prof. ricardo mota henriques e-mail: ricardo ... é feito após o cálculo das reatâncias indutiva...

Graduação em Engenharia Civil

ELETROTÉCNICA (ENE078)

PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES E-mail: [email protected]

Aula Número: 21

UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA

Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 21 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES

2

¾ Em um circuito resistivo puro, os fasores de tensão e de corrente estão em fase.

Retomando da aula passada...

ComportamentotipicomterupoefasorialVtt)=Vseu(wt)→VL°

t.tt#Iseu(wt)-ILvvttI=VsenCwt+ot~h

)•

t.tt#sencwt+oiFVFE

f


3

¾ Nos circuitos indutivos puros, a corrente está 90 graus atrasada da tensão, ou a tensão está 90 graus adiantada da corrente. j (phi) é a letra grega que designa o ângulo de defasagem entre os fasores.


Compatamentotipiconotempoebasaial

vµ=vsen(wt)=vLffyttktsencwt.

SOHI-6

vtt7=Vseu(wt+go9=VG°

ittttseulwt

)=IL0°


4

¾ Nos circuitos capacitivos puros, a corrente está 90 graus adiantada da tensão, ou a tensão está 90 graus atrasada da corrente.

¾ Como j (phi) representa a defasagem entre os fasores, não é conveniente atribuir-lhe sinal graficamente.

Retomando da aula passada... Comportamentotipicomtevupoefasorial

aIt

VLOEIEO VEE

vttkvseuwt . gotill )=Itu( wt )

vtttvsenlwtlitt )=Isenwt+go9



5

USO DOS NÚMEROS COMPLEXOS EM ELETRICIDADE

¾ A parte real dos números complexos é associada às resistências e à potência ativa. Às reatâncias e à potência reativa se atribui a parte imaginária dos números complexos.

¾ Uma reatância indutiva é designada por +jXL. Por ter efeito oposto ao da reatância indutiva, a reatância capacitiva é designada por –jXC.

¾ A resistência elétrica sempre será um número real e positivo.

¾ A potência ativa é um número real e sempre positivo.


Uso dos complexos em circuitos CA

6

¾ A potência reativa é imaginária e positiva, designada por +jQ, se a reatância que lhe deu origem for indutiva; é imaginária e negativa, designada por –jQ, se a reatância for capacitiva.

¾ O ângulo de defasagem entre a corrente e a tensão da fonte é designado por letras gregas como j ou θ.

¾ Multiplicar um fasor por j é o mesmo que fazê-lo girar adiantando-se 90 graus em relação ao ângulo de origem; multiplicar um fasor por –j atrasa-o 90º de sua posição original.

ATENGAO



7

CIRCUITOS SÉRIE EM CORRENTE ALTERNADA

¾ Em um circuito de corrente alternada que contém um resistor, um indutor e um capacitor em série, o estudo é feito após o cálculo das reatâncias indutiva e capacitiva: Let : caracteristicasgeraisoivariaeaodeitttevtt )

Xcexcicaracteristicastsptcificniailtlevtt ) SENOIDAIS

XL=wL e X 'c=1/wC '

→w=2!Tf( r ) ( r ) : ZR

-atengao

'

atnesenga

FONTE (H ) ( r ) :£ L

dotSENOIDAL → GMt

(F) ( r )


8

¾ As propriedades básicas de um circuito série não sofrem modificações, quando estão presentes resistores, indutores e capacitores. Contudo, é necessário utilizar números complexos para considerar o comportamento particular de cada um destes elementos no circuito de corrente alternada.

¾ Uma vez calculadas as reatâncias, a impedância do circuito terá sempre a forma:

Z = R + jXL – jXC ¾ A impedância representa a oposição total causada

pelos 3 elementos a corrente alternada!



9

¾ O módulo e o argumento (fase) da impedância Z são obtidos fazendo-se, respectivamente:

¾ 𝑍 = 𝑅2 + (𝑋𝐿 − 𝑋𝐶)2

¾ A representação gráfica da impedância resulta no triângulo da impedância:



10

em que: R = |Z| · cos j X = |Z| · sen j sendo X = XL – XC . O argumento da impedância do circuito série coincide

com o ângulo de defasagem j.


2=12-14


11

¾ A corrente que flui no circuito, fornecida pela fonte, é a mesma em qualquer um de seus elementos:

𝐼 = 𝐼 𝑅 = 𝐼 𝐿 = 𝐼 𝐶

¾ Esta corrente é obtida através da Lei de Ohm:


= th£14


12

¾ As tensões individuais são obtidas pela Lei de Ohm:

¾ A soma fasorial das tensões individuais resultará na tensão aplicada pela fonte:

¾ Sendo nulo o efeito de qualquer elemento R, L ou C no circuito, retira-se das equações o termo correspondente.


"

Vg=-jXeIjpY⇐R%E

k.LI#DVnXuL90xItColocandoinaconeutenarefincia

Vic referenda ...



13

CIRCUITOS CA COM COMPONENTES EM PARALELO

¾ As propriedades são as seguintes:

� cada elemento em paralelo fica submetido à mesma tensão da fonte:

R JXL jkc '



14

• determinadas as reatâncias, as correntes individuais são obtidas pela Lei de Ohm:

� a corrente total fornecida pela fonte é igual à soma fasorial das correntes individuais:

Vamoselesenhar

Osfasorescolocaudo Ic

jfontenarlflinaiaIn

VIntt=Vr=Vl=Vc=VL°.

anteIR=? In?Ic= ? . . .

Itotae=IRtIL+Ic

→.



15

• a impedância do circuito pode ser calculada de dois modos: - pela Lei de Ohm:

- resolvendo a equação dos inversos:

� se o efeito de um elemento qualquer for desprezível, retira-se das equações o termo correspondente.

to-

noa XIGD



16

FATOR DE POTÊNCIA ¾ É o co-seno do ângulo de defasagem j entre a corrente

e a tensão da fonte:

¾ O fator de potência pode ser expresso em número decimal (o resultado da extração do co-seno) ou em porcentagem (multiplicando o resultado do co-seno por 100).

¾ Para um circuito resistivo, j = 0º e fp = 1 ¾ Para um circuito indutivo, j = -90º e fp = 0 atrasado ¾ Para um circuito capacitivo, j = 90º e fp = 0 atrasado

mmmnadiantado


Uso dos complexos em circuitos CA • Resistor

9 A corrente que flui no elemento e a tensão nos seus terminais estão em fase

17

0=00 ⇒fp=Ws( 09=1


Uso dos complexos em circuitos CA • Indutor

9 A tensão entre os seus terminais está adiantada em 90 em relação à corrente que flui nos seus terminais

18

0=90 =) fp = cos 1900 ) =Datrasado ( a content

vein depot 's )


Uso dos complexos em circuitos CA • Capacitor

9 A corrente está adiantada em 90 em relação à tensão nos seus terminais

19

.

0=90 =) fp = cos 190° ) = �1�adiantado ( a content

vein antes )


Uso dos complexos em circuitos CA • Indutor

9 XL reatância indutiva []

• Capacitor 9 XC reatância capacitiva []

• Relação entre os valores de pico ou eficazes de tensão e corrente

LX L

1CX

C

2 2m m

m m ef efV IV XI X V XI

20

( modulo )Resumosobreas

REATAINUAS

( modulo )}

→jXL=2w.

-jxo=Iolmddu :

ttensaoecouentesobreindutousecapaaitousda'=Y¥=× )


Aula anterior • Fasores

9 Representação de uma senóide por meio de um número complexo

• Para soma de senóides como g(t), podemos utilizar a álgebra de números complexos sob os fasores G 9 A álgebra de fasores só pode ser aplicada a formas de onda

senoidais de mesma frequência!!!

sinm mg t A t G A

21

R

BmBmhR=Beficaz

¥:*.net?E?hxaya*gw¥

2


Fasores • Por convenção, o módulo será representado pelo valor eficaz da

onda senoidal, e não pelo seu valor de pico 9 Cálculo de potência ativa, reativa e aparente

• Exemplo:

sin2m

mAg t A t G A

69,669,6sin 72 72 49,21 722

4545cos 45sin 90 90 31,82 902

g t t G

g t t t G

22


Fasores • Exemplo:

9 Supondo a frequência de 60 [Hz]:

• Fasores são grandezas que variam no tempo 9 Números complexos utilizados para representação de senóides de mesma frequência (a

posição angular relativa entre os fasores é a informação fundamental; a oscilação só é importante quando se quer reconstruir a senóide ao longo do tempo)

10 30 10 2 sin 2 60 30

14,4sin 377 30

G g t tg t t

-Valor

eficaValor de pi co

- Valor de piw


Impedância • Característica de um circuito geral que relaciona os fasores de

diferença de potencial entre os terminais e a corrente que flui no circuito 9 Z magnitude da impedância [] 9 diferença angular entre a tensão e a corrente [rad] ou [] 9 R componente real da impedância [] 9 X componente imaginária da impedância []

• Número complexo, não um fasor!

vv i

i

VVZ Z Z R jXI I

24


Impedância • Resistor:

9 Pela lei de Ohm,

sin 0 02

sin

sin 0 0 02 2

0 0 0 00

0 0

mm

m

m mm

Ve t V t V V

Ve t Ri t i t tRI V Vi t I t I

RRV V RZ V RI V R V

Z R R j

25

( esta'

na referenda)


Impedância • Resistor:

9 A impedância de um resistor apresenta somente parte real

� Tensão e corrente em fase

0 0Z R R j

26

TM A

estananefeincia )

is ,Zia

°RI


Impedância • Indutor:

9 Pela lei de Faraday,

sin 0 02

sin 2 2 22

2 2 0 20

2 0

mm

mm

L

L L

Ii t I t I I

dv t L i tdt

LIv t LI t V LI

V LIZ L XI I

Z X jX

27

( a coneutena referenda)


Impedância • Indutor:

9 A impedância de um indutor inclui somente a parte imaginária

� = / 2 � Tensão adiantada em 90 em relação à corrente � Corrente atrasada em 90 em relação à tensão

2 0L LZ X jX

28

Tm B

Vitullo£L=+jXL=XuL9°

. I=lI1llon


Impedância • Capacitor

9 Da relação entre tensão e corrente em um capacitor

sin 0 02

sin 2 2 22

0 1 0 2 22

2 0

mm

mm

C

C C

Vv t V t V V

di t C v tdt

CVi t CV t I CV

V VZ XI CV C

Z X jX

29

lteusoo na referenda)


Impedância • Capacitor

9 A impedância de um capacitor inclui somente a parte imaginária

� = - / 2 � Tensão atrasada em 90 em relação à corrente � Corrente adiantada em 90 em relação à tensão

2 0C CZ X jX

30

Tm B

I#90 >V=1V1leon. :c=-jk=xc

-60


Impedância • Exemplos:

9 Calcule a corrente i(t) Utilizando álgebra de fasores,

100100sin 0 70,71 02

70,71 0 14,14 00 5 0

14,14 2 sin 20sin

v t t V V

V VI AZ R

i t t t A

31



9 Calcule a corrente i(t) Utilizando álgebra de fasores,

2424sin 0 16,968 02

16,968 0 5,656 22 3 2

5,656 2 sin 2 8sin 2L

v t t V V

V VI AZ X

i t t t A

32



9 Calcule a corrente i(t)

Utilizando álgebra de fasores,

1515sin 0 10,605 02

10,605 0 5,303 22 2 2

5,303 2 sin 2 7,5sin 2C

v t t V V

V VI AZ X

i t t t A

33


Impedância • Impedâncias em série

9 Impedância equivalente Zeq

9 Exemplo:

1 2 NZ Z Z Z

1 2 0 900 0

3 4 5 53,13

eq L

eq L

eq

Z Z Z R XZ R j jXZ j

34


Impedância • O conceito de impedância em conjunto com a álgebra fasorial

torna a análise de circuitos AC semelhante à análise de circuitos DC

• Exemplo: Considere que o circuito do exemplo anterior seja conectado à seguinte fonte de tensão alternada:

141,4 0 100 0

2E V

35


Impedância • Exemplo:

A corrente que flui no circuito é dada por:

100 0 20 53,135 53,13

20 2 sin 53,13eq

EI AZ

i t t A

36



A queda de tensão em cada elemento pode ser obtida:

3 0 20 53,13 60 53,13 36 48

60 2 sin 53,13

4 90 20 53,13 80 36,87 64 48

80 2 sin 36,87

R R

R

L L

L

V Z I j V

v t t VV Z I j V

v t t V

37



Para validação dos resultados, lei de Kirchhoff para as tensões

pode ser aplicada:

0 100 0 60 53,13 80 36,87 0

100 0 36 48 64 48 0R LE V Vj j j

38



Em notação fasorial,

7,07 53,13 5 53,132

I A

39



A impedância equivalente do circuito é dada por: Logo, a diferença de potencial entre os terminais da fonte é dada

por:

1 2 6 0 8 90 6 8 10 53,13eqZ Z Z j

10 53,13 5 53,13 50 0

50 2 sineqE Z I V

e t t V40



A queda de tensão em cada elemento pode ser obtida:

6 0 5 53,13 30 53,13 18 24

30 2 sin 53,13

8 90 5 53,13 40 36,87 32 24

40 2 sin 36,87

R R

R

C C

C

V Z I j V

v t t VV Z I j V

v t t V

41



Os resultados podem ser verificados pela lei de Kirchhoff para as

tensões:

050 0 30 53,13 40 36,87 050 18 24 32 24 0

R CE V V

j j

42


Impedância • Impedâncias em paralelo

9 Condutância � Recíproco da resistência Siemens [S]

9 Susceptância � Recíproco da reatância Siemens [S]

1GR

1BX

43



9 Admitância � Recíproco da impedância Siemens [S]

9 Admitância equivalente de circuitos em paralelo:

9 Logo, a impedância equivalente é dada por:

1YZ

1 2eq NY Y Y Y

1 2

1 1 1 1eq NZ Z Z Z

44



9 Exemplo:

1 1 0,2 0 0,2 05 0

1 1 0,125 90 0 0,1258 90

1 1 0,050 90 0 0,05020 90

RR

LL

CC

Y j SZ

Y j SZ

Y j SZ

45



9 Exemplo:

Logo, a impedância equivalente vale:

0,2 0 0,125 90 0,050 90

0,2 0 0 0,125 0 0,050 0,2 0,075

0,2136 20,56

eq R L C

eq

eq

Y Y Y YY j j j j SY S

1 1 4,68 20,56 4,382 1,6440,2136 20,56eq

eqZ j

Y

46



9 Analogamente aos circuitos em série, as técnicas utilizadas para análise de circuitos DC podem ser utilizadas para análise de circuitos AC em paralelo

9 Exemplo: Se o circuito do exemplo anterior for conectado a uma fonte de tensão alternada:

Em notação fasorial,

141,4sine t t

141,4 0 100 02

E V

47




A corrente entregue pela fonte é dada por:

141,4sine t t

100 0 21,36 20,564,68 20,56eq

EI AZ

48

→

: tin HEt.to± ~ In§2iT£c




A corrente fluindo em cada elemento pode ser obtida:

141,4sine t t

100 0 20 05 0

100 0 12,5 908 90100 0 5 90

20 90

RR

LL

CC

EI AZEI AZEI AZ

49

→

: tin HEt.to± ~ In§2iT£o




O resultado pode ser validado através da aplicação da lei de Kirchhoff

para as correntes:

141,4sine t t

21,36 20,56 20 0 12,5 90 5 9020 7,5 20 12,5 520 7,5 20 7,5

R L CI I I I

j j jj j

50

→

: tin HEt.to± ~ In§2iT£c


Análise de Circuitos CA • A representação fasorial permite que sejam aplicados os métodos

de análise de circuitos CC para análise de circuitos CA 9 Análise das correntes nos ramos 9 Método das malhas 9 Método dos nós

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Circuitos em Corrente Alternada

• Alguma dúvida? 9 E-mail: [email protected] 9 Sala: 4273, ao lado do R.U. 9 Horário preferencial: 2ª e 4ª Feira à tarde antes da aula

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prof. ricardo mota henriques e-mail: ricardo ... é feito após o cálculo das reatâncias indutiva...

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