Propagação de ondas elásticas

Engenharia Sísmica Geotécnica

Jaime A. Santos (IST)

Mestrado em Engenharia Civil

Ondas elásticas em meio contínuo Pequenas perturbações mecânicas que não alteram a fábrica, ou seja, não causam efeitos permanentes no solo propagam-se como “ondas elásticas”.

O solo pode ser assimilado a um meio elástico contínuo?

Admitindo que sim, então as condições de equilíbrio envolvendo as forças de inércia (2ª lei de Newton) e a aplicação da teoria da elasticidade mostram a existência de dois tipos de propagação num meio elástico infinito. Exemplicando para o plano x-y:

2

2

2

2

xuM

tu xx

∂∂

=∂∂

ρ

Ondas de compressão (P)

2

2

2

2

xuG

tu yy

∂

∂=

∂

∂

ρ

Ondas de corte (S)

As equações anteriores relacionam a variação temporal com a variação espacial do movimento das partículas.

A solução é uma função exponencial do tipo (notação complexa):

Ondas elásticas em meio contínuo

)( xatix eAu ±= ω

O fenómeno da propagação das ondas envolve duas escalas diferentes:1) escala espacial caracterizada pelo comprimento de onda λ;2) escala temporal caracterizada pelo período T.Estas duas escalas estão relacionadas entre si através da velocidade de fase do meio:

aTV ωλ

==

Ondas elásticas em meio contínuo Combinando as equações anteriores, mostra-se então que:

ρMVP =

ρGVS =

Notas:1) As velocidades aumentam com a rigidez do material

e decrescem com a massa volúmica (efeito das forças de inércia)

2) As velocidades não dependem da frequência (ondas não dispersivas)

Relações elásticas (meio isótropo)

GKGKE+

=39

)3(223

GKGK

+−

=ν

)21(3 ν−=

EK)1(2 ν+

=EG

)21)(1()1(νν

ν−+−

=EM GKM

34

+=

2 co

nsta

ntes

inde

pend

ente

s

Ondas elásticas em meio contínuo

νν

21)1(2

−−

= SP VV

2

2

1

5.01

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

S

P

S

P

VV

VV

ν

7.141428

1.414214

RV ν( )

0.50 ν0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

2

4

6

8

S

P

VV

ν

)49.0(14.7 == νS

P

VV

)499.0(4.22 == νS

P

VV

)4999.0(7.70 == νS

P

VV

Ondas de volume

Ensaios de campo

Ensaio Princípio da técnica do ensaio Nível dedistorção

Sísmico entre furos de sondagem"Cross-hole seismic testing"

determinação da velocidade de propagação das ondas de corte ~ 10 -6

Sísmico ao longo de furos de sondagem,com fonte à superfície"Down-hole seismic testing"

Sísmico ao longo de furos de sondagem,com fonte no interior do furo"Uphole"

Piezocone sísmico

“Refracção e reflexão sísmica”

Vibração em regime permanente determinação da velocidade de propagação das ondas superficiais ~ 10 -6

Análise espectral de ondas superficiais

Ensaio Princípio da técnica de ensaio Nível dedistorção

Sísmico entre furos de sondagem

determinação da velocidade de propagação das ondas de corte ~ 10 -6

Sísmico ao longo de furos de sondagem,com fonte à superfície

Sísmico ao longo de furos de sondagem,com fonte no interior do furo"Uphole"

Piezocone sísmico

“Refracção e reflexão sísmica”

Vibração em regime permanente determinação da velocidade de ~ 10 -6

(e/ou ondas de compressão)

Geofones

Sismógrafo

Martelo sísmico

~_ 3m ~_ 3m

Ensaios sísmicos entre furos de sondagem(cross-hole)

Ondas de corte Shv(polarizadas verticalmente)

Crosshole TestingOscilloscope

PVC-cased Borehole

PVC-cased Borehole

DownholeHammer(Source) Velocity

Transducer(GeophoneReceiver)

Δt

Δx

Shear Wave Velocity:Vs = Δx/Δt

TestDepth

ASTM D 4428

Pump

packer

Note: Verticality of casingmust be established by

slope inclinometers to correctdistances Δx with depth.

SlopeInclinometer

SlopeInclinometer

Author: Paul W. Mayne

Geofone

Martelo

Ensaio sísmico ao longo do furo de sondagem(down-hole)

Ondas de corte Svh(polarizadas horizontalmente)

Downhole TestingOscilloscope

Cased Borehole

TestDepth

Interval

HorizontalVelocity

Transducers(GeophoneReceivers)

packer

PumpHorizontal Plankwith normal load

Shear Wave Velocity:Vs = ΔR/Δt

z1 z2

Δt

R12 = z12 + x2

R22 = z22 + x2

x

Hammer

Author: Paul W. Mayne

Seismic Cone Penetration Test

The Seismic Cone Penetration Test combines the seismic downhole technique with the standard Cone Penetration test. A seismic receiver is added to the cone, then the similar procedure as the one followed with the seismic downhole test is used. The shear wave velocity calculation, therefore, is similar to that of the downhole.

The advantages of SCPT are: its speed, the fact that it provides static soil properties(such as point bearing and sleeve frictional resistance), as well as ground proofing andstratigraphy of the site.

Seismic Refraction

Vertical GeophonesSource(Plate)

Rock: Vp2

ASTM D 5777

Soil: Vp1

oscilloscope

x1x2x3x4

t1t2t3t4

Note: Vp1 < Vp2

zR

Determine depthto rock layer, zR

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020 Tr

avel

Tim

e (s

econ

ds)

0 10 20 30 40 50 Distance From Source (meters)

Horizontal Soil Layer over Rock

Vp1 = 1350 m/s

1

Vp2 = 4880 m/s

1z

x2

V VV Vc

c p2 p1

p2 p1=

−+

Depth to Rock:zc = 5.65 m

xc = 15.0 m

x values

t va

lues

Seismic Refraction

ONDAS DE RAYLEIGH (meio elástico semi-infinito)

> 2/3 da energia

aquisição sísmica

fonte P

ondas Rayleigh

Comportamento DISPERSIVO

MEIO HETEROGÉNEO

≠ frequências têm ≠ velocidades de propagação

A PROPAGAÇÃO É INFLUENCIADA PELAS PROPRIEDADES MECÂNICAS DAS

CAMADAS ATRAVESSADAS

Dados - sismograma (t-x)

P

R

Ensaios de laboratório1. Técnicas baseadas na teoria da

propagação das ondas (velocidades)

G0=ρVS2 ; M0=ρVP

2

Ensaio de coluna ressonanteBender/Extender elements

2. Técnicas baseadas na teoria da elasticidade (tensões-deformações):

G0=τ/γ ; E0=σ/ε (γ, ε=ΔL/L≈10-6)

Ensaio triaxial e Ensaio de torção com medições locais