Números primos

Prof. Paulo Penha

Números Primos

.

Existem números que

sejam mais importantes

que outros?

Eu posso formar

qualquer

número natural.

1 + 1 = 2

1 + 1 + 1 = 3

1 + 1 + 1 + 1 = 4

E assim vai toda

vida...

BASTA ME

ADICIONAR.

Que número você vai formar?

Legal número 1!

Mas, e se usarmos a

multiplicação?

1 . 1 = 1

1 . 1 . 1 = 1

Não formo mais

nenhum!

Fico na mesma!

Daí

complicou!!!

Então na multiplicação, quais são os números

que formam os demais?

Números que formam outros pela multiplicação

1) Que números formam o número 210, com a multiplicação?

O número 6 pode ser escrito com os fatores 2 e 3.

E os números 2, 3, 5 e 7 podem ser formados por outros?

O número 35 pode ser escrito com os fatores 5 e 7.

𝟐𝟏𝟎 = 𝟔 ∙ 𝟑𝟓

𝟐𝟏𝟎 = 𝟐 ∙ 𝟑 ∙ 𝟓 ∙ 7

Números que formam outros pela multiplicação

2) Que números formam o número 60, com a multiplicação?

O número 4 pode ser escrito com o fator 2. Ou seja, 4 = 2 . 2

E os números 2, 3 e 5 podem ser formados por outros?

O número 15 pode ser escrito com os fatores 3 e 5.

𝟔𝟎 = 𝟒 ∙ 𝟏𝟓

𝟔𝟎 = 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟑 ∙ 5𝟔𝟎 = 𝟐𝟐 ∙ 𝟑 ∙ 5

Primos: os primeiros!

Alguns números formam outros por

multiplicação. Esses números

formadores dos demais ganharam o

nome de números primos.

Primo quer dizer primeiro.

Considerando a multiplicação, os antigos gregos perceberamque os números primos eram os primeiros em importância.

Primos: os primeiros!

Os números primos não podem

ser escritos como produtos de

outros números.

Lembrando o que já vimos:

𝟐𝟏𝟎 = 𝟐 ∙ 𝟑 ∙ 𝟓 ∙ 7

Os números 2, 3, 5 e 7 não podem ser escritos comoprodutos de outros números.

𝟐 = 𝟏 ∙ 𝟐

𝟑 = 𝟏 ∙ 𝟑

𝟓 = 𝟏 ∙ 𝟓

𝟕 = 𝟏 ∙ 𝟕

Primos e compostos

Os números primos possuem apenas dois divisores oufatores: 1 e o próprio número.

Divisores de 6

1, 2, 3 e 6.

6 = 1 . 6

6 = 2 . 3

Os números que possuem mais de

dois divisores são chamados de

números compostos.

Divisores de 10

1, 2, 5 e 10.

10 = 1 . 10

10 = 2 . 5

Divisores de 15

1, 3, 5 e 15.

15 = 1 . 15

15 = 3 . 5

Divisores de 24

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.

24 = 1 . 24

24 = 2 . 12

24 = 3 . 8

24 = 4 . 6

Os números zero e 1 não são

nem primos e nem compostos.

E eu?

Números Primos: Crivo de Eratóstenes

É um dispositivo prático que permite determinar osnúmeros primos numa sequência de valores.

Vamos considerar os números naturais até 50.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Números primos menores que 50:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47.

Como saber se um número é primo?

Para sabermos se um número é primo, basta dividi-losucessivamente pelos números primos menores que ele, atéque o quociente seja menor ou igual ao divisor.

Se nenhuma das divisões for exata, então o número é primo.

Exemplos:

a) 253 é primo?

É divisível por 2?

Não, pois é ímpar.

É divisível por 3?

Não, pois a soma de seusalgarismos é igual a 10, que nãoé divisível por 3.

É divisível por 5?

Não, pois não termina em 0 ou 5.

É divisível por 7?

Não, a divisão não é

exata.

É divisível por 11?

253 = 11 x 23

Logo, 253 é número composto.

2 5 3 7

4 3 3 6

1

2 5 3 11

3 3 2 3

0

Como saber se um número é primo?

b) 163 é primo?

É divisível por 2?

Não, pois é ímpar.

É divisível por 3?

Não, pois a soma de seusalgarismos é igual a 10, que nãoé divisível por 3.

É divisível por 5?

Não, pois não termina em 0 ou 5.

É divisível por 7?

Não, a divisão não é

exata. 23 > 7 continua.

É divisível por 11?

Não, a divisão não é

exata. 14 > 11 continua.

É divisível por 13?

Não, a divisão não é

exata.

Mas como 12 < 13, podemosafirmar que 163 é número primo.

1 6 3 7

2 3 2 3

2

1 6 3 11

5 3 1 4

9

1 6 3 13

3 3 1 2

7

Decomposição em fatores primos

Decompor um número natural em fatores primos significa escrevê-lo naforma de multiplicação de primos.

24 = 2 . 12 24 = 2 . 2 . 6 24 = 2 . 2 . 2 . 3

75 = 3 . 25 75 = 3 . 5 . 5

120 = 2 . 60 120 = 2 . 2 . 30 120 = 2 . 2 . 2 . 15 120 = 2 . 2 . 2 . 3 . 5

Para facilitar o processo de decomposição em fatores primos há umprocesso prático.

24 = 23 . 3

75 = 3 . 52

120 = 23 . 3 . 5

Decomposição em fatores primosProcesso prático – Decompor 140, como exemplo.

1 4 0Escreva o número e, ao lado dele, uma reta vertical à direita

1 4 0 2

7 0

Divida pelo primeiro número primo (2). O resultado da divisão escreve embaixo do 140.

1 4 0 2

7 0 2

3 5

Continue dividindo por 2, enquanto for possível.

1 4 0 2

7 0 2

3 5 5

7

Quando não for mais possível dividir por 2, vá para o próximo número primo que seja possível a divisão. Nesse caso é o 5.

1 4 0 2

7 0 2

3 5 5

7 7

1

Agora só é possível por 7, pois é um número primo.

Quando obtemos resultado 1, finalizamos a decomposição.

Agora escrevemos o número na forma demultiplicação de fatores primos:

140 = 22 . 5 . 7

Decomposição em fatores primosProcesso prático – Outros exemplos

162 = 2 . 34 120 = 23 . 3 . 5 145 = 5 . 29

162

81

27

9

3

1

3

3

3

3

2 120

60

30

15

5

1

5

3

2

2

2 145

29

1

29

5

Exercícios1) Decomponha os números abaixo em fatores primos:

32 = 75 = 40 = 120 = 500 = 24 =

2) Qual número está representado em cada decomposição abaixo:

a) 2 . 3 . 7 . 11 =

b) 23 . 32 =

c) 2 . 11 . 13 =

d) 3 . 53 =

e) 11 . 17 =

f) 25 . 23 =

32 245001204075

ATÉ MAIS!

Referências Inspiradoras:

IMENES, L.M. Matemática

Hoje é feita assim, Antônio José Lopes (Bigode).

Matemática: Projeto Araribá, Editora Moderna.