Mecânica I (FIS-14)

Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues PeláSala 2602A-1Ramal 5785rrpela@ita.br

www.ief.ita.br/~rrpela

Onde estamos?

● Neste capítulo, veremos:– Dinâmica de uma partícula: trabalho e energia

● O trabalho de uma força● Princípio do trabalho e energia

– Princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas

– Potência e eficiência

– Forças conservativas e energia potencial● Conservação de energia

4.2 – Dinâmica de uma partícula: trabalho e energia

● Princípio do trabalho e energia

Integrando:

Definindo a energia cinética:

OBS.: Note que T poderia ser definido como:

4.2 – Dinâmica de uma partícula: trabalho e energia

● Trabalho da força resultante = variação da energia cinética

OBS.: Lembre que

4.2 – Dinâmica de uma partícula: trabalho e energia

● Exemplo: Por um curto período de tempo, o guindaste iça a viga de 2,50 Mg com uma força F = (28+3s2) kN, s medido na vertical a partir da posição inicial. Determine a velocidade quando ela for erguida (s = 3,00 m)? Além disso, quanto tempo ela leva para alcançar essa altura partindo do repouso.

4.2 – Dinâmica de uma partícula: trabalho e energia

● Exemplo

Fazendo a integral numericamente:

Para s = 3 m:

4.2 – Dinâmica de uma partícula: trabalho e energia

● Exemplo: O garoto de 40,0 kg desliza pelo escorregador aquático liso. Se ele parte do repouso em A, determine sua velocidade quando ele chega a B e a reação normal que a rampa exerce sobre o garoto nesta posição.

4.2 – Dinâmica de uma partícula: trabalho e energia

● Exemplo

Onde estamos?

● Neste capítulo, veremos:– Dinâmica de uma partícula: trabalho e energia

● O trabalho de uma força● Princípio do trabalho e energia

– Princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas

– Potência e eficiência

– Forças conservativas e energia potencial● Conservação de energia

4.3 – Princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas

● Vamos considerar um sistema composto por N partículas

● Princípio do trabalho e energia

Trabalho resultante de todas as forças externas

Trabalho resultante de todas as forças internas

Variação da energia cinética total

4.3 – Princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas

● Por amor à simplicidade, vamos mostrar o princípio do trabalho e energia para um sistema constituído somente por 2 partículas (o caso N partículas é análogo, embora bem mais trabalhoso) :)

● Força na partícula 1 devido à partícula 2● Força na partícula 2 devido à partícula 1● Força externa resultante na partícula 1 ● Força externa resultante na partícula 2

OBS.: mas isto não irá ajudar muito...

4.3 – Princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas

● Finalizando

4.3 – Princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas

● Energia cinética do sistema e do CM● Questão: a energia cinética de um sistema de

partículas é igual a ?● Resp.: NÃO!!!

– Tente encontrar um contra-exemplo

● Vamos encontrar a expressão completa:

4.3 – Princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas

● Somando, temos

Seja:

4.3 – Princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas

● Com isso, chegamos a

Onde:

Note que:

4.3 – Princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas

● Para um sistema de 2 partículas

Onde, definimos a massa reduzida:

Prova:

4.3 – Princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas

● Analogamente

4.3 – Princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas

● Exemplo: A Figura ao lado mostra duas bolas, cada qual com massa de 1,1 kg. Segura-se firmemente a bola A, e, através de um agente externo, suspende-se a bola B 3,0 cm abaixo da bola A. A mola linear que liga as bolas é modelada como tendo um comprimento “não deformado” nulo. Em t = 0, a bola A é liberada e em t*, quando as duas bolas se chocam, a bola A move-se com 1,65 m/s (para baixo) e a bola B, com 1,35 m/s (também para baixo). Determine t* e a constante de mola k.

4.3 – Princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas

● Respostas– Em t*

– Por conservação da energia

Onde estamos?

● Neste capítulo, veremos:– Dinâmica de uma partícula: trabalho e energia

● O trabalho de uma força● Princípio do trabalho e energia

– Princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas

– Potência e eficiência

– Forças conservativas e energia potencial● Conservação de energia

4.4 – Potência e eficiência

● Conceito útil quando precisamos escolher o tipo de motor ou máquina necessária para realizar certa quantidade de trabalho em um dado tempo

● Exemplo: duas bombas podem, cada uma, ser capazes de esvaziar um reservatório se tiverem um tempo suficiente; entretanto, a bomba tendo a maior potência vai terminar o serviço mais cedo

4.4 – Potência e eficiência

● Definição de potência

● Se dW é igual a

4.4 – Potência e eficiência

● Eficiência

● Se energia fornecida à máquina ocorre no mesmo intervalo de tempo no qual ela é consumida

● A eficiência de máquinas mecânicas é sempre menor que 1

4.4 – Potência e eficiência

● Exemplo: O motor M do guindaste mostrado na Figura iça a caixa C de 375 N de maneira que a aceleração do ponto P é 1,20 m/s2. Determine a potência que tem de ser fornecida no instante em que P tem velocidade de 0,600 m/s. Despreze a massa da polia e do cabo e suponha uma eficiência de e = 0,850.

4.4 – Potência e eficiência

● Exemplo:

Onde estamos?

● Nosso roteiro ao longo deste capítulo– Dinâmica de uma partícula: trabalho e energia

● O trabalho de uma força● Princípio do trabalho e energia

– Princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas

– Potência e eficiência

– Forças conservativas e energia potencial● Conservação de energia

4.5 – Forças conservativas e energia potencial

● Se o trabalho de uma força independe da trajetória e depende somente das posições inicial e final da partícula, então dizemos que esta força é conservativa

● Exemplos de forças conservativas– Força constante, gravitacional, elétrica, mola

● Exemplos de forças não conservativas– Atrito

4.5 – Forças conservativas e energia potencial

● Qual a condição a ser satisfeita para que uma força seja conservativa? Vejamos.

Força conservativa implica:

qualquer que seja a curva ligando A e B

4.5 – Forças conservativas e energia potencial

● Qual a condição a ser satisfeita para que uma força seja conservativa? Vejamos.

Para qualquer

4.5 – Forças conservativas e energia potencial

● Conclusão: para que uma força seja conservativa deve existir uma função V (energia potencial) de modo que

● Mas dado como saber se existe uma tal função V?– Teste do rotacionalSe , então

4.5 – Forças conservativas e energia potencial

● Vejamos o que é o rotacional

● Note que se , então

4.5 – Forças conservativas e energia potencial

● A recíproca é verdadeira? Isto é, se então– “Quase” sempre

– Os casos degenerados (funções “multivalentes” e problemas de domínios) serão abordados no curso de cálculo vetorial

● OBS.: Pode-se mostrar que uma força é conservativa se, e somente se,

Para qualquer curva fechada “bem comportada”

4.5 – Forças conservativas e energia potencial

● OBS.: Gradiente e rotacional em coordenadas cilíndricas

4.5 – Forças conservativas e energia potencial

● OBS.: Gradiente e rotacional em coordenadas esféricas

4.5 – Forças conservativas e energia potencial

● Exemplo: Verifique se o campo de força

é conservativo. Se for, determine uma função energia potencial associada.

4.5 – Forças conservativas e energia potencial

● Resposta: é conservativo

4.5 – Forças conservativas e energia potencial

● Exemplo: Verifique se o campo de força

é conservativo. Se for, determine uma função energia potencial associada.

4.5 – Forças conservativas e energia potencial

● Resposta: Não é conservativo

4.5 – Forças conservativas e energia potencial

● Exemplo: Mostre que toda força central é conservativa– Consequência: a força gravitacional e a força

elétrica são conservativas

4.5 – Forças conservativas e energia potencial

● Exemplo: usando o sistema de coordenadas esféricas

4.5 – Forças conservativas e energia potencial

● Exemplo: Encontre a expressão da energia potencial gravitacional

4.5 – Forças conservativas e energia potencial

● Exemplo: – Método 1: igualar a força a menos o gradiente da

energia potencial

Escolhemos C de modo que V no infinito seja zero

4.5 – Forças conservativas e energia potencial

● Exemplo: – Método 2: usando a definição de trabalho

Escolhemos C de modo que V no infinito seja zero