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MATEMÁTICA

MATEMÁTICA

MATEMÁTICA

Prof. José dos Santos MoreiraProf. José dos Santos Moreira

ÍNDICE

Porcentagem .................................................................................................................... 5

Juros Simples .................................................................................................................. 10Capitalização Simples

Juros Compostos ............................................................................................................. 16Capitalização Composta

Taxas de Juros ................................................................................................................. 19Nominal, efetiva, eqüivalentes, proporcionais, real e aparente

Descontos ......................................................................................................................... 30

Rendas Uniformes e Variáveis ........................................................................................ 47

Taxas de Retorno ............................................................................................................ 56

Cálculo Financeiro ........................................................................................................ 58Custo Real, Efetivo de Operações de Financiamento, Empréstimo e Investimento

Planos ou Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos ..................... 61

Resumo de Rendas .......................................................................................................... 77

Tabelas Finaceiras .......................................................................................................... 84

5Prof. José dos Santos Moreira

Matemática

PORCENTAGEM

É a razão entre um determinado número e100.

EXEMPLO 1

25% significa 25 em cada 100.Na forma fracionária : 25/100 que simplifi-

cando dá 1/4 e 1/4 na forma decimal é 0,25.Assim, saiba que:

EXEMPLO 2

A) Passe para a forma decimal e fracionária:

1) 30% 3) 45%2) 80% 4) 5%

B) Passe para a forma percentual e fracionária:

1) 0,4 4) 0,022) 0,65 5) 0,0153) 0,125 6) 0,75

EXEMPLO 3

Em uma mistura, colocamos 4 partes de areiae 1 parte de cimento. Podemos dizer que a propor-ção de cimento da mistura á de:Uma parte sobre um total de cinco partes damistura ou seja, 1/5.

E na forma PERCENTUAL, a percentagemde cimento na mistura é 1/5 = 20/100 ou 20%.

Podemos também afirmar que a porcenta-gem da areia é ......................................... .

EXEMPLO 4Qual o percentual do bolo que corresponde a x ?

Bolo 1 Bolo 2

Problemas a serem resolvidos mentalmente

São aqueles que envolvem 10%, 25%, 50%,etc...

Determine:A) Os 10% de 850 47 12,5 (tira um zero oucorre a virgula e casa para a esquerda).B) Os 50% de 500 2 (metade).C) Os 25% de 200 (quarta parte)D) Os 5% de 540 (calculamos os 10% e dividi-mos por 2)E) Os 75% de 240 (calculamos a 1/4 parte emultiplicamos por 3)

PORCENTAGEM QUALQUER

Fazemos uma regra de três direta ou pas-samos da forma fracionária para a forma decimal edaí para a porcentagem e vice-versa.

EXEMPLO 1

De 70 tiros dados por um caçador , 42 atin-giram o alvo. Qual a porcentagem do acerto?

SOLUÇÃO:42 = 0,6 = 60%70

ou70 ______ 100%

42 ______ x

PERCENTAGEM50%25%75%20%10%

FRACIONARIA50/100 = 1/225/100 = 1/475/100 = 3/420/100 = 1/510/100 = 1/10

DECIMAL0,50,250,750,20,1

1/4

x1/6

1/3

1/8 x

21%

20%35%

6 Prof. José dos Santos Moreira

Matemática

EXEMPLO 2Determinar 7% de 250.250 ______100% x = 7 x 250 = 17,5

x ______ 7% 100

REGRA DO BALCONISTA(Todo o bom vendedor SABE!)

É aquela que com uma única conta chegadiretamente ao novo número.

ACRÉSCIMO (Direto)

100 + it it = percentagem de acréscimo 100 ou desconto

20% sobre X 100% sobre P 5% sobre X100 + 20 = 1,2 100 + 100 = 2 100 + 5 = 1,05 100 100 100

1,2 X 2 P 1,05 X

Número que multiplica X é maior que 1 =Acréscimo sobre X

DESCONTO (Direto)

100 - it 10% sobre X 100 - 10 = 0,9 100 100

Multiplicar por 0,9 equivale a um desconto de10%

40% sobre N 92% sobre K

100 - 40 = 0,6 100 - 92 = 0,08 100 100

0,6 N 0,08 K

Número que multiplica X é menor que 1 = Des-conto sobre X

Exemplo 1Um círculo A tem área 1,25 vezes maior que

um círculo B. Podemos dizer que o círculo A é 25%maior que o círculo B.

CUIDADO: o círculo B não é 25% menor queo círculo A !

Veja: A proporção éCÍRCULO A = 125 = 1,25

CÍRCULO B 100

Círculo A é 1,25 vezes B, o acréscimo é de25% sobre B ou 25% maior que B.

Mas CÍRCULO B = 100 = 0,8 CÍRCULO A 125

O círculo B é 0,8 vezes o círculo A. Portantoo tamanho do círculo B é o tamanho do círculo Adescontado de 20%. B é 20% menor do que A.

Exemplo 2Um preço P sofre um desconto de 22%. Pode-mos dizer que o novo preço é:a) 78Pb) 122Pc) P - 22d) 0,22Pe) 0,78P

Exemplo 3Se um número x é multiplicado por 1,3 e umnúmero y é multiplicado por 0,6 podemos afirmarque:

x sofreu um acréscimo de 30%y sofreu um desconto de 40%Confira pela Regra do Balconista.

AtençãoAcréscimo de 100% Þ o valor fica 2 vezesmaior.

Acréscimo de 200% Þ o valor fica 3 vezesmaior.

Acréscimo de 300% Þ o valor fica 4 vezesmaior.


Matemática

PORCENTAGEM

01. Identifique a porcentagem de acréscimo ou des-conto sobre x:a) 1,12.x = b) 0,74.x =c) 1,08.x = d) 0,08.x =e) 1,005.x = f) 0,85.x =g) 1,4.x = h) 0,6.x =

02. 20% elevado ao quadrado é igual a:a) 40% b) 400%c) 4% d) 0,4%

03. Um quadrado de lado l, tem área A. Se aumen-tarmos de 20% o comprimento do lado l, sua áreapassará a ser:a) 20A b) 1,2A c) 400Ad) 4A e) 1,44A

04. Um quadrado de lado l tem área A. Se aumentar-mos 10% o comprimento de cada lado, a novaárea aumentará:a) 40% b) 20% c) 21%d) 10% e) 100%

05.Qual o número que diminuído de seus 40% vale720?

06. Qual a quantia que aumentada de 20% produz480?

07. Aproveitando uma promoção que concedia 27%de desconto para o pagamento à vista de umproduto, paguei $ 5986. Qual o preço original?

08.Sobre uma fatura de $ 5800, se concede o abati-mento de $ 145. Qual a porcentagem do abati-mento?

09.Uma fatura sofreu um abatimento de 5% e produ-ziu o líquido de $ 25.555. De quanto era a fatura?

10. Em uma firma 25% são contratados e os 180funcionários restantes são efetivos. Qual o totalde funcionários da firma?

11. Misturam-se 30 litros de álcool com 20 litros degasolina. Qual a porcentagem de gasolina namistura?

12. De um total de 60 questões, Carlos acertou 42.Qual a porcentagem de erro?

13. Um operário A reboca 12m2 e seu serviço é 1/4 maiordo que seu colega B. Quanto reboca B?a) 16 m2 b) 15 m2 c) 8 m2

d) 9 m2 e) 9,6 m2

14. Um operário A constrói 12 m2 de muro e seucolega B constrói 1/4 a menos do que A. Quantoconstrói B?a) 3/4 m2 b) 9 m2 c) 8 m2 d) 9,6 m2

15. Se o salário de Pedro é 3/4 do salário de João,podemos afirmar que:a) O salário de João é 25% maior que o de Pedro.b) O salário de João é 75% maior que o de Pedro.c) O salário de Pedro é 75% maior que o de João.d) O salário de João é 33 1 3 % maior que o de

Pedro.e) O salário de João é 1/4 maior que o de Pedro.

16. Se a razão entre o valor bruto e líquido de certosalário é de 6/5. O valor descontado representaque fração do salário líquido?a) 1/5 b) 1/6 c) 2/5 d) 2/6 e) 5/6

17. A razão entre o salário líquido e bruto do Dr.Carlos é 5/8. O valor descontado representa quefração do salário líquido?a) 3/8 b) 1/4 c) 2/5 d) 3/5 e) 1/3

18. Três operários tem seus salários relacionados daseguinte forma:A ganha 20% a mais que B e C ganha 30% amais do que A. Se juntos ganham $ 13.912, osalário de A, B e C é respectivamente:a) $3760 , $4512 , $5865,60b) $4512 , $3760 , $5865,60c) $3700 , $4440 , $5772d) $4440 , $3700 , $5772e) $3600 , $3000 , $4680

19. Quatro operários tem seus salários relacionadosda seguinte forma: Carlos ganha 12% a mais queJoão. Antônio ganha 20% a mais que Carlos ePaulo ganha 10% a menos que Carlos. Se juntosganham $ 22.360, qual o salário de cada um?

20. Ao afirmarmos que um produto A é 25% maiscaro que um produto B, podemos afirmar:a) B é 25% mais barato que A.b) B é 1/4 mais barato que A.c) A é 1/5 mais caro que B.d) B é 20% mais barato que A.e) A é 20% mais caro que B.


Matemática

21. Uma mercadoria é majorada em 40%. Umcliente, alegando ter vindo no dia anterior, ébeneficiado com um desconto de 30% sobre onovo preço. Então, em relação ao preço do diaanterior, o comerciante ainda obteve: a) lucro de 10% b) prejuízo de 30% c) lucro de 40% d) lucro de 8% e) prejuízo de 2%

22. A razão entre o valor previsto e o valor arrecada-do em um evento é 1,25. Podemos afirmar que:a) A arrecadação ultrapassou a previsão e 25%.b) A arrecadação ultrapassou a previsão e 2,5%.c) A arrecadação foi 25% inferior a previsão.d) A arrecadação foi 20% a menos que o previs-

to.e) A arrecadação foi 0,25% menor que a previ-

são.

23. A razão entre despesa e receita de um eventoé 0,8. Podemos afirmar que:a) Houve lucro de 25% em relação à despesa.b) Houve prejuízo de 20% em relação à receita.c) Houve lucro de 20% em relação a despesa.d) Houve prejuízo de 25% em relação a receita.e) Houve lucro de 80%.

24. O salário de João é 40% do salário de Margarida.Podemos afirmar que:a) O salário de Margarida é 60% maior que o de

João.b) O salário de Margarida é 2/3 maior que o de

João.c) O salário de Margarida é 150% maior que o de

João.d) O salário do João é 2/3 do salário de Margari-

da.e) O salário de Margarida é 3/2 do salário de

João.

25. A quanto correspondem 2 acréscimos sucessivosde 10% e 20%?

26. A quanto correspondem 2 descontos sucessivosde 20% e 30%?

27. Cristina comprou um produto e obteve descontode 30%, pagando $ 588. Qual era o preçooriginal?

28. Teresa compra um produto ganhando um descon-to de 20% e mais 5% sobre o preço já desconta-do. Se pagou $ 1216, qual o preço original?

29. Em abril, um produto custa X. Em maio sofre umacréscimo de 25%. No entanto, no “Dia dasMães”, sofre uma promoção especial com des-conto de 10%. Se uma pessoa paga no “Dia dasMães”, $ 23.625, podemos afirmar que o preçoem abril era de :a) $ 19.490 d) $ 20.000b) $ 20.790 e) $ 21.000c) $ 17.180

30. Um preço é majorado de $ 1200 para $ 1416. Quala porcentagem de acréscimo?

31. Uma mercadoria tem seu preço P, aumentado em60%. Para que a mercadoria volte a custar P,deve-se descontar do novo preço:a) 30% b) 37,5% c) 40%d) 60% e) 62,5%

32. O disco abaixo está dividido em cinco setorescirculares. Os números no interior dos setoresindicam a medida da área em cm2 de cada umdeles.

2 6

3 4 1

Em relação à área total do disco, as áreas domaior e do menor setor circular correspon-dem,respectivamente a:a) 60% e 10% b) 37,5% e 6,25%c) 62,5% e 3,75% d) 60% e 6%e) 66% e 10%

GABARITO

01. A) Acréscimo de 12%B) Desconto de 26%C) Acréscimo de 8%D) Desconto de 92%E) Acréscimo de 0,5%

02. C 03. E 04. C 05. 120006. 400 07. $ 8200 08. 2,5% 09. $ 2690010. 240 11. 40% 12. 30% 13. E14. B 15. D 16. A 17. D18. D 19. João = $ 5000 Carlos = $ 5600

Antonio = $ 6720 Paulo = $ 504020. D 21. E 22. D 23. A24. C 25. 32% 26. 44% 27. $ 84028. $ 1600 29. E ( $ 21000) 30. 18%31. B 32. B


Matemática

LUCRO E PREJUÍZO

PV > PC

Lucro (Exemplo 20%)

1. LUCRO SOBRE O PREÇO DE CUSTO

PC = 100%PV = 120%

2. LUCRO SOBRE O PREÇO DE VENDA

PV = 100%PC = 80%

PV < PC

Prejuízo (Exemplo 15%)

1. PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE CUSTO

PC = 100%PV = 85%

2. PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE VENDA

PV = 100%PC = 115%

EXEMPLOS BÁSICOS

1A. Uma mercadoria foi vendida por $ 52, comlucro de 30%, sobre o PC. Qual o preço docusto?

1B. Uma mercadoria foi vendida com lucro de20% sobre o PV. Se foi comprada por $ 40,qual o PV?

2A. Uma mercadoria foi vendida por $ 54, comprejuízo de 10% sobre o PC. Qual o PC?

2B. Uma mercadoria foi vendida com prejuízo de20% sobre o PV. Se o PC é $ 60, qual o PV?

Problemas de Lucro, Prejuízo e Impostos

01. Uma mercadoria foi vendida por $432 com lucrode 20% sobre o preço de custo. Qual o preço decusto?

02. Uma mercadoria foi vendida com lucro de 30%sobre o preço de venda. Se foi comprada por $56,qual o PV?

03. Uma mercadoria foi vendido por $480 com oprejuízo de 25% sobre o PC. Qual o preço decusto?

04. Um produto foi vendo com prejuízo de 12% sobreo preço de venda. Se o PC é $1344, qual é o PV?

05. Um comerciante compra uma mercadoria por X.Se ele a vende com um lucro de 25% sobre o PC,podemos afirmar que o preço de venda é:a) 25X d) 1,25Xb) 125X e) 2,5Xc) 0,25X

06. O preço de venda de uma mercadoria é PV.Porém na promoção, há um desconto de 15%. Ocomprador pagará:a) 15PV d) 85PVb) 1,15PV e) 0,85PVc) 0,15PV

07. Uma mercadoria foi vendida por $ 83.776 com umlucro de 12% sobre o preço de custo. Qual o PC?

08. Uma mercadoria foi vendida com o prejuízo de9% sobre o PV. Se o preço de custo é $4905, qualo PV?

09. Um produto foi vendido com lucro de 40% sobreo PV. Se foi comprado por $840, qual o preço devenda?

10. Um produto foi vendido por $ 68.875 com prejuízode 5% sobre o PC. Qual o PC?

GABARITO

01. $ 360 02. $ 80 03. $ 64004. $ 1200 05. D 06. E07. $ 74800 08. $ 4500 09. $ 140010. $ 72500


Matemática

JUROS SIMPLES

ConceitosM = C + J

J = C . i . t M – C = C . i . t 100 100

M = C . ( ) C 100%

J it %

Os Juros Simples se caracterizam por render sempre em cima do Capital Inicial.

{

As unidades do it devem estar padronizadasACRÉSCIMO de it% de acordo como "BALCONISTA"

PROBLEMAS PROPOSTOS EM AULA

01. Determine os juros e o montante de um capital de $ 2000 aplicado a uma taxa simples de 5% a.mês, durante 6 meses.

CAPITAL JUROS MONTANTEt = 0

t = 1

t = 2

t = 3

t = 4

t = 5

t = 6

Comentários


Matemática

03. Determine os juros e o montante de um capital de $ 72.000 aplicado a uma taxa simples de 5% a.anodurante 100 dias.

04. Determine o capital que aplicado a uma taxa simples de 6% a.mês, durante 9 meses, atinge o montantede $ 12705.

05. Um capital de $ 60.000 é aplicado em um Banco A, durante 4 meses a juros simples de 5% a.mês.Após esse tempo, pega-se o MONTANTE e aplica-se em um Banco B a juros simples de 6% a.mêsdurante 5 meses.Determine:A) MontanteB) Qual deveria ser a taxa paga pelo Banco A para que o capital atingisse o mesmo montante final,aplicado os 9 meses a juros simples no Banco A?

02. Determine os juros e o montante de um capital de $ 120.000, aplicado a uma taxa simples de 13/3% a.ano. durante 5/8 ano.

Gabarito M = 93600 e i = 6,22%a.m


Matemática

01. Determine os juros e o montante de um capital de$8000 aplicado sob forma de juros simples a umtaxa de 6% ao mês, durante 4 meses:

02. Determine o capital que aplicado a 4,5% a.a. ren-de em 6 meses $5400 de juros.

03. Qual a taxa de aplicação a juros simples de umcapital de $12000 que em 5 meses rendeu $2100de juros?

04. Achar o tempo que permaneceu aplicado um ca-pital de $15000, sabendo que rendeu $3000 de ju-ros a uma taxa de 6% ao mês.(A) 3 meses e 10 dias (B) 3 meses e 3 dias(C) 20 meses (D) 2 meses(E) 3,2 meses

05. Qual o capital que aplicado a 5% a.a. durante 6meses, produz o montante de $6970?

06. Qual o capital que aplicado a taxa de 7% ao mêsproduz o montante de $5070 em 8 meses de jurossimples?

07. Determine o capital que aplicado a taxa de 7%a.a. produz o montante de $3070 após 4 meses:

08. Determine o montante produzido por um capitalde $5000 aplicado a 8% a.a. durante 3 meses.

09. Qual o capital que aplicado a 10% a.a. durante 2anos produz o montante de $3096?

10. Qual a taxa de aplicação de um de um capital de$36000 que rende $1620, em 18 meses?

11. O capital que investido hoje a juros simples de 12%a.a., se elevará a $1296 no fim de 8 meses, é de:(A) $ 1100 (B) $1000 (C) $1392(D) $1200 (E) $1399,68

12. Quanto se deve aplicar a 12% ao mês para queobtenha os mesmos juros simples que os produzi-dos por $400 000 emprestados a 15% ao mês, du-rante o mesmo período?(A) $420 000 (B) $450 000 (C) $480 000(D) $520 000 (E) $500 000

13. Um capital C foi aplicado a 5% a.a. durante 4 anos.Qual a taxa que deve ter um capital de 2C pararender os mesmos juros simples em 6 anos e 3meses?

PROBLEMAS DE JUROS

14. Dispomos de um capital de %500000 aplicadosa uma taxa de 20% ao mês sob a forma de jurossimples. Imaginemos 3 situações independentes:(A) Após n meses o titular da conta retirou a

quantia de (n x $120000) e observou que osaldo que ficou atingiu a 80% do capital ini-cial. Podemos afirmar que o valor de n é:

(B) Após k meses o titular retirou (k x $80000)e verificou que o saldo deixado atingiu a 120%do capital inicial. Qual o valor de k?

(C) Após m meses o titular retirou (m x $40000)e verificou que o saldo que ficou atingiu 220%do capital inicial. Calcule m?

15. Em quanto tempo um capital aplicado a taxa de1,25% ao mês rende 3/8 de si mesmo?

16. Há 4 anos atrás, um capital de $200000 foi apli-cado a taxa de 20%a.a. Se aplicarmos hoje umcapital de $240000 à taxa de 25% a.a. apósquantos anos, a contar de agora, os dois capitaisterão produzido juros iguais? E após quantos anosos dois montantes serão iguais?

17. Um capital é aplicado a juros simples. Esse capi-tal, com juros correspondentes a 3 meses eleva-se ao montante de $ 24.780. O mesmo capitalcom juros correspondentes a 7 meses eleva-se a$ 29.820. Determine o capital e a taxa anual.

18. Um capital de $50000 é aplicado a uma taxa de10% ao mês durante 3 meses. Então, retira-setudo e reaplica-se o montante em outro banco auma taxa de 12% ao mês durante 4 meses. Qualo montante no final da operação? De quanto de-veria ser a taxa para que o capital atingisse omesmo montante rendendo juros simples duran-te os 7 meses no mesmo banco?

19. Um certo capital foi aplicado a juros simples.Depois de 10 meses, o extrato de conta revelaum montante X. 6 meses depois de observar oextrato pela primeira vez, tira-se novo extrato everifica-se que o montante aumentou 10% emrelação ao primeiro extrato. Se o segundo extra-to, após 16 meses do depósito inicial, revela ummontante de $66000, determine:(A) o montante X:(B) o capital inicial:(C) a taxa de aplicação:


Matemática

20. Um certo capital é aplicado a uma taxa de 5%ao mês durante 6 meses, rendendo juros simples.Então, retira-se tudo e aplica-se todo o montanteem outro banco a uma taxa de 6% ao mês duran-te 6 meses. Se, no final desses 12 meses o mon-tante obtido foi de $76908, determine o capitalinicial.

21. Um certo capital é aplicado a uma taxa de jurossimples de 8% a.a. durante 3 anos. Depois dissopega-se o capital e os juros e aplica-se tudo emoutro banco durante 2 anos a uma taxa simplesde 12,5% a.a. Se no final dos 5 anos o montanteascende a $31000, determine:(A) o capital inicial:(B) qual teria sido a taxa de juros simples para

que esse mesmo capital rendesse a mesmacoisa nesses 5 anos estando sempre no mes-mo banco?

22. Um capital é aplicado durante 6 meses a umataxa de 10% a.m. e a partir daí recebe 20% aomês durante 2 meses, sobre o mesmo capital ini-cial. A taxa média mensal de aplicação duranteos 8 meses é de:(A) 15% (B) 12,5% (C) 10%(D) 15,5% (E) 16%

23. (TTN/85) Um capital de Cr$ 14.400 aplicado a22% ao ano rendeu CR$ 880 de juros. Durantequanto tempo esteve empregado?(A) 3 meses e 3 dias (B) 3 meses e 8 dias(C) 2 meses e 28 dias (D) 3 meses e 10 dias(E) 27 dias

24. (TTN/92) Quanto de deve aplicar a 12% ao mês,para que se obtenha os mesmos juros simples queos produzidos por Cr$ 400.000,00 emprestados a15% ao mês, durante o mesmo período?(A) Cr$ 420.000,00 (B) Cr$ 450.000,00(C) Cr$ 480.000,00 (D) Cr$ 520.000,00(E) Cr$ 500.000,00

25. (TTN/92) Três capitais são colocados a juros sim-ples: o primeiro a 25%a.a., durante 4 anos; o se-gundo a 24%a.a., durante 3 anos e 6 meses e oterceiro a 20%a.a., durante 2 anos e 4 meses.Juntos renderam um juro de Cr$ 27.591,80. Sa-bendo que o segundo capital é o dobro do primei-ro e que o terceiro é o triplo do segundo, o valordo terceiro capital é de:(A) Cr$ 30.210,00 (B) Cr$ 10.070,00(C) Cr$ 15.105,00 (D) Cr$ 20.140,00(E) Cr$ 5.035,00

Gabarito01. J = 1.920 M = 9.920 02. $240.00003.3,5% ao mês 04. A 05. $6.80006. $3.250 07. $ 3.000 08. $5.10009. $2.580 10. 0,25% ao mês11. D 12. E 13. 1,6% a.a.14. A) n=5 meses B) k=5 meses C) m=10 meses15. 30 meses16. Juros iguais em 8 anos;

Montantes= em 6 anos17. C = 21.000 i = 6% a.mês

18. M = 96.200 i = 13,2% a.m.19. A) M X = 60.000 B) C = 50.000

C) i = 2% a.mês

20. $43.50021. A) C = 20.000 B) i = 11%a.a.22. B 23. D 24. E 25. A26. E 27. B 28. C

26. (TTN/94) Mário aplicou suas economias, a jurossimples comerciais, em um banco, a juros de 15%ao ano, durante 2 anos. Findo o prazo reaplicou omontante e mais R$ 2.000,00 de suas novas eco-nomias, por mais 4 anos, à taxa de 20% ao ano,sob mesmo regime de capitalização. Admitindo-se que os juros das 3 aplicações somaram R$18.216,00, o capital inicial da primeira aplicaçãoera de R$?(A) 11.200,00 (B) 13.200,00 (C) 13.500,00(D) 12.700,00 (E) 12.400,00

27. (AFTN/85) João colocou metade de seu capitala juros simples pelo prazo de 6 meses e o restan-te, nas mesmas condições, pelo período de 4 me-ses. Sabendo-se que, ao final das aplicações, osmontantes eram de Cr$ 147.000 e Cr$ 108.000,respectivamente, o capital inicial do capitalista erade:(A) Cr$ 50.000 (B) Cr$ 60.000(C) Cr$ 70.000 (D) Cr$ 80.000(E) Cr$ 200.000

28. Um capital de $200.000 é aplicado durante certotempo a juros simples de 4% a.mês. Após essetempo o capital passa a ser remunerado a umataxa simples de 5% a.mês, durante 5 meses. Nofim desse tempo o montante atinge $298.000.Quanto tempo o capital esteve aplicado?A) 10 meses B) 9 meses e 24 diasC)11 meses D) 6 mesesE)4 meses e 24 dias


Matemática

SÉRIE DE CAPITAIS A JUROS SIMPLES1 Uma pessoa tem que pagar 10 parcelas no valor de $1.000 cada uma e que vencem todos os dias cinco dos

próximos 10 meses.Todavia, ela combina com o credor um pagamento único equivalente, no dia 5 dodécimo mês e assim quitar a dívida.Calcule este pagamento considerando juros simples de 4% a.mês.A) 11800B)12006C)12200D) 12800E)13486

SOLUÇÃO

A 1ª parcela atrasou 9 meses. Sobre ela incidirá 36% de juros (9meses de 4% a juros simples).

Seu valor será 1000 . 1,36

A 2ª parcela atrasou 8 meses. Seu valor será 1000 . 1,32

A 3ª parcela pagará 7 meses de juros a 4% a.mês. 1000 . 1,28

E assim sucessivamente.A 10ª parcela será paga na data combinada. Portanto não terá incidência de juros.

Seu valor será de 1000

Assim, pagando na data 10 temos: 1000 + 1000 . 1,04 + 1000 . 1,08 + 1000 . 1,12 + 1000 . 1,16 +(10ª parcela) (9ª parcela) (8ª parcela) (7ª parcela) (6ª parcela)

1000 . 1,20 + 1000 . 1,24 + 1000 . 1,28 + 1000 . 1,32 + 1000 . 1,36(5ª parcela) (4ª parcela) (3ª parcela) (2ª parcela) (1ª parcela)

Ora, estamos diante de uma PA1000 + 1000 . 1,04 + 1000 . 1,08 + 1000 . 1,12 + 1000 . 1,16 + a1 a2 a3 a4 a5

TOTAL 1000 . 1,20 + 1000 . 1,24 + 1000 . 1,28 + 1000 . 1,32 + 1000 . 1,36 = PAGO

a6 a7 a8 a9 a10 NA DATA

SN A fórmula da SOMA DOS TERMOS da PA é:

SN = ( a1

+ an ) . N

2

SN = ( 1000 + 1360 ) . 102

SN = 11800

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MESES

1ª Parcela


Matemática

Gabarito01. 11.800 02. 43.200 03. 10.000

Mas podemos resolver fazendo o ACRÉSCIMO MÉDIO

ACRÉSCIMO MÉDIO = ACRÉSCIMO MÁXIMO2

ACRÉSCIMO MÉDIO = 4% . 92

ACRÉSCIMO MÉDIO = 18%

Assim a soma das 10 parcelas de $ 1000 terá um acréscimo médio de 18%

10.000 . 1.18 = $ 11.800

PROBLEMAS PROPOSTOS

02. Uma pessoa faz 9 depósitos mensais de $4000. O banco paga juros simples de 5% a.mês. O valoracumulado imediatamente após o 9º depósito é de:

03. Quanto devemos depositar mensalmente para que imediatamente após 6 depósitos mensais e iguais emum aplicação que paga juros simples de 3%a.mês, se obtenha um montante de $ 64.500


Matemática

JUROS COMPOSTOSSão ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS.Os rendimentos ou JUROS são calculados sobre o MONTANTE obtido no final de cada PERÍODO.

CONCEITOS

PRAZO DE APLICAÇÃO É o tempo total que o CAPITAL fica aplicado.

PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO É o tempo no qual o CAPITAL fica aplicado como sefosse JUROS SIMPLES.

Ao finalizar esse PERÍODO, o montante obtido serve como REFERÊNCIA para o cálculo dos jurosno próximo período. Sendo essa REFERÊNCIA constante durante todo o período considerado, podemosdizer que em CADA PERÍODO o capital rende JUROS SIMPLES. Os juros compostos se caracterizamjustamente pela TROCA DESSE REFERÊNCIAL a cada NOVO PERÍODO.

Portanto, os JUROS COMPOSTOS são uma SUCESSÃO de JUROS SIMPLES. Quandoo PERÍODO de CAPITALIZAÇÃO tende a ZERO, a CAPITALIZAÇÃO é chamadaINSTANTÂNEA e o MONTANTE é calculado pela expressão

M = C . e it e = número de Euler = 2,7182...

RESUMO

M = C . ( )N

Acréscimo (na forma do “BALCONISTA”) ocorrido em 1PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO como se fosse JUROS SIMPLES.

N = PRAZO DE APLICAÇÃO Ambos na mesmaPERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO Unidade

Exemplo:

Seja um capital de $ 100.000, aplicado a uma TAXA NOMINAL de 60% a.ano. pelo prazo de 1 ano.

CAPITALIZAÇÃO MENSAL CAPITALIZAÇÃO BIMESTRAL


Matemática

CAPITALIZAÇÃO CAPITALIZAÇÃO CAPITALIZAÇÃO TRIMESTRAL QUADRIMESTRAL SEMESTRAL

TAXA NOMINAL

É a taxa que é usada como REFERÊNCIA. Ela aceita “PROPORCIONALIDADE”.

TAXA EFETIVA

No momento em que “muda o referencial” para cálculo de juros, a taxa passa a ser EFETIVA, poissignifica que ocorreu uma CAPITALIZAÇÃO (acréscimos sucessivos).

CONCLUSÕES

PARA UMA MESMA TAXA NOMINAL eMESMO PRAZO DE APLICAÇÃO é correto afirmar:

1° Quanto maior o número de capitalizações, maior é a taxa efetiva.

2º Quanto maior a FREQUÊNCIA das capitalizações, maior é a taxa efetiva.

3º Quanto maior o PERÍODO das CAPITALIZAÇÕES MENOR é a taxa efetiva.

4º Quanto maior a PERIODICIDADE das CAPITALIZAÇÕES, maior é a taxa efetiva.


Matemática

01. Um capital de $200.000 é aplicado a uma taxa de2% ao mês da seguinte forma:(A) capitalização mensal durante 3 meses(B) capitalização bimestral durante 8 meses(C) capitalização quadrimestral durante 1 ano(D) capitalização semestral durante 3 anosDetermine o MONTANTE no final de cada apli-cação e os respectivos JUROS:

02. Um capital de $60.000 é aplicado a uma taxa de20% a. m. das seguintes formas:(A) capitalização mensal durante 2 meses(B) capitalização trimestral durante 1 semestreDetermine o montante no final de cada aplicação:

03. Qual o capital que aplicado a uma taxa de 40% a.a.durante 18 meses, com capitalização semestral, atin-ge o montante de $51.840?

04. Quanto tempo permaneceu aplicado um capital de$25.000 a taxa de 2% a.m. com capitalização quadri-mestral para ter atingido o montante de $29.160?Obs.: Como não há tabela financeira, faça testedas opções.

05. Qual a taxa de aplicação de um capital de $50.000que foi aplicado durante 8 meses com capitalizaçãoquadrimestral e atingiu o montante de $72.000?

06. Qual o tempo que esteve aplicado um capital de $12.000aplicado a 50% a. m., com capitalização bimestral sa-bendo-se que atinge o montante de $96.000?

07. Qual o número de anos necessários para que umcapital colocado a juros compostos à taxa de 50%a.a. atinja 225% de seu valor inicial?

08. Qual o tempo necessário para que um capital colo-cado a juros compostos de 100% a.a. sofra umacréscimo de 700%? (Capitalização anual)

09. Um capital de $2.000 é aplicado a uma taxa de50% a. m. durante certo tempo e atinge o montantede $162.000. Sabendo-se que a capitalização équadrimestral, determine o tempo da aplicação.

10. Qual a taxa de aplicação de um capital de $3.000que aplicado durante 18 meses com capitaliza-ção semestral, atinge o montante de $81.000?

PROBLEMAS DE JUROS COMPOSTOS

Gabarito01. MONTANTE

A) $212.241,60B) $233.971,71C) $251.942,40D) $394.764,54

02. A) $86.400B) 153.600

03. C = $30.00004. 8 meses05. 5% ao mês

06. 6 meses07. 2 anos08. 3 anos09. 16 meses10. 400% a.a. (nominal)

800% a.a. (efetiva)


Matemática

INTERPRETAÇÃO

TRADUÇÃO: 207,36% do CAPITAL2,0736 C

CONCLUSÃO: TAXA EFETIVA 107,36% em 1 ano

O DINHEIRO “CRESCEU” 107,36% em 1 ano!

Ora, a taxa encontrada no parênteses (sem estar exponencializado) é uma taxa nominal.Isto significa que aceita PROPORCIONALIDADE.

Assim, 20% ao trimestre

40% ao semestre (nominal)

80% ao ano (nominal)

OBS: A taxa EFETIVA ANUAL seria

(1,44)2 ou (1,2)4

4 capitalizações trimestrais 2 capitalizações efetivas semestrais

(1,2)4 = 2,0736 ou (1,44)2 = 2,0736

TAXA EFETIVA

( )N = TAXA EFETIVA

Na forma de ACRÉSCIMO do “BALCONISTA”

A taxa EFETIVA é aquela que resulta de CAPITALIZAÇÕES SUCESSIVAS

NÃO ACEITA PROPORCIONALIDADE

CRESCE EXPONENCIALMENTE

Exemplo

Determine a taxa nominal anual correspondente a uma taxa efetiva de 44% a.semestre com capitalizaçãoTRIMESTRAL

SOLUÇÃOEm um semestre há 2 capitalizações trimestrais.

Portanto (x)2 = 1,44x = 1,44

x = 1,2 Interpretação 20% ao trimestre


Matemática

01. Determine a taxa nominal anual correspondente a uma taxa efetiva de 46,41%a.ano, com capitalizaçãoTRIMESTRAL

PROBLEMAS PROPOSTOS

Gabarito01. 40%a.a(nominal) 02. taxa nominal anual = 30%a.a

taxa efetiva anual = 34%a.a03. 48% a.a nominal 04. 156% a.a nominal

taxa efetiva anual = 333,45%a.a

02. Determine a taxa nominal anual correspondente a uma taxa efetiva de 10,25% ao quadrimestre comcapitalização bimestral.Calcule também a taxa EFETIVA anual.

03. Determine a taxa nominal anual correspondente a uma taxa efetiva de 60%a.a. com CAPITALIZAÇÃOMENSAL. Considere 12 1,6 = 1,04

04. Determine a taxa nominal anual correspondente a uma taxa efetiva de 200% em 9 meses, com capitalizaçãomensal.Considere 31/9 = 1,13


Matemática

TAXAS EQUIVALENTES

São aquelas que “POR CAMINHOS DIFERENTES” produzem CRESCIMENTOSEFETIVOS IGUAIS, em PRAZOS IGUAIS, para qualquer capital.

C1 M1

C2 M2

Lembre que:M = C . ( )N ( )N = M

CE que ( )N = TAXA EFETIVA

Então M = TAXA EFETIVA C

Na forma de ACRÉSCIMO do “Balconista”.Portanto as taxas são equivalentes se, para PRAZOS IGUAIS, temos:

(X1)N1 = (X2)N2 ou M1 = M2C1 C2

{

Exemplo

Considere 2 capitais aplicados a prazos iguais.

10.000 16.000

CAPITAL “p” acréscimos sucessivos MONTANTE

25.000 40.000

CAPITAL “q” acréscimos sucessivos MONTANTE

Conclusão:

OBS: É evidente que, capitais iguais, aplicados no mesmo prazo, que chegarem aoMESMO MONTANTE, tem MESMO CRESCIMENTO EFETIVO.


Matemática

EQUIVALÊNCIA ENTRE TAXAS EFETIVAS

Quando falamos de TAXAS EFETIVAS não é necessário deixar explícito o PRAZO DE APLICA-ÇÃO. O importante é que se diga simplesmente que é no MESMO PRAZO, qualquer que ele seja.

No entanto, basta comparar ambas as taxas no prazo indicado pela TAXA que tenha o MAIORPERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO.

Exemplo

Uma taxa efetiva de 4%a.mês é EQUIVALENTE a uma taxa efetiva de 60%a.ano

SOLUÇÃO

(1,04)12 1,6 prazo de 1 ano.

Mas elas também são equivalentes em outros PRAZOS. Tomemos, por exemplo,o prazo de 1 SEMESTRE.

PROBLEMA PROPOSTO

Determine a taxa nominal MENSAL que para aplicações pelo prazo de 9 meses e capitalização mensal éEQUIVALENTE a uma taxa nominal de 52% a.semestre com capitalização trimestral em 9 meses.

Dados: Considere (1,26)3 = 2 e 9 2 = 1,08

Gabarito: 8%a.mês. Crescimento efetivo em 9 meses: 100%

EQUIVALÊNCIA ENTRE TAXAS NOMINAIS

Só serão equivalentes quando (X1)N1 = (X2)N2 para mesmos prazos de aplicação.

Uma taxa nominal de 42% a.ano com capitalização semestral, em 1 ano de aplicação, é EQUIVA-LENTE a uma taxa nominal anual de 40%a.ano com capitalização trimestral NO MESMO PRAZO.

SOLUÇÃO(1,21)2 = (1,1)4

1,4641 1,4641EFETIVO EFETIVO

As taxas EFETIVAS são iguais no prazo dado.

{ {

�


Matemática

01. Determine a taxa mensal EQUIVALENTE a 12%a.ano

02. Determine a taxa efetiva mensal equivalente a 0,194% ao dia.

03. Qual a taxa diária equivalente a 3%a.mês? Considere (1,03)1/30 = 1,000986

OBS: considerar também mês com 22 dias úteis. Nesse caso , 1,03 elevado na 1/22 é 1,001344

04. Qual a taxa diária equivalente a 12%a.ano. Considere (1,12)1/360 = 1,0003CONSIDERAR TAMBÉM ANO COM 252 DIAS ÚTEIS. CONSIDERAR 1,12 elevado na 1/252 = 1,0004498

05. A taxa de 18%a.ano equivale em 120 dias a:

SOLUÇÃO( 360 1,18 )120 [(1,18)1/360 ]120

(1,18)120/360 ou 360(1,18)120 1,05672

Interpretação:5,67% em 120 dias

06. Determine a taxa para 576 dias equivalente a 5%a.mês.

Gabarito01. 0,948%a.mês 02. 5,99%a.mês 03. 0,0986%a.dia04. 0,03%a.dia 05. 5,67% em 120 dias 06. 155,17%

PROBLEMAS PROPOSTOS

Uma taxa efetiva de 4%a.mês, rende em 6 meses

(1,04)6 = 1,2653 Aproximadamente 26,5% ao semestre efetivo

Já uma taxa EFETIVA de 60%a.ano, cresce em 1 semestre o seguinte: Em 1 ano há 2 semestres

(x)2 = 1,6 x = 1,6 x 1,2649

CONCLUSÃO: Aproximadamente 26.5% ao semestre�


Matemática

01. (CEB-Contador-Superior-IDR-94)Se uma aplicação rendeu 38% em um mês, e nesse período, a inflação foi de 20%, a taxa real de juros foi de:

A) 14%B) 15%C) 16%D) 17%E) 18%

02. Um capital foi aplicado a 5%a.mês, a juros compostos, durante 3 meses. Nesse período a inflação foi de2%a.mês.

A) 12%B) 9,08%C) 8,44%D) 11.5%E) 10%

PROBLEMAS PROPOSTOS

Exemplo

Considere a questão do (Banco Central/94 – superior).Um investimento rendeu 68% em um mês no qual a inflação foi de 40%. O ganho real neste mês foi de:

A) 20%B) 22%C) 24%D) 26%E) 28%

TAXA REAL E APARENTE

Aumento Nominal

100 + X = GANHO REAL100 + Y Na forma do “BALCONISTA”.

Aumento da inflação

ou

ACRÉSCIMO NOMINAL X = GANHO REALY

AUMENTO DA INFLAÇÃO

Todas as informaçõesdevem estar comoACRÉSCIMO do“BALCONISTA”.


Matemática

Gabarito01. B02. B03. D04. A05. E

03. (TCU) Uma financeira pretende ganhar 12%a.ano de juros reais em cada financiamento. Supondo quea inflação anual seja de 2300%, a financeira, a título de taxa de juros nominal anual, deverá cobrar:

A) 2358%B) 2858%C) 2888%D) 2588%E) 2688%

04. (CESPE/UnB-TCDF/FCE/95) - A renda nacional de um país cresceu 110% em um ano, em termosnominais. Nesse mesmo período, a taxa de inflação foi de 100%. O crescimento da renda real foi entãode:

a) 5%b) 10%c) 15%d) 105%e) 110%

05. (AFTN) Um capital de $100.000 foi depositado por um prazo de 4 trimestres a taxa de juros de 10% aotrimestre, com correção monetária trimestral igual a inflação. Admitamos que as a taxas de inflaçãotrimestrais observadas foram de 10%, 15%, 20% e 25% respectivamente. A disponibilidade dodepositante ao final do terceiro trimestre é de aproximadamente:

A) $ 123065B) $ 153065C) $ 202050D) $ 212045E) $ 202045


Matemática

PERDA SALARIAL

O aumento nominal de um salário foi de 20% enquanto, no mesmo período, a inflação foi de 50%.Qual a perda salarial?

PRINCIPAIS CASOS

33%

25%

60%

DESVALORIZAÇÃO 37,5%

MOEDA

100 SALÁRIO100 SALÁRIO

0 t meses

125 100 CESTA BÁSICA

0 t meses

CESTA BÁSICA

Qual a DESVALORIZAÇÃO da moeda?

INFLAÇÃO x DESVALORIZAÇÃO DA MOEDA

Consideremos uma inflação de 25% em t meses


Matemática

01. (CEB-Contador- Superior-IDR-94) - A aplica-ção de R$ 5.000,00 a taxa de juros compostos de20% a.m. irá gerar, após 4 meses, o montante de:

a) R$ 10.358,00b) R$ 10.368,00c) R$ 10.378,00d) R$ 10.388,00

02. (Metro-Técnico em Contabilidade -2°G -IDR-94)- Um investidor aplicou a quantia de R$ 20.000,00a taxa de juros compostos de 10% a.m. Que mon-tante este capital ire gerar após 3 meses?

a) R$ 26.420,00b) R$ 26.520,00c) R$ 26.620,00d) R$ 26.720,00

03. (Metro-Assistente Administrativo- 2°G- IDR94)- Um capital de US$ 2.000,00, aplicado a taxaracional composta de 5% a.m., em 1 ano produzum montante de quantos dólares? Dado: (1,05)12=1,79586.

a) US$ 3.291,72b) US$ 3.391,72c) US$ 3.491,72d) US$ 3.591,72

04. (ESAF) - A aplicação de um capital de Cz$10.000,00, no regime de juros compostos, peloperíodo de três meses, a uma taxa de 10% aomês, resulta, no final do terceiro mês, num mon-tante acumulado:

a) de Cz$ 3.000,00;b) de Cz$ 13.000,00;c) inferior a Cz$ 13.000,00;d) superior a Cz$ 13.000,00;e) menor do que aquele que seria obtido pelo re-

gime de juros simples.

05. (ESAF) - Se um capital cresce sucessiva e cu-mulativamente durante 3 anos, na base de 10%ao ano, seu montante final e:

a) 30% superior ao capital inicial;b) 130% do valor do capital inicial;c) aproximadamente 150% do capital inicial;d) aproximadamente 133% do capital inicial.

06. (TCDF-Analista de Finanças e ControleExterno-Superior-IDR/94) - Um investidor apli-cou a quantia de CR$ 100.000,00 a taxa de juroscompostos de 10% a.m. Que montante este ca-pital ire gerar após 4 meses?

a) CR$ 140.410,00b) CR$ 142.410,00c) CR$ 144.410,00d) CR$ 146.410,00

07. (CEB-Contador- Superior-IDR-94) - A cader-neta de poupança remunera seus aplicadores ataxa nominal de 6% a.a., capitalizada mensalmen-te no regime de juros compostos. Qual e o valordo juro obtido pelo capital de R$ 80.000,00 du-rante 2 meses?

a) R$ 801,00b) R$ 802,00c) R$ 803,00d) R$ 804,00

08. (TCDF-Analista de Finanças e ControleExterno-Superior-IDR/94) - No Brasil, as cader-netas de poupança pagam, alem da correçãomonetária, juros compostos a taxa nominal de 6%a.a., com capitalização mensal. A taxa efetivabimestral e então de:

a) 1,00025% a.b.b) 1,0025 % a.b.c) 1,025% a.b.d) 1,25 % a.b.

09. (Banco Central/94-Superior) - A taxa de 30%ao trimestre, com capitalização mensal,corresponde a uma taxa efetiva bimestral de:

a) 20%b) 21 %c) 22%d) 23%e) 24%

Testes


Matemática

10. (ESAF) - Se, para um mesmo capital, aplicadodurante qualquer período de tempo maior do quezero e a uma certa taxa, chamarmos:

M 1 -Montante calculado no regime de juros sim-ples;

M2 - Montante calculado no regime de juros com-postos pela convenção exponencial;

M3 -Montante calculado no regime de juros com-postos pela convenção linear.

Teremos:a) M3 > M1 para qualquer t > 0;b) M3 = M1 para qualquer 0 < t < 1;c) M3 < M2 para qualquer t > 0, desde que não

seja inteiro;d) M3 < M2 quando t é inteiro;e)M2 > M1 para qualquer t > 0.

11. (AFTN/85) - Uma pessoa aplicou Cr$ 10.000 ajuros compostos de 15% a.a., pelo prazo de 3anos e 8 meses. Admitindo-se a convenção line-ar, o montante da aplicação ao final do prazo erade: Obs.: (1,15)3 = 1,5209

a) Cr$ 16.590d) Cr$ 16.705b) Cr$ 16.602e) Cr$ .16.730c) Cr$ 16.698

12. (AFTN/91) - Uma aplicação e realizada no diaprimeiro de um mês, rendendo uma taxa de 1 %ao dia útil, com capitalização diária. Consideran-do que o referido mês possui 18 dias úteis, no fimdo mês o montante será o capital inicial aplicadomais:

a) 20,324% d) 18,174%b) 19,6147% e) 18%c) 19,196%

13. (AFC-ESAF/93) - Um título de valor inicial CR$1.000,00 vencível em um ano com capitalizaçãomensal a uma taxa de juros de 10% ao mês, de-vera ser resgatado um mês antes do seu venci-mento. Qual o desconto comercial simples a mes-ma taxa de 10% ao mês?

a) CR$ 313,84b) CR$ 285,31c) CR$ 281,26d) CR$ 259,37e) CR$ 251,81

14. (AFC-TCU/92) - Um certo tipo de aplicaçãoduplica o valor da aplicação a cada dois meses.Essa aplicação renderá 700% de juros em:

a) 5 meses e meio; d) 5 meses;b) 6 meses; e) 3 meses.c) 3 meses e meio;

15. (AFTN/96) - A taxa de 40% ao bimestre, comcapitalização mensal, é equivalente a uma taxatrimestral de:

a) 60,0% d) 72,8%b) 66,6% e) 84,4%c) 68,9%

16. (AFTN/96) - Uma empresa aplica $ 300 a taxade juros compostos de 4% ao mês por 10 meses.A taxa que mais se aproxima da taxa proporcio-nal mensal dessa operação é:

a) 4,60% d) 5,20%b) 4,40% e) 4,80%c) 5,00%

17. (CESPE/UnB - TCDF/AFCE/95) - Para que seobtenha R$ 242,00, ao final de seis meses, a umataxa de juros de 40% a. a., capitalizados trimes-tralmente, deve-se investir, hoje, a quantia de:

a) R$ 171,43 d) R$ 200,00b) R$ 172,86 e) R$ 220,00c) R$ 190,00

18. (CESPE/UnB - TCDF/AFCE/95) - Determina-da quantia e investida a taxa de juros compostosde 20% a.a., capitalizados trimestralmente. Paraque tal quantia seja duplicada, deve-se esperar:

a) log5 trimestres; log 1,05

b) log2 trimestres; log 1,05

c) log 5 trimestres; log 1,2

d) log trimestres; log 1,2

e) log20 trimestres. log 1,2


Matemática

19. (CESPE/UnB - TCU/AFCE/96) - Acerca dastaxas utilizadas em juros compostos, julgue os itensa seguir.

(1) Capitalização composta é aquela em que ataxa de juros incide sempre sobre o valor ob-tido pela soma do capital inicial e dos jurosacumulados até o período anterior.

(2) Duas taxas referentes a períodos distintos decapitalização são equivalentes, quando produ-zem o mesmo montante no final de determi-nado período de tempo, pela aplicação de ummesmo capital inicial.

(3) Quanto maior o numero de capitalizações,maior e a taxa efetiva.

(4) Para uma mesma taxa nominal, pagamentosde menor periodicidade implicam uma taxaefetiva mais elevada.

(5) A taxa efetiva de 21 % ao ano corresponde ataxa nominal anual de 20%, capitalizadas se-mestralmente.

20. (TCU-AFCE/92) - Deseja-se comprar um bemque custa X cruzeiros, mas dispõe-se apenas de1/3 desse valor. A quantia disponível é, então,aplicada em um Fundo de Aplicações Financei-ras, a taxa mensal de 26 % , enquanto que o bemsofre mensalmente um reajuste de 20%. Consi-dere as aproximações: log 3 = 0,48; log 105 =2,021 ; log 0,54 = -0,27.Assinale a opção correta.

a) Ao final do primeiro ano de aplicação, o bempoderá ser adquirido com o montante obtido.

b) O numero n de meses necessários pare o in-vestimento alcançar o valor do bem é dadopela formula:

X/3 + n 0,26 X/3 = X + n 0,2X.c) O número mínimo de meses de aplicação ne-

cessários a aquisição do bem será 23.d) Decorridos 10 meses, o montante da aplica-

ção será 40% do valor do bem naquele mo-mento.

e) O bem jamais poderá ser adquirido com omontante obtido.

21. (CESPE/UnB - Senado Federal/96) - Acerca deuma aplicação realizada na mesma data e refe-rente a dois capitais (C1 e C2) de valores iguais,pelo prazo de um ano, capitalizados semestral-mente, a taxa nominal de 42% ao ano, para ocapital C1, e à taxa efetiva de 21% ao ano, para ocapital C2, julgue os itens abaixo.

(1) A taxa nominal, pare a aplicação do capitalC2, é igual a 20% ao ano.

(2) A taxa de capitalização semestral do capitalC1 e igual a 20%.

(3) A taxa de capitalização semestral do capitalC1 e exatamente o dobro da taxa de capitali-zação semestral do capital C2.

(4) O montante do capital C1 é 21% maior que omontante do capital C2, no prazo estabelecidopara a aplicação.

(5) Se apenas o capital C2 for reaplicado por maisum ano, a mesma taxa estabelecida, o mon-tante de C2 (ao final do 2º ano de aplicação)será igual ao montante de C1 (ao final do 1ºano de aplicação).

Gabarito01. b 02. c 03. d 04. d 05. d 06. d 07. b 08. b09. b 10. b 11. e 12. b 13. a 14. b 15. d 16. e17. d 18. b 19. cceec 20. c 21. ceecc


Matemática

CONVENÇÃO LINEAR e CONVENÇÃO EXPONENCIALConsideremos a seguinte situação:Um capital é aplicado a juros compostos de 30%a.a, capitalizado anualmente.No entanto, o PRAZO

DE APLICAÇÃO foi 6 meses.Como remunerar o capital?CONVENÇÃO LINEAR

CONVENÇÃO EXPONENCIAL

PROBLEMAS

01. Complete o quadro abaixo, considerando taxa de 30%a.mês. Capitalização mensal dos juros compostose capital de $ 100.000

PRAZO (t) JUROS SIMPLES JUROS COMPOSTOS JUROS CONPOSTOSConv. LINEAR Conv. EXPONENCIAL

20 dias0< t < 1

30 diast = 1 períodode capitalização

130 diast > 1 períodode capitalização

02. Uma aplicação financeira foi feita pelo prazo de 225 dias. O dinheiro foi aplicado a juros compostos de40% a.ano e capitalização trimestral. Determine o montante obtido a partir de um capital de $100.000sob a convenção LINEAR.

A) 125.000 B) 126.905,87 C) 127.050 D) 124.750 E) 120.000


Matemática

03. Na questão anterior, qual seria a alternativa correta se for usada a convenção EXPONENCIAL

A) 125.000 B) 126.905,87 C) 127.050 D) 124.750 E) 120.000

04. Um capital C = 10.000 é aplicado a juros compostos de 6% a.mês, com capitalização bimestral. O prazode aplicação foi 100 dias. Determine o montante pela convenção LINEAR e pela convençãoEXPONENCIAL.

Gabarito02. C 03. B 04. LINEAR M= 12.096,00 EXPONENCIAL M= 12.078,97

Taxa Efetiva

Períodosde

Capitalização

JUROS SIMPLES

JUROS COMPOSTOS EXPONENCIALJUROS SIMPLES LINEAR

1 2

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA

0 < t < 1O prazo de aplicação

é MENORque 1 período de

CAPITALIZAÇÃO

t > 1O prazo de aplicação

é MAIORque 1 período de

CAPITALIZAÇÃO


Matemática

DESCONTO POR DENTROOU RACIONAL

VA ———→ 100%

Neste caso, damos um acréscimo de it%sobre o VA para chegar no valor nominal.

VA . ( 100 + it ) = VN 100

ou

Usando Regra de Três

VA ———→ 100%dd ———→ it%

VA ——→ 100%VN ——→ ( 100 + it)%

DESCONTO POR FORA, COMERCIALOU BANCÁRIO

VN ———→ 100%

Neste caso, damos um desconto de it%sobre o VN para chegar no valor atual.

VN . ( 100 - it ) = VA 100

ou

Usando Regra de Três

VN ———→ 100%df ———→ it%

VN ———→ 100%VA ———→ (100 - it)%

Observe que nos casos acima, é fundamental achar o it com i e t nas mesmas unidades de tempo.Basicamente só existem estes dois raciocínios para desconto simples. O fato de incluirmos impostos,

comissões, ou taxas em cada um deles não significa que existem "OUTROS TIPOS DE DESCONTOS"além do desconto "por dentro" ou desconto "por fora".

DESCONTO SIMPLESSuponhamos que você tenha um cheque pré-datado de $1.200 e que só pode ser cobrado em 30 dias.Necessitando dinheiro hoje e considerando a inflação de 20% ao mês, você pode raciocinar de duas

maneiras diferentes:

1º RACIOCÍNIO

Deduz os 20% de inflação sobre o Valor Nominal do cheque, obtendo assim seu Valor Atual:(1.200 x 0,8) = $960

Este raciocínio é chamado DESCONTO POR FORA, comercial ou bancário.Nele o desconto foi de $240.

2º RACIOCÍNIO

Você sabe que um amigo seu tem dinheiro rendendo na poupança a 20% ao mês. Pede a ele que lheempreste aquele valor X, que dentro de 30 dias, após ganhar 20% de acréscimo se torne $1.200,00 eassim ninguém perde nada.

CÁLCULO: NESTE CASO TEMOS:X . 1,2 = 1200 Valor nominal: 1200X = 1000 Valor atual: 1000

Desconto por dentro = $200

Este raciocínio constitui o DESCONTO POR DENTRO ou RACIONAL.

Os dois raciocínios são aceitos. A Banca Examinadora tem a obrigação de informar o tipo de descon-to, pois concurso significa interpretação de texto e raciocínio lógico. Ninguém é obrigado a supor umainformação que não está no texto. Na prática, no entanto, usa-se em 99% dos casos o desconto comercialsimples que é o que dá maior lucro à instituição financeira

RESUMO


Matemática

ESQUEMA DO DESCONTO COMERCIAL SIMPLES

VN100 %

O VAf é 80% do VN VAf = 0,8 . VN

O df é 20% do VN df = 0,2 . VN

TAXA EFETIVA DE JUROS IMPLÍCITA NO DESCONTOCOMERCIAL SIMPLES

Exemplo:Um título de valor nominal $ 6000 é descontado pelo critério comercial simples 60 dias antes

do vencimento a uma taxa de desconto de 10% a.mês.

ANÁLISE DA SITUAÇÃO APRESENTADA

1° PASSO Achar o it, ou seja, o PERCENTUAL de desconto praticado na operação para os2 meses de antecipação.

i = 10% a.m.it = 20%

t = 60 dias = 2 meses

2° PASSO

100% VA = 80% do VN

VNdf = 20% do VN

VA = $4800 df = $ 1200

3° PASSO Analisando a operação como um INVESTIMENTO, percebemos que o agentefinanceiro INVESTIU $ 4800 para RECEBER $ 6000 em 60 dias.Então, o CAPITAL INVESTIDO cresceu efetivamente

VN $6000 = 1,25 LUCRO DE 25% em 60 dias!VA $4800

Dizemos então que a TAXA IMPLICITA EFETIVA DE JUROS na operação foi de 25% no PRAZODA OPERAÇÃO.

Ou que a TAXA DE JUROS EQUIVALENTE à taxa de DESCONTO COMERCIAL SIMPLES éde 25% em 60 dias.

No entanto, a TAXA MENSAL DE JUROS IMPLÍCITA na operação pode ser calculada aJUROS SIMPLES ou a JUROS COMPOSTOS.

TAXA MENSAL DE JUROS SIMPLES

É proporcional Portanto fica 12,5% a.m.

No exemplo dado:


Matemática

DIFERENÇA = DESCONTO POR FORA – DESCONTO POR DENTRO

dif = df – dd

OU

DIFERENÇA = VALOR ATUAL POR DENTRO – VALOR ATUAL POR FORA

dif = VAd – VAf

TAXA MENSAL DE JUROS COMPOSTOS

Considerando os juros compostos capitalizados mensalmente, a taxa mensal composta que PRODUZuma taxa EFETIVA de 25% em 2 meses é:

(X2) = 1,25 X = V 1,25 X 1,119

Isto significa uma TAXA MENSAL COMPOSTA de 11,9% a.m.

DIFERENÇA ENTRE OS DESCONTOS COMERCIAL SIMPLESE RACIONAL SIMPLES

No exemplo anterior, o Valor Nominal do título é $ 6000.Na ótica do DESCONTO COMERCIAL (POR FORA), o valor atual é

VAf = 6000 . 0,8 VAf = 4800

Mas na ótica do DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO), o valor atual é

VAd = 6000 VAd = 5000 1,2

Assim, o DESCONTO POR FORA, é de $ 1200 e o DESCONTO POR DENTRO é de $1000

EXISTE UMA DIFERENÇA DE $ 200

dif = df – dd dif = 1200 – 1000 dif = 200

Essa DIFERENÇA também pode ser encontrada fazendo

dif = VADENTRO – VAFORA dif = 5000 – 4800 dif = $ 200

CUIDADO!


Matemática

No entanto, considere que o problema que estamos analisando tivesse o seguinte enunciado:

PROBLEMA 1

A diferença entre os descontos simples, de um título é $ 200. Determine o valor NOMINAL do títulosabendo que a taxa de desconto é 10%a.m. e o prazo é 2 meses antes do vencimento.

1° MÉTODO dif = VAd – VAf 200 = VN – VN . 0,81,2

Vamos multiplicar todos os membros da equação por 1,2

200 . 1,2 = 1VN – VN . 0,8 . 1,2240 = 1VN – 0,96VN

240 = 0,04 . VN

240 = VN VN = 60000,04

2° MÉTODO

Partimos do seguinte: df = dd = it % VN VAdentro 100%

Usando a propriedade das Proporções temos:

df – dd dif = it dif = dd . i . t Relação 2VN – Vad dd 100 100

dd

Assim, no problema:

200 = dd . 10 .2 dd = 1000 100

Ora, se a diferença entre os descontos é $200, concluímos que o desconto POR FORA é

df = 1000 + 200 df = 1200

Usando REGRA DE TRÊS VN 100 %df it %

VN 100 %1200 20 %

VAf = 6000 – 1200Logo VN = $ 6000

VAd = 6000 – 1000

Relação 1Note que sempre o denominadorcorresponde ao referencial 100%.

{

{

{


Matemática

PROBLEMA 3

A diferença entre os descontos por fora e por dentro (critério simples) de um título de valor nominalVN é 80. Se o valor atual POR DENTRO é 2000, determine o desconto POR DENTRO, o desconto PORFORA, o VN, a taxa de desconto TOTAL da operação, e a TAXA IMPLÍCITA EFETIVA de juros no prazoda operação.

Usaremos a Relação 1df = dd df – ddVN VA dentro VN – VAd dd

3° MÉTODO Partimos da relação:df = VN = 100 + it Relação 3dd VAd 100

df = VNSubstituindo VAd por VN – dddd VAd

fica:df = VNdd VN – dd

df . (VN – dd) = VN . dddf . VN – VN.dd = df . ddVN . (df – dd) = df .dd

df – dd = df .dd dif = df . dd Relação 4VN VN

Então o problema fica:

200 = 1000 x 1200 VN = 1.200.000 VN 200

VN = $ 6000

PROBLEMA 2

O desconto racional simples de um título de valor VN, é 1000. Determine o desconto COMERCIALSIMPLES, sabendo que o título foi descontado 2 meses antes do vencimento a taxa de 10%a.m.

Determine VN.Vamos partir da relação 3

df = VN = 100 + itdd VAd 100

df = 100 + it df = 100 + 20 df = 1,2 df = 1,2

dd 100 dd 100 dd 1000

df = 1200 e, por Regra de Três VN = 6000

Logo, vamos destacar a seguinte Relação

df = dd . ( )

acréscimo de it% de acordo com o “BALCONISTA”.Relação 5


Matemática

PRAZOS DE APLICAÇÃO NÃO CORRESPONDEM A UM NÚMERO

INTEIRO DE PERÍODOS DE CAPITALIZAÇÃO

RESUMO DAS PRINCIPAIS RELAÇÕES

dif = df – dd ou dif = VAd – VAf

df = dd = it % ou df = VN = (100 + it)%VN Vad 100% dd VAd 100%

Sempre o denominador corresponde ao referencial 100%.

CONCLUSÕES

dif = dd . i . t dif = dd . df 100 VN

df = dd.( )

acréscimo de it% de acordo com o “BALCONISTA”.

dd = dif ou dd2 = VAd . difVAd dd

Que também pode ser escrita df = dd = df – ddVN VAd dd

dd = dif Relação 6 ou (dd)2 = VAd . difVAd dd

Então no problema proposto: dd = 802000 dd

dd2 = 80 x 2000 dd2 = 160.000 dd = 400

Então df = 480 VN = VAd + ddVN = 2000 + 400 VN = 2400

TAXA DE DESCONTO

df = it 480 20% no prazo consideradoVN 100 2400

TAXA EFETIVA IMPLÍCITA DE JUROS NO PRAZO CONSIDERADO

VN = 2400 = 1,25 25%VAf 1920


Matemática

01. Qual o desconto comercial de um título apresen-tado 2 meses antes do vencimento cujo valor é$200.000 e cuja taxa foi de 15% ao mês?

02. O desconto bancário sofrido por um título é de$75.000. Se a taxa é de 5% ao mês e o título éapresentado 90 dias antes do vencimento, deter-mine o valor nominal e o valor atual.

03. Qual a taxa de desconto comercial simples deuma promissória paga 5 meses antes do venci-mento sabendo-se que se reduziu de $320.000 para$192.000?

04. Quanto tempo antes do vencimento foi paga umaletra de $600.000, descontada por fora a 6% a.a.,se o desconto foi de $27.000?

05. Uma promissória paga 8 meses antes do venci-mento, à taxa de 36%a.a., se reduziu a $95.000.Qual o valor nominal considerando o descontocomercial simples?

06. Qual o desconto por dentro de um título de$296.000 a 24% ao mês em 2 meses?

07. Um título apresentado 7 meses antes do venci-mento, foi descontado por dentro à taxa de 8% aomês e se reduziu para $400.000. Determine odesconto e o valor nominal.

08. Uma letra sofre um desconto de $50.000, pordentro. Sendo a taxa de 60% a.a. e o prazo 120dias, determine o valor nominal e o valor atual.

PROBLEMAS DE DESCONTO

09. Quanto tempo antes do vencimento foi descon-tada por dentro uma letra de $180.000 que se re-duziu para $120.000 a uma taxa de 12,5% ao mês?

10. Qual a taxa praticada no desconto por dentro deum título de $990.000 que se reduziu para$900.000 em um prazo de 1 ano e 3 meses?

11. Uma letra de $50.000 foi descontada em 6 me-ses e produziu o líquido de $47.500. Qual a taxaanual de desconto?

12. A que taxa foi descontado um título de $80.000que se reduziu para $60.000, apresentado 1 2/3anos antes do vencimento?

(A) 15% a.a.(B) 75% a. m.(C) 3,75% a. m.(D) 6,25% a. m.(E) 90% a.a.

13. Calcule o valor atual de uma letra que sofre des-conto racional 2 meses e 20 dias antes do venci-mento, sabendo-se que seu valor nominal é$20.400 e que a taxa de desconto é de 9% a.a.

(A) $2.040(B) $20.000(C) $19.600(D) $24.000(E) $19.992

14. Certo título foi descontado por fora 108 dias an-tes do vencimento, à taxa de 9,5% a.a. e produ-ziu o líquido de $310.880. Qual o desconto?

(A) $9.120(B) $320.000(C) $8.860,08(D) $3.200(E) $10.880


Matemática

15. A diferença entre os descontos por dentro e porfora de uma letra, calculados em 6 meses, à taxade 5% a.a. é de $45. Calcular o valor nominal:

(A) $13,50 (D) $1.845(B) $58,50 (E) $73.800(C) $1.800

16. A diferença entre os descontos por fora e pordentro de um título é de $36.000. Sabendo-se quea taxa mensal é de 18% e que o prazo é de 50dias, determine respectivamente o valor nominal,valor atual racional e o valor atual bancário.

17. Um título de $903.000 é apresentado para des-conto 100 dias antes do vencimento. Determine ovalor atual do ponto de vista do desconto por fora,do desconto por dentro. Qual a diferença entre osdescontos? i = 12% a.a.

18. A diferença entre os descontos bancário e racio-nal de um título é $880. Se o desconto racional é$14.400 e a taxa 20% a.a., determine quanto tem-po antes do vencimento foi apresentado e qual ovalor nominal.

19. Uma duplicata de $ 2.400.000 descontada 200dias antes do seu vencimento, sofreu um descon-to por fora de $30.000. Qual a taxa anual da ope-ração?

20. Um título foi descontado por dentro à taxa de 6%a.a., no prazo de 120 dias, ficando reduzido a$220.500. Qual era o valor nominal?

21. Um título de valor nominal X é descontado pordentro a uma taxa de 10% ao mês, 60 dias antesdo vencimento e produziu o mesmo valor atual deoutro título de valor nominal X+50 que foi des-contado por fora a 10% ao mês, 60 dias antes dovencimento. Determine o valor nominal e o valoratual.

22. Um título de valor nominal $12.000 sofre um des-conto à taxa de 6% a.a., 120 dias antes do venci-mento. Qual o valor do desconto?

(A) $240(B) $260(C) $300(D) $853(E) $864

23. O valor de um título descontado sob o critérioracional simples é 1/4 do seu valor nominal. De-termine a taxa de desconto, sabendo que a nego-ciação ocorreu 30 meses antes do vencimento.

(A) 300% a.a (B) 10% a.m (C) 400%a.a (D)300%a.m (E) 13%a.m,

24. Qual o valor atual de uma duplicata que sofre umdesconto por dentro de $500, a 50 dias de seuvencimento, à taxa de 3% ao mês?

(A) $9.500(B) $9.550(C) $10.000(D) $10.050(E) $ 10.500

25. Utilizando o desconto racional, o valor que devopagar por um título com vencimento daqui a 6meses se o seu valor nominal for de $29.500 e eudesejo ganhar 36% a.a.é de:

(A) $24.000(B) $25.000(C) $27.500(D) $18.800(E) $24.190

26. Um título de $8.000 sofreu um desconto racionalde $ 2.000, 8 meses antes do vencimento. Qual ataxa anual empregada?

(A) 28%(B) 37,5%(C) 45%(D) 50%(E) 52,5%


Matemática

27. Determinar o valor atual de certa nota promissó-ria que descontada por fora a taxa de 8,5% a.a.,144 dias antes do vencimento, sofreu $6.120 dedesconto.

28. Qual o desconto por dentro de um título, à taxa de16% a.a., em 7 meses e meio, considerando queo valor nominal do título é $5.148.

29. Uma duplicata de $128.000 descontada 198 diasantes do vencimento sofreu $38.016 de descontopor fora. Qual a taxa anual usada na operação?

30. Um banco recebeu para desconto, à taxa de 9%a.a., duas duplicatas cujos valores nominais so-mavam juntos $400.000. Sabendo-se que odeconto de ambas atingiu a $11.200 e que o prazoda primeira era 4 meses e o da segunda 100 dias,determine o valor nominal de cada duplicata. Cal-cule também o valor atual de ambas.

31. Um banco recebeu 3 duplicatas para desconto. Aprimeira representa 1/5 do total e a segunda re-presenta 2/3 da terceira. A taxa da primeira erade 3% ao mês e seu prazo de 80 dias. A taxa dasegunda era de 5% ao mês e seu prazo de 105dias. A taxa da terceira era de 18% a.a. e seuprazo de 50 dias. Sabendo-se que o desconto to-tal é de %50.400, qual o valor nominal de cadaduplicata?

32. Um banco recebeu para desconto duas duplica-tas. Seus valores nominais importavam conjunta-mente $80.000. A taxa de ambas era 2,4% ao mêse o desconto das duas atingiu a $2.800. Determi-ne o valor nominal de cada duplicata sabendo-seque a primeira foi descontada 40 dias antes e asegunda 50 dias antes do vencimento.

33. Um banco recebeu 3 duplicatas para desconto.A primeira representa 1/3 da segunda a e tercei-ra representa 3/4 da primeira. A taxa de todas é6% a.a. A primeira tem prazo de 2 meses, a se-gunda 3 meses e a terceira 4 meses. Se o des-conto total foi $1.400, determine o valor nominalde cada duplicata.

34. Qual é o valor da diferença entre os descontospor dentro e por fora de uma nota promissória de$1120 se ela for descontada 40 dias antes do seuvencimento a uma taxa de 9% ao mês?

35. A diferença entre os descontos comercial e raci-onal incidentes sobre um mesmo título é de $3,00.Sabendo que ambos foram calculados à taxa de15% ao ano e 4 meses antes do vencimento, qualo valor nominal do título?

36. Um título descontado por dentro produziu o líqui-do de $2000 e descontado por fora, produziu olíquido de $1920. Qual o valor nominal do título?

37. Qual o desconto por fora de um título de valornominal VN que gera um desconto por dentro de$300 se operado a 4% ao mês, 2 meses antes dovencimento? Determine VN:

38. (AFTN/85) Uma empresa descontou uma dupli-cata em um banco que adota uma taxa de 84%ao ano e o desconto comercial simples. O valordo desconto foi de Cr$ 10.164. Se na operaçãofosse adotado o desconto racional simples, o va-lor do desconto seria reduzido em Cr$ 1.764.Nessas condições, o valor nominal da duplicata éde:

(A) Cr$ 45.000(B) Cr$ 46.700(C) Cr$ 47.300(D) Cr$ 48.400(E) Cr$ 50.000


Matemática

39. (TTN/94) O valor atual racional de um título éigual a 1/2 de seu valor nominal. Calcular a taxade desconto, sabendo-se que o pagamento dessetítulo foi antecipado de 5 meses.

(A) 200% ao ano(B) 20% ao ano(C) 25% ao mês(D) 28% ao mês(E) 220% ao ano

40. (TTN/89) Utilizando o desconto racional, o valorque devo pagar por um título com vencimento daquia 6 meses, se o seu valor nominal for de NCz$29.500,00 e eu desejo ganhar 36% ao ano, é de:

(A) NCz$ 24.000,00(B) NCz$ 25.000,00(C) NCz$ 27.500,00(D) NCz$ 18.880,00(E) NCz$ 24.190,00

41. (TTN/94) Admita-se que uma duplicata tenha sidosubmetida a 2 tipos de descontos. No primeirocaso, a juros simples, a uma taxa de 10% ao ano,vencível em 180 dias, com desconto comercial (porfor(A). No segundo caso, com desconto racional(por dentro), mantendo-se as mesmas condições.Sabendo-se que a soma dos descontos, por fora epor dentro, foi de R$ 635,50, o valor nominal dotítulo era de R$:

(A) 6.510,00(B) 6.430,00(C) 6.590,00(D) 5.970,00(E) 6.240,00

42. (TTN/94) José descontou 2 duplicatas em umbanco, no regime de juros simples comerciais, auma taxa de juros de 15 %a.a. O primeiro títulovencia em 270n dias e o segundo em 160 dias,sendo que o último título era de valor nominal 50%superior ao primeiro. Sabendo-se que os dois des-contos somaram o valor de R$ 382,50, o título queproduziu maior desconto tinha valor nominal, emR$, de:

(A) 1.850,00(B) 1.750,00(C) 1.800,00(D) 1.700,00(E) 1.900,00

43. (AFTN/96) Você possui uma duplicata cujo va-lor de face é $150,00. Esta duplicata vence em 3meses. O banco com o qual você normalmenteopera além da taxa normal de desconto mensal(simples por for(A) também fará uma retençãode 15% do valor de face da duplicata a titulo desaldo médio, permanecendo bloqueado em suaconta este valor desde a data do desconto até adata do vencimento da duplicata. Caso você des-conte a duplicata no banco você receberá líqui-dos, hoje, $105,00. A taxa de desconto que maisse aproxima a taxa praticada por este banco é:

(A) 5,0%(B) 5,2%(C) 4,6%(D) 4,8%(E) 5,4%

44. (CESPE/UnB - Senado Federal/96) No descon-to simples bancário de 4 títulos à mesma taxa dedesconto, cada um no valor de R$ 2.000,00, comvencimentos mensais e sucessivos, a partir de 30dias, obteve-se um valor líquido de R$ 7.000,00.Com relação a situação descrita, julgue os itensque se seguem:

(1) A taxa de desconto simples do título que ven-ce em 120 dias correspondente à taxa dejuros simples de 6,25% ao mês.

(2) A taxa de desconto simples para cada títuloé igual a 5% ao mês.

(3) O desconto obtido para o título que venceem 90 dias é o triplo do desconto obtido parao título que vence em 30 dias.

(4) As taxas mensais de juros simples dos valo-res atuais dos títulos são diferentes.

(5) No desconto simples bancário, a taxa dedesconto incide sobre o valor atual ou líqui-do.


Matemática

Gabarito

01. df = 60.000

02. NV = 500.000

VA = 425.000

03. i = 8% a.mês

04. 9 meses

05. VN = 125.000

06. dd = 96.000

07. dd = 224.000

VN = 624.000

08. VN = 300.000

VA = 250.000

09. 4 meses

10. i = 8% a.a.

11. 10% a.a.

12. 15% a.a.

13. B

14. A

15. E

16. VN = 520.000

VAd = 400.000

VAf = 364.000

17. VA(fora) = 872.900

VA(d) = 873.870,97

diferença = 970,97

18. 110 dias

19. i = 2,25% a.a.

20. VN = 224.910

21. VA = $1.000

x = $1.200

x + 50 = $1.250

22. A

23. B

24. C

25. B

26. D

27. $173.880

28. $468

29. 54% a./a.

30. VN = 240.000

e 160.000

VA = 232.800

e 156.000

31. 120.000

192.000

288.000

32 50.000 e

30.000

33. 20.000

60.000

15.000

34. 14,40

35. $1260

36. VN = 2400 it = 20%

37. df = 324 VN = 4050

38. D

39. B

40. B

41. A

42. C

43. A

44. C-C-C-C-E


Matemática

O Desconto Comercial Simples é o mais usado no “Desconto de Títulos” (Factoring).O Desconto Comercial Composto é usado mais em DEPRECIAÇÃO do valor de BENS.Já o Desconto Racional Composto é usado em EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS.Finalmente, O Desconto Racional Simples é usado em negociações “entre amigos”, mas cai bastante

em Concursos Públicos.

PROBLEMA PROPOSTODetermine o VA de um título de $ 145.200, apresentado 2 meses antes do vencimento, a uma taxa de

10%a.mês, sob os 4 critérios de desconto.

DESCONTO COMERCIAL SIMPLES DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO

DESCONTO RACIONAL SIMPLES DESCONTO RACIONAL COMPOSTO

ESQUEMA COMPARATIVO ENTRE DESCONTOSSIMPLES E COMPOSTOS

Considere um título de valor nominal VN apresentado 6 meses antes do vencimento a uma taxade 5%a.mês.

O VALOR ATUAL VA poderá ser encontrado por 4 critérios:

DESCONTO COMERCIAL SIMPLES DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO

DESCONTO RACIONAL SIMPLES DESCONTO RACIONAL COMPOSTO

VA = VN1,3 VA =

VN(1,05)6

VA = VN . (0,95)6VA = VN . 0,7


Matemática

Gabarito: 60 % ao ano.

EQUIVALÊNCIA ENTRE TAXA DE DESCONTORACIONAL E COMERCIAL COMPOSTOS

Taxas de desconto equivalentes são aquelas que produzem decontos iguais quando aplicados aum mesmo título por igual tempo de antecipação.

Consideramos o mesmo período de capitalização para uma taxa iR de desconto racional e uma outraiC do desconto comercial, podemos afirmar que a relação de equivalência entre iR e iC nos dará:

DC = DR

VN – DC = VN – DR

VAC = VAR

VN . (1 – iC)n = VN (1 + iR)n

(1 – iC )n . (1 + iR)n = VN = 1 VN

n (1 – iC )n . (1 + iR)n = n 1

Então:

(1 – iC ) . (1 + iR) = 1

Exemplo:

Determine a taxa anual de desconto racional composto equivalente à taxa de desconto comercialcomposto de 37,5% ao ano.


Matemática

EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS SOB ÓTICA DEJUROS E DESCONTOS SIMPLES

O título VN1 deve ser pago em t = 3 e o título VN2 deve ser pago em t = 6.Digamos que esses dois títulos queiram ser substituídos por 3 títulos de valor nominal x para serem

pagos em t = 2, t = 5 e t = 7.Como proceder?A idéia geral, válida em qualquer dos 4 critérios apresentados anteriormente é que:

O SOMATÓRIO dos valores atuais (na data zero) dos títulos que saem deve ser igual aoSOMATÓRIO dos valores atuais (na data zero) dos títulos que entram.

No caso VA1 + VA2 = VA3 + VA4 + VA5

Na data zero Na data zeroTítulos que saem Títulos que entram

O valor atual pode ser encontrado por qualquer um dos 4 critérios. Por isso deve ficar claro qualo critério adotado.

DATA FOCAL

É a data escolhida como REFERÊNCIA para comparação de capitais.No critério de juros ou descontos simples, a DATA FOCAL deverá ser, OBRIGATÓRIAMENTE ADATA ZERO.

Já sob critério do desconto racional composto, qualquer data pode ser escolhida de comparação decapitais e não haverá distorções.

0 1 2 3 4 5 6 7

VN1 VN2

{ {


Matemática

PROBLEMAS

01. Desejamos substituir um título vencível em 3meses por outro com vencimento em 5 meses.Sabendo que o VN do título é 32375 e a taxa de2,5%ao mês, de desconto comercial simples,determine o novo valor do título:

02. Deseja-se substituir 2 títulos um de $ 50.000 para90 dias e outro de $ 120.000 para 60 dias, por trêsoutros, com mesmo valor nominal, vencíveis,respectivamente em 30, 60 e 90 dias. Calcule ovalor nominal comum, sabendo que a taxa dedesconto comercial simples é de 3% ao mês:

03. (AFTN) Uma firma deseja alterar as datas evalores de um financiamento contratado. Estefinanciamento foi contratado, há 30 dias, a umataxa de juros simples de 2% ao mês. A instituiçãofinanceira não cobra custas nem taxas para fazerestas alterações. A taxa de juros não sofreráalterações.Condições pactuadas inicialmente:Paga-mento duas prestações mensais e sucessi-vas de $11.024, a serem pagas em 60 e 90 dias.Condições desejadas: Pagamento em trêsprestações iguais; sendo a primeira ao final do10° mês; a 2ª ao final do 30° mês; a terceira aofinal do 70° mês.Caso sejam aprovadas as alterações, o valor quemais se aproxima do valor unitário de cada umadas novas prestações, é:

(A) $8.200,00(B) $9.333,33(C) $10.752,31(D) $11.200,00(E) $ 12.933,60

Gabarito01. 34.22502. 56.134,7503. D04. D05. A

04. (TTN) Um negociante tem duas dívidas a pagar,uma de Cr$ 3000,00, com 45 dias de prazo eoutra de Cr$ 8400,00, pagável em 60 dias. Onegociante quer substituir essas duas dívidas poruma única, com 30 dias de prazo. Sabendo-seque a taxa de desconto comercial é de 12% aoano e usando a data zero, o valor nominal dessadívida será de:

(A) Cr$ 11.287,00(B) Cr$ 8.232,00(C) Cr$ 9.332,00(D) Cr$ 11.300,00(E) Cr$ 8.445,00

05. (AFTN) João deve a um banco $ 190.000 quevencem daqui a 30 dias. Por não dispor denumerário suficiente, propõe a prorrogação dadívida por mais 90 dias. Admitindo-se para ocálculo do valor atual a DATA FOCAL ZÉRO(t =0) e que o banco adote a taxa de descontocomercial simples de 72% ao ano, o valor do novotítulo será de:

(A) $ 235.000(B) $ 238.000(C) $ 240.000(D) $ 243.000(E) $ 245.000


Matemática

2. Uma compra seria paga na data 7 com um cheque de $12.000.Desejando antecipar o pagamento para data 3, devemos substituir o cheque de $12.000 por outro de valor

igual a ___________ . Considere juros compostos de 3% a.mês

0 1 2 3 4 5 6 7 MESES

X

1728 PO 1440 1200

3.Um produto custa à vista Po, e é vendido em 3 cheques conforme mostra o FLUXO DE CAIXA acima.Desejando trocar para pagamento único na DATA UM, o valor x do cheque será:Determine também o valor à vista Po.Considere juros compostos de 20%a.mês.

0 1 2 3 4 5 6 7 SEMESTRES

x $ 10.000

0 1 2 3 4 5 6 7 MESES

X 1200 12000

x

RENDAS UNIFORMES E VARIÁVEIS

EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS

1. Uma mercadoria de $10.000 será paga na data 6.Qual o valor na data 6, a juros compostos de 10% a.anocom capitalização semestral?


Matemática

0 1 2 3 4 5 6 7 MESES

14641

PO

X 12100

4. Deseja-se substituir os dois cheques do gráfico por um pagamento único na data 3.Calcule o valor de x para i = 10% a.mês.

5. No exemplo anterior, qual o valor atual na data zero? (Que pode ser preço à vista, valor principal doempréstimo, etc...)

0 1 2 3 4 5 6 7 PERIODOS

$ 11025

6. Determine o valor atual do título acima nas datas ZERO e SEIS para uma taxa de 5% ao período(meses,bimestre,etc...)

8. Um trator é vendido à vista ou em 3 parcelas anuais de $36.000 cada uma, sendo a primeira no ato da compra.Se a taxa de juros compostos é 20% a.ano, qual o PREÇO Á VISTA?

7. Uma máquina de preço à vista Po pode ser paga 2 anos após a compra em parcela única de $ 11.236.Considerando juros compostos de 6% a.ano, determine o PREÇO À VISTA.

0 1 2 3 anos

Gabarito01. 10.000 . (1,05)6 02. 1200/(1,3)4 03. x = 3000 Po = 2500 04. x = 26620 05. Po = 20.00006. VA na data ZERO = 10.000 VA na data SEIS = 11.025.(1,05)4 07. Po = 10.000 08. Po = 91.000


Matemática

JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL

1000 1000 1000 1000 1000 PO VA

SÉRIE DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS

PROBLEMA PROPOSTO

7 7 7 7 7 7 7

i =10% a.mês

A) Qual o valor único das 5 parcelas na data 7 de julho?

B) Qual o valor atual de toda a série de capitais na data 7 de fevereiro?

C) Qual o valor da série na data 7 de janeiro?

SOLUÇÃO

GabaritoA = 6105,10 B = 3790,79 C = 3446,17


Matemática

CLASSIFICAÇÃO DAS RENDAS

A sucessão dos depósitos feitos para se constituir um capital (CAPITALIZAÇÃO) ou de pagamen-to feitos para se resgatar uma DÍVIDA (amortização) é chamada de RENDAS CERTAS.

Pode ocorrer, também, o caso em que se tem o pagamento pelo uso, sem que haja AMORTIZA-ÇÃO, que é o caso dos ALUGUÉIS.

Esses exemplos caracterizam a existência das RENDAS ou ANUIDADES que podem ser divididasem dois grupos:

A) RENDAS CERTAS ou DETERMINÍSTICAS: são aquelas que não dependem de fatores externos esão pré-determinadas. São estudadas pela MATEMÁTICA FINANCEIRA.

B) RENDAS ALEATÓRIAS ou PROBABILÍSTICAS: são aquelas em que os pagamentos e/ou recebi-mentos são imprecisos ou o seu início e/ou final são aleatórios.

Exemplo: seguros de vida - o valor dos pagamentos é CERTO mas a duração é INCERTA.

Estes tipos de renda são estudados pela MATEMÁTICA ATUARIAL.

IMEDIATAS ANTECIPADAS

1º pagto. no início do 1º período

DIFERIDA ANTECIPADA

Ex.: carência de 3 meses

IMEDIATA POSTECIPADA

1º pagto. no final do 1º período

DIFERIDA POSTECIPADA

Ex.: carência de 3 meses

EXEMPLOS

ANTECIPADAPOSTECIPADA

ANTECIPADAPOSTECIPADA

CERTAS

ALEATÓRIASRENDAS

PERIÓDICAS

NÃO-PERIÓDICAS

TEMPORÁRIAS

PERPÉTUAS

CONSTANTES

VARIÁVEIS

IMEDIATAS

DIFERIDAS


Matemática

ObservaçãoCertos professores criaram o “vício” de subentender rendas diferidas como sendo diferidas

postecipadas. Tenha cuidado!Na verdade as diferidas podem ser antecipadas ou postecipadas. Não estabelecer o tipo significa

“sonegar” informações do aluno.

CAPITALIZAÇÃO

Podemos entender que a sucessão dos depósitos ou pagamentos feitos de forma periódica e cons-tante formará um MONTANTE que pode ser utilizado como POUPANÇA ou como ACÚMULO DECAPITAL para liquidar uma DÍVIDA que por sua vez também cresce nesse período. A dívida serásaldada quando o PRINCIPAL ACRESCIDO DOS JUROS for equivalente ao montante acumuladopelos sucessivos depósitos ou pagamentos.

EXEMPLO

Consideremos um capital X, aplicado mensalmente a juros compostos, sempre no mesmo dia domês, seja este qual for.

10 ABR

X . (1 + i)3

X . (1 + i)2

X . (1 + i)

X

10 MAI

X . (1 + i)4

X . (1 + i)3

X . (1 + i)2

X . (1 + i)

X

10 JUN

X . (1 + i)5

X . (1 + i)4

X . (1 + i)3

X . (1 + i)2

X . (1 + i)

X

1º depósito

2º depósito

3º depósito

4º depósito

5º depósito

6º depósito

10 JAN

X

10 FEV

X . (1 + i)

X

10 MAR

X . (1 + i)2

X . (1 + i)

X

MONTANTES NO MOMENTODO ÚLTIMO DEPÓSITO

Observamos que a SOMA DOS MONTANTES decorrentes da aplicação mensal de CADACAPITAL X, forma uma PG de razão q = (1 + i), onde n é o número de aplicações.

M = X + X . (1 + i) + X . (1 + i)2 + X . (1 + i)3 + ... X . (1 + i)n-1

Usando a fórmula da SOMA DOS TERMOS DE UMA PG, temos:

Sn = a1 . (qn - 1) M = X . [(1 + i)n - 1] q - 1 i

Note-se que se quisermos saber o montante no FINAL do último período, todo o MONTANTEcrescerá (1 + i).

Assim, M = X . [(1 + i)n - 1] . (1 + i) i

E o montante n períodos após o último depósito crescerá (1 + i)n, ou seja, sob regime de capitali-zação composta.

MONTANTE DOSCRÉDITOS NOMOMENTO DO

ÚLTIMO DEPÓSITO


Matemática

01 Determine o montante acumulado após 20 depósitosmensais de R$1.000, colocado a juros compostos5% a.mês, no instante imediatamente posterior ao20º depósito.

02 Determine o montante obtido pelo depósito periódicoe constante de $600, aplicado a uma taxa de 3% emcada período, sob regime de capitalização compos-ta, no momento imediatamente posterior ao 24ºdepósito.

03 Quanto devo depositar mensalmente para acumular$30.000, após 24 depósitos mensais corrigidos ajuros compostos de 1% a.mês?

04 Depositando mensalmente $1.000 em um fundo querende 1% a.mês, o montante imediatamente apóso 20º depósito será de:A) $24404 B) $24000C) $22019 D) $22000E) $22200

PROBLEMAS PROPOSTOS05 ESAF(adaptado) Quanto devo depositar mensal-

mente para obter um montante de $12.000,ao fimde um ano, sabendo-se que a taxa mensal deremuneração do capital é de 4% e que o primeirodepósito é feito 1 mês após o início da contagem dotempo.A) 12000 ÷ 15,025805B) 12000 ÷ (12 x 1,48)C) 12000 ÷ 9,385074D) 12000 ÷ (12 x 1,601032)E) 12000 ÷ 12

06 Quanto será o montante, 1 ano após o 1º depósito, deuma série de capitais constituída por 12 depósitosmensais e constantes de $1.000, a juros compostosde 2% a.mês?

A figura mostra que o 1° pagamento foi feito em t = 4. Para identificar a data desse pagamento podemosdizer:

A) O 1° pagamento foi feito no início do 5° mês.B) A renda é diferida antecipada com 4 meses de carência.C) A renda é diferida postecipada com 3 meses de carência.

Gabarito01.33065,95 02.20655,66 03.1112,2004.C 05.A 06. 13680,33

ATENÇÃO

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Po 1° PAGAMENTO

RESUMO TEÓRICO

M = X [( )N-1] ou M = X .Sn ¬ ii

M é o montante de N parcelas iguais e periódicas, no momento imediatamente posteriorao último depósito.

X = Valor constante de cada parcela

N = Número de parcelas

i = Taxa expressa na forma decimal

Sn ¬ i ou FAC = Fator de acumulação de capital


Matemática

PANORÂMICA DA SÉRIE DE CAPITAIS

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

500500500500500500

A) Qual o valor único na data 8?B) Qual o valor único na data 3?C) Qual o valor único na data 2?D) Qual o valor único na data 0?

SOLUÇÃO

SIGNIFICADO DE VA

VA = X . [( )N-1] ou VA = X . [1 – ( )-N ] i . ( )N i

esta expressão pode ser apresentada da seguinte forma VA = X . an¬ i

VA é o VALOR ÚNICO de TODA A SÉRIE DE CAPITAIS 1 PERÍODO ANTES da1ª PARCELA.

Todas as parcelas da SÉRIE DE CAPITAIS tem seus VALORES ATUAIS CALCULADOS NADATA FOCAL CORRESPONDENTE A UM PERÍODO ANTES DA 1ª PARCELA.

X = VA X = VA . 1an¬ i an¬ i

Tabela 5 Tabela 6

CÁLCULO DAS PARCELAS

Gabarito A = 3400,95 B = 3749,54 C = 2664,73 D = 2537,84 E = 2301,84


Matemática

PROBLEMAS PROPOSTOS

2000 2000 2000 2000 2000 VA

0 1 2 3 4 5 6 7 8 MESES

2000 02. Po

I=5% a.mêsDetermine VA e Po

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MESES

300 300 300 300 300 300 300 PO VA

i =6 % a.mês

Determine:A) M na data 10

B) VA na data 3

C)Po na data zero

01.

X X X X X VA

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MESES

PO = 10.000 03.

Um produto é vendido à vista por $10.000.um cliente acerta os pagamentos acima, em parcelas iguais ejuros compostos de 2% a.mês. Determine o valor x:

04. Um empréstimo de $50.000 será pago em 20 parcelas mensais e iguais, sob juros de 4% a.mês,capitalizados mensalmente e o primeiro pagamento é feito no final do 3º mês. Qual o valor da parcela?

05.

Um terreno é comprado em 6 pagamentos semestrais de $3.000. O primeiro pagamento é feito no finaldo primeiro semestre. São cobrados juros compostos de 3% a.semestre. Qual o preço à vista?

3000 3000 3000 3000 3000

0 1 2 3 4 5 6 SEMESTRES

3000 PO


Matemática

X X X

0 1 2 24 MESES

PO = 20.000 …

Um carro de $20.000 é vendido em 24 parcelas iguais, mensais imediatas postecipadas, a juros de 1%a.mêsDetermine o valor da parcela.

06.

07.

Um produto que custa à vista $30.600 é vendido em 7 parcelas mensais, iguais imediatas e antecipadas(1ª parcela no ato da compra).Determine o valor da parcela para juros compostos de 2% a.mês.

-1 0 1 2 3 4 5 6

X X X XX X X

30.600

08. Determine o preço à vista de uma mercadoria que é paga em 20 parcelas de $1.000, mensais e iguais, sendoa primeira no ato da compra e juros compostos de 4% a.mês.

09. Determine o número de parcelas em que foi vendido uma casa de $100.000, sabendo-se que a juros de 5%a.semestre o valor de cada parcela ficou $7.800, iguais por semestre, sendo o primeiro pagamento 6 mesesapós a compra.

Gabarito01. A) 2518,15 B) 1674,71 C) 1406,1202. VA = 10151,38 Po = 9207,6003. VA = 11040,80 X = 2342,4204. X = 3979,20 05. Po = 16251,5706. X = 941,40 07. X = 4635,3008. Po = 14133,94 09. 21 parcelas


Matemática

TAXA INTERNA DE RETORNO

01. Determine a taxa de retorno de um investimento de $100.000, recuperado em 12 prestações mensaisimediatas postecipadas de $11.928.

…

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 MESES

10.000 11928 11928 11928 100.000

2. (CEF/ACRE-2008)A tabela abaixo apresenta o fluxo de caixa de um certo projeto

VALOR ( MILHARES DE REAIS ) -50 35 22

PERÍODO (ANOS ) 0 1 2

A TAXA INTERNA DE RETORNO é igual a:

A) 10% B) 12% C) 15% D) 18% E) 20%

3. (CESGRANRIO/2008) A tabela abaixo apresenta o fluxo de caixa de um certo projeto

PERÍODO (ANOS) 0 1 2

VALOR (MILHARES DE REAIS) -410 P P

Para que a taxa interna de retorno anual seja 5%, o valor de P, em milhares de reais, deve ser

A) 216,5 B) 217,5 C) 218,5 D) 219,5 E) 220,5

TAXA DE RETORNO É AQUELA EM QUE O VALOR ATUAL DAS RECEITAS É IGUALAO VALOR ATUAL DAS DESPESAS

ou seja

VPL = 0

VPL= VALOR PRESENTE LÍQUIDO ( DE UM FLUXO DE CAIXA )

VPL = VALOR ATUAL DAS RECEITAS – VALOR ATUAL DAS DESPESAS


Matemática

5. Uma alternativa de investimento é composta de umfluxo de caixa com um desembolso de $20.000 noinício do primeiro ano, um desembolso de $20.000no fim do primeiro ano e dez entradas liquidasanuais e consecutivas de $10.000 a partir do fimdo segundo ano, inclusive. A uma taxa de 18%a.ano, obtenha o valor desse fluxo de caixa no fimdo primeiro ano.

A)24.940,86B)11.363,22C)5.830,21D)4.940,86E)1.340,86

6. Um empréstimo de $20.900 foi realizado com umataxa de juros de 36% a.ano, capitalizados trimes-tralmente, e deverá ser liquidado através dopagamento de 2 prestações trimestrais, iguais econsecutivas (primeiro vencimento ao final doprimeiro trimestre, segundo vencimento ao finaldo segundo trimestre). O valor que mais seaproxima do valor unitário de cada prestação é:

A)$10.350,00B)$10.800,00C)$11.881,00D)$12.433,33E)$12.600,00

Gabarito01. 6% 2) A 3) E 4) D 5) E6) C 7) E 8) CERTO ( $11.280,00 ) 9) C 10) E

4. A tabela apresenta o fluxo de caixa de um certoinvestimento

VALOR - 20.000 15.000 12.500 (UNIDADES MONETÁRIAS)

PERÍODO 0 1 2 (SEMESTRES)

Determine a taxa interna de retorno do investi-mento

A) 10%B) 15%C) 20%D) 25%E) 5%

7. (ESAF) Um indivíduo deve $181.500,00 vencíveisem t = 6 meses e $380.666,00 vencíveis em t = 12meses. Para transformar sua dívida em umasérie uniforme de 4 pagamentos trimestraispostecipados em relação a t = 0, a juros compos-tos de10% a.trimestre, o valor do pagamentotrimestral desprezados os centavos é:

A)$102.500B)$118.207C)$140.541D)$136.426E)$129.343

8. (BB/CESPE 2007) Um empréstimo de $20.000,00foi concedido à taxa de juros compostos de 6%aomês. Dois meses após concedido o empréstimo,o devedor pagou $12.000,00 e, no final do tercei-ro mês, liquidou a dívida. Nessa situação, toman-do-se 1,2 como valor aproximado de (1,06)³,conclui-se que esse último pagamento foi supe-rior a $ 11.000,00. ( CERTO OU ERRADO )

9. Um fluxo de caixa é composto de 10 desembolsosmensais de $ 1000,00, sendo o primeiro no iníciodo primeiro mês. E de 12 recebimentos mensaisde $2000,00, sendo o primeiro no início do 11ºmês. Considerando juros compostos de 5% aomês, determine o VALOR PRESENTE LÍQUI-DO deste fluxo de caixa no final do 9º mês ( podeaproximar o resultado ).

A) 14.000,B) 13.000,C) 5148D) 8685E) 9980

10. Determine o valor à vista de um imóvel que é pagoem 20 parcelas mensais e iguais a $ 5000,00sendo que a primeira é paga 5 meses após acompra. Considere juros compostos de 1% aomês.

A) 90.227B) 100.000C) 95.000D) 85.000E) 86.707


Matemática

CÁLCULO FINANCEIRO

CUSTO EFETIVO DAS OPERAÇÕES DE FINANCIAMENTO,EMPRÉSTIMO e INVESTIMENTO

Consideremos um apartamento que custa à vista $ 100.000.

Uma pessoa compra este apartamento pagando 24 parcelas mensais de $ 5.287, sendo a 1ª parcelapaga 1 mês após a compra.

Qual o custo real efetivo do financiamento?

ATENÇÃO

Não podemos confundir o VALOR NOMINAL total pago, que é

24 x $ 5287 = $ 126.888 com o CUSTO REAL EFETIVO

SOLUÇÃOUsando a expressão VA = X . an ¬ i

100.000 = 5287 . an ¬ i

100.000 = an ¬ i 5287

Mas é mais fácil DIVIDIR por 1000.000, então

0,05287 = 1 para N = 24 parcelas an ¬ i

Recorrendo à TABELA FINANCEIRA 6, temos

2%

N = 24 0,05287

O CUSTO EFETIVO foi de 2%a.mês

PROVA REAL

Vamos imaginar que o comprador combina para pagar TODAS as parcelas na DATA 24.Sobre cada parcela incidirá juros de 2% a.m, compostos.

O valor M a ser pago na data 24 é

M = 5287 [(1,02)24 –1] M = 160.840,37 0,02

No entanto, se fizermos 100.000 . (1,02)24 teremos

M = 100.000 . 1.0684372 M = 160.843,72

OBS: A diferença se deve ao fato de que a parcela $ 5287 é um valor “ARREDONDADO”.


Matemática

03. (CESPE) - O preço de um televisor de 20 pole-gadas da marca Alpha é R$ 400,00. O vendedorpropõe a um comprador as seguintes alternativasde pagamento:I - pagamento em 30 dias, com acréscimo de 5%

sobre o preço de tabela;II - pagamento à vista, com 4% de desconto so-

bre o preço de tabela.Considere X como sendo a diferença entre ospreços do televisor para pagamento em 30 dias epara pagamento à vista. Assim, X representa umaporcentagem do preço à vista do televisor iguala:(A) 9% (D) 9,5%(B) 9,25% (E) 9,725%(C) 9,375%

04. (CESPE) - Paulo quer comprar um refrigeradore tem as seguintes alternativas:I - à vista, por R$ 900,00II - em duas prestações mensais e iguais a R$

500,00, vencendo a primeira no ato da com-pra;

III - em três prestações mensais e iguais a R$350,00 vencendo a primeira no ato da com-pra.

Supondo que ele possa aplicar o dinheiro a umataxa de 4% ao mês, assinale a opção que indicaas formas de pagamento, em ordem crescentede vantagem para Paulo.(A) I - II - III(B) II - I - III(C) III - I - II(D) III - III - I(E) II - III - I

Portanto o custo REAL EFETIVO do financiamento foi 60,84% em 2 anos.O que corresponde a uma TAXA EFETIVA ANUAL de

(1,02)12 1,2682

26,82%a.ano EFETIVO

ou

(x)2 = 1,60843

x = 1,60843

x = 1,2682

01. (TCU) - O preço de uma mercadoria é $ 2.400,00e o comprador tem um mês para efetuar o paga-mento. Caso queira pagar à vista, a loja dá umdesconto de 20%. O mercado financeiro oferecerendimento de 35% ao mês. Assinale a opçãocorreta.(A) A melhor opção é o pagamento à vista.(B) Não há diferença entre as duas modalidades

de pagamento.(C) No pagamento a prazo, o comprador lucra,

no fim do mês, $192,00.(D) No pagamento a prazo, o comprador lucra,

no fim do mês $ 210,00.(E) No pagamento a prazo, o comprador lucra,

no fim do mês, $ 252,00.

02. (CESPE) - Uma escola oferece as seguintesopções para o pagamento da taxa de matrícula,quando efetuada no dia 5 de dezembro:

I - desconto de 10% para pagamento à vista;II - pagamento em duas vezes, sendo 50% no ato

da renovação da matrícula e 50% um mêsapós, isto é, no dia 5 de janeiro.

Um pai de aluno não quer ter lucro nem prejuízo,optando por qualquer uma das duas modalidadesde pagamento, no ato da renovação de matrícula.Para tanto, se optar por II, deve investir a dife-rença entre os valores que seriam pagos em 5 dedezembro nas modalidades I e II, em uma aplica-ção financeira com uma taxa mensal de rendi-mento de:(A) 5%(B) 10%(C) 20%(D) 25%(E) 30%

Testes - Análise de investimentos


Matemática

05. (CESPE) - Fernando possui uma quantia sufici-ente para adquirir um aparelho de som, mas aloja oferece três formas diferentes de pagamen-to:

I - à vista, com 20% de desconto;

II - em duas prestações mensais e iguais, com10% de desconto, vencendo a primeira ummês após a compra;

III - em três prestações mensais e iguais, semdesconto, vencendo a primeira no ato da com-pra.

Admitindo que a taxa de rendimento das aplica-ções financeiras seja de 3% ao mês, assinale aopção que indica as escolhas que Fernando podefazer, em ordem decrescente de vantagem paraele, isto é, da mais vantajosa para a menos vanta-josa.

(A) I - II - III(B) I - III - II(C) II - III - I(D) III - I - II(E) III - II - I

06. (CESPE) - Julgue os itens que se seguem

(1) Um bem pode ser adquirido por 100 reais àvista ou em 2 (duas) prestações fixas de 60reais, a primeira devida no ato da compra.Para o comprador, a segunda opção serámelhor que a primeira somente quando a taxade juros mensal for maior que 50%.

(2) Pressupondo que o mercado imobiliário este-ja em equilíbrio e que a taxa de juros real sejade 10% ao ano e seja constante, o proprietá-rio de um imóvel que conseguir 1.200 reais,líquidos, de aluguel por ano, terá prejuízo sevender seu imóvel por quantia inferior a1220.00 reais (considere que o aluguel possamanter-se constante durante toda a vida doproprietário).

(3) Será indiferente, para um investidor, uma apli-cação, com vencimento em 2 (dois) anos, quelhe renda juros simples anuais de 10% e ou-tra, com idêntico prazo de maturação, que lherenda juros compostos de 8% ao ano, capita-lizados anualmente.

(4) Se em dado momento a importância de 100reais é aplicada a juros compostos de 4% anoa ano, capitalizados anualmente, ao final de 2(dois) anos terá rendido a importância de 8,16reais de juros.

(5) Um demógrafo deseja determinar em que anoa população de certo país dobrará. Pressu-pondo que a taxa de crescimento demográficoseja constante e igual a 2% anuais, odemógrafo terá de calcular o valor da razãolog(1,02) .

log 2

07. (CESPE) - Uma alternativa de investimento possuium fluxo de caixa com um desembolso de R$10.000,00, no inícvio do primeiro mês, outro de-sembolso, de R$ 5.000,00 ao final do primeiro mês,e duas entradas líquidas de R$ 11.000,00 e R$12.100,00, no final do segundo e do terceiro me-ses, respectivamente. Considerando uma taxanominal de juros de 120% ao ano, julgue os itensa seguir.

(1) As taxas anuais, tanto efetivas quanto nomi-nais, têm o mesmo significado e assumem va-lores iguais quando se trata de fluxo de caixa.

(2) Os valores atuais de entradas líquidas, no fimdo primeiro mês, somam R$ 20.000,00.

(3) A soma dos montantes dos desembolsos, nofim do terceiro mês, é exatamente igual a R$19.000,00.

(4) O valor atual do fluxo de caixa, no fim doprimeiro mês, é igual a R$ 4.000,00.

(5) No fim do terceiro mês, o montante do fluxode caixa é negativo.

Gabarito01. C 02. D 03. E 04. D05. A06. E - E - E - C - E07. E - C - E - C - E


Matemática

SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO

Toda vez que contrairmos uma DÍVIDA, optamos por um sistema de pagamento que nospermita AMORTIZAR essa dívida, ou seja, DIMINUIR EFETIVAMENTE O MONTANTE DADÍVIDA ATÉ QUITÁ-LA e, ainda PAGAR OS JUROS decorrentes dessa dívida.

Existem muitas maneiras de quitar uma dívida. Nos empréstimos a CURTO PRAZO (inferi-ores a um ano), é comum utilizar-se JUROS SIMPLES. Já nos empréstimos a LONGO PRAZO(prazo superior a um ano) sempre se utilizam os JUROS COMPOSTOS.

Em ambos os casos, os JUROS e a AMORTIZAÇÃO propriamente dita, podem ser pagos dediferentes maneiras. Ao efetuarmos um conjunto de pagamentos para quitar uma dívida, os jurospodem ser cobrados antecipadamente, ao longo do período estabelecido para quitá-la ou no final doprazo. A amortização efetiva da dívida também pode ser feita parceladamente ou no final do prazoacordado.

Os sistemas de amortização mais conhecidos são os seguintes:

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO PROGRESSIVA – SISTEMA FRANCÊS OU SISTEMAPRICE

Neste sistema a DÍVIDA é QUITADA através de um conjunto de pagamentos de N termos deuma RENDA IMEDIATA POSTECIPADA.

Cada termo da renda (prestação) contém 2 partes:

Uma parte do valor destina-se ao pagamento dos JUROS e outra parte serve para DIMINUIRo montante da dívida, ou seja, para AMORTIZÁ-LA.

Neste sistema, todos os pagamentos são IGUAIS e periódicos. Embora o valor desse paga-mento seja CONSTANTE, na medida que o saldo devedor vai ficando menor, os juros embutidosem cada parcela diminuem e, automaticamente aumenta o VALOR AMORTIZADO em cada par-cela.

EXEMPLO ALEATÓRIO

DÍVIDA PAGA EM 3 PARCELAS DE $ 100

VALOR DA PARCELA JUROS AMORTIZAÇÃO

1ª PARCELA 100 40 60



Evidentemente, $ 300 correspondem ao VALOR INICIAL da dívida (VA na data ZERO)acrescidos dos JUROS.

O valor realmente emprestado foi INFERIOR A $ 300

ESQUEMATICAMENTE:


Matemática

EXEMPLO REAL

Seja uma dívida de $ 600000, que deverá ser quitada em 6 parcelas imediatas postecipadas,anuais, consecutivas, periódicas e constantes, pelo sistema PRICE, a uma taxa de 10% a.a.

Como já estudamos, o esquema é o seguinte:

onde X e o valor de cada parcela.

VA . (1 + i)n = X . [1(1 + i)N - 1] i

600000 . (1,1)6 = X . [(1,1)6 - 1] 0,1

Isolando X, obtemos:X = 137.764,43

CÁLCULO DOS JUROS E DA AMORTIZAÇÃO

Os JUROS são sempre cobrados sobre o SALDO DEVEDOR, ou seja, MONTANTE QUEAINDA É DEVIDO EM CADA DATA.

Portanto, na data do 1º pagamento (DATA UM), os juros incidem sobre VALOR ORIGINALDA DÍVIDA, ou seja, sobre o VA na DATA ZERO – que corresponde a TODA a dívida.

Como nessa DATA UM, uma parte do pagamento serve para amortizar a dívida, o SALDODEVEDOR diminui. Quando chegamos na DATA DOIS, os juros embutidos no 2º pagamentoserão menores, pois eles serão calculados sobre o saldo devedor na DATA UM e assim sucessiva-mente.

No caso do nosso problema:

DATA UM

JUROS NA DATA UM

Juros de 10% sobre o VA

J1 = 0,1 . (600000)

J1 = s 600000


Matemática

Ora, se o valor pago na data um foi $ 137764,43 e $ 60000 correspondem aos JUROS, orestante corresponde a AMORTIZAÇÃO.

AMORTIZAÇÃO NA DATA UM

Am1 = 137.764,43 - 60000

Am1 = 77764,43

SALDO DEVEDOR NA DATA UM

Pelo cálculo exposto anteriormente vem que o SALDO DEVEDOR corresponde ao MON-TANTE ATUAL DA DÍVIDA em cada data.

SD1 = 600000 - 77764,43 (valor amortizado)

SD1 = $ 552235,57

Portanto, na DATA UM a dívida fica diminuída para o valor acima e é sobre o SD1 queserão calculados os JUROS NA DATA DOIS.

DATA DOIS

JUROS PAGOS NA DATA DOIS

J2 = 0,1 . (522235,57)

J2 = 52223,56

AMORTIZAÇÃO NA DATA DOIS

Am2 = 137764,43 - 52223,56

Am2 = $ 85540,87


Matemática

SALDO DEVEDOR NA DATA DOIS

SD2 = 522.235,57 - 85.540,87

SD2 = $ 436.694,70

DATA TRÊS

JUROS PAGOS NA DATA TRÊS

10% sobre o saldo devedor na data DOIS (data anterior)

J3 = 0,1 . (436694,70)

J3 = 43669,47

AMORTIZAÇÃO NA DATA TRÊS

Am3 = 137764,43 - 43669,47

Am3 = 94094,96

SALDO DEVEDOR NA DATA TRÊS

SD3 = 436694,70 - 94094,96

SD3 = $ 342599,74


Matemática

DATA QUATRO

JUROS PAGOS NA DATA QUATRO

10% sobre o SD3

J4 = 0,1 . (342599,74)

J4 = 34259,97

AMORTIZAÇÃO NA DATA QUATRO

Am4 = 137764,43 - 34259,97

Am4 = 103504,46

SALDO DEVEDOR NA DATA QUATRO

SD4 = SD3 - Am4

SD4 = 239095,51


Matemática

DATA CINCO

JUROS PAGOS NA DATA CINCO

J5 = 0,1 . (239095,51)

J5 = 23909,55

AMORTIZAÇÃO NA DATA CINCO

Am5 = 137764,43 - 23909,55

Am5 = 113.854,88

SALDO DEVEDOR NA DATA CINCO

SD5 = 239095,51 - 113854,88

SD5 = 125240,63


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DATA SEIS

JUROS PAGOS NA DATA SEIS

J6 = 0,1 . (125240,63)

J6 = 12524,06

AMORTIZAÇÃO NA DATA SEIS

Am6 = 137764,43 - 12524,06

Am6 = 125240,37

SALDO DEVEDOR NA DATA 6

SD6 = 125240,63 - 125240,37

SD6 = 0,26 ≅≅≅≅≅ ZERO

A DIFERENÇA DEVE-SE AOS ARREDONDAMENTOS


Matemática

TABELA

PARCELA VALOR DA JUROS AMORTIZAÇÃO SALDOPARCELA DEVEDOR

– – – – 600000

1ª PARCELA 137764,43 60000 77764,43 552235,57

2ª 137764,43 52233,56 85540,87 436694,70

3ª 137764,43 43669,47 94094,96 342599,74

4ª 137764,43 34259,97 103504,46 239095,51

5ª 137764,43 23909,55 113854,88 125240,63

6ª 137764,43 12524,06 125240,37 0,26 ≅ ZERO

TOTAIS 826586,58 226586,61 599999,97

OBSERVAÇÃO:

ANÁLISE DIRETA EM CADA DATA

Para analisar cada data DIRETAMENTE, basta achar o SALDO DEVEDOR na dataimediatamente anterior.

EXEMPLO Considerando o exemplo anterior:

Determinar os juros e a amortização no 4º pagamento.

1º PASSO Vamos determinar o SALDO DEVEDOR NA DATA TRÊS, ou seja, APÓS

PAGAR A 3ª PARCELA e ANTES DE PAGAR A 4ª PARCELA.

O saldo devedor na data três é o VALOR ATUAL na data três (VA3) das parcelas queFALTAM PAGAR (no caso, 4ª, 5ª e 6ª).


Matemática

Com já estudamos

VA = X . an i

3 parcelas que faltam pagar

VA = 137764,43 . [(1,1)3 - 1] 0,1 . (1,1)3

3 períodos que restam do prazo

VA = $ 342599,75 = SD3

2º PASSO JUROS PAGOS NA DATA QUATRO

10% sobre o SD3

J4 = 34259,97

3º PASSO AMORTIZAÇÃO NA DATA QUATRO

AM4 = 137764,43 - 34259,97

AM4 = 103504,46

RESUMOS

CÁLCULO DO SALDO DEVEDOR

É o valor atual (usando a tabela PRICE) das parcelas que FALTAM PAGAR.

VA = X . an i

ou MONTANTE INICIAL DA DÍVIDA - VALOR JÁ AMORTIZADO

JUROS EM CADA PARCELA

É calculado sobre o SALDO DEVEDOR Jn = i . SDn-1

AMORTIZAÇÃO EM CADA PARCELA

TOTAL X da PARCELA - JUROS

AM = X - J

n = número de parcelas que faltam pagar


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1ª PARCELA DE AMORTIZAÇÃO

AM = X - i . VAO

MONTANTE JÁ AMORTIZADO

1º MÉTODO ⇒⇒⇒⇒⇒ DÍVIDA INICIAL - SALDO DEVEDORparcelas já pagas

2º MÉTODO = Mam = (1º Am) . [( )N - 1]

i

AMORTIZAÇÃO EM CADA PARCELA A PARTIR DOCONHECIMENTO DA 1º AMORTIZAÇÃO

As parcelas de amortização formam uma PG de mesma razão i e 1º termo a1 da PGcorrespondendo a 1ª parcela da amortização

NO EXEMPLO DADOAM5 = Am1

. (1,1)4

AM5 = 77764,43 . (1,1)4

AM5 = 113854,90

PROBLEMA

Um financiamento de $100000 deve ser amortizado em 10 pagamentos mensais iguais, imedia-tos, postecipados a uma taxa de 24% a.a. Pede-se:a) Valor da prestação:b) Juros na 1ª parcela:c) Amortização no 1º pagamento:d) Saldo devedor após 7º pagamento:e) Juros na 4º parcela:f) 5º quota de amortização:g) Amortização acumulada entre a 5º e 8ª parcela, incluindo ambas as parcelas:h) Juros acumulados até a 3ª parcela (inclusive):i) Montar planilha de amortização:

Gabaritoa) $11.133,00 b)$ 2000,00 c) $9133,00 d) $ 32105,35 e) $ 1440,99 f) $ 9885,85 g) $ 40745,61 h) $ 5448,37i) SALDO

DEVEDORINICIAL100.000

PARCELA

111331113311133

JUROS

20001817,341631,03

AMORTIZAÇÃO

91339315,669501,97

SALDODEVEDOR

APÓS PGTO90867

81551,4372049,37

E ASSIM SUCESSIVAMENTE

JUROS

20001817,341631,03


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SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC

Pelo SAC, o valor correspondente à amortização em CADA PARCELA é CONSTANTE e osjuros incidem sobre o saldo devedor. Como o saldo devedor diminui após o pagamento de cadaprestação e a amortização é constante, o VALOR DA PRESTAÇÃO REDUZ-SE AO LONGO DOTEMPO.

O VALOR DA AMORTIZAÇÃO DO EMPRÉSTIMO EM CADA PARCELA É CAL-CULADO DIVIDINDO O PRINCIPAL EMPRESTADO PELO NÚMERO DE PRESTA-ÇÕES.

EXEMPLO

Dívida de $ 120000, quitada em 3 parcelas anuais a 10% a.a.

SALDO AMORTIZAÇÃO JUROS VALORDEVEDOR DA PARCELA

– 120000 – – –

1º PAGAMENTO 80000 40000 12000 52000

2º PAGAMENTO 40000 40000 8000 48000

3º PAGAMENTO – 40000 4000 44000

1º PASSO Cálculo da amortização: Am = 120000

= 40000 3

2º PASSO JUROS NO 1º PAGAMENTO:10% sobre 120000 = 12000

3º PASSO CÁLCULO DO 1º PAGAMENTO40000 + 12000 = 52000

E assim sucessivamente.


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SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO – SAM

Pelo SAM, a prestação é calculada pela MÉDIA ARITMÉTICA da prestação obtida pelo sistemaPRICE e pelo SAC.

EXEMPLO No caso anterior, se calcularmos a prestação pelo sistema PRICE, encon-

tramos X = 48254. Então

SAC PRICE SAM

1ª 52000 48254 50127

2ª 48000 48254 48127

3ª 44000 48254 46127

CÁLCULO DA 1ª PARCELA SAM ⇒ 52000 + 48254

= 50127 2

SISTEMA AMERICANO

São cobrados juros SIMPLES periodicamente sobre o CAPITAL INICIAL e o principal épago na última parcela.

EXEMPLO

Empréstimo de $ 200000 a juros de 20% a.a. durante 3 anos.

SINKING FUND

Não deve ser confundido com o sistema Americano. O que ocorre é que é comum aliar aprática do "sinking fund" ao sistema americano. O tomador aplica periodicamente um valor X, nomercado de capitais para constituir o montante necessário na data da amortização do principal nosistema Americano.

SISTEMA DE JUROS ANTECIPADOS

Comum nas operações de curto prazo. É, de fato, a única forma de financiamento a jurossmples praticado atualmente no mercado financeiro brasileiro.

É o que ocorre no desconto de duplicatas. O comerciante entrega duplicatas com valor deface de $120000 com vencimento para 4 meses, por exemplo.

Considerando uma taxa simples, de 5% a.mês, agará 20% de juros. esse valor, $24000 édescontado no momento do negócio, de maneira que na verdade o comerciante recebe $96000pelos títulos. No vencimento, o banco recebe o valor de face.

O ganho efetivo do banco será 120000

= 1,25 ⇒ 25% 96000


Matemática

MÉTODO ALEMÃO OU HAMBURGUÊS

Consideremos um capital C, emprestado em uma data ZERO. O tomador, no entanto, nãoleva integralmente esse valor pois, no ato da negociação, antecipa-se a cobrança dos juros calcula-dos sobre o saldo devedor na DATA UM. A dívida é C mas o tomador só recebe (C - J1).

Essa dívida será paga em n parcelas IGUAIS.A amortização em cada parcela vai aumentando progressivamente e os juros vão diminuindo.Na última parcela, não haverá juros, pois eles são pagos sempre antecipadamente.Na DATA UM paga-se a primeira amortização e os juros sobre o saldo devedor na DATA

DOIS. Na DATA DOIS paga-se a segunda amortização e os juros sobre o saldo devedor na DATATRÊS e assim sucessivamente.

EXEMPLO

Dívida C, paga em 5 parcelas iguais

Observe que:

- A dívida é paga em 5 parcelas iguais a X.- Na última parcela só ocorre amortização.

Generalizando, para uma dívida paga em n parcelas:

saldo devedor na data umDATA UM 1ª parcela → T1 = A1 + i . (C - A1)

J2

DATA DOIS 2ª parcela → T2 = A2 + i . (C - A1 - A2) J3

Ora, T1 = T2, então:

A1 + i . (C - A1) = A2 + i . (C - A1 - A2)A1 + i . C - i . A1 = A2 + i . C - i . A1 - i . A2

A1 = A2 . (1 - i)

Repetindo a operação encontramos:

a2 = a3 . (1 - i)a3 = a4 . (1 - i)


Matemática

Ou ainda:

a2 = a1 a3 =

a2 a4 = a3

(1 - i) (1 - i) (1 - i)

Trata-se de uma PG de razão 1 (1 - i)

Portanto, an = a1 . qn - 1 fórmula da PG

an = a1 1ª CONCLUSÃO (1 - i)n-1

Ora, a última parcela é o próprio valor X, portanto

X = a1 (1 - i)n-1

Vamos, porém, isolar a1 na 1ª PARCELA (DATA UM)

X = a1 + i . (C - a1)

X = A1 + i . C - i . a1

X - i . C = a1 - i . a1

Colocando a1 em evidência, temos:

X - i . C = a1 . (1 - i)

Isolando a1, obtemos:

a1 = X - i . C 1ª amortização (1 - i)

Voltando a equação que denominamos 1ª conclusão:

X = a1 (1 - i)n-1

Substituindo nesta equação a1 por X - i . C (1 - i)

X - i . C

X = (1 - i)

Dividindo as frações (1 - i)n-1


Matemática

X = X - i . C . 1

(1 - i) (1 - i)n-1

X = X - i . C

(1 - i)n

X . (1 - i)n = X - i . C

i . C = X - X . (1 - i)n

Colocando a parcela constante X em evidência:

i . C = X . [1 - (1 - i)n]

Portanto

X = i . C

1 - (1 - i)n

que é a fórmula para calcular o valor constante das n parcelas.

PROBLEMA

Um empréstimo de $ 54200 é negociado pelo sistema alemão a uma taxa de 10% a.a. paraser pago em 3 parcelas. Calcule o valor X da parcela:

SOLUÇÃO

C = 54200X =

i . Ci = 10% a.a ⇒ 0,1 1 - (1 - i)n

n = 3X = ? X =

0 ,1 . (54200)

1 - 0,729

X = 20000

Para calcular a 1ª parcela de amortização, fazemos:

a1 = X - i . C

a1 = 20000 - 5420

a1 = 16200 (1 - i) 0,9

a2 = a1 e assim por diante (1 - i)


Matemática

PARCELA JUROS AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR0 J1 = 5420 - 542001 J2 = 3800 a1 = 16200 380002 J3 = 2000 a2 = 18000 200003 - a3 = 20000

PLANO LIVRE DE AMORTIZAÇÃO

A amortização é livre e paga-se, em cada entrega, os juros sobre o saldo devedor.

EXEMPLO

Uma dívida de $100000 será paga em 4 meses com parcelas variáveis.Taxa de 5% a.mês.

1º MÊSAmortização → $ 15000juros sobre o saldo devedor → $ 5000

valor pago $ 20.000

2º MÊSAmortização → 40000juros sobre o saldo devedor → 0,05 . (85000) = $ 4250TOTAL PAGO → $ 44250

3º MÊSAmortização → 25000juros sobre o saldo devedor → $ 2250TOTAL PAGO → $ 27250

4º MÊSAmortização → 20000juros sobre o saldo devedor → $ 1000

valor pago $ 21.000

n Amortização Juros Valor da parcela Saldo devedor0 – – – 1000001 15000 5000 20000 850002 40000 4250 44250 450003 25000 2250 27250 200004 20000 1000 21000 ZERO

PROBLEMA PROPOSTO(AFNT/85) - Uma pessoa obteve um empréstimo de $120000 a uma taxa de juros compostos de2% a.m. que deverá ser pago em 10 parcelas iguais.O valor dos juros a ser pago na 8ª parcela é dea) $ 5 b) $ 51 c) $ 518 d) $ 5187 e) $ 770

RESPOSTA: E


Matemática

RESUMO DE RENDAS

M = X.sn i ou M = X.[(1 + i)n -1]i

M = Montante de “n” pagamentos a uma taxa “ i “ expressa na forma decimal IMEDIATAMENTEapós o último depósito.

OBS. Se após o último deposito o dinheiro continua depositado ele continuará rendendo JUROS COMPOS-TOS como se o montante M fosse o capital inicial de um único deposito Cuja data zero é a mesmado último depósito.

VA = X.an i Única fórmula para todos os tipos de renda, desde que seja entendido que VA é ovalor atual de “n” depósitos a uma taxa “ i ” no instante IMEDIATAMENTE ANTERIOR ( 1 períodoantes) do 1º pagamento.

PO = Preço à vista na data zero ou valor financiado.VA = Valor (1 período antes da data do 1º pagamento) de “n” parcelas iguais e consecutivas

RELAÇÃO ENTRE PO e PA ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ VA = PO.(1 + i)k

“Para ir de PO até VA ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ EMBUTE

Para voltar de VA até PO ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ DESEMBUTE”

OUTRAS EXPRESSÕES EQUIVALENTES

VA = X. [(1 + i)n -1] X = VA . 1

i.(1+ i)n an i

X = VA

an i

RESUMO DE TAXAS(1 + i)n = TAXA EFETIVA Relação entre taxa nominal “ i “ e taxa efetiva

interpretada a partir do “balconista”Exemplo

A taxa nominal de 10% a.trimestre com capitalização trimestral tem a seguinte taxa efetivaanual.

(1,1)4 = tx.efet.

1,4641 interpretando ⇒⇒⇒⇒⇒ 46,41a.a efetivo

P VO Ax x x x

K PERÍODOS


Matemática

(1 + i ) (1 + i )

1

2

n

n

1

2

mesma tx. efetiva (1 + i ) = (1 + i )1 2n n1 2

Uma mercadoria de preço à vista P é paga da seguinte forma:a) $ 3000, 1 mês após a compra.b) $ 5000, 2 meses após a comprac) 6 pagamentos mensais, iguais, consecutivos de $ 2000, sendo o 1º desta série uniformefeito no final do 4º mês. Considerando i = 10% a.m, determine o preço P.

0 1 2 3 4 5 6 7

12.000x x x x

0 1 2 3 4 5 6 7

1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000P

04.

TAXAS EQUIVALENTES

Taxas equivalentes são aquelas que por caminhos diferentes produzem o mesmo crescimentoefetivo do capital.

PROBLEMAS DE RENDAS

01.

Um financiamento de $12.000, tomado na data zero, é em 4 parcelas mensais, iguais econsecutivas, sendo a 1ª paga no final do 4º mês. Sendo a taxa de 24% a.a com capitalizaçãomensal, determine o valor da parcela.

02.

Um carro de $20.600 é comprado na data zero. O pagamento é feito através de 8 parcelas,mensais, iguais e consecutivas sendo a primeira no ato da compra. Tomando como base umataxa de 3%a.m de juros compostos, calcule o valor da parcela.

03.

Uma mercadoria cujo preço á vista (na data zero) é P, é paga em 7 parcelas mensais, iguais econsecutivas, sendo a 1ª parcela paga 1 mês após a compra(imediata postecipada). Se o valorde cada parcela é $1000 e os juros compostos de 5%a.mês, calcule o preço à vista de P.


Matemática

Um bem de valor P na data zero, é pago de acordo com o fluxo de caixa da figura.Considerando juros compostos de 10%a.mês, calcule o valor P.

A mercadoria de preço P é paga de acordo com o fluxo de caixa acima. Considerado uma taxade juros compostos de 3%a.mês, determine P.

09.

05.

Uma mercadoria de preço P na data zero, é paga da seguinte forma:- Ato da compra ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ $ 5000.- 1 mês após a compra $ 1200.- 3 meses após a compra $8640.- E mais 4 parcelas mensais, consecutivas, iguais a $ 1000, sendo a primeira no final do5º mês.Considerar juros compostos de 20 a.mês.Qual o preço P?

Um empréstimo de $ 60.000 na data zero, é pago da seguinte forma:a) $22.050 no final do 2º mês.b) Série de 5 pagamentos mensais, iguais e consecutivos, sendo o primeiro no final do 4ºmês.

Considerando a taxa de juros compostos de 5%a.mês, calcule o valor x de cada parcela dasérie uniforme.

08.

Uma mercadoria de preço P, na data zero, é paga em 5 parcelas imediatas ANTECIPADAS,de $1000. Calcule o preço P para uma taxa composta de 4%a.mês.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1200 86405000 1000 1000 1000 1000

06.

07.


Matemática

10.

Uma compra no valor de 1.000.000,00 é paga com uma entrega de R$ 667.093,14 no final do2º mês a partir da data do negócio e 4 parcelas mensais iguais a partir do ínicio do 5º mês.

Considerando uma taxa composta de 2% a.m., determine o valor da X parcela de rendascertas.

RENDAS - SOLUÇÕES

1) VA é o valor atual 1 PERÍODO antes do 1º págamento. Portanto o 1º passo é “embutido” o preçoaté a DATA TRÊS.

12.000 . (1,02)3 = VAVA = 12.734,50

VA = x.an i

12.734,50 = x.a 4 2%

x = 12.734,50 x 1 a 4 2%

x = 12734,50 x 0,26262

x = 3344,34

2) VA 20.600

-1 0

Vamos “desembutir” VA para a data “1 período” antes do 1º pagamento

VA = 20.600 1,03

VA = 20.000 VA = x. a 8 3

Resolva você apartir daqui.3) P = VA (imediata postecipada) P = 1000.a7 5% Resolva você!

4) A série uniforme nos dá VA na data três.VA = 2000.a 6 10%

VA = 2000. 4,35526VA = 8710,52


Matemática

Nosso fluxo de caixa fica:

Agora, devemos “desembutir” até a data zero pelo critério do desconto racionalcomposto

P = 3000 + 5000 + 8710,521,1 1,21 (1,1)3

5)P = 5000 + 1200 + 8640 + VA

1,2 (1,2)3 (1,2)4

6) 60.000 - 22.050 = saldo devedor na data zero (1,05)2

60.000 - 20000 = 5040.000 é saldo em zero

VA = 40.000 “embutido” 3 mesesVA = 4.000 . (1,05)3

46305 = x.a 5 5 Resolva!

7) P = 1000 + VA de 4 pagamentosP = 1000 + x.a 4 4P = 1000 + 1000.3,6299P = 4629,90

8) P = 2200 + 2420 + 5324 1,1 (1,1)2 (1,1)3

9) Desembutindo 20.600 para zero

20.600 20.000 1,03

VA = (data dois) VA = 10.000 . a 5 3

VA = 45.797,10

P = 20.000 + 45.797,10 (1,03)2

0 1 2 3 4 5

40.000 VA

0 1 2 3

5000 8710,523000P


Matemática

10) 1.000.000 = 667.093,14 + VA (data três) (1,02)2 (1,02)3

VA = (data três) = X.a 4 2

Portanto

1.000.000 = 667.093,14 + X.3,80773(1,02)2 (1,02)3

Multiplicando todos os termos por (1,02)3

1.000.000 (1,02)3 = 667.093,14 .(1,02)

3 + X.3,80773 . (1,2)

3

(1,02)2

(1,02)3

1061208 = 680435 + X.3,80773 X = 100.000

PROBLEMAS DE TAXAS

1) Determine a taxa efetiva anual, com capitalização bimestral, correspondente a taxanominal de 60%a.a.

2) Determine a taxa nominal anual correspondente à taxa efetiva de 69%a.a. comcapitalização semestral.

3) Determine a taxa nominal anual correspondente à taxa efetiva de 107,36%a.a. comcapitalização trimestral.

4) Determine a taxa nominal anual com capitalização semestral equivalente a taxa nominalde 40%a.a. com capitalização trimestral.

Taxas - Soluções

1) 60% a.a 5% a.bimestre 10%a.bimestre

(1,1)6 = Tx. efetiva

1,771561 portanto 77,1561%a.a efetivo

2) ( )n = Tx. efetivaEm 1 ano existem 2 semestres, portanto:

x2 = 1,69

x = 69,1x = 1,3 30% no semestre 60%a.a nominal

calculando ou pela tabela temos:a

4 2 = 3,80773


Matemática

( ) efetivatxn .=3)

1) Como em um ano há 4 trimestres, então n = 4.2) No parênteses, colocamos a incógnita x.3) Uma taxa efetiva de 107,36% a.a. significa que o capital inicial (100%) cresceu

107,36% chegando a um montante que representa 207,36% do capital inicialou, 207,36% à correspondem na forma decimal a 2,0736.

Assim

Que significa crescimento de 20% ao trimestre, ou seja,80% a.ano (nominal).

( )

2,10736,2

0736,24

4

==

=

xx

x

4)

21% no semestre42% a.ano (nominal)

( ) ( )

21,14641,1

4641,11,1

2

42

==

=

=

xx

xx


Matemática

Tabe

las F

inan

ceira

s

M =

C .

(1 +

i)n

Cal

cula

o m

onta

nte M

que

resu

ltado

inve

stim

ento

do

capi

tal C

, apó

s n p

erío

dos,

com

taxa

de

juro

s com

post

a de

i %

ao

perío

do.

Tabe

la 1

0,5%

1%2%

3%4%

5%6%

7%8%

9%10

%11

%12

%13

%14

%15

%16

%17

%18

%19

%20

%25

%30

%

11,

0050

01,

0100

01,

0200

01,

0300

01,

0400

01,

0500

01,

0600

01,

0700

01,

0800

01,

0900

01,

1000

01,

1100

01,

1200

01,

1300

01,

1400

01,

1500

01,

1600

01,

1700

01,

1800

01,

1900

01,

2000

01,

2500

01,

3000

0

21,

0100

31,

0201

01,

0404

01,

0609

01,

0816

01,

1025

01,

1236

01,

1449

01,

1664

01,

1881

01,

2100

01,

2321

01,

2544

01,

2769

01,

2996

01,

3225

01,

3456

01,

3689

01,

3924

01,

4161

01,

4400

01,

5625

01,

6900

0

31,

0150

81,

0303

01,

0612

11,

0927

31,

1248

61,

1576

31,

1910

21,

2250

41,

2597

11,

2950

31,

3310

01,

3676

31,

4049

31,

4429

01,

4815

41,

5208

81,

5609

01,

6016

11,

6430

31,

6851

61,

7280

01,

9531

32,

1970

0

41,

0201

51,

0406

01,

0824

31,

1255

11,

1698

61,

2155

11,

2624

81,

3108

01,

3604

91,

4115

81,

4641

01,

5180

71,

5735

21,

6304

71,

6889

61,

7490

11,

8106

41,

8738

91,

9387

82,

0053

42,

0736

02,

4414

12,

8561

05

1,02

525

1,05

101

1,10

408

1,15

927

1,21

665

1,27

628

1,33

823

1,40

255

1,46

933

1,53

862

1,61

051

1,68

506

1,76

234

1,84

244

1,92

541

2,01

136

2,10

034

2,19

245

2,28

776

2,38

635

2,48

832

3,05

176

3,71

293

61,

0303

81,

0615

21,

1261

61,

1940

51,

2653

21,

3401

01,

4185

21,

5007

31,

5868

71,

6771

01,

7715

61,

8704

11,

9738

22,

0819

52,

1949

72,

3130

62,

4364

02,

5651

62,

6995

52,

8397

62,

9859

83,

8147

04,

8268

1

71,

0355

31,

0721

41,

1486

91,

2298

71,

3159

31,

4071

01,

5036

31,

6057

81,

7138

21,

8280

41,

9487

22,

0761

62,

2106

82,

3526

12,

5022

72,

6600

22,

8262

23,

0012

43,

1854

73,

3793

23,

5831

84,

7683

76,

2748

5

81,

0407

11,

0828

61,

1716

61,

2667

71,

3685

71,

4774

61,

5938

51,

7181

91,

8509

31,

9925

62,

1435

92,

3045

42,

4759

62,

6584

42,

8525

93,

0590

23,

2784

13,

5114

53,

7588

64,

0213

94,

2998

25,

9604

68,

1573

1

91,

0459

11,

0936

91,

1950

91,

3047

71,

4233

11,

5513

31,

6894

81,

8384

61,

9990

02,

1718

92,

3579

52,

5580

42,

7730

83,

0040

43,

2519

53,

5178

83,

8029

64,

1084

04,

4354

54,

7854

55,

1597

87,

4505

810

,604

50

101,

0511

41,

1046

21,

2189

91,

3439

21,

4802

41,

6288

91,

7908

51,

9671

52,

1589

22,

3673

62,

5937

42,

8394

23,

1058

53,

3945

73,

7072

24,

0455

64,

4114

44,

8068

35,

2338

45,

6946

86,

1917

49,

3132

313

,785

85

111,

0564

01,

1156

71,

2433

71,

3842

31,

5394

51,

7103

41,

8983

02,

1048

52,

3316

42,

5804

32,

8531

23,

1517

63,

4785

53,

8358

64,

2262

34,

6523

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8007

7


Matemática

Tabe

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7

Tabe

la 3

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Matemática

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1,000

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1,000

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1,000

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1,000

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1,000

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0055

Tabe

la 4

1

= i

S n i

[

(1 +

i)N

- 1]


Matemática

Tabe

la 5

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1

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i


Matemática

Tabe

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Tabe

la P

rice

: 1

=

i . (

1 +

i)n

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i

(1

+ i)

n - 1


Matemática

Anotações:

prof. josé dos santos moreira - static.an7.com.br · d) os 5% de 540 (calculamos os 10% e...

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