PROJETO DE CONTROLADOR PID DIGITAL NEBULOSO ROBUSTO VIA

ESTRATEGIA GENETICA MULTIOBJETIVA PARA SISTEMAS DINAMICOS

INCERTOS COM TEMPO DE ATRASO

Danubia Soares Pires e Ginalber Luiz de Oliveira Serra∗

∗Departamento de Eletroeletronica: Laboratorio de Inteligencia Computacional Aplicada a Tecnologia

Instituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia

Sao Luıs - MA, Brasil

Email: danubiapires@ifma.edu.br e ginalber@ifma.edu.br

Abstract— In this paper, a robust fuzzy digital PID control strategy, via multiobjective genetic algorithm,based on the gain and phase margins specifications, with applications to uncertain dynamic systems with timedelay, is proposed. A mathematical formulation based on the gain and phase margins, the fuzzy model TS(Takagi-Sugeno) and PID digital controller structures, and the time delay of the uncertain dinamic system, isdeduced. A multiobjective genetic strategy is defined to tune the fuzzy controller parameters, so the gain andphase margins specified to the fuzzy control system are get. Experimental results show the eficiency of theproposed methodology through tracking of the reference and the gain and phase margins keeping closed of thespecified ones.

Keywords— Fuzzy Control, Digital PID Controller, Uncertain Dynamic Systems, Multiobjective GeneticAlgorithm, Robust Control

Resumo— Neste artigo, e proposta uma estrategia de controle PID digital nebuloso robusto, baseado nasespecificacoes das margens de ganho e fase. Uma formulacao matematica, baseada nas margens de ganho e fase,para o modelo nebuloso TS (Takagi-Sugeno), as estruturas dos controladores digitais PID e o atraso de tempodo sistema dinamico incerto e deduzida. Uma estrategia genetica multiobjetiva e utilizada para encontrar osparametros do controlador nebuloso, de mode que as margens de ganho e fase especificadas para o sistema decontrole nebuloso sejam alcancadas. Resultados experimentais mostram a eficiencia da metodologia proposta,uma vez que a trajetoria de referencia e seguida e as margens de ganho e fase permanecem proximas as especifi-cadas.

Keywords— Controle Fuzzy, Controlador PID Digital, Sistemas Dinamicos Incertos, Algoritmo GeneticoMultiobjetivo, Controle Robusto

1 Introducao

Um controle e robusto quando o mecanismo deajuste do controlador considera certas classes deincertezas parametricas e dinamicas da planta aser controlada. Desde que projetistas e engenhei-ros precisam lidar com plantas cada vez maiscomplexas, levando em consideracao caracterıs-ticas estruturais e dinamicas, tais como nao-linearidades, incertezas, variacoes parametricas,tempo de atraso, entre outras, muitos metodos decontrole robusto tem sido propostos, permitindoque em sua formulacao o uso de restricoes e requi-sitos de desempenho (Matausek and Sekara,2011)(Serra, 2012)(Cheng et al., 2009)(Peng,2011)(Zhong, 2006). Em (Okuyama, 2010),observa-se a estabilizacao de um sistema de cont-role robusto no tempo discreto com base no mod-elo de referencia. Em (Pahuja and Rai, 2012) e ap-resentada um controle robusto para sistemas comperturbacao. Neste contexto, os controladoresnebulosos tem sido uma boa alternativa para con-trole de sistemas dinamicos complexos, uma vezque a estrutura nebulosa baseada em regras per-mite trabalhar com incertezas, nao-linearidades etempo de atraso(Wang and Lin, 2011). Em (Lin-ke et al., 2011) e proposto um controle PID neb-uloso a fim de melhorar a estabilidade de um sis-tema hidraulico de posicao servo. Neste artigo,

e proposta uma estrategia genetica multiobjetivapara projeto de controlador PID digital nebulosorobusto, baseado em modelo, por meio de especi-ficacoes de margens de ganho e fase, com apli-cacoes em sistemas dinamicos incertos com tempode atraso.

2 Estrategia para o projeto do

controlador PID digital nebuloso

robusto

2.1 Formulas para sintonia de controle baseado

em modelo atraves de especificacoes de mar-

gens de ganho e fase

O sistema de inferencia nebuloso TS a ser usadocomo modelo do sistema dinamico incertoH(z, ν),apresenta a i|[i=1,2,...,l]-esima regra dada por:

R(i): SE y(k − 1) E F ik|y(k−1) ENTAO

GiP (z) =

Ki1z +Ki

2

aiz2 + biz + ci

onde ai, bi, ci, Ki1 e Ki

2 sao os parametros a seremestimados pelo algoritmo de mınimos quadrados.A variavel y(k − 1)|[t=1,2,...,n] pertence ao con-junto nebuloso F i

k|y(k−1) com um valor µiFk|y(k−1)

definido por uma funcao de pertinencia µiy(k−1) :

R → [0, 1], com µiFk|y(k−1)

∈ µiF1|y(k−1)

, µiF2|y(k−1)

,

µiF3|y(k−1)

, . . . ,µiFpy(k−1)|y(k−1)

, onde py(k−1) cor-

responde ao numero de particoes do universo dediscurso relacionado a variavel linguıstica y(k−1).O controlador PID digital nebuloso TS apresentaa j|[j=1,2,...,l]-esima regra dada por:

R(j): SE y(k − 1) E Fj

k|y(k−1) ENTAO

Gjc(z) =

αjz2 + βjz + γj

z2 + zonde:

αj = KjP +

KjIT

2+

KjD

T

βj =K

jIT

2−K

jP −

2KjD

T

γj =K

jD

T

e KP , KI , KD sao os ganhos proporcional,integral e derivativo do controlador nebuloso,respectivamente (Jacquot, 1995). Logo, o contro-lador nebuloso TS Gc(y(k − 1), z) e uma somaponderada de sub-controladores PID lineareslocais.

No ramo direto do sistema de controle emmalha fechada, considerando o modelo nebulosoTS, o tempo de atraso z−n e o controlador PIDdigital nebuloso, tem-se:

Gc(y(k − 1), z)Gp(y(k − 1), z) =l∑

j=1

l∑

i=1

γi(y(k − 1))× γj(y(k − 1))×

×

(αjz2 + βjz + γj

z2 + z

)×

Ki1z +Ki

2

aiz2 + biz + ciz−n

(1)A equacao caracterıstica em malha fechada do

sistema (1), considerando o tempo de atraso z−n

e dada por:

GM(y(k − 1), z) = aizn+4 +(bi − ai

)zn+3+

+(ci − bi

)zn+2 − cizn+1 + · · ·+ αjKi

1z3+

(αjKi

2 + βjKi1

)z2 +

(βjKi

2 + γjKi1

)z + γjKi

2

(2)As margens de ganho e fase do sistema de con-

trole nebuloso sao dadas por:

arg[Gc(y(k − 1), ejωp)GP (y(k − 1), ejωp)] = −π

(3)

Am =1

|Gc(y(k − 1), ejωp)GP (y(k − 1), ejωp)|(4)

|Gc(y(k − 1), ejωg )GP (y(k − 1), ejωg )| = 1 (5)

φm = arg[Gc(y(k−1), ejωg )GP (y(k−1), ejωg )]+π

(6)onde a margem de ganho e dada por (3) e (4) e amargem de fase e dada por (5) e (6), respectiva-mente. A frequencia de cruzamento de fase e ωp eωg e conhecida como a frequencia de cruzamentode ganho.

2.2 Estrategia multiobjetiva genetica para sinto-

nia do controlador

O AG desenvolvido neste artigo otimiza osparametrosKj

P , KjI e Kj

D do controlador PID dig-ital nebulo-so na j-esima regra atraves das especificacoes demargens de ganho e fase e apresenta a funcao decusto dada por:

Custo = |Amc −Ame|+ |Pmc − Pme| (7)

onde Amc e Ame correspondem as margens deganho calculada e especificada, respectivamente;Pmc e Pme correspondem as margens de fase cal-culada e especificada, respectivamente.

O cruzamento entre dois cromossomos usadono algoritmo genetico multiobjetivo gera doisnovos descendentes atraves de um simples opera-dor de cruzamento, o qual realiza uma somapoderada entre os genes dos pais para gerar o des-cendente, como segue:

C1 = [KP1,KI1,KD1]C2 = [KP2,KI2,KD2]dnew1 = β ∗ C1 + (1− β) ∗ C2

dnew2 = β ∗ C2 + (1− β) ∗ C1

(8)

onde os termos KP1,KI1,KD1 e KP2,KI2,KD2

representam os genes do cromossomo-mae (C1)e os genes do cromossomo-pai (C2), respectiva-mente, dnew e a nova geracao obtida atraves dosdois cromossomos e β e um valor aleatorio com-preendido entre 0 e 1. O operador de mutacaousado neste artigo seleciona aleatoriamente umgene de um cromossomo da populacao e modi-fica o valor por outro, dentro da faixa de valorespossıveis para os ganhos do controlador nebuloso.O melhor cromossomo da geracao anterior per-manece na proxima geracao, a qual e complemen-tada pelos pais e o resultado da mutacao nos des-cendentes. Os estagios de avaliacao, classifi-cacao, selecao de pais, cruzamento, mutacao eformacao da nova populacao sao repetidos emcada iteracao do algoritmo (Li et al., 2009)(Wanget al., 2006)(Haupt and Haupt, 2004)(?).

3 Resultados experimentais

3.1 Descricao da plataforma para controle de

temperatura em tempo real

A plataforma de controle em tempo real e com-posta de um processo termico, o software Lab-VIEW, o CompactRIO 9073, o modulo de entradaanalogica NI 9219,o modulo de saıda analogica NI9263, o sensor de temperatura LM 35 e o atuadoratraves do CI TCA 785. O sistema termico con-siste em uma torradeira monofasica de 220VoltsAC, com temperatura funcional compreendida nointervalo de 25◦C a 265◦C. O LabVIEW e um soft-ware que utiliza a linguagem grafica para progra-macao, no qual o sistema supervisorio foi desen-volvido para analises em tempo real do sistema decontrole em malha-fechada: a temperatura e ossinais de entrada de tensao serao recebidos pelosensor atraves de um sistema de aquisicao de da-dos, o controlador PID digital nebuloso robusto foiimplementado para o controle do sinal a ser envi-ado ao processo termico. A plataforma do sistemade controle em tempo real do processo termico emostrado na Fig. 1.

Figura 1: Plataforma do sistema de controle doprocesso termico

3.2 Modelagem nebulosa TS do processo termico

Na etapa de identificacao, foram utilizados ossinais de entrada e saıda, conforme a Fig. 2.O tempo de atraso foi estimado pela correlacaocruzada entre os dados de entrada e saıda do sis-tema, resultando em um tempo de atraso de 136amostras, ou seja, 2.312 segundos, conforme Fig.3.

O algoritmo FCM foi implementado para 2agrupamentos, expoente de ponderacao m=1.3 etolerancia ǫ=0.01, obtendo-se os conjuntos nebu-losos da Fig.4. Sobre os dados de entrada esaıda do sistema dinamico incerto, considerandoas funcoes de pertinencia, o algoritmo de mınimosquadrados foi utilizado a fim de estimar os sub-modelos do consequente. A estrutura destes sub-modelos encontrados foram otimizados utilizando

0 2 4 6 8 10 120

50

100

150

Tempo (minutos)

Ten

são

AC

(R

MS

)

0 2 4 6 8 10 120

50

100

150

200

Tempo (minutos)

Tem

pera

tura

( o C

)

Figura 2: Sinal de entrada e saıda utilizados naetapa de identificacao

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

x 104

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Atraso

Cor

rela

ção

Cru

zada

da

Am

ostr

a

Correlação Cruzada entre os dados de Entrada e Saída

Figura 3: Correlacao cruzada entre os sinais deentrada e saıda

algoritmo genetico, a fim de encontrar ganhos DCcorrespondentes aos submodelos. Os valores dosganhos DC obtidos foram g1 = 0.0055 e g2 = 0.72,para os sub-modelos G1

p e G2p, respectivamente.

A analise comparativa da resposta temporal podeser observada na Fig.5 e a estrutura otimizada domodelo nebuloso na equacao (9).

20 40 60 80 100 120 140 160 1800

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Temperatura ( oC)

Gra

u de

Per

tinên

cia

F1F2

Figura 4: Funcoes de Pertinencia - FCM

R1 : SE Temperatura e F 1 , ENTAO

G1p (z) = 0.0055

0.0513z + 0.0504

z2 − 0.5815z − 0.4177z−136

R2 : SE Temperatura e F 2 , ENTAO

G2p (z) = 0.72

0.1344z − 0.1334

z2 − 0.5921z − 0.4072z−136 (9)

onde:F 1 (a, b) |a=70;b=150.2 (10)

1, Temperature ≤ a

1 − 2(Temperature−a

b−a

)2, a ≤ Temperature ≤ a+b

2

2(b −

Temperatureb−a

)2,a+b2

≤ Temperature ≤ b

0, Temperature ≥ b

e F 2 = 1− F 1.

0 2 4 6 8 10 1220

40

60

80

100

120

140

160

Tempo (minutos)

Tem

pera

tura

(o C)

Modelo Nebuloso TSModelo Nebuloso TS OtimizadoProcesso Térmico

Figura 5: Comparacao das respostas temporaisdo processo, modelo nebuloso TS identificado emodelo nebuloso TS otimizado

Com a estrategia multiobjetiva genetica pro-posta, especificando as margens de ganho de 2.5 ede fase de 60◦ para o sistema de controle nebulo-so e considerando o processo termico, os paramet-ros do controlador PID digital nebuloso, bemcomo as margens de ganho e fase obtidas, podemser observados na Tabela. 1. Pode-se comprovara eficiencia da metodologia desenvolvida para oprojeto do controlador PID baseado em modelo,uma vez que os valores especificados para as mar-gens de ganho e fase foram alcancados atraves daestrategia multiobjetiva genetica desenvolvida.

Tabela 1: Parametros do Controlador PID e asMargens de Ganho e Fase obtidas para os sub-modelos.

Sub-modelo (Amc,Pmc) (Amc,Pmc) Ganhos do PID (KP ,KI ,KD)G1

p (2.5, 60◦) (2.9643, 63.8115◦) (10, 0.15, 0.004)

G2p (2.5, 60◦) (2.5936, 62.6088◦) (2.2178, 0.3176, 0.0013)

O algoritmo genetico multiobjetivo utilizadopossui os seguintes parametros: 300 geracoes,populacao inicial aleatoria de 100 cromossomos,onde cada cromossomo compreende tres genes, ataxa de selecao de 50% e a taxa de mutacao de12%. O desempenho da estrategia genetica mul-tiobjetiva, a fim de minimizar a funcao custo (7),

0 50 100 150 200 250 3000

1

2

3

4

5

6

7Melhor indivíduo em cada geração

Geração

Cus

to

Figura 6: O custo do melhor indivıduo em cadageracao

no decorrer das geracoes, pode ser observado naFig. 6.

Foi realizada uma analise de estabilidade dosistema de controle nebuloso em malha fechada,atraves do Criterio de Jury (Jury and Blan-chard, 1961). A partir da equacao caracterıstica(2), temos (11) e (12), pelas quais foram estrutu-radas as Tabelas. 2 e 3.

Equacao caracterıstica de G1pG

1cz

−n :z140 − 1.5815z139 + 0.1638z138 + 0.4177z137+0.0029z3 − 1.1611e− 004z2+−0.002836z + 6.5225× 10−5

(11)

Equacao caracterıstica de G2pG

2cz

−n :z140 − 1.592z139 + 0.1849z138 + 0.4072z137++0.2223z3 − 0.4497z2 + 0.2345z − 0.007144

(12)

Nestas tabelas observa-se que os primeirosvalores das linhas ımpares sao positivos,garantindo a estabilidade do sistema de con-trole em malha fechada segundo o Criterio deJury.

Os parametros do controlador PID digitalnebuloso robusto obtidos atraves da estrategiagenetica multiobjetiva foi comparada a um contro-lador projetado atraves do Metodo Ziegler-Nichols(Jacquot, 1995). O desempenho da resposta tem-poral da metodologia proposta e mostrada na Fig.7.

A temperatura inicial de referencia foi de100oC. A mudanca de referencia para 150oC foi re-alizada em 425 segundos. Uma variacao no ganhofoi aplicada ao processo termico em 212 segun-dos. As acoes de controle obtidas pelos contro-ladores PID digital nebuloso robusto e Ziegler-Nichols, bem como as margens de ganho e faseinstantaneas obtidas pelo controlador PID digitalnebuloso robusto, sao observadas nas Fig. 8 e Fig.9, respectivamente.

Tabela 2: Analise de Estabilidade por Criterio deJury para G1

pG1c

Linha z140 z139 z138 · · · z1 z0

1 1 −1.5815 0.1638 · · · −0.002836 6.5225× 10−5

2 6.5225× 10−5 −0.002836 −1.1611× 10−4 · · · −1.5815 13 1 −1.5815 · · · −0.0001 −0.00274 −0.0027 −0.0001 · · · −1.5815 15 1 · · · · · · −0.0044. . . · · ·. . . · · ·. . . · · ·11 0.9999 · · · · · · −0.0039. . . · · ·. . . · · ·. . . · · ·25 0.9998 · · · · · · −0.0038. . . · · ·. . . · · ·. . . · · ·39 0.9997 · · · · · · −0.0038. . . · · ·. . . · · ·. . . · · ·53 0.9996 · · · · · · −0.0037. . . · · ·. . . · · ·. . . · · ·67 0.9995 · · · · · · −0.0036. . . · · ·. . . · · ·. . . · · ·83 0.9994 · · · · · · −0.0035. . . · · ·. . . · · ·. . . · · ·99 0.9993 · · · · · · −0.0035. . . · · ·. . . · · ·. . . · · ·

117 0.9992 · · · · · · −0.0034. . . · · ·. . . · · ·. . . · · ·

135 0.9991 · · · · · · −0.0033. . . · · ·. . . · · ·. . . · · ·

153 0.9990 · · · · · · −0.0032. . . · · ·. . . · · ·. . . · · ·

173 0.9989 · · · · · · −0.0031. . . · · ·. . . · · ·. . . · · ·

193 0.9988 · · · · · · −0.0031. . . · · ·. . . · · ·. . . · · ·

215 0.9987 · · · · · · −0.0030. . . · · ·. . . · · ·. . . · · ·

237 0.9986 · · · · · · −0.0029. . . · · ·. . . · · ·. . . · · ·

263 0.9985 · · · · · · −0.0028. . . · · ·. . . · · ·. . . · · ·

277 0.8261 −1.6485 0.8224278 0.8224 −1.6485 0.8261279 0.0072 −0.0072

0 5 10 1520

40

60

80

100

120

140

160

180

Tempo (minutos)

Tem

pera

tura

( o C

)

Sinal de ReferênciaControlador Ziegler−NicholsControlador PID digital nebuloso robusto

Figura 7: Comparacao das respostas temporaisdo controlador PID digital nebuloso robusto e ocontrolador de Ziegler-Nichols

4 Conclusoes

Neste artigo, foi proposta uma estrategia para oprojeto de controlador PID digital nebuloso ro-

0 5 10 150

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Tempo (minutos)

Vol

tage

m (

RM

S)

Ziegler−NicholsPID didital nebuloso robusto

Figura 8: Comparacao das acoes de controle

0 5 10 152

2.5

3

Tempo (minutos)

Mar

gem

de

Gan

ho

0 5 10 1559

60

61

62

63

Tempo (minutos)

Mar

gem

de

Fas

e (°

)

Margem InstantâneaMargem Especificada

Figura 9: Margens de ganho e fase instantaneasobtidas pelo controlador PID digital nebuloso ro-busto

busto, baseado nas especificacoes das margens deganho e fase para controle de sistemas dinami-cos incertos com tempo de atraso. A estrate-gia genetica multiobjetiva desenvolvida, mostrou-se eficiente, uma vez que, as margens de ganhoe fase especificadas foram alcancadas e mantidasna analise do controle do processo termico, bemcomo a resposta em relacao a trajetoria de referen-cia mostrou-se satisfatoria, comparada a um PIDprojetado pelo metodo de Ziegler-Nichols, mesmona presenca de perturbacoes e tempo de atraso.

Agradecimentos

Os autores agradecem a FAPEMA pelo suportefinanceiro a pesquisa e a PPGEE-UFMA pelo in-centivo ao desenvolvimento deste trabalho.

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Tabela 3: Tabela para Analise de Estabilidade porCriterio de Jury para G2

pG2c

Linha z140 z139 z138 · · · z1 z0

1 1 −1.5920 0.1849 · · · 0.2345 −0.00712 −0.0071 0.2345 −0.4497 · · · −1.5920 13 0.9999 −1.59031 · · · −0.4484 0.22314 0.2231 −0.4484 · · · −1.59031 0.99995 0.9502 · · · · · · −0.09356 −0.0935 · · · · · · 0.95027 0.9410 · · · · · · 0.03808 0.0380 · · · · · · 0.94109 0.9394 · · · · · · −0.018810 −0.0188 · · · · · · 0.939411 0.9390 · · · · · · 0.0058. . . · · ·. . . · · ·. . . · · ·33 0.9389 · · · · · · −0.0021. . . · · ·. . . · · ·. . . · · ·67 0.9388 · · · · · · −0.0027. . . · · ·. . . · · ·. . . · · ·91 0.9387 · · · · · · −0.0031. . . · · ·. . . · · ·. . . · · ·

109 0.9386 · · · · · · −0.0033. . . · · ·. . . · · ·. . . · · ·

125 0.9385 · · · · · · −0.0036. . . · · ·. . . · · ·. . . · · ·

139 0.9384 · · · · · · −0.0038. . . · · ·. . . · · ·. . . · · ·

151 0.9383 · · · · · · −0.0039. . . · · ·. . . · · ·. . . · · ·

163 0.9382 · · · · · · −0.0041. . . · · ·. . . · · ·. . . · · ·

175 0.9381 · · · · · · −0.0042. . . · · ·. . . · · ·. . . · · ·

185 0.9380 · · · · · · −0.0043. . . · · ·. . . · · ·. . . · · ·

195 0.9379 · · · · · · −0.0044. . . · · ·. . . · · ·. . . · · ·

205 0.9378 · · · · · · −0.0045. . . · · ·. . . · · ·. . . · · ·

213 0.9377 · · · · · · −0.0046. . . · · ·. . . · · ·. . . · · ·

223 0.9376 · · · · · · −0.0047. . . · · ·. . . · · ·. . . · · ·

239 0.9374 · · · · · · −0.0048. . . · · ·. . . · · ·. . . · · ·

247 0.9373 · · · · · · −0.0049. . . · · ·. . . · · ·. . . · · ·

263 0.9371 · · · · · · −0.0050. . . · · ·. . . · · ·. . . · · ·

271 0.9370 −1.6485 −0.0051. . . · · ·. . . · · ·. . . · · ·

277 0.7630 −1.5183 0.7553278 0.7553 −1.5183 0.7630279 0.0154 −0.0154