projeto inverso aerodinâmico utilizando o método adjunto … · 2008-10-03 · marco antonio de...

Marco Antonio de Barros Ceze

Projeto Inverso AerodinâmicoUtilizando o Método AdjuntoAplicado às Equações de Euler

Dissertação apresentada à Escola Poli-

técnica da Universidade de São Paulo

para obtenção do Título de Mestre em

Engenharia Mecânica.

São Paulo2008

Marco Antonio de Barros Ceze

Projeto Inverso AerodinâmicoUtilizando o Método AdjuntoAplicado às Equações de Euler

Dissertação apresentada à Escola Poli-

técnica da Universidade de São Paulo

para obtenção do Título de Mestre em

Engenharia Mecânica.

Área de concentração:Engenharia Mecânica

Orientador:Prof. Dr. Ernani Vitillo Volpe

São Paulo2008

FICHA CATALOGRÁFICA

Este exemplar foi revisado e alterado em relação à versão original, sob responsabilidade única do autor e com anuência de seu orientador.

São Paulo, 14 de Agosto de 2008 Assinatura do autor

Assinatura do orientador

Ceze, Marco Antonio de Barros

Projeto inverso aerodinâmico utilizando o método adjunto aplicado às equações de Euler / M.A.B. Ceze. -- São Paulo, 2008.

p.

Dissertação (Mestrado) - Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. Departamento de Engenharia Mecânica.

1. Método Adjunto. 2. Otimização. 3.Aerodinâmica. 4. Di- nâmica dos Fluidos Computacional. 5. Parametrização Geométrica I. Universidade de São Paulo. Escola

Politécnica. Departamento de Engenharia Mecânica II.t.

à minha Querida Família

Agradecimentos

Esse trabalho foi realizado com o apoio e assistência de membros da Escola

Politécnica da Universidade de São Paulo, especificamente do Núcleo de Dinâmica

e Fluidos do Departamento de Engenharia Mecânica e da EMBRAER - Empresa

Brasileira de Aeronáutica S.A..

Inicialmente eu agradeço fortemente a dedicação e a alta qualidade da orien-

tação que o Professor Doutor Ernani Volpe me forneceu durante a execução desse

trabalho. Trabalhamos juntos desde a graduação e os resultados apresentados

aqui são fruto de um esforço contínuo em prol do desenvolvimento de uma linha

de pesquisa em engenharia aeronáutica na Escola Politécnica.

Estendo meu agradecimento a todos os membros do Núcleo de Dinâmica e

Fluidos, em expecífico ao Professor Livre Docente Júlio Meneghini que é um dos

membros da banca de avaliação desse trabalho e que permitiu a utilização de

recursos computacionais imprescindíveis para a obtenção dos resultados apresen-

tados nessa dissertação.

Agradeço também à primordial colaboração do companheiro de trabalho na

EMBRAER e Professor do Instituto de Matemática e Estatística da USP Doutor

Luis Carlos de Castro Santos que é também um dos membros da banca de avalia-

ção desse trabalho. As idéias propostas por ele e a excelente coordenação durante

o projeto FAPESP/EMBRAER colaboraram de forma única para a minha for-

mação profissional. De mesma forma, estendo meu agradecimento à contribuição

do companheiro de trabalho na EMBRAER e também coordenador do projeto

FAPESP/EMBRAER Doutor Guilherme Lara Oliveira.

Apesar de existirem muitas outras pessoas que colaboraram para esse traba-

lho, destaco a meu reconhecimento especial à ajuda e apoio dos amigos e compa-

nheiros de pós-graduação Iago Barbeiro, Alessandro Lima, Carlos Roberto Ilário

e Reinaldo Orselli. Dentre os meus amigos estudantes, o mais importante agrade-

cimento é dedicado ao Marcelo Tanaka que sempre me ajudou tanto tecnicamente

quanto nas decisões pessoais que temos que tomar durante a pós-graduação.

Finalmente, eu eternamente devo aos meus amigos fora do núcleo técnico e à

minha Família pelo apoio e paciência dedicados à mim. Agradecimentos especiais

são dedicados ao meu amigo Marcelo Bazán e à Érica Souza que muito colaborou

não só para que eu concluisse esse trabalho mas também para muitas conquistas

da minha vida. Obrigado!

“A vida é como andar de bicicleta. Para manter o equilíbrio, é preciso

se manter em movimento." (Albert Einstein)

“Se você pensa que acabou, assista aos extras!"

“A diferença entre a verdade e a ficção é que a ficção faz mais sentido."

(Mark Twain)

Resumo

Um desafio constante no projeto aerodinâmico de uma superfície é obter aforma geométrica que permite, baseado em uma determinada medida de mérito, omelhor desempenho possível. No contexto de projeto de aeronaves de transporte,o desempenho ótimo em cruzeiro é a principal meta do projetista. Nesse cenário,o uso da Dinâmica do Fluidos Computacional como não só uma ferramenta deanálise mas também de síntese torna-se uma forma atrativa para melhorar oprojeto de aeronaves que é uma atividade dispendiosa em termos de tempo erecursos financeiros.

O método adotado para projeto aerodinâmico é baseado na teoria de con-trole ótimo. Essa abordagem para o problema de otimização aerodinâmica foiinicialmente proposta por Jameson (1997) e é chamada de método adjunto. Essemétodo apresenta uma grande diminuição de custo computacional se comparadocom a abordagem de diferenças finitas para a otimização baseada em gradiente.

Essa dissertação apresenta o método adjunto contínuo aplicado às equaçõesde Euler. Tal método está inserido no contexto de um ciclo de projeto inversoaerodinâmico. Nesse ciclo, tanto o código computacional de solução das equaçõesdo escoamento quanto o código de solução das equações adjuntas foram desen-volvidos ao longo desse trabalho. Além disso, foi adotada uma metodologia deredução do gradiente da função de mérito em relação às variáveis de projeto. Oalgorítmo utilizado para a busca do mínimo da função de mérito é o steepest des-cent. Os binômios de Bernstein foram escolhidos para representar a geometriado aerofólio de acordo com a parametrização proposta por Kulfan e Bussoletti(2006). Apresenta-se um estudo dessa parametrização mostrando suas caracte-rísticas relevantes para a otimização aerodinâmica.

Os resultados apresentados estão divididos em dois grupos: validação do ciclode projeto inverso e aplicações práticas. O primeiro grupo consiste em exercíciosde projeto inverso nos quais são estabelecidas distribuições de pressão desejadasobtidas a partir de geometrias conhecidas, desta forma garante-se que tais dis-tribuições são realizáveis. No segundo grupo, porém, as distribuições desejadassão propostas pelo projetista baseado em sua experiência e, portanto, não sendogarantida a realizabilidade dessas distribuições. Em ambos os grupos, incluem-seresultados nos regimes de escoamento transônico e subsônico incompressível.

Abstract

A constant endeavor in aerodynamic design is to find the shape that yieldsoptimum performance, according to some context-dependent measure of merit.In particular for transport aircrafts, an optimum cruise performance is usuallythe designers’ main goal. In this scenario the use of the Computational FluidDynamics (CFD) technique as not only an analysis tool but as a design toolbecomes an attractive aid to the time and financial resource consuming activitythat is aircraft design.

The method adopted for aerodynamic design is based on optimal controltheory. This approach to the design problem was first proposed by Jameson(1997) and it is called adjoint method. It shows a great computational costadvantage over the finite difference approach to gradient-based optimization.

This dissertation presents an Euler adjoint method implemented in contextof an inverse aerodynamic design loop. In this loop both the flow solver and theadjoint solver were developed during the course of this work and their formulationare presented. Further on, a gradient reduction methodology is used to obtain thegradient of the cost function with respect to the design variables. The methodchosen to drive the cost function to its minimum is the steepest descent. Bernsteinbinomials were chosen to represent the airfoil geometry as proposed by Kulfanand Bussoletti (2006). A study of such geometric representation method is carriedon showing its relevant properties for aerodynamic optimization.

Results are presented in two groups: inverse design loop validation and prac-tical application. The first group consists of inverse design exercises in whichthe target pressure distribution is from a known geometry, this way such distri-bution is guaranteed to be realizable. On the second group however, the targetdistribution is proposed based on the designer’s knowledge and its not necessarilyrealizable. In both groups the results include transonic and subsonic incompress-ible conditions.

Sumário

Lista de Figuras

Lista de Tabelas

Nomenclatura

1 Introdução 1

1.1 Escopo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Revisão Bibliográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Método Adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Ciclo de Projeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Modelo Matemático do Escoamento 9

2.1 Leis de Conservação e Equação de Estado . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Equações de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Metodologia de Solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.1 Método dos Volumes Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.2 Dissipação Artificial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.3 Passo Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4 Condições de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.1 Superfície Adiabática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.2 Corrente Não–Perturbada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5 Validação de Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Método Adjunto 31

3.1 Equações de Euler em Coordenadas Generalizadas . . . . . . . . . 32

3.2 Medida de Mérito para Projeto Inverso . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3 Variação das Equações de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4 Equação Adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.5 Condições de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.5.1 Superfície Sólida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5.2 Corrente Não–Perturbada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.6 Gradiente: Forma Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.7 Metodologia de Solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.7.1 Condições de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4 Parametrização Geométrica 45

4.1 Formulação Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2 Parametrização de Aerofólios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2.1 Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2.2 Estudo de Parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.3 Gradiente: Forma Particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.3.1 Validação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5 Resultados 57

5.1 Validação do Ciclo de Projeto Inverso . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2 Casos de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.3 Influência da Malha Computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6 Conclusões 70

6.1 Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Apêndice A -- Exemplo de Solução Adjunta 73

Apêndice B -- Metodologia de Geração de Malha 76

Referências 78

Lista de Figuras

1.1 Ciclo de Projeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1 Malha Computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Esquema de malha triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Esquema do espectro de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Condição de contorno de superfície com deslizamento . . . . . . . 20

2.5 Condição de contorno de entrada subsônica . . . . . . . . . . . . . 23

2.6 Condição de contorno de saída subsônica . . . . . . . . . . . . . . 23

2.7 Perfil NACA0012 em regime transônico (Caso 1) . . . . . . . . . . 26

2.8 Perfil NACA0012 em regime transônico (Caso 2) . . . . . . . . . . 27

2.9 Perfil RAE2822 em regime transônico (Caso 3) . . . . . . . . . . . 27

2.10 Perfil RAE2822 em regime transônico (Caso 4) . . . . . . . . . . . 28

2.11 Perfil NACA0012 em regime subsônico (Caso 5) . . . . . . . . . . 28

2.12 Perfil RAE2822 em regime subsônico (Caso 6) . . . . . . . . . . . 29

2.13 Perfil Selig 1223 em regime subsônico (Caso 7) . . . . . . . . . . . 30

2.14 Perfil diamante em escoamento supersônico (Caso 8) . . . . . . . 30

3.1 Sistema de coordenadas (ξ, η). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2 Transformação de coordenadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3 Diagrama das características do problema adjunto. . . . . . . . . 40

4.1 Função de Classe aplicada à Função de Forma Unitária . . . . . . 48

4.2 Função de Forma Unitária gerada por um Polinômio de Bernstein

de 4◦ grau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.3 Função de Forma Unitária perturbada através de pontos de con-

trole dos binomios de Bernstein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.4 Análise de erro da Parametrização Geométrica . . . . . . . . . . . 50

4.5 Condicionamento numérico da matriz de parametrização. . . . . . 51

4.6 Autovalores da matriz de parametrização. . . . . . . . . . . . . . 52

4.7 Eliminação de parâmetro nulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.1 Caso 1 - Validação do ciclo de projeto inverso . . . . . . . . . . . 59



5.4 Caso 4 - Aplicação do ciclo de projeto inverso . . . . . . . . . . . 64

5.5 Caso 5 - Aplicação do ciclo de projeto inverso . . . . . . . . . . . 66

5.6 Caso 1b - Efeito da Malha Computacional . . . . . . . . . . . . . 67

5.7 Caso 1c - Efeito da Malha Computacional . . . . . . . . . . . . . 68

A.1 Distribuição de pressão da geometria inicial e da geometria desejada 73

A.2 Solução para ψ1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

A.3 Solução para ψ2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

A.4 Solução para ψ3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

A.5 Solução para ψ4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

B.1 Esquema da geração de malha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

B.2 Rotina de geração de malha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Lista de Tabelas

2.1 Casos de validação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.1 Fator de influência dos Parâmetros (4◦ grau) . . . . . . . . . . . . 53

4.2 Comparação entre as metodologias de cálculo do gradiente. . . . . 56

5.1 Casos de Validação do Ciclo de Projeto Inverso . . . . . . . . . . 58

5.2 Casos de Aplicação do Ciclo de Projeto Inverso . . . . . . . . . . 64

Nomenclatura

AOA Ângulo de Ataque

C( ) Operador convectivo

Cp Coeficiente de pressão

C∗p Coeficiente de pressão crítico

D( ) Operador dissipação artificial

E Energia total específica

H Entalpia específica

I Função de mérito

J Jacobiano

K Matriz de mudança de coordenadas

M Número de Mach

T Temperatura

U Velocidade contravariante na direção ξ

V Velocidade contravariante na direção η

Vij Valor na fronteira entre os volumes i e j

Ee Vetor de fluxo na direção x

Fe Vetor de fluxo na direção y

Q Vetor de variáveis de estado

W Vetor de variáveis características

f Vetor forças externas

q Vetor transferência de calor

u Vetor velocidade

�ij Comprimento da fronteira entre os volumes i e j

n Versor normal

ex Versor na direção x

ey Versor na direção y

C Contorno

F Fronteira do corpo

G Gradiente da função de mérito

R Equações do escoamento

R+ Segundo invariante de Riemann

R− Terceiro invariante de Riemann

R0 Primeiro invariante de Riemann

S Superfície

V Volume

X Pontos da malha

c Velocidade do som

d(2)( ) Operador Laplaciano não-dividido

d(4)( ) Operador bi-harmônico

e Energia total

p Pressão

w Variáveis do escoamento

Símbolos Gregos

δ Operador variação de primeira ordem

η Direção normal

γ Razão entre calores específicos

λ Passo do método steepest descent

ψ Vetor de variáveis adjuntas

ρ Massa específica

ξ Direção tangencial

1

1 Introdução

A mecânica dos fluidos estuda uma vasta gama de problemas de interesse

científico e tecnológico, que envolve as mais diversas aplicações da engenharia,

de simples sistemas de ventilação aos mais complexos projetos de aerodinâmica e

hidrodinâmica, como por exemplo na indústria aeronáutica e até no setor médico-

hospitalar. Devido a esta imensa diversidade e importância de suas aplicações, a

mecânica dos fluidos sempre foi objeto de intensa investigação, tanto através da

abordagem experimental, quanto através da abordagem teórica, onde se procura

obter soluções através dos modelos matemáticos que descrevem o escoamento.

Na abordagem teórica, formulam-se modelos com base nos princípios funda-

mentais de conservação de massa, quantidade de movimento e energia. Entre-

tanto, na mecânica dos fluidos, esses princípios assumem a forma de equações

diferenciais parciais não–lineares, para as quais não se conhecem soluções ana-

líticas gerais. Ao contrário, as soluções analíticas são conhecidas apenas para

uma coleção restrita de problemas, que compreende uma pequena parte da vasta

gama de problemas e aplicações de interesse prático. Tais condições favoreceram

o desenvolvimento de técnicas de simulação numérica, como alternativa natural

aos métodos analíticos, para a obtenção de soluções aproximadas. Tais técnicas

constituem–se atualmente numa linha de pesquisa extremamente profícua, deno-

minada Dinâmica dos Fluidos Computacional (CFD). De fato, CFD tornou-se

uma ferramenta de uso cotidiano na engenharia. Seu impacto na redução de

custos e riscos tanto humanos quanto de investimentos em empreendimentos de

engenharia é inegável. Os ciclos de projeto de produtos, que envolvem a intera-

ção com fluidos, ficam cada vez mais curtos e eficientes com o uso de ferramentas

computacionais.

O uso de CFD é ainda mais pronunciado na indústria aeronáutica onde essa

ferramenta está presente em todo o ciclo de desenvolvimento de uma aeronave.

Durante a etapa de projeto conceitual por exemplo, muitas das definições geo-

métricas da aeronave são embasadas por resultados obtidos a partir de simulação

numérica do escoamento, com isso tentando ao máximo diminuir a campanha

1.1 Escopo 2

de ensaios em túnel de vento, uma vez que essa etapa é bastante onerosa em

termos de custo e tempo para o desenvolvimento do produto. Além disso, na

etapa de desenvolvimento e detalhamento da aeronave, a equipe de engenharia

dos sistemas como condicionamento de ar e propulsão utiliza, em grande escala,

a dinâmica dos fluidos computacional em suas análises.

Apesar da extensa aplicação de CFD, essa metodologia é normalmente utili-

zada como ferramenta de análise, num papel semelhante ao de instalações experi-

mentais como túneis de vento. Isto é, o projetista prescreve a geometria de uma

superfície (ex. uma asa) e usa CFD para testá-la com respeito aos seus efeitos

no escoamento, como se estivesse introduzindo um modelo (numérico) num túnel

de vento (virtual). Uma característica fundamental desse procedimento é o fato

de que a proposição de uma geometria para uma dada finalidade depende quase

que exclusivamente da experiência acumulada pelo projetista. Muitas vezes, essa

dependência pode tornar o processo de projeto lento e ineficiente.

Apenas recentemente, ferramentas de síntese, e não somente análise, passaram

a ser integradas às metodologias de projeto fluidodinâmico. Essas ferramentas

não têm como objetivo substituir a experiência do projetista mas sim possibilitar

a exploração de configurações além do limite da intuição e agilizar o processo de

projeto como cita Giles (1997).

Uma metodologia que tem se mostrado bastante promissora na utilização de

CFD como ferramenta de síntese é a aplicação da teoria de controle ótimo para

projeto aerodinâmico. O uso desta metodologia em aerodinâmica foi inicialmente

proposta por Jameson (1997) e tem sido aplicada em diversos problemas de ordem

prática da indústria aeronáutica. Batizado de método adjunto, esta afigura-se

como uma forma eficiente de otimização de superfícies aero e hidrodinâmicas por

apresentar baixo custo computacional se comparado com outros métodos como

algoritmos genéticos e diferenças finitas.

1.1 Escopo

Esse trabalho tem o objetivo de mostrar o conceito do método adjunto para

promover melhorias aerodinâmicas. Os estudos realizados aqui são focados em

condições de regime de escoamento mais comuns em aplicações aeronáuticas. Es-

sas condições ocorrem essencialmente na região transônica que abrange velocida-

des comparáveis à velocidade do som. Nessa região, comumente ocorrem descon-

tinuidades como ondas de choque no domínio do escoamento. Esses fenômenos

1.1 Escopo 3

são modelados adequadamente pelas equações de Euler, porém, de forma mais

simples que as equações de Navier-Stokes, uma vez que os efeitos da viscosidade

não são interesse desse trabalho.

As equações de Euler são utilizadas para modelar os fenômenos físicos em do-

mínios bidimensionais nesse trabalho. Essa abordagem é adequada para estudos

de aerofólios, como perfis de asa ou até mesmo perfis de nacelle (carenagem de

motor à jato). Com isso, faz-se a avaliação do desempenho destas superfícies de

estudo para possibilitar a melhoria aerodinâmica baseada em um critério de qua-

lidade. Nesse trabalho, focou-se no critério da distância entre a distribuição de

pressão da geometria de estudo e um padrão pré-estabelecido de qualidade. Essa

medida é chamada de projeto inverso aerodinâmico e é explicada com detalhes

no capítulo 3.

A abordagem dessa dissertação para o problema de otimização aerodinâmica

restringe–se à aplicações bidimensionais de projeto inverso devido a restrições de

tempo para execução do trabalho. Porém, as metodologias apresentadas aqui

podem ser extendidas, com relativa facilidade, a outras funções de mérito, bem

como para projeto de superfícies tridimensionais.

Para sistematizar o processo de melhoria aerodinâmica, focou-se na formula-

ção contínua do método adjunto. Nessa formulação, aplica-se a teoria de controle

ótimo às equações que regem o escoamento nas suas formas contínuas, ou seja,

antes da discretização para solução numérica. Dessa forma, a discretização das

equações adjuntas segue os mesmos passos da discretização das equações que

governam o escoamento.

A principal vantagem da formulação contínua é que a solução do problema

adjunto independe da forma com a qual a solução do escoamento foi obtida, ga-

rantindo mais flexibilidade na utilização do código adjunto acoplado a diferentes

códigos de solução das equações que governam o escoamento. Por outro lado,

a formulação discreta permite a utilização de metodologias de diferenciação au-

tomática como ADIFOR agilizando o processo de obtenção do código adjunto

porém perdendo em flexibilidade, uma vez que tal código será adequado apenas

para o código de solução do escoamento escolhido.

A discretização do domínio adotada nesse trabalho é não-estruturada. Essa

discretização permite lidar com geometrias mais complexas se comparada com a

forma estruturada de divisão do domínio. Sendo assim, as discretizações espaciais

das equações, tanto do escoamento quanto do problema adjunto, tomam formas

especiais (capítulos 2 e 3) que não necessitam de termos de correção da métrica.

1.2 Revisão Bibliográfica 4

O método de geração de malha não faz parte do escopo desse trabalho. Para

a discretização do domínio foi utilizado o software comercial Gambit da Fluent

Inc..

1.2 Revisão Bibliográfica

Os problemas de otimização e de projeto inverso aerodinâmicos são temas de

intensa investigação científica e tecnológica em diversas instituições do mundo.

O reflexo disso é uma extensa bibliografia disponível, tornando uma tarefa difícil

apreciar todos os trabalhos publicados nesse tema. Porém, pode-se citar o método

Modified Garabedian-McFadden investigado em uma série de trabalhos, dentre

eles estão (SANTOS, 1993; VOLPE et al., 2007; VOLPE, 2004; VOLPE, 2005). Esse

método basea-se na modelagem potencial linearizada do escoamento e é adequado

para projeto aerodinâmico em condições de escoamento na região transônica.

Apesar do método mostrar-se razoavelmente eficiente na eliminação de ondas de

choque (VOLPE et al., 2007), a modelagem por trás dele não é capaz de lidar com

tais descontinuidades.

O método adjunto, porém, independe do nível de modelagem da física do

escoamento. Por essa razão e pelo fato de ser altamente eficiente do ponto de

vista computational, esse método tem sido intensamente investigado na literatura.

Conforme mencionado anteriormente, esse método utiliza a teoria de controle

ótimo de sistemas governados por equações diferenciais parciais (LIONS, 1971).

Pironneau (1984) apresenta essa abordagem para projeto de sistemas governa-

dos por equações elípticas. O primeiro trabalho a propor essa abordagem para

projeto aerodinâmico foi (JAMESON, 1997) onde é mostrado o papel dos métodos

computacionais no processo de projeto aeronáutico. Outro tabalho a explorar

esse tema é apresentado por Giles (1997).

A principal referência bibliográfica utilizada no desenvolvimento do presente

trabalho é apresentada por Reuther (1996), na qual é explorado o método ad-

junto aplicado à equações de Euler em malhas estruturadas. Em malhas não-

estruturadas, os trabalhos pesquisados que exploram tal método são desenvolvi-

dos por Nielsen e Anderson (1998), Anderson e Venkatakrishnan (1998), Kim et

al. (2001), Baysal e Ghayour (2001), Jameson, Sriram e Martinelli (2003).

Na linha de pesquisa do método adjunto, alguns trabalhos exploram o a

metodologia de cálculo do gradiente de sensibilidade. Dentre eles, pode-se citar

os trabalhos desenvolvidos por Jameson e Kim (2003) e Kim, Alonso e Jameson

1.3 Método Adjunto 5

(1999).

Em relação à parametrização geométrica, verificou-se pouca diversidade de

abordagens. As quais consistem essencialmente em funções de forma de Hicks-

Henne (REUTHER, 1996; KIM et al., 2001) e nos polinômios de Bernstein (KULFAN;

BUSSOLETTI, 2006). Essas abordagens utilizam-se de familias de polinômios não-

ortogonais. Tal característica figura-se como uma forma natural de filtragem de

oscilações da geometria que será discutida no capítulo 4. A diferença principal

entre as duas formas de representação geométrica está no fato de que as funções

de Hicks-Henne parametrizam as alterações geométricas aplicadas a um aerofó-

lio base enquanto a representação apresentada por Kulfan e Bussoletti (2006)

parametriza o aerofólio completo.

O desenvolvimento do código de solução do escoamento baseou-se principal-

mente nos trabalhos de Azevedo e Dourado (1991), Jameson e Mavriplis (1986),

Jameson, Schmidt e Turkel (1981). Nesses trabalhos, a abordagem da solução do

escoamento é bastante semelhante entre eles no que tange a evolução temporal,

discretização do domínio e dissipação artificial. Outras referências como (HIRSCH,

1988; TORO, 1999; FLETCHER, 2006b) foram estudadas para a implementação das

condições de contorno.

1.3 Método Adjunto

A teoria de controle ótimo de sistemas governados por equações diferenciais

parciais é apresentada de forma geral por Lions (1971). Essa teoria foi inicial-

mente aplicada a projeto aerodinâmico em regime transônico por Jameson (1988).

A idéia geral da teoria é minimizar um funcional (função de mérito) submetido

a um conjunto de restrições (equações que governam o escoamento) através de

uma função de controle (geometria do corpo).

Na explicação que se segue, será utilizada uma notação semelhante à utilizada

por Reuther (1996).

Suponha a existência de uma medida de desempenho I de uma superfície

aerodinâmica F dada por um conjunto de parâmetros de projeto. Essa medida

de desempenho pode estar relacionada com a sustentação ou o arrasto de uma

asa ou até mesmo a diferença entre a sua distribuição de pressão e uma distri-

buição desejada. Sendo assim, a variação dessa medida (δI) pode ser linearizada

e expressa como um produto interno entre o gradiente (G) de I em relação aos


parâmetros de projeto e a variação da geometria δF :

δI = 〈G, δF〉. (1.1)

Assumindo que a variação da geometria seja feita proporcional e na direção

contrária ao vetor gradiente conforme o método steepest descent :

δF = −λ G

e λ seja positivo e suficientemente pequeno, o produto interno (1.1) será sempre

negativo, implicando que a medida de mérito I diminuirá até que o gradiente seja

nulo.

δI = −λ〈G,G〉 ≤ 0 (1.2)

A forma de δF pode ser obtida através de outra metodologia como gradiente

conjugado por exemplo. Porém, prova-se que δI continua a respeitar de forma

análoga a relação (1.2).

Nos problemas de interesse nesse trabalho, a função de mérito é dada como

uma função da variáveis do escoamento (w), dos elementos da malha (X ) e da

geometria F :

I = I(w,X ,F)

onde sua variação é obtida aplicando-se a regra da cadeia.

δI =∂IT

∂wδw︸︷︷︸

(a)

+∂IT

∂X δX︸︷︷︸(b)

+∂IT

∂F δF︸︷︷︸(c)

(1.3)

O termo (a) da equação (1.3) necessita de soluções adicionais das equações

do escoamento, o que implica em custo computacional uma vez que a solução do

escoamento pode, muitas vezes, ser cara. Porém, os termos (b) e (c) podem ser

facilmente avaliados uma vez que são variações geométricas da malha e da fron-

teira respectivamente. Essas variações da malha podem ser avaliadas mediante a

geração de malhas independentes para a variação de cada um dos parâmetros, po-

rém, em casos onde a geometria é complexa e o número de parâmetros é elevado,

isso pode ser custoso computacionalmente. Uma alternativa à isso, é a utilização

de uma metodologia de perturbação da malha (REUTHER, 1996).

Para que o processo de minimização de I seja realizável do ponto de vista

físico, é necessário que sejam introduzidas restrições ao problema de otimização.


Essas restrições devem ser homogêneas de forma que a introdução delas não afete

o valor da variação da medida de mérito. No problema de otimização aerodi-

nâmica, tais restrições são definidas pelas equações que governam o escoamento.

Assumindo a solução em regime permanente, estas equações podem ser escritas

de forma compacta:

R(w,X ,F) = 0

onde:

δR =∂R

∂wδw +

∂R

∂X δX +∂R

∂F δF = 0. (1.4)

Como a equação (1.4) é homogênea, pode-se introdudizir os multiplicadores

de Lagrange e somar à expressão (1.3):

δI =∂IT

∂wδw +

∂IT

∂X δX +∂IT

∂F δF − ψT

(∂R

∂wδw +

∂R

∂X δX +∂R

∂F δF)

re-arranjando os termos, tem-se:

δI =

{∂IT

∂w− ψT ∂R

∂w

}︸︷︷︸

(d)

δw +

{∂IT

∂X − ψT ∂R

∂X}

δX +

{∂IT

∂F − ψT ∂R

∂F}

δF . (1.5)

Para que a variação da função de mérito seja independente da variação das

propriedades do escoamento, deve-se fazer com que o termo (d) seja nulo. Com

isso, tem-se a equação adjunta que deve ser resolvida para ψ:

∂IT

∂w− ψT ∂R

∂w= 0. (1.6)

O multiplicadores de Lagrange não têm significado físico no problema adjunto

a priori. Porém, pode-se interpretá-los como forças generalizadas que impoem

a realizabilidade física da solução do problema de otimização (VOLPE; SANTOS,

2008).

Pode-se então definir o gradiente da função de mérito em relação à geometria

da fronteira conforme:

GT =δI

δF =

{∂IT

∂X − ψT ∂R

∂X}

δXδF +

∂IT

∂F − ψT ∂R

∂F . (1.7)

A vantagem da expressão (1.7) é sua independência em relação à δw, o que

permite a avaliação do gradiente sem a necessidade de soluções adicionais das

equações que governam o escoamento. Com isso, é possível promover uma mu-

dança geométrica δF que diminua a medida de mérito e, com a nova geometria,

1.4 Ciclo de Projeto 8

repetir o processo até que o gradiente seja nulo ou a medida de mérito tenha

atingido o valor desejado.

1.4 Ciclo de Projeto

O processo iterativo de melhoria aerodinâmica é executado através de um

ciclo lógico de projeto conforme a figura 1.1.

Saida

Gerador

de Malha do Escoamento

Codigo

Codigo

do Adjunto

Calculo

do Gradiente

I = Id ?Sim

Nao

Gerador

de Geometria

Entrada

Figura 1.1: Ciclo de Projeto

Nesse ciclo, o argumento de entrada é um conjunto de parâmetros de projeto

que definem a geometria inicial. Com esses parâmetros, o gerador de geome-

tria gera um aerofólio que é então encaminhado para o gerador de malha. Esse

componente, discretiza o domínio de cálculo para que o código de solução das

equações que governam o escoamento forneça o campo de variáveis primitivas do

domínio fluídico. Com esse e os dados geométricos da malha, calcula-se a função

de mérito. Nesse ponto, é verificado se a função de mérito tem o valor desejado.

Caso isso seja verdade, o ciclo é interrompido. Caso contrário, as propriedades

físicas do escoamento e a malha são então encaminhadas para o código de solução

das equações adjuntas.

O campo das variáveis adjuntas juntamente com a malha e a solução do

escoamento são encaminhados ao componente que calcula o gradiente da função

de mérito e promove uma variação dos parâmetros de projeto. Esse parâmetros

são utilizados pelo gerador de geometria para se obter o novo aerofólio e o ciclo

continuar até a convergência.

Detalhes de cada componente do ciclo de projeto são apresentados nos capí-

tulos subseqüentes desse trabalho.

9

2 Modelo Matemático doEscoamento

Neste capítulo será apresentada a modelagem matemática utilizada para re-

presentar os fenômenos físicos presentes na dinâmica dos fluidos. Esta modela-

gem baseia-se nas leis de conservação de massa, de quantidade de movimento e

de energia. Além disso, uma equação de estado é utilizada para completar o sis-

tema de equações. Em seguida, apresenta-se o método dos volumes finitos para

a solução das equações de Euler, bem como as condições de contorno de corrente

não-perturbada e de parede adiabática. Esse sistema não-linear de equações hi-

perbólicas captura de forma adequada descontinuidades como ondas de choque

que são comumente presentes em aplicações práticas na indústria aeronáutica. O

esquema de discretização espacial utilizado torna necessária a introdução de um

termo de dissipação artificial para garantir a estabilidade do processo de solução.

2.1 Leis de Conservação e Equação de Estado

A modelagem dos fenômenos físicos presentes no campo do escoamento de

um dado fluido é desenvolvida a partir das leis físicas de conservação de massa,

de quantidade de movimento (segunda lei de Newton) e conservação de energia

(primeira lei da termodinâmica).

Assumindo-se que as forças de campo não estão presentes ou são negligenciá-

veis e que não haja fontes ou sorvedouros de massa, de quantidade de movimento

ou de energia, as leis de conservação dessas propriedades são expressas na forma

integral conforme (2.1a, 2.1b e 2.1c) respectivamente.

2.2 Equações de Euler 10

d

dt

∫V

ρ dV +

∫S

ρ (u · n) dS = 0 (2.1a)

d

dt

∫V

ρu dV +

∫S

ρu (u · n) dS =

∫Sf dS (2.1b)

d

dt

∫V

ρ E dV +

∫S

ρ E (u · n) dS =

∫Sf · u dS +

∫Sq · n dS (2.1c)

No conjunto de equações (2.1), S e V representam a superfície e o volume de

controle respectivamente. O vetor velocidade é representado por u, a densidade

por ρ, a energia total específica e fluxo de calor são representados por E e q

respectivamente e f é o vetor resultante das forças externas.

Conforme pode ser observado, o sistema de equações (2.1) não é determinado.

Para o seu fechamento, é necessário o uso de uma equação de estado que relacione

a energia total com as demais incógnitas. Neste trabalho faz-se a hipótese de

um gás calorificamente e termicamente perfeito e desta forma tem-se a equação

de estado na forma de (2.2) (TORO, 1999; REUTHER, 1996) e a entalpia total

específica é escrita conforme a equação (2.3).

ρ E =p

γ − 1+

ρ | u |22

(2.2)

H = E +p

ρ(2.3)

2.2 Equações de Euler

Para o escopo deste trabalho, o conjunto de equações 2.1 é simplificado

ignorando-se efeitos de transferência de calor e da viscosidade. Desta forma,

o vetor da resultante das forças externas ao volume de controle se reduz ao efeito

da pressão

f = −p n (2.4)

2.3 Metodologia de Solução 11

e o sistema (2.1) pode ser escrito na forma diferencial conforme:

∂ρ

∂t+ ∇ · ρ u = 0 (2.5a)

∂ρ u

∂t+ ∇ · (ρ uu) + ∇p = 0 (2.5b)

∂ρE

∂t+ ∇ · ρ H u = 0 (2.5c)

O sistema (2.5) é comumente chamado de sistema de equações de Euler,

apesar de somente a equação (2.5b) ser estritamente atribuída a Euler.

2.3 Metodologia de Solução

No que se segue, apresenta-se em detalhes a metodologia de solução das equa-

ções de Euler em domínios bidimensionais conforme o escopo desse trabalho.

Porém, as formulações aqui expostas podem ser extendidas para domínios tridi-

mensionais.

A metodologia de volumes finitos adotada nesse trabalho é largamente utili-

zada em simulação de escoamentos tanto internos quanto externos.

2.3.1 Método dos Volumes Finitos

As equações de Euler na forma diferencial podem ser escritas na forma conser-

vativa utilizando a separação em variáveis de estado e vetores de fluxo conforme:

∂Q

∂t+ ∇ · (Eeex + Feey) = 0 (2.6)

onde:

Q =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

ρ

ρu

ρv

e

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭

,Ee =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

ρu

ρu2 + p

ρvu

ρHu

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭

& Fe =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

ρv

ρuv

ρv2 + p

ρHv

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭

(2.7)

Integrando a equação 2.6 em um volume de controle e utilizando o teorema

de Gauss pode-se relacionar a variação temporal das variáveis conservadas com a

integral dos vetores de fluxo no contorno C do volume de controle V .

∫V

∂Q

∂tdV +

∫C(Eeex + Feey) · n dC = 0 (2.8)


A equação 2.8 é válida para um volume de controle genérico e portanto pode-se

assumir um volume pequeno o suficiente para que a variação espacial das variáveis

conservadas seja desprezível. Desta forma, a integral volumétrica se reduz a um

produto do volume Vi pela variação temporal das variáveis conservadas. Além

disso, pode-se tomar um volume de controle poligonal com k faces de forma que

a integral de contorno dos vetores de fluxo reduz-se a um somatório, conforme a

equação (2.9).

Vi∂Qi

∂t+

k∑j=1

(Ee(Qi)j ex + Fe(Qi)j ey) · �ijnj︸︷︷︸C(Qi)

= 0 (2.9)

A equação (2.9) deve ser respeitada simultaneamente em cada um dos volumes

Vi de um domínio de cálculo discretizado. Essa discretização pode ser feita de

duas formas: estruturada e não-estruturada. Em malhas estruturadas, o domínio

é divido em volumes aos quais são atribuídos índices de forma que seja possível

obter os volumes vizinhos a um dado volume apenas a partir de seu próprio

índice conforme uma matriz. Nessas malhas, usualmente chamadas de body-

fitted, utilizam-se coordenadas generalizadas e transforma-se o domínio físico em

um domínio computacional, atribuindo-se termos que corrigem a diferença de

métrica entre os dois domínios. A solução do escoamento é então conduzida no

domínio computacional que consiste essencialmente de uma matriz em que cada

elemento corresponde a um volume Vij.

Em malhas não-estruturadas, o domínio pode ser dividido de forma arbitrária,

não havendo nenhuma regra a priori que defina a vizinhança de um dado volume

Vi. Assim, faz-se necessário o uso de uma tabela que defina a conectividade entre

os elementos que formam a malha. Uma das vantagens dessa metodologia é que

as equações discretizadas ficam mais simples, uma vez que os termos de correção

da métrica são unitários, e outra vantagem é sua capacidade de lidar com geome-

trias complexas. Por outro lado, porém, com essa metodologia a implementação

torna-se mais complicada e restringe as possibilidades de utilização de algorítmos

implícitos de evolução temporal.

Neste trabalho, optou-se por malhas não-estruturadas com o domínio sendo

discretizado por triângulos de dimensão variável utilizando-se do algorítmo de

triangulação de Delaunay. Esse algorítmo é largamente utilizado na geração de

malhas e possibilita uma variação suave de volume de cada uma das células ao

longo do domínio(figura 2.1).


(a) (b)

Figura 2.1: Malha Computacional(a) Discretização do domínio; (b)Malha próxima ao aerofólio NACA0012

Os valores das variáveis conservadas em cada face de um volume Vi podem

ser obtidos fazendo-se a média aritmética entre os valores dos dois volumes que

compartilham cada uma das faces (equação 2.10). Esse método, conforme apre-

sentado por Jameson e Mavriplis (1986), corresponde a um esquema numérico

de diferenças finitas centrado de segunda ordem de precisão espacial, em malhas

sem variações bruscas de volume das células.

Vij =Vi + Vj

2(2.10)

2.3.1.1 Cálculo de derivadas espaciais

O cálculo de derivadas espaciais de uma propriedade no contexto de malhas

não-estruturadas utiliza-se do teorema de Gauss. Com isso, deseja-se relacionar a

variação espacial de uma propriedade em um volume com o somatório dos fluxos

da mesma propriedade através das faces desse volume, conforme:

∂V

∂xk

∣∣∣i=

m∑j=1

Vij �ijnjk (2.11)

Onde m é o número de faces do volume Vi, Vij é o valor da propriedade na

face compartilhada pelo volume i e seu vizinho j (2.10), �ij é a área dessa face

e njk é a componente da normal desta face na direção de xk. Pelo fato de j

ser apenas um índice local variando de 1 a m, é necessário que se utilize uma

tabela de conectividade para relacionar esse índice com o índice global referente

à posição do vizinho (j) na listagem geral da malha (figura 2.2).


x

1

2

3i

j=2

j=1

j=3

y

Figura 2.2: Esquema de malha triangular

Além disso, a coerência no sentido das normais das faces de cada elemento é

de vital importância para o cálculo correto das derivadas espaciais. Em geral, os

elementos são positivamente orientados e, desta forma, o vetor normal de cada

uma das faces aponta para fora do volume circundado por elas.

2.3.2 Dissipação Artificial

O método apresentado em 2.3.1 apresenta apenas um termo de variação tem-

poral e um termo convectivo (2.9) de modo que a única forma de dissipação é

devido ao erro de truncamento durante a solução numérica. Esse nível de dis-

sipação é muitas vezes insuficiente para atenuar determinados comprimentos de

onda presentes em regiões com gradientes de pressão elevados como em ondas

de choque e pontos de estagnação. A dissipação, tanto numérica quanto física,

filtra de forma eficiente os comprimentos de onda menores e tem pouco efeito em

comprimentos de onda maiores conforme mostrado por Fletcher (2006b).

Esses comprimentos de onda menores são gerados devido ao cascateamento de

freqüência causado pelas não-linearidades das equações de Euler. Os comprimen-

tos de onda menores causam erros de instabilidade numérica e aliasing e estão

associados a freqüências acima da freqüência de corte definida pela dimensão dos

elementos da malha.

A dissipação artificial tem o objetivo de dissipar a energia armazenada nas

freqüências acima da freqüência de corte (figura 2.3), minimizando o cascate-

amento e melhorando a estabilidade do cálculo. Além disso, deseja-se que a

dissipação aja nas regiões em que há gradientes de pressão elevados e seja redu-

zida em todo o resto do domínio apenas para atenuar a instabilidade inerente a


Figura 2.3: Esquema do espectro de energia

esquemas centrados. A equação 2.9 é então modificada para incluir o termo de

dissipação artificial D(Q) (2.12).

Vi∂Qi

∂t+ C(Qi) − D(Qi) = 0 (2.12)

Uma forma de comprovada eficiência do termo de dissipação artificial é apre-

sentada por Jameson, Schmidt e Turkel (1981) e foi adaptada para malhas não-

estruturadas:

D(Qi) = d(2)(Qi) − d(4)(Qi) (2.13)

Onde o termo d(2)(Q) é chamado de operador Laplaciano não-dividido e

d(4)(Q) de operador bi-harmônico. Estes são escrtios da seguinte forma:

d(2)(Qi) =∑

k

[(Ai + Ak)

2ε(2)ik (Qk − Qi)

](2.14)

d(4)(Qi) =∑

k

[(Ai + Ak)

2ε(4)ik (∇2Qk −∇2Qi)

](2.15)

O operador ∇2 na equação (2.15) utiliza a notação geralmente atribuída ao

Laplaciano, porém, aqui é apenas uma notação para:

∇2Qi ≡∑

k

(Qk − Qi) (2.16)


Os coeficientes ε dos operadores bi-harmônico e Laplaciano não-dividido são

calculados da seguinte forma:

ε(2)ik = K(2) max(νi, νk) (2.17)

ε(4)ik = max[0, (K(4) − ε

(2)ik )] (2.18)

Onde ν em (2.17) funciona como um sensor de gradiente de pressão calculado

conforme:

νi =

∑k

|pk − pi|∑k

(pk + pi)(2.19)

Na equação (2.14), o termo Ai corresponde ao maior autovalor da matriz

Jacobiana (item 2.4.2) e é calculado conforme:

Ai =∑

k

[| qik · Sik| + aik| Sik|

](2.20)

Onde qik é o vetor velocidade na face de superfície S compartilhada pelo elemento

i e seu vizinho k.

qik = uikex + vikey (2.21)

Os coeficientes K utilizados nesse trabalho correspondem aos valores utiliza-

dos por Jameson, Schmidt e Turkel (1981):

K(2) =1

4; K(4) =

3

256

Em regiões de gradiente de pressão alto, o valor de ε(2)ik é maior que em outras

regiões do domínio e, dessa forma, o operador Laplaciano não-dividido aje na

dissipação da energia presente em comprimentos de onda inferiores aos que a

malha é capaz capturar. Consequentemente, o valor absoluto de ε(4)ik é baixo ou

nulo e, portanto, o operador bi-harmônico tem pouco efeito na dissipação.

De forma contrária, em regiões de variações suaves de pressão, νi apresenta

valores absolutos baixos diminuindo o efeito do operador Laplaciano não-dividido

na dissipação e o operador bi-harmônico tem seu valor controlado e de quarta


ordem no espaço, ou seja, de valor absoluto inferior à precisão do esquema de

diferenciação no espaço (equação (2.10)). Assim não há dissipação excessiva na

solução numérica do escoamento.

2.3.3 Passo Temporal

A equação (2.12) está na forma semi-discreta, uma vez que o termo de variação

temporal das variáveis conservadas está na forma contínua. Essa equação deve

ser aplicada em todo o domínio para se obter a taxa de variação de Q em cada

volume Vi. Com isso, tem-se um sistema de equações diferenciais ordinárias de

primeira ordem que se deseja solucionar para a condição de regime permanente.

Equações diferenciais ordinárias podem ser resolvidas por uma vasta gama

de métodos de discretização temporal, porém, optou-se por um Runge-Kutta de

cinco estágios semelhante ao apresentado por Reuther (1996). Esse tipo de mé-

todo tem a vantagem de acompanhar a evolução temporal da solução de forma

consistente com a física porque é possível utilizar-se um passo de tempo Δt cons-

tante para todas as células e executar a integração temporal de forma explícita.

No contexto de malhas estruturadas, a implementação de algorítmos implícitos de

evolução temporal é simplificada pelo fato das matrizes de coeficentes apresenta-

rem banda estreita, porém, neste trabalho, optou-se por malhas não-estruturadas

onde as matrizes são geralmente esparsas e implicam em uma dificuldade adicional

de implementação de algorítmos implícitos.

Os esquemas de Runge-Kutta de cinco estágios permitem até quinta ordem

de precisão temporal, podendo-se optar por maior estabilidade ou maior precisão

mediante a escolha dos αk. Neste trabalho, optou-se por um conjunto de valores

de αk que garante a estabilidade para valores de CFL (Courant-Friedrich-Lewey)

até 2√

2 (JAMESON; SCHMIDT; TURKEL, 1981) e tem precisão de segunda ordem.⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

Qi(0) = Qi

(n)

Qi(1) = Qi

(0) − α1ΔtiVi

[C(Qi(0)) − D(Qi

(0))]

Qi(2) = Qi

(0) − α2ΔtiVi

[C(Qi(1)) − D(Qi

(1))]

Qi(k) = Qi

(0) − αkΔtiVi

[C(Qi(k−1)) − D(Qi

(1))] k = 3, 4, 5

Qi(n+1) = Qi

(5)

(2.22)

α1 =1

4, α2 =

1

6, α3 =

3

8, α4 =

1

2, α5 = 1

Aceleração de Convergência

Conforme pode ser visto no algoritmo (2.22), a evolução temporal de cada uma


das células pode ser feita com passos de tempo distintos de forma a acelerar

a convergência, uma vez que apenas a solução de regime permanente interessa.

Isso pode ser feito fixando um valor de CFL para todas as células e utilizando a

expressão (2.23) para calcular o passo de tempo para cada um dos volumes.

Δti =ΔliCFL

ci

; ci = (|q| + a)i (2.23)

Onde ci corresponde à maior velocidade característica (item 2.4.2), a é a veloci-

dade do som no volume Vi e q a velocidade local do escoamento. É importante

ressaltar que, diferente de malhas estruturadas, Δli não corresponde ao espaça-

mento da malha em uma determinada direção e sim à menor aresta da célula

i.

Adimensionalização

Os estudos do escopo desse trabalho estão concentrados no chamado regime

transônico, onde a faixa de velocidades presentes no escoamento abrange desde

zero (ponto de estagnação) até velocidades ligeiramente superiores à velocidade

do som. Porém, as variações de grandezas como a pressão e a temperatura apre-

sentam ordens de grandeza muito diferentes das ordens de grandeza das variações

de variáveis como a velocidade. Essas diferenças apresentam um problema cha-

mado de mal condicionamento numérico que reflete-se na perda de precisão ao

computar os dados referentes a grandezas de valores muito distintos.

Para solucionar isso, adotou-se uma adimensionalização que faça com que

os valores das variáveis primitivas apresentem valores próximos da unidade. Tal

adimensionalização é definida por:

u∗ = uc∞

v∗ = vc∞

p∗ = pρ∞c2∞

T ∗ = TT∞

ρ∗ = ρρ∞

c∗ = cc∞

e∗ = eρ∞c2∞

(2.24)

Onde as variáveis adimensionais são denotadas pelo sobrescrito *.

2.4 Condições de Contorno 19

2.4 Condições de Contorno

A classe de problemas de aerodinâmica externa geralmente apresenta três ti-

pos de condições de contorno: superfície sólida, simetria e corrente não-perturbada.

No contexto das equações de Euler, a formulação para superfície sólida adiabá-

tica e uma superfície de simetria coincidem, uma vez que não há viscosidade.

Neste trabalho, serão tratadas apenas as formulações de superfície adiabática e

de corrente não-perturbada.

2.4.1 Superfície Adiabática

A modelagem matemática de superfície sólida adiabática em escoamentos sem

viscosidade é feita impondo-se que o vetor velocidade seja tangente à superfície e

os gradientes de pressão e de temperatura sejam nulos na direção normal à esta.

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

u · n = 0∂p

∂η= 0

∂T

∂η= 0

(2.25)

Dessa forma, é possível perceber que a formulação de uma superfície sólida

adiabática em escoamentos modelados pelas equações de Euler é o mesmo que

impor que o campo seja localmente simétrico, uma vez que nenhuma informação

atravessa a superfície.

As condições (2.25) devem ser discretizadas e tratadas em termos das variá-

veis conservadas Qn. Utilizando-se a expressão 2.10 e considerando uma célula

fictícia (subscrito g) que compartilha a face de contorno com a célula do domínio

(subscrito c) conforme a figura 2.4, pode-se mostrar que⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

Q1g = Q1c

Q2g = Q2c tx − Q2c nx

Q3g = Q3c ty − Q3c ny

Q4g = Q4c

(2.26)

é equivalente a (2.25).

A utilização de células fictícias (MALISKA, 2004) é uma prática bastante co-

mum na implementação de condições de contorno por apresentar a vantagem

de não exigir nenhum tratamento especial das células de fronteira no cálculo do


Figura 2.4: Condição de contorno de superfície com deslizamento

termos convectivo e dissipativo. Isso ocore porque os volumes fictícios são endere-

çados na tabela de conectividade e, portanto, são tratados como células vizinhas

às células do domínio. Porém, os valores das variáveis nesses volumes fictícios

não necessariamente são corretos do ponto de vista físico, e sim apenas valores

numéricos que garantem que as propriedades na face respeitem as condições de

contorno físicas.

2.4.2 Corrente Não–Perturbada

O tratamento da condição de contorno de corrente não-perturbada deve res-

peitar as direções de propagação de propriedades físicas de forma a evitar sobre-

especificação ou sub-especificação do problema. As direções de propagação são

definidas pelas variáveis características.

Os casos apresentados nesse trabalho restringem-se a casos de aerodinâmica

externa onde a fronteira externa do domínio está distante do corpo imerso. Desta

forma, é razoável tratar o escoamento próximo dessa fronteira como unidimensi-

onal conforme Hirsch (1988). Tomando-se a direção normal para a resolução das

equações de Euler e mantendo a velocidade tangencial invariante tem-se:

∂V

∂t+ A

∂V

∂η= 0 (2.27)

onde V é o vetor de variáveis primitivas e A é a matriz Jacobiana para estas

variáveis.

V =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

ρ

qn

p

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭ ; A =

⎡⎢⎢⎣

qn ρ 0

0 qn1ρ

0 ρc2 qn

⎤⎥⎥⎦ (2.28)

As equações características são obtidas diagonalizando a equação (2.27). Para


isso calcula-se o autovalores (λ) e autovetores da matriz A.

λ =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

qn

qn + c

qn − c

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭ ; L =

⎡⎢⎢⎣

1 ρ2c

− ρ2c

0 12

12

0 ρc2

−ρc2

⎤⎥⎥⎦ ; L−1 =

⎡⎢⎢⎣

1 0 − 1c2

0 1 1ρc

0 1 − 1ρc

⎤⎥⎥⎦ (2.29)

Em (2.29) L é a matriz dos autovetores pela esquerda da matriz A.

L−1∂V

∂t+ (

Λ︷︸︸︷L−1AL) L−1∂V

∂η= 0 (2.30)

Λ =

⎡⎢⎢⎣

qn 0 0

0 qn + c 0

0 0 qn − c

⎤⎥⎥⎦ (2.31)

Diagonalizando o sistema (2.27) conforme (2.30) definem-se as variáveis ca-

racterísticas conforme (2.32). Onde δW corresponde à primeira variação de V

multiplicada por L−1. A variável W muitas vezes não é possível de ser definida

porque a equação (2.27) é não-linear e os termos da matriz L−1 não são constan-

tes.

δW = L−1δV (2.32)

δW1 = δρ − 1

c2δp (2.33a)

δW2 = δqn +1

ρcδp (2.33b)

δW3 = δqn − 1

ρcδp (2.33c)

As equações (2.30) a (2.33) constituem o chamado problema de Riemann.

Se as variações δWn forem nulas, W1, W2 e W3 são chamados de invariantes de

Riemann (CHUNG, 2002). Mostra-se que δW1, em particular, é proporcional à

variação da entropia (HIRSCH, 1988). Sendo assim, a hipótese dos invariantes

de Riemann implica em assumir que o processo é isentrópico ao longo da curva

característica qn, que corresponde a uma linha de corrente no caso unidimensional.

Na região da fronteira externa, a hipótese de invariância de W é válida uma

vez que, se esta fronteira estiver suficientemente distante do corpo, é razoável


assumir que não há descontínuidades que produziriam uma variação de entropia.

Utilizando essa hipótese, pode-se integrar as relações (2.33) para um gás perfeito

e assim obter os invariantes de Riemann (HIRSCH, 1988):

R0 =p

ργ≡ W1 (2.34a)

R+ = qn +2c

γ − 1≡ W2 (2.34b)

R− = qn − 2c

γ − 1≡ W3 (2.34c)

onde R0 está relacionado com o autovalor (qn), R+ com o autovalor (qn +c) e R−

com (qn−c). As deduções apresentadas nesse trabalho são convencionadas com os

volumes positivamente orientados e, portanto, os versores normais apontam para

fora de forma que, de acordo com o sinal da velocidade normal qn, seja definido

se a fronteira é uma entrada ou uma saída de massa.

Em regime subsônico, os invariantes R+ e R− sempre seguirão o caminho do

domínio para a fronteira e do infinito para a fronteira respectivamente. Isso ocorre

porque os autovalores qn + c e qn − c não mudam de sinal independentemente do

sinal de qn. Assim pode-se calcular a velocidade normal à fronteira de acordo

com a expressão (2.35) e com isso decidir entre a formulação de entrada ou saída

de massa.

qnf=

R+d+ R−∞

2(2.35)

2.4.2.1 Regime Subsônico

Entrada de Massa

A condição de entrada de massa corresponde à velocidade normal à face ne-

gativa. Portanto, na condição subsônica, a informação é transportada para a

fronteira de acordo com a figura 2.5.

Utilizando a relações (2.34), é possível definir o estado termodinâmico da

fronteira conforme

R0f= R0∞ ρf =

(ργ∞c2

f

γp∞

)R+f

= R+d⇒ qnf

=R+d

+ R−∞

2

R−f= R−∞ c2

f = (γ − 1)R+d

−R−∞

4

(2.36)

Com a condição de que a velocidade tangencial se mantém invariante pode-se


Figura 2.5: Condição de contorno de entrada subsônica

definir o estado hidrodinâmico de acordo com relação:

uf = u∞ + (qnf− qn∞)nx

vf = v∞ + (qnf− qn∞)ny

(2.37)

Com os estados termodinâmico e hidrodinâmico da fronteira definidos, calculam-

se as variáveis conservadas na fronteira e utiliza-se a relação (2.10) para definir

essas variáveis na célula fictícia de forma análoga ao apresentado na seção 2.4.1.

Saída de Massa

A condição de saída de massa corresponde à velocidade normal à face positiva.

Portanto, na condição subsônica, a informação é transportada para a fronteira de

acordo com a figura 2.6. Os estados termodinâmico e hidrodinâmico na fronteira

Figura 2.6: Condição de contorno de saída subsônica


são definidos de forma análoga ao apresentado para a entrada de massa. Porém,

na condição de saída de massa, a característica W1 sai do domínio e as relações

que definem esses estados tomam a forma de

R0f= R0d

ρf =

(ργ

dc2f

γpd

)R+f

= R+d⇒ qnf

=R+d

+ R−∞

2

R−f= R−∞ c2

f = (γ − 1)R+d

−R−∞

4

(2.38)

com a velocidade sendo dada por:

uf = ud + (qnf− qnd

)nx

vf = vd + (qnf− qnd

)ny

(2.39)

2.4.2.2 Regime Supersônico

Em regime supersônico, o número de Mach é superior a 1 e as características

da equação (2.27) estão todas no mesmo sentido, ou seja, negativo para entrada

e positivo para saída de massa.

Entrada de Massa

Os invariantes de Riemann na condição de entrada supersônica devem ser cal-

culados na fronteira de acordo com:

R0f= R0∞ ρf =

(ργ∞c2

f

γp∞

)R+f

= R+∞ ⇒ qnf=

R+∞ + R−∞

2

R−f= R−∞ c2

f = (γ − 1)R+∞ −R−∞

4

(2.40)

Pode ser mostrado que as relações (2.40), juntamente com a hipótese de

invariância da velocidade tangencial, correspondem a fixar os valores das variáveis

de estado iguais aos valores prescritos para a corrente não-perturbada.

Saída de Massa

Na condição de saída supersônica, todas as características estão saindo do

domínio. Desta forma, os invariantes de Riemann na fronteira são extrapolados

2.5 Validação de Resultados 25

do domínio.

R0f= R0d

ρf =

(ργ

dc2f

γpd

)R+f

= R+d⇒ qnf

=R+d

+ R−d

2

R−f= R−d

c2f = (γ − 1)

R+d−R−d

4

(2.41)

De forma análoga à entrada supersônica, as relações (2.41) correspondem a

extrapolar todas as variáveis de estado do domínio para a fronteira.

2.5 Validação de Resultados

A validação do programa de solução das equações de Euler (CellJam2D) foi

feita por comparação com os resultados obtidos pelo já consagrado e validado

programa CFD++, desenvolvido pela Metacomp Technologies. A comparação

entre os dois programas foi realizada em oito casos distintos (tabela 2.1), para

cada um deles utilizou-se a mesma malha com condições de contorno do mesmo

tipo.

Tabela 2.1: Casos de validação

Caso Geometria M∞ AOA C∗p

1 NACA0012 0.8 0◦ −0.434642 NACA0012 0.75 1◦ −0.591213 RAE2822 0.8 0◦ −0.434644 RAE2822 0.75 1◦ −0.591215 NACA0012 0.3 0◦ −6.94736 RAE2822 0.3 0◦ −6.94737 S1223 0.1 8◦ −66.8598 Diamante 1.5 0◦ 0.59641

A comparação do coeficiente de pressão sobre o aerofólio figura-se como uma

forma objetiva e efetiva de validar o código em questão contra o padrão estabe-

lecido. O coeficiente de pressão é calculado da seguinte forma:

Cp =2

γM2∞

(p

p∞− 1

)(2.42)

e o coeficiente de pressão crítico conforme:

C∗p =

2

γM2∞

[(2Ψ∞γ + 1

) γγ−1

− 1

]onde Ψ∞ = 1 +

γ − 1

2M2

∞. (2.43)

Os casos 1–4 estão no chamado regime transônico e foram escolhidos para


avaliar a adequação do código para o tratamento de problemas em condições de

número de Mach muito comuns na indústria aeronáutica. Nessas condições, é

muito comum a ocorrência de escoamento supersônico, o que pode ser verificado

mediante a comparação entre o coeficiente de pressão local e o coeficiente de pres-

são crítico (2.43), para o qual M = 1.0 (ANDERSON, 1985) que indica a ocorrência

de pontos com condição sônica sobre a superfície aerodinâmica e, portanto, a pos-

sível existência de regiões supersônicas no domínio. Além disso, avaliou-se o nível

de dissipação presente no código, uma vez que, quando há dissipação excessiva no

método, a onda de choque fica mal caracterizada ocorrendo o fenômeno chamado

de shock smearing. Conforme pode ser visto nas figuras 2.7 a 2.10, esse fenômeno

não ocorreu mostrando que a dissipação está bem controlada no código.

Figura 2.7: Caso 1– Perfil NACA0012 em regime transônico (M∞ = 0.8,AOA = 0◦)


Figura 2.8: Caso 2– Perfil NACA0012 em regime transônico (M∞ = 0.75,AOA = 1◦)

Figura 2.9: Caso 3– Perfil RAE2822 em regime transônico (M∞ = 0.8,AOA = 0◦)

Os casos 5–7 tiveram o objetivo de testar a capacidade do código de lidar com

escoamentos em velocidades mais baixas. Esses casos apresentam uma dificuldade

devido ao mal condicionamento numérico, uma vez que a adimensionalização

(seção 2.3.3) é adequada para velocidades superiores. Nas figuras 2.11 a 2.13

observa-se que os resultados obtidos pelos dois programas são muito próximos

entre si.


Figura 2.10: Caso 4– Perfil RAE2822 em regime transônico (M∞ = 0.75,AOA = 1◦)

Figura 2.11: Caso 5– Perfil NACA0012 em regime subsônico (M∞ = 0.3,AOA = 0◦)

A figura 2.14 mostra a comparação dos resultados de coeficiente de pressão

(2.42) obtidos pelo código desenvolvido para este trabalho e o CFD++ para o caso

1. Em ambos resultados pode-se perceber uma oscilação no patamar de pressão

a montante de máxima espessura do perfil, onde ocorre o processo expansão. O

estudo da causa dessa oscilação está fora do escopo desse trabalho.


Figura 2.12: Caso 6– Perfil RAE2822 em regime subsônico (M∞ = 0.3,AOA = 0◦)

Embora os testes de validação apresentados não esgotem todas as possibilida-

des de aplicações, eles ilustram o procedimento de validação do código e mostram

que os resultados foram satisfatórios quando comparados com o código padrão

da Metacomp Technologies.


Figura 2.13: Caso 7– Perfil Selig1223 em regime subsônico (M∞ = 0.1,AOA = 8◦)

Figura 2.14: Caso 8– Perfil diamante em regime supersônico (M∞ = 1.5,AOA = 0◦)

31

3 Método Adjunto

A idéia básica da aplicação de métodos de controle ótimo para projetar uma

superfície aerodinâmica consiste em definir uma medida de qualidade dessa super-

fície e sistematicamente promover modificações geométricas de forma a melhorar

o desempenho aerodinâmico da superfície. Porém, para que as modificações pro-

duzam resultados realizáveis, utiliza-se o modelo da planta de controle, no caso

as equações que governam o escoamento, como restrição ao sistema de controle,

nesse trabalho tal modelo é formado pelas equações de Euler.

O processo de otimização aerodinâmica de uma superfície pode levar a re-

sultados que não são únicos. Isso ocorre porque a superfície de otimização é

desconhecida e possivelmente irregular, uma vez que as equações que regem o

desempenho da superfície aerodinâmica não são lineares. Sendo assim, pode-se

chegar a soluções que representem apenas mínimos locais que em princípio res-

peitam as premissas assumidas para o projeto. De qualquer modo, ainda que

seja um mínimo local, essa solução representa uma melhoria à medida de mé-

rito, o que garante, ainda que parcialmente a consecução dos objetivos de projeto

(REUTHER, 1996).

Outro aspecto importante da otimização aerodinâmica está relacionado com a

escolha da função de mérito. Essa escolha muitas vezes não caracteriza o problema

como bem posto. A exemplo disso, pode-se citar o problema de minimização do

arrasto não-viscoso de um aerofólio. Esse arrasto corresponde ao chamado arrasto

de onda devido à ocorrência da escoamento supersônico sobre a superfície. Nesse

problema, bastante comum na indústria aeronáutica, é altamente provável que

haja mais de uma geometria que apresente arrasto não-viscoso mínimo ou nulo,

de forma que seria necessária a experiência do projetista para selecionar outro

critério para diferenciar as alternativas de mínimo arrasto.

Nesse capítulo será apresentada a teoria de controle aplicada às equações de

Euler. Essas equações serão escritas em coordenadas generalizadas de forma a

facilitar a manipulação algébrica (REUTHER, 1996) e obtenção da equação ad-

junta, bem como suas condições de contorno. O resultado final é independente

3.1 Equações de Euler em Coordenadas Generalizadas 32

do sistema de coordenadas e sendo assim, adota-se ao final da dedução o sistema

cartesiano para implementação do método adjunto em malhas não-estruturadas

de forma análoga ao apresentado no capítulo 2.

O método adjunto admite um escolha arbitrária da medida de mérito, o ca-

racterizando como uma alternativa atraente para problemas de otimização ae-

rodinâmica. A medida de mérito aqui adotada representa a diferença entre a

pressão atuante no aerofólio e a pressão desejada para o resultado final. Esse tipo

de medida de desempenho caracteriza o chamado Projeto Inverso Aerodinâmico e

possibilita a validação da metodologia mediante a utilização de uma distribuição

de pressão de uma geometria conhecida como a distribuição desejada e uma outra

geometria como ponto de partida. Essa metodologia é comumente utilizada na

validação de problemas inversos, uma vez que há como garantir a realizabilidade

da função objetivo.

Os estudos aqui apresentados se restringem à apenas a função de mérito para

projeto inverso devido a limitações de tempo para realização do trabalho.

3.1 Equações de Euler em Coordenadas Genera-lizadas

Nessa seção, são apresentadas as equações de Euler em coordenadas genera-

lizadas. Conforme descrito anteriormente, essa opção de sistema de coordenadas

facilita a aplicação da teoria de controle e a dedução das expressões das condições

de contorno do problema adjunto.

No capítulo 2, as equações de Euler foram descritas na forma diferencial em

termos de variáveis de estado e vetores de fluxo conforme a equação (3.1). Da

mesma forma que anteriormente, a equação de estado para gás perfeito é utilizada

para completar o sistema.

∂Q

∂t+

∂Ee

∂x+

∂Fe

∂y= 0 (3.1)

Para fins de clareza, adota-se um domínio D onde a fronteira que define o

contorno do corpo é denotada por C e a fronteira distante, onde admite-se que

a corrente é não-perturbada, por B (seguindo uma nomenclatura semelhante à

utilizada por Reuther (1996)).

A matrix de mudança de coordenadas entre o sistema cartesiano (x, y) e o

3.1 Equações de Euler em Coordenadas Generalizadas 33

sistema generalizado (ξ, η) localmente ortogonal é escrita conforme

K =

⎡⎢⎢⎣

∂x

∂ξ

∂x

∂η

∂y

∂ξ

∂y

∂η

⎤⎥⎥⎦ (3.2)

Esse sistema adotado corresponde ao sistema de coordenadas computacional

utilizado em malhas estruturadas do tipo body-fitted discutido na seção 2.3 e

ilustrado na figura 3.1 onde se representa a superfície do corpo e o sistema de

coordenadas no qual um dos eixos é tangente e o outro ortogonal à superfície.

y

x

ξ

η

Figura 3.1: Sistema de coordenadas (ξ, η).

n

n

n n

Parede Solidax

ycorte

η

ξ

1

10

Figura 3.2: Transformação de coordenadas.

O Jacobiano dessa transformação é calculado conforme:

J = det(K) =∂x

∂ξ

∂y

∂η− ∂x

∂η

∂y

∂ξ(3.3)

As componentes contravariantes da velocidade são calculadas fazendo-se a

transformação de coordenadas do vetor velocidade no sistema cartesiano (u, v)

(REUTHER, 1996).

[U

V

]= K−1

[u

v

]=

1

J

⎡⎢⎢⎣

∂y

∂η−∂x

∂η

−∂y

∂ξ

∂x

∂ξ

⎤⎥⎥⎦[

u

v

](3.4)

3.2 Medida de Mérito para Projeto Inverso 34

Com isso, reescreve-se a equação (3.1) em coordenadas generalizadas:

∂T

∂t+

∂E

∂ξ+

∂F

∂η= 0 (3.5)

Onde as variáveis de estado T e os vetores de fluxo E e F são transformações de

Q, Ee e Fe escritas conforme (3.6).

T = J

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

ρ

ρu

ρv

e

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ,E = J

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

ρU

ρUu + ∂ξ∂x

p

ρUv + ∂ξ∂y

p

ρUH

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ,F = J

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

ρV

ρV u + ∂η∂x

p

ρV v + ∂η∂y

p

ρV H

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦ (3.6)

Como ilustrado nas figuras 3.1 e 3.2, o sistema de coordenadas adotado é tal

que a superfície do aerofólio e a fronteira externa são linhas de η constante e, por

essa razão, a direção normal é paralela à η. Com isso, a velocidade na direção η

é nula. Ou seja, V é nulo no contorno C, onde η = 0 e nη = −1.

3.2 Medida de Mérito para Projeto Inverso

A medida de mérito adotada nesse trabalho é definida pela diferença entre

a distribuição de pressão na superfície do aerofólio e a distribuição de pressão

desejada. Essa medida pode ser expressa matematicamente por:

I =1

2

∮C(p − pt)

2 ds =1

2

∮C(p − pt)

2

(ds

dξ

)dξ (3.7)

Onde ds percorre a superfície do aerofólio, p e pt são as distribuições de pressão

atual e a desejada respectivamente.

O valor dessa função será nulo caso a distribuição de pressão seja idêntica a

distribuição desejada. Porém, em situações práticas, essa medida não necessari-

amente será nula ao final do processo de minimização de I. Isso ocorre porque, a

priori, não há nenhuma garantia que a distribuição desejada (pt) seja possível do

ponto de vista físico. Sendo assim, o processo de melhoria aerodinâmica resultará

na geometria que, sob as mesmas condições de corrente não-perturbada, produz

a distribuição de pressão que mais se aproxima da distribuição desejada.

Além disso, não há nenhuma restrição física que evite que geometrias distintas

tenham valores de I iguais e que representem mínimos locais e, portanto, são

resultados viáveis do ponto de vista do problema de otimização. Desta forma, a

3.3 Variação das Equações de Euler 35

ferramenta de projeto inverso aerodinâmico deve ser utilizada em conjunto com

o discernimento e a experiência do projetista.

Seguindo a metodologia de controle ótimo descrita no capítulo 1, calcula-se

a variação da função de mérito:

δI =

∮C(p − pt)δp

(ds

dξ

)dξ +

1

2

∮C(p − pt)

2δ

(ds

dξ

)dξ (3.8)

A equação (3.8) apresenta duas variações, δp e δ(

dsdξ

). O primeiro depende da

variação das equações que modelam o escoamento, uma vez que p está relacionado

às variáveis de estado através da equação de estado. O termo δ(

dsdξ

)corresponde

à variação da métrica devido à mudança da geometria da fronteira C.

3.3 Variação das Equações de Euler

Dando prosseguimento à metodologia apresentada na introdução desse traba-

lho, calcula-se a variação das equações que modelam a dinâmica dos fluidos. Para

simplificar as operações algébricas, definem-se as seguintes matrizes Jacobianas:

A1 =∂Ee

∂Q, A2 =

∂Fe

∂Q, Ci =

∑j

JK−1ij Aj

Assumindo-se a solução de regime permanente da equação (3.5), o termo de

variação temporal anula-se e, portanto, a primeira variação das equações de Euler

é escrita conforme:

∂

∂ξ(δE) +

∂

∂η(δF) = 0 (3.9)

Onde as variações dos vetores de fluxo são expressas em função das matrizes

Jacobianas e da variação da métrica:

δE = C1δQ + δ

(J

∂ξ

∂x

)Ee + δ

(J

∂ξ

∂y

)Fe

δF = C2δQ + δ

(J

∂η

∂x

)Ee + δ

(J

∂η

∂y

)Fe

(3.10)

onde C1 = ∂E∂Q

e C2 = ∂F∂Q

.

Introduzindo os multiplicadores de Lagrange (ψ) e integrando as equações de

Euler em todo o domínio tem-se:∫D

ψT

(∂(δE)

∂ξ+

∂(δF )

∂η

)dξdη = 0 (3.11)

3.3 Variação das Equações de Euler 36

Os multiplicadores de Lagrange são chamados de variáveis adjuntas. Assumindo

que essas variáveis adjuntas são diferenciáveis em primeira ordem, a equação (3.11)

pode ser integrada por partes. Transformando a integral em D em integrais no

contorno definido por B e C conforme:

∫D

(∂ψT

∂ξδE +

∂ψT

∂ηδF

)dξdη =

∮B

(nξψ

T δE + nηψT δF

)dξ

+

∮C

(nξψ

T δE + nηψT δF

)dξ

(3.12)

Subtraindo os termos em B e C da equação (3.12) e somando o resultado à ex-

pressão (3.8) conforme o procedimento descrito na introdução, tem-se a variação

de I aumentada:

δI =

∮C(p − pt)δp

(ds

dξ

)dξ +

1

2

∮C(p − pt)

2δ

(ds

dξ

)dξ

+

∫D

(∂ψT

∂ξδE +

∂ψT

∂ηδF

)dξdη

−∮B

(nξψ

T δE + nηψT δF

)dξ −

∮C

(nξψ

T δE + nηψT δF

)dξ

(3.13)

Vale ressaltar que a equação (3.13) equivale à expressão (3.8), uma vez que

os termos adicionais são nulos quando somados. Porém, a expressão da variação

de I aumentada implica que todos os valores de δI satisfazem as equações que

governam o escoamento e, portanto, são realizáveis a priori.

A fim de tornar mais claras as explicações subseqüentes, agrupam-se os termos

da equação (3.13) da seguinte forma:

δI =1

2

∮C(p − pt)

2δ

(ds

dξ

)dξ︸︷︷︸

(a)

+

∮C

[(p − pt)δp

(ds

dξ

)− nξψ

T δE − nηψT δF

]dξ︸︷︷︸

(b)

+

∫D

(∂ψT

∂ξδE +

∂ψT

∂ηδF

)dξdη︸︷︷︸

(c)

−∮B

(nξψ

T δE + nηψT δF

)dξ︸︷︷︸

(d)

(3.14)

Na equação (3.14) podemos vizualizar uma síntese do método adjunto. Por

um lado ela impõe a realizabilidade de todas a variações do escoamento (δP , δE,

3.4 Equação Adjunta 37

δF ) a priori. Por outro lado, podemos construir o problema adjunto de modo que

todos os termos que involvem tais variações físicas anulem-se. Restando apenas

termos que involvem variações da geometria para o cálculo do gradiente.

3.4 Equação Adjunta

O termo (c) da equação (3.14) pode ser expandido utilizando as relações

(3.10) e agrupado conforme:∫D

(∂ψT

∂ξδE +

∂ψT

∂ηδF

)dξdη =

∫D

(∂ψT

∂ξC1 +

∂ψT

∂ηC2

)︸︷︷︸

(1)

δQ

+

[δ

(J

∂ξ

∂x

)∂ψT

∂ξ+ δ

(J

∂η

∂x

)∂ψT

∂η

]Ee︸︷︷︸

(2)

+

[δ

(J

∂ξ

∂y

)∂ψT

∂ξ+ δ

(J

∂η

∂y

)∂ψT

∂η

]Fe︸︷︷︸

(3)

dξdη

(3.15)

O termo (1) da equação (3.15) deve ser nulo para que haja independência do

termo (c) da equação (3.14) em relação a δQ. Para isso, postula-se então a

seguinte equação:∂ψ

∂t− CT

1

∂ψ

∂ξ− CT

2

∂ψ

∂η= 0 (3.16)

onde os sinais negativos fazem com que as condições de contorno do problema

dual sejam complementares às do escoamento, problema primal. Essa mudança

de sinal não afeta o problema em questão porque, em regime permanente, o termo

de variação no tempo desaparece e o resultado implica que (1) seja nulo.

A equação (3.16) é chamada de equação adjunta completa. Sua solução em

regime permanente, juntamente com a aplicação das condições de contorno do

problema adjunto, implica que a variação da função de mérito (equação (3.14))

independe da variação das propriedades de estado do escoamento (δQ).

3.5 Condições de Contorno

As condições de contorno do problema adjunto são obtidas de forma a fazer

as integrais nos contornos B e C anularem-se, ao mesmo tempo buscando que o

problema adjunto seja bem posto.


3.5.1 Superfície Sólida

Na superfície do aerofólio, o versor normal é tal que nξ = 0 e nη = −1

conforme estabelecido nas figuras 3.1 e 3.2. Desta forma o termo em δE na

integral (b) da equação (3.13) anula-se.

O termo δF pode ser escrito em termos de δp conforme:

δF = J

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0∂η

∂xδp

∂η

∂yδp

0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

+

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0

pδ

(J

∂η

∂x

)

pδ

(J

∂η

∂y

)0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

(3.17)

nota-se que a primeira e a quarta componentes de δF são nulas. Isso porque não

há fluxo de massa nem de energia na parede.

Com isso, o termo (b) da equação (3.14) torna-se:

∮C

[(p − pt)δp

(ds

dξ

)− nξψ

T δE − nηψT δF

]dξ =

∮C

ψ2

((J ∂η

∂x

)δp + pδ

(J ∂η

∂x

))+ ψ3

((J

∂η

∂y

)δp + pδ

(∂η

∂y

))

+ (p − pt)δp

(ds

dξ

)dξ

(3.18)

Agrupando os termos em δp e forçando a nulidade de (b) tem-se:

∮C

(J

(ψ2

∂η

∂x+ ψ3

∂η

∂y

)+ (p − pt)

(ds

dξ

))δp dξ = 0 (3.19)

A equação (3.19) admite mais de uma solução para ψ2 e ψ3. Assumindo que

nenhuma das variáveis adjuntas seja a priori nula na parede (REUTHER, 1996)

podemos impor que:

J

(ψ2

∂η

∂x+ ψ3

∂η

∂y

)= −(p − pt)

(ds

dξ

)(3.20)

A princípio, ψ1 e ψ4 poderiam ser livres para variar. Porém, verifica-se que a

imposição de gradiente nulo na parede apresenta melhores resultados, conforme

será explicado no item 3.7.


3.5.2 Corrente Não–Perturbada

Admitindo que na fronteira externa o versor normal seja tal que nξ = 0 e

nη = 1, o termo (d) da equação (3.14) fica:

−∮B

(nξψ

T δE + nηψT δF

)dξ = −

∮B

ψT δF dξ (3.21)

lembrando a expressão δF é definida por:

δF = C2δQ + δ

(J

∂η

∂x

)Ee + δ

(J

∂η

∂y

)Fe.

Substituindo a expressão de δF em (3.21) temos:∮B

ψT δF dξ = −∮B

ψTC2δQ︸︷︷︸(a)

+ ψT

(δ

(J

∂η

∂x

)Ee + δ

(J

∂η

∂y

)Fe

)︸︷︷︸

(b)

dξ (3.22)

Para que δI seja independente de δQ, o termo (a) da equação (3.22) deve ser

nulo:

ψT C2δQ = 0. (3.23)

O termo (b) de (3.22) está relacionado com a expressão do gradiente expandido

que é apresentado na seção 3.6.

No problema adjunto, os autovalores apresentam sinais contrários aos sinais

referentes às velocidades características do escoamento indicadas nas figuras 2.5

e 2.6. Isso significa que, na região da fronteira externa em regime subsônico,

onde ocorre entrada de massa, para o problema adjunto, três características saem

do domínio e apenas uma entra. De maneira contrária, na saída de massa três

características entram e apenas uma sai do domínio conforme figura 3.3.

Nesse cenário, é fundamental não sobre-especificar o problema adjunto, e para

isso deve-se respeitar as direções características. O efeito da sobre-especificação

é menos pronunciado a medida que a fronteira externa se distancia do corpo e,

portanto, a solução trivial da equação (3.23) pode ser assumida quando a fronteira

B está muito distante (REUTHER, 1996).

Admitindo que a fronteira externa esteja distante, a variação da direção η em

relação à direções cartesianas (x, y) pode ser desprezada e, portanto, os termos

de variação da métrica (J ∂η∂x

e J ∂η∂y

) da equação (3.21) são negligenciáveis. Com

isso, a integral em B da equação (3.13) pode ser desprezada (REUTHER, 1996).

3.6 Gradiente: Forma Geral 40

Wa4(−qn)

Fronteira

Infinito

n

Wa4(−qn)

Wa2(−qn−c)

Wa3(−qn+c)

Wa1(−qn)

Domínio

Wa1(−qn)

Wa2(−qn−c)

Wa3(−qn+c)

Domínio

Fronteira

Infinito

n

Entrada de MassaSaida de Massa

Figura 3.3: Diagrama das características do problema adjunto.

3.6 Gradiente: Forma Geral

Utilizando as condições de contorno e aplicando as simplificações descritas

anteriormente, a variação da função de mérito é escrita da seguinte forma:

δI =1

2

∮C(p − pt)

2δ

(ds

dξ

)dξ

+

∫D

{∂ψT

∂ξ

(δ

(∂y

∂η

)Ee − δ

(∂x

∂η

)Fe

)

+∂ψT

∂η

(−δ

(∂y

∂ξ

)Ee + δ

(∂x

∂ξ

)Fe

)}dξdη

+

∮C

{ψ2δ

(−∂y

∂ξ

)+ ψ3δ

(∂x

∂ξ

)}p dξ

(3.24)

Onde o termo em δ(dsdξ

) pode ser anulado mediante a escolha adequada de ds.

Essa expressão independe da variação das propriedades do escoamento e,

portanto, pode ser avaliada para uma dada geometria e sua perturbação sem

a necessidade de soluções adicionais das equações que governam o escoamento.

Desta forma, é possível avaliar o gradiente da função de mérito em relação à uma

variação geométrica da fronteira conforme apresentado no capítulo 1.

GT =δI

δF (3.25)

Porém, a equação (3.24) apresenta um termo em D que necessita de uma

perturbação nos pontos da malha para ser avaliado. Isso, muitas vezes, poder ser

caro computacionalmente.

3.6 Gradiente: Forma Geral 41

Diante disso, adotou-se a formulação proposta por Jameson e Kim (2003).

Onde os autores mostram que a integral sobre o domínio pode ser reduzida a

uma integral no contorno C simplificando a obtenção do gradiente.

Aqui vamos apresentar apenas os passos principais deste trabalho sem, no

entanto, reproduzí-lo por inteiro. O trabalho de Jameson e Kim (2003) valida

essa metodologia comparando-a com os resultados obtidos utilizando a formulação

do gradiente expandido (3.24).

Inicialmente considera-se uma variação da malha computacional mantendo-se

as fronteiras C e B constantes. Como nas aplicações desse trabalho, I é dado por

uma integral de contorno, ela deve ser independente da malha e, portanto, δI é

nulo nesse caso. Porém os vetores de fluxo em coordenadas generalizadas variam

conforme a equação (3.10) que escrita em notação indicial fica:

δFi = CiδQ + δSijfj (3.26)

onde Fi são os vetores de fluxo em coordenadas generalizadas, S é a matriz

dos cofatores de K (equação (3.2)) e fj são os vetores de fluxo nas coordenadas

cartesianas.

Com as fronteiras mantendo-se inalteradas, o campo das variáveis de estado

é o mesmo, havendo apenas uma variação na representação de Q que se refere à

mudança da malha:

δQ =∂Q

∂xj

δxj = δQ′ (3.27)

Utilizando as equações de Euler em regime permanente (3.9) e a expressão

de δFi pode-se escrever:

∂

ξi

(δSijfi) = − ∂

∂ξi

(CiδQ′) (3.28)

Mostra-se que a relação (3.28) vale também para uma variação das fronteiras

da malha computacional (JAMESON; KIM, 2003). Utilizando essa relação jun-

tamente com as condições de contorno de parede e corrente não-perturbada, e

admitindo que a equação adjunta é satisfeita, a expressão do gradiente é reduzida

para a forma:


δI =

∮CψT (δS2jfj + C2δQ

′)dξ −∮C(δS21ψ2 + δS22ψ3)p dξ (3.29)

3.7 Metodologia de Solução

As equações adjuntas apresentam uma semelhança com o sistema de Euler

descrito no capítulo 2, porém, apresentam a vantagem de serem lineares uma

vez que as matrizes Jacobianas das variáveis de estado são constantes durante a

solução do problema adjunto, além de não dependerem de ψ.

O método dos volumes finitos empregado para a solução das equações adjun-

tas utilizado nesse trabalho aplica-se a malhas não-estruturadas. Essas malhas

são um caso particular dos sistemas de coordenadas generalizadas apresentado.

Nelas, apenas se faz uma rotação finita do sistema cartesiano local para alinhar o

sistema com as direções normais e tangenciais. As formulações apresentadas no

que se segue assumem uma estrutura semelhante ao apresentado para a solução

das equações do escoamento.

A equação adjunta em coordenadas cartesianas é escrita de forma semelhante

à equação (3.16):

∂ψ

∂t− AT

1

∂ψ

∂x− AT

2

∂ψ

∂y= 0 (3.30)

Integrando a equação (3.30) em um volume de controle genérico V e utilizando

o teorema de Gauss:

∫V

∂ψ

∂tdV − AT

1

∫Cψ nx dC − AT

2

∫Cψ ny dC (3.31)

Nota-se que as matrizes Jacobianas na equação (3.31) estão fora das integrais

de contorno. Isso ocorre porque admite-se que essas matrizes são constantes

dentro de um volume de controle e, portanto, não há a necessidade de avaliá-las

no contorno de V ao aplicar o teorema de Gauss. Essa aproximação é razoável

quando adota-se um volume de controle triangular pequeno o suficiente de forma

análoga ao exposto no capítulo 2.

Com essa escolha, podemos aproximar as integrais de contorno em somatórios

sobre as faces do volume e a integral de volume em um produto do volume da

célula pela variação temporal:


Vi∂ψi

∂t−

3∑j=1

(AT1 ψij �ijnxj

+ AT2 ψij �ijnyj

)

︸︷︷︸C(ψi)

= 0 (3.32)

Dissipação Artificial

A equação (3.32) pode ser integrada no tempo utilizando o método descrito

na seção 2.3.3, porém, a literatura (REUTHER, 1996) mostra que essa equação

apresenta instabilidades quando solucionada utilizando um método centrado além

do fato de que as equações adjuntas são escritas na forma não-conservativa. Com

isso, faz-se necessária a introdução de um termo de dissipação artificial.

O esquema de dissipação artificial utilizado no problema adjunto é o mesmo

utilizado na solução do escoamento (seção 2.3.2) preservando todos os sensores e

apenas substituindo as variáveis de estado pelas variáveis adjuntas. O nível de

dissipação observado nas soluções adjuntas, porém, é significativamente menor

uma vez que as equações adjuntas não apresentam o cascateamento de frequência

por serem lineares (FLETCHER, 2006a).

A equação (3.32) é modificada para incluir o termo de dissipação artificial:

Vi∂ψi

∂t− C(ψi) − D(ψi) = 0 (3.33)

O sinal do termo D(ψi) é o mesmo utilizado para o escomento. Isso se deve

ao fato de que o operador de transposição muda apenas o sinal do operador de

primeira ordem embutido em C(ψi) e não muda o sinal dos operadores de segunda

e quarta ordem presentes no termo de dissipação (REUTHER, 1996).

Evolução Temporal

A evolução temporal utilizada para o problema adjunto segue os mesmos pro-

cedimentos descritos para o escoamento. O Runge-Kutta de 5 estágios é escrtito

conforme segue:

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

ψ(0)i = ψ

(n)i

ψ(1)i = ψ

(0)i + α1

ΔtiVi

[C(ψ(0)i ) + D(ψ

(0)i )]

ψ(2)i = ψ

(0)i + α2

ΔtiVi

[C(ψ(1)i ) + D(ψ

(1)i )]

ψ(k)i = ψ

(0)i + αk

ΔtiVi

[C(ψ(k−1)i ) + D(ψ

(1)i )] k = 3, 4, 5

ψ(n+1)i = ψ

(5)i

(3.34)


α1 =1

4, α2 =

1

6, α3 =

3

8, α4 =

1

2, α5 = 1

3.7.1 Condições de Contorno

As condições de contorno descritas em 3.5 foram implementadas utilizando-

se de metodologias já consagradas para aplicações de escoamento externo e que

estão presentes na literatura, como exemplo o trabalho de Reuther (1996).

Superfície Sólida

A equação (3.20) pode ser discretizada de forma arbitrária a priori (REUTHER,

1996). Porém, é importante que a discretização apresente as características físicas

das equações de Euler. Por essa razão, adotou-se uma metodologia que não

especifica nenhum valor para as variáveis adjuntas (ψ1 e ψ4) na parede, apenas

impõe a sua continuidade através da superfície.

A formulação proposta por Reuther (1996) foi adaptada para malhas não-

estruturadas em coordenadas cartesianas tendo a seguinte forma:

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

ψ1g = ψ1c

ψ2g = ψ2c − 2nx[(p − pt) + nxψ2c + nyψ3c ]

ψ3g = ψ3c − 2ny[(p − pt) + nxψ2c + nyψ3c ]

ψ4g = ψ4c

(3.35)

Corrente Não-Perturbada

Conforme discutido em 3.5.2 a discretização da condição de contorno de cor-

rente não-perturbada deve respeitar as direções de propagação de informação.

Porém, verifica-se que, para casos em que a fronteira externa é muito distante do

aerofólio, a solução trivial da equação (3.23) para ψ apresenta resultados satisfa-

tórios.

ψ1−4g = 0 (3.36)

45

4 ParametrizaçãoGeométrica

A descrição geométrica da superfície de aerodinâmica é uma tarefa de vital

importância para o sucesso do ciclo de projeto (seção 1.4). Isso porque a para-

metrização geométrica do corpo deve ser capaz de representar as características

da superfície que produzirão os efeitos desejados no escoamento. Essas caracte-

rísticas não são conhecidas a priori, e a única forma que garante a abrangência

de todo o espaço de geometrias realizáveis é fazendo com que cada ponto da

geometria seja um parâmetro de projeto, uma vez que, stricto sensu, o espaço

de geometrias possíveis tem dimensão infinita. Do ponto de vista prático, esta

parametrização pontual apresenta duas desvantagens em essência, uma delas é

o alto número de parâmetros (infinito no limite da representação geométria) e a

outra desvantagem é geração de oscilações indesejadas devido ao alto número de

graus de liberdade que culminam na necessidade de filtragem dessas oscilações.

Diante desse cenário, percebe-se a necessidade da introdução de uma para-

metrização de mais alto nível no sentido computacional. Isso implica no uso de

funções que representem os pontos da geometria a partir de coeficientes que pas-

sam a representar os graus de liberdade do sistema geométrico, ocorrendo, então,

uma redução na abrangência do espaço de geometrias possíveis. Esses coeficientes

podem ser interpretados como parâmetros de entrada de uma função global (F ,

seção 3.6) que, por sua vez, utiliza-se de uma família de funções arbitrárias a

priori. Pode-se representar essa função global da seguinte forma:

F = F(b)

onde b é um vetor de parâmetros de projeto.

Supondo que F represente uma superfície aerodinâmica que tenha um geome-

tria arredondada no bordo de ataque e aguda em seu bordo de fuga (ex. perfil de

asa) implica que essa função seja contínua, porém não-analítica devido à derivada

infinita no bordo de ataque e grandes variações de curvatura ao longo da super-

4.1 Formulação Geral 46

fície (KULFAN; BUSSOLETTI, 2006). A literatura apresenta algumas propostas de

parametrização geométrica com essas características.

Uma forma de parametrização com considerável utilização nos trabalhos so-

bre otimização aerodinâmica é a parametrização utilizando as funções de forma

de Hicks-Henne (REUTHER, 1996; KIM et al., 2001). Essas funções de forma são

adicionadas à um aerofólio base para descrever as modificações na geometria origi-

nal. Verifica-se também, que esse tipo de parametrização necessita de um número

relativamente alto de parâmetros (≈ 50) para a representação de aerofólios.

Mais recentemente, Kulfan e Bussoletti (2006) propuseram uma forma de re-

presentação geométrica que não necessita de uma geometria base. Essa forma de

representação figura-se como uma alternativa atraente de parametrização geomé-

trica por possibilitar o controle de parâmetros fundamentais de aerofólios como

raio de arredondamento do bordo de ataque e ângulo de fechamento do bordo de

fuga, além de utilizar poucos parâmetros (≈ 10) para representar uma extensa

gama de geometrias. No presente trabalho, adotou-se tal parametrização. A op-

ção de utilizar esse método de representação geométrica baseou-se na premissa de

adotar uma metodologia com possibilidades de aplicação a indústria aeronáutica

além do fato de ser capaz de parametrizar a geometria completa diferentemente

das funções de forma de Hicks-Henne também largamente utilizada em problemas

de otimização aerodinâmica.

Os itens subseqüentes apresentam um estudo da parametrização proposta por

Kulfan e Bussoletti (2006) no contexto de um ciclo de projeto inverso aerodinâ-

mico utilizando o método adjunto.

4.1 Formulação Geral

Nesse item, apresenta-se, em linhas gerais, a metodologia de representação

geométrica proposta por Kulfan e Bussoletti (2006) sem, no entanto, reproduzir

por completo o estudo teórico desenvolvido pelos autores.

Propõe-se que a geometria de um dado corpo bidimensional de corda c seja

definida pelo produto de uma função de classe (C(xc)) por uma função de forma

(S(xc)) somado a um termo que define a espessura do bordo de fuga:

y

c= C

(x

c

)S(x

c

)+

x

c

Δzte

c(4.1)


onde:

C(x

c

)≡(x

c

)N1[1 − x

c

]N2

com 0 ≤ x

c≤ 1. (4.2)

Os expoentes N1 e N2 definem o tipo de gometria que se deseja representar

(KULFAN; BUSSOLETTI, 2006). Para a representação de um aerofólio por exemplo,

utilizam-se N1 = 0.5 e N2 = 1.0. Esses valores decorrem do fato que a única

função que garante que o bordo de ataque seja arredondado é√

xc

(KULFAN;

BUSSOLETTI, 2006) independentemente do valor de S(xc). Além disso, o termo(

1 − xc

)faz com que o bordo de fuga seja agudo.

Kulfan e Bussoletti (2006) mostram que para esses valores de N1 e N2, o

raio de arredondamento do bordo de ataque e o ângulo de fechamento do bordo

de fuga estão relacionados com os valores da função de forma nos extremos do

intervalo [0, 1] conforme:

S(0) =

√2Rle

cS(1) = tanβ +

Δzte

c. (4.3)

A função de forma é arbitrária a priori. Porém, convém adotar-se uma família

de funções analíticas bem comportadas para a geração da função de forma global

S(xc). Isso porque a parametrização ocorre diretamente nos termos que geram tal

função. Com isso, qualquer característica indesejada da função S é transferida à

geometria final, uma vez que ela age como uma função de escala para a função

classe (C). Para ilustrar isso, podemos escolher a função de forma simples S(xc) =

1 e aplicarmos a função de classe com N1 = 0.5 e N2 = 1.0 (figura 4.1). Em

seguida, introduz-se uma função de forma parametrizada através de pontos de

controle de uma curva spline. Perturbando-se um parâmetro para cima e outro

para baixo, percebe-se que, ainda que atenuada, a oscilação gerada na função de

forma é transferida à geometria final do aerofólio (figura 4.1).

A proposta de Kulfan e Bussoletti (2006) para parametrização da função

de forma consiste na ponderação dos binômios que formam os polinômios de

Bernstein. Esses polinômios são formados por uma somatória de binômios, e tal

somatória tem a propriedade de ser constante e unitária no intervalo [0, 1]:

Bpn(x

c

)=

n∑i=0

[Ki,n ·

(x

c

)i

·(1 − x

c

)n−i]

= 1 ; Ki,n =n!

r!(n − r)!(4.4)

Define-se a função de forma introduzindo as variáveis de projeto (bi) conforme:

S(x

c

)≡

n∑i=0

[bi · Ki,n ·

(x

c

)i

·(1 − x

c

)n−i]

. (4.5)


Figura 4.1: Perturbação da Função de Forma Unitária Através de pontos decontrole de uma curva spline

A expressão (4.5) constrói a função de forma unitária quando bi = 1 conforme

ilustra a figura 4.2. Nessa figura observa-se que as variáveis de projeto são fatores

que controlam a amplificação de cada um dos binômios de Bernstein. Esses

binômios têm seus valores máximos equispaçados no intervalo [0, 1].

Figura 4.2: Função de Forma Unitária gerada por um Polinômio de Bernsteinde 4◦ grau.

Introduzindo-se uma perturbação nas variáveis de projeto de mesma intensi-

dade à ilustrada na figura 4.1 e aplicando-se a função de classe para aerofólios,

observa-se na figura 4.3 um comportamento mais suave da geometria final.

4.2 Parametrização de Aerofólios 49

Figura 4.3: Função de Forma Unitária perturbada através de pontos decontrole dos binomios de Bernstein.

Desta forma, parametrização da função de forma através dos binômios de

Bernstein apresenta características como continuidade de segunda ordem e pouca

sensibilidade à perturbações bruscas das variáveis de projeto. Essas caracterís-

ticas são desejáveis em aplicações de aerodinâmica, porém, do ponto de vista

de otimização, há outras características importantes como unicidade da repre-

sentação geométrica, filtragem e distribuição de erros. Essas propriedades serão

discutidads nos items subseqüentes.

Outro aspecto importante família dos binômios de Bernstein é o fato de não

serem ortogonais entre si no intervalo [0, 1] (LORENTZ, 1986) e não observamos

nenhuma função peso que faça com que produto interno entre eles seja nulo

no intervalo de interesse. Essa propriedade não é esclusiva da parametrização

utilizada nesse trabalho pois também é observada na família de funções de forma

de Hicks-Henne.

4.2 Parametrização de Aerofólios

A parametrização de aerofólios é feita utlizando a função de classe com os

expoentes N1 = 0.5 e N2 = 1.0 conforme discutido no item anterior. Com isso,

é necessário apenas definir os valores dos parâmetros bi que constroem a função

de forma que representa a geometria desejada. Essa definição é feita utilizando o

método dos mínimos quadrados.

Para que seja definido o maior grau dos binômios de Bernstein, é necessária


uma análise de erro da representação geométrica. A figura 4.4 mostra tal análise

aplicada ao perfil aerodinâmico RAE2822. Nessa figura, observa-se que não há um

benefício adicional significativo ao adotar-se um número de parâmetros superior

à dez. O desempenho da parametrização de outros aerofólios é semelhante ao

apresentado aqui. Isso porque as propriedades geométricas (raio de curvatura,

inclinação, etc.) dos perfis aerodinâmicos são semelhantes entre si.

(a) Perfil RAE2822 parametrizado por 6 parâ-metros

(b) Erro da parametrização.

Figura 4.4: Análise de erro da Parametrização Geométrica

Nas aplicações e validações do ciclo de projeto inverso apresentadas nesse

trabalho foram adotados onze variáveis de projeto. Das quais, a primeira e a

última controlam o raio de arredondamento do bordo de ataque e o ângulo de

fechamento do bordo de fuga.

4.2.1 Unicidade

No contexto do problema de otimização aerodinâmica, é importante verifi-

car se a representação geométrica de uma superfície é única para um dada uma

tolerância. Isso porque a não-unicidade da parametrização pode dificultar a con-

vergência do algorítmo de busca do mínimo da função de mérito, uma vez que

conjuntos de parâmetros muito distintos podem representar geometrias iguais

dentro de uma tolerância.

Para analisarmos a unicidade da parametrização adotada nesse trabalho mon-

tamos o sistema (4.6) que relaciona os parâmetros de projeto bi e pontos que

descrevem a geometria (xi, y(xi)):⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

S0(x0) S1(x0) S2(x0) . . . Sn(x0)

S0(x1) S1(x1) S2(x1) . . . Sn(x1)... . . . ...

S0(xn) S1(xn) S2(xn) . . . Sn(xn)

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦

︸︷︷︸M

·

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

b0

b1

...

bn

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭

=

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

y(x0)

y(x1)...

y(xn)

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭

(4.6)


onde

Si(x) = C(xi) · Ki,n · (x)i · (1 − x)n−i .

Uma medida simples da unicidade da representação geométrica dos pontos

(xi, y(xi)) é o número de condicionamento espectral1 da matriz M . Quando esse

número é elevado, o condionamento da matriz é ruim, implicando que peque-

nas diferenças de y causam diferenças muito altas em b. Ou seja, geometrias

muito parecidas podem ser geradas por conjuntos muito distintos de parâmetros.

Essa característica pode ser chamada de uma não-unicidade numérica da para-

metrização, uma vez que as diferenças entre as geometrias representadas podem

ser menores que a precisão com a qual os dados estão sendo computados. Com

isso temos geometrias muito próximas (iguais do ponto de vista computacional)

representada por conjuntos distintos de parâmetros.

Adotando-se os pontos xi como os pontos de controle dos binômios de Berns-

tein e calculando o número de condicionamento da matriz M para diferentes

níveis (n) de parametrização, temos o seguinte comportamento:

Figura 4.5: Condicionamento numérico da matriz de parametrização.

A figura 4.5 mostra que o condicionamento numérico da matriz M piora com

o aumento do número de parâmetros. Isso implica que o aumento do detalha-

mento de uma geometria traz a desvantagem de aproximarmos da não-unicidade

da representação geométrica. Além disso, a partir de um certo grau (n) da pa-

rametrização, o aumento do detalhamento introduz autovalores à matriz M com

módulos muito reduzidos conforme observa-se na figura 4.6, que mostra a con-1Razão entre o maior e o menor autovalores de uma matriz quadrada


tribuição de autovalores da matriz do sistema (4.6) de acordo com a ordem da

representação geométrica.

Esse comportamento é observado na matriz e coeficientes do filtro de Bezier

(VOLPE, 2005) utilizado em ciclos de projeto inverso aerodinâmico para atenuar

oscilações em geometrias de aerofólios. A matriz do filtro de Bezier é, em essência,

a mesma da parametrização em questão e, apesar da desvantagem de seu mal

condicionamento, a parametrização proposta por Kulfan e Bussoletti (2006) tem o

grande benefício da filtragem natural de oscilações inerentes à métodos numéricos

de otimização aerodinâmica.

n = 4

n = 8

n = 12

n = 16

n = 20

Figura 4.6: Autovalores da matriz de parametrização.

4.2.2 Estudo de Parâmetros

Os binômios de Bernstein não têm raízes reais no intervalo aberto ]0, 1[. Essa

característica faz com que os parâmetros de controle da função de forma tenham

efeitos não apenas localizados, mas também distribuídos ao longo da corda do

aerofólio. Para explicar tal efeito, convém utilizar a função de forma unitária e

analisar a contribuição de cada um dos binômios de Bernstein em seu valor. Dessa

forma, quantifica-se a influência de cada um dos parâmetros sobre os outros. Esse

fator de influência é avaliado na posição de máximo de cada um dos binômios e

está exemplificado para uma representação com 5 parâmetros na tabela 4.1.

A tabela 4.1 mostra que o parâmetro 0 é o único que tem efeito na posição de

máximo do binômio que ele controla. Por outro lado, ele tem influência não-nula

na posição de máximo de todos os outro binômios exceto no último. O mesmo

4.3 Gradiente: Forma Particular 53

Tabela 4.1: Fator de influência dos Parâmetros (4◦ grau)

Binômio B(x0) B(x1) B(x2) B(x3) B(x4)0 1.00000 0.31641 0.06250 0.00391 0.000001 0.00000 0.42188 0.25000 0.04688 0.000002 0.00000 0.21094 0.37500 0.21094 0.000003 0.00000 0.04688 0.25000 0.42188 0.000004 0.00000 0.00391 0.06250 0.31641 1.00000

ocorre com o último parâmetro (4, no caso) em relação ao primeiro (0, no caso).

Esse aspecto da representação geométrica evidencia que os únicos parâmetros

indepedentes são o primeiro e o último, que controlam o raio de arredondamento

do bordo de ataque e o ângulo de fechamento do bordo de fuga respectivamente.

Além disso, essa propriedade da parametrização pode ser interpretada como

uma distribuição de erros, uma vez que um erro localizado em um parâmetro é

difundido ao longo da corda do aerofólio. Isso está relacionado com a capacidade

de filtragem da parametrização, discutida no item anterior.

Outro aspecto importante da parametrização adotada nesse trabalho, é o fato

não ser possível eliminar um parâmetro quando este é nulo. Isso ocorre porque os

binômios de Bernstein mudam de forma de acordo com o grau da parametrização

e, sendo assim, a eliminação de um parâmetro implica na mudança dos binômios

restantes. Tal característica está ilustrada na figura 4.7.

y(x

c

)para b = (1, 0, 1) = y

(x

c

)para b = (1, 1)

4.3 Gradiente: Forma Particular

A expressão do gradiente reduzido da função de mérito apresentada na se-

ção 3.6 deve ser escrita em função dos parâmetros bi para sua implementação no

ciclo de projeto descrito na seção 1.4.

A variação da função de mérito expressa pela equação (3.29) pode ser re-

escrita na forma de um gradiente em relação à uma variação dos parâmetros

geométricos (bi). O procedimento algébrico para a obtenção de tal expressão é

detalhado por Chieregatti (2008) e a expressão final do gradiente da função de


Figura 4.7: Eliminação de parâmetro nulo.

mérito tem a seguinte forma:

∂I

∂bi

=

∮C

[∂

∂bi

(J

∂ζ2

∂xj

)fjα + C2αβ

∂Q

∂ζp

(∂ζp

∂bi

)]dζ1−∮

Cp

[ψ2

∂

∂bi

(J

∂ζ2

∂x1

)+ ψ3

∂

∂bi

(∂ζ2

∂x2

)]dζ1

(4.7)

onde ζ = (ζ1, ζ2) = (ξ, η) corresponde às coordenadas generalizadas (seção 3.1),

x = (x, y) às coordenadas cartesianas, C2αβsão os termos da matriz Jacobiana

C2 = ∂F∂Q

, Q é o vetor de variáveis de estado e fjα são os vetores de estado em

coordenadas cartesianas:

fα =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

f1α =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

ρu

ρu2 + p

ρuv

(e + p)u

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

f2α =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

ρv

ρuv

ρv2 + p

(e + p)v

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

.

No contexto de malhas não-estruturadas, onde o sistema é cartesiano, os

termos da métrica presentes na equação (4.7) são obtidos através de uma rotação

finita entre o sistema cartesiano global e o sistema local de cada face dos elementos

de fronteira. Sendo assim, o Jacobiano é unitário e os outros termos são cossenos

diretores.


A expressão (4.7) pode ser expandida e seus termos podem separados em dois

grupos:

Termos Geométricos Termos de Campo∂

∂bi

(∂η∂x

), ∂

∂bi

(∂η∂y

),(

∂ξ∂y

)(∂y∂bi

),(

∂η∂y

)(∂y∂bi

)ψα, f1α, f2α, C2αβ

, ∂Q∂ξ

, ∂Q∂η

, p

Os termos geométricos são obtidos a partir da derivação da expressão da

parametrização. Já os termos de campo são obtidos das soluções do escoamento e

das equações adjuntas. Os detalhes da derivação desses termos estão apresentados

em (CHIEREGATTI, 2008).

4.3.1 Validação

As variáveis adjuntas não têm um significado físico definido de forma que

tomemos uma solução padrão que possibilite a validação da solução do campo

dessas variáveis e também não temos soluções adjuntas exatas no contexto deste

trabalho. Portanto, a metodologia de validação do código de solução das equações

adjuntas adotada nesse trabalho consiste na comparação entre o valor do gradiente

calculado a partir do campo adjunto e o gradiente calculado pelo método de

diferenças finitas.

O cálculo do gradiente da função de mérito através do método de diferenças

finitas é realizado variando-se individualmente cada um dos parâmetros que geram

a geometria e resolvendo as equações que governam o escoamento para o cálculo

da função de mérito de cada uma dessas geometrias. A seguinte expressão calcula

o gradiente função de mérito com segunda ordem de precisão.

∂I

∂b=

I(b + Δb) − I(b − Δb)

2Δb+ O(Δb2) (4.8)

Para a avaliação da expressão (4.8) é necessário 2n soluções do escoamento adi-

cionais, onde n é número de parâmetros geométricos.

Por outro lado, o cálculo do gradiente da função de mérito através do método

adjunto requer apenas uma solução do escoamento e uma solução das equações

adjuntas que tem aproximadamente o mesmo custo computacional da solução do

escoamento. Além disso, esse cálculo do gradiente não admite como fixo nenhum

grau de liberdade (bi). Esse aspecto aliado ao mal condicionamento da matriz da

parametrização (item 4.2.1) implica que a única forma dos gradientes (diferenças

finitas e método adjunto) corresponderem entre si é comparando-os para um caso

onde a geometria é gerada apenas por dois parâmetros (parametrização de grau 1).


Isso porque, esses dois parâmetros são os únicos independentes entre si, conforme

discutido anteriormente.

A comparação das componentes do gradiente foi realizada em três casos distin-

tos. Nesses casos foram variados apenas os parâmetros geométricos do extradorso

do aerofólio. Os resultados dessa comparação estão apresentados na tabela 4.2.

Tabela 4.2: Comparação entre as metodologias de cálculo do gradiente.

Caso Diferença Finitas Método Adjunto Erro1 0.021586 0.0041938 0.018959 0.004003 12% 4.5%2 -0.0074515 -0.0026206 -0.0068640 -0.002847 7.9% 8.6%3 -0.0074290 -0.0026409 -0.0072700 -0.002565 2.1% 2.9%

Os valores de erro mostrados na tabela 4.2 assumem como padrão o gradi-

ente calculado pelo método de diferenças finitas. Nesse contexto, é importante

ressaltar que todos os casos foram realizados com a mesma precisão da solução

numérica tanto do escoamento quanto do problema adjunto.

As diferenças no valor do gradiente calculado pelos dois métodos são da

mesma ordem de grandeza das diferenças observadas em outros trabalhos de

otimização aerodinâmica utilizando o método adjunto (KIM; ALONSO; JAMESON,

1999; REUTHER, 1996).

57

5 Resultados

Nesse capítulo, são apresentados os resultados obtidos com o ciclo de projeto

inverso desenvolvido nesse trabalho. Esses resultados estão divididos em dois

grupos: testes de validação e casos de aplicação prática. Ambos os grupos pos-

suem casos em condições de escoamento incompressível e em regime transônico.

Ao final, apresenta-se um estudo preliminar do desempenho do ciclo de projeto

inverso em função do refinamento da malha.

5.1 Validação do Ciclo de Projeto Inverso

O procedimento de validação do ciclo de projeto inverso aerodinâmico consiste

em adotar como distrubição de pressão desejada a distribuição de uma geometria

conhecida a priori. Dessa forma, garante-se que a distribuição desejada seja re-

alizável. Entretanto, não há nenhuma garantia que haja mais de uma geometria

que possua a uma distribuição semelhante ou idêntica à distribuição de pressão

desejada. Tal situação cararacterizaria um ponto de mínimo local da superfí-

cie de otimização e, conforme discutido no capítulo 3, respeitaria as premissas

estabelecidas para o projeto aerodinâmico.

Em todos os casos de validação apresentados aqui, as distribuições de pressão

desejadas foram obtidas utilizando o código de solução das equações de Euler des-

crito no capítulo 2. Além disso, as geometrias que apresentam tais distribuições

foram geradas a partir de parâmetros em um processo semelhante ao apresentado

na figura 4.4. Com isso, garante-se que a geometria que produz a distribuição

desejada está no espaço de geometrias geradas pela parametrização geométrica

possibilitando, a priori, a completa convergência do processo de minimização da

função de mérito.

As geometrias utilizadas nesse trabalho são públicas e facilmente encontra-

das na literatura. No ciclo de projeto, tais geometrias foram geradas com onze

parâmetros que, conforme discutido em 4.2, as representam com erros reduzidos,

não necessitando de graus superiores de parametrização para melhorar a repre-

5.1 Validação do Ciclo de Projeto Inverso 58

sentação geométrica.

Os casos de validação do ciclo de projeto inverso estão apresentados na ta-

bela 5.1. Cada um deles tem o objetivo de testar capacidades distintas do método.

Estes objetivos serão discutidos a medida em que os testes serão apresentados.

Tabela 5.1: Casos de Validação do Ciclo de Projeto Inverso

Caso Geometria Inicial Geometria Objetivo M∞ AOA1 RAE2822 NACA0012 0.75 0◦

2 NACA0012 RAE2822 0.75 1◦

3 Clark Y SD7062 0.30 0◦

Caso 1

Nesse caso, inicia-se o ciclo de projeto com uma geometria assimétrica (RAE2822)

em uma condição de escoamento em que a distribuição de pressão também não é

simétrica. Por outro lado, tanto a distribuição objetivo quanto a geometria são

simétricas.

Esse caso de validação tem o objetivo de avaliar a capacidade do ciclo de

projeto inverso de construir uma simetria sem que ela seja imposta a partir do

controle dos parâmetros. Apesar desse objetivo ser estritamente acadêmico, testar

essa capacidade é importante para verificar se o ciclo como um todo apresenta

erros no tratamento das superfícies superior e inferior do aerofólio. Esses erros

são facilmente identificados em casos de contrução de simetria.

Além disso, esse caso tem o benefício adicional de verificar a capacidade

do método adjunto de eliminar ondas de choque. Apesar dessa capacidade ter

sido mostrada com a utilização de métodos mais simples baseados na solução

de escoamento potencial linearizado, o método adjunto aplicado às equações de

Euler deve apresentar um desempenho superior nesse tipo de aplicação, uma vez

que a modelagem física dessas equações é adequada para representar fenômenos

como ondas de choque.

A figura 5.1 apresenta o resultado desse teste de validação. É possível ob-

servar nessa figura que a simetria foi contruída de forma satisfatória eliminando

completamente a onda de choque presente na distribuição de pressão inicial. Po-

rém, observou-se, ao longo das soluções intermediárias do ciclo, uma dificuldade

na modificação da geometria na região do bordo de fuga. Essa dificuldade é mais

aparente na figura 5.1(a), onde a distribuição de pressão da trigésima solução

difere em maior intensidade em relação à distribuição desejada. Acredita-se que


essa dificuldade esteja relacionada com o fato que a região do bordo de fuga con-

tribui em menor valor para a integral da função de mérito e, nessas condições,

implica em componentes do gradiente relativas à essa região menores fazendo com

que o as correções geométricas no bordo de fuga sejam mais lentas do ponto de

vista do ciclo de projeto inverso.

(a) Distribuição de pressão

(b) Geometria dos aerofólios

Figura 5.1: Caso 1 - Geometria inicial: RAE2822 M∞ = 0.75, AOA = 0◦

Geometria objetivo: NACA0012 M∞ = 0.75, AOA = 0◦

É importante mencionar também que a forçante do problema adjunto desse

trabalho é a diferença entre as distribuições de pressão e, à medida que o ciclo se

aproxima da solução de mínimo da função de mérito, as mudanças geométricas

tornam cada vez menores. Portanto, é conceitualmente mais correto avaliar o

desempenho do ciclo pelas diferenças de pressão do através do que pelas diferenças


geométricas.

O método que promove as alterações geométricas adotado nesse trabalho é

o steepest descent. Esse método, consiste em promover uma alteração geomé-

trica proporcional ao gradiente porém em sua direção contrária (capítulo 1). O

desempenho desse algoritmo de busca do mínimo nem sempre é bom, podendo

apresentar oscilações e dificuldades de convergência (REUTHER, 1996). O emprego

de outros métodos de busca não faz parte do escopo desse trabalho, uma vez que

aqui objetiva-se apenas mostrar o conceito do método adjunto para otimização

aerodinâmica em malhas não-estruturadas.

Caso 2

O caso 2 tem o objetivo de avaliar a capacidade do ciclo de projeto inverso de

posicionar uma onda de choque. Para isso, parte-se de da geometria NACA0012

com M∞ = 0.75 e AOA = 1◦ que produz uma onda de choque na porção anterior

do aerofólio e deseja-se chegar à distribuição de pressão da geometria RAE2822

nas mesmas condições de escoamento, com as quais produz-se uma onda de choque

na porção posterior do aerofólio.

Esse caso não apresenta um interesse prático, uma vez que parte-se de uma

onda de choque mais fraca para uma mais forte (figura 5.2(a)) o que implica em

um arrasto de onda superior apesar do aumento substancial do coeficiente de

sustentação. Porém, do ponto de vista acadêmico, esse teste mostra uma grande

vantagem do método adjunto Euler sobre outros métodos. Tal vantagem reside no

fato que o método adjunto incorpora o mesmo nível de modelagem física utilizada

na solução do escoamento e, portanto, se o modelo do escoamento é capaz de

tratar ondas de choque de forma adequada, a formulação adjunta associada a

tal modelagem deve ser capaz de também de lidar com esses fenômenos físicos.

Enquanto que o MGM é capaz de apenas eliminar ondas de choque.

Observa-se na figura 5.2(a) que tanto a posição quanto a intensidade da onda

de choque foram reproduzidas pela geometria da trigésima sexta solução do ciclo.

Porém, percebe-se que a dificuldade relacionada com a região do bordo de fuga

está presente nesse caso de forma análoga ao observado no caso 1. Acredita-se

também, que tal dificuldade está relacionada à contribuição dessa região para a

integral da função de mérito conforme discutido para o caso 1. Além disso, pode-

se perceber que apesar das diferenças na distribuição de pressão serem pequenas,

as diferenças na geometria são relativamente grandes. Diante disso, vale reiterar

que a forçante do problema adjunto nesse caso é a diferença entre as distribuições


de pressão e, portanto, à medida que as distribuições ficam próximas, a taxa de

convergência do ciclo fica mais lenta, uma vez que o passo no método steepest

descent é fixo.



Figura 5.2: Caso 2 - Geometria inicial: NACA0012 M∞ = 0.75, AOA = 1◦

Geometria objetivo: RAE2822 M∞ = 0.75, AOA = 1◦

Caso 3

O objetivo desse caso é avaliar a capacidade do ciclo de projeto inverso em

condições de escoamento incompressível. A dificuldade dessas condições está

relacionada com o fato da adimensionalização adotada no código de solução das

equações de Euler ser adequada para números de Mach mais elevados. Com isso,

a matriz de variáveis de estado de cada célula do domínio é pior condicionada do


que em regimes transônicos e supersônicos, embora a teoria valha para todos os

regimes.

Nesse caso, parte-se da geometria Clark Y com M∞ = 0.3 e AOA = 0◦

e deseja-se chegar à distribuição de pressão gerada pela geometria SD7062 nas

mesmas condições de corrente não-perturbada. Em ambos os casos, o número

de Mach no domínio do escoamento não ultrapassa 0.43. Nesse regime, as vari-

ações de densidade não são expressivas e o efeito da compressibilidade é pouco

importante.



Figura 5.3: Caso 3 - Geometria inicial: Clark Y M∞ = 0.30, AOA = 0◦

Geometria objetivo: SD7062 M∞ = 0.30, AOA = 0◦

A figura 5.3 apresenta o resultado do caso 3. Nessa figura percebe-se um

5.2 Casos de Aplicação 63

desempenho muito bom do ciclo de projeto inverso. Porém, o resultado apresenta

o problema observado nos casos anteriores na região bordo de fuga. Acredita-se

qua a razão desse problema seja a mesma apresentada para os casos 1 e 2. Por

outro lado, verifica-se uma diferença geométrica menor que as presentes nos casos

anteriores em que o número de Mach é mais elevado.

O método adjunto apresenta uma grande vantagem sobre o MGM nesse caso.

Isso porque o MGM utiliza uma equação modelada a partir da solução de esco-

amento potencial compressível linearizado sobre uma placa ondulada (SANTOS,

1993; CEZE; VOLPE, 2004). Essa modelagem é mais adequada apenas para o re-

gime transônico onde os efeitos de compressibilidade são mais importantes, por-

tanto, o MGM não produz resultados satisfatórios em condições de escoamento

em que o efeito da compressibilidade é desprezível. Enquanto que a restrição do

método adjunto é definida apenas pela capacidade da modelagem física adotada

para a solução do escoamento.

5.2 Casos de Aplicação

Nessa seção são apresentados os resultados de dois casos de aplicação do ciclo

de projeto inverso. Esse tipo de caso consiste em estabelecer uma distribuição

desejada de pressão que apresenta alguma vantagem no desempenho do aerofólio

em relação à distribuição de pressão da geometria inicial do ciclo. Com isso, o

ciclo de projeto inverso procura promover mudanças geométricas que produzam

tal distribuição objetivo. É importante reiterar que essa distribuição objetivo

não é necessariamente realizável, esse sendo o caso, o ciclo tentará minimizar a

diferença entre as duas distribuições.

As distribuições objetivo estabelecidas nessa seção são modificações, baseadas

na experiência, de distribuições de aerofólios conhecidos. Vale lembrar que a

melhor forma de promover uma melhoria no desempenho de um aerofólio do

ponto de vista do método adjunto é utilizar uma função de mérito baseada nos

coeficentes aerodinâmicos que regem o desempenho do aerofólio como o coeficiente

de sustentação, de momento, de arrasto ou até mesmo uma relação entre eles como

a eficiência aerodinâmica que é a relação entre o coeficiente de sustentação e o de

arrasto. Porém, por restrições de tempo para realização desse trabalho, apenas a

função de mérito de projeto inverso foi utilizada.

A tabela 5.2 lista dois casos de aplicação realizados nesse trabalho.


Tabela 5.2: Casos de Aplicação do Ciclo de Projeto Inverso

Caso Geometria Inicial M∞ AOA4 Whitcomb ISA 0.75 0◦

5 SD7062 0.30 0◦

Caso 4

O objetivo desse caso é melhorar a distribuição de pressão do aerofólio super-

crítico Whitcomb ISA1. Para realizar isso, suavizou-se a recuperação de pressão

do extradorso do aerofólio com base na experiência. Essa distribuição suavizada

foi estabelecida como a distribuição objetivo. De forma diferente dos casos de

validação, essa distribuição objetivo não é necessariamente realizável.



Figura 5.4: Caso 4 - Geometria inicial: Whitcomb ISA M∞ = 0.75, AOA = 0◦

1Integral Supercritical Airfoil - Aerofólio com a maior parte do extradorso em escoamentosupersônico


A suavização da recuperação de pressão apresenta duas vantagens do ponto de

vista prático: a diminuição ou eliminação do arrasto causado pela onda de choque

e o aumento do coeficiente de sustentação para o mesmo ângulo de ataque.

Conforme observa-se na figura 5.4(a), o ciclo de projeto inverso não foi capaz

de eliminar completamente a onda de choque, porém, a sua intensidade diminuiu

substancialmente. Além disso, verifica-se um aumento no coeficiente de sustenta-

ção partindo do valor inicial de 0.8527 para 0.8995 que é próximo do coeficiente

de sustentação da distribuição objetivo (Cl = 0.9022).

Caso 5

O caso 5 tem como objetivo eliminar o pico de sucção presente no intradorso

do aerofólio SD7062 na condição de M∞ = 0.3 e AOA = 0◦ conforme observado

na figura 5.5(a). Isso é feito modificando-se a distribuição de pressão original do

aerofólio e propondo-a como distribuição objetivo.

Essa mudança na distribuição de pressão no aerofólio tem o objetivo de di-

minuir o valor do coeficiente de momento do aerofólio. Esse tipo de mudança

é muito comum na indústria aeronáutica porque muitas vezes implica em uma

diminuição do arrasto de trimagem da aeronave (RAYMER, 1992). Esse arrasto

tem sua origem no arrasto induzido pela força de sustentação que a empenagem

horizontal gera para equilibrar os momentos longitudinais da aeronave.

Adotando a convenção de sinais usualmente utilizada em aeronáutica2, o coe-

ficiente de momento Cm0.25 da distribuição de pressão inicial é 0.00711, enquanto

que o Cm0.25 da distribuição final é −0.00027. Porém, é possível observar na fi-

gura 5.5(a) que o pico de sucção no intradorso não foi completamente eliminado.

Isso porque a geometria gerada pelo ciclo de projeto possui uma diferença acen-

tuada na curvatura na região do bordo de ataque (figura 5.5(b)). Essa diferença

é, por sua vez, causada pelo fato do ciclo de projeto tratar o extradorso e o intra-

dorso do aerofólio separadamente, não forçando que os valores da função de forma

em xc

= 0 (seção 4.1) dessas duas superfícies sejam iguais ou próximos entre si.

Nessa condição, uma modificação na distribuição de pressão na região do bordo

de ataque pode causar esse tipo de problema de descontinuidade de curvatura.

É importante ressaltar que esse problema não está relacionado com o método

adjunto e sim com forma como as modificações geométricas são propostas, uma

vez que não forçamos que os parâmetros que controlam o raio do bordo de ataque

do intradorso e do extradorso sejam iguais entre si.2Cm0.25 positivo causa uma arfagem positiva, ou seja, aumento do ângulo de ataque.

5.3 Influência da Malha Computacional 66



Figura 5.5: Caso 5 - Geometria inicial: SD7062 M∞ = 0.30, AOA = 0◦

5.3 Influência da Malha Computacional

Nessa seção será apresentada uma análise preliminar do efeito do refinamento

da malha computacional da superfície do aerofólio sobre o desempenho do ciclo

de projeto inverso. O caso escolhido como base de comparação de desempenho

do ciclo é o caso 1 de validação, onde se deseja partir da geoemetria RAE2822

em M∞ = 0.75 e AOA = 0◦.

Inicialmente, faz-se uma redução pela metade no número de elementos na su-

perfície do aerofólio, partindo de 150 elementos para 75 elementos para cada uma

das superfícies. Essa redução é feita mantendo-se os parâmetros de concentração

de pontos nas regiões do bordo de ataque e do bordo de fuga. O resultado desse


teste está apresentado na figura 5.6. Nessa figura percebe-se que não há uma

mudança perceptível de desempenho, uma vez que a trigésima solução do ciclo é

semelhante à apresentada na figura 5.1 com a malha mais refinada. A vantagem

da redução do número de elementos no aerofólio, nesse caso, é diminuição do

custo computacional, uma vez que as malhas do ciclo originalmente apresenta-

vam aproximadamente 12000 elementos e passaram a ter aproximadamente 8500

elementos.



Figura 5.6: Efeito da redução do número de elementos na superfície doaerofólio - parâmetro de concentração de pontos fixo.

Comparando-se a figura 5.6 com a figura 5.1, nota-se que não há uma degra-

dação significativa do resultado, porém, percebe-se uma pior resolução da onda

de choque devido à menor resolução espacial da malha.


Reduzindo o refinamento da malha superficial de 75 elementos para 35 ele-

mentos homogêneos, verifica-se uma diminuição do desempenho do ciclo de pro-

jeto conforme observa-se na figura 5.7. Nessa figura observa-se uma piora na

representação da distribuição pressão na região do bordo de ataque.



Figura 5.7: Efeito da redução do número de elementos na superfície doaerofólio - Malha superficial homogênea com 35 elementos ao longo da corda

Com esse estudo preliminar do efeito da qualidade da malha sobre desem-

penho do ciclo de projeto inverso, pode-se concluir que o efeito da malha na

qualidade da solução do ciclo de projeto está relacionado com a capacidade da

malha de possibilitar uma boa representação da característica física (pressão)

embutida na função de mérito. Isso porque uma solução ruim do escoamento

implica em uma solução compatível do problema adjunto que, no contexto desse


trabalho, utiliza a mesma malha utilizada na solução do escoamento.

70

6 Conclusões

Essa dissertação mostrou o conceito de aplicação do método adjunto na for-

mulação contínua aplicado às equações de Euler para promover melhorias ae-

rodinâmicas. Para isso, desenvolveu-se um ciclo de projeto inverso em que os

principais componentes foram implementados ao longo desse trabalho.

As formulações em malhas não-estruturadas tanto da modelagem do esco-

amento quanto do método adjunto foram apresentadas procurando-se permitir

a extensão futura da metodologia para problemas tridimensionais ou até mesmo

com outros tipos de medida de mérito. Além disso, procurou-se mostrar o sentido

prático da considerações apresentadas aqui, para isso mostrando o contexto e a

necessidade da ferramenta de projeto apresentada do ponto de vista da engenha-

ria aeronáutica. Porém, a utilidade de tal ferramenta não restringe-se somente a

esse setor mas também estende-se a outros setores como o de geração de energia,

onde pode-se aplicar as idéias apresentadas aqui em projeto de pás para a geração

de energia eólica por exemplo.

O código de solução das equações que regem o escoamento apresentou resul-

tados com qualidade comparável ao padrão estabelecido por códigos do mesmo

tipo. Apesar disso, não foi o objetivo desse trabalho melhorar o desempenho

de tal código em termos de custo computacional. Sendo assim, não se desejou

acelerar o avanço temporal adotando metodologias como multigrid e suavização

implícita de resíduo.

O código de solução das equações adjuntas utilizou-se em larga medida da

estrutura montada para a solução do escoamento e, por uma razão semelhante a

do escoamento, não se procurou melhorar a taxa de convergência. Apesar disso, os

resultados obtidos com o ciclo de projeto não necessitaram de um tempo de CPU

excessivo. Além disso, verificou-se que o custo de solução das equações adjuntas

é ligeiramente inferior ao custo observado para o escoamento. Com isso, é ainda

mais evidente a vantagem do método adjunto para a obtenção do gradiente da

função de mérito em relação ao método de diferenças finitas que necessita de

um número de soluções do escoamento proporcional ao número de variáveis de

6.1 Trabalhos Futuros 71

projeto enquanto que pelo método adjunto o custo é de aproximadamente duas

soluções do escoamento, independentemente do número de graus de liberdade da

parametrização.

A escolha da parametrização geométrica foi feita com base nas opções presen-

tes na literatura. Verificou-se que a proposta de Kulfan e Bussoletti (2006) tem a

capacidade de parametrizar o aerofólio inteiro diferente das funções de forma de

Hicks-Henne que parametrizam apenas as mudanças geométricas. Além disso, a

parametrização geométrica através dos polinômios de Bernstein é uma iniciativa

recente e com grande potencial de aplicação na indústria. Verificou-se porém,

que tal parametrização apresenta propriedades ainda pouco discutidas na litera-

tura. Essas propriedades dividem-se em vantagens e desvantagens apresentadas

no capítulo 4 e apesar de algumas dificuldades relativas à essa parametrização,

como a não-ortogonalidade da família de polinômios de Bernstein, julga-se que

essa metodologia figura-se como uma boa forma de representação geométrica por

apresentar características desejáveis como filtragem natural, controle direto de

parâmetros como raio de bordo de ataque e ângulo de fechamento do bordo de

fuga e a possibilidade de cobertura de grande parte do espaço de geometrias

possíveis com um número reduzido de parâmetros.

Os resultados do ciclo de projeto mostraram o bom desempenho do método

adjunto Euler para eliminar e também posicionar uma onda de choque. Além

disso, observou-se uma boa resposta de ciclo para o caso de validação em M∞ =

0.30. Apesar dessas qualidades esperadas do método em questão, verificou-se

uma dificuldade sistemática do ciclo em corrigir o bordo de fuga. Acredita-se

que essa dificuldade está relacionada com a pouca contribuição dessa região para

a integral da função de mérito aliada à influência entre os parâmetros discutida

em 4.2.2. Com os casos de aplicação, desejou-se descrever o cenário em que a

ferramenta detalhada nesse trabalho se insere e contribui para as soluções dos

problemas enfrentados na indústria aeronáutica.

6.1 Trabalhos Futuros

Ao longo do desenvolvimento desse trabalho verificou-se alguns assuntos que

possam ser estudados futuramente e que dariam continuidade ao esforço apresen-

tado aqui. Tais assuntos são:

• Metodologias de aceleração de convergência tanto para o código do escoa-

mento quanto para o adjunto.

6.1 Trabalhos Futuros 72

• Tratamento do problema de contorno do problema adjunto utilizando a

metodologia dos Invariantes de Riemann.

• Implementação de outros métodos de busca de mínimo.

• Estudo de outras formas de parametrização da função de forma.

• Estudo detalhado de influência da malha no desempenho do ciclo de projeto.

• Extensão do método para outras funções de mérito.

Obviamente, este trabalho não pretende esgotar o assunto do método adjunto

Euler em malhas não-estruturadas. Mas sim mostrar um conceito e colaborar para

o desenvolvimento dos item listados acima.

73

Apêndice A -- Exemplo de SoluçãoAdjunta

Esse apêndice apresenta um exemplo de solução do problema adjunto Euler

com a função de mérito de projeto inverso. A razão de apresentar tal solução é

prover subsídios para validação da solução adjunta para trabalhos futuros.

A solução apresentada aqui corresponde à primeira volta do ciclo de projeto

do caso 1 de validação, apresentado na seção 5.1.

Figura A.1: Distribuição de pressão da geometria base (RAE2822) e dageometria objetivo (NACA0012) com M∞ = 0.75 e AOA = 0◦.

As soluções das variáveis adjuntas estão apresentadas nas figuras A.2 a A.5.


Figura A.2: Solução para ψ1.


76

Apêndice B -- Metodologia deGeração de Malha

Esse apêndice apresenta a metodologia de geração automática das malhas

utilizadas tanto na validação do código de solução das equações que governam o

escoamento quanto nas malhas geradas no ciclo de projeto.

Conforme mencionado no capítulo 2, as malhas foram geradas utilizando-

se um código comercial. O código escolhido para essa tarefa foi o Gambit da

Fluent Incorporated por apresentar funções de razão de dimensão dos elementos

da malha adequadas para os casos expostos neste trabalho. O algoritmo de

triangulação utilizado é o de Delaunay. Esse algoritmo é extensamente utilizado

para aplicações do mesmo gênero das apresentas aqui.

150 Elementos

150 Elementos

50 Elementos

Figura B.1: Esquema da geração de malha.

Apêndice B -- Metodologia de Geração de Malha 77

A figura B.1 apresenta o esquema de geração das malhas. Na fronteira ex-

terna, a distribuição de dimensão dos elementos é homogênea enquanto que para o

intradorso e o extradorso do aerofólio, utilizou-se uma distribuição bi-geométrica

com fatores 1.06 e 1.02 para o bordo de ataque e para o bordo de fuga respecti-

vamente.

O software Gambit permite a utilização de rotinas para automatizar a geração

de malhas. Abaixo segue a rotina de geração de malhas desenvolvida para esse

trabalho.

Figura B.2: Rotina de geração de malha.

78

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projeto inverso aerodinâmico utilizando o método adjunto … · 2008-10-03 · marco antonio de...

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