA A SER IDEALIZADO ................................................................. 55
ILUSTRAO 53: TAREFA 7- ESQUEMA A SER IDEALIZADO .................................................................. 56
ILUSTRAO 54: TAREFA 7 ESQUEMA A SER IDEALIZADO ................................................................. 56
ILUSTRAO 55: TAREFA 7 ESQUEMA A SER IDEALIZADO ................................................................. 57
ILUSTRAO 56: TAREFA 8 EQUAO COM A OPERAO DE SUBTRAO ....................................... 58
ILUSTRAO 57: TAREFA 8 EQUAO COM A OPERAO DE ADIO .............................................. 60
ILUSTRAO 58: TAREFA 8 ESQUEMA TODO PARTES EQUAO SUBTRAO................................... 61
ILUSTRAO 59: TAREFA 8 ESQUEMA TODO PARTES EQUAO ....................................................... 61
ILUSTRAO 60: TAREFA 09 TODO E PARTES DA EQUAO .............................................................. 62
ILUSTRAO 61: TAREFA 09 CLCULO DO VALOR ARITMTICO DA INCGNITA X ............................. 63
ILUSTRAO 62: TAREFA 09 EQUAO REPRESENTADA POR ESQUEMA ........................................... 63
ILUSTRAO 63: TAREFA 09 ESQUEMA COM VALOR DA INCGNITA CALCULADO ............................ 64
ILUSTRAO 64: TAREFA 09 TODO E PARTES DA EQUAO .............................................................. 64
ILUSTRAO 65: TAREFA 09 CLCULO DO VALOR ARITMTICO DA INCGNITA X ............................. 65
ILUSTRAO 66: TAREFA 09 - EQUAO REPRESENTADA POR ESQUEMA ........................................... 65
ILUSTRAO 67: TAREFA 09 ESQUEMA COM VALORES ARITMTICOS .............................................. 65
file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735882file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735883file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735884file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735885file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735886file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735887file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735888file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735889file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735890file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735891file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735892file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735893file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735894file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735898file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735900file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735902file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735904file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735906file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735908file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735910file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735912 -
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ILUSTRAO 68 TAREFA 09 ESQUEMA COMPARAO TODO E PARTES ............................................ 66
ILUSTRAO 69 TAREFA 09 ESQUEMA COMPARAO TODO E PARTES ............................................ 66
ILUSTRAO 70: TAREFA 10 ESQUEMA TODO E PARTES ................................................................... 67
ILUSTRAO 71: TAREFA 10 - PRIMEIRA IGUALDADE PARA COMPLETAR ............................................ 67
ILUSTRAO 72: TAREFA 10 TODO, PARTE E OPERAO COMPLETOS .............................................. 68
ILUSTRAO 73: TAREFA 10 CLCULO DA EQUAO ........................................................................ 68
ILUSTRAO 74: TAREFA 10 SEGUNDA IGUALDADE PARA COMPLETAR ............................................ 68
ILUSTRAO 75: TAREFA 10 TODO, PARTE E OPERAO COMPLETOS .............................................. 69
ILUSTRAO 76: TAREFA 10 CLCULO DA EQUAO ........................................................................ 69
ILUSTRAO 77: TAREFA 10 TERCEIRA IGUALDADE PARA COMPLETAR ............................................ 69
ILUSTRAO 78: TAREFA 10 TODO, PARTE E OPERAO COMPLETOS .............................................. 70
ILUSTRAO 79: TAREFA 10 CLCULO DA EQUAO ........................................................................ 70
ILUSTRAO 80: TAREFA 10 CLCULO DA EQUAO ........................................................................ 71
ILUSTRAO 81: ATIVIDADE LIVRO DIDTICO...................................................................................... 74
ILUSTRAO 82: ATIVIDADE DO LIVRO DIDTICO ............................................................................ 77
ILUSTRAO 83: ATIVIDADE LIVRO DIDTICO...................................................................................... 78
ILUSTRAO 84: ATIVIDADE LIVRO DIDTICO...................................................................................... 79
file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735920file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735924file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735929file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735934file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735936file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735938file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735939file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735940file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735941 -
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SUMRIO
1 INTRODUO ................................................................................................................................... 9
2 - APRESENTAO E ANLISE DO OBJETO DE ESTUDO ....................................................................... 18
CONSIDERAES FINAIS ...................................................................................................................... 83
REFERNCIAS ....................................................................................................................................... 87
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9
1 INTRODUO
A presente investigao foi iniciada no ano de 2011. Depois de concluir
a licenciatura em Matemtica na Universidade do Extremo Sul Catarinense
UNESC (2010), a autora da presente monografia ingressou na Ps-graduao
Latu Sensu em Educao Matemtica da mesma instituio. Na primeira
disciplina que se teve no curso de especializao, a professora da referida
disciplina, estudiosa das proposies davydovianas, apresentou a proposta de
Davydov e seus colaboradores como uma das possibilidades de objeto de
estudo para se aprofundar na especializao. E, convidou os estudantes para
integrarem o GPEMAHC (Grupo de Pesquisa em Educao Matemtica: Uma
Abordagem Histrico Cultural).
O convite foi aceito, pela autora desta monografia, para participar do
coletivo GPEMAHC. O grupo de pesquisa composto por pesquisadores e
estudantes de quatro universidades brasileiras, Universidade do Extremo Sul
Catarinense, Universidade do Sul de Santa Catarina, Universidade Federal de
Santa Catarina e Universidade Federal do Piau. O grupo possui as obras
didticas de Davydov e seus colaboradores traduzidas da lngua russa para a
lngua portuguesa, tais como livros didticos para o Ensino Fundamental
(, et al. 2012 )1 e livros que orientam o desenvolvimento em sala de
aula da proposta de ensino desse autor (, , ,
2009).
A partir da experincia como professora no Apoio Pedaggico de
Matemtica2, e durante as reunies de orientao para a monografia observou-
se a necessidade de se repensar o ensino do conceito de Equaes na
primeira fase do Ensino Fundamental, desde os anos iniciais. Davydov e seus
colaboradores propem que esse conceito seja objeto de estudo em todos os
1 As tradues do Russo para o Portugus foram realizadas pela tradutora Elvira Kim, de
nacionalidade russa. No Brasil, esta leciona a disciplina de russo na UFPR Universidade Federal do Paran. 2 Projeto de apoio pedaggico da Prefeitura Municipal de Cricima implantado nos anos finais
do Ensino Fundamental, nas disciplinas de Matemtica e Lngua Portuguesa, para atender as dificuldades apresentadas pelos/as alunos/as na aprendizagem do contedo destas disciplinas. Outro motivo de sua implantao o resultado das escolas estarem com o ndice do IDEB (ndice de Desenvolvimento da Educao Bsica) abaixo do nvel desejado.
-
10
anos escolares do Ensino Fundamental, e no somente a partir do 7 ano,
como acontece no ensino de uma forma geral aqui no Brasil.
A Proposta Curricular de Santa Catarina (SANTA CATARINA, 1991,
1998, 2000, 2005) e a proposta curricular de Cricima (CRICIMA, 2008), so
instrumentos de reflexo e apresentam alguns subsdios para a educao
escolar com base na Teoria Histrico-Cultural.
Contudo, muitos professores, assim como autora da presente
monografia, no se sentem seguros e com clareza para fundamentar a
docncia na referida teoria. Consequentemente, o livro didtico torna-se a
principal referncia para subsidiar o planejamento e a prtica pedaggica. O
que geralmente no vai ao encontro da perspectiva terica que fundamenta as
referidas Propostas Curriculares.
A partir dos pressupostos da Teoria Histrico-Cultural, no ensino, os
conceitos devem ser organizados de forma orientada do geral para o particular,
no procedimento de ascenso do abstrato ao concreto. Mas, em que consiste
organizar o ensino a partir desses dois pressupostos?
De acordo com Galperin, Zaporzhets, Elkonin (1987), Davydov e seus
colaboradores elaboraram propostas para o ensino de Matemtica que
expressa, fidedignamente, os princpios da Teoria Histrico-Cultural. Por isso, a
elegeu-se como objeto de estudo na presente investigao. Com base na
problemtica anunciada, cujo objetivo foi compreender o movimento conceitual
apresentado por Davydov e seus colaboradores para introduo do conceito de
equao no segundo ano do Ensino Fundamental. Em especial, no que se
refere ao movimento do geral para o particular e de ascenso do abstrato ao
concreto.
Os objetivos especficos consistem em:
- Verificar a expresso da teoria anunciada por Davydov, Teoria Histrico-
Cultural em suas proposies para o ensino de equao;
- Analisar como so contempladas as significaes aritmticas, algbricas
e geomtricas do conceito de equao do primeiro grau;
- Investigar os livros didticos escolhidos por professores da rede
municipal de Cricima, para utilizarem no ano letivo de 2013 e os j
utilisados atualmente, para o ensino introdutrio do conceito de
equaes.
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11
De carter terico, a proposta de Davydov foi analisada a partir do
manual do professor para utilizar o livro didtico davydoviano. As proposies
de estudo, seguem o movimento pelo qual o conceito dever ser desenvolvido
em sala de aula. As anlises gerais do tema so desenvolvidas e reproduzidas
em tarefas particulares.
O estudo realizado em comparao com as tarefas davydovianas, dos
livros didticos escolhidos pelos professores da rede municipal para utilizar no
ano letivo de 2013, e um livro que era utilizado no ano de 2012, tais como: A
coleo Porta Aberta (2011) dos autores Marlia Centrin, Jnia La Scala e
Arnaldo Rodrigues do primeiro ao quinto ano, e o livro didtico da coleo
Fazendo a diferena (2006) dos autores Bonjorno e Ayrton do stimo ano.
Todo trabalho de pesquisa requer um mtodo para fundament-lo. Em
concernncia perspectiva terica aqui adotada, a Teoria Histrico-Cultural,
fundamentou-se no mtodo do Materialismo Histrico-Dialtico.
Por meio do mtodo possvel perceber o comportamento e as
contradies do objeto de estudo, como por exemplo, da sociedade capitalista.
Baptista (2010) comenta que na atual sociedade capitalista, no mercado de
trabalho, onde o homem produz instrumentos, no h conscincia significativa.
Ou seja, o homem moderno aprende uma profisso e a executa, mas pela
diviso social do trabalho, ele perde o contato com o produto final de seu
trabalho.
A relao entre o antigo e o novo no processo de desenvolvimento
histrico dos fenmenos ocorre a partir da lei da negao da negao. Na
interpretao dialtica, tal lei, segundo Trivios (1987, p. 71) se baseia na
evoluo e estuda todas as classes de movimento: desenvolvimento,
regresso e o movimento circular. consequncia da luta dos contrrios, e
seu propsito a passagem do inferior para o superior e vice-versa.
Na passagem do inferior para o superior ou o seu contrrio, no
significa, necessariamente, que o novo possa eliminar o antigo, pois possui
muitas caractersticas e elementos do antigo. O objeto em desenvolvimento
pode ser contestado, superado e ainda serem repetidas diversas etapas, com
qualidades diferenciadas.
Masson (2007, p. 112) comenta que os diferentes aspectos da
realidade se entrelaam, promovendo a incluso dos aspectos contraditrios.
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12
A contradio, segundo Trivios (1987, p. 69), a fonte genuna do
movimento da transformao dos fenmenos, o materialismo dialtico
reconhece que a contradio uma forma universal do ser. As contradies
esto em oposio permanente, mas elas se penetram mutuamente, pois tm
semelhanas, que so concebidas e superadas, logo que solucionada a
passagem dos contrrios de um para o outro. Quando h a superao, se
atinge a identidade dos contrrios, em tal interao surge um novo objeto, um
novo fenmeno, um novo homem, com qualidades diferentes das anteriores, ou
seja, transformado.
Marx (1985) diz que se o produto do trabalho no pertence ao
operrio, logo tal produto pertence a outro homem (patro) e se a atividade do
homem um tormento, ela proporciona prazer para outro homem. No so os
deuses e nem a natureza que proporcionam esta fora contraditria sobre o
homem, mas sim o prprio homem sobre ele mesmo.
O ser humano, ao produzir para si, estabelece relaes com a
sociedade, isso exige uma conscincia social e conforme produz, se
condiciona, se relaciona e se desenvolve como ser, e assim, desenvolve a sua
conscincia. Por meio dessa atividade, gera tambm uma histria, porm, se
no consegue explic-la em suas mltiplas determinaes, em nvel de
concreto pensado, porque sua forma de pensamento emprica.
De acordo com Jardinetti (1996), o abstrato e o concreto
manifestam-se no mtodo dialtico como uma tendncia no processo de
conhecimento. O concreto e o abstrato so momentos de pensamentos
diferentes de um mesmo objeto, que deve ser analisado, no processo de
investigao, em todos seus detalhes essenciais no seguinte movimento:
concreto abstrato concreto. No incio da anlise, o objeto est concebido
em sua forma imediata, trata-se do concreto real, ponto de partida. Para
reproduzi-lo faz-se necessrio extrair as inter-relaes, no contexto de sua
produo histrica e considerar suas contradies e essencialidades.
O procedimento em que se eleva do abstrato ao concreto est apoiado
na formao do pensamento terico, composto pelas dimenses universais,
particulares e singulares do conhecimento. Por outro lado, o concreto ponto de
partida o aspecto sincrtico dado empiricamente. Nesse momento do
processo de cognio, o pensamento identifica os aspectos essenciais do
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13
objeto e extrai as relaes essenciais, universais que vem a ser as abstraes
tericas. Essas constituem as mediaes que possibilitam a superao do
aspecto sincrtico do objeto de conhecimento e proporcionam um salto
qualitativo, no perodo analtico, para o concreto ponto de chegada. O concreto
ponto de chegada, ou concreto sntese, um nvel superior atingido pelo
pensamento no processo de conhecimento, ou seja, suas mltiplas
determinaes.
No mtodo Materialista Histrico-Dialtico, parte-se do concreto
catico, e por meio das abstraes chega-se ao concreto pensado, ou seja, a
sntese das mltiplas determinaes do objeto de investigao (MARX, 1985).
Como diz Kozik (1995), essencial conhecer a estrutura do objeto
de investigao, para tanto, preciso examinar em partes o todo. Nesse
processo, separa-se o que essencial do que menos importante para extrair
conexo interna do objeto, sua lei: por trs da aparncia externa do fenmeno
se desvenda a lei do fenmeno (Idem, p. 20).
Para aprender o objeto, segundo Rigon, et al (2010), no se pode
considerar apenas o ato direto e instantneo dado pela aparncia externa, mas
sim ativar o pensamento at chegar consistncia do real, a sua essncia.
A investigao da essncia de determinado objeto se d pela anlise da
sua forma mais desenvolvida (MARX, 1985). Na conexo dialtica entre o
universal, o particular e o singular:
A prtica, o ser (abstrato) e a essncia so momentos do conceito; assim, todo ser determinado um ser singular e, para se chegar ao conceito, necessrio estabelecer a conexo dialtica entre singular e universal. Nessa conexo surge o papel do particular como mediador entre o universal e o singular. O particular o ponto de partida do pensamento para chegar ao universal, bem como para explicar o singular. Portanto, para a formao de conceitos que penetrem alm do sensvel aparente necessrio estabelecer a conexo dialtica entre o universal, o particular e o singular. A particularidade uma categoria historicizante que possibilita a compreenso de outros aspectos do real, j que est no mbito das mediaes (MASSON, 2007, p. 111).
Para investigar o objeto no movimento das dimenses universal,
particular e singular, faz-se necessrio um processo de anlise devidamente
orientado teoricamente. Uma investigao particular sobre um determinado
objeto s possvel, segundo Marx (1985), pela prtica dos princpios tericos
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gerais, tomado como ponto de partida a fase mais desenvolvida do objeto em
movimento (Badiou,1979).
O movimento, segundo Engels (apud Trivios, 1987, p. 60) o modo de
existncia da matria. Jamais existiu em algum lugar, nem pode existir, a
matria sem movimento. Os objetos e fenmenos, diferenciam-se entre eles
pela qualidade, isto , pelo conjunto de propriedades que os caracterizam
(idem, p. 65).
A qualidade representa o que o objeto e no outra coisa. A distino da qualidade do objeto, isto , do objeto entre outros objetos, a primeira fase do conhecimento do objeto. Isto quer dizer que o objeto nos apresenta e o separamos dos outros objetos pelo conjunto de suas propriedades (TRIVIOS, 1987, p. 65-66).
S mais tarde, segundo Trivios (1987), que, no processo de
investigao sobre o objeto, so descobertas outras caractersticas tais como a
quantidade, causa, essncia etc.
Na presente monografia, cujo objeto de investigao as proposies
davydovianas para a introduo do conceito de equao, com base no mtodo
Materialismo Histrico-Dialtico, revelou-se suas caractersticas essenciais, no
movimento entre as dimenses particular, singular e universal, pelo
procedimento de reduo do concreto catico ao abstrato e, posteriormente, de
ascenso do abstrato ao concreto.
No contato inicial com objeto de estudo ainda no se enxergava com
clareza a especificidade das proposies davydovianas, estas eram ofuscadas
pelo conhecimento prvio referente as proposies tradicionais, pois estas
permearam toda a formao bsica, desde a Educao Infantil at a
especializao. A investigao foi iniciada pelo estudo simultneo do livro
davydoviano que orienta o professor para o desenvolvimento das tarefas
apresentadas no livro didtico (sobre o conceito de equaes), de uma coleo
de livros didticos brasileiros3, dos livros sobre os fundamentos da Matemtica4
e algumas obras referentes a Teoria Histrico-Cultural5.
3 Optou-se por uma das colees de livro didtico de Matemtica mais votadas pelos
professores da rede municipal de cricima para ser utilizada no ano letivo de 2013 (CENTURIN; SCALA; RODRIGUES, 2011) e um dos livros didticos utilizado pelo 7 ano do ensino fundamental dois, dos autores (BONJORNO; AYRTON, 2006). 4 Caraa (1951)
5 JARDINETTI (1996);ROSA (2012) dentre outros autores.
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Inicialmente sempre se concebia as equaes em Davydov como
base na concepo prvia sobre o referido conceito. O olhar inicial para as
tarefas davydovianas sobre o conceito de equao era a partir dos livros
didticos do ensino tradicional. Realizou-se uma espcie de adaptao de cada
tarefa de Davydov aos moldes de como seriam desenvolvidas a partir das
proposies brasileiras: primeiro, com balanas, equivalncia e com modelos
algbricos prontos das equaes definidas, que j seguiam inclusive para os
macetes das operaes inversas.
O conhecimento da realidade, portanto, impe uma superao da relativa imediaticidade da representao emprica inicial. O abstrato a negao do concreto inicial, o concreto sensrio perceptivo o meio de se atingir o concreto real pensado. As abstraes so portanto, mediaes de um concreto catico, obscuro, para um concreto na compreenso as multiplicidade de suas partes (GIARDINETTO, p.26, 1991).
No momento em que o objeto estava dado caoticamente, aproximou-
se Davydov com o modo tradicional de se ensinar o conceito de equaes, de
ensinar como proposto inicialmente o conceito de equaes. Ou seja, as
proposies davydovianas pouco se diferenciavam das proposies brasileiras.
Porm, no aprofundamento das leituras referentes aos pressupostos
da Teoria Histrico-Cultural percebeu-se algumas diferenas entre as duas
proposies de ensino. Em Davydov, o ponto de partida so as representaes
gerais das relaes entre grandezas, quando o valor da medida de uma delas
desconhecido. O valor desconhecido, inicialmente representado por um ponto
de interrogao (?) e posteriormente substitudo pela incgnita x.
Diferentemente dos livros didticos brasileiros que nos anos iniciais
representam a incgnita por uma flor, um tijolo etc. Enfim, uma representao
que faa parte do dia-a-dia das crianas e, no stimo ano, j se apresentam
diretamente a incgnita.
Em Davydov as equaes no aparecem prontas, assim como
sugerem os livros didticos brasileiros. Elas so construdas a partir de
situaes de anlise, interpretadas por meio de esquemas, referentes a relao
parte-todo. Tal relao representada na forma algbrica e constitui o modelo
universal de equao. Conseguiu-se extrair de todas as relaes apresentadas
por Davydov e seus colaboradores, nas diferentes tarefas, a essncia, a
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gnese do objeto do objeto de estudo. Ou seja, atingiu-se o momento de
abstrao como fala Giardinetto (1991):
As abstraes so o momento do pensamento em que se supera a caoticidade do todo pela compreenso de suas partes. Porm essas partes se tomadas isoladamente em si e por si, geram a atomizao do todo, no permitindo a compreenso das relaes que se do entre essas partes, compreenso esta necessria para a reproduo qualitativamente nova do concreto no pensamento (GIARDINETTO, p. 27, 1991).
A partir do momento que identificou-se a relao universal (todo-
partes) foi possvel identificar tambm trs relaes particulares (a + x = c, x +
b = c e a + b = x) que possibilitam a resoluo de qualquer problema singular
sobre adio e subtrao.
Para que se possa compreender a singularidade indispensvel que o pensamento tenha alcanado um mximo de aproximao do estgio mais desenvolvido das relativas particularidades e universalidades nas quais se insere a singularidade em estudo. Em outras palavras: o singular to mais compreendido, quanto mais se tenha captado suas mediaes particulares com a universalidade. O singular, portanto, no existe em si e por si, mas somente em sua relao intrnseca com o universal que se faz somente atravs de mediaes - o particular. Por outro lado, o universal s existe quando se concretiza no singular (OLIVEIRA, p. 19, 1998).
Para compreender o modo como Davydov e seus colaboradores
abordam o conceito de equao nas proposies de ensino teve-se que negar
as concepes iniciais no sentido de super-las. Inicialmente estava-se com o
pensamento to focado nos princpios empricos de ensino que ao organizar os
dados da pesquisa, considerava-se a cor um elemento indispensvel. Por
exemplo, se a tarefa davydoviana apresentava uma situao na qual havia uma
determinada quantidade de lpis azuis e outra quantidade na cor vermelha,
ento no esquema, fazia-se um arco azul para representar a quantidade de
lpis azuis e um arco vermelho para representar a quantidade de lpis
vermelhos. Ou seja, adaptava-se as tarefas davydovianas aos princpios da
escola tradicional. O intuito era facilitar visualmente a localizao da referida
quantidade no esquema. Depois, a partir das reflexes com base no referencial
terico, verificou-se que tal conduta no propiciava a compreenso da relao
parte-todo, subjacente ao conceito de equao sobre adio e subtrao,
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assim como tambm no desenvolvia a ao investigativa da criana, pois os
dados estavam explicitados por meio da cor. Assim, era suficiente a relao
entre cores iguais e no a relao interna entre o valor desconhecido com os
demais valores j conhecidos.
Vale ressaltar, que no se trata de suprimir do ensino o carter visual,
mas a necessidade de ir alm do que est dado pela aparncia externa. Para
Amorin (2007)
A lei dialtica da negao da negao, numa perspectiva marxista, se torna fundamental para o entendimento do processo de evoluo do conhecimento e dos fenmenos. H uma forte relao entre o antigo e o conhecimento em estado de produo. O novo conhecimento no se desenvolve sem o velho. Este assim definido pelo tempo que se originou na humanidade. A apropriao do antigo conhecimento, pelo sujeito, se transforma em um novo conhecimento e por sua vez desenvolver outros que se traduz num processo dialtico contnuo de entendimento da realidade (AMORIN, 2007, p. 57-58).
A presente monografia composta por trs partes, inter-relacionadas:
Introduo e apresentao da problemtica, objeto, objetivos, metodologia e
fundamentao terica da investigao; anlise das tarefas davydovianas e
atividades extradas dos livros didticos brasileiros e, finalmente, a sntese, na
qual tambm procede-se as consideraes finais. Durante a apresentao,
explicao e anlise das tarefas davydovianas, estas so organizadas com o
intuito de colocar o leitor em atividade por meio de perguntas que o levam a
pensar nas possveis respostas para as tarefas, assim como tambm para o
processo de anlise dos dados. Ao final do captulo referente a anlise dos
dados apresentou-se o movimento adotado por um livro didtico brasileiro, para
a introduo de equaes. No decorrer da monografia, apresenta-se dados
confirmadores de que as proposies davydovianas so expresso da teoria
anunciada e divergentes s proposies brasileiras.
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2 - APRESENTAO E ANLISE DO OBJETO DE ESTUDO
No presente captulo apresenta-se dez tarefas davydovianas para
introduo do conceito de equao no segundo ano do Ensino Fundamental.
Concomitantemente, tambm so apresentadas algumas atividades extradas
dos livros didticos utilizados atualmente na rede municipal de Cricima no
ensino fundamental I (1 ao 5 ano) e no ensino fundamental II, em especial, o
livro do 7 ano (6 srie). Vale explicar que sero denominadas por tarefas
quelas referentes as proposies davydovianas e por atividades as retiradas
dos livros didticos. Tais nomenclaturas so adotadas pelos seus respectivos
autores.
No decorrer da anlise, foram apresentadas ao leitor, algumas
perguntas, com intuito de coloc-lo em atividade durante a leitura. Algumas das
perguntas so respondidas outras, ficam em aberto para futuras investigaes.
Tarefa 1: A primeira tarefa (Ilustrao 1) consiste em preencher o quadro, a
partir da resoluo de duas expresses algbricas e com base no esquema
(, e , 2009).
Ilustrao 1: Tarefa 1 Quadro Fonte: Elaborao com base nas proposies davydovianas
Nessa tarefa, prope-se a reflexo sobre a leitura e o registro das
expresses que so lidas de dois modos: com as palavras aumentar e mais
para a expresso de adio a + 3, e com as palavras diminuir e menos para
a expresso de subtrao a 3 (, e , 2009).
No quadro anterior tem-se situadas as expresses algbricas e valores
genricos para a varivel a.
As tarefas davydovianas para o segundo ano do Ensino
Fundamental, sobre expresses algbricas, referem-se s operaes de adio
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e subtrao. Expresso algbrica um conjunto de nmeros e letras ligados
por sinais de operao, no qual as letras s aparecem submetidas s
operaes elementares: adio, subtrao, multiplicao, diviso, potenciao
e radiciao (PEREIRA, et al, 1986, p. 95).
As expresses a + 3 e a 3, apresentadas no quadro (Ilustrao 1),
na forma algbrica, so desenvolvidas no esquema, ou seja, na forma
geomtrica (Ilustrao 2). Para a + 3, desloca-se trs unidades direita de a, e
para a 3, desloca-se trs unidades para esquerda de a.
Ilustrao 2: Tarefa 1 - Esquema geral da tarefa Fonte: Elaborao com base nas proposies davydovianas
Em cada coluna do quadro, a partir da segunda, foram atribudos
valores aritmticos para a (5, 7, 6, 14, 13).
Para a = 5, sero percorridos pela reta, a partir do nmero cinco,
trs unidades para a direita: do cinco ao seis, do seis ao sete e do sete ao oito
(5 + 3) e, trs unidades para esquerda: do cinco ao quatro, do quatro ao trs e
do trs ao dois (5 - 3), conforme ilustrao 3.
Ilustrao 3: Tarefa 1 - Resoluo na reta numrica Fonte: Elaborao com base nas proposies davydovianas
Durante a realizao da tarefa, a orientao que o movimento seja
realizado coletivamente e cada unidade percorrida na reta numrica deve ser
pronunciada em voz alta por todos (, e ,
2009). A resoluo da tarefa segue at completar o quadro com os demais
valores (Ilustrao 4).
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Ilustrao 4: Tarefa 1 - Quadro preenchido Fonte: Elaborao com base nas proposies davydovianas
Na tarefa, inicia-se pelas representaes algbricas, e, por meio da
reta numrica, elemento mediador particular, determina-se os valores
aritmticos, em sua forma singular. A letra a pode assumir quaisquer valores
aritmticos dentre aqueles apresentados no quadro (Ilustrao 1). Ou seja,
trata-se de uma varivel.
Caraa (1951) para definir varivel, inicia de uma situao particular
que corresponde a dois conjuntos aritmticos e para represent-los de
maneira simblica, necessrio introduzir o conceito de varivel. Sem a
representao simblica, teria-se que aderir a tabelas com dados particulares e
no haveria a representao de maneira generica correspondente.
Para explicar o conceito de varivel, Caraa (1951), utiliza os
elementos de um conjunto qualquer, denominado por conjunto (E), seja ele
finito ou infinito. Todos os elementos deste conjunto representado pela letra
x. Este smbolo x, representativo de qualquer um dos elementos do conjunto
(E), denomina-se de varivel. Assim, a varivel, e no cada elemento do
conjunto (CARAA, 1951, p. 128). Uma varivel o que for determinado pelo
conjunto aritmtico que ela representa a sua substncia, o seu domnio
(Idem).
Nesta tarefa, a ideia central do conceito de variveis que so
representados nas expresses desta tarefa por a + 3 e a 3.
As variveis apresentadas nas expresses (a + 3 e a 3), durante o
desenvolvimento da tarefa forma substituidas por valores aritmticos
representados em sua forma aritmtica, por meio da reta numrica. Davydov e
seus colaboradores criam as condies, em suas proposies, para que a
criana desenvolva os clculos algebricamente, geometricamente e
aritmeticamente em uma nica tarefa.
Booth (1994, p. 24) diferencia a lgebra da aritmtica. Para o autor
na atividade da aritmtica ocorre o encontro de determinadas respostas
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numricas particulares. J na lgebra o foco estabelecer procedimentos e
relaes e express-los numa forma simplificada geral (BOOTH, 1994, p. 24).
As expresses algbricas a + 3 e a 3, representam uma relao
geral passvel de ser generalizada para qualquer situao que envolva o
acrscimo ou o decrscimo de trs unidades a partir de um nmero qualquer.
Por outro lado, do ponto de vista aritmtico, ao atribuir-se valores para a,
obtive-se respostas singulares. Esse movimento, orientado do geral para o
particular e singular, das significaes algbricas para as significaes
aritmticas, foi mediado pelas significaes geomtricas, inicialmente de forma
geral (esquema) e, posteriormente, em suas particularidades e singularidades
(na reta nmerica). Ou seja, a tarefa abrange um sistema conceitual
matemtico que, alm de contemplar as significaes j mencionadas, inter-
relaciona as operaes de adio e subtrao.
Em relao com a tarefa 1 de Davydov, analisa-se uma atividade
proposta pelos autores de um dos livros didticos mais votados pelos
professores da rede municipal de Cricima para serem utilizados no ano letivo
de 2013. Na atividade (Ilustrao 5), Centurin, Teixeira e Rodrigues (2011)
propem o segmento ( ) como unidade de medida para a medio das
distncias percorridas pelos coelhos, as crianas devero completar o quadro
correspondente.
Ilustrao 5: Atividade livro didtico Fonte: Centurin, Teixeira e Rodrigues, (2011, p.59)
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Apesar da atividade envolver letras (A, B, C, D e E), estas so
utilizadas apenas para representar os coelhos. No se trata de um valor
genrico que representa a distncia percorrida por cada coelho. Alm disso,
no menciona a grandeza considerada para medir distncias, o comprimento.
Se assim o fosse, diria-se: A distncia percorrida pelo primeiro coelho foi de A
unidades de comprimento. Posteriormente, o valor A seria substitudo, com
base na anlise da situao, por 5.
Tal concluso seria realizada a partir da soma das unidades
percorridas pelo coelho, ou seja, um, mais um: dois. Dois, mais um: trs. Trs,
mais um: quatro. E, quatro, mais um: cinco. Portanto, o coelho percorreu cinco
unidades de comprimento. Porm, a orientao para a anlise da relao entre
as unidades percorridas e o seu valor total, apenas h a identificao na
sequncia numrica j apresentada em sua forma esttica ao final da malha.
Desse modo, trata-se apenas de uma atividade associacionista, cabe ao
estudante associar o final da seta que indica a distncia percorrida pelo coelho
ao algarismo.
Centurin, Teixeira e Rodrigues (2011) no contemplam, na
atividade em referncia (Ilustrao 5), a soma aritmtica das unidades
percorridas e representadas por segmentos, ou seja, representadas
geometricamente. A sequncia poderia ser relacionada com o campo
geomtrico, pelo acrscimo de unidades na reta numrica, caso as setas que
representam a distncia percorrida pelos coelhos fossem assim consideradas.
Um professor, ao analisar superficialmente a ilustrao 5, poderia
concluir que esta atividade se aproxima das proposies davydovianas.
Porm, como j anunciado anteriormente, entre ambas h mais
distanciamentos que aproximaes. No h a relao entre as trs
significaes matemtica: algbricas, aritmticas e geomtricas.
Com base nas proposies davydovianas, o ensino de matemtica
organizado de forma que contemple a inter-relao entre as significaes
matemticas, por meio da relao entre seus diversos conceitos. Assim, para a
atividade apresentada na ilustrao 5 se aproximar das proposies de
Davydov e seus colaboradores, faz-se necessrio repens-la tanto do ponto de
vista de seu contedo quando do mtodo de ensino. Pois, do modo como est
organizado no h aproximao alguma com os pressupostos davydovianos.
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Tarefa 2: No esquema (Ilustrao 6), o nmero nove (9) representa o todo e
suas partes so apresentadas na forma algbrica (a e c). A tarefa consiste em
completar os valores desconhecidos em cada coluna do quadro (Ilustrao 6),
com base na relao apresentada no esquema.
As letras podem assumir quaisquer valores aritmticos singulares.
Desse modo, a e c, possibilitam a representao de diferentes partes que
juntas compem o todo (nove). A partir do esquema possvel extrair as
seguintes operaes: 9 = c + a, em que as partes a e c juntas compem o
todo (nove); e, 9 a = c ou 9 c = a, em que ao subtrair do todo (nove),
uma das partes (a ou c) o resultado ser igual outra parte. Assim, o esquema
nesta tarefa, proporciona a reflexo sobre relao todo e partes no movimento
entre a operao da adio e sua inversa, a subtrao.
Do ponto de vista dos fundamentos da matemtica, sobre o
movimento inverso entre as operaes mencionadas, Caraa (1951) diz que:
Adio. A inverso consiste em: dada a soma e uma das parcelas, determinar a outra. Deveria haver duas operaes inversas, conforme se pedisse o adicionando ou adicionador, mas, em virtude da propriedade comutativa da adio, os papis das duas parcelas podem trocar-se, e as duas inversas fundem-se numa s, que se chama subtrao (CARAA, 1951, p. 20)
6.
Caraa (1951, p. 20) destaca ainda, que, dado o resultado da
operao e um dos dados possvel determinar o outro dado. Davydov e
seus colaboradores introduzem o conceito de equao referentes as operaes
de adio e subtrao com base na inter-relao entre ambas. A partir da
relao todo-partes, conclui-se que uma das partes subtrada do todo, resulta
6 Sobre as relaes internas entre as operaes de adio e subtrao em Davydov ver Alves
(2013).
Ilustrao 6: Tarefa 2 - Tabela com partes faltantes Fonte: Elaborao com base nas proposies davydovianas
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na outra parte, e, o com base no movimento inverso, que as partes juntas,
resultam no todo.
Em cada coluna do quadro (Ilustrao 7), a partir da segunda, uma
das partes j conhecida e a outra desconhecida. Esta dever ser
determinada, no plano mental, com base na parte conhecida e no todo (nove).
Na segunda coluna do quadro (Ilustrao 7) a parte j conhecida,
em negrito, era o valor de a, que correspondia, nessa coluna em particular, ao
nmero trs (3) e o valor c era a parte desconhecida. Assim, 9 3 = 6, pois 3
+ 6 igual ao todo (9), ou seja, na segunda coluna tem-se: c = 6.
O valor da parte desconhecida proposto aleatoriamente sem seguir
uma sequncia previamente definida. Em alguns momentos o valor da parte a
o desconhecido, e em outros momentos, o valor desconhecido refere-se a
outra parte: c. Em sntese, para determinar a parte faltante a ser registrada no
quadro, a referncia para a resoluo da tarefa o todo (nove) e uma de suas
partes j conhecidas (aleatoriamente a ou c). A resoluo da tarefa segue at
completar o quadro com os demais valores propostos (Ilustrao 8).
Ilustrao 7: Tarefa 2 - Quadro com parte completa Fonte: Elaborao com base nas proposies davydovianas
Ilustrao 8: Tarefa 2 - Quadro com parte j completa Fonte: Elaborao com base nas proposies davydovianas
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Na ilustrao 8 os valores em negrito representam as parte
conhecidas e os demais valores desconhecidos. Davydov e seus
colaboradores propem, em uma mesma tarefa (2) a inter-relao entre as
significaes aritmticas e algbricas do conceito de nmero. A tarefa foi
organizada no movimento orientado do geral para o particular e singular. Ou
seja, inicialmente os nmeros eram apresentados genericamente e para cada
coluna particular, havia um valor aritmtico singular.
Em Davydov, as dependncias internas essenciais dos conceitos
so reveladas em um sistema de tarefas que renem situaes distintas, no
repetitivas do tipo siga o modelo, para evitar a generalizao emprica do
conceito (DAVDOV, 1988, p. 130).
Uma das atividades extradas dos livros didticos analisados,
aparentemente, se aproxima da tarefa davydoviana em anlise (tarefa 2), no
que se refere a relao a todo-partes e esquema. A atividade se inicia do
particular com significaes aritmticas e no atinge as significaes
algbricas. Na atividade, Centurin, Teixeira e Rodrigues (2011) propem a
escrita dos nmeros que faltam em cada adio (Ilustrao 09).
A atividade inicia com a composio das adies em cada
esquema particular, j apresentado pronto, com uma resposta previamente
Ilustrao 9: Tarefa 2 Atividade do livro didtico Fonte: Centurin, Teixeira e Rodrigues (2011, p.74)
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definida. No h relao da adio com sua inversa a subtrao. A palavra
total no possibilita a anlise da identificao de quais elementos representam
as partes e quais elementos representam o todo, este j est dado. Conforme
j mencionado, a atividade apresentada nos limites das significaes
aritmticas, com contempla as significaes algbricas e geomtricas e nem as
dimenses entre o universal, geral, particular e singular, portanto, trata-se de
uma atividade que promove apenas o desenvolvimento do conceito emprico.
Por outro lado, Davydov e seus colaboradores contemplam a
integridade dos conceitos. As tarefas possibilitam a concretizao do sistema
conceitual em estudo. De acordo com Davdov, (1988, p. 131)
No materialismo dialtico esta integridade objetiva existente por meio da conexo das coisas singulares chama-se concreto. O concreto, segundo K. Marx, a unidade do diverso. Em sua exterioridade como algo formado, est dado na contemplao, na representao que capta o momento da inter-relao geral de suas manifestaes. Mas, a tarefa consiste em representar este concreto como algo em formao, no processo de sua origem e mediatizao, porque s este processo conduz completa diversidade das manifestaes do todo. Trata-se de examinar o concreto em desenvolvimento, em movimento, em que podem ser descobertas as conexes internas do sistema e, com isso, as relaes do singular e do universal. importante acentuar que a principal diferena entre os conceitos tericos e as representaes gerais que nestes conceitos se reproduz o processo de desenvolvimento, de formao do sistema, da integridade, do concreto, e, s dentro desse processo, se revelam as particularidades e as inter-relaes dos objetos singulares.
Por outro lado, as atividades analisadas, dos livros didticos
brasileiros j referenciados, limitam-se a singularidades fragmentadas, ou seja,
no revela-se as inter-relaes que envolvem o sistema conceitual na qual tais
atividades esto inseridas.
Tarefa 3: Analise o esquema (Ilustrao 10) e escreva as partes e o todo nos
quadros abaixo da igualdade.
Ilustrao 10: Tarefa 3 Esquema todo-partes e representao algbrica Fonte: Elaborao com base nas proposies davydovianas
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A partir do esquema, sabe-se que treze (13) o valor do todo.
Inicialmente faz-se necessrio identificar qual das significaes algbricas, a, b
ou c, representa o todo (13), na relao parte-todo expressa na igualdade a + b
= c (, e , 2009).
Igualdade, de acordo com Pereira (1986, p. 123), o conjunto de
duas expresses do mesmo valor unidas pelo sinal = (de igual). Desse modo,
dois ou mais termos so iguais quando so exatamente similares em grandeza
e quantidade (Idem). E quanto aos membros da igualdade, estes so as
expresses ou grandezas separadas pelo sinal de igualdade. O elemento
esquerda do sinal de igualdade o primeiro membro e o que est direita o
segundo membro da igualdade (PEREIRA, 1986, p. 149).
Na igualdade a + b = c, a + b, constituem o primeiro membro da
igualdade, e c o segundo membro da igualdade. Tal igualdade expressa por
meio da operao de adio, a mais simples e da qual todas outras operaes
dependem (CARAA, 1951). A ideia de adio est subjacente a lgica da
sequncia dos nmeros Naturais. Cada nmero na referida sequncia,
composto a partir da ideia de somar ou adicionar: O que a operao
elementar de passagem de um nmero ao seguinte, seno a operao de
somar uma unidade ao um nmero? (Idem, p. 17). Ou seja, ao adicionar a um
nmero qualquer (a), uma unidade (b) e efetua-se uma transio de um
nmero ao outro a partir da operao elementar de adio, assim
representada: a + b.
Ao nmero a, d-se o nome de adicionando e representa o papel
passivo da operao. O nmero b, denominado de adicionador, este
desempenha o papel ativo. Os dois so denominados parcelas da adio
(CARAA, 1951).
Na tarefa em anlise, as partes juntas (a e b) compem o todo. E a
operao que se utiliza para determinar o todo a partir das partes, a adio.
Desse modo, o todo registrado, na operao da adio, aps a igualdade. Ou
seja, nesta tarefa, o todo (13) corresponde ao valor algbrico c (Ilustrao 11).
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28
Se o todo (13) corresponde ao valor c, as partes a e b sero
menores que o todo c. Assim dentre as duas opes, escolhe-se o valor de
uma das partes, aleatoriamente (Ilustrao 12).
Dentre as vrias opes de valores aritmticos para uma das partes,
optou-se pelo nmero sete (7). Este, pela propriedade comutativa da adio (a
+ b = b + a), pode representar tanto a parte de valor a, quanto a parte de valor
b. Optou-se, aleatoriamente, a ttulo de exemplificao por a = 7.
Nesse estgio de resoluo da tarefa, j se tem o valor aritmtico do todo (13),
e o valor aritmtico da parte a (7). O professor sugere vrios valores (9, 2, 5
etc.) para representar a outra parte desconhecida. A sntese a ser elaborada, a
partir das observaes do professor, com base na relao do todo com suas
partes, que somente um destes nmeros corresponde a parte desconhecida.
Ou seja, o valor aritmtico de b no pode ser determinado aleatoriamente
(, e , 2009).
A continuidade da tarefa realizada no plano mental: quanto ser
necessrio adicionar ao nmero sete (parte) para se obter o todo (13)?
(Ilustrao 13).
Ilustrao 11: Tarefa 3 esquema todo-partes representao algbrica com todo Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas
Ilustrao 12: Tarefa 3 Uma das partes conhecida Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas
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29
A partir da anlise referente a ilustrao 13, que formou uma
sentena fechada de valor 7 + 6 = 13, tem-se as seguintes relaes: a parte
sete (7) adicionada a outra parte seis (6) resulta no todo treze (13). Ou,
comutativamente, a parte seis (6) adicionada parte sete (7) resulta no todo
treze (13). A partir da operao inversa, a subtrao, tem-se que a parte sete
(7) subtrada do todo treze (13) resultar em seis (6). Ou a parte seis (6)
subtrada do todo treze (13) resultar em sete (7).
A segunda questo da tarefa 3 (Ilustrao 14), ser realizada a partir da
representao algbrica da operao m n = k que uma sentena aberta e
do esquema com o valor do todo j apresentado, a partir da seguinte reflexo:
qual das significaes algbricas m, n ou k, representam o valor do todo
(14)?
A partir da anlise do esquema (Ilustrao 14) conclui-se que o todo
corresponde ao valor 14. Para relacionar este todo representao algbrica,
faz-se necessrio considerar que na primeira parte da tarefa a operao
considerada foi adio, agora trata-se da subtrao.
A subtrao, que define Caraa (1951) genericamente, a operao
pela qual, se determina um nmero c, que somado com b, resulta em a (c + b =
Ilustrao 13: Tarefa 3 Esquema e representao algbrica todo-partes Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas
Ilustrao 14: Tarefa 3 Esquema todo-partes e representao algbrica Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas
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30
a), ou seja: a b = c. Para o nmero a, d-se o nome de diminuendo, para b,
de diminuidor ou subtrativo, e para c de resto ou diferena. Para que a
operao da subtrao seja possvel, nos limites dos nmeros inteiros
positivos, o aditivo deve ser maior que o subtrativo ou, igual a ele (a b)
(CARAA, 1951, p. 21).
Costa (1866) define a operao de subtrao como a
operao que tem por fim decompor um nmero dado em duas partes, das quais uma conhecida; ou uma operao, que tem por fim, diminuir de um nmero dado quantas unidades contm outro nmero tambm dado. Ao resultado se chama resto, excesso ou diferena. Em vista desta definio evidente que o processo da subtrao se deduz facilmente do da adio, porque a primeira das duas inversa da segunda (COSTA, 1866, p. 29).
Pereira (1986), por sua vez, define a operao de subtrao, como a
inversa da adio. Dada a soma de dois nmeros (minuendo e subtraendo)
determinar um outro (resto ou diferena). Para que uma subtrao seja
possvel de ser operada, nos Naturais, necessrio que o minuendo,
representado genericamente por m, seja igual ou maior que o subtraendo,
representado por s. Desse modo, tem-se que: m s. Por meio da operao de
subtrao entre dois nmeros obtem-se um terceiro que, adicionado ao
segundo, resulta no primeiro.
Na tarefa em anlise m o todo, o minuendo. E as duas partes
esto representadas por n e k. Desse modo, poderia-se estabelecer as
seguintes relaes subtrativas: m n = k ou m k = n. Nas quais, do todo m
poderia-se subtrair uma das partes n ou k. Porm, a tarefa j determina que n
o subtrativo, k o resto e quatorze (14) o todo (Ilustrao 15).
Ilustrao 14: Tarefa 3 esquema todo-partes representao algbrica com o todo Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas
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31
Para completar, as partes do esquema, dentre vrias opes,
escolhe-se o valor de uma das partes, aleatoriamente.
Optou-se, a ttulo de exemplificao por n = 8. Ou seja, tem-se o
valor aritmtico do todo (14), e de uma das partes (8). Quanto ser a outra
parte? (Ilustrao 17).
Na igualdade formada (14 - 8 = 6), do todo quatorze subtrai-se a
parte oito e resulta na outra parte seis.
Escolheu-se o nmero oito (8), dentre as vrias possibilidades, para
representar uma das partes. Por outro lado, o valor aritmtico seis (6), foi
determinado a partir dos valores conhecidos. Ou seja, a ltima parte faltante
no pde ser completa aleatoriamente. Em sntese, se tem dois valores
conhecidos na relao entre duas partes e todo, o terceiro nmero no pode
surgir de uma escolha arbitraria, este depende estritamente dos valores
conhecidos.
H uma atividade em um dos livros didticos analisados que,
aparentemente, se assemelha com a tarefa 3 de Davydov, no que se refere a
relao a todo-partes, conforme ilustrao 18.
Ilustrao 15: Tarefa 3 Todo e uma parte completa Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas
Ilustrao 16: Tarefa 3 Todo-partes completas Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas
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32
Centurin, Teixeira e Rodrigues (2011) propem que os espaos
vazios sejam preenchidos. A condio que nos fios de mesma cor o total
seja sempre 10 (p. 74). A anlise da figura nos levou a reflexo sobre algumas
questes, tais como: h quantos mbiles na atividade? Qual o significado do
nmero dez representado no fio marrom? Trata-se do todo? Ou de mais uma
parte? So quantas partes? A atividade envolve a relao todo-partes?
A relao todo-partes incide na anlise de cada fio. Desse modo, o
todo sempre 10. A relao das partes, embora de forma implcita, foi proposta
para que a criana complete os valores nos limites das significaes
aritmticas. Diferentemente das proposies davydovianas, aqui, os nmeros
desconhecidos so determinados sem explicitar o movimento que inter-
relaciona as operaes de adio e subtrao, e sem a sistematizao
requerida pelas referidas operaes (relao com a simbologia adequada: =, +
e - ). Alm disso, no contempla as significaes algbricas e geomtricas
concernentes ao conceito em estudo, limita-se apenas aos valores aritmticos.
Cada fio do mbile direciona, sempre, para uma mesma resposta. O
que faz com que a atividade possa ser resolvida de forma mecnica,
repetitiva nos limites de um todo expresso de forma singular. A criana
completar cada fio, sem estabelecer relao com o todo sugestivo por uma
relao sustentada em um sistema de mbiles, que vai alm do nmero dez
(10), conforme limita o prprio enunciado. Os nmeros faltantes podero ser
completados nos espaos vazios de cada fio do mbile a partir do seguinte
Ilustrao 17: Tarefa 3 Atividade do livro didtico Fonte: Centurin, Teixeira e Rodrigues (2011, p.74)
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33
raciocnio: Fio cor de laranja - de 9 para chegar a 10 falta 1. Escreve-se o
nmero um; Fio de cor azul - de 3 para chegar a 10, faltam 7 unidades.
Escreve-se o nmero sete; Fio de cor vermelha - de 4 para chegar a 10, faltam
6 unidades; Fio de cor verde: de 2 para chegar a 10, faltam 8 unidades; e, o no
fio marrom no h o que ser resolvido. Mas, qual o papel dos mbiles nessa
atividade? Qual a relao dos fios (partes dos mbiles) com o suporte que o
sustenta? E, qual a relao entre os trs mbiles?
Essa atividade, a partir das proposies davydovianas poderia ser
organizada com base nas seguintes consideraes: h um mbile maior que
sustenta dois mbiles menores. Os trs juntos forma um sistema
organicamente equilibrado, por isso, cada fio possui sempre o mesmo valor
aritmtico (Ilustrao 18). Em cada mbile menor, o todo 20, formado a partir
das partes constitudas pelos valores determinados na etapa anterior para cada
fio (10).
Ao centro do mbile maior, o valor aritmtico 10 seria substitudo
pelo nmero 40. Este seria o novo valor do todo, no sistema de mbiles,
tomado os dois menores como partes (20 + 20). Ou seja, os nmeros dez e
vinte, tanto representam a parte quanto o todo. Trata-se, pois de um
movimento interno em que o mesmo valor aritmtico pode representar a parte
ou o todo conforme a relao considerada.
O valor aritmtico 10, ao centro do mbile maior descarta qualquer
relao no sistema de mbiles. Ali est somente para reforar o enunciado da
atividade, o que limita o foco da anlise apenas nos fios e impossibilita
qualquer relao entre o sistema de mbiles.
Tarefa 4a: Complete a igualdade c + b = e. A partir dos nmeros 5, 7 e 15
(Ilustrao 19).
Ilustrao 18: Tarefa 4 representao algbrica de adio Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas
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34
A igualdade (Ilustrao 19) c + b = e est representada
genericamente e formada pela operao da adio. Um de seus valores,
neste caso o valor algbrico b, j possui valor aritmtico, oito (8).
Para a igualdade que envolve trs termos, faltam determinar os
valores aritmticos para as representaes algbricas, ou incgnitas c e e.
Para tanto, h trs opes singulares, circuladas ao lado esquerdo da
ilustrao (7, 5 e 15).
Com base na relao todo-partes, utiliza-se a operao de adio
para determinar o valor aritmtico do todo. Logo, o nmero oito (8),
representado por b na igualdade, uma das partes, que adicionada a outra
parte resulta no valor do todo.
Na relao todo-partes, neste caso contemplado pela operao
de adio, sabe-se que o todo ser maior que a parte oito, e por representar tal
operao, a totalidade relacionada aps a igualdade (, e
, 2009).
Aps a identificao do o todo e das partes, na representao
algbrica, procede-se a determinao, dentre as opes (7, 5 e 15), do valor
aritmtico que representa o todo (Ilustrao 20). Se oito (8) a parte
conhecida, o todo ser menor ou maior que oito? (, e
, 2009).
Na igualdade representada algebricamente, o todo est
representado por e, as partes esto representadas por c e b.
Dentre as possibilidades circuladas, a opo que representou o todo
foi o valor aritmtico quinze (15), visto que os outros valores sugeridos na
tarefa (7 e 5) so menores que a parte j conhecida, oito (8).
Ilustrao 19: Tarefa 4 determinao do todo Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas
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35
Em relao a representao algbrica tem-se: c uma parte de
valor aritmtico ainda desconhecido, que adicionado a outra parte b, de valor
aritmtico oito (8), resultam em e. Ou seja, somadas, so iguais ao todo e, cujo
valor aritmtico quinze (15).
E qual dos valores, sete (7) ou cinco (5) representa o valor da parte
c, desconhecida (Ilustrao 21)?
Embora, os nmeros sete (7) e cinco (5) sejam menores que o todo
quinze (15), apenas o valor aritmtico sete (7) representa a parte
desconhecida. Assim, a parte sete (7) adicionada a outra parte oito (8) resultam
no todo quinze (15). O que resulta na sentena fechada 7 + 8 = 15.
Tarefa 4b: A segunda igualdade a c = k (Ilustrao 22), est apresentada,
genericamente, a partir da operao inversa anterior, a subtrao. Um de
seus valores (c), j est determinado aritmeticamente, sete (7). Para
determinar o valor aritmtico das duas representaes algbricas (a e k), h
trs opes singulares, circuladas ao lado esquerdo da ilustrao (4, 6 e 13).
Antes de determinar os valores aritmticos das representaes a e
Ilustrao 20: Tarefa 4 parte c completa Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas
Ilustrao 21: Tarefa 4 representao algbrica da subtrao Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas
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36
k, deve-se identificar o todo e as partes (Ilustrao 23) (,
e , 2009). Para isso, sabe-se que o todo subtrai uma das partes
para resultar e igualar ao valor de outra das partes.
A igualdade a c = k est significada por, a igual ao todo ainda
desconhecido, c uma das partes de valor aritmtico conhecida por sete (7) e k
outra parte tambm desconhecida.
Para obter o valor aritmtico da igualdade, no registro da operao
de subtrao, melhor determinar primeiro o valor do todo, e s aps isso, o
valor da outra parte (, e , 2009).
Dentre os valores para completar (4, 13 e 6), o todo desconhecido
ser?
Sabe-se que o todo deve ser maior que as partes, por isso, dentre
os valores (4, 6 e 13) escolheu-se a opo aritmtica treze (13). A
determinao foi por ser a nica das opes aritmticas, de maior valor que a
parte j definida, sete (7).
Na igualdade, tem-se o todo a de valor treze (13), a parte j
conhecida c de valor sete (7), e outra parte de valor aritmtico desconhecido
representado algebricamente por k.
Ilustrao 22: Tarefa 4 Todo e partes Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas
Ilustrao 23: Tarefa 4 Todo escolhido Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas
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37
Para o clculo do valor aritmtico, da parte desconhecida k, tem-se
o todo a de valor aritmtico treze (13), que se subtrai a parte c, cujo valor
aritmtico sete (7). Qual dos valores (4 e 6), representa a parte desconhecida k
(Ilustrao 25)?
Ilustrao 24: Tarefa 4 Valor aritmtico k Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas
Dentre os valores aritmticos quatro (4) e seis (6), apresentados
como opo para representar a parte k, somente o valor aritmtico seis (6)
poderia ser considerado, com este movimento, concluiu-se a sentena fechada
13 7 = 6.
Assim, na igualdade a c = k, o valor de a treze (13), que ao
subtrair a parte c, de valor sete (7), resulta no valor seis (6), que corresponde a
outra parte k.
Os modelos abstratos c + b = e, a c = k, das operaes de adio
e subtrao, representam o movimento universal determinado pela relao
todo-partes. A tarefa pr-determinava um valor singular para cada modelo. Na
adio, o valor aritmtico era oito. E, na subtrao, o valor aritmtico era sete.
A partir da determinao dos demais valores singulares, obteve-se a
representao concreta do modelo universal abstrato.
Um importante componente da matria escolar o mtodo de seu
ensino, o qual determinado pelo seu contedo e pelo programa da disciplina. Por exemplo, se o contedo da matria escolar est
estruturado em correspondncia com o princpio da ascenso do pensamento do abstrato ao concreto, o mtodo de ensino a ser
empregado pelo professor deve assegurar uma atividade de estudo
em cuja realizao as crianas possam se apropriar de forma precisa este contedo. O professor emprega um mtodo semelhante quando
por exemplo introduz no processo de ensino o sistema de tarefas de estudo, cuja realizao possibilitar a formao, nos escolares, das
correspondentes aes de estudo. Este mtodo permite aos alunos se
apropriarem dos conhecimentos tericos segundo o princpio da
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38
ascenso do pensamento do abstrato ao concreto (DAVDOV, 1988 p.
194).
Rigon, Asbahr e Moretti (2010), com base em Leontiev, falam sobre
a atividade pedaggica que desenvolvida para a transformao do indivduo
no processo de apropriao do conhecimentos e saberes. E o professor com a
funo primordial para tal ao educativa, tem por finalidade direta
organizao do ensino para que os conhecimentos elaborados pela
humanidade possam ser apropriados pelos indivduos.
No ambiente escolar a criana deve apropriar-se, de acordo com
Davydov (1982) do conhecimento cientfico, este o objetivo principal da
atividade de ensino. Tal conhecimento revelado durante o desenvolvimento
do sistema de tarefas davidoviano. Ou seja, tais proposies, so
fundamentadas no mtodo de ascenso do abstrato ao concreto.
Tarefa 5a: Determine os nmeros desconhecidos e corrija os erros quando
houver.
A igualdade (Ilustrao 26) a k = c representa a operao de
subtrao. Os valores algbricos a e c, j esto definidos com valores
aritmticos (8 e 14).
Na sentena anterior (Ilustrao 26), a = 8 e c = 14, e o valor de k
ainda desconhecido. Para determinar o valor desconhecido, faz-se
necessrio realizar o seguinte raciocnio: de oito (8), se subtrai quanto para
resultar em quatorze (14)?
Ilustrao 25: Tarefa 5 representao algbrica com um valor completar Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas
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39
A igualdade a k = c uma pegadinha (, e
, 2009). Trata-se de uma tarefa na qual o professor verifica se a
criana realmente se apropriou do assunto estudado. As tarefas at aqui
apresentadas revelam a seguinte ideia: o todo subtrado de uma das partes
resulta no valor da outra parte. Assim, nos limites dos nmeros Naturais, o
valor do todo maior ou igual s suas partes.
Na igualdade em anlise (Ilustrao 27), a representa o todo, k e c
so as partes. As partes devem ser menores ou uma delas igual ao valor de a.
Mas, isso no ocorre na igualdade a k = c. Pois, como, do valor aritmtico
oito (8) ir se subtrair um nmero, no limite dos Naturais, para resultar em
quatorze (14)? Oito menos quanto resulta em quatorze? Matematicamente,
trata-se de uma tarefa sem soluo nos limites do campo aritmtico
considerado. Existem outros campos aritmticos para alm dos Naturais, a
operacionalizao destes ser introduzida mais tarde. A ideia de nmero real
introduzida em Davydov desde o primeiro ano escolar est fundamentada no
estudo das relaes entre grandezas contnuas e sua localizao na reta
numrica (ROSA, 2012).
O valor aritmtico da parte c, representado aritmeticamente por
quatorze (14), nessa igualdade (8 k = 14), maior que o valor do todo a (8).
Sugere-se ento, reorganizar os valores, na igualdade, com base na
relao todo-partes (, e , 2009). Para o
clculo do valor desconhecido, organiza-se os valores conhecidos da
igualdade, de modo que o valor aritmtico maior represente o todo, e o menor,
uma das partes, conforme ilustrao 28.
Ilustrao 26: Tarefa 5 - Valor desconhecido de k Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas
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40
Na igualdade (Ilustrao 28) tem-se a = 14, k = 8 e c ainda um
valor desconhecido.
Reorganizada a igualdade, vale estabelecer, conforme a ilustrao
29, a relao entre as representaes algbricas e aritmticas do todo e das
partes (, e , 2009).
Na igualdade, tem-se o todo, representado algebricamente por a e
aritmeticamente por quatorze (14). Uma das partes representada
algebricamente por k cujo valor aritmtico oito (8) e a outra parte,
representada algebricamente por c, possui valor aritmtico desconhecido.
Tem-se o todo quatorze (14), que subtrado a parte oito (8), resultar
em quanto a outra parte?
Ilustrao 27: Tarefa 5 - Valor do todo e das partes organizados Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas
Ilustrao 28: tarefa 5 Relao todo-partes Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas
Ilustrao 29: Tarefa 5: Todo e partes aritmeticamente Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas
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41
Logo, do todo quatorze (14) subtrai-se a parte oito (8) e resultam
seis (6), a outra parte at ento desconhecida do ponto de vista aritmtico.
A relao do todo e das partes referente a sentena fechada 14 8
= 6 pode ser representada por meio do esquema geomtrico (Ilustrao 31).
No esquema (Ilustrao 31), referente a operao da subtrao a
k = c, verifica-se a relao interna dos valores aritmticos das partes e do todo.
Subtrai-se o valor da parte oito (8) do todo quatorze (14) e resultar no valor da
outra parte seis (6). Por meio da operao inversa, a adio, tem-se as partes
oito (8) e seis (6), que juntas, compem o todo, quatorze (14).
Tarefa 5b: Apresenta-se igualdade e m = p (Ilustrao 32), com valor
aritmtico definido para p.
Na igualdade, o valor algbrico de p j est representado
aritmeticamente por cinco (5). Para o clculo dos valores algbricos (e e m),
faz necessrio o seguinte raciocnio: quanto se subtrai de quanto para resultar
em cinco (5)?
Antes de proceder o clculo, analisa-se a representao algbrica
com base na relao entre o todo e as partes (Ilustrao 33).
Ilustrao 30: Tarefa 5 Esquema parte e todo Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas
Ilustrao 31: tarefa 5 representao algbrica de subtrao Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas
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42
Esta igualdade uma pegadinha. No h uma nica resposta.
Existem infinitas possibilidades inclusive nos limites dos Naturais, uma vez que
h, apenas, um valor conhecido (, e , 2009).
O todo, representado algebricamente por e, ainda no possui valor aritmtico
conhecido. A parte m, tambm no. E, a outra parte p o valor aritmtico j
conhecido, cinco (5).
Dentre as infinitas opes, mesmo nos Naturais, escolhe-se,
aleatoriamente, um valor aritmtico para a varivel e (todo), ou para varivel m
(parte). Porm, com a limitao em relao escolha do valor aritmtico para
representar o todo. Este deve ser maior que a parte j conhecida (cinco). A
ttulo de exemplificao, toma-se o valor aritmtico oito (8) para representar o
todo (Ilustrao 34).
Para determinar o valor da outra parte desconhecida, cabe a
seguinte questo: qual valor aritmtico que, acrescido parte conhecida (5),
resulta no todo (8)?
Ilustrao 33: Tarefa 5 Valor aritmtico para todo Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas
Ilustrao 32: Tarefa 5 nomeao todo-partes Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas
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43
E, se a referncia for o movimento inverso (Ilustrao 35), a partir do
valor do todo oito (8), qual ser o valor da parte desconhecida? Ou seja, quanto
subtrado de oito (8) resulta em cinco (5)?
Determinou-se o valor da parte desconhecida, a partir do seguinte
raciocnio: do todo, oito (8) subtrado a parte trs (3), resultou no valor
aritmtico da outra parte cinco (5). Outra forma de representar a operao do
todo e as partes por meio do esquema conforme a ilustrao 36 (,
e , 2009).
A relao representada por trs diferentes modos (algbrica,
aritmtica e geometricamente, e a mesma: o valor do todo , algebricamente, e
e, aritmeticamente, 8; o valor da partes so, algebricamente, m e p e,
aritmeticamente, 3 e 5, respectivamente.
O movimento todo-partes entre os trs elementos consiste, na
operao da subtrao em: do todo, oito subtrai-se a parte cinco e resulta no
valor da outra parte, trs. Ou do todo, oito subtrai-se a parte trs e resulta no
valor da outra parte cinco. Ou ainda, com base na operao da adio, as duas
partes juntas (trs e cinco), compem o todo, de valor aritmtico oito.
Ilustrao 34: Tarefa 5 parte completa Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas
Ilustrao 35: Tarefa 5 - Esquema todo e partes Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas
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44
Tarefa 5c: A terceira igualdade, representada por n u = b, consiste na
determinao do valor aritmtico de n (Ilustrao 37).
Na representao algbrica n u = b, u = 8, b = 5 e o valor
aritmtico da incgnita n desconhecido.
Antes de proceder o clculo para determinar o valor desconhecido,
essencial analisar a relao entre as partes e o todo da igualdade (Ilustrao
38). O valor aritmtico do todo n desconhecido, e os valores aritmticos das
partes (u e b), so, respectivamente, oito (8) e cinco (5).
Ao considerar que, oito (8) e cinco (5) so as partes, qual o valor
aritmtico do todo (Ilustrao 39)?
Ilustrao 38:Tarefa 5: Todo e partes j completos Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas
Ilustrao 36: Tarefa 5 Uma das partes desconhecida Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas.
Ilustrao 37: Tarefa 5 - Relao todo e partes Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas
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45
As partes oito (8) e cinco (5) compem o todo treze (13). A operao
realizada consiste em: do todo (13) subtrai-se a parte conhecida (8) e resulta
na outra parte (5), conforme representao geomtrica a seguir (Ilustrao 40):
A sntese da relao todo-partes referente a igualdade em anlise
consiste em: do todo, treze, subtrai-se a parte, oito e resulta no valor da outra
parte, cinco. Ou, do todo, treze, subtrai-se a parte cinco e resulta na outra
parte oito. Ou ainda, as partes juntas, por meio da operao de adio (8 + 5
ou 5 + 8) resultam no valor do todo treze.
H duas atividades em um dos livros didticos analisados que,
aparentemente, se assemelham com a tarefa 5 de Davydov, no que se refere a
relao do valor desconhecido, conforme as ilustraes 41 e 42:
A primeira atividade (Ilustrao 41) prope o clculo mental para
determinar quanto falta para chegar a 10000, em cada item.
Ilustrao 39: Tarefa 5 Representao geomtrica do todo e das partes Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas
Ilustrao 40: Tarefa 5 Atividade do livro didtico Fonte: Centurin, Teixeira e Rodrigues (2011, p.79)
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46
O valor desconhecido representado por um desenho, que deve ser
substitudo pelo valor aritmtico, determinado pelo clculo. Em seguida
procede-se o registro no caderno.
Por exemplo, de 5000 para chegar a 10000, faltam 5000, ou, de
6000 para se chegar 10000, faltam 4000, etc.
A operao utilizada na atividade, para de um valor se chegar a
outro, a adio. No envolve o movimento necessrio para inter-relacionar a
operao inversa, subtrao, no clculo do valor desconhecido. Pois, a
expresso de quanto falta, lembra a operao de adio, ou subtrao?
O valor desconhecido, nesta atividade sempre referente a
segunda parcela. Porque no considerar como valor desconhecido a primeira
parcela tambm? Alm disso, no so contempladas as representaes
geomtricas (da soma dos valores aritmticos) e as algbricas (do valor
desconhecido). Inclusive, no adota-se a simbologia matemtica adequada
para representar a igualdade, trata-se de uma seta que indica o caminho de
forma ldica para se chegar ao valor de 10000.
A segunda atividade foi extrada do livro didtico dos autores
CENTURIN; TEIXEIRA; RODRIGUES (2011). O enunciado solicita que as
crianas descubram a parcela que falta em cad