progressões geométricas apostila
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Resumo sobre Progressões GeométricasTRANSCRIPT
Governo do Estado de Mato Grosso do Sul
Secretaria Estadual de Educação
Escola Estadual Vilmar Vieira Matos
MATEMÁTICA - PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS - Prof. Dênis Rodrigues - 1
Aluno(a):_____________________________________________________________________
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS (P.G)
1. INTRODUÇÃO
Observe a sequência:
(3, 6, 12, 24, 48,...)
Note que, dividindo um termo qualquer dessa sequência por termo antecedente, o resultado é
sempre igual a 2:
e assim por diante.
Tem-se também que, considerando três termos consecutivos dessa sequência, o quadrado do
termo central é igual ao produto dos outros dois. Dizemos que o termo central é a média
geométrica dos extremos.
Assim, temos:
Podemos escrever então que: , pois são termos
consecutivos
2. DEFINIÇÃO
Progressão Geométrica (PG) é uma sequência de números reais não nulos em que o quociente
entre um termo qualquer (a partir do segundo) e o termo antecedente é sempre o mesmo
(constante).
Essa constante é chamada razão da PG e é indicada pela letra q.
Exemplo 1: Determinar a razão q das PGs abaixo.
a) (2, 6, 18, 54,...) é uma PG de razão q=___.
b) (-5, 15, -45, 135,...) é uma PG de razão q=___.
c) (20, 10, 5, 5/2,...) é uma PG de razão q=___.
d) (4, -4, 4, -4, ...) é uma PG de razão q=___.
Exemplo 2: Determine a razão q da P.G.
3. CLASSIFICAÇÃO
Se an é uma PG, então dizemos que:
a) Quando , a PG é constante.
b) Quando , a PG é alternada ou oscilante.
c) Quando a PG é crescente.
d) Quando a PG é decrescente.
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Exemplo 3: Classifique as PGs do exemplo 1.
a) (2, 6, 18, 54,...) é uma PG _______________.
b) (-5, 15, -45, 135,...) é uma PG _______________.
c) (20, 10, 5, 5/2,...) é uma PG _______________.
d) (4, -4, 4, -4, ...) é uma PG _______________.
Exemplo 4: Se a razão de uma P.G. é maior do que 1 e o primeiro termo é negativo, a P.G. é
chamada:
a) decrescente b) crescente c) alternada d) constante e) nenhuma das alternativas
4. TÓPICO ESPECIAL: REVISÃO DE POTENCIAÇÃO.
Antes de prosseguirmos no assunto de progressões geométricas é necessário que relembremos as
definições e propriedades da potenciação, ferramenta chave para a resolução de vários problemas
que envolvam esse assunto. Abaixo temos um resumo com as principais definições e
propriedades que envolvem a potenciação.
DEFINIÇÕES PROPRIEDADES
e
, com a≠0
=
, com b≠0
Exemplo 5: Calcule as potências abaixo
a) =_____
b) =_____
c) =_____
d)
=_____
Exemplo 6: A razão da P.G. é:
a) x b) 1 c) 3 d) 1/3 e) x-3
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5. TERMO GERAL DA PG.
Seja uma PG de razão q.
Temos:
Concluímos assim que, o termo an , que ocupa a n-ésima posição na sequência, é dado por:
onde é o n-ésimo termo da sequência, é o primeiro termo, q é a razão e n a posição do
termo na sequencia.
A expressão acima conhecida como fórmula do termo geral da PG, permite calcular qualquer
termo de uma PG em função do primeiro termo a1 e da razão q.
Exemplo 7: Determine o quarto e o sétimo termos da P.G. (3, -6, 12, ...).
Exemplo 8: O número de termos da P.G. (1/9, 1/3, 1, ..., 729), é:
a) 8 b) 9 c) 10 d)81 e) 4
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Exemplo 9: Construa a P.G. em que a soma do 3º com o 5º termo é 5/4 e a soma do 7º termo
com o 9º termo é 20.
Exemplo 10: Interpolar cinco meios geométricos entre 2/3 e 486.
6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
NOBILIONI, G, 1940- Álgebra I;São Paulo: Centro de Recursos Educacionais, 1996.(Coleção
Objetivo. Sistema de métodos de aprendizagem; livro 37)
IEZZI, G.; DOLCE, O.; DEGENSZAJN, D.; PÉRIGO, R.; ALMEIDA, N. D.; MATEMÁTICA
Ciência e Aplicações Vol 1, 2ºEdição – 2004, São Paulo/Brasil