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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁPR

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

CAMPUS DE CURITIBA

DEPARTAMENTO DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

E DE MATERIAIS - PPGEM

CLÁUDIO TAVARES DA SILVA

PROJETO E LOCALIZAÇÃO ÓTIMOS DE SISTEMAS DE NEUTRALIZADORES DINÂMICOS

VISCOELÁSTICOS USANDO ALGORITMOS GENÉTICOS

CURITIBA

DEZEMBRO - 2005


PROJETO E LOCALIZAÇÃO ÓTIMOS DE SISTEMAS DE NEUTRALIZADORES DINÂMICOS

VISCOELÁSTICOS USANDO ALGORITMOS GENÉTICOS

Dissertação apresentada como requisito parcial à obtenção do título de Mestre em Engenharia Mecânica, do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais, Área de Concentração: Engenharia da Manufatura, do Departamento de Pesquisa e Pós-Graduação, do Campus de Curitiba, da UTFPR.

Orientador: Prof. Carlos Alberto Bavastri, Dr. Eng.

Co-orientador: Prof. Jucélio Tomás Pereira, Dr. Eng.

CURITIBA

DEZEMBRO - 2005

TERMO DE APROVAÇÃO


PROJETO E LOCALIZAÇÃO ÓTIMOS DE SISTEMAS DE NEUTRALIZADORES DINÂMICOS VISCOELÁSTICOS USANDO ALGORITMOS GENÉTICOS

Esta Dissertação foi julgada para a obtenção do título de mestre em engenharia, área de concentração em engenharia de Manufatura, e aprovada em sua forma final pelo Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais.

____________________________________ Prof. Sílvio Luiz de Mello Junqueira, D. Sc.

Coordenador de Curso

Banca Examinadora

______________________________ ______________________________ Prof. José João de Espíndola, PhD Prof. Elizabeth Penner, Dr. Eng. (UFSC) (UTFPR)

______________________________ ______________________________ Prof. Jucélio Tomás Pereira, Dr. Eng. Prof. Carlos Alberto Bavastri, Dr. Eng. (UTFPR) (UTFPR)

Curitiba, 13 de dezembro de 2005

PPGEM – Engenharia de Manufatura (2005)

À minha Mãe Márcia, ao meu Pai José (in

memoriam), e aos meus filhos, Geovanna

e Fábio.

AGRADECIMENTOS

Ao meu orientador Carlos Bavastri pelo incentivo e orientação, pela capacidade

técnica, pela amizade e companheirismo que se desenvolveram ao longo de todo o

trabalho. E pelo carinho de ler antes.

Ao meu co-orientador Jucélio Tomás pela orientação, pelos questionamentos e

pelas idéias que foram essenciais para o desenvolvimento e conclusão desse

trabalho. E também pelo carinho de ler antes.

Aos meus colegas, pelo grande apoio, incentivo e colaboração, assumindo

parte das atividades a mim designadas, possibilitando me dedicar à realização desse

trabalho.

À UTFPR pela oportunidade e incentivos que permitiram a idealização,

desenvolvimento e realização desse trabalho.

Ao DAMEC – Departamento Acadêmico de Mecânica e ao PPGEM – Programa

de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica e Materiais que possibilitaram a

realização desse trabalho através de apoio logístico e material.

Os professores e colegas Sílvio Junqueira e Paulo Borges, que acreditaram em

mim e me possibilitaram a oportunidade de realizar esse trabalho.

Quando a velocidade da água que flui alcança o

ponto em que pode mover as pedras, esta é a força

direta. Quando a velocidade e manobrabilidade do

falcão é tal que pode atacar e matar, isto é

precisão.

Sun Tzu


SUMÁRIO

RESUMO v

ABSTRACT vi

LISTA DE FIGURAS vii

LISTA DE TABELAS xi

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS xii

LISTA DE SÍMBOLOS xiii

1 INTRODUÇÃO 16 1.1 Apresentação do Problema 16 1.2 Relevância do Problema 18

1.2.1 Neutralizadores Dinâmicos Viscoelásticos 18 1.3 Objetivos 21 1.4 Histórico 23

1.4.1 Neutralizadores Dinâmicos de Vibração 24 1.4.2 Cálculo Fracional e Viscoelasticidade 27 1.4.3 Algoritmos Genéticos 28 1.4.4 Localização Ótima dos Neutralizadores 29

1.5 Composição do Trabalho 32 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 34

2.1 Viscoelasticidade Linear 34 2.1.1 Introdução 34 2.1.2 Comportamento Dinâmico 34 2.1.3 Temperatura e Freqüência de Transição 39

2.2 Modelo Viscoelástico Baseado em Derivadas Fracionárias 42 2.2.1 Modelos com Derivada de Ordem Fracionária 42

2.3 Quantidades Equivalentes Generalizadas Para Um Neutralizador Simples 47 2.4 Dinâmica de Estruturas 51

2.4.1 Modelo Viscoso 52 2.4.2 Problema de Autovalores não Amortecido 53 2.4.3 Modelo Viscoso Proporcional 55 2.4.4 Resposta em Freqüência – Coordenadas Principais 56 2.4.5 Neutralizadores Dinâmicos Fixados a Sistemas Primários Complexos 58 2.4.6 Truncamento 59

2.5 Técnicas de Otimização Não Linear 62


2.5.1 Histórico 63 2.5.2 Classificação dos Modelos de Otimização 64 2.5.3 Aplicação a Neutralizadores Dinâmicos 66

2.6 Função Objetivo e Variáveis de Projeto – Otimização dos Parâmetros dos Neutralizadores Dinâmicos 71

3 ALGORÍTMOS GENÉTICOS 75 3.1 Introdução 75 3.2 Terminologia 76 3.3 Operadores Genéticos 78

3.3.1 Cruzamento (Crossover) 78 3.3.2 Mutação 80 3.3.3 Seleção 81 3.3.4 Reprodução 83 3.3.5 Elitismo 84 3.3.6 Compartilhamento 84

3.4 Parâmetros de Influência e Configurações 85 3.4.1 Tamanho da população 86 3.4.2 Probabilidade de Cruzamento 87 3.4.3 Probabilidade de Mutação 88

3.5 A Função Objetivo 88 3.6 Critérios de Convergência 91 3.7 Algoritmo Micro-genético (µGA – micro-GA) 92 3.8 Algoritmo Genético Típico 92 3.9 Teorema Fundamental dos Algoritmos Genéticos 93 3.10 Implementação do Algoritmo Genético para Solução do Problema de Posicionamento de um Sistema de Neutralizadores Dinâmicos de Vibração 99

4 RESULTADOS 101 4.1 Modelo Modal do Sistema Primário 101 4.2 Modelo do Material Viscoelástico 105 4.3 Sistema de Neutralizadores 106 4.4 Técnicas de Otimização Não-Linear 107 4.5 Algoritmo Genético 108 4.6 Casos Avaliados 109

4.6.1 Simulações 1, 2 e 3: Neutralização do Primeiro Modo de Vibrar 109 4.6.2 Comentários relativos às simulações 1, 2 e 3 112 4.6.3 Simulações 4, 5 e 6: Neutralização do Segundo Modo de Vibrar 113 4.6.4 Comentários relativos às simulações 4, 5 e 6 116 4.6.5 Simulações 7, 8 e 9: Neutralização do Terceiro Modo de Vibrar 117 4.6.6 Comentários relativos aos ensaios 7, 8 e 9 120 4.6.7 Simulações 10, 11 e 12: Neutralização do Quarto Modo de Vibrar 121 4.6.8 Comentários relativos às simulações 10, 11 e 12 124


4.6.9 Simulações 13, 14 e 15: Neutralização dos Segundo, Terceiro e Quarto Modos de Vibrar 125 4.6.10 Comentários relativos aos ensaios 13, 14 e 15 128

4.7 Espaço de Busca 129 5 CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES 132

5.1 Conclusões 132 5.2 Sugestões para Trabalhos Futuros 134

REFERÊNCIAS 135 APÊNDICE A – Elemento finito shell63 145 APÊNDICE B – Características dinâmicas de um material viscoelástico. 147 APÊNDICE C – Dados numéricos para construção do gráfico tridimensional do espaço de busca. 149

vi


Da Silva, Cláudio Tavares, Projeto e Localização Ótimos de Sistemas de Neutralizadores Dinâmicos Viscoelásticos Usando Algoritmos Genéticos, 2005,

Dissertação (Mestrado em Engenharia) - Programa de Pós-graduação em

Engenharia Mecânica e de Materiais, Universidade Tecnológica Federal do Paraná,

Curitiba, 154p.

RESUMO

A utilização de material viscoelástico em neutralizadores dinâmicos (NDV)

permite construir dispositivos com formas e tamanhos variados. Essas

características tornam os NDV’s extremamente versáteis para controlar vibrações e

ruído irradiado de diferentes estruturas mecânicas. Devido às características do

material viscoelástico, este dispositivo de controle se torna muito eficaz em uma

banda larga de freqüências. Uma metodologia geral e consagrada para projetar

neutralizadores dinâmicos viscoelásticos (desenvolvida pelo grupo PISA-CNPq)

considera: técnicas de otimização não-linear, parâmetros equivalentes

generalizados, parâmetros modais da estrutura e modelos de derivada fracionária

para o material viscoelástico. Assim, trabalhando em um subespaço modal da

estrutura a controlar, é possível obter os parâmetros físicos ótimos dos

neutralizadores de forma que a resposta daquela seja a menor possível. Neste

processo, a localização dos neutralizadores é preestabelecida, uma vez conhecido o

modelo modal da estrutura. Em algumas aplicações, quando a densidade modal da

estrutura é elevada ou quando os modos estão suficientemente acoplados, a

localização dos neutralizadores não é obvia para o projetista. Nestes casos,

encontrar a melhor localização para os dispositivos de controle pode ser

fundamental. Neste trabalho, propõe-se uma metodologia geral que permite

determinar, simultaneamente, a localização e os parâmetros ótimos de um sistema

de neutralizadores. Um exemplo numérico sobre uma placa de aço, estudando

distintas faixas de freqüências, será apresentado e seus resultados discutidos.

Palavras-chave: Neutralizadores dinâmicos, Material viscoelástico, Localização e

projeto ótimos, Otimização.

vii


Da Silva, Cláudio Tavares, Projeto e Localização Ótimos de Sistemas de Neutralizadores Dinâmicos Viscoelásticos Usando Algoritmos Genéticos, 2005,

Dissertação (Mestrado em Engenharia) - Programa de Pós-graduação em

Engenharia Mecânica e de Materiais, Universidade Tecnológica Federal do Paraná,

Curitiba, 154p.

ABSTRACT

The use of viscoelastic materials in dynamic neutralizers (VDN) permits to

construct devices with different forms and sizes, making them extremely useful to

noise and vibrations control in many types of structures. Considering the viscoelastic

material characteristics, this form of control device has proved to be very efficient in a

wide frequency band. A general and robust method to design viscoelastic dynamic

neutralizers (developed by the PISA-CNPq group) considers: non-linear optimization

technique, equivalent generalized parameters, the structure’s modal parameters and

fractional derivatives based models for the viscoelastic material. Working in a modal

subspace of the structure to be controlled, it is possible to find the neutralizers

optimal physical parameters such the structure’s response be the minor possible. In

this process, the location of the neutralizers is predetermined, once known the modal

model for the structure. In certain applications, when the modal density of the

structure is high or when the modes are coupled, the neutralizers’ placement is not

so clear for the designer. In these cases, to find the best localization for the control

devices can be fundamental. In this work, a general methodology is suggested

allowing determining, simultaneously, the localization and the optimal parameters of

a neutralizer system. A numerical example on a steel plate is presented and its

results commented.

Keywords: Dynamic neutralizers; Viscoelastic material; Optimal design and location;

Optimization.

viii


LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 Exemplo de neutralizador dinâmico de vibração (rotor de helicóptero)....17

Figura 1.2 Neutralizador MK......................................................................................17

Figura 1.3 Neutralizador MCK. ..................................................................................18

Figura 1.4 Eficiência em banda larga de freqüência. ................................................20

Figura 1.5 Fluxograma de otimização de um sistema de neutralizadores de vibração

...........................................................................................................................23

Figura 2.1 Variação do módulo dinâmico e do fator de perda com a freqüência para

uma temperatura constante. ..............................................................................39

Figura 2.2 Variação do módulo dinâmico e do fator de perda com a temperatura para

uma freqüência constante. .................................................................................40


uma temperatura constante (Parâmetros assintóticos 0G e ∞G ) (Amado, 2004).

...........................................................................................................................45


uma temperatura constante (Parâmetro α ) (Amado, 2004). .............................46


uma temperatura constante (Parâmetro b) (Amado, 2004)................................47

Figura 2.6 Neutralizador viscoelástico simples..........................................................47

Figura 2.7 Sistemas equivalentes: (a) neutralizador sobre base sem massa e (b)

parâmetros equivalentes generalizados.............................................................50

Figura 2.8 Sistemas equivalentes: neutralizador sobre sistema primário genérico. ..51

Figura 2.9 Processo do projeto ótimo........................................................................63

Figura 2.10 Comparação entre os métodos do gradiente, Newton e quase-Newton.

(Bavastri, 1997)..................................................................................................71

Figura 2.11 Função Objetivo .....................................................................................74

ix


Figura 3.1 Ilustração de um AG simples, incluindo: 1. população inicial, 2.e 3.

reprodução e cruzamento para formar uma nova geração e 4. obtenção do

melhor indivíduo (Senecal, 2000).......................................................................76

Figura 3.2 Esquema do cruzamento uniforme...........................................................79

Figura 3.3 Esquema do cruzamento de um ponto.....................................................80

Figura 3.4 Esquema do cruzamento de dois pontos. ................................................80

Figura 3.5 Esquema da mutação (troca simples). .....................................................81

Figura 3.6 Exemplo de método da roleta. .................................................................82

Figura 3.7 Subpopulações devidas ao niching ou sharing. .......................................85

Figura 3.8 Fluxograma de um AG típico....................................................................93

Figura 3.9 Fluxograma de busca da localização ótima de um sistema de NDV’s

utilizando algoritmo genético............................................................................100

Figura 4.1 Objeto de estudo: placa plana em aço simplesmente apoiada nos vértices.

.........................................................................................................................101

Figura 4.2 Sistema primário (placa) e malha de FEM com a numeração dos nós. .102

Figura 4.3 Modos de vibrar: (a) primeiro modo; (b) segundo modo; (c) terceiro modo;

(d) quarto modo e (e) quinto modo...................................................................104

Figura 4.4 Módulo da FRF da estrutura primária; H95,123.........................................104

Figura 4.5 Monograma do NEOPRENE® empregado nas simulações....................106

Figura 4.6 Localização do sistema de neutralizadores: 1o modo – 1 neutralizador. 110

Figura 4.7 Resposta do sistema primário com 1 neutralizador................................110

Figura 4.8 Localização do sistema de neutralizadores: 1o modo – 2 neutralizadores.

.........................................................................................................................110

Figura 4.9 Resposta do sistema primário com 2 neutralizadores............................111


.........................................................................................................................111

Figura 4.11 Resposta do sistema primário com 4 neutralizadores..........................112

x


Figura 4.12 Localização do sistema de neutralizadores: 1o modo – 1 neutralizador.

.........................................................................................................................113

Figura 4.13 Resposta do sistema primário com 1 neutralizador..............................114


.........................................................................................................................114



.........................................................................................................................115



.........................................................................................................................117



.........................................................................................................................118



.........................................................................................................................119



.........................................................................................................................122



.........................................................................................................................122



.........................................................................................................................123


xi


Figura 4.30 Localização do sistema de neutralizadores: 1 neutralizador. ...............125


Figura 4.32 Localização do sistema de neutralizadores: 2 neutralizadores. ...........126


Figura 4.34 Localização do sistema de neutralizadores: 4 neutralizadores. ...........127



Figura A.1 Geometria do Elemento Finito SHELL63. ..............................................145

Figura A.2 Saídas do Elemento Finito SHELL63.....................................................146

xii


LISTA DE TABELAS

Tabela 3.1 Relação da terminologia dos AG’s e a Biologia.......................................78

Tabela 3.2 Indivíduos de uma população e sua aptidões. ........................................94

Tabela 3.3 Exemplo de um indivíduo e 5 esquemas possíveis. ................................94

Tabela 3.4 Exemplo de um indivíduo e 2 esquemas possíveis. ................................97

Tabela 4.1 Freqüências naturais obtidas para a placa plana. .................................103

Tabela 4.2 Parâmetros materiais do modelo baseado em derivadas fracionárias do

NEOPRENE®. ..................................................................................................105

Tabela 4.3 Resultados das simulações 1, 2 e 3. .....................................................112



Tabela 4.6 Resultados das simulações 10, 11 e 12. ...............................................124

Tabela 4.7 Resultados das simulações 13, 14 e 15. ...............................................128

xiii


LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

AG - Algoritmo genético

ESPS - Exhaustive Single Point Substitution

MCK - Neutralizador dinâmico de vibração do tipo massa-mola-amortecedor

MK - Neutralizador dinâmico de vibração do tipo massa-mola

NDV - Neutralizador dinâmico viscoelástico

PC - Programação convexa

PI - Programação inteira

PL - Programação linear

PNL - Programação não-linear

RMS - Root Mean Square

TONL - Técnicas de otimização não-linear

WOBI - Worst out Best in

xiv


LISTA DE SÍMBOLOS

σ - Tensão ε - Deformação

E - Módulo de elasticidade (Modulo de Young)

t - Tempo

Ω - Freqüência ( )ΩcE - Módulo de elasticidade complexo

θ - Temperatura (K) η - Fator de perda

( )ΩcG - Módulo de cisalhamento complexo ( )ΩcB - Módulo volumétrico complexo

[ ]αD - Operador derivada fracional

( )Γ - Função Gama

L - Fator de forma

( )ΩZ - Rigidez dinâmica ou impedância mecânica

( )ΩF - Transformada de Fourier da força de excitação

( )ΩX - Transformada de Fourier da resposta em deslocamento

am - Massa de neutralizador dinâmico de vibração ( )ΩaM - Massa dinâmica

aΩ - Freqüência de anti-ressonância do NDV

M - Matriz de massa

C - Matriz de amortecimento

K - Matriz de rigidez

js - j-ésimo autovalor

jφ - j-ésimo autovetor

Φ - Matriz de autovetores

crc - Amortecimento crítico ξ - Relação de amortecimento modal

ν - Parte imaginária do autovalor

δ - Parte real de autovalor

( )ΩQ - Coordenadas físicas

xv


( )ΩP - Coordenadas principais

Ψ - Matriz de mudança de coordenadas para o espaço modal

( )Ωα - Resposta em freqüência do sistema em coordenadas generalizadas

M~ - Matriz massa do sistema composto (sistema primário + neutralizador)

C~ - Matriz amortecimento do sistema composto

Φ - Matriz modal truncada

D - Matriz de resposta em freqüência no espaço modal

( )xf - Função objetivo

x - Vetor de variáveis de projeto

( )xg - Vetor de funções de restrições de desigualdade

( )xh - Vetor de funções de restrições de igualdade

∇ - Operador gradiente

λ - Parâmetro escalar (otimização)

H - Matriz Hessiana

( )xη - Fator de direção busca de Newton µ - Relação de massas

2 - Norma 2 de uma matriz

( )a - Função de adequabilidade

( )λ - Função de compartilhamento

( )EO - Ordem de um esquema

( )Eδ - Comprimento de um esquema

exp - Probabilidade de extinção

cp - Probabilidade de ocorrer cruzamento

sp - Probabilidade de sobrevivência

mp - Probabilidade de mutação

smp - Probabilidade de sobrevivência à mutação g - Comprimento em bits do indivíduo

Capítulo 1 Introdução 16


1 INTRODUÇÃO

1.1 Apresentação do Problema

Em muitas situações as vibrações são indesejáveis e podem provocar

desconforto ou mesmo o desgaste prematuro de componentes estruturais. Pode até

mesmo levar algumas estruturas ao colapso. Com o objetivo de reduzir os níveis de

vibração pode-se utilizar alguma das seguintes técnicas:

• Atuar sobre a força de excitação eliminando-a, reduzindo sua amplitude e/ou

alterando sua freqüência.

• Atuar sobre a estrutura, variando seus parâmetros dinâmicos (massa, rigidez e

amortecimento).

• Acoplar um sistema auxiliar ao sistema principal ou primário procurando

neutralizar a vibração e/ou seus efeitos.

Geralmente atuar sobre a excitação é pouco prático e na maioria das vezes

impossível. Modificar a estrutura primária é sempre uma ação válida quando a sua

densidade modal é relativamente baixa e os esforços são do tipo banda estreita. Por

outro lado, para estruturas com densidade modal elevada e/ou esforços externos

com características de banda larga em freqüência, por exemplo, auto-excitações

provocadas pela ação do vento sobre um dado perfil (desprendimento de vórtices de

von Karman), a modificação estrutural muitas vezes não é uma ação de controle

válida ou eficaz. Em outras ocasiões, a estrutura primária é fruto de um projeto

anteriormente elaborado e uma modificação pode comprometer esse projeto. Sob

esse ponto de vista a terceira alternativa se mostra mais interessante como técnica

de controle passivo de vibração. O sistema auxiliar, que é acoplado ao sistema

principal, é denominado neutralizador dinâmico de vibração (figura 1.1).

Entre as muitas aplicações dos neutralizadores dinâmicos de vibração algumas

podem ser citadas: cabos de linha aérea de transmissão de energia elétrica, prédios

sob ação do vento ou forças sísmicas, máquinas de barbear, rotores dinâmicos, etc.



Figura 1.1 Exemplo de neutralizador dinâmico de vibração (rotor de helicóptero)

Um neutralizador dinâmico de vibração é um sistema simples, em geral de um

grau de liberdade, com ou sem amortecimento, que é acoplado à estrutura principal

com o objetivo de controlar ou reduzir os níveis de vibração e/ou ruído irradiado por

essa estrutura. Na ausência de amortecimento, via de regra, esses dispositivos de

controle recebem a nomenclatura de neutralizadores dinâmicos massa-mola ou MK

(figura 1.2).

Figura 1.2 Neutralizador MK.

Neutralizador MK

Sistema principal



Se for introduzido um elemento dissipador de energia, por exemplo, um

amortecedor viscoso, estes dispositivos são denominados massa-mola-amortecedor

ou simplesmente MCK (figura 1.3).

Figura 1.3 Neutralizador MCK.

1.2 Relevância do Problema

1.2.1 Neutralizadores Dinâmicos Viscoelásticos

Desde que os neutralizadores dinâmicos foram usados pela primeira vez para

controlar o movimento de rolagem de navios (Frahm, 1909) tem-se observado o

aparecimento de muitas publicações sobre esta linha de pesquisa. Isso demonstra o

grande interesse dos pesquisadores por utilizar esta técnica de controle. Por sua

vez, a técnica tem se mostrado eficaz, de simples construção e baixo custo.

Quando um neutralizador dinâmico MK é acoplado a uma estrutura, o princípio

básico de operação não envolve, em primeira análise, dissipação de energia, mas

uma redistribuição dessa energia no espectro de freqüência para neutralizar a

vibração numa certa freqüência especifica, ou faixa estreita de freqüência. Devido a

isso é que se prefere usar a denominação neutralizador dinâmico de vibrações ao

invés de absorvedor dinâmico de vibrações.

Neutralizador MCK

Sistema principal



Após a aplicação inicial, surgiram os modelos de neutralizadores dinâmicos

com amortecimento viscoso (massa-mola-amortecedor) ou MCK e seus modelos

matemáticos desenvolvidos por Ormondroyd e Den Hartog (1928). Aqui, além de

gerar forças de reação sobre a estrutura, o neutralizador promove uma dissipação

da energia vibratória. Por outro lado, esses dispositivos MCK, com amortecedores

viscosos, são difíceis de construir e em geral utilizados apenas como comparação

dos modelos matemáticos no estudo de controle de vibração.

Os neutralizadores confeccionados com material viscoelástico, NDV

(neutralizadores dinâmicos viscoelásticos), possuem características muito

interessantes e que produzem resultados altamente favoráveis, tanto pela facilidade

de construção prática quanto pela sua eficiência. O material viscoelástico, além de

um efeito resiliente, introduz um fator dissipador de energia intrínseco. Neste caso, a

mola e o amortecedor viscoso são substituídos pelo material viscoelástico. Essa

dissipação de energia reduz significativamente o nível de amplitude de vibração no

neutralizador. Isso aumenta em muito a sua vida útil, pois os efeitos de fadiga são

minorados. Outro aspecto, ainda mais importante, é que a presença desse fator

dissipador de energia “espalha” o efeito absorvedor de vibração do neutralizador

para freqüências vizinhas à freqüência de sintonia, como no neutralizador MCK

(figura 1.4). Isso torna o neutralizador eficiente numa banda de freqüência mais

ampla. Esse fator é extremamente útil, pois torna possível obter excelentes

resultados de redução de níveis de vibração com um ou mais neutralizadores

acoplados à estrutura. Isso também é facilitado se a estrutura é excitada em um

intervalo de freqüências mais amplo. Os neutralizadores viscoelásticos são

facilmente projetados e construídos de forma simples e de baixo custo. Daí a sua

grande vantagem sobre os outros dispositivos. O primeiro em modelar este tipo de

neutralizadores foi Snowdon (1968). Após vários anos de pesquisa, Espíndola e

Silva (1992) desenvolvem uma metodologia geral para o projeto ótimo de um

sistema de neutralizadores dinâmicos viscoelásticos para reduzir os níveis de

vibração e ruído, sobre uma estrutura geometricamente complexa, com

comportamento linear, em uma banda larga de freqüência.



Figura 1.4 Eficiência em banda larga de freqüência.

Em controle de vibrações, o posicionamento do neutralizador na estrutura é um

aspecto significante. Ele está relacionado diretamente com a eficiência do controle.

Em geral, quando se conhecem os parâmetros modais do sistema primário e quando

é necessário controlar somente alguns modos deste sistema, uma interpretação

visual de um engenheiro experiente é suficiente para posicionar os neutralizadores.

Já uma estrutura geometricamente complexa, com densidade modal elevada dentro

de uma faixa de freqüência de interesse ampla, a melhor localização dos

neutralizadores não é tão clara para o engenheiro especialista. Nesses casos, o

problema de otimizar a localização dos neutralizadores se torna extremamente

significante para maximizar a eficiência do controle. Se um neutralizador é

posicionado num lugar inconveniente, por exemplo, sobre uma linha nodal para um

certo modo de interesse, ele não será efetivo e seu controle sobre a vibração do

sistema, para esse modo, será nulo.

Até o presente trabalho, no projeto ótimo de neutralizadores dinâmicos

viscoelásticos, a posição dos mesmos na estrutura é escolhida de forma prévia à

utilização das TONL (Espíndola e Bavastri, 1996 e Bavastri, 1997), os quais

possibilitam projetar as propriedades dinâmicas dos NDV’s de forma ótima. Essa

escolha baseia-se nos parâmetros modais da estrutura a controlar, exatamente nos

pontos de máxima amplitude dos modos que se encontram na faixa de freqüência de

interesse.



Pode ocorrer, em alguns casos práticos, que a estrutura possua uma

densidade modal elevada ou que exista um certo acoplamento entre modos vizinhos

ou ainda que existam simetrias na estrutura a controlar. Nesses casos, definir a

melhor localização para os neutralizadores (um ou mais neutralizadores) pode não

ser muito simples. Assim, uma localização escolhida previamente à TONL pode

resultar em um controle não ótimo e, conseqüentemente, pode existir uma

localização melhor do que a adotada pelo engenheiro especialista.

Por exemplo, pode-se citar o problema de controle passivo de vibração de

cabos aéreos de transmissão de energia onde, até os dias de hoje, se estuda a

melhor posição para os neutralizadores dinâmicos viscoelásticos sobre a linha, nas

proximidades do engaste desta.

1.3 Objetivos

Este trabalho tem como objetivo principal propor e desenvolver uma

metodologia capaz de determinar a localização ótima e os parâmetros construtivos

ótimos, simultaneamente, do sistema de neutralizadores dinâmicos viscoelásticos

para o controle passivo de vibrações, em uma estrutura com comportamento linear,

geometricamente complexa.

Partindo do conhecimento do sistema a controlar, através de seus parâmetros

modais, é possível, utilizando Técnicas de Otimização Não-Linear (TONL),

determinar a localização e os parâmetros ótimos dos neutralizadores.

Durante muitos anos todos os esforços foram direcionados para introduzir uma

metodologia geral ao projeto ótimo de neutralizadores dinâmicos. Seguindo essa

linha de pesquisa, Espíndola e Silva (1992) introduzem o conceito de parâmetros

equivalentes generalizados e apresentam uma metodologia geral para o controle de

vibração modo a modo, em uma estrutura geometricamente complexa, trabalhando

em uma banda ampla de freqüência. Assim, partindo do conceito de parâmetros

equivalentes generalizados, foi possível trabalhar em um subespaço modal do

sistema primário, com um número reduzido de equações representativas do sistema,

dado pela faixa de freqüência de interesse. Uma equivalência com a teoria de 1 grau

de liberdade (gdl) foi utilizada para o projeto ótimo de um sistema de neutralizadores,



atuando sobre uma estrutura linear geometricamente complexa. Além de uma

metodologia geral de projeto, as vantagens desta sobre a teoria de 1 gdl

apresentada por Ormondroyd e Den Hartog (1928) são:

• A massa resultante dos neutralizadores é de, aproximadamente, 4 a 5 vezes

menor.

• Uma metodologia geral para o projeto ótimo de um sistema de neutralizadores

de vibração e ruído (controle modo a modo), sobre um sistema

geometricamente complexo.

Posteriormente, Espíndola e Bavastri (1996, 1997), Espíndola, Bavastri e

Teixeira (1998) e Bavastri (1997) generalizam essa teoria ao trabalhar com TONL e

um controle ótimo em uma banda larga de freqüências utilizando neutralizadores

dinâmicos viscoelásticos. Nesses trabalhos, o controle deixa de ser modo a modo

para se converter em um controle sobre uma banda larga de freqüências.

Com isso é possível projetar, de forma ótima, um conjunto de neutralizadores

capaz de reduzir a resposta vibratória de um sistema mecânico geometricamente

complexo, utilizando para isso uma quantidade de massa muito menor que a

necessária se se utilizasse um modelo de 1 gdl para o sistema primário.

Em todos esses trabalhos, a localização dos neutralizadores é sempre

escolhida previamente, uma vez conhecidos os parâmetros modais da estrutura.

Conhecendo os modos a controlar, dentro da faixa de freqüência de interesse, em

geral, é possível determinar os pontos de melhor localização para os

neutralizadores. Em geral, estes pontos encontram-se nos ventres dos modos de

vibrar da estrutura, ou seja, pontos de máxima amplitude relativa de vibração, caso

este se encontre na banda de freqüência de excitação.

Alguns trabalhos têm como meta obter a localização ótima dos neutralizadores

(Abdullah, 2000, Agrawall e Yang, 1998a e 1998b, Arabyan e Chemishkian, 1998,

Furuya e Haftka, 1993, e outros). Entretanto, em nenhum desses foi empregada a

metodologia modal geral aqui proposta, nem os modelos constitutivos de derivada

fracionária para os materiais viscoelásticos empregados em NDV’s.



Figura 1.5 Fluxograma de otimização de um sistema de neutralizadores de vibração

Portanto, ao final desse trabalho, pretende-se aportar a essa linha de pesquisa

a possibilidade de projetar neutralizadores ótimos e sua localização ótima,

simultaneamente (figura 1.5). Para isso, se partirá da metodologia de projeto ótimo

de NDV’s antes mencionada e se proporá uma nova técnica para encontrar os

pontos ótimos de localização dos neutralizadores.

1.4 Histórico

Nessa secção faz-se um breve histórico sobre o emprego de neutralizadores

dinâmicos. Sua evolução para utilização de material viscoelástico bem como das

teorias relacionadas com a viscoelasticidade e cálculo fracional para modelamento

Estrutura

Identificação

Parâmetros

Modais

Parâmetros do Neutralizador:

Otimização via programação não-linear

Busca por nova posição do

Neutralizador:

Critério de parada

Dados iniciais:

Quantidade de

neutralizadores

Posição inicial

Parâmetros do

neutralizador

Faixa de freqüência

Nova rotina

proposta



matemático de propriedades viscoelásticas. Segue também uma abordagem

histórica sucinta a respeito dos algoritmos genéticos empregados como métodos de

otimização e o problema de localização de neutralizadores dinâmicos de vibração.

1.4.1 Neutralizadores Dinâmicos de Vibração

Após a aplicação proposta por Frahm (1911), o modelo mais simples, estudado

primeiramente por Ormondroyd e Den Hartog (1928), e apresentado por vários

autores, tal como Harris e Crede (1976), Hunt (1979), Snowdon (1968), foi o

neutralizador dinâmico de um grau de liberdade aplicado a um sistema de um grau

de liberdade. Snowdon (1968) foi o primeiro pesquisador a modelar um neutralizador

dinâmico viscoelástico de um grau de liberdade para controlar um sistema também

de um grau de liberdade. O objetivo desses estudos foi encontrar os parâmetros

ótimos do sistema secundário (neutralizador) para minimizar a vibração do sistema

primário.

1.4.1.1 Neutralizador do Tipo Massa-Mola [MK]

Trabalhando em banda estreita (freqüências de trabalho na vizinhança da

freqüência natural do sistema primário), foi demonstrado (Den Hartog, 1956) que a

amplitude de vibração do sistema primário tende para zero quando a freqüência

natural do neutralizador e a do sistema primário coincidem. Esta escolha, conhecida

como sintonização da freqüência do neutralizador, modifica a resposta do sistema,

introduzindo duas novas freqüências naturais, ao redor da freqüência natural do

sistema primário. Esse tipo de neutralizador possui apenas elementos que

armazenam energia cinética e potencial elástica (denominados MK), não existindo

qualquer tipo de dissipação de energia vibratória. O controle se deve

fundamentalmente às forças de reação.

Duas dificuldades surgem dessa aplicação: a) a amplitude de vibração do

neutralizador é grande, o que em geral, leva à sua ruptura por fadiga; b) se se varia

a freqüência de excitação tornando-a diferente da freqüência de sintonização do

neutralizador, as amplitudes de vibração do sistema podem aumentar (ressonância)



o que poderia provocar o colapso da estrutura. A fim de evitar esses inconvenientes

é importante introduzir amortecimento no neutralizador.

1.4.1.2 Neutralizador do Tipo Massa-Mola-Amortecedor [MCK]

A alternativa de se introduzir um amortecedor viscoso ao neutralizador

possibilita o trabalho deste numa banda ampla de freqüência (faixa de freqüência de

trabalho).

O método clássico de sintonia do neutralizador [MCK] trabalhando em banda

larga é chamado Método dos Pontos Fixos. A existência dos pontos fixos é garantida

se o sistema primário tem amortecimento nulo (Den Hartog, 1956). Segundo Den

Hartog (1956): “A sintonização dos neutralizadores dinâmicos é mais efetiva quando

os máximos valores de resposta do sistema primário são iguais e coincidem com os

pontos fixos”.

Esta teoria é inadequada para aplicações práticas a sistemas primários

complexos onde vários modos podem contribuir para a resposta do sistema (Silva,

1991). Entretanto, alguns pesquisadores tais como Young (1952) e Snowdon (1968),

estudaram sua aplicação a estruturas complexas.

1.4.1.3 Neutralizador Dinâmico Viscoelástico [NDV]

Uma alternativa para o emprego de neutralizadores dinâmicos de vibração é o

neutralizador dinâmico viscoelástico. Nesse caso, uma peça de material

viscoelástico substitui a mola e o amortecedor viscoso.

O primeiro pesquisador a trabalhar com esse tipo do neutralizador foi Snowdon

(1968). Ele apresenta a análise de um neutralizador viscoelástico de um grau de

liberdade aplicado a um sistema também de um grau de liberdade e sem

amortecimento.

Vários outros trabalhos foram realizados nos últimos anos, analisando o

sistema composto (sistema+neutralizador). Entre eles destacam-se: Asami, et al.

(1991 e 1993), Jolly e Sun (1994), Rossi et al. (1993), Wang e Shang (1989),



Warburton e Ayorinde (1980), Yamamura et al. (1993), Zhang et al. (1990). Ayorinde

e Warburton (1980), Kaljevic et al. (1993), Kunieda et al. (1987), Özgüven e Çandir

(1986), Peterson (1979), Yamaguchi et al. (1993) desenvolveram trabalhos teóricos

sobre aplicações de neutralizadores para sistema de um e dois graus de liberdade.

Espíndola e Silva (1992), generalizaram o problema do projeto ótimo de um

sistema de neutralizadores dinâmicos viscoelásticos através da via modal.

Introduzindo o conceito de parâmetros equivalentes generalizados para

neutralizadores [MCK] e viscoelásticos foi possível escrever as equações dinâmicas

do sistema composto em função das coordenadas generalizadas do sistema

primário. Esse fato é extremamente vantajoso uma vez que o acréscimo de graus de

liberdade devido ao acoplamento dos neutralizadores não implica no aumento do

tamanho do sistema de equações do sistema composto.

Partindo desse ponto e considerando o modelo do sistema composto em um

sub-espaço modal do sistema primário, é possível projetar, de forma ótima, o

sistema de neutralizadores de duas formas:

• Desconsiderar o acoplamento das equações no sub-espaço modal do sistema

primário e projetar os neutralizadores para cada modo, como em Den Hartog

(1956) para um grau de liberdade. Essa análise foi seguida por Silva (1991).

Nesse caso ocorre o controle modo a modo.

• Tomar o subsistema de equações em coordenadas principais e aplicar técnicas

de otimização não-linear para projetar o sistema de neutralizadores. Essa

análise seria feita em uma faixa de freqüência e não mais modo a modo.

Assim, ocorre o controle em banda larga de freqüência, como proposto por

Espíndola e Bavastri (1995 e 1997) e Bavastri (1997), entre outros trabalhos.

Kittis (1983) aplicou técnicas de otimização não-linear com uma formulação no

espaço físico minimizando a resposta vibratória de um sistema de múltiplos graus de

liberdade. Ao trabalhar no espaço físico, o modelo do sistema composto varia em

cada iteração da otimização do neutralizador. Isso gera uma metodologia

extremamente onerosa, do ponto de vista computacional. Além disso, para um outro

problema que não uma viga engastada-livre, com a estudada por Kittis, uma nova



função objetivo deve ser proposta o que faz a metodologia perder a sua

generalidade.

Espíndola e Bavastri (1997) aplicaram os conceitos da técnica dos parâmetros

equivalentes generalizados e de técnicas de otimização não-linear na elaboração de

um algoritmo que permitisse encontrar os parâmetros físicos ótimos de um sistema

de neutralizadores dinâmicos viscoelásticos para minimizar a resposta vibratória de

uma estrutura qualquer geometricamente complexa e em uma faixa ampla de

freqüência. O algoritmo é totalmente baseado nos parâmetros modais da estrutura

primária.

1.4.2 Cálculo Fracional e Viscoelasticidade

Os primeiros estudos utilizando o cálculo fracional em equações constitutivas

viscoelásticas foram realizados por Nutting (1921). Ele concluiu que os modelos

matemáticos baseados em derivadas temporais de ordem fracionária eram mais

precisos que os modelos baseados em decaimento exponencial (derivada de ordem

inteira). Gemant (1936) introduziu um operador derivada de ordem ½ atuando sobre

a tensão para descrever características dinâmicas de amortecimento e rigidez. Esse

autor observou que as características de amortecimento e rigidez dinâmica de um

material qualquer eram proporcionais às ordens fracionais da freqüência. Caputo e

Mainardi (1966) descreveram propriedades mecânicas de metais e vidros utilizando

derivada fracional. Em 1971, os mesmos autores apresentaram diferentes modelos

de dissipação para sólidos viscoelásticos, estudando as respostas características de

fluência e relaxação.

Mais recentemente, Bagley e Torvik (1979) construíram uma relação

constitutiva tensão-deformação dinâmica para elastômero usando o cálculo fracional.

Posteriormente, em 1983, os mesmos autores introduziram uma equação

constitutiva geral para viscoelasticidade com operadores de derivada de ordem

fracionária. Para isso, ajustaram satisfatoriamente dados experimentais uniaxiais no

domínio da freqüência utilizando um modelo matemático de quatro parâmetros.

O modelo de derivada fracionária de quatro parâmetros será utilizado neste

trabalho. Será considerado que o material viscoelástico utilizado para a confecção



dos neutralizadores dinâmicos de vibração é conhecido, portanto, o material é

completamente caracterizado do ponto de vista dinâmico.

1.4.3 Algoritmos Genéticos

1.4.3.1 Algoritmos Genéticos como Método de Otimização

Uma grande parte dos problemas científicos pode ser formulada como

problemas de busca e otimização: basicamente, existem uma série de fatores

influenciando o desempenho de um dado sistema, e tais fatores podem assumir um

número limitado ou ilimitado de valores, e podem ser sujeitos a certas restrições. O

objetivo é encontrar a melhor combinação dos fatores, ou seja, a combinação que

proporcione o melhor desempenho possível para o sistema em questão.

Numa classificação mais ampla, há essencialmente três correntes de métodos

gerais de otimização: métodos probabilísticos, numéricos e enumerativos.

Algoritmos Genéticos (AG) é um conjunto de métodos computacionais de

busca baseados nos mecanismos de evolução natural e na genética. Em AG, uma

população de possíveis soluções para o problema em questão evolui de acordo com

operadores probabilísticos concebidos a partir de metáforas biológicas, de modo que

há uma tendência de que, na média, os indivíduos representem soluções cada vez

melhores à medida que o processo evolutivo continua (Goldberg, 1995). Pode-se

assumir que os AG’s sempre irão evoluir para uma aproximação da solução ótima

global e não local, o que não acontece com outros métodos de otimização.

1.4.3.2 Panorama Histórico

Holland (1975) foi quem primeiro sugeriu Algoritmos Genéticos como um

método de otimização. Similar a outros algoritmos, tais como estratégias

evolucionárias e programação evolucionária, eles são classificados como técnicas

aleatórias dirigidas.

Segundo Michalewicz (1994), “os AG’s têm se mostrado capazes de resolver

problemas lineares e não-lineares explorando todas as regiões do espaço de estado



ou espaço de busca, e explorando exponencialmente áreas promissoras através dos

operadores de mutação, cruzamento e seleção aplicados a uma população de

indivíduos (possíveis soluções)”.

Uma discussão mais completa sobre o assunto, incluindo extensões e tópicos

relacionados, pode ser encontrada em Davis (1991), Goldberg (1989) e Holland

(1975).

Alguns problemas podem ter soluções ótimas múltiplas dentro de um domínio.

Esse tipo de problema é chamado de problema multimodal. Autores com Sikora e

Shaw (1994) utilizaram com sucesso AG’s para resolver problemas de decisão

financeira desse tipo.

Teoricamente, AG’s são métodos de otimização que garantem uma solução

ótima global. Mesmo em problemas complexos onde a função objetivo é implícita ou

muito complexa, os AG’s, através de uma programação relativamente simples,

conseguem encontrar uma solução ótima global. Pela sua robustez e relativa

simplicidade é que se pretende empregar esses algoritmos para solucionar o

problema de posicionamento ótimo dos neutralizadores dinâmicos viscoelásticos.

Neste trabalho será utilizado um método híbrido. Os AG’s serão empregados

para determinar a posição ótima do sistema de neutralizadores dinâmicos enquanto

que seus parâmetros construtivos ótimos serão determinados empregando Técnicas

de Otimização Não-Linear (TONL).

1.4.4 Localização Ótima dos Neutralizadores

Como os parâmetros dos neutralizadores, controladores passivos de vibração,

não podem ser modificados, projetar esses dispositivos e posicioná-los na estrutura

requer um procedimento muito cuidadoso. O comportamento da estrutura primária

tende a variar sensivelmente dependendo da distribuição dos neutralizadores. Isso

foi verificado especialmente para prédios altos por Hahn e Sathiavageeswaran

(1992).

Alguns pesquisadores têm proposto métodos sistemáticos de busca para

determinar a localização ótima dos neutralizadores dinâmicos de vibração através da



minimização de funções de performance que são relacionadas com a dinâmica da

estrutura a controlar. Dentre esses trabalhos se destacam Takewaki (1997) e

Takewaki et al. (1999).

O problema de localização ótima de dispositivos de controle de vibração tem

sido também extensivamente investigado para treliças espaciais nas quais os

dispositivos de controle são localizados em pontos discretos. Furuya e Haftka (1993)

e Liu e Begg (1999) focaram suas investigações nesse campo.

Hiramoto et al. (2000) e Arabyan e Chemishkian (1998) examinaram o

problema de localização ótima de dispositivos de controle para outros tipos de

estruturas incluindo vigas contínuas. Abdullah (1998) investigou o problema para

estruturas planas bi-dimensionais, do tipo placas.

Zhang e Soong (1992), Agrawal e Yang (1998a), e Shukla e Datta (1999)

empregaram essencialmente métodos de busca seqüenciais para a determinação da

localização ótima de amortecedores de vibração para prédios altos. Nesses métodos

seqüenciais a localização dos amortecedores é determinada de tal forma que ela

produza a maior redução possível na resposta em freqüência da estrutura primária.

Outros amortecedores são então adicionados até que se chegue a um nível de

resposta em freqüência desejado.

Procedimentos similares aos métodos seqüenciais são os WOBI (Worst Out

Best In) e ESPS (Exhaustive Single Point Substitution), propostos por Agrawal e

Yang (1998b). Ambos WOBI e ESPS são métodos muito úteis para o ajuste fino da

localização dos dispositivos de controle depois que uma solução inicial tenha sido

obtida por um método mais simples.

O tempo requerido para a determinação da solução ótima depende

primeiramente da função objetivo que se deseja minimizar. Por exemplo, se a função

objetivo envolve a resposta da estrutura, serão necessárias simulações numéricas

para avaliar a mesma para cada nova localização dos dispositivos de controle de

vibração. Isso pode demandar tempos computacionais substanciais. Agrawal e Yang

(1998a) investigaram a localização ótima de amortecedores minimizando o valor

RMS (Root-Mean-Square) da inertância para os 75º e 76º andares de um edifício.



Para reduzir o esforço computacional apenas os 27 andares superiores foram

considerados.

Um inconveniente da utilização da técnica de minimizar o valor RMS é a

possibilidade de que a localização ótima dos neutralizadores seja apenas localmente

ótima e não ótima global. Em outras palavras, podem existir soluções de localização

de neutralizadores de vibração melhores que a encontrada por essa técnica. Os

engenheiros e pesquisadores têm hesitado em implementar soluções utilizando essa

técnica.

Wongprasert e Symans (2000) determinaram a localização de amortecedores a

fluidos viscosos para um edifício de 76 pavimentos, submetido à carga de vento. Ao

invés de utilizar a resposta estrutural obtida diretamente de simulações numéricas, a

função objetivo foi determinada pela norma 2 da matriz de funções de resposta em

freqüência. Essa função objetivo foi então minimizada via algoritmos genéticos. Com

essa abordagem, o tempo requerido para encontrar as localizações ótimas dos

neutralizadores de vibração foi significativamente reduzido, em relação à análise da

resposta estrutural, e a solução ótima pôde ser considerada global e não apenas

local. A norma 2 da matriz de funções de transferência é o valor esperado de RMS

da resposta, se a excitação for assumida como sendo um ruído branco. Ou seja, se

a norma 2 for reduzida também se garante que os valores RMS da resposta em

freqüência serão reduzidos. Aplicação similar dessa função objetivo foi

implementada por Hiramoto et al. (2000) e Agrawal e Yang (1998a) com bons

resultados obtidos.

Adicionalmente, se o sistema é discretizado utilizando elementos finitos, por

exemplo, o cálculo da norma 2 da matriz de funções de resposta em freqüência pode

ser custoso do ponto de vista do tempo e esforço computacionais. As matrizes

dinâmicas do sistema discretizado por elementos finitos podem ter grandes

dimensões.

Entretanto, trabalhando em um sub-espaço do sistema primário (teoria modal),

é possível operar sobre um sistema de equações reduzido, diminuindo

sensivelmente o esforço computacional para essa análise.



Em muitos casos práticos, quando se têm poucos modos a controlar, em se

utilizando a teoria modal, é possível escolher os pontos ótimos de localização a partir

de um universo restrito de possibilidades. No entanto, se se pretende fazer um

controle em banda larga de freqüência e a densidade modal do sistema a controlar é

elevada na faixa de interesse, esse universo de soluções para a localização ótima

fica muito vasto. É justamente nesses casos que o método que se pretende

desenvolver terá a sua mais valia.

1.5 Composição do Trabalho

No capítulo 2 desse trabalho, é apresentada uma breve revisão dos aspectos

relacionados à viscoelasticidade linear. No capitulo, discute-se do comportamento

dinâmico dos materiais viscoelásticos, à luz da teoria da viscoelasticidade, quando

são variados parâmetros tais com temperatura e freqüência de excitação. Também é

abordado o modelo dos materiais viscoelásticos baseado em derivadas de ordem

fracionaria. Especificamente, o modelo de quatro parâmetros.

Mostra-se também a importância dos conceitos de parâmetros equivalentes

generalizados para aplicações em neutralizadores dinâmicos. É feita uma revisão

desses conceitos para sistemas de múltiplos graus de liberdade.

Aborda-se, também no capitulo 2, os principais conceitos de dinâmica de

estruturas relacionados com esse trabalho, tais como: o problema de autovalores e

autovetores, o modelo viscoso e o modelo viscoso proporcional e as funções de

resposta em freqüência para sistemas dinâmicos com múltiplos graus de liberdade.

São abordados também aspectos do truncamento do modelo modal relacionado com

os conceitos de parâmetros equivalentes generalizados e com espaço modal.

Finalmente, são relacionados os principais aspectos das técnicas de otimização não-

linear e sua aplicação para a otimização de neutralizadores dinâmicos

viscoelásticos.

No capítulo 3 é apresentada uma visão geral da técnica de Algoritmos

Genéticos. Essa técnica de otimização é empregada neste trabalho para localizar o

sistema de neutralizadores na estrutura primária. Também nesse capítulo é definida

a função objetivo e suas restrições. Essa função objetivo é a base do processo de



otimização, tanto da localização dos neutralizadores na estrutura, bem como dos

parâmetros construtivos ótimos dos neutralizadores.

No capítulo 4 são apresentados os diversos ensaios numéricos realizados

sobre uma estrutura exemplo. A estrutura estudada consiste de uma placa plana

metálica, discretizada em elementos finitos. Seu modelo modal é obtido e a partir

dele é aplicado o processo de otimização da localização e dos parâmetros ótimos

dos neutralizadores, simultaneamente. São realizadas algumas simulações

numéricas, envolvendo diferentes sistemas de neutralizadores em diferentes faixas

de freqüência. São abordadas também diferentes larguras de banda de freqüências.

No capitulo 5 são apresentados comentários pertinentes aos ensaios

numéricos realizados e feitas algumas sugestões para trabalhos futuros.

Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 34


2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 Viscoelasticidade Linear

2.1.1 Introdução

Produzidos nas mais diversas formas tais como borrachas, rezinas, vernizes e

outros polímeros, os materiais viscoelásticos têm sido alvo de muitos estudos nos

últimos anos. Em dinâmica estrutural, as principais características requeridas desses

materiais são: rigidez, resiliência e grande capacidade de dissipação de energia

vibratória. Por esse motivo, os materiais viscoelásticos são largamente empregados

em projetos de estruturas aeronáuticas, prediais, de máquinas diversas e em

dispositivos estruturais, tais como isoladores e neutralizadores dinâmicos de

vibração.

2.1.2 Comportamento Dinâmico

A teoria geral da viscoelasticidade foi proposta por Boltzmann em 1874,

baseada no princípio da superposição. Esse princípio estabelece que a tensão

resultante devido à soma das deformações é igual à soma das tensões relativas a

cada deformação aplicada isoladamente em um corpo viscoelástico, ou seja,

( ) ( ) ( )2121 εσεσεεσ baba +=+ . Eq. 2.1

Um material elástico real, por exemplo um aço, submetido a uma série de

deformações 0ε , 1ε , ..., 1−nε , nε , correspondentes aos tempos 00 =t , 1t , ..., 1−nt , nt ,

respectivamente, terá sua tensão final representada por

( ) ( )1010 ... −−++−+= nnEEE εεεεεσ , Eq. 2.2

ou de forma simplificada,



nEεσ = . Eq. 2.3

Para os materiais viscoelásticos tem-se a introdução da dependência do tempo

na equação 2.2:

( ) ( )( ) ( )( )10110 ... −−−++−−+= nnnttEttEtE εεεεεσ . Eq. 2.4

A equação 2.4 pode ser escrita de forma compacta como

( ) ( ) ( ) ( ) τττετεσ dddtEtE

t

∫ −+= +

0

0 . Eq. 2.5

O termo ( )τ−tE é comumente referido como módulo de relaxação do material

(Broutman e Krock (1967) e Mainardi (1997)).

Uma forma comum da equação 2.5 é posta no domínio da freqüência e obtida

através da sua transformada de Fourier:

( ) ( ) ( )ΩΩ=Ω εσ E Eq. 2.6

onde ( )Ωσ e ( )Ωε são, respectivamente, a tensão e a deformação no domínio da

freqüência

Pode-se afirmar que as deformações cisalhantes e longitudinais produzidas em

um material viscoelástico não estão relacionadas com a tensão apenas através de

uma constante de proporcionalidade. A relação entre tensão e deformação nesses

materiais varia com o tempo. Esse comportamento pode ser descrito por uma

equação diferencial parcial de ordem arbitrária (Williams, 1962; Snowdon, 1968 e

Jones, 1980) como



( ) ( )[ ] ( )

( ) ( )[ ] ( )tdtdbdtdbb

tdtdadtdaa

mmm

nnn

ε

σ

......

......

10

10

++++=

++++, Eq. 2.7

onde ia e ib representam propriedades do material (Bagley e Torvik, 1983) a serem

obtidas experimentalmente. n e m são inteiros.

A equação 2.7 pode ser representada no domínio da freqüência através de sua

transformada de Fourier como

( ) ( )[ ] ( )

( ) ( )[ ] ( )Ω+Ω++Ω+=

Ω+Ω++Ω+

ε

σ

......

......

10

10

mm

nn

ibibb

iaiaa, Eq. 2.8

Pode-se, alternativamente, mostrar essa equação de forma mais compacta

como

( )( )

( )

( )( )Ω=

Ω

Ω=

ΩΩ

∑

∑

=

=cn

j

jj

m

l

ll

Eia

ib

0

0

εσ . Eq. 2.9

O termo ( )ΩcE é chamado de módulo de elasticidade complexo do material.

Como comprovado por experimentos em Lazan (1968), Ferry (1980) e Nashif et al

(1985), o módulo de elasticidade complexo é também dependente da temperatura

(θ ). Portanto uma representação mais geral é expressa pela equação

( ) ( )θθθ ,),(, Ω+Ω=Ω irc iEEE . Eq. 2.10

com rE e iE as partes reais e complexas de cE , respectivamente.



Uma forma mais usual de representar o módulo de elasticidade complexo de

um material viscoelástico é

( ) ( )( )θηθθ ,1),(, Ω+Ω=Ω Ec iEE Eq. 2.11

onde

( ) ( )θθ ,, Ω=Ω rEE Eq. 2.12

e

( )),(),(,

θθθη

ΩΩ

=Ωr

iE E

E Eq. 2.13

A parte real do módulo complexo ( rE ) representa a capacidade do material de

armazenar energia e está relacionada à sua resiliência. O termo Eη é o fator de

perda do material viscoelástico e está associado com a capacidade que o material

possui de dissipar energia na forma de calor.

Outras propriedades tais como o módulo de cisalhamento complexo ( cG ) e o

módulo volumétrico ou módulo de Bulk ( cB ) também podem ser expressos de forma

semelhante:

( ) ( )( )θηθθ ,1),(, Ω+Ω=Ω Gc iGG Eq. 2.14

( ) ( )( )θηθθ ,1),(, Ω+Ω=Ω Bc iBB Eq. 2.15

Uma relação entre os módulos de elasticidade e de cisalhamento apresentada

por Snowdon (1968) tem sua origem na teoria clássica da elasticidade. Esta relação

é válida também na viscoelasticidade linear substituindo os módulos constantes e

reais dos materiais elásticos pelos módulos complexos, dependentes da freqüência



e temperatura dos materiais viscoelásticos (Nashif et al, 1985; Boresi, 1993 e

Espíndola, 1992) e é dada por

( ) ( ) ( )( ) ( )θθ

θθθ,3,

,,9,Ω+ΩΩΩ

=Ωcc

ccc BG

BGE . Eq. 2.16

Segundo Snowdon (1968), para os elastômeros, uma vez que estes são

considerados incompressíveis, a expressão acima pode ser simplificada. Dessa

forma pode-se considerar que o módulo de Bulk ( cB ) é muito maior que o módulo de

cisalhamento. Também através de meios experimentais pode-se comprovar que o

coeficiente de Poisson (ν ) dos elastômeros pode ser tomado por um valor real e

constante (Chan et al, 1995). Assim, a equação 2.16 pode ser simplificada e posta

como

( ) ( )θθ ,3, Ω≅Ω cc GE . Eq. 2.17

O material viscoelástico torna-se mais rígido à medida que se eleva a

freqüência ou se abaixa a temperatura. Nessas condições, o coeficiente de Poisson

(ν ) deixa de possuir o valor 0,5 e tende para valores próximos aos encontrados nos

metais (0,33). Nesses casos, as hipóteses de simplificação anteriores deixam de ser

adequadas e a relação entre os módulos de elasticidade ( E ) e cisalhamento (G )

passa a ser outra. Segundo Nashif et al (1985), a relação entre esses módulos para

materiais viscoelásticos trabalhando na região vítrea ou próximo dela deve ser

tomada como

( ) ( )θθ ,67,2, Ω≅Ω cc GE . Eq. 2.18

Já o fator de perda, segundo Snowdon (1968), conservam a seguinte relação:



( ) ( ) ( )θηθηθη ,,, Ω=Ω=Ω BGE . Eq. 2.19

onde Eη , Gη e Bη são os fatores de perda relacionados com os módulos de

elasticidade, cisalhamento e volumétricos, respectivamente.

2.1.3 Temperatura e Freqüência de Transição

Em geral, o módulo dinâmico, ou módulo complexo de elasticidade, dos

materiais viscoelásticos aumenta com a freqüência e diminui com a temperatura. O

fator de perda, por outro lado, aumenta com a freqüência até um valor máximo e

depois diminui. Esse comportamento se repete com o aumento da temperatura

(Nashif, 1985, Espíndola, 1992).

Nas figuras 2.1 e 2.2 observa-se um esboço desse comportamento. Na figura

2.1 a temperatura é constante. Na figura 2.2 a freqüência é constante.


uma temperatura constante.

Freqüência [Hz]

Fato

r de

perd

a e

mód

ulo

de e

last

icid

ade (

esca

la lo

garít

mic

a)

Região I

Região II

Região III

módulo dinâmincofator de perda



Figura 2.2 Variação do módulo dinâmico e do fator de perda com a temperatura para

uma freqüência constante.

Na figura 2.1, a freqüência onde ocorre o valor máximo do fator de perda é

chamada de freqüência de transição. Na figura 2.2 a temperatura onde ocorre esse

valor máximo é denominada temperatura de transição.

Tanto na figura 2.1 quanto na figura 2.2 observa-se a presença de três regiões

distintas, a saber:

• A região I (baixas freqüências ou altas temperaturas) é caracterizada pelos

baixos, e praticamente constantes, valores de rigidez (módulo dinâmico) e

fator de perda. Essa região é muito importante para os projetistas de

isoladores de vibração. O material viscoelástico, trabalhando nessa região,

devido a sua baixa rigidez, oferece níveis muito baixos de transmissibilidade

sendo, portanto, interessante sua utilização em isolamento mecânico de

vibrações. Normalmente são utilizados para a fabricação de molas

elastoméricas e isoladores de vibração.

• A região II é conhecida como zona de transição do material (vizinhança da

freqüência e da temperatura de transição). Nessa região a rigidez do material

Temperatura [K]

Fato

r de

perd

a e

mód

ulo

de e

last

icid

ade (

esca

la lo

garít

mic

a)

Região III

Região II

Região I

módulo dinâmincofator de perda



aumenta com a freqüência (ou com a redução da temperatura) em

incrementos relativamente grandes. O fator de perda tem um aumento de seu

valor até atingir o seu máximo. Após alcançar este valor máximo, o fator de

perda tende a diminuir novamente. Nessa região ocorre o valor máximo do

fator de perda. A região II é a mais importante para projetos de

neutralizadores dinâmicos de vibração e também de estruturas sanduíche. Ela

é naturalmente a mais desejada pelos projetistas devido aos elevados valores

do fator de perda.

• Um material viscoelástico trabalhando na região III não possui maiores

utilidades. A rigidez nessa região torna-se muito elevada, próxima à do aço ou

do alumínio. O fator de perda volta a ter valores muito pequenos. O material

passa a ter um comportamento vítreo.

Segundo Espíndola (1990), algumas observações em relação a materiais

viscoelásticos que trabalham dentro da Região I são:

(a) elevada resiliência,

(b) grande estabilidade estrutural e

(c) baixo ou médio amortecimento.

Pode-se citar dentro dessa categoria de materiais viscoelásticos a borracha

natural, com ou sem enchimento, o Neoprene e o SBR (estireno-butadieno).

Algumas características de materiais operando dentro da Região II são:

(a) grande rigidez (reduzida resiliência),

(b) precária estabilidade estrutural e

(c) elevado amortecimento.

Aqui, deve-se entender por precária estabilidade estrutural a relaxação elevada

experimentada por esses materiais quando submetidos a uma tensão constante.

Pode-se citar entre outros materiais com estas características: a resina de polivinila

butial plastificada, o Thiokol RD, o acetato de polivinila plastificado, a borracha

butílica com enchimento de negro de fumo e outros. Em geral as variações de



freqüência promovem modificações mais sensíveis no modulo dinâmico do que no

fator de perda.

2.2 Modelo Viscoelástico Baseado em Derivadas Fracionárias

A relação constitutiva para o modelo viscoelástico linear padrão no tempo é

dada pela equação diferencial (Nashif, Jones e Henderson, 1985)

( ) ( ) ( ) ( )∑∑==

+=+N

nn

n

n

M

mm

m

m dttdEtE

dttdbt

10

1

εεσσ , Eq. 2.20

onde mb , 0E e nE são parâmetros do material. M , m , N e n são números inteiros.

Em geral, para representar o comportamento de materiais viscoelásticos de

forma precisa são necessárias todas as ordens de derivada. Entretanto, de forma

prática, um número finito de termos oferece uma boa aproximação. Por outro lado,

esse modelo torna-se computacionalmente custoso e pouco prático. Quando os

materiais viscoelásticos têm propriedades mecânicas fortemente dependentes da

freqüência em uma faixa ampla, os números de derivadas temporais M e N

tornam-se elevados. Em conseqüência, o número de parâmetros empírico /

experimentais no modelo aumenta consideravelmente, tornando-o pouco prático.

Pode-se mostrar que um modelo mais preciso ao apresentado na equação

2.20, utilizando um número menor de coeficientes, é aquele que emprega derivadas

fracionárias.

2.2.1 Modelos com Derivada de Ordem Fracionária

O conceito de derivada de ordem fracionária, ou não-inteira, surgiu no final do

século XVII com Gottfried W. Leibniz (1646-1716). A partir deste, vários outros

autores desenvolveram esta linha de pesquisa na análise matemática. Alguns dos

autores que possibilitaram avanços nessa área são Euler, Laplace, Fourier, Lacroix,

Neils H. Abel, Liouville e Riemann, além de Gorenflo e Mainardi.



Na área de viscoelasticidade, a primeira proposta apresentada de um modelo

matemático foi feita por Scott Blair (1947). Mais tarde, Caputo (1966) utilizou as

derivadas fracionarias para modelar o comportamento de camadas geológicas, o

qual se mostrou semelhante aos materiais viscoelásticos.

Bagley e Torvik (1979, 1983, e 1986) apresentam um modelo matemático

baseado em derivadas de ordem fracionaria com o objetivo de representar o

comportamento mecânico da rigidez de elastômeros por meio de ajustes de curvas

experimentais.

Segundo Bagley e Torvik (1983), uma forma geral para a equação diferencial

fracional como modelo viscoelástico, para uma única dimensão é

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]∑∑==

+=+N

nn

M

mm tDEtEtDbt nm

10

1εεσσ αβ . Eq. 2.21

Os parâmetros mb , 0E e nE são propriedades intrínsecas do material. nα e mβ

são números reais. [ ]αD representa o operador derivada fracional, definido de

forma mais geral por Gorenflo e Mainardi (1997), pela equação

( )[ ] ( )( )

( )τ

ττ

α αα d

tx

dtd

mtxD

t

mm

m

∫ ++−−−Γ=

01

1 , Eq. 2.22

com mm <<− α1 , m inteiro. ( )κΓ é a função gama de ordem κ .

Através de observações experimentais (Bagley e Torvik, 1983, Pritz, 1996 e

1998 e Lopes, 1998) pode-se concluir que a expansão em apenas um termo da

equação 2.21 é suficiente para descrever o comportamento de um material

viscoelástico. Tomando-se, portanto, 1== NM , o que caracteriza o modelo de

Zener (Snowdon, 1968 e Pritz, 1996), a expressão fica reduzida a um modelo de

apenas cinco parâmetros: 1b , 0E , 1E , α e β , os quais podem ser determinados por

um processo experimental de identificação. Sua forma é



( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tDEtEtDbt εεασ αβ101 +=+ . Eq. 2.23

Aplicando a transformada de Fourier à equação 2.23 e rearranjando o resultado

obtido tem-se

( ) ( )( )

( )( )β

α

εσ

Ω+Ω+

=ΩΩ

=ΩibiEEEc

1

10

1. Eq. 2.24

A equação 2.24 é conhecida como modelo fracional de cinco parâmetros e

representa o módulo de elasticidade complexo de um material, com βα > e α e β

fracionários.

A partir de comprovações obtidas por Bagley e Torvik (1983), a expressão 2.24

pode ser simplificada, para uma certa classe de materiais, utilizados na industria em

controle de vibração. Para isso, supõe-se que os parâmetros que representam a

ordem da derivada não inteira sejam iguais, ou seja, βα ≈ . A equação 2.24 pode

então ser reescrita na forma

( ) ( )( )α

α

Ω+Ω+

≈ΩibiEEEc

1

10

1. Eq. 2.25

Ou ainda, fazendo 11 bEE ∞= e αbb =1 :

( ) ( )( )α

α

bibiEEEc Ω+

Ω+≈Ω ∞

10 . Eq. 2.26

A equação 2.26 é conhecida como modelo fracional de quatro parâmetros.

Para que a mesma seja válida e forneça resultados verossímeis do comportamento

dinâmico de um material viscoelástico, este modelo deve ter razão de energia



dissipada internamente positiva. Isso acontece para a grande maioria dos materiais

viscoelásticos empregados em dinâmica estrutural.

Na maioria das vezes, do ponto de vista construtivo, os NDV são produzidos de

tal forma que o material viscoelástico trabalhe em cisalhamento. Sendo assim, pode-

se escrever a equação 2.26 em termos de módulo de cisalhamento complexo.

Nas figuras 2.3, 2.4 e 2.5 podem ser observados os significados de cada um

dos quatro parâmetros do modelo apresentado anteriormente. 0G (ou 0E ) é o valor

assintótico de cG (ou cE ) para freqüências tendendo a zero (freqüências baixas).

Por outro lado ∞G é o valor assintótico para freqüências tendendo ao infinito

(freqüências altas).


uma temperatura constante (Parâmetros assintóticos 0G e ∞G ) (Amado, 2004).

O parâmetro α , que é a ordem derivada fracionária, influencia as curvas de

módulo dinâmico e fator de perda. Quanto menor o valor de α , menor é a inclinação

da curva do módulo dinâmico. O pico do fator de perda também varia com α . Os

picos são menos acentuados para α ’s menores.




uma temperatura constante (Parâmetro α ) (Amado, 2004).

O parâmetro b tem unidade de tempo e é denominado tempo de relaxação.

Matematicamente, a variação deste parâmetro provoca um deslocamento das curvas

da figura 2.4. Quando b cresce, o fator de perda desloca-se para a direita e o

módulo dinâmico de elasticidade desloca-se para a esquerda.

As propriedades de amortecimento e rigidez de um material viscoelástico

também variam com a temperatura. Geralmente o símbolo que representa a

temperatura, θ , é omitido por simplicidade de notação.

Esse modelo de quatro parâmetros é usado no presente trabalho para se obter

o projeto ótimo de neutralizadores de vibração.

Maiores detalhes sobre o modelo de quatro parâmetros podem ser verificados

nos trabalhos de Rogers (1983), Bagley e Torvik (1983, 1986), Lopes (1998) e

Amado (2004).




uma temperatura constante (Parâmetro b) (Amado, 2004).

2.3 Quantidades Equivalentes Generalizadas Para Um Neutralizador Simples

Os conceitos de quantidades equivalentes generalizadas foram introduzidos

pela primeira vez por Espíndola e Silva (1992) e podem ser obtidos a partir da

massa dinâmica e da impedância mecânica, ambas grandezas calculadas na base

de um neutralizador dinâmico de vibrações.

Um neutralizador dinâmico de vibrações viscoelástico simples é composto por

uma massa conectada à uma base através de um elemento resiliente (figura 2.6).

Figura 2.6 Neutralizador viscoelástico simples

Esse elemento pode ser uma mola em paralelo com um amortecedor ou uma

peça de material viscoelástico (Snowdon, 1968 e Espíndola, 1990) possuindo,

portanto, uma rigidez complexa como a equação 2.27 e colocado na forma

ma

F(Ω)

X(Ω) LGc(Ω)



( ) ( ) ( )( )θηθθθ ,1),(,, Ω+Ω=Ω=Ω iLGLGK cc Eq. 2.27

onde L é um fator de forma no NDV. Este fator depende da geometria do

neutralizador.

Para simplificar a notação, a letra θ , representando a temperatura, será

omitida a partir daqui.

Na figura 2.6, ( )ΩX ) e ( )ΩF são as transformadas de Fourier do deslocamento

( )tx e da força de excitação ( )tf , respectivamente, aplicada à base sem massa. L é

um fator de forma.

A rigidez dinâmica, ou impedância ( )ΩaZ , na base do neutralizador é definida

por

( ) ( )( )

( )( )Ω−ΩΩΩ−

=ΩΩ

Ω∆Ω

ca

caa LGm

LGimXiFZ 2 Eq. 2.28

e a massa dinâmica ( )ΩaM por

( ) ( )( )

( )( )Ω−Ω

Ω−=

ΩΩ−Ω

∆Ωca

caa LGm

LGmX

FM 22 . Eq. 2.29

A freqüência de anti-ressonância do neutralizador é definida como sendo

aquela que, na ausência de amortecimento, faz com que o denominador das

equações 2.28 e 2.29 se igualem a zero. Ou seja,

( )a

aa m

LG Ω=Ω 2 . Eq. 2.30



Na ausência de amortecimento, a parte imaginária de cG é nula, portanto

( ) ( )Ω=Ω GGc .

O conceito fundamental do funcionamento dos neutralizadores dinâmicos de

vibração baseia-se no seguinte princípio: Quando a freqüência de ressonância de

uma estrutura, a qual está fixado o neutralizador dinâmico, coincide com a

freqüência de anti-ressonância calculada na base do neutralizador pela equação

2.30, é necessária uma força infinita, se o amortecimento está ausente, para

provocar um deslocamento na base do neutralizador.

Definindo:

( ) ( )ΩΩ=Ω rLGLG a )( Eq. 2.31

e

( )a

arΩΩ

==Ω ε , Eq. 2.32

pode-se reescrever as equações 2.28 e 2.29 como

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]Ω+Ω−

Ω+ΩΩ−=Ω

ηεηir

irimZa

aa 11

2 e Eq. 2.33

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]Ω+Ω−

Ω+Ω−=Ω

ηεηir

irmMa

aa 11

2 . Eq. 2.34

A parte real da impedância mecâmica (equação 2.33) é definida como sendo o

amortecimento viscoso generalizado ( )Ωec e dado por



( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )[ ]222

3

ΩΩ+Ω−

ΩΩΩ=Ω

ηε

εη

rr

rmca

aaae Eq. 2.35

A parte real da massa dinâmica (equação 2.34), por outro lado, é a massa

generalizada equivalente ( )Ωem dada por

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ]222

22 1

ΩΩ+Ω−

Ω+Ω−Ω−=Ω

ηε

ηε

rr

rrmma

aae . Eq. 2.36

Chega-se, portanto, a uma equivalência dinâmica entre dois sistemas

mostrados na figura 2.7.

Figura 2.7 Sistemas equivalentes: (a) neutralizador sobre base sem massa e (b)

parâmetros equivalentes generalizados.

Nota-se que a impedância do sistema mostrado na figura 2.7 (b) é

( ) ( ) ( )ΩΩ+Ω=Ω eea micZ . Eq. 2.37



Segundo Espíndola e Silva (1992), o sistema a controlar “sente” o neutralizador

como uma massa ( )Ωem fixada ao longo das coordenadas generalizadas ( )txb e um

amortecedor viscoso de constante ( )Ωec ligado à terra.

Considera-se, portanto, um sistema primário genérico ao qual é fixado um

neutralizador de um grau de liberdade à sua coordenada física ( )tq , como mostrado

na figura 2.8.

Figura 2.8 Sistemas equivalentes: neutralizador sobre sistema primário genérico.

A vantagem de se usar os parâmetros equivalentes generalizados reside no

fato de se poder trabalhar com uma formulação baseada nas coordenadas físicas do

sistema primário somente, apesar da adição de graus de liberdade introduzidos pelo

acoplamento dos neutralizadores à estrutura do sistema primário.

2.4 Dinâmica de Estruturas

Neste item são abordados os conceitos básicos sobre a resposta de um

sistema linear de múltiplos graus de liberdade. Posteriormente estes conceitos serão

aplicados para introduzir a teoria sobre neutralizadores dinâmicos atuando em

sistemas primários complexos, com uma densidade modal elevada e/ou certo

acoplamento modal que não permita ao projetista definir, através de uma inspeção

visual, a localização dos neutralizadores.



2.4.1 Modelo Viscoso

A equação de movimento de um sistema linear, causal, invariante no tempo e

com múltiplos graus de liberdade é

( ) ( ) ( ) ( )tftKqtqCtqM =++ &&& . Eq. 2.38

A solução da equação 2.38 para vibração livre, ou seja, ( ) 0=tf , supondo

( ) stq t eφ= é

[ ] 02 =++ steKsCMs φ , Eq. 2.39

ou

[ ] 02 =++ φKsCMs , Eq. 2.40

uma vez que ste é diferente de zero.

A solução não trivial leva a

[ ] 0det 2 =++ KsCMs . Eq. 2.41

A equação 2.41 gera um polinômio que por sua vez gera n2 valores para s ( 1s ,

2s , ..., ns2 ), onde n é a dimensão do problema. Substituindo cada valor de js na

equação 2.39 determina-se o vetor jΦ , de valores relativos. As raízes do polinômio

gerado pela equação 2.40, js , são chamados de autovalores e os vetores jΦ , de

autovetores.



Os autovalores, dependendo das características do problema, podem ser reais

e iguais ou complexos conjugados. No caso geral apresenta-se a forma complexa e

complexa conjugada.

jjj

jjj

is

is

νδ

νδ

−=

+=* Eq. 2.42

A cada par de autovalores complexos conjugados corresponde um par de

autovetores, também complexos conjugados.

2.4.2 Problema de Autovalores não Amortecido

O problema de autovalores não amortecido não acontece na prática, uma vez

que todos os sistemas físicos reais possuem sempre amortecimento. Entretanto, do

ponto de vista teórico, sua abordagem aqui se torna importante.

Uma vez que o sistema não possui amortecimento, a matriz C é nula e o

problema se resume a

[ ] 02 =+ φKMs . Eq. 2.43

Os autovalores do problema são imaginários puros conjugados (Espíndola,

1986):

jj

jj

is

is

Ω−=

Ω=* Eq. 2.44

Substituindo 2.44 em 2.43.



φφ MK 2Ω= Eq. 2.45

Os autovetores correspondentes a js e *js são reais e iguais. A solução do

problema pode ser mostrada na forma matricial como

( )Φ

Ω 2jdiag

Eq. 2.46

onde 2jΩ é conhecido como o quadrado da j-ésima freqüência natural e jΦ o seu

autovetor ou modo de vibrar correspondente (Ewins, 1984).

O conjunto de matrizes da equação 2.46 é conhecido como modelo modal da

estrutura e as matrizes M e K formam o seu modelo espacial (Bavastri, 1997).

Demonstra-se (Ewins, 1984 e Espíndola, 1992) que o modelo modal tem a

propriedade conhecida como ortogonalidade. Ou seja:

( )( )rT

rT

kdiagK

mdiagM

=ΦΦ

=ΦΦ Eq. 2.47

onde

r

rr m

k=Ω 2 . Eq. 2.48

Os parâmetros rm e rk são chamados de massa e rigidez modais do r-ésimo

modo, respectivamente.

Normalizando os autovetores através da raiz quadrada da massa modal as

relações seguintes também são válidas.



( )2r

T

T

diagK

IM

Ω=ΨΨ

=ΨΨ Eq. 2.49

onde rr

r mφψ 1

=

2.4.3 Modelo Viscoso Proporcional

Se a matriz de amortecimento C pode ser escrita através da relação de

proporcionalidade KMC γβ += , prova-se que

( ) ( ) ( )rrrT cdiagmdiagkdiagC =+=ΨΨ .. γβ , Eq. 2.50

onde rc é o amortecimento modal.

O amortecimento crítico crc é dado por:

rrcr mc Ω= 2 . Eq. 2.51

A relação de amortecimento modal é

cr

rr c

c=ξ Eq. 2.52

Assim pode-se reescrever o coeficiente de amortecimento modal como

rrrr mc Ω= ξ2 . Eq. 2.53



Segundo Ewins (1984), para sistemas modelados com amortecimento viscoso

proporcional, suas freqüências naturais são complexas e suas partes imaginárias

são dadas por

21 rrr ξν −Ω= . Eq. 2.54

A parte imaginária das freqüências naturais representa a parte oscilatória. Por

outro lado, a parte real representa o decaimento. Esse é dado por:

rrr Ω= ξδ . Eq. 2.55

2.4.4 Resposta em Freqüência – Coordenadas Principais

O sistema de equações para descrever o comportamento dinâmico de sistemas

lineares com múltiplos graus de liberdade pode ser escrito no domínio da freqüência,

através de sua transformada de Fourier. Obtém-se, assim,

[ ] ( ) ( )Ω=Ω+Ω+Ω− FQKCiM2 , Eq. 2.56

onde ( )ΩF e ( )ΩQ são a transformada de Fourier de ( )tf e ( )tq respectivamente.

Fazendo uma transformação de coordenadas na forma

( ) ( )ΩΨ=Ω PQ , Eq. 2.57

onde ( )ΩQ são as coordenadas físicas (geralmente denominadas coordenadas

generalizadas) e ( )ΩP as coordenadas principais. Geralmente, essas últimas não

possuem sentido físico. Substituindo 2.57 em 2.56 e premultiplicando essa última

equação por TΨ tem-se



( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )ΩΨ=Ω

Ω=ΩΩ+ΩΩ+Ω−

FN

NPdiagdiagiIT

rrr22 2ξ

Eq. 2.58

Da transformação de coordenadas resulta um novo espaço que recebe o nome

de espaço modal. As equações 2.58, que representam do sistema no espaço modal,

estão desacopladas. O desacoplamento das equações no espaço modal permite a

solução independente de cada linha do sistema de equações em 2.58. Uma linha

genérica r desse sistema de equações é

( ) ( ) ( )Ω=ΩΩ+ΩΩ+Ω− rrrrr NPi 22 2ξ . Eq. 2.59

Assim é possível determinar a resposta do sistema, considerando

amortecimento viscoso proporcional. Definindo a matriz 0D como

( ) ( )[ ]220 2 jjj diagdiagiID Ω+ΩΩ+Ω−= ξ , Eq. 2.60

calcula-se as coordenadas principais

( ) ( )Ω=Ω − NDP 10 Eq. 2.61

ou

( ) ( )ΩΨ=Ω − FDP T10 . Eq. 2.62

A matriz 0D é diagonal e sua inversa é calculada por inversão simples de cada

elemento da diagonal. Essa matriz é chamada de matriz resposta em freqüência do



espaço modal. Premultiplicando 2.62 por Ψ obtém-se a resposta do sistema no

sistema de coordenadas generalizadas

( ) ( )ΩΨΨ=Ω − FDQ T10 . Eq. 2.63

Define-se, então, a matriz de resposta em freqüência em coordenadas no

espaço de configurações como

( ) TD ΨΨ=Ω −10α , Eq. 2.64

onde cada elemento particular é dado por

( ) ∑= ΩΩ+Ω+Ω−

ΨΨ=Ω

n

r rrr

srkrks i1

22 2ξα . Eq. 2.65

A equação 2.65, ksα , representa a resposta em freqüência do sistema na

coordenada generalizada k quando excitado na coordenada generalizada s .

2.4.5 Neutralizadores Dinâmicos Fixados a Sistemas Primários Complexos

Para vários neutralizadores adicionados a uma estrutura (sistema primário com

múltiplos graus de liberdade) a equação de movimento no domínio da freqüência,

considerando parâmetros equivalentes generalizados, é escrita como

[ ] ( ) ( )Ω=Ω+Ω+Ω− FQKCiM ~~2 , Eq. 2.66

onde M~ e C~ são respectivamente a matriz de massa e de amortecimento do

sistema composto.



Para p neutralizadores fixados ao longo de p coordenadas generalizadas 1kq ,

2kq , ...,

pkq , sendo as massas e amortecimentos equivalentes generalizados

1em ,

2em ,

..., pe

m e 1ec ,

2ec , ...,

pec . A nova massa e o novo amortecimento do sistema

composto são, respectivamente,

+=

00

00

~ 1

pe

e

m

mMM O Eq. 2.67

e

+=

00

00

~ 1

pe

e

c

cCC O . Eq. 2.68

A equação 2.66 só é válida no domínio da freqüência, pois os parâmetros

equivalentes generalizados são função da freqüência. O conceito de espaço modal

poderia ser aplicado para o sistema composto, entretanto este não fica desacoplado,

uma vez que a transformação de coordenadas não diagonaliza parte das matrizes C~

e M~ . É importante notar também que, dependendo do modelo matemático, pode-se

trabalhar com mil, dois mil, ou mais graus de liberdade (matrizes computadas

numericamente por elementos finitos).

2.4.6 Truncamento

Na prática, apenas alguns poucos modos estão dentro da faixa de freqüência

de interesse. Portanto, o problema de autovalores e autovetores, em geral, fica

restrito a esses primeiros dez ou vinte modos.

Para tal, considera-se a transformação de coordenadas:



( ) ( )ΩΦ=Ω PQ ˆˆ , Eq. 2.69

onde Φ é a matriz modal truncada do sistema primário, de ordem nn ˆ× (n representa

o número de graus de liberdade e n o número de autovetores computados ou

medidos na faixa de freqüência de interesse). Em geral nn <<ˆ .

Substituindo a equação 2.69 na equação 2.66 e premultiplicando por TΦ :

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )Ω=Ω+Ω+Ω+Ω+Ω− NPjkdiagACjcdiagiAMjmdiag ˆˆˆˆˆˆˆ2 Eq. 2.70

Os elementos das matrizes ( )ΩAM e ( )ΩAC podem ser escritos como

( )( ) ∑=

ΦΦ=Ωp

irkskiersA ii

mM1

,ˆ Eq. 2.71

( )( ) ∑=

ΦΦ=Ωp

irkskiersA ii

cC1

,ˆ e Eq. 2.72

( ) ( )ΩΦ=Ω FN Tˆˆ Eq. 2.73

A equação 2.70 representa um sistema de dimensão nn <<ˆ e sua solução

corresponde aos parâmetros equivalentes generalizados. Ela mostra que no espaço

modal o sistema de equações não é desacoplado. Isso ocorre devido à adição dos

neutralizadores dinâmicos ao sistema primário.

Fazendo a transformação inversa da equação 2.69, encontra-se a solução das

coordenadas físicas. De 2.70 e 2.73 mostra-se que:

( ) ( )ΩΦΦ=Ω − FDQ T ˆˆˆˆ 1 Eq. 2.74



onde

( ) ( )ΩΩ+ΩΩ−= AA CiMDD ˆˆˆˆ 20 Eq. 2.75

e

( )jjj cimkdiagD ˆˆˆˆ 20 Ω+Ω−= Eq. 2.76

A matriz 0D é diagonal. Já a matriz D , que representa o sistema composto

(sistema primário + neutralizadores) não é diagonal.

Para autovetores normalizados pela matriz massa, a equação 2.76 pode ser

escrita como

( )ΩΩ+Ω−Ω= jjj idiagD ξ2ˆ 220 . Eq. 2.77

Fazendo uma equivalência com sistemas de um grau de liberdade e usando a

equação 2.74 pode-se escrever a matriz de receptância do sistema composto.

( ) TD ΦΦ=Ω − ˆˆˆ 1α . Eq. 2.78

Cada elemento dessa matriz é escrito como

( ) ∑ ∑= =

ΦΦ=Ωn

j

n

ikjsiijks D

ˆ

1

ˆ

1α , Eq. 2.79

onde ijD são elementos da matriz 1ˆ −D e sjΦ são elementos da matriz Φ .

1−D é a matriz de resposta em freqüência no espaço modal do sistema

composto. Ela pode ser calculada conhecendo-se os parâmetros modais da



estrutura a controlar (sistema primário) e as características dos neutralizadores

dinâmicos acoplados a ela. É importante lembrar aqui que, no espaço modal, conta-

se com um número reduzido de equações nn <<ˆ .

Partindo-se da formulação descrita até aqui pode-se optar por duas formas

diferentes para controlar as vibrações do sistema primário:

• Controle modo a modo: Aplicada por Silva (1991), nela despreza-se o

acoplamento do sistema e procura-se um controle modo a modo através de

uma correlação direta com a teoria de Den Hartog (1956), para um grau de

liberdade. Resultados utilizando essa técnica podem ser encontrados em

Espíndola e Silva (1992).

• Controle em uma banda ampla de freqüência: Esse procedimento leva em

consideração o acoplamento do sistema composto e baseia-se em técnicas

de otimização não linear para encontrar as características dos

neutralizadores. Os resultados dessa técnica podem ser encontrados em

Bavastri (1997). Essa mesma metodologia será aplicada a esse trabalho.

2.5 Técnicas de Otimização Não Linear

O projeto de um sistema pode ser formulado como um problema de otimização

onde uma medida de performance é maximizada (ou minimizada) enquanto

restrições são satisfeitas. Qualquer problema, no qual parâmetros são determinados

enquanto restrições precisem ser satisfeitas, pode ser formulado como um problema

de otimização (Arora, 1989).

O processo de otimização pode ser resumido com no fluxograma mostrado na

figura 2.14.



Figura 2.9 Processo do projeto ótimo.

2.5.1 Histórico

Segundo Arora (1989), muitos dos problemas geométricos e mecânicos

formulados e resolvidos por Arquimedes, Euclides, Heron e outros mestres da

antiguidade, são problemas de otimização. Um século e meio depois, Bernoulli,

Lagrange, Euler, e Weierstrass desenvolveram cálculos variacionais, estudando

problemas em física aplicada.

Com o advento da Segunda Guerra Mundial, cientistas ingleses e americanos

de algumas disciplinas foram convocados para resolver problemas complexos, tais

como determinar a melhor forma de montar comboios com o objetivo de evitar e/ou

proteger navios cargueiros dos submarinos alemães.

sim

não



Podem-se citar alguns dos pesquisadores, matemáticos, físicos e economistas

que contribuíram com o posicionamento da otimização no mapa da pesquisa

mundial, antes e após a guerra.

George W. Dantzig criou o Método Simplex para resolver problemas de

otimização linear durante a Segunda Guerra. Construindo o conhecimento de

dualidade na teoria dos jogos, a qual foi desenvolvida por John Von Neumann em

1920. Dantzig, junto com Albert W. Tucker também desenvolveu a teoria da

dualidade em programação linear, em conjunto com várias caracterizações de uma

solução ótima gerada por aquela teoria. Alguns pesquisadores, interessados em

economia, estudaram tais modelos como problemas de otimização linear. Dois

deles, o matemático Leonid W. Kantorovich e o estatístico Tjalling C. Koopmans

receberam o prêmio Nobel de 1975 “pela sua contribuição à teoria de alocação

ótima de recursos”. Eles, de fato, trabalharam em bases da programação linear,

independente de Dantzig.

2.5.2 Classificação dos Modelos de Otimização

Considerando:

nx ℜ∈ : vetor de variáveis jx , nj ,...,2,1= ;

∞±∪ℜ→ℜnf : : função objetivo;

nX ℜ⊆ : espaço de busca definido logicamente / fisicamente;

nnig ℜ→ℜ: : funções de restrição definindo restrições em x ;

( ) 0≥xgi : restrições de desigualdade;

( ) 0=xhi : restrições de igualdade.

O problema de otimização é:

minimizar ( )xf ,

sujeito a ( ) 0≥xgi

( ) 0=xhi



Xx∈

(Se o problema é uma maximização, então se troca o sinal de ( )xf ).

O tipo de problema de otimização está relacionado com a natureza das funções

f , ig e ih , e o espaço de busca X :

• (PL) Programação Linear: a função objetivo, bem como as restrições, são

lineares.

• (PNL) Programação Não-Linear: algumas das funções f , ig e/ou ih são não

lineares.

• Otimização Contínua: f , ig e ih são continuas em um conjunto aberto

contento X ; X é fechado e convexo.

• (PI) Programação Inteira: X é inteiro.

• Otimização Irrestrita: as funções de restrição não existem.

• Otimização Restrita: existem funções de restrição.

• Otimização Diferenciável: f , ig e ih são pelo menos uma vez diferenciáveis

em um conjunto aberto de X (os gradientes de f , ig e ih existem e são

contínuos); X é fechado e convexo.

• Otimização Não-Diferenciável: ao menos uma das funções f , ig e/ou ih não é

diferenciável.

• (PC) Programação Convexa: f é convexa; ig e ih são convexas; X é

fechado e convexo.

• Programação Não-Convexa: o complemento do acima.

Outros importantes casos podem ser destacados:

• Problemas Infinito-dimensionais: problemas formulados em espaços funcionais

ao invés de espaços vetoriais.

• Funções f , ig e/ou ih implícitas: não se pode escrever equações para esses

termos. Muitas aplicações de engenharia podem recair sobre esses casos. Na



maioria das vezes os valores das funções implícitas são obtidos via

simulações.

• Otimização Multiobjetivo: minimizar ( )xf1 , ( )xf2 , ..., ( )xfn .

• Otimização sob Incerteza ou Programação estocástica: quando f , ig e/ou ih

são apenas probabilisticamente conhecidas.

2.5.3 Aplicação a Neutralizadores Dinâmicos

Uma vez estabelecido o modelo matemático para o sistema composto (sistema

primário + neutralizadores), os métodos numéricos de otimização não linear podem

ser utilizados para encontrar os parâmetros ótimos dos neutralizadores dinâmicos.

Várias técnicas de otimização não linear, com e sem restrições, podem ser

empregadas para se encontrar esses parâmetros ótimos dos neutralizadores.

Basicamente o que se busca numa técnica de otimização não linear é uma

direção de busca para a variável a ser otimizada e quanto ela deve ser incrementada

nessa direção. A cada iteração, portanto são escolhidos uma nova direção de busca

e um novo incremento, até que se atinja o valor ótimo (satisfeito um critério de

parada).

Podem-se citar aqui algumas dessas técnicas de forma subdividida:

Métodos que não utilizam informação de derivada:

• método da direção aleatória;

• método de Powell;

• método cíclico (variante de Powell);

• método de Hooke e Jeeves;

• método do poliedro rígido;

• método de poliedro flexível.

Métodos que utilizam informação de derivada:

• direção do gradiente (Steepest Descent);



• direção conjugada;

• método de Newton;

• método de quase-Newton;

Maiores detalhes sobre todos esses métodos podem ser encontrados em Arora

(1989) e Bazaraa (1979).

O método empregado nesse trabalho para obtenção dos parâmetros ótimos

dos neutralizadores dinâmicos viscoelásticos é o método quase-Newton.

O método quase-Newton é baseado no método de Newton que por sua vez

está também relacionado com o método do gradiente.

No método do gradiente (steepest descent) utiliza-se o vetor gradiente d como

direção de busca para o problema de otimização. A direção d é definida como na

equação 2.80.

( )xfd −∇= Eq. 2.80

Uma vez definida a direção de busca procede-se uma busca unidimensional.

Define-se então o incremento a ser dado na variável para se chegar ao ponto ótimo

(equação 2.81).

kkk dxx λ+=+1 Eq. 2.81

O parâmetro λ é o escalar que define o ponto ótimo a partir de kx , na direção

kd . Uma vez que esse parâmetro tenha sido encontrado, o valor da variável é

atualizado através da equação 2.81. Muitos métodos realizam a busca

unidimensional. Podem ser citados aqui, também de forma subdividida.

Métodos que não utilizam informação de derivada:

• método da secção áurea;

• método da bisseção ou Balzano;



• método da dicotomia;

• método de Fibonacci;

• método de Powell.

Métodos que utilizam informação de derivada:

• método de Newton;

No método de Newton a idéia é, de uma única iteração, chegar ao ponto ótimo.

Isso se faz através de uma expansão em série de Taylor da função objetivo. Essa

expansão tem como objetivo representar a função objetivo como uma função

quadrática do vetor projeto. Para se obter essa expansão, é necessário ter

informações sobre a segunda derivada de ( )xf . A função quadrática ajustada tem a

forma

( ) ( ) xHxxfxfxxq TT ∆∆+∆∇+≅∆+ 5.0 , Eq. 2.82

sendo x∆ uma pequena mudança em x e H a matriz Hessiana no ponto x .

A condição necessária para o ponto ótimo na quadrática q é:

( ) 0=∆∂∂xq

Eq. 2.83

De 2.82 e 2.83 obtém-se

fHx ∇−=∆ −1 . Eq. 2.84

Assim sendo o ponto ótimo da ( )1−k -ésima quadrática, ajustada pela série de

Taylor na função objetivo é



kqk

qk xxx ∆+=+1 Eq. 2.85

Uma vez atualizado o ponto através de 2.85, ajusta-se uma nova quadrática à

função objetivo e sucessivamente avança-se no processo até o ponto ótimo. Uma

vez satisfeito o critério de convergência, o mínimo da função quadrática confunde-se

com o mínimo da função objetivo.

Por outro lado, pode-se definir a direção de busca através dessa abordagem e

a partir daí realizar uma busca unidimensional para se definir o passo. Isso acelera o

processo de convergência.

fHd ∇−= −1 Eq. 2.86

Ao se aplicar o método do gradiente sobre a quadrática expandida em série de

Taylor, várias iterações são necessárias para se chegar ao ótimo. No método de

Newton, isso é conseguido de uma só vez.

Sendo assim, a direção obtida pelo método de Newton é a melhor direção de

busca. Entretanto o seu uso é limitado. Na pratica ele só funciona bem quando a

função objetivo é convexa e tem variações suaves. Na maioria dos métodos

numéricos, o cálculo de H-1 é evitado, devido a seu alto custo computacional.

O método quase-Newton, empregado nesse trabalho, foi proposto por Davidon

e posteriormente implementado por Flecher e Powell (Bazaraa, 1979, Arora, 1989 e

Bavastri, 1997). Também conhecido por DFP, ele é utilizado para estimar a direção

de busca sem um custo computacional tão alto como no método de Newton. Essa

direção fica entre a direção do gradiente e a direção de Newton e não requer a

informação da segunda derivada da função objetivo.

Essa direção é dada por

( ) fxd ∇−= η Eq. 2.87



onde

( ) ( ) ( )kkk xxx ηηη ∆+=+1 e Eq. 2.88

( ) ( )( ) ( )

( )kT

Tk

kT

T

k xgzzxgx

xgyyx

wx

∆∇

−∆∆

=∆ηη .1

Eq. 2.89

onde:

kkk xxx −=∆ +1

( ) ( ) ( )kkk xfxfxg ∇−∇=∆ +1

No método DFP:

( ) ( )kk xgxzxy

w

∆=∆=

=

η

1

O método quase-Newton geralmente começa a busca na direção do gradiente.

No decorrer do processo fica entre a direção do gradiente e a direção de Newton.

Ele fornece excelentes resultados tanto em relação ao esforço computacional quanto

à velocidade de convergência (Bavastri, 1997). Por essas razões, este é o método

empregado no presente trabalho para a otimização dos parâmetros construtivos dos

neutralizadores dinâmicos viscoelásticos.

Na figura 2.10 pode-se observar as direções dos três métodos citados

anteriormente, de forma comparativa.



Figura 2.10 Comparação entre os métodos do gradiente, Newton e quase-Newton.

(Bavastri, 1997)

2.6 Função Objetivo e Variáveis de Projeto – Otimização dos Parâmetros dos Neutralizadores Dinâmicos

Da equação 2.66 o vetor ( )ΩF é o vetor de excitação. Ele é definido como

tendo valores unitários para uma coordenada generalizada onde existe excitação e

valor nulo quando nessa coordenada não existe nenhuma excitação. No presente

trabalho, o vetor de excitação é dado por uma função generalizada delta de Dirac

aplicado de forma pontual, ou seja, excita-se em um ponto (coordenada

generalizada) e observa-se a resposta em outros pontos da estrutura.

Da equação 2.70 tem-se que

[ ] ( ) ( )Ω=Ω+ NPDD 21 Eq. 2.90



onde

( ) ( ) ( ) jjj kdiagcdiagimdiagD +Ω+Ω−= 21 e Eq. 2.91

( ) ( ) ΩΩ+ΩΩ−= AA cimD 22 Eq. 2.92

Assim, a resposta em freqüência do sistema, no espaço modal, é dada por

( ) [ ] ( )Ω+=Ω − NDDP 121 Eq. 2.93

De 2.69, 2.73 e 2.93, pode-se obter a resposta do sistema, ( )ΩQ , na forma

( ) [ ] [ ] [ ] ( ) ΩΦ+Φ=Ω − FDDQTˆˆ 1

21 . Eq. 2.94

Assim a matriz de receptância do sistema composto (sistema primário +

neutralizadores) é

( )[ ] [ ] [ ] [ ]TDD Φ+Φ=Ω − ˆˆ 121α . Eq. 2.95

Para sistemas com um grau de liberdade, a relação de massas entre o

neutralizador e o sistema primário, de acordo com 2.36 é definida como (Bavastri,

1997)

25,01,0 amma ==µ Eq. 2.96



Espíndola e Silva (1992) propõem uma relação de massa modal para sistemas

de múltiplos graus de liberdade, para controle modo a modo na forma

j

p

ijka

m

m ∑=Φ

= 1

2,

µ . Eq. 2.97

Posteriormente, Espíndola e Bavastri (1995) empregam esta relação para um

controle em banda larga, definindo a massa dos neutralizadores por meio de uma

media aritmética. Isto é, a massa dos neutralizadores é calculada para cada modo

dentro de uma faixa de freqüência. Posteriormente, é tomada a média desses

valores, para todos os modos. Esse mesmo procedimento é empregado aqui.

A função objetivo é definida para determinar os parâmetros ótimos dos

neutralizadores dinâmicos e dada por

( )

( ) ( )221

,max

:

Ω<Ω<Ω

Ω=

→

xPxf

RRxf

obj

nobj

, Eq. 2.98

onde 2 representa a norma-2 e 1Ω e 2Ω são os limites inferior e superior,

respectivamente, da banda de freqüência na qual se quer efetivar o controle. Assim,

o problema de otimização é definido como

( )xfobjmin Eq. 2.99

restrito a

Hii

Li xxx << Eq. 2.100



onde é o vetor de projeto e Lix e H

ix são os seus limites inferior e superior,

respectivamente. Os componentes desse vetor x são as freqüências de anti-

ressonância de cada um dos neutralizadores acoplados ao sistema primário. Ou

seja, constrói-se um vetor com os valores máximos de cada ( )xPi ,Ω . Obtém-se

então a mínima norma euclidiana possível desse vetor (figura 2.11).

Figura 2.11 Função Objetivo

Dessa forma, ao finalizar-se o processo de otimização dos parâmetros dos

neutralizadores, obtém-se como saída, as freqüências naturais ótimas para cada um

dos neutralizadores acoplados ao sistema primário, bem como suas massas,

previamente fixadas como uma razão das massas modais.

Ω1 Ω2

Capítulo 3 Algoritmos Genéticos 75


3 ALGORÍTMOS GENÉTICOS

3.1 Introdução

Na engenharia, um grande número de problemas de otimização que

usualmente se trabalha, são não-lineares, de dimensão elevada, com espaços de

busca relativamente grandes e multimodais, isto é, com vários extremos (mínimos ou

máximos). Esse tipo de problema demanda mecanismos de busca que sejam

capazes de determinar o ótimo global (máximo ou mínimo global) e não convergir

prematuramente para ótimos locais.

Os Algoritmos Genéticos (AG’s) se mostram eficientes na determinação desse

ótimo global de uma função multimodal de várias variáveis. Essa técnica tem se

mostrado capaz de resolver problemas lineares e não-lineares, usando operadores

de mutação, cruzamento e seleção, aplicados a indivíduos de uma população que se

encontram dentro de uma região de busca pré-estabelecida em um espaço n-

dimensional.

Basicamente o que o algoritmo faz é uma abstração aos princípios da evolução

das espécies propostos por Charles Darwin (1859). Partindo de uma população de

indivíduos, cada qual com sua adaptabilidade associada, ou aptidão, desenvolvem-

se, através de cruzamentos e mutações, novos indivíduos. Esses formarão uma

nova população ou geração. Cada indivíduo, dentro de uma população, representa

uma solução para o problema que se pretende resolver. Os indivíduos mais aptos,

ou mais adaptados, terão mais chances de sobreviver e reproduzir, garantindo filhos

ainda melhor adaptados. Esses indivíduos com aptidões crescentes representam

soluções cada vez mais próximas da solução ótima. Espera-se, portanto, com as

sucessivas gerações, chegar ao indivíduo idealmente adaptado, o que corresponde

ao ótimo global.



Figura 3.1 Ilustração de um AG simples, incluindo: 1. população inicial, 2.e 3.

reprodução e cruzamento para formar uma nova geração e 4. obtenção do melhor

indivíduo (Senecal, 2000).

3.2 Terminologia

Em Algoritmos Genéticos utilizam-se algumas metáforas dos fenômenos que

ocorrem na natureza relacionados ao processo de seleção natural proposto por

Darwin (1859). Esses termos, originalmente empregados na biologia, são usados

também em AG’s. Podem-se citar aqui alguns dos principais termos utilizados na

literatura:

• Cromossomo: segundo a biologia, genoma é o conjunto completo de

genes de um organismo. Os genes, por sua vez, são agrupados

formando um cromossomo. Um genoma é, portanto constituído de vários

cromossomos. Em AG’s é feita uma analogia entre cromossomo e

organismo ou indivíduo. Nesse caso um indivíduo é formado por apenas

um cromossomo. Os cromossomos representam a estrutura de dados

que codifica um ponto do espaço de busca e que representa uma

solução em potencial para o problema de otimização.

• Gen ou Gene: na biologia, é a unidade de hereditariedade que é

transmitida pelo cromossomo e que controla as características do



indivíduo. Em AG’s um gene é uma unidade do cromossomo, ou seja,

um elemento do vetor que representa o cromossomo.

• Individuo: Um indivíduo é um membro da população e é formado por um

cromossomo e sua aptidão. Por sua vez o cromossomo é composto de

genes, sendo que cada gene possui um local fixo no cromossomo,

denominado de locus. Cada gene pode assumir um certo valor

pertencente a um conjunto de valores possíveis. Esse conjunto de

valores é denominado de alelo. Em termos de AG’s o cromossomo

corresponde ao individuo e este é representado por um vetor (string) de

comprimento finito. O termo gene é denominado de bit e o locus de

posição do bit no indivíduo. Já o termo alelo refere-se ao conjunto de

valores possíveis de serem atribuídos a um determinado bit, ou seja, o

alfabeto binário, zeros (0’s) ou uns (1’s). A codificação binária é a mais

empregada, mas podem ser utilizadas outras codificações. Na literatura,

a maioria das codificações empregadas é a codificação binária.

• Genótipo e Fenótipo: Na biologia, genótipo corresponde ao conjunto de

cromossomos, genes e alelos. As características conferidas ao indivíduo

pelo genótipo denominam-se fenótipo. Em termos de AG’s o genótipo é

a variável de projeto x codificada e o fenótipo é o valor da função

objetivo da variável x , ( )xf , decodificado.

• Geração: cada uma das iterações executada pelo AG.

• Espaço de busca: é o conjunto, espaço ou região do espaço que

compreende as soluções possíveis ou viáveis de um problema de

otimização. É também caracterizado pelas funções de restrição.

• Função objetivo ou função de avaliação: é a função que se pretende

otimizar. Ela trás a informação sobre o desempenho de cada possível

solução representada por um indivíduo ou cromossomo. O valor da

função de avaliação é muitas vezes chamado de fitness do indivíduo e

representa a sua aptidão frente aos outros indivíduos da população.



Tabela 3.1 Relação da terminologia dos AG’s e a Biologia.

Biologia Algoritmos Genéticos

Cromossomo Individuo (string)

Gene Bit

Alelo Valor do bit

Lócus Posição do bit na string

Genótipo Candidato à solução – x

Fenótipo Valor da função – f(x)

3.3 Operadores Genéticos

Os operadores genéticos destinam-se a manipular os indivíduos selecionados

a partir da população de uma geração anterior, visando a obtenção de algum

individuo candidato com melhor performance ou fitness.

Basicamente eles são os operadores de cruzamento e mutação. O primeiro

deles tem a tarefa de explorar a bagagem genética já existente nos pais. O segundo

tem a função de introduzir material genético inexistente até então e também

reposição de material perdido em gerações anteriores. Enquanto o cruzamento

busca uma solução melhor partindo de indivíduos pré-existentes (exploitation) a

mutação promove uma investigação em áreas do espaço de busca ainda não

avaliadas (exploration).

3.3.1 Cruzamento (Crossover)

Dá-se pela seleção de dois cromossomos pais que trocam material genético

entre si. Isso resulta em dois cromossomos descendentes diferentes (filhos), porém

ainda carregando consigo influências dos pais.

O cruzamento pode ocorrer de duas maneiras. Cruzamento uniforme e

cruzamento por partições.



O cruzamento uniforme consiste no emparelhamento dos cromossomos pais

e cada locus tem 50% de chance de ser trocado (figura 2). Cada gene do

descendente é criado através da cópia de um gene dos pais, escolhido de acordo

com uma máscara de cruzamento gerada aleatoriamente. Onde houver 1 na

máscara de cruzamento, o gene correspondente será copiado do primeiro pai e onde

houver 0 será copiado do segundo. O processo pode então ser repetido com os pais

trocados para produzir um segundo descendente. Uma nova máscara de

cruzamento é criada para cada par de pais.

Figura 3.2 Esquema do cruzamento uniforme.

O cruzamento particionado consiste na escolha aleatória de um, ou mais

pontos de cruzamento. Todo o material à direita desse ponto de corte é trocado. Nas

figuras 3.3 e 3.4 podem ser observados os esquemas de cruzamento em um e dois

pontos, respectivamente Pode ocorrer também o cruzamento com mais pontos de

cruzamento.



Figura 3.3 Esquema do cruzamento de um ponto.

Figura 3.4 Esquema do cruzamento de dois pontos.

3.3.2 Mutação

A mutação consiste em perturbações na cadeia do cromossomo que podem

ocorrer aleatoriamente após o cruzamento. É a denominação dada a vários

mecanismos de alteração genética, os quais têm em comum o fato de fazerem o

cromossomo descendente apresentar características diferentes das dos pais. Os

mecanismos de mutação empregados em AG’s são: a troca simples, a translocação

e a inversão.

A troca simples consiste de um erro de cópia de um ou mais genes da cadeia.

A inversão é uma retirada seguida de uma inserção de um pedaço da cadeia, porém

na ordem inversa da que foi retirada. A translocação, ao contrário da inversão, retira

uma parte do cromossomo e a recoloca em uma outra posição.



Na maioria dos trabalhos desenvolvidos com AG’s o mecanismo de alteração

da cadeia genética é o da troca simples. Por isso o termo mutação é muitas vezes

referenciado como sinônimo de troca simples.

Figura 3.5 Esquema da mutação (troca simples).

3.3.3 Seleção

O objetivo da seleção é fazer com que os indivíduos mais adaptados de uma

determinada geração tenham uma probabilidade maior de participarem do processo

de formação da próxima geração. O processo de seleção se baseia nas aptidões de

cada indivíduo que são representadas pelos valores da função objetivo para cada

um deles.

Um grande número de esquemas de seleção já foi proposto, entretanto

citaremos aqui apenas os dois mais empregados.

3.3.3.1 Método da Roleta

Esse é um método largamente empregado. Cada indivíduo da população é

representado de forma proporcional ao seu valor de aptidão. Dessa forma, um

indivíduo com um valor de aptidão alto recebe uma fatia maior em uma roleta,

enquanto que um indivíduo de menor aptidão recebe uma fatia menor. A roleta é

então rodada, tantas vezes quanto forem o número de indivíduos da população,

escolhendo os que darão origem à nova geração.



2% 5%

8%

32%

24%

16%

13%

individuo 1individuo 2individuo 3individuo 4individuo 5individuo 6individuo 7

Figura 3.6 Exemplo de método da roleta.

Uma desvantagem desse método é reduzir a variabilidade das gerações

futuras, podendo gerar uma população com varias cópias de um indivíduo muito

apto. Isso pode levar o método a uma convergência prematura para um ótimo local.

Uma forma de reduzir esse efeito é não utilizar a magnitude da aptidão, mas sim a

posição do indivíduo no ranking de aptidões. Desse modo, mantendo-se a

população ranqueada por valores decrescentes de aptidão, a probabilidade do

indivíduo mais apto ser selecionado é maior, mas os demais indivíduos possuem

também boas chances de participar do processo de formação da nova geração,

quando comparadas com o método anterior.

3.3.3.2 Método do Torneio

Consiste em escolher aleatoriamente n indivíduos da população, com

probabilidades iguais de escolha. O cromossomo com maior aptidão é selecionado.

O processo repete-se até que é formada uma população intermediária é formada.

Normalmente 2=n . Uma vez formada a população intermediária, uma nova geração

é obtida através de cruzamentos e mutações promovidos entre os indivíduos da

população intermediária (candidatos a pais).



Não há necessidade de escalonamento e nem ordenamento. Em outras

versões de torneios utilizam-se probabilidades diferenciadas. Se o torneio envolve

dois cromossomos, o primeiro vence o torneio com probabilidade q (onde

15,0 << q ); e o segundo, com probabilidade q−1 . Para um torneio com n

cromossomos, o primeiro vence com probabilidade q , o segundo com ( )qq −1 , o

terceiro com ( )21 qq − , e assim por diante.

Aumentando o número de cromossomos no torneio ou a probabilidade q do

primeiro cromossomo vencer, aumenta-se a pressão de seleção e os cromossomos

com aptidão acima da media terão mais chances de serem selecionados. Essa

pressão precisa ser bem controlada. Uma pressão excessiva pode levar o método a

uma convergência prematura e perda de diversidade. Uma pressão muito amena

pode tornar a convergência demasiado demorada.

O método de seleção empregado neste trabalho é o torneio simples entre dois

indivíduos escolhidos aleatoriamente dentro da população. Este método é de muito

mais simples programação e requer uma quantidade de operações muito menor. Ele

foi escolhido com o objetivo justamente de reduzir o esforço computacional por

envolver um número menor de operações. A função objetivo adotada neste trabalho

requer um grande número de operações e este não pode ser reduzido.

3.3.4 Reprodução

O processo de seleção forma a população intermediária, mas não introduz

novos indivíduos na futura geração. Ele apenas seleciona os progenitores que darão

origem a essa nova geração.

No processo de reprodução os candidatos a pais são agrupados

aleatoriamente em pares. É definida também uma probabilidade de cruzamento, cP ,

que será igual para todos os pares selecionados. O cruzamento então se dá por um

processo de decisão semelhante ao “lançamento de uma moeda”. O lançamento da

moeda corresponde a gerar um número aleatório entre 0 e 1. Se esse número for

inferior a cP , o cruzamento será realizado gerando um ou dois filhos. Em caso



contrário, o cruzamento não é realizado e o processo segue até que a nova geração

seja construída.

3.3.5 Elitismo

É bastante comum, depois de aplicados todos os operadores descritos

anteriormente, que o melhor indivíduo de uma população desapareça na geração

seguinte. No entanto é interessante para o AG que o indivíduo mais apto de uma

geração seja transferido para a geração seguinte para que o seu material genético

seja aproveitado. Essa estratégia é chamada de elitismo e hoje é muito comum nos

AG’s tradicionais.

DeJong (1975) foi que primeiro propôs o elitismo. O processo se dá copiando o

indivíduo de maior fitness para a geração seguinte, sem quaisquer alterações no seu

conteúdo genético. Isso garante que a melhor solução sempre estará presente em

qualquer uma das gerações e será mantida até o final do processo.

3.3.6 Compartilhamento

Nos AG’s, o processo de seleção dos indivíduos mais fortes é extremamente

impiedoso. A natureza nos ensina que essa competição não é tão acirrada assim.

Existem diferentes espécies com papeis ecológicos diferentes, os nichos, que não

competem entre si. Essa idéia levou ao conceito do compartilhamento ou niching ou

sharing.

Goldberg e Richardson (1987) propuseram a função de adequabilidade a

seguir,

∑=

−= N

jji

ii

xx

xfxa

1||)(||

)()(λ

Eq. 3.1



onde ji xx − | denota a distância Euclidiana entre os indivíduos, e ( )•λ é a função de

compartilhamento que é crescente em função da distância. Em geral ela é

escalonada de modo a resultar em 1 para a menor distância entre dois indivíduos da

população e 0 para a maior distância.

Quando se otimiza uma função multimodal o compartilhamento resulta na

formação de subpopulações de indivíduos concentrados nos picos da função. Teria-

se a tendência de convergência para um único pico se o compartilhamento não

estivesse sendo empregado. Além disso, o número de indivíduos em cada uma

dessas subpopulações é proporcional à altura relativa dos picos correspondentes.

Neste trabalho, em todos os ensaios numéricos, foi utilizado o

compartilhamento. Segundo a literatura sobre valores ótimos para os parâmetros de

controle do algoritmo sugeriam a utilização do método. Observou-se que a

convergência melhorou quando o compartilhamento foi empregado se comparado ao

mesmo ensaio numérico sem o compartilhamento.

Figura 3.7 Subpopulações devidas ao niching ou sharing.

3.4 Parâmetros de Influência e Configurações

Um aspecto extremamente relevante dentro da estratégia dos AG’s é a correta

configuração dos seus parâmetros. Parâmetros mal condicionados podem prejudicar

tremendamente todo o processo.



Vale salientar que não existe muita literatura disponível nessa área uma vez

que esses parâmetros estão altamente relacionados com o problema específico em

questão. Observou-se que o correto dimensionamento desses parâmetros se

baseou, na maioria dos trabalhos pesquisados, no empirismo e na experiência dos

autores.

Os parâmetros de influência adotados nesse trabalho serão abordados com

mais detalhamento no capítulo 4 (Resultados).

A seguir alguns dos principais parâmetros de influência serão abordados.

3.4.1 Tamanho da população

Indica o número de indivíduos ou cromossomos presente em cada geração.

O tamanho da população está intimamente relacionado com a eficiência global

do algoritmo. Uma população grande apresentará uma maior diversidade de

soluções possibilitando uma boa convergência por cobrir uma região maior do

espaço de busca.

Cada indivíduo deve ser avaliado pelo menos uma vez em cada geração. Isso

significa efetuar o processamento da função de avaliação um número de vezes igual

ao tamanho da população. Portanto, uma população com um grande número de

indivíduos, representa um esforço computacional maior.

Uma população pequena pode reduzir o desempenho do algoritmo, reduzindo

a capacidade de exploração do espaço de busca.

Segundo Goldberg (1989) o tamanho da população cresce exponencialmente

com o número de parâmetros do modelo, para codificação binária. Como exemplo

de critério para o tamanho de população podemos citar o Critério de Goldberg onde

o tamanho n da população pode ser encontrado pela expressão:

l21.0265.1 ⋅=n Eq. 3.2



onde l é o número de bits necessário para representar um cromossomo. Entretanto,

pode-se observar que esse tamanho de população é utilizado apenas como uma

referência e não propriamente com um critério. Se assim fosse aplicado, encontrar-

se-ia tamanhos de população demasiado grandes, e muitas vezes impraticáveis.

Precisa-se então encontrar um tamanho de população que seja grande o

suficiente para se ter uma certa eficiência e pequeno o bastante para que o esforço

computacional não seja demasiadamente elevado. Em geral relaciona-se o tamanho

da população com o tamanho do cromossomo, ou seja, quanto maior o tamanho da

string maior deverá ser o tamanho da população para que se consiga uma

diversidade razoável.

O critério de Goldberg resulta em populações de ordem elevada, muitas vezes

acima de 3000 indivíduos. Na maioria das aplicações reportadas na literatura o

tamanho das populações empregado fica entre 50 e 200 indivíduos.

3.4.2 Probabilidade de Cruzamento

Este parâmetro determina qual será a probabilidade de ocorrer ou não o

cruzamento entre dois indivíduos de uma população que foram selecionados para

tal.

O algoritmo introduz maior número de novos indivíduos nas gerações futuras

quanto maior for essa taxa. Isso possibilita uma exploração maior do espaço de

busca com maior velocidade, ou seja, com um menor número de gerações.

Entretanto, quando essa taxa é muito elevada, aqueles indivíduos com boas

aptidões podem ter seu material genético retirado das gerações seguintes. Valores

muito baixos de probabilidade de cruzamento podem tornar a convergência muito

lenta.

Usualmente a probabilidade de cruzamento varia entre 0,5 e 0,95.



3.4.3 Probabilidade de Mutação

O principal objetivo da mutação é introduzir material genético inédito nas

gerações sucessivas, prevenindo que sejam formadas populações saturadas de

cromossomos idênticos, ou mesmo similares, à medida que o processo do algoritmo

avança. A taxa de probabilidade de mutação indica quando haverá ou não esse

introdução de material genético novo através da mutação.

Altas taxas de mutação podem tornar o processo de otimização uma simples

busca aleatória. Taxas muito pequenas retiram da mutação a capacidade de

exploração de regiões promissoras do espaço de busca.

Os valores de referência para a probabilidade de mutação ficam em torno de

nPm 1= . Em termos de ordem de grandeza, os valores mais comuns adotados nos

trabalhos encontrados na literatura ficam entre 0,001 e 0,1.

3.5 A Função Objetivo

Em algoritmos genéticos a função de custo ou função objetivo é comumente

chamada de função de fitness ou função de aptidão. Em alguns casos a função

objetivo pode ser complexa, demandando um elevado custo computacional. Há

problemas em que a avaliação de um único cromossomo requer uma simulação

completa de um processo que pode demorar algumas horas de implementação

computacional.

No caso específico deste trabalho, a função objetivo empregada requer uma

otimização de parâmetros que utiliza técnicas de otimização não linear. Para avaliar

cada indivíduo, um outro algoritmo de busca encontra o valor ótimo de uma

determinada função. O último valor encontrado dessa função é empregado como

fitness para o algoritmo genético.

O objetivo do algoritmo genético deste trabalho é encontrar a localização ótima

de um sistema de controle passivo de vibração, utilizando neutralizadores dinâmicos

viscoelásticos, sobre uma estrutura mecânica qualquer. Os parâmetros construtivos

desses neutralizadores, massa e freqüência natural, são otimizados para cada

possível localização.



Em trabalhos anteriores (Bavastri, 1997; Espíndola e Bavastri, 1997; Bavastri

Espíndola, e Teixeira, 1998) foi proposta uma metodologia geral capaz de projetar

um sistema de neutralizadores dinâmicos viscoelásticos para reduzir a resposta de

uma estrutura a valores aceitáveis, sobre uma banda larga de freqüência. Naquela

oportunidade o modelo modal da estrutura e a experiência do projetista eram a base

de análise para a definição da posição mais adequada, ou mais eficaz, para os

dispositivos de controle (NDV’s).

Entretanto, ainda existirão casos particulares em que esta tarefa não seja

simples, quer seja pela complexidade do modelo modal, quer seja pela densidade

modal da estrutura na faixa de freqüência de análise.

Por tal motivo, neste trabalho, se propõe uma técnica numérica de otimização,

usando AG, para determinar não somente o conjunto de parâmetros físicos ótimos

dos neutralizadores, mas também, a sua localização ótima na estrutura.

Observou-se, ao longo do trabalho, que não só é necessário muitas vezes

determinar uma localização ideal para os neutralizadores, como também escolher,

dentre as várias soluções possíveis, aquelas que fornecessem neutralizadores com

menor massa adicionada à estrutura. Isso constitui o que se chama de otimização

multiobjetivo, ou otimização multiponto.

Segundo Zhang, Chen e Khalid (2002), para uma função multiobjetivo, existem

um conjunto de soluções de compromisso, conhecidas como soluções pareto-

ótimas, que são baseadas em objetivos competitivos. Uma estratégia bem conhecida

para resolver esses tipos de problemas é o método de somas ponderadas. Dessa

forma o problema multiobjetivo é transformado em um problema mono-objetivo. Por

exemplo, para se otimizar duas funções competitivas 1f e 2f , uma função escalar F

pode ser definida como

2211 fwfwF += Eq. 3.3

Em geral 121 =+ ww . Nesse trabalho as duas funções conflitantes são a

redução de vibração da estrutura e a massa dos neutralizadores.



Neste trabalho 1f é o valor final da função objetivo da otimização dos

parâmetros físicos de cada neutralizador do sistema, abordada no Capítulo 2.

Devido a sua definição em escala dB, em geral o valor encontrado para essa

função fica entre 100 e 200 dB.

21 ),(21

maxmin xPf Ω= Ω<Ω<Ω Eq. 3.4

Foi adotado o valor de 11 =w . 2f é o valor encontrado para a massa dos

neutralizadores adicionada à estrutura (os neutralizadores do sistema são projetados

todos com a mesma massa).

Do conjunto de trabalhos apresentados por Espíndola e Bavastri (1997 a 2004)

observa-se que, empregando a teoria modal, a massa total de neutralizadores

adicionada à estrutura é 4 a 5 vezes menor do que a encontrada através da teoria

de um grau de liberdade para o sistema primário. Neste trabalho fixou-se a massa

dos neutralizadores em 10% da massa modal. Assim podemos estimar que a massa

de todos os neutralizadores adicionados a uma estrutura, com o objetivo de controlar

a sua vibração, deva ficar entre 2 a 2,5% da massa total de estrutura.

strNDV Mmnf 02,0.2 ≅= Eq. 3.5

onde n é o número de neutralizadores, NDVm é a massa de cada neutralizador e

strM é a massa total da estrutura a controlar.

Dessa forma, para 0=F (mínimo), pode-se estimar o valor de 2w .

strMfw

02.01

2 = Eq. 3.6



3.6 Critérios de Convergência

Em geral, estabelecer um critério de convergência para um algoritmo genético

não constitui uma tarefa fácil. Não podemos saber com certeza se o algoritmo já

convergiu para o ótimo global ou simplesmente para um ótimo local. Caso a

convergência tenha se dado de forma local é necessário que o algoritmo continue

explorando o espaço de busca. Por outro lado se a convergência ocorreu para o

ótimo global o algoritmo deve parar o processo de busca. Existem alguns

procedimentos que podem ser adotados. Entre esses se destacam:

• Ajustar um valor esperado para o ótimo: o algoritmo pára quando atinge esse

valor, que constitui uma solução aceitável. A dificuldade nessa estratégia está

em estabelecer esse valor esperado. Para alguns problemas é muito difícil

estabelecer a priori um valor esperado para o ótimo global. Principalmente

quando se desconhece a solução do problema.

• Ajustar um valor esperado para a diferença entre o ótimo e a média entre as

aptidões dos indivíduos da população: Essa estratégia possui a vantagem de

não requerer um valor determinado a priori para o ótimo global.

• Ajustar um valor esperado para a diferença entre a aptidão do melhor indivíduo

da geração atual e da geração anterior ou anteriores. Essa estratégia tem a

vantagem de prevenir que o algoritmo tente refinar a busca demasiadamente

tornando a convergência final muito demorada.

• Ajustar um número Maximo de gerações a ser avaliado: este é um critério do

tipo fail safe. É útil quando se comparam as performances entre dois

algoritmos genéticos com diferentes parâmetros de evolução.

Na maioria dos casos utiliza-se uma combinação de duas ou mais dessas

estratégias. Devido ao condicionamento do problema e do desconhecimento da sua

solução (valor esperado), no presente trabalho utilizou-se como critério de parada o

número máximo de gerações, somente. Terminado o processo é feita uma análise

das últimas populações em busca de uma possível tendência a modificação do

resultado. Caso essa tendência fosse localizada o processo era reiniciado do ponto

onde parou.



3.7 Algoritmo Micro-genético (µGA – micro-GA)

Esse algoritmo foi proposto inicialmente por Krishnakumar, 1989. Esta

metodologia utiliza pequenas populações para localizar áreas promissoras dentro do

espaço de busca de forma extremamente eficiente. Em geral os problemas

multiobjetivos e as funções de fitness multimodais causam grandes problemas de

execução. As populações precisam ser muito grandes o que eleva o esforço e o

tempo computacionais. Assim, esta nova técnica surge para solucionar esse tipo de

problema e seu nome é derivado justamente da possibilidade de utilizar populações

muito menores, quando comparadas às populações dos AG’s convencionais.

Populações pequenas são incapazes de manter uma diversidade por muitas

gerações. Assim, em micro-AG, toda vez que a diversidade é perdida, uma nova

população é reiniciada mantendo os indivíduos melhores adaptados. Usualmente

utiliza-se apenas o melhor indivíduo (elitismo).

Com menores populações a convergência pode ser atingida mais rapidamente

e é requerida menos memória para armazenar os dados da população. Usualmente

as populações não precisam ser maiores que 5 ou 7 indivíduos.

3.8 Algoritmo Genético Típico

Um algoritmo genético típico começa com a geração de uma população inicial.

Essa população inicial é representada por um conjunto de soluções aleatórias

possíveis para o problema. Cada indivíduo é avaliado e sua aptidão ou fitness é

determinada pelo valor da função de avaliação, ou função-objetivo. São então

selecionados os indivíduos mais aptos para que esses sejam os progenitores da

próxima geração.

Esses possíveis pais são então codificados em strings de números binários e

são então submetidos ao cruzamento. O cruzamento irá gerar os filhos que

constituirão a geração seguinte. Nesse passo pode ou não ocorrer mutação nesses

novos indivíduos gerados.

Uma vez formada uma nova geração todo o processo é repetido até que o

critério de parada é satisfeito.



O melhor indivíduo, ou seja, aquele cromossomo que atingiu a maior aptidão

ao longo de todas as gerações é a solução ótima para o problema em questão.

Os parâmetros mencionados anteriormente vão controlar cada um dos

processos aqui citados.

No fluxograma abaixo se pode observar o funcionamento típico de um AG:

Inicio k = 0 Inicializar geração Pk Avaliar Pk Enquanto critério de parada não é satisfeito k = k + 1 Selecionar pais em Pk-1 Aplicar cruzamento sobre Pk Aplicar mutação sobre Pk Avaliar Pk Finalizar enquanto encerrar

Figura 3.8 Fluxograma de um AG típico.

3.9 Teorema Fundamental dos Algoritmos Genéticos

Este teorema mostra matematicamente que o algoritmo genético converge para

o ótimo global da função de aptidão. Ele se baseia no esquema ou esquemas

(schema ou schemata no plural) descrito inicialmente por Holland (1975) e também

por Goldenberg (1995). Esse teorema é também conhecido com Teorema dos

Esquemas.

A principal informação a respeito da qualidade da solução encontrada pelo

algoritmo genético está no valor da função objetivo do ponto do espaço de busca, ou

seja, o valor da aptidão de cada indivíduo. Mas também é importante que se saiba

outras informações que indiquem o melhor ou mais rápido caminho, dentro de

espaço de busca, para se chegar a esse ótimo. Essas informações podem ser

obtidas na população e podem melhor direcionar a procura.



Considerando-se, como exemplo, uma população de 4 indivíduos com suas

aptidões conforme a tabela 3.2.

Tabela 3.2 Indivíduos de uma população e sua aptidões.

# Indivíduo Fitness (aptidão)

1 01101 169

2 11000 576

3 01000 64

4 10011 361

Os indivíduos 2 e 4 são os mais aptos. Além disso, observa-se também que

ambos tem em comum o primeiro bit igual a 1.Existe uma similaridade entre os dois,

ou existe um esquema que pode guiar o processo de busca.

A definição de esquema foi dada por Holland (1975). Esquema é um

subconjunto de indivíduos com algumas similaridades, ou seja, bits em comum.

Pode-se então descrever um esquema, utilizando o alfabeto binário, acrescido do

símbolo (*) no lucus que pode ser ocupado por um “0” ou um “1”. Por exemplo, o

indivíduo 2, citado acima, poderia fazer parte de alguns esquemas.

Tabela 3.3 Exemplo de um indivíduo e 5 esquemas possíveis.

Indivíduo 1 11000

Esquema (E1) 1***0

Esquema (E2) 11***

Esquema (E3) **00*

Esquema (E4) **000

Esquema (E5) 1**00



Portanto, a partir de um único indivíduo, pode-se avaliar o número de

esquemas possíveis. Um geral esse número esquemas possíveis é ( )gk 1+ onde k é

o número de caracteres do alfabeto, ou cardinalidade, e g é o número de bits do

indivíduo. Para os mesmos valores de k e g pode-se obter gk indivíduo diferentes.

Ou seja, no caso de um indivíduo de 5 bits ( 5=g ) tem-se 3225 = indivíduos

possíveis em ( ) 24312 5 =+ possíveis esquemas.

Pode-se também quantificar os esquemas através de duas propriedades: a

ordem ( ( )EO ) e o comprimento ( ( )Eδ ) do esquema. A ordem do esquema

representa o número de bits fixos do esquema. Por exemplo, o esquema 1E tem

ordem 2, ou seja, ( ) ( ) 2011 =∗∗∗=OEO . O comprimento do esquema representa a

distância entre a primeira e a última posição de interesse no esquema. O esquema

1E tem comprimento ( ) 4151 =−=Eδ , pois a última posição de interesse é 5 e a

primeira é 1.

Como já foi visto anteriormente os melhores indivíduos de uma população

passam seu material genético para a geração seguinte através do operador genético

de seleção. Supondo que na geração t e população )(tP existam ( )tEm , esquemas

possíveis. Supondo também que a probabilidade de seleção de um individuo seja

proporcional à razão de sua aptidão pela somatória das aptidões de todos os

indivíduos da população.

∑=

= n

jj

ii

f

fp

1

Eq. 3.7

onde ip é a probabilidade de seleção do indivíduo i ; if é o valor da aptidão do

indivíduo i ; ∑ if é a somatória das aptidões de todos os indivíduos da população

de n indivíduos.

Pode-se, portanto escrever o número de esquemas que serão selecionados

para a próxima geração, ( )1, +tEm , a partir da população atual.



∑=

=+ n

jjf

EfntEmtEm

1

)(**),()1,( Eq. 3.8

onde ( )Ef é a aptidão média do esquema E .

A aptidão média Mf da população ( )tP pode ser escrita como:

n

ff

n

jj

M

∑== 1

Eq. 3.9

Portanto:

MfEftEmtEm )(*),()1,( =+ Eq. 3.10

A equação 3.10 mostra que o número de esquemas ( )tEm , que possui valor de

aptidão ( )Ef acima do valor médio Mf crescerá exponencialmente nas gerações

seguintes. Ao contrário, aqueles com aptidão abaixo da media decrescerão também

exponencialmente.

Apesar do comportamento altamente promissor, o processo de seleção sozinho

não é capaz de explorar novas regiões do espaço de busca. Isso porque o operador

de seleção não é capaz de gerar novos pontos no espaço de busca para que sejam

avaliados. Os operadores genéticos que têm a missão de fazer isso são os

operadores cruzamento e mutação.



Tabela 3.4 Exemplo de um indivíduo e 2 esquemas possíveis.

Indivíduo 11011 Esquema (E1) **01* Esquema (E2) 1**1*

Na tabela 3.4 tem-se um indivíduo e dois esquemas possíveis. Aplica-se o

operador de cruzamento a esse indivíduo com o ponto de cruzamento escolhido

aleatoriamente tendo sido o ponto 2. Nesse caso o esquema 1E não será extinto. Ao

contrário, o esquema 2E , com o mesmo ponto de cruzamento, será extinto. Conclui-

se disso que a probabilidade de um esquema ser extinto pelo operador de

cruzamento é diretamente proporcional ao comprimento do esquema ( )Eδ . O

esquema 2E possui comprimento ( ) 32 =Eδ , o indivíduo tem 5=g bits de

comprimento e o número de locais possíveis de cruzamento é ( ) 4151 =−=−g

locais. Pode-se disser nesse caso que o esquema 2E tem 43 de chances de ser

extinto pelo cruzamento. Em termos matemáticos:

1)(

−=gEpex

δ Eq. 3.11

Onde: exp é a probabilidade de extinção por cruzamento do esquema E de

comprimento ( )Eδ para indivíduos de g bits de comprimento.

A equação 3.11 só é válida se todos os indivíduos da população forem

cruzados. Cada indivíduo possui a sua probabilidade de sofrer cruzamento, dada por

cp . A equação 3.11 é então reescrita.

1)(

−≥

gEpp cex

δ Eq. 3.12



Dessa forma a probabilidade de sobrevivência de um esquema E devido ao

cruzamento, sp é dada por:

1)(*11

−−≥−≥

gEppp cexs

δ Eq. 3.13

A equação 3.14 a seguir, representa, portanto os efeitos de cruzamento e

seleção, combinados.

−

−≥+1)(*1*)(*),()1,(

gEp

fEftEmtEm cM

δ Eq. 3.14

A equação 3.14 indica que a sobrevivência de um determinado esquema

depende do valor da aptidão do esquema em relação ao valor médio de aptidão da

população e do comprimento do esquema.

O cruzamento promove uma busca de um provável melhor individuo dentro de

um material genético existente na população atual, enquanto que a mutação tem por

objetivo repor material genético novo ou perdido em gerações anteriores.

Para que um esquema possa sobreviver a uma mutação de probabilidade mp ,

todos os seus bits tem que sobreviver. Como a probabilidade de sobrevivência de

um bit é ( )mp−1 , a probabilidade de sobrevivência de um esquema à mutação smp é

a probabilidade de sobrevivência de cada bit tantas vezes quanto for a ordem do

esquema, isto é,

)()1( EOmsm pp −≥ Eq. 3.15

Os valores usuais de mp são pequenos, ou seja, 1<<<mp , assim a equação

3.15 pode ser aproximada para.



]*)(1[ msm pEOp −≥ Eq. 3.16

A equação a seguir mostra a influência dos operadores de mutação inseridos

na equação 3.14.

−

−−≥+ mc

M

pEOgEp

fEftEmtEm *)(

1)(*1*)(*),()1,( δ

Eq. 3.17

A equação é conhecida como Teorema Fundamental dos Algoritmos Genéticos

ou Teorema dos Esquemas. Pode-se concluir através dela que os esquemas que

possuírem aptidão superior à média da população crescerão exponencialmente, ao

contrário dos esquemas com aptidão inferior à média. Esses últimos terão

probabilidades crescentes de se extinguir.

3.10 Implementação do Algoritmo Genético para Solução do Problema de Posicionamento de um Sistema de Neutralizadores Dinâmicos de Vibração

Para a solução do problema abordado neste trabalho emprega-se o algoritmo

genético para a otimização da posição dos neutralizadores.

Na figura a seguir pode-se visualizar de uma forma global o funcionamento do

algoritmo. Observa-se que existem dois loops. O mais interno deles se refere ao

processo de otimização dos parâmetros físicos do neutralizador e que emprega

TONL (Capítulo 2). O loop mais externo é o algoritmo genético que serve para

otimizar a posição do sistema de neutralizadores.



Figura 3.9 Fluxograma de busca da localização ótima de um sistema de NDV’s

utilizando algoritmo genético.

Capítulo 4 Simulação Numérica 101


4 RESULTADOS

Implementa-se aqui, através de simulações numéricas, a técnica proposta no

presente trabalho. O objetivo é reduzir os níveis de vibração de uma estrutura

complexa, considerando distintas faixas de freqüência de análise, utilizando um

sistema de neutralizadores dinâmicos viscoelásticos acoplados a mesma, tendo

seus parâmetros construtivos e localização na estrutura, otimizados

simultaneamente.

O objeto de estudo é uma placa plana de dimensões 600x400x5 mm em aço

com uma massa total de 9,42 kg. A placa é simplesmente apoiada em seus quatro

vértices. Na figura 4.1 pode-se visualizar uma perspectiva do objeto de estudo.

Figura 4.1 Objeto de estudo: placa plana em aço simplesmente apoiada nos vértices.

4.1 Modelo Modal do Sistema Primário

O modelo modal da placa foi obtido através do Método dos Elementos Finitos

usando uma malha uniforme de 294 elementos de casca com 4 nós, totalizando 330

nós. Na figura 4.2 pode-se ver a malha utilizada para obtenção do modelo modal. O

Método dos Elementos Finitos (FEM) é aplicado através do software comercial

ANSYS®. O elemento empregado é o elemento de casca SHELL63.



Figura 4.2 Sistema primário (placa) e malha de FEM com a numeração dos nós.

Os parâmetros do material empregado para a análise são os normalmente

usados para o aço comum. Módulo de elasticidade, PaE 910207×= ; coeficiente de

Poisson, 3,0=ν ; e densidade volumétrica, 37850 mkg=ρ .

Para a obtenção do modelo modal da placa, freqüências naturais e modos de

vibrar, implementa-se uma análise modal de elementos finitos utilizando o método de

iteração subespacial.

Opta-se por obter apenas as 8 primeiras freqüências naturais (subspace

mode). O objetivo dessa redução é obter matrizes modais de tamanhos comparáveis

com os que podem ser encontrados de forma experimental. Uma vez que a malha

obtida tem 326 nós (330 do total menos os 4 dos apoios nos vértices), poder-se-ia

chegar a um modelo com 326 linhas. O que experimentalmente seria muito difícil de

se obter.

Uma vez obtidas as 8 primeiras freqüências naturais consideram-se apenas as

5 primeiras freqüências e modos de vibrar para o estudo de redução de níveis de

vibração. Como houve um truncamento nas 8 primeiras freqüências é mais prudente

não usar as informações completas do modelo por essas trazerem erros inerentes a



esse truncamento. Entretanto, para a montagem da matriz de respostas em

freqüência utilizam-se os 8 modos obtidos.

Todas as freqüências naturais obtidas pelo modelo de elementos finitos podem

ser vistas na Tabela 4.1.

Tabela 4.1 Freqüências naturais obtidas para a placa plana.

Freqüência [Hz] Freqüência [Hz]

1ª 30.317 5ª 181.90

2ª 74.070 6ª 198.54

3ª 88.982 7ª 240.73

4ª 115.92 8ª 309.93

A figura 4.3 ilustra os 5 primeiros modos de vibrar da placa de aço

considerados para a análise. Somente estes 5 primeiros modos são levados em

consideração quando o objetivo é redução de níveis de vibração. Ou seja, a banda

na qual se deseja trabalhar, e efetivamente obter redução nos níveis de vibração,

não ultrapassa a 5ª freqüência natural.

A figura 4.4 ilustra a função de resposta em freqüência (FRF) da estrutura

primária (placa plana). A resposta FRF ilustrada na figura 4.4 corresponde à

resposta de aceleração obtida no nó 123 a partir de uma excitação δ (delta) de

Dirac aplicada no nó 95 ( ( )Ω123,95H ).



(a) (b)

(c) (d)

(e)

Figura 4.3 Modos de vibrar: (a) primeiro modo; (b) segundo modo; (c) terceiro modo;

(d) quarto modo e (e) quinto modo.

Figura 4.4 Módulo da FRF da estrutura primária; H95,123.



A construção do modelo modal, bem como sua utilização pelo algoritmo

desenvolvido, em FORTRAN 90® se dá através de um arquivo de leitura no formato

“.txt“. Esse arquivo é montado de tal forma que na primeira linha são inseridas a

freqüências naturais. Na segunda linha são inseridos os amortecimentos modais da

estrutura. No caso das simulações numéricas realizadas no presente trabalho foi

empregado um amortecimento modal igual para todas os modos de 0,0001. Esse

amortecimento é compatível com o objeto de estudo utilizado nesse trabalho. Nas

linhas seguintes são colocadas as colunas da matriz modal Φ formada pelos

autovetores normalizados pela matriz massa da estrutura primária, extraídos da

solução em FEM do ANSYS®.

4.2 Modelo do Material Viscoelástico

O material viscoelástico empregado na simulação numérica é o NEOPRENE®.

Os parâmetros disponibilizados pelo Instituto de Pesquisa para o Desenvolvimento

(LACTEC) foram levantados no Laboratório de Vibrações e Acústica da Universidade

Federal de Santa Catarina (LVA-PISA/UFSC). O modelo utilizado foi o modelo de 4

parâmetros com derivadas fracionárias. Estes parâmetros estão listados na Tabela

4.2.

Tabela 4.2 Parâmetros materiais do modelo baseado em derivadas fracionárias do NEOPRENE®.

Propriedades do Material Viscoelástico NEOPRENE®

G0 1.53 x 106 MPa G∞ 1.11 x 108 MPa b 1.864 x 10-5 s α 0.396

Na figura 4.5 pode-se visualizar o nomograma do módulo complexo de

elasticidade e também o fator de perda do material NEOPRENE® empregado nas

simulações. O nomograma mostra a variação dessas propriedades com a freqüência

de excitação bem como com a temperatura.



Figura 4.5 Monograma do NEOPRENE® empregado nas simulações.

O uso desse material se justifica pela disponibilidade de suas características

dinâmicas bem como do próprio material.

4.3 Sistema de Neutralizadores

A simulação numérica apresentada neste trabalho tem como objetivo projetar

um sistema de neutralizadores dinâmicos viscoelásticos para reduzir os níveis de

vibração da placa plana metálica, objeto de estudo.

São ensaiados 3 sistemas de neutralizadores distintos. Um composto por um

único neutralizador, outro composto por um par de neutralizadores e o último

composto por 4 neutralizadores.



Todos os sistemas são compostos de neutralizadores com massa iguais,

variando apenas as freqüências de sintonia de cada um destes dispositivos

(freqüência natural), assim como também a faixa de freqüência de interesse.

Cada um dos sistemas de neutralizadores dinâmicos viscoelásticos é ensaiado

com o objetivo de neutralizar 1, 2 e/ou 3 modos variando a faixa de freqüência de

interesse. As bandas largas de freqüência bem como os modos envolvidos em cada

ensaio estão especificados com mais detalhes neste capítulo.

4.4 Técnicas de Otimização Não-Linear

A técnica de otimização não linear é utilizada para otimizar os parâmetros de

construção dos neutralizadores dinâmicos viscoelásticos, para cada sistema de

neutralizadores, para cada banda de freqüência e uma vez definidas as localizações

dos mesmos.

O método de otimização empregado é o método de quase-Newton. Os

parâmetros utilizados nesse trabalho são:

Discretização (entre as freqüências inferior e superior da banda): 50 pontos de

freqüência.

Relação de massa modal: 0,1 (10% da massa modal)

Restrições inferior e superior das freqüências dos neutralizadores: 10 e 350 Hz

respectivamente.

Valor inicial das freqüências dos neutralizadores (vetor inicial): cada ensaio

teve valores diferentes para o vetor inicial. Os valores dos componentes do vetor

inicial foram adotados todos iguais. Os valores iniciais foram adotados como sendo

os valores dos centros das faixas de interesse. Assim, para os ensaios 1, 2 e 3 os

valores iniciais foram 30 Hz. Nos ensaios 4, 5 e 6, 60 Hz; 7, 8 e 9, 90 Hz; 10, 11 e

12, 120 Hz e finalmente para os ensaios 13, 14 e 15, 90 Hz. A descrição de cada

ensaio será feita mais adiante.

O parâmetro que controla a violação das restrições é ajustado em 1/20

(Bavastri, 1997).



A tolerância adotada para o processo iterativo de otimização é de 0,001.

4.5 Algoritmo Genético

Um importante aspecto dos algoritmos genéticos é o correto ajuste de seus

parâmetros de funcionamento. Um não condicionamento desses parâmetros pode

fazer o processo tornar-se pouco eficiente no que diz respeito a sua convergência.

Ainda, esse não condicionamento pode levar o processo a uma busca infrutífera, ou

seja, não se consegue chegar ao ótimo global da função objetivo.

O presente trabalho se apoia principalmente nos estudo realizados por Carroll

(1996) sobre os parâmetros de ajuste do método.

O primeiro parâmetro a ser ajustado é o tamanho da população. Em tese

quanto maior a população maior a diversidade e, teoricamente, maior é a

probabilidade de se encontrar a solução. Entretanto, quanto maior a população,

maior é o esforço computacional para se fazer a qualificação dos indivíduos dessa

população. Ou seja, para cada indivíduo é necessária pelo menos uma avaliação da

função objetivo.

Portanto, deve-se escolher um tamanho de população que não comprometa a

diversidade e que possibilite um esforço computacional suportável.

Neste trabalho empregou-se o algoritmo micro-genético, o que possibilita o

emprego de populações reduzidas. Utilizou-se, portanto uma população de 7

indivíduos (Alvarez, 2002).

O aspecto da diversidade é abordado também pelos parâmetros de

probabilidade de cruzamento e mutação. O primeiro parâmetro deve ficar entre 0,5 e

0,95 e o segundo entre 0,001 e 0,1. Segundo os trabalhos de Carroll (1996) e

Alvarez (2002), usados como referência para essa dissertação, os valores

empregados para esses parâmetros foram:

Probabilidade de cruzamento 8.0=pcross

Probabilidade de mutação 02.0=pmutate



Esses valores foram encontrados através de vários testes de convergência

preliminares. São valores que diferem levemente dos valores ideais encontrados nos

trabalhos citados, mas que estão dentro dos limites de referência. Cada problema

tem as suas particularidades e os parâmetros precisam ser ajustados a elas.

4.6 Casos Avaliados

Os diversos casos ensaiados são descritos a seguir, bem com os resultados

obtidos. Os resultados apresentados são a localização ótima para o sistema de

neutralizadores, as freqüências naturais, as massas dos neutralizadores de cada

sistema e a resposta em freqüência do sistema. A resposta em freqüência de cada

sistema composto (estrutura primária + sistema de neutralizadores) é mostrada de

forma comparativa com a mesma resposta em freqüência da estrutura primária, sem

o sistema de neutralizadores acoplado.

4.6.1 Simulações 1, 2 e 3: Neutralização do Primeiro Modo de Vibrar

Estas simulações têm como objetivo neutralizar o primeiro modo de vibrar do

sistema primário utilizando um sistema de neutralizadores com um único

neutralizador, dois neutralizadores e quatro neutralizadores, respectivamente.

A banda de freqüência de interesse vai de 10 Hz até 50 Hz. Essa banda de

freqüências contém apenas a primeira freqüência natural da placa (estrutura

primária), com se pode observar pela figura 4.4.

A localização ótima para o sistema de neutralizadores é mostrada nas figuras

4.6 (um único neutralizador), 4.8 (dois neutralizadores) e 4.10 (quatro

neutralizadores). Nas figuras 4.7, 4.9 e 4.11 observa-se a melhoria na resposta do

sistema após o acoplamento dos sistemas neutralizadores.

A tabela 4.3 traz os resultados encontrados para os ensaios 1, 2 e 3. São

listadas a localização dos sistemas de neutralizadores, as suas massa e freqüências

naturais, bem como o valor da função objetivo para cada sistema.




Figura 4.7 Resposta do sistema primário com 1 neutralizador.




Figura 4.9 Resposta do sistema primário com 2 neutralizadores.





Tabela 4.3 Resultados das simulações 1, 2 e 3.

Número de NDV Posição Massa (g) F. Natural

(Hz) F. Objetivo

(dB) Figura

Posição Figura

Resposta 1 Nó 188 506,39 27,8400 187,6342 4.6 4.7

Nó 200 27,1326 2

Nó 201 253,77

26,9455 187,8573 4.8 4.9

Nó 188 26,9113

Nó 200 27,1262

Nó 201 26,9370 4

Nó 213

126.74

27,1245

187,8591 4.10 4.11

4.6.2 Comentários relativos às simulações 1, 2 e 3

Nos ensaios 1 e 2 foram necessárias 50 gerações para se obter a

convergência. No ensaio 3, utilizaram-se 200 gerações.

Observa-se por esses três ensaios que a massa dos neutralizadores

necessária para se conseguir neutralizar o primeiro modo de vibrar a placa é de

aproximadamente 507 gramas. Essa massa é de cerca de 5.4% da massa total da

placa.



Os resultados obtidos em relação à redução de vibração foram praticamente

iguais com o valor da função objetivo (norma) ficando em torno de 187.9 dB para os

ensaios 2 e 3 e de 187.6 para o ensaio 1.

As localizações encontradas, como era de se esperar, correspondem aos

pontos de máxima amplitude do modo em estudo.

4.6.3 Simulações 4, 5 e 6: Neutralização do Segundo Modo de Vibrar

Estas simulações têm como objetivo neutralizar o segundo modo de vibrar do




freqüências contém apenas a segunda freqüência natural da placa (estrutura







listados a localização dos sistemas de neutralizadores, massa e freqüência natural

de cada um e o valor da função objetivo para cada sistema.







(Hz) F. Objetivo

(dB) Figura

Posição Figura

Resposta 1 Nó 200 217,52 60,6419 200,1515 4.12 4.13

Nó 188 68,0038 2

Nó 213 108,50

60,0521 200,0323 4.14 4.15

Nó 188 68,8729

Nó 200 60,0122

Nó 201 68,0759 4

Nó 213

54,315

60,5557

199,9118 4.16 4.17


Nos ensaios 4 e 5 foram necessárias 50 gerações para se obter a


Observa-se por esses três ensaios que a massa de neutralizadores necessária

para se conseguir neutralizar o segundo modo de vibrar é de aproximadamente 217

gramas. Essa massa é de cerca de 2.3% da massa total da placa. A massa



encontrada é bem inferior a encontrada nos três ensaios anteriores. Isto pode ser

explicado como sendo devido a menor energia vibratória envolvida no segundo

modo.


iguais com o valor da função objetivo (norma) ficando em torno de 200 dB para os

três ensaios.

4.6.5 Simulações 7, 8 e 9: Neutralização do Terceiro Modo de Vibrar

Estas simulações têm como objetivo neutralizar o terceiro modo de vibrar do




freqüências contém apenas a terceira freqüência natural da placa (estrutura







listados a localização dos sistemas de neutralizadores, massa e freqüência natural

de cada um e o valor da função objetivo para cada sistema.







(Hz) F. Objetivo

(dB) Figura

Posição Figura

Resposta 1 Nó 77 290,55 99,7022 203,4209 4.18 4.19

Nó 77 77,1176 2

Nó 324 145,28

80,0224 204,9647 4.20 4.21

Nó 77 76,5872

Nó 78 77,6269

Nó 323 80,0832 4

Nó 324

74,085

79,5976

204,7309 4.22 4.23

4.6.6 Comentários relativos aos ensaios 7, 8 e 9

Nas simulações 7 e 8 foram necessárias 50 gerações para se obter a



para se conseguir neutralizar o terceiro modo de vibrar a placa é de

aproximadamente 290 gramas para os ensaios 7 e 8, e 296 gramas para o ensaio 9.

Essa massa é de cerca de 3% da massa total da placa para os ensaios 7 e 8 e cerca



de 3.1% para o ensaio 9 . A massa encontrada é levemente superior à encontrada

nos três ensaios anteriores. Isso é devido à maior energia vibratória envolvida no

terceiro modo se comparado com o segundo modo. Isso pode ser explicado pelo

maior nível de amplificação na FRF do terceiro modo (figura 4.4).


iguais com o valor da função objetivo (norma) ficando em torno de 203 para o ensaio

7, 205 dB para os ensaios 8 e 9. Distribuindo-se mais neutralizadores, praticamente

mantendo a mesma massa adicionada total, consegue-se 2 dB de redução adicional

global.

4.6.7 Simulações 10, 11 e 12: Neutralização do Quarto Modo de Vibrar

Estas simulações têm como objetivo neutralizar o quarto modo de vibrar do




freqüências contém apenas a quarta freqüência natural da placa (estrutura primária),

como pode ser observado na figura 4.4.






listadas a localização dos neutralizadores, suas massas e as freqüências naturais,

além do valor da função objetivo para cada caso.






(Hz) F. Objetivo

(dB) Figura

Posição Figura

Resposta 1 Nó 77 170,09 125,968 212,6758 4.24 4.25

Nó 77 103,272 2

Nó 324 85,046

107,870 216,0551 4.26 4.27

Nó 77 103,244

Nó 78 103,812

Nó 323 107,536 4

Nó 324

43,564

107,703

216,0691 4.28 4.29


Nos ensaios 10 e 11, foram necessárias 50 gerações para se obter a



para se conseguir neutralizar o quarto modo de vibrar é de aproximadamente 170

gramas para os ensaios 10 e 11, e 174 gramas para o ensaio 12. Essa massa é de

cerca de 1.8% da massa total da placa para os ensaios 10 e 11 e cerca de 1.85%



para o ensaio 12. A massa encontrada é inferior a encontrada nos três ensaios

anteriores. Isso é devido à menor energia vibratória envolvida no quarto modo.


iguais com o valor da função objetivo (norma) ficando em torno de 213 dB para o

ensaio 10 e 216 dB para os ensaios 11 e 12.

4.6.9 Simulações 13, 14 e 15: Neutralização dos Segundo, Terceiro e Quarto Modos de Vibrar

Estas simulações têm como objetivo neutralizar os segundo, terceiro e quarto

modos de vibrar do sistema primário, simultaneamente, utilizando um sistema de

neutralizadores com um único neutralizador, dois neutralizadores e quatro

neutralizadores, respectivamente.


freqüências contém as segunda, terceira e quarta freqüências naturais da placa

(estrutura primária), com se pode observar pela figura 4.4.






listadas a localização dos neutralizadores, suas massas e freqüências naturais, além

do valor da função objetivo para cada caso.

Figura 4.30 Localização do sistema de neutralizadores: 1 neutralizador.




Figura 4.32 Localização do sistema de neutralizadores: 2 neutralizadores.




Figura 4.34 Localização do sistema de neutralizadores: 4 neutralizadores.






(Hz) F. Objetivo

(dB) Figura

Posição Figura

Resposta 1 Nó 265 1.228,9 43,3028 183,4861 4.30 4.31

Nó 77 90,2262 2

Nó 200 212,26

58,4012 200,0650 4.32 4.33

Nó 77 78,5895

Nó 213 60,3491

Nó 201 69,3937 4

Nó 324

106,11

82,3072

199,5927 4.34 4.35

4.6.10 Comentários relativos aos ensaios 13, 14 e 15

Nos ensaios 13 e 14, foram necessárias 50 gerações para se obter a


Esses foram os ensaios mais importantes realizados, pois demonstram a

eficiência e robustez do método. Isso pode ser observado pelos resultados obtidos.



O objetivo desses ensaios é neutralizar 3 modos de vibrar de uma só vez

dentro de uma banda larga de freqüências. No ensaio 13 isso é conseguido a custa

de uma massa muito grande. Cerca de 1229 gramas, ou 13% da massa total da

placa. Nos ensaios 14 e 15 conseguem-se resultados muito superiores ao anterior

com massas sensivelmente menores. Nesses últimos ensaios, 14 e 15, a massa dos

neutralizadores é de 424 gramas, ou seja, apenas 4,5% da massa total da placa.

Os resultados obtidos em relação à redução de vibração foram bastante

discrepantes em relação aos testes 13 e 14 e 15. O valor da função objetivo (norma)

do ensaio 13 é em torno de 183 dB. Para os ensaios 14 e 15 o valor da função

objetivo é de 200 dB.

O aumento do número de neutralizadores permite um controle modal mais

adequado, melhorando a eficácia da redução global de níveis de vibração em 7 dB

aproximadamente.

O resultado obtido no ensaio 13 se mostra inviável, devido a que a massa do

único neutralizador é excessivamente grande. Por outro lado, os resultados dos

ensaios 14 e 15 mostram a capacidade do método de posicionar e otimizar os

parâmetros do sistema de neutralizadores dinâmicos. A figura 4.35 ilustra a grande

redução de níveis de vibração obtida no ensaio 15, bem com do ensaio 14 na figura

4.33.

4.7 Espaço de Busca

Para verificar a convergência do método aqui proposto, utilizou-se a simulação

numérica 13. Fazendo uma varredura da posição do neutralizador é possível achar,

de forma visual a melhor posição entre todas as posições possíveis.

Assim, esta nova simulação permite a construção de um gráfico tridimensional

do espaço de busca, onde os eixos x e y deverão conter a localização do NDV e o

eixo z deverá conter o valor da função objetivo. Dessa forma pode-se visualizar o

ponto ótimo global buscado pelo método e se este ponto foi realmente alcançado.

Para possibilitar esta visualização, é necessário calcular os valores da função

objetivo para cada localização sobre a estrutura (todos os nós onde é possível o



posicionamento de um NDV). Para tal fim, suprimiu-se o funcionamento do algoritmo

genético, utilizado para procurar a posição ótima do NDV, e no seu lugar utilizou-se

apenas a técnica de otimização interna, uma vez prefixada a posição do NDV

Para se melhorar a visualização utiliza-se uma escala logarítmica, pois muitos

valores obtidos para a função objetivo são extremamente pequenos.

Observa-se pela figura 4.36 que existem 4 pontos que podem ser considerados

com máximo global, para a posição ótima de um NDV, para controlar o segundo,

terceiro e quarto modo, simultaneamente. Estes pontos encontram-se indicados com

setas. O ponto encontrado pelo método de localização proposto nesse trabalho está

indicado com uma seta vermelha.


Visualmente, através do gráfico apresentado na figura 4.36, não se podem

identificar diferenças entre esses quatro pontos, quanto ao valor da função objetivo.

Entretanto, analisando-se os dados utilizados para a construção desse gráfico, é

possível identificar uma pequena diferença entre os valores dos quatro pontos

destacados. O valor destacado pela seta vermelha é realmente maior que os outros



três, mostrando que o método é capaz de encontrar o máximo global. Mesmo sendo

valores muito próximos, o método se mostrou capaz de identificar o máximo global.

Vide apêndice C.

Capítulo 5 Conclusões e Recomendações 132


5 CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES

5.1 Conclusões

Fez-se uma revisão dos conceitos utilizados na metodologia geral de

otimização de neutralizadores dinâmicos viscoelásticos, trabalhando em banda larga

de freqüência, controlando simultaneamente, vários modos de vibrar de sistemas

primários lineares, invariantes no tempo e geometricamente complexos.

Abordaram-se os conceitos relacionados aos neutralizadores dinâmicos de

vibração e seus princípios de atuação sobre a estrutura a controlar. Revisou-se os

conceitos da metodologia geral formulada pelo grupo PISA-CNPq para otimização

de neutralizadores dinâmicos viscoelásticos. Foram revistos os conceitos dos

parâmetros equivalentes generalizados, modelagem de sistemas complexos no

espaço modal e funções de resposta em freqüência em subespaço modal do

sistema primário.

No que se refere especificamente aos neutralizadores dinâmicos viscoelásticos

fez-se uma revisão da teoria de viscoelasticidade linear. Para o modelo matemático

do material viscoelástico reviu-se o cálculo fracional e, particularmente, o modelo de

quatro parâmetros baseado em derivada fracionária para a viscoelasticidade linear.

As técnicas de otimização não linear (TONL) foram revistas e estudados os

seus conceitos básicos. Os algoritmos genéticos foram utilizados para determinação

da localização ótima, na estrutura, dos neutralizadores dinâmicos viscoelásticos.

Foram estudados os principais aspectos dos algoritmos genéticos tais como os

principais operadores genéticos, os parâmetros de influência e sua configuração e a

teoria fundamental dos algoritmos genéticos.

Propôs-se e implementou-se uma metodologia para determinar a localização

ótima, bem como os parâmetros físicos construtivos ótimos, simultaneamente, de um

sistema de neutralizadores dinâmicos viscoelásticos, destinado a controlar uma

estrutura geometricamente complexa, qualquer.

A função objetivo proposta para o problema resultou em uma função

multiobjetivo, que além de otimizar os parâmetros físicos do neutralizador e sua

localização, produz resultados com a menor massa de neutralizadores possível,



adicionada ao sistema primário. Isto porque, no decorrer do trabalho, a não inclusão

da massa dos neutralizadores na função objetivo, levou a resultados pouco práticos,

como neutralizadores com massas muito grandes, fixadas nos nós dos modos a

controlar. Com a função objetivo multimodal, este problema foi solucionado.

Foram realizados ensaios numéricos em uma estrutura simples (placa

simplesmente apoiada nos vértices). Empregou-se uma placa metálica em aço,

discretizada em elementos finitos, e procurou-se neutralizar alguns modos de vibrar

dessa estrutura, em diferentes bandas de freqüência, envolvendo um ou mais

modos, simultaneamente.

Foi possível, através das simulações numéricas, comprovar a eficiência da

metodologia, conseguindo resultados significativos, no que diz respeito ao controle

de vibrações. A metodologia mostrou ser capaz de localizar e projetar sistemas de

neutralizadores dinâmicos viscoelásticos, com massas reduzidas, que reduzem os

níveis de vibração na faixa de interesse de forma eficaz e satisfatória.

Como exemplo da eficiência da metodologia pode-se comentar aqui os

resultados obtidos na simulação 1. Poderia-se imaginar, a princípio, que a

localização ótima para um neutralizador atuar sobre o primeiro modo de vibrar da

placa deveria ser o centro dessa (nó 194 ou 207). Entretanto, a metodologia indicou

que a melhor localização não é o centro e sim a extremidade lateral (nó 188).

Fazendo uma investigação posterior foi possível comprovar, através de uma

avaliação das duas localizações, que realmente os resultados obtidos com o

neutralizador localizado na lateral são melhores que aqueles dos nós centrais. A

diferença entre os dois resultados verificou-se muito pequena. Entretanto a

metodologia se mostrou capaz, e com sensibilidade suficiente, para localizar o

sistema de neutralizadores de forma ótima.

Ao final desse trabalho pode-se observar que, mesmo em seu estágio inicial de

desenvolvimento, a metodologia geral aqui proposta, mostra resultados promissores.



5.2 Sugestões para Trabalhos Futuros

Para trabalhos futuros considera-se importante que a metodologia seja

comprovada experimentalmente. Faz-se necessário, para que a metodologia seja

validada, que seus resultados sejam comparados com medições experimentais.

Somente assim poder-se-á considerar seus resultados confiáveis, plenamente.

Estudar e aplicar esta metodologia em sistemas geometricamente complexos,

com densidade modal elevada assim como um elevado acoplamento entre seus

modos. Tais sistemas solicitariam uma grande sensibilidade por parte da

metodologia aqui apresentada, o qual, segundo este trabalho, tem muito a contribuir

para o desenvolvimento e refino da mesma.

Um estudo relativo ao efeito da temperatura sobre os sistemas de

neutralizadores dinâmicos viscoelásticos também se faz necessário. Isso

principalmente, devido ao fato de que as propriedades dinâmicas dos materiais

viscoelásticos serem dependentes da temperatura, e que os materiais com melhores

fatores de amortecimento serem mais sensíveis a essa variação. Uma abordagem

sobre a dessintonização do sistema de neutralizadores dinâmicos viscoelásticos

devido a uma mudança substancial de temperatura se faz necessário.

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Conferences.

Apêndice A Elemento Finito SHELL63 145


APÊNDICE A – ELEMENTO FINITO SHELL63

Descrição do Elemento Finito SHELL63 do software comercial ANSYS®.

O Elemento Finito SHELL63 possui capacidades de flexão e também de

membrana. Carregamentos, tanto no plano no elemento como também normal a ele,

são possíveis. O elemento possui seis graus de liberdade por nó: translação nodal

nos eixos x, y e z e rotações em torno dos eixos x, y e z (figura A.1).

Figura A.1 Geometria do Elemento Finito SHELL63.

O elemento é definido por quatro nós e quatro espessuras, que variam

gradualmente ao longo da superfície do elemento. Se o elemento possui uma

espessura constante, uma espessura apenas é utilizada para sua caracterização.

A solução associada ao elemento se apresenta de duas formas:

• deslocamento nodal incluído na solução nodal global

• saídas adicionais de elemento

Na figura A.2 pode-se visualizar as diversas soluções que o elemento pode

fornecer.

Apêndice A Elemento Finito SHELL63 146


Figura A.2 Saídas do Elemento Finito SHELL63.

Maiores detalhamentos a respeito da utilização desse elemento finito podem

ser obtidos nos manuais do ANSYS®, ANSYS Release 9.0 Documentation.

Apêndice B Características Dinâmicas de um Material Viscoelástico 147


APÊNDICE B – CARACTERÍSTICAS DINÂMICAS DE UM MATERIAL

VISCOELÁSTICO.

Aqui são apresentados os conceitos básicos das características dinâmicas

(módulo de cisalhamento e fator de perda) de um material viscoelástico.

Antes do advento dessa caracterização, várias curvas eram necessárias para

se representar os dados experimentais e características dinâmicas dos materiais

viscoelásticos, uma vez que esses dependem da temperatura e da freqüência. O

método das variáveis reduzidas surge como uma forma de caracterizar essas

propriedades através de um gráfico único.

Segundo Snowdon, 1968 e Nashif, 1985, a freqüência influi qualitativamente de

maneira inversa à temperatura, sobre as propriedades dinâmicas do material

viscoelástico, a menos de um fator de escala. Tal relação pode ser escrita como

( ) ( )( ) ( )θ

θ

αηθηαθΩ=Ω

Ω=Ω

0,

, 0

GG

GG Eq. A.1

sendo θα um fator de deslocamento em freqüência equivalente à alteração de

temperatura θ . 0G e 0G

η são respectivamente o módulo dinâmico e o fator de perda

medidos na temperatura de referência 0θ .

A equação A.1 representa, portanto, que o módulo dinâmico G medido na

freqüência Ω e temperatura θ é equivalente ao módulo dinâmico G0 medido na

freqüência θαΩ e à temperatura 0θ . Isso possibilita a construção de um gráfico com

duas curvas apenas, chamadas curvas mestras (Lopes, 1989), em função de uma

variável única ( θαΩ ) chamada freqüência reduzida.

O fator θα surge da comparação de diversos experimentos, chegando-se a

uma curva universal (equação A.2) em função de 0θθ − (Rogers, 1981).

Apêndice B Características Dinâmicas de um Material Viscoelástico 148


)(7,291)(12log

0

0

θθθθαθ −+

−−= Eq. A.2

A escolha de 0θ é importante pois permitira uma melhor dispersão dos pontos

experimentais.

Maiores detalhes a respeito dos ensaios necessários e as medições feitas em

um material viscoelástico, para a sua caracterização através das curvas mestras de

suas propriedades dinâmicas, podem ser encontrados em Bavastri, 1997.

Apêndice C Dados Numéricos para Construção do Gráfico Tridimensional do Espaço de Busca 149


APÊNDICE C – DADOS NUMÉRICOS PARA CONSTRUÇÃO DO

GRÁFICO TRIDIMENSIONAL DO ESPAÇO DE BUSCA.

Apêndice C Dados Numéricos para Construção do Gráfico Tridimensional do Espaço de Busca 150


6050,795 12885,46 75748,66 3442,658 1467,77 1041,452 1070,054 1592,901 3897,519 38223,74 24984,53 3423,207 1500,208 1054,894 1068,877 1572,331 3975,265 75750,38 12906,15 6070,601

4364,915 2075,402 3094,984 78672,53 8553,225 2081,861 1356,566 1578,355 3401,455 30911,11 21699,21 3073,372 1527,255 1383,595 2072,815 10834,06 41826,43 3116,274 2095,928 4379,186

5276,808 1931,19 1369,271 2185,372 14309,89 26800,62 3368,373 2150,022 3336,688 25551,56 19344,53 3128,809 2163,89 3633,749 37918,21 11301,85 2069,023 1390,745 1959,276 5280,483

8009,119 2865,422 1595,063 1354,183 2126,248 10271,83 98211,34 6204,969 4542,356 22405,83 18453 4516,536 6915,232 247930,6 7946,856 1984,475 1394,679 1689,883 3031,368 8530,149

16048,47 5807,851 3079,047 2053,695 1935,066 3072,57 15717,87 129963,4 11627,43 23346,87 21064,75 12236,69 210065,4 13199,22 2974,034 2020,962 2231,014 3343,367 6396,658 17823,89

57392,36 21261,98 11103,58 6983,085 5292,023 4928,759 7461,703 60966,69 77738,18 35546,39 34746,05 85805,73 53469,5 7541,1 5349,554 5973,7 8111,506 13250,65 25981,69 71677,4

19645228 9031009 5973336 4914922 4854572 5585243 7604521 12997041 33525221 2,84E+08 2,84E+08 33526334 12995429 7603085 5584336 4854205 4914937 5973849 9031952 19648247

71676,96 25981,78 13248,47 8111,024 5973,195 5346,063 7534,031 53463,9 85800,32 34744,18 35550,43 77741,15 60973,62 7465,931 4935,357 5291,646 6947,426 11108,03 21263,94 57399,86

17823,06 6396,357 3343,312 2229,968 2020,054 2969,516 13194,19 210098 12232,7 21064,16 23348,17 11633,71 129966,3 15721,95 3076,827 1942,384 2064,833 3079,472 5809,476 16050,8

8528,654 3031,4 1688,29 1394,37 1981,724 7944,391 247886,2 6911,564 4514,785 18480,73 22407,86 4545,989 6211,385 98221,18 10271,83 2128,183 1357,984 1606,29 2866,102 8013,15

5280,571 1958,919 1389,375 2066,942 11300,44 37915,6 3630,164 2161,517 3127,973 19342,2 25550,7 3338,403 2154,612 3375,026 26785,48 14315,6 2186,581 1372,131 1943,139 5277,973

4379,228 2094,677 3114,781 41826,03 10830,48 2249,271 1380,821 1525,823 3072,727 21698,29 30911,86 3402,41 1580,547 1361,186 2087,938 8561,081 78682,21 3093,937 2077,814 4360,308

6069,838 12906,02 75753,82 3971,631 1568,834 1065,948 1052,886 1499,43 3421,296 24984,84 38224,3 3898,054 1594,525 1072,284 1045,514 1472,954 3448,705 75750,65 12883,29 6053,043

projeto e localizaÇÃo Ótimos de sistemas de ... · neutralizadores de forma que a resposta...

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