CAPÍTULO 06 – PROGRESSÕES ARITMÉTICAS Professor Marcelo Renato

1. DEFINIÇÃO

Progressão aritmética (P.A.) é uma sequência de números reais em que a diferença entre um termo qualquer (a partir do 2º) e o termo antecedente é sempre a mesma (constante). Essa constante é chamada razão da P.A. e é indicada por r.

Podemos obter cada termo da PA, a partir do 2º, somando-se a razão ao termo antecedente, ou seja, a2 = a1 + r, a3 = a2 + r, ...

PA (a1, a2, a3, ... , an)

r = a2 – a1 = a3 – a2 = an – an – 1 = constante

Exemplos:

a) PA (2,4, 6, 8,...), r = 2. (crescente) b) PA (9,6, 3, 0 ...), r = – 3. (decrescente) c) PA (7,7, 7, 7,...), r = 0. (constante ou estacionária) 2. FÓRMULA DO TERMO GERAL DA PA

PA ( a1, a2, a3, ... , an )

an = a1 + (n – 1).r

Exemplos: a9 = a1 + 8.r, a11 = a1 + 10.r, etc.

Obs.:

ap = aq + (p – q).r

Exemplos: a10 = a4 + 6.r, a21 = a11 + 10.r, etc. EX.1: Escreva a fórmula do termo geral e determine o 10º termo da progressão aritmética (–7, –2, 3 ,...).

Resolução:

Com relação à PA ( –7, –2, 3 , ... ). a1 = –7 e r = 5.

an = a1 + (n – 1).r an = –7 + (n – 1).(5)

Fórmula do termo geral: an = 5n – 12 , n ∈ IN*

a10 = 5(10) – 12 ⇒ a10 =38. EX.2: Numa PA, o primeiro termo é 5 e o oitavo é 33. Determine a razão e o sexto termo dessa sequência.

Resolução:

Sendo an = a1 + (n – 1).r, teremos:

a8 = a1 + 7r ⇒ 33 = 5 + 7r ⇒ r = 4

a6 = a1 + 5r ⇒ a6 = 5 + 5(4) ⇒ a6 = 25

EX.3: Numa PA, tem-se que a2 + a10 = 44 e

a5 + a12 = 59.

Determine o sétimo termo dessa sequência.

Resolução:

=+=+

59aa44aa

125

102 ⇒

=+++=+++

59r11ar4a44r9ara

11

11 ⇒

( )( )

1

1

12a 10r 4422a 15r 59

+ = + =

Fazendo-se (2) – (1): 5r = 15 ⇒ r = 3 → ( 1 ) : a1 = 7

Portanto, o sétimo termo dessa progressão é:

a7 = a1 + 6r ⇒ a7 = 7 + 6(3) ⇒ a7 = 25 EX.4: Quantos múltiplos de 3 existem entre 200 e 400?

Resolução: Sabemos que o primeiro e o último múltiplos de 3 presentes entre 200 e 400 são, respectivamente, 201 e 399. Sabemos, também, que a sequência de múltiplos de 3 é uma PA de razão 3. Sendo assim,

PA (201, ... , 399 ) ⇒

==

399a201a

n

1

an = a1 + (n – 1) r 399 = 201 + (n – 1) r ⇒ n = 67

Portanto, há 67 múltiplos de 3 entre 200 e 400. 3. TRÊS TERMOS CONSECUTIVOS EM PA

PA ( ..., x – r , x , x + r , ... )

Soma dos três: ( x – r ) + x + ( x + r ) = 3x

Produto dos três: ( x – r ) . x . ( x + r ) = x.( x2 – r2 )

Obs: Para cinco termos consecutivos, a PA será:

PA ( ..., x – 2r , x – r , x , x + r , x + 2r , ... )

4. SOMA DOS “n” PRIMEIROS TERMOS

( )2

naaS n1

n⋅+

=

Ex.: (UNESP) Numa cerimônia de formatura de uma faculdade, os formandos foram dispostos em 20 filas de modo a formar um triângulo, com 1 formando na primeira fila, 3 formandos na segunda, 5 na terceira e assim por diante, constituindo uma progressão aritmética. O número de formandos na cerimônia é

a) 400 b) 410 c) 420 d) 800 e) 840

Resolução: Considerando N o número de formandos...

20a531N ++++= 3 ( ) 39a2191a 2020 =⇒⋅+=

( )⇒

⋅+==

220391SN 20 400N =

5. TERMO CENTRAL DE UMA PA

Em progressões aritméticas que possuem uma quantidade ímpar de termos, seu termo central é igual à média dos termos extremos ou dos termos equidistantes dos extremos.

Exemplo:

Na PA (2,4, 6, 8,10) ⇒ 62

842102Tcentral =

+=

+=

12

TESTES CAPÍTULO 06: 1) (UPE) Sandra iniciou uma sequência de figuras formadas por quadrados nas cores branco e cinza, sendo todos iguais. A seguir, temos as três primeiras figuras.

Dando continuidade à montagem de figuras com esse mesmo padrão, quantos quadrados brancos serão necessários para Sandra construir a décima figura? a) 792. b) 796. c) 800. d) 804. e) 896. Resolução:

Figura Operação Algébrica Q. Brancos 1 23 – 1 – 4 4 2 26 – 4 – 4 28 3 29 – 9 – 4 68

n ( )23n – ( )2n – 4 28n 4− Para a 10ª Figura ( )n 10= : A quantidade de quadrados brancos (QB) será...

( )2

10QB 8 10 4= −

( )10QB 8 100 4= ⋅ −

10QB 800 4= −

10QB 796=

Resposta: Alternativa B.

2) (UFF-RJ) Ao se fazer um exame histórico da presença africana no desenvolvimento do pensamento matemático, os indícios e os vestígios nos remetem à matemática egípcia, sendo o papiro de Rhind um dos documentos que resgatam essa história. Nesse papiro encontramos o seguinte problema:

• Divida 100 pães entre 5 homens de modo que as partes recebidas estejam em progressão aritmética e que um sétimo da soma das três partes maiores seja igual à soma das duas menores.

Coube ao homem que recebeu a parte maior da divisão acima a quantidade de:

a) 115 pães3

.

b) 55 pães6

.

c) 20 pães .

d) 65 pães6

.

e) 35 pães . Resolução:

( ) ( ) ( ) ( )x 2r x r x x r x 2r 100

5x 100 x 20

− + − + + + + + =

= ⇒ =

( )PA 20 2r, 20 r, 20 , 20 r, 20 2r− − + +

( ) ( ) ( ) ( )20 20 r 20 2r

20 2r 20 r7

+ + + += − + −

60 3r 40 3r7+

= −

220 5560 3r 280 21r r r24 6

+ = − ⇒ = ⇒ =

A maior parte ( )20 2r+ será:

( ) 5520 2r 20 26

+ = + ⋅

( ) ( )55 60 5520 2r 20 20 2r3 3

++ = + ⇒ + =

Assim, a maior parte será: 115 pães3

.

Resposta: Alternativa A.

13

3) (PUC-Campinas-SP) Sabe-se que, atualmente, há um total de 80 espécies vivendo na Caatinga. Se, a cada 30 anos contados a partir de hoje, o total de espécies aumentar de 63 unidades, quantos anos serão necessários até que seja atingida a cifra de 458 espécies?

a) 90. b) 120. c) 150. d) 180. e) 210. Resolução: Cuidado com a construção da progressão ! A quantidade 80 espécies NÃO ENTRA NA P.A. A progressão contém as quantidades referentes aos aumentos, a cada 30 anos, ou seja: 1º aumento de 63 unidades: 80 + 63 = 143 2º aumento de 63 unidades: 143 + 63 = 206 3º aumento de 63 unidades: 206 + 63 = 269

1a

2a

3a

3 n

a

143 206 269 458

( )n 1a a n 1 r= + − ⋅

( )458 143 n 1 63= + − ⋅

( )n 1 63 315− ⋅ =

( ) 315n 163

− =

n 1 5 n 6− = ⇒ = Como “n” corresponde à quantidade de períodos de 30 anos, consequentemente, serão necessários

( )6 30 anos 180 anos⋅ = . Resposta: Alternativa D.

4) (UERJ) Um cliente, ao chegar a uma agência bancária, retirou a última senha de atendimento do dia, com o número 49. Verificou que havia 12 pessoas à sua frente na fila, cujas senhas representavam uma progressão aritmética de números naturais consecutivos, começando em 37. Algum tempo depois, mais de 4 pessoas desistiram do atendimento e saíram do banco. Com isso, os números das senhas daquelas que permaneceram na fila passaram a formar uma nova progressão aritmética. Se os clientes com as senhas de números 37 e 49 não saíram do banco, o número máximo de pessoas que pode ter permanecido na fila é:

a) 6. b) 7. c) 9. d) 12. Resolução:

Verificamos que, inicialmente a fila era composta por 13 pessoas... Saindo mais 4 pessoas e havendo a condição matemática das senhas permanecerem em P.A., teremos, então: ( )PA 37, , 493 . Esta nova PA possuirá uma quantidade “n” de termos que deverá respeitar a condição

( ) ( )n 1a a n 1 r 49 37 n 1 r= + − ⋅ ⇒ = + − ⋅

Sendo tanto “n” quanto “r” números naturais.

Assim: ( ) ( )

49 37 12r rn 1 n 1

−= ⇒ =

− −... ( 1 )

Para que a quantidade de pessoas na fila seja o máximo possível, logicamente, o valor de “r” (expressão 1) deverá ser o menor natural possível. O menor de “r” ocorre para o maior valor natural do denominador da expressão ( 1 ).

• ( )n 1 12− = .... não serve pois temos menos de 13 pessoas na fila;

• ( )n 1 6− = .... servirá pois, assim, teremos 7 pessoas na fila;

Resposta: Alternativa B.

14

5) (UFSM) No trecho de maior movimento de uma rodovia, ou seja, entre o km 35 e o km 41, foram colocados outdoors educativos de 300 em 300 metros. Como o 1º foi colocado exatamente a 50 metros após o km 35, a distância entre o 13º 'outdoor' e o km 41 é, em metros,

a) 3.700. b) 3.650. c) 2.750. d) 2.350. e) 2.150. Resolução:

( )13PA 30050,30350,30650, ,a3

13 1a a 12 r= + ⋅

13 13a 30050 12 300 a 38650= + ⋅ ⇒ =

d 51000 38650= − d 2.350m= (Alternativa d).

6) (FGV-SP) Guilherme pretende comprar um apartamento financiado cujas prestações mensais formam uma progressão aritmética decrescente; a primeira prestação é de R$ 2 600,00 e a última, de R$ 2 020,00. A média aritmética das prestações é um valor:

a) entre R$ 2 250,00 e R$ 2 350,00. b) entre R$ 2 350,00 e R$ 2 450,00. c) menor que R$ 2 250,00. d) maior que R$ 2 450,00. e) impossível de determinar com as informações

dadas. Resolução:

( )PA 2600, ,20203

( )n 1a a n 1 r= + − ⋅

( )1 nn

a a nS

2+ ⋅

=

( )( )

1 n

1 nn

a a na a nS 12x

n n 2 n

+ ⋅ + ⋅

= = = ⋅

( ) ( )1 na a 2600 2020x x x 2310

2 2+ +

= ⇒ = ⇒ =

Resposta: Alternativa A.

7) (PUCCAMP) Um veículo parte de uma cidade A em direção a uma cidade B, distante 500km. Na 1ª hora do trajeto ele percorre 20km, na 2ª hora 22,5km, na 3ª hora 25km e assim sucessivamente. Ao completar a 12ª hora do percurso, a distância esse veículo estará de B?

a) 95 km. b) 115 km. c) 125 km. d) 135 km. e) 155 km. Resolução: As distâncias percorridas formam uma PA de razão 2,5 Km, pois r 22,5 20 25 22,5 cte= − = − = =3 .

( )n 1a a n 1 r= + − ⋅

( )12 12a 20 11 2,5 a 47,5= + ⋅ ⇒ =

A distância percorrida até a 12ª hora será:

( ) ( )1 1212 12 1 12

a a 12S S a a 6

2+ ⋅

= ⇒ = + ⋅

Assim: ( )12 12

S 20 47,5 6 S 405= + ⋅ ⇒ =

Como a distância total é de 500 km, ainda faltam percorrer ( )500 405 95 Km− = para completar o percurso. Resposta: Alternativa A.

15

8) (Unesp) Em 05 de junho de 2004, foi inaugurada uma pizzaria que só abre aos sábados. No dia da inauguração, a pizzaria recebeu 40 fregueses. A partir daí, o número de fregueses que passaram a frequentar a pizzaria cresceu em progressão aritmética de razão 6, até que atingiu a cota máxima de 136 pessoas, a qual tem se mantido. O número de sábados que se passaram, excluindo-se o sábado de inauguração, para que a cota máxima de fregueses fosse atingida pela primeira vez, foi:

a) 15. b) 16. c) 17. d) 18. e) 26. Cuidado com a construção da progressão ! A quantidade 40 fregueses NÃO ENTRA NA P.A. A progressão contém as quantidades referentes aos fregueses cresceu, sábado a sábado, numa razão de 6 fregueses, ou seja: 1º aumento de 6 fregueses: 40 + 6 = 46 2º aumento de 6 fregueses: 46 + 6 = 52 3º aumento de 6 fregueses: 52 + 6 = 58

1a

2a

3a

3 n

a

46 52 58 136

( )n 1a a n 1 r= + − ⋅

( )136 46 n 1 6= + − ⋅

( )n 1 6 90− ⋅ =

( ) 90n 16

− =

n 1 15 n 16− = ⇒ = Resposta: Alternativa B.

9) (UFRRJ) Dez minutos após acender uma lâmpada, ela começou a piscar a cada três minutos. Tem-se a previsão de que após 100 piscadas, seguidas, a lâmpada queima. Supondo que esta previsão esteja correta e que a lâmpada não foi desligada após ser acessa, pode-se afirmar que a lâmpada queimou após

a) 200 minutos do acendimento. b) 10 horas e 21 minutos do acendimento. c) 3 horas e 17 minutos do acendimento. d) 4 horas e 31 minutos do acendimento. e) 5 horas e 7 minutos do acendimento.

10) (UFPB) Uma escada foi feita com 210 blocos cúbicos iguais, que foram colocados uns sobre os outros, formando pilhas, de modo que a primeira pilha tinha apenas 1 bloco, a segunda, 2 blocos, a terceira, 3 blocos, e assim sucessivamente, até a última pilha, conforme a figura ao lado. A quantidade de degraus dessa escada é:

a) 50. b) 40. c) 30. d) 20. e) 10.

16