programa samuel robinson fase i matematica

8/15/2019 Programa Samuel Robinson Fase I Matematica

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PROGRAMA SAMUEL ROBINSON

PRÁCTICA Nº 1: Potencias

“Aprender sin pensar, es inútil; pensar sin aprender, es peligroso”

Confucio

La potenciación es una operación de composición, que tiene por objeto hallar las potencias de unnúmero, donde la potencia puede definirse como el resultado de tomar como factor un número dos o másveces. Dentro de las potencias es común hablar de la base y el exponente los cuales se representan en elsiguiente ejemplo

!!!!!" ⋅⋅⋅=

Donde " representa el exponente, mientras que ! representa la base de la potencia o el número que serepite tantas veces como el exponente indica. #l resultado del producto es la potencia.

De forma general, la expresiones de este tipo se pueden representar comonx

#l cuadro que se presenta a continuación muestra algunas propiedades comúnmente empleadas en elcálculo de potencias

LEYES DE LOS EXPONENTES O POTENCIACIÓN

$ean x, y números reales y m, n números enteros %en s&mbolos x, y ∈ R, m, n ∈ Z'.#ntonces

(i)nmnm

xxx

= (ii)mnnm

xx = (iii)

nnn

yxxy =

(iv)n

nn

y

x

y

x=

, si (y ≠

%v' )x ( = , si (x ≠

%v' nmn

m

xx

x

= , si (x ≠

%vi'x

)x )* = , si (x ≠

$uponiendo que cada expresión representa un número real.

#stas propiedades se usan frecuentemente para escribir expresiones equivalentes más sencillas osimples, cuyos procedimientos se pueden observar en los ejemplos que se muestran a continuación, los cualesmuestran paso a paso las propiedades empleadas y operaciones reali+adas.

MÓDULO CÁLCULO ALGEBRAICO

1


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E!"#$% 1: ( ) ( ) yx-xy )-! =− −

#n primer lugar se puede aplicar la propiedad %ii' ( ) ( ) ( ) ( ) ))-!!! yxyx- −−−

/esolviendo queda)-)(!0 −− y x y x

1hora agrupando t2rminos semejantes queda ))(-! yyxx0 −−

Lo cual permite aplicar la propiedad %i' ( ) ( ) 0))*)(-*! 0yx0 y x −=

#ntonces, con la propiedad %vi' queda que x

y00

E!"#$% &: !-

-!

))

))

=−

+−−

−−

#n primer lugar se debe aplicar la propiedad %vi' en cada unode los t2rminos, pues en este caso se tiene una suma de

potencias!)

-)

-

)

!

)

−

+

3ara resolver esto comencemos con el numerador al que se ledebe aplicar mcm 4

.

4

!-

4

!)-)

-

)

!

) =+

=⋅+⋅

=+

1plicando el mismo procedimiento en el denominador queda4

)

4

-!

4

-)!)

!

)

-

) −=−=⋅−⋅=−

$ustituyendo estas dos operaciones previas en la expresiónoriginal queda

4

)4

.

!

)

-

)-

)

!

)

−=

−

+

5inalmente para resolver esto se puede aplicar una doble 6 ouna división de fracciones y simplificar los t2rminossemejantes se tiene

.4)

4.

4

)4

.

−=⋅−⋅=

−

#s importante considerar que los procedimientos empleados en la resolución de estos ejercicios no sonúnicos, existen diversas maneras correctas de resolverlos. 7ntente empleando las propiedades apropiadasresolver estos mismos ejercicios y verifique que el resultado es el mismo.

8tra aplicación de la potenciación son los procedimientos que involucran N%'i*+ Ci!+'-i, por

ejemplo

E!"#$% .: #scriba el número (,((((((((()!( en su expresión equivalente de notación cient&fica

3ara escribir este número en su equivalente en notación cient&fica, se debe correr la coma a la derecha hastaobtener un solo número decimal, para lo cual es necesario correrla )( espacios y esto indica que el númeroequivalente ser&a

)()(!,) −⋅


&


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PROBLEMAS Y E/ERCICIOS PROPUESTOS:

E+ $%s #0%$!"s 1 $ 2, !s0i 3+ !4#0!si*+ !53iv$!+'! s*$% %+ !4#%+!+'!s #%si'iv%s:

16 999

)

&6 --- ⋅⋅ .6 !y!y!y!y ⋅⋅⋅ 26 +

)

+

)⋅

E+ $%s #0%$!"s 7 $ 8, !s0i 3+ !4#0!si*+ !53iv$!+'! s*$% %+ !4#%+!+'!s +!9'iv%s:

76 "

)6 !

!

y

x;6 -x

)86

!

+

)

E+ $%s #0%$!"s < $ 12, !+3!+'0! !$ v$%0 =! $ #%'!+i:, 0!$i! $s %#!0i%+!s i+=i=s:

176 )) !! −− 16 -

!

-

!−

− 1;6

))

))

-!

-!−−

−−

+

−186

( )

( ) )

4

)

!)

−−

−−16

( )(

(

)

))−

E+ $%s #0%$!"s =!$ &1 $ &, !+3!+'0! !$ v$%0 =! $ !4#0!si*+ #0 ? &, ? @. ? @1:&16 !c!ab +− &&6 -! cab − &.6 !!! ca bcab ++ &26 ))) c ba −−−

&76 )) caab −− + &6 ))) c ba −−− ++

E+ $%s #0%$!"s =!$ &; $ 7>, #$i53! $s $!!s =! $%s !4#%+!+'!s #0 !+%+'00 3+ !4#0!si*+

!53iv$!+'! "s s!+i$$:

&;6 !4xx − &86 )!)( !! &6 ( ) !"!y-x − 216 "-! xxx −

2&6 ( )( )!

-!

xy

yx− 2.6 ( )-

!-!

ba

b:a 226 ( )-:

-!

yx

y"x

−

−− 276

( ) ( ) )-! yx-xy −− 26

)

!

-

b

ba−−

2;6!

!

--

b

ba

−

286( ) ( )!)--"! yxyx −−

26 ( )( )!!)

-

c b!a

-abc

−−

E+ $%s #0%$!"s =!$ 7> $ 7, =!'!0"i+! si !$ +"!0% 53! s! %'i!+! #%0 0!s3$'=% !s #%si'iv% %+!9'iv%:716 ( ) "- !" −−− 7&6 ( ) ( ) ( )))) () −−− − 7.6 ( )( )[ ] ! )()()( −− −−


.


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726 ( )[ ] -!) −−− 776 [ ] )()()()( +−−− 76 [ ] )"-! ;;; −−

E+ $%s #0%$!"s =!$ 7; $ &, !s0i 3+ -*0"3$ #0 $ +'i== == 3s+=% !4#%+!+'!s:

7;6 #l área 1 de un cuadrado es el cuadrado de la longitud $ de un lado.

786 #l volumen < de un cubo es el cubo de la longitud $ de una arista.76 #l volumen < de una esfera es tres cuartas π veces el cubo de radio /.

16 #l volumen < de un cilindro circular recto es π veces el cuadrado del radio / veces la altura =.

&6 #l área 1 de un triangulo equilátero es"

- veces del cuadrado de la longitud $ de un lado.

E+ $%s #0%$!"s . $ , !s0i $%s +"!0%s ==%s !+ +%'i*+ i!+'-i:

.6 %a' )((((( %b' (,(((()( 26 %a' -")(((((( %b' (,((-")

76 %a')!(((((((( %b' (,((((((((()!( 6 %a' 9!4(( %b' (,(((9!4

E+ $%s #0%$!"s =!$ ; $ ;>, !s0i $%s +"!0%s ==%s !+ -%0" =!i"$:;6 )(-,! %b' )(-,! %a' 86 ")( )(",(! %b' )(",(! %a'

6 " )(),"!-%b' )(),"!- %a'

E+ $%s #0%$!"s =!$ ;1 $ ;, =!i= si $ #0%#%sii*+ !s -$s % v!0==!0 3s'i-i+=% s30!s#3!s':;16 (xn ≤ para todos los números reales x. ;&6 ((( =

;.6 $i n es par, (xn ≥ para todos los números reales x. ;26 ( x,xx

) )

≠=

− −

;76 ( ) n)n xx −− = para (x ≠ ;6 ( ) !!! yxyx +=+

R!s3!$v $%s #0%$!"s =!$ ;; $ 8.:

;;6 #n )09! se calculó que la población de 6hina era ).(4(.(((.(((. #scriba este número en notacióncient&fica.

;86 $i la tasa de crecimiento anual de la población de 6hina es de )," >. ?se la información que se dio en el problema :: para calcular la población de 6hina %a' en )09- y %b' en el a@o !(((.

;6 Los futuros computadores podr&an ser fotónicos %es decir, que operan mediante se@ales de la lu+' más queelectrónicos. La velocidad de la lu+ % )()(- ⋅ cmBs' será un factor limitante para el tama@o y la velocidadde tales computadoras. $upongamos que una se@al debe ir de un elemento de un computador fotónico a

otro en un nanosegundo % 0)() −⋅ s' C6uál es la distancia máxima posible entre estos dos componentes%$ugerencia Cu2 tan lejos viaja la lu+ en un nanosegundo'. De su respuesta %a' en cent&metros y %b' en pulgadas. %?na pulgada E !, cm'


2


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816 La capacidad de almacenamiento de un computador se describe en Filobite %o aproximadamente )((( bites de memoria'. $i se requiere un bite para representar un solo s&mbolo como una letra, un número, unsigno de puntuación, Caproximadamente cuántos s&mbolos es capa+ de almacenar un computador de )!F D2 la respuesta %a' en forma decimal y %b' en notación cient&fica.

8&6 #l 3ioneer )(, una sonda del espacio profundo, se demoró !) meses para viajar de Garte a Húpiter. $i ladistancia de Garte a Húpiter es de 009 millones de Filómetros, halle la velocidad promedio del 3ioneer )(en Filómetros por hora %$upongamos que hay -(," d&as en un mes'

8.6 Gediante %v' de las leyes de los exponentes, si (x ≠ , entonces, Ca qu2 es igualn

n

x

x. $in embargo, Ca

qu2 es igual cualquier número diferente de cero dividido entre 2l mismo. ?se la respuesta a estas dos

preguntas para explicar el raciocinio que se halla en la definición )x( = para cualquier base x diferentede cero.


7


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PRACTICA Nº &: Raíces

“Hay cosas que para saberlas bien no basta con haberlas aprendido”

n!anuel "ant

La radicación o cálculo de ra&ces, es considerada la operación inversa de la potencia y consiste en

hallar un número a partir de la potencia y el exponente, por ejemplo !! = pero al calcular la ra&+ de ! setiene ! = .

De esta manera, al igual que la potenciación, la radicación tiene algunas propiedades como sedescribe en la tabla a continuación

L!!s =! $%s 0=i$!s $ean m y n enteros positivos %o sea m, n ∈ ZF ', x, y números reales %o sea x, y ∈R '. #ntonces,

%i' ( ) n nnn xx =

%iii' nnn yxy x =

%v' mnn m xx =

%ii'

=

paresnsix

imparesnsixx

n n

%iv' nn

n

y

x

y

x= , si (y ≠

%vi' ( ) nmxx mn = $iempre y cuando los radicales representen números reales.

3ara comprender en que consiste el cálculo de ra&ces y como se usan las propiedades anteriores, v2aselos ejemplos resueltos que se presentan a continuación

E!"#$% 1: Determine el valor de - -"-

#n primer lugar, empleando la descomposición de factores primos, se determina la factori+ación de -"-

)

::

:"0

:-"-

1hora la expresión dentro de la ra&+ se puede escribir como - -- :-"- =

#mpleando la propiedad %ii' como n es impar se tiene que ::- - =

#ntonces el valor de la ra&+ es :



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E!"#$% &: #scriba la expresión equivalente mas sencilla de- -!

- !-

+x

xy!xy" ⋅

6omo todas las ra&ces involucradas en el numerador tienen el mismo &ndice radical se emplea la

propiedad %iii' y queda

( ) ( )- -!

- !

+x

xy!xy" ⋅

1hora el numerador y el denominador tienen el mismo&ndice radical, lo que permite emplear la propiedad%iv' y queda

( ) ( )-

-!

!

+x

xy!xy" ⋅

1grupando los t2rminos semejantes se tiene que ( ) ( ) ( )

--!

!

+x

yyxx!" ⋅⋅⋅⋅

6omo el " se puede factori+ar en t2rminos de !, se tieneque

( ) ( )( )-

-!

!!

+x

yyxx!! ⋅⋅⋅⋅

Lo que nos permite aplicar las propiedades deexponentes de la práctica ), referentes a la suma de potencias con bases iguales, obteniendo

( ) ( )( ) --!

-!--

-!

!))))!

+x

yx!

+x

yx! =⋅ +++

De igual manera como existen t2rminos comunes en elnumerador y el denominador se puede aplicar las propiedades de exponentes de la practica ),referentes a la división de potencias con basesiguales

--

--

- !!

-

--

-!

!

-

--

--!

-!-

+

y!x

+

y!

x

x

+

y!

+x

yx!=⋅=⋅= −

1hora aplicando la propiedad %iv' de radicación se tiene- -

- --

--

--

+

y!

+

y! =

I con la propiedad %iii' en el numerador se tiene- -

- -- -

- -

- --

+

y!

+

y! ⋅=

1hora aplicando la propiedad %ii' a cada uno de lost2rminos en la fracción queda +

y!

+

y!

- -

- -- -

=⋅

8tra aplicación de la radicación, es la racionali+ación de t2rminos para obtener un t2rmino entero enlugar de ra&ces, sin embargo este procedimiento se aplica según le convenga al ejercicio. 3or ejemplo

E!"#$% .: !-) =−

3ara racionali+ar la expresión anterior, se observa que los t2rminos con ra&ces se encuentran en eldenominador por lo cual, en el denominador es que se quiere obtener un t2rmino entero, para lo cual se debe

obtener la conjugada adecuada, que en este caso seria !- +


;


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1l multiplicar y dividir por la conjugada demodo que la expresión no se altere se tiene

( )( ) ( )!-!-

!-)

!-

!-

!-

)

+⋅−+⋅

=++

⋅−

La multiplicación en el denominador se

resuelve por propiedad distributiva, y seobtiene

( ) ( )

)!-

!-!44-

!-!!--

!!-!!---!-!-

!!!!

!!

=−=−=−−+=

−⋅−⋅+=

⋅−⋅−⋅+⋅=+⋅−

1l sustituir el resultado anterior en eldenominador se tiene

!-)

!-+=

+

8bserve como en el numerador al aparecer un número entero simplifica o hace más sencillo escribirla expresión original.

E!"#$% 2: ba ba

=−

+

#n este caso no especifican cual expresión se debe racionali+ar, sin embargo racionalicemos elnumerador y veamos que ocurre.

La conjugada del numerador es ba − , entoncesse multiplica y divide por la conjugada para noalterar la expresión original

ba

ba

ba

ba

ba

ba

−−⋅

−+=

−+

#sta multiplicación queda ( ) ( )

( ) ( ) ba ba ba ba

ba

ba

ba

ba

−⋅−−⋅+

=−−

⋅−+

1l aplicar la propiedad distributiva en el numeradory las propiedades de los exponentes en eldenominador queda

( (( ) ( ) ( ) ( )!)) ba

ba

ba

ba

ba ba

ba ba

−

−=−

−=−⋅−−⋅+

+

P0 =is3si*+ !+ G03#%

1l reali+ar la racionali+ación del denominador de la expresión del ejemplo ", Ccual es el resultado.

Determinar las conjugadas de expresiones como las anteriores resulta muy sencillo, sin embargocuando se tratan de ra&ces que involucran la ra&+ cúbica o cuarta es más complejo, pero existen diversasmaneras, para ello revise las tablas anexas a esta gu&a y discuta estos procedimientos con el profesor encargado del curso.


8


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E+ $%s #0%$!"s =!$ 1 $ &> !+3!+'0!, 3+=% s! #%si$!, 3+ !4#0!si*+ !53iv$!+'! si+ 0=i$!s:

16 - )!− &6 """

)

"

).6 )((((( 26 " (((),(

76 "!yx) 6

"

!

bc

)(a ;6 -0

4-

+

yx 86 "9

)4"

)4+

yx

6 - !- - )4a"ab 116 " "-" yx)4x 1&6

!:

-

1.6

)!126

"

!

:b"0a

:ab176

- -!

- !-

+x

!xy"xy16 "!

1;6 - )!4 ba 186 ( )!!- yxx 16 ( )" !4!s"r −

E+ $%s #0%$!"s &1$ .&, 0i%+$i! !$ =!+%"i+=%0 =! $ !4#0!si*+:&16

!:

)&&6

!

-&.6

)x

)

+&26

a)

a

+

&76!

!

+−

&6:-

:-

+−

&;6yx

yx

−+

&86 ba

)

−

&


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2;6 La longitud 6 de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la ra&+ cuadrada de la suma de loscuadrados de las longitudes 1 y K de los otros dos lados.

286 La velocidad < de un sat2lite en una órbita circular alrededor de la tierra es igual a la ra&+ cuadrada del producto del radio / de la orbita y la aceleración de la ca&da libre en la órbita.

E+ $%s #0%$!"s 2< $ 7, 0!s#%+= -$s% % v!0==!0% 3s'i-i53! s3 0!s#3!s':26 baab = , para a, b≥ (716 aa! = , para cualquier número real a

7&6 ( ) aa ! = , para cualquier número real a

7.6 $i n es impar, n x es definida para cualquier número real x

726 $i n es par, n x es definida para cualquier número real x

776 xx" ! = es definida para cualquier número real x

76 b

a

b

a!

!= para cualquiera de los números reales a y b, b≠ (

E+ $%s #0%$!"s 7; 78, 0i%+$i! !$ =!+%"i+=%0:

7;6 -- yx)

−786 "" yx

)

−

E+ $%s #0%$!"s 7< $ , !s0i $ !4#0!si*+ $9!0i 3s+=% !4#%+!+'!s 0i%+$!s:76 :x

16

( )"

- x

)&6

( )-

" a

)

.6 : yx + 26 - !! ba + 76 xx + 6 !! yx −

E+ $%s #0%$!"s ; $ ;2, !s0i $ !4#0!si*+ $9!0i !+ +%'i*+ 0=i$:

;6 -!

a 86 -)

!a 6 -!

-a

;16 -!

a-+ ;&6 ( ) -!

a- + ;.6-!

a

- ;26 ( ) !-

-a−

E+ $%s #0%$!"s ;7 $ 8>, !+3!+'0! $%s +"!0%s i+=i=%s:

;76 %a' ( ) !)

"0 %b' ( ) !)

"0 − ;6 %a' ( ) -

)9− %b' ( ) -

)9 −−

;;6 %a' ( ) !:

(",( %b' ( ) !:

(",( − ;86 %a'-!

4"

)

%b' -

!

4"

) −

;6 %a' "

-

)4

9)

− %b'

"-

)4

9) −

−


1>


11/18


E+ $%s #0%$!"s 81 $ 1>>, si"#$i-i53! !$i"i+! 3$53i!0 !4#%+!+'! +!9'iv%:

816

-)

!)

-x"x 8&6

-!

!-

"aa 8.6 ( ) -

- xx− 826 9)

")

!)

xxx

876

4)

-)

!)

!a!a!a 86 ( )")

"! ba 8;6!-

-)

y!.x

886 ( )!)

4"y"x − 81 $ 1>7, 0!=3 $ !4#0!si*+ 3+ s*$% 0=i$:

1>16 - ! 1>&64

-

"

)41>.6 - xx 1>26 9 a

a1>76

"

- !

y

yy

E+ $%s #0%$!"s =!$ 1> $ 1>


12/18


part&cula arranquen la cuenca de un arroyo esta dada por la formula ( ) !)

0"

t )L(,)!dv −= , donde v se

mide en metros por segundo, d es el diámetro de la part&cula en mil&metros y es la gravedadespec&fica de la part&cula. =alle la velocidad cr&tica que se necesita para empe+ar a mover un grano defeldespato que tiene una gravedad espec&fica de !,4 y un diámetro de - mm.

E+ $%s #0%$!"s =! 11. $ 1&>, 0!s#%+= v!0==!0% % -$s%6 (S3#%+9 53! '%=s $s v0i$!s0!#0!s!+'+ +"!0%s #%si'iv%s):

11.6 ( ) .+!.+ !)

! +=+ 1126 x4-4x !)

= 1176 ( )( ) "" !)

! =− 116 ( ) ""!

!)

=

−

11;6 ( )( ) )) )) −=− −− 1186 ( ) ( ) ))) )) =−− −− 116 )yx -!

-!

=−


1&


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PRACTICA Nº .: Productos notables y factorización

“#os o$os no sir%en de nada a un cerebro ciego”

&ro%erbio 'rabe

3ara comprender la utilidad de los productos notables es necesario definir el t2rmino polinomio yalgunas propiedades que involucran el uso de polinomios. ?n #%$i+%"i% es una expresión algebraica queconsta de más de un t2rmino tal es el caso de

c bxax- ++

Donde a, b y c son los coeficientes del polinomio, siendo c el t2rmino independiente, mientras que xes la variable y puede estar elevada a diferentes potencias. Oote que en el ejemplo anterior, el polinomio tiene- t2rminos, este tipo de polinomios se llaman '0i+%"i%s, los que tienen ! t2rminos i+%"i%s y los que tienen) solo termino "%+%"i%s.

6omo cualquier expresión matemática, los polinomios pueden restarse, sumarse, multiplicarse odividirse, sin embargo el caso de la multiplicación es el que permite definir los productos notables, pues sellaman #0%=3'%s +%'$!s a ciertos productos de polinomios que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección %sin reali+ar la multiplicación'. La multiplicación de polinomios se basa en reali+ar una simple propiedad distributiva tal como se muestra en el ejemplo a continuación

E!"#$% 1 %6aso de la multiplicación de un monomio por un trinomio' /ealice la multiplicación de')x-x%x! !- +−⋅

1l aplicar propiedad distributiva queda )x!x-x!xx!')x-x%x! --!-!- ⋅+⋅−⋅=+−⋅

1l sumar los exponentes de la misma base en cadauno de los t2rminos queda

-". x!x4x! +−

6omo no hay t2rminos semejantes la expresión resultante es la expresión más sencilla que se puedeobtener.

E!"#$% & %6aso de la multiplicación de dos trinomios' /ealice la multiplicación de( ) ')x"x%xxx! !!- −+⋅−−

1l aplicar propiedad distributiva, de cada terminoqueda

( ) ')x"x%xxx! !!- −+⋅−−

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ))xx"xxx

)xx"xxx

)x!x"x!xx!

!

!!!!

--!-

−⋅−⋅−⋅−−⋅−⋅−⋅−

−⋅⋅⋅

8bserve que cada fila representa la multiplicación de cada t2rmino en el primer trinomio por el delsegundo trinomio, esto para simplificar un poco los cálculos finales.


1.


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1l sumar los exponentes de la misma base en cadauno de los t2rminos, de cada fila, queda

xx"x

xx"x

x!x9x!

!-

!-"

-"

+−−+−−

−+

1l reali+ar la suma de los t2rminos semejantes se

tiene

xx"x

xx"x

x!x9x!

!-

!-"

-"

+−−+−−

−+

xx-x:x:x! !-" +−−+

De esta manera el polinomio resultante de lamultiplicación de ! trinomios resulta ser

xx-x:x:x! !-" +−−+

6on este procedimiento de multiplicación de polinomios se obtienen los productos notables que se presentan en la tabla a continuación, en esta tabla tambi2n se presentan algunas propiedades de factori+ación

H*0"3$ =! $%s #0%=3'%s +%'$!s

%i' ( ) !!! y!xyxyx ++=+

%ii' ( ) !!! yxy!xy*x +−=

%iii' ( ) ( ) !! yxyxyx −=−+

%iv' ( ) -!!-- y-xyy-xxyx +++=+

%v' ( ) -!!-- y-xyy-xxy*x −+−=

%vi' ( ) --!! yxyxyxyx +=+−+

%vii' ( ) --!! yxyxyxy*x −=++

H*0"3$s =! H'%0ii*+

%i' 6uadrado de una suma

( ) !!! yxy!xyx +=++

%ii' 6uadrado de una diferencia

( )!!! y*xy!xyx =+−

%iii' Diferencia de dos cuadrados

( ) ( )yxyxyx !! −+=−

%iv' $uma de dos cubos

( ) ( )!!-- yxyxyxyx

+−+=+%v' Diferencia de dos cubos

( ) ( )!!-- yxyxy*xyx ++=−

#s importante recordar que la factori+ación de polinomios no es más que la operación inversa de los productos notables, que consiste en conocer los factores que multiplicados producen el polinomio original.#ste procedimiento es muy útil al simplificar expresiones que involucran polinomios, por ejemplo

E!"#$% .: $implifique la expresión!!

--

sr

sr

−−

#n primer lugar se observa que el numerador es una diferencia de cubos cuyafactori+ación ser&a la determinada por la propiedad %v' de lafactori+ación y queda

( ) ( )!!-- srsr s*r sr ++=−


12


15/18


De igual manera, el denominador es un diferencia de cuadrados y se puedeescribir según la propiedad %iii' como

( ) ( )sr sr sr !! −+=−

1l sustituir estas expresiones equivalentes en la expresión original quedaque

( )( )( ) ( )sr sr

srsr sr

sr

sr !!

!!

--

−+++−

=−−

6omo se tiene una multiplicación de t2rminos semejantes, en este caso( )sr − en el numerador y el denominador simultáneamente, se puedensimplificar y queda

(( )sr

srsr !!

+++

$in embargo es importante observar que este último paso es verdadero, cuando r y s pertenecen a los reales yel valor de r sea diferente al valor de s, pues si esto ocurre r P s seria igual a cero y recuerde que ladivisión entre cero no existe.

E!"#$% 2: 5actorice el polinomio -!!- b baaba −+−

#n primer, observe que el polinomio pareciera no cumplir conninguna propiedad de factori+ación, sin embargo,agrupemos los t2rminos que se encuentran elevados alcubo y luego los otros dos

( ) ( )!!-- ab ba ba −+−

8bserve que al agrupar los t2rminos elevados al cubo se puedeemplear la propiedad %v' y en el otro t2rmino agrupado se puede sacar como factor común ab quedando la expresióncomo

( ) ( )( ) ( ) ( ) baab baba ba

ab ba ba

!!

!!--

−+++−

−+−

8bserve que ahora se puede sacar nuevamente factor común( ) ba − de los dos t2rminos del polinomio y queda

( ) ( ) ab baba ba !! +++−

#liminando ahora el par2ntesis y agrupando t2rminos

semejantes queda

( )

( )[ ]!!!!

bab!a ba

ab baba ba

++−

+++−

8bservando detalladamente el resultado, se nota que elt2rmino entre corchetes es el cuadrado de una suma por loque aplicando la propiedad %i' de la factori+ación en eset2rmino, la factori+ación de la expresión originalfinalmente queda

( ) ( ) ! ba ba +−

P0 =is3si*+ !+ G03#%

C3odr&a ?d hallar otra forma de agrupar los t2rminos de la expresión original, para establecer lafactori+ación de la misma 8 C#xistirá algún otro procedimiento que permita reali+ar esta factori+ación


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E+ $%s #0%$!"s =!$ 1 $ 7 $$! !$ v$%0 =!$ #%$i+%"i% #0: () -x −= , ()!

)x = () (x = 6

16 4xx! +− &6 !"-xx! ! −+ .6 )xxxx !-" +−+−

26 ( ) ( ))x)x ! ++− 76 (.!(.x(.)x! +−

E+ $%s #0%$!"s =!$ $ 1>, =!'!0"i+! si $ !4#0!si*+ $9!0i !s 3+ #%$i+%"i%6 Si $% !s,i+=i53! s3 90=% s3 %!-ii!+'! #0i+i#$:

6 9x- + :6 "r − 86 :.!-."x).:x(.x -)( −+−

6 ( ))9"+++ -! +−

E+ $%s #0%$!"s =!$ 11 $ 18, !!3'! $ %#!0i*+ i+=i= !4#0!s! s3 0!s3$'=% %"% 3+

#%$i+%"i% !+ -%0" !s'+=0:116 ) ))!x-xx:"xx-x !-! ++−−+− 1&6 ( ) 4vv"!v ! −+

1.6 ))0t!tt-4t"tt- !-!! +−+−+−+− 126 !x"x-x)!xx !"! +−−−+

176 4.+-)4+"+- 4):+-4+.+! 16 ) )!"! JJ)JJ −+−

1;6 yy"!yy !! +−−+ 186 ):+!+-"++ -- +−−+

E+ $%s #0%$!"s =!$ 1< $ &2, 0!$i! $s %#!0i%+!s i+=i=s 0!=3 'J0"i+%s s!"!+'!s:

16 !! -yxyxyx −+−&16

-

!!

!rs

9rs!rs.s −

&&6 -!!--

q p

q"pq:p −&.6 ( )

!!

-9!!!!

y"x

y9xy!xy"x +− &26abc

abcc!abc b-a !!!! +−

E+ $%s #0%$!"s =!$ &7 $ 71, =!s00%$$! !$ #0%=3'% i+=i=%:

&76 ( ) ( )!x)x +− &6 ( ) ( )-x."x +− &;6 ( )( ):r )!r -- −+&86 v-v !! −+ &


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2.6 ( ) ( )!y0y9)y0 +−+ 226 ( )!-! xxx ++ 276 ( ) ( )yx!yx! −−+−

26 !! y!.xy.xy.x 2;6 ( )--! xxx ++ 286 ( ( )yx)yx −++−

26 yxyxyx 716

+

− -

)-!

-)

-!

xxxx

E+ $%s #0%$!"s 7& $ 7;, =!i= si $ #0%#%sii*+ !s v!0==!0 % -$s 3s'i-i53! s3 =!isi*+:7&6 ( ) )t)t !! +=+7.6 #l grado del polinomio !" x-xx +− es ".726 #l coeficiente principal de "y!y 9- +− es P).776 La expresión ;!r -r )" +− es un polinomio en la variable r.76 ( ) :"t!t:t!t-t"t --- ===++−+7;6 #l valor de )-++" +− cuando !+ = es !- −

R!s3!$v $%s #0%$!"s 78 7


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886 9:xx -4 −+ 8

programa samuel robinson fase i matematica

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