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UNICAMP

Faculdade de Engenharia Mecânica

Curso de Engenharia de Controle e Automação

Projeto de Trabalho de Graduação

II – ES952

Aluno: Renan G. De Paula Castilho - RA: 064030

Orientador: Luiz Otávio Saraiva Ferreira

Título do Trabalho:

Projeto de mancal magnético passivo com estabilização

mecânica.

Índice

Resumo .......................................................................................................................... 3

1. Introdução .................................................................................................................. 4

1.1 Breve histórico ........................................................................................... 4

1.2 Mancais magnéticos hoje .......................................................................... 4

2. Teoria ......................................................................................................................... 5

2.1 Conceitos básicos sobre levitação magnética ........................................ 5

2.1.1 Rigidez Axial para Mancais Magnéticos ................................... 6

2.2 Determinação analítica de força entre imãs de mancais passivos ...... 6

2.2.1 Relação entre rigidez axial e radial ........................................... 7

2.2.2 Calculo dos esforços ................................................................. 8

2.2.2.1 Calculo do esforço para um único imã ..................... 8

3. Simulações ................................................................................................................ 10

3.1 Calculo do esforço para um conjunto de imãs ....................................... 12

4. Planejamento dos Experimentos ............................................................................ 14

4.1 Planejamentos dos materiais utilizados .................................................. 14

4.2 Montagem da bancada .............................................................................. 15

4.3 Montagem para testes ............................................................................... 18

5. Testes ......................................................................................................................... 19

5.1 Testes Preliminares .................................................................................... 19

5.2 Testes Finais ............................................................................................... 21

6. Conclusão ................................................................................................................. 22

Resumo

De Paula Castilho, Renan Gabriel, Projeto de mancal magnético passivo

com estabilização mecânica, Campinas, Faculdade de Engenharia Mecânica,

Universidade Estadual de Campinas, 2011. Trabalho de Graduação.

Este trabalho faz um breve estudo sobre a levitação magnética focada

para o uso em mancais magnéticos passivos utilizando imãs empilhados. São

apresentadas a teoria e as equações que modelam o sistema, e a partir destas

são feitas simulações em MATLAB e experimentos práticos para verificação da

teoria.

Palavras-Chave: Mancal magnético, Magnetismo, Ímãs empilhados

1. Introdução

1.1 Breve histórico

Há 100 anos os cientistas tentam utilizar os princípios da levitação

magnética. Eversheed em 1900 fazia experimentos com imãs permanentes e

eixos.

Um exemplo de aplicação atual dos conceitos de levitação magnética são

os chamados hover trains, que utilizam os princípios da levitação magnética

para reduzir as perdas mecânicas, conseguindo assim atingir grandes

velocidades.

Utilizando este conceito de reduzir as perdas por atrito, é possível pensar

em armazenar, de maneira eficiente, energia mecânica. Uma possível

aplicação deste conceito é o armazenamento de energia cinética através de

volantes. [1]

1.2 Mancais magnéticos hoje

Atualmente mancais magnéticos são utilizados comercialmente em

diversas aplicações tais como volantes para armazenar energia, turbinas de

alta velocidade, compressores, bombas e Turbinas a jato (Williams et al.,

1990). Suas vantagens são a alta eficiência energética, o fato de não utilizarem

lubrificantes, a alta resistência ao desgaste e a possibilidade de utilização em

velocidades extremas de até 100000 RPM.

Os mancais magnéticos são por natureza instáveis. Como será tratado

posteriormente, os mancais encontrados no mercado possuem estabilizadores

em malha fechada para permitir a sua estabilização e utilização.

Mancais magnéticos podem ser utilizados tanto em mancais radiais,

mancais cônicos e mancais para suporte ao empuxo. Neste trabalho focaremos

em mancais radiais.

Os mancais radiais possuem duas configurações: imãs colocados com

forças paralelas ao eixo de rotação e imãs com forças atuando de maneira

perpendicular ao eixo. Na figura 1 temos a representação destas

configurações, onde em azul temos as forças magnéticas, e em laranja as

bobinas para o controle dos imãs.

Estes sistemas são geralmente denominados sistemas mecatrônicos, pois

necessitam de controle ativo para que funcionem corretamente.

Figura 1- Imãs com forças perpendiculares e paralelas, respectivamente.

Finalmente é importante salientar que estes imãs são considerados

limpos, pois não necessitam de óleo ou graxa.

2. Teoria

2.1 Conceitos básicos sobre levitação magnética

Existem 9 tipos de levitação magnética[2] , porém através do teorema de

Earnshaw é possível observar que é muito difícil conseguir que o equilíbrio seja

estável. Para se conseguir tal estabilidade são apresentadas 3 formas:

1) Por sistemas magnéticos que possuem um controlador ativo ou

passivo. Neste caso é possível utilizar imãs permanentes auxiliados por espiras

que produzam campos magnéticos.

2) Através de materiais diamagnéticos. Uma solução que não é

comercialmente aplicável, pois as forças envolvidas são muito pequenas.

3) Utilizando-se imãs permanentes e supercondutores. Estes vêm se

tornando mais interessantes, pois já existem supercondutores a temperaturas

mais distantes de 0 K.

É possível provar adicionalmente que certas construções, principalmente

cilíndricas com imãs permanentes, são capazes de apresentar estabilidade

axial ou radial, porém não ao mesmo tempo.

2.1.1 Rigidez Axial para Mancais Magnéticos

Concentrando-se no caso onde existe estabilidade radial e não axial, é

necessário notar que existe uma rigidez associada à estabilidade radial, e essa

rigidez é muito importante, pois além de definir limites para forças radiais, ela

influi diretamente na frequência natural dos mancais magnéticos [1].

Esta frequência costuma ser o fator limitante para a velocidade de giro

em eixos suportados por mancais magnéticos, e no caso de baterias que

acumulam energia cinética esta rotação limita a capacidade de armazenamento

da bateria, sendo um dos principais empecilhos a tais técnicas.

Para se contornar este problema existe uma solução na qual através do

empilhamento de imãs concêntricos é possível conseguir uma rigidez ótima. [3]

Desta forma, é possível estabilizar mecanicamente um mancal magnético

e analisar o seu desempenho para se conseguir uma rigidez suficiente para

uma dada aplicação, que é o objetivo deste trabalho.

Este trabalho tem como objetivo a construção de um mancal para testes,

e adicionalmente aos resultados deste podem ser adicionados os trabalhos de

outros dois alunos (sob a mesma orientação) que têm como objetivo a

estabilização axial do mancal, e serão brevemente descritos.

2.2 Determinação analítica de força entre imãs de mancais passivos

A maneira mais intuitiva de se construir mancais magnéticos radiais com

imãs permanentes é através de uma estrutura que consiste em dois imãs

concêntricos separados por um entreferro cilíndrico de ar, ou então separados

por um entreferro plano de ar, de maneira similar ao apresentado na Figura 1.

Neste trabalho estaremos interessados na configuração com um air gap

cilíndrico, pois poderemos estudar as diversas maneiras de se empilhar estes

imãs. A Figura 2 representa esta configuração de imãs na sua forma mais

simples, já a Figura 3 representa a configuração com imãs empilhados.

Existem dois valores importantes relacionados a estes imãs, os valores da

rigidez e os valores da força de levitação. A força permitirá nos dizer a

capacidade de sustentação dos imãs e a rigidez traz valores importantes com

relação ao valor da velocidade crítica. A primeira pessoa a realizar estudos

analíticos sobre imãs em forma de anel foi Durand (Durand, 1968).

Figura 2 – Imãs com air gap cilíndrico

Figura 3 – Imãs empilhados

2.2.1 Relação entre rigidez axial e radial

Os imãs em formato de anel podem possuir dois tipos de polarização,

axial e radial, como mostrado na Figura 4, onde acima temos a polarização

radial e abaixo a polarização radial. As forças em ambas as polarizações são

iguais em termos de magnitude, sendo que apenas o sinal muda. Logo ambas

podem ser utilizadas. A polarização radial tem uma vantagem, pois pode ser

mais encontrada em imãs comerciais.

Os resultados apresentados neste texto são para a polarização radial.

Sendo que para se obter os dados para a polarização radial basta-se alterar o

sinal no cálculo da força.

A rigidez pode ser determinada uma vez que a força é determinada pela

equação 1.

Figura 4 – Seção transversal dos imãs, com setas indicando o sentido do

campo.

Por motivos de simetria, quando os anéis estão colocados concêntricos,

temos que a rigidez radial Kradial, doravante chamada Kr, e a rigidez axial Kz

estão ligadas conforme a Equação 2.

(2)

Analisando essa formulação podemos verificar que o poder de levitação

representado pelos esforços radiais é sempre menor (em módulo) que os

esforços axiais. Logo, como observaremos a seguir, este mancal instável

necessita de uma força maior do que sua sustentação para se manter

posicionado, sendo que as forças obedecem a mesma relação que a rigidez.

Adicionalmente, utilizaremos desta relação para os experimentos, como

será mostrado posteriormente.

2.2.2 Calculo dos esforços

2.2.2.1 Calculo do esforço para um único imã

Primeiramente a notação utilizada será dada seguindo a Figura 5, e os

parâmetros estão identificados na tabela 1.

Figura 5 – Notação Utilizada

J1 Polarização do anel externo (T)

J2 Polarização do anel interno (T)

r1,r2 Coordenadas radiais do anel externo [m]

r3,r4 Coordenadas radiais do anel interno [m]

z1,z2 Coordenadas axiais do anel externo [m]

z3,z4 Coordenadas axiais do anel interno [m]

h1=z2 − z1 Altura do anel externo[m]

h2=z4 – z4 Altura do anel interno[m]

Tabela 1 – Parâmetros utilizados

A Força pode ser calculada considerando que existe uma corrente

superficial de densidade k1 para o anel externo e k2 para o anel interno. E que

estas correntes então geram dois campos que se repelem ou atraem.

As densidades de corrente são determinadas a partir da equação 3.

(3)

Onde o termo adicional é a constante eletromagnética do ar, uma vez que

que o entreferro é composto de ar.

O termo da força axial Fz, pode ser determinado, então pela equação 4.

∑∑ { ( )}

Onde o termo fz é dado pela equação 5.

∫ ∫ ∫

(5)

Logo é possível fazer os cálculos tanto das forças quando dos esforços

radiais e axiais. Iremos nos focar nos esforços axiais, pois todos os outros

conceitos podem ser facilmente derivados destes, ficará claro o porquê desta

escolha na seção de resultados.

Adicionalmente, é possível calcular a força de dois imãs empilhados em

contraposição, de acordo com a equação 6.

(6)

Onde n é o número de pares de imãs utilizados.

3. Simulações

Foram escolhidos para as simulações um par de imãs de neodímio N35

em formato de anel, com a polarização medida por um gaussímetro e as

dimensões na forma diâmetro externo x diâmetro interno x espessura. O imã

externo tem dimensões de 20x13x4 mm e 0.420 T de densidade de fluxo

magnético, e o imã interno tem dimensões de 9x6x3 mm e 0.250 T de

densidade de fluxo magnético. As medidas realizadas com o gaussímetro

tiveram uma variação de 0.11 T.

É importante notar que os imãs não têm a mesma espessura, pois não

existiam imãs disponíveis no mercado com a mesma espessura e dimensões.

Figura 6 – Força axial

É possível notar a força, apresentada na figura 6, é simétrica em relação

à origem, ou seja, o equilíbrio é instável, pois ao passar o ponto neutro o imã

tenta ir para o outro lado.

A rigidez axial é apresentada na figura 7. Esse dado é muito importante

pois permite calcular o deslocamento do imã, ou seja, sua capacidade de

carga, e adicionalmente possibilita o cálculo da velocidade crítica.

Figura 7 – Rigidez axial

Os picos são causados por erros numéricos, e se propagam da força para

a rigidez, pois a rigidez é calculada derivando-se a força.

3.1 Calculo do esforço para um conjunto de imãs

Primeiramente serão mostrados os valores de força axial de um conjunto

de ímãs conforme os arranjos mostrados nas Figuras 8 e 9. Estes dados são

importantes pois o experimento prático utilizará esta configuração.

Figura 8 – Arranjo de imãs alinhados

Figura 9 – Arranjo de imãs em contraposição

A figura 10 mostra a força teórica de dois imãs alinhados contra dois imãs

em contraposição, foi considerado que dois imãs alinhados são independentes,

logo a força seria a soma de cada par.

Figura 10 – Força axial para dois imãs internos com polarização no

mesmo sentido contra polarização concorrente

4. Planejamentos dos experimentos

Os experimentos visam montar uma bancada para se medir a força axial

máxima dos imãs nas duas configurações citadas acima.

Foi escolhido se medir a rigidez axial, pois, os imãs não são estáveis,

necessitando assim de um apoio para permanecerem estáveis. Logo o apoio

iria intervir na medição do esforço radial.

No caso axial, pode se medir diretamente a força do apoio, conseguindo

valores mais precisos.

4.1 Planejamentos dos materiais utilizados

Como o mancal não precisa girar, os materiais necessários não

necessitam de precisão ou rigidez muito elevada, logo, foi escolhido um

protótipo em madeira, do tipo MDF, pois ele é facilmente moldável e tem

preços acessíveis, e no caso o próprio aluno poderia produzir o mancal e a

madeira não é um material magnético.

Para o eixo foi utilizado um cilindro de madeira, pois, novamente era

necessário um material que não fosse magnético, e a pouca rigidez, não

influiria no experimento.

Os imãs escolhidos foram de neodímio N35, pois tem uma ótima relação

peso x força os imãs escolhidos estão representados na tabela abaixo.

Imã Interno Material Neodímio N35

9x6x3 mm (diâmetro externo x diâmetro interno x espessura)

Imã externo Material Neodímio N35

20x13x4 mm (diâmetro externo x diâmetro interno x espessura)

Para a medição das forças foi utilizada uma célula de carga PW4C3, com

um alcance de até 3 kg. Para sua calibração foram utilizados pesos

incrementais de 0,5 kg. Na figura 11 é possível observar a célula de carga

utilizada.

Figura 11 – Célula de carga

4.2 Montagem da bancada.

A bancada é composta de 4 partes, uma base dois pilares de

sustentação, um suporte para o fim de curso. Adicionalmente temos o eixo.

Na figura 12 temos o eixo em destaque, a figura 13 mostra os pilares de

sustentação e em detalhe o fim de curso, composto por um parafuso que é

rosqueado para se fazer um ajuste fino até a levitação. E por fim temos na

figura 14 o mancal inteiro montado.

Figura 12 – Eixo montado com imãs

Figura 13 – Detalhe: fim de curso

Figura 14 – Bancada montada

Os desenhos de fabricação estão em anexo. Na figura 15 temos o mancal

flutuando, mostrando que o experimento atingiu o objetivo proposto e o mancal

conseguiu flutuar em ambas as configurações de imãs. E por fim temos a figura

16, onde o mancal e segurado de cabeça para baixo pelo eixo e ainda

permanece levitando, desta forma mostrando robustez.

Figura 15 – Bancada montada em funcionamento

Figura 16 – Bancada apresentando estabilidade radial

4.3 Montagem para testes

O mancal foi preso a uma estrutura rígida de peso superior a 5 kg, e esta

estrutura foi movida. A célula de carga permaneceu fixa. Na figura 17, é

possível observar a montagem para os testes. Na figura 18, é possível

observar o arranjo para medição, alimentação do multímetro e leitura da célula

de carga.

Figura 17 – Montagem para testes

Figura 18 – Alimentação e multímetro para leitura da célula de carga

5. Testes

5.1.1 testes preliminares

Os testes preliminares são baseados na calibração da célula de carga e a

medição da densidade de fluxo campo magnético

Na tabela 2 temos os resultados apresentados pelo gaussímetro, note

que o desvio é muito grande e baseado no lugar onde é pressionado o

gaussímetro. Por isso foram descartados os outliers.

Medições célula de carga [mT]

120

230 Média Desvio

padrão

270 185,7143 62,41184

250

140

220 Média sem outlier Desvio padrão

sem outliers

280 215,7143 50,36533

Tabela 2 – resultados do gaussímetro

Na tabela 3 temos os resultados da calibração da célula de carga

Peso [Kg] Tensão [mv]

0 0,1

0,51 1,98

1,03 3,96

1,51 5,73

2,06 7,61

2,55 9,49

3,9 11,37

Tabela 3 – resultados da célula de carga

Na figura 20, é possível observar o gráfico apresentado por estes valores,

este é um gráfico ponto a ponto. É possível observar que o sensor é muito

linear.

Figura 20 – Curva de calibração do sensor

0

2

4

6

8

10

12

0 0,51 1,03 1,51 2,06 2,55 3,9

Série1

5.1.2 Testes Finais

Por fim temos os resultados dos testes dos imãs nas duas configurações

Resultados em [mV]

2 imãs paralelos

2 imãs contrapostos

4,11

7,4

4,16

8,04

4,2

7,09

4,17

6,81

4,18

6,51

Média Desvio

Média Desvio

4,164 0,033615473

7,17 0,587665

Valor final em kg

Valor final em kg

1,29

2,67

Logo é demonstrada a vantagem dos imãs contrapostos em relação às

imas se paralelos. Como era o objetivo do trabalho.

É importante denotar que o resultado depende dos valores de campo

medidos que tiveram um desvio muito grande.

6. Conclusão

O resultado foi considerado satisfatório, pois esta próxima ao resultado

calculado. Interessante notar que os valores testados refletem dois mancais e

os resultados analíticos refletem apenas um imã.

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