programaÇÃo linear com o uso do excel e do solver: … · em logística, integrado ao ensino...

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Revista Dimensão Acadêmica, v.3, n.1, jan-jun. 2018

PROGRAMAÇÃO LINEAR COM O USO DO EXCEL E DO SOLVER: UMA

ABORDAGEM APLICADA NO ENSINO MÉDIO

Valderedo Sedano Fontana1

Vanessa Battestin Nunes2

Jane Maria da Silva3

RESUMO

A ideia deste trabalho foi aplicar uma atividade utilizando Programação Linear (PL)

utilizada no Ensino Médio, em uma turma de 3ª série do Ensino Médio Integrado –

curso Técnico em Logística. Julgamos que este é um conteúdo que possibilita de

forma contextualizada, a utilização da ferramenta Excel, mais precisamente da opção,

Solver, deste aplicativo. O experimento tem por objetivo demonstrar a importância das

técnicas de resolução de problemas que envolvem recursos produtivos, uma vez que

os alunos de Educação Profissional precisam conhecer tais técnicas e sua utilização

dentro das empresas. A Programação Linear envolve técnicas de Modelagem

Matemática desenvolvidas para otimizar o uso de recursos limitados. É aplicada com

sucesso em diversas áreas como a militar, indústria, agricultura, transportes,

economia, sistemas de saúde, ciências sociais e comportamentais. No curso técnico

em logística, integrado ao ensino médio, os alunos têm a oportunidade de estudar

sobre diversos problemas que ocorrem nas atividades que contemplam a área da

logística, onde a maioria dos problemas que ocorrem são de restrição de recursos,

sejam ele s, materiais ou não. Nesta perspectiva, identificamos a oportunidade de

trazer para a sala de aula a resolução de problemas logísticos com o uso da

Programação Linear utilizando a ferramenta Solver do Excel.

Palavras-chave: Modelagem Matemática; Programação Linear; Excel; Solver.

1Mestre em Pesquisa Operacional e Inteligência Computacional. Professor Multivix Cachoeiro de

Itapemirim-ES, [email protected] 2Doutora em educação. Mestre em Informática. Bacharel em Ciência da Computação (UFES).

Professora do Instituto Federal do Espírito Santo (IFES). Diretora do Centro de Referência de Formação à Distância (CEFOR / IFES), [email protected] 3Mestranda em Educação em Ciências e Matemática. Especialista em Educação Profissional e

Tecnológica. Especialista em Educação Matemática (UFES).Licenciando em Informática (IFES). Licenciada em Matemática (Claretiano Rede de Educação). Bacharel em Administração de Empresas (Estácio de Sá de Belo Horizonte) [email protected]

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ABSTRACT

The idea of this work was to apply an activity using Linear Programming (PL) used in

High School, in a 3rd grade group of Integrated High School - Technical Course in

Logistics. We think that this is a content that allows in a contextualized way, the use of

the Excel tool, more precisely the option, Solver, of this application. The aim of the

experiment is to demonstrate the importance of problem solving techniques involving

productive resources, since the students of Professional Education need to know these

techniques and their use within companies. Linear Programming involves

Mathematical Modeling techniques developed to optimize the use of limited resources.

It is applied successfully in several areas such as military, industry, agriculture,

transport, economics, health systems, social sciences and behavioral. In the technical

course in logistics, integrated to the high school, students have the opportunity to study

about several problems that occur in the activities that include the logistics area, where

most of the problems that occur are resource constraints, be they materials or do not.

From this perspective, we have identified the opportunity to bring to the classroom the

solution of logistic problems with the use of Linear Programming using the Excel Solver

tool.

Keywords: Mathematical Modeling; Linear Programming; Excel; Solver

1. INTRODUÇÃO

Nos últimos anos a educação brasileira vem enfrentado reformulações curriculares

constantes que sinalizam com as mais variadas propostas pedagógicas para a sala

de aula, buscando considerar processos cognitivos, afetivos, motivacionais e

metodológicos e nesse contexto insere-se a Educação Matemática, cujos professores

estão buscando mudar suas rotinas curriculares em prol da melhoria no processo de

aprendizagem de seus alunos.

O processo de ensino e aprendizagem de Matemática é complexo, principalmente na

escola pública, pois abarca uma enorme quantidade de conteúdos que muitas vezes

o professor não consegue abordar na íntegra durante o ano letivo.

Tentando minimizar esses efeitos, os professores têm buscado a cada dia novas

ferramentas para auxiliá-los no processo de ensino de matemática, principalmente, as

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tecnologias educativas que trazem grandes contribuições para o processo de

aprendizagem dessa disciplina.

D’Ambrósio (2005) ressalta que a disciplina de matemática é uma estratégia

desenvolvida pela espécie humana para explicar, entender, manejar e conviver com

a realidade, dentro de um contexto natural e cultural. Dessa forma, ensinar

matemática é muito mais que ensinar um conjunto de conteúdos matemáticos, é

principalmente, proporcionar aos educandos conceitos mais finos e rigorosos

necessários não só para a compreensão do mundo da matemática, mas, também, o

domínio de um conjunto de habilidades que os ajudarão no desempenho profissional

e na vida em sociedade.

Nessa perspectiva, metodologias de ensino que privilegiem uma aprendizagem

pautada na pesquisa, interação e socialização dos conhecimentos construídos estão

sendo trabalhadas por grande parte dos professores em sala de aula. As metodologias

de ensino são inúmeras, especialmente com o advento da internet e a disseminação

das tecnologias da informação e comunicação (TIC), cabe ao professor buscar

conhecer a realidade de seus alunos para definir a melhor metodologia que o ajudará

a obter sucesso nessa empreitada.

Muitos pesquisadores vêm desenvolvendo trabalhos sobre a importância da

informática na educação e sobre o uso de tecnologias educacionais no processo de

ensino, principalmente em conteúdos de Matemática. Muito tem se discutido sobre o

uso de softwares educativos e de outras tecnologias educacionais em atividades

escolares e, sobretudo, sua eficácia e qualidade na tarefa de conduzir e orientar a

aprendizagem dos alunos.

Por tecnologias educacionais entendemos o uso da informática, do computador, da

internet, da hipermídia e da multimídia, das ferramentas para educação à distância,

dos softwares livres para uso educacional, e diversos outros recursos e linguagem

educacional de que dispomos atualmente e que podem de alguma forma contribuir

significativamente para tornar o processo de ensino – aprendizagem mais eficiente e

de qualidade.

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Graças aos computadores e outros instrumentos eletrônicos, as formas de ensinar e

de aprender estão passando por profundas mudanças, e isso provoca uma revolução

nas relações escolares entre professor e aluno. Segundo MORAN (2000), as

tecnologias nos permitem ampliar o conceito de sala de aula, de espaço e tempo, e

com isso possibilitar um processo de ensino – aprendizagem, mais integrado e

prazeroso, para alunos e professores.

Desta forma a atividade proposta tem por objetivo propiciar aos alunos do ensino

médio do curso técnico em logística conhecer a modelagem matemática e a aplicação

de soluções computacionais para problemas de restrição de recursos produtivos.

2. REFERENCIAL TEÓRICO

Várias tendências em Educação Matemática têm emergido nas últimas décadas.

Sobretudo, a Modelagem Matemática tem sido fortemente recomendada por

especialistas em processos de ensino e aprendizagem que não enfatizem somente

questões do conhecimento matemático.

Segundo Bassanezi (2013), a modelagem matemática pode ser encarada tanto como

um método de pesquisa científica quanto uma estratégia de ensino-aprendizagem.

Neste sentido, a modelagem matemática passa a ser um instrumento poderoso, uma

vez que permite lidar de forma objetiva com problemas do mundo real.

D´Ambrosio (1986) destaca a importância de que, durante a modelagem, ocorra a

aprendizagem de conceitos e técnicas do conteúdo estudado, de modo que o objeto

de estudo em si possa contribuir como um agente motivacional para a aprendizagem.

A resolução de problemas é uma metodologia de ensino de Matemática muito

eficiente, pois proporciona aos alunos e professores uma mobilização de saberes que

serão necessários para a busca de uma solução. E nessa busca o aluno aprende a

desenvolver estratégias, o raciocínio lógico, e verificar se suas proposições de solução

são realmente válidas, dessa forma colaborando para o amadurecimento de suas

estruturas cognitivas e favorecendo a aprendizagem.

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A estrutura proposta por Polya (1978) e seguida por Dante (1998) começa com o

entendimento do que é “um problema”. Para o segundo autor, um problema “é

qualquer situação que exija o pensar do indivíduo para solucioná-lo”. Dante (1998).

Para Polya (1978), “ter um problema significa buscar conscientemente por alguma

ação apropriada para atingir um objetivo claramente definido, mas não imediatamente

atingível”.

Os problemas, “estimulam a curiosidade”, “despertam o gosto pelo trabalho mental”,

“fazem os alunos pensarem produtivamente”, “aprimoram o raciocínio matemático” e

“motivam a aprendizagem de novos conteúdos”. Nessa perspectiva trabalhar com

problemas de Programação Linear utilizando o Excel, nos possibilita levar o aluno a

pensar, criar estratégias e encontrar as melhores soluções para as situações

propostas.

A Programação Linear ou, PL, é uma técnica de planejamento, que visa à otimização

de problemas em que se têm diversas opções de escolhas, sujeitas a algum tipo de

restrição, ou seja, consiste em encontrar a melhor solução para um dado problema.

Na Modelagem de Programação Linear, devem ser estabelecidos:

i) as variáveis do problema, ou seja, aquilo que se pode controlar e que se deseja

saber exatamente o valor;

ii) a função objetivo, sempre que se deseja maximizar ou minimizar determinado

objetivo, expresso em função das variáveis do problema;

iii) as restrições, que também são expressas em função das variáveis do problema e

limitam as combinações das variáveis a determinados limites;

A PL é uma disciplina da Pesquisa Operacional (Operathions Research), termo que

foi empregado pela primeira vez por volta da década de 1930, na Inglaterra, referindo-

se ao estudo sistemático de problemas estratégicos e táticos decorrentes de

operações militares.

Em 1936, o economista russo naturalizado estadunidense, Wassily Wassilyovitch

Leontief (1905-1999), criou um modelo constituído por um conjunto de equações

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lineares, considerado como o primeiro passo para o estabelecimento das técnicas de

Programação Linear. Ele recebeu o Prêmio Nobel de Economia em 1973, pelo

desenvolvimento da matriz de insumo-produto (input-output), conhecida como a

“Matriz de Leontief”, e sua aplicação à Economia.

Em 1939, o matemático e economista russo, Leonid Vitaliyevich Kantorovich (1912-

1986), publicou um trabalho sobre planejamento da produção, o qual apresentava

dentre diversas abordagens, o uso de equações lineares; trabalho este, que veio a ser

conhecido pelo Ocidente somente em 1960. Por sua teoria e desenvolvimento de

técnicas para a alocação ótima de recursos, ele é considerado o fundador da

Programação Linear. E, em 1975, foi agraciado com o Prêmio Nobel de Economia,

pela contribuição à teoria da utilização ótima de recursos.

Em 1940, Frank Lauren Hitchcock (1875-1957), matemático e físico norte-americano,

apresentou uma abordagem ao problema de transporte. Finalmente, em 1947, o

matemático e físico norte-americano, George Bernard Dantzig (1914-2005),

consolidou essa abordagem de planejamento com o desenvolvimento do Método

Simplex, capaz de resolver qualquer problema de Programação Linear, ou pelo menos

a maioria deles. Autor formal do “problema de transporte”, também, elaborou a teoria

e a sua resolução computacional baseada no Método Simplex e, é considerado o “Pai

da Programação Linear”.

A Programação Linear é muito utilizada em diversas áreas para a resolução de

problemas, tais como: de dosagem (fabricação de adubos, ligas metálicas, petróleo,

entre outros); de transporte; de investimentos financeiros.

Para Bassanezi (2013), a modelagem matemática consiste, essencialmente, na arte

de transformar situações da realidade em problemas matemáticos cujas soluções

devem ser interpretadas na linguagem usual. Segundo o autor a modelagem transpõe

um problema de alguma realidade para a Matemática onde será tratado através de

teorias e técnicas próprias desta Ciência; pela mesma via de interpretação, no sentido

contrário, obtém-se o resultado dos estudos na linguagem original do problema.

Esquematicamente, Bassanezi (2013) representa este processo com o diagrama da

Figura 1 a seguir:

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Figura 1 – Processo de Modelagem

Fonte: BASSANEZI, 2013.

A modelagem matemática de uma situação ou problema real deve seguir uma

sequência de etapas apresentadas a seguir:

Figura 2 – Esquema de uma modelagem

Fonte: BASSANEZI, 2013

As atividades de modelagem características de cada etapa passam por: 1-

Experimentação; 2- Abstração; 3- Resolução; 4- Validação; 5- Modificação.

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Um dos principais métodos para a resolução de problemas de Programação Linear é

o método Simplex, desenvolvido por George Bernard Dantzig na década de 1940.

Existem também outros métodos para a resolução de problemas de Programação

Linear, entre eles o método Gráfico, que será nosso objeto de estudo, visto que, este

pode ser perfeitamente transportado para o aplicativo Excel e utilizado o recurso do

Solver desta ferramenta. A aplicação desse método na resolução de problemas de PL

é limitada a alguns tipos de problemas mais elementares.

Conforme o manual do usuário do Office 2003, o Solver faz parte de um conjunto de

programas, que geralmente são chamados de ferramentas de análise hipotética, ou

seja, uma ferramenta que possibilita encontrar um valor ideal (otimizado) para uma

determinada equação. Para resolver problemas lineares e de números inteiros, o

Solver utiliza o algoritmo Simplex com limites sobre as variáveis e o método de desvio

e limite.

3. METODOLOGIA

Esse artigo científico descreve o desenvolvimento uma atividade de Modelagem

Matemática, abordando o conteúdo de Programação Linear. Esta atividade foi

desenvolvida por professores de disciplinas técnicas juntamente aos alunos do Ensino

Médio Integrado à Educação Profissional - Curso de Logística.

A atividade baseou-se no estudo de um problema proposto por Dias et. al (2015)

apresentado no VI Encontro Paraense de Engenharia de Produção. Para a escrita do

artigo foram realizadas pesquisas através de revisão bibliográfica sobre o tema

Programação Linear e sua aplicação no Ensino Médio, em dissertações de mestrado

e teses de doutorado, bem como artigos científicos sobre o tema e internet.

Este estudo caracteriza-se como sendo uma pesquisa exploratória, devido ao fato de

possibilitar uma maior familiaridade com o problema, com o intuito de torná-lo mais

visível ou de construir hipóteses. Nesse tipo de estudo, a coleta de dados pode ocorrer

através de um levantamento bibliográfico e da análise de exemplos que estimulem a

compreensão (GIL, 2010).

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A atividade se dividiu em quatro etapas que serão relatadas na sequência didática

descrita neste artigo: Aula introdutória; Exemplos de problemas para resolução como

forma de fixar o conteúdo; Proposição e modelagem do problema; Discussão sobre a

atividade e benefícios para a aprendizagem;

Uma sequência didática é composta por várias atividades encadeadas de

questionamentos, atitudes, procedimentos e ações que os alunos executam com a

mediação do professor. As atividades que fazem parte da sequência são ordenadas

de maneira a aprofundar o tema que está sendo estudado e são variadas em termos

de estratégia: leituras, aula dialogada, simulações computacionais, experimentos,

entre outros.

Assim o tema será tratado durante um conjunto de aulas de modo que o aluno se

aprofunde e se aproprie dos temas desenvolvidos. Segundo Zabala (1998)

sequências didáticas são:

um conjunto de atividades ordenadas, estruturadas e articuladas para a realização de certos objetivos educacionais, que têm um princípio e um fim conhecidos tanto pelos professores como pelos alunos [...] (ZABALA,1998 p.18)

Nesta perspectiva, a utilização da Teoria das Situações Didáticas compreende-se a

sequência didática como uma articulação em situações didáticas e situações cujo

âmbito de ensinar não é revelado ao aluno, no entanto é concebido pelo professor

com objetivo de criar condições favoráveis para a aquisição de um novo saber,

visando criar um meio adequado ao desenvolvimento onde o aluno interage com o

objeto de pesquisa de forma que o desafie a encontrar respostas para as situações

problemas.

As sequências didáticas (SD) contribuem com a consolidação de conhecimentos que

estão em fase de construção e permite que progressivamente novas aquisições sejam

possíveis, pois a organização dessas atividades prevê uma progressão modular, a

partir do levantamento dos conhecimentos que os alunos já possuem sobre um

determinado assunto, conforme Brasil (2012, p. 20). Conforme orienta Brasil (2012)

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as sequências são uma ferramenta muito importante para a construção do

conhecimento:

Ao organizar a sequência didática, o professor poderá incluir atividades diversas como leitura, pesquisa individual ou coletiva, aula dialogada, produções textuais, aulas práticas, etc., pois a sequência de atividades visa trabalhar um conteúdo específico, um tema ou um gênero textual da exploração inicial até a formação de um conceito, uma ideia, uma elaboração prática, uma produção escrita (BRASIL, 2012, p-21).

3.1 Sequência Didática para o Ensino de Programação Linear

3.1.1 Aula introdutória

Foi realizada uma aula introdutória, abordando os conceitos de Modelagem

Matemática, Resolução de Problemas, Programação Linear e sua utilização no campo

gerencial (foco do curso técnico em logística). Para contextualizar o conteúdo

apresentado, foram feitos alguns exercícios básicos para que os alunos aprendessem

a identificar quais são as variáveis presentes nos problemas (dados, variáveis de

decisão, função objetivo e restrições).

Após a aula conceitual que está detalhada na sequência didática, foi realizada

também uma aula de revisão sobre os principais comandos e fórmulas do Excel e da

ferramenta Solver, que será utilizada na aplicação da atividade proposta.

3.1.2 Resolução de Exercícios – para contextualização

Após a realização da aula conceitual, momento no qual foram apresentados aos

alunos os principais conceitos de Programação Linear e sua utilização na resolução

de problemas de gestão de recursos produtivos, os alunos foram apresentados a

alguns problemas de restrição de recursos, como forma de identificarem as variáveis

que estão envolvidas em problemas de PL.

Os referidos problemas foram extraídos do material disponibilizado pelo professor Luiz

Leduino de Salles Neto da Universidade Federal Fluminense, em seu site. Os

problemas desenvolvidos pelo autor tinham o objetivo de resolução geométrica.

Porém, fizemos o uso dos mesmos apenas como exemplos, para identificação dos

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dados que estavam presentes em cada uma das situações, e que poderiam ser

modeladas através da Programação Linear e do Excel.

Figura 3 – Problema 1 - do Vendedor no Semáforo -

Fonte: NETO, 2006.

Figura 4 – Problema 2 – Problema do Sítio

Fonte: NETO, 2006.

Figura 5 – Problema 3 – Problema da Ração

Fonte: NETO, 2006.

Estes três problemas foram apresentados aos alunos para que eles identificassem as

variáveis que compõem cada um dos problemas. Nosso objetivo nesta etapa não é

apresentar a resolução dos mesmos, mas realizar a identificação de cada componente

do problema e como este pode ser tratado pela Programação Linear.

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3.1.3 Problema para modelagem

O problema escolhido para ser resolvido com os alunos, foi apresentado no VI

Encontro Paraense de Engenharia de Produção, realizado no ano de 2015, que

aborda um estudo de caso que apresenta um problema de produção e

armazenamento em uma fábrica de água mineral com duas filiais, e três depósitos

para armazenamento.

O problema proposto busca minimizar os custos totais envolvendo o transporte das

duas fábricas para os três depósitos, uma vez que, cada uma apresenta um custo

diferente.

Figura 6 – O Estudo de caso utilizado para a resolução de problema

Fonte: DIAS, et. al, 2015.

Figura 7– O Estudo de caso utilizado para a resolução de problema


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Figura 8 – O Estudo de caso utilizado para a resolução de problema


4. A ATIVIDADE

Os alunos foram divididos em duplas e levados ao laboratório de informática para dar

início à atividade. Eles primeiramente identificaram as variáveis que o problema

apresenta, e neste momento alguns alunos apresentaram dúvidas em relação ao que

seriam restrição e variáveis de decisão. Somente a função objetivo estava clara para

eles, que identificaram que a empresa desejava reduzir os custos totais com

transporte entre as fábricas e os depósitos. Fomos novamente para a exposição sobre

os temas abordados, a fim de solucionarmos as dúvidas dos alunos.

Durante o desenvolvimento da atividade os alunos participaram ativamente buscando

esclarecer suas dúvidas e pesquisando na internet por materiais escritos e vídeos que

pudessem contribuir para a realização da proposta.

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Figura 9 – Tela do computador demonstrando o desenvolvimento da atividade

Fonte: os autores

Após a identificação das variáveis que compõem o problema, os dados devem ser

inseridos no programa Excel, e o problema solucionado através da ferramenta Solver,

que é um complemento deste aplicativo.

Imagem 10 - Resolução do problema no Excel utilizando o Solver

Fonte: Os autores

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5. RESULTADOS

Após a realização da atividade foi solicitado aos alunos que relatassem sobre a

mesma, identificando as dificuldades e os desafios encontrados, bem como a

experiência de estudar um tema que não está diretamente presente no currículo

regular. Para os alunos, a proposta foi desafiadora, uma vez que eles nunca haviam

ouvido falar em Modelagem Matemática ou Programação Linear. Segundo um dos

alunos relatou:

“a maior dificuldade era interpretar as variáveis do problema”, “identificar elas é muito

complicado professora” (transcrição da fala do aluno).

Segundo a aluna “M”:

“ela adorou descobrir uma nova ferramenta no Excel”, visto que, até o momento

nenhuma das aulas de informática que ela já teve, informou sobre este complemento

do software.

Em geral os alunos descreveram terem gostado muito da atividade proposta:

“é uma forma diferente de estudar matemática e aplicar ela nos problemas reais que

podem existir na empresa, já que estamos fazendo curso técnico e podemos nos

deparar com este tipo de problema para resolver! ”

(descrição da fala dos alunos).

Acreditamos que atingimos ao objetivo proposto para esta atividade, tivemos a

oportunidade de demonstrar aos alunos um conhecimento prático que certamente fará

parte de sua realidade profissional, uma vez que, eles cursam o curso técnico em

logística. Conhecimento esse possibilitado através da modelagem matemática.

6. CONCLUSÕES

Na atividade proposta a intensão era apresentar aos alunos do Ensino Médio

Integrado à Educação Profissional – Curso Técnico em Logística, uma ferramenta

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utilizada pelas empresas para solucionar problemas de restrição de recursos ou de

maximização de lucro. A programação Linear possibilita resolver problemas tanto de

restrição quanto de lucratividade e o uso do Excel também possibilitou aos alunos se

apropriarem de um novo conhecimento, visto que, nenhum deles havia ouvido falar

em Solver (um complemento do Excel).

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